Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения

Газизов, Хатиб Шарифзянович

Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Газизов, Хатиб Шарифзянович АВТОР

доктора технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Уфа МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения»

Автореферат диссертации на тему "Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения"

На правах рукописи УДК 539.3

ГАЗИЗОВ Хатиб Шарифзянович

РАЗРАБОТКА ТЕОРИИ И МЕТОДОВ РАСЧЕТА ДИНАМИКИ, ЖЕСТКОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ СОСТАВНЫХ ОБОЛОЧЕК

ВРАЩЕНИЯ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Челябинск 2003

Работа выполнена на кафедре "Сопротивление материалов" Уфимского государственного авиационного технического университета

(УГАТУ)

Научный консультант: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Жернаков Владимир Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Гаврюшин Сергей Сергеевич, чл.-кор. РАН, профессор Ильгамов Марат Аксанович, доктор технических наук, профессор Садаков Олег Сергеевич.

Ведущая организация (предприятие) - ФГУП "ЦИАМ им. Баранова"

Защита состоится мая 2003 г., в часов, на заседании

диссертационного совета Д212.298.02 в Южно-Уральском государственном университете - ЮУрГУ по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. им. Ленина, 76

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЮУрГУ Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор *

2003 г.

Чернявский А.О.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Распространено мнение, что с появлением мощных

программных комплексов типа АЫБУЗ, ЫАБТЯАН, МАЛС, 1ЖЮКАРН1С8 и других отпала необходимость как в совершенствовании известных, так и в создании новых методов расчета конструкций, включая и теорию пластин и оболочек. Считается, что все задачи разрешимы, если в распоряжении исследователя имеются достаточно мощный компьютер и длительное время. В общем случае это неверно: перед тем как начать вычисления, необходимо глубоко понять механику, лежащую в основе рассматриваемой задачи. Кроме того, вопросы, связанные с повышением эффективности программных комплексов с точки зрения экономии времени и привлекаемых ресурсов ЭВМ, всегда останутся актуальными, а такие проблемы, как сходимость и оценка точности численного решения, зависимость решения не только от числа степеней свободы, но и от формы и соотношения размеров элементов (проблема устойчивости вычислительных алгоритмов метода конечных элементов), вызывают серьезные разногласия при трактовке результатов расчета. С целью оценки точности получаемых результатов приходится производить повторные расчеты с "адаптивной" перестройкой сетки элементов (иначе -соответствующим выбором сетки можно получить любой наперед заданный результат).

Очень редко расчетные схемы оболочечных конструкций могут быть сведены к какой-либо регулярной поверхности. Реальные конструкции представляют собой составные оболочки, в том числе и с элементами, содержащими линии и точки излома, разветвления, замкнутые полости (оболочки "рамного" контура). Метод "суперэлементов" - представление сложной поверхности совокупностью регулярных, определение напряженно-деформированного состояния последних (анализ) и их последующая стыковка (синтез) существенно усложняют алгоритм расчета и приводят к неоправданным затратам ресурсов и времени численного решения задачи. Аналогичная задача - расчет сложных статически определимых и неопределимых стержневых систем - успешно решается методами строительной механики. Попытки приложения методов

строительной механики к расчету оболочек, предпринятые в 60-е годы прошлого века (метод конечных полос и "расчленения"), ныне полузабыты, хотя, как показывает история развития методов расчета стержневых систем, применительно к расчету составных оболочек, именно они могли бы служить альтернативой методам конечных элементов. Однако к настоящему времени не существует строгого математического обоснования методов, основанных на использовании стержневых моделей оболочек.

Классические математические модели оболочек вращения -уравнения линейной теории пластин и оболочек - основаны на использовании принципа "неизменных размеров" и не позволяют учитывать влияние предварительных напряжений и деформаций на компоненты напряженно-деформированного состояния при их дополнительном нагружении (задачи устойчивости, жесткости и колебаний вращающихся оболочек). Их учет может быть осуществлен только переходом к деформированной расчетной схеме, а это возможно лишь в рамках нелинейной теории пластин и оболочек - в ее геометрически нелинейном варианте.

Цель работы заключается в разработке универсальной теории, алгоритмов и комплекса программ для решения задач динамики, устойчивости и жесткости оболочек вращения с разветвляющейся образующей применительно к проблемам проектирования авиадвигателей.

Направления исследований:

- анализ основных кинематических соотношений нелинейной механики деформируемого тела, вывод формул для деформаций, позволяющих снизить до минимума порядок производных компонент векторов перемещения, поворота нормали и геометрических параметров поверхности вращения с целью предотвращения введения начальных "несовершенств" в геометрию оболочки на этапе дискретизации объекта и появления нулевых строк в матрице жесткости;

- доказательство правомерности применения двухмерных расчетных схем - оболочек для исследования НДС реальных конструкций дисков газотурбинных двигателей (на уровне численных экспериментов);

- обоснование стержневых моделей оболочек вращения; построение разрешающих уравнений модели; исследование поведения уравнений модели при стягивании к нулю размеров конечных элементов - полос; исследование сходимости численных методов их решения, оценка точности; выработка рекомендаций по выбору сеток элементов, для достижения требуемой точности результатов численного решения;

- универсализация алгоритмов с применением методов теории графов для описания геометрии образующей для произвольного числа веток и замкнутых контуров;

- разработка стержневой модели для "деформированной" расчетной схемы тонкостенной конструкции применительно к задачам жесткости и динамики вращающихся оболочек, устойчивости оболочек с произвольным очертанием образующей.

х Научная новизна работы. Разработаны теория, алгоритмы - и вычислительный комплекс для решения задач статики, динамики и устойчивости оболочек вращения "рамного" контура на основе новых научных результатов:

» на основе гипотез Коши - Пуассона и независимой аппроксимации компонент векторов перемещения и поворота нормали к координатной поверхности разработана модель оболочки (типа Тимошенко, Рейсснера), не приводящая к появлению нулевых строк в матрице жесткости при численной реализации задач нелинейного деформирования оболочек;

» на уровне численных экспериментов доказана правомерность применения двухмерных расчетных схем для определения интегральных характеристик роторов турбомашин (трехмерных тел вращения);

на базе универсального метода приближенного решения уравнений математической физики - взвешенных невязок - дано строгое математическое обоснование стержневых моделей двухмерных объектов -оболочек вращения; доказано, что стержневые модели, как и методы конечных элементов и граничных интегральных уравнений, имеют единую основу, отличаясь только в части требований, налагаемых на свойства локальных (фундаментальных) функций, описывающих напряженно-деформированное состояние элементов;

• применение проверенных не только исходных гипотез, но и методов строительной механики - расчета статически определимых и неопределимых рам - к расчету составных оболочек вращения с разветвляющейся образующей;

• на основе предельного перехода, получены разрешающие интегродифференциальные, а для замкнутых оболочек вращения -устойчивые при численном решении интегральные уравнения типа Фредгольма второго рода. СформулированьГнеобходимые и достаточные условия существования и сходимости решения, получены оценки для погрешности дискретизации. Показано, что применение стержневых моделей расширяет пределы применимости уравнений теории тонких оболочек до областей, характерных для стержневых систем;

• на основе "деформированной" расчетной схемы получены уравнения стержневой модели для решения задач динамики и определения жесткости вращающихся оболочек "рамного" контура и устойчивости в "малом" неподвижных.

Методы исследований основаны на использовании

« известных уравнений кинематики и динамики сплошной среды| справедливых, в том числе, и при больших линейных перемещениях (порядка толщины, повороты линейных элементов полагаются малыми);

• известных гипотез и методов строительной механики стержневых систем как на уровне исходных гипотез, так и для расчета двухмерных объектов - оболочек;

• универсального принципа взаимности работ,

• теории обобщенных функций;

• . элементов теории графов;

• методов конечных и граничных элементов и объединяющем их -методе взвешенных невязок.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, 'содержащихся в диссертационной работе, основывается на корректном использовании:

• основных уравнений механики сплошной среды, известных гипотез теории тонких оболочек и криволинейных стержней, аппарата обобщенных функций и функций влияния строительной механики

стержневых систем, метода конечных и граничных элементов, достоверных эвристических алгоритмов теории графов;

• известных методов численного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с разрывными ядрами с применением сетки элементов, обоснованной с позиций строительной механики стержневых систем;

и подтверждается:

• решением большого числа тестовых задач статики, динамики и устойчивости оболочек вращения, имеющих решения, полученные аналитическими и другими проверенными численными методами;

• сравнением результатов численного решения с известными экспериментальными данными,' полученными другими авторами, а также с натурными испытаниями на устойчивость жаровой трубы газотурбинного двигателя, проведенными при участии автора.

Практическая реализация работы. Методика расчета оболочек вращения с разветвляющейся образующей утверждена ФГУП "ЦИАМ им. Баранова" и внедрена в виде программных комплексов в объединении "ММЗ - Союз", МПБ г. Казань, НПП "Мотор" г. Уфа, УАПО "Гидравлика" г. Уфа и позволила выработать конструктивные мероприятия по устранению дефектов ряда опытных вариантов изделий.

На защиту выносятся:

• модель оболочки с независимой аппроксимацией перемещений и поворотов для описания локальных полей в пределах конечных элементов, свободная от эффекта "машинного запирания";

• математическое обоснование стержневых моделей двухмерных объектов - оболочек вращения;

• теория оболочек вращения с разветвляющейся образующей и полная система интегродифференциальных и интегральных уравнений для решения задач статики, динамики и устойчивости оболочек вращения переменной жесткости при неосесимметричном нагружении;

• численный метод решения интегральных уравнений, порождаемых стержневыми конечными элементами, принципы построения сетки элементов для получения результатов с гарантированной в пределах погрешности строительной механики стержневых систем точностью.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные ее разделы доложены и обсуждены на научных конференциях и совещаниях, в том числе на: Второй отраслевой конференции по автоматизированному проектированию двигателей (ЦИАМ им. Баранова, Москва, 1978), Всесоюзных научных совещаниях по проблемам прочности двигателей: (Ленинград, 1979), (Москва, 1986), (Москва, 1990); Ш Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Казань, 1988); II Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1994); Российской научно-технической конференции "Механика и прочность авиационных конструкций" (Уфа, 2001); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); заседании головного совета "Машиностроение" Минобразования России (Снежинск, 2001); семинарах кафедры прикладной механики, динамики и прочности ЮУрГУ (Челябинск, 2002); XX международной конференции "Теория оболочек и пластин" (Нижний Новгород, 2002); 1П международной конференции "Кибернетика и технологии XXI века" (Воронеж, 2002); XXVIII Международном научно-техническом совещании по проблемам прочности двигателей (Москва, 2002).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 33 печатных работы, в том числе 2 монографии и препринт.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, шести глав, общих выводов, списка литературы из 284 наименований и содержит 291 страницу текста, включая 54 рисунка, 11 таблиц и 3 приложения.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и основные направления исследований.

В первой главе анализируются существующие методы расчета оболочек вращения, приводится обзор литературы по данному вопросу. Отмечено, что общепринятый метод, базирующийся на расчленении составных оболочек на примитивы - элементы регулярной структуры - и на "стыковке" (в современной формулировке - суперэлементный метод), трудоемок, значительно усложняет алгоритм, вычислительные затраты и не отвечает требованиям практики для многих современных конструкций. Компоненты напряженно-деформированного состояния суперэлементов

определяются интегрированием системы дифференциальных уравнений теории тонких оболочек, основанных на моделях Кирхгофа - Лява, Тимошенко или Векуа, если возможно, аналитическими, но чаще -численными методами.

Существующие методы численного интегрирования дифференциальных уравнений теории оболочек обладают рядом недостатков, ограничивающих возможность их применения для расчета оболочек вращения с изломами образующей, точками разветвления, при скачкообразным изменении жесткости и внешних нагрузок. Для обеспечения одинаковой точности вычислений около особых точек (линий), где искомые функции претерпевают разрывы, приходится обращаться к теории обобщенных функций. С этой точки зрения более предпочтительным является подход, предложенный И.А. Биргером: переход к интегральным уравнениям. Такой подход реализован в работах Н.И. Котерова и Н.П. Знаменского (ЦИАМ им. Баранова) для решения задач статики составных оболочек вращения. Однако и здесь, ввиду специфики получения этих уравнений - повторным интегрированием из дифференциальных, - данным методом можно воспользоваться только на уровне суперэлементов. Не является исключением в этом отношении и метод конечных элементов - здесь в местах излома и разветвления образующей приходится применять специальные трехмерные конечные элементы. Следует отметить, что метод конечных элементов, по существу, является итерационным методом (иначе соответствующим выбором сетки конечных элементов можно получить любой, наперед заданный результат). Хотя сходимость конечноэлементного решения при сгущении сетки и выполнении некоторых необходимых условий доказана, для установления точности решения приходится строить "адаптивные" сетки и производить повторные расчеты. Кроме того, применительно к оболочкам с разветвляющейся образующей метод конечных элементов теряет одно из главных преимуществ - ленточный характер матриц жесткости, масс и других.

