Бифуркационная неопределенность в классической механике и явление флуктуации точек ветвления в геометрически нелинейной теории оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

-ь

АКАДЕЭТЯ НАУК СССР ' СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Институт теоретической и прикладной механики

На правах рукописи

ЛАРЧЕНКО Виктор Васильевич УДК 539.3

БИФУРКАЦИОННАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ И ЯВЛЕНИЕ ФЛУКТУАЦИИ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НШНЕЛНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертавд>1 на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1991

Работа выполнена в Новосибирском государственном

университете

Офьциячьные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.КУКУДОШОВ доктор физико-математических наук, профессор И.Г.ТЕРШЛОВ доктор физико-математических наук, профессор В.М.КОРНЕВ

Вед пая организация: Санкт-Петерс5ургский государственный

университет.

со

Заицпа состоится " ff.0 " Мйрггм._1992г. в часов

на заоедании специализированного совета Д.003.22.01 при Институте теоретической и прикладной механики СО АН СССР ' ао адресу:

630090, Новосибирск-90, Институтская, 4/1, ИТЕ.1 СО АН СССР.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической к прикладной механики СО /Л СССР.

Аьтореферат разослан " (9 " ф-еЬ I99.tr.

Ученый секретарь (

специализированного совета ,}'

к.ф.-м.н. f З.И.Самсонов

онцая характеристика работы

Актуальность тещ. При эволюции механической системы в закритическое положение в центре внимания обычно оказываются вопросы о механизмах, действующих в такой процессе. Предде всего, здесь требуют разрешения принципиальные монета о соотношении размерности математической постановки задачи и сто-хастичности, детерминированности и степени хаотизации, об устойчивости и наблюдаемости, связи условий прецизионного эксперимента и результатов наблюдений и т.д. Поскольку в глубокой закритической стадии имеет место весьма сложное поведение, то особое внимание уделяется условиям зароадения и роли флуктуации на начальном этапе развития изучаемых процессов.

В настоящее время в различных разделах нелинейной механики существуют несколько непротиворечивых в себе теорий. Наибольшее распространение получили модель цбпочки нормальных последовательных бифуркаций Лацдау-Хопфа, сценарий странных аттракторов Рюэля-Такенса, теория бифуркации удвоения цикла и другие.

Хорошо известно многообразие форм потери устойчивости тонких упругих оболочек, разброс их критических давлений и трудности идентификации мезвду ними. Однако до сих пор не установлены механизмы, определяющие в полной мере явление бифуркационной устойчивости. Актуальность тема диссертационной работы следует из того, что в ней впервые в строгой математической постановке изложена модель деформирования тонкой оболочки в Окрестности критического давления, основанная на флуктуации точек бифуркации. Суть ее состоит в следующем. При возмущении срединной поверхности оболочки и внешнего давления могут изменяться тип ветвления, кратность собственного значения, группа вращения собственной функции и, естественно, координаты точек ветвления. Последний факт известен специалистам.

Таким образом, явление бифуркационной неустойчивости оказывается весьма сложным, оно определяется несколькими ме"-ханизмами. В отличие, например, от модели, основанной на повышение размерности тора перехода через точку нормальной би-ф^ркации в соответствующем каскаде, в предлагаемом направлении сложности идентификации связаны не столько с количеством

точек ветвления в одной цепочке, сколько с многообразием реализаций таких цепочек.

Пусть требуется указать в прецизионном эксперименте способ потери устойчивости тонкой упругой сферической оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением, опорный контур которой жестко защемлен. Одним из следствий проведенных исследований является утверждение: при любом малом неравномерном осесимштричном возмущении внешнего давления возможны нормальная и обратная бифуркации. Более того, тот или другой тип ветвления формы равновесия, а тем самим и способ потери устойчиво ти, определяются лишь распределением внешнего давления, ко не его величиной. Тем самым ясно, что в такой ситуации возникают трудности принципиального характера при фиксации в.црецизионном эксперименте способа потери устойчивости оболочки. Интерес к этим задачам выходит далеко за ражи собственно теории оболочек, поскольку касается фундаментальных проблем классичэской физики о предсказуемости и идентификации результатов эксперимента. Отмеченные свойства изучаемого об^акта породили название диссертационной работы. Вторая часть выражения "бифуркационная неопределенность" заимствована нами из статей Гсйзенберга.

Цель работы. I) Выяснить механическое содержание неопределенности деформирования тонкой упруго!! оболочки в условиях неединотвенности.

