Колебания и устойчивость тонких цилиндрических оболочек с криволинейным краем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Актуальность темы.

Методы исследования и их сравнение.

Ассимптотические методы.

Алгоритм Маслова.

Содержание работы.

1. Колебания и устойчивость цилиндрической оболочки с криволинейным краем.

1.1 Вывод приближенных формул для определения частот колебаний цилиндрической оболочки.

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Нулевое и первое приближение

1.1.3 Второе приближение

1.1.4 Вывод формул для Ai и А2.

1.2 Определение частот колебаний и критического давления с использованием ^цо-дубезмоментной системы уравнений----:.

1.2.1 Постановка полу'бёзмоментной задачи

1.2.2 Нулевое приближение.

1.2.3 Формула для Ai

1.2.4 Численный пример

1.2.5 Первое приближение для формы колебаний

1.2.6 Вывод формулы для А

1.2.7 Численный пример.

1.3 Оболочка под действием внешнего нормального давления.

2 Колебания сопряженных цилиндрических оболочек.

2.1 Вывод приближенных формул для определения частот колебаний цилиндрических оболочек.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Приближенный метод решения краевой задачи.

2.1.3 Вывод формул для Ai и А2.

2.2 Определение частот колебаний сопряженных оболочек с использованием полубезмоментной системы уравнений.

2.2.1 Нулевое и первое приближение для параметра частоты.

2.2.2 Численный пример.

2.2.3 Постановка полубезмоментной задачи.

2.2.4 Первое приближение для формы колебаний.

2.2.5 Решение системы.

2.2.6 Вывод формулы для Л

3 Колебания и устойчивость тонкой цилиндрической оболочки с эллиптическим сечением

3.1 Колебания тонкой цилиндрической оболочки с эллиптическим сечением

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Преобразования сисемы уравнений.

3.1.3 Асимптотические разложения решений

3.1.4 Вывод формулы для Ai.

3.1.5 Численный пример.

3.2 Устойчивость тонкой цилиндрической оболочки с эллиптическим сечением.

Актуальность темы. Расчет оболочек является одной из самых актуальных проблем механики деформируемого твердого тела. Это объясняется широким использованием оболочек в различных областях техники и в строительстве. Применение оболочек в кораблестроении, авиастроении и ракетной технике приводит к необходимости определения их динамических характеристик. Важное значение для тонких оболочек имеет расчет частот, а также критических нагрузок, вызывающих потерю устойчивости.

Огромное число публикаций посвящено колебаниям и устойчивости цилиндрических оболочек с прямыми краями (см. списки литературы в [4], [5], [22]). Аналогичным задачам для оболочек с криволинейными краями уделено значительно меньше внимания [22], [34], [31]. Это связано прежде всего с тем обстоятельством, что при наличии криволинейного края задачи становятся существенно двумерными, а их решение значительно более сложным.

Подробно исследованы колебания и устойчивость сопряженных оболочек, однако в большинстве работ рассматривались оболочки вращения сопряженные по параллели [9], [10], [11], [14], [16], [23], [24], [30], [33], для которых краевые задачи сводятся к одномерным. Существенно двумерные задачи были меньше изучены [19], [25], [26].

В диссертации рассматриваются колебания и устойчивость цилиндрической оболочки кругового сечения с криволинейным краем, двух сопряженных оболочек одинакового радиуса, а также цилиндрической оболочки с эллиптическим сечением.

Методы исследования и их сравнение. В последнее время известно три основных метода исследования оболочек: асимптотические [21], численные [5], [16] и вариационные [5].

Примером использования вариационного метода Рэлея-Ритца является статья [34], в которой исследованы свободные колебания круговой цилиндрической оболочки с криволинейным краем. Преобразование переменных позволяет перейти к оболочке с прямыми краями. Перемещения, представленные в виде тригонометрического ряда с неизвестными коэффициентами, подставляются в функцию Лагранжа. Относительно коэффициентов получаются линейные однородные системы уравнений с неизвестным частотным параметром. В качестве примера рассмотрена цилиндрическая оболочка с косо срезанным краем.

