Квазиклассическое приближение для нелокального уравнения Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Левченко Евгений Анатольевич

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ

НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФИШЕРА-КОЛМОГОРОВА-ПЕТРОВСКОГО-ПИСКУНОВА

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005549340

Томск-2014

2 - т гси

005549340

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», на кафедре высшей математики и математической физики, и федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», на кафедре теоретической физики

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Трифонов Андрей Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор Шаповалов Александр Васильевич

Официальные оппоненты:

Дубровский Владислав Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет», г. Новосибирск, кафедра прикладной и теоретической физики, заведующий кафедрой

Осетрин Константин Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профес сор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высше го профессионального образования «Томский государственный педагогически" университет», г. Томск., ректорат, проректор по научной работе

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технологический университет «СТАНКИН», г. Москва

Защита диссертации состоится " 26 " июня 2014 г. в 163° час. на заседании диссертационного совета Д 212.267.07, созданного на базе федерального государственног бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образова ния «Национальный исследовательский Томский государственный университет» по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на сайте федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего професси онального образования «Национальный исследовательский Томский государствен ный университет» www.tsu.rii.

Автореферат разослан " апреля 2014 г.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ http://www.tsu.ru/content/news/announcement of the dissertations in the tsu.php

Ученый секретарь />

диссертационного совета

Киреева Ирина Васильевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Нелинейные математические модели являются одним из основных инструментов анализа сложных систем и процессов. Модели реакционно-диффузионного тина описывают эволюцию систем, состоящих из большого числа элементов, взаимодействие которых носнт нелинейный характер. Среди таких моделей широкое распространение получила модель, основанная на уравнении Фишера-Колмогорова-Петровского-Пнскунова (ФКПП). Уравнение ФКПП возникает также при описании эволюции амплитуд физических процессов в квантовой хромодииамике в области высоких энергий. Нелокальные обобщения уравнения ФКПП используются в биофизике для описания по-пуляционной динамики, образования структур, популяционных волн и стационарных состояний в колониях микроорганизмов и т.д. Таким образом, развитие методов интегрирования нелокального уравнения ФКПП является актуальной задачей при исследовании таких систем.

Нелокальное уравнение ФКПП представляет собой нптегро-дифференцн-альное уравнение с частными производными. Для уравнений данного вида применение аналитических методов интегрирования сдерживается принципиальными математическими трудностями по сравнению с дифференциальными уравнениями. Как следствие, аналитических методов для нелинейных многомерных нптегро-дифференциальных уравнении известно мало и область их применения крайне ограничена, что объясняет широкое применение методов компьютерного моделирования в исследованиях нелокальных реакционно-диффузионных систем. Таким образом, становится очевидной актуальность разработки новых аналитических методов интегрирования нелокального уравнения ФКПП как с точки зрения развития современной нелинейной математической физики, так и в плане приложений к анализу соответствующих моделей физических и биологических систем.

Существует ограниченное число методов нахождения точных решений нелинейных и нелокальных уравнений, поэтому во многих случаях лишь асимптотические методы позволяют получить аналитические решения исходного уравнения с заданной точностью. Одним из таких методов, доказавших свою

эффективность при решении широкого класса уравнений квантовой механики, уравнения Гросса-Питаевского, уравнения Фоккера-Планка, является метод квазиклассических асимптотик. Уравнение ФКПП с нелокальной нелинейностью относится к классу нелинейных уравнений, близких к линейным. Таким образом, подходы, развитые для уравнения ФКПП, могут быть использованы для исследования других уравнений, близких к линейным. Поэтому развитие квазиклассических методов исследования моделей, описываемых нелокальным уравнением ФКПП, является актуальной задачей.

Цели и задачи работы

Цель работы развитие квазиклассических методов интегрирования нелокального уравнения ФКПП и использование полученных результатов для анализа нелинейных систем.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Разработать методы нахождения квазпклассических симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. Разработанный метод применить для наложения симметрия одномерного нелокального уравнения ФКПП.

2. Разработать методы нахождения квазиклассических операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. Найти сплетающий оператор ассоциированных линейных уравнений ФКПП с квадратичным оператором. Разработанный метод применить для нахождения операторов симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП.

3. Разработать методы построения асимптотических решений краевой задачи для нелокального уравнения ФКПП на больших временах. Применить разработанный метод для описания структур, локализованных на неполномерном многообразии в конфигурационном пространстве, для многомерного уравнения ФКПП и для решения краевой задачи с периодическими граничными условиями для одномерного уравнения ФКПП.

4. Разработать асимптотические методы построения квазпклассических решений многомерного нелокального уравнения ФКПП и многокомпонентного одномерного нелокального уравнения ФКПП.

