Разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Обозначения

Введение.

ГЛАВА 1. Коэрцитивные свойства обыкновенного дифференциального оператора произвольного порядка

§ 1. Вспомогательные результаты.

§ 2. Коэрцитивные свойства обыкновенного дифференциального оператора четного порядка

§ 3. Коэрцитивные свойства обыкновенного дифференциального оператора нечетного порядка.

ГЛАВА 2. Оценки резольвенты для обыкновенного дифференциального оператора смешанного типа.

§ 1. Вспомогательные результаты.

§ 2. Теорема существования и единственности для обыкновенного дифференциального оператора нечетного порядка

§ 3. Теорема о гладкости

§ 4. Теорема существования и единственности для обыкновенного дифференциального оператора четного порядка

§ 5. Теорема о гладкости

ГЛАВА 3. Линейное уравнение смешанного типа высокого порядка

§ 1. Определения и предположения.

§ 2. Вспомогательные результаты

§ 3. Теоремы существования и единственности для уравнения нечетного порядка.,.

§ 4. Теоремы существования и единственности для уравнения четного порядка.

ГЛАВА 4. Нелинейное уравнение смешанного типа нечетного порядка

§ 1. Определения и предположения.

§ 2. Вспомогательные результаты

§ 3. Теорема существования для нелинейного уравнения смешанного типа нечетного порядка.

Пусть О, - ограниченная область в1"с границей дО, класса С°°. Изучаются краевые задачи для уравнения вида

Аи + Ви = f(t,x), t£{0,1), xett. (1)

Здесь А - обыкновенный дифференциальный оператор произвольного порядка I > 2 по переменной t, В = Bq + Во - равномерно эллиптический оператор порядка 2р в Q, оператор В\ является оператором, подчиненным по отношению к А, В.

Особенностью постановки задачи является то, что старший коэффициент в операторе А может менять знак, именно поэтому уравнение (1) можно назвать уравнением смешанного типа. Если старший коэффициент в операторе А определенного знака (либо положительный, либо отрицательный), то результат по вопросу о разрешимости является классическим. Если он меняет знак в этой области, то такая задача мало изучена.

Много уравнений третьего порядка вида (1) возникает в теории упругости материалов с памятью, в нелинейно-вязкоупругих средах, при моделировании процессов влагопереноса, при изучении гидродинамики "неньютоновских" жидкостей [55, 58]. Уравнения более высокого порядка можно найти в линейных задачах нестационарных внутренних волн [18-20] (например, уравнение динамики сжимаемой, экспоненциально стратифицированной жидкости), в линейных задачах стационарных движений идеального газа [62, 67, 104] и т. д.

В класс уравнений (1) входят линейные и нелинейные уравнения смешанного типа, смешанно-составного типа, а также квазиэллиптические уравнения специального вида.

Подобные уравнения изучались в работах В. Н. Врагова [14-17], И. Е. Егорова [39-45], С. Г. Пяткова [80-83], В. Е. Федорова [101, 103] и некоторых других авторов [1-3, 13, 52, 53, 57, 65, 73-75, 79, 87-91, 96, 97, 106, 119]. В этих работах исследовались аналоги задачи Дирихле для уравнения подобного типа. При этом применялись: метод Галеркина, метод "е—регуляризации" и различные функциональные методы.

В данной работе мы рассматриваем довольно общий класс граничных условий при t = 0, t = 1 и ш боковой поверхности цилиндра. В качестве основного метода используем некоторые обобщения абстрактных теорем Гривара [25-28, 32] и Ю. Дубинского [37]. В отличие от этих авторов, нам требуется более "слабые" предположения о свойствах резольвенты и более широкие шкалы негативных пространств. Заметим, что используемые Гриваром подходы были разработаны М. Г. Крейном [30] для случая ограниченных операторов.

Центральное место занимает исследование разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядка в пространствах Соболева, Бесова и исследование гладкости их решений. Для этого устанавливается' ряд результатов о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных операторов со старшим коэффициентом, меняющим знак [107-109, 112]. Найдены области на комплексной плоскости, где существует резольвента этих операторов и обоснованы оценки резольвенты по параметру

В диссертации используются методы, позволяющие изучать уравнения неклассического типа высокого порядка. К этим методам, в частности, относятся: различные модификации метода Галеркина, метод "вспомогательного оператора", метод "е-регуляризации", метод продолжения по параметру, абстрактные теоремы Гривара [25-28, 38] и Ю. Дубинского [35-37], а также теории интерполяции.

Актуальность темы исследования

В последние 70 лет появился интенсивно развивающийся новый раздел теории уравнений в частным производных - неклассические уравнения математической физики. К ним относятся вырождающиеся уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типов, уравнения смешанного типа, уравнения составного и смешанно-составного типов.

Определенный интерес к их изучению был вызван исследованиями Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, которые впервые изучили краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа на плоскости. В работах М. А. Лаврентьева, М. В. Келдыша, И. Н. Векуа, С. А. Христиановича, С. А. Чаплыгина, Л. Г. Гудерлея и других была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магнитогидродинами-ческих течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики.

