О разрешимости краевых задач для некоторых классов нелинейных уравнений неклассического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Начально-краевые задачи для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка вырождающихся на границе области.

§1.1. Функциональные пространства. Вспомогательные утверждения

§ 1.2. Разрешимость задачи Дирихле для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка

§1.3. Корректность краевой задачи для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка

-"Чж-иЧ^-Аи-*.

§ 1.4. 0 разрешимости краевой задачи для стационарного уравнения третьего порядка

UUJCjc^xUJCscx-tyHAU=f> Л = + ■ ■ ■

§ 1.5. Разрешимость смешанной задачи для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка (в полупространстве х у О )

Глаза П. Начально-краевые задачи для некоторых классов нелинейных зфавнений нечетного порядка вырождающихся внутри области.

§ 2.1. Разрешимость краевой задачи для одного класса уравнений нечетного порядка вырождающихся внутри области .". ut -уйди = f

§ 2.2. Разрешимость задачи Дирихле для одного класса уравнений нечетного порядка вырождащихся внутри области

Ut + tl + /ufPu = />.

§ 2.3. Задача Коти для одного класса уравнений нечетного порядка вырождающихся внутри области

Щ +хиосхх +иихх =

§ 2.4. О разрешимости краевой задачи для стационарного уравнения нечетного порядка вырождающихся внутри области

В наше время воздействие математики на научно-технический прогресс и на ускорение темпов его развитие осуществляется через построение математических моделей, реализуемых с помощью ЭВМ.

Однако, прежде чем приступить к численному исследованию построенных моделей, необходимо убедиться в корректности поставленной математической задачи. Поэтому вопросы существования и единственности решения изучаемых задач имеют большое значение.

В связи с расширением сферы приложений математических методов в настоящее время часто возникают задачи, связанные с исследованием уравнений в частных производных, не принадлежащих ни к одному из классических типов. Примером такого уравнения является уравнение Буземана-Кармана ^ - - = 0

Сейчас ещё недостаточно хорошо развита теория краевых задач для уравнений, обобщающих классические уравнения математической физики. Следовательно, представляет большой интерес дальнейшее развитие теории граничных задач, посредством которой можно было бы выделить корректные краевые задачи для неклассических операторов. Например, продольные колебания составных стержней, состоящих из упругих и упруго-вязких участков, описываются системой уравнений третьего порядка.

Некоторые задачи в теории мелкой воды и распространение 'длинных волн - пунами приводят к уравнению Кортевега де Фриза

Уравнение Кортевега-де Фриза одновременно учитывает нелинейность и дисперсию волн. И поэтому является удобной моделью при исследовании нелинейных диссипативных процессов. В настоящее время эти уравнения получены в физике плазмы, гидродинамике, акустике, радиоэлектронике, оптике. Уравнение Кортевега-де Фриза имеет, с физической точки зрения, интересный класс решений, описывающий отдельные волны - солитоны.

Впервые на важность изучения уравнений смешанного типа указал С.А.Чаплыгин в 1902 году в своей работе "0 газовых струях". Начало систематическому изучению уравнений смешанного типа было положено в двадцатых годах в работах Ф.Трикоми результаты которого в тридцатых годах обобщил С.Гел-лерстедт [б2] .

В 1937 году в работе И.Г.Петровского [47] была исследована задача Коши в области неаналитических функций для систем вида

7 > • • • » 2 г * * ' '

1> ' • • 5 ••• » 1

С „ ------п и

Л/ > • •• »

77 яу- - некоторые положительные числа.

В 1958 году в работе С.Л.Соболева ^66 J была рассмотрена смешанная задача для уравнения дЬп д и дк+еи е =f(*> Ь\ Акб = const и е^тп в предположении, что выполнено условие корректности задачи Коши.

В том же году А.А.Дезин [l5] доказал существование и единственность обобщенного решения первой краевой задачи для уравнения

Uocxoc -+LU =f(oc>y)) где L - эллиптический оператор по переменным с постоянными коэффициентами, 2) - ограниченная область в F77. После работы 1945 года Ф.Н.Франкла [бО] дальнейшее развитие теорий уравнений смешанного типа получила в исследованиях К.И.Бабенко [2] , А.В.Бицадзе [б] , В.Н.Врагова [ll-13 ] , М. В. Келдыша [25] , И.А.Киприянова [26] , В.П.Михайлова [41] , Л.В.Овсянникова [44] , О.А.Олейник, Е.В.Радкевич [45] , М.С. Салахитдинова [5l] , М.М.Смирнова [52] , С.А.Терсенова [55] , Г. Фикера [59] , П.Лакса [бз] , К.Моравец [б4] , Р.Проттера [б5] и других авторов.

