Контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Шарло Алена Станиславовна

Контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова—Петровского—Пискунова

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005567697 2 2 АПР 2075

Москва - 2015

005567697

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Быков Алексей Александрович, доктор физико-математических наук, профессор

Бободжанов Абдухафиз Абдурасулович,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ» Нестеров Андрей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования города Москвы «Московский городской педагогический университет» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Защита состоится « » С 2015 г. в ^£^часов на заседании диссерта-

ционного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр.2, физический факультет, СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан « 2015 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук, профессор

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

П.А. Поляков

Общая характеристика работы

Работа посвящена развитию метода асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра на новый класс задач, а именно, на начально-краевую задачу для псевдопараболического уравнения в частных производных, так называемого уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова (ОКПП). Уравнение ОКПП описывает некоторые физические процессы в полупроводниках [7]. Начально-краевая задача для уравнения ОКПП имеет вид:

Актуальность темы

Математические модели разнообразных физических процессов приводят к дифференциальным уравнениям с малым параметром при старших производных. Известно, что некоторые уравнения с малым параметром при старших производных имеют решения вида контрастной структуры (КС) [3|. В данной работе изучаются КС типа ступеньки, для которых характерно наличие протяженных областей, в которых решение близко к одному из уровней насыщения (такие области называются пятнами) и узких областей, в которых решение изменяется от одного из уровней насыщения до другого (данные области называют внутренними переходными слоями (ВПС)).

Большой интерес представляют нестационарные КС, в которых фронт перемещается под действием процессов переноса и диффузии в неоднородной среде. Одними из основных методов исследования нестационарных КС являются метод асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра и метод дифференциальных неравенств [3].

В работе метод асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра и метод дифференциальных неравенств для параболических уравнений обобщаются на класс псевдопраболических уравнений - уравнение ОКПП, имеющее при определенных условиях решение вида контрастной структуры типа ступеньки.

Уравнение ОКПП описывает процессы, происходящие в полупроводниках [7]. В работе [7] приведено большое количество физических задач, математические модели которых приводят к псевдопараболическим уравнениям. Рассматриваемый нами в качестве примера случай кубической функции плотности источников имеет широкое физическое применение, например, в задачах астрофизики [4], а также при описании так называемого эффекта Олла в динамике популяций [10].

(

|(Ди - и) + кАи - /(и. х) = 0, X е Д г 6 (0. Т)

= мСМ), хедй,1е (о,Г),

и(:г,0) = ио(х), х € И.

(1)

Начально-краевая задача для уравнения ОКПП с малым параметром при старших производных (например, ^(е4 Аи-£2и)+ке2Аи-/(и. х, е) = 0, е > 0) является сингулярно возмущенной, это означает, что при е = 0 уравнение из дифференциального в частных производных превращается в алгебраическое. Сингулярно возмущенные уравнения описывают широкий класс задач, встречающихся в физике, химии, биологии. Физический смысл введенного малого параметра е состоит в том, что он позволяет описать так называемые "быстрые" и "медленные" во времени процессы.

К настоящему времени детально изучены процессы дрейфа фронтов КС для уравнения реакции-диффузии при условии, когда скорость дрейфа нулевого порядка \У0 ф 0 и сохраняет свой знак во всей области £>. Кроме того, изучены задачи, в которых скорость дрейфа нулевого порядка меняет знак при переходе через некоторую точку. Актуальным является исследование поведения тонких переходных слоев в случае, когда скорость дрейфа нулевого порядка обращается в ноль в некоторой точке, но при этом сохраняет знак в ее окрестности. Такую точку мы будем называть особой. В работе мы рассмотрим задачу с особой точкой и приведем полный анализ прохождения ВПС через особую точку для уравнений реакции-диффузии и ОКПП. Полученные результаты позволяют дать ответ на вопрос о том, будет ли тонкий переходный слой остановлен особой точкой или пройдет сквозь нее. Этот вопрос важен для описания процессов в полупроводниках, связанных, например, с явлением пробоя.

Как известно [9], естественным классом, в котором надо искать решения псевдопараболических уравнений, является класс обобщенных решений. Имеется широкий класс практически важных задач, в котором среды являются разрывными функциями координат. Это возникает, например, при наличии контакта двух различных материалов с отличающимися параметрами. В этом случае классическое решение не существует, поэтому является актуальной задача исследования псевдопараболических уравнений с малым параметром при старших производных.

В теории КС типа ступеньки исследуются функции плотности источников с тремя корнями или большим числом корней. Если рассматривать только полиномиальные функции, то необходимо, чтобы степень полинома была не меньше трех, что приводит к трудностям при обосновании обобщенных решений. Поэтому актуальным является метод обоснования существования обобщенных решений для функций /, отличающихся от полиномов. В данной работе мы рассмотрим Липшиц-непрерывную функцию / по переменной и.

