О решении некоторых задач динамики океана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

О решении некоторых задач динамики океана

01.01.07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

Друца Алексей Валерьевич

1 5ДЕН20Л

Москва, 2011

005006120

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

■ ■•..!. Кобельков Георгий Михайлович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация:

Национальный, исследовательский университет «Московский энергетический институт»

Защита состоится 28 декабря 2011 года в 1С ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.1G при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП 1, Ленинские горы, д. 1, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автореферат разослан «28» ноября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.16 доктор физико-математических паук,

профессор

Залесный Владимир Борисович доктор физико-математических паук, профессор

Кузнецов Евгений Борисович

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Мировой океан является одним из основных факторов, влияющих на климат Земли. Для изучения такого влияния проводятся математические и физические исследования трехмерных моделей циркуляции океана. Данные исследования относятся к наиболее крупным и важным задачам математического моделирования геофизических процессов. Модели океана, наравне с моделями атмосферы, составляют основу изучения и решения задач краткосрочного прогноза погоды, долгосрочного изменения климата, а также моделирования развития катастроф как природного характера (цунами и др.), так и техногенного характера (разлив нефти и нефтепродуктов и др.)

Общепринято считать, что океан является слабо сжимаемой жидкостью, па которую действует сила Кориолиса. Основными величинами, описывающими движение и состояние океана, являются поле скоростей, температура, соленость, давление н плотность воды. Полная система уравнений, описывающая поведение данных величин, состоит из основных уравнений сжимаемой жидкости, на которую действует сила Кориолиса. Однако такая модель является чрезвычайно сложной как с точки зрения математического изучения, так и с вычислительной точки зрения. Как правило, во всех теоретических и практических исследованиях реальных физических систем всегда стараются сделать упрощающие предположения для передачи сути явления. Модель, описывающая крупномасштабную динамику океана, получается из трехмерной системы уравнений Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости путем упрощения уравнения для вертикальной компоненты скорости и введения уравнения для плотности (уравнений для температуры и солености). Это упрощение (называемое гидростатическим приближением) делается в силу того, что в масштабе океана вертикальные и горизонтальные характерные линейные размеры существенно отличаются друг от друга (десятки километров против тысяч километров). Система таких

уравнений получила название система примитивных уравнений (англ. Primitive Equations).

Исследование этой модели ведется не один десяток лет. За это время было доказано существование решения «в малом»: было показано, что для любого коэффициента вязкости, любых достаточно гладких начальных условий существует интервал времени, на котором существует решение, причем интервал времени зависит от исходных данных задачи1. Помимо этого, было доказано существование решения «в целом» (для произвольного отрезка времени [О,Т]) при дополнительных предположениях о пространственной области2. Однако получить окончательное обоснование корректности системы примитивных уравнений долгое время не удавалось. За последнее десятилетие в этом направлении математических исследований наиболее значимым шагом вперед стала работа Г.М. Кобелькова3, в которой было доказано существование «в целом» и единственность обобщенного решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана в цилиндре над евклидовой плоской областью без специальных предположений о малости исходных данных задачи.

Данное доказательство ведется широко известным методом, суть которого заключается в получении некоторых априорных оценок решения дифференциальных уравнений (аналогичный метод был применен в работе Е.С. Тити4). Большая часть данных оценок получается из так называемых энергетических тождеств. В то же время обойтись только стандартными методами, применяемыми в линейных уравнениях, ие удастся. Так в случае трехмерных уравнений Навье-Стокса, из которых получаются уравнения крупномасштабной циркуляции океана, вопрос коррект-

'R.Ttemam. M.Ziane, Some mathematical problems in geophysical fluid dynamics. Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, vol. 3, S. Frielander and D. Serr Eds, Elsevier, pp. 535-G58, 2004.

2J.L.Lions, R.Temam, S.Wang, On the equations of the large-scale ocean, Nonlinearity, 5, pp. 10071053, 19Я2.

3G.M.Kobelkov, Existence of a solution "in the large" for ocean dynamics equations, J. math, fluid mcch., 9, pp. 588 C10, 2007.

4C.Cao, E.S.Titi, Global well-posedness of the three-dimensional viscous primitive equations of large scale ocean and atmosphere dynamics, Annals of Mathematics, 166(1), pp. 245-267, 2007.

иости до сих пор остается одной из главных открытых проблем математики XX века. Однако, в отличие от уравнений Навье-Стокса, примитивные уравнения имеют более простую структуру в вертикальном направлении. Данный факт используется в доказательстве, где удается получить дополнительные оценки для производных решения в вертикальном направлении. Кроме того, для доказательства априорной оценки давления данный факт позволил применить новую технику, ранее не применяемую для получения подобных результатов.

В работах, опубликованных ранее в литературе, исследовались примитивные уравнения, которые описывают циркуляцию океана, расположенного над плоскостью. В то же время Мировой океан имеет непостоянную глубину и располагается па Земном шаре, а все уравнения, описывающие его динамику, рассматриваются на этой поверхности. Поэтому с практической точки зрения более важным является изучение модели крупномасштабной динамики океана на таких поверхностях. Обобщение доказательства теоремы существования «в целом» и единственности для примитивных уравнений на случай более широкого класса областей являлось центральной задачей диссертации. В результате данная задача в целом решена: удалось получить положительные результаты для уравнений описывающих, крупномасштабную динамику океана как в области, являющейся цилиндром над двумерным многообразием, так и в евклидовой области с неровным дном. Следует отметить, что параллельно с результатами данной диссертации расширение класса областей на случай неровного дна было также рассмотрено в работе И. Кукавицы5. Однако в работе И. Кукавицы на боковой границе области рассматривались граничные условия непротекания и прилипания, в то время как в данной работе исследовались краевые условия непротекания и свободного скольжения.

В работе Г.М. Кобелькова доказательство априорных оценок, как

■''I.Kuknviai, M.Ziaue, On the Tvyidujily of the. primitive, equations of the. oa:un. NonliiKütrity, 2Ü, pp. 2739-2753, 2007.

упоминалось ранее, существенно опирается на простую структуру примитивных уравнений в вертикальном направлении, кроме того, также существенно используется простота области в вертикальном направлении: область определения уравнений является цилиндром над двумерной плоской областью с некоторыми условиями регулярности. Это означает, что вопрос существования «в целом» и единственности решения уравнений крупномасштабной динамики океана в областях другого вида не является очевидным. Так, при исследовании этой задачи в области с неровным дном не удается доказать теорему существования и единственности, используя впрямую эту технику. Поэтому потребовалось несколько изменить постановку задачи. А именно, в системе уравнений делается замена вертикальной переменной так, чтобы в новых координатах (так называемой а-системе, координат(') пространственная область имела вид цилиндра (данная операция оправдала также с точки зрения численного решения задачи). В результате модифицируются исходные уравнения и, в частности, в присутствующем в них операторе диффузии появляются смешанные производные. Их наличие существенно препятствует как получению результатов о существовании решения системы, так и построению численных методов решения задачи. Поскольку с точки зрения геофизики данные слагаемые не оказывают значимого влияния на соответствие модели реальным природным явлениям, в итоговой модели, описывающей динамику океана в области с неровным дном, смешанные производные отсутствуют7. Такая модель реализована в настоящее время на ЭВМ в ИВМ РАН8. Кроме того, описанное изменение модели показывает, что обобщение результатов работы

6 V.B. Zalesny, Mathematical model of sea dynamics in a a-coordinate system, Russ. J. Numcr. Aual. Math. Modelling, V. 20, N. 1, pp. 97-113, 2005.

