О решении некоторых задач моделирования крупномасштабной динамики океана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

о

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

003466426

На правах рукописи

Сухов Владимир Борисович

О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ КРУПНОМАСШТАБНОЙ ДИНАМИКИ ОКЕАНА

01.01.07 - Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

О 9 ДПР 2009

Москва 2009

003466426

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор

Георгий Михайлович Кобельков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Николай Васильевич Арделян

доктор физико-математических наук профессор Владимир Борисович Залесный

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН

Защита состоится 29 апреля 2009 года в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.002.16 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП 1, Ленинские горы, д. 1, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 27 марта 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Д.501.002.16 при МГУ

доктор физико-математических наук

А.А. Корнев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из наиболее крупных и важных задач математического моделирования геофизических процессов является задача моделирования крупномасштабной динамики Мирового океана. Наряду с моделями динамики атмосферы модели динамики океана играют важнейшую роль в решении задач долгосрочного прогноза изменения климата, краткосрочного прогноза погоды, а также моделирования развития катастроф, в том числе техногенного характера. В настоящее время общепринятой основой моделирования крупномасштабных океанических явлений служит широко известная система уравнений динамики океана. На основе последней во многих мировых научных центрах созданы модели, включающие большие программные комплексы, результаты вычислений по которым служат основой для выработки рекомендаций правительствам государств в связи с угрозой глобальных климатических изменений.

Система уравнений динамики океана вызывает интерес как с точки зрения прикладного моделирования геофизических процессов, так и с точки зрения теоретического математического анализа. В течение ряда лет с момента появления математической модели крупномасштабной динамики океана предпринимались попытки строго математического обоснования её корректности. В частности1, была доказана теорема существования "в малом", а именно, было показано, что при любом коэффициенте вязкости и любых достаточно гладких начальных условиях существует интервал времени, зависящий от исходных данных задачи, на котором существует решение. В то же время, проблема существования решения "в целом" (на произвольном промежутке времени) при любом коэффициенте вязкости в течение долгого времени оставалась открытой. Существование решения "в целом" было доказано для ряда частных случаев. Например, существование решения "в целом" было доказано2 в предположении малости размера области в вертикальном направлении. Отсутствие завершённых результатов в этой области не позволяло получить строгое обоснование численных методов, используемых при решении задачи. Серьёзным продвижением в направлении теоретического исследования задачи стала доказанная в работе Г.М. Кобелькова3 теорема существования и единственности решения задачи "в целом" (т.е. при любом положительном значении коэффициента вязкости, любых достаточно гладких начальных -данных, произвольном интервале времени и произвольной области). Это позволило строго обосновать применение численных методов решения задачи.

При численном решении начально-краевой задачи для системы уравнений крупномасштабной динамики океана используются как явные, так и неявные схемы по времени. В последнем случае перед исследователями встаёт задача решения сложной по структуре системы эволюционных уравнений в частных производных

1 J.L. Lions, R. Temam and S. Wang. On the equations of the large-scale ocean// Noolinearity. — 1992. — 5. — pp. 1007-1053.

2 Ch. Ни, Л. Temam and M. Ziane. The primitive equations on the large scale ocean under the small depth hypothesis // Discrete aud continuous dynamical systems. — 2003. — V.9. — 1. — pp. 97-131.

3 G. M. Kobtlkov. Exitence of a solution "in the large" for Ocean Dynamics Equations // J. math, fluid inech. — 2007. - 9. - pp. 588-610.

с большим количеством неизвестных, что в совокупности со сложной геометрией расчётной области приводит после дискретизации задачи к системе нелинейных уравнений с очень большим (порядка сотен миллионов) количеством неизвестных на каждом шаге по времени, имеющей сложную структуру. Прямое решение такой системы известными на данный момент методами практически невозможно даже с использованием новейшей вычислительной техники и последних программных комплексов. Более того, разработка специальных алгоритмов, позволяющих получить решение всей системы уравнений, также представляется весьма затруднительной. В этой ситуации в основу алгоритма решения задачи в модели, разрабатываемой в ИВМ РАН, была положена техника методов расщепления. Идея методов расщепления заключается в разбиении оператора задачи на аддитивные составляющие и последовательном обращении более простых операторов с использованием дробных шагов по времени.

Для параболических систем эволюционных уравнений с линейным оператором (зависящим или не зависящим от времени) достаточно давно была построена общая теория методов расщепления (иначе называемых аддитивными схемами — см., например, работы А.А Самарского4, Г.И. Марчука5). Для систем уравнений, не являющихся системами типа Коши-Ковалевской, и для систем с нелинейным дифференциальным оператором исследование применимости таких методов носит индивидуальный характер. Для системы уравнений Навье-Стокса применение схем расщепления (наиболее известной из которых является схема Чорина) было обосновано в работах Р. Темам а6, Дж. Шеня7, Р. Раннахера8, Дж. Хей-вуда9 и А. Проля10. Однако до настоящего времени аналогичных исследований схем расщепления для уравнений динамики океана проведено не было. Система уравнений крупномасштабной динамики океана имеет ряд существенных отличий от системы уравнений Навье-Стокса (иная структура неизвестных функций, отличающаяся структура нелинейных членов, присутствие членов, обусловленных наличием силы Кориолиса), которые делают полученные для системы уравнений Навье-Стокса результаты не переносимыми непосредственно на рассматриваемую задачу и требуют проведения дополнительных исследований. Восполнение этого пробела являлось центральной задачей диссертации. Задача решена и в естественных предположениях регулярности области доказана сходимость решения, получающегося по методу расщепления, к решению исходной задачи при уменьшении шага по времени.

4A.A. Самарский, П.Н. Вабищевин. Аддитивные схемы для задач математической физики — М.: Наука, 2001.

^Г.И. Марчук. Методы расщепления — М.: Наука, 1988.

GP. Темам. Уравнения Навье-Стокса теория и численный анализ - М.: Мир, 1981.

7 J. Shen. Ой error estimates of projection methods for Navier-Stokes equations: first order schemes// S1AM J. Numer. Anal. - 1992. - Vol. 29. - No. 1. - pp. 57-77.

sRannacher R. On Chorin's projection method for the incompressible Navier-Stokes Equations// Navier-Stokes Equations II — Theory and Numerical Methods. Lecture Notes in Math. — Berlin: Springer, 1992. — 1530. — pp. 167-183.

9 J.G. Htyutood, Rannacher R. Finite-element approximation of the nonstationary Navier-Stokes problem Part IV: Error analysis for second-order time discretization// SIAM J. Numer. Anal. — 1990. — Vol. 27. — No. 2. — pp. 353-384.

10PrvhI A. Projection and Quasi-Compressibility Methods for Solving the Incomressible Navier-Stokes Equations — B.G. Teubner: Stuttgart, 1997.