Научная новизна

Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.

Для многокомпонентного одномерного уравнения ФКПП в явном виде найдено формальное асимптотическое решение с точностью до Для

одномерного нелокального уравнения ФКПП проведена оценка точности построенных квазикласснческих асимптотик. Впервые разработаны методы вычисления квазиклассических симметрии и операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. Найден фундаментальный сплетающий оператор для ассоциированных линейных уравнений ФКПП с квадратичным оператором с различными наборами констант. В явном виде найдены симметрии и операторы симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния. Впервые разработан метод нахождения асимптотических решений краевой задачи для нелокального уравнения ФКПП на больших временах. Найденные решения нелокального уравнения ФКПП позволяют описать квазистационарньге структуры.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты, полученные в диссертации, вносят значительный вклад в развитие асимптотических методов нелинейной математической физики.

Разработанные методы приближенного решения задачи Копш и краевой задачи для нелокального уравнения ФКПП открывают возможности аналитического исследования сложных физических и биофизических систем, состоящих из большого числа элементов, в частности, позволяют провести аналитическое описание важных в современной биофизике явлений процессов структурной самоорганизации в колониях микроорганизмов.

Разработанные методы вычисления квазикласснческих симметрий и операторов симметрии могут быть использованы для исследования симметрий-ных свойств (штегро-дифференцпальиых уравнений, близких к линейным.

Методология и методы исследования

В расчетах, проведенных при выполнении диссертационной работы, были использованы стандартные методы математической и теоретической физики,

о

теории групп и комплексного ростка В.П.Маслова. Для повышения достоверности ряд результатов аналитического расчета сравнивался с результататамн численного хюделирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод вычисления симметрии интегро-дифференциальных уравнений в кназпкласснческом приближении. С помощью разработанного метода вычислены квазикласснческис симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния.

2. Метод вычисления квазиклассическпх операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. В явном виде найден фундаментальный сплетающий оператор ассоциированных линейных уравнений ФКПП с квадратичным оператором и квазиклассичсские операторы симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния.

3. Метод построения асимптотических решений краевой задачи для нелокального уравнения ФКПП на больших временах. Разработанный метод применен для описания структур, локализованных на неполномерном многообразии в конфигурационном пространстве, для многомерного уравнения ФКПП и для решения краской задачи с периодическими граничными условиями для одномерного уравнения ФКПП.

4. Асимптотическое решение для многокомпонентного уравнения ФКПП. В явном.виде получена динамическая система Эйнштейна Эрснфсста, найдены функция Грина и оператор эволюции.

Степень достоверности

Научные положения и выводы полностью обоснованы. Достоверность результатов, полученных в диссертации, определяется корректным применением строгого математического аппарата и апробированных методов, а также совпадением в ряде частных случаев с результатами, опубликованными в работах российских и зарубежных ученых.

Личный вклад автора

Все результаты, вошедшие в диссертацию, получены при личном участии автора в постановке задач н вычислениях. Совместно с научными руководителями были сформулированы цели и задачи исследования. Анализ современной литературы по тематике диссертации, проведение расчетов, а также апробация результатов на российских н международных конференциях проводились автором лично.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на конференциях:

— XXI Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Дубна, февраль 2014 г.;

— X Международная конференция «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, апрель 2013 г.;

— XX Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, январь - февраль 2013 г.;

III Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, апрель 2012 г.;

— IX Международная конференция «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, апрель 2012 г.:

XIX Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, январь февраль 2012 г.;

— XVIII Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, ягтварь 2011 г.;

— VII Международная конференция «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, апрель 2010 г.,

а также па научных семинарах кафедры высшей математики и математической физики Томского политехнического университета, кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета.

По теме диссертации опубликовано 9 статей в отечественной и зарубежной научной печати, а также 8 тезисов докладов на всероссийских и международных конференциях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, трех приложений, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 107 библиографических ссылок. Общий объем диссертации составляет 105 страниц. Работа содержит 14 рисунков.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, проведен обзор литературы, установлена связь результатов, представленных в диссертации, с результатами работ других ученых, описана структура диссертации и сформулированы ее основные задачи.