7см. примечание 6 на стр. 4

*GX Marchuk, A.S. Rusakov. V.B.Zalesnv, and N.A Diansky, Splitting Numerical Technique urith Application to the. Hiijh Resolution Simulation of the Indian Ocean Circulation, Pure appl. Geophys., V. 162, pp. 1407-1429, DOI 10.1007/s00024-005-2G77-8, 2005.; а также см. примечание 6 lia стр. 4

Г.М. Кобелькова9 на случай областей более общего вида не является очевидной процедурой, что является мотивацией для исследования модели, описывающей крупномасштабную динамику океана в цилиндре над двумерным многообразием, где данная техника с небольшими изменениями дала положительный результат.

Другим направлением исследований по теме диссертации являлось обоснование корректности разностных схем для уравнений динамики океана. Вопрос сходимости решений разностной задачи к решению дифференциальной является одним из ключевых в обосновании корректности исследуемой разностной схемы. Несмотря на то, что для многих задач математической физики вопрос сходимости аппроксимирующих их разностных схем детально изучен и соответствующая техника исследований разработана, для уравнений крупномасштабной динамики океана эта проблема оставалась открытой на протяжении нескольких десятков лет. При этом численные методы активно применялись при решении практических задач моделирования динамики океана. Следует отметить, что в литературе имеется единственная10 подобная попытка обоснования корректности разностных схем, по для уравнений динамики атмосферы, которые близки по своей структуре к примитивным уравнениям, при этом накладывались дополнительные условия на решение. Трудность исследования сходимости разностных схем для задачи динамики океана заключалась, прежде всего, в отсутствии соответствующих оценок решения как разностной схемы, так и исходной дифференциальной задачи. Отметим, что данная проблема распространяется также и на многие другие методы дискретизации примитивных уравнений, в частности, на конечно-элементные схемы.

В настоящей работе была исследована конечно-разностная схема, которая аппроксимирует примитивные уравнения со вторым порядком по

9см. примечание 3 на стр. 2

Об одной рмностиой сх<ме Ли» системы у]хюнспий д-инамики атмосферы, Востиик Моск.Университета. Серия: Вычислительная математика и кибернетика, с.1-1-22, 1988.

пространственным переменным. Для решений данного типа схем была доказана сходимость к решению дифференциальной задачи при естественном предположении гладкости решения исходной задачи. Немаловажно отметить, что при доказательстве сходимости использовалась техника, примененная в настоящей работе при изучении систем уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразиях и в областях с неровным дном.

Все выше сказанное обуславливает актуальность исследований, проведенных в настоящей работе.

Цели работы

1. доказать существование и единственность решения уравнений крупномасштабной динамики океана в сферической геометрии;

2. доказать существование и единственность решения уравнений крупномасштабной динамики океана в областях с переменным дном;

3. исследовать сходимость конечно-разностных схем, аппроксимирующих уравнения крупномасштабной динамики океана.

Научная новизна. В диссертационной работе:

1. Доказаны теоремы существования «в целом» и единственности решений систем уравнений крупномасштабной динамики океана в области, являющейся цилиндром над двумерным многообразием, а также в евклидовой области с неровным дном. Данные теоремы являются нетривиальным обобщением результатов, полученных для этих уравнений в области — цилиндре над плоскостью, поскольку, к примеру, формальное использование данной методики для примитивных уравнений с переменным дном, не позволяет доказать теорему существования и единственности; это требует изменения постановки задачи.

2. Доказана теорема о сходимости решений разностной схемы, аппроксимирующей уравнения крупномасштабной динамики океана, к решению дифференциальной задачи с порядком 0(r+h^2). Для уравнений крупномасштабной динамики океана эта задача являлась открытой на протяжении нескольких десятков лет, несмотря на то, что численные методы активно применялись при решении практических задач. Трудность рассматриваемой задачи состояла в том, что не была доказана теорема существования и единственности для дифференциальной задачи, а, значит, отсутствовали подходящие априорные оценки.

Научная и практическая значимость работы. Все результаты, полученные в диссертационной работе, имеют теоретический характер и восполняют имевшиеся пробелы как в теории уравнений динамики океана, так и в теории численных методов решения этих уравнений.

Методы исследований. При получении результатов диссертационной работы была использована методика построения энергетических неравенств для уравнений типа Навье-Стокса, развитая в работах СЛ. Соболева, O.A. Ладыженской, Р. Темама. Г.М. Кобелькова. Кроме того, были применены методы дифференциальной геометрии, тензорного анализа, методы анализа разностных схем, а также были проведены численные эксперименты.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на следующих научных конференциях:

• на международных конференциях молодых ученых «Ломоносов» 2009, 2010 и 2011 годов;

• на международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» в 2010 году;

• па V-oii международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» в 2011 года.

а также неоднократно докладывались и обсуждались на следующих научно-исследовательских семинарах:

• на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н. профессора Г.М. Кобелько-ва (неоднократно в 2008—2011 годах);

• на научно-исследовательском семинаре ИВМ РАН «Вычислительная математика, математическая физика, управление» под руководством д.ф.-м.н. профессора Г.М. Кобелькова, д.ф.-м.н. профессора A.B. Фурсикова (неоднократно в 2009—2011 годах).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание степени доктора и кандидата наук» [1-3].

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка литературы. Список литературы включает 25 наименований. Объём диссертации составляет 144 страницы.

Содержание диссертации

Первая глава диссертации посвящена исследованию системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области, представляющей собой «цилиндр» над произвольным двумерным гладким ориентированным римановым многообразием. Рассматривается цилиндр по времени

Qt = fi x [0,T], где П = Q' x [-/¡,0], h = const, П' — компактно вкладывающаяся область двумерного гладкого ориентированного риманово-го многообразия М. с границей, состоящей из конечного числа гладких дуг, пересекающихся под ненулевыми углами. Граница dil разбита на две части: S = дП' х [0,1] — боковую поверхность и Si — П' х {0, —Л} — основания цилиндра П.