2) В строгой математической постановке разработать формализм перехода механической системы в закритическое состояние. Его реализацией снять некоторые известные противоречия данных прецизионного эксперимента по устойчивости собственным значениям . системы Иаргерра.

3) Согласно воззрениям И.Пригожина, трактовка, неустойчивости связана с тем, что случайные флуктуации физической прироры в условиях неединственности возрастают, в то время как эти возмущения вдали от точек ветвления затухают. Последним свойством определяется' детермированное поведение механической системы вне малой окрестности точек буфуркацли. , Оставаясь » рамках классической механики, выяснить роль ■ флуктуаций в условиях неединственности, ограничиваясь теми возмущениями, которые определяют основные механизмы перехо-

да сферической шапочки в закритическиэ неосесимметриччне фор -

мы.'

4) Учитывая наличие близко расположенных точек ветвления ь спектре критических давлений тонких упругих оболочек, изложить основные механизмы, опредегяющие трудности идентификации закритического деформирования указанных оболочек.

5) Разработать методы нелинейной аппроксимации решения уравнений геометрически нелинейной теории оболочек. Определить критические давления и формы равновесия на наилучших приближениях. На заданном компакте оценить количество оптимальных координатных последовательностей для уравнений Мар-герра.

На защиту выносятся. I. Новая модель явления бифуркационной неустойчивости тонкой упругой оболочки и механизмы, определяющие переход ее в закритичаское положение равновесия.

2. Критерий бифуркационной неустойчивости неосесимметркч-ных форм оболочек вращения.

3. Адаптирующийся вариационный метод расчета последовательности критических давлений и напряженно-деформированного состояния тонкой упругой оболочки при наличии высоких градиентов в решении.

Научная новизна. I. Новизна предложенной автором модели заключается в том;- что впервые в строгой математической постановке на основе двумерных уравнений теории тонких упругих оболочек изложено многообразие форм перехода механической системы в закритическое состояние и указаны механизмы, реализующие этот процесс.

2. Новизна и эффективность критерия;обусловлены тем, что вопрос о бифуркационной неустойчивости решения системы с эллиптической главной частью сведен к существованию нулей первого 'порядка на внутренних точках отрезка интегрирования для искомых системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Впервые установлена возможность увеличения кратности вырождения первого собственного, значения спектра *. Через функционалы уравнения разветвления и амплитуды несовершенств срединной поверхности оболочки вращения выведены, условия изменения . Даш оценки сверху тила1^Е

где,^ - естественный малый параметр при старших производных '

уравнений: Г.'пргерра.

4. Отличительное свойство созданного адаптирующегося вариационного метода связано с определением координатной последовательности У . Последние априори не знаются, но вычисляется в процессе реализации метода из условия минимизации погрешности аппроксимации. Уравнения для некоторых констант Галеркина формулируются проекцией не исходных уравнений, а их невязок. Кроме того, элементы из^^^но обязаны удовлетворять даже главным граничным условиям. '

5. Обнаружен номй эффект, связанны)" с изменением количества то' зк сгущения в спектре крищчеслих давлений несовершенной сферической оболочки.

6. Предлочены новые формулы асимптотики верхних критических давлений сферической шапочки в неосесимметричной постановке для скользящего защемления опорного контура и подвижного шарнирного его опирания.

Достоверность результатов подтверждена систематическим сравнением с данными прецизионных экспериментов Пармертера, Ихиды, Сунакавы, Йренцке, Кирчана, Тилльмана,- Терстона, Пен-нинга, Крюгера, Глокнера, Лу, Адама, Кинга и др., решением одной и той »е задачи несколькими методами, согласованностью заключений численного и асимптотического анализов, последовательным применением методов математической шизики и строгим обоснование: рада утверждений. ,

Теоретическое и практическое значение. Созданная модель перехода механической системы в закритическое положение рав-новеси: весьма универсальна, поскольку использует лишь общие свойства уравнени. теерии оболочек. Она может быть обобщена на широкий класс сингулярно возмущенных краевых задач математической физики, в которых имеет место сгущение точек ветвления в травой полуокрестности начала спектра.

В приложении диссертации изложена теоретико-экспериментальная методика оаднки эффективности электрофизического воздействия на оболочечнуго конструкцию по точкам бифуркации. Здесь разброс в результатах измерений зависит как от свойств с5олочки, обусловленных бифуркационной некорректностью, так и от особенностей взаимодействия потока энергии с нею, ус-, тойчквости характеристик источника энергии и т.д. Новая. мо-

дель повышает достоверность заключения, поскольку более полн^ учитывает механизмы потери устойчивости.-

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации анонсированы в заметках fi - з| . Расширенное их изложение приведено в статьях [4 - III.

