К теории уравнений составного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

/ О М » М ^рпо

. J 1 'МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

К ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО ТИПА 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Кожанов Александр Иванович

Новосибирск - 1993

Работа выполнена в Институте математики Сибирского отделения АН России

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. М. Блохин, доктор физико-математических наук, профессор Е. И. Моисеев, доктор физико-математических наук, профессор А. П. Осколков.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита диссертации состоится " / 6 " ¡У _1593г.

в ; 5> . час. на заседании специализированного Совета Д Qo3.se.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г.Новосибирск, 90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан " / " (Я^" р-? _1993г.

Ученый секретарь специализированного Совета, доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Состояние вопроса и актуальность теш. Уравнениями составного типа (здесь и далее все уравнения рассматриваются над полем действительных чисел) в литературе принято называть уравнения с частными производными, имещие а каждой точке области своего задания характеристики разного рода (действительные и комплексные), уравнения третьего и более высокого порядков с кратными характеристика™, уравнения, старшая часть которых представима в виде суперпозиции двух или большего числа операторов ненулевого порядка с коэффициентами из того же поля- Систематическое исследование уравнений составного типа началось с работ К. Адамара, где впервые были изучены краевые задачи для модельных уравнений составного типа в случае характеристик разного рода, хотя отдельные уравнения, например, уравнения Кортвега-де Бриза, изучались и ранее. Исследования Ж. Адамара продолжили 0. Сестранд, Л. Вольфзрсдорф, Л. КаттаОрига и другие; определенные итоги (на свое время) были лодведенц в монографиях М. С. Салахитдинова, А. Джураевз, Т. Д. Джураеаа; в последнее время исследованию краевых задач для различных классов уравнений составного типа посвящены работы М. С. Салахитдинова, Т. Д. Джураева, Ю. А. Дубинского, В. Н. Врагова, М. Мередова, С. Абдиназарова, В. И. Корзюка, А. В. Кажихова, В. А. Маловичко, С. Г. Пяткова и других.

С уравнениями составного типа, рассматриваемыми в диссертации, тесно связаны уравнения, получившие в последнее время название неклассических - уравнения смешанного типа второго и высокого порядков, уравнения смешанно-составного типа, операторно-дифференциальные уравнения. Исследования таких уравнения начались с работ Ф. Трикома, М. Б. Келдыша, Ч. А. Лаврентьева, И. Н. Векуа, Ф. И. Франкля, Л. В. Овсянникова, А. В. Вицадзе, К. И. Бабенко; фундаментальные результаты, связанные с разрешимостью и свойствами решений краевых зада'!, получены в циклах работ А. Б. Бицэдзе, К. О. Фридрихез, Р. .Такса, Л. Хермандера, 0. А.Олейник, Л. Д. Лизормша, И. I". Бинтика, С. А. Терсенова, И. А. Кпггрияпова, В. П. Глуцко,

М. М. Смирнова, В. Н. Врагова, Е. И. Моисеева. В 1951 годз М. В. Келдыш впервые показал, что постановка краевой задача для внрождающихся уравнений имеет принципиальные отличия о< постановки краевой задачи для невыраждаюидкся уравнений и более того, различные классы вырождающихся уравнений имею: принципиальные различия мезеду собой в постановках краевы; задач (так, например, для уравнений с характеристически] вырождением носители граничных условий существенным образо! определяются с помощью младших коэффициентов). Новым атапо] развития теории краевых задач для неклассических уравнени Математической физики явилась работа Г. Фикера, где дл. общих эллиптико-параболических уравнешгй второго порядк. была предложена единая постановка краевой задачи; в это: задаче, как и в задаче М. В. Келдыша, носители граничны условий определялись с помощью коэффициентов уравнения. Дальнейшем краевые задачи для эллиптико-параболически уравнений исследовались многими авторами; наиболее полны результаты по задаче Г. Фйкеры приведены в моногрэфи 0. А. Олейншс и Е. В. Радкевича.

В. Н. Врагов в 1977 году предложил новую краевую задач для уравнений второго порядка с произвольным многообразие изменения типа (в частности, эти уравнения могут быть и эллил тико-параболическими), Как и для задачи Г. Фикера", носите л граничных условий в задаче Б, Н. Врагова определялись с по мощью коэффициентов уравнения. Исследования В. Н. Врагова был продолжены в работах Г. Д. Каратолраклиева, А. Г. Кузьмина Б. В. Катрахова, К. А. Ларькина, С. Г. Пяткова и других.

В настоящей диссертации будут исследованы уравнения сос тавного типа вида

LU н 1Аи + Ви = f(x), (1)

где А, В, I - дифференциальные операторы Еида

Аи £ alJ(x)ux х + al(x)u + а(х)и, i J t

Su H biJ(x)Ur „ + b{ (x)u^ *■ Ъ(х)и,

I з аь(х) — + а(х), дх.

