Приближенные методы решения интегральных уравнений вязкоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ.

§ I. Интегральные уравнения задач вязкоупругости

§ 2, Модифицированный метод последовательных приближений для интегральных уравнений

Вольтерра с вырожденным ядром

§ 3. О схемах, позволяющих использовать модифицированный метод последовательных приближений в задачах вязкоупругости

§ 4. Метод неопределенного множителя для интегральных уравнений Фредгольма

§ 5. Приближенный метод решения систем интегральных уравнений Вольтерра

Глава П. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ

ЗАДАЧ ВЯЗКОУПРУГОСТИ.

§ б. Флаттер вязкоупругой пластинки

§ 7. Устойчивость колебаний вязкоупругой трубы с протекающей в ней жидкостью

§ 8. Исследование свободных колебаний линейной вязкоупругой системы

Представление о вязкоупругом поведении материалов возникло давно, однако лишь в последнее время оно завоевало широкое признание и обширное применение. Активность исследований в этой области связано с тем, что учет наследственных эффектов деформируемых материалов все более необходимым при проектировании в связи с эксплуатацией различных элементов и узлов современных инженерных конструкций в условиях высокой температуры и давления. Вяз-коупругими свойствами обладают различные полимерные материалы при любых температурах. Поэтому проблемы теории вязкоупругости привлекают большое внимание исследователей, в особенности с появлением новых композитных и других материалов.

Наряду с разработкой и обоснованием теории вязкоупругости [1-4, 12, 20, 40, 34, 35] , не менее важное значение имеет развитие достаточно общих и эффективных методов решения прикладных задач. Наибольшее развитие получили методы решения статических и квазистатических задач вязкоупругости, использующие связь интегрального преобразования решения задачи вязкоупругости с решением соответствующей задачи упругости (метод аппроксимаций, метод однородных решений, метод последовательных приближений, метод упругих решений L3, 4]). Для динамических задач вязкоупругости такой связи нет, поэтому прямое приложение методов интегральных преобразований в динамических задачах всегда приводит к значительным математическим трудностям, связанным с задачами обращения. Задачи обращения особенно усложняются для сложных форм соотношений между напряжениями и деформациями. Следовательно, возникает необходимость разработки методов решения динамических задач, позволяющих избежать эти трудности.

Одним из таких методов является метод усреднения в применении к интегродифференциальным уравнениям, который впервые был предложен в работах |41, 42J . На возможность исследования динамических задач вязкоупругости методом усреднения было указано в [13]. В 22J этим методом впервые удалось решить ряд практически важных задач динамики вязкоупругих систем.

За последние десятилетия появилось много работ, в которых задачи, важные как с теоретической точки зрения, так и для приложений, решаются с помощью интегральных уравнений [i, 10, 14, 16-16, 26, 32, 33, 36, 37j. Интегральные уравнения являются одним из наиболее плодотворных средств математического исследования как в чистом, так и в прикладном анализе. Это относится, в частности, к задачам теории механических колебаний, встречающихся в соответствующих областях техники и теоретической физики,где интегральные уравнения не только полезны, но зачастую даже совершенно необходимы для численных исследований.

Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию приближенных методов решения интегральных уравнений и их приложению к решению динамических задач вязкоупругости.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы.

ЗАКЛШЕНИЕ

Приведем основные результаты полученные в работе.

1. Предложен модифицированный метод последовательных приближений для интегральных уравнений Вольтерра с вырожденным ядром.

2. Разработаны схемы, позволяющие использовать модифицированный метод при исследовании динамических задач вязкоупругости.

3. Дано математическое обоснование приближенного метода решения систем интегральных уравнений.

4. Исследована задача флаттера вязкоупругой пластинки в потоке газа. Показано, что учет вязкого сопротивления приводит к снижению критической скорости, для которой получено аналитическое выражение. Указанный результат согласуется с выводом полученным В.И. Матяшом [27 . Предложенный метод исследования значительно упрощает решение задачи.

5. Исследованы на устойчивость вынужденные колебания вязкоупругой трубы с протекающей жидкостью. Найдено аналитическое выражение критической скорости жидкости с учетом вязкоупругих свойств материала трубы. Рассмотрено влияние параметров ядра на величину критической скорости на примере слабосингулярного трех-параметрического ядра Ржаницына-Колтунова.

6. Исследованы свободные колебания линейной вязкоупругой системы с одной степенью свободы. Показано, что затухающие колебания происходят около, положения, которое с течением времени стремится к цулю. Полученное решение является более точным, чем решение этой задачи полученное методами усреднения и эквивалентной линеаризации.

1. Бадалов Ф.Б. Метод степенных рядов в нелинейной наследственной теории вязкоупругости. - Ташкент: Фан, 1.60, 221 с.

2. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972, 416 с.

3. Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости. М.: Мир, 1965, 197 с.

4. Булгаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973, 267 с.

5. Бегнаев X., Эшматов X. Колебания вязкоупругой трубы при протекании через нее жидкости. Вопросы вычислительной и прикладной математики. - Ташкент, 1973, вып. 16.

6. Болотин В.В. Неконсервированные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961, 339 с.

7. Гегель Э.И. Об одном приближенном методе решения линейного интегрального уравнения. Всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений. Алма-Ата, 1979, часть П.

8. Гегель Э.И., Ларионов Г.С. Метод эквивалентного соответствия в линейных динамических задачах теории вязкоупругости. ДАН СССР, 1975, т. 223, № 5, с. I096-II0I.