В первой главе описывается метод построения асимптотических решений задачи Коши для многомерного нелокального уравнения ФКПП вида

[-Ddi + Я[а](х, t)]«(í, t) = 0: (1)

Н[и}(х, t) = 0с, #) - (f¡, t) + * jf^ W;(X, y., t)u(y, t)dy\

+Da{x, t)-DxJ b{x, y, t)u{y, t)dy, u(x,t)\t=0 = y(x). R" (2)

Здесь t e x = (:ci-.... xu)T, y = (yi,....yn)\ x,y € M" независимые переменные; угловые скобки (.,.) обозначают евклидово скалярное произведение векторов пространства R"; dx — dx\ ■ ■ ■ dx„\ функция и(х. t) принадлежат пространству Шварца S по неременным х 6 М" и равномерна lio t > 0; вещественный параметр D есть постоянный коэффициент диффузии; 7? = Dd¡, дц — д/дх. Функции а(х, £), b(x. у, i), V(x. í), W(.т. y, í) являются бесконечно гладкими и растущими при |х|, оо не быстрее, чем полином. Векторы-

градиенты V3 = VrYix.t) и W¿ = VX1V(x,y,t) в уравнении (1) описывают локальные и нелокальные средние конвективные скорости, соответственно; а(х, t) — темп автокатализа в системе (рост функции и(х, t) со временем); величина b(x, у, t) — функция влияния; и(х, t) имеет смысл популяционной плотности.

Решение задачи Коши строится в классе траекторно-сосредоточенных функ-

ци üVfD{X(t,D),S{t,D)):

VtD(X(t, D), S(t, D)) = |ф|ф(х, i, D) = t, -ö) exp [is(i, D)]}, (3)

где вещественная функция ¡р{т}, t, D) принадлежит пространству Шварца S по переменной ff 6 R", гладким образом зависит от t и регулярно зависит от VD при D -» 0; Ах = х - X(t,D), а вещественные функции S(t,D) (аналог классического действия в линейном случае при ус = 0) и X(t,D), характеризующие класс VtD(X(t, £>), S(f, D)), регулярно зависят от \ÎD в окрестности D = 0 и подлежат определению.

Для уравнения (1) в классе траекторно-сосредоточенных функций построена динамическая система Эйнштейна-Эренфеета (ЭЭ), описывающая эволюцию моментов функции u(x,t), типа (к, М) при к = 0. Здесь к — размерность многообразия, на котором сосредоточено решение, M - наибольший порядок учитываемых моментов. Система ЭЭ типа (0,1) на функции m = m{t) и х = x(t) имеет вид

{m — а(х, t)rn — xb(x, x, t)rn2, ^

ï = Vj(:c, t) + xWï{x, x, t)m.

Для уравнения ФКПП с квадратичным оператором

[ - Ddt + Пф, х\ mu(t), *„(«))]«(£, t) = 0, (5)

7}(i,£;mti(i),£„(i)) = <#, - <#, I<i(t)x) - xma(i)(^, [K2(t)x+

+/C3(i)à?«(t)]> + Da(t) - Su(t)) + k0(t)), (6)

mu(t) = J u{x,t)dx, xu(t) =J xu{^t)dx: (7)

R" ' X"

найден в явном виде точный оператор эволюции. Здесь Ki(t), Kn(t), Ki{t) — произвольные матричные функции размера п x n; fci(t) — произвольная вектор-функция; a(t) и k0{t) — произвольные функции. Все указанные функции гладко зависят от t.

Для одномерного уравнения ФКПП вида (1) при

кх2 ( {х- у)2 V(x, 0 = У, t) = Wo exp I--

a(x, t) = a, b(x, y, t) = b0 exp I--^— I, (8)

где к, Wq, a, b0,71,72 — вещественные параметры, проведена оценка точности построенных квазикласснческих решений. В качестве критерия оценки точности была выбрана невязка квазиклассических асимптотик в классе Ь2. Показано, что существуют значения параметров системы, при которых норма невязки ограничена и точность асимптотического решения сохраняется на всем временном интервале, и значения параметров, при которых невязка стремится к нулю, а асимптотическое решение стремится к точному.

Во второй главе разработаны методы вычисления квазиклассических симметрия н операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. Для нахождения квазиклассических симметрии классический групповой анализ применен к объединенной конечной системе дифференциальных уравнений, состоящей из исходного уравнения и частных производных и системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей эволюцию моментов искомой функции. Найденные симметрии подчинены дополнительным интегральным соотношениям, которые следуют из определений моментов.

Определим линейный оператор T>(t, С', С) следующими условиями:

L{t, С')V(t, С', С) = V(t.. С', C)L(t, С),

V(LC',C)\t=0 = i, (9)

где L(t,C) и L(t, С) - линейные операторы с различными наборами параметров С' и С, соответственно; I единичный оператор. Оператор V{t, С'. С) будем называть фундаментальным сплетающим оператором. Найден сплетающий оператор двух ассоциированных линейных уравнений ФКПП с квадратичным оператором. Разработан метод вычисления квазиклассических операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным, с использованием сплетающего оператора ассоциированных линейных уравнений.

