Исследование динамики и устойчивости вращающихся оболочек на основе интегральных представлений решений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Белорусский государственный университет

9 i

На правах рукописи

Бликов Игорь Николаевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ ВРАЩАЮЩИХСЯ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫ! ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

Минск - 1992

Работа выполнена в Белорусском государственном университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Романчик B.C.

Официальные оппоненты: доктор технических наук.

профессор Г.Ф.Ершов.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Ю.В.Василевич

Ведущая организации - Институт тепло-массообмена Академии наук

Республики Беларусь

Защита состоится "26" июня 1992 г. в 10°° часов на заседали специализированного Совета К 056.03.10 по присуждению ученой степени кандидата наук в Белорусском государственном университет« по адресу: 220080, Минск, проспект Ф.Скорины, 4, ауд.206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ.

Автореферат разослан "25" мая 1992 г.

Ученый секретарь

специализированного совета.' ^

Hjf-^) ( / ' доцент ^c.uup-^-, в.И.Корэюк

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

. ^¿ц,,гРдной из основных задач современного машиностроения является создание роторных машин' с высокой частотой. вращения- Примером таких машин являются компрессоры, центрифуги.

Решение подобных задач вызвало интерес к исследованиям динамической устойчивости деформируемых систем при воздействии нагрузок, изменяющихся во времени. В качестве основных элементов вращающихся конструкций можно рассмотреть вращающиеся яа валуоболочки. Динамическую. устойчивость оболочек можно рассматривать путем исследования амплитуд колебаний, вызванных внешними динамическими нагрузками. Яри возрастании амплитуд имеет место динамическая неустойчивость.

Важным случаем внешнего воздействия служит неравномерно распределенное по поверхности оболочки давление с амплитудами, изменяющимися во времени, что физически соответствует оболочке в потоке жидкости, перпендикулярном к ее образующей. При воздействиях такого рода возникает необходимость учитывать инерцию масс оболочек при движении. В качестве других примеров можно привести начальные и динамические граничные воздействия, инерционные воздействия из-эа движения оболочки по траектории.

Созданная в 90-х годах прошлого века А.М.Ляпуновым

динамическая теория устойчивости нашла широкое применение в

различных областях физики и техники. Постановку задач теории

устойчивости деформируемых систем при динамических нагрузках и их

анализ изложил Г.Ю.Джанелидзе. С конца 40-х годов был опубликовал

ряд работ, посвященных решению задач в данном наяравленш. Надо

отметить опубликованную в 1949 г. статью М.А.Лаврентьева и

А.Ю.Ишлинского, посвященную исследованию устойчивости упругих

3

систем, нагруженных внезапно приложенной силой. Позднее появились работы В.Л.Агамирова, И.А.Алумяэ, Л.М.Балабуха, Л.У.Бахтиевой, В.В.Болотина, А.С.Вольмира. Э.И.Григолхжа. Ю.И.Кадашевича,

A.К.Перцева. А. И.Смирнова и других, посвященные исследованию устойчивости движения оболочек. В монографиях А.С.Вольмира и

B.В.Болотина даны наиболее общие постановки задач и проведен рДц исследований по динамической устойчивости пластин и оболочек.

Предлагаемая диссертационная работа посвящается решению линейной и нелинейной динамических задач устойчивости быстровращающихся оболочек вращения при различных внешних воздействиях. В качестве аппарата исследования используются интегральные представления решений на основе построенных в работе функций Грина.

Актуальность выбранной темы обусловлена широким применением в машиностроении быстровращашихся элементов тонкостенных конструкций типа пластин, -оболочек, панелей, сделанных иэ полимеров, сплавов, и других материалов и подверженных динамическим внешним воздействиям. В связи с зтлм возникает необходимость в развитии соответствующих методов расчета.

Цель данной работы заключаются в том, .чтобы, во-первых,' развить ' методы интегральных представлений применительно к задачам динамической устойчивости оболочек, во-вторых при псощи метода интегральных представлений получить решения для ряда динамических задач для оболочек, находящихся под действием "бегущей" нагрузки, потока ' жидкости . (газа), распределенного давления, инерционных воздействий, возникающих из-за движения самой оболочки.

Указанный подход реализован в виде программ для сферической.

эллиптической, цилиндрической и гиперболической оболочек. Рассмотрены случаи ортотропии и геометрической нелинейности.