Цель работы

Перечислим основные цели работы:

1. Развитие метода асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра для уравнений более общего класса, чем уравнение реакции-диффузии, а именно для квазилинейных псевдопараболических уравнений. Построение формальной асимптотики для уравнения ОКПП с малым параметром при старших производных:

^е*ихх-е"и) + ке1и„-/(и,х,е) = 0, х € П, t е (0,Т), (2)

с начальными условиями = ф(х,1,е), х е дБ, í 6 (О,Т),

и граничным условием и(х, 0, е) = щ(х. е). х 6 Б,

в случае сбалансированной (/^'¿^ /(«, х, О= 0 при х е [а, Ь] и и = 2) и несбалансированной неоднородности

Ни>х>0)аи 0 для х 6 [а, Ь] и ^ = 1.)

2. Развитие метода дифференциальных неравенств для уравнений более общего класса, чем уравнение реакции-диффузии, а именно для квазилинейных псевдопараболических уравнений. Построение верхнего и нижнего решений уравнения ОКПП. Доказательство существования решения указанного уравнения с помощью метода асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра и метода дифференциальных неравенств.

3. Исследование поведения внутреннего переходного слоя в окрестности особой точки для уравнений реакции-диффузии и ОКПП.

4. Доказательство существования обобщенного решения уравнения ОКПП с Липшицевой функцией плотности источников. Решение начально-краевой задачи для уравнения ОКПП с малым параметром при старшей производной и с разрывной по г и Липшиц-непрерывной по и функцией плотности источников методом асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра. Построение верхнего и нижнего обобщенных решений указанной данной задачи.

5. Развитие функционально-аналитических методов исследования начально-краевых задач на класс задач с малым параметром при старшей производной, имеющих решения типа контрастной структуры.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в том, что в работе

1. Метод асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра впервые применен для псевдопараболического квазилинейного уравнения ОКПП. Построена формальная асимптотика вида контрастной структуры для уравнения ОКПП с помощью метода асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра для случаев сбалансированной и несбалансированной плотности источников.

2. Проведено доказательство корректности построенной формальной асимптотики и существования решения рассматриваемых начально-краевых задач для уравнения ОКПП с помощью развития метода дифференциальных неравенств на новый класс псевдопараболических квазилинейных уравнений с малым параметром при старших производных.

3. Обосновано применение обобщенного принципа сравнения для псевдопараболического уравнения ОКПП с малым параметром при старших производных.

4. Предложен новый метод исследования поведения решений параболических и псевдопараболических уравнений при наличии особых точек для уравнений реакции-диффузии и ОКПП. Новизна метода заключается в применении старших порядков асимптотических разложений, на основании которых сформулировано и обосновано достаточное условие прохождения и останова фронта КС в окрестности особой точки.

5. Доказано существование обобщенного решения уравнения ОКПП с малым параметром при старших производных с Липшицевой функцией плотности источников. Впервые построена формальная асимптотика для псевдопараболического квазилинейного уравнения ОКПП в случае разрывной функции плотности источников. Таким образом, метод асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра развит на случай задач с обобщенными решениями.

Практическая ценность

Практическая ценность полученных в данной работе результатов обусловлена огромной ролыо, которую играет теория полупроводников в современной физике и технике, в том числе процессы, описываемые уравнением ОКПП. Уравнение ОКПП возникает из системы уравнений Максвелла [9]. В качестве примера

физических моделей, описываемых уравнением ОКПП, можно привести модель нестационарных процессов в униполярном полупроводнике во внешнем магнитном поле [61, модель, описывающую процессы, происходящие в полупроводнике с отрицательной дифференциальной проводимостью [9[.

Задачи с особой точкой для параболических и псевдопараболнческих уравнений и разрывной функцией плотности источников имеют широкие приложения в физике и биологии. Уравнение реакции-диффузии, являющееся частным случаем уравнения ОКПП, для которого проведено исследование при наличии особых точек, описывает процесс генерации магнитных полей в турбулентной среде в астрофизике [4], процесс распространения в воздухе частиц загрязнений в экологии, распространения пламени при горении и взрыве [1]. В биологии данное уравнение используется при описании задачи динамики популяций (например, модель хищник-жертва), динамики распространения числа пораженных клеток в живом организме, в том числе мутировавших клеток при лейкемии, цитокининов при атеросклерозе [10].