9. Гегель Э.И. Метод эквивалентной линеаризации в динамике вяз-коупругих систем. Известия АН УзССР, серия техн.наук, 1976, № 4, с. 33-36.

10. Гольдштейн Р.В., Клейн И.С., Эскин Г.И. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегро-дифферен-циальных уравнений трехмерных задач теории упругости. Институт проблем механики АН СССР, Препринт № 33, 1973.

11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967, 472 с.

12. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термо-вязко-упругости. -М.: Наука, 1970, 280 с.

13. Ильюшин А.А., Ларионов Г.С., Филатов А.Н. К усреднению в системах интегро-дифференциальных уравнений.-ДАН СССР, 1969, т. 188, № I, с. 49-52.

14. Ильюшин А.А. Метод аппроксимации для расчета конструкции по линейной теории термо-вязко-упругости. Механика полимеров, 1968, № 2, с. 210-221.

15. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей. ПММ, 1956, т. 20, вып. 6.

16. Коваленко А.Д., Каннухов В.Д. О колебаниях вязкоупругих пластин при механических и тепловых воздействиях. ДАН УССР, 1981, № 6.

17. Колтунов М.А. О расчете гибких пологих ортотропных оболочек с линейной наследственностью. Вестник МГУ, серия мат. мех., 1964, № 4.

18. Колтунов М.А., Трояковский И.Е. Метод упругих решений задач термовязкоупругости. Механика полимеров, 1970, № 4, с. 603-614.

19. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.; Высшая школа, 1976, 277 с.

20. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974, 338 с.

21. Ларионов Г.С. Исследование колебаний релаксирующих систем методом усреднения. Механика полимеров, 1969, № 5,с. 806-813.

22. Ларионов Г.С. Решение некоторых динамических задач теории вязкоупругости методом усреднения. Механика полимеров, 1970, № 2, с. 246-252.

23. Ларионов Г.С. Нелинейный флаттер упруговязкой пластинки. Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1974, № 4, с.95-100.

24. Мальцев Л.Е. Приближенное операционное исчисление для уравнений Вольтерры в задачах механики полимеров. Механика полимеров, 1977, № 5, с. 804-811.

25. Мальцев Л.Е., Крекнин А.И. Метод непосредственного решения задач вязкоупругости. Механика полимеров, 1977, № 4,с. 606-613.

26. Матяш В.И. Колебания изотропных вязкоупругих оболочек. Механика полимеров, 1971, № I, с. 157-163.

27. Матяш В.И. Флаттер упруго-вязкой пластинки. Механика полимеров, 1971, №6, с. 1077-1083.

28. Мовчан А.А. 0 колебаниях пластинки, движущейся в газе. ПММ, 1957, т. 20, вып. 2.

29. Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубопровода с протекающей жидкостью. ПММ, 1965, т. 29, вып. 4, с. 760-762.

30. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов. М.: Наука, 1972, 328 с.

31. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. Издательство МГУ, 1969, 695 с.

32. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука, 1977, 311 с.

33. Перлин 11.И., Шалюхин Ю.Н. К вопросу о численном решении интегральных уравнений теории упругости. Известия АН Каз.ССР, серия физ.-мат., 1976, № I.

34. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966, 752 с.

35. Ржанииын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968, 416 с.

36. Розовский М.И. Интегро-операторный метод в наследственной теории ползучести. ДАН СССР, 1965, т. 160, К® 4, с.792-795.

37. Романов В.Г. Приближенное решение интегральных уравнений основных плоских статических задач теории упругости для области с углами. В сб.: Вычислительные системы. - Новосибирск, 1964, вып. 12.

38. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: ИЛ, I960, 299 с.

39. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. Инженерный сборник, 1950,т. 10, с. 169-170.

40. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М.: ИЛ, 1963, 535 с.

41. Филатов А.Н. Исследования по аналитической механике. Ташкент: Фан, 1965.

42. Филатов А.Н. Усреднение в системах дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1967, 108 с.

43. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1974, 216 с.

44. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент: Фан, 1971, 279 с.

45. Филатов А.Н., Мовлянкулов X. Об одном приближенном методе построения решения интегральных уравнений. Вопросы вычислительной и прикладной математики. - Ташкент, 1972, вып.12.

46. Шарова Л.В. К вопросу о флаттере вязко-упругой пластинки. -- Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1973, вып. 22.47. ttedgepelk У. М Г/и&оъ o<fъЫр1гу $иррог£ес/> &/>еес/$гУ. Jetoncrut &ci.,1957, Vol. 24, № 8.

47. Азиз-Кариева Н.С., Гегель Э.И. Метод неопределенного множителя для уравнений Фредгольма. Известия АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1962, №4, с. 6-8.

48. Азиз-Кариева Н.С., Гегель Э.И. О колебаниях и устойчивости трубы с протекающей в ней жидкостью. Известия АН УзССР, серия техн. наук, 1982, № 3, с. 41-44.

49. Азиз-Кариева Н.С., Гегель Э.И. Модифицированный метод последовательных приближений. ДАН УзССР, 1983, № 10, с.7-9.

50. Азиз-Кариева Н.С. Исследование свободных колебаний вязко-упругих систем. Вопросы вычислительной и прикладной математики. - Ташкент, 1982, вып. 68, с. 125-128.