Термокапиллярная конвекция в плоском слое жидкости с концентрационными источниками тепла тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Мазунина Екатерина Сергеевна

ТЕРМОКАПИЛЛЯРНАЯ КОНВЕКЦИЯ В ПЛОСКОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ С КОНЦЕНТРАЦИОННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

ТЕПЛА

с,

(01.02.05 - Механика жидкости газа и плазмы)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-6 ОКТ 2011

Пермь 2011

4856690

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и компьютерного моделирования Пермского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Бирих Рудольф Вольдемарович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, доцент

Смородин Борис Леонидович

кандидат физ. - мат. наук, доцент Перминов Анатолий Викторович

Ведущая организация: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 25 октября 2011 г. в 15^ час. на заседании диссертационного совета Д.212.189.06 при ФГБОУ ВПО "Пермский государственный национальный исследовательский университет" по адресу: 614990,г. Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого совета ПГНИУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета; электронная версия автореферата доступна на сайте Пермского государственного национального исследовательского университета по адресу: http://www.psu.ru.

Автореферат разослан «_» сентября 2011 г.

Ученый секретарь / у?

совета кандидат физ.-мат. наук

доцент Г.В. Гилев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. На физические процессы, протекающие в жидкости со свободной поверхностью, существенное влияние оказывает движение жидкости, связанное с термо- и концентрационно-капиллярными эффектами. Особенно сильный эффект наблюдается в условиях невесомости. Кроме того, проблема конвективной устойчивости привлекала заметное внимание исследователей всю вторую половину XX и начало нового века в связи с теоретической важностью проблемы. Поэтому новые исследования, определяющие пороги возникновения движения и структуру движения, являются актуальными для теории конвективной неустойчивости.

В большинстве ранее проведенных исследований по термокапиллярной неустойчивости предполагалось, что в состоянии механического равновесия температура меняется с поперечной координатой линейно или квадратично. Безусловно, представляет интерес анализ влияния на пороги конвекции более сложных законов изменения температуры. В слое с концентрационными источниками тепла и возникает такое разнообразие профилей температуры.

Целью работы является численное исследование термокапиллярной неустойчивости механического равновесия плоского слоя жидкой бинарной смеси с концентрационными источниками тепла в условиях невесомости и анализ формы возникающих конвективных движений.

Для достижения названной цели необходимо было решить следующие задачи:

- описать стационарное состояние системы для случая выгорания активной компоненты смеси;

- определить границу устойчивости системы относительно малых возмущений;

- методом конечных разностей рассчитать форму надкритического конвективного течения и распределения температуры и концентрации активной компоненты жидкости;

- исследовать характеристики надкритического движения для разных граничных условий и скорости выгорания активной компоненты.

Научная новизна работы

Автором впервые

- сформулирована задача и найдены стационарные решения в плоском слое жидкости с концентрационными источниками тепла с выгоранием;

- определена граница устойчивости равновесия плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла при различных значениях безразмерных параметров (число Био, параметр выгорания) по отношению к нейтральным монотонным и колебательным возмущениям в случае изотермической твердой границы;

-определена граница устойчивости равновесия плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла при различных значениях безразмерных параметров (число Био, параметр выгорания) по отношению к нейтральным монотонным и колебательным возмущениям в случае теплоизолированной твердой границы;

- получены зависимости интегральных характеристик надкритических движений в слое бинарной жидкости от параметра Марангони для различных значений параметров задачи;

-изучена эволюция надкритических режимов движения жидкости в случае изотермической твердой границы; обнаружены переходы от стационарной конвекции к колебательной, а затем в режим «бегущей» волны;

-в случае изотермической нижней твердой границы изучен колебательный режим конвекции при отрицательных значениях числа Марангони;

-построены карты изолиний и определены периоды колебаний для ячейки плоского слоя со свободными поперечными границами и при моделировании ячейки с использованием периодических условий;

- для теплоизолированной нижней границы надкритическое движение обнаружено в виде стационарной конвекции.

- для прямоугольной области с твердыми вертикальными стенками изучены переходы от стационарной термокапиллярной конвекции с одним волновым числом к стационарной конвекции с вдвое меньшим волновым числом при положительных значениях числа Марангони; при отрицательных значениях числа Марангони получен режим колебательной конвекции.

Автор защищает

- результаты численных расчетов по исследованию устойчивости механического равновесия плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла в условиях невесомости для случаев изотермической и адиабатической твердой горизонтальной границы при выгорании активной компоненты;

- результаты численного исследования нелинейных режимов термокапиллярной конвекции жидкости с концентрационными источниками тепла в ячейке плоского слоя со свободными вертикальными границами с изотермической твердой 1раницей и адиабатической твердой границей в случае убывания концентрации активной компоненты;

- результаты численного исследования надкритических режимов термокапиллярной конвекции жидкости с концентрационными источниками тепла в ячейке слоя с периодическими условиями на вертикальных границах в случае убывания концентрации активной компоненты;

- результаты численного исследования надкритических режимов термокапиллярной конвекции жидкости с концентрационными источниками тепла в канале с твердыми вертикальными границами в отсутствии выгорания;

Достоверность результатов подтверждается результатами тестирования используемых программ расчетов; соответствием данных, полученных разными методами и в рамках разных подходов; соответствием численных и аналитических результатов в предельных случаях и с результатами других авторов в тех случаях, где возможно сравнение.

Научное и практическое значение работы. Результаты данной работы могут быть использованы при проведении теоретических и экспериментальных исследований термокапиллярных течений с внутренним тепловыделением. Результаты исследований устойчивости могут быть также использованы исследователями как основа для сравнения. В нелинейном расчете использованы две модели выделения ячейки в плоском слое. Отмечены недостатки и достоинства этих моделей. Показаны возможные переходы между режимами конвекции при увеличении мощности тепловыделения для различных тепловых граничных условий. Результаты работы могут быть полезны при изучении различных явлений, где важную роль играет неоднородное тепловыделение, которое может моделироваться концентрационными источниками тепла.

Работа выполнена при поддержке РФФИ по гранту № 06-01-00221.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, из них 1 статья в научном журнале из перечня ВАК [15].

Личный вклад автора. Во всех работах, кроме. [1], представлены результаты численных расчетов, выполненных автором. Соавтором работ [2-15] является научный руководитель соискателя, участвующий в постановке исследуемых задач и обсуждении полученных результатов. Работа [1] выполнена совместно с В.И. Якушиным. Здесь соискателем был выполнен расчет надкритических режимов движения жидкости, постановка задачи и анализ результатов проводились совместно с соавтором.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на "Advanced Problems in Thermal Convection" (Perm, November, 2003), Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2005, 2007, 2009), XII Всероссийской конференции студентов физиков и молодых ученых (Новосибирск, март, 2006), 15-й Всероссийской школе-конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, октябрь, 2006), VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, ноябрь, 2006), XXXV Summer School-Conference "Advanced Problem in mechanics" St. (Petersburg, June, 2007), 16-й Всероссийской школе-конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, октябрь, 2007), VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. (Новосибирск, ноябрь, 2007), Международной конференции «НЕЗАТЕГИУС- 2008» (Москва, февраль, 2008), 3-й Всероссийской конференции с 'частием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, шонь, 2008), а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, содержа-цего обзор литературы, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы [з 60 наименований. Общий объем диссертации 137 страниц, включая 93 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен обзор литературы по тематике диссертационной ра-юты, приводится ее общая характеристика, и формулируются основные цели работы, (еластся вывод об актуальности темы диссертации и новизне решаемых задач.