и

»ператор А предполагается зллиптико-параболическим. Заме титл, [то в класс уравнений (7) входят эллитико-параболические 'равнения, гиперболо-параболические уравнения и уравнения с сеопределенной характеристической формой, изученные В. Н. Вра-'овым, уравнения третьего порядка с характеристиками разного 50дэ, с краткими характеристиками, вырождающиеся уравнения третьего порядка. Целями исследования будут: в рамках единого годхода постановка краевых задач в терминах коэффициентов для сравнений третьего порядка вида (1), охватывающая в частных :лучаях постановки Г. Фикера и В. Н. Врагова, некоторые ¡звестные постановки краевых задач для модельных уравнений третьего порядка; исследование существования и единственности зеыений вне зависимости от размерности пространства и от 5лизости уравнения к модельному; Еыделение уравнений, имеющих эегулярные решения.

Значительнее место в диссертации уделяется новым классам активно изучаемых в последнее время уравнений Соболева - Га-1ьперна (псевдопараболических или псевдогиперболических урав-1ений по иной терминологии). Исследования таких уравнений на-шл С. Л. Соболев и затем продолжили С. А. Гальперн, А. Г. Состюченко, Г. И. Эскин, А. А. Дезин, С. А. Габов, А. Г. Свеш-пжов, Буй Ан Тон, Р. Е. Шовалтер,' М. X. Шхануков, Б. К-о Ка-вднтэров, И. Е. Егоров, Г1. А. Авилес, Дх. Сандефур, Н. А. Харькил, С. Г. Пятков, С. В. Попов, Г. А. Свиридюк и другие; значительная часть результатов, относящихся в основном к чинейныы уравнениям, приведена в монографиях Г. Гаевского, С. Грегера и К. Захариаса, С. В. Успенского, Г. В. Демиденко и Г. Перепелкина, С. Я. ЯкубоЕа, С. А. Габова и А. Г. Свеыни-сова. Нелинейным уравнениям шсвяцены работы Д. М. Гринберга, ?. Мэккем!, Р. Л. Дэвиса, К. Даферноса, Е. Ибихары, Е. Ямэды, .1. Тyuyi.ni, X. Энглера, X. Шхера, Б. А. Бубнова, Н. А. Ларь-дана, Г. М. Лаптева, А. Л. Гладкова. Уравнения типа псевдопа-2з0олических и псевдогиперболических при реализациях неко-

торых моделей гидро- и газодинамики, теории упругости исследовали А. П. Осколков, Ю. Я. Белов, К. Я. Леонов, В. 3. Фу-раев и другие; значительная библиография и существенные результаты приведены в монографиях Н. А. Ларькина, В. А. Новикова и Н. Н. Яненко и В. П. Маслова и П.- П. Мосолова.

В диссертации изучаются как линейные уравнения Соболева - Гальперна, так и нелинейные; приводятся новые условия разрешимости, изучаются новые свойства решений. Актуальность данных исследований можно обосновать как собственно потребностями математической теории, так и потребностями математического моделирования,. т.е. потребностями изучения краевых задач для линейных и нелинейных уравнений, возникающих при описании конкретных физических процессов.

Отметим также такой аспект теории краевых задач для уравнений составного типа, как использование результатов для этих уравнений при регуляризации и исследовании краевых задач для уравнений низшего (например, второго) порядка - см. работы В. Н. Врагоьа, И. Е. Егорова (примеры подобного исполь-вания приведены и в диссертации), а также при исследовании смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов - см. работы В. Н. Врагова, С. В. Рихтера, Р. С. КамалоЕа.

Отдельной главой в диссертации исследуются нелинейные эллиптические и параболические уравнения высокого порядка с составным оператором в главной части. Такие уравнения можно отнести к уравнениям составного типа с кратными характеристика!»«; их исследования существенно затруднены как высоким порядком, так и нелинейностью. Среди работ, посвященных близким вопросам теории краевых задач для нелинейных эллиптических и параболических уравнений высокого порядка, отметим работы С. И. Похожаеиа, И. В. Скрыпнкка, Ю. А. Дубинского, С. Н. Крунасова, Д. Р. Даннингера, В. Б. Гогаи и других.

В целом в диссертация предложены методы исследования общих Уравнений составного типа третьего порядка, специальных уравнений, типе уравнений • Соболеиа - Галыгерна, нелинейных уравнений. Предложено также роаонне некоторых традиционных вопросов теории краевых задач для неклассических уравнений

згематической ф"зики.

Цель работы - исследование корректности краевых задач для 5щих линейных уравнений составного типа третьего порядка; ис-гседование специальных классов уравнений составного типа ^равнешй типа уравнений Соболева - Гальттерна); исследование глинейных уравнений составного типа, в том числе уравнений с эстущими коэффициентами и с немонотонными нелинейноетями; зеледование нелинейных параболических и эллиптических уравне-1й высокого порядка в дивергентной форме. При исследовании знкретных классов уравнений целью в осноеном является дока-зтельство существования регулярных решений.

Методика исследований. При исследовании линейных задач ^пользуются методы функционального анализа, метод регуляриза-ш посредством дифференциального оператора более высокого эрядка, метод Галеркшга. Для нелинейных задач применяются ме-эд регуляризац1ш, метод срезок, используется техника, осно-знная на получении и применении априорных оценок; для уравне-1Й с немонотонными нелинейностями и для нелинейных. эллипти-;ских уравнений высокого порядка применяется метод, основан-1й на аналогах принципа максимума и принципа сравнения.

Научная новизна и практическая ценность. Б диссертации злучены следующие основные результаты.

