Нелинейное деформирование и устойчивость цилиндрических оболочек при неоднородном сжатии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

Введение.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВДЛИЕДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ

НЕОДНОРОДНОМ СЖАТИИ.

1.1. Основные гипотезы и соотношения.

1.2. Численный метод построения решения для выбранной математической модели.

1.3. Определение критических нагрузок.

1.4. О выборе наилучшего приближения

2. ПОВЕДЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ

СЖАТИИ.

2.1. Общие свойства неосесимметричных состояний сжатой оболочки.

2.2. Докритическое деформирование цилиндрической оболочки при циклическом сжатии.

2.3. Характер потери устойчивости и критические напряжений.

2.4. Влияние осесимметричной составляющей внешней нагрузки на критические напряжения.

2.5. Достоверность полученных результатов.^

3. ЩЛИВДРИЧЕСКАЯ ПАНЕЛЬ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ.

3.1. Анализ поведения панелей со свободными продольными краями. ^б

3.2. О закритическом поведении панели.

3.3. Влияние условий закрепления.

3.4. Влияние внешних возмущений на поведение панелей при неоднородном сжатии.

3,5. О выборе расчетных моделей для панелей со свободными краями.

4. ОБОСНОВАНИЕ ВЫБРАННОЙ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ ПАНЕЛИ.

4.1. Экспериментальное исследование несущей способности панели.

4.2. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

5. ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА ПАНЕЛИ.

5.1. Расчет несущей способности кожуха доменной печи, ослабленного отверстиями в период капитального ремонта

5.2. Панель с подкрепленным продольным краем. Расчет напряженно-деформированного состояния кожуха барокамеры.

Развитие теории устойчивости оболочек традиционно обусловлено потребностями тех отраслей техники, где ограничения по весу конструкции являются определяющими - авиастроение, судостроение и др. С развитием техники область приложения оболочеч-ных конструкций в качестве силовых элементов расширяется, происходит усложнение уоловий их эксплуатации, что приводит к необходимости рассмотрения новых расчетных случаев и к созданию новых расчетных схем. Повышение уровня культуры расчетов на прочность также вызвано требованием снижения материалоемкости конструкций.

Уточнение расчетных схем приводит к усложнению математической модели объекта и увеличению трудностей, связанных с решением поставленной задачи.

С другой стороны, развитие быстродействующих ЭШ и эффективных численных алгоритмов позволяет ставить и решать эти задачи в усложненной постановке.

Обширные исследования устойчивости тонкостенных цилиндрических оболочек в основном посвящены рассмотрению осесимметричных задач, что достаточно полно освещено в монографиях [2,16,21, 22,39,66] . Однако напряженно-деформированное состояние реальных оболочечных конструкций в большинстве случаев является нения, конструктивными особенностями (переменность жесткости, наличие отверстий, неоднородные краевые условия), начальными несовершенствами, обусловленными технологией производства оболочки.

Важной с практической точки зрения и сложной для теоретичеос есимме тричным неравномерностью нагружеского исследования по-прежнему является задача неосесимметрич-ного деформирования круговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии. Неоднородность напряженно-дсформированного состояния по дуговой координате возникает как при неравномерном распределении осевых усилий на торцах оболочки, так и при конструктивной неоднородности, например, в цилиндрической панели со свободными продольными краями, сжатой равномерными продольными усилиями.

Задаче устойчивости цилиндрической оболочки при неоднородном распределении сжимающих напряжений по окружной координате посвящены обзорные работы [21,22] , в которых дан анализ существу адих решений и приведено решение, основанное на предположении близости докритического состояния к безмоментному [32] . Применение упомянутой расчетной схемы приводит к следующим выводам:

- при неоднородном сжатии вида в отличие от однородного, амплитуда критического напряжения не пропорциональна -jl и изменяется в пределах 1 ^ Л ^ 00 в зависи

R V2 рг h мости от значения параметра Jp = . ^ ===== , где р -показатель изменяемости внешней нагрузки (здесь ,

Eh КР

Р- R Y 5 (1 ~~ классическое значение критического напряжения сжатия цилиндрической оболочки) ;

- для тонких оболочек при небольших значениях р влияние неоднородности усилий незначительно. В этом случае в пределах полуволны напряжение изменяется мало и его амплитуда получается близкой в критическому напряжению однородного сжатия;

- в случае высокой изменяемости напряжений и относительно толстых оболочек амплитуда критического напряжения может значиттельно отличаться от классического критического напряжения сжатия.