Положения, выносимые на защиту

1. Построение и обоснование формальной асимптотики для нового класса задач - псевдопараболического квазилинейного уравнения ОКПП в частных производных с малым параметром.

2. Построение и обоснование верхнего и нижнего решений для нового класса задач - псевдопараболического квазилинейного уравнения ОКПП в частных производных с малым параметром при старших производных.

3. Обоснование возможности применения обобщенного принципа сравнения для начально-краевой задачи для псевдопараболического квазилинейного уравнения ОКПП в частных производных с малым параметром при старших производных.

4. Создание методики, устанавливающей прохождение контрастной структуры через особую точку для параболического и псевдопараболического квазилинейного уравнения в частных производных с малым параметром.

5. Обоснование существования обобщенного решения псевдопараболического квазилинейного уравнения ОКПП с малым параметром для класса Липшиц-непрерывной функции плотности источников. Разработка алгоритма построения формальной асимптотики и ее обоснования для указанной задачи.

Апробация результатов

Основные результаты, излагаемые в данной работе, были представлены на 8-th International Society for Analysis, its Applications and Computation (ISAAC) Congress (РУДН, Москва, 2011 г.); на Научной конференции "Тихоновские чте-ния"(МГУ, Москва, 2011, 2013 гг.); на Четвертой Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвящённой 90-летию со дня рождения Л. Д. Кудрявцева (РУДН, Москва, .2013 г.). Также результаты были изложены на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2010"(МГУ, Москва, 2010 г.) и на научном семинаре по асимптотическим методам под руководством А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова, Н. Н. Нефедова.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 научных работах, 3 из которых изданы в рецензируемых журналах по перечню ВАК. Список статей приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из 6 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 174 страницы, включая 35 рисунков, без таблиц и приложений. Библиография включает 86 наименований.

Основное содержание работы

В главе 1 рассматривается актуальность работы и научная новизна, возможность практического применения методов и результатов диссертации. Приведен обзор литературы по рассматриваемой тематике. Указаны результаты, полученные в теории асимптотических разложений для уравнения реакции-диффузии. Даны ссылки на работы А. Н. Тихонова [8| - автора метода, а также на работы его последователей - А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова, Н. Н. Нефедова [3]. Указаны результаты, полученные М. О. Корпусовым, А. Г. Свешниковым в области обобщенных решений псевдопараболических уравнений. Приведено обобщение теоремы сравнения с класса эллиптических уравнений на класс псевдопараболических уравнений, сформулированное в работе А. И. Кожанова [5].

В главе 2 рассматривается следующая начально-краевая задача с малым параметром £ для уравнения ОКПП:

!ещ - £*риХХ1 = £2кихх - /(и,х,£),

и*(а,М) = 0, Чх(М,е) = 0, (3)

и(х,0,£г)

х е (а,Ь), Ь е [0,Т], и{х,1,е) 6 (С2(а,Ь)ПС(0,Т))ПС(Й), П = (а,6) х (0,Т), е > 0, к > 0, ¡1 > 0.

Глава посвящена построению формальной асимптотики вида контрастной структуры типа ступеньки для начально-краевой задачи (3) в случае несбалансированной функции плотности источников, а также построению верхнего и нижнего решений.

Построение формальной асимптотики производится при выполнении следующих условий:

Условие 2.1. Функция /(и,х, с) является достаточно гладкой в области П. все производные, которые встречаются в формулах асимптотического разложения, непрерывны.

"Условие 2.2. Уравнение }{и,х, 0) = 0 имеет ровно три корня, и = <р{0)(х), причем </?н(*) < ч>{0)(х) < при х е [а, Ь]

и /и(<^(х);х,0) > 0, /и(<^°>(х),х,0) < 0 при х 6 [а, 6].

Условие 2.3. На промежутке [а, Ь] выполнено неравенство

В0(х) > 0, (4)

гАе В0{х) = /(и, х,0)с1и.

Построение формальной асимптотики производится с помощью метода асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра ¡2].

Метод асимптотического разложения основан на следующих принципах. Точкой перехода х* = х*(<,е) называется координата, характеризующая положение ВПС и удовлетворяющая уравнению: и(х*, г, е) = <^0)(х*). В окрестности точки перехода вводится растянутая переменная

■ ? = (5)

в пограничной области вводятся растянутые переменные Са, Сь-

= —>0, С> = ~<о. (6)

Рассматриваются начально-краевые задачи слева и справа от точки перехода:

«4±} - = е2ки£> - /(#),!,е),

и£-)(а, е) = 0, и[+)(6,е) = 0, (7)

= I*), и(±)0г,О,е) = 0.