Далее, в работах А. В. Бицадзе, К. И. Бабенко, Ф. И. Франкля, JI. В. Овсянникова поставлены и исследованы новые краевые задачи для уравнений смешанного типа второго порядка на плоскости и для модельных уравнений в пространстве.

В работе В. Н. Врагова [16] впервые дана постановка корректной краевой задачи для уравнения смешанного типа порядка 2m, т 6 N\{0}. В цилиндрической области Q = (0,1) х Q (fi С изучалось уравнение (1) при

2 т

Аи = x)D\u, г=1

Ви = (- 1Г+1 £ D«(aal3(t,x)Dlu) + (- 1Г+1 ОаЩи а\+Щ=2т \а\=2т-2 с краевыми условиями дги

Q~i\s = 0,г = 0,1, .,m — 1; (2)

D\u\t^ = 0, г = 1,2,т - 1; D?u\p+ = 0;

D{u\t=1 = 0, i = 0,1,., т - 1; = 0, ( ] где v — (ц), vn-i)— вектор внутренней нормали; S = (0,1) х

Р0+Н - {(0, х):хеП, (-1)m-^2m(0, х) > 0(< 0)};

Рх+Н = {(1, х) : х е О, (-l)m-^2m(l, х) > 0(< 0)}. Предполагалось, что

Y, 5|£|2m,V£ еГ,Ь О,.(t,x) е Q; а\+\Р\=2т а\ + Щ=2гП

Отметим, что, поскольку на знак коэффициента k2m(t,x) не сделано никаких предположений, в класс уравнений вида (1) с данными операторами А, В частично входят эллиптические и вырождающиеся эллиптические уравнения, смешанно-составные уравнения и другие уравнения. При некоторых условиях на старшие коэффициенты уравнения (1) доказана обобщенная разрешимось краевой задачи (1)-(3) в пространствах Соболева. Выписаны условия на правую часть, при которых обобщенное решение задачи (1)-(3) будет регулярным. Доказательство этого факта использует метод "е—регуляризации" и метод "вспомогательного оператора".

В дальнейшем эти результаты были обобщены И. Е. Егоровым [41] на случай, когда уравнение имеет разный порядок по времени и по пространственным переменным. И. Е. Егоров изучал краевые задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка с произвольным многообразием изменения типа. В Q рассматривалось уравнение (1), где

2s

Аи - У^kj(t,x)Dltu, i=1

Ви=(-1)т D«(aal3(x)DP) + ao(x)u а\=\/3\=т с краевыми условиями (2) и

D\u\t=о = 0, г = 0,1,s - 1; Dstu\^+ = 0; D{u\t=i = 0, i = 1,2,., s - 1; Dstu\^r = 0, где

P0+H = {(0,®) : ж € n,(-l)s-%s{0,x) > 0(< 0)}; P+H = {(1,х) : х € Q,, (-ly^k^x) > 0(< 0)}. Везде предполагалось, что аар = аРа, Y. (4) а\=Щ=т

Отметим, что в класс уравнений вида (1) с данными операторами А, В входят эллиптико-параболические и эллиптико-гиперболические уравнения, вырождающиеся эллиптические уравнения, смешанно-составные уравнения и другие уравнения [17, 34, 92]. Также им изучались первые краевые задачи для (1), (2) при

Ви = (- l)m+1 О%(аа/з(х)ВР) + а0(х)и а\=\/3\=т и при а\=Щ=т |a|<2m-l

При определенных условиях на старшие коэффициенты и функцию ао(х), с помощью метода "е—' регуляризации", стационарного метода Галеркина и коэрцитивных оценок были доказаны теоремы о существовании и единственности решения в пространствах Соболева.

Он также изучал краевые задачи для неклассических уравнений математической физики нечетного порядка с меняющимся направлением времени. Исследовал уравнение (1) при

2s+l

Аи = h(t,x)D\u, г=1 а\=Щ=т |а|<2т-1 с краевыми условиями (2) и

D\\t=Q = D\\t=i = 0, г = 0,1,., в - 1; Dstu\-^ = 0; Ци\д= = 0, где {(0, х) : х е fl, (-l)'W(O, ж) > 0(< 0)}; • = {(1, х):хе Д (~l)sk2s+1(l, х) > 0(< 0)}.

При выполнении (4) и определенных условиях на старшие коэффициенты и функцию ао(ж) с помощью функциональных методов, метода "е-регуляризации", стационарного метода Галеркина и коэрцитивных оценок были доказаны теоремы о существовании и единственности решения в пространствах Соболева.

В. Е. Федоров [102] изучал разрешимость первой краевой задачи для уравнения смешанного типа высокого порядка в анизотропных пространствах Соболева, а так же исследовал гладкость решения этой задачи. Рассматривал в Q уравнение (1) при

2s

Аи = У^ kj(t,x)DltUi г=1

Bti = (-l)m+1 Y, D"Mx)Dl) + a0(x)u а\=Щ=т с краевыми условиями (2) и

D\u\t=о = 0, * = 0,1,5 - 2; Ц-ги\^ = 0; DJtu\t=1 = 0, i = 0,1,s - 1; Datu\rp=r = 0.