Другим направлением, по которому велись исследования, результаты которых также представляют предмет диссертации, является так называемая проблема полюса. Суть проблемы заключается в трудностях решения задач гидродинамического моделирования на сфере при использовании широтно-меридианной системы координат таким образом, что полюс системы попадает в расчётную область, как это имеет место в случае Мирового океана. При численных расчётах модель динамики океана, использующая в качестве системы координат обычную широтно-меридианную систему, даёт существенные искажения вблизи северного полюса (южный полюс, как известно, попадает на материк): на части границы, соответствующей полюсу, ставят "нефизичные" искусственные граничные условия. Одним из возможных путей решения этой проблемы является предъявление такой системы координат, в которой особенность (полюс) попадала бы на материк, по возможности дальше от расчётной области. Преимуществом данного пути является возможность адаптации существующих программных комплексов к новой постановке задачи.

В результате появилась идея конформного преобразования сферы с целью переноса полюса на материковую область и соответствующего новой координатной системе преобразования уравнений модели. Первым шагом в данном направлении стали координатные сетки с перенесённым на материковую сушу северным полюсом, а южным полюсом оставленным на месте. Однако практика использования данных сеток в модели динамики океана ИВМ РАН выявила один их существенный недостаток: новый "экватор" на таких сетках не совпадает с обычной линией экватора, и на новой карте географический экватор представляет собой кривую линию, не совпадающую с координатной линией. При использовании конечно-разностной модели это обстоятельство затрудняет исследование важных геофизических феноменов, связанных с осевым вращением Земли. Поэтому автором был предложен ещё один класс координатных систем, в которых северный и южный полюс смешаются на одинаковое количество градусов вдоль одного меридиана в направлении друг к другу. В таких координатных системах экватор остаётся на месте. Важным условием практической реализуемости системы является наличие материковых точек, имеющих одну и ту же долготу и симметричную широту, в которые можно было бы перенести полюса. Такие точки были найдены (северный полюс был перемещён на полуостров Таймыр, а южный по-прежнему остался в Антарктиде), и была предложена постановка задачи крупномасштабной динамики океана в соответствующей специальной системе координат.

Цели работы:

1. Исследование возможности создания специальной системы координат, не имеющей особенности в виде полюса в расчётной области (в акватории Мирового океана), и формулирование системы уравнений крупномасштабной динамики океана в этой системе координат.

2. Теоретическое исследование сходимости приближенных решений, получаемых в результате применения методов регуляризации системы уравнений, к

точному решению задачи крупномасштабной динамики океана.

3. Теоретическое исследование сходимости решений, получаемых в результате применения различных аддитивных схем численного счёта (схем расщепления), к точному решению задачи крупномасштабной динамики Мирового океана.

На защиту выносятся:

1. Формулировка задачи крупномасштабной динамики океана в специальной системе координат, позволяющей обойти "проблему полюса".

2. Новые априорные оценки для решения задачи крупномасштабной динамики океана.

3. Теоретическое обоснование методов регуляризации системы уравнений крупномасштабной динамики океана.

4. Теоретическое обоснование методов расщепления системы уравнений крупномасштабной динамики океана.

Научная новизна. Изучение климата Земли и, в частности, изучение влияния Мирового океана на климат представляет огромный интерес для исследователей, специализирующихся в различных областях естествознания. Математическая модель крупномасштабной динамики Мирового океана порождает множество практически значимых и интересных в своих постановках математических задач, предоставляя широкое поле для деятельности исследователя-математика. Одним из первых шагов в направлении исследования системы уравнений динамики океана стали локальные теоремы существования и теоремы существования в различных предположениях малости исходных данных, доказанные в работах Р. Темама и соавторов11. Для численного решения задачи в работах Г.И. Марчука и В.Б. Залесного12 были предложены алгоритмы, основанные на схемах расщепления. Однако до последнего времени не существовало работ, относящихся к вопросу теоретического обоснования применения этих схем. Некоторое время назад в работе Г.М. Кобелькова13 был доказан фундаментальный результат о существовании и единственности решения "в целом" на произвольном промежутке времени в сильной норме по времени. Это продвижение позволило поставить новые задачи, связанные с системой уравнений динамики океана и её численным решением, и перейти к их изучению. В частности, появилась возможность провести исследования в области обоснования использования методов регуляризации и расщепления для системы уравнения динамики океана. Эти исследования являются новыми и составляют важную часть диссертации.

"См. примечания 1 и 2 на стр. 1.

работы: Г.И. Марну к. Численное решение задач динамики атмосферы и океана на основе метода расщепления — Л.: Гидрометеоиздат, 1972, В.Б. Залесный. Моделирование крупномасштабных движений в мировом океане — М.: ОВМ АН СССР, 1984.

13См. примечание 3 на стр. 1.

Параллельно с развитием теоретического знания о математической модели динамики океана практика численного моделирования развивалась и ставила свои задачи. Проблема построения системы координат, позволяющей обойти трудности, связанные с присутствием полюса в расчётной области, имела важное практическое значение, поскольку результаты расчётов задачи глобальной циркуляции Мирового океана на сетках, построенных на основе обычной широтно-меридианной системы, признавались неудовлетворительными. Задача существенно усложнялась требованием сохранения экватора как линии сетки. Тем не менее, благодаря идее смещения не только северного, но и южного полюса такую координатную систему удалось построить и сформулировать задачу глобальной крупномасштабной циркуляции океана в новой системе координат. При этом потребовалось провести значительный объём технической работы по переформулировке системы уравнений и вычислению метрических коэффициентов (коэффициентов Ламе) и других величин, необходимых для использования новой координатной системы. Результаты этих исследований также являются новыми и получены независимо от появившихся в последнее время других аналогичных работ.

Научная и практическая значимость работы. Результаты, относящиеся к формулировке задачи крупномасштабной циркуляции океана в специальной системе координат, на сегодняшний день успешно применяются в моделировании крупномасштабной динамики океана. Результаты, относящиеся к обоснованию методов приближенного счёта, носят теоретический характер и восполняют имевшиеся пробелы в теории численных методов для уравнений динамики океана.

Методы исследований. При построении специальной криволинейной системы координат использован метод конформных отображений. При получении априорных оценок и доказательствах сходимости приближенных решений использована методика построения энергетических неравенств для уравнений типа Навье-Стокса, развитая в работах С.Л. Соболева, O.A. Ладыженской, Р. Темама, Р. Ран-нахера, Г.М. Кобелькова.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на следующих научных конференциях:

• "Ломоносовские чтения 2008",

• международная конференция "Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания" в 2008 году;

а также докладывались и обсуждались на следующих научно-исследовательских семинарах:

• научно-исследовательский семинар кафедры вычислительной математики Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н. профессора Г.М. Кобелькова (неоднократно в 2005 -2008 годах),

• научно-исследовательский семинар кафедры вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н. профессора A.B. Гулина в 2008 году,

• научно-исследовательский семинар Института математического моделирования РАН под руководством член-корр. РАН Б.Н. Четверушкина в 2008 году,

• научно-исследовательский семинар кафедры математического моделирования МЭИ под руководством д.ф.-м.н. профессора A.A. Амосова и д.ф.-м.н. профессора Ю.А. Дубинского в 2008 году,

• научно-исследовательский семинар по вычислительной математике ИВМ РАН под руководством член-корр. РАН Б.Е. Тыртышникова в 2008 году,

• научно-исследовательский семинар по вычислительной математике ВЦ РАН под руководством д.ф.-м.н. профессора Б.В. Пальцева в 2009 году.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание степени доктора и кандидата наук". Список публикаций приводится в конце автореферата [1-3].

