О корректности некоторых термогидродинамических моделей атмосферы и океана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ, ВОЗНИКАЮЩИХ В

ТЕОРИИ АТМОСФЕРНОЙ КОНВЕКЦИИ.

§ I. Нестационарная задача для плоского случая*

§ 2. Нестационарная задача в случае осесиммет-рического движения

ГЛАВА 2. О НЕСТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ, ВОЗНИКАЮЩИХ

В ОКЕАНОЛОГИИ И КРАТКОСРОЧНОМ ПРОГНОЗЕ ПОГОДЫ

§ I. Разрешимость краевой задачи, возникающей в океанологии

§ 2. Стабилизация нестационарного решения

§ 3. 1&зрешимость одной краевой задачи, возникающей в краткосрочном локальном прогнозе погоды • •

Задачи, связанные с изучением процессов, происходящих в атмосфере и океане, являются одним из важнейших разделов геофизики. При исследовании этих задач широко используются математические модели»на основе которых удается описать целый ряд процессов в физике взаимодействия океана и атмосферы.

Как правило, математические модели базируются на линейных и квазилинейных системах уравнений в частных производных. Особый интерес среди таких моделей представляют гидродинамические модели, описывающие атмосферные процессы. Отметим здесь основополагающие работы И.А.Кибеля [2l] и его учеников.

Аналитические мет оды, дающие явные представления решений этих задач, как правило, мало применимы, поэтому чаще всего используются приближенные решения, полученные различными способами (см. Г.И.Марчук [35-37] , В.В.Пененко [40] , В.П.Кочергин [25] ). Одна из первых работ,посвященных исследованию вопросов корректности математических моделей метеорологии и океанологии,была работа Г.В.Демидова, Г.И. Марчука [14] . В дальнейшем это направление развивалось в работах Белова Ю.Я. [2,3] , Бубнова М.А., Кажихова А.В. [9] , Кордзадзе А.А. [23] , Рапуты В.Ф. [45] , Сухоносова В.И. [50] и др.

В работе Г.В.Демидова и ' Г.И.Марчука [14] изучалась краевая задача краткосрочного прогноза погоды при условии, что турбулентный обмен отсутствует. При этом по переменным X и у область определения решения предполагалась неограниченной. В этой работе доказано существование гладкого решения методом слабой аппроксимации в предположении, что начальные данные имеют обобщенные производные в смысле С.Л.Соболева до третьего порядка, суммируемые с квадратом.

Ю.Я.Беловым [3] для полуэволвдионной задачи динамики океана доказано существование обобщенного в слабом смысле решения.

М.А.Бубновым и А.В.Кажиховым [э] получена однозначная разрешимость для основной краевой задачи линейной теории океанической циркуляции.

В.Р.Рапутой [45J рассмотрена задача прогноза погоды на сфере, для исследования которой применялся несколько иной математический аппарат, чем в [14] .

В работах [3] , [14] , [45J теоремы существования для нестационарных нелинейных задач установлены в малом по времени.

А.А.Кордзадзе [23J исследовал единственность решения основных краевых задач динамики атмосферы и океана.

В настоящее время, несмотря на большое число исследований, посвященных изучению корректности краевых и начально-краевых задач термогидродинамики атмосферы и океана, целый ряд вопросов остается открытым. Это в первую очередь относится к пространственным нелинейным моделям.

Как известно, многие уравнения, встречающиеся в математической физике, относятся к так называемым неклассическим уравнениям, поэтому-изучение их представляет значительную трудность ввиду отсутствия общих методов исследования. К таким уравнениям относятся, например, линейные и нелинейные уравнения смешанного типа, уравнения составного типа высокого порядка и другие.

Систематическое изучение линейных задач для неклассических уравнений началось с известных работ Ф.Трикоми [53] и М.В.Келдыша [20]и продолжалось в работах А.В.Бицадзе[5], Г.Фикера [55] , О.А.Олейник, Е.В.Радкевича [38] , М.С.Са-лахитдинова [4б] , А.М.Джураева [is] , Т.Д.Джураева [ 16] , С.А.Терсенова £52] , В.Н.Врагова [II - 13] , Б.А.Бубнова [8] , В.А.Брюханова [б] и других. Обширную библиографию работ в этом направлении можно найти в [4,5,38,46,52] .