Задача (1), "(2), (5) при s = т = 1 была исследована А. Н. Тереховым [96]. При выполнении (4) и определенных условиях на старшие коэффициенты и функцию ао(х) получены достаточные условия единственности и существования обобщенного решения, установлены условия однозначной регулярной разрешимости, исследована гладкость решения краевой задачи (1), (2), (5). Он использовал в доказательствах метод "е—регуляризации", метод Галеркина и теоремы вложения.

С. В. Попов [79] исследовал уравнение (1), при

Аи= {-l)sMD2ts+lu, где М - самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Е, а В - самосопряженный, положительно определенный оператор с плотной областью определения в Н, с краевыми условиями (2) и

D\u\t=Q = 0, г = 0,1,., s — 1;

D\u\t=\ = 0, i = s + 1, s + 2,., 2s;

E+Dstu\t=0 + A E+Dstu\t=1 = E+u0]

E~Dstu\t=1 + iiE~ D\u\t=b = Е-щ, где |A| < 1, < 1, E+, E°, E~— спектральные проекторы оператора В, соответствующие положительному, нулевому и отрицательному частям спектра, принадлежат некоторому интерполяционному пространству.

А. И. Кожанов [57], распространяя теорию уравнений математической физики составного типа на уравнения нечетного порядка в многомерных пространствах, в частности, рассматривал уравнения вида

D?(Au) + Bu = f, (6) где т > 0 - целое число, А - эллиптико-параболический оператор второго порядка, В = Во + Bi,Bq - эллиптико-параболический оператор второго порядка такого же вида, что и А, либо эллиптический оператор порядка 2р,р > 0. Оператор В\ является подчиненным по отношению к операторам A, Bq. Он исследовал вопрос о разрешимости краевых задач для этих классов уравнений, причем, выделил такие классы уравнений вида (6), которые при вырожденности оператора А тем не менее обладают регулярными решениями.

С. Г. Пятков [80] рассматривал в Q уравнение s—1

P1(t)u+BP2(t)u + Y, р-1 Е Е °>kAt,x)DtD%u = f(x,t), (7) к=0 \a\<2v-\ где В = В(х, Dx) - эллиптический оператор порядка 2i> по х, a Pi{t), P2W - обыкновенные дифференциальные операторы порядков s,p по t. Краевые условия имеют вид кг-1

1=0 kj-1 1, ж) + £ myuW(l, ж) = 0, j = fc + 1, А + 2,в, z=o е (0,1), ж € <ЭО,г = 1,2,., и. (9) а\<ГПг

Уравнение (7) входит в класс так называемых "неклассических" уравнений. Существуют классификации таких уравнений (см., например, [37]). Для доказательства разрешимости краевой задачи (7), (8), (9) С. Г. Пятков пользовался известными теоремами о разрешимости операторно-дифференциаль ных уравнений, которым посвящено много работ. Среди них отметим работы [23, 24, 32, 35, 69, 87-91, 106, 115, 117-122]. В частности, им изучались операторно-дифференциальные уравнения вида

P1(t)u + BP2(t)u = f(x,t), где В - некоторый замкнутый, неограниченный, линейный оператор, действующий из банахова пространства Е в Е\ Р\, Р2 - обыкновенные дифференциальные операторы по переменной t. При этом использовались некоторые обобщения абстрактных теорем Гривара [25, 26].

В основном ранее изучались уравнения смешанного типа второго порядка, вырождающиеся уравнения высокого порядка эллиптического и гиперболического типов, модельные уравнения составного и смешанно-составного типов. Это связано с отсутствием математического аппарата для изучения уравнений смешанного типа высокого порядка с произвольным многообразием изменения типа.

Поэтому данная работа, одной из важнейших задач которой является исследование разрешимости уравнений смешанного типа высокого порядка с краевыми условиями достаточно общего вида, а также решение некоторых традиционных вопросов теории краевых задач для неклассических уравнений математической физики, представляется актуальной.

8)

Историография вопроса

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в классических работах Ф. Трикоми, М. Чибрарио и С. Гел-лерстедта, где впервые были поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Важные результаты для таких уравнений были получены в работах Ф. И. Франкля, К. И. Бабенко,

A. В. Бицадзе, М. В. Келдыша, К. Моравец и других.

В последующие годы количество работ, посвященных неклассическим уравнениям, возросло. Однако наибольшее развитие теория краевых задач для уравнений смешанного типа получила, в последние 30 лет в связи с использованием методов функционального анализа.