В первой главе излагаются результаты исследования устойчивости механиче-кого равновесия плоского слоя бинарной жидкой смеси с концентрационными ис-очниками тепла при изотермической твердой границе в условиях невесомости. В со-тоянии механического равновесия распределения температуры Т0 и концентрация кгивной компоненты Со имеют вид

То-'

•Bi

1-

_1_V J__ch(iV - Nz)

N2( Bi + 1K с hNJ N N2cbN _ ch(N-Nz) 0 chN

(1)

где г - поперечная координата с началом на твердой границе, коэффициент Л^ задает скорость выгорания активной компоненты и показывает во сколько раз характерное время выгорания меньше времени релаксации диффузионного процесса, число Био (Ш = а/г/А) характеризует интенсивность теплообмена на свободной поверхности жидкости. Еще одним параметром задачи является число Марангони (Ма=а|О0С5/г3/кру%), определенное по мощности тепловыделения концентрационными источниками (С20- удельная мощность внутренних источников тепла, С5- концентрация на твердой границе), характеристиками жидкости и толщиной слоя А.

Исследована устойчивость механического равновесия системы со стационарными распределениями температуры и концентрации (1) относительно малых возмущений. Рассмотрены периодические вдоль осей х и у возмущения скорости, температуры и концентрации.

Однородная краевая задача для амплитуд возмущений имеет нетривиальное решение только при определенных значениях параметров. Для системы линейных дифференциальных уравнений методом пошагового интегрирования Рунге-Кутгы-Мерсона строились четыре линейно независимых решения, удовлетворяющих условиям при г = 0. Граничные условия при ъ = 1 определяли число Марангони, при котором существуют нетривиальные решения с <в, = 0, и частоту сог. Поскольку в исследуемой системе имеются два молекулярных процесса переноса, следует ожидать как монотонной, так и колебательной неустойчивости. Значение числа Прандгля во всех расчетах принималось равным 1. Получены нейтральные кривые для различных значений числа Био, параметра выгорания и числа Льюиса (Ье = £>/%), характеризующего отношение температурного и диффузионного времени. Обнаружено, что в такой системе могут существовать нейтральные монотонные и колебательные возмущения при положительных и отрицательных числах Марангони. Критическое число Марангони оказывается сильно зависящим от соотношения времен релаксации температурных и концентрационных возмущений. На рис. 1. представлены нейтральные кривые и частоты нейтральных колебаний при числе Льюиса равном 0.1 и числе Био равном единице для разных значений параметра выгорания. Для малых значений N характерно наличие двух ветвей нейтральной кривой монотонной неустойчивости с общей вертикальной асимптотой. Однако, ситуация быстро меняется с увеличением скорости выгорания активной компоненты. При N>0.31 отрицательной монотонной ветви уже нет. Исчезновение отрицательной

Рис. 1. Нейтральные кривые (а) и частоты нейтральных колебаний (6). Цифры у кривых соответствуют значениям параметра выгорания//. Ье = 0.1,= 1

б

ветви нейтральной кривой монотонной неустойчивости происходит с появлением третьей монотонной положительной ветви.

Нейтральные колебания в широком диапазоне параметра выгорания представлены "мешкам^' в области положительных и отрицательных чисел Марангони с общей асимптотой и единой дисперсионной кривой. Низкочастотная ветвь (до точки на кривой) соответствует нейтральной кривой для отрицательных значений числа Марангони. После асимптоты дисперсионный закон дает частоту колебаний для Ма >0. Любопытно, что длинноволновые колебания при положительных значениях числа Марангони имеют практически одинаковую частоту для разных коэффициентов выгорания.

Анализ структуры нейтральных возмущений показывает, что в поставленной задаче возможны два механизма поддержки возмущений: пирсоновский механизм, связанный с выносом на свободную поверхность нагретой жидкости, и механизм, обусловленный выносом на свободную поверхность жидкости с повышенной концентрацией тепловыделяющей компоненты смеси, и изменением в связи с этим температуры поверхности. Проведено сравнение нейтральных кривых для двух задач (задача для слоя с концентрационными источниками тепла и задача для слоя, где отсутствует перенос активной компоненты), имеющих одинаковый профиль температуры. Обнаружено, что чем меньше значение числа Льюиса, тем существеннее влияние механизма, связанного с выносом на свободную поверхность активной компоненты.

Во второй главе изучаются надкритические термокапиллярные конвективные движения в плоском слое с концентрационными источниками тепла при изотермической твердой границе. Для исследования нелинейных режимов конвекции рассмотрены двумерные движения в плоскости (х, г) и использован метод конечных разностей. Решение уравнений конвекции в переменных функция тока 'Р, вихрь скорости <р, температура Г и концентрация активной компоненты С строилось в прямоугольной области 0 <х<1, 0 <г < 1, с использованием явной схемы. Пространственные производные аппроксимировались центральными разностями. Уравнение Пуассона решалось методом верхней релаксации. Ячейка слоя моделировалась с помощью периодических условий на боковых границах и как ячейка со свободными боковыми границами. Была исследована конвекция в ячейках слоя с различными геометрическими размерами / = 2.5 и 5 для значений числа Льюиса Ье =0.1 и /= 1, 2 и 3 для 1_е = 1.0. Построены амплитудные кривые, приведены карты изолиний функции тока, температуры и концентрации.

Диаграмма режимов конвекции, полученная для расчетной области / = 2.5 (к = 2.5) со свободными вертикальными границами при Рг= 1, В1= 1, Ье =0.1, N = 1 показана на рис. 2 а. Сплошные линии показывают зависимость максимального значения функции тока от числа Марангони при стационарной конвекции. Кривые, обозначенные кружками и треугольниками - зависимость максимального значения функции тока от числа Марангони при колебательной конвекции. На оси чисел Марангони «звездочками» указаны критические значения числа Марангони для монотонных возмущгний с длиной волны X = 1.25, к =2.5 и X = 5. На вставках рис. 2 а показана типичная структура течения в конвективной ячейке для данного режима конвекции и фазовый портрет движения на плоскости функция тока - температура в точке с координатам их = 0.48, г =0.77.

Рис.2. Амплитудные кривые, изолинии функции тока и фазовые портреты для конвективных режимов при положительных значениях числа Марангони и Х = 1 = 2.5 ( Рг = 1, Ье = 0.1, ЕК = 1, УУ = 1) (а - область со свободными вертикальными границами; Ь -область с периодическими условиями на вертикальных границах).

В случае Ма меньшем некоторого критического значения движение в ячейке отсутствует, все начальные возмущения со временем затухают.

Нелинейный режим, который должен возникать с к = 5 при Ма* = 376, получен в расчетной области с 1 = 2.5 при Ма1* = 374. При Ма1* от равновесия ответвляется стационарное движение, в ячейке возникает один вихрь (половина длины волны, режим 1а). По мере увеличения надкритичности увеличивается максимальное значение функции тока.

При увеличении числа Марангони (Ма > 4180) стационарная конвекция с длиной волны X = 5 переходит в режим периодических колебаний (режим На, линия с треугольниками). В случае Ма < 4280 в ячейке происходят колебания только одного вихря. Колебания представляют собой периодическое движение центра вихря вдоль ячейки. При Ма > 4280 вблизи свободной границы на некоторое время появляется еще один вихрь противоположного знака.

При Ма > 4440 дополнительный вихрь в течение периода не исчезает и постепенно, с увеличением числа Марангони, разрывает один большой вихрь, таким образом, в расчетной области происходит колебания трех вихрей. Период колебаний с увеличением числа Марангони убывает. Диапазона значений числа Марангони вблизи Ма = 4180, где бы одновременно существовали колебательный (режим На) и стационарный (режим 1а), режимы конвекции не обнаружено.