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, заключения, трёх приложений и списка литературы. Список литературы включает 38 наименований. Объём диссертации 113 листов. В работе содержится 24 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертации посвящена постановке задачи крупномасштабной динамики океана в специальной системе координат. Выписана система уравнений динамики океана в абстрактной криволинейной ортогональной системе координат (ввиду громоздкости в автореферате не приводится). Предложены два класса координатных систем, не имеющих особенности в виде полюса в расчётной области: системы со смещённым северным полюсом и системы с обоими смещёнными полюсами. Первая координатная система задаётся дробно-линейным преобразованием сферы:

2 "Ш0

V) = -,

г - г0

где г - комплексная переменная, соответствующая исходной широтно-меридианной системе координат, го - комплексная переменная, соответствующая новой системе координат, г0 - новое положение северного полюса (бесконечности, в терминах комплексной плоскости), и>о - свободный параметр, задаёт координаты географического северного полюса в новой системе координат. Вторая координатная

система задаётся композицией поворота (так, чтобы меридиан, вдоль которого осуществляется смещение полюсов, в комплексных координатах представлял собою действительную ось) и дробно-линейного преобразования:

Лг - 1

А-г'

где А — действительное число, соответствующее координате точки, в которую перемещается северный полюс.

Для новой системы координат (£, г/) необходимо вычислить следующие величины:

Лл Л„

дк„

д£, дг] дт) д\ д\ д<р ду дк^ и,^

Л"' ЭХ' V дХ' V Щ' ¿У Ж' Щ' 9Г'

где (А, ф) — обычная широтно-меридианная система на Земной сфере, (£, г/) — новая координатная система, кп — коэффициенты Ламе новой координатной системы. Формулы для всех этих величин выписаны в аналитической форме и составляют содержание приложений А и В.

На рисунке 1 представлены изображения координатных линий на Земной сфере новой координатной системы с обоими смещёнными полюсами (новые координаты северного полюса: Ао = 100° в.д., <ро — 70° с.ш., экватор выделен, интервал между параллелями - 3° в новых координатах) и карта Земли в этой системе координат.

Рис. 1: Координатные линии и карта Земли в специальной системе координат.

Вторая глава диссертации посвящена получению новых априорных оценок для решения уравнений крупномасштабной динамики океана, необходимых для исследования сходимости приближенных методов. Теоретическому исследованию традиционно подвергается система уравнений крупномасштабной динамики океана в следующей упрощённой форме (см. работы Р. Темама14, Е.С. Тити15, Г.М. Ко-белькова16):

ди>

— - иАи + Cu+Vp + u- V'u + щдги = О,

at'

dp ~dz

- 9Pi

(1)

где

Лу'и+^О,

д

- цАр + и ■ У'р + щдгр = О,

(■и = (—кщ^кщ). Уравнения рассматриваются в цилиндрической области Г2 = П' х [0,1], где П' - область в плоскости переменных х, у. При теоретических исследованиях ставятся однородные граничные условия:

ди п п

и ■ п = тт х п = 0 на Ь, дп

, ч ( д д \ , дщ

ди дп

= 0, из = 0 на Si,

(2)

dp дп

= 0 на да,

где дО. = 5 и 5 = дО! х [0,1], бх = Ш/З. Завершает постановку задачи задание начальных условий:

1

t(Q,x,y,z) = u0{x,y,z), j div'u(0,x,y,z)dz = 0,

(3)

p(0,x,y,z)=po(x,y,z).

В фундаментальной работе Г.М. Кобелькова17, посвященной доказательству теоремы существования и единственности решения задачи крупномасштабной динамики океана, в предположении гладкости начальных данных («oiPo €

l4Temam Л., Mimnville A. Mathematical Modeling in Continuum Mechanics // Cambridge University Press, 2005.

15 Ch. С no and E.S. TitL Global Well-posedness of the Three-dimensional Viscous Primitive Equations of Large Scale Ocean and Atmosphere Dynamics 11 arXiv:math.AP/0503028. — Nov 2005. — V. 2. — 16.

1ьСм. примечание 3 на стр. 1.

"Там же.

доказана однозначная разрешимость в естественном функциональном пространстве задачи (1) - (3) и получены, в частности, следующие априорные оценки:

шах (И|! + цаг«||4 + 1Ы1 + 1И11 + 1К11 + |И1) < с,

X

о

где, как обычно, с зависит только от исходных данных задачи. Однако этих оценок оказывается недостаточно для доказательства сходимости приближенных методов. Исследования второй главы посвящены получению недостающих априорных оценок решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана по аналогии с известными результатами для решения уравнений Навье-Стокса (см. упомянутые работы Р. Раннахера, Дж. Хейвуда, Дж. Шеня). Стоит отметить, что аналогичные результаты для системы уравнений Навье-Стокса в самой общей постановке в 3-х мерном многообразии имеют условный характер, поскольку существование и единственность самого решения системы является известной открытой проблемой. Результаты же для системы уравнений крупномасштабной динамики океана получены на основе доказанных в самых общих предположениях Г.М. Кобельковым априорных оценок и теорем существования и единственности и потому носят характер завершённого исследования.

В главе вводятся и рассматриваются общие для оставшейся части диссертации предположения регулярности области О,' :

Предположение 1. Область П' такова, что для произвольной правой части / € Ьг (П) для аналога задачи Стокса для системы, уравнений динамики океана:

иАи + У'р = /, 1

= 0,|дхч'ийг = 0,

^р г <4>

дг

о

. ди „ ди

и • п = 0, — х и = 0 на Ь, -т- = 0 на ¿>1 дп дг

справедлива следующая априорная оценка для решения задачи (4) (т.е. существует постоянная с, не зависящая от /, такая, что выполнено приводимое неравенство):

1М к + < Ш

Предположение о регулярности решения задачи Стокса является естественным и общепринятым предположением в теории обоснования численных методов для уравнений Навье-Стокса (см. упомянутые работы Р. Раннахера, Дж. Хейвуда

и А. Проля). Для решения классической задачи Стокса приведённая оценка хорошо известна для широко класса областей — для областей с дважды непрерывно дифференцируемой границей (см., например, работы O.A. Ладыженской18, Р. Те-мама19). Хотя вопрос о справедливости данного утверждения для задачи (4) для сколько-нибудь широкого класса областей оставлен за рамками работы, в диссертации доказывается, что класс таких областей не пуст, а именно, область fi' прямоугольной формы удовлетворяет такому требованию.

В этих предположениях регулярности области доказаны необходимые априорные оценки решения задачи, а именно доказана

Теорема 1. Пусть выполнено предположение 1. Пусть щ € W22(fi), р0 € W22(fl). Тогда для произвольного t 6 [О, Г] решение задачи (1) - (2) удовлетворяет следующим соотношениям

IMIw| < с, IHli < С, ||Vp|| < С, IlV'ftll < С, \\р\\щ < с,

Т Т

J IMI-i dt^c, J \\ptt\H, dt < с,

1 2

кон-

гдерг = Р-Р2, Pi.it,х,у, г) = !у,! Jдр^,х,у,£)<%(1г и

о оо

станта с зависит только от исходных данных задачи.