1. Для общих линейных уравнений составного типа с эллип-жо-параболическим оператором в старшей части предложены по-?ановки краевых задач и доказана их корректность.

2. Изучены новые классы уравнений типа уравнений Соболе-I - Гальперна, для которых доказано существование регулярных !гаекий и изучены свойства решений при принципиально новых !ловиях на коэффициенты.

3. Для нелинейных уравнений третьего порядка типа певв->гиперболических и псевдопараболических доказано существова-:е и единственность регулярных решений, изучены свойства тений.

4. Исследован новый класс нелинейных гиперболических и ■евдогиперболических уравнений с растущими младиш членами.

5. Для псеЕДопараболических уравнений с- немонотонными не-нейностями в гдаг.ной ччети, для псевдопараболических и псев-

догиперболических уравнений с нелинейным немонотонным неподчиненным источником доказаны аналоги принципа максимума и принципа сравнения, построены верхние и нижние решения и исследована корректность начально-краевых задач и задачи Коши.

6. Доказано существование регулярных решений для нелинейных параболических уравнений высокого порядка с дивергентной старшей частью в случае одной пространственной переменной.

7. Для нелинейных эллиптических уравнений четвертого порядка дивергентного вида доказан аналог принципа максимума и на его основе исследованы разрешимость краевых задач и свойства решений для ряда новых классов таких уравнений.

Все результаты диссертации являются новыми. Результаты пс постановке краевых задач для общих уравнений составного типа могут послужить основой для дальнейшего изучения свойств решений, в том числе и для нелинейных уравнений. Исследованные псевдогиперболические и псевдопараболические нелинейные уравнения с растущими младшими членами возникают в гидро- и газодинамике, в електродинамике; полученные теоретические результаты позволяют предсказывать свойства решений и могут служить основой для численных, расчетов. Результаты о корректности начально-краевых задач и задачи Коши для нелинейных уравнений третьего порядка с немонотонными источниками в ряде случаев могут быть применены для нелинейных, интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра, возникающих в математической биологии. В целом методы данной работы могут быть использованы как при дальнейшем развитии теории уравнений составного типа, так и при исследовании конкретных прикладных задач.

Апробация работы. Диссертация выполнена в 1979 - 1992 гг. в Институте математики СО РАН. Результаты ее докладывались не научных семинарах Института, на заседаниях Сибирского математического общества, на семинарах по дифференциальным уравнениям и их приложениям в МИ АН России им. В. А. Стеклова, в МГ1 им М. Б. Ломоносова, в С-П ОММ, в Институте математики АН Чехословакии, в Московском энергетическом институте, в Институте математики им. В. И. Романовского АН Узбекистана, б Институте вычислительных технологий СО РАН. Основные положения диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: ш

совместных заседаниях семинара им. И.Г.Петровского и Московского математического общества (Г980, Г986, 1988, 1993 гг.), на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в дифференциальных уравнениях (Алма - Ата, 1979 г.), на Всесоюзных конференциях по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Новосибирск, 1982, 1992 гг.), на Всесоюзных школах-семинарах по неклассическим уравнениям (Новосибирск, 1980, 1981 гг.), на Всесоюзных конференциях по дифференциальным уравнениям и спектральной теории (Нальчик, I9S6 г., Алма-Ата, 1991 г.), на Всесоюзной конференций по дифференциальным уравнениям и оптимальному управлению (Ашгабат, I9S6 г.), на Международной конференции, посвященной 30-летию со дня рождения И. Н. Векуа (Тбилиси, 1Э87 г.), на расширенных заседаниях семинара им. И. Н. Векуа (Тбилиси, 1988 г.), на конференции "Нелинейные граничные задачи математической физики" (Донецк, 1979, 1983, 1987, 1989, 1991 гг.), Eîa Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения" (Уфа, 1986 г.), на Всесоюзной конференции "Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения" (Куйбышев, 1987 г.), на школе-семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики (Барнаул, 1989т, Красноярск, 1992 г.), на советско-чехословацком совещании по дифференциальным уравнениям и функциональному анализу (Братислава, 1988 г.), на советско-японском семинаре по обратным и некорректным задачам (Новосибирск, 1991 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 27], список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ (с Н. А. Ларькшшм и H. Н. Яненко) в диссертацию включены результаты, непосредственно принадлежащие автору.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 334 страницах и состоит из Введения, четырех глав, Дополнения л списка литературы, который содержит 162 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение носит обзорный характер. Дается состояние вопрс са, приводится библиография работ, связанных с темой диссех тации. Излагаются цели диссертации, в сжатом виде приводите её содержание.

Содержание .главы I.

В первой главе рассмотрены линейные уравнения составим

типа.

Первый параграф посвящен постановке и исследована краевых задач для уравнений (1). Для этих уравнений при опре деленных условиях на коэффициенты операторов I, А и В предлг гаются две различные краевые задачи в терминах коэффициенте (ниже называемые "краевая задача I" и "краевая задача II") моааю сказать, что для краевой задачи I ведущую роль играе гиперболический оператор I, а для краевой задачи II - эллин тико-параболический оператор А (первая задача - "гиперболи ческая", вторая - "эллиптическая"). Показывается, что краева задача I являтся обобщением задач Г. Фикера и В. Н. Врагова краевая задача II- задачи Г. Фикера. При определенных условия на коэффициенты доказывается существование обобщенных решени поставленных задач и единственность регулярных. В случае эл .лилтичности оператора А доказывается существование регуляр них решений. Замдтим, что в последнем случае ранее для крае вой задачи II существование регулярных решений было доказан лишь в случае двух пространственных переменных, а для крае вой задачи I - в частных случаях.