К другому циклу исследований можно отнести работы, посвященные изучению нелинейных уравнений неклассического типа - это сравнительно новое направление. Отметим здесь работы Ю.А.Дубинского [l7], [l8j , Ж.Л.Лионса [ЗЗ] , В.Н.Врагова [II] , А.В,Кажихова [19] , Б.А.Бубнова [7] , А.И.Ко-жанова, Н.А.Ларькина, Н.Н.Яненко [22] , [3l] ,[32] , А.Г. Подгаева [41] , С.Г.Пяткова [44] , А.Н.Терехова [5l] , В.В.Хаблова [5б] , Ш.Смагулова [47] и др.

Исследование уравнений Навье-Стокса было начато в работах Ж.Лере [62] , Е.Хопфа [61] . Различные аспекты теории уравнений Навье-Стокса изложены в монографии О.А.Ладыженской [27] .

Однако, до настоящего времени вопрос о том, имеет ли место однозначная разрешимость нв целом", то есть для произвольного конечного промежутка времени, при любых гладких данных задачи и любых размерах области, остается открытым. Е.Хопфом [61] доказано существование "в целом",по крайней мере,одного так называемого "слабого" решения трехмерной начально-краевой задачи, но единственность этого решения не доказана.

Нэшем [64] , В.А.Солонниковым [49] и Тани [65J получены локальные теоремы разрешимости краевых задач для общей модели сжимаемой вязкой жидкости. А.В.Казаковым [19] А%Тани [66J и другими исследовано поведение решений "в целом" по времени только в случае одномерного движения, когда решение зависит лишь от одной пространственной декартовой координаты и от времени.

В работах П.С.Чернигова [57] , Н.К.Коренева [24] исследуется разрешимость краевых задач для свободной конвекции в вязкой несжимаемой жидкости. Методы доказательств, используемые здесь, разработаны в [27J для уравнений гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости.

В.В.Васильевым [ю] установлена однозначная разрешимость первой краевой задачи для системы уравнений конвекции.

Настоящая работа посвящена исследованию вопросов разрешимости, единственности и устойчивости для задач термогидродинамической теории атмосферной конвекции, динамики океана и теории взаимодействия пограничного слоя со свободной атмосферой.

Введем используемые в работе основные обозначения: R - евклидово пространство размерности 77 ; ос (эс^,. ОС^- точка в пространстве R . Через UX[ , Ux.j обозначим производные , „ . LP[D) //}$=/) - простоту aoc{dxy v 7 ранство измеримых функций, суммируемых с р -й степенью в области D , с нормой

ПРИ р = со

II и II = vrai maoc I a (jo) I . "l~(p) OC^D 1 4 "

U!V)01 H^llff- скалярное произведение и норма в пространстве L2(D) соответственно. W2 (р)- пространство (т ^ О) Соболева с нормой и:-LS

D \d\^m где

Da = n О щгф) - подпространство пространства плотным множеством в котором является совокупность всех о бесконечно дифференцируемых функций с носителями в Ю.

I / )

II/II = лSup - норма в негативном пространстве.

-т ueft Ы\т

- пространство (классов) функций : [&/Т]-*- l%m(D), измеримых, принимающих значения из ру^ф) таких, что

Г ^ У^7

Переходим к изложению результатов настоящей работы, которая состоит из двух глав.

В первом параграфе главы I доказывается существование и единственность решения в пространствах С.Л.Соболева одной краевой задачи, возникающей в теории атмосферной конвекции (см. Р.С.Пастушков [39] , Д.К.Лилли [63J ).

В области Q=D*(o,T), где D- {(ps9%)\ Ooc^J, , рассматривается система уравнений:

УГ' - аналог давления.

Система уравнений (0.1) получена путем соответствующих упрощений из уравнений гидротермодинамики атмосферы (см. К.А.Кибель [2l] ). Она применяется для исследования конвективной неустойчивости в вязких жидкостях, а также для изучения конвективных процессов в атмосфере, в частности, терминов (упорядоченные движения типа восходящих струй или всплывающих пузырей теплого воздуха) (см. Р.С. Пастушков СзэЗ , П.Ю.Пушистов, В.М.Мальбахов, С.М.Коно

0.1) ди , дъо ненко [43] , Д.К.1илли[бЗ] ).