Авторы названных работ [21,22] пришли к выводу о том, что критические напряжения неоднородного сжатия рассмотренного вида при любом сочетании параметров неоднородности и геометрии всегда превышают критические напряжения однородного сжатия.

Здесь же [22] авторами ставится вопрос о необходимости уточнения принятых исходных гипотез о характере докритическо-го состояния - об учете моментности и нелинейности, их взаимовлиянии.

Сделаем анализ существующих подходов к решению этой задачи на основе работ, не вошедших в рассмотренные обзоры.

Вначале укажем на исследования, не учитывающие особенностей докритического деформирования оболочки.

В цикле работ [56,89,93] развивается подход, основанный на решении уравнений Донелла с помощью тригонометрических рядов для нагружения вида Р(Ч) "AcospY . Докритическое состояние принимается безмоментным. В результате получены выводы, аналогичные [32] . Авторы [56 ] утверждают, что " ^ = I всегда представляет собой нижнюю границу истинного параметра потери устойчивости".

Качественно противоположные результаты в аналогичной постановке получены Шалашилиным В.й. и Кузнецовым Е.В. [вз] , которые в рядах исследовали устойчивость цилиндрической оболочки при докритичеоком состоянии неоднородном "как по длине оболочки, так и в окружном направлении". Докритическое распределение мембранных усилий авторы определили соотношением р.+ PropSinmxcospY.

Расчеты показали, что изменяемость докритического состояния в окружном направлении, соответствующая р = 2, приводит к наимень

1 I тему критическому напряжению. Так, в случае оболочки -Ь- = I,

R R

Jp- = 100 для ГП ^ 3 (ГП и О - изменяемость докритического соп 1 стояния в продольном и окружном направлениях соответственно) критические напряжения сжатия не превышают 0,01 от () ** . Влияние it р неоднородности напряженного состояния авторы сравнивают с влиянием погиби. Этим объясняется столь существенное снижение критической нагрузки.

Крысько В.А. и Коломоец А.А. [бз] рассмотрели устойчивость цилиндрической оболочки при ступенчатом изменении усилия продольного сжатия. Участки, равномерно нагруженные усилиями интенсивности Q , циклически чередуются с участками сжатия усилиями интенсивности te(ostsi). В безмоментной постановке получено замкнутое решение для критического напряжения, не зависящее от числа участков нагружения.

Переходя к анализу исследований, учитывающих моментность и нелинейность исходного состояния оболочки, остановимся вначале на решении задачи о напряженно-деформированном состоянии оболочки при неоднородном сжатии.

Лисовский В.Г. [57J рассмотрел задачу о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки, сжатой четырьмя сосредоточенными силами в продольном направлении. В приведенном расчете выявлена значительная нелинейность и неоднородность рассматриваемой системы. В частности, перед достижением предельного состояния в оболочке отмечены прогибы до трех толщин.

Уточнение характера поведения оболочки, за счет учета докритического прогиба, выполнено Шалашилиным В.И. [82J .Уравнения устойчивости учитывают неравномерность усилий в срединной поверхности ч& не учитывают влияния докритического изгиба на мембранные напряжения. На основе этих уравнений получены уравнения в вариациях. Решение строится в виде двойных тригонометрических рядов.

Во всех рассмотренных примерах получены низкие значения критических напряжений А . Так, в задаче о сжатии оболочки сосредоточенными силами А ^ 0,07, а в задаче о сжатии оболочки нагрузкой, равномерно распределенной на части криволинейных кромок, А < 0,15 даже при распространении нагрузки на весь криволинейный контур [82] .

Аятухер Г.М. и Липовский Д.В. рассмотрели эту же задачу с использованием метода Ритца [i] . Докритическое состояние описывается дифференциальным уравнением типа основного напряженного состояния [20] . В функционале потенциальной энергии возмущенного состояния учтены докритические изменения кривизн. Рассмотрен пример о сжатии оболочки усилиями, равномерно распределенными на части контура длиной JT /2. Критические напряжения в зоне нагружения превысили классические в 1,04 раза.

Гавриленко Г.Д. [г?,ю] решает рассматриваемую задачу в конечных разностях методом последовательных приближений. В основу положены уравнения Кармана, на базе которых строится решение, описывающее докритическое состояние,и выводятся линеаризованные уравнения устойчивости.