В данной работе результаты были получены как асимптотическим методом, так и методом конечных элементов (МКЭ). Это позволяет оценить область примененимости асимптотических формул при разных значениях параметра. При сравнении результатов, полученных разными методами видно, что формулы, полученные в данной работе, верны при малых углах, а при больших углах верны формулы [31], [32].

В настоящее время МКЭ является наиболее распространеным [5]. Он имеет много общего с методом Релея-Ритца и вариационно- разностными методами. В МКЭ аппроксимация перемещений производится в пределах отдельных элементов, что позволяет оперировать более простыми формулами. Минимизация потенциальной энергии при этом производится по узлам перемещений, которые являются основными неизвестными. Возможность аппроксимаций перемещений внутри элементов позволяет ограничиться сравнительно небольшим числом узлов, что является одним из преимуществ метода конечных элементов.

Применение МКЭ сводит задачу определения частот и форм колебаний к задаче вычисления собственных чисел и собственных векторов матрицы.

Асимптотические методы [21], основанные на разложениях по малым или большим значениям параметров или координат, занимают ведущее место среди методов построения приближенных аналитических решений.

Преимущество МКЭ состоит в том, что он позволяет решить любую задачу. Однако, чтобы проследить за решением по одному из параметров на заданном интервале, надо перебрать промежуточные значения этого параметра с заданным шагом. Аналитическое решение сразу дает общее представление о поведении решений.

Асимптотические методы. Системы уравнений теории тонких оболочек содержат малый параметр h — относительную толщину, по степеням которого и раскладывается решение. При обращении этого параметра в нуль порядок системы понижается, что облегчает задачу, позволяя провести разделение на основное напряженное состояние и краевой эффект. Это означает, что система уравнений является сингулярно возмущенной.

Регулярно возмущенная система при обращении в нуль малого параметра сохраняет свой порядок. В данной работе рассматривается главным образом регулярно возмущенные системы уравнений. Малым параметром является мера отклонения криволинейного края от прямолинейного. В большинстве задач, для решения которых используется метод возмущений, от малого параметра зависит дифференциальный оператор системы уравнений. Особенность задач, решенных в первой и второй главах диссертации, состоит в том, что от малого параметра зависят граничные условия.

В [18] эти методы использовались при решении статических задач для цилиндрических оболочек. Решена задача об устойчивости овальной цилиндрической оболочки нагруженной внешним давлением при шарнирном опирании. При сравнении с результатами полученными при расчетах устойчивости эллиптической оболочки было получено хорошее совпадение. Это имеет смысл, поскольку в данном случае при малом параметре, входящем в уравнение формы поперечного сечения, такая разница несущественна.

Рассматривались также задачи о действии окружной локальной нагрузки на цилиндрическую оболочку и о локальном напряжении в цилиндрической оболочке, нагруженной по круговой площадке. В первом случае решение построено методом синтеза напряженного состояния, во втором случае вычисление усилий и изгибающих моментов сведено к табулированным функциям Томсона.

Алгоритм Маслова. Структура асимптотического разложения зависит от рассматриваемой задачи. В [22] описан одномерный алгоритм Маслова построения решения при наличии двух асимптотически близких точек поворота. Решение раскладывается в ряд в окрестности этих точек. При удалении от них оно убывает.

В двумерном варианте этот метод используется в задачах о колебаниях и устойчивости оболочек нулевой гауссовой кривизны. В частности, этот метод применялся в работах П.Е. Товстика [22] и С.Б. Филиппова [31], [32], где рассматривались цилиндрические и конические оболочки с кососрезанным краем. Были получены асимптотические разложения решений по степеням параметра h. В статье [20] используется система пологих оболочек, что позволило построить первые два приближения.

