Тепловые пограничные слои в жидких средах с границами раздела тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

I ^е1теот„20 „ >,

таенный университет

а правах рукописи

БАТИЩЕВ Владимир Андреевич

ТЕПЛОВЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ В ЖИДКИХ СРЕДАХ С ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА

01.04.14 - теплофизика и молекулярная физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант -доктор физико-математических наук, профессор Юдович В.И.

Ростов - на - Дону 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.....................................................6

1. АСИМПТОТИКА СТАЦИОНАРНО! СВОБОДНО! ГРАНИЦЫ ПРИ ТЕШОКАПШЯРНОМ эффекте ДЛЯ больших чисел марангони..... .25

1.1. Постановка задачи. Асимптотические разложения...........26

1.2. Формулировка краевых задач..............................зо

1.2.1. Уравнения пограничного слоя......................зо

1.2.2. Задача о течении невязкой жидкости...............38

1.3. Точные решения .........................................41

1.4. Расчет формы мениска нагретой жидкости в плоском.......

случае.........*.......................................46

1.5. Осе симметричная задача о форме мениска при..............

неравномерном нагреве жидкости..£..........................50

1.6. Об асимптотике течения вблизи точки контакта ...........53

1.7. Расчет формы пузыря в нагретой жидкости.................56

2. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ МАРАШШ................................62

2.1. Слои малой толщины в плоском случае....................63

2.1.1. Постановка задачи.................................63

2.1.2. Автомодельные решения............................66

2.1.3. Влияние числа Прандтля...........................74

2.1.4. Эффект сил, плавучести..........................75

2.2. Осе симметричные пограничные слои........................78

2.2.1. Слои ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ........ ;.................78

2.2.2. Слои переменной толщины...\......................82

2.3. Слои бесконечной толщины.................................86

2.4. Разрыв тонкой пленки при нагреве........................90

2.5. Нестационарные слои Марангони...........................95

2.5.1. Тонкие слои, ограниченные твердой и .............

свободной границами..............................95

2.5.2. Автомодельные решения в слое бесконечной ........

ТОЛЩИНЫ. ............. ..............................103

3. нестационарный термокапшшрныш эффект при больших.......

числах марангони...........................................109

3.1. Постановка задачи. Асимптотические разложения...........

Пограничный слой........................................109

3.2. Уравнения малых колебаний...............................114

3.3. Малые колебания при локальном нагреве................... 120

3.4. Малые колебания в сосуде................................126

4. ВЕТВЛЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШШЗШ В СЛОЯХ МАРАНГОНИ.........130

4.1. Ветвление решений в стащонарном случае.................130

4.1.1, Основное решение... v............................. 130

4. i .2. Уравнение разветвление.........................133

4.1.3. Асимптотика решения вблизи точки ветвления...____138

4.1.4. Численные результаты. Слой переменной толщины____140

4.2. Ветвление нестационарных автомодельшах решений..........142

4.2.1.Уравнение разветвления и асимптотические формулы .142

4.2.2. Особый- случай.' . . V. .-V.... .. ;___________.......... 152

4.3 Ветвление автомодельных решений в слое неоднородной......

ЖИДКОСТИ. . _ ________ .. .V, . ............ . ..............:........153

5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СТАЦИОНАРНЫХ...........

КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА СВОБОДНУЮ ГРАНИЦУ,...____....... 161

5.1. Постановка задачи.- Асимптотические разложения_ __________ .162

5.2. Пограничный слой, вызванный нагрузкой типа "смерч"......165

5.2.1. Автомодельные- решения... .ш.. _____ .>........... .165

5.2.2. Влияние внешнего потока_____________________________170

5.2.3. Влияние внешнего потока при радиальных.........

касательных напряжениях......— ...:.............. 172

5.3. Расчет течений в двухслойной жидкости...................174

5.3.1. Автомодельные решешя для тонкой пленки..........174

5.3.2. Влияние внешнего потока..........................178

5.3.3. Влияние сил плавучести........................... 180

5.4. Эффект нелинейности при воздействии касательных.........