Пусть и 6 ТМ — двумерный вектор горизонтальных компонент скорости, w — вертикальная компонента вектора скорости, а р и р — давление и плотность соответственно, тогда система уравнений крупномасштабной динамики океана в упрощённой форме (см. работы Е.С. Тити11,

Г.М. Кобелькова12, Р. Темама13) имеет следующий вид:

3tu - pV2u - vd;u + V„u + wdzu + txx + 7Vp = 0, (1)

d:p = ~P9, div u + dzu; = 0, (2)

dtp - щ Ар- щ д2гр + Vu p + wdzp = 0, (3)

где /¿, i>, Hi, i>\, 7, g > 0 — вещественные константы, £ — линейный ограниченный оператор над касательным расслоением ТМ (тензор типа (1,1)). Система уравнений дополняется следующими граничными14 и начальными условиями

и • п = 0, V„u х п = 0, VDp = 0 на S, (4)

W = 0, &u = 0, dzp = О на Si (5)

о

u(0) = и0, р(0) = р0, J divuod-г = 0. (6)

-л

lit:M. примечание 4 па стр. 2

12см. примечание 3 на стр. 2

13 Тстагп R,, MiranvUlc .4. Mathematical Modeling in Continuum Mechanics /,/ Cambridge University Press, 2005.

14B условиях n обозначает вектор нормали к границе Q', a оператор а X b = Е^а'У, где EtJ дискришшаитиый тензор (тешор Левн-Чивита)

Здесь обозначения с1Ь', V, Д, V2 соответствуют двумерным дифференциальным операторам на многообразии М; V,, — оператор ковариант-1юго дифференцирования вдоль вектора и. Для удобства используется обозначение для трехмерного градиента Уз = (V, <9*).

В предположении существования достаточно гладкого решения последовательно выводятся ниже приведенные априорные15 оценки16, доказательства которых основываются на скалярном умножении уравнений (3) и (1) на (? и и, соответственно.

Г

ш ||р(*)||4 < С, I ||/»У3р||а <14 4 С, тах ||Э,р(«)||4 с. о

т

тах ||и(4)|| < с, [ (||Узи||2 + \\w\f2 + ||0,т«||2) <И < с.

J

о

Для доказательства более сильных априорных оценок необходимо получить специальную оценку для функции давления р. Для ее вывода используется представление р в виде р — р\ + Р21 где

о

Р1{М)= I р{М,г) йг, МеП'.

-к

Из скалярного произведения первого уравнения системы (1)—(3) с У(Д)-1Р1 после, некоторых преобразований следует неравенство

1!А ЦОМ1'2 + ||г/|Г) (П11/2 + 1) + 1]. вде 1/ = и2.

Последняя оценка позволяет получить следующие оценки, в частио-

15Буква с обозначает в неравенствах положительные константы, которые не зависят от функций, участвующих в этих неравенствах, но зависят от длины интервала времени Г, формы области Н и норм начальных условий. Причем чаще всего рачные константы будут обозначаться одной и той же буквой, если это не оудот вводить в заблуждение

'"Здесь и далее норма || • ||, = || • Цг.,(!1), а норма || ■ || 5 || • ||2

сти оценку и в норме Ь4(£1):

т

т^И^с, I ||иУ3и||2^

- .. < с.

о

т

......

о о

Далее выводятся априорные оценки для Э.и и д2р:

1 1

1

ш ||д;и(0||4 ^ с, J ца2иУ;!а2и||2 аг < с,

о т

о

Для их доказательства используется свойство цилиндричности области £2 вдоль оси переменного г, которое позволяет продифференцировать по г систему уравнений (1)—(3) и краевые условия (4), получив при этом систему уравнений, имеющую структуру, сходную с первоначальной системой уравнений.

Последними из априорных оценок доказываются оценки для деи и дip, вывод которых основан на дифференцировании но í системы уравнений (1)—(3) и краевых условий (4)—(5):

т т

УII У3и(||2с1^с, |||Узл||2

т т

.„ !<1г < с.

о о

Полученные априорные оценки позволяют доказать существование и единственность решения системы (1)—(6). Сначала для уравнений (1)— (6) вводится понятие обобщенного решения (и, р), после чего доказывается следующая теорема, являющаяся результатом первой главы.

Теорема 1. Пусть u0 € W|(n), ро^€ М''22(П), u0,po удовлетворяют граничным условиям (4)~(6) и J divuodz = 0. Тогда для любых > 0 и произвольного Т > 0 задача (1)-(3), U)~(6) имеет единственное обобщенное, решение (и, р) на Qt, причем

и2, (<9.и)2, uV3u, dzuV:i(Ozu), ut, V3ut 6 L2(Qt)

■и норма HVsujl непрерывна no t.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области с неровным дном. Данная система моделирует океан, который расположен на плоскости и имеет непостоянную глубину. Вначале рассматриваются стандартные примитивные уравнения (1)—(3) над плоскостью17 в области Ü = {(ж, у, z) | {х,у) е ü\z е [0,Н{х,у)}}, где Н{х,у) в С2(П') - глубина, зависящая от координат и удовлетворяющая соотношениям

В данных уравнениях делается замена переменных э = г/Н(х,у), выравнивающих дно области. Поскольку влияние смешанных частных производных и первой производной в преобразованном операторе Лапласа на соответствие модели реальным явлениям природы малозначительно18, то в рассматриваемой модели они не учитываются. Таким образом, новая изучаемая система уравнений для такой модели рассматривается в цилиндрической области П = О! х [0,1] и имеет следующий вид:

Ни, - г/ЯДи + Ж и + ЯУр + Яи • Уи + иДи - зрУН = 0, (8)

Я, ^ Н(х, у) ^ Н0 > 0 V(®, у) е П'.

(7)

р, — -Ндр, сйу(Яи) + d3w - О, Hpt - щНАр + Яи • Vp + wdap = 0,

(9)

(10)

"при М = R2

18см. примечание 8 на стр. 4

где v,v\ > 0 — константы. £и = —щ), и = const, — кососиммет-рнчный линейный оператор, w — из — sHxii\ — sHyU2 — измененная вертикальная составляющая вектора скорости19, Д = Д + ds(Ads) — измененный оператор Лапласа, в котором А — H~2(l + H^s2 + ff^s2).

Для замыкания системы уравнений ставятся следующие краевые и начальные условия

u-n = ^xn = 0 на S, (И)

an

du

го = 0, — = 0 на Su (12)

on

^ = 0 на dtt, (13)

дп

1

u(0) = uo, J div(Fu0) ds = 0, р(0) = р0. (14)

о

Далее, по аналогии с первой главой, выводятся априорные оценки решения примитивных уравнений, которые лежат в основе доказательств существования и единственности. Среди данных оценок (аналогичных тем, что получены в первой главе) наиболее важными являются оценки норм ||jo||i4(n), max* ||u||Ll(n), max, ||uÄ||L2(n), max* \\ра\\ь2(п), max« |Н]МП), max( \\pt\\L.,{n)- Их доказательство занимает значительную часть всей главы. При наличии указанных оценок доказательство существования и единственности проводится относительно стандартными методами. Таким образом, во второй главе доказана следующая теорема

Теорема 2. Пусть Uo 6 W|(0), p« € IV^fi), uo>Po удовлетворяют

1

граничным условиям (11)~(13) и Jdiv(#uo)ds = 0. Тогда дл.