В случае краевой задачи II в диссертации рассматриваете, также один специальный случай корректности для уравнешс третьего порядка задачи Дирихле, а также случай уравнение "парабсло-составного" типа - именно, уравнения

и^ 1Аи + Ви = /(.х)

с эллиптическим оператором А; в обоих случаях доказано существование регулярных решений.

Во втором параграфе изучаются специальные класс! уравнений составного типа. Основной целью при этом являете!

¡оказательство теорем существов чия регулярных решений и изу-:ение свойств решений.

В п. 2.1 параграфа изучаются следующие классы уравнений ■ила уравнений Соболева - Гальперна:

12)

(3)

(4)

эллиптико-параболи-

1и = — (а1}(х)м ) + а (х)и, Ви = — (Ъи(х)ит ) + Ьп(х)и, дх1 SJ 0 дх1 0

:и = — (си(х)и„ ) + сп(х)и,

:е связанные друг с другом. Для уравнений (2) и (3). (нестацио-гарных) изучаются начально-краевые задачи, для уравнения (4)~ !адачи с заданием краевых условий на всей границе рассматрива-мой области. Показывается, что при определенных условиях на ¡ходные данные задач для уравнений (2) и (3), основными из :оторых являются условия эллиптичности оператора А + В + С и ¡©ответственно А + В и условие "характеристической выпуклости" бласти О относительна операторов Ли В, А и О, В и 0 и соот-етственно А а В (строгое определение ввиду громоздкости десь не приводится), начально-краевые задачи, которые здесь вляются обычными первыми начально-краевыми задачами для ги-ерболического и соответственно параболического уравнения, меют регулярные решения и имеет место эффект повышения глад-ости при повышении гладкости входных данных.

Для уравнения (4) при В = О изучается обычная задача Ди-ихле, а при В ? О - задача

ги) = 1 = и\ = О.

| ио 1\г=Т \дВ* (0,Т)

оказывается, что при эллиптичности оператора А + С и соответ-твенно оператора А + В + О и выполнении условий "характе-

-Аи1;1: - Виг - Си = ?(х,г), Лиг Ви = f(x,t), -Аигг + Вих + Си = ?(Х,Х),

■де х € О с Я", О < { < Г < +оо, А, В, С -:еские операторы вида

ристической выпуклости" поставленные задачи имеют регулярные решения, принимающие заданные краевые условия.

Дополнительно в пункте 2.1 изучается поведение решения уравнения (3) при X -» +оо; основным условием при втом является условие подчинения оператора А оператору В (а не наоборот!).

В пл. 2.2 - 2.4 и 2.6 изучаются "анизотропные" уравнения Соболева - Гальперна - именно, уравнения

1и = 101и + + аеМи = 3(х,у,г), (5)

где х е О с Д™, у е О с Я™, О < t < Т < +оо, 10 есть параболический оператор

1о " иг ~ 1 <*13(х,у,г)их х а*(х,уЛ)их + а0{х,у^)и,

{,^=1 ■ * 3 1=1 {

- оператор по переменным г ,порядка, меньшего либо равного двум, М есть эллиптический оператор

Ми - У срч (х,у,Х)и- + Т ср(х,у,1)и + сп(х,у,г), оператор I есть оператор первого порядка вида

1= — + У аъ(х,у,х) — + а (х,у,г),

■ °

параметр 38 принимает одно из трех значений аг = 0,1 .

Пусть ае = -7. Тогда для уравнений (5) ставится краевая задача I (начально-краевая задача), доказывается существование регулярных решений, изучается поведение решений при ? -* другие свойства решений. При зг = 1 для уравнений (5) ставится краевая задача II (эллиптическая краевая задача) и также доказывается существование регулярных решений. В специальном случае, когда выполняется сЛ»ь н О на дй (V = (V ,.. ) -вектор внутренней нормали к сШ), показывается, что при ае - С для уравнений (5) корректны одновременно обе краевые задачи I и II, а также задача нахождения периодического решения, а при X ? 0 - устанавливается, что краевые задачи I и II обладают

ш

такой же двойственностью по отношению друг к другу, какой обладают задача К<м_я и задача Дирихле для эллиптических и гиперболических уравнений второго порядка: именно, показывается, что при ж = -7 краевая задача I корректна, а для краевой задачи II может иметь место неединственность решения, при 28 = 1 показывается, что краевая задача II корретна, а для краевой задачи I имеет место неустойчивость решения по отношении к входным данным.

В п. 2.5 изучаются уравнения (5) "переменного" типа. Именно, рассматриваются случаи, когда ае = x(x,t) и знак х(х,t) яе фиксируется; когда уравнение (5) имеет вид

lu = utf - K(x,t)Lut + pctjbu + ifu = f(x,y,t),

где L - эллиптический оператор самосопряженного вида по теремешшм xft..,;r , и знак K(x,t) не фиксируется. Во всех случаях для указанных уравнений "переменного" Т1ша предлагаются краевые задачи и доказываются теоремы существования регулярных решений.