напряжений на свободную границу.........................182

6. ЭФФЕКТЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ, ВЫЗВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫМИ КАСАТЕЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ ПРИ ВОЛНОВОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ..........184

6.1. Формулировка краевых задач..............................185

6.1.1. Асимптотические разложения.......................185

6.1.2. Пограничный слой вблизи свободной границы........187

6.1.3. Невязкая задача..................................190

6.2. Разрушение солитонов....................................192

6.2.1. Уравнение солитона. Численный расчет.............192

6.2.2. Влияние капиллярных сил..........................197

6.2.3. Солитоны в неоднородной ЖИДКОСТИ.................200

6.3. Влияние касательных напряжений на длинные линейные......

волны. Эффект возврата..................................206

6.4. Воздействие касательных напряжений на капиллярно-.......

гравитационные волны. ....................................210

7. СЛАБЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ ВБЛИЗИ СВОБОДНО! ГРАНИЦЫ..........214

7.1. Асимптотические разложения..............................215

7.2. Точное решение уравнений пограничного слоя..............220

7.3. Пограничный слой на пузыре..............................222

7.3.1. Сферический пузырь........ ........................222

7.3.2. Деформированный пузырь...........................224

7.4. Слабый пограничный "слой в неоднородной ЖИДКОСТИ._____.... 226

7.4.1. Эффект сил плавучести............................226

7.4.2. Учет коэффициента диффузии........................231

7.5. Пример....................................................232

7 .6 Диффузия вихря Хилла...................................235

7.7. Затухание собственных колебаний двухкомпонентной жид-

кости при малых диссипативных коэффициентах.............239

8. влияние пространственной модуляции температуры............

НА КОНВЕКЦИЮ В СЛОЕ БИНАРНО! ЖИДКОСТИ.....................249

8.1. Постановка задачи. Основное решение ....................250

8.2. Стационарные режимы..... . ................................253

8.2.1. Решения с периодом 2п/ы -----.....................253

8.2.2. Решения вблизи критичечкжх чисел Рэлея...........254

8.3. Устойчивость стационарных решений.......................25?

8.3.1. Устойчивость периодический режимов ..............257

8.3.2. Устойчивость решений вблизи критических..........

чисел Рэлея........Л'........*.... . ................261

5- ЗАКЛЮЧЕНИЕ.______, . . . г..............................264

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ........................270

ПРИЛОЖЕНИЕ...______.., ..л .. .................................. .287

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время все большее внимание уделяется изучению термокатишярнш течений жидкости, возникающих в результате неравномерного нагрева поверхностей раздела. Это связано с активным изучением космического пространства, с развитием новых химических технологий. Прежде всего это получение кристаллов методом зонной плавки, лазерной обработки материалов с плавлением для легирования поверхностного слоя металла, явлений в сварочных контактах, определения форм газовых пузырей в процессах очистки расплавов от примесей. Лабораторные эксперименты в космосе довольно дороги, а на Зеше часто технически сложны, поэтому возникает проблема математического моделирования поведения жидкости в условиях воздействия тепловых нагрузок и создание эффективных асимптотических и численных методов расчета для решения этой проблемы.

В реальных жидких средах при проведении технологических экспериментов, например, в расплавах металлов, диффузионные коэффициенты обычно малы. Это приводит к формированию тепловых пограничных слоев вблизи поверхностей раздела. Нелинейные тонкие слои вблизи поверхностей раздела до сих пор принадлежат к одной из недостаточно изученных областей термодинамики. Такие задачи, как отрывные течения и возникновение турбулентности вблизи границ раздела, течения с замкнутыми линиями тока в случае малых диссипативных коэффициентов не нашли еще своего окончательного решения, хотя соответствующие задачи с пограничными слоями вблизи твердых тел достаточно хорошо изучены. При этом могут возникать и степенные слои, именно из-за зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры. В геофизике большое значение имеет задача изучения движения

жидкости при воздействии на нее ветровых нагрузок. Учитывая малость диссипативных коэффициентов, такие течения описывают как невязкие, однако передача касательных напряжений происходит через тонкие вязкие слои, поэтому возникает проблема исследования нелинейных свойств пограничных слоев вблизи границ раздела, развития асимптотического и численного моделирования.

Диссертация посвящена решению крупной научной проблемы теплофизики по исследованию тепловых пограничных слоев вблизи поверхностей раздела жидкой и газовой фаз. В этой связи возникает необходимость развития асимптотических методов и комплексов программ расчета многопараметрических моделей теплоперено-са при различной геометрии жидкой фазы.