о

и, V\ > 0, любой глубины Н € C2(Q'), удовлетворяющей условиям (7), и произвольного Т > 0 задача (8)—(10), (11)—(Ц) имеет единственное

>ля люоых

здесь к,! — третья компонента вектора скорости, обозначаемая через в первой главе

обобщенное решение (и, р) на Qt, причем

и2, и;, (и2)*, (и2)*, иь и(1- € L2(Qr) и норма ||ui3;|| непрерывна по t.

Третья глава диссертации содержит исследование неявной линеаризованной разностной схемы, которая аппроксимирует систему уравнений крупномасштабной динамики океана в единичном кубе со вторым порядком по пространственным переменным на сетках, аналогичных сеткам Лебедева20, которые используются в практических расчетах. При помощи техники работы Г.М. Кобелькова21 для данной схемы получены априорные оценки решения, а также доказана корректность задачи. В частности, доказана сходимость решений дискретных задач к решению дифференциальной задачи.

Обоснование скорости сходимости разностной схемы проводится для случая, когда область пространственных переменных f2 является единичным кубом. Для удобства части границы области S1 обозначаются следующим образом: Ei и Е2 — это части 5, перпендикулярные направлениям х и z, соответственно, а £з = 5ь

Путем разбиения области Qt на М+1 временной слой вводится стандартная равномерная сетка по времени с шагом г - Т/А/. Сетка по времени обозначается через Т = {тт\т <Е [О, М) Л Z}, f = Т U {Т}. Для построения сетки по пространственным переменным область Q равномерно разбивается на iV:i кубов со стороной h, где h = 1/Ar. Pix вершины будут образовывать узлы

ПА = {х = (ih,jh,kh) | 0 s£ i,j,k ^ N}.

Через к = 1,2,3, обозначается сеточная область, полученная сдвигом Qh в направлениях I к на /г/2 и добавлением узлов так, чтобы Ükh

20В.И.Лебедев, Метод конечных сеток для уравнений типа С.Л.Соболева, ДАН СССР, т.Ш, №6, с.1166-1169,1957.

21см. примечание У на стр. 2

была симметрична относительно центра П 22. Кроме того, вводится еще одна сеточная область

О,, = {а- = (гН + /г/2, + й/2, кк + Л/2) | - 1 < г, к < Л'},

которая содержит центры кубов сетки Пл. Г2£, & = 1,2,3, и О/, обозначают внутренние узлы сеток к = 1,2,3 и 0/,, соответственно. Граничные узлы сетки Г2£, А: = 1,2,3, обозначаются через для каждого I — 1,2,3. Через Г^, обозначается сеточная граница, полученная сдвигом Е^ в направлении центра Г2 па /г/2 для каждой грани. Вся вышеописанная совокупность сеточных областей и границ, построенных в четырехмерном пространстве, обозначается через <5д/Т-

Скалярная сеточная функция р определяется в узлах йи, а сеточная функция являющаяся к-й компонентой вектор-функции и = (щ,и2, из), определяется на к = 1,2,3. При этом, если и обозначает трехмерное векторное ноле, то двумерное векторное поле, образованное первыми двумя компонентами и, обозначается через и = («г, иг).

Далее вводится оператор усреднения в направлении г. Пусть 4" — некоторая скалярная сеточная функция, определенная на какой-либо равномерной сетке Ед (£7/,, 0^,...). Через [(]1( обозначается оператор усреднения (,' со значением23 на сетке, смещенной на Л/2 относительно 3/, параллельно оси переменной ж*.

Разностные сеточные операторы градиента, дивергенции и Лапласа в данной главе обозначаются через V, сН\г и Д, соответственно (как соответствующие дифференциальные аналоги), и определяются естественным образом (см., например, работу В.И. Лебедева24). Операторы, действующие только в горизонтальной плоскости переменного .т', обозначаются25 через V', сИу' и Д'. Помимо вышеперечисленных аипроксима-

22в Пд входят центры граней кубов сетки 12/,, параллельных границе к — 1,2,3

23значение [С!Г1 в узле новой сетки равно среднему арифметическому значений С в двух ближайших узлах вдоль направления г

24см. примечаний 20 на стр. 14

25некоторые обозначения третьей главы не совпадают с обозначения.ии предыдущих глав

ций дифференциальных операторов векторного анализа используются разностные аналоги ковариантиого дифференцирования. Для этой цели вводятся нелинейные операторы

М (и, р) = [и ■ V;;] и Я {и, v) = ( [[и],, • Vvi], [[и]«, • Vi*

С учетом введенных выше обозначений неявная разностная схема для уравнений динамики океана принимает вид

Ut-v&ü+M(u,ü)+Cü + V'p = Q на х fij х Т, (15)

V.p + д[г]г = 0 на х f, divu = 0 на Uh х f,

(16)

r> — uiAf + -M(u, f) — 0 на üh х Т. (17)

Эти уравнения дополняются следующими граничными

Uk = 0, У^г = 0 на Ejy,, fc=.1,2,3, (18)

ViU-s-i = 0 на VsUi = 0 на ГЗЛ, г = 1,2 (19)

и начальными условиями

u(x,0) = uo{x) = Uo{x)+5Uo{x) на г(х,0) = Rq(x) на 0Л;

(20)

N

здесь 6Щ(х) - 0(1г2) выбрана таким образом, чтобы £ div 'и(х', nh, 0) =

тг—0

0. При этом использовались обозначения

и = ит = и{х, тт), ü = um+\ иТ = (й - и)/т.

Вначале для сеточной задачи доказываются априорные оценки. Трудность в обосновании сходимости разностной схемы, по сравнению с дифференциальным случаем, состоит в том, что равенство (u*«jIk, |«j|7«j) = 0, j = 1,2, справедливое при любом 7 > -1 в дифференциальном случае, в сеточном случае имеет место только при 7 = 0. Это существенным образом затрудняет получение оценок в сеточных нормах Ьч.

1

Из скалярного произведения уравнения (17) с 2тг после стандартных преобразований следуют оценки26

лг

шах 1П1 < ||го||, Г £ И^Н3 < с||го||. (21)

Из первого неравенства (21) и второго и третьего уравнений системы (15)—(17) выводятся

^НУ^Ис, ||«зКс|М|.