В 60-е годы прошлого века Л. А. Розиным и А. П. Филиным были предложены стержневые модели для расчета тонких оболочек, основанные на формальной аналогии "расчлененных" дифференциальных уравнений

теории оболочек и криволинейного пространственного стержня. Метод "расчленения" Л. А. Розина сводит процедуру интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных теории оболочек к последовательному интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений двух систем перекрестно связанных криволинейных стержней. С точки зрения математики такой подход не может считаться корректным, недаром впоследствии метод "расчленения" был назван А. П. Филиньм "насилием над математическим аппаратом". Действительно, эквивалентность решений "расчлененных" и исходных уравнений не очевидна и Л.А. Розиным не доказана. В методе А. П. Филина по существу те же уравнения совместности перемещений перекрестной системы криволинейных стержней получены из физических соображений - с привлечением известной аксиомы механики о связях. Позднее, в кандидатской диссертации автора (Казань, 1980) было показано, что уравнения метода конечных полос в предельном случае - при стремлении ширины последних к нулю - совпадают с уравнениями Л.А. Розина, с той лишь разницей, что коэффициент Пуассона материала в методе полос считается равным нулю. Установлено, что при сгущении сетки уравнения совместности деформаций полос А.П. Филина подвержены точно такому же эффекту, как и "машинное запирание" при решении методом конечных элементов.

Заслугой А.П. Филина следует считать то, что его метод конечных полос для исследования напряженно-деформированного состояния оболочек использует богатый арсенал методов строительной механики стержневых систем, не прибегая при этом к интегрированию каких-либо дифференциальных уравнений. Эта особенность метода конечных полос делает его особо привлекательным для исследования составных оболочек, в том числе многосвязного продольного сечения, что и было реализовано в кандидатской диссертации автора применительно к задачам статики оболочек вращения с разветвляющейся образующей. Однако до настоящего времени не существовало строгого доказательства эквивалентности уравнений теории тонких оболочек и разрешающих уравнений методов, использующих стержневые модели оболочек. Именно это обстоятельство, а также отсутствие приложений метода к задачам

динамики и устойчивости оболочек не позволили методу конечных полос занять такое же достойное место, как метод конечных элементов в ряду известных численных методов теории оболочек.

При решении задач устойчивости, динамики предварительно нагруженных, например вращающихся, оболочек приходится отказываться от принципа "неизменных размеров", рассматривая уже "деформированную расчетную схему", а это проще сделать в рамках геометрически нелинейной теории оболочек. Кроме того, при действии внешней нагрузки местного характера необходимо учесть влияние поперечных сдвигов, инерции вращения. Несмотря на то, что в работе, в основном, рассматривается поведение оболочек вращения при действии нагрузок типа внешнего и (или) внутреннего давления, инерционных сил, возникающих при неравномерном движении, излагаемая ниже теория позволяет исследовать и местные эффекты.

Во второй главе обоснована выбранная модель произвольной оболочки - типа Тимошенко - с учетом деформаций поперечного сдвига и обжатия нормали. Приводятся основные соотношения кинематики и динамики геометрически нелинейной теории произвольной оболочки. За

меры деформации приняты компоненты тензора деформации Коши -Грина

где системы функций у^ представляют тензор относительно некоторого класса допускаемых преобразований криволинейных координат ¿;,т],д с базисом gl; ц - криволинейные координаты на срединной поверхности оболочки, д - координата, отсчитываемая по нормали к ней; и ? — вектор

перемещения. В случае малых деформаций "физические" компоненты тензора Коши - Грина совпадают с общепринятым определением относительных линейных и угловых деформаций. Очевидно, для тонкой

однослойной оболочки из изотропного материала и? - непрерывная функция координаты д и ее можно записать в виде ряда Тейлора, в котором, в соответствии с гипотезой Коши -Пуассона, -можно ограничиться первыми двумя членами ряда

и!=и + вд, (2)

где и - значение и ? при д = 0, т.е. вектор перемещения точки срединной

поверхности; через в обозначена первая производная вектора перемещения по координате д, т.е. функция, ответственная за изгибно-крутильную часть деформаций. Показано, что согласно гипотезам Кирхгофа - Лява закон изменения вектора перемещения по толщине может быть записан в такой же форме (2), только в этом случае смысл функции в другой: она определяется разностью единичных векторов нормали к

срединной поверхности после к\ и до деформации к3 оболочки в = к\-кг.

Установлено, что в рамках "среднего" изгиба (по классификации Муштари - Доннелля) векторную функцию в можно выразить через вектор поворота нормали р формулой: в=рх.къ, т.е. если повороты малы

(/Зj{{1 ), то вектор в можно считать направленным по касательной к срединной поверхности. Следовательно, в линейной теории оболочек и н геометрически нелинейной - при "среднем" изгибе вектор перемещения

произвольной частицы и * определяется не шестью, а только пятью

независимыми функциями - тремя компонентами вектора и и двумя -вектора р. Теперь становится ясным эффект "машинного запирания" конечноэлементного решения при независимой аппроксимации линейных перемещений и поворотов - появление нулевых строк (столбцов) в глобальной матрице жесткости "вырожденных" конечных элементов тонких оболочек.

По формулам (1) деформации Коши - Грина определяются скалярными произведениями векторных величин - инвариантами - и могут быть вычислены в любой системе координат. Принимая единую для всей конструкции систему координат (декартовую - для произвольной оболочки), можно снять проблемы, связанные с наличием изломов срединной поверхности составной оболочки.

Предложен вариант вывода уравнений движения из закона сохранения энергии с привлечением аппарата множителей Лагранжа.

Получено выражение для внутренней энергии. Сформулировано уравнение движения конечного элемента в форме Лагранжа в приращениях. Для тестирования выбранной кинематической модели оболочки типа Тимошенко разработан конечный элемент с независимой аппроксимацией перемещений и компонент функции изгибно-крутильной деформации. С позиций трехмерной задачи теории упругости аналитическим интегрированием по толщине оболочки получено выражение для матрицы приращения жесткостей "вырожденного" конечного элемента тонкой оболочки, состоящей из трех слагаемых: матрицы жесткости (как в линейной теории оболочек), начальных напряжений и начального нагружения.

Приводятся результаты решения тестовых задач о больших прогибах пластины и "хлопке" круговой арки (цилиндрической панели) под действием сосредоточенной силы. Предложен вариант ускорения пошагового метода решения нелинейных задач Зенкевича, в котором при минимизации невязки уравнений равновесия коэффициент, на который умножается вектор невязки, выбирается не произвольно, а из условия равенства нулю полной энергии на шаге нагружения.

Установлено, что модели, основанные на независимой аппроксимации перемещений и поворотов, при численной реализации подвержены феномену "машинного запирания". Выявлены причины этого эффекта и выработаны рекомендации, позволяющие отодвинуть "машинное запирание" решения в область больших степеней свободы дискретной модели оболочки.

В третьей главе подробно рассматриваются оболочки вращения. В качестве глобальной системы координат принята цилиндрическая. Разработаны конечно-элементные модели с шестью и пятью (малые повороты - линейная теория, "средний" изгиб) степенями свободы узлов. Получены уравнения движения дискретной модели, трактуемые как уравнения в приращениях нелинейной задачи, где в качестве начальных приняты накопленные значения внешней нагрузки и компонент напряженно-деформированного состояния. Последние, в случае. малых перемещений и поворотов, определяются решением линейной задачи.

Предложен способ приведения матрицы масс к диагональному виду, приводящий в.частном случае изопараметрических элементов к тем же результатам, что и при использовании для численного интегрирования формул Маркова. Показано, что в случае линейных элементов полученная диагональная матрица масс положительно определена.

Приводятся результаты решения тестовых задач динамики, жесткости и устойчивости оболочек вращения.

Установлено, что предложенная модель с пятью степенями свободы узла при независимой аппроксимации линейных перемещений и поворотов не приводит к появлению нулевых строк в глобальной матрице жесткости.

Четвертая глава посвящена обоснованию и построению стержневой модели статики оболочек вращения с разветвляющейся образующей в рамках линейной теории оболочек. Показано, что метод конечных полос, как и методы конечных и граничных элементов, представляет частный случай более общего метода приближенного решения дифференциальных уравнений - метода взвешенных невязок.

Из вариационного уравнения Лагранжа получены локальные уравнения равновесия оболочки в форме трех скалярных уравнений сил и двух - моментов:

и+{А^2),2+АхА2Ч = О, ■ -А,А^ъ+{А1Мх),1+{А1М2),2+А,Агт=0, (3)

где Л], Л2 - коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности, отнесенной к ортогональной системе координат ак (к-1,2) с единичными векторами кк; Nk=Nklkl (к, 1 = 1,2,3), М,=Мчк} (2,7 = 1,2) - векторы внутренних сил и "геометрических моментов напряжений" с компонентами:

к/2 Н¡2

Мк1 = \аыйа3, М„= \^а3ёа3> (4)

-Н/2 -к/2

&з - координата, отсчитываемая по нормали к срединной поверхности; А -толщина; а4- компоненты тензора напряжений; д,т - векторы

поверхностных силы и "геометрического момента". Последний связан с "физическим" (в общепринятом смысле) вектором момента соотношением т = к3 * т (х-знак векторного произведения).

Из вариационного уравнения равновесия в форме Лагранжа сформулированы статические граничные условия - /И, условия равновесия в узлах —. разветвления образующей

(рис. 1 - через обозначена натуральная Рис. 1

координата точки образующей: А^а], верхний индекс - номер ветки), излома и граничных срезах оболочки

т 1 к 1

"М^Г+М , „+¿„=0. (5)

" . к

Здесь Р/,,ЬИ - кольцевые силы и моменты, приложенные по параллелям а ,= аи. Кроме того, векторы перемещения и и функция изгибно-крутильной деформации в должны удовлетворять кинематическим граничным условиям

ок=дк, - (6)

наложенным по параллелям = а1к.

Основное интегральное соотношение метода взвешенных невязок для оболочки вращения записывается в виде

Яи йа^аг + а2

+ £ I [{h-uk)-R\+(ek-ek)-S\]A2dai . (7)

Здесь и*, в* - функции невязок (необязательно равные нулю на участках с заданными кинематическими условиями); R*k, S'k - операторы существенных граничных условий, являются функциями от и*, в*; а\<а2<а\ - интервал изменения угловой координаты: для замкнутой в

окружном направлении оболочки (а'2=0, а\= 2тс). Уравнением (7) записано условие равенства нулю суммы усредненных значений невязок двух векторных уравнений равновесия (3) (левая часть), естественных (5) и существенных (6) граничных условий (правая часть уравнения).

Если принять и* =Sи и в" =6в, а за R*m, S"m реактивные

кольцевые силы и моменты, возникающие вдоль координатных линий с заданными кинематическими условиями, и считать их равными нулю (виртуальные перемещения удовлетворяют кинематическим условиям), тогда из (7) как частного случая следует вариационное уравнений Лагранжа.

Интеграл по области а, занимаемой срединной поверхностью, можно представить в виде суммы интегралов по подобластям в виде полос, выделенных сечениями а2 = const, сколь угодно малой ширины А2Аа2 по

сравнению с их длиной /" - регулярными участками меридиана. Поскольку и*, в' произвольны, за них можно принять локальные функции, равные нулю всюду, за исключением области, занимаемой полосой, осью которой служит линия а2 =const 0<s "</",- A2^a2j2<s2 <A2ha2jl, где s" ,s2 -натуральные координаты поверхности, имеющие размерность длины, причем dsl^A^da", ds2 = A2da2. В пределах малого интервала

ds2 =A2da2 любая функция с точностью О(Аа^) может быть представлена первыми двумя членами ряда Тейлора u*(s",<x2) = u'(s1,a2) + s2v(s",a2). Если 0* и q>* - векторные функции

скалярного аргумента подчинить условиям в* = р* х А3, р* = р* х А2, то функции и' к 0' можно трактовать как векторы перемещения точки оси и поворота сечения полосы и рассматривать их как поля перемещений и поворотов "вспомогательного" состояния, с той лишь разницей, что за них принимаются их величины в изолированной полосе - криволинейном стержне, - возникающие в нем под действием некоторой системы внешних сил и моментов ц' ,т*.