Расчеты, выполненные автором, указывают на существенную мо-ментность докритического состояния. Что касается критической нагрузки, то "максимальное снижение. достигает 50% по сравнению с безмоментным решением" [l7] .

Отметим, что трудоемкость подхода, выбранного автором, не позволила провеоти полное исследование этой задачи, выполнены лишь несколько примерных расчетов.

Кабанов Б.В. и Железнов Л.П. на основе метода конечных элементов £зз] рассмотрели неоднородное нелинейное деформирование оболочки при сжатии погонными краевыми усилиями по площадкам,циклически расположенным на торце оболочки [27,28,34].Отмечено влияние моментности и нелинейности напряженно-деформированного состояния на критические нагрузки. Минимальные критические нагрузки соответствуют нагружению с числом площадок р, равным числу волн р* потери устойчивости оболочки при однородном осевом сжатии. В этом случае неоднородность нагрузки и вызванные ею прогибы находятся в "резонансе" с собственной формой потери устойчивости оболочки. Критические нагрузки определяются как предельные точки кривой "нагрузка-прогиб" по расходимости итерационного процесса [28j .

Неоднородность, связанная с конструктивной несимметрией,находит характерное проявление в задачах устойчивости панели со свободными продольными краями.

Наиболее полное решение этой задачи предложено в работе (87] , выполненной на основе уравнений Доннела, линеаризованных в окрестности безмоментного состояния. Неизвестные функции задачи аппроксимированы в продольном направлении тригонометрическими рядами, в окружном направлении в виде функций, определенных как аналитическое решение соответствующей одномерной задачи. Граничные условия на продольных кромках представлены как система четырех однородных уравнений. Критические напряжения найдены из условия равенства нулю характеристического определителя этой системы.Построены зависимости критических напряжений для симметричной и кососимметрич-ной форм потери устойчивости в широком диапазоне изменения геометрических параметров панели (0,1 -)=- ^100, 66^-^-^1000, 0 <4^180°, и " п где у - центральный угол раствора панели). Методика, предложенная этими авторами,в дальнейшем получила широкое распространение при исследовании поведения панелей при различных граничных условиях' на продольных кромках [[51,60,64,90,9l] .

Кан С.Н. и Каплан Ю.И. исследовали устойчивость незамкнутой цилиндрической оболочки с привлечением гипотез полубезмоментной теории [37,38] .Докритическое состояние принято безмоментным.Показано, что для всех оболочек при потере устойчивости реализуются формы, симметричные относительно срединной меридиональной плоскости. Критические напряжения в коротких оболочках возрастают по мере увеличения угла раствора, в длинных - практически не зависят от угла раствора.

Анализ закритического поведения неосесимметричных систем при осевом сжатии практически отсутствует, здесь можно привести лишь работу, где на основе нелинейных уравнений теории пологих оболочек исследовано закритическое поведения цилиндрических панелей с использованием метода конечных разностей [88J . Система нелинейных алгебраических уравнений решается методом проб и ошибок в сочетании с экстраполяцией и методом Ньютона-Рафсона. В предположении = 0 - коэффициент Пуассона), авторы в качестве начальной точки процесса используют решение соответствующей задачи на собственное значение, линеаризованной в окрестности тривиального докритического состояния. Приведены численные примеры построения закритических ветвей решения.

Во всех рассмотренных выше работах отмечено, что панель теряет устойчивость с образованием в продольном направлении одной полуволны.

Все теоретические исследования поведения панели можно объединить общностью подхода, заключающейся в том, что докритическое состоя-, I ние принимается безмоментным, т.е. рассматривается бифуркация не-деформированной исходной формы. Однако, в случае панелей со свободными продольными краями особенно важен учет особенностей докритического состояния, В этом случае при расчете напряженного состояния вообще неприменима безмоментная теория [20] , вследствие того, что для такой оболочки характерно напряженное состояние типа обобщенного краевого эффекта, которое существенно моментно.