Целью работы является исследование влияния термокапиллярных эффектов на теплоперенос и конвективное движение жидкой фазы при воздействий на границу раздела тепловых нагрузок с учетом малости диффузионных коэффициентов, а также исследование поведения жидкости малой вязкости на основе изучения нелинейных свойств пограничных слоев вблизи свободных границ и поверхностей раздела путем использования асимптотических и численных методов исследования. В качестве математической модели используются уравнения вязкой теплопроводной жидкости с граничными условиями, учитывающими термодинамику поверхностей раздела.

В настоящее время пограничные слои вблизи свободных границ все более привлекают внимание современных исследователей. Изучение термокапиллярных эффектов, возникающих при неравномерном нагреве свободной поверхности с большими градиентами температур приводит к необходимости исследовать новые свойства пограничных слоев Марангони. Наиболее интенсивно слои Маранго-ни стали изучаться не более 20 лет назад, хотя отдельные рабо-

ТЫ проводились И ранее.Отметим работы Napolitano L.G., Golia С., Пухначева В.В. »Кузнецова В.В. и других исследователей /1 - 12/. В работе В.Я. Шкадова /в/ впервые изучено автомодельное решение в пограничном слое вблизи плоской свободной границы. Часть исследований отражена в обзорной статье, выполненной под руководством В.В. Пухначева /13/. В указанных работах приведены автомодельные решения, асимптотические фор -мулы, результаты численных расчетов для пограничных слоев Марангони. Доказана теорема об однозначной разрешимости задачи о продолжении пограничного слоя вблизи свободной границы /14/. В.В.Пухначевым /15/ проведен групповой анализ уравнений нестационарного пограничного слоя. Отметим, что интерес к задачам с вязкими слоями Марангони связан, в частности, с исследованием термокапиллярной конвекции в невесомости, в поле тяжести в случае малой диссипации, а также с расчетами течений в тонких слоях, ограниченных твердой и свободной поверхностями при заданном неравномерном нагреве со стороны свободной поверхности. Большой вклад в решение проблем течений жидкости со свободными границами при малых диффузионных коэффициентах внесли исследования таких ученых как Юдович В.И. »Полежаев В.И., Пухначев В.В., Срубщик Л.С., Гупало Ю.П. »Рязанцев Ю.С., Сергеев Ю.А., Шкадов В.Я., Петров А.Г., Воинов О.В., Саноч-кин Ю.В. Важные исследования по изучению свойств пограничных слоев вблизи поверхностей разрыва выполнили Олейник О.А., Овсянников Л.В., Марков А.А., Чудов Л.А., Стулов В.П., С.Н., Кажихов А.В., Солонников В.А., Гольдштик М.А., Налимов В.И., Черноусько Ф.Л.,Степанов Г.Ю., Хуснутдинова Н.В.,Плотников П.И., Монахов В.И.,Антощев С.Н.Вопросы устойчивости термокапиллярных течений и расчеты вторичных режимов исследованы в работах Андреева В.К., Рябицкого Е.А., Бириха Р.В., Рудако-

ва Р.Н. ,Гершуни Г.З. ,Жуховицкого Е.м. и многих других авторов.

Проблема расчета свободной границы капиллярной жидкости в равновесном состоянии достаточно хорошо изучена. Этой проблемой занимались такие ученые как С.Пуассон, Г.Кирхгофф, Дж.Максвелл, А.Пуанкаре,Ф.Нейман,дж.Рэлей и многие другие. Многие результаты даны в обзорах г.Минковского /16/, г.Баккера /17/, а также в современной монографии, выполненной коллективом авторов /18/: в.г.Бабским, Н.д.Копачевским, а.д.Мышкисом, Л.А.Слобожаниным, А.Д.Тюпцовым. В случае больших чисел Бонда для покоящейся жидкости асимптотическое решение дано Н.Н.Моисеевым и Ф.ЛЛерноусько /19/, а в.И.Юдович и Л.С.Срубщик рассмотрели /20/ задачу о равновесных формах вращающейся жидкости в цилиндре. Уравнение равновесия, основанное на законе Лапласа, сводится к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению, которое представляло большую вычислительную трудность до появления ЭВМ. В случае неравномерно нагретой свободной границы жидкость уже не находится в равновесии и для расчета формы свободной поверхности необходимо рассчитывать течение жидкости в заранее не известной области. Оказалось, что при больших числах Марангони в ряде задач расчет свободной поверхности может проводиться отдельно от расчета течения жидкости и приводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения. В общем трехмерном случае для расчета формы свободной границы необходимо все же рассчитывать течение и в пограничном слое Марангони.