Интегрируя по частям левую часть уравнения (7) с учетом деривационных формул (дифференцирования координатных векторов) в пределе Да2 0.ег0 можно записать в двух вариантах:

1Л

п 0

дгц , а"в:, , | м'м, | Км*р 1

Еа' в а1 в а1 ЕЦ Е4 вГк'

=Х1

1^22 хг. , уЛГ22,2 12УМ22

„ оЧ ЕН ЕкАг ЕИ3

1П

+ 1 £(«„* ■*:* +Рпн <*)+! /(?*•« + т' р)азЧ; (8,а) як я о

¿"¡{ц-и + т'-р^*! =-Ц(«я4 Кк +рлЛ <*)-л о п Ь

•«•+.' •«;,-л).

«О я '

Здесь ц* ,т* - распределенные вдоль оси полоски сила и момент, вызывающие в ней поля перемещений и" и сил и моментов И*,£>*,М*¡О1*,М'*№*кр (со штрихом обозначены поперечная сила и изгибающий момент из плоскости оси полоски), а весовым функциям Я*пк , предписаны уже конкретные ограничения: они должны быть

реакциями в точках, где заданы перемещения; «Дт1 - векторы силы и

момента на единицу длины оси полоски, определяются частью поверхностной нагрузки на единицу срединной поверхности оболочки, приходящейся на ширину полоски, внутренними силами, моментами в продольных сечениях и их производными только по окружной координате.

Решения уравнений (8) следует искать в классе обобщенных функций, поскольку для оболочечных конструкций с меридианом нерегулярной структуры - в точках излома, разветвления, а также приложения кольцевых внешних сил и моментов - компоненты напряженно-деформированного состояния претерпевают разрывы.

Из уравнения (8, а) следуют аналоги известных в строительной механике формул Мора, а уравнение (8, б) представляет принцип взаимности работ для выделенной из оболочки полоски. Если в (8,6) за компоненты q' ,т* принять поочередно дельта-функцию Дирака, то компоненты весовых функций и", /?* являются • фундаментальными решениями уравнений плоской стержневой системы, называемых в строительной механике функциями влияния перемещений.

При выводе интегральных соотношений (8) не востребованы три из пяти соотношений упругости, связывающие нормальную силу, изгибающий и крутящий моменты в продольных сечениях с деформациями срединной поверхности оболочки. Последние вместе с (8,6) образуют полную систему интегродифференциальных уравнений относительно пяти неизвестных - сил и моментов в разрезах а2 = const. Ядра этих уравнений

определяются функциями влияния , перемещений рамы-полоски и вычисляются обычным для строительной механики образом - по формулам Мора.

Альтернативой вышеизложенному подходу к формулировке разрешающих уравнений стержневой модели оболочки являются уравнения (8,а). Привлечение упомянутых выше трех соотношений упругости для "'оболочки и уравнений равновесия для рамы-полоски в интегральной форме приводит к другой системе интегродифференциальных уравнений, содержащей в качестве неизвестных еще три функции - нормальную и поперечную силу, а также

изгибающий момент в поперечных сечениях a"- const. Причем ядра этих

уравнений определяются уже только функциями влияния внутренних сил и моментов рамы. При удачном выборе основной системы для раскрытия внутренней и внешней статической неопределимости рамы функции влияния внутренних силовых факторов можно записать, используя очень простые формулы, что многократно сокращает затраты на вычисление ядер по сравнению с первым вариантом формулировки разрешающих уравнений.

Отличительной особенностью полученных по двум вариантам уравнений является то, что они содержат операцию дифференцирования только по окружной координате аг, а интегрирования - только по

меридиональной - а". Использование любого способа дискретизации этих уравнений по окружной координате (разностные, сплайновые, разложение в ряды и др.) приводит к системе интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода, а приближенное представление интегралов в виде конечных сумм - к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь выбран первый - предпочтительный вариант, как более простой и экономичный в реализации, пригодный для поиска решений и в классе обобщенных функций. Система из шести интегральных уравнений статики составной оболочки вращения вида

г=1 п к 1=1

6 I"

+ /,(„)(«!) .1 = 1,2,...,6 (9)

п ^=1 0

получена разложением в ряды Фурье по окружной координате.

Условия существования и единственности, сходимости большинства численных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода сводятся к условиям квадратичной суммируемости их ядер и правых частей

Пк 2

и * О О

^(«^«К+со, (Ю)

л 0

которые автоматически выполняются для кусочно-непрерывных функций - функций влияния как перемещений, так и внутренних силовых факторов любой стержневой системы. Существует возможность соответствующим выбором основной системы для рамы полоски сведения проблемы к решению интегральных уравнений Вольтерра второго рода, решения которых при ограниченных ядрах существуют всегда и притом единственны. ^

Для численного решения интегральных уравнений (9) используется метод механических квадратур на базе формулы трапеций как наиболее простой и пригодный для представления ядер, содержащих разрывы |

первого рода. Приводятся рекомендации по выбору шага интегрирования для обеспечения требуемого порядка погрешности дискретизации, не превышающей погрешности исходных уравнений выбранного варианта теории оболочек. Результаты численных экспериментов сравниваются с известными аналитическими и конечноэлементными решениями.

В пятой главе в рамках среднего изгиба получены локальные уравнения движения нелинейной теории тонких анизотропных оболочек и дана формулировка этих уравнений в приращениях. С привлечением метода взвешенных невязок дается вывод разрешающих интегродифференциальных уравнений для решения задач динамики стержневых моделей составных осесимметричных оболочек вращения с ?

разветвляющейся образующей. Показано, что задача о напряженно- I

деформированном состоянии предварительно нагруженных оболочек сводится к решению интегродифференциальных уравнений линейной теории оболочек, нагруженных некоторой дополнительной (фиктивной) поверхностной силой Цф с компонентами, зависящими не только от

приращений внешних сил (обозначены верхним индексом "1"), но и от накопленных значений перемещений и внутренних сил (основного состояния - обозначены верхним индексом "0").

Подробно рассматривается случай осесимметричного основного состояния - деформации вращающейся составной оболочки, для которой компоненты фиктивной нагрузки имеют вид

г + ЧгРЧ+чХ Р1 (И)

л2

где кк22 - приращения кривизны координатных линий, -относительное удлинение меридиана.

Получены интегральные уравнения для решения задач динамики и квазистатики роторов газотурбинных двигателей, устойчивости составных оболочек вращения с разветвляющейся образующей с учетом влияния поперечного сдвига и инерции вращения.

Приводятся результаты численных экспериментов на плоских и конических вращающихся дисках, иллюстрирующие "ужесточающее" влияние центробежных сил. На рис. 2 приводится зависимость отношения максимального прогиба (обода) опертого по узкому краю вращающегося плоского кольцевого диска постоянной толщины под действием гироскопических сил к этой же величине для "невращающегося" диска от "приведенной скорости" - параметра ^=ггКгаах/(ай) (У^х* окружная скорость обода, а- скорость звука в материале, /г- толщина) для различных отношений радиуса обода г; к радиусу ступицы г0.

Представленные результаты показывают, что при 7]> 2,5 действительные прогибы становятся на порядок меньше, чем результаты , полученные без учета центробежных сил. На рис. 3 приведена зависимость момента реактивной силы в опоре МК, отнесенного к моменту гироскопических сил М £, от параметра г] для различных г1 ¡гй. Как и следовало ожидать, центробежные силы не только повышают жесткость диска, но и разгружают опоры диска, особенно при больших значениях т]

и '/До •

На рис. 4 представлены некоторые результаты расчетов для диска переменной толщины, опертого полотном на кольцевой шарнир и находящегося в условиях переменного по радиусу теплового поля. Задача решалась с учетом массовых сил инерции лопаток.

Рис.2

Рис.3

Хотя качественно законы изменения безразмерных прогиба (кривые /) и меридионального момента (кривые 2) без учета влияния центробежных сил (жирные кривые) и с их учетом (тонкие) совпадают, но количественно резко отличаются. При этом отношение момента сил реакции в шарнире к гироскопическому составило лишь 0,69.

К сожалению, для реальных дисков не удается установить такие же критерии, как для дисков с постоянной толщиной стенки ("приведенная скорость" ц и отношение г;/г0), и для каждого конкретного сочетания размеров приходится производить отдельный расчет. Однако и здесь влияние центробежных сил на жесткость диска достаточно велико: результаты для прогиба отличаются более чем на 100% .

В таблице приводятся результаты решения реальной задачи - расчета на жесткость узла ротора, включающего диски

1 к

.г—

е. 0 < > г •I 0 г 1 4, }

Рис.4

двух ступеней турбины (на рис. 5 показано продольное сечение).

Установлено, что доля осевых перемещений венца рабочих лопаток от возникающих при пикировании летательного аппарата гироскопических сил соизмерима с перемещениями от центробежных сил и теплового поля. Причем результаты для изменения осевых зазоров, полученные с учетом ужесточающего влияния центробежных сил,

Рис. 5

на треть меньше, чем у "невращающегося" ротора.

Таблица

Изменение осевых зазоров в ступенях (в % от длины лопаток)

3-я ступень 4-я ступень

от центробежных сил и теплового поля 1,64 2,06

от гироскопических сил 1,94 2,14

от гироскопических сил с учетом вращения 1,23 1,03

В шестой главе метод расчета составных оболочек с разветвляющейся образующей на основе стержневых моделей развит для решения задач устойчивости подобных конструкций. Задача решается в

") линейной постановке — определяются верхние значения критических

нагрузок (закритическое поведение оболочки не исследуется). Показано, I что в общем случае задача об устойчивости составной оболочки в

' условиях моментного основного (предшествующего потере устойчивости)

I состояния сводится к проблеме о характеристических числах ядер системы

интегродифференциальных уравнений - обобщенной проблеме о I собственных значениях.

1 Предложен экономичный прием, сводящий обобщенную проблему к '

стандартной задаче о собственных значениях. Вместо вычисления обратной матрицы высокого порядка определяются силовые податливости оболочки и в общем случае для решения задачи об устойчивости составной оболочки в условиях моментного основного (предшествующего потере

устойчивости) состояния получены три интегральных уравнения относительно компонент фиктивной поверхностной силы (11), а для безмоментного основного состояния - одно интегральное уравнение

относительно нормальной компоненты (11) . Представление решения этого уравнения в виде ряда Фурье по окружной координате приводит двухмерную задачу к решению последовательности одномерных

уравнений относительно амплитудного значения для каждой

гармоники разложения" т"

1 Ч

Наименьшее характеристическое число (наибольшее собственное значение) X т ядра К^^а" ,Т]{) при потере устойчивости с

образованием т волн по окружности отыскивается методом "следов". Коэффициент запаса по устойчивости оболочки определяется наименьшим из этих чисел куст= пмп(А т), т = 0,1Д_.оо.

Тестирование метода производится на эталонных задачах и на примере задачи об устойчивости камеры сгорания газотурбинного двигателя, представляющей составную оболочку, нагруженную переменным по образующей внешним давлением (рис. 6).

В лаборатории кафедры сопротивления материалов Уфимского авиационного института был разработан стенд и проведены натурные "холодные" испытания кольцевой камеры сгорания ГТД на устойчивость.

На рис. 6 показаны эпюры перепада давления {Рра6- линия 1) и изменения

температуры по длине камеры с учетом градиента температуры в окружном направлении (10 волн Т^ 4-7^), соответствующие режиму наибольших температур. Потеря устойчивости камеры на изделии происходила в упругой области, это позволяет моделировать условия нагружения при нормальной температуре по формуле упругого состояния: Рэт= РрабЕ20о/Е,. Здесь Рэю - эквивалентное давление (линия 2),

соответствующее нормальной температуре; ЕпЕ100- модули упругости

материала при соответствующих температурах.

Рис.6

Нагружение осуществлялось сжатым воздухом, поступающим в полости 8-ми резиновых камер, что позволило реализовать схему в виде ломаной (см. рис. 6, линия 3), близкой к эквивалентной.

Во время испытаний выпучивание стенки имело место у широкого -свободного края жаровой трубы (рис. 7) и сопровождалось разрывом резиновых камер.

На рис. 8 показана зависимость наименьшего характеристического числа ядра уравнения (12) от числа волн по окружности.