Асимптотическое разложение , е) стоится в виде суммы регулярной

части й(х,е), не зависящей от времени, функций переходного слоя е) в

окрестности ВПС и пограничных функций П01ь(Са,б):

и{~\х,г,£) + х<х*\ (8)

им{х,1,е) =й(+»(х,е)+<3(+)($,<,е) + П,,(Сь,е), х > х*. (9)

Каждое слагаемое в (8), (9), а также координату точки перехода представим в виде ряда по степеням малого параметра:

оо

п(±)(х,£) = ^£Ч±)М- (10)

ОО

к=0 оо

Па,б(С,ь,£) = ~Ее%аЛ)к(Са,ь), (11)

оо А:=0

Формальная асимптотика п-го порядка строится в виде частичных сумм п-го порядка для

, ¿.е), входящих в (8), (9). Рассмотрим отдельно слагаемые разных порядков, зависящие от каждой из переменных, используя при этом условия сшивания функций и их первых производных в точке перехода:

{/<->(х*ЛО = и^(х*,1,е), ^->(х*,М) = иЫ{х*,1, е). (12)

Координату точки перехода в каждом приближении будем находить из задачи сшивания производных.

Приведем выражение для скорости дрейфа ВПС в нулевом порядке ^ = ИЪ

Ио= ■ (13) 10

гдеи(,(0 = К>(х„) + д«(о, €<о.

В нулевом порядке скорость дрейфа ВПС для уравнения ОКПП, так же как и для уравнения реакции-диффузии, определяется величиной баланса функции интенсивности источников /. Задача Коши для определения хо имеет вид:

^ = (14)

Х0(0) = Х00;

где хоо € (а, Ь) задает начальное положение фронта.

Аналогично, вычисляя функции ¿^'(х), и принимая во внимание

условие сшивания производных в точке перехода (12) для слагаемых порядка е, найдем

[А^ 1'(ОСу^Ы - ух^^о))] |* + «[/^(0] ц\у0н{д(0%]

(15)

«да

где введены обозначения: ф(*>(С) = = §£{§,

НШ[ф(±)] = ±1 (¡ЫфЫЦЖ = н^-Ц + ,

'(£) = + КД, = б^Ы^Л + 27/е.

Оператор £> действует на дифференцируемую функцию ф(£) по правилу Тф(0 = хо) - (р^Ы.хо).

В первом порядке дрейф обусловлен диффузионным членом (в (15) содержит коэффициент к) и ОКПП членом (в (15) содержит коэффициент ц).

Координата хх(г) находится из задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка

<1х 1 ... т1/

— = Ж1И'1в + \У1Ь. (16)

ц(0) =0.

Выражения И^а и \\\ъ не приводим, их можно вывести из (15). Координата точки перехода более высоких порядков определяется из задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения

=£- = хтЩа + \УтЬ, (17)

ах

где УУп,(, - известная функция.

Обоснование построенной формальной асимптотики производится с помощью построения верхних и нижних решений и использования метода дифференциальных неравенств и обобщенного принципа максимума [5]. Верхнее Р{х,Ь,е) и нижнее а{х, Ь, е) решения строятся путем модификации формальной асимто-тики. Верхнее решение поднимается и сдвигается влево, нижнее решение опускается и сдвигается вправо относительно асимптотического разложения (8), (9).

Пусть выполнены условия:

"Условие 2.4. Будем считать, что начальное условие и°(х,е) представляет собой сформировавшуюся КС, начальное условие для положения точки перехода х*(0,е) = хоо- Предположим, что функция и°(х, е) на [а, Ь] заключена между нижним и верхним решениями уравнения ОКПП: с*т(х, 0. е) <и°(х,£) < ¡3т(х,0,е).

Условие 2.5. Неравенство 0(х, г) > с*(х, £, е) выполняется при х £ [а, Ь], 4 € [0,Т].

Условие 2.6. Функция

А(и. х. е) = /(и. х, е) — е~1и (18)

не возрастает по переменной и на промежутке и € [а(х,£,г),/?(х, 4.е)].

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1.(об асимптотическом разложении).

Пусть выполнены Условия 2.1 — 2.4, тогда для решения и(х,£,е) задачи (3) верны следующие оценки:

|и(х,г,е) - £/п(х,ггг)| < Сеп+1 е В, где

- частичные сумлт п-го порядка рядов (8), (9).

Теорема 2.2.Пусть существуют нижнее а(х^,е) и верхнее /3(х, £,е) решения задачи (3). Пусть, кролье того, выполняются Условия 2.5,2.6. Тогда существует классическое решение задачи (3), удовлетворяющее неравенствам

а(х, г, е) < и(х, г, е) < /3(х, £, е) (19)

при х 6 [а, 6], Ь е [0,Т].