Научная новизна работы заключается в. следующем:

- предложена обобщенная модель задачи динамической устойчивости быстровращающихся оболочек за счет введения субстанциональных членов, соответствующих согласно Пановко Я.Г. деформируемой системе координат;

- построены выражения интегральных представлений решений и функций Грина для различных граничных условий;

- получены решения динамических задач для оболочек в форме цилиндра, сфери. эллипсоида, однополоетного гиперболоида, подвергающихся гидродинамическому воздействию, действию "бегущей" нагрузки, Кориолисовой силы;

- решена задача для цилиндрической оболочки,- вращаемой на гибком валу в жидкости с учетом сил инерции, . возникающих из-за цветения по траектории;

- сделаны выводы о влиянии сил Кориолиса и демпфирования на поведение собственных частот и амплитуд колебаний;

- проведено исследование решений и их анализ на основе представления результатов в виде графиков:

- создано программное обеспечение решения рассмотренныъх задач.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанное программное обеспечение. и алгоритм построения решений могут быть использованы при решении широкого класса задач динамической устойчивости быстровращающихся оболочек и оболочечннх конструкций при различных граничных условиях и внешних воздействиях с учетом геометрической нелинейности. Решение задачи о вращении оболочечной конструкции

на гибком валу использовалось для анализа вращения центрифуги на гидроопорах.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгой математической постановкой рассмотренных задач, точным использованием методов механики деформируемого твердого тела, анализом результатов и сопоставлением 'с экспериментальными данными.

Апробация рабо ты . Основные результаты докладывались на семинарах механико-математического факультета ЕГУ, Всесоюзном симпозиуме по методам дискретных особенностей в математической физике (Харьков) 1989г., республиканской конференции по эффективным численным методам решения краевых задач механики' деформируемого • твердого тела (Харьков) 1989г., республиканских конференциях (Минск) 1988-1990гг. Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 научных работ.

С т р у-^к тура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы иэ 83 наименований и содержит 1"4 страницы, включая 30 рисунков.

*

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой, главе, исходя и* закона Гука и нелинейных ■ соотношений между .деформациями и перемещениями, составлены уравнения задач динамики для изотропных, анизотропных и нелинейных вращающихся оболочек:

снк и > = гмк'и > + сск и > + ськ и > + <ьм> +

Л

2 2 (П

+ <Р >= О

ЕЬд е

с граничными и начальными условиями:

Ав< и > |в= ФСх.у.О . (2)

< и >| = < и'0>Сх.уЗ>, < (] > | =■ < и'1>Сх,у5>. (3)

Здесь смз - матрица масс, ссз - матрица, включающая параметры демпфирования и Кориолисовой силы, сь) - . матрица линейных дифференциальных операторов для изотропной или анизотропной оболочек - вектор с нелинейными компонентами. Вектор

внешнего воздействия <ре> имеет размерность давления. Проекции результирующей силы, действующей на оболочку, изображены на рис.1. В случае =6 из (I) получаем линейные уравнения

движения оболочки.

В задачах динамики оболочек полные производные по времени в уравнениях (I) обычно заменяют частными по принципу:

ас ш аг<ш

< и > = - , {'и >= -

31 31

Существуют случаи сложного движения, например, воздействие на оболочку переменной во времени поверхностной нагрузки, высокие скорости вращения, при которых подвижным системам отсчета, связанным с оболочкой, естественно приписывать свойство деформируемости во времени. Выражения для полных производных по времени изменяются для различных внешних нагрузок. При исследовании вращающейся цилиндрической оболочки под действием "бегущей" нагрузки, приложенной в направлении нормали по образующей, скоростями и ускорениями в продольном направлении можно пренебречь, полные производные по времени примут вид:

7

3CU> d<\J>

<U> = - + R« -

at 1 Эу

аг<ш а2<ш а2<ш <3а> асш

<"и > = -- + 2Ro> - + CRw Зг- + R ■—* -

at2 4 ayat 1 ay2 at ay

" Если нагрузка и оболочка движутся с постоянными угловыми скоростями ">0 и ь> соответственно, тогда <■>,= « ± ">0= const , a^4/at= о ..

Таким образом задача динамики оболочек сводится к решению уравнений вида Ш-СЗ). При учете деформируемости подвижной системы координат в г li , с сз будут входить члены из представлений (4). Методы линеаризации и алгоритм расчета методом пошагового интегрирования для нелинейных уравнений описаны в параграфе §1.3.

Во второй главе рассмотрены проблемы поиска фундаментальных решений и аспекты исследования устойчивости движения оболочек под действием периодической и произвольной внешних нагрузок.