Задавая в качестве начального возмущения два симметричных вихря, при Ма > 528 можно получить стационарную конвекцию, имеющую двухвихревую структуру (режим I). По мере увеличения надкритичности увеличивается максимальное значение функции тока. При больших значениях параметра Марангони (Ма/Ма* > 5) центры вихрей смещаются к свободной границе и к боковым границам ячейки. При Ма > 4550 стационарная конвекция становится неустойчивой по отношению к колебательному режиму (режим II, линия с кружками). В ячейке наступают периодические колебания двух неодинаковых вихрей. Вихрь с большей интенсивностью, в данном случае положительный, движется от центра ячейки к боковой границе, при этом его интенсивность сначала уменьшается, а затем увеличивается. В это же время вблизи центра ячейки формируется центр нового положительного вихря, который затем снова начинает двигаться к боковой границе. Интенсивность отрицательного вихря также сначала уменьшается, а затем увеличивается.

При дальнейшем увеличении числа Марангони на границе между вихрями вблизи свободной границы появляются в некоторые моменты времени еще два дополнительных вихря. С увеличением числа Марангони период колебаний уменьшается. Режим II продолжается до Ма =7110.

Если взять за начальное состояние Режим II с Ма = 6000 и уменьшать число Марангони, то удается продвинуться до Ма = 4320. При этом значении Ма колебательная конвекция переходит в стационарную (Режим I).

При 4800 <Ма< 5500, задавая возмущение в виде двух вихрей на фоне равновесного распределения температуры и концентрации, можно получить движение с длиной волны X = 1.25 с Ма* = 2306 (две длины волны в расчетной области, режим 1Ь). Квадратиками на рис. 2 а обозначена область значений числа Марангони, для которых удается получить такой режим в области 2.5:1 (две длины волны), штриховой линией обозначен режим, который был получен в области 1.25:1 (одна длина волны). При значениях числа Марангони меньших 4800 и больших 5500 режим 1Ь переходит в режим II.

Теперь рассмотрим область с периодическими условиями на вертикальных границах при тех же значениях безразмерных параметров. Диаграмма режимов конвек-

ции представлена на рис. 2 Ь. Сплошные линии показывают зависимость от числа Марангони максимального значения функции тока для стационарной конвекции (режим I) и регулярных колебаний (режим П, линия с треугольниками). Квадратиками отмечены полученные в численном эксперименте максимальные значения функции тока нерегулярных колебаний (режим III), а закрашенными кружочками показано изменение максимального значения функции тока для режима бегущих волн (режим IV). Штриховые линии разделяют области чисел Марангони, в которых наблюдались разные режимы конвекции. На вставках рис. 2 b показана типичная структура течения в конвективной ячейке для данного режима конвекции и фазовый портрет движения на плоскости функция тока - температура в точке с координатами* =0.48,z =0.77.

Нелинейный режим с длиной волны Я. = 2.5, который согласно линейной теории должен возникнуть при Ma*=526, устанавливался при Mai =528. При Mai от равновесия ответвляется стационарное движение, имеющее двух вихревую структуру с симметричными вихрями, которые имеют одинаковую интенсивность и локализованы в верхней части ячейки. Границы ячейки строго вертикальны. По мере увеличения надкригичности увеличивается максимальное значение функции тока. Режим стационарной конвекции при X = 2.5, полученный в случае вертикальных свободных границ (рис. 2 а, режим I), полностью идентичен режиму I на рис. 2 Ь. В ячейке с периодическими условиями на вертикальных границах могут возникать только режимы с целыми длинами волн. Режим 1а на рис. 2 a (X = 5, в области с 1=2.5 возникает один вихрь) получить в такой ячейке было нельзя, а режим Ib (в области с 1=2.5 укладывается две волны с X = 1.25) не был обнаружен.

При увеличении числа Марангони с Ma = 4460 стационарная конвекция становится неустойчивой по отношению к колебательному режиму. В ячейке устанавливается движение, образованное двумя вихрями противоположных знаков, интенсивность которых изменяется со временем в одинаковых пределах (режим II). Анализ структуры колебательной конвекции показывает, что данный вид колебаний представляет собой пульсации около стационарного состояния (режима I). В первую половину периода происходило уменьшение интенсивности положительного вихря, интенсивность отрицательного вихря увеличивалась. Во вторую половину периода положительный вихрь увеличивался, а отрицательный вихрь уменьшался. Интенсивность обоих вихрей изменялась одинаково со сдвигом на полпериода.

При развитом движении (больших числах Марангони) в областях восходящего и нисходящего потоков вблизи свободной поверхности образуется еще пара небольших вихрей, которые, эволюционируя, сливаются с большим вихрем того же знака, при этом центр вихря перемешается в точку, где когда-то был центр меньшего вихря. С увеличением числа Марангони период колебаний уменьшается.

При переходе через значение числа Марангони 5100 колебательное движение перестает быть регулярным, и в расчетной области наблюдаются периодические колебания сложной формы, содержащей одновременно до четырех вихрей (режим III). В диапазоне чисел Марангони 5100 <Ма < 5500 амплитуда колебаний максимального значения функции тока монотонно растет.

При дальнейшем увеличении числа Марангони в области 5760 <Ма <6000 возникает новый режим, который представляет собой «бегущую волну» (режим IV). В ячейке возникало два вихря, интенсивность которых на протяжении периода различна. Центр большего вихря находится на одной и той же поперечной координате, у меньшего вихря при движении волны центр смешается поперек слоя. С увеличением

лсла Марангони скорость волны уменьшается. Для точки с координатами х = 0.48, = 0.77 на плоскости функция тока, температура был построен фазовый портрет кон-гкгивного движения. Фазовая траектория в процессе движения наматывается на фи-уру близкую к двумерному тору с переменными радиусами кривизны (см. вставку на ис. 2 b для режима IV).

Переходы между рассмотренными режимами при движении по числу Марангони разных направлениях происходят с гистерезисом, т.е. границы области сугцествова-ия режимов перекрываются.

В области со свободными вертикальными границами и области с периодически-и условиями на свободных границах результаты для стационарной конвекции оди-аковы. Возможность к деформации и движению границы ячейки для периодических :ловий на вертикальных границах приводит к появлению дополнительных колеба-:льных режимов.

Для отрицательных значений числа Марангони (Le = 0.1) в ячейке слоя с 1-5 ри надкритичности Ма/Ма* <1.4 воспроизведена колебательная конвекция с длиной элны X = 5. Интерполяция на нулевое значение квадрата амплитуды функции тока 1ет результат, который хорошо согласуется с линейной теорией по значениям кри-«еских чисел и частот колебаний.

1000 [а

800 н

600-

400-

200-

0

к

1С. 3. Кривые нейтральной устойчивости при = 1 и Ье = 0.01 (штриховые линии), 0.1 (штрих-иктирные линии) и 1 (сплошные линии). Числа у 1ивых задают значение параметра выгорания N.

В третьей главе излагаются результаты исследования устойчивости механического равновесия и надкритических режимов движения жидкости с концентрационными источниками в плоском слое с теплоизолированной твердой границей. В рамках линейной теории получены нейтральные кривые для различных значений чисел Био, Льюиса и параметра выгорания. Выявлено, что в такой системе возникают только монотонные возмущения при положительных значениях числа Марангони. На рис.3, представлены нейтральные кривые для значений числа Льюиса равных 0.01,0.1,1 при В1 = 1.