В главе 3 строится формальная асимптотика, а также нижнее и верхнее решения для уравнения ОКПП в случае сбалансированной неоднородности:

Г е2п( - е4/«1х:г4 = е2кихх - /(и. г), , .

\ и(а,1,е) — иа, и(Ь^,£) = иь, и(х,0,е) = Ф(х.е), ^ '

Задача со сбалансированной неоднородностью отличается от рассмотренной в главе 2 тем, что степень малого параметра при щ равна е2, а не £. Такая расстановка степеней малого параметра выбрана в целях удобства, для того чтобы

скорость дрейфа ВПС нулевого порядка была отличной от нуля. В задаче со сбалансированной неоднородностью скорость движения ВПС j-гo порядка будет определяться из з + 1-го приближения.

Построение формальной асимптотики проводится при выполнении Условий 2.1, 2.2. 2.4. Вместо Условия 2.3 мы потребуем выполнения следующего условия: Условие 3.1 Пусть выполнено условие баланса

В(х) = I /(и,х,0)(1и = 01 хе[а,Ь\. (21)

Л><->м

Для сбалансированной неоднородности условия сшивания в нулевом порядке выполняются для любого х, поэтому координата точки перехода нулевого порядка находится из первого приближения. Приведем задачу Коши для координаты .то и значение скорости дрейфа для кубической функции плотности источников

Л и и(х0) 1 + &' (22)

.то(0) = хоо-

Обратим внимание на отличие уравнения ОКПП от уравнения реакции-диффузии: скорость для ОКПП уменьшается по модулю за счет появления нового слагаемого в знаменателе.

В главе 3 нами построены нижнее а(х, и верхнее ¡5{хЛ,г) решения задачи (20) путем модификации формальной асимптотики.

С помощью метода дифференциальных неравенств доказывается следующая теорема об асимптотическом разложении.

Теорема 3.1.(об асимптотическом разложении)

Пусть выполнены Условия 2.1,2.2,2.4.3.1, тогда для решения и(х, Ь, е) задачи (20) верны следующие оценки:

КМ.е) - ип(х,1:е)\ < Сел+1 в Г», где

и^\х,1,е) - частичные сулимы п-го порядка рядов (8), (9). Пусть выполнено условие: Условие 3.2. Функция

Л (и,х,е) = }{и,х,е)-и (23)

не возрастает по переменной и на промежутке и £ [а(х, Ь, е), (3{х, Ь, е)]. Заметим, что Условие 3.2 отличается от Условия 2.5. Нами доказана следующая теорема.

Теорема 3.2.Пусть существует нижнее а(х, е) и верхнее 0{х, £, е) решения задачи (3). Пусть, кроме того, выполняются Условия 2.5,3.2. Тогда выполняются следующие неравенства

a(x,t,e) < u(x,t,e) < p(x,t,e) для всехх € [a, b], t 6 [0,T]. В главе 4 сформулировано понятие особой точки. Особой точкой будем называть координату, в которой скорость дрейфа ВПС нулевого порядка обращается в ноль, но не меняет знак в окрестности этой точки. Таким образом, исходя из уравнения нулевого порядка нельзя сделать вывод о том, пройдет ли ВПС через особую точку, или остановится в ее окрестности. В главе 4 найдены условия прохождения ВПС для через особую точку для уравнений реакции-диффузии и ОКПП. Нас интересует глобальный характер поведения КС при t —оо. Если скорость дрейфа ВПС в нулевом порядке Wq обращается в ноль, то в зависимости от значений скоросги старших порядков возможно как прохождение ВПС через особую точку, так и его запирание. Исследование данного вопроса является важным в ряде задач физики и биологии.

Рассматривается задача для сбалансированных уравнений реакции-диффузии и ОКПП в случае кубической функции плотности источников

|(eV* - е2и) + е2кихх - уи(и2 - U2(x)) = 0, х € D, t е (О, Т), . . и(х, 0) = гг-о(х), х 6 D, и(х, t: е) = ф{х, t, е), х 6 dD, (£ (0, Т). К >

Предположим, что скорость дрейфа нулевого порядка больше нуля во всех точках, кроме точки xst0p, называемой особой, в которой она обращается в ноль. При этих условиях существуют примеры дифференциальных уравнений, решение которых асимптотически стремится Kxstop (непрохождение ВПС), или стремится к xstap за конечное время (прохождение ВГ1С). Для исследования вопроса о прохождении необходимо рассмотреть старшие порядки асимптотики, на основании которых мы даем точный ответ, будет ли иметь место прохождение ВПС через особую точку или останов в ее окрестности.