В п. S.7 изучаются уравнения

Lu & ljl2u ~ LQu - Ми = f(x,y,z,t), Сб)

г-де х е D с R™, у е П с Д™, z с V с дР, I,, 12 - операторы зида

ь- 3

I = ar(x,y,z,t)— + a0fx,y,z,t), дх.

R

а . д

I? = — + Р (x,y,z,t)— + (3 fx,у,г,t;,

<3i Sz,

л

и if - эллиптические операторы по переменным xjf..,xn и /(,..,г/т соответственно. Простейшей моделью уравнений (6) теляется линеаризованное уравнение нестационарных возмущений в {евязком трансзвуковом течении (уравнение Линя - Рейснера -|зяня)

u,^. - Kix.y.Du^ - = f(X,y,t), сраевне задачи для которого исследовали Е. Б. Мамонтов и Н. А.

Ларькин. В настоящей диссертации показывается, что для уравнений (6) на основе общих постановок краевых задач для уравнений третьего порядка, изученных в первом параграфе, может быть предложена иная постановка, нежели та, которую активнс исследовал, в частности, Н. А. Ларькин; для предложенной краевой задачи автором доказывается существование регулярногс решения.

Содержание главы II.

Вторая глава диссертации посвящена нелинейным уравнениям третьего порядка вида

Рuti - L0ut - LjU = f(x,t,u,vu,vut),

где (3^0, Lq и L( представляют собой линейные или нелинейные операторы по переменным xf,..,x , LQ эллиптичен.

В первом параграфе рассматриваются уравнения с нелинейностью в старшей части. Пункт I параграфа посвящен нелинейныи уравнениям с одной пространственной переменной. Рассматривается уравнение

д д д

■ puit + Ut - — F(u) ---F0(ux) = f(X.t), (7)

lx 1 бх x dt dx 0 x '

где x € (0,1 J, t £ (0,T), 0 < T < +а>. Пусть выполнены услови«

I} F^(-q) > fi0 > О; .

.2) PfT}j = iyr)) + Ф(-ц), Ф^-ц) » О, \F'(-q)/F^(ri)\ < С < +a>,

Тогда при (3 = const доказывается существование регулярного решения начально-краевых задач; далее показывается, что существование регулярного решения можно получить и при некоторых дополнительных условиях, позволяющих отношению \F' (Г})/Р^(т])\ расти при |Т)| -> со. Именно, пусть выполнены условия

3) 50(1 + |7)|pj ^ F^Cq) < 6,(1 + |7Ц% eQ > 0, q ^ р ^ О;

А) Р(т\) = F^-q) + Ф(Г]), <$4'VJ ? 0. ¡P;(VJ^(VJI < <P(VJ>

ТА

функция ф? {"Г)^ = |т)|ч рфСГ1) не убивает при |Т}| > 1, фуцкция Z(í^, определяемая из равенства

а

является неотрицательной ограниченной функцией при всех а, больших некоторого а0 > О, всех таких, что О $ t $ Т.

Тогда, так же как и при выполнении условий I) и 2), доказывается существование регулярного решения начально-краевой задачи в области 0 = ГО,1) * (О,Т).

Примером растущей функции фСт},), для которой условие 4)

1 /2

выполнено, является при Ц = р функция 1п (7 + |Г)[ ^. В то же время нетрудно привести пример, когда условие 4) не выполняется и при этом решение будет разрушаться за конечное время.

Дополнительно в первом пункте изучаются случаи (3 = р(и) и (3 = рассматриваются также вырождающиеся уравнения,

когда условие I) заменяется условием

I') ?'0(т)) > е0|т)|г', р > о, б0 > о.

Второй пункт параграфа посвящен многомерным уравнениям третьего порядка вида

Utt ~ L,iut) - — L2U + AU = f(X,t),

где x e D с Rn, 0 < t < T < +co, L L, нелинейные эллиптические операторы второго порядка, Au - младшие члены. Заметим, что здесь операторы и представляют

собой различные нелинейности по и^; как показывается в ра-

э, olli

Lm.

боте, оператор Ъ,(ит) является более "сильным", чем оператор

а т '

öt

В диссертации вначале исследуются уравнения •

п ö гг ö Q

utt - У — Ф.(ш) - J--F.(vu) = f(x,t) . (8)

и fit г)? 1 1=1 ах1 1=1 01 0Х1

(здесь Ly з О), далее - уравнения общего вида

£ а в о

U++ - > - О .(X,t,U,VU,VUtj - >--F,(x,t,u,vu) +

11 и Йт * ' fit Вт

1=1 от1 1=1 ol axi

£ ö t

+ A1(x,t^xi,ut,vu,vut) +2 — А (x,t,u,ut,vu) = О. (9;

1=1 äxl

Для уравнений (S) и (9) при определенных условиях, не требую-чщих малости начальных данных или временного промежутка, доказываются существование и единственность регулярных решений начально-краевых задач.

