Асиптотический анализ колебаний вращающихся оболочек вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

ЛАНДМАН Ирина Марковна

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ ВРАЩАЮЩИХСЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

01 02 04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

003164550

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент СМИРНОВ Андрей Леонидович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор НАРВУТ Михаил Александрович

кандидат физико-математических наук ЛОПАТУХИН Алексей Леонидович

Ведущая организация:

Научно-исследовательский Институт механики

Московского государственного университета им М В Ломоносова

Защита состоится фе-б^Ш^с^ 2008 г в ч мин на

заседании диссертационного совета Д 212 232 30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу

198504, Старый Петергоф, Университетский пр д 28 , ауд 405

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская наб , д 7/9

Автореферат разослан « У-Яу?? Л 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор С А Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время тонкостенные упругие обо-лочечные конструкции находят широкое применение в разных отраслях промышленности авиастроении и ракетной технике, судостроении, турби-ностроении, а также при конструировании железобетонных перекрытий Популярность такого рода конструкций обеспечивается тем, что они сочетают в себе легкость с высокой прочностью

Некоторые детали турбин и двигателей, компрессоров и насосов представляют собой вращающиеся пустотелые или заполненные тонкостенные конструкции — «стаканы» Важнейшими задачами являются исследование критических скоростей вращения таких конструкций, а также условий возникновения резонанса при воздействии внешних периодических сил В обеих задачах необходимо знание спектра собственных частот и форм собственных колебаний конструкций Эти задачи стимулировали развитие исследований собственных частот колебаний вращающихся тонкостенных оболочек различной геометрии при различных условиях Колебаниям невращающихея оболочек вращения посвящено немало статей и монографий Однако динамика вращающихся оболочек изучена недостаточно Актуальным является также исследование, в котором совместно учитываются инерционные нагрузки и начальные напряжения

Существует лишь ограниченное число простых задач, имеющих аналитическое решение С другой стороны, численные методы не всегда дают хорошие результаты (например, в случае малости относительной толщины оболочки), а вычисления требуют большого количества времени Ввиду отсутствия программного обеспечения, позволяющего проводить асимптотический анализ автоматически, задача проведения полного анализа возлагается целиком на исследователя, что имеет ряд недостатков (например, большие затраты времени на проведение анализа, недостаточная надежность и необходимость учета влияния человеческого фактора) Все вышеперечисленные обстоятельства делают задачу разработки алгоритмического и программного обеспечения для автоматизации решения задач, использующего асимптотические методы, актуальной

Целью диссертации является получение асимптотических формул для главных членов собственных частот колебаний вращающихся оболо-чечных конструкций с учетом влияния на них вращения оболочки и вызванных им начальных напряжений Для получения указанных формул необходимо разбить пространство параметров на области принципиально

разных асимптотических представлений решений, т е построить асимптотические портреты для систем дифференциальных уравнений, описывающих колебания оболочек Построение асимптотических разложений для собственных частот включает в себя нахождение с требуемой точностью корней характеристического уравнения в произвольной области параметров, а также упрощение частотного определителя Для решения указанных задач в работе последовательно применяются методы вычислительной геометрии

Методы исследования. В диссертации используется метод асимптотического интегрирования уравнений колебаний тонких оболочек, разработанный А Л Гольденвейзером, В Б Лидским и П Е Товстиком Особенностью решения рассматриваемых в диссертации задач является создание и использование алгоритмов вычислительной геометрии для разработки метода нахождения корней характеристических и частотных уравнений Эти алгоритмы в одномерном случае представляют собой метод диаграммы Ньютона, а в пространстве произвольной размерности - метод многогранника Ньютона Приближенные решения строятся в виде асимптотических рядов по малым параметрам задач Используются методы численного интегрирования начально-краевых задач, в частности, метод ортогональной прогонки, предложенный С К Годуновым

Научная новизна. Новыми являются полученные асимптотические формулы для определения главных членов собственных частот колебаний вращающихся оболочек с учетом влияния на них вращения оболочки и вызванных им начальных напряжений Основная научная новизна работы состоит в применении методов вычислительной геометрии для изучения характеристического и частотного уравнений Новым также является использование методов компьютерной алгебры для построения формального асимптотического решения и для решения краевой задачи Разработанный алгоритм позволяет построить асимптотические портреты для уравнений осесимметричных и неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек и осесимметричных колебаний вращающихся конических оболочек В частности, этот алгоритм позволил впервые найти асимптотические формулы для собственных частот в первом приближении, близких к точке сгущения для колебаний вращающейся цилиндрической оболочки, собственные частоты в случае, когда корни характеристического уравнения — кратные, формулы для частот конической оболочки и исследовать влияние вращения и начальных напряжений на частоты колебаний

Достоверность полученных результатов. Все задачи рассматриваются в рамках классических моделей механики на основе строгих методов математической физики, теории дифференциальных уравнений, асимптотического анализа и методов вычислительной геометрии Достоверность подтверждается соответствием результатов, полученных по асимптотическим формулам, с результатами численного решения задач, а также сравнением с результатами других авторов

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть применены при проектировании и моделировании широкого класса задач механических систем, частью конструкций которых являются вращающиеся цилиндрические и конические оболочки, в частности, при расчетах частот колебаний различного вида вращающихся оболочек Результаты исследования могут представлять интерес для специалистов, занимающихся проектированием тонкостенных конструкций в различных областях техники авиа и ракетостроении, судостроении, строительстве, машиностроении и приборостроении

Формулы, полученные асимптотическими методами, могут быть полезны также с теоретической точки зрения, т к впервые методы вычислительной геометрии были применены для анализа уравнений колебаний некоторых вращающихся оболочек вращения, что позволило получить в первом приближении аналитические выражения для собственных частот

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на всероссийских и международных конгрессах и симпозиумах Всероссийском съезде по промышленной и прикладной математике (ВСППМ'2005, Санкт-Петербург, Россия, 2005), Международной научной конференции по механике «Третьи Поляховские чтения» (Санкт-Петербург, 2003), 17-ом Канадском Конгрессе по Прикладной Механике (CANCAM, Гамильтон, Канада, 1999), Юго-Восточной конференции по прикладной механике (SECTAM XX, Алабама, США, 2000), где работа [10] была отмечена третьей премией конкурса студенческих работ, на Форуме Канадского Инженерно-Механического общества (CSME-Forum, Монреаль, Канада, 2000), 3-ей конференции Массачусетского Технологического Университета по вычислительной гидродинамике и механике деформируемого твердого тела (The 3rd MIT Conference on Solid and Fluid Mechanics, Кэмбридж, США, 2005), Международном симпозиуме по изучению тенденций в применении математических методов в механике (STAMM, Вена, Австрия, 2006)

Результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры

теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ, семинаре «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (ПГУПС, Санкт-Петербург, 2006) и семинаре «Упругость и пластичность» под руководством профессора Р А Васина (НИИ механики МГУ, Москва, 2007)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-10] Работа [10] опубликована в журнале, рекомендованном ВАК (Перечень Бюллетень ВАК, 2007, №1, с 3-39) В работах [1, 3, 9], опубликованных в соавторстве с А Л Смирновым и Е М Хасегану, диссертанту принадлежит реализация при помощи вычислительной системы «МаШета^лса 4 1» алгоритма построения формального асимптотического решения задач, разработанного совместно со А Л Смирновым, а также проведение асимптотического анализа свободных колебаний невращаю-щихся тонких цилиндрических оболочек Постановка задачи в этих работах принадлежит А Л Смирнову и Е М Хасегану В работах [4, 5] автором диссертации проведено исследование характеристических уравнений свободных колебаний невращающихся тонких цилиндрических оболочек, построены основные асимптотические портреты, найдены все укороченные уравнения и решены краевые задачи для основных граничных условий Также диссертанту принадлежит основная идея обобщения алгоритма на случай четырех и более параметров, получены основные асимптотические портреты для вращающейся оболочки Постановка задачи, а также численные расчеты при помощи вычислительной системы А^УЯ принадлежат А Л Смирнову

Структура и объем диссертации. Работа состоит из трех глав, введения и приложения Общий объем диссертации составляет 134 страницы, включая 34 рисунка, 15 таблиц и 9 страниц библиографии, содержащей 97 наименований

Основные результаты, выносимые на защиту.