Разработанные методы применены для нахождения лиевских симметрии, сплетающего оператора и операторов симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния Ь(х, у, t) = b вида

+30

и{х, t) = 0. (10)

-dt + Ddl + a-Ь J u(y,t)dy

Для уравнения (10) получены следующие генераторы группы симметрии

точечных преобразований:

г> 1 л тид хд /1 (р. тЛ д у?тц ти д = "а ~<р"д1 23х ~ \2 ~а ~ф)и~дй а ~ д д

Х-2 = <ри—+ <рти--—, (И)

ди ати

где

+ СС +эс

ц= J и(х,€)(1х. (р(ти) = а - Ьгг1и, гпя= J Я(т,г,х)с1х,

772

.. 1 1 7П" 1 1 г = £--1п---, г = — 1п ■

а а — Ьти а а — Ьти'

а П.(т,г,х) произвольное решение уравнения

= ОЯХ1 + <¿>7?.

Фундаментальный сплетающий оператор Т>Ц, С', С) для двух ассоциированных линейных уравнений ФКПП вида

[ - + Ш; + а - bm.it, С)]г(х, t, С) = 0, (12)

соответствующих уравнению (10), с различными наборами констант С' и С имеет вид

За с С) -

а счетный набор нелинейных операторов симметрии А„({) уравнения (10). действующих на произвольное решение и(х, ¿) с начальным условием и(х,£)|г=о = определяется соотношением

(14)

С=СЫ

rn.it. С) 7тг(0. С')

где (рп{х) = (а(+)(0))"у(-г). операторы симметрии уравнения (12).

линейные по операторам Одх и х, такие что

[«'">(г),а«(г)] = 1.

В третьей главе описывается метод нахождения асимптотических решений уравнения ФКПП на больших временах. Эти решения описывают квазистационарные структуры.

Исследуются структуры, описываемые уравнением (1) с функцией влияния, не зависящей от времени (Ъ{х,уЛ) = Ь-,(х, у)), и локализованные на односвязном многообразии

л? = (х €:

x = X(t,s),se gcrM (15)

размерности fc, причем к < п, где п — число независимых переменных в уравнении. Здесь вещественные переменные s, s 6 G С параметризуют многообразие Л*; вещественный вектор X(t, s) гладко зависит от t е К1 и параметров s. Многообразие Af несет в себе информацию об эволюции области локализации структуры.

Решение и(х. t) уравнения (1) порождает на многообразии Af распределение p(t.s), которое можно рассматривать как квазиклассически сосредоточенную пютность (КСП) при D —> 0 в пространстве КСП определяется более простыми уравнениями но сравнению с нсходньгм уравнением (1) и несет наиболее важную информацию о структуре.

Эволюция таких структур может быть исследована с помощью системы уравнений, описывающей динамику области локализации структуры и КСП на ней:

p{t,s) = p{t,s)[a{X{t,s),t) - х J b1{X{t,s),X{t..s'))p{t..s')ds1], (16)

G

j?(t, s) = V,{X{t, „), + WV(J?(t, a),X(t, s'),t)p{t, s')ds'. (17)

G

Систему (1G), (17) называем системой ЭЭ типа (fc, 1).

С точки зрения квазиклассического формализма рассматривается специальный случай формирования двумерной структуры. Для этого исследуется двумерное уравнение (1) в классе функций, сосредоточенных в окрестности 1D кривой (окружности) в 2D пространстве (R2). В отсутствие дрейфа найдено точное решение данной системы для постоянного начального условия. Для нахождения асимптотического решения системы применена теория возмущений н построены асимптотики на больших временах Т (Т —> оо). Проведено численное моделирование исходной системы и показано, что результаты аналитического расчета и численного моделирования хорошо согласованы. На рис. 1 изображена КСП p(t.s), локализованная на окружности радиуса R и полученная при решении системы (16), (17) аналитически (штриховая линия) и в результате численного расчета (сплошная линия), при V(x. t) = О,

\У(х,у^) = о, а = 1, Ь7(£,у) = Ь0ехр{ - (х-у)2/272}, Ь0 = 1, * = Я = 1, Г = 10, рДя) = (ч/^)"1 + Т"1 ехр(-52/0-6).

Рис. 1: Графики функции р(М) при 4 = 200 и -> = 0.05 («), 1 (Ь), 1.5 {с) и 50 (с1).

Разработанный метод прнмепен для анализа структур, локализованных па неполномерпом многообразии при наличии диффузии, и для решения одномерного уравнения ФКПП с периодическими граничными условиями.