Для рассматриваемой задачи выражение для скорости дрейфа нулевого порядка имеет вид:

пк <25>

следовательно, Ux(xstop) = 0. Пусть W0 > 0 при х е [а,х5гор) U (xs4op,6]. Это означает, что Ux(x) < 0 при х €Е [a,xstop) U (х5(ог,,Ь]. Тогда для решения вопроса о прохождении слоя через особую точку нам необходимо вычислить скорость дрейфа в первом приближении. В силу симметрии функции плотности источников она обращается в ноль, Wi(xstap) = 0. Это приводит к необходимости вычисления результатов третьего приближения, из которого определяется скорость дрейфа второго порядка:

Константа Сг > 0, поэтому ВПС пройдет через особую точку в случае, если иххх{х5(ор) < 0.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1.(о прохождении ВПС через особую точку)

Пусть их{х) < 0, х € [а,х81ор) и (х5(ор,Ь], их{хз1ор) — 0, ихх(хз1ор) = 0 и иххх{хц1ор) < 0, тогда ВПС проходит -через особую точку. Если иххх(х$(ор) > 0, то ВПС не проходит через особую точку.

Если иххх{хЛор) = 0, то в этом случае Теорема 4.1. не отвечает на вопрос о прохождении, прохождение определяется следующими порядками асимптотики.

Глава 5 посвящена исследованию начально-краевой задачи для уравнения ОКПП с разрывной по х функцией плотности источников. В этом случае классическое решение не существует, так как в точках разрыва правой части вторая производная по координате может не существовать.

Задача, имеющая решение вида КС типа ступеньки, предполагает наличие по крайней мере трех корней функции плотности источников, при этом правая часть задачи вида многочлена будет иметь порядок не меньше трех. Мы применяем метод, используемый в работе [9], на случай Липшиц-непрерывной пои неоднородности:

|/(иьх)-/(и2;т)| < С|«1 - и2| (27)

для любых х 6 Д г^.2 € Я1, где С > 0 - постоянная величина. В качестве примера Липшиц-непрерывной функции плотности источников можно привести:

иг-У2(1)), м<щ, хео, Пп,2) \$1Щ-1и\х))и-21и1 \и\>ий, }

где Щ > тахд |[/(х)|.

В главе 5 доказано существование обобщенного решения уравнения ОКПП для Липшиц-непрерывной неоднородности, теорема сравнения для обобщенного решения, построена формальная асимптотика для задачи с разрывной функцией плотности источников.

Рассматриваемая начально-краевая задача для уравнения ОКПП имеет вид:

Г (г4Ди-е2и)г + е2кАи-/(и,х) = 0, ( .

\ и{х, 0) = щ(х), х е П, и(х, £) = 0, х е (XI, £ € (0. Т). ^ >

При этом при обосновании глобальной разрешимости мы рассматриваем многомерную задачу, а при построении формальной асимптотики переходим к одномерному случаю. Зависимость и от е имеет место, но в явном виде в этой главе не указывается.

Под обобщенным решением задачи (29) мы будем подразумевать функцию и(х,£) = и(х)(4) из класса С'1'([01Т];Ио(П))) где 0 < Т < +оо, удовлетворяющую условиям

о(«) = от * е [0,71.

«(0) = и0(х) 6 Н5СЯ), 1 ;

оператор В задан следующим образом:

Ви = (£4Аи - е2и)г + £2кАи - /(и, х). (31)

Для Липшиц-непрерывной по и функции плотности источников (27) справедлива следующая теорема.

Теорема 5.1.(о глобальной разрешимости)

Для любого щ 6 Ид(^) и для любого Т е (0, оо) существует единственное обобщенное решение задачи (30), принадлежащее классу функций

СЯ([0,Т];Нй(П)).

В этой главе приводятся определения обобщенного верхнего и нижнего решений задачи (30), которые строятся путем модификации формальной асимптотики.

Предположим, что функция / зависит также от е, / = /(и, х, е), и при этом сохраняется условие Липшица по переменной и.

Предположим, что выполнены следующие условия:

Условие 5.1. Пусть а, ¡3 - обобщенные верхнее и нижнее решения задачи (30), |а| < и.о, \Р\ < Со- Дифференцируемая функция \{и,х,е) — /(и, х,е) — и не возрастает по и на и £ [—¿То, Г/о] для всех х € [а, 6].

Условие 5.2. Пусть также а|пх(о.г) ^ «1йх(о.т> ^ Р\йх{о,Т) " а(х,0) < и0{х) < Р(х, 0).