Достаточно полную библиографию по исследованию уравнений смешанного типа можно найти в монографиях А.В.Бицадзе [б] , Т.Д.Джураева [l9] , О.А.Олейник, Е.В.Радкевич [45] , М.М.Смирнова [52] .

В математической литературе имеются многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов, в которых поставлен и исследован ряд краевых задач для уравнения составного типа. Отметим здесь основопологающие работы С.Л.Соболева [53] , А. Джураева [l8] , Т.Д.Джураева [19], Ж.Адймара [б9] - [70]. Исследования Ж.АдсАмара были продолжены О.Сестраидом [71-72] , Р.Б.Дэвисом [73-74] и Л.КаттабридЯф. [75] . Р.Б.Дэвисом отмечается прикладное значение уравнений третьего порядка, связанное с изучением уравнений четвертого порядка с малым параметром при старших производных.

В дальнейшем вышеназванные уравнения исследовались в работах: Б.А.Бубнова [7] - [ю] , В.Н.Врагова [ю] - [14] , Т.Ш.Кальменова [24] , М.Отелбаева [24] , И.М.Петрушко [48] , М.С.Салахитдинова [51] , М.М.Смирнова [52] , С.А.Терсенова [56] и др. . Исследование нелинейных уравнений неклассического типа - это. сравнительно- новое направление. Отметим здесь работы Т.И.Зеленяка, В.А.Новикова, Н.Н.Яненко [22] , А.И.Ко-жанова, Н.А.Ларькина, Н.Н.Яненко [27] и многих других^на которые мы будем ссылаться.

Сравнительно недавно были исследованы начально-краевые задачи для уравнения Кортевега-де Фриза: Jruj Уо^ъ [67], 7A. fana, [tej, Б.А.Бубнов [7] - [ю], С.М.Кружков, Н.В.Фоминский [30] , В.В.Хаблов [§7] . В работе Б.А.Бубнова доказана однозначная разрешимость в целом по Ь и исследовано поведение решений при t —- оо краевых задач для уравнений Кортевега-де Фриза и Кортевега-де Фриза-Бюргерса.

В.В.Хабловым показана корректность постановки краевой задачи для модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза. У.У.АбылкаировЩ доказал разрешимость различных краевых задач для модифицированных уравнений Кортевега-де Фриза высокого порядка.

Настоящая работа, состоящая из введения и двух глав,объединенных девятью параграфами, посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых классов нелинейных уравнений нечетного порядка.

Перейдем к рассмотрению содержания диссертации.

В первой главе рассматриваются начально-краевые задачи для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка, вырождающихся на границе области.

§ I.I. В этом параграфе введены основные функциональные пространства и вспомогательные утверждения, которыми мы будем пользоваться.

§ 1.2. Пусть = (0,1 )х (0,1) - ограниченная область в /?Л с достаточно гладкой границей. В цилиндрической области QT— fO,TJx Q рассмотрим дифференциональное уравнение

Щ -xUXXJC - Uyy -JHUjcjc +lufu = (0.1)

Краевая задача. Найти решение уравнений (0.1) удовлетворяющее начальным и краевым условиям и! = (0-2) t = o со - - , гс! =uj = О, и! =и/ = О. (0'3) )зс= о !х=1 /У- о /У— 1

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема I. Пусть ^ е Lz (Qr)г U0(x)€W22(Q)n&,1(Q)} xUoxxxel2{Q) -а ± , J3>0.

Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.1) - (0.3). И для решения задачи имеют место следующие оценки и//2 0 + Нин2 ±cm2 (о.4)

Zoo (0tTiV21m 4 (О, Т- IV/&)) L2(0,T-L2(Q)y

Пи J2 + HVUJ2 йС if и2

Loo(0,T;L2(Q)) v L2(0,T;l.2(Q)) lt L2 (Qt) где С - постоянная не зависящая от zi, f .

В конце этого параграфа рассматривается слабое решение задачи fo.lj - (Q.3j .

Определение I. Слабым решением задачи fo.lj -называется функция удовлетворяющее тождеству

Щ. 9) + (хг<хх, Ъс) + (^xx, rj + tfUyy + stUxxJ, (f) + f/U/Pu, <pj = ff, <f) о .