Интегральное проставление решения задачи ПМЗ) запишем в

виде:

1 »

< UCx.y.O > = J JJ tGCx-f ,y-r),t-r>]<FCf ,»>.r3>dSdr +

■OS,

(4)

+ И д [SCi^,y""'bl <u'p'cg.,p> dS +

a

+ J"J CGCx-^,y-r>.03 < U1 1 * С , yp > d Г> • «

Такое представление является удобным при исследовании зависимости устойчивости решения задачи от видя правой части.

) со

[ССх,>,Ю 3 " J ¿ | 0С><*У:> T__COl

n = i> m=0

Функция t r,;x-xj,y-yí, t-t^ ] представляет решение,

соответствующее сосредоточенному воздействию, заданному в точке Cxi • yi'115 > т-е- является решением задачи:

CHJCG] = <5Сх-х ,y-v , t-t/э (5)

i i i w J

при однородных граничных условиях:.

VG1 t6)

Справедливость представления решения в виде' (4) проверяется непосредственной подстановкой в <1)-(3).

Для построения фундаментального решения гвсх.у.оз при = = уt- о. о представим решение (5)-(6) в виде:

) со

2 I L со] Í7>

i = О т=0

где сосх.уЭ] - диагональная матрица с компонентами:

Сх> (у)

[1Ю X - _ но у ^

" Ж * " ]

где . , '-,',7' -. частоты формы колебаний в соответствующих направлениях, - комплексные коэффициенты, построенные таким

образок1, что функция сез удовлетворяет однородным граничным условиям.

Применение к уравнениям (I) метода Бубнова-Галеркина приводит к системе трех дифференциальных • уравнений 2-го порядка с постоянными кск-^ициентами:

d2 d

СН ИТ 1 ~ Г [М1- + [С]— + Г ВЗ ) С Т ] = ГЕЗбСО (8)

dt2 dt m" .

где евз - линейный оператор.

Решение «:»■'■ темы <8) мцется в виде:

9

[Т 5 = [ ЬСт.гО 3 §СЮ

тп

где $(4.) - скалярная функция, гьст.пзз - матрица алгебраических дополнений для матрицы сн^ . Обозначая он= аеин^ из (8).(9) получаем скалярное уравнение:

Он§СЪЭ = <5СО (Ю)

Решение уравнения (10) находится с помощью преобразования Лапласа. При этом проводится оценка устойчивости динамической системы путем исследования ее собственных значений.

В 12.2 приведены основные методы преобразования граничных условий к однородным, поскольку этого требуют условия построения функции Грина системы.. Метод Болотина В. В. исследования устойчивости вращащихся оболочек под действием периодической внешней нагрузки обобщен на случай нелинейной системы при помощи метода последовательных приближений (§2.3). В следующем параграфе произведена оденка ' верхней границы произвольного внешнего воздействия, при котором соответствующие перемещения ограничены, с помощью норм пространства . В §2.5 записаны выражения для определения полей деформаций и напряжений через интегральные представления.

%

Третья глава посвящена решению уравнений движения оболочки под действием некоторых' видов динамических нагрузок и влияния на деформации и устойчивость оболочки ее движения на упругом валу. В §3.1 исследовала зависимость собственных ' значений оболочки от геометрических и физических (силы Кориолиса. демпфирования) параметров. Сделан вывод о возможности получения оболочки с необходимыми частотными характеристиками, путем ^выбора определенным образом этих

параметров. Результаты вычислений, выполненных с помощЬю ЭВМ ЕС-1037 и 1вм/рс приведены на рисунках.

При расчетах собственных частот рассматривалась оболочка из дюралюминия, для которой было принято: е = 0,71 -Ю" Н/м2 . р = 27900 Н/мэ , * =¡0,3 . I. - 1.2 м , ь - 0,005 м . « - 145 Гц. ь.-й = 1/480 + 1/40 . На рис.2, рис.3 представлены графики зависимостей положительных собственных частот от изменений ь/к . На рис.4 график зависимости низшей собственной частоты от количества волн в продольном и поперечном направлениях. В §3.2 получены аналитические выражения и исследованы значения интегрального представления решения для оболочки под действием "бегущей" нагрузки, влияние на них изменений параметров оболочки. Здесь в качестве критерия, определяющего устойчивость оболочки, а, вместе с тем и критическую нагрузку, принимается условие, что амплитуды колебаний стрелы прогиба не должны превышать величину, равпую толщине оболочки. Амплитуды колебаний оболочки в переменном во времени потоке жидкости (газа) рассмотрены в §3.3 . На рис.5 приведены графики устойчивого при I = 0.8м и неустойчивого при I = 0.2м движений. В этом и предыдущих -параграфах определены условия, при которых движение оболочки будет неустойчивым.