В нелинейной задаче исследована стационарная конвекция в прямоугольной ячейке с 1 = 3 и 1.5 при надкритичности до 9, на вертикальных границах, как и во вто-

>й главе, были использованы оба типа условий. Построены амплитудные кривые и шведены карты изолиний функции тока, температуры и концентрации. На рис. 4 )едставленьг амплитудные кривые и изолинии функции тока, температуры и кон-:нтрации при N = 1, В1 = 1 числе Льюиса равном 0.1 и 1.

Ье = 0.1, Ма = 800, А, = 3 Рис. 4. Зависимость максимальной функции тока от числа Марангони при N=1 и X = 3 (1 -Ье = 0.1; 2 - Ье = 1.0) и X = 1.5 (3 - Ье = 0.1; 4 -Ье = 1.0) и изолинии функции тока, температуры и концентрации при Ма = 800.

Четвертая глава посвящена анализу термокапиллярной конвекции бинарной жидкой смеси с концентрационными источниками тепла в канале с твердыми стенками. Рассмотрен случай, когда выгорание активной компоненты отсутствует и на горизонтальных границах фиксирована ее концентрация. Методом продольно-поперечной прогонки численно решается система уравнений Навье-Стокса, теплопроводности и диффузии. В случае теплоизолированной и изотермической нижней твердой границы для достаточно широкого канала 1 = 4 получена диаграмма возможных стационарных решений (одно- и двухвихревых движений разной симметрии) и определены области их устойчивости для величины надкритичности до 5. На рис 5. представлена амплитудная кривая при Рг = 0.05, Le = 0.05, Bi = 1 для теплоизолированной твердой границы. Для этих решений построены карты изолиний тока, температуры и концентрации. Как показали численные эксперименты, решения, соответствующие режимам I и III устойчивы в исследуемом интервале числа Марангони. Решения, принадлежащие режиму II устойчивы только в интервале 50 <Ма < 123. Для значений 123 <Ма< 189 двухвихревое течение II переходит также в двухвихревое течение с противоположным вращением жидкости, соответствующее режиму I (в движение с меньшей амплитудой!). В интервале значений числа Марангони 190 < Ма < 492 это решение переходит в одновихревое решение, соответствующее режиму III. Звездочкой на рис. 5. отмечено критическое значение числа Марангони для бесконечного слоя с X = 8.

Решения, соответствующие режиму И, для 123<Ма<492 являются метаста-бильными с большим «временем жизни», в несколько десятков единиц вязкого времени. Для Ма > 492 такого рода метастабильные состояния в численном эксперименте не наблюдались. Это значение числа Марангони является своего рода концевой точкой (точка В на рис. 5.).

• о 0.50 1.00 1.50 2Ю 2.5 ЗЛО 3.50

I - Ма=100

ШШФУ)

0.00 0.50 1.00 1.50 гоа Х60 злю 3.50

П-Ма=100

ТИо

2.00 2.50 3.00 3.«

III - Ма=300

Рис. 5. Амплитудные кривые для разных режимов движения жидкости: I, II - двухвихре-вые/ III - одновихревой. Пунктиром для сравнения показана зависимость максимального значения функции тока по абсолютной величине от числа Марангони при режиме II (Рг = 0.05, Ье = 0.05, В1 = 1).

Для изотермической твердой границы при положительных значениях числа Марангони построена аналогичная бифуркационная диаграмма до величины надкритич-ности равной 5. При этой надкритичности в системе существуют только двухвихре-вые движения, отличающиеся направлением вращения и положением центров вихрей. При отрицательных значениях числа Марангони конвекция возникает мягко и имеет колебательный характер. В системе происходит периодическое изменение интенсивности и направления вращения вихрей, а также их расположения. Возникающий режим подобен колебаниям при отрицательных значениях числа Марангони в ячейке со свободными боковыми границами.

В заключении приводятся основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

- Анализ линейной термокапиллярной неустойчивости механического равновесия смеси с концентрационными источниками тепла в плоском слое показал, что при изотермической твердой границе имеет место неустойчивость относительно монотонных и колебательных возмущений при положительных и отрицательных значениях числа Марангони. Для адиабатической твердой границы обнаружена только монотонная неустойчивость, которая возникает при положительных значениях числа Марангони.

- Обнаружен новый механизм поддержки малых возмущений, обусловленный выносом на свободную поверхность жидкости с повышенной концентрацией тепловыделяющей компоненты смеси и изменением в связи с этим температуры поверхности.

- Исследование надритических режимов движения методом сеток для числа Льюиса, равного 1 и 0.1, показало, что вблизи положительного критического значения числа Марангони мягко возникает стационарная конвекция. При увеличении значения числа Марангони обнаружено существование нескольких разных режимов колебательной конвекции, которые возникают в результате неустойчивости режимов, существующих при меньшем значении числа Марангони. При каждой бифуркации колебательного режима движение усложняется, однако при некотором значении числа Марангони в ячейке слоя возникает бегущая волна с достаточно регулярным движением.

- Для отрицательных значений числа Марангони в ячейке слоя 5:1 получена колебательная конвекция, которая возникает мягко. Интерполяция на нулевое значение квадрата амплитуды функции тока дает значение критического числа Марангони и частоты, которые хорошо согласуются с линейной теорией.

- В принятых двух моделях ячейки плоского слоя результаты для стационарной конвекции одинаковы. При периодических условиях на вертикальных границах возможность к деформации границы ячейки приводит к появлению колебательных режимов, которые не наблюдались в другой модели.

- Анализ надкритических режимов движения жидкости в канале с твердыми боковыми стенками при изотермической и теплоизолированной нижней границе показал, что твердые стенки приводят к возникновению асимметрии движения. Конвективное движение с восходящим потоком у границ оказывается меньшей интенсивности, чем движение с восходящим потоком на оси канала. Однако при больших значениях числа Марангони устойчивым оказывается режим с меньшей интенсивностью.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Yakushin V.I., Bratchikova E.S. Thermocapillary instability and finite amplitude convection in a plane liquid layer with a concentrated heat sources // Proc. Int. Conf. "Advanced Problems in Thermal Convection", Pern, 24-27 November, 2003. Perm- Perm State University, 2004. P. 237-242.

2. Братчикова E. С. Устойчивость термокапиллярной конвекции бинарной жидкости с концентрационными источниками тепла в горизонтальном слое// XIV Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Екатеринбург- УпО РАН 2005. С. 42.

3. Братчикова Е. С. Термокапиллярная устойчивость и конечно-амплитудные режимы конвективного движения бинарной смеси с концентрационными источниками тепла в горизонтальном плоском слое//Двенадцатая Всероссийская конференция студентов физиков и молодых ученых (ВНКСФ-12, Новосибирск): Материалы конференции, тезисы докладов/ Новосиб. гос. ун-т Новосибирск, 2006. С. 662.

4. Братчикова Е. С. О конвективных колебаниях в слое бинарной смеси с концентрационными источниками тепла// Математическое моделирование в естественных науках. Тезисы докладов 15-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых. Издательство ПГТУ. 2006. С. 18.

5. Братчикова Е. С. О термокапиллярной конвекции в слое бинарной смеси с концентрационными источниками тепла/Л/Н Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Тезисы докладов. Красноярск. 2006. С. 39.

Братчикова Е. G. Конечно-амплитудные конвективные движения в слое с концентрационными источниками тепла// XV Зимняя школа по механике сплошных сред . Сборник статей. Часть 1. Екатеринбург: УрО РАН. 2007. С. 142- 145. Birikh R., Bratchikova Е. Thermocapillary convection in the layer of binary mixture with concentrated heat sources. XXXV Summer School-Conference "Advanced Problem in mechanics" June 20 - June 28, 2007, St. Petersburg (Repino), Russia, Book of abstracts. P. 33-34.