Экспериментально установленное значение коэффициента запаса устойчивости, 15 практически совпало с теоретическим - 1,49 (см. рис. 8).

В приложения вынесены некоторые известные сведения и основные уравнения механики сплошной среды, дифференциальной геометрии, линейной алгебры - задачи о собственных значениях, а также некоторые результаты автора, прямо не относящиеся к теме диссертации, но отдельные положения которых нашли применение в работе.

Общие выводы

1. На основе анализа кинематики сплошной среды получены выражения для мер деформации тонких оболочек при больших перемещениях и малых упругих деформациях. За счет независимой аппроксимации векторов перемещения и поворота снижен порядок их производных в выражениях для мер деформации, что позволяет получить более широкий класс решений. Расширяется также класс допустимых функций для конечно-элементного решения геометрически нелинейных задач теории оболочек. Полученные формулы для мер деформации не содержат производных геометрических параметров срединной поверхности оболочки выше первого, что позволяет избежать внесения "начальных несовершенств" в математическую модель оболочек, существенно влияющих на решение нелинейных уравнений. При конечно-элементной формулировке ослаблено одно из допущений теории тонких оболочек - гипотеза о прямой нормали: нормаль к срединной поверхности до деформации уже не обязательно должна остаться нормалью к ней и после деформации, достаточно, чтобы она оставалась прямой - модель типа Тимошенко.

2. В отличие от известных процедур получения уравнений движения деформируемого тела в форме Лагранжа на основе принципа виртуальных

перемещений или уравнения баланса мощностей, предложен вариант вывода уравнений движения из закона сохранения энергии с привлечением аппарата множителей Лагранжа. При этом снимаются ограничения на поля налагаемых на тело виртуальных перемещений. Получено выражение для внутренней энергии, состоящей из двух слагаемых: энергии деформации и потерь (поглощения) тепла в процессе деформации. В известных же способах формула для энергии деформации следует из формальной трактовки результатов интегрирования по частям. Полученные уравнения движения могут быть использованы и для описания процессов ? деформирования тел, сопровождающихся теплообменом с окружающей

средой.

^ 3. Предложена диагональная формулировка матрицы масс в

уравнениях движения конечного элемента. Известны два способа приведения матрицы масс к диагональной форме: первый основан на применении специальных квадратурных формул для численного интегрирования при вычислении элементов матрицы масс. Однако это приводит к потере некоторых полезных свойств матрицы масс как, например, ее положительной определенности и т.д. Другой подход заключается в механическом отбрасывании внедиагональных членов с последующей корректировкой диагональных членов умножением на некоторый коэффициент, чтобы узловые массы правильно отражали массу конечного элемента. В отличие от перечисленных выше, предложенный ч подход к диагонализации матрицы масс имеет вполне конкретный

физический смысл: отыскивается такая диагональная матрица, которая | порождала бы в узлах те же силы инерции, что и согласованная. Она

справедлива и для описания движения конечного элемента как твердого тела.

4. С привлечением уравнений трехмерной теории упругости для анализа напряженно-деформированного состояния реальных дисков газотурбинных двигателей установлена правомерность применения расчетной схемы в виде оболочки при расчетах их на жесткость.

5. Предложена стержневая модель составных оболочек вращения. В отличие от известных методов - расчленения и конечных полос, -основанных на формальной аналогии уравнений теории тонких оболочек и

пространственного криволинейного стержня, на основе метода взвешенных невязок доказаны правомерность использования стержневых моделей для решения задач статики и динамики оболочек вращения и единая природа предложенной модели и известных численных методов механики деформируемого тела - конечных и граничных элементов. Показано, что предложенная модель, в отличие от конечно-элементной, при стягивании к нулю размеров рам-полос допускает предельный переход к интегродифференциальным уравнениям. Такая возможность позволяет успешно, без дополнительных затрат времени, не только решать задачи сходимости и оценки точности численного анализа, но и избежать эффекта машинного "запирания" решения, характерного для МКЭ при использовании вырожденных элементов для дискретизации оболочки. Разработан алгоритм, сформулированы условия сходимости, а также прогнозная оценка погрешности численного решения при любой сетке конечных элементов.

6. Предложенный метод стержневых моделей развит для решения задач вращающихся составных оболочек при неосесимметричном нагружении. В отличие от известной системы "Жесткость" ЦИАМ им. Баранова, предназначенной для решения задач статики оболочек этого класса, метод и разработанный на его основе численный алгоритм позволяют решать широкий круг задач динамики и жесткости вращающихся роторов газотурбинных двигателей летательных аппаратов. Причем для этого не требуется синтезировать сложную составную оболочку из примитивов - плоских дисков и конических оболочек. Применение известных подходов строительной механики стержневых систем для раскрытия статической неопределимости конечных элементов - рам-полос - позволяет записать единые уравнения для всей конструкции. С помощью численно-аналитического решения исследовано влияние центробежных сил на изменение зазоров в системе ротор - корпус под действием гироскопических сил. Установлено, что в зависимости от физико-механических характеристик материала, геометрических параметров оболочки и собственной угловой скорости ротора центробежные силы значительно (вплоть на порядок) ужесточают конструкцию и снижают нагрузку на опоры ротора.

7. Получены интегральные уравнения устойчивости составных оболочек вращения, наименьшее характеристическое число ядер которых определяет коэффициент запаса по устойчивости. Предложен экономичный прием сведения обобщенной проблемы к стандартной задаче о собственных значениях.

Основные результаты диссертации отражены в следующих работах:

1. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. Метод конечных элементов в геометрически нелинейных задачах теории тонких упругих оболочек. -М.:

^ Изд-е МАИ, 2002. -144 с.

2. Газизов Х.Ш. Стержневые модели оболочек вращения "рамного" j контура. - Уфа: Изд-е УГАТУ, 2002. -98 с.

) 3. Газизов Х.Ш. Динамика и жесткость вращающихся роторов ГТД.

Препринт. -Уфа: Изд-е УГАТУ, 2002. -40 с.

4. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. К расчету пластин переменной толщины// Расчет пространственных конструкций. -М.: Стройиздат, 1977. Вып. XVII.-С. 124-130.

5. Газизов Х.Ш., Ляшевский Н.Ф. Антисимметричная деформация дисков турбомашин// Изв. вузов. Машиностроение. 1989. -№11. -С. 78-81.

6. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д. Устойчивость оболочек вращения произвольного очертания //Изв. вузов. Авиационная техника. 1989. -№3. -С. 17-19.

7. Газизов Х.Ш., Жернаков B.C. Метод граничных элементов в ^ задачах термоупругости //Изв. вузов. Машиностроение. 1991. -№1-3. -С.

7-9.

! 8. Газизов Х.Ш., Жернаков B.C. Метод граничных элементов в

задачах для бесконечных областей// Изв. вузов. Машиностроение. 1991. -№10-12.-С. 3-6.

9. Газизов Х.Ш., Жернаков B.C. О конечных элементах оболочек в строительной механике// Изв. вузов. Авиационная техника. 1994. -№2. -С. 74-76.

10. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. О диагональной формулировке матрицы масс в методе конечных элементов// Изв. вузов. Авиационная техника. 1995. -№1. -С. 73-75.

11. Жернаков B.C., Газизов Х.Щ. Метод граничных элементов в пространственных задачах теории упругости// Изв. вузов. Машиностроение. 1995.-№4-6.-С. 11-16.

12. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. Об одном алгоритме решения нелинейных задач механики деформируемого тела// Изв. вузов. Машиностроение. 1996. -№7-9. -С. 9-13.

13. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. Об одном варианте вывода уравнений движения в нелинейной механике деформируемых тел /"/Изв. вузов. Машиностроение. 1997. -№1-3. -С. 3-7.

14. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш., Терегулов Р.И. Антисимметричная •• деформация вращающихся дисков //Изв. вузов. Машиностроение. 1998. -

№7-9. -С. 40-45.

15. Газизов Х.Ш., Жернаков B.C. Конечноэлементный анализ геометрически нелинейных задач тонких оболочек //Dynamics, Strength & Wear-Resistance of Machines. Int.// E. Journal. 2001. -Vol.8. -P. 62-72.

16. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. Об одном варианте теории течения для решения задач о больших упругопластических деформациях// Изв. вузов. Машиностроение. 2001. -№6. -С. 3-10.

17. Кузьминых А.А., Газизов Х.Ш., Якупов Р.Г., Шевелев А.А. Исследование напряженного состояния составного цилиндра с шестиугольным контуром . полости//Актуальные проблемы фундаментальных наук: Труды Второй Междунар. научно-техн. конференции. Т. П. Техносфера-информ '94. -М., 1994. -С. 71. ^

18. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. О стержневых моделях составных оболочек газотурбинных двигателей// Труды Ш Международной научно-технической конф. "Кибернетика и технологии XXI века1*. -Воронеж, 2002. * -С. 144-155.

19. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш., Терегулов Р.И. Метод конечных элементов в геометрически нелинейных задачах расчета оболочек вращения при антисимметричном нагружении// Механика и прочность авиационных конструкций. Сб. докладов Российской научно-техн. конференции. -Уфа, 2001. -С. 82-92.

i t

20. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш., Терегулов Р.И. Конечный элемент для нелинейных задач оболочек вращения// Вестник УГАТУ. -Уфа, 2001. -№2(4). -С. 64-72.

21. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. Поперечный изгиб пластин сложной конфигурации//Расчеты на прочность на ЭЦВМ. -Уфа: Изд-е УАИ, 1975. Вып. 92. -С. 27-56.

22. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. К расчету на прочность сплошных крыльев малого удлинения / Расчеты на прочность на ЭЦВМ. -Уфа: Изд-е УАИ, -1975. Вып. 92. - С. 102-111.

t 23. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. Интегро-

дифференциальные уравнения плоской задачи теории упругости //Расчеты [ на прочность на ЭЦВМ. -Уфа: Изд-е УАИ, 1975. Вып. 92. -С. 85-101.

24. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. Плоское напряженное состояние прямоугольных пластин переменной толщины//Расчеты на. прочность на ЭЦВМ. -Уфа: Изд-е УАИ, 1975. Вып. 92. -С. 57-71.

25. Газизов Х.Ш., Мавлютов P.P., Рапопорт Л.Д. Расчет на ЭЦВМ оболочек вращения с произвольным очертанием образующей/ЛТрочность конструкций. Межвуз. научн. сб. -Уфа, 1978. Вып. 3. -С. 42-47.

26. Газизов Х.Ш., Ляшевский Н.Ф. Об одном алгоритме метода конечных элементов//Концентрация напряжений в элементах авиационных двигателей. Межвуз. научн. сб. -Уфа: 1985. №3. -С. 54-57.

27. Газизов Х.Ш. Концентрация напряжений около отверстий в р оболочках//Концентрация напряжений в элементах авиационных

двигателей. Межвуз. научн. сб. -Уфа: 1986. №4. -С. 29-34. j 28. Газизов Х.Ш., Жернаков B.C. Метод конечных элементов в

J геометрически нелинейных задачах теории тонких оболочек/ VIII

Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. - Пермь: Изд. УрО РАН, 2001. -С. 171.

29. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д. Устойчивость составных тонкостенных конструкций//Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов: Тезисы докладов III Всесоюзной конференции. -Казань: Изд. КАИ, 1988. -С. 29.

30. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д. Антисимметричная деформация роторов турбореактивных двигателей с учетом восстанавливающего

момента центробежных сил//Всесоюзное научное совещание по проблемам прочности двигателей: Тезисы докладов. -Мл Изд. АН СССР, 1979. -С. 29.

31. Газизов Х.Ш., Ляшевский Н.Ф. Вычислительный комплекс для расчета на прочность деталей двигателей// XXI Всесоюзное научное совещание по проблемам прочности двигателей. Тезисы докладов. -М: Изд. АН СССР, 1986. -С. 62-63.

32. Газизов Х.Ш., Ляшевский Н.Ф., Рапопорт Л.Д. Антисимметричная деформация вращающихся дисков газотурбинных двигателей// XXIII Всесоюзное научное совещание по проблемам прочности двигателей: Тезисы докладов. -М: Изд. АН СССР, 1990. -С. 64.

33. Газизов Х.Ш., Жернаков B.C. Стержневые модели составных оболочек газотурбинных двигателей// XXVTH Международное научно-техническое совещание по динамике и прочности двигателей: Тезисы докладов. -М., Изд. РАН, 2002. -С.27-28.