Для системы уравнений (0.1) ставится начально-краевая задача. Требуется найти решение системы (0.1) в области Q , удовлетворяющее следующим условиям: при ох ах при z ■= О * (0.2) д% д%

U = ZU= О при эс= / и при #=/ ; to Ж, % ) = 0, (0.3)

Используя метод Галеркина и интерполяционные теоремы в пространствах Соболева, получаются равномерные оценки на приближенные решения, что позволяет установить разрешимость поставленной задачи (0.1), (0.2), (0.3).

Постановки задач термодинамики конвективных процессов в различных формулировках рассматривались в [39] , [43] ,[63] .

Во втором параграфе доказывается разрешимость в целом смешанной задачи для системы уравнений нестационарного осесимметрического движения в цилиндрической системе координат t, % .

В области (О, Т) , где £>= О^&^Т^/, } рассматривается система уравнений: г dt dt dz *o>t дхч где и у XV - компоненты вектора скорости вдоль осей ^ и

Для системы уравнений (0.4) ставится смешанная задача} представляющая только математический'интерес в вопросе о разрешимости "в целом" по времени t .

Смешанная задача. В области QL найти решение системы уравнений (и^тби^яг) (0.4), удовлетворяющее следующим условиям: 0 при дг at т=ди = dfr = 0 при %=0, (0.5) д% 9%

И = tz^ = О при ъ = / и при Z =

0.6)

U 9ё) = ЪО (0,Ъ,%) = О, 1% (Г, Z), где функция г^* удовлетворяет условиям согласования. Методом Галеркина с использованием полученных априорных оценок доказывается теорема существования и единственности решений задачи (0.4), (0.5), (0.6).

Во второй главе исследуется разрешимость краевых задач, возникающих в океанологии и метеорологии.

В первом параграфе рассматривается в области следующее уравнение:

4-AU Ф -jL&U ~ &±Аи-оСи =/, (0.7) at асе ay о у osc

02 02 32 ^ 3 где д = —— + SL— —— € R - ограниченная обдос2 ду2 д%2 9 ласть с гладкой границей ffQ} t ~ время.

Уравнение (0.7) получено из уравнения вихря в квази-геострофическом приближении (см. [54] ) и позволяет определить возмущение давления в океане. Заметим, что квазигео-строфическое приближение описывает важный класс движений в океане с горизонтальными масштабами порядка 100 км, вертикальными масштабами порядка средней глубины океана (4 км), временными масштабами от нескольких суток до десятков суток и характерными горизонтальными скоростями порядка 10 см/сек.

Численные расчеты уравнения (0.7) приведены в работе Иванова Ю.А., Кузина В.И. [2б] , эде,в.частности,коэффициент oL мог быть заменен на любой линейный положительный оператор.

Для уравнения (0.7) ставится начально-краевая задача. Найти решение U {x,y;Z}t) уравнения (0.7) в области Q такое, что u\i.0~u0> и\д-°> «-8> где S-дО. * (0,Т)

Необходимо отметить, что в плоском случае, т.е. когда д*и досг Эуг краевая задача (0.7)- (0.8) исследована в [59] .

Нами исследуется пространственная задача, что вносит определенные трудности при исследовании начально-краевой задачи (0.7)-(0.8). Для задачи (0.7)-(0.8) доказывается теорема существования и единственности. При этом используется метод Галеркина и " S - регуляризации".

В §2 второй главы изучается поведение решения задачи (0.7)-(0.8) при t-^^^y когда и d> О, Доказывается, что при сделанных предположениях решение краевой задачи (0.7)-(0.8) при t-^c><=> стремится к нулю,

В § 3 второй главы доказывается разрешимость одной краевой задачи, возникающей в краткосрочном локальном прогнозе погоды.

В области Q= Dx(o,T)t где D= <[(х,р): О < ос < /, р0-р-рн) рассматривается система уравнений jp/"^ Кк'а(и*+6<и + a(P)U^kx iv '

0.9) hp * О, где - положительная постоянная; s>0 - параметр статистической устойчивости; jU. > О - коэффициент горизонтальной турбулентности; £ - параметр Кориолиса; OLit$i , f 2, J - постоянные; и ,*0, Т - компоненты скорости ветра; - отклонения температуры и геопотенциала от стандартных значений; р - давление; р и р значения давления на нижней и верхней границах тропосферы; ZZ - величина, пропорциональная вертикальному сдвигу ветра зонального потока; (%(р) ~ линейно зависящая от р функция (скорость зонального потока); V - коэффициент вертикальной турбулентности, у £ С »

О при V^O при •

Система уравнений (0.9) получена из полной системы уравнений гидротермодинамики (см. Г.И.Марчук [35]). Такая система может описывать явления типа бриза и бароклинной неустойчивости возмущений» наложенных на зональный поток с вертикальным сдвигом (см. Пушистов П.Ю., Шлычков В.А.