В четвертой главе рассмотрено двухкомпонентное обобщение одномерного уравнения ФКПП вида

диМ = _ ^ [ ^ +

дЬ ()х2 дх

эс

+.4(.г. *) - хВ{х, 1)н(.т, г) ! (Ь(.т, у., 1),й{у, (18)

Для уравнения (18) получена динамическая система Эйнштейна-Эренфес-та типа (0,М), найдены в явном виде функция Грина и приближенный с точностью 0(£>3/2) оператор эволюции. Для частного случая уравнения (18)

найдено численное решение.

В приложении А получены опенки операторов, справедливые в классе

траекторно-сосредоточеиных функций.

В приложения Б и В вынесен ряд технических моментов, связанных с вычислением квазнклассически сосредоточенной плотности.

В заключении излагаются основные результаты диссертации.

Основные результаты работы

В работе впервые получены следующие основные результаты:

1. Для многомерного нелокального уравнения ФКПП построена система Эйн-штейна-Эренфеста типа (О, М). описывающая эволюцию моментов искомой функции с точностью 0(£><м+1>/2). В явном виде найдено асимптотическое решение задачи Коши для многомерного нелокального уравнения ФКПП в классе траекторио-сосредоточенных функций с точностью 0(£>ЛГ/2), N > 3.

2. Для многомерного нелокального уравнения ФКПП построена система Эйнштейна Эренфеста типа (к, 1), описывающая эволюцию квазнклассическн сосредоточенной плотности и многообразия локализации решения.

3. Для одномерного нелокального уравнения ФКПП проведена оценка точности построенных квазиклассических асимптотик.

4. Разработан метод вычисления квазиклассических симметрнй для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. В явном виде вычислены квазикласснческие симметрии и с их помощью найдено инвариантно-групповое решение для одномерного нелокального .уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния.

•5. Разработан метод вычисления квазиклассичсских операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. В явном виде найден фундаментальный сплетающий оператор ассоциированных линейных уравнений ФКПП с квадратичным оператором и квазикласснческие операторы симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния.

6. В рамках квазиклаесичсского приближения построено асимптотическое решение краевой задачи для нелокального уравнения ФКПП на больших временах. Разработанный метод применен для описания структур, локализованных на неполномерном .многообразии в конфигурационном пространстве, для многомерного уравнения ФКПП н для решения краевой задачи с периодическими граничными условиями для одномерного уравнения ФКПП.

7. Построено асимптотическое решение для многокомпонентного уравнения ФКПП. В явном виде получена динамическая система Эйнштейна-Эрен-феста типа (О, М), найдены квазиклассическне функция Грина и оператор эволюции.

Публикации по теме диссертации:

Статьи в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных

журналов и изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией

при Мииобрнауки России, и в библиографическую базу Web of Science-.

1. Levchenko E.A., Trifonov A.Y., Shapovalov A.V. Pattern formation in terms of semiclassically limited distribution on lower dimensional manifolds for the nonlocal Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation // J. of Phys. A: Mathematical and Theoretical. - 2014. - Vol. 47. - 025209. - 1,25 п.л / 0,7 п.л. DOI: 10.1088/1751-8113/47/2/025209 (Web of Science)

2. Левченко E.A., Трифонов А.Ю., Шаповалов A.B. Асимптотические решения нелокального уравнения Фишера Колмогорова Петровского Пис-кунова на больших временах /7 Компьютерные исследования и моделирование. 2013. - Т. 5, № 4. С. 543-558. - 1 п.л / 0,4 п.л.

3. Левченко Е.А., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Операторы симметрии нелокального уравнения Фишера Колмогорова Пстровского-Ппскуиова с квадратичным оператором // Известия высших учебных заведений. Физика. 2013. - Т. 56, № 12. С. 86-95. - 0,55 п.л / 0.3 п.л.

4. Levchenko Е.А., Trifonov A.Y., Shapovalov A.V. Symmetries of the Fisher Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation with a nonlocal nonlinearity in a seiniclassical approximation <7 J. of Math. Analysis and Applications. - 2012.

Vol. 395, № 2. - P. 716-720. 0,68 п.л / 0,4 п.л. DOI: 10.101G/j.jmaA.2012.05.086 (Web of Science)

5. Левченко E.A., Трифонов А.Ю., Шаповалов A.B. Оценка точности решения нелокального уравнения Фишера-Колмогорова-Петровского Пис-куиова // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2012. - Т. 55. Л'! 12. С. 47-53. - 0,29 п.л / 0,15 п.л.