• Предложен алгоритм, основанный на построении выпуклой оболочки точечного множества (многогранник Ньютона), позволяющий находить решения характеристических уравнений, содержащих большие и малые параметры

• Разработан алгоритм нахождения асимптотического решения уравнений колебаний вращающихся тонких оболочек, позволяющий, в частности, построить асимптотический портрет, то есть разбиение про-

странства параметров системы дифференциальных уравнений, в каждой из областей которого асимптотические решения имеют одинаковое представление Такие асимптотические портреты были построены для

— осесимметричных и неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек,

— осесимметричных колебаний вращающихся конических оболочек

• Получены приближенные асимптотические формулы для собственных частот колебаний вращающихся оболочек для разных областей параметров и для разных граничных условий, хорошо согласующиеся с результатами численных расчетов

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, указывается цель и методы исследования Приведен краткий обзор литературы по теме диссертации Отмечено, что значительный вклад в фундаментальные исследования в этой области был внесен В 3 Власовым, A JI Гольденвейзером, А И Лурье, X М Муштари, В В Новожиловым, Э И Гри-голюком и другими учеными, создавшими собственные научные школы Вращающиеся оболочки вращения впервые были рассмотрены G Н Bryan, а затем в трудах отечественных и зарубежных ученых Д М Климова, В Ф Журавлева, Ю С Воробьева, С И Детистова, В Г Вильке, Н Е Егармина, A JI Смирнова, П Е Товстика, R A DiTaranto, S С Huang, W Soedel, К Hayashi, М Lessen, A Srmivasan, G Lauterbach, J Padovan и других Методы асимптотического интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих колебания оболочек были развиты в работах A JI Гольденвейзера, В Б Лидского, П Е Товстика, А Г Асланяна, А Н Nayfeh, F W J Olver, В 3 Власова и других, а методы вычислительной геометрии - в работах М I Shamos, Р Р Preparata, R L Graham, J O'Rourke, С В Barber и других Во введении также сформулирована цель работы, кратко описана структура диссертации и содержание последующих глав, охарактеризована ее научная новизна, а также теоретическая и практическая ценность, перечислены основные результаты, выносимые на защиту

В первой главе приведен подробный вывод системы уравнений колебаний тонких замкнутых вращающихся оболочек вращения с прямыми края-

ми Общая система выведена с помощью принципа Гамильтона в безразмерных ортогональных криволинейных координатах При этом используются гипотезы, характерные для теорий типа Кирхгофа - Лява, и соотношения упругости Новожилова - Балабуха Раздел 1 4 посвящен определению плотности энергии деформации и нахождению начальных напряжений Полученная система, записанная в перемещениях, в матричном виде имеет вид

LU = 0,

где

L=L0 + /L„ - (1 - и2) (А2/ + 2АQLC + О2 (Д. + LTl + LT■)) ,

U = (и, v, w). где и, v, w — компоненты вектора перемещений

В вышеприведенной системе L0 — безмоментный оператор, связанный с растяжением - сжатием оболочки, Lfi — моментный оператор, связанный с изгибом - кручением оболочки, / — единичная матрица, Lc — оператор, связанный с ускорением Корисшиса, Le — оператор, связанный с центробежными силами, а операторы LTl и Ьт2 порождены осевым и окружным начальными напряжениями Здесь v — коэффициент Пуассона, ц2 — — основной параметр относительной толщины оболочки, где /г* — толщина оболочки, R — радиус оболочки Для произвольных оболочек вращения оператор

/О cos 0 0 \

Lc = I cos 9 0 — sin в 1 ,

V 0 -sm0 0 /

где в (s) — угол между вектором нормали к срединной поверхности и осью симметрии, s — длина дуги меридианы, а оператор Lq — Le + + Lt2, зависящий от граничных условий, может быть записан в виде

(—то2 —2m cos 9 0 \ —2т cos 9 —т2 2т sin 0 I + PLp , О 2т sin в -то2 /

где т — число волн по параллели Рассматриваются граничные условия трех видов шарнирное опирание на обоих краях, жесткая заделка и симметричное граничное условие, названное особым, при котором в условии шарнирного опирания условие Тх = 0 (где Т\ — начальное напряжение в осевом направлении) заменено на и = 0 Величина Р отлична от нуля только для граничных условий, в которых на обоих краях и = 0 и определена

для произвольной оболочки вращения, в частности, для цилиндрической оболочки Р = V

Решения V — (и,ь,ги) ищутся в форме «бегущих волн», а амплитудные функции [/(й),представлены в экспоненциальной форме, например и = Псе1"1 При этом характеристическое уравнение для определения корней р имеет вид

N N

рг (р, т, ц, О, в) = дв-ЛАт7'П*'о,(з) = О

г=1 г=1

Параметрами в задаче колебаний вращающихся тонких цилиндрических оболочек являются основной параметр относительной толщины оболочки ¡1, А — частота колебаний, т — число волн в окружном направлении, О — угловая скорость вращения и для конической оболочки — параметр конусности сое в

Подробный анализ сравнения уравнений, полученных автором диссертации и другими авторами, представлен в конце первой главы

Во второй главе рассматривается геометрический метод исследования характеристического уравнения, полученного в первой главе В случае задач с одним малым параметром — это метод диаграммы Ньютона, а в многомерном случае — метод многогранника Ньютона Этот метод дает возможность находить корни характеристического уравнения с помощью символьных вычислений Назовем изображающими точками точки Мг в пространстве {к, а, ¡3,7, тг) Каждой точке приписан ее «вес» аг, с которым данный член входит в характеристическое уравнение Главные члены этого уравнения определяются изображающими точками, лежащими на выпуклой оболочке точечного множества в пространстве (к, а, /3,7, тг) В случае задачи колебания вращающейся тонкой оболочки вращения главными будут являться те члены уравнения, изображающие точки которых лежат на «нижней части» выпуклой оболочки, те те точки, которые видны из точки с координатами (0, —оо, 0,0,0)

В завершение второй главы описываются методы упрощения характеристического уравнения, с помощью которых получено решение характеристических уравнений для осесимметричных (т = 0) и неосесимметричных (ш / 0) колебаний невращающейся (О = 0) и вращающейся (О У- 0) цилиндрической оболочки С помощью средств вычислительной геометрии получены решения в различных областях пространства параметров двумерного (ц, Л), трехмерного (р, Х,т) и четырехмерного (р., X. т, П) Главные члены характеристического уравнения определяются гранями выпуклой

оболочки множества точек в пространстве степеней параметров Для каждой грани главные члены полинома будут разными Каждая грань определяет соотношение между параметрами Л, то, О (или cos 0) и основным малым параметром ¡i, которое можно выразить с помощью соотношений Л = XofiK, т = ?7го/х-г и О. = Q,oiie (или cos 9 = cos#oaO На параметры накладываются следующие ограничения — 2 < к < оо, 0 < —г < 2, Ло > 0, шо > 0, 0 < £ < оо Набор точек {кг, тг, £,,}, в которых меняется структура выпуклой оболочки, назовем критическими точками, в каждой из которых можно построить решение укороченного уравнения, т.е решение уравнения, включающего только главные члены Для того чтобы построить решения для промежуточных значений {Л, то, Q) (или {Л, cos#,f2} для осесимметричных колебаний конической оболочки), разделим полную область изменения параметров (А, то, О) на подобласти, расположив критические точки {кг, т„ £г} на рассматриваемой полной области значений параметров (Л, то, О) Для любых {Л, то, Q} внутри каждой подобласти структура выпуклой оболочки не изменяется, а, следовательно, вид укороченных уравнений сохраняется Подобного рода разбиения пространства {к, г, е} на подобласти критическими точками, многоугольниками назовем асимптотическим портретом (термин предложен Б Н Квасни-ковым) Таким образом, зафиксировав только одно произвольное значение величин {А, т. Q} внутри каждой из подобластей, можно получить значения корней и собственных векторов внутри каждой подобласти В этой главе найдены асимптотические портреты для случаев осесимметричных