При выполнении этих условий справедлива теорема:

Теорема 5.2.(сравнения)

Пусть и - обобщенное решение задачи (30), а, ¡3 - обобщенные нижнее и верхнее решения, пусть также выполнены Условия 5.1,5.2. Тогда а < и < ¡3 на всей области П для всех 4 € [0,Т], где Т - врел1я, за которое нижнее региение достигнет области погранслоя.

Для доказательства теоремы рассматривается линеаризованная задача

-е2ик+1Л 4- + £2кик+1.1Х - ик+1 = /(щ., х, г) - ик,

ик+1{х, ¿) = 0, X е дп, г 6 (0, Т), (32)

и*:+1(х, 0) = и0{х), X € П.

Доказывается, что итерационная последовательность будет удовлетворять условиям а < щ < щ ... ик < /3. Для последовательности ик существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторой функции, которая будет точным решением нашей задачи.

Суть теоремы сравнения заключается в том, что если в начальный момент времени и на границах обобщенное решение заключено между верхним и нижним обобщенными решениями, то оно останется в промежутке между ними до тех пор, пока нижнее решение не достигнет области погранслоя.

В качестве иллюстрации метода асимптотического разложения для разрывных функций главе 5 построена формальная асимптотика для задачи (20) с разрывной функцией плотности источников

/{и, х, е) = /о (и, х) + г Ми, х), (33)

где главная часть является полиномом

Ми,х)=7и(и2-и2(х)), (34)

а возмущение задано следующим образом:

[ 0, при х < х,

¡х(и,х) = _

1 —2уии{х)йи, при х > х,

где 511 - постоянная величина. В силу того, что функция плотности источников является разрывной, задача (20) не имеет классического решения, а имеет обобщенное решение. Функции нулевого порядка при этом будут такими же, как в главе 3, так как разрыв влияет на задачи первого и более высоких порядков. Приведем выражение для скорости дрейфа ВПС нулевого порядка:

И'о = ^

1 + 502

1:их(хо) УЪМ Н^Щи'О - !)

и(х0) 2 у/2

(35)

где £ =

В главе 6 записывается разностная схема для получения приближенного решения начально-краевой задачи для уравнения ОКПП. Приближенное решение находится с помощью метода прогонки с итерациями.

На Рис.1 представлено движение фронта КС для сбалансированного уравнения ОКПП, которое было рассмотрено в главе 3, в случае с экспоненциальным потенциалом, <р(+'(:г) = х) = 5 ■ 2(-х~а)^ь~а). Направление движения про-

тивоположно координатной оси.

На Рис.2 приведены результаты моделирования задачи для уравнения ОКПП с разрывной функцией плотности источников, рассмотренной в главе 5, в случае, когда величина скачка 511 = На графике представлен набор снимков и{х,Ьт) для моментов времени £т = пгД£, Д£ = где ./V, - число шагов разностной сетки по времени. Величина скачка является отчетливо различимой, ВПС ускоряется при приближении к точке разрыва.

-0.8 -0.4 0 0.4 0.8

Рис. 1: Движение ВПС для уравнения О КПП. = -0.5 • 2^-ха^хЬ~ха\

<р(°){х) = 0, = -^(х), к - Ю-4. 7 = А' = 2 ■ Ю 4. По горизонтальной оси отложена координата х, по вертикальной оси - значения и(х, £„) для набора значений Ьп = 4- п1ц, образующих арифметическую прогрессию.

1 г

0.5 г

о-

-0.5-1 :

1.0-----;--------------г--------г — :

-0.5 0 0.5 1

Рис. 2: Дрейф ВПС в случае разрыва неоднородности на величину 51/ = По

горизонтальной оси отложена координата х, по вертикальной оси - значения

и{х, 1п) ДЛЯ и = п/г(.

Заключение

В настоящей диссертационной работе была изучена начально-краевая задача для квазилинейного псевдопараболического обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова (ОКПП) с малым параметром при старшей производной. Данное уравнение описывает неравновесные процессы в по-

лупроводниках с отрицательной дифференциальной проводимостью. В работе построена формальная асимптотика типа контрастной структуры для уравнения ОКПП в случае сбалансированной и несбалансированной неоднородностей. Обоснование асимптотического разложения проведено с помощью метода дифференциальных неравенств. Построены верхние и нижние решения для уравнения ОКПП. Показано, что точное решение заключено между нижним и верхним решениями.

В диссертации изучен новый класс задач с особой точкой, предложена методика исследования поведения решения в окрестности особой точки. Найдены достаточные условия прохождения и останова внутреннего переходного слоя при наличии особой точки.

В работе доказано существование обобщенного решения уравнения ОКПП на бесконечном промежутке времени для Липшиц-непрерывной функции плотности источников. Построена формальная асимптотика для уравнения ОКПП в случае разрывной функции плотности источников. Аналитические выкладки подтверждены результатами численного моделирования.