Эффекты Марангони, проявляющиеся при воздействии ненулевого градиента температуры на свободную поверхность капиллярной жидкости представляют значительный интерес, однако все еще недостаточно хорошо изучены. В реальных жидкостях с малыми диссипативными коэффициентами эти эффекты ярко проявляются в

тонких жидких слоях и в условиях близких к невесомости. Здесь возникает конкуренция таких сил, как гравитационные и термокапиллярные. В диссертации исследованы автомодельные решения, описывающие термокапиллярные течения в приближении пограничного слоя как в тонких слоях, так и в слоях бесконечной толщины. Изучено влияние сил плавучести в слоях неоднородной жидкости и показано, что благодаря эффектам плавучести вблизи свободной границы течение может усиливаться, ослабляться или могут возникать противотоки. При неблагоприятном градиенте температуры уравнения движения в тонком слое могут допускать несколько решений с возникновением точек ветвления. В литературе хорошо известен такой термокапиллярный эффект, как разрыв тонкого жидкого слоя с ростом поверхностного градиента температуры и образование колец Марангони. Такие эффекты до сих пор еще плохо изучены и представляют собой интересный предмет исследований.

Проблема устойчивости равновесной свободной границы без учета нагрева достаточно хорошо изучена (см. например работы /8,18,21 - 23/). Если же свободная поверхность нагрета неравномерно, то возникает термокапиллярное течение в области, занятой жидкостью. Для этого случая проблема устойчивости свободной границы все еще не полностью исследована. Отсутствуют работы, посвященные обобщению методов исследования устойчивости равновесной свободной поверхности на случай неравномерно нагретой капиллярной жидкости.Здесь можно предложить метод малых колебаний, который для жидкости с малыми диссипативнымй коэффициентами приводит, в главном приближении, к изучению колебаний невязкой жидкости, причем свободная поверхность колеблется не вблизи равновесной границы, а вблизи поверхности, расчет которой проводится отдельно от

расчета колебаний /24/.

Одной из малоизученных областей гидродинамики является проблема расчета нелинейных пространственных пограничных слоев вызванных ветровыми нагрузками вблизи заранее неизвестной свободной поверхности. В.Я. Шкадов впервые провел расчет автомодельных решений в нелинейном пограничном слое вблизи свободной границы /8/. В монографии Г.Шлихтинга /31/ приведены результаты расчетов автомодельных решений для таких слоев вблизи твердых стенок, а в книге Ю.Д.Шевелева /32/ приводится литература и решены задачи о неавтомодельном трехмерном пограничном слое. Аналогичные исследования для свободных границ еще предстоит выполнить. Интересны приложения нелинейных пространственных пограничных слоев к задачам о влиянии ветровых нагрузок на поверхностные и внутренние волны и расчет параметров соответствующих разрушению этих волн. Аналогичные проблемы возникают при изучений влияния температурных градиентов на распространение капиллярных волн.

Одним из методов получения уравнений движения жидкости в пограничных слоях является метод погранслойных поправок, позволяющий вывести уравнения пограничного слоя в первом и высших приближениях. В гидродинамике этот метод получил развитие в рабртах Маркова A.A. /161-164/, Чудова Л.А./165/,Стулова В.П./166/.

Условно пограничные слои вблизи свободных границ можно разделить на "слабые" и "сильные". Уравнения движения в слабых пограничных слоях линеаризуются, а их решение для однородной жидкости записывается в квадратурах. Эти случаи возникают при исследовании нелинейных задач со свободными границами, на которых отсутствуют поверхностные касательные напряжения, например: обтекание пузырей, волновые движения конечной амплиту-

да. Слабые пограничные слои возникают и на поверхности разрыва вихрей. Решение таких задач на конечном отрезке времени находится явно. Здесь возникает проблема построения асимптотических решений на бесконечных отрезках времени. Эта же проблема возникает и при изучении линейных краевых задач о волновых движениях и колебаниях в жидкости малой вязкости. Учет неоднородностей усложняет исследования. Сильные пограничные слои возникают при воздействии конечных �