Решения рассматриваемых задач оказываются очень чувствительными к выбранной расчетной схеме и методу расчета. Так, в работе [52] изучается влияние неоднородности распределения сжимающих усилий по дуговым кромкам на критические нагрузки панелей со свободными продольными краями. Использована расчетная модель в предположении безмоментности исходного состояния. В рассмотренном примере в дополнение к равномерно распределенным сжимающим напряжениям криволинейные края панели испытывают дополнительное сжатие переменными напряжениями, имеющими максимальное значение с кл

10 • О кр в центре и убывающими до нуля на краях панели. При такой незначительной неоднородности сжимающих напряжений для панели с геометрическими параметрами = 100, = I, f = 90° критические напряжения уменьшаются в 10 раз в сравнении со случаем равномерного осевого нагружения. В результате авторы приходят к выводу, что величина критических напряжений немногим сг ** более, чем 0,01 • о Кр •

Выше были рассмотрены теоретические исследования поведения панелей при осевом сжатии. Единственное известное из литературы ^экспериментальное исследование панелей, параметры и которых принимали по 3 фиксированных значения, выполне1 h Г 1 но для одного и того же угла раствора модели [97 J . Авторы сопоставляют результаты экспериментов с теоретическими решениями, выполненными по различным методикам [87,88] .

В результате сравнения критических напряжений, полученных в эксперименте 6> кр , в линейном и в нелинейном рас

У Н четах О кр авторы приходят к выводу, что ближе воего эксперименту соответствуют результаты линейного расчета [87] . Следует заметить, что соотношения между экспериментальными и расчетными критическими напряжениями для различных геометрических параметров панели самые разные: 6*кр > 6* кр > б* кр , 6*кр> 6 кр ^вкр, 6\р>6'кр > б'кр . Такое соотношение расчетных и экспериментальных критических напряжений может быть объяснено неточностью нелинейного решения (грубостью сетки в использованном авторами методе конечных разностей) и принятым в линейном решении предположением } =0.

Обратимся к анализу экспериментальных исследований потери устойчивости цилиндрической оболочки при неоднородном сжатии, Коноплев Ю.Г. [44] провел испытания на стальных оболочках, нагружая их по площадкам шириной циклическими усилиями. о

Число локальных осевых сил было выбрано соответственно I, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Получена линейная зависимость между числом сил j и величиной Kj = Ркр / (Eh22ff) в виде

Kj = 0,1 j к, здесь Ркр - суммарная критическая нагрузка; К = 0.605.

Макеев Е.М. провел испытания 14 оболочек, подкрепленных на торце шпангоутом, нагруженных 2, 4, 8 сосредоточенными продольными силами [58] . Автор на основе экспериментального исследования предложил инженерную формулу для определения критической нагрузки цилиндрической оболочки, нагруженной сосредоточенными силами. Формула основана на предположении о совпадении форм потери устойчивости, образующихся при испытаниях на неравномерное сжатие, с формами потери устойчивости при равномерном сжатии. Критерием является предположение о том, что выпучивание оболочки наступает в тот момент, когда некоторые "осредненные tl ' на ширине вмятины" значения меридиональных сжимающих напряжений достигают величины критических напряжений равномерного сжатия. Наличие жестких торцевых шпангоутов обеспечивает достаточно плавное распределение напряжений в оболочке, поэтому критические напряжения близки к критическим напряжениям при равномерном сжатии.

В работах Красовского В.Л. [l0,48,49,50] приведено детальное экспериментальное исследование особенностей поведения цилиндрических оболочек при различных вариантах циклически неоднородного продольного сжатия. Названный цикл работ позволил сделать следующие выводы:

1) докритическое состояние неравномерно нагруженных оболочек существенно моментно и нелинейно (при некоторых видах нагру-жения максимальные прогибы к моменту потери устойчивости достигают 2-2,5 толщин оболочки);

2) критические нагрузки зависят от закона распределения усилий на торце оболочки. Обнаружено снижение критических напряжений на 40-50 % по сравнению с соответствующими напряжениями при равномерном сжатии;

3) выделены два характерных типа формы потери устойчивости оболочки. Минимальным критическим напряжениям отвечает форма jio окружности с образованием регулярных, вмятин1 и одной полуволной в продольном направлении, совпадающая с формой докритического изгиба. В остальных случаях закритическая форма близка к форме потери устойчивости при равномерном сжатии.

Таким образом, как видно из обзора существующих исследований, в задаче о неоднородном сжатии существуют противоречивые точки зрения на механизм поведения и потери устойчивости оболочки, что не позволяет согласовать между собой теоретические исследования. С другой стороны, имеется значительное несогла

14 I сование теоретических и экспериментальных работ, что говорит об отсутствии подхода, позволяющего создать модель, адекватную реальному процессу.

Все это указывает на необходимость дальнейшего исследования задач неоднородного сжатия цилиндрических оболочек с учетом особенностей их поведения - моментности и нелинейности докритического состояния.

При выполнении диссертационной работы ставились следующие цели:

1. Разработка методики расчета продольно сжатых цилиндрических оболочек при неосесимметричной деформации.