Бирих P. В., Братчикова E. С. Термокапиллярная конвекция в слое жидкости с концентрационными источниками тепла при фиксированном тепловом потоке через твердую границу//Математическое моделирование в естественных науках. Тезисы докладов 16-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых Издательство ПГТУ. 2007. С. 13-14.

Братчикова Е. С. Структура нелинейных колебаний в слое с концентрационными источниками тепла//Конвективные течения... хб.науч.тр. Вып 3. Перм. гос.пед.ун-т.-Пермь. 2007. С. 7-19.

).Мазунина Е. С. Конвекция Марангони в слое жидкости с концентрационными источниками тепла//УШ Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Тезисы докладов. Новосибирск, 27-29 ноября. 2007 . С. 57-58.

I. Мазунина Е.С. Нелинейная Марангони неустойчивость слоя жидкости с концентрационными источниками тепла //Международная конференция «НЕЗАТЕГИУС-2008», Москва. Тезисы докладов. 2008. С. 56.

¡.Бирих Р.В., Мазунина Е.С. Два механизма термокапиллярной неустойчивости в слое с концентрационными источниками тепла. Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения//Тезисы докладов 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых. 28 июня - 3 июля. 2008, Бийск. С. 23.

i.Мазунина Е.С. Конечно-амплитудная термокапиллярная конвекция в слое с концентрационными источниками тепла//Неравновесные процессы в сплошных средах. Материалы всероссийской конференции молодых ученых НПСС 2008. Пермь. 2008. С. 223-226.

к Мазунина Е.С. Нелинейные колебательные режимы Марангони-конвекции в слое с концентрационными источниками тепла//Механика сплошных сред как основа современных технологий (XVI Зимняя школа по механике сплошных сред), Пермь, 24-27 февраля 2009 г.). Тезисы докладов. Пермь-Екатеринбург. 2009. С. 248.

i. Бирих Р.В., Мазунина Е.С. Термокапиллярная конвекция в плоском слое жидкости с концентрационными источниками тепла//Изв. РАН Механика жидкости и газа. 2009. № 1. С. 3-12. (Английский перевод: Birikh, R.V., Mazunina, E.S. Thermocapillary convection in a plane liquid layer with concentration heat sources // Fluid Dynamics, Vol: 44, Issue: 1, Date: February 2009, Pages: 1-9.)

Подписано в печать . .2011. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 110 экз. Заказ № Отпечатано на ризографе ПГПУ. 614990, г. Пермь, ул. Сибирская, д. 24.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Линейная термокапиллярная неустойчивость плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла при изотермической твердой границе.

1.1. Состояние механического равновесия.

1.2. Уравнения малых возмущений.

1.3. Результаты анализа линейной устойчивости для системы с Ье = 1.

1.4. Результаты анализа линейной устойчивости для системы с Ье ф 1.

1.5. Два механизма термокапиллярной неустойчивости в слое с концентрационными источниками тепла.

Глава II. Численное исследование надкритических движений в слое при изотермической нижней границе.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Метод решения.

2.3 Надкритические режимы конвекции при равенстве диффузионного и температурного времени релаксации.

2.3.1 Термокапиллярная конвекция в прямоугольной ячейке с вертикальными свободными границами.

2.3.2 Термокапиллярная конвекция в прямоугольной ячейке с периодическими условиями на вертикальных границах.

2.3.3 Термокапиллярная конвекция в ячейке (3:1) с периодическими условиями на вертикальных границах.

2.4 Исследование надкритических режимов движения жидкости в слое при Ье = 0.1.

2.4.1 Термокапиллярная конвекция в прямоугольной ячейке при Ма > 0 с вертикальными свободными границами.

2.4.2 Термокапиллярная конвекция в прямоугольной ячейке при Ма > с периодическими условиями на вертикальных границах.

2.4.2 Термокапиллярная конвекция в прямоугольной ячейке (5:1) при Ма < 0.

Глава III. Термокапиллярная конвекция в слое жидкости при фиксированном тепловом потоке через твердую границу.

3.1. Состояние механического равновесия и граница термокапиллярной неустойчивости.

3.2. Надкритические движения.

Глава IV. Термокапиллярная конвекция в прямоугольном канале.

4.1. Состояние механического равновесия и линейная устойчивость.

4.2. Надкритические режимы конвекции.

4.2.1. Термокапиллярная конвекция в канале с твердыми стенками при теплоизолированной нижней границе.

4.2.2. Термокапиллярная конвекция в канале с твердыми стенками при изотермической нижней границе.

Исследование устойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости представляет большой интерес не только с теоретической точки зрения, но и благодаря многочисленным приложениям к различным задачам техники и технологии, а также в связи с математическим моделированием большого количества природных процессов. Этой проблеме посвящено достаточно большое количество работ. Основные результаты представлены в монографиях Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого [1], Полежаева В.И., Буне A.B., Верозуба H.A. [2], Пухначева В. В. [3], Андреева В.К. и Рябицкого Е.А. [4], Birikh R.V., Briskman V.A., Velarde M.G., J.C. Legro [5] и обзорах [6, 7].

На физические процессы, протекающие в жидкости со свободной поверхностью, существенное влияние оказывает движение жидкости, связанное с термо- и концетрационно-капиллярными эффектами. Особенно сильный эффект наблюдается в условиях невесомости. Кроме того, проблема конвективной устойчивости привлекала заметное внимание исследователей всю вторую половину XX века и начало нового века в связи с теоретической важностью проблемы. Поэтому новые исследования, определяющие пороги возникновения движения и структуру движения, являются актуальными для теории конвективной неустойчивости.

В большинстве ранее проведенных исследований по термокапиллярной неустойчивости в плоских слоях предполагалось, что в состоянии механического равновесия температура меняется с поперечной координатой линейно или квадратично. Безусловно, представляет интерес анализ влияния на пороги конвекции более сложных законов изменения температуры и механизмов формирования этих распределений.

Особой для конвекции является ситуация, когда силой тяжести можно пренебречь. Если при этом исключить вибрационное воздействие, то основную роль в процессах тепломассопереноса начинает выполнять конвекция Марангони. Вызывающие движение капиллярные силы определяются зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры и (или) концентрации поверхностно активного вещества.

Для удобства обзора результатов предшествующих исследований, относящихся к теме диссертации, разобьем все работы на три группы. К первой отнесем литературу по Марангони неустойчивости механического равновесия жидкости с линейным профилем температуры и нелинейные расчеты конвекции Марангони в прямоугольных полостях. Обсуждение этой части работ позволит выяснить основные механизмы неустойчивости и их характерные черты, а также проанализировать влияние граничных условий на устойчивость равновесия и структуру возникающих течений. Во вторую группу выделим работы, в которых рассматриваются жидкости с внутренними источниками тепла различной природы. Наконец, в третью группу включена немногочисленная литература по конвекции в средах с концентрационными источниками тепла.

Начало теоретическим исследованиям термокапиллярной неустойчивости механического равновесия неизотермической жидкости было положено работой Пирсона [8]. В ней изучалось равновесие плоского слоя жидкости со свободной границей, подогреваемого со стороны твердой границы. На основе анализа линеаризованных уравнений конвекции' было показано, что слой теряет устойчивость относительно монотонно нарастающих возмущений, длина волны которых примерно равна тт. Неустойчивость наступает при числе Марангони около восьмидесяти.