Аналогично из скалярного произведения уравнения (15) с 2тй следует справедливость неравенств

м

тиНЛ^с, (22)

т=О

С использованием вышеприведенных оценок доказывается сходимость разностной схемы. Пусть (и, Р, Л) — сужение решения (1)—(6) на сетку Я'м , а (и,р,г) — решение разностной задачи (15)—(20). Тогда ошибка (V, д, р) = (и — и, Р — р, Я — г) будет удовлетворять следующей системе уравнений:

г;т - 1/ДО + ЛГ(и, 0) + ЛГ(у, й) + № + У<? = (р, (23)

Ч*Я + 9\р]* = Ф> (Иуу = £, (24)

рт -ихЛр + М(и, /5) + В) = 7). (25)

«* = 0, ЪР = 0{Ь?) па А; = 1,2,3, (26)

^«з-« = 0{И2) на Г^, = 0(/12) на Г\,„ г = 1,2,

(27)

г;(а:,0) = би0{х), р(ж,0)=0, (28)

Здесь и далее, в отличие от предыдущих глав, норма || • ¡| обозначает сеточный аналог нормы

• 1к9(П)5 в константы с кроме всего прочего не зависят от шагов сетки г и Ь.

где у = 0{Ь2 + г), ф = 0(/г2), £ = 0{Ь?) пт} = 0(Л2 + т).

Для доказательства сходимости необходимо получить оценку ошибки

для функции давления. Для этого q представляется в виде ч = qí+qz, где n

91 = <7х(ж', 4) и £ <72 п1г, Ь) - 0, Уж', У£ 6 Т. После некоторых нреобра-«=о

зований скалярное произведение уравнения (23) с У(Д') 51 позволяет получить оценку

||(/||2 + 'р||)(Ы1 + 1) + |Ы1 + ||«|| + ||р|| + г + Л3/3).

Из скалярного произведения уравнения (23) с 2ту, а уравнения (25) с 2тг выводится оценка

1К'1|2 + 11р||2 + 'гс2|К'.1;||2 ^ (1 + сг) ^||г|||2 + ||р||2+||1'1||2-1-^4||их||2+/г3+г2^.

Отсюда и из неравенства (22) следует оценка

м

шах (|К'Ц2 + || Л12) + сгУ, 1К11* < ^{т2 + /г3).

т=О

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть решение, исходной задачи (1)—(6) шкет четвертые ограниченные производные. Тогда решение разностной схемы (15)— (20) сходится к решению (1)—(6) с порядком

Порядок скорости сходимости /г3/2 принципиально обусловлен оценкой погрешности аппроксимации краевых условий (4) и (5). При получении данной оценки возникает необходимость оценить нормы на границе сетки через нормы но всей сетке, что приводит к понижению показателя степени И па 1/2.

Приложение А содержит подробное описание проведенных автором численных экспериментов, результаты которых полностью согласуются с доказанным утверждением о сходимости. Более того, из данных экспериментов следует, что порядок 3/2 сходимости по пространственным переменным не может быть улучшен.

Основные результаты, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Доказана теорема существования «в целом» и единственности решения для системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области, представляющей собой «цилиндр» над произвольным двумерным гладким ориентированным римановым многообразием. Получены априорные оценки для решения данной системы.

2. Доказана теорема существования «в целом» и единственности решения для системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области с неровным дном. Получены априорные оценки для решения данной системы.

3. Для разностной схемы, аппроксимирующей уравнения крупномасштабной динамики океана в единичном кубе со вторым порядком по пространственным переменным, доказана сходимость к решению дифференциальной задачи с порядком 0(т + Проведены численные эксперименты, результаты которых согласуются с данным теоретическим результатом.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Георгию Михайловичу Кобелькову, за постановки задач, за помощь и поддержку на протяжении всей научно-исследовательской деятельности. Автор также выражает глубокую благодарность академику РАН Валентину Павловичу Дымникову за постановку задачи о сходимости разностных схем для примитивных уравнений и плодотворные обсуждения получаемых результатов. Кроме того, автор выражает благодарность ведущему научному сотруднику Института вычислительной математики РАН Владимиру Борисовичу Залесному за постановку задачи о примитивных уравнениях в области с

неровным дном и на сфере, плодотворные консультации и обсуждения результатов. Автор также выражает благодарность всем сотрудникам кафедры вычислительной математики Механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Список публикаций по теме диссертации

1. A.V.Drutsa, Existence, 'in large' of a solution to primitive equations in a domain with uneven bottom. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2009, vol.24, No.6, pp. 515-542.

2. A.B. Друца., Существование "в целом"решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразии. Мат. сборник, 2011, т. 202, вып. 10, стр. 55-86.

3. A.B. Друца, Г.М. Кобельков, О сходимости разностных схем для уравнений крупномасштабной динамики океана. ДАН, 2011, т. 440, №6, стр. 727-730.

Подписано в печать: 25.11.11

Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 797 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского,39 (495)363-78-90; www.reglet.ni

Введение

1 Существование «в целом» решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразии

1.1 Постановка задачи.

1.1.1 Основные обозначения.

1.1.2 Система уравнений и краевые условия в инвариантной (тензорной) форме.

1.1.3 Система уравнений и краевые условия в координатной (тензорной) форме.

1.2 Подготовительные утверждения.

1.2.1 Утверждения дифференциальной геометрии.

1.2.2 Утверждения функционального анализа.

1.3 Априорные оценки.

1.3.1 Оценки для скорости, давления и плотности.

1.3.2 Оценки для производных скорости и плотности по вертикали

1.3.3 Оценки для производных скорости и плотности по времени

1.3.4 Итоговые априорные оценки

1.4 Существование и единственность решения системы.

1.4.1 Определение обобщенного решения.

1.4.2 Единственность решения

1.4.3 Существование решения «в целом».

1.5 Выводы.

2 Существование «в целом» и единственность решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области с неровным дном

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Построение системы уравнений для неровного дна

2.1.2 Используемые обозначения.

2.1.3 Система уравнений с краевыми и начальными условиями

2.2 Априорные оценки.

2.2.1 Основные используемые утверждения.

2.2.2 Оценки для скорости, давления и плотности.

2.2.3 Оценки для производных скорости и плотности но вертикали

2.2.4 Оценки для производных скорости и плотности по времени

2.2.5 Итоговые априорные оценки

2.3 Существование и единственность решения системы.

2.3.1 Определение обобщенного решения.

2.3.2 Единственность решения

2.3.3 Существование решения «в целом».

2.4 Выводы.

Сходимость разностных схем для уравнений крупномасштабной динамики океана

3.1 Сетка, сеточные функции и операторы

3.1.1 Сетки

3.1.2 Сеточные функции и пространства.

3.1.3 Сеточные операторы.

3.1.4 Необходимые свойства операторов.

3.2 Разностная схема.

3.2.1 Система уравнений крупномасштабной динамики океана

3.2.2 Система уравнений разностной задачи.