ГАЗИЗОВ Хатиб Шарифзянович

РАЗРАБОТКА ТЕОРИИ И МЕТОДОВ РАСЧЕТА ДИНАМИКИ, ЖЕСТКОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ СОСТАВНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

Подписано в печать 25.02.03. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 2,0. Уч. -изд. л. 1,9. Тираж 100 экз. Заказ № <59-Уфимский государственный авиационный технический университет. Уфимская типография №2 Министерства печати и массовой информации Республики Башкортостан. 450000, Уфа - центр, ул. К. Маркса, 12.

■i

2-g о?- A S 2.4^ i"5 2 4 5

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора технических наук, Газизов, Хатиб Шарифзянович

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ

1.1. Математические модели тонких упругих оболочек. Методы сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным

1.2. Методы решения краевых задач для одномерных дифференциальных и интегральных уравнений оболочек вращения переменной жесткости

1.3. Метод конечных элементов в теории оболочек вращения переменной жесткости

1.4. Стержневые модели оболочек вращения

2. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОНКОЙ ОБОЛОЧКИ

2.1. Деформации произвольной оболочки

Введение диссертация по механике, на тему "Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения"

Актуальность проблемы. Распространено мнение, что с появлением мощных программных комплексов типа ANSYS, NASTRAN, MARC, UNIGRAPHICS и других, отпала необходимость как в совершенствовании известных, так и в создании новых методов расчета конструкций, включая и теорию пластин и оболочек. Известные специалисты в вычислительной механике проф. С. Атлури и А. Кобаяси предупреждают, что как всякое другое средство, метод конечных элементов следует применять с известной осторожностью: некритическое использование этого метода для решения задач на современных ЭВМ с их огромными возможностями переработки числовой информации приводит к широко распространенному мнению, что все задачи разрешимы, если в распоряжении исследователя имеется достаточно мощный компьютер и длительное время. В общем случае это неверно: перед тем как начать вычисления, часто оказывается необходимым глубоко понять механику, лежащую в основе рассматриваемой задачи. Кроме того, вопросы, связанные с повышением эффективности программных комплексов с точки зрения экономии времени и привлекаемых ресурсов ЭВМ всегда останутся актуальными. Тем более блоки ANSYS, может быть за исключением блока вывода, на сегодняшний день следует признать еще далекими от совершенства. Достаточно лишь отметить такие проблемы, как сходимость и оценка точности численного решения, зависимость решения не только от числа степеней свободы, но и от формы и соотношения размеров конечных элементов. В этом смысле метод конечных элементов скорее следует отнести к классу итерационных. С целью оценки точности получаемых результатов приходится производить повторные расчеты с "адаптивной" перестройкой сетки элементов (иначе соответствующим выбором сетки можно получить любой, наперед заданный, результат).

Любая конструкторская задача является задачей оптимального проектирования. На ранних этапах развития науки о прочности такая задача решалась простым перебором вариантов. Следует признать, что и современные методы оптимизации остаются многозатратными. Так что сроки проектирования и доводки новых изделий по-прежнему главным образом зависят от эффективности решающего блока используемого программного комплекса.

Очень редко расчетные схемы оболочечных конструкций могут быть сведены к какой-либо регулярной поверхности. Реальные конструкции, как правило, представляют собой составные оболочки, в том числе и с элементами, содержащими линии и точки излома, разветвления, содержат замкнутые полости (на рис. 1 показано продольное сечение одного из роторов двухвального газотурбинного двигателя (заимствована из юбилейного двухтомника ЦИАМ им. Баранова, Москва, 2000 г.)).

Эвристический алгоритм расчета такого рода конструкций представление сложной поверхности совокупностью регулярных, определение напряженно-деформированного состояния (НДС) последних (анализ) и их последующая стыковка (синтез) существенно усложняют алгоритм расчета и приводит к неоправданным затратам ресурсов и времени численного решения задачи на ЭВМ. К настоящему времени известна лишь одна вычислительная система - "Жесткость", разработанная ЦИАМ им. Баранова и предназначенная для решения задач статики оболочек такого класса. Основной недостаток системы заключается в том, что она ориентирована на решение достаточно узкого круга задач. Система "Жесткость" для определения НДС примитивов — цилиндрических и конических оболочек постоянной и линейно-переменной толщины использует известные решения дифференциальных уравнений

Рисунок 0.1. Продольное сечение ротора ГТД осесимметричных оболочек вращения постоянной и линейно-переменной тощины. Кроме того, необходимость последующей стыковки различного числа примитивов снижает универсальность системы, требуя доработки для каждой конкретной конструкции.

К настоящему времени нет общей теории расчета такого рода конструкций (не является исключением и система "Жесткость" ЦИАМ им. Баранова). В этом отношении ситуация аналогична той, что была в строительной механике стержневых систем перед появлением известных формул Мора. Именно последние явились мощным толчком для создания универсальных методов расчета сложных статически определимых и неопределимых стержневых систем.

Классические математические модели оболочек вращения — уравнения линейной теории пластин и оболочек основаны на использовании принципа "неизменных размеров" и не позволяют учитывать влияние предварительных напряжений и деформаций (например, вызываемых центробежными силами) на компоненты напряженно деформированного состояния при их дополнительном - неосесимметричном нагружении. Их учет может быть осуществлен только переходом к деформированной расчетной схеме, а это возможно лишь в рамках нелинейной теории пластин и оболочек — в ее геометрически нелинейном варианте.

Направления исследований:

- анализ основных кинематических соотношений нелинейной механики деформируемого тела, вывод формул для деформаций тонких оболочек, позволяющих снизить до минимума порядок производных компонент векторов перемещения, поворота нормали и геометрических параметров поверхности вращения с целью предотвращения введения начальных "несовершенств" в геометрию оболочки на этапе дискретизации объекта и появления нулевых строк в матрице жесткости;

- доказательство правомерности применения двумерных расчетных схем - оболочек для исследования напряженно-деформированного состояния реальных конструкций дисков газотурбинных двигателей (на уровне численных экспериментов);

- обоснование стержневых моделей оболочек вращения; построение разрешающих уравнений модели; исследование поведения уравнений модели при стягивании к нулю размеров конечных элементов — полос; исследование сходимости численных методов их решения, оценка точности; выработка рекомендаций по выбору сеток элементов для достижения требуемой точности результатов численного решения;

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

2. В отличие от известных процедур получения уравнений движения деформируемого тела в форме Лагранжа на основе принципа виртуальных перемещений или уравнения баланса мощностей, предложен вариант вывода уравнений движения из закона сохранения энергии с привлечением аппарата множителей Лагранжа. При этом снимаются ограничения на поля налагаемых на тело виртуальных перемещений. Получено выражение для внутренней энергии, состоящей из двух слагаемых: энергии деформации и потерь (поглощения) тепла в процессе деформации. В известных же способах формула для энергии деформации следует из формальной трактовки результатов интегрирования по частям. Полученные уравнения движения могут быть использованы и для описания процессов деформирования тел, сопровождающихся теплообменом с окружающей средой.

3. Предложена диагональная формулировка матрицы масс в уравнениях движения конечного элемента. Известны два способа приведения матрицы масс к диагональной форме: первый основан на применении специальных квадратурных формул для численного интегрирования при вычислении элементов матрицы масс. Однако это приводит к потере некоторых полезных свойств матрицы масс как, например, ее положительной определенности и т.д. Другой подход заключается в механическом отбрасывании внедиагональных членов с последующей корректировкой диагональных членов умножением на некоторый коэффициент, чтобы узловые массы правильно отражали массу конечного элемента. В отличие от перечисленных выше, предложенный подход к диагонализации матрицы масс имеет вполне конкретный физический смысл: отыскивается такая диагональная матрица, которая порождала бы в узлах те же силы инерции, что и согласованная. Она справедлива и для описания движения конечного элемента как твердого тела.

5. Предложена стержневая модель составных оболочек вращения. В отличие от известных методов - расчленения и конечных полос, основанных на формальной аналогии уравнений теории тонких оболочек и пространственного криволинейного стержня, на основе метода взвешенных невязок доказаны правомерность использования стержневых моделей для решения задач статики и динамики оболочек вращения и единая природа предложенной модели и известных численных методов механики деформируемого тела - конечных и граничных элементов. Показано, что предложенная модель, в отличие от конечно-элементной, при стягивании к нулю размеров рам-полос допускает предельный переход к интегродифференциальным уравнениям. Такая возможность позволяет успешно, без дополнительных затрат времени, не только решать задачи сходимости и оценки точности численного анализа, но и избежать эффекта машинного "запирания" решения, характерного для МКЭ при использовании вырожденных элементов для дискретизации оболочки. Разработан алгоритм, сформулированы условия сходимости, а также прогнозная оценка погрешности численного решения при любой сетке конечных элементов.

6. Предложенный метод стержневых моделей развит для решения задач вращающихся составных оболочек при неосесимметричном нагружении. В отличие от известной системы "Жесткость" ЦИАМ им. Баранова, предназначенной для решения задач статики оболочек этого класса, метод и разработанный на его основе численный алгоритм позволяет решать широкий круг задач динамики и жесткости вращающихся роторов газотурбинных двигателей летательных аппаратов. Причем для этого не требуется синтезировать сложную составную оболочку из примитивов — плоских дисков и конических оболочек. Применение известных подходов строительной механики стержневых систем для раскрытия статической неопределимости конечных элементов - рам-полос позволяет записать единые уравнения для всей конструкции. С помощью численно-аналитического решения исследовано влияние центробежных сил на изменение зазоров в системе ротор-корпус под действием гироскопических сил. Установлено, что в зависимости от физико-механических характеристик материала, геометрических параметров оболочки и собственной угловой скорости ротора центробежные силы значительно (вплоть на порядок) ужесточают конструкцию и снижают нагрузку на опоры ротора.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора технических наук, Газизов, Хатиб Шарифзянович, Уфа

1. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. -431с.

2. Ляв А. Математическая теория упругости. Пер. с 4-го англ. изд.-М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. -676 с.

3. Кильчевский Н.А. Обобщение современной теории оболочек// ПММ. 2, вып.4. -1939. -С.427-438.

4. Кильчевский Н.А. Обобщение современной теории оболочек// ПММ. 11, вып.4.-1939.

5. Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells// Quarterly Applied Mathematics. -1957. V.14, №4. -P.369-380.

6. Reissner E. On the equations for finite symmetrical deflections of thin shells of revolution// Progress in Applied Mechanics. The Prager Anniversary Volume.-1963.-P.171-178.

7. Reissner E. Small bending and stretching of sandwich type shells// NACA.TN. 1832.-1949.

8. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe// Journal fur die reine und angewandte Mathematik. -1850. Bd 40, Hft 1. -S.51-88.

9. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

10. Гольденвейзер А.Л. Об оценках погрешностей классической теории тонких упругих оболочек// Изв. РАН. Мех. тверд, тела. -1996. -№ 4. -С. 145158.

11. Муштари Х.М. Об области применимости приближенной теории оболочек Кирхгоффа-Лява// ПММ. 11, №5. -1947. -С.517-520.

12. Новожилов В.В., Финкелыптейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгоффа в теории оболочек// ПММ. 1943. 7, вып.5. -С.331-340.

13. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. -М.: ГИТТЛ, -1957. -С.304-308.

14. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Часть II. Стержни и пластинки. —СПб: тип. Коллинса, -1916 (перепечатка: Тимошенко С.П. Курс теории упругости. -Киев: Науково думка, 1972. -С.337-338.

15. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. -М.: Физматлит, 1961.-384 с.

16. Маковенко С.Я. О представлении поперечных деформаций в теории тонких оболочек// Теор. и эксперим. исслед. прочн. и жесткости элементов строит, конструкций/ Моск. гос. строит, ун-т. -М.: -1997. -С. 93-95.

17. Гузь А.И., Шнеренко К.И. Линейные задачи для оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига// Механика композитов. Т.7. Концентрация напряжений. -Киев. -1998. -С. 288-328.

18. Wu Jiuncheng, Pan Lizhou. Nonlinear theory of multilayer sandwich shells and its application. 1. -General theory// Appl. Math, and Mech/ Engl. Ed. -1997.-18,№ l.-C. 19-27.

19. Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. О численном исследовании колебаний оболочек средней толщины// Сопротивление материалов и теория сооружений (Киев). -1983. №42. -С. 22-25.

20. Shirakawa К. Effects of shear deformation and rotary inertia on vibration and buckling of cylindrical shells// J. Sound and Vibr. -1983. -91, № 3. -C. 425-437.