X = ± 12к<о V. X = ± 1С 2кш ± ы Э ~ \.=, ± 1о> ) л ® 1 ®

при Ке х= о . Выполнение одного из условий для частот приводит к резонансу. На рис.6 линией со знаком "*" изображен график амплитуд при угловой скорости « = 390Гц близкой к критической, сплошной линией изображен график .при « = 350Гц. Амплитуды колг-баяий становятся максимально высоки при следующих параметрах: - 40ЛГц , " - 8Гц .1"! ^ = -792Гц. которые удовлетворяют

Рис.1.

;

/

•л

—fr-— — -.......-

:-X-

!

—......— ------------ ----------

----------

IOÛOQ

Рис.2. 12

9 000

■ I

j > /

j

I

I 1

1

/

j

-—---J -- —---, t_--

'/40

Рис.3. .

^'Г i / / л-у

Ulli 1 /х

Г**—-JL__./

/ / у--4-—/

с

Рис Л.

ü.ooS

Рис.6.

условию резонанса. Из сравнения условий возникновения резонанса для оболочки под действием "бегущей" нагрузки и оболочки в потоке жидкости следует,_ что значения критических частот вращения ниже. для оболочки в потоке жидкости (газа) , при прочих равных параметрах. С одной сторохн ото сужает область допустимых •значений <-> , с другой - позволяет варьировать другими параметрами оболочки так, чтобы резонанс возникал на более низкой частоте вращения, что позволяло бы проходить через это значение в режиме разгона оболочки. В §3.4 с помощью уравнений Лаграшга построены уравнения движения оболочки с присоединенной массой как жесткого целого на упругом .валу в жидкости. Эти уравнения сводятся к системе типа Матье-1илла. Проведено исследование влияния данного движения на колебания и устойчивость ее поверхности. В §3.5 рассмотрен пример, в котором учитывается влияние нелинейности уравнений на динамическую устойчивость.

2. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Приведены основные нелинейные и линейные модели задач о динамической устойчивости быстровращащихся изотропных и анизотропных оболочек при действии сил инерции, демпфирования, Кориолисовой силы и методы их линеаризации.

2. На основе метода Бубнова-Галеркша и преобразования Лапласа построены функции Грина и аналитические выражения ■ для интегральных представлений решения.

3. Исследованы задачи о динамической устойчивости оболочки в линейной и нелинейной постановках под действием периодической и произвольной внешних нагрузок. Определены выражения для границ

г.'пвнкх областей неустойчивости.

15

4. Получены решении • задач динамической устойчивости вращающихся оболочечных конструкций при действии потока жидкости, "бегущей" нагрузки, инерционных сил и гидродинамического давления. Определены условия возникновения неустойчивости движения по начальным данным и при превышении значений прогибов оболочки допустимой величины.

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях:

1. Решение задач динамики и устойчивости вращающихся оболочек// Респ.конф. по актуальны:.' проблемам информатики.: Тез.докл,-Минск.. 1988.-€.132. (Соавтор Романчик B.C.)

2. Исследование устойчивости нелинейного деформирования вращающейся оболочки//Респ.конф.мол.уч.и спец.: Тез: докл. -Минск. , 1989.С.32.

'3. Исследование устойчивости вращающихся цилиндрических оболочек//!v Всесоюон.симп."Методы дискретных особенностей в задачах мат.физики". ¡Тез. докл.т.i. -Харьков. ,1989.-0.27-28.

4. Численные исследования решения задач динамики и устойчивости оболочек// Респ.науч.тех.конф.: Тез.докл. -Харьков.,1989. -С.28-30. (Соавтор Романчик B.C.)

5. Колебания и устойчивость вращающейся цилиндрической оболочки //Весц! АН БОСР.Сер. ф* з.-тэхн.навук. -1990.-№4. -С.58-63. (Соавторы Аринкин С.М.„ Романчик B.C.)

6. Применение метода интегральных представлений при исследовании решения задачи динамики и устойчивости цилиндрических оболочек. U. .1991.-0,5а. л. Деп. в ВИНИТИ 19.10.90. .K542I-B90.

7. Исследование динамики и устойчивости недеформированной системы. враЬэедейся в жидкости на упругих подвесах//Весц! АН БОСР. Сер.ф1о.-тохн.навук.-1991.- Ш.-С.50-56. (Соавтор Аринкин С.М.)

Ъ