42] ). В [42] на основе системы уравнений (0.9) сформулирована и исследована с помощью численных методов задача о взаимодействии пограничного слоя и свободной атмосферы.

Для системы уравнений (0.9) ставятся две начально-краевые задачи.

Задача I. Найти решение системы уравнений (0.9) в области Q , удовлетворяющее следующим условиям:

Т= /г = и = г) = 7?= О при р=р#

0.11)

Задача 2. Найти решение системы (0.9) в области Q * удовлетворяющее следующим условиям: U v\ = l?\ = М при Х=0(0.12)

It'O \t=a \t~o 7 ' '

U„-О прър=Ро

Надо отметить, что краевые условия в рассматриваемых задачах можно считать однородными, так как,в противном случае, их можно свести к таковым, предполагая достаточную гладкость заданных функций. Такое сведение приведет лишь к изменению заданных правых частей и появлению в уравнениях дополнительных линейных членов, которые не окажут существенного влияния на ход доказательства и окончательные результаты.

Доказывается теорема существования и единственности решения задач (0.9), (0.10), (0,11). При этом используются метод " б - регуляризации" и метод Галеркина.

Следует отметить, что все теоремы, касающиеся разрешимости краевых задач, доказаны без условий малости временного интервала и начальных данных.

Основные результаты диссертации изложены в работах [67 - 71] и докладывались на конференции по теории вырождающихся эллиптических уравнений (г.Улан-Удэ, 1979 г.), на школе-семинаре по уравнениям неклассического типа (г.Новосибирск, 1980, 1981 гг.), на Советско-Венгерском симпозиуме по дифференциальным уравнениям, теории аппроксимации и топологии (г.Новосибирск, 1981 г.), на Всесоюзном семинаре "Некорректные задачи математической физики и анализа" (г.Новосибирск, 1982 г.), на IX Всесоюзной школе "Численные методы динамики вязкой жидкости" (г. Ленинград, 1982 г.), на Всесоюзной школе-семинаре по некорректным задачам математической физики (г.Самарканд, 1983 г.), а также неоднократно обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры теории функций Новосибирского государственного университета и семинаре "Уравнения смешанного типа" Института математики СО АН СССР, руководимом профессором С.А.Терсеновым, на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" Института математики СО АН СССР, руководимом профессором В.Н.Враговым, на семинаре д.ф.-м.н. А.В.Кажихова в Новосибирском государственном университете, на семинаре профессора Ю.Е.Аниконова в ВЦ СО АН СССР, на семинаре по физике атмосферы и океана, руководимом профессором В.В.Пененко, на семинаре отдела гидродинамических методов прогноза погоды ЗапСибНИИ.

Леммы, теоремы и определения занумерованы в диссертации двумя числами. Например, под теоремой 2.1 нужно понимать первую теорему в главе 2. Для формул использована тройная нумерация. Так, формула с номером (2.2.Ю) десятая формула параграфа 2 главы 2.

В заключение, пользуясь возможностью, автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. В.Н.Врагову, к.ф.-м.н. П.Ю.Пушистову и к.ф.-м.н. Б.А.Бубнову за руководство и ценные советы при выполнении работы. Автор признателен также всем участникам семинара "Неклассические уравнения математической физики" под руководством профессора В.Н.Врагова за полезное обсуждение вопросов, затронутых в диссертации.

-<

1. Бабенко К.И. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой сжимаемой жидкостью. - Матем. сб., М.,1973, т. 91 (133), вып. 1.(5), с. 3-26.

2. Белов Ю.Я. Об одной квазилинейной стационарной задаче динамики океана. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1978, т. 9, № 5, с. 13-27.

3. Белов Ю.Я. Об однозначной разрешимости одной задачи течений мирового океана. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1977, т. 8, $ 4,с. 20-33.

4. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1966. 352 с.

5. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981, - 448 с.

6. Брюханов В.А. 0 смешанной задаче для одного уравнения гиперболического типа, вырождающегося на.части границы области. Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, J6 I, с.З-- 6.

