Асимптотическое поведение решений псевдопараболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. О СУЩЕСТВОВАНИЙ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ И НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

§ I. Определения и вспомогательные предложения

§ 2. Первая начально-краевая задача в ограниченном цилиндре.

§ 3. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

§ 4. Теоремы существования и единственности решений первой начально-краевой задачи в неограниченных областях.

Глава П. О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ТОЧЕК ГРАНИЦЫ И НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

§ 5. Априорные оценки решений псевдопараболических уравнений в ограниченных областях

§ 6. Априорные оценки решений начально-краевых задач в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности

§ 7. Примеры оценок для конкретных областей.

Глава Ш. О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ. КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ПРИ

ЗАДАЧА БЕЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

§ 8. Априорные оценки решений в нецилиндрических областях. Поведение обобщенных решений первой краевой задачи при +

§ 9. Задача без начальных условий.

В диссертации рассматривается псевдопараболическое уравнение вида

Mut+Lu'fai), /1/ где

- эллиптические операторы. Здесь и в дальнейшем предполагается суммирование по повторяющимся индексам от У до /г . Частным случаем /I/ является уравнение

U£-yAUt-=AU /3/ с положительной константой , которое описывает такие процессы, как охлаждение сложных сред [I, 2], фильтрация однородных жидкостей в трещиноватых породах ГЗ], затвердевание глины [4], излучение в газах [5], движение неныотоновских жидкостей [6], влагопе-ренос в почвогрунтах [7, 8].

Одним из вопросов, рассматриваемых в диссертации, является вопрос о единственности решений задачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для псевдопараболических уравнений в классах растущих функций.

Впервые задача Коши для общей системы линейных дифференциальных уравнений вида где X = CO*.) » М и - квадратичные матрицы с полиномиальными относительно операций j ^ коэффициентами, зависящими от / , была рассмотрена в [9] С.А.Гальпер-ном в классе функций, интегрируемых с квадратом по вместе с некоторым числом производных. В [10] для системы /4/ с постоянными коэффициентами А.Г.Костюченко и Г.И.Эскин построили классы единственности и корректности задачи Коши для случая растущих начальных данных и решений.

Исследование вопросов единственности и существования решений задачи Коши для уравнений /I/, /3/ и систем более общего вида в различных функциональных пространствах получило дальнейшее развитие в работах [11-17]. Так единственность решения задачи Коши в классах растущих функций была доказана В.Ранделлом и К.Коснером в [16] для уравнения

M-])lf+Lu = o, где I - тождественный оператор, в двух случаях: I/ операторы /V и- L - эллиптические вида /2/, причем , а коэффициенты допускают некоторый рост на бесконечности, 2//Y - эллиптический оператор вида /2/, Ц - произвольный дифференциальный оператор порядка не выше второго, а коэффициенты уравнения ограничены и не зависят- от / . В случае I/ доказательство основано на использовании принципа максимума, который для псевдопараболических уравнений выполняется при наличии целого ряда ограничений [I], [18-20].

В диссертации теоремы единственности решений задачи Коши и первой начально-краевой задачи в неограниченных областях для уравнения /I/ с растущими коэффициентами доказаны в классах растущих функций, причем класс функций, в котором имеет место единственность решения первой начально-краевой задачи в неограниченной области, определяется геометрическими характеристиками области. Эти теоремы получены с помощью априорных оценок, аналогичных принципу Сен-Венана в теории упругости, которые выведены в диссертации методом весовых функций, предложенным О.А.Олейник и Г.А.Иосифьяном в [21]. Этим методом получены также априорные оценки решений задачи без начальных условий, из которых следует единственность решения данной задачи.

С помощью оценок, аналогичных принципу Сен-Венана, в диссертации доказаны теоремы о существовании обобщенных решений задачи Коши, первой начально-краевой задачи в неограниченной области и задачи без начальных условий на основе метода, разработанного О.А.Олейник и Г.А.Еосифьяном в Г25], а также исследовано поведение решений начально-краевых задач и их производных по 5С в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности с помощью метода, предложенного О.А.Олейник и Й.Копачеком в [281. Априорные оценки сен-венановского типа для псевдопараболического уравнения /3/ получены в [22, 23], а для уравнений более общего вида в [24].

Изучению асимптотического поведения решений задачи Коши и краевых задач в цилиндрических областях для псевдопараболических уравнений при / —посвящены работы [II], [12], [14], [27], [26].

В диссертации получены оценки, характеризующие поведение решений первой краевой задачи для уравнения /I/ при ^ в нецилиндрических областях, учитывающие геометрические характеристики этих областей.

Следует отметить, что теория псевдопараболических уравнений является в настоящее время активно развивающейся областью теории дифференциальных уравнений в частных производных и различным ее аспектам посвящены, кроме перечисленных ранее, работы [29,30], [34-48].