В третьей главе исследуется сходимость методов регуляризации системы уравнений (1). То есть для гидродинамического блока задачи (иначе называемого в работе сокращённой системой уравнений крупномасштабной динамики океана)

ди

- и А и + £u + Vp + u- Vu + u3dzu = /,

dt

div'„+$ä = 0

dz

(5)

производится анализ следующих возмущений:

z

и\ - i'Аиг + vy + tu* + Pju£ ■ V'tr - J div'Pju*

о

l

eA'p6 - J div V dz = 0, ^ = 0

dzdz

f,

(6)

18О.А. Ладыженская. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости — М.: Наука, 1970.

18 См. примечание на стр. 2.

vt - I/At) + Iv + Vpe + (v • V)v + -(divv)v = /,

eA'q-Jdw'vdz = 0, — = 0,

d2v3 d{div'v)

■ +

= 0,

- dz2 ' dz где Pj ортогональный в проектор на

1

J := {« = 6 Ь2(П),и ■ n = 0 на S, Jdiv'udz = 0},

Ue = (lif,u|), V = {vi,v2,v3), V = (Vi,V2).

Относительно сходимости методов с использованием полученных априорных оценок доказывается следующий результат:

Теорема 2. Пусть выполнено предположение 1. Тогда для достаточно малого е ^ 0 для и и v - решений задач (5) и (7) соответственно выполнено соотношение

max llu — ull ^ с\Уе. oat^T'

Если, кроме того, существует ограниченная величина

т

J WVptfdt,

то для и и и£ - решений задач (5) и (6) соответственно выполнено соотношение

max ]|u£ — tili ^ сх/е.

отчт" 1

В обоих оценках величина с, как обычно, зависит только от исходных данных задачи и не зависит от е.

Четвёртая глава диссертации посвящена исследованию сходимости различных дискретных по времени схем для уравнений динамики океана, в частности схем расщепления. Для сокращённой системы уравнений (5) последовательно рассматриваются следующие схемы (для конвективных нелинейных членов введе-

z

но обозначение: B(u,v) = и ■ V'v — J div'и dz dzv и, как обычно, т = T/N, n = 1,..., N).

Полностью неявная:

' Л.П+1 _ л,П

--— _ „ди»+1 + еип+1 + Ур"+1 + в(и"+\ип+1) = /п+1 = /(^+1),

г

< 1

J сИу 'ип+1 ¿г = 0.

1° (8) Данная схема представляет в основном теоретический интерес и рассмотрена как отправная точка исследований.

Линеаризованная (полунеявная) схема:

--— - г^Дип+1 + £ып+1 + У'рп+1 + В{ип, и"+1) = Г+\

т

(9)

I'¿1у'ип+Ыг = 0. . о

Полунеявная схема более пригодна для проведения вычислений и может использоваться на практике, хотя и требует обращения оператора сложной структуры. С точки зрения теоретического исследования она привносит некоторые новые элементы по сравнению с полностью неявной схемой, и её изучение является следующим шагом на пути к изучению наиболее интересных с практической точки зрения схем.

Двухэтапная схема расщепления с учётом действия силы Кориолиса на первом этапе:

,.п+1/2 _ п

I. Н-_ „ДцП+1/2 + ¿Ц-+1/3 + В (и", иП+1/2) = Г+\

т

,/П+1 _ „п+1/2

----+ \7'рп+1 = 0, (10)

п.М г

/ (Ну 'ип+1 ¿г = 0.

о

Реализация вычислений по полунеявной схеме требует на каждом шаге по времени решения системы линейных уравнений с огромным (для задачи глобальной циркуляции Мирового океана — порядка сотен миллионов) количеством неизвестных и оператором, обладающим сложной структурой.

Использование техники методов расщепления облегчает эту задачу. Данная схема является первым шагом на пути исследования схем расщепления, её изучение позволяет выделить и преодолеть трудности, обусловленные расщеплением оператора, не отвлекаясь на специфические трудности, вызванные наличием силы Кориолиса.

Двухэтапная схема расщепления с учётом действия силы Кориолиса на втором этапе:

>,"+1/2 .

• и'

п

II.

т

ип+1 _ ип+1/2

■ !/Дип+1/2 + В(ип, ип+1/2) = /п+1,

+ £ип+1 + у'рп+1 =0,

(П)

I

J сНу'г

п+1

<£г = 0.

Предыдущая схема имеет существенный недостаток с точки зрения практической реализации: члены, обусловленные действием силы Кориолиса, связывают уравнения для компонент вектора скорости на первом этапе расщепления. Поэтому последняя схема гораздо более привлекательна для проведения расчётов. Однако с точки зрения теоретического анализа она привносит некоторые новые элементы, требующие аккуратного рассмотрения. Данная схема применяется в реальных практических расчётах и хорошо зарекомендовала себя с этой стороны.

Трёхэтапная схема расщепления:

,.п+1/3 _ ,,п

I. Н-^ _ 1/з + В{ип-1'\ ип+1'3) = /"+1,

II.

и

п+2/3 _ уП+1/3

1

J сПУ'«"

■ + уу

= 0,

/„п+1

0,

(12)

_ „п+2/3

III. ----+ =

Данная схема является следующим логичным усовершенствованием на пути построения наиболее просто реализуемого алгоритма решения задачи. В последнее время она также стала применяться на практике и поэтому представляет интерес. С точки зрения теоретического анализа схема требует

небольшого развития техники, применявшейся для рассмотрения предыдущей схемы. Полученный результат о сходимости решения схемы к точному решению задачи является одним из наиболее значимых результатов диссертации.

• Схема Кранка-Николсон:

■ иАйп+1 + £йп+1 + V 'рп+1 + В(йп+\ йп+1) = }п+\

1

/<

(13)

<Цу'ип+1<1г = О,

где йп+1 =--

и"+1 + ип

1 уп 2 2

:п+1 _

. Данная схема, в виду сложности

практической реализации, представляет в основном теоретический интерес.

Для рассмотренных схем получен следующий результат:

Теорема 3. Пусть выполнено предположение 1. Тогда существует такое т* > 0 и постоянная с, зависящие только от исходных данных задачи (5), что для всех 0 < г < т* выполнены следующие соотношения:

для решений схем (8) и (9)

1КО - "п|| < сг,

для решений схем (10) и (И)

1К«п) - «1 < су/¥,

для решения схемы (12)

М*п) - и"|| Су/¥. Пусть, кроме того, существуют и ограничены следующие величины т т т

/ / Ы2-!^ ¡\\uufxdt.

Тогда также существует т* > 0 и постоянная с, зависящие только от исходных данных задачи (5), что для всех 0 < т < т* для решения схемы (13) выполнено следующее соотношение:

НО - и"II ^ ст2.