В пункте 3 первого параграфа рассматривается вопрос о поведении при t - +оо регулярных решений уравнений (3) или (5) (етот вопрос поставлен в монографии Н. А. -Тарькина, В. А. Новикова и Н. Н. Яненко). Показывается, что при общих условиях разрешимости I), 2) энергетическая норма решения и само решение могут расти при t •* +оо; далее в работе приводятся дополнительные условия, обеспечивающие убывание (в частности, и экспоненциальное) энергетической нормы решения при i -» +<о. Второй параграф главы II посвящен уравнениям

xtt

- ¿U - Ktut + g(U,Ut) = f(x,tj (10)

где Л. £ О, моделью функции g(u,u^.) может служить функция a(u)\ut\p'2ut, afuj 2 0, р > 1 (подобные уравнения возникают в электродинамике). Если И const, то обычные »^етоды

компактности или монотонности дают либо глобальное решение при выполнении условий малости норм начальных значений и функции f(X,t), либо обобщенное решение. В диссертации для исследования уравнения (10) предлагаются иные, нежели обычные методы

компактности и монотонности, методы, основанные на представлении линейной части уравнения в виде суперпозиции (иными словами, используется составная структура уравнения). При А. > О уравнение (10) сводитсяк новому ингегро-дифференциаль-ному уравнению, параболическому относительно U^., при X - О а случае п = 1 (именно п = 1 соответствует физической модели) используется возможность представления линейной части в виде суперпозиции

д в в в

{— ± — )(— ? —

öt дх dt öx

В указанных случаях (т.е. при X > О в пространстве любого числа измерений, при А. = О - в случае п = 1) доказываются теоремы о существовании глобальных решений без каких-либо условий малости; при X > О исследуется также поведение решения при t -» +оо,• кроме того, определяется мера близости решений при п = 1 в зависимости от Л. при Л. > Ü и X = 0.

Содержание главы III.

В третьей главе изучаются уравнения первого и второго порядков по t вида

ut - Aut ~ Ви = f(x,t,u), u£T - Aut - Ви = f(x,t,u)

(псевдопараболические и псевдогиперболические уравнения) с нелинейными незнакоопределенным! (т.е.немонотонными) и неподчиненными членами. Исследование таких уравнений будет основано на доказанных автором теоремах сравнения.

В первом параграфе главы рассматриваются уравнения первого порядка по i с незнакоопределенной нелинейностью как в старших членах, так и в младших - именно, уравнения

д

ит - L <\>(и)--Ьлр(и) - q(u) = f(x,t), (11)

1 и öt °

где х е С с кп, t > О, Ь0 - линейный еллиптиче ский оператор второго порядка по переменным ,..,Хп. Изучается первая начально-краевая задача для уравнения (11), состоящая в нахождении решения, удовлетворяющего условиям

ч| = \ijx.t), и(х,0) = ип(х). (12)

бЯ*(0,Т) 0 ■ 0

Доказывается следующий принцип сравнения: если выполнены условия

а) (р'(!.> » ф0 > О > О;

б) - (рчида) 2 ои > о; д

в) ?(х,г) > о, и0(х) > о, $(\х0(х,г)) + — ц(\к0(х,г)) > О при X € О, г € 10,Т1;

и либо условие

с,) 1т£У<Р'(и) > О при ^ О, либо условие

с2) < к 2 0, а > О,

то гладкое решение задачи (11), (12) будет неотрицательно в Ъ *

С помощью принципа сравнения доказывается существование регулярного глобального решения задачи (77), (12), изучаются свойства решений. Далее показывается, что при нарушении условий принципа сравнения и теоремы существования глобальное гладкое решение существует лишь конечное время.

Во втором параграфе главы Ш рассматриваются уравнения с нелинейным источником

ип - Ц1(Х)10и - ь0иг + а(х,г)и{ + р(х,Х)и = в(х,х,и), (13)

иг - ф(ГД0и - 10их + РСГ.Ш = g(x,t,u). (14)

Здесь Ь - линейный эллиптический оператор второго порядка с коэффициентами, не зависящими от I, g^x,t,t,) удовлетворяет

условиям в(х,Т,и > О, ё^Л.Г.и £ О при % > О, знак <p(t) не фиксируется. Для этих уравнений доказываются теоремы сравнения решений первой начально-краевой задачи и задачи Коши и на основе этих теорем вводятся понятия верхних и нижних решений. Далее для степенного источника = р > конкретно строятся необходимые верхние и нижние решения, позволяющие доказывать теоремы существования или несуществования глобальных решений и изучать свойства решений. Кроме того, принцип сравнения позволяет определить классы единственности для задачи Коши, что вместе с теоремой существования дает и класс корректности. Полученные результаты позволяют также провести аналогичные исследования (т.е. доказывать теорема существования и т.п.) для следующих интегро-,дифференциальных, уравнений:

Г

иг - Ь0и = $К(х,гг%)8(и)б.1 + /(х^), о

t

и - 1ри = + /(х,г),

о

где К(х,1,%) Ц О; первое из этих уравнений есть интегро-диффе-ренциальное уравнение Больтерра, оно возникает в математической биологии и представляет самостоятельный интерес.

Отметим в заключение, что специфика уравнений (13) или (14) исключает возможность использования известных верхних и нижних решений для параболических уравнений.

Содержание главы IV.