В качестве направлений последующего развития можно выделить дальнейшее изучение задач с разрывными неоднородностями, исследование вопроса о гладкости обобщенного решения, рассмотрение задач с особыми точками разных типов.

Список цитированной литературы:

[1] Баренблатт Г. И., Зельдович Я. Б. Промежуточные асимптотики в математической физике // Успехи математических наук. - 1971. - Т. 26. - Вып. 2(158). - С. 115-129.

[2] Божевольнов Ю. В., Нефедов Н. Н. Движение фронта в параболической задаче реакция - диффузия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2010. -Т. 50. - № 2. - С. 276-285.

[3] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика. - 1998. - Т. 4. - № 3. - С. 799-851.

[4] Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике - М. - Ижевск: Ин-т хаотич. динам., 2006. - 384 с.

[51 Кожанов А. И. Начально-краевая задача для уравнений типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником /'/ Математические заметки. - 1999. - Январь. - Т. 65. - Вып. 1. - С. 70-75.

[6] Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2000. - Т. 40. - № 8. - С. 1237-1249.

[7] Свешников А. Г., Альшин А. В., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. - М.: Физматлит, 2007. - 736 с.

[8] Тихонов, А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Математический сборник. - 1948. - Т. 22(64). - № 2. - С. 193-204.

[9] Korpusov М. О., Ovchinnikov А. V., Sveshnikov A. G. On blow up of genedalized Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation // Nonlinear Analysis. - 2009. - Vol. 71. - P. 5724-5732.

[10] Volpert V., Petrovskii S. Reaction-diffusion waves in biology // Physics of Life Reviews. - 2009. - Vol. 6. - P. 267-310.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Статьи в рецензируемых изданиях:

1. Быков А. А., Нефедов Н. Н., Шарло А. С. Динамика внутренних переходных слоев в начально-краевой задаче для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова // Ученые записки физического факультета МГУ. - 2012. - Т. 1. - № 2. - С. 1-9.

2. Быков А. А., Шарло А. С. Нестационарные контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова ,//' Вестник Московского университета. Серия 3. Физика, астрономия. - 2012. - № 2. -С. 3-8.

3. Быков А. А., Шарло А. С. Нестационарные контрастные структуры в окрестности особой точки // Математическое моделирование. - 2014. -Т. 26. - № 8. - С. 107-125.

4. Быков А. А., Нефедов Н. Н., Шарло А. С. Контрастные структуры для квазилинейного уравнения Соболевского типа с несбалансированной нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2014. - Т. 54. - № 8. - С. 1270-1280.

5. Bykov A. A., Nefedov N. N., Sharlo A. S. Contrast structures for a quasilinear Sobolev-type equation with unbalanced nonlinearity // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2014. - Vol. 54. - No. 8. - P. 12341243.

Публикации в сборниках тезисов:

1. Шарло А. С. О скорости дрейфа внутренних переходных слоев в некоторых задачах теории полупроводников // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2010". Секция "Физика": сборник тезисов. - М.: Физич. ф-т МГУ. - 2010. - Т. 1. - С. 163-164.

2. Быков А. А., Шарло А. С. Нестационарные контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова // Научная конференция "Тихоновские чтения 2011": тезисы докладов. - С.18-19.

3. Bykov A. A., Sharlo A. S. Inverse problem for the generalized Kolmogorov Petrovskii Piskunov equation /7 8-th Congress of the International Society for Analysis, its Applications and Computation, 22-27 August 2011: сборник тезисов. - М.:РУДН. - 2011. - С. 283.

4. Быков А. А., Нефедов Н. Н., Шарло А. С. Движущиеся внутренние слои в начально-краевой задаче для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова // Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция теоретической и математической физики: сборник тезисов докладов. - М.: Физич.-ф-т. МГУ. - 2012. - С. 168-170.

5. Bykov A. A., Sharlo A. S. Generalized Maximum Principle for Kolmogorov Petrovskii Piskunov equation. // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения РАН, академика Европейской академии члена-корреспондента наук Л. Д. Кудрявцева. -М.: РУДН. - 2013. - С. 288-289.

6. Быков А. А., Нефедов Н. Н., Саранцева Т. А., Шарло А. С. Существование и асимптотика фронтов в задачах реакция-диффузия в случае баланса реакции.// Научная конференция "Тихоновские чтения 2013": тезисы докладов. - С.60-61.

Подписано к печати -tfb.09i.15_

Тираж -¡ПО Затаз -

Отпечатано в о-гделе оппргтягкой печати фнзнчсскаго срагсультста МГ~У