2. Исследование поведения и устойчивости кругового тонкостенного цилиндра при неоднородном сжатии; определение критических нагрузок, их зависимости от характера нагружения и геометрии конструкции.

3. Изучение поведения панели при статическом и кинематическом вариантах осевого нагружения.

4. Экспериментальное изучение особенностей поведения цилиндрических панелей при осевом сжатии.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографии, приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные выводы, следующие из анализа поведения продольно сжатых цилиндрических оболочек при неосесимметричном деформиро вании.

1. Неосесимметричной деформации цилиндрических оболочек при сжатии наиболее адекватна модель преимущественного изгиба в окружном направлении, учитывающая нелинейные взаимодействия формы до-критического изгиба и формы потери устойчивости.

2. Докритическое поведение замкнутой оболочки при неравномерном сжатии зависит от изменяемости внешней нагрузки в окружном направлении и может быть отнесено к одному из следующих типов деформирования: а) состояние изгиба с преобладанием мембранных кольцевых

Л< у «V усилий ( Кр^П, j К = 1,2.), причем случаю р£\\ соответствует наличие значительных зон кольцевых сжимающих усилий и наибольшая деформативность оболочки ; б) состояние среднего изгиба с преобладанием неоднородных ь А» осевых усилий ( р<р , р * ft ) > в) состояние преобладающего однородного продольного сжатия ( р > р * ), сопровождаемое слабым изгибом.

3. Формы потери устойчивости и характер особых точек решения зависят от типа докритического состояния : а) в случае Кр~И- форма потери устойчивости соответствует форме докритического изгиба. Достижение критической нагрузки связано с реализацией на кривой "нагрузка-прогиб" предельной точки ; б) в случае р< р*. р + ft* на кривой деформирования также фиксируется предельная точка ; в) при р^р* на кривой деформирования реализуются точки бифуркации. Закритические конфигурации при этом близки к форме потери устойчивости при однородном сжатии.

Тип точки ветвления решений для панелей зависит от формы • потери устойчивости: предельная точка соответствует симметричной форме выпучивания, точка бифуркации - кососимметричной.

4. Зависимость критических усилий от параметров геометрии оболочки и изменяемости нагрузки носит немонотонный характер и имеет минимум при совпадении формы докритического деформирования и формы потери устойчивости.

5. Критические усилия сжатия панели со свободными продольными кромками существенно зависят от тангенциальных условий ее закрепления в осевом направлении и в случае задания равномерного сближения торцев значительно выше, чем при задании по краям равномерно распределенной нагрузки.

6. Разработанная методика позволяет связывать исчерпание несущей способности не только с достижением критической нагрузки, но также с достижением напряжений или перемещений в конструкции, недопустимых по условиям ее эксплуатации. Методика, учитывающая моментность и нелинейность докритического состояния, хорошо согласуется с экспериментальными данными и была использована при определении несущей способности и запасов прочности конкретных конструкций.

1. Алтухер Г.М., Липовский Д.Е. Устойчивость цилиндрических оболочек при неоднородном нагружении их торцов. - В кн.: Тр. УШ Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок (Ростов н/Д., 1971). М.: Наука, 1973, с.205-209.

2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

3. Андреев Л.В., Дьяченко В.Е. Расчет напряженного состояния подкрепленной цилиндрической оболочки при произвольной осевой нагрузке. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск: изд-во Днепр, ун-та, 1973, вып.17, с. 156-162.

4. Андреев Л.В., Заварыкин Л.Г., Ободан Н.И. Устойчивость цилиндрической оболочки при неоднородном продольном сжатии.

5. В кн.: Нелинейная теория оболочек и пластин: Тез. докл. Казань, 1980, с. 53-54.

6. Андреев Л.В., Заварыкин Л.Г., Ободан Н.И. Нелинейное деформирование цилиндрических панелей при осевом сжатии. -Прикладная механика, 1981, 17, № 3, с. 81-85.

7. Андреев Л.В., Ободан Н.И., Лебедев А.Г. Анализ поведения геометрически нелинейных цилиндрических оболочек при неосесим-метричном нагружении. Известия вузов. Машиностроение, 1976, № 5, с. 5-8.

8. Андреев Л.В., Лебедев А.Г., Ободан Н.И. О резонансных свойствах и параметризации нелинейных решений в неосесимметрич-ных задачах устойчивости. В кн.: Устойчивость пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Саратовск. университета, 1981, с. 5-8.