Сначала идея адаптирующегося вариационного метода была .сформирована в [l] , подробнее описана в [б]. Затем выяснилась его новизна не только в пределах теории оболочек, но и в других разделах механики дефорируемого твердого тела и даже в нелинейных задачах математической физики. В связи с этим метод опубликован в работе [ю].

Аналогичная ситуация возникла при публикации статей

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе по математическому моделированию в науке и технике (Пермь, 1986), ка I Всесоюзной конференции по математическое моделированию в науке и технике (Москва, 1988), на Всесоюзной конференции по численным методам в теории упруг°сти и пластичности (Волгоград, 1389), на Всесоюзной совещании по методам малого параметра (Нальчик, 1987), на семинаре Института прикладной математике АН СССР (Москва, IS85, рук. чл.-кор. M СССР К.И.бабенко), на семинаре механики деформируемого твердого тела в Новосибирском.госуниверс-итете (1986, рук. акад. Е.И. Шемякин), там se (1990, рук. проф. Б.Д.Аншш), на семинаре механики дефорируемого твердого тела Мнститута гидродинамики СО АН ПССР (Новосибирск, 1984, IS86, 198Э, рук. проф. О.З.Соснин), на семинарах механики деформируемого твердого тела в МАШ и Институте механики пул Московском госу1:иверси-тете (IS84, IS86, 1990, рук.чл.-кор.•АН СССР Э.И.ГриголкО , на оешшаре физики быстрых процессов Института гидродинамики СО Ali СССР (Новосибирск, 1988, рук. акад. В.М.Титов), на семинаре качественных методов циффереипальных уравнений Института математики СО АН JCCP (Новосибирск, 1984, 1987, рук. проф. Т.И.Зеленяк), на семинаре кафедры теории пластичности. Московского госуниверситета (1991, рук. проф. В.Д.Клшнмков), на семинаре кафедры механики Казанского госуниверситета (Казань, 1991, рук. проф. Ю.Г.Коноплев), на семинаре механики деформированного твердого тела Тверского политехнического ин-

ституга CI90I, рук. проф. А.Г.Зубчанинов), на семинаре кафедры сопротивления материалов Московского авиационного института (1991, рук. проф. А.Г.Горшков), на семинаре математического моделирования в механике деформируемого твердого тела Института проблем механики АК СССР (Москва, I99Ï, рук. проф. В.Н.Кукудааков), на семинаре кафедры вычислительных методов механики деформированных тел Ленинградского госуниверситета (3 991, рук. проф. К.Ф.Черных).

ч

Структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, трех приложений и списка литературы, включающего 303 наименований. Диссертация содержит 476 страниц, в тог.: числе 113 графиков, 34 таблицы, 14 текстуальных таблиц, 2 схемы, I диаграмму, 10 фигур поясняющего характера.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении дано конспективное изложение диссертационной работы, неформально пояснены принципиальные моменты, определяющие в последующем направление исследований. Здесь же отмечена взаимосвязь понятий устойчивости решения по A.M. Ляпунову и корректности постановки задач по ¡¿.Адашру. При выделении класса некорректных краевых задач в геометрически нелинейной теории упругих оболочек, подчеркивая указанное обстоятельство, автор предложил связанное определение бифуркационной неустойчивости решения и бифуркационной некорректности задачи, естественно, возвратившись в концептуальном плене в постановке этого вопроса к Л.Эйлеру.

В первой главе в § L,§2 приведены основные допущения теории пологих оболочек и.формулировки краевых задач для системы Маргерра

/ А1U - G д (F + у? ÎL 01,F ) + L «4, <Tj] + РСг),

г L(U,V)~VL"A-O+ V"Aи -гг^диВ-о,

= С-У+ъЛ'У: А (О-[со-г-1 W];

IfcCt.fl- fnV)coenf, f^ct)-** £а(г),

lfn№)|-i}, (о:-Э/^ге). 0)'»cty<?f(0.

Здесь (lZ, У) - исколая вектор-функция, - нормальное перемещение срединной поверхности сферической шапочки, (У -функция Эйрч; (Т.f) - полярные координаты; >Р(Ъ)- внешнее давление,- собственные значения неосасишетричной бифуркации, когда у)Хх "Х^С^Ч) - 2.3Г- периодическое достаточно гладкое возмущение срединной поверхности, £ - по-лурастЕор.