Дальнейшее изучение термокапиллярной неустойчивости плоского слоя неравномерно нагретой жидкости с постоянным поперечным градиентом температуры проводилось в ряде работ [9,10]. В [9] рассматривается влияние двух механизмов: термокапиллярного и термогравитационного на порог устойчивости жидкости в плоском слое. В работе [10] исследована монотонная неустойчивость жидкого слоя с двумя свободными границами. Было показано, что наличие второй свободной границы приводит к повышению порога неустойчивости системы. Это результат того, что пирсоновский механизм неустойчивости, существующий на поверхности, с которой осуществляется прогрев, препятствует возникающему движению. В приведенных выше случаях границы слоя предполагались плоскими, и устойчивость нарушалась относительно монотонных возмущений. Учет деформации свободной поверхности приводит к возникновению в системе колебательных возмущений. Исследование влияния деформируемости границ на термокапиллярную неустойчивость плоского слоя жидкости, подогреваемого снизу, было проведено в работах [11-15].

В работе [16] была рассмотрена Марангони неустойчивость бинарной жидкой смеси с недеформируемой свободной границей в приближении малых значений чисел Льюиса и Био. Авторы статьи учитывали зависимость поверхностного натяжения от концентрации и температуры, а также эффект Соре.

Еще один механизм термокапиллярной неустойчивости описан в работе [17]. Он связан с возникновением в слое жидкости, подогреваемом снизу, под воздействием возмущений, участков различной толщины. В результате высокий участок рельефа поверхности оказывается более холодным по сравнению с участком, лежащим ниже, и под действием термокапиллярных сил жидкость течет в сторону от горячего пятна поверхности к более высокой его точке, поддерживая рельеф. Различные механизмы неустойчивости на примере жидкой пленки с поперечным градиентом температуры подробно обсуждаются в [18].

Численное исследование конвекции Марангони, основанное на решении полных нелинейных уравнений методами конечных разностей, проводилось в работах [19-21]. В них изучались конвективные режимы, возникающие в прямоугольных областях (задачи решались в плоской постановке). В работе [19] исследуется термокапиллярная конвекция в открытой прямоугольной кювете (рассмотрены случаи, когда отношение длины к толщине равно 4,

12.5, 25), боковые стенки которой поддерживаются при различных температурах. В работе [20] методом конечных элементов изучается взаимодействие гравитационной и термокапиллярной конвекции в прямоугольной области со свободной границей с учетом деформации границы. Проведен анализ движения жидкости для разных значений безразмерных параметров: чисел Бонда, Марангони, Био, угла смачивания.

В [21] также исследуется взаимодействие гравитационной конвекции и конвекции Марангони в прямоугольной полости с деформируемой свободной границей. Через свободную границу происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Методом конечных разностей исследована неустойчивость при различных отношениях сторон (1 — 20). В бесконечном плоском слое с недеформируемой границей, как и предсказывает линейная теория, возникают вихри, размеры которых порядка толщины слоя. Если граница деформируется, то в полости возникают вихри, длина которых порядка длины полости. Деформация свободной границы поддерживает существование длинноволновых возмущений.

Перейдем к обсуждению другой группы работ, связанных с наличием в среде внутренних источников тепла. Тепловыделение может быть обусловлено различными причинами. Большое количество работ посвящено исследованию конвекции в средах, внутри которых находятся тепловыделяющие тела или абстрактные источники без указания их природы [22-25]. Так в работе [22] описываются результаты экспериментального и теоретического исследования совместной термокапиллярной и свободной конвекции в прямоугольных камерах с локальным нагревом, создаваемым тонкими проводами, размещаемыми вдоль поверхности. Показано, что при определенной разности температур стационарное двумерное поле потока становится колебательным и трехмерным. Определяется критическая разность температуры начала осцилляций при различных начальных условиях. В [23] исследуется линейная устойчивость и надкритические режимы течения в плоском слое с локализованным источником тепла. Внутри слоя от места локализации источника в обе стороны в основном состоянии формируется линейный профиль температуры. В работе [24] рассмотрено движение вязкой несжимаемой жидкости в плоском бесконечном наклонном слое при наличии внутренних источников тепла, сосредоточенных на оси слоя. Оказалось, что наиболее опасными являются плоские и спиральные возмущения.

В обзоре [25] рассматриваются экспериментальные и основанные на аналитических оценках теоретические исследования конвективной теплоотдачи однокомпонентной тепловыделяющей жидкости.

Тепловыделение может быть обусловлено поглощением жидкостью излучения. Сюда можно отнести нагрев солнечным излучением, а также лазерным лучом. Так в работе [26] проведено численное исследование термокапиллярной устойчивости плоского слоя жидкости, поглощающей внешнее излучение по закону Бугера-Ламберта. В [27] экспериментально исследуется деформация границы раздела фаз под влиянием термокапиллярной конвекции, вызванной действием лазера.

Еще одним источником тепла внутри жидкости может служить протекающая в ней химическая реакция [28-30]. Реакция приводит к выделению или поглощению тепла и к образованию продукта с плотностью, вообще говоря, отличной от плотности реагента. В жидкости, таким образом, возникнут неоднородности плотности, которые могут привести к конвекции в среде. В работе [28] исследовалась конвективная устойчивость равновесия плоского горизонтального бесконечного слоя химически активной жидкости. Слой ограничен плоскостями, имеющими одинаковую температуру. Особенностью такой системы является то, что в ней возможны два равновесных распределения температуры. Проведенные расчеты показывают, что, хотя в системе возможны осциллирующие возмущения, в исследованной области изменения параметров колебательная неустойчивость I I отсутствует, и к кризису равновесия приводят монотонные возмущения. В [29] рассматривались конвективные движения конечной амплитуды в прямоугольной области с периодическими условиями на боковых границах. Была изучена структура течений, построены амплитудная кривая и диаграмма режимов движения. Дополнительный конвективный теплоперенос из зоны реакции приводит к смещению границы теплового взрыва в сторону больших значений параметра Франка-Каменецкого. В ячейке в зависимости от чисел Франк-Каменецкого и Релея может возникать двухвихревое движение при малых значениях параметров и четырех- вихревое движение при больших значениях параметров. В работе [30] исследовался случай; когда теплоперенос из зоны реакции через границы слоя пропорционален соответствующим коэффициентам теплоотдачи. Учет конечной теплопроводности границ слоя весьма существенно изменяет и, порог теплового взрыва, и конвективную устойчивость реагента.

Работа [31] посвящена экспериментальному изучению возникновения вибрационной конвекции в плоском горизонтальном слое с однородными ч внутренними источниками тепла, созданными при пропускании электрического тока через проводящую жидкость. В" экспериментах применяли раствор хлористого калия в этиловом спирте, по которому пропускали ток промышленной частоты. Слой совершал гармонические колебания в своей плоскости. Одна граница слоя изотермическая, а другая теплоизолированная. Возникновение конвективного движения в слое сопровождалось возрастанием теплопереноса к изотермической границе, т.е. понижением температуры жидкости в слое. Вибрации полости оказывали сильное дестабилизирующее воздействие.