Перечислим коротко основные результаты диссертации. В главах I-II уравнение /I/ рассматривается в области где£> - область пространства с кус очно-гладкой границей , ^ .

Пусть функции /71У /7Г/ // ^ ^ ^дг измеримы и ограничены в любой конечной подобласти области (r п . Цгсть тfyxMJitfi, efx,*)90, mfx/j-jtrrix/zJ)? О, Ъ/Н. .,/1) для всех пусть существуют1 постоянтае^//^^

P^d*/ иуЗ><? такие, что

-/4 * г? Л- *4 ifu'/'dfa-im^), фр^^ЦфЦ в & при всех . В случае, когда £ О в ^

S . » положим и-0 .

Заметим, что полученные результаты можно распространить на более широкий класс уравнений, так как заменой ^ уравнение /I/ сводится к уравнению для функции V(xt {) .

Пусть задано начальное условие

5/ и граничное условие и/п =0, /6/ 7

- 7 где Х€у, C?<i<T} с

В главе I строятся классы единственности и существования решений задачи Коши и первой начально-краевой задачи в неограниченных областях для случая растущих начальных данных. Для этого предварительно выводятся энергетические оценки, аналогичные принципу Сен-Венана в теории упругости. В § I вводятся некоторые обозначения и понятия, формулируются определения функциональных пространств и для элементов этих пространств доказываются неравенства, аналогичные неравенству Фридрихе а. В § 2 доказывается теорема о существовании и единственности обобщенного решения первой начально-краевой задачи в ограниченном цилиндре. В § 3 сначала выводятся энергетические оценки типа Сен-Венана, а затем на основе этих оценок доказываются теоремы о существовании и единственности обобщенного решения задачи Коши в классах растущих функций.

Пусть СО - некоторая подобласть области Q . Обозначим хеа), C?<UT}CG7 S-fccJ: ХСдоО, с></<Г}9 Од(т)=/х}1: Х£СО, 77.

Для любых целых неотрицательных чисел ^ и % через tytfOv^) обозначим пространство функций, полученное пополнением по норме iub % - (J 27 ^fdxdif м

Q Ms множества бесконечно дифференцируемых в Q. функций Шя, £) с компактным носителем в Q v 6* , где 6"С $UСО(о). Положим H^ft (Q) -Щр Через Н<£ (О)\ %) обозначим пространство функций, полученное пополнением по норме ггА-ЛТГ

Т СО множества бесконечно дифференцируемых в СО функций V(x) с компактным носителем в СО 4 , где fr^cdcd .

Пусть для любого ограниченного цилиндра Q xijeLjQ), уМеН^^улди).

Определение I. Функция С1(ОС,{) называется обобщенным решением задачи /I/, /5/, /6/ с Г^-Г в неограниченной области (г, если для любого ограниченного цилиндра QC G~ функция U -у ^ Hf1 [Q7 a)W(SO г)] и если при любой функции VCXjijGHfO (Q} S) выполнено интегральное тождество

У +mcu. v + rnu, v + vx, + £LUX V * guv) dxdi-Sfvdocdi. /8/ a

В случае ]??-/$ ^ заДача /^У» /5/, /б/ является задачей Коши и изучается в § 3.

Обозначим ={сс: /к/<А}7 = ty * Щ T)t S^ = дсО^Щ

Еfau^mtUi ищ+Uxc + (т)ul

Пусть m^J-^/ntf. Л?D {/X/) и пусть в случае, когда О в £ , выполнено одно из условий: либо * либо /nVfcW-fi ? к*, охот*для любых ♦ (%,£)& G" , где /7?0(А) и /71ое>(&) - (функции, измеримые и ограниченные снизу положительными числами на каждом конечном отрезке с[0} , положительная функция, измеримая и ограниченная на каждом отрезке [Ai} с ft ooj.

Лемма I. Пусть U(X?i) является обобщенным решением задачи Коши /I/, /5/ . в слое &' СССJR%} и в , (ffx)S О в СОи . Тогда для любого справедлива оценка f ' J Л Га, AW//uJe^etxeU; /10/

С Яс где Н , jlf/stfy- любая непрерывная на Г Л о, функция, удовлетворяющая соотношению о<Л&*1<гшЛ- il^'^fl /п/ i-d ^ reWl/Spfa^f^dSjJ, где ^Тс - множество бесконечно дифференцируемых в окрестности % функций, равных нулю в окрестности

S^/lo)^ (о) , dSэлемент /I -мерной поверхности <5^ .

Оценка /10/ соответствует принципу Сен-Венана в теории упругости. С ее помощью доказывается следующая теорема о единственности обобщенного решения задачи Коши.