Урарнения CI) доопределяются условиями на опорном контуре С "V - коэффициент Пуассона)

а)П.ед&, Ц -1Г-0, А(Г-В(Г-0.

б)т.еЭД, ff+VAii-o, if-o, AiF-BiF-o,

-Й-о, iT-viF"+

♦ («-1)3" + O-itfF- 2 (i+VjF- 0,

которые отвечают скользящему защемлению, подвижному шарнирному опиранию и абсолютно жесткому закреплении. края соответственно.

Таким образом, наш! рассматриваются типичные постановки задач бифуркационной устойчивости.

Все величины, входящие в (I), безразмерные. Перэход к * размерным переменным, отмеченным индексом р , задается формулами

гд^ С - опорный радиус, К - толщина, Е - модуль к'йга.

Специфика системы Маргерра е условиях сингулярного возмущения обусловлена существованием в малой окрестности [р* £+Р* Р^ПНН-п'СРпЬ О С]"-'1) неосимметричных форм равновесия, содержащих высокие градиенты в решении, другие трудности анализа уравнений геометрически нелинейной теории оболочек связаны с юс бифуркационной некорректностью. Точный смысл этого понятия будет пояснен ниже.

Параметр ^ определяет порядок слабо нелинейных членоЕ в 'I), вклад которых в окрестности точек ветвления необходимо учитывать. Однако вопрос об их оценка является открытым, если при тангенциальные перемещения не равны нулю.

Рассмотрим задачу.о влиянии -функции на неосимметрич-. ную бифуркацию форм равновесия сферической оболочки без геометрических несовершенств, т.е. исследуется ее устойчивость, если равномерное внешнее давление увеличивается' до некоторого р , причем Ре{_Рп"У » а затем она догружается неравномерно по раствору.

Следуя § 3, введем малый параметр ^

^ и, используя разложение Пуанкаре-Ляпунова для простого собственного значения

1 ) 1 % "с

сведем (1а) к рекуррентной последовательности краезыл задач: нулевое приближение по , отвечающее осесимметричному деформированию оболочки,

» вг $ +

(2) ге(м)

нелинейная задача на собственные значения относительно р

^ гд* а>п-едпМп + ип+ ¿Гц, и, г-1) Хи-ЗС',,-0, г-о) х-, 7/п

осесимметричная составляющая второго приближения Пуанкаре-Ля- . пуногза

¡н^п-въ^* ^(м/п+Ъп'О+Яп Ссо„,1Гп),

Явные выражения для и) »

п('»') приведены в [4] и в § 3 диссертации. Там же сформулирована краевая задача для (х5п. указана ее неоднородная часа.ь(1п (•,О и изложена в § 4 вариационно асимптотическая техника вывода уравнения разветвления в форме Фича. В принятых обозначениях оно имеет вид .

гс^с/^Тп -о,

1% (г) Ь (г)с/г, Сп- К *

П ^ п

- ^Я^гг.ЯГ^сЯ, Ь(Ъ)~ ¡ь^а)^.

Граничные условия, отвечайте скользящему защемлению опорного контура сферического купола, использораны лишь для конкретизации изложения.

Пусть малое нетривиальное решение в (5) существует при и>0 , тогда Еетвленио известного состояния называется нормальной бифуркациой неосесимметричной формы равновесия и если она энергетически выгодна, то ее можно иаблюдать в статическом состоянии. Ветвлению решения здесь отвечает явление выпучивания оболочки. .

Пусть ""^цСсО существует при и-<0 . Бифуркация неосесимметричной фор.'.ш сопровождается хлопком, такой тип ветвления относится к обратной бифуркации.

Из диаграммной техники Ньютона с очевидностью следует -тип бифуркации определяется соотношением знаков функционалов

и оп • (тп яено зависит от первого и второго приближений Пуанкаре-Ляпунова и неяшо ,от формы срединной поверхности, условий закрепления опорного контура оболочки. Тема самым получаем, что при каждом фиксированном ре {-Рм} знак ФУ®*-ционала €*п в изучаемой задаче задан. Б то же время из ьвда функционала Сп следует

Критерий бифуркационной неустойчивости. Введем характеристические множества )»{'4<3„сг)>0}> ^-^^„(^фели нп, $ГПА

Ф 0 , то отвечающее функции малое решение неустойчи-

во, а соответЬтвующая краевая задача теории оболочек бифурка-ционно некорректна на множестве положительных функций, интегрируемых на любом [0, ^^ ^ с весом Ъ .