Одним из основных итогов этих исследований является обоснование следующей схемы расщепления для полной системы уравнений, успешно применяемой на практике. Рассмотрим полную систему уравнений динамики океана:

ди

— - рАи + Ы + Ч'р + и- У'и + и2дги = О,

др 1 дг р„

, , ди* дг

87

— - дтДТ + и • V'T + щд;Т = О,

Я Q

— - HS&S + u-VS + u3d2s = о,

р{7, S) = qt(T - Т.) + as(S - S.) + р.,

ди ди

и ■ п = х п = 0 на S, -т- = 0, «з = 0 на Si, дп дп

оп дп

i

"(0, х, у, z) = uq(x, y,z), J div 'u(0, x, y, z) dz = 0, o

T(0, x, í/, z) = T0(íc, y, z), 5(0, x, y, z) = S0{x, y, z). Рассмотрим следующую схему дискретизации по времени:

грй-1 _ <jn

г

Sn+1 _ 5n

т

(14)

(15)

- + и" ■ V'CT+1 + u^dz7n+1 = 0, (16)

- ^AS"*1 + un ■ V'Sn+1 + u%dzSn+1 = 0, (17)

рп+1 = р(7п+\Зп+1), (18)

= уП- I!(19) \0 0 0 /

цП+1/2 ~ "" - г/Дм"+1/'2 + ип ■ Ч'ип+1'2 + г^м"^2 = -V(20) т

п+1 _ ,.п+1/2

" - + ^п+1 + У'р?+1 = 0, (21)

г

1

/

о

сПу'ип+1Лг = 0, (22)

«Г1

г

= - !&Ьг'ип+1с1г, (23)

о

до-п+1 я сп+1

~9п~ = ~дп~ = °на^

я?,п+1/2 а п+1/2

и"+!/2. „ = о, 11—— X п = 0 на 5, —5-= О на (25)

оп ап

мп+1 ■ п = 0, (26)

и0 = «о, ^ = Т0, 5° = 50. (27)

Для представленной схемы доказана следующая теорема:

Теорема 4. Пусть выполнено предположение 1. Тогда существует такое т* > 0, что для всех г, таких что 0 < т < т*, для решений уравнений (Ц) -(15) и (16) - (27) для всех п, таких что 1 ^ п ^ выполнено неравенство

1МО - «1 + НЬ) - чп'1/2|1 + над - 31 + ||5(«„) - 5"|| < ст/Т,

где константа с зависит только от исходных данных задачи (14) - (15) и не зависит от т (и, следовательно, от Л^ и п.

Приложения А и В, как уже было сказано, содержат формулы, необходимые для постановки задачи в специальной криволинейной системе координат.

Приложение С содержит результаты численного моделирования динамики океана на сетках, построенных по специальной криволинейной координатной системе. Результаты численного моделирования получены совместно с сотрудниками ИВМ РАН.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложена специальная ортогональная криволинейная система координат на сфере, не имеющая особенностей в виде полюса в расчётной области (акватории Мирового океана) и сохраняющая земной экватор в качестве координатной линии. Задача крупномасштабной динамики океана сформулирована в этой системе координат.

2. Получены новые априорные оценки для решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана.

3. В естественных предположениях регулярности области доказана сходимость решений, получающихся в результате применения методов регуляризации системы уравнений крупномасштабной динамики океана, к точному решению задачи.

4. В естественных предположениях регулярности области доказана сходимость решений дискретных по времени схем (в том числе схем расщепления, применяемых на практике) для уравнений крупномасштабной динамики океана к точному решению задачи.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Георгию Михайловичу Кобелькову, за постановки задач, за помощь и поддержку в научно-исследовательской деятельности, приведшей к получению результатов, изложенных в диссертации. Автор также выражает признательность коллективу кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ и коллективу сотрудников Института вычислительной математики РАН.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[lj G.M. Kobelkov, V.B. Sukhov. Justification of splitting scheme for ocean dynamics equations // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling — 2008. — Vol. 23 — No. 4 — pp. 389-406. (Сухову В.Б. принадлежит доказательство основной теоремы 1).

[2] В. Б. Сухов. О схемах расщепления для уравнений динамики океана // Вестник Московского Университета, Серия 1: Математика. Механика. — 2009. — 1. - С. 29-33.

[3] В. Б. Сухов. Об априорных оценках для уравнений динамики океана и обосновании схем расщепления // Вычислительные методы и программирование. - 2009. - 10. — М. - С. 94-100.

Подписано в печать 03, 03 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,25 Тираж /СО экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ. В. Ломоносова

Введение

1 Формулировка задачи крупномасштабной динамики океана в обобщённой s-системе координат

1.1 Постановка задачи в тензорной форме.

1.2 Метрические коэффициенты.

1.3 Запись уравнений в 2-системе координат.

1.3.1 Геофизическая система координат.

1.3.2 Специальная система координат со смещённым северным полюсом

1.3.3 Специальная система координат со смещёнными северным и южным полюсами.

1.4 Уравнения в s-системе координат.

1.4.1 Примеры 5-систем.

1.5 Начальные и граничные условия.

1.6 Выводы.

2 Некоторые новые оценки для решения уравнений динамики океана

2.1 Введение.

2.2 Вспомогательные утверждения.

2.3 Новые априорные оценки для решения задачи динамики океана.

2.4 Выводы.

3 Методы регуляризации уравнений динамики океана

3.1 Постановка задачи.

3.2 Метод стабилизации давления.

3.2.1 Связь метода стабилизации и схем дискретизации по времени

3.2.2 Вспомогательные утверждения

3.2.3 Теорема о сходимости метода

3.3 Альтернативный метод регуляризации.

3.3.1 Связь метода и схемы расщепления.

3.3.2 Сходимость альтернативного метода регуляризации.

3.4 Выводы.

4 Исследование сходимости разностных схем по времени для уравнений динамики океана

4.1 Введение.

4.2 Вспомогательные утверждения.

4.3 Сходимость одношаговых схем.

4.3.1 Полностью неявная схема.

4.3.2 Полунеявная схема

4.4 Сходимость двухшаговых схем.

4.4.1 Двухшаговая схема с учётом действия силы Кориолиса на первом этапе расщепления.

4.4.2 Двухшаговая схема с учётом действия силы Кориолиса на втором этапе расщепления.

4.5 Сходимость трёхшаговой схемы.

4.6 Схема второго порядка точности

4.7 Замечание о линейной задаче

4.8 Исследование схемы расщепления для полной системы уравнений.

4.9 Выводы.

Одной из наиболее крупных и важных задач математического моделирования геофизических процессов является задача моделирования крупномасштабной динамики мирового океана. Наряду с моделями динамики атмосферы модели динамики океана играют важнейшую роль в решении задач долгосрочного прогноза изменения климата, краткосрочного прогноза погоды, а также моделирования развития катастроф, в том числе техногенного характера. В настоящее время общепринятой основой моделирования крупномасштабных океанических явлений служит широко известная система уравнений крупномасштабной динамики океана (примитивных уравнений) [11], [13], [34]. На основе последней во многих мировых научных центрах созданы модели [27], [3], включающие большие программные комплексы, результаты вычислений по которым служат основой для выработки рекомендаций правительствам государств в связи с угрозой глобальных климатических изменений.