В большинстве работ источники тепла вне зависимости от их природы считаются однородными. Это приводит к появлению в плоском слое параболического профиля температуры. Отдельно выделим две работы [32, 33], объекты исследования, в которых близки к тематике данной диссертации. В работе [32] исследуется термокапиллярная устойчивость равновесия плоского слоя жидкости с однородным внутренним тепловыделением, ограниченного свободной и твердой поверхностями, в условиях невесомости. Свободная граница предполагается недеформируемой с ньютоновским условием теплоотдачи, твердая граница - изотермическая. Линеаризованная система уравнений для плоских нормальных возмущений равновесных распределений скорости и температуры решалась численно методом Рунге-Кутта. Колебательные возмущения в работе не исследовались. В результате было выяснено, что с ростом числа Био пороговое значение числа Марангони быстро убывает до 1624, а затем для В>4 медленно увеличивается. Для ВК4 исследуемая система оказывается неустойчивой и для отрицательных чисел Марангони.

В [33, 5] рассматривается устойчивость механического равновесия к плоского слоя жидкости с внутренними источниками тепла, ограниченного теплоизолированной твердой и деформируемой свободной границами. Были рассмотрены нейтральные монотонные возмущения, получены нейтральные кривые для различных чисел Био и Вебера. При числе Био равном нулю и числе Вебера равном бесконечности (плоская свободная граница) зависимость числа Марангони от волнового числа имеет минимум при к = 0.

В работе [5] была рассмотрена термокапиллярная неустойчивость жидкой пленки с внутренними источниками тепла. В такой системе возможны монотонные и колебательные возмущения. Было обнаружено два механизма неустойчивости, связанные с неоднородным распределением температуры на свободных границах и возможностью свободной границы деформироваться, что приводит к возникновению в слое участков разной толщины.

Обсудим теперь основные результаты работ, исследующих поведение жидких смесей с концентрационными источниками тепла. Модель с концентрационными источниками тепла может применяться при рассмотрении ряда практически интересных физических задач, например, поглощение света в загрязненной пылью подвижной среде, конвекция в земных недрах [34], когда интенсивность тепловыделения пропорциональна концентрации некоторой активной компоненты смеси. Первые работы, рассматривающие такие среды, были посвящены исследованию конвективной устойчивости гравитационной конвекции в слоях с твердыми границами [35, 36]. При наличии линейного градиента концентрационных источников тепла в слое устанавливается стационарная температура, которая зависит от вертикальной координаты по кубическому закону. В случае отрицательного значения диффузионного числа Релея неоднородности концентрации оказывают стабилизирующее воздействие на конвективную устойчивость, при положительном - дестабилизирующее. Диффузия внутренних источников тепла изменяет не только критическое число Релея, но и форму возмущений. В [37] рассматривается термокапиллярная устойчивость равновесия плоского слоя жидкой бинарной смеси. Предполагается, что поверхностное натяжение зависит только от температуры, а градиент концентрации активной компоненты поперек слоя линеен. Построены нейтральные кривые, найдены зависимости критических чисел Марангони от числа Био и структуры возникающих конвективных движений. Интегрирование уравнений для амплитуд нормальных возмущений осуществлялось методом Рунге-Кутты. Обнаружено сильное понижение пороговых значений числа Марангони с уменьшением числа Льюиса. В приведенных работах не учитывалось уменьшение концентрации активной компоненты бинарной смеси в процессе тепловыделения.

Проведенный обзор литературы показывает, что термокапиллярная неустойчивость в плоском слое жидкости подробно исследована для линейного и параболического профиля температуры и практически не исследовались ситуации с более сложной формой температурного профиля в плоском слое, особенно когда распределение температуры определяется несколькими процессами переноса.

Предлагаемая работа проводилась с целью определения порога конвекции Марангони и ее структуры в плоском слое жидкости со сложным профилем температуры и двумя процессами переноса, формирующими этот профиль. Была рассмотрена термокапиллярная конвекция в бинарной смеси, одна из компонент которой выделяет тепло пропорционально ее концентрации — так называемая среда с концентрационными источниками тепла. Исследовано влияние возможного выгорания активной компоненты смеси.

Диссертация посвящена исследованию термокапиллярной неустойчивости и надкритических режимов движения плоского слоя вязкой несжимаемой жидкой бинарной смеси с концентрационными источниками тепла. Предполагается, что сила тяжести пренебрежимо мала, или слой имеет малую толщину, и только поверхностные силы могут вызвать движение жидкости в рассматриваемой системе. Также мы полагаем, что поверхностное натяжение зависит только от температуры. Активная компонента создает источники тепла, удельная мощность которых зависит от концентрации активной компоненты в данном месте. С течением времени в процессе тепловыделения концентрация активной компоненты уменьшается (активная компонента «выгорает»). Порог устойчивости системы исследуется в рамках линейной теории. Расчет нелинейных плоских движений проводился численно методом конечных разностей.

Порядок изложения материала диссертации и основные результаты.

Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ линейной термокапиллярной неустойчивости механического равновесия смеси с концентрационными источниками тепла в плоском слое показал, что при изотермической твердой границе имеет место неустойчивость относительно монотонных и колебательных возмущений при положительных и отрицательных значениях числа Марангони. Для адиабатической твердой границы обнаружена только монотонная неустойчивость, которая возникает при положительных значениях числа Марангони.

Обнаружен новый механизм поддержки малых возмущений, обусловленный выносом на свободную поверхность жидкости с повышенной концентрацией тепловыделяющей компоненты смеси и изменением в связи с этим температуры поверхности.

Исследование надритических режимов движения методом сеток для числа Льюиса, равного 1 и 0.1, показало, что вблизи положительного критического значения числа Марангони мягко возникает стационарная конвекция. При увеличении значения числа Марангони обнаружено существование нескольких разных режимов колебательной конвекции, которые возникают в результате неустойчивости режимов, существующих при меньшем значении числа Марангони. При каждой бифуркации колебательного режима движение усложняется, однако при некотором значении числа Марангони в ячейке слоя возникает бегущая волна с достаточно регулярным движением.

Для отрицательных значений числа Марангони в ячейке слоя 5:1 получена колебательная конвекция, которая возникает мягко. Интерполяция на нулевое значение квадрата амплитуды функции тока дает значение критического числа Марангони и частоту колебаний, которые хорошо согласуются с линейной теорией.

В принятых двух моделях ячейки плоского слоя результаты для стационарной конвекции одинаковы. При периодических условиях на вертикальных границах возможность к деформации границы ячейки приводит к появлению колебательных режимов, которые не наблюдались в другой модели.

Анализ надкритических режимов движения жидкости в канале с твердыми боковыми стенками при изотермической и теплоизолированной нижней границе показал, что твердые стенки приводят к возникновению асиметрии движения. Конвективное движение с восходящим потоком у твердых границ оказывается меньшей интенсивности, чем движение с восходящим потоком на оси канала. Однако при больших значениях числа Марангони устойчивым оказывается режим с меньшей интенсивностью.

В заключении, автор диссертации выражает благодарность научному руководителю Рудольфу Вольдемаровичу Бириху за постановку задачи, научное руководство и непрерывный контроль, а также за моральную поддержку и взаимопонимание, которые создавали творческие условия для работы.

Автор выражает особую благодарность Якушину Валентину Ивановичу, Мызникову Владимиру Митрофановичу, Еремину Евгению Александровичу за ценные рекомендации, замечания и обсуждения, которые существенно повлияли на содержание диссертации.

Автор выражает благодарность участникам Пермского гидродинамического семинара и его председателю профессору Любимову Дмитрию Викторовичу за полезные дискуссии и замечания по работе.

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972. 392 с.

2. Полежаев В.И., Буне А.В., Верозуб Н.А. и др. Математическое моделирование конвективного теплообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 272 с.

3. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В.В. Современные математические модели конвекции 2008. ФИЗМАТЛИТ, 368 с.

4. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000 г., 280 с.