Таким образом, к классу некорректных задач нами отнесены такие, в которых изменяются тип бифуркации при варьировании распределения возмущения внешнего давления. Необходимое условие этого состоит в существовании нулей первого порядка на СО, I ) для осесимметрлчной составляющей нормального перемещения второго приближения Пуанкаре-Ляпунова.

Для Л ^ 21, Д.=» |Гв~/ук соответствующая последовательность краевых задач, в тог.; числе (3), (4), интегрировалась методом прогонки в форме С.К.Годунова. Особенность ее

применения связана с предварительным выделением степенного пограничного слоя.

На фиг. 5.1, 5.2 приведены ^(Ъ) для жесткого и скользящего защемлений. Номера кривых равны волновому числу IX . Кривая 4 на фиг. 5.Г состветствузт А = 8,52, р= 0.7587, кривая 8 - Л = 14,03, р*= 0,7768; на фиг. 5.2 Д = 11,31, . р*= 0,3354 при И = 4 и Л = 15,90, р* 0,3191 при IX = 8. Так как Л а , Ф » если П. =4,8, то система Маргерра (1а) и (1в) является бифуркационно некорректной, а соответствующие йеосвсиммэтричные формы неустойчивы относительно п - возмущений.

Сиг. 5.1 Our. 5.2

К критерию бифуркационной неустойчивости

В n.if.I показано, что сферическая оболочка со скользящим и жестким защимлениями опорного контура теряет устойчивость хлопком. Там же изложен анализ распределения в спектре критических давлений, проведено сравнение наших результатов с данными асимптотического интегрирования и прецизионных экспериментов Лу-Т-Ч, Кренце и Кирнаиа. В частности, для jt = ■ -8,3, 7,89 в случае (1з) указаны такие fj,-возмущения, при которых оболочка может быть нагружена давлением превышающем р* без перехода ею в глубокое закритическое положение равновесия.

Пусть требуется в прецизионном эксперименте фиксировать тид потери устойчивости в окрестности р* . Из наших результатов следует: при любом сколь угодно малом возмущении лавле-

ния возможны нормальная и обратная бифуркации. Более того, тип ветвления неосесимметричной формы оцределяется лишь возмущением в рассматриваемых задачах, но не собственно величиной возмущающего давления. Отсутствие однозначного соответствия мевду естественной нормой малых неравномерных флукта-ций давления и явлениями, реализующими тип потери устойчивости составляет механическое содержание бифуркационной неопределенности модели Маргерра.

Во второй главе на примере задачи (2) изложен адаптирующейся метод решения нелинейных краевых задач и проведены расчеты верхнего критического давления сферической оболочки в осесяиметричной постановке, Оформлен он в виде последовательности трех алгоритмов.

Первый алгорчтм Бубнова. дляо>(7.)и ^СТ-) выберем пробные координатные функции •{_1.гк+1 и проектирующую систему СО }0 Б^'дем искать га-приближение для (ОЭ , ) в виде

»V. т 4 л ГГ ГП О

.Х.К+1

Коэффициенты разложения С^ определяется из алгебраических уравнений

. й ** 0, i, 2, - • •, X т,

которые получаются подстановкой (6) в (2) и проектированием в ¿.д (ОД) каадого уравнения иа -{с1 к С^)}™

Второй алгоритм Бубнова. Компенсируем невязку в выполнении граничных условий и уравнений в зоне пограничного слоя о помощью степенного базиса ^С к > рТ= 1 - ^ с экспоненциальными весами, представляя приближенное решение бгп£'а(св виде двух слагаемых:

(8) <zmU~eПе< nef!).

К3 У

егт=(со™ О. 1а:1'Я

где ПкС1- коэффициенты разложения (константы Галеркина),

Лкб- неизвестные параметры. Некоторая громоздкость идентификатора ПС связана с преемственностью об значений £9^. Здесь П - аббревиатура П -функций, заимствованная из работ А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова.

Выделяя невязку уравнений в зоне опорного контура сферической шапочки, методом И.Г.Бубнова сформулируем %(I нелинейных уравнений

(9) ТЛ^СПкС1, П*с* Лк1,Дкг)-о.

I ~ оГт, - 1, гс(.

Потребуем, чтибы разложения (6), (8) компенсировали невязку в граничных условиях, получим

т

(10) П.с^-гЦС;,

Г° * • .