Система уравнений динамики океана вызывает интерес как с точки зрения прикладного моделирования геофизических процессов [2], [4], [16], [26], так и с точки зрения теоретического математического анализа [21], [25], [19]. В течение ряда лет с момента появления математической модели крупномасштабной динамики океана предпринимались попытки строго математического обоснования её корректности. В частности, в [25] была доказана теорема существования "в малом", а именно, было показано, что при любом коэффициенте вязкости и любых достаточно гладких начальных условиях и существует интервал времени, зависящий от исходных данных задачи, на котором существует решение. В то же время, проблема существования решения "в целом" (на произвольном промежутке времени) при любом коэффициенте вязкости в течение долгого промежутка времени оставалась открытой. Существование решения "в целом" было доказано для ряда частных случаев. Например, в [21] существование решения "в целом" было доказано в предположении малости размера области в вертикальном направлении. Отсутствие завершённых результатов в этой области не позволяло получить строгое обоснование численных методов используемых при решении задачи. Серьёзным продвижением в области теоретического исследования задачи стала доказанная в работе [23] теорема существования и единственности решения задачи "в целом" (т.е. при любом положительном значении коэффициента вязкости, любых достаточно гладких начальных данных, произвольном интервале времени и произвольной области). Это позволило строго обосновать применение численных методов решения задачи.

При численном решении начально-краевой задачи для системы уравнений крупномасштабной динамики океана используются как явные [16], [20], так и неявные схемы по времени [26]. В последнем случае перед исследователями встаёт задача решения сложной по структуре системы эволюционных уравнений в частных производных с большим количеством неизвестных, что в совокупности со сложной геометрией расчётной области приводит после дискретизации задачи к системе нелинейных (в случае использования линеаризованных схем — линейных) уравнений с огромным (порядка сотен миллионов) количеством неизвестных на каждом шаге по времени, имеющей очень сложную структуру. Прямое решение такой системы известными на данный момент методами практически невозможно даже с использованием новейшей вычислительной техники и последних программных комплексов. Более того, разработка специальных алгоритмов, позволяющих получить решение всей системы уравнений, также представляется затруднительной. В этой ситуации в основу алгоритма решения задачи в модели, разрабатываемой в ИВМ РАН [2], [4], [26], была положена техника методов расщепления [10]. Идея методов расщепления заключается в разбиении оператора задачи на аддитивные составляющие и последовательное обращение более простых операторов с использованием дробных шагов по времени.

Для параболических систем эволюционных уравнений с линейным оператором (зависящим или не зависящим от времени) достаточно давно была построена общая теория методов расщепления (иначе называемых аддитивными схемами) — см., например, работы [10], [15]. Для систем уравнений, не являющихся системами типа Коши-Ковалевской и для систем с нелинейным дифференциальным оператором исследование применимости таких методов носит индивидуальный характер. Для системы уравнений Навье-Стокса применение схем расщепления (наиболее известной из которых является схема Чорина) было обосновано в работах [18], [28], [31] и [33]. Однако до настоящего времени аналогичных исследований схем расщепления для уравнений динамики океана проведено не было. Система уравнений крупномасштабной динамики океана имеет ряд существенных отличий от системы уравнений Навье-Стокса (иная структура неизвестных функций, отличающаяся структура нелинейных членов, присутствие членов, обусловленных наличием силы Кориолиса), которые делают полученные для системы уравнений Навье-Стокса результаты не переносимыми непосредственно на рассматриваемую задачу и требуют проведения дополнительных исследований. Восполнение этого пробела являлось центральной задачей данной диссертации. Задача в целом решена и в некоторых предположениях, представляющихся естественными, была доказана сходимость решения, получающегося по методу расщепления, к решению исходной задачи при уменьшении шага по времени.

Другим направлением, по которому велись исследования, результаты которых также представляют предмет диссертации, является так называемая проблема полюса. Суть проблемы заключается в трудностях решения задач гидродинамического моделирования па сфере при использовании широтно-меридианной системы координат таким образом, что полюс системы попадает в расчётную область, как это имеет место в случае Мирового океана. При численных расчётах модель динамики океана, использующая в качестве системы координат обычную широтно-меридианную систему, даёт существенные искажения вблизи северного полюса (южный полюс, как известно, попадает на материк): на части границы, соответсвующей полюсу, ставят "нефизичные" искусственные граничные условия. Одним из возможных путей решения этой проблемы является предъявление такой системы координат, в которой особенность (полюс) попадала бы на материк, по возможности дальше от расчётной области. Преимуществом данного пути является возможность адаптации существующих программных комплексов к новой постановке задачи.

В результате появилась идея конформного преобразования сферы с целью переноса полюса на материковую область и соответствующего новой координатной системе преобразования уравнений модели. Первым шагом в данном направлении стали координатные сетки с перенесённым на материковую сушу северным полюсом, а южным полюсом оставленным на месте. Однако практика использования данных сеток в модели динамики океана ИВМ РАН выявила один их существенный недостаток: новый "экватор" на таких сетках не совпадает с обычной линией экватора, и на новой карте географический экватор представляет собой кривую линию, не совпадающую с координатной линией. При использовании конечно-разностной модели это обстоятельство затрудняет исследование важных геофизических феноменов, связанных с осевым вращением Земли [13]. Поэтому автором был предложен ещё один класс координатных систем, в которых Северный и Южный полюс смешаются на одинаковое количество градусов вдоль одного меридиана в направлении друг к другу. В таких координатных системах экватор остаётся на месте. Важным условием практической реализуемости системы является наличие материковых точек, имеющих одну и ту же долготу и симметричную широту, в которые можно было бы перенести полюса. К счастью, такие точки на Земле имеются, и их удалённость от акватории Мирового океана представляется достаточной для проведения практических расчётов. По данному направлению необходимо упомянуть работы [32], [24] , в которых независимо были получены похожие результаты: Таким образом, задача диссертации является актуальной и имеет прямое практическое значение.

Результаты диссертации представлены в четырёх главах и трёх приложениях. Первая глава диссертации содержит формулировку задачи крупномасштабной циркуляции океана в так называемой обобщённой s-системе координат, представляющей собой обобщение различных координатных систем на многообразии, на котором формулируется и решается задача крупномасштабной циркуляции океана. В частности, широко применяемая в ИВМ РАН cr-система координат также входит в класс s-систем. Для исключения "проблемы полюса" предлагаются два класса систем, также являющихся s-системами — со смещённым северным полюсом и с обоими смещёнными полюсами. Последние системы имеют то преимущество, что, как было сказано выше, линия их экватора совпадает с обычной линией экватора на земном шаре. Рассмотрены конкретные примеры новых координатных систем, со смещением полюса в ту или иную точку на материке.

Вторая глава диссертации посвящена получению новых априорных оценок для решения задачи крупномасштабной динамики океана, необходимых для исследования сходимости методов приближенного решения. В фундаментальной работе [23] получены следующие априорные оценки решения задачи крупномасштабной динамики океана: max (|Mli + \\dzu\U + 1Ы| + \\p\h + М + 1Ы1) < с, г I т

1кн?+1ы1?+над|?)л<с. о

Однако этих оценок оказывается недостаточно для доказательства сходимости приближенных решений к точному. Поэтому в диссертации получены новые априорные оценки: тах(|М|^ + Ы\г + llVPll + llV'Pill + 1ИМ ^ с> т

IKtl|ii<ft+ WpaW^dt) ^ с, о где

Pi =Р-Р2, z 1 z p2(t,x,y,z) = J gp(t,x,y,£)d€ - J J gp(t,x, y, £)d£dz. 0 0 0 Данные оценки получены в предположении, что область удовлетворяет некоторому условию регулярности. Следует отметить, что эти оценки являются более сильными по сравнению с полученными ранее, и существенным образом опираются на них.