ДЛЯ любой функции Zp S0.T', /V2 {OJj

Теорема 2. Пусть f a Lz (o,T; L2m, % (*> $ Тогда существует и притом единственное слабое решение задачи (ъл)- (0.3 ) .

§ 1.3. В ограниченной цилиндрической области рассмотрим уравнение йМ - - -иихх - Л-и = f, (06) ot где - Й-а ~ /г 1/хх -+- .

Краевая задача. Найти решение уравнения (0.6) в области QT, удовлетворяющее краевым условиям и данным Коши

U / = Х/с (X, У) . (0.8)

It=o

Определение 2. Сильным решением задачи (0.6) - (0.8) называется функция ue.L2 (О, Ту W*(Q% U{^LZ (iО, T', L2(Q)) , удовлетворяющая (0.6) - (0.8).

Теорема 3. Пусть Uqe: М ~ >Л J3 > fte.Lz(o,T\ №/(&)) и tuj^fa^ctiдостаточно мало.

Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.6) -(0.8). И для решения задач имеет место оценка t LZ(0,TSLZ(&)) Lz(0,T •>№*(&)) (0'9)

§ 1.4. В этом параграфе изучаетсятеоремы существования и единственности для следующего дифференциального уравнения

2 2

UU ■+ ос Ы Л = + —.(0.10)

XX ососос f Г- ^ tfyZ

Краевая задача. Найти решение уравнения (0.10) в области а . удовлетворяющее краевым условиям

U/x-o - и1х-1 = и/у=о = и1у=1 = (О.П)

Основным результатом этого параграфа является следующая я

Теорема 4. Пусть выполнены условия ju —ft,

Hf II ^ 8 - достаточно малая постоянная.

Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.10), (0.II). И для решения задачи имеет место оценка

ЦхЫ // , х <C//fll , \ • (0 12) *хос "L2 (Q) У HQ) Г Lz (ti)

А также, в этом параграфе исследованы некоторые классы нелинейных уравнений обобщающих уравнение (0.10)

ХЦс;с* + Pn(U)Uxx +/tu = f, .(0.13) где А - эллиптический оператор второго порядка, а РКМ полином п -й степени с ограниченными коэффициентами. § 1.5. Рассмотрим смешанную задачу для уравнения

0.14) дх2 ду2 с начальными условиями ди / = О, и/ = о. (0.15) дх 1-х—й /1= О

Теорема 5. Пусть //£//, , ■ ^ к,

Ъ L2(О, Т; !*/<&))

К - достаточно малая постоянная, jn- у- >sf>, > О-Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.14), (0.15) и для решения имеет место оценка ilUj.ll + //Ш + 4 (О, T,L2 (Я+у)) 12 (О, Г; W2(R^)) Uxu // ^ С < оо. ,(0Л6)

L2 (О,Т; L2 (R+y))

Во второй главе рассматриваются начально-краевые задачи ддя некоторых классов нелинейных уравнений нечетного порядка вырождающихся внутри области.

§ 2.1. В области Qt=(0,T)*Q, Q = (-1,1)* (0,1) рассмотрим дифференциальное уравнение Ut - x'"*'VXJCX + -UUx-jCiAU = f, (0Л7) - целое число больше нуля.

Краевая задача. Найти решение уравнения (0.17) удовлетворяющее граничным и начальным условиям

I О °

-U / = и t = О, а/ = uf - о, (0.19) />=-/ / X— i /у^о /у=1 д2и / = dhi / = о. дх2 дх2 }х=1

Теорема 6. Пусть f £ L2(Oj; Lz (Я))} UQ(x) e IV/(Q), ju- JJpJ > 5, 5 > 0,

Тогда существует единственное решение задачи (0.17) - (0.19), и для решения имеют место оценки

Ш, И + №1/ ^ С < оо, v loo (0,\Г;1г (Q)) L оо (О, Т; W.'&))

0.20)

Их 2г?^иггг Ц + 1/UJJ £ С < оо .

Lz (Qt) L2 (О, Т; IV2(Q))

§ 2.2. Рассмотрим в области QT= (OS) х Q начально-краевую задачу для уравнения

Щ + Х2п+1Илхх -jUA-ич- /u/PU = f C0.2I)

U J= О, (0.22)

П - целое число больше нуля -I.