Третий алгоритм (Ритца). Пусть сужение функционала потенциальной энергии на приближении <5т % \о " последовательность весов координатной системы. Тогда общая идея адаптирующего^ вариационного метода сводится к вычислению {.J^k*}^ из условия

В § 9 минимизация погрешности аппроксимации достигается замыканием Ci), (9), (10) системой Ритца

(11) д(Хт,<1 С -1.2 с9 Я к I

В табл. 9.1 сведены результаты расчета для. &= 0,15, уи<<1 , т.= с(= 4, ЯкоаС/И, К = 0,4, 6 = 1,2. Во второй колонке дано значение функционала^ СЦ^ц при р= 0.3633, (р = О. В третьей колонке величина р совпадает с Р -координатой: точки бифуркации. В четвертой колонке указана погрешность предлагаемого метода для критического давления в сравнении с результатами метода параллельной пристрелки. Видно, что наилучшее приближение для р* существует и достигается при

<И= 0,41375. В этом случае согласорение двух мотодов достигается с точностью 3,58$. В п. 9.2 приводен пример неединственности наилучшего приближения.

Таблица 9.1

л Р* |Д|, %

0.4500С 1,353904 0,3733 13,19

0,44000 1,07383« 0,3840 10,70

0,43000 0,902836 0,3967 -7,74

' 0,42000 0,620060 0,4071 5,33

0,41375 0,805768 0,4*454 3,58

0,41250 0,805978 ■ 0,4467 3,88

0.4ЮП0 0,809628 0,4512 4,93

0,37500 1,167200 0,4734 10,03

0,35000 1,643260 0,4978 15,77

Разработка адаптирующегося вариационного метода не являлась самоцелью.. Для эффективного анализа системы Маргерра в исоледуемых задачах, преждя всего, требовалось установить порядок слабо нелилейных членов по ^ ,^«1. Последний определяется • точками неосесимметричной бифуркации. Реализация предлагаемого метода привела к заключению, что I в случае (1а), (16) и, следовательно, согласно формулам параметризации, имеем Р*- 0ак1Г0)6П).

, В третьей главе изложено обобщение адаптирукх^эгося вариационного метода на задачи о собственных значениях сферической оболочки в неососимметричной постановке.Для минимизац-ш погрешности. нелинейной аппроксимации используется функционал 01п. Последний получается проектированием системы (3) на ее собственные функции.

Трудности построения наилучшего щжблитания для Р* здесь связаны с тем, что функционал СС'* определен лишь на спектре • критических давлений ^Р^/, в то время как расчеты на ЭВМ проводятся в некоторой сфере 17п (Р^ Для каждого фиксированного п. .

Предложение автора сводится к щ эдолжению на окрестность и^ сужения СХ^Сна конечномерное пробное подпространство), а затем проводится минимизация указанного продолжения с целью вычлсления оптимальной координатной последовательности.

В п. 11.1 сформулированы требования к пробному набору базисных функций в весьма общем виде и изучены ^ойства соответствующих продолжений.

Для 9 = 0.128, = 5.1•Ю-^ найден показатель экспоненты (А =0.275, Ц = 7, аналогичны« использованному в таол. 9.1, характеризующий наилучшее приближение для Р* и вычислено критическое давление в неосесимметричной постановке р = 0.3261, что согласуется с точностью в 4.1$ с данными метода пристрелки. Здесь Р нормализовано на верхнее классическое критическое давление линейной теории. Эти расчеты относятся к равномерно нагруженному сферическому куполу с подв:ис-но защемленным опорным контуром.

В § 14,§15 И516 методам локальной теории ветвления проведен анализ неосесинметричной бифуркации форм равновесия оболочек вращения при слабо несимметричном нагружении. Здесь же пояснена необходимость теоретического исследования такой задачи при полунатурных испытаниях на устойчивость тонких оболочек по некоторым существующим методикам. Избегая громоздкости изложения результатов, автор провел соответствующий анализ на конкретных примерах, выбирая наиболее характерные из них [5, в]. Точка зрения автора пояснена фрагментарно, но примеры рассмотрены так, чтобы сугь особенностей исследования этого класса уадач оказалась Еполне ясной.

Для тонких упругих оболочек вращения при слабо несимметричной нагрузке сформулирован "закон 3/2" Койтера.

Расчетам! на ЭВМ показано, что пологая коническая оболочка с жестко защемленным краем теряет устойчивость хлопком при Д>7.7, если на ее опорном контуре заданы условия абсолютно жесткого укрепления, а шешнее давление равномерное. Для малых д и неосесимметричных форм, характеризующихся вол-

новыми числами П= 3, 4, возможна нормальная бифуркация. Установлено существование нескольких ветЕбй целочисленной Функций П. (РЛ). Реализация критерия неустойчивости показала, что система Маргерра для .конической оболочки является бифур-кационно некорректной.