Третья глава посвящена теоретическому исследованию методов регуляризации системы уравнений динамики океана. Известная проблема устойчивости численных методов для уравнений Навье-Стокса, связанная с присутствием уравнения несжимаемости, имеет ряд решений, основанных на введении в уравнения добавочных членов с малым параметром. В главе исследуются аналогичные подходы для системы уравнений крупномасштабной динамики океана. А именно, рассмотрены два метода регуляризации системы уравнений, для которых с использованием полученных во второй главе априорных оценок доказаны теоремы о сходимости методов. В частности, рассмотрен аналог известного метода стабилизации давления, в котором в качестве регуляризирующего члена в уравнение несжимаемости добавляется величина —еАр. Доказано, что при е —> 0 решения регуляризованной задачи сходятся к решению исходной задачи со скоростью л/е.

Четвёртая глава содержит наиболее значимые теоретические результаты и посвящена исследованию сходимости разностных по времени схем для уравнений крупномасштабной динамики океана, в том числе схем расщепления, применяемых на практике. В главе последовательно рассматриваются схемы дискретизации по времени уравнений крупномасштабной динамики океана, начиная с полностью неявной схемы и заканчивая схемой трёх-этапного расщепления. Кроме того рассмотрена схема второго порядка аппроксимации — схема Крапка-Николсон, а также отдельно рассмотрена линейная задача, для которой получен любопытный результат точного решения задачи при помощи схемы расщепления. В концы главы развитая для гидродинамического блока задачи техника переносится на исследование полной системы уравнений и доказывается сходимость решений применяемой на практике схемы к точному решению задачи. Стоит отметить, что исследования схем расщепления для уравнений крупномасштабной динамики океана отличается от исследования схемы Чорина для системы уравнений Навье-Стокса рядом факторов. Это и иная структура неизвестных функций, и принципиально меньшая гладкость компоненты щ вектора скорости течения, для определения которой имеется только уравнение первого порядка — уравнение неразрывности. Важным отличием также является наличие членов, обусловленных действием силы Кориолиса, что заставляет рассматривать разные варианты двухэтапных схем расщепления, один из которых, наиболее интересный с точки зрения практического применения, принципиально отличается от схемы Чорина присутствием дополнительного члена на этапе проекции на подпространство, существенно усложняющего рассмотрение. Кроме того, наличие силы Кориолиса приводит к потребности рассмотрения трёхэтапной схемы расщепления:

-.71+1/3 „,П

I. - »Аип+1/3 + В(ип~1/3, ип+1'3) = fn+1, f ип+2/3 ип+1/3 v'pn+1 = о,

II. г 1

J divV1

2/3dz = О,

71+1 „тИ-2/3

III. VL-Vl-+ iun+1 = o, r где

B(u,v) = u-Vv - J div'udzdzv, £un+l = {-kv%+\ fcu?+1) , r = T/N, n = о

Для этой схемы па основании априорных оценок из второй главы, получен следующий результат: существует постоянная с, зависящая только от исходных данных задачи, такая, что для любого достаточно малого т выполнено неравенство: b{tn) ~ Un~2'Z || + ||ll(in) - U^W + ||U(tn) - tin||) < Су/т.

Такая трёхэтапная схема в теоретических работах рассматривается впервые.

В приложениях А и В приводятся расчётные формулы для перехода к новым координатным системам со смещённым северным и смещёнными обоими полюсами соответственно и вычисления метрических коэффициентов этих координатных систем и производных метрических коэффициентов, участвующих в уравнениях модели.

Результаты, представленные в приложении С, получены совместно с группой моделирования динамики океана ИВМ РАН: В.Б. Залесным, Н.А. Дианским, А.В. Гусевым. Данные этих численных экспериментов получены при использовании новой версии модели крупномасштабной динамики океана на основе уравнений, записанных в специальной криволинейной системе координат с обоими смещёнными полюсами.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на конференциях "Ломоносовские чтения 2008" и на международной конференции "Математические идеи П. JI. Че-бышева и их приложение к современным проблемам естествознания" в 2008 году. Результаты также неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ, факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ, Института математического моделирования РАН, факультета математического моделирования Московского энергетического института, Института вычислительной математики РАН, Вычислительного центра РАН в 2007 - 2009 годах.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Георгию Михайловичу Кобелькову, за постановки задач, за помощь и поддержку на протяжении долгих лет научно-исследовательской деятельности, приведшей к получению результатов, изложенных в настоящей диссертации. Автор также выражает глубокую благодарность ведущему научному сотруднику Института вычислительной математики РАН Владимиру Борисовичу Залесному за постановку задачи построения специальной системы координат, постоянный интерес к работе и плодотворные обсуждения получаемых результатов. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, в особенности Чнжонкову Е.А., Корне-ву А.А., Ольшанскому М.А., Попову А.В., Лапшину Е.А., Арушаняну О.Б., Арушаняну И.О., Григорьеву PI.C., Богачёву К.Ю., Валединскому В.Д., Староверову В.М. и ныне, к сожалению, покойному Ищенко С.Я., в прекрасном коллективе которых сформировалось его профессиональное видение проблематики современной науки и методики её преподавания в университете. Автор выражает признательность всему коллективу сотрудников и аспирантов ИВМ РАН за многочисленные плодотворные дискуссии и проводимые совместные исследования, в особенности Дианскому Н.А., Агошкову В.PI., Гусеву А.В. и Ботвиновскому Е.А.

Основные результаты диссертации:

• Предложена специальная ортогональная криволинейная система координат па сфере, не имеющая особенностей в виде полюса в расчётной области (акватории Мирового океана) и сохраняющая земной экватор в качестве координатной линии. Задача крупномасштабно!! динамики океана сформулирована в этой системе координат.

Получены новые априорные оценки для решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана.

В некоторых предположениях регулярности области доказана сходимость решений, получающихся в результате применения методов регуляризации системы уравнений крупномасштабной динамики океана, к точному решению задачи.

В некоторых предположениях регулярности области доказана сходимость решений дискретных по времени схем (в том числе схем расщепления, применяемых на практике) для уравнений крупномасштабной динамики океана к точному решению задачи. " ". • ■ . — - - • ^

Заключение

Изучение климата Земли и, в частности, изучение влияние Мирового океана на климат представляет огромный интерес для исследователей, специализирующихся в различных областях естествознания. Математическая модель крупномасштабной динамики мирового океана порождает множество практически значимых и интересных в своих постановках математических задач, предоставляя широкое поле для деятельности исследователя-математика. Одним из первых шагов в направлении исследования системы уравнений динамики океана стали локальные теоремы существования и теоремы существования в различных предположениях малости исходных данных [25], [18]. Для численного решения задачи были предложены алгоритмы, основанные на схемах расщепления [6], [9]. Некоторое время назад в работе [23] был доказан важный фундаментальный результат о существовании и единственности решения "в целом" на произвольном промежутке времени в сильной норме по времени. Это продвижение позволило поставить новые задачи, связанные с системой уравнений динамики океана и её численном решении и перейти к их изучению. В частности встал вопрос обоснования использования методов расщепления для системы уравнения динамики океана. Его решение составляет важную часть диссертации.