переводная версия: Levchenko Е.А., Trifonov A.Y., Shapovalov A.V. Estimate of Accuracy of Solution of the Xonlocal Fisher -Kolomogorov-Petrovskii -Piskunov Equation // Russian Physics Journal. 2013. Vol. 55, № 12. P. 1425-1433. - 0,29 п.л / 0,15 п.л. - DOI: 10.1007/slll82-013-9976-9 (Web of Science)

6. Левченко E.A., Трифонов А.Ю., Шаповалов A.B. Квазиклассическое приближение для одномерного двухкомпонентного реакционно-диффузионного уравнения с нелокальной нелинейностью // Вестник Адыгейского

гос. ун-та. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. -2010. - Т. 61, № 2. - С. 64-74. - 0,68 п.л / 0,4 п.л. Публикации в других научных изданиях:

1. Левченко Е.А. Нелокальное уравнение Фишера-Колмогорова-Петров-ского-Пискунова и система Эйнштейна.-Эрснфеста типа (k, 1) // Труды X Международной конференции «Перспективы развития фундаментальных наук». - Томск, 2013. - С. 565-567. - 0,18 п.л.

2. Левченко Е.А. Оператор эволюции уравнения Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова с квадратичным гамильтонианом // Труды IX Международной конференции «Перспективы развития фундаментальных наук». ~ Томск, 2012. - С. 585-587. - 0,18 п.л.

3. Левченко Е.А., Трифонов А.Ю.. Шаповалов A.B. Квазиклассическое приближение для многокомпонентного обобщенного уравнения Фоккера-Планка /'/ Труды VII Международной конференции «Перспективы развития фундаментальных наук». Томск, 2010. - О. 489-491. - 0,18 п.л / 0,06 п.л.

Отпечатано «Томском ЦНТИ» Россия, г. Томск, пр. Фрунзе, 115/3. Тел.: 44-40-50 Заказ N2347. Тираж ЮОэкз.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет»

На правах рукописи

04201460175

Левченко Евгений Анатольевич

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФИШЕРА-КОЛМОГОРОВА-ПЕТРОВСКОГО-

ПИСКУНОВА

01.04.02 - Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор А.Ю. Трифонов, доктор физико-математических наук, профессор A.B. Шаповалов

Томск-2014

Содержание

Введение 4 Глава 1. Оператор эволюции и операторы симметрии уравнения ФКПП с квадратичным

гамильтонианом 15

1 Класс траекторно-сосредоточенных функции 15

2 Объединенная система и квазиклассическое приближение 17

3 Система ЭЭ для многомерного нелокального уравнения ФКПП 20

4 Структура решения нелокального уравнения ФКПП в классе траекторно-сосредоточенных функций 23

5 Оператор эволюции уравнения ФКПП с квадратичным оператором 28

6 Квазиклассические асимптотики нелокального уравнения ФКПП с точностью

7 Невязка квазиклассических асимптотик нелокального уравнения ФКПП в одномерном случае 37

Глава 2. Квазиклассические симметрии и операторы симметрии уравнения ФКПП 44

8 Симметрии объединенной системы 44

9 Нелокальное одномерное уравнение ФКПП с постоянной функцией влияния 47

10 Л невские симметрии 48

11 Общая схема вычисления операторов симметрии 53

12 Фундаментальный сплетающий оператор уравнения ФКПП 56

13 Операторы симметрии и генерация решений для одномерного уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния 61

Глава 3. Асимптотические решения уравнения ФКПП на больших временах 65

14 Многообразие локализации 65

15 Эволюция многообразия локализации 67

16 Решения системы ЭЭ без конвективного слагаемого 68

17 Точное решение системы ЭЭ 71

18 Асимптотические решения системы ЭЭ на больших временах 73

19 Уравнение на КСП с диффузионным слагаемым 79

20 Краевая задача для одномерного уравнения ФКПП 81 Глава 4. Двухкомпонентное уравнение ФКПП 84

21 Система ЭЭ для многокомпонентного уравнения ФКПП 84

22 Многокомпонентное ассоциированное уравнение ФКПП 87

23 Пример решения двухкомпонентного уравнения ФКПП 89

Заключение 92

Приложение А 94

Приложение Б 95

Приложение В 96

Список литературы 98

Введение

Нелинейные математические модели являются одним из основных инструментов анализа сложных систем и процессов. Значительное число моделей, используемых для изучения нелокальных взаимодействий в физических, химических и биологических системах, описываются нелинейными нелокальными интегро-дифференциальными уравнениями (ИДУ).

Среди ИДУ, нашедших широкое применение в физике, особое место занимают кинетические уравнения. Подробный обзор кинетических явлений и их моделей в физике плазмы, в динамике разреженного газа и других физических системах можно найти в [1,2].