и неосесимметричных колебаний невращающейся и вращающейся цилин-

*

дрической оболочки, а также для осесимметричных колебаний конической оболочки (см рис 1а) На рисунке 16 изображен асимптотический портрет для осесимметричных колебаний вращающейся цилиндрической оболочки в двумерном пространстве (к, s), полученный предельным переходом при cos 0 —» 0 асимптотического портрета (рис 1а) Отдельно рассмотрены случаи, когда параметр собственной частоты близок к точке сгущения частот А ~ 1

В третьей главе результаты первой и второй глав используются для построения формального асимптотического решения в задачах о колебаниях тонких цилиндрических и конических оболочек

Третья глава состоит из двух частей, первая из которых касается осесимметричных колебаний оболочек, а вторая — неосесимметричных

В первой части главы найдены низкие частоты осесимметричных колебаний цилиндрических вращающихся оболочек для трех типов закрепле-

Рис. 1. Асимптотический портрет (а) в пространстве параметров(к, г, е) для осесимметричных колебаний вращающейся конической оболочки. Асимптотический портрет (б) в пространстве( к, s) для осесимметричных колебаний вращающейся цилиндрической оболочки (или конической оболочки при cos в —> 0).

ния краев: жесткой заделки, шарнирного и особого опирания. Показано, что способ закрепления краев оболочки и ее вращение не влияют на главные члены собственных частот осесимметричных колебаний.

В задаче о высокочастотных колебаниях для всех трех видов рассматриваемых граничных условий две серии частот одинаковые

(!) ттк (2) пк

Лк ~ Л о г ' к

ч/Т^Х' * л/2 (1 + р)Ь'

третья серия для жесткой заделки, шарнирного опирания и особого опирания краев имеет вид, соответственно

(з) _ (тх{2к+ \)ц,\2 (з) ( тткц \2 ч(з) __ ттк^Ш

к ' * ~ \Ж^Ь) ' * _ Ь '

Следовательно, для высоких частот способ закрепления концов оболочки влияет на собственные частоты колебаний, а для особого типа опирания на собственные частоты также влияет вращение оболочки.

Исследование частот, близких к точке сгущения А « 1, начато с анализа осесимметричных колебаний невращающихся цилиндрических оболочек с жестко закрепленными краями. Для критической точки (к = |) найденное уравнение для нахождения собственных частот совпадает с полученными другими авторами. Для 0 < к < | в диссертации полученно новое приближенное уравнение для определения неизвестного параметра Л = Л — 1:

(¿л1/<(1-1/2)1,/4^ _ 2цу

ctg

V " J Л3/4(1-^2)1/4'

Рассмотрены частоты осесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек с особым случаем закрепления краев, близкие к точке сгущения А « 1 Для них получены две серии собственных частот на критическом сегменте г — к

jT+^V k (Iky

Для конических оболочек рассмотрена задача нахождения низких частот осесимметричных колебаний оболочек с жесткими и шарнирно опертыми краями Для обоих типов закрепления краев получена следующая серия частот

(2irkR (l-v2) .

' — V — Л 1 + cos2 в

L J I 4Д2 (1 - v2)

2

В предельном случае, cos 0 = 0, получаем серию частот для цилиндрической оболочки

Первую часть третьей главы завершает параграф, в котором методом ортогональной прогонки интегрируются уравнения колебаний цилиндрических оболочек с жестко закрепленными краями и с параметрами L — 3, v = 0 3, т = 0, О, = ¡л1 С ростом /г увеличивается точное значение Л, а также ошибка его нахождения Для ц — 0 05 проведено сравнение асимптотических и численных значений низких и высоких частот, а также частот, лежащих вблизи точки сгущения

Для неосесимметричных колебаний цилиндрических оболочек решены несколько характерных задач, асимптотические портреты которых найдены в главе 2 (см рис 2) Так, в случае шарнирного опирания краев для критической области к = 2 — 2г найденные частоты не зависят от Q, а для критической области г = к + г в случае шарнирного опирания краев получаем следующую формулу для нахождения параметра собственной частоты

у »V ^

к \Lm J 1-У2

Корни характеристического уравнения этой задачи при симметричных граничных условиях типа шарнирного опирания имеют вид Pk = ^ В дальнейшем будем называть это решение точным Эта задача также решена численно, и в диссертации произведено сравнение точных (для поло-

Рис. 2. Асимптотический портрет для неосесимметричных колебаний невращающих-ся (а) и вращающихся (б) цилиндрических оболочек.

жительных и отрицательных и асимптотического значений собственных частот А в зависимости от параметров те и О при фиксированном ¡л.

Для неосесимметричных колебаний быстро вращающихся цилиндрических оболочек (критический сегмент к = 0 на плоскости е = 1) для шарнирного и особого опираиия найдены, соответственно, собственные частоты

Заметим, что искомая частота А ~ 1. Следовательно, для того, чтобы первые серии полученных частот лежали в рассматриваемой области, Ь должно быть большим.

Найдены также следующие главные члены собственных частот для неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек для шарнирного опирания (критический сегмент е — к на плоскости т = 0):

которые верны для длинной оболочки с маленьким числом волн в меридиональном направлении.

Во второй части третьей главы продолжено исследование поведения решения в окрестности А = 1 для неосесимметричных колебаний вращающейся оболочки. Найдено выражение для собственных частот неосесимметричных колебаний невращающейся оболочки с жестко закрепленными краями для критической точки {к, г} = {4/3, 0}:

\2 __ _

* ~ ( г (.¿те

А

4/3

2/3 X6 - 1

где х находится из следующего уравнения:

( 2/з /о о 5\1/б \ 2 (х3 - 1) + 2х3 ^ у1* (2т" + V2) Ьху = —

Далее рассматриваются задачи для вращающихся цилиндрических оболочек. Асимптотические портреты для шарнирного и особого опирания краев построены во второй главе (см. рис. 3). Для особого опирания на критическом многоугольнике е = т + к найдены частоты

Аь = 1 + А = 1+ 2-.

т

Для шарнирного закрепления краев на критическом многоугольнике 2е = 2т + к собственные частоты колебаний равны

\ Ь ) 1 — V1

Рис. 3. Асимптотические портреты для неосесимметричных колебаний вращающейся цилиндрической оболочки для основного (а) и особого (б) случаев для Л, близкой к 1.

Заканчивается глава 3 построением решения в области, где характеристическое уравнение имеет кратные корни. Асимптотический портрет, соответствующий второму приближению изображен на рисунке 4а, а его проекция («, г) при е = 2 — на рисунке 46.

Для задачи с граничными условиями типа жесткой заделки найдено второе приближение для параметра частоты А:

Рис. 4. Асимптотический портрет (а), соответствующий второму приближению в пространстве (к, т, е) и его проекция (6) на плоскость (к, т) для неосесимметричных колебаний вращающейся цилиндрической оболочки для шарнирного опирания.

где

а = 2A/iVl - v'2 + 4г^2 + 6// + 4) , Ь = rn2 (А2 (1 - v2) (1 + v)2 + /iV (2 + v?) ■

Это выражение верно для длинных оболочек (L 1).

Для этой же задачи, но с граничными условиями типа шарнирного опирания, получена частота

_ п2к2^

В приложении 1 кратко представлены методы и алгоритмы построения выпуклой оболочки, используемые в диссертации для изучения характеристического уравнения: стандартный алгоритм построения выпуклой оболочки в трехмерном пространстве, основанный на принципе «сканирования Грэма», алгоритм, разработанный автором диссертации, в основу которого положен принцип «заворачивания подарка» для двумерного и трехмерного случаев; а также алгоритм «быстрого поиска», на основе которого написана программа Qhull, используемая в диссертации для построения выпуклой оболочки в пространстве четырех и более параметров.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Landman, I. М. Asymptotic integration of thin shell equations by means of computer algebra methods / I. M. Landman, A. L. Smirnov, E. M. Haseganu // Proceedings of the 17th Canadian Congress on Applied Mechanics. — Hamilton (Canada): 1999. - Pp.37-38.