В этой главе рассматриваются нелинейные параболические уравнения высокого порядка с пространственной частью, пред-ставимой в виде суперпозиции, и нелинейные эллиптические уравнения четвертого порядка с составным оператором в главной части.

Первый параграф главы посвящен исследованию нелинейных параСо.щ!чеср;кх уравнений в основном с одной пространственной

переменной. Рассматриваются уравнения

*

где х € (0,1), 1 € (0,Т), Гг = — , -т < I < т., п ^ 2;

вх. к

для таких уравнений изучаются краевые задачи с заданием на боковой границе В^и, к = 0,..,т-1, либо И^^и, й = 0,..,т-1.

В диссертации для различных I при -т < I < ш доказаны теоремы существования регулярных решений указанных выше краевых задач - в наиболее интересном случае I = О как первой, так и второй, в случае же I / 0 ~ второй задачи. Доказательства основа™ на регуляризации уравнения нелинейным уравнением составного типа (пседопараболическим уравнением высокого порядка), получении априорных оценок, доказательстве разрешимости регуляризованного уравнения и переходе к пределу.

С помощью полученных результатов и примененных методов можно исследовать и другие' классы нелинейных параболических уравнений высокого порядка типа вырождающихся в бесконечности, вырождающихся на конечном значении решения, уравнений с растущими членами. Можно исследовать также и некоторые нелинейные параболические уравнения высокого порядка в областях произвольной пространственной'размерности - например, уравнения

иг + Ате+гф(и,..,2)2('т+1-';и,Ат"ги) = Г(х,г)> где -т < I < т, - набор всевозможных производных вида

а*

вх^1...дх^п

1 п.

к, +..+ к = к, 1 п '

в случае краевых условий вида

и\ = Щ = .. = Д2,"~'и| = О

|Г 40,Т) \Т*(0,Т) \Т*(0,Т)

\

(Г - граница пространственной с'ласти).

Второй параграф главы посвящен нелинейным эллиптическим уравнениям четвертого порядка вида

1и г 10(а(и)Ь0и) + с 1(и,ш)Ь0и + с0(и) = /(х), (15)

Ьи 2 10Ь(Ь0и; + с((и,уц;ь0и + C0(UJ = /(х), {16)

где Ь0 - линейный эллиптический (или эллиптико-параболический) оператор второго порядка, выполнены условия эллиптичности аЦ) > О или соответственно Ь'(Т]) > О. Прежде всего для указанных уравнений доказывается следующая оценка их гладких решений:

тах)И| + тах|уи| + тзх|Ь0и| ^ Я0, (17)

О I) И

где £> - рассматриваемая область, постоянная Я0 зависит от функции /(х), области 0, постоянных эллиптичности и от значений и(Х) и Ь0и(х) на границе области. Доказательство оценки (77) использует соображения знакоопределенности и принцип максимума для уравнений второго порядка (в то время как известные оценки решений эллиптических уравнений высокого порядка Агмона - Дуглиса - Ниренберга используют при доказательстве явные представления решений). Оценка (77) позволяет получать теоремы существования гладких решений уравнений (15) и (76) в случае задания на границе области значений и(х) и 10и(х) для новых классов таких уравнений - уравнений с растущими нелинейностями, уравнений, вырождающихся. в бесконечности или на конечном значении решения; кроме того, оценка (17) позволяет изучать свойства решений.

Наряду с оценкой (17) для уравнений (75) и (16) в диссертации получены и интегральные оценки, также использующие соображения знакоопределенности, а также оценки более старших норм.

В Дополнении приводится доказательство вспомогательной лети о разрешимости и свойствах решний для ураг>ненпй: первого порядка, приводится пример использования результатов главы I

для исследования одной задачи вязкоупругости, а также приво-

/

дятся примеры некоторых уравнений составного типа, исследо-ние краевых задач для которых может быть проведено на основе методов, развитых в диссертации.

Результаты главы I опубликованы в работах автора [1,2, 13-17,21,24,26,271, главы XI - в 13-8,22,23,26), главы III - в [18,19,251, главы IV - в [9-12,201; при этом [261 представляет собой работу, как объединяющую- некоторые предыдущие работы, так и содержащую оригинальные результаты.

Работы автора по теме диссертации:

1. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса урав-¥ нений третьего порядка//Докл. АН СССР. - 1979.- Т. 249, J® 3.-

С. 536-539.

2. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка//Дифференц. уравнения. - 1980.- Т. 16, № I.- С. 89-92.

3. Кожанов A.M., Ларькин H.A., Яненко H.H. Смешанная задача для некоторых, классов уравнений третьего порядка.- Новосибирск, 1980. - 38 с. - (Препринт/АН СССР, Сиб. отд-яие. Ия-т теоретической и прикладной механики.)

4. Кожанов А.И., Ларькин H.A., Яненко H.H. Об одной регуляризации уравнений переменного типа//Докл. АН СССР. 1980.- Т. 252, № 3. - С. 525-527.

5. Кожанов А.И., Ларькин H.A., Яненко H.H. Смешанная задача для одного класса уравнений третьего порядка//Сиб. мат. журн. - 1981.- Т. 22, J« 6. - С. 81-87.