5. Birikh R.V., Briskman V.A., Velarde M.G., Legros J.-C. Liquid interfacial systems: oscillations and instability. New York-Basel: Marcel Dekker Inc., 2003.367 p.

6. Pukhnachov V.V. Thermocapillary convection under low gravity. Fluid Dynamics Transactions. 1989, N14, pp. 154-204.

7. Зейтунян P.X. Проблемы термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангони//Успехи физ. наук. -1998.-Т.168.-№3.с.259-286.

8. Pearson J.R.A. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech.-1958.-V. 4. -P. 489-500.

9. Smith K.A. On convective instability induced by surface-tension gradients //J. Fluid Mech.-1966.-V. 24. №2. P. 401-414.

10. Levchenko Е.В., Chernyakov A.L. Instability of surface waves in noninformly heated liquid//Sov. Phys.-JTEP, 1981.-V. 54. P. 102-106.

11. Castillo J.L., Garsia-Ybarra P.L., Velarde M.G. Interfacial oscillations in Benard-Marangoni Layers // Phys. Chem. Hydrodyn. -1987.-V. 9. -P. 387392.

12. Рябицкий E. А. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличие вертикального градиента температуры // Изв. РАН. МЖГ. 1992.-№3.-С. 19-23.

13. Garsia-Ybarra P.L., Velarde M.G. Oscillatory Marangoni-Benard interfacial instability and capillary-garvity waves in single^ — and two-component liquid layers with or without Soret thermal diffusion // Phys. Fluids. -1987.-V. 3.-P. 1649-1660.

14. Shklyaev S., Nepomnyashchy A. A., Oron A. Marangoni convection in a binary liquid layer with Soret effect at small Lewis number: Linear stability analysis // Physics of Fluids 2009 - V.21. - 054101.

15. Goussis D.A., Kelly R.E. On the thermocapillary instabilities in a liquid layer heated from below // Intern. J. Heat Mass Transfer.-1990.-V. 33.-№ 10.-P.2237-2245.

16. Бирих P.B., Рудаков P.H. Термокапиллярная неустойчивость деформируемой пленки//Изв. РАН. МЖГ. 1996.-№5.-С. 30-36.

17. Ben Hadid Н., Roux В. Thermocapillary convection in long horizontal layers of low-Prandtl-number melts subject to a horizontal temperature gradient // J. Fluid Mech.-1990.-V. 221.- P. 77-103.

18. Kliff K.A., Tavener S.J. Marangoni-Benard Convection with a Deformabale Free Surface // J. of Сотр. Phys. 1998. V. 145, P. 193228.

19. Florian J.M., Czechowski L. Marangoni Instability in a Finite ContainerTransition Between Short and Long Wavelengths Modes J. Heat Trasfer. 2001. V. 123. №97. P. 96-104.

20. Kyu-Jung L., Yasuhiro K., Shinichi Y. Combined thermocapillary and naturally convection in rectangular containers with localized heating. Int. J. Heat and Mass Trasfer. 2002. V. 45. №23. P. 4621-4630.

21. Гневанов И.В. Влияние размещения источников тепла на устойчивость равновесия в горизонтальном слое //Гидродинамика: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2007. Вып. 16. С. 56-63

22. Гневанов И.В., Тарунин E.JI. Устойчивость конвективного течения в наклонном слое с тепловыделением в центре слоя // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2007. №3. С. 31-38.

23. Болыпов JI.A., Кондратенко П.С., Стрижов В.Ф. Свободная конвекция тепловыделяющей жидкости // Успехи физических наук, 2001. Том 171, №Ю. С. 1051-1070.

24. Якушин В.И. Термокапиллярная устойчивость жидкости, поглащающей внешнее излучение. Конвективные течения.: сб. науч. тр. Вып. 3 / Перм. гос. пед. ун-т. Пермь, 2007. С. 20-28.

25. Безуглый Б.А., Флягин В.М. Термокапиллярная конвекция в слое жидкости с квазиточечным источником тепла в подложке. Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2007. № 6. С. 124-134.

26. Еремин Е.А., Колесников А.К. К теории конвективной устойчивости горизонтального слоя реагирующей среды // Гидродинамика. Вып. 10. Республиканский сборник. Пермь, 1977. С 76 84.

27. Еремин* Е.А. Численное исследование конечноамплитудных движений и режимов теплопереноса в горизонтальном слое реагирующей жидкости // Конвективные течения. Пермь, 1985. С. 310.

28. Колесников А.К. О конвективной неустойчивости реагирующей жидкости в горизонтальном слое с границами конечной теплопроводности. // Конвективные течения: сборник научных трудов. Пермь: ПГПИ. 1989. С. 3 8.

29. Брискман В.А., Якушин В.И. Термокапиллярная конвекция в слое с внутренними источниками тепла //Термо- и концентрационные эффекты в сложных системах / Екатеринбург: УрО РАН, 2003, С. 3443.

30. Андреев В.К., Родионов A.A., Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярной конвекции в жидком цилиндре, цилиндрическом и плоских слоях под действием внутренних источников тепла //ПМТФ. 1989.№2. С.101-108.

31. Булашевич Ю.П., Хачай Ю.В. Конвективная устойчивость земных недр с радиоактивными источниками тепла // Изв. АН СССР. Физ.Земли. 1975. №12. С. 13-19

32. Колесников А.К., Якушин В.И. О конвективной неустойчивости смеси с концентрационными источниками тепла // Инженерно-физический журнал. 1979. Том XXXVI. № 4. С. 708-714.

33. Еремин Е.А., Шихов В.М., Якушин В.И., О типах неустойчивости конвективных течений бинарной смеси с концентрационными источниками тепла. Изв. РАН Механика жидкости и газа, 1987. №2. С. 15-19.

34. Якушин В.И. Термокапиллярная неустойчивость плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла. Конвективные течения. :сб.науч.тр. Перм. гос.пед.ун-т.-Пермь, 2003. С. 64-74.

35. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирования процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 285 с.

36. Тарунин E.JL Двухполевой метод решения задач гидродинамики вязкой жидкости. Пермь, 1985. 88 с.

37. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.:Мир, 1980. 616 с.

38. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты в технике и физике. М: Энергия, 1964. 208 е.

39. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978 г. 592 с.

40. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркации. М.: Мир 1987 г. - 300 с.

41. Братчикова E. С. Устойчивость термокапиллярной конвекции бинарной жидкости с концентрационными источниками тепла в горизонтальном слое. Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 42

42. Братчикова Е. С. Структура нелинейных колебаний в слое с концентрационными источниками тепла. Конвективные течения. хб.науч.тр. Вып 3. Перм. гос.пед.ун-т.-Пермь, 2007. С. 7 — 19.

43. Мазунина Е.С. Нелинейная Марангони неустойчивость слоя жидкости с концентрационными источниками тепла // Международная конференция «НЕЗАТЕГИУС-2008», Москва. Тезисы докладов. С. 56.

44. Мазунина Е.С. Конечно-амплитудная термокапиллярная конвекция в слое с концентрационными источниками тепла. // Неравновесные процессы в сплошных средах. Материалы всероссийской конференции молодых ученых НПСС 2008. Пермь, 2008. С. 223-226.

45. Бирих Р.В., Мазунина Е.С. Термокапиллярная конвекция в плоском слое жидкости с концентрационными источниками тепла Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2009. № 1. С. 3-12. (Английский перевод:

46. Birikh, R. V., Mazunina, E. S. Thermocapillary convection in a plane liquid layer with concentration heat sources // Fluid Dynamics, Vol: 44, Issue: 1, Date: February 2009, Pages: 1-9.)