Новым этапом развития теорий краевых задач для неклассических уравнений математической физики явились работы В. Н. Врагова [14-17] и ряда авторов, в которых было начато построение общей теории краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа. Здесь необходимо отметить работы Б. А. Бубнова [11], Г. Д. Дачева [31], А. А. Дезина [32, 33], И. Е. Егорова [39], Г. Д. Каратопраклиева [48], Н. А. Ларькина, В. А. Новикова, Н. Н. Яненко [64], А. Н. Терехова [96, 97] и других. Достаточно полная библиография по этим вопросам содержится в монографии А. Г. Кузьмина [61]. Краевые задачи для некоторых классов уравнений с частными производными неклассического типа изучались в работах К. И. Бабенко [4], П. Е. Берхина [5], Ю. Е. Бояринцева [8], Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [9], В. А. Брюханова [10], JI. И. Вайнермана [12], М. JI. Горбачука [23],

B. И. Горбачука, М. J1. Горбачука [24], В. В. Дайняка, В. И. Корзюка [29], Т. Д. Джураева [34], И. Е. Егорова [39, 40, 44, 45], Т. И. Зеленяка [46],

М. Г. Каратопраклиева [49], В. В. Катрахова [50], И. А. Киприянова, Б. М. Богачева [51], А. И. Кожанова [55, 56], М. Мередова [68], В. П. Михайлова [69], Е. И. Моисеева [70], А. М. Нахушева [72], И. М. Пет-рушко [76], С. А. Пономарева [77], М. С. Салахитдинова [92], С. JI. Соболева [93], М. М. Смирнова [94, 95], Фан Дык Чау [100], В. Е. Федорова [101], Хе Кан Чера [105], Херша [106], Чазарейна [115] и других. Вырождающиеся дифференциально-операторные уравнения рассматривались в работах В. П. Глушко [22], Гривара [25-28, 38], Ю. А. Дубинского [35-37] и других.

Краевые задачи для некоторых классов уравнений с частными производными неклассического типа высокого порядка изучались в работах М. С. Аграновича, М. И. Вишика [1], М. И. Вишика, В. В. Грушина [13], П. И. Лизоркина [65], С. М. Никольского [73], А. П. Осколкова [74, 75],

B. К. Романко [87-91], М. С. Салахитдинова [92], Н. И. Юрчука [117-119],

C. Я. Якубова [120-122] и других.

Среди работ последних лет, посвященных изучению уравнений неклассического типа высокого порядка, необходимо отметить следующие: С. Н. Глазатова [21], И. Е. Егорова [42], И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [43], И. Е. Егорова, В. Е. Федорова [44], Н. В. Кислова [52-54], А. И. Кожанова [57, 58], С. В. Попова [79], С. Г. Пяткова [80-85], В. Е. Федорова, И. Е. Егорова [103].

Краткое содержание диссертации

Первая глава носит вспомогательный характер. Основной вопрос, который мы исследуем в этой главе, а также частично и во второй, - вопрос об условиях, при выполнении которых существует оператор I

L0(t,x)u = ^2ai(t,x)u^(t,x), t е (0,1), жеОсК", (10) г=0 где и^ — г-я производная функции и по t, удовлетворящий условию: существуют постоянные > 0, такие, что

-1 pRe(L0u, u)U(Q) > So и«Й> * - fc |\u\\l(Q), Q = (0,1) х Q, (Я) для любой функции и G W^O, 1;L2(£1)), удовлетворяющей данному набору краевых условий. Для этого вначале установлены некоторые необходимые и достаточные условия того, что обыкновенный дифференциальный оператор вида (10) удовлетворял условию (Н). Доказано, что если известен набор краевых условий порядков меньших, чем [|] или больших, чем [|], то можно построить краевые условия порядков больших, чем [|] и меньших, чем [|], соответственно так, чтобы выполнялись эти необходимые и достаточные условия. Установлены необходимые и достаточные условия существования обыкновенного дифференциального оператора вида (10), удовлетворяющего условию (Н). Приведены примеры краевых условий, при которых существует обыкновенный дифференциальный оператор вида (10), удовлетворяющий условию (Н).

Во второй главе рассматривается уравнение

Au + \u = f(t), te (0,1), где А - обыкновенный дифференциальный оператор порядка I > 2, заданный дифференциальным выражением:

1-2

Аи = k{t)u®{t) +a(f)ti(/-1)(f) + £aj(t)u<>)(t), j=o ), и некоторым набором краевых условий, Л - комплексный параметр. В этой главе при помощи априорных оценок доказаны теоремы существования и единственности краевых задач для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, исследована зависимость решений от параметра. Установлены теоремы о гладкости решений. Особенностью постановок задач является то, что старший коэффициент в уравнении k(t) может менять знак на интервале (0,1), именно поэтому оператор можно назвать оператором смешанного типа. Глава посвящена нахождению областей на комплексной плоскости, где решение задачи существует и единственно, а также устанавлению оценок решений по параметру А.