В теории бозе-эйнштейновского конденсата используется уравнение Гросса - Питаевско-го (УГП) [3]. Нелокальные УГП описывают эволюцию когерентных квантовых ансамблей динольных квантовых газов с дальнодействующим диполь-дииольным взаимодействием, которое приводит к появлению новых свойств квантовой материи (см., например, [4] и ссылки в ней).

Уравнение Фоккера - Планка с нелокальной нелинейностью применяется в стохастической теории (см., например, [5]), для описания явлений в нелинейной гидродинамике, астрофизике, физике плазмы, атомной физике и т.д.

Нелокальные уравнения типа реакция-диффузия (РД) используются для описания структур, упорядоченных в пространстве и времени. Структуры подобного типа появляются в результате самоорганизации и играют роль во многих важных явлениях в биологии, медицине, эпидемиологии и экологии (см., например, [6-8]).

Эволюция микробных популяций одного вида с эффектами дальнодействия между индивидами моделируется нелокальными обобщениями классического уравнения Фишсра-Колмо-горова-Петровского-Пискунова (ФКПП) [9,10] для поиуляционной плотности и(х,€):

щ(х, Ь) = ОАи(х, £) + аи{х, £) - Ьи2(х, £). (0.1)

Здесь О - постоянный коэффициент диффузии, процесс производства популяции происходит с постоянным темпом роста а и квадратичными по плотности конкурентными потерями с коэффициентом Ь.

Нелинейное уравнение ФКПП возникает, в частности, при описании эволюции амплитуд физических процессов в квантовой хромодинамике в области высоких энергий. Но наиболее наглядную интерпретацию уравнение ФКПП имеет в биофизике, где оно применяется для описания популяциопной динамики, образования структур, популяционных волн и стационарных состояний в колониях микроорганизмов. Поэтому в дальнейшем основное внимание уделим биофизической интерпретации уравнения ФКПП.

В диссертационной работе рассмотрено нелокальное обобщенное многомерное уравнение ФКПП вида

щ = DAu - (v, u[Vs{x, t) + x J Ws{x, y, t)u(y, t)dy\^ +

r"

+a(x, t)u — xu J b1{x,y)u{y,t)dy, (0.2)

s71

где u(x, t) является гладкой функцией, принадлежащей пространству Шварца S по про—*

странственной переменной f бГв каждый момент времени £; (а, Ь) обозначает евклидово скалярное произведение векторов a,b S Rn, |а|2 = (а, а). Здесь слагаемое локальных конкурентных потерь в уравнении (0.1) заменено на слагаемое, описывающее нелокальные потери, которые контролируются функцией влияния Ь-у(х,у) с параметром 7.

Внешние факторы могут вызвать конвективные процессы, которые вносят вклад в динамику популяций [11]. Векторы-градиенты V^ = VzV(x,t) и = VxW{x, у, t) в уравнении (0.2) описывают локальные и нелокальные средние конвективные скорости, соответственно. В популяциях бактерий нелокальное конвективное слагаемое описывает поток бактерий, которые двигаются под действием силы, произведенной другими бактериями [12]. Уравнение ФКПП с локальной конвекцией рассматривалось в [11], с нелокальной - в работах [12,13]. Одномерное уравнение ФКПП с локальной и нелокальной конвекцией рассмотрено в [14]. Уравнение (0.2) вида

Ut = DV2a + а(х, t)u — bu J u(y, t)f&(x, y)dy (0.3)

n

решалось численно для функции влияния /ст(ж, у) гауссового и урезанного типов с периодическими граничными условиями в двумерном случае и с условием нулевого потока на границах в одномерном случае [15]. Пространственные структуры были получены и проанализированы для заданных отношений ширины функции влияния и размера области, в которой структура локализована.

Устойчивость одномерных стационарных решений рассмотрена в [16] с помощью дисперсионного соотношения между волновым числом любого из состояний структуры и скоростью ее роста.

В [11] исследовано нелокальное конвективное уравнение Фишера

= + аи(х, t) - bu J Ux - y)u(y, t)dy (0.4)

n

с функциями влияния гауссового и урезанного типов (в английской литературе используется термин "cut-off function") и конвекцией, вызванной постоянным или пространственно неоднородным полем скоростей. Для уравнения (0.4) численно исследовано влияние конвекции

на образование структур и с использованием дисперсионного соотношения, полученного с помощью теории возмущений, оценены предельные значения параметров, при которых происходит образование структур.

В [17] рассмотрено уравнение ФКПП с нелокальным ростом

^^ = а I да{х - х')и(х', 1)с1х' - Ьи / /0(х - х')и(х\ 1)<Ы, (0.5)

п п

где а. и (3 - характеристические параметры длины интегральных ядер. В пространстве (а, (3) найдена область изменения параметров, в которой происходит образование структур.