7. Бубнов Б.А. Разрешимость в целом нелинейных граничных задач для уравнения Кортевега-Де Фриза в ограниченной области. Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № I,с. 34-41.

8. Бубнов Б.А. Краевые задачи для альтернативного уравнения Кортевега-Де Фриза в ограниченной области. ДАН СССР, 1979, т. 247, ^ 2, с. 272-275.

9. Бубнов М.А., Кажихов А. В. Однозначная разрешимость основной краевой задачи линейной теории океанической циркуляции. ДАН СССР, 1971, т. 198, № 4, с. 801-804.

10. Васильев В.В. Об одной системе, описывающей процесс конвекции в вязкой несжимаемой жидкости. Деп.ВИНИТИ Л 217-79. Деп. - 26 с.

11. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, НГУ, 1983.84 с.

12. Врагов В.Н. Смешанная задача для одного класса гиперболо-параболических уравнений второго порядка. Дифферент уравнения, 1976, т. 12, № I, с. 24-31.

13. Врагов В.Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в пространстве. Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, .Л 6, с. I098-II05.

14. Демидов Г.В., Марчук Г.И. Теорема существования решения задачи краткосрочного прогноза погоды. ДАН СССР, 1966. т. 170, 5, с. 1006-1009.

15. Джураев A.M. Системы уравнений составного типа. М.; Наука, 1972, - 227 с.

16. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанногои смешанно-составного типов. Ташкент.: - ФАН, 1979.238 с.

17. Дубинекий Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. Итоги науки и.техники.: Современные проблемы математики. М., 1976, т.9, с. 5-130.

18. Дубинский Ю.А. Об одной абстрактной теореме и её приложениях к краевым задачам для неклассических уравнений. Матем. сб., т. 79, вып. I, 1963, с. 91-117.

19. Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа. -В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1976, вып. 24, с. 45-61.

20. Келдыш М.В. 0 некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области. Докл. АН СССР, 1951, т. 77, № 2, с. I8I-I83.

21. Кибель И.А. Введение в гидродинамические методы краткосрочного прогноза погоды. Изд. технико-теоретической литературы. - М., 1957, - с. 375.

22. Кожанов А.И., Ларькин Н.А., Яненко Н.Н. Смешанная задача для некоторых классов уравнений третьего порядка: Препринт № 5, Новосибирск, 1980, 36, - В надзаг: ИТ и ЕМ СО АН СССР.

23. Кордзадзе А.А. Математические вопросы решения задач динамики океана. Новосибирск, 1982. - 148 с. (СО АН СССР, ВЦ).

24. Коренев Н.К. 0 некоторых задачах конвекции в вязкой несжимаемой жидкости. Вестник Ленинградского университета, 1971, т. 7, вып. 2, с. 29-39.

25. Кочерглн В.П. Теория и методы расчета океанических течений. М.: Наука, 1978, - 128 с.

26. Иванов Ю.А., Кузин В.И. Модель трансформации нелинейного бароклинного вихря в открытом океане. Изв. АН СССР, сер. ФАО, 1983, т. 19, № 6, с. 646-652.

27. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., -Наука, 1970. - 288 с.

28. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., - Наука, 1973. - 408 с.

29. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., - Наука, 1967. - 736 с.

30. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., -Наука, 1973, - 576 с.

31. Ларькин Н.А. Краевые задачи в целом для одного класса гиперболических уравнений. Сиб.мат. ж., 1977, т.18, №6, с. I4I4-I4I9.

32. Ларькин Н.А. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений, имеющих решения в целом. ДАН СССР, 1979, т. 244, № I, с. 38-41.

33. Лионе К.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.: М., Мир, 1972, - 587 с.

34. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: М., Мир, 1971, - 372 с.

35. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л., Гидрометеоиздат, 1967, - 356 с.

36. Марчук Г.И. Численное решение задачи динамики атмосферы и океана. Л., Гидрометеоиздат, 1974. - 303 с.

37. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973. - 352 с.

38. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Математический анализ, 1969. Сер. Итоги науки, М., 1971.

39. Пастушков Р.С. Численное моделирование взаимодействия конвективных облаков с окружающей их атмосферой. М.: Гидрометеоиздат, 1972, вып. 108.

40. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. Л., Гидрометеоиздат, 1981. - 352 с.

41. Подгаев А.Г. О некоторых корректных задачах для уравнений переменного типа. В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1982, вып. 55, с. 143-153.