Теорема I. Пусть функция i) является обобщенным решением задачи Коши /I/, /5/ с ^бО в @ и в

IR^ и пусть при некотором Я(//} А) - непрерывная на Г(?,°о) функция, удовлетворяющая соотношению /II/ при А^О . Тогда, если для некоторой последовательности положительных чисел такой, что 4X7 при , выполнены соотношения $ £(/г? и)е

-ytdxdi где Sfttxl^O при , то U^O в (г.

С помощью доказанных в § I неравенств, аналогичных неравенству Фридрихе а, оценивается и показывается, как можно выбрать jIпри различных условиях на коэффициенты. В частности, для уравнения ~0 в * (OtT) легко показать, что в качестве

Л fa А) можно взять Решение данного уравнения с начальным условием 0 = О вида где е'со,7]и а(о)=Ш=оч показывает, что условие /12/ в определенном смысле неулучшаемо.

Теорема 2. Предположим, что существует бесконечная последовательность ограниченных цилиндров ~C*)j х 0, f таких, что ф (/<2- - 0<f<T}. Пусть при некотором и каждом фиксированном С (с= О,для любой функции i) , которая является обобщенным решением уравнения

I/ в G/(+ / с С? t удовлетворяющим начальному условию W^q-O на , выполняется оценка £ Си, nr) e'^dxdi & e4j£Cu, W^dzdt.

Пусть /71 в (г и выполнено условие /9/, а на рост и Cf(x) наложено следующее ограничение ri. Mf **/>{(*-*)/(} где постоянные ^ , at , ^ не зависят от /С и удовлетворяют неравенствам 0<i<f-aLt < 7 О ,

SECurfe^dxM AfaG)* Щ -.

JWv(Q) 1 SЦ* е'^dTdt / ltrt6Htof«,S)J Q

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи Коши /I/, /5/, для которого имеет место оценка $ E^uuje^c/xdt * J/4 яхр где постоянные и не зависят от /С.

Аналогично для первой начально-краевой задачи в неограниченной области в § 4 сначала выводятся оценки типа Сен-Венана, учитывающие геометрические свойства области и затем с их помощью доказываются теоремы о существовании и единственности обобщенного решения. При этом рассматриваются области «й? , лежащие в полупространстве /сс: CCf>C>J, у которых пересечение с гиперплоскостью }f не пусто и ограничено, а также области & , имеющие конечное число ветвей, уходящих по различным направлениям в бесконечность.

1. Ц № А сж&'/гр /ytocess atccou^ta^ to thfp - /e/nfteta. -ture tAeoty cf dtat conduction, У. ftatt. Ала/.

2. Cicn truttm Af.f. % a /tieoiy of £eat condue-iion involving ^uro fem/ieratures, 2. any ей/. fiat A. FAys., v. /9, А/У, jo.

3. Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах, Приклад, матем. и мех., I960, т.24, в.5, стр.852.

4. Та,у£ог Ъ. IV. ^eseatcA on consolidation of CarngsUdpe, MI. Т. Press, fMt.5. fliine f.A. TAe diffusion of irn/irisoned radia -iion l-fateupA a ffas, У Load. tfaM. Sec.,

5. Ting. T.W. Сег{а£п поп-steady ftozc/s of Second (ъсйг fluids, Arc A. rat. dec A. /W, ШЗ, * A/ly p. 1-26.

6. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв, M.: Наука, 1976.

7. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа, М.: Изд-во АН СССР, 1959.

8. Гальперн С.А. Задача Коши для систем линейных уравнений с частными производными, Тр. ММО, I960, т.9, с.401-423.

9. Костюченко А.Г., Эскин Г.И. Задача Коши для уравнений Соболева-Гальперна, Тр. ММО, 1961, т.10, с. 273-284.

10. Сувейка И.В. Смешанные задачи для одного нестационарного уравнения, Матем. исслед., 1980, в. 58, с.99-123.

11. Rao VP Пку 7!w. SduUons tf pseudo-Tieat equations In 7Ae ггг&еГе Sfiuce, АгсЛ. Pa7iena£ died, and Ana£, 7971, к 99, /V/, />. 57-71

12. Pao VP.&.f Ting. TW. Jndiaf-trafae fit eg ferns fa /ismdo-/iara£o7ic dt{fete/itia£ equations, Indiana Univ. P7a77i. «7, /973, Л7Л,р.73Н53.

13. Cos пег C.? PundeMW. Uniqueness classes fa joseu-dofta^caSodc equations шМ unfounded coe/fi/u'tnfy Com тип. Pazi ftiffe*. Pqua{ 70Ы, //. ^ /Vf, jo.

14. Леонтович B.M. Задача Коши и смешанная задача для сильно квазипараболических систем и систем квази-Шредингера, Докл. АН СССР, 1973, т.210, №2, с.263-266.