В четвертой главе исследуется начальное за1фитическое деформирование несовершенной сферической оболочки. Здесь результаты первой главы, в частности, § 3,§5 распространяются на область весьма ток!шх оболочек. Однако возникла необходимость изменения техники интегрирования приближений Пуанкаре-Ляпунова, поскольку в изучаемой области значений ранее использованные подходы оказались.не эффективными. Повышен уровень формализации выделения класса бифуркационно некорректных задач.

В § 18' доказано утверждение о том, что формальное разложение методом погракслойных функций искомых краевой задачи (2) обладает асимптотическими свойствами е области достаточно малых Iй- при = Т. Хотя техника доказательства этого факта известна, тем не мене« она приведена в диссертации, так кьк я процессе вывода априорных оценок получаются полезные для дальнейшего ограничения на ^ . При интегрировании задачи (2) вместо приближенного решения в последующих разделах работы используется главный член асимптотики.

В § 19 предложен алгоритм локализации критических давлений последовательностью Штурма. Б его основу положены результаты С.К.Годунова и других сотрудников отдела численных методов Института математики СО ЛН СССР.

В п. 19.3 приведены результаты расчета в первом повтором приближениях Пуанкаре-Ляпунова для нормального перемещения, моментов, деформаций, усилий. Их'распределение, в частности, показывает, что скорости изменения напряженно-деформированного состояния в направлениях касательному и нормальному к опорному контуру сферической шапочки имеют одинаковые поряд- -ки по I"- , что принципиально при качественном анализе системы Маргерра асимптотическими методами.

В п. 20.1 - п. 20.3 пятой глэеы излагаются известные модели перехода механической системы в закритическое погоже-:не: а) модель цепочки нормальных последовательных бифурка-- -

ций, б) модель бифуркации удвоения цикла, в) сценарий странных аттракторов. Анализ этих точек зрения объясняется тем, что, по мнению автора,они относятся, с одной стороны, к наиболее известным достижениям бифуркационной устойчивости, и, с другой стороны, определяют уровень требований к новым подходам. Воспроизводятся они схематично, поскольку прямого отношена, к теории оболочек не имеют.

Б п. 20.4 § 20 разработана новая модель закритичоского деформирования в условиях сингулярного возмущения. В качестве исходной системы приняты уравнения Магрерра (I), причем учитывается наличие геометрических несовершенств срединной поверхности сферической шапочки. Анализ перераспределения в спектре критических давлений проводится на основе уравнения разветвления

(12) + +

где - функционал, определенный на "/[/^.-возмущениях, яв-

ный вид его выписан в § 17; Т^- приводеиная амплитуда гармоник ряда ^урье для геометрических несовершенств.

Поправки к спектру критических давлений найдена диаграммной техникой Ньютона, применной к результату уравнения (12) и-условия неоднозначной его разрешимости. Предг -рительно для (12) был получен полином Вейератрзсса по ^[2, II]. Эти преобразования в условиях сингулярного возмущения позволяют обосновать уточнения, что необходимо, так как расчеты на ЭВМ собственных значений имеют конечную погрешность, в ^о время как расстояния между ними стремятся к нулю при /И-10 , и этот эффект усиливается сгущением спектра в его клчалэ.

Дяскремнканткые линии в приближении (12) для краевой задачи (1а) приведены на «иг. 20.4. Здесь в =0.15, 'Ц-п-=Ю2( У« + 1Р*) Лт=Рт/Р*1. Ю3 V п ,

= ЕП.^ С), а : I) 0.323, 2) 0.-315, 3) 0.305, 4) 0.345, 5) 0.365, (кривые 1-5 соответственно),_/«■« 1 . Для определенности принято, что значение (функционала &п рагно II &п | , причем норма вычислялась на классе непрерывных функций. Сплошные кривые отвечают нормальной, штриховые -обратной бифуркациям.

п

0,5

О

-0,5

-1,0

Фиг, ¿0.4. Перераспределение собственных значений е спектре критических давлений

Проанализируем закономерности в нарушении единственности решения, ограничиваясь случаят I), 2). Если Хп= 0, то Р лэкит на линии I. Возмущение в коэффициентах уравнений !.!аргер-ра, во-первых, увеличивает значение Р , во-вторых, уменьшает р -координату точки ветвления, лежащей на линии 2, собственная функция которой имеет волновое число П- Еп с1 = 0.315. Начало спектра будет двухкратно Енрогденным, если нормирование амплитуды геометрических несовершенств сов- -падают с абсциссой точки Л. Дальнейшее увеличение приводит к тому, что минимальная точка .ветвления станет снова простой, но изменится группа вращения и тип бифуркации. Возможны и более высокие степени вырождения. В частности, если Х„равно бЗсциссам точек О., В или О, С , то бифуркационное значение рп будет трех- или четырехкратным.