21. Григоренко Я.М., Василенко A.T., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -Киев: Наук, думка.-1987.-216 с.

22. Stein Manuel. Nonlinear theory for plates and shells including the effects of transverse shearing// AIAA Journal. -1986. -24, №9. -C.1537-1544.

23. Renshaw A.A. Natural frequencies of circular plates including the effects of transverse shear and rotary inertia// J. Sound and Vibr. -1996. -193, № 5.-C. 1122-1124. (англ.).

24. Каплунов Ю.Д., Нольде E.B. О роли поперечного обжатия в динамике оболочек// Прикл. мат. и мех. (Москва). -1996. -60, № 4. -С. 644650.

25. Галимов Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек. -Саратов: Изд. ун-та, 1990.-136 с.

26. Векуа И.Н. Об одном направлении построения теории оболочек// Механика в СССР за 50 лет. Т.З. -М.: Наука, 1972. -С. 267-290.

27. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. -М.: Наука, 1982. -228 с.

28. Клабукова JI.C., Чечель И.И. Вариационно-разностный метод решения краевых задач теории оболочек моментной теории И.Н. Векуа// Ж. вычисл. мат. и мат. физ. -1988. -28, №3. -С.375-389.

29. Танеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. —М.: Наука, 1992.-160 с.

30. Васильев В.В. К теории упругости оболочек// Вопр. мех. и процессов упр. -1990. -№13. -С. 62-71.

31. Гольденвейзер A.JI. Развитие теории упругих тонких оболочек// Труды Всесоюзн. съезда по теоретической и прикладной механике (Москва, 1960). -М.: Изд-во АН СССР. -1962. -С.339-357.

32. Гольденвейзер A.JI. Методы обоснования и уточнения теории оболочек// Прикл. матем. и мех. 32, №4. -1968. -С.684-695.

33. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. Изв. АН Эст. ССР, сер. физ.-матем. и техн. наук. 14, №1. — 1965.-C.3-63.

34. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек// Изв. АН Эст. ССР, сер. физ.-мат. и техн. наук. 14, №3. -1965. -С.337-344.

35. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. -М. Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

36. Хома И.Ю. Уравнения обобщенной теории оболочек с начальными напряжениями// Прикл. мех. (Киев). -1996. -32, №11. -С. 64-70.

37. Балабух Л.И., Колесников К.С., Зарубин B.C., Алфутов Н.А., Усюкин В.И., Чижов В.Ф. Основы строительной механики ракет. -М.: Высшая школа, 1984. -496 с.

38. Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. Строительная механика ракет. -М.: Высшая школа, 1984. -391 с.

39. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. -М.: Наука, 1976.-512 с.

40. Гольденвейзер A.JI. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости// ПММ. 27, вып.4. -1963. -С.593-608.

41. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем// Изв. АН СССР. ОТН. №1. -1957. -С.77-84.

42. Григолюк Э.И. Конечные прогибы упругих тонких пластин. —М.: Изд-во МГУ, 1995. -60 с.

43. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука - Физматлит, 1997. - 272 с.

44. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. -М.: Наука, 1988. -231 с.

45. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. —М.: Гостехиздат, 1947.

46. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. -Л.: Судостроение, 1989. -400 с.

47. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1963. -659 с.

48. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. Пер. с англ. -М.: Наука, 1982.-567 с.

49. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957.-431 с.

50. Муштари Х.М. Нелинейная теория оболочек. Сборник научных трудов. -М.: Наука, 1990. -223 с.

51. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. -326 с.

52. Галимов К.З., Артюхин Ю.П. и др. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. -211 с.

53. Ипьгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. -М.: Наука, 1977. —332 с.

54. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. -М.: Наука, 1969. -183 с.

55. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Наука, 1966.-635 с.

56. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек: 4.1. Общая теория. -Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1962. -274 е.; 4.2. Некоторые вопросы теории. — Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1964. -395 с.

57. Феодосьев В.И. Упругие элементы точного приборостроения. -М.: Оборонгиз, 1949.-343 с.

58. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. -М.: Наука, 1989. -376 с.

59. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. — Киев: Изд-во АН УССР, 1963. -354 с.

60. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения. -М.: Наука, -192 с.

61. Reissner Е. On the theory of thin elastic shells// H. Reissner. Anniversary Volume: Contributions to Applied Mechanics/ I. W. Edwards, Ann. Arbor. -Michigan, 1949. -P.231-247.

62. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. -М.: Госстройиздат, 1961. -306 с.

63. Kobayashi Harutoshi. A survey of books and monographs on plates// Mem. Fac. Eng./ Osaka City Univ. -1997. -38. -C. 73-98. (англ.).

64. Огибалов П.М., Колтунов M.A. Оболочки и пластины. М.: Изд. МГУ, 1969. - 695 с.

65. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения. -М.: Оборонгиз, 1961.-368 с.

66. Биргер И.А. Общий случай деформации оболочек вращения// Прочность и динамика авиационных двигателей. Вып.2. -М.: Машиностроение, 1965.-С.3-35.

67. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. -М.: Машиностроение, 1984. — 280 с.

68. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник. Под ред. Мяченкова В.И. -М.: Машиностроение, 1989.-520 с.

69. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. -М.: Наука, 1968.-455 с.

70. Григоренко Я.М. и др. Численное решение краевых задач статики ортотропных слоистых оболочек вращения на ЭВМ типа М-220. -Киев: Науко во думка, 1971.—151 с.

71. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. -Киев: Науково думка, 1973.

72. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -Киев: Наук, думка.-1987.-216 с.

73. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Судавцова Г.К. Анализ напряженно-деформированного состояния упругих систем из анизотропных оболочек вращения и колец// Расчеты на прочность (Москва). -1990. -№ 32. -С.57-67.

74. Гайдайчук В.В., Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И., Савченко Т.А. Устойчивость составной оболочки вращения под действием внешнего давления// Прикл. мех. (Киев). -1987. -23, №7. -С.26-30.

75. Домарецкий Р.В. Метод ортогонализации для решения многоточечных краевых задач колебаний составных упругих систем // Укр. трансп. ун-т. -Киев. -1996. -16 с. Деп. в ГНТБ Украины 14.10.96, № 1892 -Ук96.

76. Солодовченко Е.С. Свободные колебания вращающейся составной оболочечной конструкции// Харьков, ин-т инж. гор. хоз-ва. -Харьков, 1991. -19с. Деп. в УкрНИИНТИ 18.11.91., № 1480-Ук91.

77. Беспалова Е.И., Григоренко Я.М., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания предварительно нагруженных анизотропных оболочек вращения// Прикл. мех. (Киев). -1991.-27, №5. -С.51-57.

78. Suzuki Katsuyoshi, Takahashi Ryoji, Kosawada Tadashi. Analysis of vibrations of rotating thin circular cylindrical shells// JSME Int. J. Ser. 3. -1991. -34, №1.-C. 19-25.

79. Kobayashi Yukinori, Yamada Gen. Free vibration of a spinning polar orthotropic shallow spherical shell// JSME Int. J. Ser. 3.-1991. -34, №2. -C.233-238.

80. Kotera Tadashi. Vibration analysis of a rotating disk. 1st report. A disk with a support on the outer periphery// Нихан кикай раккай ромбунсю C=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C. -1989. -55, №516. -C.1929-1932 (яп.).

81. Puckett J.A., Lang G.J. Compound strip method for free vibration analysis of continuous plates// J. Eng. Mech. -1986. -112, №12. -C. 1375-13 89.

82. Mizusawa Tomisaku. Application of spline strip method to analyse vibration of open cylindrical shells// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1988. -26 !., №3. -C.663-676.

83. Ray Arunachal. An alternate approach of finite strip method in structural analysis// Modell., Simul. and Contr. -1987. -10, №1. -C.l-19.

84. Калачев А.Ю., Тахир Гони Брахим. Расчет составных оболочек вращения методом прямых// Числ. методы расчета тонкостей, пространствен, конструкций.-Киев, 1988.-С.92-95.

85. Паймушин В.Н., Сайтов И.Х., Рахманкулов Н.У. Обобщенные схемы решения задач статики теории оболочек типа Тимошенко интегрально-проекционным методом// Пробл. мех. оболочек. -Калинин, 1988. -С.94-103.

86. Корнишин М.С., Шихранов А.Н., Байдарова Н.П. Неосесимметричное деформирование гибких пластин и оболочек вращения// ТР. Семин. Казан, физ.-техн. ин-та. Вып. 19. 4.1. -Казань, 1986. -С.50-57.

87. Паймушин В.Н., Сидоров И.Н., Сулейманов И.М. Построение граничных интегральных уравнений различных вариантов теории оболочек сложной геометрии// Изв. РАН. Мех. тверд, тела. -1997. №4. -С. 133-143.

88. Liu Yijun. Analysis of shell-like structures by the boundary element method based on 3-D elasticity: formulation and verification// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1998. -41, № 3. -C. 541-558.

89. Зозуля В.В. Граничные интегральные уравнения для оболочек произвольной геометрии// Прикл. мех. (Киев). -1998. -34, №5. -С. 57-67.

90. Yamaji Seiichi, Natsuda Hirokazu, Ueno Nuturou. Improvement of numerical techniques in BEM. Simultaneous linear equations// JSME Int. J. A. бывш. JSME Int. J.A.. -1999. -42, №2. -С. 183-190.

91. Угненко И.Г. Применение метода Галеркина для глобального сглаживания решения, полученного по методу граничных элементов// Прикл. методы иссл. прочности JIA/ Моск. авиац. ин-т. -М., 1992. -С. 78-85.

92. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987.-524 с.

93. Belytschko Т., Chang H.S., Lu Y.Y. A variationally coupled finite element boundary element method// Comput. and Struct. -1989. -33, №1. -C. 17-20 (англ.).

94. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984. -^494 с.

95. Газизов Х.Ш., Жернаков B.C. Метод граничных элементов в задачах термоупругости // Изв. вузов. Машиностроение. -1991. №1-3. -С.7-9.

96. Sawada Takao, Imanari Masafumi. Error estimate of numerical integration in boundary element method analysis// Bull. JSME. -1986. -29, №258. -C.4072-4079.

97. Биргер И.А. Краевые и нормальные интегральные уравнения в задачах прочности и динамики// Соврем, пробл. аэромех. -М.: -1987. -С. 188199.

98. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек// Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. 1967.-М.: ВИНИТИ, 1969.-348 с.

99. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Численное решение задач статики геометрически нелинейных анизотропных многослойных оболочек вращения// Мех. композ. материалов. 1981. №3. -С.442-443.

100. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Методы исследования напряженно-деформированного состояния многослойных композитных оболочек с приложением к механике пневматических шин// В сб.: Научно-технический прогресс в машиностроении. Вып. 39. -М.: 1993. -50 с.

101. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. -М.: Машиностроение, 1965.

102. Коваленко Л.Д., Григоренко Я.М., Ильин JI.A. Теория тонких конических оболочек.- Киев: Изд-во АН УССР, 1969. 287 с.

103. Коваленко А. Д. и др. Расчет конических оболочек при антисимметричных нагрузках.-Киев: Науково-думка, 1966.

104. Коваленко А.Д. и др. Теория тонких конических оболочек и ее приложения в машиностроении. -Киев: Изд. АН УССР, 1963.

105. Львин Я.Б. Сопротивление оболочек вращения краевым циклическим воздействиям// Расчет пространственных конструкций, вып.З. — М.: Госстройиздат, 1958.

106. Михайловский Е.И. К расчету коротких оболочек вращения// Исследования по упругости и пластичности, вып.6. -Л.: Изд. ЛГУ, 1967.

107. Петрова-Денева А. Расчет оболочек вращения положительной кривизны на циклические нагрузки// Инж. журнал. 5.5. 1965.

108. Шамина В.А. Обратно симметричный изгиб почти цилиндрических оболочек вращения// Изв. АН СССР, сер. ОТН. 3. 1963.

109. Chang С.Н. An asymptotic solution of conical shells of constant thickness//AJAAJ. 5.11. 1967.

110. Котеров Н.И. и др. Методы расчета на прочность корпусов, оболочек, направляющих и сопловых аппаратов газотурбинного двигателя// Труды ЦИАМ, 769.1977.- 343 с.

111. Зиндман А.П. Численное решение краевой задачи для несимметричной деформации конструктивно анизотропных оболочек вращения// Прикладная механика. -Киев: 4. 9. 1968.