3.2.3 Аппроксимация.

3.3 Априорные оценки.

3.4 Существование и единственность решения разностной схемы

3.5 Сходимость.

3.6 Выводы.

Мировой океан является одним из основных факторов, влияющих на климат Земли. Для изучения такого влияния проводятся математические и физические исследования трехмерных моделей циркуляции океана. Данные исследования относятся к наиболее крупным и важным задачам математического моделирования геофизических процессов. Модели океана, наравне с моделями атмосферы, составляют основу изучения и решения задач краткосрочного прогноза погоды, долгосрочного изменения климата, а также моделирования развития катастроф как природного характера (цунами и др.), так и техногенного характера (разлив нефти и нефтепродуктов и др.)

Общепринято считать, что океан является слабо сжимаемой жидкостью, на которую действует сила Кориолиса. Основными величинами, описывающими движение и состояние океана, являются поле скоростей, температура, соленость, давление и плотность воды. Полная система уравнений, описывающая поведение данных величин, состоит из основных уравнений сжимаемой жидкости, на которую действует сила Кориолиса. Однако такая модель является чрезвычайно сложной как с точки зрения математического изучения, так и с вычислительной точки зрения. Как правило, во всех теоретических и практических исследованиях реальных физических систем всегда стараются сделать упрощающие предположения для передачи сути явления. Модель, описывающая крупномасштабную динамику океана, получается из трехмерной системы уравнений Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости путем упрощения уравнения для вертикальной компоненты скорости и введения уравнения для плотности (уравнений для температуры и солености). Это упрощение (называемое гидростатическим приближением) делается в силу того, что в масштабе океана вертикальные и горизонтальные характерные линейные размеры существенно отличаются друг от друга (десятки километров против тысяч километров). Система таких уравнений получила название система примитивных уравнений (англ. Primitive Equations, РЕ).

Исследование этой модели ведется не один десяток лет. За это время было доказано существование решения «в малом»: было показано, что для любого коэффициента вязкости, любых достаточно гладких начальных условий существует интервал времени, на котором существует решение, причем интервал времени зависит от исходных данных задачи (см. работы Р. Темама и др. [?, 23]). Помимо этого, Ж.Л. Лион и Р. Темам [18] доказали существование решения «в целом» (для произвольного отрезка времени [О, Т]) при дополнительных предположениях о пространственной области. Однако получить окончательное обоснование корректности системы примитивных уравнений долгое время не удавалось. За последнее десятилетие в этом направлении математических исследований наиболее значимым шагом вперед стала работа Г.М. Кобелькова [13], в которой было доказано существование «в целом» и единственность обобщенного решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана в цилиндре над евклидовой плоской областью без специальных предположений о малости исходных данных задачи.

Помимо доказательства важного математического результата, работа [13] несет в себе и методологическую ценность. В данном труде доказательство существования «в целом» и единственности решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана ведется широко известным методом, суть которого заключается в получении некоторых априорных оценок решения дифференциальных уравнений (аналогичный метод был применен в работе Е.С. Тити [3]). Большая часть данных оценок получается из так называемых энергетических тождеств. В то же время обойтись только стандартными методами, применяемыми в линейных уравнениях, не удается. Так, в случае трехмерных уравнений Навье-Стокса, из которых получаются уравнения крупномасштабной циркуляции океана, вопрос корректности до сих пор остается одной из главных открытых проблем математики XX века. Однако, в отличие от уравнений Навье-Стокса, примитивные уравнения имеют более простую структуру в вертикальном направлении. Данным фактом пользуется Г.М. Кобельков в своей работе [13], где ему удается получить дополнительные оценки для производных решения в вертикальном направлении. Кроме того, для доказательства априорной оценки давления данный факт позволил применить новую технику, ранее не применяемую для получения подобных результатов. Одной из основных целей настоящей диссертации является изучение, применение и развитие методологии и техники работы [13].

В работах [3, 12, 13, 14] исследовались примитивные уравнения, которые описывают циркуляцию океана, расположенного над плоскостью. В то же время Мировой океан имеет непостоянную глубину и располагается на Земном шаре, а все уравнения, описывающие его динамику, рассматриваются на этой поверхности. Поэтому с практической точки зрения более важным является изучение модели крупномасштабной динамики океана на таких поверхностях. Обобщение результатов работы [13] на случай более широкого класса областей являлось центральной задачей диссертации. В результате данная задача в целом решена: удалось получить положительные результаты для уравнений описывающих, крупномасштабную динамику океана как в области, являющейся цилиндром над двумерным многообразием, так и в евклидовой области с неровным дном. Следует отметить, что параллельно с результатами данной диссертации расширение класса областей на случай неровного дна было также рассмотрено в работе И. Кукавитцы [15]. Однако в работе [15] на боковой границе области рассматривались граничные условия непротекания и прилипания, в то время как в работе [13], равно как и в данной диссертации, исследовались краевые условия непротекания и свободного скольжения.

В работе [13] доказательство априорных оценок, как упоминалось ранее, существенно опирается иа простую структуру примитивных уравнений в вертикальном направлении, кроме того, также существенно используется простота области в вертикальном направлении: область определения уравнений является цилиндром над двумерной плоской областью с некоторыми условиями регулярности. Это означает, что вопрос существования «в целом» и единственности решения уравнений крупномасштабной динамики океана в областях другого вида не является очевидным. Так, при исследовании этой задачи в области с неровным дном не удается доказать теорему существования и единственности, используя впрямую эту технику. Поэтому потребовалось несколько изменить постановку задачи. А именно, в системе уравнений делается замена вертикальной переменной так, чтобы в новых координатах (так называемой а-системе координат, см. работу В.Б. Залесного [9]) пространственная область имела вид цилиндра (данная операция оправдана также с точки зрения численного решения задачи). В результате модифицируются исходные уравнения и, в частности, в присутствующем в них операторе диффузии появляются смешанные производные. Их наличие существенно препятствует как получению результатов о существовании решения системы, так и построению численных методов решения задачи. Поскольку с точки зрения геофизики данные слагаемые не оказывают значимого влияния на соответствие модели реальным природным явлениям, в итоговой модели, описывающей динамику океана в области с неровным дном, смешанные производные отсутствуют [9]. Такая модель реализована в настоящее время на ЭВМ в ИВМ РАН [19, 9]. Кроме того, описанное изменение модели показывает, что обобщение результатов работы [13] на случай областей более общего вида не является очевидной процедурой, что является мотивацией для исследования модели, описывающей крупномасштабную динамику океана в цилиндре над двумерным многообразием, где техника [13] с небольшими изменениями дала положительный результат.