Для получения априорных оценок использовался аппарат современного функционального анализа: понятие обобщенного решения из соболевского пространства и различные теоремы вложения. В доказательствах теорем существования и единственности используются различные модификации метода Галеркина, теорема о неподвижной точке, интерполяционные неравенства и метод "ег—регуляризации". Вопрос о разрешимости задачи и об оценках решений по параметру А очень важен с точки зрения приложений этих результатов к теории уравнений смешанного типа, неклассических уравнений математической физики. Оценки по спектральному параметру позволяют исследовать разрешимость краевых задач для широких классов уравнений математической физики. Подобные оценки в случае знакоопре-деленного коэффициента k(t) приведены в [71]. Можно отметить также, что в отличии от случая, когда коэффициент k{t) знакоопределен, результатов, в которых характеризуется спектр задачи и поведение резольвенты, в литературе не имеется. Это связано с большими трудностями, возникающими при исследовании этих задач.

В третьей, основной, главе исследуются краевые задачи для уравнения

Аи - Ви + Su = f(t, х), t€ (0,1), жбП, где А = A(t, Dt) - обыкновенный дифференциальный оператор порядка / > 2, по переменной t, а оператор В = B(x,Dx) порядка 2v по переменным х = (жх, Х2, .,хп) является равномерно эллиптическим в Q,

S = S{t,x, Dt, Dx) - дифференциальный оператор меньшего порядка, чем порядки А я В.

Особенностью задачи является тот факт, что перед старшей производной в операторе А коэффициент может обращаться в нуль на множестве ненулевой меры и может менять знак, то есть данное уравнение является уравнением смешанного типа.

Для замкнутых операторов Ai, В\ с плотными областями определения в гильбертовом пространстве Е, действительных s любого знака, 1 < q < оо вводятся интерполяционные пространства

DBl(s,q) = (Wm>E,W-m>E)Q,q, где Wm,E = {и G Е : В\и G Е, к = 0,1,., m}, т любое целое большее |s|, О такое, что s = m( 1 — 2©); W, » (s о) - I U е 5 : " 6 °Bl(s + hq)' =

А,М '9> 1 IMIW + 1И1«И^(М) + < 00 где D = {и G Da1 П (s, q) : А\и G (s, q)} при s > 0 и при s < 0 D - пополнение DAl по норме ||u||5 - \HDBi(s,q) + \\АМ\вВ1м - Устанавли" ваются некоторые свойства операторов Ai, В\ в этих пространствах. При условии коммутируемости резольвент операторов Ai,Bi, а также при оценках на резольвенты этих операторов, доказываются некоторые обобщения абстрактных теорем Гривара [25-28, 38] и Ю. Дубинского [35-37], а именно теорема существования и единственности решения и уравнения

А\и - Biu - Лu = f,fe DBl(s,q), Л > О, из Wa!,Bi(s^ я)- Более того, устанавливаются оценки решения по параметру Л. При дополнительном условии, что В\ - самосопряженный, положительный оператор, доказывается теорема существования и единственности для этого уравнения в пространстве DBl (si, q), где si - некоторое число, зависящее от s. Выводятся различные оценки на решение по параметру Л. Далее, сначала исследуются задачи с оператором А нечетного порядка, а потом четного порядка. Доказывается теорема существования и единственности решения и уравнения

Аи - Ви + Su - \и = /, I = 2т + 1, т G N\{0}, Л > 0. в пространствах Соболева. Из этой теоремы вытекает теорема существования для исходного уравнения нечетного порядка. Аналогичные результаты устанавливаются для краевых задач с оператором А четного порядка.

Кроме вышеупомянутых методов используются: теория интерполяции, результаты о гладкости решений эллиптических уравнений, теорема о неподвижной точке и теория Фредгольма.

Наконец, в последней главе мы рассматриваем вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения вида:

Аи +Ви +\и +д = f(t,x), te (0,1), xeU,X>0, (11) где А = A(t,x, Dt) - обыкновенный дифференциальный оператор порядка I = 2ш+1, т G N\{0}, по переменной а оператор В = B(t, х, Dx) порядка 2v по переменным х = (х\,х2, *.,хп) является равномерно эллиптическим в Г2, д = git, ж, и) - функция от переменных t,x,u.

В пространствах Соболева доказывается теорема существования и единственности решения уравнения нечетного порядка

Аи + Ви + А и = f,fe L 2(<Э), А > 0.

Далее изучаются свойства нелинейной функции д = g(t, х, и) в этих пространствах. Из полученных результатов с помощью метода продолжения по параметру доказывается теорема существования исходного нелинейного дифференциального уравнения вида (11).

Все основные результаты диссертации являются новыми. Методы данной работы могут быть применены для исследования различных краевых задач для неклассических уравнений математической физики.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. В пределах каждой данной главы параграфы нумеруются натуральными числами. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает номер главы, а второе номер параграфа в главе. Например, (4.3.1) - это глава 4 параграф 3 формула 1.

1. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Усп. мат. наук. 1964. Т. 19, вып.3(117). С. 53-159.

2. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Commun. Pure Appl. Math. 1962. V. 15. P. 119-147.

3. Agmon S. Lectures on elliptic boundary value problems. Princeton: N. J. a. oth, D. VAN NOSTRAND CO. INC., 1965. P. 291.

4. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа // Усп. мат. наук. 1953. Т. 8, N 2. 160 с.

5. Берхин П.Е. Об одной краевой задаче для уравнения составного типа // Докл. Акад. наук СССР. 1974. Т. 214, N 3. С. 1029-1032.

6. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

7. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР 1959. 164 с.

8. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. 158 с.

9. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998. 224 с.

10. Брюханов В.А. О первой краевой задаче для одного класса эллиптических вырождающихся уравнений // Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1978. С. 20-22.

11. Бубнов Б.А. Корректность смешанной задачи для одного класса ультрагиперболических уравнений 1 // Неклассические задачи уравнений математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1982. С. 42-48.

12. Вайнерман JI.И. Уравнения смешанного типа высокого порядка в гильбертовом пространстве // Украин. мат. ж. 1981. Т. 33, N 4.С. 504-510.

13. Вишик М.И., Грушин В.В. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений высших порядков // Мат. сб. 1969. Т. 79, N 1. С. 3-36.

14. Врагов В.Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Диффер. уравн. 1977. Т. 13, N 6. С. 1098-1105.

15. Врагов В.Н. К теории уравнений смешанно-составного типа // Пятое советско-чехословацкое совещание по применению методов теории функций и функционального анализа. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1978. С. 50-54.

16. Врагов В.Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанно-составного типа высокого порядка // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978. С. 5-13.

17. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1983. 84 с.

18. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990.

19. Габов С.А., Малышева Г.Ю., Свешников А.Г. Об одном уравнении составного типа, связанном с колебаниями сжимаемой стратифицированной жидкости // Диффер. уравн. 1983. Т. 19, N 7. С. 1171-1180.

20. Габов С.А., Малышева Г.Ю., Свешников А.Г. О некоторых уравнениях в динамике вращающейся, стратифицированной и сжимаемой жидкости // Жур. Выч. матем. и матем. физика 1984. Т. 24, N 12. С. 1850-1863.

21. Глушко В.П. Теоремы разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / / Труды семинара C.JI. Соболева 1978. N. 2. С. 49-68.

22. Горбачук M.J1. Самосопряженные граничные задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // Докл. Акад. наук СССР. 1971. Т. 201, N 5. С. 1029-1032.

23. Горбачук В.И., Горбачук M.JI. Разложение по собственным функциям дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами // Докл. Акад. наук СССР. 1969. Т. 184, N 4.С. 774-777.

24. Grisvard P. Commutative de deux functeurs d'interpolation et applications // J. Math. Pures Appl, IX Ser. 1966. T. 45, fasc. 2. P. 143-206.

25. Grisvard P. Equations operationneles abstraites dans les espaces de Banach et problemes aux limites dans des ouverts cylindriques // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, 1967. T. 21, N 3. P. 308-347.

26. Grisvard P. Equations differentieles abstraites // Ann. Sci. Norm. Super, 1969. T. 2, N 3. P. 311-395.

27. Grisvard P. An approach to the singular solutions of elliptic equations via the theory of differential equations in Banach spaces // Differential Equations in Banach Spaces. Lect. Notes Math. 1986. V. 1223.P. 131-156.

28. Дайняк В.В., Корзюк В.И. Задачи типа Дирихле для линейного дифференциального уравнения третьего порядка // Диффер. уравн. 1987. Т.23, N 5. С. 324-335.

29. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

30. Дачев Г.Д. О существовании гладких решений краевых задач для одного класса уравнений смешанного типа // Диффер. уравн. 1991. Т. 27, N 4 С. 619-627.

31. Дезин А.А. Теоремы существования и единственности решений граничных задач // Усп. мат. наук. 1959. Т. 14, вып.3(87). С. 21-73.

32. Дезин А.А. Вырождающиеся операторные уравнения // Мат. сб. 1981. Т. 115, N 3. С. 323-336.

33. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1979. 238 с.

34. Дубинский Ю.А. Об одной абстрактной теореме и ее приложениях к краевым задачам для некласических уравнений // Мат. сб. 1969.Т. 79(121), N 1. С. 91-117.

35. Дубинский Ю.А. Краевые задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка / / Докл. Акад. наук СССР. 1971, Т. 196, N 1. С. 32-35.

36. Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка // Мат. сб. 1973. Т. 90(132), N 1.С. 1-22.

37. Da Prato G., Grisvard P. Sommes d'operatours lineaires et equations differentielles operationelles // J. Math. Pures Appl., IX Ser. 1975. T. 54, fasc. 3. P. 305-387.

38. Егоров И.Е. Разрешимость одной краевой задачи для уравнения смешанного типа высокого порядка // Диффер. уравн. 1987. Т. 23, N 9 С. 1560-1567.

39. Егоров И.Е. Краевая задача для одного уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Докл. Акад. наук СССР. 1988. Т. 303, N 6. С. 1301-1304.

40. Егоров И.Е. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики второго и высокого порядка. Докторская диссертация. Новосибирск, 1992.