112. Budiansky В., Radkovvcki P.R. Numerical analysis of unsymmetrical bending of shells of revolution//AJAA J. 1.8. 1963.

113. Cohen G.A. Computer analysis of asymmetrical deformation of ortotropic shells of revolution// AJAA J. 2,5. 1964.

114. Greenbaum G.A. Comments on " Numerical analysis of unsymmetrical bending of shells of revolution"//AJAA J. 2,3. 1964.

115. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2 -М.: Физматгиз, 1960. -620 с.

116. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. -М.: Наука, 1973.-400 с.

117. Золотов А.Б., Лейтес Е.С. Об одном подходе к решению системы дифференциальных уравнений при расчете строительных конструкций// Строительная механика и расчет сооружений. №3. 1976. -С.26-29.

118. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. (Вариант метода прогонки). ЖВММФ. 1,3. 1961

119. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Совершенствование метода прогонки С.К. Годунова для задач строительной механики// Изв. АН. Мех. тверд, тела. -1994. -№ 4. -С. 187-191.

120. Махмудов О.И., Ниезов И.Э. Регуляризация решения задачи Коши для системы уравнений теории упругости в перемещениях// Сиб. матем. ж-л. -1998. -39, №2. -С. 369-376.

121. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1974. -224 с.

122. Tavakoli M.S., Singh R. Eigensolutions of joined/hermetic shell structures using the state space method// J. Sound and Vibr. -1989. -130, №1. -C.97-123.

123. Джан-Темиров K.E., О'Двак A.C. Численное решение одномерных краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами// Числ. методы расчета тонкостей, пространствен, конструкций. -Киев, 1988. -С.68-72.

124. Экспериментальная механика. Под ред. А. Кобаяси. Пер. с англ. Книга 1. -М.: Мир, 1990. -616 с.

125. Lindsay К.А., Ogden R.R. A practical implementation of spectral methods resistant to the generation of spurious eigenvalues// Int. J. Numer. Meth. Fluids.-1992. -15, № 11. -C. 1277-1294.

126. Kotoh Fumiya, Mizushima Jiro. Comparison of the numerical methods for the eigenvalue problems of the differential equations// Doshisha daigaku rikogaku kenkyu hokoko = Sci. and Eng. Rev. Doshisha Univ. -1994. -35, №1. -C. 45-69.

127. Григолкж Э.И., Кабанов B.B. Устойчивость оболочек. -М.: Наука, 1978.-359 с.

128. Баянов Ф.Ф. О расчете оболочек с изломами поверхности из нелинейноупругого материала// Стат. и динам, расчеты конструкций с учетом нелинейн. свойств матер./ Ленингр. инж.-строит. ин-т. -JL, 1991. — С.31-38.

129. Гаянов Ф.Ф. Расчет гибких оболочек с нерегулярной поверхностью// Изв. вузов. Стр-во. -1922. -№5-6. -С.51-54.

130. Арясов Г., Снитко А., Соколов Е. Расчет составных конструкций с помощью обобщенных функций// Уч. зап. Тарт. ун-та. -1987. -№772. -С. 158164.

131. Чунаев М.Ю. К расчету пологих оболочек с изломами поверхности и ребрами// Прочн. и устойчивость инж. конструкций. -Барнаул, 1989. -С.22-29.

132. Якупов Н.М. О некоторых вопросах расчета составных оболочек сложной геометрии// Тр. семин. / РАН Казан, научн. центр. Ин-т мех. и машиностр. -1992. -№27. -С. 90-93.

133. Ермолаев Н.В. Расчет НДС оболочек вращения методом С.К. Годунова с использованием переходных матриц// Прикл. пробл. прочн. и пластич. (Горький). -1986. -№33. -С.71-77.

134. Левашов П.Д. Условия сочленения для подконструкций с различной идеализацией// Вопр. прочн. и долговеч. элементов авиац. конструкций/ Куйбыш. авиац. ин-т. -Куйбышев, 1990.-С.13-19.

135. Пухлий В.А., Шалашилин В.И. Об одной задаче для сопряженных оболочек вращения переменной жесткости// Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. -1989. -№4. -С.146-152.

136. Makowski J., Pietraszkiewicz W., Stumpf H. On the general form of jump conditions for thin irregular shells// Arch. Mech. -1998. -50, №3. -C. 483495.

137. Огородников Г. H. Уточненная динамическая модель элементов роторов и корпусов ГТД как оболочек вращения/ Техн. отчет ЦИАМ, № 8897, 1979. -46 с.

138. Огродников Г. Н. Динамическая модель роторов и корпусов ГТД как оболочек вращения при антисимметричной деформации/ Техн. отчет ЦИАМ, № 9333, 1980. -47 с.

139. Огородников Г. Н. Расчет колебаний роторов и корпусов ГТД как системы составных оболочек вращения/ Техн. отчет ЦИАМ, № 9730, 1982. — 91 с.

140. Ахмедьянов И.С. Применение метода квадратур к расчету оболочек вращения переменной толщины при осесимметричном нагружении/ Сам. гос. аэрокосм. ун-т. -Самара, 1999. -44 с. Деп. в ВИНИТИ 04.10.99, №2975-В99.

141. Ахмедьянов И.С. Интегрирование дифференциальных уравнений краевого эффекта в сферической оболочке методом квадратур// Изв. вузов. Авиац. техн. -1988. -№1. -С.12-16.

142. Ахмедьянов И.С. Применение метода квадратур к интегрированию уравнений моментной теории оболочек вращения/ Куйбышев, авиац. ин-т, Куйбышев. -1987. -16 с. Деп. в ВИНИТИ 09.09.87, № 66.

143. Pomp A. Levi functions for linear elliptic systems with variable coefficients including shell equations// Comput. Mech. -1998. -22, № 1. -C. 9399.

144. Xu Mingtian, Cheng Delin. Solving vibration problem of thin plates using integral equation method// Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. -1996. -17, №7. -C. 693-698. (англ.).

145. Никсон (D. Nixon). Обобщенный метод интегрального уравнения для расчета трансзвуковых течений// Ракетная техника и космонавтика. 13, 7. 1975.

146. Никольский С.М. Квадратурные формулы. -М.: Наука, 1974.

147. Котеров Н.И., Знаменский Н.П. Определение податливости конических оболочек при антисимметричном нагружении// Проблемы прочности, №11. -Киев:, 1978. С?????

148. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Физматгиз, 1959.-232 с.

149. Вайникко Г.М. О сходимости метода механических квадратур для интегральных уравнений с разрывными ядрами//Сибирский математический журнал. Т. XII, № 1. 1971.-С. 40-53.

150. Научный вклад в создание авиационных двигателей/Под ред. В.А. Скибина и В.И. Солонина. М.: Машиностроение, 2000. Книга 1. — 725 с.

151. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. -Казань: Физ. техн. ин-т, 1989. -269 с.

152. Yang Haiyuan, Zhao Zhigang, Ni Lijueu. Finite element models based on the method of weighted residuals// Лисюэ сюэбао = Acta mech. Sin. -1989. -21, №1. -C.84-88.

153. Yang H.Y., Zhao Z.G., Ni L.J. Finite element models based on the method of weighted residuals// Comput. Mech/86: Theory and Apll. Proc. Int. Conf. Tokyo, May 25-29, 1986. Vol. I. -Tokyo e. a. -1986. -C.I.179-I.185.

154. Корнишин M.C., Паймушин B.H., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. -М.: Наука, 1989. -207 с.

155. Найдыш В.М., Брустинов В.М., Верещага В.М., Найдыш А.В. Формирование дифференциальных характеристик в узлах пространственной кривой: Мелитоп. ин-т механизмов сель, хоз-ва. -Мелитополь, 1993. -13 с. Деп. в ГНТБ Украины 22.12.93, № 2531-Ук93.

156. Копытко М.Ф., Муха И.С., Савула Я.Г. Задачи статики и динамики для оболочек сложной геометрии// XIII Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек. Таллин, 1983.-Ч.З. -Таллин: -1983.-С. 66-71.

157. Газизов Х.Ш., Жернаков B.C. Конечноэлементный анализ геометрически нелинейных задач тонких оболочек //Dynamics, Strength & Wear-Resistance of Machines. -2001. -Vol. 8. -P.57-67.

158. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. Метод конечных элементов в геометрически нелинейных задачах теории тонких упругих оболочек. — М.: Изд-е МАИ, 2002.-144 с.

159. Серазутдинов М.Н., Гарифуллин М.Ф. Об одном подходе к расчету оболочек сложной формы// Прикл. мех.(Киев). —1991. -27, №11. -С. 48-54.

160. Серазутдинов М.Н. Метод расчета элементов конструкций в виде оболочек//Изв. вузов. Машиностр. -1989. -№10. -С.6-10.

161. Образцов И.Ф., Савельев JI.M., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. -М.: Высшая школа, 1985. — 392 с.

162. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. — JL: Изд. Ленинградского университета, 1978. 223 с.

163. Розин Л.А. Вариационные постановки смешанных задач теории упругости в форме наименьших квадратов//Изв. вузов. Строительство. —1999, № 8. -С. 22-28.

164. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. -541 с.

165. Галлагер Р. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1984. - 428 с.

166. Норри Д., Де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. -М.: Мир, 1981.-304 с.

167. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений/ Пер. с англ. -М.: Мир, 1969. -167 с.

168. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512 с.

169. Норре Viggo. Errors in the finite element solutions introduced by the mapping in isoparametric elements// Accuracy, Reliab. and Train. FEM Technol. Proc. 4th World congr. Interlaken, 17-21 Sept., 1984. -Dorset. -1984. -C. 191-201.

170. Yang H.Y., Zhao Z.G., Ni L.J. Finite element models based on the method of weighted residuals// Comput. Mech.'86: Theory and Apll. Proc. Int. Conf. Tokyo, May 25-29, 1986. Vol. I. -Tokyo e. a. -1986. -C.1.179-1.185.

171. Скворцов Ю.В., Хазанов Х.С. Расчет многослойных композитных оболочек в геометрически нелинейной конечноэлементной постановке// Изв. вузов. Авиац. техн. -1992. -№ 1. -С. 6-10.

172. Aminpour М/А/ Direct formulation of a hybrid 4-node shell element with drilling degrees of freedom// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1992. -35, № 5. -C.997-1013. (англ.).

173. Lee S.J., Kanok-Nukulchai W. A nine-node assumed strain finite element for large-deformation analysis of laminated shells// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1998. -42, № 5. -C. 777-798. (англ.).

174. Rhiu J.J., Lee S.W. A nine node finite element for analysis of geometrically non-linear shells// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1989. -26, №9. -C. 1945-1962.

175. Dow John O., Byrd Doyie E. The identification and elimination of artificial stiffening errors in finite element// Int/ J. Numer. Meth/ Eng/ -1988. -26 !., №3. -C.743-762.

176. Briassoulis Demetres. Machine locking of degenerated thin shell elements// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1988. -26 !., №8. -C. 1749-1768.

177. Iura M., Atluri S.N. On a consistent theory, and variational formulation of finitely stretched and rotated 3-D space-curved beams// Comput. Mech. -1989. -4, №2. -C.73-88.

178. Антонов E.H. Об одном варианте нелинейных геометрических соотношений теории малых деформаций оболочки и его следствиях// Прочн., устойчивость и колебания строит, конструкций. -Л. -1987. -С.23-29.

179. Абовский Н.П., Деруга А.П. Основные результаты и направления развития вариационно-разностного метода в расчетах сложных оболочечно-стержневых конструкций// Пространств, конструкции в Краснояр. крае: Межвуз. сб. —Красноярск, 1989. -С.13-26.

180. Wu Jiuncheng, Pan Lizhou. Nonlinear theory of multilayer sandwich shells and its application. 1. -General theory// Appl. Math, and Mech/ Engl. Ed. -1997.-18,№ l.-C. 19-27.

181. Максимюк В.А., Чернышенко И.С. О численном решении задач для оболочек переменной жесткости с учетом поперечных сдвигов// Прикл. мех. (Киев). -1991.-27, №3. -С.59-62.

182. Huang Hou-Cheng. Membrane locking and assumed strain shell element// Comput. and Struct. -1987. -27, №5. -C.671-677.

183. Koves W.J., Nair S. A finite element for the analysis of shell intersection// Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. -1996. -118, №4. c, 399-406.

184. Репецкий O.B. Стыковка трехмерных и пластинчато-оболочечных конечных элементов в задачах деформируемого тела// Иссл. по мех. деформир. сред/ Иркут. политехи, ин-т. -Иркутск, 1991. -С. 126-128.