6. Кожанов А.И. Разрешимость смешанной задачи для нелинейных уравнений с диссипацией третьего лорядка/ДСорректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Сб. науч. тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики,- Новосибирск, 19£'0.- С. 98-102.

7. Кожанов к.'Л. Смешанная задача для некоторых классов нйлкййЗшх. уравнений третьего порядка//Мат. со. - 1933.-

118(160), № 4 - С. 504-523.

8. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса сильно-■елинейных уравнений составного тнпа//Неклассические уравне-ия и уравнения смешанного типа/Сб. науч. тр./АН СССР. Сиб. ■тд-ние. Ин-т математики. - Новосибирск, 1983.- С. SI-I07.

9. Кожанов А.И. Оценки решений и теоремы существования ;ля нелинейных параболических уравнений с частными произвол-ими (Труда семинара С.Л.Соболева, № I)/АИ СССР. Сиб. отд-ие. Ин-т математики. - Новосибирск, 1984. - С. 65-83.

10. Кожанов А.И. О разрешимости первой краевой задачи для екоторых классов нелинейных параболических уравнений высокого орядка//Неклассические уравнения математической физики. Сб. ауч. тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. - Новоси-ирск, 1985.- С. 93-106.

11. Кожанов А.И. Замечание о нелинейных параболических равнениях еысокого порядка недивергентного вида с одной про-транственноЛ тгеременной//Неклаесическяе уравнения математи-еской физики. Сб. иауч. тр./АН СССР. Сиб. отд-ние,. Ин-т ма-ематики.- Новосибирск, 1Э86. - С. 6Э-75.

12. Кожанов А.И. Об оценках решений для одного класса елинейных эллиптических уравнений высокого порядка//Докл. АН ССР. - 1936,- Т. 286, ,'6 2.- С. 279-284.

13. Ксжаков А.И. О разрешимости краевой задачи и свой-твах решений для одного класса уравнений третьего порядка.

Новосибирск, 1986. - 39 с. - (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ие. Ин-т математики, № II.)

14. Кокэнов А.й. О постановке и разрешимости краевой за-ачи для одного класса уравнений, не разрешенных относительно ременной производкой//Краевые задачи для неклассических урав-;енкй математической физики. Сб. науч. тр./АН СССР. Сиб. отд-ie. Ин-т математики. - Новосибирск, 1937.- С. 84-Э8.

15. Кожанов А. 11. Смешанная задача в бесконечном цилиндре 1Я уравнений третьего порядка //Применение методов функцио-1льнсго анализа в уравнениях математической физики. Сб. науч. :./ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. - Новосибирск, )37. - С. 53-Й5.

И. Ко капов А .И. Несколько замечаний о псевдоглперболи-

ческих уравнениях с диссипацией третьего порядка переменного ,направленйя//Примеяение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики. Сб. науч. тр./ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. - Новосибирск, 1953,-С. 85-93.

17. Кожанов А.И. Краевые задачи и свойства решений для уравнений третьего порядка. - Новосибирск, 1988.- 33 с. -(Препринт/ АН СССР. Сиб.отд-ние. Ш~т математики; № 29. )

18. Кожанов А.И. Об аналоге принципа максимума для псев-догкперболических уравнений третьего порядка//Применение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики. Сб. науч. тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики.- Новосибирск, 1989.- С. 122-127.

19. Кожанов А.И. Положительность решений нелинейных пеевдогиперболических уравнений//Дифференциалыше уравнения с частными производным!!. Сб. науч.тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1989,- С. 79-92.

20. Кожанов А.И. Оценки решений и теоремы существования для эллиптических уравнений четвертого порядка с составным оператором в главной части//Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. Сб. науч". тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. - Новосибирск.- 1989.-С. 113-126.

21. Кожанов А.И. Краевые задачи и свойства решений для уравнений третьего порядка//Дифференц. уравнения. - 1985.Т. 25, Я 12. - С. 2143>2153.

22. Кожанов А.И. О квазилинейных гиперболических и пеевдогиперболических уравнениях, описывающих движение електрояог в сверхлроводш1ках//Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. СО. науч. тр./ АН СССР. СпО. стд-нне. Ин-т математики. - Новосибирск, 1989.- С. 37-47.

23. Кожанов А.И. О стабилизации при Г со решений одного класса нелинейных уравнений третьего гюря,цка/7Корректяые краевые задачи для нвклассических уравнений. Сб. науч. тр./АН ССС1 Сиб. отд-ние. Ин-т математики,- Новосибирск, 1990.- С.16-24.

24. Кожанов А.К. О некоторых уравнениях третьего порядк£ в се-скоючиш 'областях //Ненлаесическиэ уравнения и уравнеии; смешанного типа. Сб. науч. тр./АН СССР. Саб. отд-ние. >!н-т ма-

тематики.- Новосибирск, 1990. - С. 122-1ЙЭ.

25. Кожанов А.И. Теоремы сравнения и разрешимость краевых задач для некоторых классов эволюционных: уравнений тила псевдопараболических и псевдогиперболических. - Новосибирск, 1990. -30 с. - (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 17.)

26. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики третьего порядка. - Новосибирск: ИГУ, 1990.

27.Кожанов А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений//Докл. РАН. - 19Э2. - Т.326, 11 5. - С. 781-786.