9. А.с. I0I4895 (СССР). Способ ремонта кожуха доменной печи / Л.Г. Заварыкин и др. Опубл. в Б.И., 1983, № 16, с. 84.

10. Бинкевич Е.В., Красовский В.Л. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном сжатии. В кн.: Тр. УШ Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок (Ростов н/Д., 1971). М.: Наука, 1973, с. 246-249.

11. Бутенко Ю.И., Кан С.Н., Каплан Ю.И. Устойчивость цилиндрических оболочек открытого профиля. Изв. вузов. Авиационная техника, 1974, № 4, с. 56-61.

12. Бушнелл Д. Потеря устойчивости и выпучивание оболочек -ловушка для проектировщиков. Ракетная техника и космонавтика, 1981, 19, Агз 10, с. 93-154.

13. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 528 с.

14. Валишвили Н.В. Об одном алгоритме решения нелинейных краевых задач. Прикладная математика и механика, 1968, т.32, № 6, с. 1089-1092.

15. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦБМ.-М.: Машиностроение:1976. 278 с.

16. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. - 984 с.

17. Гавриленко Г.Д. Определение верхних критических нагрузок для цилиндрических оболочек с учетом моментности докритического состояния. Автореф. дисс. . каад.техн.наук. Киев, 1972. -16 с.

18. Гавриленко Г.Д. Устойчивость цилиндрических оболочек под действием сосредоточенных сил. Прикладная механика, 1970, 6,1. Jfr 3, о. 25-31.

19. Гавриленко Г.Д. Исследование неоднородных нелинейных задач теории ребристых оболочек. Прикладная механика, 1979, 15, № 9, с. 25-31.

20. Голэденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: ГИТТЛ, 1953. - с. 544.

21. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек. В кн.: Механика твердых деформируемых тел. 1967 (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР). М., 1969. - 348 с.

22. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. - 360 с.

23. Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюз. межвуз. сб. / Горьков. ун-т, 1979, вып. II, с. 3-19.

24. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. Львов: Вища школа, 1982. -254 с.

25. Длугач М.И., Поляков П.С., Максименко В.П. Исследование прочности цилиндрических оболочек, нагруженных продольными силами. Прикладная механика, 1968, 4, № 4, с. 25-34.

26. Длугач М.И., Гавриленко Г.Д., Поляков П.С. Теоретическое и экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек с большими прямоугольными отверстиями. Прикладная механика, 1977, 13, $ 6, с. II7-I20.

27. Железнов Л.П. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность и устойчивость элементов конструкций летательных аппаратов. Автореф. дисс. . канд.тех.наук, Новосибирск, 1981. - 20 с.

28. Железнов Л.П., Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагру-жении методом конечных элементов. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1981, № 3, с. 49-54.

29. Заварыкин Л.Г. Несимметричное нелинейное деформирование цилиндрической панели при осевом сжатии. В кн.: П Республиканская конференция молодых ученых по механике (тезисы докладов). Киев: Наукова думка, 1979, с. 65-69.

30. Иосилевич Э.Д., Соколовский Б.Ц., Ещин Л.Д., Бужинский Е.Н. Ремонт конструкций шахт доменных печей объемом 1033 м3. -Металлург, 1977, № I, с. 13-16.

31. Кабанов В.В. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при неоднородном сжатии. Изв. АН СССР. Механ. и машиностр., 1963, Ш I,o. I8I-I83.

32. Кабанов В.В., Железнов Л.П. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряженном состоянии методом конечных элементов. Прикладная механика, 1978, 14, № 3, с. 45-52.

33. Кабанов В.В., Железнов Л.П. Нелинейная задача деформирования круговых цилиндрических оболочек при неоднородном сжатии.

34. В кн.: Тезисы докладов XI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Харьков, 1977), М., 1977, с. 41.

35. Кабанов В.В., Железнов Л.П. Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном сжатии. -В ,кн.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. М.,1982, с. 77-83.

36. Калнинс А. Исследование оболочек вращения при действии симметричной и несимметричной нагрузок. Труды амер. о-ва инж.-механиков. Прикладная механика, 1964, 31, № 3, с. II2-I22.

37. Кан G.H., Каплан Ю.И. Устойчивость цилиндрических панелей со свободными прямолинейными кромками. В кн.: Четвертая Всесоюзная конференция по проблемам устойчивости в строительной механике: Тез. докл., Харьков, 1972, с. 85-86.