Чс = их/ = о, и! = -и! =0, (0.23) и/ = и/ = О. у— О

Определение 3. Обобщенным решением задачи (0.21) - (0.23) называется функция U6 12{0.Г:&/&)), Щ€ L2 (0,Т, L2(Q)) и удовлетворяющая следующему интегральному тождеству •

Щ, (?) + /t vcp) +2 (2 n+i) ^XZnUx ■(f>Kdxdy + + (2п+1)2п \ ос2п~1 V (p docclu + p £ . - «>•*> j oc2n^Ux c/xc/y = frtjpj- f/u/ru, (p), Q V (pG ^(Q)mvlCQ).

Теорема 7. Пусть ytt > Ог J) ^-f

-ft e. L2(OJ- L2 (Q)).

Тогда существует хотя бы одно обобщенное решение задачи (0.21)-(0.23). И для решения имеет место оценка

Ш+t + //U// 0 ^ С < оо. .(0.25)

4 (О, т, 4 (Q)) i2 {О, Т - v'rQ))

§ 2.3. Изучается разрешимость задачи Коши для уравнения

-jUAU +-UUxx=f б #2x(ar) (0>26) вырождающегося внутри области. Теорема 8. Пусть f б Lz(o,T-,ivl(/?h ft 6 L2(o,T;L2m).

Тогда, при достаточно большом jU.yO , существует единственное сильное решение задачи (0.26), (0.27. И для решения задачи имеют место оценки о 9 и If л £ с < ОО, с < oo . lz(#2J)

§ 2.4. В этом параграфе доказывается теорема существования и единственности решения следующей задачи

Х*3Цкхх -Н гси^ = / S (0>29)

Q = (o.i)х к , /? = оо^ *< о, n/yxai = Л

Теорема 9. Пусть ЦЦ^ ^ - достаточно мало. jt(+3o( уjt{Q , уло70 , с< < О • ТогДа существует и притом единственное сильное решение задачи (0.29) и для решения имеет место оценка

Нх*г// v- /г// + ^

0,30)

Определение 4. Сильным решением задачи (0.29) называется функция U6 w*(Q) ъ Я3ЦхХсс £ Lz (О) удовлетворяющая уравнению (0.29) почти всюду .

Основными методами, которые используются при получении этих результатов являются методы функционального анализа с использованием априорных оценок, метод " <5 - регуляризации", метод Галеркина, метод продолжения по параметру и теорем вложения.

Леммы, теоремы и определения занумерованы в диссертации двумя числами. Например, под теоремой 2.1 нужно понимать первую теорему главы 2. Для формул использована трехчисловая нумерация. Так, формула с номером (1.2.4) - четвертая формула параграфа 2, главы I.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по неклассическим уравнениям (г. Новосибирск, 1980, 1981), на Всеказахстанской межвузовской конференции по математике и механике (г. Караганда, 1981), на семинаре "Уравнения смешанного типа" под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Н.Врагова (ИМ, СО АН СССР), на семинаре лаборатории обыкновенных дифференциальных уравнений Института математики и механики АН Каз.ССР под руководством академика АН Каз.ССР О.А.Жаутыкова, на общегородском семинаре "по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям" под руководством доктора физико-математических наук, профессора М.О.Отелбаева (ИММ, АН Казахской ССР, г.Алма-Ата).

В заключение автор выражает благодарность своим научным руководителя!^ профессору В.Н.Врагову и доценту Б.А.Бубнову за руководство и постоянное внимание к работе. А также, кандидату физико-математических наук Ш.Смагулову за многочисленные консультации и помощь в работе. Основные результаты опубликованы в работах 76-79

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, следующие :

1. Доказана разрешимость задачи Дирихле для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка вырождающихся на границе области.

2. Изучена корректность краевой задачи для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка.

3. Получены теоремы существования и единственности сильного решения: а) некоторых краевых задач для стационарных, нелинейных уравнений третьего порядка б) нестационарного нелинейного уравнения третьего порядка. в) смешанной задачи для нелинейного уравнения третьего порядка.

4. Исследована разрешимость начально-краевых задач для одного класса нелинейных уравнений нечетного порядка, вырождающихся внутри области.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абылкаиров У.У. Корректность краевой задачи для одного нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза. - В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения, Алма-Ата, 1981, с. 122129.

2. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа. Успехи матем.наук, 1953, т. 8, 16 2, с. 160.

3. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев. "Наукова думка", 1965, -800 с.

4. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: "Мир", 1966, 352 с.

5. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Издательство АН СССР, 1959 164 с.