[2] Landman, I M. Asymptotic analysis of vibrations of thin cylindrical shells / I. M Landman // Books of Abstracts for 20th Southeastern Conference on Theoretical and Applied Mechanics and Student Paper competition — Alabama (USA) 2000 - Pp 19-20

[3] Landman, I M. Asymptotic analysis of free vibrations of thin cylindrical shells / I M Landman, A L Smirnov, E M Haseganu // Proceedings of the Forum 2000 Canadian Society for Mechanical Engineering, Presses Internationales Polytechnique, CD — Montreal (Canada) 2000, — 9p

[4] Ландман, И M Исследование характеристических уравнений с помощью обобщенного метода Ньютона /ИМ Ландман, А Л Смирнов // Тезисы докладов Международной научной конференции «Третьи Поляхов-ские чтения», Избранные труды — Санкт-Петербург, 2003 — С 198-200

[5] Ландман, И М Анализ характеристических уравнений с помощью обобщенного метода Ньютона /ИМ Ландман, А. Л Смирнов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — Т 12, вып 2, 2005 — С 419-420

[6] Landman, I М Analysis of characteristic equations by generalized Newton's methods / I M Landman // Compilation of Abstracts for the 3rd MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics. — Cambridge (USA)-2005 - P 217

[7] Landman, I M Asymptotic analysis of vibration of rotating thm cylindrical shells by computer algebra approach / I M Landman // Proceedings of International Symposium on Trends in Applications of Mathematics to Mechanics. - Vienna (Austria) 2006 - Pp 85-86

[8] Ландман, И M Асимптотический анализ неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек /ИМ Ландман // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды 2005-2006» - Санкт-Петербург Изд СПбГУ, 2006 - С. 20-39

[9] Haseganu, Е М Asymptotic integration of free vibration equations of cylindrical shells by symbolic computation / E M Haseganu, I M Landman, A L Smirnov // Advances in Mechanics of Solids m memory of Prof E M Haseganu — World Scientific Publishing Co. Pte Ltd , 2006 - Pp 85-104

[10] Ландман, И M Исследование колебаний вращающейся цилиндрической оболочки с частотами, близкими к точке сгущения /ИМ Ландман // Вестник С-Петерб ун-та — 2007 — сер 1, вып 2 — С 113-119

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 29.12 07 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 800/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение.о

1 Постановка задачи и основные уравнения колебаний вращающихся оболочек вращения

1.1 Геометрия оболочки.

1.2 Уравнения колебаний вращающихся оболочек вращения с произвольным потенциалом.

1.3 Потенциал П для теории оболочек Новожилова.

1.4 Начальные напряжения.

1.5 Форма решения

1.6 Система уравнений колебаний произвольных вращающихся оболочек вращения.

1.7 Системы уравнений колебаний для вращающихся цилиндрических и конических оболочек.

1.8 Различные формы уравнений колебаний вращающихся оболочек

2 Интегралы уравнений колебаний тонких цилиндрических оболочек. Интегралы уравнений осесимметричных колебаний тонких конических оболочек.

2.1 Введение

2.2 Метод исследования и упрощения характеристических уравнений

2.3 Осесимметричные колебания невращающихся цилиндрических оболочек.

2.3.1 Выпуклая оболочка; укороченные уравнения для области II

2.3.2 Выпуклая оболочка и укороченные уравнения для критической точки к = 0.

2.3.3 Выпуклая оболочка; укороченные уравнения для области I

2.4 Неосесимметричные колебания невращающихся цилиндрических оболочек

2.4.1 Критические точки.

2.4.2 Критические сегменты.

2.4.3 Укороченные уравнения в критических областях.

2.4.4 Укороченные уравнения в критических сегментах

2.4.5 Укороченные уравнения в критической точке (к, т) = (0,1)

2.5 Неосесимметричные колебания вращающихся цилиндрических оболочек: особый и основной случаи.

2.5.1 Критические точки.

2.5.2 Критические многоугольники и сегменты

2.5.3 Критические многоугольники для области 0 < е < 1 и

О < к < 2.

2.5.4 Укороченные уравнения в критических областях.

2.5.5 Укороченные уравнения в критических многоугольниках

2.6 Осесимметричные колебания конических оболочек

3 Решение краевых задач

3.1 Анализ осесимметричных колебаний вращающихся тонких цилиндрических оболочек.

3.1.1 Задача нахождения низких частот для жесткого закрепления и шарнирного опирания краев

3.1.2 Задача нахождения высоких частот для жесткого и шарнирного закрепления краев.

3.1.3 Задача нахождения частот, близких к точке сгущения для жесткого закрепления краев.

3.1.4 Пример нахождения низких частот осесимметричных колебаний конических оболочек для жесткого закрепления и шарнирного опирания краев.

3.1.5 Численное интегрирование уравнений колебаний цилиндрических оболочек.

3.2 Анализ неосесимметричных колебаний вращающихся тонких цилиндрических оболочек

3.2.1 Задача нахождения частот для шарнирного опирания краев для критической области к — 2 — 2т.

3.2.2 Задача нахождения частот для шарнирного опирания краев для критической области е = к + т.

3.2.3 Задача нахождения частот для шарнирного опирания краев для критического сегмента к = 0 на плоскости е =

3.2.4 Задача нахождения частот для шарнирного опирания краев для критического сегмента е = к на плоскости т =

3.2.5 Задача нахождения частот, близких к точке сгущения для различных видов закрепления краев.

3.2.6 Пример нахождения частот при наличии кратных корней для области (VI).

Данная диссертация посвящена исследованию колебаний вращающихся тонких оболочек вращения. Теория тонких оболочек является в настоящее время одним из наиболее актуальных разделов теории упругости, которому уделяется большое внимание. Это внимание вызвано тем, что образованные из тонких оболочек конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью, что обеспечивает оболочкам широкое применение в самых разных отраслях промышленности, таких как авиастроение и ракетная техника, судостроение, турбипостроение, а также при конструировании железобетонных перекрытий. Этим объясняется повышенный интерес к теории оболочек в течение последних пятидесяти лет [15], [16], [29], [31], [37]. За эти годы теория оболочек выделилась в отдельную науку, успешно сочетающую в себе результаты математического анализа, теории функций комплексных переменных, дифференциальной геометрии, теории упругости и ряда других направлений. На сегодняшний день теория тонких оболочек является хорошо разработанным разделом механики деформируемого твердого тела. Значительный вклад в фундаментальные исследования в этой области был внесен С. А. Амбарпумяном [1], В. 3. Власовым [6], [7], А. С. Вольмиром [9], [10], A. JI. Гольденвейзером [15], Э. И. Григолюком [17], [18], [19], Л. И. Лурье [28], X. М. Муштари [29], В. В. Новожиловым [31], П. Е. Товстиком [16], [38], К. Ф. Черныхом [40] и другими учеными, создавшими собственные научные школы. Благодаря успехам этих и многих других ученых, к настоящему моменту теория оболочек располагает большим количеством точных и приближенных методов расчета оболочек. Задача динамики вращающейся оболочки вращения, а именно, вращающейся цилиндрической оболочки, была впервые поставлена больше века назад. G. Н. Bryan [45] исследовал вращающуюся, цилиндрическую оболочку и нашел форму ее колебаний. Некоторое время ученые не занимались данной задачей, и можно считать, что первой работой, относящаяся непосредственно к математической постановке задачи о колебаниях вращающихся оболочек является работа R. A. DiTaranto, М. Lessen [50]. В этой работе были впервые выведены уравнения колебания вращающегося кругового цилиндра и показана важность учета ускорения Кориолиса при нахождении собственных чисел колебаний. Затем, задачи, связанные с цилиндрической оболочкой, были рассмотрены А. V. Srinivasan, G. F. Lauterbach [93]. Эти авторы в своих исследованиях учитывали начальные напряжения. В то же время A. Zohar и J. Aboudi [96] использовали теорию оболочек Доннелла для вывода уравнений колебания вращающейся цилиндрической оболочки, в которых учтены все основные эффекты, связанные с вращением. Для решения этих уравнений авторы разработали специальный метод решения системы линейных дифференциальных уравнений. Sh. Wang и Yu Chen в [95J исследовали влияние вращения на собственные значения изгибных колебаний цилиндрической оболочки с шарнирно опертыми краями.