38. Кан С.Н., Каплан Ю.И. Об устойчивости неоднородных систем. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1973, вып. 21, с. 51-60.

39. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

40. Келлер Дж.Б. Теория ветвления решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: 1974, с.19-34.

41. Ковальчук Н.В. Исследование устойчивости ребристых цилиндрических оболочек с большими прямоугольными вырезами. -Прикладная механика, 1978, 14, № 10, с. 55-63.

42. Ковальчук Н.В. Напряженно-деформированное состояние и устойчивость цилиндрических оболочек с большими прямоугольными отверстиями. Автореферат дисс. . канд.тех.наук. Киев, 1979. - 18 с.

43. Койтер В.Т. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем. Механика: Период, сб. пер. иностр. статей, I960, В 5, с. 99-110.

44. Коноплев Ю.Г. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрической оболочки под действием произвольного числа локальных осевых сил. Исследования по теории пластин и оболочек / Казан, ун-т, 1970, вып. У1-УП, с. 481-484.

45. Корнев В.М. Асимптотические явления и их анализ в теории оболочек. : Автореф.дисс. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1972. - 24 с.

46. Корнев В.М. О решении задач устойчивости оболочек с учетом плотности собственных значений. В кн.: Тр. IX Всес. конференции по теории оболочек и пластин (Л., 1973). Л.: Судостроение, 1975, с. 132-134.

47. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. - 720 с.

48. Красовский В.Л. Влияние длины на устойчивость цилиндрических оболочек, сжатых продольными локальными усилиями. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1972, вып. 16, с. 170172.

49. Кришнамурти Г. Устойчивость незамкнутых цилиндрических оболочек с жесткими на кручение опорами прямоугольного сечения. Ракетная техника и космонавтика, 1974, 12, № 10, с.69-75.

50. Кришнамурти, Наранг. Потеря устойчивости открытыми цилиндрическими оболочками при совместном действии сжимающих и изгибающих напряжений. Ракетная техника и космонавтика, 1977,15, № 3, о. 42-48.

51. Крыоько В.А., Коломоец А.А. Устойчивость локально нагруженной цилиндрической оболочки. Прикл. механика, 1981, 17,1. J6 10, с. 86-92.

52. Кукуджанов С.Н. О наилучших начальных приближениях в проблеме собственных чисел в методах Ритца и Бубнова Галерки-на. - В кн.: Тр. 1У Всес. конференции по теории оболочек и пластин (Ереван, 1962). Ереван: изд-во АН Армянской ССР, 1964, с. 620-625.

53. Лебедев А.Г. Анализ геометрически нелинейных цилиндрических оболочек при неоднородном радиальном нагружении. Автореф. дисс. . канд.тех.наук. Днепропетровск, 1977, 18 с.

54. Лисовский В.Г. Об одной модификации метода локальных вариаций для решения нелинейных задач теории оболочек. Ученые записки ЦАГИ, 1977, 8, № 3, с. II8-I26.

55. Макеев Е.М. Об устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии сосредоточенными силами. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1972, вып. 16, с. I59-I6I.

56. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. - 424 с.

57. Молчанов А.Г., Паничкин В.И. Устойчивость открытой цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1971, № I, с. I08-II0.

58. Моссаковский В.И., Макеев Е.М. Расчет кругового колыза и сопряженных с ним цилиндрической и сферической оболочек на действие сосредоточенных нагрузок. В кн.: Расчет пространственных конструкций. М., Стройиздат, 1969, вып. 12, с. 96-III.

59. Моссаковский В.И., Ободан Н.И., Фридман А.Д. Нелинейное деформирование цилиндрической оболочки с большими прямоугольными вырезами. Прикладная механика, 1980, 16, № 2, с. 51-56.

60. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957, 432 с.

61. Немировский Ю.В. Устойчивость и выпучивание конструктивно-анизотропных и неоднородных оболочек и пластин. В кн.: Итоги науки и техники: Обзор. М.: ВИНИТИ, 1976, т.9, 154 с. (Механика твердых деформируемых тел).

62. Носенко В.И., Заварыкин Л.Г., Каганов М.Е. Об устойчивости кожуха шахты доменной печи о большими вырезами. В кн.: Металлургическое машиноведение и ремонт оборудования. : Тешти-ческий отраслевой сборник, М.: Металлургия, 1979, № 8, с. 38-39.