15. SheAw. М., Pu/zdM IV Maximum fiti/tuples fa /iseudcpazaSo&'c /шгй'а? di/{eten7i'a£ equations, У. Mad. Aaa£ and 797% v. 57, /V/, p. HP-//S.

16. Pundent W.} SlecTiei № Tfe no/i/wsditrdtp So7u7ions 7о fiseudofza taSofc с equa7i<?ns,Ргос. Ате-с. flalA. Sec., /9Щ v. M, p

17. Benedetto £, Pietxe M Pn Ш maxi/пилг yivinccyife foi fiseudofia %aioAic e^aaAions, J/idcana Vhw АША. Zf m/, i/. 30, A/S,/>.m-fM.

18. Олейник O.A., Иосифьян Г.А. Прищип Сен-Венана в плоской теории упругости и краевые задачи для бигармонического уравнения в неограниченных областях, Сиб. матем. журн., 1978,т.19, №5, C.II54-II65.

19. SigCifato Vfi Fxfwaenh'a? decay pf funcde/iaAs of Solutions of a /tseudo/га ш io&'e e^aA'ons,Si AM / /%г//1 Ma А, /т, p W-ftr.

20. A/piyan £.(?., WAieeAev A. 7! A s/ietu'aZ decay tshmate foz yzsmdoytaraioAi'e e^uadons,Ac tiers In AflpP. and fny/neeu'ny Sciences,Wt>} 1/.дг p. гзг-мв.

21. Намазов Г.К., йскендеров И.Т. Энергетическая оценка решения :г краевой задачи для псевдопараболического уравнения, 1981,974.81 ДЕП.

22. Ofu'nCc 0?А, Уosif tan £.А. Brnndat^ vaiut firoSAems fa, second oidei eAiiptic equations In unboundeddomains and Scan A- Venant's yiuncijoAe? A ft/А/A LI deAia SCI/OLA A/0 A A//} LA cAasse di m'ense, sezt'e /I/ и /К /• ^

23. SAowaAtei A.E., Tiny A7 Id PseudofiataAo&e /шгАшАdtffeteadai efua&oa, SI AM 7. AlaAA. Ana A, mo, Y.a, p.</-jce.

24. S&owa£ter A. A, T/ng TW. Asymptotic АеАа^/огof solutions pf /iseudofiaxaSo&c. /гаг£са£ dtf-fevenh'af equations, Ann. Mai. Рига. A/jpf. Set. ^ /Щ к 9o? pMt-tf*.

25. Копачек И., Олейник О.А. О поведении решений системы уравнений теории упругости в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности, Тр. ММО, 1981, т.43, с.260-274.

26. Тспр T.W. PataM'a and /iseuUo/uctaSo^e. funka-f dcffeteatca? equalce^ 7. See. Ja/tan^

27. Cctflen Pfeudcfta e.^uah'c>/zs in одеSfiaee vauale, X Яс/f. №Лг v. /Л, f. 56f.

28. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений, УМН, 1976, т.31, в.6,с.142-166.

29. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными, Изд-во МГУ, 1976.

30. Иосида К. функциональный анализ, М.: Мир, 1967.

31. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А.М.Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса, Дифференц. уравнения, 1982, т.18, Р2,с.280-285.

32. Канчукоев В.З., Шхануков М.Х, Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса и сеточные методы их решения, ффференц. уравнения, 1979, т.15, PI, с.68-73.

33. Шхануков М.Х. 0 некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений,Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, PI, с.145-152.

34. Водахова В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М.Нахушева, Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, №1, с. 163-166.

35. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах, Дифференц. уравнения, 1982,т.18, №4, с.689-699.

36. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для урав-, нений третьего порядка, Докл. АН СССР, 1982, т.265, №6,с.1327-1330.

37. Сувейка И.В, 0 разрешимости смешанных задач для одного нестационарного уравнения, Матем. исслед., 1980, в.58,с.124-140.

38. Атаманов Э.Р. Теорема существования решения задачи Коши для псевдопараболического уравнения с данными на оси времени, Исслед. по интегро-дифференц. уравн. /Фрунзе/, 1981, №14, с.295-307.

39. Cotto/i %).£. Pa ana^tcc Мео^ ^ /гread?~ ^аш&е&'с equations, Ouatl Pzfitd

40. XuadM iVt S/kc/m А/. /?€mavfc co/uetnibg Me su/ifiov/s 0/ Jp&ih'pns f/smdo/ia -wfa&c. e^ccah'p/is, Ptoc. /i/vet. Af/)M. See. </№, и 63,

41. Ри/idef/ W Ttie S/e/an /it 06/em a udo Леа/ e^ua&'o/i, Indiana с/кгж А/а/A. X, /• /39-?/?c?.