Следующий шаг в исследованиях в данном направлении сделал J. Pado-van [75], [76], [77|, [78], [79], [80]; [81]. В своей работе [75] он привел наиболее полное исследование вращающихся цилиндрических оболочек. В работах- [77] и [78] он получил уравнения колебаний произвольной оболочки вращения, содержащие члены, связанные с начальными напряжениями, а в [76[ исследовал свойства форм вращающихся оболочек и нашел условие их ортогональности. В [79] J. Padovan описал эффект расщепление собственных значений вращающихся оболочек, который является следствием действия сил Кориолиса.

Вышеприведенные результаты были учтены A. JI. Смирновым [34] и П. Е. Товстиком, которые с помощью асимптотических методов вывели уравнения колебаний вращающихся оболочек вращения произвольной геометрии в рамках теории оболочек Новожилова. В работах A. JI. Смирнова [35], П. Е. Тов-стика и A. JI. Смирнова [36] и В. В. Лидского и П. Е. Товстика [27] проведено исследование влияния вращения на различные тины колебаний оболочек. В этих статьях было показано, что для низших.частот, которые являются частотами типа колебаний Рэлея, эффект вращения очень важен.' Также была получена аналитическая формула для оболочек постоянной кривизны, описывающая эффект расщепления и сдвига частот. В работах Ю. С. Воробьева и С. И. Детистова [11], [12] изучалось влияние вращения на-частоты круговых конических оболочек.

Вышеупомянутые работы касаются изучения, влияния вращения на собственные частоты и формы колебаний. Позже С. Н. Fox и D. J. W. Hardie [52] рассматривали вращающуюся цилиндрическую оболочку под действием приложенной гармонической (точечной) силы, a S. С. Huang и W. Soedel [61], [62], [73] разработали новый гметод решения-задач вынужденных колебаний вращаг ющихся дисков и цилиндрических оболочек. В. Ф. Журавлев и A. JI. Климов [21], Н. Е. Егармин [20] и В. Г. Вилке [4] рассматривали задачи колебаний враг щающихся куполообразных оболочек и получили приближенную формулу для их собственных частот. В работе [20] получены приближения более высоких порядков для вычисления собственных частот вращающихся цилиндрических оболочек. Распространениеволн во вращающихся цилиндрических оболочках, влияние движущейся нагрузки и подкрепления на колебания таких оболочек, колебания вращающихся композитных цилиндрических оболочек изучались в работах [55], [56], [57], [58], [59], [82]. Работы, в которых рассматриваются колебания вращающихся нецилиндрических оболочек не столь многочисленны. Отметим статьи, посвященные колебаниям вращающихся оболочек вращения [46], [49], вращающихся сферических оболочек [48], вращающихся конических оболочек [91] и вращающихся параболоидов [90].

В некоторых случаях, колебания оболочек похожи на колебания тел [54] (например, колебания диска, кольца и пластины). Это свойство исиользовал М. Endo и др. в [51]. Авторы сравнили результаты для круговых колец и цилиндров с различными граничными условиями. Было показано, что колебания вращающегося кольца являются хорошим приближением колебаний длинной вращающейся цилиндрической оболочки, а экспериментальные исследования продемонстрировали, что аналитические и численные результаты хорошо согласованы.

Несмотря на большое количество публикаций, посвященных решению задач статики и динамики оболочек вращения, запросы практики во многом еще не удовлетворены. Это связано с использованием в современных конструкциях новых материалов и усложнением самих конструкций, а также с необходимостью учета все более разнообразных воздействий на них.

Некоторые детали турбин и двигателей, компрессоров и насосов представляют собой вращающиеся пустотелые или заполненные тонкостенные конструкции — «стаканы». Важнейшими задачами являются исследование критических скоростей вращения таких конструкций и условий возникновения резонанса при воздействии внешних периодических сил. В обоих случаях необходимо знание спектра частот и форм собственных колебаний, конструкций. Указанные задачи стимулировали развитие исследований собственных частот колебаний вращающихся тонкостенных оболочек различной геометрии при различных условиях.

В данной диссертации используется линейная теория оболочек, в которой справедливы гипотезы Кирхгофа - Лява. Они заключаются в следующем: нормальный элемент к недеформированной срединной поверхности оболочки остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности, а нормальные напряжения £т33 = 0 пренебрежимо малы. Также сделаны следующие, достаточно общие для теории оболочек, предположения: материал оболочки изотропен и подчиняется обобщенному закону Гука, а деформации, перемещения и углы поворота настолько малы, что вторыми степенями этих величин можно пренебречь. Колебания и устойчивость упругих конструкций описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных. Методы решения таких задач можно разделить на две группы: аналитические и численные.

В начале XX века построение точных аналитических решений занимало главное место среди всех используемых методов. Поскольку лишь немногие задачи могут быть решены точно аналитически, стали развиваться приближенные методы исследований: числениые и аналитические.

Среди последних выделяются асимптотические методы [33], [3], [39], основанные на разложениях решений в ряд по степеням малого параметра. Систематическое применение асимптотических методов в теории тонких оболочек началось с работ А. И. Лурье [28] и A. J1. Гольденвейзера [14]. В наши дни большинство задач может быть решено с использованием численных методов. Это. изменение связано с научно-техническим прогрессом, повлекшим за собой создание новых мощных компьютеров и разработку численных методов, в частности, метода конечных элементов, позволяющих достигать нужной точности для большого класса задач. В результате методы нахождения приближенных аналитических (асимптотических) решений остались недооцененными. Тем не менее, асимптотический метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналитические решения сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, а также наиболее просто анализировать влияние различных параметров на поведение тонкостенной, конструкции [30].

К недостаткам асимптотических методов можно отнести следующие: во-первых, решение можно построить только для «простых» с точки зрения геометрии задач; и, во-вторых, точность решения снижается при увеличении толщины оболочки. Несмотря на это, достоинством этого класса методов является возможность получения конечной аналитической формулы для, например, собственных частот и собственных векторов. Причем точность решения увеличивается при стремлении одного из параметров (например, относительной толщины оболочки) к нулю. Важно также, что полученные с помощью асимптотических методов формулы позволяют понять физический смысл изучаемых явлений.

Численные методы, в свою очередь, дают результаты с хорошей точностью для данного набора параметров, но требуют большого количества вычислительного времени. Указанный недостаток, а также сложность дальнейшего анализа полученных результатов, большое время подготовки начальных данных, требования больших вычислительных мощностей делают численные методы неупиверсальными. Кроме того, применение вычислительных методов затруднено при анализе систем, в которые входят очень большие или очень маленькие величины.

Система уравнений теории оболочек является довольно громоздкой системой уравнений в частных производных. Она содержит естественный малый параметр, связанный с относительной толщиной оболочки. При численном анализе оказывается, что матрица жесткости содержит члены пропорциональные малому параметру. При обращении матрица жесткости становится плохо обусловленной и, как следствие, точность вычислений уменьшается. Поэтому в данной задаче асимптотическое представление решений является необходимым элементом качественного анализа и может дать существенное упрощение при построении приближенных численных решений и сэкономить машинное время. Ясное осознание асимптотической природы упрощений позволяет определить область их применимости, а в случае необходимости — уточнять приближенные решения. Таким образом, асимптотические и численные методы являются взаимно дополняющими. Данная диссертация наглядно иллюстрирует совместное применение численных и асимптотических методов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих колебания вращающихся оболочек.

Основной целью диссертации является получение асимптотических формул для главных членов собственных частот колебаний вращающихся оболочеч-ных конструкций с учетом влияния на них вращения оболочки и вызванных им начальных напряжений. В диссертационной работе разработано математическое обеспечение, позволяющее алгоритмизировать проведение асимптотического анализа, в частности, получение аналитического выражения для собственных частот и форм колебаний топких оболочек в разных областях пространств параметров.