6. Брюханов В.А. 0 смешанной задаче для одного уравнения гиперболического типа, вырождающегося на части границы области. Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, Ш I, с. 3-6.

7. Бубнов Б.А. Общие краевые задачи для уравнения Кортевега-де Фриза в ограниченной области. Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, Jfc I, с. 26-31.

8. Бубнов Б.А. Задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза. -Докл. АН СССР, 1980, т. 251, Ш 4, с. 777-779.

9. Бубнов Б.А. Разрешимость в целом нелинейных граничных задач для уравнения Кортевега-де Фриза в ограниченной области. -Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, J8 I, с. 34-41.

10. Бубнов Б.А., Врагов В.Н. К теории краевых задач для некоторых классов ультрагиперболических уравнений. Докл.

11. АН СССР, 1982, т. 264, £ 4, с. 795-800.

12. Врагов В.Н. Об одном уравнении смешанно-составного типа Дифференц. уравнения, 1973, т. 9, Ге I, с. I69-I7I.

13. Врагов В.Н. Смешанная'задача для одного класса гипербола -параболических уравнений второго порядка. Дифференц. уравнения, 1976, т. 12, $ I, с. 24-31.

14. Врагов В.Н. Об одном уравнении смешанно-составного типав пространстве. В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными, Новосибирск, 1977, с. I30-I3I.

15. Врагов В.Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в пространстве. Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, JS 6, с. I098-II05.

16. Дезин А.А. Корректная граничная задача для некоторых неклассических операторов, Докл. АН СССР, 1958, т. 123, i 4, с. 595-598.

17. Дезин А.А. Теоремы существования и единственности решений граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах. Успехи матем. наук, 1959, т. 14, в. 3, с. 21-73.

18. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980, 208 с.

19. Джураев A.M. Системы уравнений составного типа, м.: Наука, 1972. 227 с.

20. Джураев Т.Д. Об уравнениях смешанного-составного типа. -Известия АН УзССР, серия физ.-мат. наук, 1961, J& 6, с.3-14,

21. Дубинский Ю.А. Задача Коши для операторно-дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1968, т. 181, В 5, с.1046-1049.

22. Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка. Матем. сб., 1973, 90(132), & I, с. 1-22.

23. Зеленяк Т.И., Новиков В.А., Яненко Н.Н. О свойствах решений нелинейных уравнений переменного типа. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1974, т. 5,4.

24. Иосифьян А.А. Характеристические задачи с главной частью, содержащей смешанные производные. Дифференц. уравнения, 1976, т. 12, В 2, с. 309-324.

25. Кальменов Т.Ш., Отелбаев М. О гладкости решений одного класса вырождающихся эллиптических уравнений. Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, 1Ь 7, с. 1244-1255.

26. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области. Докл. АН СССР, 1951, т. 77, В 2, с. 181-183.

27. Киприянов И.А. О вариантном методе решения одного класса вырождающихся эллиптических уравнений. Докл. АН СССР, 1963, т. 152, Л> I, с. 35-38.

28. Кожанов А.И., Ларькин Н.А., Яненко Н.Н. Смешанная задача для некоторых классов уравнений третьего порядка. Новосибирск, 1980. - 36 с. (Препринт ИТШ СО АН СССР).

29. Кожанов А.И. Смешанная задача для одного класса уравнений неклассического типа. Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, & 2, с. 272-280.

30. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнении третьего порядка. Докл. АН СССР, 1979, т. 249, И 3, с. 536-540.

31. Кружков С.М., Фоминский Н.В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза. Матем. сб., 1983, т. 120, выл. (162):3, с. 396-425.

32. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической шизики. М., Наука, 1943, - 407 с.

33. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1973, -576 с.

34. Ларькин Н.А. Краевые задачи в целом для одного класса гиперболических уравнений. Сиб.мат.ж., 1977, т. 18, № 16, с. I4I4-I4I9.

35. Ларькин Н.А. Разрешимость краевой задачи для стационарного ВТ-уравнения. В сб.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980, II 46, с. 37-45.

36. Ларькин Н.А. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений, имеющих решения в целом. Докл. АН СССР, 1979, т. 244, £ I, с. 38-41.

37. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., Мир., 1972. 588 с.

38. Лионе Ж.Л. Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., Мир, 1971, - 371 с.

39. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., Наука, 1965, 520 с.

40. Мизохата С. Теория уравнения с частными производными. М., Мир, 1977. 504 с.

41. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1983. 424 с.

42. Михайлов В.П. 0 первой краевой задаче для одного класса гипоэллиптических уравнений. Матем. сб., 1964, т. 63, № 2, с. 238-264.

43. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969. 528 с.

44. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений. Дифференц. уравнения. 1971, т. 7,1. В I, с. 49-56.

45. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М., Наука, 1978. - 399 с.

46. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. В кн.: Матем. анализ, 1969, ВИНИТИ, Итоги науки, 1971.

47. Отелбаев М. Теоремы вложения пространств с весом и их применения к изучению спектра оператора Щредингера. Тр. Мат. института АН СССР, 1979. т. 150, с. 265-305.

48. Петровский И.Г. О задаче Коши в области неаналитических функций. Успехи матем. наук, 1937, в. 3, с. 234-238.

49. Петрушко И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа. Труды матем. ин-та АН СССР, 1968, т. 103, с. 181-200.

50. Подгаев А.Г. О разрешимости обобщенной задачи Трикоми для одного нелинейного уравнения, Докл. АН СССР, 1977,т. 236, JB 6, с. 1307-1310.

51. Пятков С.Г. Об одном уравнении составного типа. Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, J& I, с. II7-I23.

52. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: "Фан", 1974. 156 с.

53. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 295 с.

54. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск, НГУ, 1973. 144 с.

55. Терсенов С.А. Первая краевая задача для уравнения параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск, 1978, 54 с.

56. Хаблов В.В. О краевой задаче уравнения Кортевега-де Фриза в ограниченной области. В сб.: Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск, 1979, с. I37-I4I.

57. Трикош Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М., Гостехиздат, 1947.

58. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико параболических уравнений второго порядка. Математика. Период.сб. перев. ин.статей, 1963, т. 7, №6, с. 99-121.

59. Франкль Ф.Н. Избранные труды по газовой динамике. М., Наука, 1973.

60. Чуешева Н.А. Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения третьего порядка. Дифференц. уравнения, 1980, J£ I, с. 183-185.

61. Gellerstedt S.Qualques probleme mixtes pour liquationym2x:x. + Arkiv for Mat.astr.och Fysik,26 a,1. К 3, 1938,p.1-32.

62. Lax P.D. Almost periodie Solutions of the KdV equation.-Siam Hev.,I976,v.I8,K 3,p.351-375.

63. I'.loraweia C.S. A weak solution for a System of equations of elliptictiyperbolie type .-Comm.pure appll.math. ,1956,v. II, N 3,p.$15-331.

64. Protter Ph.E. On the existence,uniqueness,converqence and explosion of Solutions of systemas of stochastis integral equations.-Onn Awbability,1977,ser.2,p.243-261.

65. Sobolev.S.L. Sur les problemes mixtes pour les equations aux derivees partielles a deux variables independante.

66. Calcutta,Calcutta Math,Soc., 1958-1959,p.-447-484.

67. Bui An Ton.Unituel boundary-value problemes for the Korteveg-de Vries equation.-Four Diff.Equat.,I977,v.25,p.288-3I0.

68. Bona I.L. Smith Pl. The unitial-valice problem for the Korte-veg equatioh.-Phil Trans.Rog.Soc.London.ser.A 278,1975»p.555-601.

69. Hadamard S. Equations aux derivees parti&lles-L'Enseignement Ivlathematique, 1956, v. 35, p. 5.

70. Hadamard I. Proprietes d*une equationlinaine aux derivees partielles du quatrieme ordre The Tohoku Math.I.,1933>v«37> p.133-160.

71. Sjostrand 0. Sur une equation aux derivees partielles du type composite.-Arkw.f.mat.astr.och.Fys.,1936,Bd.25 A,v.21, p.I-IO.

72. Sjostrand 0. Sur une equation aux dervees partielles du type composite.-Arkiv f.mat.astr.och Fys.,I937,Bd.26 А,К I,p.I-IO.

73. Devis E.B. A boundary value problem for thirs-order lineur partial diff erential equationa of composite type.—Proc.Amor. iJath.Soc. ,1952,v.3,p.751-756.

74. Devis R.B. Special case of the normal derivdtive problem for a third-order composite partial dyferential equabini.-Proc.Amer.Math.Soc.1954,v.5,p.720.

75. Касенов Ш.К. Разрешимость краевой задачи для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка. Известия АН Каз.ССР, серия физико-математическая. 1983. JK3. с. 70-72.