42. Пушистов П.Ю., Шлычков В.А. О взаимодействии средне-масштабных возмущений пограничного слоя и свободной атмосферы. Изв. АН СССР, ФАО, В 12, 1979, с. 1244-1253.

43. Пушистов П.Ю., Мальбахов В.М., Кононенко С.М., Васкевич Л.А. Численная модель конвекции с образованием и развитием кучевых облаков. Изв. АН СССР, ФАО, 198, т. 16, № I, с. 3-10.

44. Пятков С.Г. Об одном уравнении составного типа. Дифферент уравнения, 1980, т. 16, J& I, с. II7-I23,

45. Рапута В.Ф. Задача прогноза погоды на сфере с учетом горизонтальной турбулентности. В сб. Вычислительные методы и программирование, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1975, с. 135-149.

46. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа.- Ташкент: ФАН: 1974. 156 с.

47. Алмабаев Д.Ж., Смагулов Ш., Чалгынбаев К.Д. Теорема существования и аппроксимация одной модели динамики океана.- Новосибирск, Препринт, Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР, 1981.

48. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск, СО АН СССР, 1962.

49. Солонников В.А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости. Записки научных семинаров Ленинградского отделения Матем. института АН СССР, 1976, т. 56. 128 с.

50. Сухоносов В.И. 0 разрешимости в целом трехмерной задачи динамики атмосферы. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1980, т. II, № 4.

51. Терехов А.Н. 0 некоторых задачах для нелинейного уравнения составного типа. Новосибирск, Препринт Института математики СО АН СССР, 1980.

52. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск, Н1У, 1973, - 144 с.

53. Трикоми Ф. 0 линейных уравнениях смешанного типа. Гос-техиздат, 1947.

54. Физика океана. Гидродинамика океана. М.: Наука,1978, т.2. - 329 с. (Под редакции В.Ш.Каменкович, А.С.Монин).

55. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка: Сб. переводов. Математика, 1963, т. 7, № 6, с. 99-121.

56. Хаблов В.В. 0 некоторых корректных постановках граничных задач для уравнения Кортевега-Де Фриза. Новосибирск, Препринт, Института математики СО АН СССР, 1979.

57. Черняков П.С. 0 нестационарной свободной конвекции в ограниченной области. Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 1966, т. 6, № 2, с. 288-303.

58. Щцович В.И. Некоторые оценки решений эллиптических уравнений. -Мат. сб., 1962, т. 59 (101), с. 229-244.

59. Юдович В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости. Ж. Вычисл. мат. и мат. физики, 1963, т. 3, № 6, с. 1032-1036.

60. Agmon S., Douglis А., Hirenberg Ь. Estimates near boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, I, Comm.Pure Appl.Math., 12 (1959), 623-727; II, id., 17 (1964), 35-92.

61. Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe fur die hydrody-namischen Grundgleichungen. Math.Nachxich.ten, 1951, 4, 213-231.

62. Leray J. Etude de diverses integrales non lineaires et de queques problemes que posent l'hydrodynamique, J.Math.Pures Appl., XII (1933), 1-82 pp.

63. Lilly D.K. On the Numerical Simulation of Buoyant Convection. Tellus, 1962, 14, No 2.

64. Nash J. Le probleme de Cauchy pour les equations dif-ferentielles d'un fluide general. Bulletin de la Societe Mathematique de Prance, 1962, 90, 4, 487-497.

65. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion. Publ.Res. Inst.Math.Sci., 1977, 13, 1, 193-253.

66. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation. Publ.Res.Inst. Math.Sci., 1974, 10, 1, 209-233.

67. Алиев К.И. 0 разрешимости одной краевой задачи, возникающей в теории конвекции. Дифференц. уравнения,1980, т.16, № I, с. 13-19.

68. Алиев К.И., Пушистов П.Ю. О разрешимости в целом одной краевой задачи, возникающей в теории конвекции. В сб.: Корректные краевые задачи для уравнения математической физики, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1980, с. 12-20.

69. Алиев К.И. Разрешимость одной краевой задачи, возникающей в океанологии. В сб.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1981, с. 9-13.

70. Алиев К.И. Разрешимость одной краевой задачи, возникающей в краткосрочном,локальном прогнозе погоды. В сб.: Неклассические задачи уравнений математической физики, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1982, с. 7-10.