Разработанный алгоритм основан на методе асимптотического интегрирования уравнений колебаний тонких оболочек. Особенностью решения рассматриваемых в диссертации, задач является создание и использование алгоритмов вычислительной геометрии для разработки метода нахождения корней характеристических и частотных уравнений. Он также может быть использован и в других задачах, связанных с интегрированием дифференциальных уравнений, содержащих малые или большие параметры.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе приведен подробный вывод системы уравнений» колебаний вращающихся оболочек вращения. Общая система выведена в криволинейных координатах с помощью принципа Гамильтона. Решения ищутся в виде «бегущих волн». При этом используются соотношения, характерные для теорий типа Кирхгофа-Лява, и соотношения упругости. Новожилова-Балабуха [32]. Для определения плотности энергии деформации необходимо пайти начальные напряжения. Этому посвящен раздел 1.4. Для вывода системы в компактной форме используется операторный подход. Полученная система рассматривается как обобщение системы, приведенной в работах [23], [24], [25]. [26], [67], [68], [69], [70], [71], [72]. В первой главе проведен подробный анализ литературы, включающий в себя основные публикации, начиная с первой, выполненной^. Н. Bryan в 1890 году [45].

Во второй главе строится асимптотическое решение уравнений колебаний вращающейся цилиндрической оболочки в виде разложения в ряд по малому параметру относительной толщины. При этом для определения экспоненциальных показателей следует решить характеристическое уравнение. Анализу таких характеристических уравнений посвящена большая часть диссертации. В этой главе описывается применение геометрического подхода для решения характеристического уравнения, описывающего колебания вращающейся тонкой цилиндрической оболочки. Этот подход представляет собой обобщение метода диаграммы Ньютона для большего числа измерений и состоит в построении выпуклой оболочки в пространстве степеней параметров, входящих в характеристическое уравнение. Таким образом, нахождение укороченных характеристических уравнений для случая осесимметричных колебаний невращающихся тонких оболочек сводится к построению двумерной, для случая> неосесиммет-ричных колебаний — к трехмерной, а для неосесимметричных колебаний вращающейся оболочки — к четырехмерной выпуклой оболочке. Завершается вторая глава описанием методов упрощения характеристического уравнения.

В третьей главе результаты первой и второй глав используются для построения формального асимптотического решения в задачах о колебаниях вращающихся тонких цилиндрических и конических оболочек. Третья глава состоит из двух частей, первая из которых касается осесимметричных колебаний оболочек, а вторая — неосесимметричных. В первой части главы найдены частоты осесимметричных колебаний цилиндрических вращающихся оболочек для трех типов закрепления краев: жесткой заделки, шарнирного и особого опирания. Исследование частот, близких к точке сгущения А ~ 1, начато с анализа осесимметричных колебаний невращающихся цилиндрических оболочек с жестко закрепленными краями и для особого случая закрепления краев. Для,конических оболочек рассмотрена задача нахождения низких частот осесимметричных колебаний оболочек с жесткими и шарнирно опертыми краями. Первую часть третьей главы завершает параграф, в котором методом ортогональной прогонки интегрируются уравнения колебаний цилиндрических оболочек с жестко закрепленными краями. Для неосесимметричных колебаний цилиндрических оболочек решены несколько характерных задач, асимптотические портреты которых найдены в главе 2. Во второй части третьей главы продолжено исследование поведения решения в окрестности А ~ 1 для неосесимметричных колебаний вращающейся оболочки. Найдено выражение для собственных частот неосесимметричных колебаний невращающейся. оболочки с жестко закрепленными краями. Заканчивается глава 3 построением решения в области, где характеристическое уравнение имеет кратные корни.

Заключительная глава содержит выводы и основные результаты диссертации.

В приложении 1 представлены методы и алгоритмы построения выпуклой оболочки, используемые для изучения характеристического уравнения: стандартный алгоритм построения выпуклой оболочки в трехмерном пространстве, основанный на принципе «сканирования Graham» [53], алгоритм, разработанный автором диссертации, в основу которого положен принцип «заворачивания подарка» для двумерного и трехмерного случаев; а также алгоритм «быстрого поиска»[43], на основе которого написана программа Qhull, используемая в диссертации для построения выпуклой оболочки в пространстве четырех и более параметров.

Основные результаты исследования, выносимые на защиту:

• Предложен алгоритм, основанный на построении выпуклой оболочки точечного множества (многогранник Ньютона), позволяющий находить решения характеристических уравнений, содержащих большие и малые параметры.

• Разработан алгоритм нахождения асимптотического решения уравнений колебаний вращающихся тонких оболочек, позволяющий, в частности, построить асимптотический портрет, то есть разбиение пространства параметров системы дифференциальных уравнений, в каждой из областей которого асимптотические решения имеют одинаковое представление. Такие асимптотические портреты были построены для осесимметричных и неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек; осесимметричных колебаний вращающихся конических оболочек.

• Получены приближенные асимптотические формулы для собственных частот колебаний вращающихся оболочек для разных областей параметров и для разных граничных условий, хорошо согласующиеся с результатами численных расчетов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и 10 страниц библиографии, содержащей 96 наименований. Общий объем диссертации составляет 136 страниц, включая 34 рисунка, 15 таблиц. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23], [24], [25]. [26], [67], [68], [69], [70], [71], [72].

Заключение

В данной работе проводится асимптотический анализ собственных колебаний вращающихся оболочек вращения.

Основными результатами, выносимыми на защиту, являются:

Предложен алгоритм, основанный на построении выпуклой оболочки точечного множества (многогранник Ньютона), позволяющий находить решения характеристических уравнений, содержащих большие и малые параметры.

Разработан алгоритм нахождения асимптотического решения уравнений колебаний вращающихся тонких оболочек, позволяющий, в частности, построить асимптотический портрет, то есть разбиение пространства параметров системы дифференциальных уравнений, в каждой из областей которого асимптотические решения имеют одинаковое представление. Такие асимптотические портреты были построены для

• осесимметричных и неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек;

• осесимметричных колебаний вращающихся конических оболочек.

Получены приближенные асимптотические формулы для собственных частот колебаний вращающихся оболочек для разных областей параметров и для разных граничных условий, хорошо согласующиеся с результатами численных расчетов.

1. Амбарцумян, С. А. Общая теория анизотропных оболочек / С. А. Амбарцу-мян. — М.: Наука, 1974.— 446 с.

2. Асланян, А. Г. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек / А. Г. Асланян, В. Б. Лидский. — М.: Наука, 1974. —156 с.

3. Бауэр, С. М. Асимптотические методы в примерах и задачах /С. М. Бауэр, А. Л. Смирнов, П. Е. Товстик, С. Б. Филиппов. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. — 276 с.

4. Вильке, В. Г. Об инерциальных свойствах собственных форм осесиммет-ричного упругого тела / В. Г. Вильке. // Вестник Моск. ун-та. — 1986. — Сер. 2., Вып.2. С. 66-72.

5. Вишик, М. И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // Успехи мат. паук. — 1957. — Т. 12, Вып. 5. — С. 3-122.

6. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В. 3. Власов. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 784 с.

7. Власов, В. 3. Тонкостенные пространственные системы / В. 3. Власов. — М.: Госстройиздаг, 1958. — 502 с.

8. Волевич, Л. Р. Метод многогранника Ньютона в теории дифференциальных уравнений в частных производных / Л. Р. Волевич, С. Г. Гиндикин. — М.: Эдиториал УРСС, 2002. 309 с.

9. Волгшир, А. С. Устойчивость упругих систем / А. С. Вольмир. — М.: Физ-матгиз, 1963. — 880 с.

10. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем/ А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1967. 984 с.

11. Воробьев 10. С. К выводу уравнений колебапий вращающейся ортотроп-ной конической оболочки / Ю. С. Воробьев, С. И. Детистов //Проблемы машиностроения. — 1981. — Т. 13. — С. 12-17.

12. Воробьев, Ю. С. О влиянии центробежных сил на собственные частоты круговых конических оболочек / Ю. С. Воробьев, С. И. Детистов //Проблемы машиностроения. — 1981. — Т. 14. — С. 27-27.