63. Ободан Н.И. Вариационные функционалы для некоторых математических моделей в нелинейной теории оболочек. В сб.: Динамика и прочность тяжелых машин. - Днепропетровск: ДГУД982, вып. 6, с. I4I-I45.

64. Ободан Н.И. Вариационная теорема для граничных значений-в нелинейной теории оболочек. ДАН УССР. Сер. А, 1982, № 4, о. 31-36.

65. Олмрос. Влияние граничных условий на устойчивость цилиндрических оболочек при осевом сжатии. Ракетная техника и космонавтика, 1966, 4, № I, с. I7I-I79.

66. Руководство по расчету стальных конструкций доменных печей большого объема: Отчет / ЦНИИПроектсталысонструкция. Тема

67. Jft 0.55.027 е)-1д) ш 19?5в 252 570-56-75

68. Рябой В.М. Устойчивость и послекритическое поведение упругого кольца под действием собственного веса и неравномерного гидростатического давления. Вестн.Моск. ун-та, Сер. матем., механ., 1974, № 6, с. 81-67.

69. Свирский И.В. Метод прогонки для решения нелинейных уравнений. В кн.: Труды семинара по теории оболочек. Вып. 3, Казань, 1973, с. 360-364.

70. Совершенствование организации ремонта металлургического оборудования / Довгань Л.В., Корженко В.В., Богуславский Л.Б., Кочеров В.И., Кольцов С.В. Донецк: Донбасс, 1973. 96 с.

71. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж.Холла и Дж.Уатта. М.: Мир, 1979. 312 с.

72. Срубщик Л.С. Выпучивание и послекритическое поведение оболочек. Ростов н/Д.: изд-во Ростов, ун-та, 1981. - 96 с.

73. Стефенс. Чувствительность к несовершенствам подкрепленных стрингерами цилиндрических панелей при осевом сжатии и внутреннем давлении. Ракетная техника и космонавтика, 1971, 9, № 9, с. 63-70.

74. Тургунов Н. Уравнение ветвления нелинейной задачи пологой цилиндрической панели. В кн.: Линейные и нелинейные краевые задачи математической физики. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1974, о. 51-61.

75. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Наука, 1966. 656 с.

76. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. Киев: Наук, думка, 1966. - 4.2, 244 с.

77. Элмрот Б., Броуген Ф. Бифуркационные критические нагрузки как аппроксимация предельных нагрузок для оболочек произвольной формы. Ракетная техника и космонавтика, 1972, 10, $ 4, с. 123-128.

78. Элмрот 1 Б., Броуген Ф., Марлоу Н. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек с круглыми отверстиями. Ракетная техника и космонавтика, 1973, II, Л II, с. I5I-I53.

79. Almroth B.O., Stern P., Brogan F.A. Future trends in nonlinear structural analysis.-Computer and Structures, 1976, 10, N 1-2, p.369-374.

80. Chu K.H., Krishnamoorthy G. Buckling of open cylindrical shelis.-J.Eng.Mech.Dir.: Proc. ASCE, 1967, 93, N 2,p.177-205.

81. Chu K.H., Turula P. Postbuckling behavior of open cylindrical shells.-J.Eng.Mech.Dir.: Proc. ASCE, 1970, 96, N 6, p.877-894.

82. Durban D., Libai A. Influence of Thickness of the Stability of Curcuilar Cylindrical Shells Subjected to Nonuniform Axial Compression.-Israel J.Technology, 1976, 14, N 1-2,p.9-17.

83. Jaroniek M. Stateoznosc otwarte powloki walcowe.-Zesz.Nauk.P., 1974, N 200, s.23-43.

84. Johnson D.E., Boucher R.J. Edge buckling of cylindrical shells with box in-plane shear moduli.-AIAA J., 1973, 11, N 4, p. 551-552.

85. Keller H.B., Wolfe A.W. On the nonunique equilibrium states and buckling mechanism of spherical shells.-J.S00. and Appl.Math., 1965, 13, N 3, p.674-705.

86. Libai A., Durban D. Buckling of cylindrical shells subjected to nonuniform axial loads.-Trans. ASME, J.Appl.Meoh., 1977, 44, N 4, p.714-720.

87. Turula P., Chu K.E. Bmokling of open cylindrical shells with imperflections.-J.Eng.Mech.Div.: Proc. ASCE, 1970, 96, N 6, p.1125-1141.

88. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells. A review of experiment and theory. Contrib. theory aircraft struct.-Delft, 1972, p.325-357.