Другим направлением исследований по теме диссертации являлось обоснование корректности разностных схем для уравнений динамики океана. Вопрос сходимости решений разностной задачи к решению дифференциальной является одним из ключевых в обосновании корректности исследуемой разностной схемы. Несмотря на то, что для многих задач математической физики вопрос сходимости аппроксимирующих их разностных схем детально изучен и соответствующая техника исследований разработана, для уравнений крупномасштабной динамики океана эта проблема оставалась открытой на протяжении нескольких десятков лет. При этом численные методы активно применялись при решении практических задач моделирования динамики океана. Следует отметить, что в литературе имеется единственная [10] подобная попытка обоснования корректности разностных схем, но для уравнений динамики атмосферы, которые близки по своей структуре к примитивным уравнениям, при этом накладывались дополнительные условия на решение. Трудность исследования сходимости разностных схем для задачи динамики океана заключалась, прежде всего, в отсутствии соответствующих оценок решения как разностной схемы, так и исходной дифференциальной задачи. Отметим, что данная проблема распространяется также и на многие другие методы дискретизации примитивных уравнений, в частности, на конечно-элементные схемы.

Как упоминалось ранее, в публикациях последних лет [3, 13, 14] были получены априорные оценки для примитивных уравнений, а также было доказано существование решения «в целом». Это обстоятельство позволило сдвинуть дело с мертвой точки. В настоящей работе была исследована конечно-разностная схема, которая аппроксимирует примитивные уравнения со вторым порядком по пространственным переменным. Для решений данного типа схем была доказана сходимость к решению дифференциальной задачи при естественном предположении гладкости решения исходной задачи. Немаловажно отметить, что при доказательстве сходимости использовалась техника, заложенная в фундаментальных работах Г.М.Кобелькова [13, 14], а также примененная в настоящей работе при изучении систем уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразиях и в областях с неровным дном.

Результаты диссертации представлены в трёх главах и одном приложении. Первая глава диссертации посвящена исследованию системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области, представляющей собой «цилиндр» над произвольным двумерным гладким ориентированным римано-вым многообразием. В частности, данная задача моделирует движение океана, расположенного на таких поверхностях, как сфера и эллипсоид, являющихся приближениями Земного шара. Постановка системы уравнений с краевыми условиями приведена как в инвариантной тензорной форме, так и в координатной записи в натуральном базисе некоторой карты многообразия. Наличие двух разных постановок задачи позволяет использовать выписанные уравнения как при проведении теоретических исследований, так и при практическом применении численных методов. С использованием методики работы [13] выводятся ниже перечисленные априорные оценки решения данной задачи, в предположении его существования и достаточной гладкости:

0™ (ІИІ4 + НІ4 + HI + \\d2w\\ + ИЭДЦ + ІІЗД4 + ll^u||4 + \\Pt\\ + \Ы\ + ИVp|| + ||Vu||) ^ С, т

J (\\v3p2\\2 + ||uV3u||2 + \\p\\\ + \\udzw\\2 + IlVs^ll2 + IIV3CUII2 0 ||^uV3^u||2 + HVsaII2 + HVsUill2) di ^ c, где константы зависят от исходных данных задачи, || • ||и|| • |І4 — нормы в пространствах Lzfä) и соответственно, V3 — градиент по всем пространственным переменным, а V — градиент по горизонтальным пространственным переменным. Далее в главе формулируется определение обобщенного решения примитивных уравнений. С использованием приведенных выше априорных оценок доказывается теорема существования «в целом» и единственности решения. А именно, доказывается, что для произвольного проме- • жутка времени [О, Т] в трехмерной области Q = Q' х [—h, 0], где h = const, а Q' — компактно вкладывающаяся область двумерного многообразия Л4, для любых коэффициентов вязкости /і, і/, V\ > 0 и любых начальных условий Ґ iio Є W^fi), / divuodz = 0, ро Є Wf(^) существует единственное обоб

J-h щенное решение, dz\i Є W\(QT)> dzp Є W£(QT) и нормы ||u||wi(n), ||p||wi(n) непрерывны по t.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области с неровным дном. Данная система моделирует океан, который расположен иа плоскости и имеет непостоянную глубину. Вначале рассматриваются стандартные примитивные уравнения, в которых делается замена неременных, выравнивающих дно области. Далее, по аналогии с первой главой, выводятся априорные оценки решения примитивных уравнений, которые лежат в основе доказательств существования и единственности. Среди данных оценок (аналогичных тем, что получены в первой главе) наиболее важными являются оценки норм ||р||ь4(п)5 тахг ||ü||L4(n), max* ||üs||L2(n), max( H/oJj^n), maxt ||й4||ь2(п), max* \\рі\\ь2(п), где s — вертикальная переменная. Их доказательство занимает значительную часть всей главы. При наличии указанных оценок доказательство существования и единственности проводится относительно стандартными методами. Таким образом, доказано, что для произвольного промежутка времени [О, Т], любых коэффициентов вязкости ь>,ь>1 > 0, любой глубины Н € С2(Г2'), Н ^

Но > 0 и любых начальных условий йо = (^1,^2) £ / (д\(Нщ) +

Яг^)) ¿в = 0, ро 6 IV2 (О,) существует единственное обобщенное решение, й5 е W 1{Ят), Ра е \VHQt) и нормы ||Уй||ьа(п) |^р|иа(п) непрерывны по где й — вертикальная переменная.

Третья глава диссертации содержит исследование неявной линеаризованной разностной схемы, которая аппроксимирует систему уравнений крупномасштабной динамики океана в единичном кубе со вторым порядком по пространственным переменным на сетках, аналогичных сеткам Лебедева [17], которые используются в практических расчетах. При помощи техники работы [13] для данной схемы получены априорные оценки решения, а также доказана корректность задачи. В частности, доказана сходимость решений дискретных задач к решению дифференциальной задачи. А именно, в предположении достаточной гладкости решения доказано, что имеет место сходимость к точному решению дифференциальной задачи с порядком 0(/г3/2+т) в м .ч1/2 сеточной норме ( тах ||г/т)|2 + т 11и™112 ) 5 здесь ит = и(тт) = (^1,^2) О^т^М тп=0 ' горизонтальная компонента вектора скорости на сетке на временном слое I = тт, а Ц^Ц — сеточная норма Ъч градиента V.