_ Выше рассмотрен лишь один типичный случай флуктации точек ветвления. Если в начале спектра тлеет место лишь обратная бифуркация неосеммитричннх форм, то описанное явление также существует Перераспределение точек ветвления в таком случае является следствием разницы значений Сп } 0$п и Хп на разных элементах ^Рц}.

Строго говоря, вопрос о типе бифуркации на первой критической нагрузке сферического купола является открытым, когдр на опорном контуре заданы условия скользящего защемления, а внешнее давление равномерное. Это связано с изменением знака функционала (Тп в окрестности С Р*,Р + £), где £ »0.18$ от Р . Подробнее отмеченный эффект пиясняют цанчио табл. 20.1 и 20.3 приложения П. Чтобы закрыть возникший вопрос, требуется оценить Р с точностью превышающей £ . Известные автору методики анализа погрешностей вычислений не позволяют достичь этого. Для разработки модели в этом однако нет необходимости. Здесь принципиально лишь наличие сгущения в начале спектра. Тем не менее, хотелось бы напомнить [7"], в рассматриваемых условиях сферическая оболочка теряет устойчивость хлопком, если срединная поверхности шлоет весьма малые несовершенства, что, естественно, снижает актуальность сформулированного в начале абзаца вопроса.

Таким образом, трудности в идентификации закритическогь состояния сферической оболочки согласно предлагаемой модели саязаны с явлением флуктуации точек ветвления. Суть его составляют изменения: а) типа бифуркации, б) кратности собственных значений, в) группы вращения собственной форда, г) Р -координаты точки ветвления, - если возмущаются срединная поверхность и распределение внешнего давления.

Пармертером методом голографической интерферометрии исследована устойчивость сферической оболочки дта А = 9. Выбор геомотрического параметра сделан так, чтобы первое собственное значение имело кратность равную двум. Эксперументатор на основе сеоих измерений разложил нормальное перемещение в ряд йурье и построил кривые нагружения. Оказалось, что на всех кривых, кроме одной, наблюдаются нелинейные эффекты в окрестности критического давления Рэкс •

В таблице приведены результаты расчетов для Л = 8.8999, ^ = 0.3 (жесткое защемление). Параметр "Д сознательно выбран близким н 9, но не равным 9, поскольку в измерениях исследователя содержались погрешности.

Как подтверждает приведенная таблица, все собственные значения, включая Р , оказываются прост!тли. Видно, чго при

2, 4, 7 функционал положителен. Это означает,'в " рассматриваемых случаях имеет место обратная бифуркация, потеря устойчивости при р = 0.7651 реализуется хлопком. Тек

как при п= 3 функционал

—р- а т^Сп те,5(Г. '"еньвд нуля' то ветв~ -^-°——-— ление решения относится к

другому типу - нормальная

.. б ифуркэция. Специ а льный

анализ, представленный в 0.7651 4 0.5697 1.3940 § 20 и 21> п0казыЕает

0.8271 3 0.4298 -3.5214 личение такого собственно-

0.9214 2 0.4120 1.6365

0.8779 7 1.3571 2.9352 0.8140 6 1.0044 2.2122 0.7710 5 0.7596 1.7001

0.9226 0

го значения при наличии геометрических несовершенств. Измерения экспериментатором перемещения в окрестности Ракс означает, что для одной кривой нагруженмя они проведены вдали от соответствующей точки ветвления. Следовательно, противоречие между теорией и экспериментом снимается существованием на одном собственном значении нормальной бифурлачик и' особой его зависимостью от геог.зт-рических несовершенств.

Изменение точек сгущения несовершенной сферической оболочки установлено автором с помощью уравнения разветвления (12) в § 22. Здесь де формальным предельным переходом по уи . в С 2) - (4) показано существование нулей (^-функции на первом собственном 'значении и тем сагэд установлен факт бифурка-цинной некорректности соответствующей краевой задачи в условиях . Это заключение устанавливается в первой глаЕе для относительно больших , затем в четвертей главе утверждение обобщается'на случай конечных, но весьма малых щ и,' наконец, в пятой главе устанавливается типичность указанного свойства уравнений Маргерра.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.