41. Egorov I.E. On one boundary value problem for an equation with varyng time direction // Мат. заметки ЯГУ, 1998. Т. 5, N 2. С. 77-84.

42. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000. 336 с.

43. Егоров И.Е., Федоров В.Е. О первой краевой задаче для одного уравнения смешанного типа высокого порядка // Методы прикладнойматематики и математической физики. Якутск: Изв-во ЯФ СО АН СССР. 1987. С. 8-14.

44. Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. 131 с.

45. Зеленяк Т.Н. О смешанной задаче для одного уравнения не разрешенного относительно старшей производной // Докл. Акад. наук СССР. 1964. Т. 156, N 6. С. 1268-1270.

46. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

47. Каратопраклиев Г.Д. Об одном классе уравнений смешанного типа в многомерных областях // Докл. Акад. наук СССР. 1976. Т. 230, N 4. С. 769-772.

48. Каратопраклиева М.Г. К теории уравнений смешанного типа с разрывными коэффициентами // Диффер. уравн. 1987. Т. 23, N 1С. 102-113.

49. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. сб. 1980. Т. 112, N 3. С. 354-379.

50. Кислов Н.В. Краевые задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольных областях // Докл. Акад. наук СССР. 1980. Т. 255, N 1. С. 26-30.

51. Кислов Н.В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Диффер. уравн. 1983. Т. 19, N 8.С. 1427-1436.

52. Кислов Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа и их приложения // Мат. сб. 1984. Т.125(167), N 1. С. 19-37.

53. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка // Диффер. уравн. 1980. Т. 16, N 1. С. 86-92.

54. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990. 132 с.

55. Кожанов А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной // Сиб. мат. ж. 1994. Т. 35, N 2. С. 359-376.

56. Kozhanov A.I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht, The Netherlands, 1999.

57. Красносельский M.A., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

58. Крейн М.Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения 2 // Мат. сб. 1947. Т 21(63). С. 365-404.

59. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газовой динамике. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 204 с.

60. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Физ-матгиз, 1962.

61. Ладыженская О.В., Уральцева В.П. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

62. Ларькин Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983. 170 с.

63. Лизоркин П.И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова 1985. Т. 172(154).С. 235-251.

64. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир. 1971.

65. Маслов В.П., Мосолов П.П. Уравнения одномерного баротропного газа. М.: Наука, 1990.

66. Мередов М. Об одном многомерном уравнений смешанно-составного типа // Диффер. уравн. 1981. Т. 17, N 6. С. 1427-1436.

67. Михайлов В.П. О первой краевой задаче для одного класса гипоэл-липтических уравнений // Мат. сб. 1964. Т. 63(105), N 2. С. 238-264.

68. Моисеев Е.И. О теоремах единственности для уравнений смешанного типа // Докл. Акад. наук СССР. 1978. Т. 242, N 1. С. 48-51.

69. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

70. Нахушев A.M. О правильной постановке краевых задач для параболических уравнений со знакопеременной характеристической формой // Диффер. уравн. 1973. Т. 9, N 1. С. 130-135.

71. Никольский С.М. О краевой задаче первого рода с сильным вырождением // Докл. Акад. наук СССР. 1975. Т. 222, N 2. С. 281-283.

72. Осколков А.П. О некоторых модельных нестационарных системах в теории неньютоновских жидкостей // Ленинград: Изв-во матем. инта им. В.А. Стеклова 1980.

73. Осколков А.П. О некоторых модельных нестационарных системах в теории неньютоновских жидкостей // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова 1980. Т. CXXVII С. 32-57.

74. Петрушко И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова 1968. Т. 103. С. 181-200.

75. Пономарев С.М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях // Докл. Акад. наук СССР. 1979. Т. 246, N 6. С. 1303-1305.

76. Попов С.В. О разрешимости краевой задачи для одного уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Диффер. уравн. и их прилож. Якутск: Изв-во ЯФ СО АН СССР. 1989. С. 39-47.

77. Popov S.V. On boundary value problems for a high-order operator-differential equation // Мат. заметки ЯГУ, 1997. T.4, N 1. С. 105-109.

78. Пятков С.Г. Об одном линейном уравнении неклассического типа высокого порядка. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1981. 24 с. (Препринт).

79. Пятков С.Г. Об одном операторно-дифференциальном уравнении // Краевые задачи для нелинейных уравнений: Сб. науч.тр. СО АН СССР. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1982. С. 109-117.

80. Pyatkov S.G. Some properties of eigenfunctions of linear pencils and applications to mixed type operator-differential equations // Banach Cent. Publ. Warszawa, 1992. V. 27, part 2. P. 373-382.

81. Пятков С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков // Мат. сб. 1994. Т. 185, N 3. С. 93-116.

82. Pyatkov S.G. Interpolation of weighted Sobolev spaces // Sib. Adv. Math. 2000. V. 10, N 3-4. P. 83-132.

83. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир. 1979. 588 с.