В приложении А приводится подробное описание проведенных автором численных экспериментов, результаты которых полностью согласуются с доказанным утверждением о сходимости. Более того, ряд численных экспериментов показал, что, по-видимому, порядок сходимости нельзя улучшить, несмотря на то, что разность в приведенных порядках аппроксимации и сходимости по пространственным переменным равна 1/2.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на международных конференциях молодых ученых «Ломоносов» 2009, 2010 и 2011 годов, на международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» в 2010 году, а также на 5-ой международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» в 2011 году. Помимо этого, результаты неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, института вычислительной математики РАН в 2008-2011 годах.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Георгию Михайловичу Кобелькову, за постановки задач, за помощь и поддержку на протяжении всей научно-исследовательской деятельности, приведшей к получению результатов, изложенных в настоящей диссертации. Автор также выражает глубокую благодарность академику РАН Валентину Павловичу Дымникову за постановку задачи о сходимости разностных схем для примитивных уравнений и плодотворные обсуждения получаемых результатов. Кроме того, автор выражает благодарность ведущему научному сотруднику Института вычислительной математики РАН Владимиру Борисовичу Залесному за постановку задачи о примитивных уравнениях в области с неровным дном и на сфере, плодотворные консультации и обсуждения результатов. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, в особенности Арушаняну И.О., Арушаняну О.Б., Богачёву К.Ю., Валединскому В.Д., Григорьеву И.С., Корневу A.A., Лапшину Е.А., Ольшанскому М.А., Попову A.B., Староверову В.М., Чижонко-ву Е.А., в прекрасном коллективе которых сформировалось его профессиональное видение проблематики современной науки и методики её преподавания в университете.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

Доказана теорема существования «в целом» и единственности решения для системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области, представляющей собой «цилиндр» над произвольным двумерным гладким ориентированным римановым многообразием. Получены априорные оценки для решения данной системы.

Доказана теорема существования «в целом» и единственности решения для системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области с неровным дном. Получены априорные оценки для решения данной системы.

Для решений разностных схем, аппроксимирующих уравнения крупномасштабной динамики океана в единичном кубе со вторым порядком по пространственным переменным, доказана сходимость к решению дифференциальной задачи с порядком О (г + /г3/2). Проведены численные эксперименты, результаты которых согласуются с данным теоретическим результатом.

Заключение

Изучение влияния Мирового океана на климат Земли ведется не один десяток лет в различных областях науки и техники. В частности интенсивно строились, развивались и изучались разнообразные модели динамики океана и атмосферы [8]. В последние годы проводилось множество практических вычислительных исследований математических моделей крупномасштабной динамики океана. Одной из основных таких моделей принято считать так называемые Примитивные уравнения. Для обоснования применимости (корректности) данной системы уравнений сначала были доказаны теоремы существования «в малом» и теоремы существования при некоторых предположениях малости исходных данных. Несколько лет назад в работе [13] была доказана теорема существования «в целом» и единственности решения на произвольном промежутке по времени. Данный результат был получен в области, представляющей собой цилиндр над евклидовой плоской областью. Но к этому времени вычислительные комплексы и системы позволяли проводить исследования примитивных уравнений уже в областях, форма которых соответствует реальным бассейнам Мирового океана. Таким образом, встал вопрос о корректности примитивных уравнений в областях тех форм, которые реально используются в практических расчетах. Его решение представляет собой основную часть диссертации.

Кроме того, применяемые на практике численные методы не имели строго математического обоснования корректности, поскольку данный факт не был установлен в дифференциальном случае. С получением доказательства фундаментального факта [13] ситуация изменилась, и встал вопрос корректности методов, используемых при вычислениях. Начало изучения данной проблемы является другой частью диссертации.

1. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков, Численные методы, "Бином. Лаборатория знаний", Москва, 2003.

2. К.Ю. Богачев, Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ, "Изд. ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ", Москва, 1999.

3. С. Cao, E.S. Titi, Global well-posedness of the three-dimensional viscous primitive equations of large scale ocean and atmosphere dynamics, Annals of Mathematics, 2007, 166(1), pp. 245-267.

4. A.V. Drutsa, Existence 'in large' of a solution to primitive equations in a domain with uneven bottom. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2009, vol.24, No.6, pp. 515-542.

5. A.B. Друца, Существование «в целом» решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразии. Мат. сборник, 2011, т. 202, вып. 10, стр. 55-86.

6. А.В. Друца, Г.М. Кобельков, О сходимости разностных схем для уравнений крупномасштабной динамики океана. ДАН, 2011, т. 440, №6, стр. 727-730.

7. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия: Методы и приближения, "Эдиториал УРСС", Москва, 1998.

8. В.П. Дымников, Устойчивость и предсказуемость крупномасштабных атмосферных процессов, "ИВМ РАН", Москва, 2007.

9. V.B. Zalesny, Mathematical model of sea dynamics in a a-coordinate system, Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2005, V. 20, N. 1, pp. 97-113.

10. В.Jl. Зотов, Об одной разностной схеме для системы уравнений динамики атмосферы, Вестник Моск.Университета. Серия: Вычислительная математика и кибернетика, 1988, с. 14-22.

11. А.А. Киселев, О.А. Ладыженская, О существовании и единственности решения нестационарной задачи для вязкой несжимаемой жидкости , Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, 21:5, 655-680.

12. Г.М. Кобельков, Существование решения «в целом» для уравнений динамики океана, ДАН, 2006, т.407, 4, с.457-459.

13. G.M. Kobelkov, Existence of a solution "in the large" for ocean dynamics equations, J. math, fluid mech., 2007, 9, pp. 588-610.

14. G.M. Kobelkov, Existence of a solution "in the large" for the 3D large-scale ocean dynamics equations, C.R. Acad. Sci. Paris, 2006, Ser. I 343, pp. 283286.

15. I. Kukavica, M. Ziane, On the regularity of the primitive equations of the ocean, Nonlinearity, 2007, 20, pp. 2739-2753.

16. O.A. Ладыженская, Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, "Наука", Москва, 1970.

17. В.И. Лебедев, Метод конечных сеток для уравнений типа С.Л. Соболева, ДАН СССР, 1957, т. 114, №6, с.1166-1169.

18. J.L. Lions, R. Temam, S. Wang, On the equations of the large-scale ocean, Nonlinearity, 1992, 5, pp. 1007-1053.

19. G.I. Marchuk, A.S. Rusakov, V.B. Zalesny, and N.A Diansky, Splitting Numerical Technique with Application to the High Resolution Simulation of the Indian Ocean Circulation, Pure appl. Geophys., 2005, V. 162, pp. 14071429, DOI 10.1007/s00024-005-2677-8.

20. G.I. Marchuk, A.S. Sarkisyan eds., Mathematical models of ocean circulation, Novosibirsk, Nauka, 1980.

21. C.A. Назаров, Б.А. Пламеневский, Эллиптическе задачи в областях с кусочно гладкой границей, "Наука", Москва, 1991.

22. C.JI. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, "Наука", Москва, 1988.

23. R. Temam, М. Ziane, Some mathematical problems in geophysical fluid dynamics, Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, vol. 3, S. Frielander and D. Serr Eds, Elsevier, pp. 535-658, 2004.

24. Ф. Уорнер, Основы теории гладких многообразий и групп Ли, "Мир", Москва, 1987.

25. Д.К. Фадеев, В.Н. Фадеева, Вычислительные методы линейной алгебры, "Физматлит", Москва, 1960.