13. Годунов, С. К. О численном решении краевых задач для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / С. К. Годунов // Успехи мат. наук. — 1961. — Вып. 3. — С. 171-174.

14. Гольденвейзер, А. Л. Асимптотический метод в теории оболочек /

15. A. JI. Гольденвейзер // Успехи механики. — 1982. — Т. 5, Вып. 1/2. — С. 137182.

16. Гольденвейзер, А. Л. Теория упругих тонких оболочек / A. JI. Гольденвейзер. — М.: Гостехиздат, 1953. — 544 с.

17. Гольденвейзер, А. Л. Свободные колебания тонких упругих оболочек / A. J1. Гольденвейзер, В. В. Лидский, П. Е. Товстик. — М.: Наука, 1979.- 384 с.

18. Григолюк, Э. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций /Э. И. Григолюк, В. И. Мамай. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 272 с.

19. Григолюк, Э. И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек / Э. И. Григолюк, П. П. Чулков. — М.: Машиностроение, 1973. — 170 с.

20. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов.- М.: Наука, 1978. 360 с.

21. Егармин, Н. Е. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся осесим-метричной оболочки / Н. Е. Егармин // Механика твердого тела. — 1986.- Вып. 1. С. 142-148.

22. Журавлев, В. Ф. О прецессии собственной формы колебаний сферической оболочки при ее вращении / В. Ф. Журавлев, А. Л. Климов // Проблемы машиностроения. — 1981. — Вып. 14. — С. 147-151.-ч,- .j

23. Квасников, Б. Н. Укороченные уравнения и асимптотический портрет в теории тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Сб.: Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела. — СПб.: Изд-во ВВМ, 2006. — С. 36-59.

24. Ландман, И. М. Анализ характеристических уравнений с помощью обобщенного метода Ньютона / И. М. Ландман, А. Л. Смирнов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — Т. 12, вып. 2, 2005.— С. 419420.

25. Ландман, И. М.Асимптотический анализ неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек / И. М. Ландман // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды 2005-2006». — Санкт-Петербург: Изд. СПбГУ, 2006. — С. 20-39.

26. Ландман, И. М. Исследование колебаний вращающейся цилиндрической оболочки с частотами, близкими к точке сгущения / И. М. Ландман // Вестник С-Петерб. ун-та— 2007. — сер. 1, вып. 2. — С. 113-119.

27. Лидский, В. Б. Спектры в теории оболочек / В. Б. Лидский, П. Е. Товстик // Успехи механики. — 1984. — Т. 72, Вып. 2. — С. 25-54.

28. Лурье, А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек / А. И. Лурье. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 252 с.

29. Муштари, X. М. Нелинейная теория упругих оболочек / X. М. Муштари, К. 3. Галимов. — Казань: Таткнигоиздат, 1957. — 432 с.

30. Найфе, А. Введение в методы возмущений / А. Найфе. — М.:Мир, 1984. — 536 с.

31. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. — Л.: Суд-промгиз, 1962. 432 с.

32. Новожилов, В. В. Линейная теория тонких оболочек / В. В. Новожилов, К. Ф. Черных, Е. И. Михайловский. — Л.: Политехника, 1991. — 656 с.

33. Образцов, И. Ф. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций / И. Ф. Образцов, В. В. Нерубайло, И. В. Андрианов. — М.: Машиностроение, 1991. — 416 с.

34. Смирнов, А. Л. Колебания вращающихся оболочек вращения / А. Л. Смирнов // Сб. Прикладная механика, «Колебания и устойчивость механических систем». Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. — Т. 4. - С. 176-186.

35. Смирнов, А. Л. Интегралы уравнений колебаний вращающихся оболочек вращения / А. Л. Смирнов // Вестник ЛГУ. — 1981. — №13. — С. 114-117.

36. Смирнов, А. Л. Качественное исследование динамики вращающихся оболочек вращения/ А. Л. Смирнов, П. Е. Товстик // Современные проблемы механики и авиации. — 1984. — Ж13. — С. 280-290.

37. Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Вой-новский-Кригер. — М.: Наука, 1966. — 635 с.

38. Товстик, П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы / П. Е. Товстик. — М.: Физматлит, 1995. — 320 с.

39. Товстик, П. Е. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций / П. Е. Товстик, С. М. Бауэр, А. Л. Смирнов, С. Б. Филиппов. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. — 184 с.

40. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек / К. Ф. Черных. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, Ч. 1, 1962. 274 е.; Ч. 2, 1964. — 395 с.

41. Шамровский, А. Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости / А. Д. Шамровский. — Запорожье: изд-во ЗГИА, 1997. 169 с.

42. Aggarwal, A. A Linear-Time Algorithm for Computing the Voronoi Diagram of a Convex Polygon / A. Aggarwal, L. J. Guibas, J. Saxe, P. W. Shor // Discrete and Computational Geometry. — 1989. — Vol. 4. — Pp. 591-604.

43. Barber, С В. The Quickhull Algorithm for Convex Hull / С. B. Barber, D. P. Dobkin, H. Huhdanpaa // ACM Transactions on Mathematical Software.- 1996. Vol. 22, No. 4. - Pp. 469-483.

44. Brown, K. Q. Voronoi Diagrams from Convex Hulls / K. Q. Brown // Information Processing Letters. — 1979. — Vol. 9, No. 5. — Pp. 223-228.

45. Bryan, G. H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — Vol. 7. — 1890. — Pp. 101-111.

46. Cat, X,- X. Free vibration of a thin rotating shell of revolution / X.- X. Cai // . Computers and Structures. — 1994. — Vol. 53, No. 1. — Pp. 155-160.

47. Chand, D. R. An Algorithm for Convex Polytopes / D. R. Chand, S. S. Kapur J/ J. Assoc. Comput. Mach. — 1970 — Vol. 17. — Pp. 78-86.

48. Chang, С. O. Modal precession of a rotating hemispheracal shell / С. O. Chang, J. J. Hwang, C. S. Chou // Int. J. Solids structures. 1996. — Vol. 33, No. 19.- Pp. 2739-2757.

49. Chen, Y. Vibrations of high speed rotating shells with calculations for cylindrical shells / Y. Chen, H. B. Zhao, Z. P. Shen, I. Grieger, В. H. Kroplin // Journal of Sound and Vibration. — 1993. — Vol. 160. No. 1. — Pp. 137-160.

50. DiTaranto, R. A. Coriolis acceleration effect on the vibration of a rotating thin-walled circular cylinder / R. A. DiTaranto, M. Lessen // Journal of Applied Mechanics. 1964. - Vol. 31, No. 12. - Pp. 700-701.

51. Endo, M. Flexural vibration of a thin rotating ring / M. Endo, K. Hatamura, M. Sakata, O. Taniguchi // Journal of Sound and Vibration. — 1984. — Vol. 92, No. 2. Pp. 261-272.

52. Fox, С. H. Harmonic response of rotating cylindrical shells / С. H. Fox, D. J. W. Hardie // Journal of Sound and Vibration. — 1985. — Vol. 101, No. 4.- Pp. 495-510.

53. Graham, R. L. An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set / R. L. Graham // Inform. Process. Lett. — 1972. — Vol. 1, No. 4. Pp. 132-133.

54. Gupta, К. К. Free vibration analysis of spinning structural systems /

55. К. K. Gupta // Int. Journal For Numerical Methods in Engineering. — 1973. — Vol.5. Pp. 395-418.

56. Haughton, D. M. Wave speeds in rotating elastic cylinders at finite deformation / D. M. Haughton / /J. Mech. and Appl. Math. — 1982. Vol. XXXV, Pt. 1. — Pp. 125-139.

57. Haughton, D. M. The vibration of rotating elastic membrane cylinders/ D. M. Haughton //Int. J. Engng Sci. 1982. — Vol. 20, No. 7. — Pp. 835844.

58. Huang, S. C. Vibration of a spinning cylindrical shell with internal/external ring stiffeners / S. C. Huang, L. H. Chen // Journal of vibration and Acoustics. 1996. - Vol. 118. - Pp. 227-236.