Параллельно с развитием теоретического знания о математической модели динамики океана практика численного моделирования развивалась и ставила свои задачи. Вопрос построения системы координат, позволяющей обойти трудности, связанные с присутствием полюса в расчётной области, имел важное практическое значение, поскольку результаты расчётов задачи глобальной циркуляции Мирового океана на сетках, построенных на основе обычной широтно-меридианной системы признавались неудовлетворительными. Задача существенно усложнялась требованием сохранения экватора как линии сетки. Тем не менее, благодаря идее смещения не только северного, но и южного полюса такую координатную систему удалось построить и сформулировать задачу глобальной широкомасштабной циркуляции океана в новой системе координат. При этом потребовалось провести значительный объём технической работы по переформулировке системы уравнений и вычислению метрических коэффициентов и других величин, необходимых для использования новой координатной системы. Результаты этих исследований составляют другую часть диссертации.

Уравнения динамики океана в специальной криволинейной системе координат и сама специальная координатная система служат на сегодняшний день основой для последней версии модели глобальной циркуляции Мирового океана, разрабатываемой в ИВМ РАН. С использованием формул, приведённых в приложениях к диссертации, сотрудниками ИВМ РАН разработаны и внедрены соответствующие программные модули.

1. В.Г. Вилъке. Теоретическая мехакника. — М.: Изд-во МГУ, 1998.

2. Н.А. Дианский, Е.М. Володин. Воспроизведение современного климата с помощью совместной модели общей циркуляции атмосферы и океана // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. — 2002. — Т. 38. — 6 — С. 824-840.

3. Н.А. Дианский, А. В. Багно, В. Б. Залесный. Сигма-модель глобальной циркуляции океана и ее чувствительность к вариациям напряжения трения ветра // Изв. АН. Физика атматмосферы и океана. — 2002. — Т. 38. — 4. — С. 537-556.

4. Н.А. Дианский, В. Б. Залесный, С.Н. Мошонкин, А. С. Русаков. Моделирование мус-соннной циркуляции океана с высоким пространственным разрешением // Океанология. — 2006. Т. 46. — 4. — С. 421-442.

5. А. О. Иванов, А.А. Тужилин. Лекции по классической дифференциальной геометрии. — М.: Логос, 2009.

6. В.Б. Залесный. Моделирование крупномасштабных движений в мировом океане — М.: ОВМ АН СССР, 1984.

7. О.А. Ладыженская, Н.Н. Уралъцева. Линейные и квазиленейные уравнения эллиптического типа — М.: Наука, 1964.

8. О.А. Ладыженская. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости — М.: Наука, 1970.

9. Г. И. Марчук. Численное решение задач динамики атмосферы и океана на основе метода расщепления — Л.: Гидрометеоиздат, 1972.

10. Г.И. Марчук. Методы расщепления — М.: Наука, 1988.

11. Г.И. Марчук, А. С. Саркисян. Математическое моделирование циркуляции океана — М.: Наука, 1988.

12. М. А. Ольшанский. О задаче Стокса с модельными краевыми условиями // Матем. сб. 1997. - 188:4. - С. 127—144.

13. До/с. Педлоски. Геофизичская гидродинамика в 2-х т. — Т.1. — М.:Мир, 1984.

14. Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу. — М.: Высшая школа, 1999.

15. А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. Аддитивные схемы для задач математической физики — М.: Наука, 2001.

16. А.С. Саркисян, Ю.Л. Дёмин и др. Методы и результаты расчёта вод Мирового океана- Л.: Гитрометеоиздат, 1986.

17. Л.И. Седов. Механика сплошной среды. — М.: Лань, 2004.

18. Р. Темам. Уравнения Навье-Стокса теория и численный анализ — М.: Мир, 1981.

19. Ch. Cao and E.S. Titi. Global Well-posedness of the Three-dimensional Viscous Primitive Equations of Large Scale Ocean and Atmosphere Dynamics // arXiv:math.AP/0503028.- Nov 2005. V. 2. — 16.

20. Haidvogel D.B., Malanotte-Rizzoli P., Young R.E. Initialization and data assimilation experiments with a primitive equation model // Dyn. Atmos. and Oceans. — 1989. — V. 13. — pp. 349-378.

21. Ch. Hu, R. Temam and M. Ziane. The primitive equations on the large scale ocean under the small depth hypothesis // Discrete and continuous dynamical systems. — 2003. — V.9.- 1. pp. 97-131.

22. G. Kobelkov. Existence of a solution "in the large" for the 3D large-scale ocean dynamics equations // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. — 2006. — 343. — p. 283-286.

23. G. M. Kobelkov. Exitence of a solution "in the large" for Ocean Dynamics Equations // J. math, fluid mech. — 2007. — 9. pp. 588-610.

24. S.J. Marsland et al. The Max-Plan ck-Institute global ocean/sea ice model with orthogonal curvilinear coordinates // Ocean Modelling — 2003. — 5 — pp. 91-127.

25. J.L. Lions, R. Temam and S. Wang. On the equations of the large-scale ocean// Nonlinearity. — 1992. — 5. — pp. 1007-1053.

26. G.I. Marchuk, A.S. Rusakov, V.B. Zalesny and N.A. Diansky. Splitting Numerical Technique with Application to the High Resolution Simulation of the Indian Ocean Cirkulation // Pure appl. geophys. — 2005. — 162. — pp. 1407-1429.

27. G. Madec, P. Delecluse, M. Imbard, C. Levy. OPA 8.1 Ocean General Circulation Model. Reference Manual. — Institute Pierre Simon Laplace — December 1998.

28. Prohl A. Projection and Quasi-Compressibility Methods for Solving the Incomressible Navier-Stokes Equations — B.G. Teubner: Stuttgart, 1997.

29. Rannacher R. On Chorin's projection method for the incompressible Navier-Stokes Equations// Navier-Stokes Equations II — Theory and Numerical Methods. Lecture Notes in Math. — Berlin: Springer, 1992. — 1530. — pp. 167-183.

30. J.L. Roberts et al. Pole relocation for an orthogonal grid: An analitic method // Ocean Modeling — 2006 12 — pp. 16-31.

31. J. Shen. On error estimates of projection methods for Navier-Stokes equations: first order schemes// SIAM J. Numer. Anal. — 1992. — Vol. 29. — No. 1. — pp. 57-77.

32. Temam R., Miranville A. Mathematical Modeling in Continuum Mechanics // Cambridge University Press, 2005.

33. Работы автора диссертации:

34. В.Б. Сухов. Об априорных оценках для уравнений динамики океана и обосновании схем расщепления / / Вычислительные методы и программирование. — 2009. — 10. №1. - С. 94-100.

35. В. Б. Сухов. О схемах расщепления для уравнений динамики океана // Вестник Московского Университета, Серия 1: Математика. Механика. — 2009. — 1. — С. 29-33.

36. G.M. Kobelkov, V.B. Sukhov. Justification of splitting scheme for ocean dynamics equations // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2008. — V. 23. — 4. — pp. 389-406.