Форма потери устойчивости под действием равномерного внешнего давления локализуется на срединной поверхности в окрестности некоторой линии, которая называется наиболее слабой. В окрестности этой линии и строится решение. Аналогично решается задача о колебаниях оболочки, причем форма колебаний также строится вблизи наиболее слабой образующей.

В работах [28], [31] решается задача о колебаниях и устойчивости колена (сопряженных под углом круговых цилиндрических оболочек одинакового радиуса). При этом используется полная система уравнений. Форма колебаний и потери устойчивости строится так же, как и в случае одной оболочки. При большом угле сопряжения задача асимптотически распадается на две независимые. Каждой из них соответствуют условия шарниного опирания на линии сопряжения. В зависимости от длин оболочек и волновых чисел по образующим каждой из оболочек выделяются три случая. Первые два являются нерезонансными, когда колебания одной оболочки оказываются намного более интенсивными, чем колебания другой оболочки. Аналитически это соответствует отсутствию колебаний одной из оболочек в нулевом приближении. В третьем случае мы имеем дело с внутренним резонансом.

В [35] решена задача о колебаниях цилиндрической оболочки с эллиптическим сечением с эксцетриситетом е ~ 1. Колебания в этом случае локализуются в окрестности линий, проходящей через точки наименьшей кривизны эллипса.

Если угол среза, угол сопряжения или эксцентриситет являются малыми, то локализования форма "расплывается" по всей поверхности оболочки. В этом случае вид решения и формулы для параметра частоты и нагрузки, представленные в работах [22], [31], [32], [35] становятся уже непригодными. В данной работе для определения частот колебаний и критического давления при малых углах и малых значениях эксцентриситета используется другой метод, а именно метод возмущений.

В рассмотренных выше случаях приближенное выражение частотного параметра Л является асимптотически двукратным [20]. Это значит, что в малой окрестности Л лежат два точных значения А^ и параметра А. Каждому значению соответствует своя собственная форма колебаний. Используемый в этих задачах способ асимптотического интегрирования не дает возможность найти разность Однако это можно сделать методом конечных элементов. Расчеты, проведенные в [34] подтверждают наличие асимптотически кратных частот.

Содержание работы. В диссертации путем применения асимптотических методов получены результаты (приближенные асимптотические формулы), использование которых позволит существенно сократить время проектирования и расчета тонкостенных конструкций.

В первой главе рассматриваются колебания и устойчивость круговой цилиндрической тонкой оболочки с криволинейным краем. Задача сводится к системе уравнений

LF + \U = О, F = KU (1) с граничными условиями, которые в общем виде записываются так

G(p)U = 0, (2) где U = (и, v, w) — вектор перемещений, F — вектор усилий и моментов, L, К и G — дифференциальные операторы. Параметр Л — искомое собственное значение, которое в задаче о колебаниях пропорционально квадрату частоты, а в задачах об устойчивости критическому давлению. Решение краевой задчи (1),(2) ищется в виде ряда по степеням малого параметра (3.

F = F0 + № + (32F2 + ., U = Uo + (3Ui + 0*112 + • • ■ , (3)

А = Ао + /ЗЛх + /32\2 4-. .

Задача нулевого приближения

LF0 + А?70 = 0, Fq = KUo, G(0)U = 0 (4) описывает колебания и устойчивость цилиндрической оболочки с прямыми краями. Для вычисления Ai и А2 необходимо найти решение краевой задачи (4), не имеющей в общем случае простого аналитического решения. В работе получены формулы для определения поправок Ai и А2 в общем случае, однако в дальнейшем рассматривается только задача об определении наименьших собственных чисел, представляющих наибольший практический интерес.