59. Huang, S. C. Resonant phenomena of a rotating cylindrical shell subjected to a harmonic moving load / S. C. Huang, B. S. Hsu // Journal of Sound and Vibration. 1990. - Vol. 136, No. 2. - Pp. 215-228.

60. Huang, S. G. Modal analysis of a spinning cylindrical shell with interior point or circular line supports / S. C. Huang, B. S. Hsu // Journal of Vibration and Acoustics. 1993. - Vol. 115. - Pp. 535-543.

61. Huang, S. C. Effects of Coriolis acceleration on the forced vibration of rotating cylindrical shells / S. C. Huang, W. Soedel // Journal of Applied Mechanics. — 1988. Vol. 55. — Pp. 231-233.

62. Huang, S. C. Response of Rotating Rings to Harmonic and Periodic Loading and Comparison with the Inverted Problem / S. C. Huang, W. Soedel // Journal of Sound and Vibration. — 1987. — Vol. 118, No. 2. — Pp. 255-270.

63. Huang, S. C. Effects of Coriolis Acceleration on the Free and Forced In-Line Vibration of Rotating Rings on Elastic Foundation / S. C. Huang, W. Soedel // Journal of Sound and Vibration. — 1987. — Vol. 115, No. 2. — Pp. 253-274.

64. Huseyin, K. On the basic properties of stability regions and boundaries of rotating flexible shafts / K. Huseyin // Berlin:Springer-Verlaq, 1982. — Pp. 232243.

65. Klee, V. On the Complexity of d-dimensional Voronoi Diagrams / V. Klee // Archiv der Mathematik. — 1980. — Vol. 34. — Pp. 75-80.

66. Lam, K. Y. Free vibrations of a rotating multi-layered cylindrical shell / K. Y. Lam, С. T. Loy // Int. J. Solids Structures. — 1995. — Vol. 32, No. 5. — Pp. 647-663.

67. Lam, K. Y. Analysis of rotating laminated cylindrical shells by different thin shell theories / K. Y. Lam, С. T. Loy // Journal of Sound and Vibration. — 1995. — Vol. 186, No. 1. Pp. 23-35.

68. Landman, I. M. Asymptotic integration of thin shell equations by means of computer algebra methods / I. M. Landman, A. L. Smirnov, E. M. Haseganu // Proceedings of the 17th Canadian Congress on Applied Mechanics. — Hamilton (Canada): 1999. — Pp.37-38.

69. Landman, I. M. Asymptotic analysis of vibrations of thin cylindrical shells / I. M. Landman // Books of Abstracts for 20th Southeastern Conference on Theoretical and Applied Mechanics and Student Paper competition. — Alabama (USA): 2000. — Pp.19-20.

70. Landman, I. M. Analysis of characteristic equations by generalized Newton's methods / I. M. Landman // Compilation of Abstracts for the 3rd MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics. — Cambridge (USA): 2005. P.217.

71. Landman, I. M. Asymptotic integration of free vibration equations of cylindrical shells by symbolic computation / E. M. Haseganu, I. M. Landman,

72. A. L. Smirnov // Advances in Mechanics of Solids: in memory of Prof. E. M. Ha-seganu. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006. — Pp. 85-104.

73. Lin, J. L. On general in-plane vibrations of rotating thick and thin rings / J. L. Lin, W. Soedel // Journal of Sounds and Vibration. — 1988. — Vol. 122, No. 3. Pp. 547-570.

74. Mehlhorn, K. LEDA: A Platform for Combinatorial and Geometric Com-putating / K. Mehlhorn, S. Naher. — New York: Cambridge University Press, 1999. — 1034 p.

75. Padovan, J. Natural frequencies of rotating prestressed cylinders / J. Padovan 11 Journal of Sound and Vibration. — 1973. — Vol. 31, No. 4. — Pp. 469-482.

76. Padovan, J. Orthogonality principle for the vibration modes of anisotropic composite domain problems / J. Padovan // Transaction of the ASME Ser. E. J. AppLMech. 1974. - Vol. 41, No. 3. - Pp. 832-834.

77. Padovan, J. Numerical analysis of asymmetric frequency and buckling eigenvalues of prestressed rotating anisotropic shells of revolution / J. Padovan // Computers and structures. — 1975. — Vol. 5. — Pp. 145-154.

78. Padovan, J. Traveling waves vibrations and buckling of rotating anisotropic shells of revolution by finite elements / J. Padovan // Int. J. Solids Structures. 1975. - Vol. 11. - Pp. 1367-1380.

79. Padovan, J. On gyroscopic problems in elasticity / J. Padovan // Internat.J. Engrg Sci. 1978.- Vol. 16. - Pp. 1061-1073.

80. Padovan, J. On the development of traveling load finite elements / J. Padovan, I. Zeid // Computers and structures. — 1980. — Vol. 12. — Pp. 77-83.

81. Padovan, J. Finite element analysis of steady and transiently moving/rolling nonlinear viscoelastic structure / J. Padovan // I.Theory, Computers and Structures. 1987. - Vol. 27, No. 2. - Pp. 249-257.

82. Rand, 0. Response and eigenfrequencies of rotating composite cylindrical shells / O. Rand, Y. Stavsky /// Journal of Sound and Vibration. — 1996. — Vol. 192, No. 1. Pp. 65-77.

83. Preparata, F. P. Computational Geometry: An Introduction / F. P. Preparata, M. I. Shamos. — New York: Springer-Verlag, 1985. — 420 p.

84. Preparata, F. P. Convex Hulls of Finite Sets of Points in Two and Three Dimensions / F. P. Preparata, S. J. Hong // Commun. ACM. — 1977. — Vol. 20.- Pp. 87-93.

85. O'Rourke, J. Computational Geometry in С / J. O'Rourke. — New York: Cambridge University Press, 1998. — 376 p.

86. Shamos, M. I. Computational Geometry: PhD thesis: UMI №7819047. — Yale University, New Haven, 1978.

87. Saito T. Vibration of finite length rotating cylindrical shells / T. Saito, M. Endo // Journal of Sound and Vibration. — 1986. Vol. 107, No. 1, Pp. 17-28

88. Saito, T. Vibration analysis of rotating cylindrical shells based on the Timo-shenko beam theory / T. Saito, M. Endo // Bulletin of JSME. — 1986. — Vol. 29, No. 250. Pp. 1239-1245.

89. Saito, T. Vibration of rotating prestressed cylindrical shells / T. Saito, Y. Tsukahara, M. Endo 11 Bulletin of JSME. -1986. Vol. 29, No. 1251. — Pp. 1572-1578.

90. Shoemaker, W. L. On the free vibrations of spinning paraboloids / W. L. Shoemaker, S. Utku // Journal of Sounds and Vibration. — 1986. — Vol. Ill, No. 2.- Pp. 279-296.

91. Sivadas K. R. Vibration analysis of pre-stressed rotating thick circular conical shell / K. R. Sivadas // Journal of Sound and Vibration. — 1995. — Vol. 186, No. 1. Pp. 99-109.

92. Smirnov, A. L. Free vibrations of the rotating shells of revolution / A. L. Smir-nov 11 Journal of Applied Mechanics. — 1989. — Vol. 56, No. 2. — Pp. 423-429

93. Srinivasan, A. V. Traveling waves in rotating cylindrical shells / A. V. Sriniva-san, G. F. Lauterbach // Journal of Engineering for Industry. — 1971. — Vol. 93.- Pp. 1229-1232.

94. Suzuki, К. Vibrations of rotating circular cylindrical shells with varying thickness / K. Suzuki, Kosawada, Shikanai, K. Hayashi // Journal of Sound and Vibration. — 1993. Vol. 166, No. 2. — Pp. 267-282.

95. Wang, S. Effects of rotation on vibrations of circular cylindrical shells / S. Wang, Y. Chen // J.Acoust.Soc.Am. 1974. - Vol.55, No. 6. - Pp. 13401342.

96. Zohar, A. The free vibrations of thin circular finite rotating cylinder / A. Zohar, J. Aboudi // J. mech.Sci. — 1973. Vol. 15. — Pp. 269-278.