84. Романко В.К. К теории операторов вида А // Диффер. уравн. 1967. Т.11, N3. С. 1957-1970.

85. Романко В.К. Однозначная разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторных уравнений // Диффер. уравн. 1977. Т.13, N 2. С. 324-335.

86. Романко В.К. Об использовании общего операционного исчисления в теории граничных задач // Докл. Акад. наук СССР. 1978. Т. 238,N 5. С. 51-54.

87. Романко В.К. Разрешимось граничных задач для дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // Диффер. уравн. 1978. Т. 14, N 6. С. 1081-1092.

88. Романко В.К. Операционное исчисление и разрешимость граничных задач // Мат. заметки. 1979. Т. 26, N 3. С. 399-409.

89. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974. 156 с.

90. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физики. М.: Наука, 1988.

91. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

92. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.

93. Терехов А.Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1979. С. 128-136.

94. Терехов А.Н. О краевых задачах для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Кандидатская диссертация. Новосибирск, 1980.

95. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

96. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

97. Фан Дык Чау. Краевые задачи для уравнений смешанного типа в цилиндрической области // Докл. Волг. АН. 1981. Т. 34, N 10.С. 1339-1342.

98. Федоров В.Е. Теорема единственности обобщенного решения одной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1989. С. 193-196.

99. Федоров В.Е. Краевые задачи для уравнений смешанно-составного типа высокого порядка. Кандидатская диссертация. Хабаровск, 1993.

100. Федоров В.Е., Егоров И.Е. О гладкости решений краевой задачи для уравнения смешанного типа высокого порядка // Математический анализ и дифференциальные уравнения. Новосибирск: Изд-во Ново-сиб. ун-та, 1992. С. 117-120.

101. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Наука, 1962.

102. Hersh R. Explicit solutions of a class of higher order abstract Cauchy problems // J. diff. equat., 1970. V. 8. N 3, P. 570-579.

103. Чуешев А.В. Разрешимость одной краевой задачи для уравнения нечетного порядка // Материалы XXXVI Междунар. науч. студенческой конф. "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1998. С. 119-121.

104. Чуешев А.В. Об одном линейном уравнении неклассического типа высокого порядка // Тез. докл. Междунар. конф. "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс". Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1999. С. 61.

105. Чуешев А.В. Оценки резольвенты для обыкновенных дифференциальных операторов смешанного типа // Дифференциальные и интегральные уравнения: Тез. докл. междунар. научн. конференции. Челябинск: Изд-во Челябинс. ун-та, 1999. С. 116.

106. Чуешев А.В. Оценки резольвенты для обыкновенных дифференциальных операторов смешанного типа. Новосибирск: Мат. труды. 2000. Т.З, N 1. С. 144-196.

107. Чуешев А.В. Краевая задача для линейного уравнения смешанного типа высокого порядка // Неклассические уравнения математической физики: Тр. IV Сиб. конгр. по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. С. 56-60.

108. Chueshev A.V. Resolvent estimates for ordinary differential operators of mixed type // Sib. Adv. Math. 2000. V. 10, N 4. P. 15-67.

109. Чуешев А.В. Об одном нелинейном уравнении смешанного типа нечетного порядка. Вестник Новосиб. ун-та, серия "математика, механика, информатика". 2001. Т.1, Вып. 1. С. 107-123.

110. Чуешев А.В. Об одном нелинейном уравнении смешанного типа нечетного порядка // III Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. Якутск: Изд-во Якутск, ун-та, 2001. С. 62-63.

111. Chazarain J. Problemes de Cauchy abstraites et applications a quelques problemes mixtes // J. Funct. Anal., 1971. T. 7, N 3. P. 386-446.

112. Shuster L.A. Estimates of Eigenfunctions and Localization of the Spectrum of Differential Operators // J. Math. Anal. Appl. 1999. V. 229. P. 363-375.

113. Юрчук Н.И. О граничных задачах для уравнений содержащих в главной части операторы вида Jpr — А // Диффер. уравн. 1974. Т. 10,N 4. С. 759-762.

114. Юрчук Н.И. О граничных задачах для уравнений с операторами вида J^ А // Диффер. уравн. 1974. Т. 10, N 5. С. 950-952.

115. Юрчук Н.И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений с зависящим от параметра операторными коэффициентами 1, Априорные оценки // Диффер. уравн. 1976. Т. 12, N 49.С. 1645-1661.

116. Якубов С.Я. Дифференциальные уравнения высших порядков с переменными неограниченными операторами в банаховом пространстве // Изв. АН аз. ССР, серия физ. техн. и мат. наук., 1966. Т. 1, С. 20-27.

117. Якубов С.Я. Решение смешанных для дифференциальных уравнений в частных производных операторным методом / / Докл. Акад. наук СССР. 1971. Т. 196, N 3. С. 545-548.

118. Якубов С.Я., Балаев М.К. Корректная разрешимость дифференциально-операторных уравнений на всей оси. // Докл. Акад. наук СССР. 1976. Т. 229, N 3. С. 562-565.