Наименьшим значениям А соответствуют собственные функции, для которых где у — любая функция, входящая в систему уравнений колебаний облочки, а х,(р — координаты в продольном и окружном направлениях. Это свойство рассматриваемых решений позволяет заменить систему (1) приближенной полубезмоментной системой дх dip ' дх dip ' дх ' as

9<£>6 dip2 ' где Ti, 5, w, г? — усилия и перемещения, е8 = — малый параметр, h и R — толщина и радиус оболочки, v — коэффициент Пуассона. Граничные условия для упрощенной системы имеют вид г?(0) = 2\(0) = 0, v(l) = Т±(1) = 0, (шарнирное опирание)

6) v(0) = u( 0) = 0, v(l) = u(i) = 0, (заделка), причем I = L/R = lc — tg/3cos<^ — относительная длина оболочки, где /с — относительная длина осевой линии, a L — длина оболочки.

Решение системы (5) получено в виде рядов по степеням малого параметра:

V = v0 + (5vx + . , Л = А0 + (ЗХг + (32Х2 + . (7)

В качестве примера рассмотрена оболочка с кососрезанным краем при малом угле между плоскостью среза и плоскостью, перпендикулярной оси оболочки. Найдено первое приближение для формы колебаний. Проведены расчеты по методу конечных элементов.

Во второй главе рассматриваются колебания двух сопряженных под углом оболочек одинакового радиуса. Задача сводится к решению двух систем уравнений (1) для определения функций Uk, Ft-, (к = 1,2), соответствующих первой и второй оболочке с граничными условиями (2) и условиями сопряжения GCU — 0. Решение каждой из систем уравнений ищется в виде (3).

Задача нулевого приближения описывает колебания цилиндрической оболочки, длина которой есть сумма длин двух наибольших образующих сопряженных оболочек.

К полубезмоментной задаче можно перейти на тех же основаниях, что и в первой главе. Получены формулы для Ai и Л2, а также первое приближение для формы колебаний.

В третьей главе рассмотрены колебания тонкой цилиндрической оболочки с эллиптическим сечением и выведена формула для первого приближения параметра частоты в предположении, что колебания низкочастотные. В нулевом приближении получается задача

Предполагается, что края оболочки шарнирно оперты. Система уравнений, описывающих свободные колебания, после разделения переменных приводится к виду где F* = (Fe,FH), е = 1 — yo/zo, г/о и 2о — соответственно малая и большая полуоси эллипса, и — четырехмерные векторы, t — знак транспонирования, A(e,(p),G — операторы. Оператор А, так же, как и решение, раскладывается в ряд по степеням малого параметра е:

Расчеты, проведенные по аналитической формуле при е < 1, дают хорошее совпадение с расчетами по методу конечных элементов. При е ~ 1 разложения (9) становятся уже непригодными и надо пользоваться формулами, полученными в [35].

4).

8)

А = А0 + еА1 + е2А2 + .

F = F0 + eF1+ e2F2 + . , Л = Л0 + eAi + е2А2 + .

Заключение

В данной работе были получены следующие результаты: методом возмущений найдены новые приближенные решения краевых задач, описывающих колебания и устойчивость цилиндрической оболочки со слабо криволинейным краем и колебаний двух цилиндрических оболочек сопряженных под малым углом; получены явные приближенные формулы, позволяющие определить низшие частоты колебаний и критическое давление для оболочки с криволинейным краем и низшие частоты колебаний для сопряженных оболочек; для оболочки с эллиптическим сечением получена новая приближенная формула для вычисления низших частот колебаний и параметра критического давления в случае малого эксцентриситета эллипса; проведено сравнение результатов, полученных по приближенным формулам с результатами вычислений методом конечного элемента, которое позволило оценить область применимости приближенных формул.

1. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312с

2. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Гостехиздат, 1949. 784с.

3. Гольденвейзер A. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.:Наука, 1976. 512с.

4. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384с.

5. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360с.

6. Иванов Д.Н, Филиппов С.Б. Колебания цилиндрической оболочки с криволинейным краем. Вестник СПбГУ. Сер.1, 1998, вып. 4 N 22

7. Иванов Д.Н. Колебания тонких сопряженных сопряженных цилиндрических оболочек одинакового радиуса. Вестник СПбГУ. Сер.1, 2000, вып. 1 N 1

8. Иванов Д.Н. Колебания тонкой цилиндрической оболочки с эллиптическим сечением. Вестник СПбГУ. Сер.1, 2000, вып. 2 N 8

9. Кармишин. А.В.,Лжковец В.А., Млченков В.И. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций М.: Машиностроение, 1975. 376с.