185. Hinton Е., Campbell J.S. Local and global smoothing of discontinuous finite element functions using a least squares method// Int. J. Numer. Meth. Eng., 1974. -8, №3.-P.461-480.

186. Oden J.T., Reddy J.N. Nate on an approximate method for computing consistent conjugate stresses in elastic finite elements// Int. J. Numer. Meth. Eng., 1973. -6, №1. —P.55-61.

187. Lo S.H., Lee C.K. On using different recovery procedures for the construction of smoothed stress in finite element method// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1999. -43, № 7. -C. 1223-1252.

188. Atluri S.N. The mechanics of computational mechanics// Int. Conf. Mech., Phys. and Struct. Mater. "Celebrat. Aristotle's 23 Centurlies", Thessaloniki, Aug. 19-24, 1990. Abstr. Houghton (Mich.), 1990. -C.2 (англ.).

189. Филин А. П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела. Л.: Стройиздат, Ленинградское отд., 1974.-73 с.

190. Филин А. П. Дискретные расчетные схемы в строительной механике// Известия АН СССР, сер. Механика и машиностроение, 1964. №5. -С. 88-98.

191. Розин Л.А. Метод расчленения в теории оболочек// ПММ. -XXV, №5. 1961.

192. Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов. -Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1976. —232 с.

193. Гольбрайх JT.C., Мавлютов P.P., Рапопорт Л.Д., Черевацкий С.Б. Применение метода перекрестных связей к расчету многослойных оболочек вращения из полимерных материалов// Прочность конструкций/ Труды УАИ, вып.32. -Уфа, 1971.

194. Гольбрайх Л.С., Мавлютов P.P., Рапопорт Л.Д. К расчету многослойных оболочек вращения// Теория пластин и оболочек/ Труды VIII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Ростов-на-Дону, 1971.-М.: Наука, 1973.

195. Газизов Х.Ш. Неосесимметричная деформация оболочек двигателей при эволюциях летательного аппарата.: Дис. . канд. техн. наук. -Казань: КАИ, 1980.- 173 с.

196. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. К расчету прямоугольных пластин переменной толщины// Расчет пространственных конструкций. -М.: Стройиздат.-1977.-С. 124-130.

197. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. Поперечный изгиб пластин сложной конфигурации// Расчеты на прочность на ЭЦВМ/ Труды УАИ, вып.92. -Уфа, 1975. -С.27-56.

198. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. Интегродифференциальные уравнения плоской задачи теории упругости// Расчеты на прочность на ЭЦВМ/ Труды УАИ, вып.92. -Уфа, 1975. -С.85-101.

199. Расчет на ЭЦВМ деталей ротора ВРД типа оболочек вращения с разветвляющейся образующей (технический отчет). Под рук. Мавлютова P.P. № гос. регистрации 78057606. Уфа: УАИ, 1977.

200. Сокольников И.С. Тензорный анализ. -М.: Наука, 1971.-374 с.

201. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976. -464 с.

202. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. -М.: Наука, 1973. -831 с.

203. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. О конечных элементах оболочек в строительной механике//Известия вузов. Авиационная техника. —1994. -№2. -С.74-76.

204. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. -464 с.

205. Жериаков B.C., Газизов Х.Ш. Об одном варианте вывода уравнений движения в нелинейной механике деформируемых тел // Известия вузов. Машиностроение. 1997. -№ 1-3. - С. 3-7.

206. Петкевич В. В. Теоретическая механика. -М.: Наука, 1981. -496 с.

207. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. -М.: Наука, 1976. -535 с.

208. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1979. -744 с.

209. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейнаямеханика сплошной среды. -М.: Мир, 1965. -455 с.

210. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. -М.: Наука, 1969. -176 с.

211. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. -М.: Гостехиздат, 1956. -419 с.

212. Бесселинг Й.Ф. Методы конечных элементов// Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. -М.: Мир, 1983. -С.2 -51.

213. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упруго — пластические деформации. -М.: Наука, 1986. —232 с.

214. Треффц Е. Математическая теория упругости. -М.-Л.: ОНТИ ГТТИ, 1934.-172 с.

215. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. -М.: Наука, 1980. -254 с.

216. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. Об одном алгоритме решения нелинейных задач механики деформируемого тела.// Известия вузов. Машиностроение. 1996, № 7-9.-С. 9-13.

217. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. - 759 с.

218. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. -М.: Наука, 1965. -856 с.

219. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник. Т.2/ Под ред. Биргера И.А. и Пановко Я.Г. -М.: Машиностроение, 1968. 463 с.

220. Динамика авиационных газотурбинных двигателей/ Под ред. Биргера И.А. и Шорра Б.Ф. -М.: Машиностроение, 1981. -230 с.

221. Хронин Д.В. Колебания в двигателях летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1980. —296 с.

222. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1972. —416 с.

223. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. -М.: Наука, 1977.-303 с.

224. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра/ Пер. с англ. -М.: Машиностроение, 1976. -390 с.

225. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления/ Пер. с англ. -М.: Мир, 1999. -548 с.

226. Парлет Б. Симметричная проблема собственных значений/ Пер. с англ. М.: Мир, 1983. -382 с.

227. Hinton Е., Rock Т., Zienkiewicz О.С. A note on mass lumping and relating processes in the finite element method//Earthquake Eng. and Struct. Dyn., 1976.-Vol. 4, № 3. P. 245-249.

228. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. О диагональной формулировке матрицы масс в методе конечных элементов //Известия вузов. Авиационная техника. -1995. № 1. - С. 73-75.

229. Li Yauanneng, Wang Dajun. Accuracy of finite element eigenproblem by using diagonal mass matrix// Лисюэ сюэба= Acta mech. sin. -1988. -20, №3. -C.229-235.

230. Меерович И.И. Приближенный метод определения частот собственных колебаний цилиндрических, конических и тороидальных оболочек// Прочность и динамика авиационных двигателей: Сборник статей. Вып.2.-М.: Машиностроение, 1965.-С.148-172.

231. Никулин М.В. Собственные колебания гладких и конструктивно -анизотропных цилиндрических оболочек при наличии статических нагрузок // Прочность и динамика авиационных двигателей: Сборник статей. Вып.2. -М.: Машиностроение, 1965.-С.52-128.

232. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д. Устойчивость оболочек вращения произвольного очертания //Известия вузов. Авиационная техника. -1989. -№3. -С.17-19.

233. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. -М.: Наука, 1967.-984 с.

234. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник. Т.З/ Под ред. Биргера И.А. и Пановко Я.Г. -М.: Машиностроение, 1968. — 567 с.

235. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней пластин и оболочек. -М.: Наука, 1971. -807 с.

236. Скубачевский Г.С. Авиационные газотурбинные двигатели. Конструкция и расчет деталей. -М.: Машиностроение, 1981. -550 с.

237. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш., Терегулов Р.И. Антисимметричная деформация вращающихся дисков // Известия вузов. Машиностроение. — 1998.-№7-9.-С. 40-45.

238. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. -М.: Наука, 1969.-336 с.

239. Гузь А.Н. Напряженное состояние конической оболочки, ослабленной круговым отверстием // Инж. ж-л. 1965. -№ 5,-3. -С.477-481.

240. Газизов Х.Ш., Ляшевский Н.Ф. Антисимметричная деформация дисков турбомашин //Известия вузов. Машиностроение. — 1989. № И. -С. 78-81.

241. Справочник по теории упругости/ Под ред. Варвака П.М. -Киев: Буд1вельник, 1971.-420 с.

242. Кильчевский Н. А. Интегродифференциальные и интегральные уравнения равновесия тонких упругих оболочек.// Прикладная математика и механика. Т. XXIII, вып. 1.-М.:Изд. АН СССР, 1959.-С. 124-133.

243. Вайнберг Д. В., Синявский А. Л. Расчет оболочек. -Киев: Госстройиздат УССР, 1961. -119 с.

244. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. О стержневых моделях составных оболочек газотурбинных двигателей// Труды III Международной научно-технической конф. "Кибернетика и технологии XXI века". -Воронеж: 2002. — С. 144-155.

245. Газизов Х.Ш. Стержневые модели оболочек вращения "рамного" контура. Уфа: Изд-е УГАТУ, - 2002. - 98 с.

246. Математический энциклопедический словарь/Под ред. Прохорова Ю. В. -М.: Советская энциклопедия, 1988. -847 с.

247. Снитко Н. К. Строительная механика. —М.: Высшая школа, 1968. -535 с.

248. Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. -М.: ГНТИ, 1956. Том. 1. -884 с.

249. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. -М.: Физматгиз, 1959. -470 с.

250. Рабинович И. М. Основы строительной механики стержневых систем. -М.: Госстройиздат, 1956. -454 с.

251. Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. -М.: ГНТИ, 1959. Том.Ш. -1119 с.

252. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач/ Пер. с англ. -М.: Мир, 1972. 415 с.

253. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -M.-JL: Физматгиз, 1962. -708 с.

254. Привалов И.И. Интегральные уравнения. -М.: Главтехиздат, 1935. 248 с.

255. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1976. -215 с.

256. Цлаф Л.Я. Вариационные исчисление и интегральные уравнения. -М.: Наука, 1970.-192 с.

257. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. -Киев: Наукова думка, 1986.-584 с.

258. Зыков А.А. Основы теории графов. -М.: Наука, 1987. -382 с.

259. Липский В. Комбинаторика для программистов. -М.: Мир, 1988. -215 с.

260. Камерон П., Линт Дж. Теория графов, терия кодирования и блок-схемы/ Пер. с англ. Б.С. Стечкина. -М.: Наука, 1980. -139 с.

261. Газизов Х.Ш. Динамика и жесткость вращающихся роторов ГТД.

262. Препринт. -Уфа. Изд-е УГАТУ. 2002. -40 с.

263. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. -М.: Наука, 1981.-688 с.

264. Газизов Х.Ш., Ляшевский Н.Ф., Рапопорт Л.Д. Антисимметричная деформация вращающихся дисков газотурбинных двигателей //XXIII Всесоюзное научное совещание по проблемам прочности двигателей: Тезисы докладов. М.: Изд. АН СССР, 1990. - С. 64.

265. Никулин М.В., Королев В.П., Балуев Б.А., Уваров В.Н., Панфиров Р.Я. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек при действии неравномерного по длине внешнего давления/ Техн. отчет ЦИАМ, № 9261, 1980.-43 с.

266. Никулин М.В., Уваров В.Н., Королев В.П., Балуев Б.А. Стенд для испытания оболочек на устойчивость. Авт. свид. СССР № 715952. кл. G 01 М9/00, 1980.

267. Даревский В.М. Устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки переменной толщины при переменном внешнем давлении// Изв. АН СССР, Механика твердого тела. 1975. №2.

268. Даревский В.М. Методика расчета на устойчивость оболочек вращения/ Техн. отчет ЦИАМ, № 9972, 1983. -34 с.

269. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение. 1991.-335 с.

270. Икрамов X. Д. Несимметричная проблема собственных значений. -М.: Наука, 1991.-240 с.

271. Газизов X. Ш., Рапопорт Л. Д. Устойчивость составных тонкостенных конструкций// Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов. Тезисы докладов III Всесоюзной конференции. -Казань: Изд. КАИ, -1988. -С. 29.

272. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.-Л.: Физматгиз, 1963. -735 с.

273. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. -М.: Машиностроение, 1966. —508 с.

274. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. -Киев: Наукова думка, 1968. -887с.

275. Гузь А. Н., Луговой П. 3., Шульга Н. А. Конические оболочки, ослабленные отверстиями. -Киев: Наукова думка, 1976. -162 с.

276. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. - 708 с.

277. Лурье А. Н. Концентрация напряжений в области отверстия на поверхности кругового цилиндра// ПММ, -№10. 1946. -С. 397-405.

278. Газизов X. Ш. Концентрация напряжений около отверстий в оболочках// Концентрация напряжений в элементах авиационных двигателей. -Уфа: Изд. УАИ, 1986, -№4. -С. 29-34.

279. Аникин Е.П. Концентрация напряжений в пластине с прямоугольным вырезом// Труды Дальневосточного политехнического института, 1956. Вып. 45. -С. 63-81.

280. Гурьянов В.М., Космодиамианский А.С. О напряженном состоянии изотропной пластинки, ослабленной криволинейным отверстием// Прикладная механика, 1964,4,3. -С.