10. Лиходед А.И. Колебания и статика основных оболочечных систем // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1972. Вып. 3. С.92-97.

11. Луковенко С.А. Свободные неосесимметричные колебания сопряженных оболочек вращения. //Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1975. Вып. 2. С. 163-167.

12. Луковенко С.А., Пшеничное Г.И. Свободные осесимметрич-ные колебания сопряженных оболочек вращения. If Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1973. Вып. 6. С. 157-162.

13. Мальков В.М. Изгиб из плоскости симметрии и кручение пересекающихся цилиндрических оболочек // Расчеты пространственных конструкций. М. Вып. 12. 1969. С. 112-118.

14. Мальков В.М. О расчленении условий упругого сопряжения в линейной теории тонких оболочек // Проблемы механики тверд, деф. тела. Л. 1970. С. 257-263.

15. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL: Судпромгиз, 1962. 432с.

16. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1991. 416с.

17. Свойский Ф.М. Орасчете составного колена, j j Расчеты пространственных конструкций. М. Вып. 12. 1969. С. 119-131.

18. Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 815-822.

19. П.Е.Товстик, С.М. Бауэр, А.Л.Смирнов, С.Б.Филиппов. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. Издательство С.-Петербургского ун-та, 1995. 188с.

20. П. Е. Товстик. Устойчивость тонких оболочек. М.,1995. 61-62с

21. Филиппов С. Б. Частоты осесимметричных колебаний сопряженных оболочек вращения // Прикл. механика, JI. Вып. 1975. С. 158-171.

22. Филиппов С. Б. Низкочастотные колебания круговых конических оболочек, сопряженных по параллели // Прикл. механика, JI. Вып. 4. 1979. С. 145-153.

23. Филиппов С. Б. Устойчивость сопряженных под углом цилиндрических оболочек под действием равномерного внешнего давления // Прикл. математика и механика. 1995. Т. 59 Вып.1. С. 140-148.

24. Филиппов С. Б. Свободные низкочастотные колебания сопряженных под углом цилиндрических оболочек // Прикл. механика, СПб. Вып. 9. 1995. С. 161-179.

25. Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки с косым краем // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация: Межвуз. сб. Вып. 54. 1996. С. 207-219.

26. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек.- СПб: Издательство С.-Петербургского университета, 1999. 196 с. ISBN 5-288-01947-9.

27. Черных К. Ф. Простой краевой эффект и расчленение граничных условий в линейной теории тонких оболочек. // Изв. АН. СССР.

28. Механика. 1965. Вып. 1. С. 89-98. SO.Bushnell D. Stress, stability and vibration of complex, branched shells of revolution // Comput. Struct. 1974. Vol. 4. N 2, P.399-435

29. Filippov S. B. Low-frequency vibration of a cylindrical shells. Part I: Shell with a slanted edge // Asymptotic methods in mechanics, CRM Proc. and Lect. Notes, AMS, 1993, 193-204.

30. Filippov S. B. Low-frequency vibration of cylindrical shells. Part II •.Connected shells//Asymptotic methods in mechanics, CRM Proc. and Lect. Notes, AMS, 1993, 205-215

31. Ни W.,Raney J. Experimental and analitical statical study of vibrations of joined shells // AIAA J. 1967. Vol. N 5. P.976-980.

32. Irie Т., Yamada G., Muramoto Y. Free vibration of an oblique circular cylindrical shell // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1985. C51, N 467. P. 1704-1709.

33. Krotov A. V. Tovstik P.E. Asymptotical double natural frequensies of thin elliptical cylindrical shell vibrations// "Proc. Int. seminar Day of diffraction 97". 1998r, St .-Petersburg 128-134.