В [18] нелокальное одномерное уравнение ФКПП использовалось для изучения образования структур в проблеме экологического вторжения, где пространственная переменная х рассматривается как физиологический признак.

Из анализа указанных выше работ видно, что только некоторые свойства образования структур, описываемых нелокальным уравнением ФКПП, такие как необходимые условия их возникновения и устойчивости, исследовались аналитически. Общий вид структуры может быть получен лишь с помощью моделирования одномерного уравнения ФКПП. Анализ топ же модели в многомерном случае в зависимости от параметров значительно усложняется.

Изучение нелокального уравнения ФКПП в аналитической форме для описания бегущих волн и стационарных состояний проведено в [19-23].

Нелокальное нелинейное уравнение ФКПП представляет собой интегро-диффренциалыюе уравнение с частными производными. Возможности аналитического решения многомерных нелинейных уравнений существенно ограничены, как следствие наиболее распространенным методом исследования нелокального уравнения ФКПП являются численные методы. Поэтому развитие аналитических методов решения нелокального уравнения ФКПП является актуальной задачей как с точки зрения современной математической физики, так и для объяснения тех физических и биологических явлений, которые этим уравнением описываются.

В данной работе формализм квазиклассических асимптотик [24, 25] применяется для построения асимптотических решений модифицированного обобщенного уравнения ФКПП (0.2), в котором введены нелокальные потери и дрейф. На основе идеологии комплексного метода ВКБ-Маслова [24-26] сформулирована общая конструкция квазиклассически сосредоточенных решений. Существенную роль при построении решений играет полученная в диссертации система уравнений Эйнштейна-Эренфеста (система уравнений на моменты искомой функции).

Сделаем некоторые замечания относительно области применения построенных решений. Квазиклассическое приближение применимо в условиях, когда диффузию можно считать

медленной. Данное приближение соответствует реальным условиям и не является серьезным ограничением. Другим ограничением, принятым в работе, является условие убывания построенных асимптотических решений на бесконечности. Это условие можно понимать в следующем смысле. Предположим, что в малую окрестность области, заполненной лимитирующим субстратом, локально вносится небольшое количество бактериальной культуры, дальнейший рост которой определяется популяционными механизмами, отраженными в модели, сопровождается расширением области, занимаемой популяцией, и формированием структуры. Убывание решения на бесконечности означает, что эти решения описывают рост популяции на стадии, когда ее естественные границы не достигли границ области, заполненной субстратом. Тем самым, квазиклассичсские асимптотики такого типа, построенные в диссертационной работе, не учитывают граничные эффекты.

Уникальность применения метода квазиклассических асимптотик к исследованию уравнения ФКПП состоит в том, что именно в этом подходе возникают уравнения (так называемые «классические» динамические уравнения), описывающие основные характеристики популяций, а именно положение локального максимума распределения (локального центра) и высших моментов, описывающих область локализации популяции.

Подстановка асимптотического решения в уравнение дает невязку, норму которой (например, в ¿2) можно использовать в качестве критерия точности приближенного решения. Соответствие точных и асимптотических решений детально изучалось для линейных уравнений квантовой механики [27]. В частности, были получены оценки времени разрушения заданной точности асимптотического решения [28]. Для нелинейных уравнений исследование соответствия точных и асимптотических решений является принципиальной проблемой. Суть этой проблемы состоит в получении априорных оценок решений соответствующего нелинейного уравнения, равномерных по малому асимптотическому параметру. В отличие от линейных уравнений, получение таких оценок существенно зависит от вида исследуемого нелинейного уравнения. Отметим, что из соображений, приведенных в [27], оценка разности между точным и построенным формальным асимптотическим решениями может быть получена с использованием методов, развитых в работах [26,27].

Свойства симметрии дифференциального уравнения (ДУ) ассоциируются с преобразованиями, оставляющими инвариантным множество решении уравнения. Такие преобразования будем называть операторами симметрии (ОС). Симметрия уравнения выявляет характерные его особенности, позволяющие находить решения уравнения. Например, если известно какое-либо частное решение, то, действуя на него последовательно оператором симметрии, получим семейство новых решений. Процедура генерации решений является лишь иллюстрацией воз-

можностей операторов симметрии уравнений, но не исчерпывает их. Проблема заключается в том, как найти в явном виде операторы симметрии или иные симметрийные конструкции.

В основополагающих работах конца XIX века С. Ли ввел понятие непрерывной группы (группы Ли) точечных преобразований, оставляющих инвариантным дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных). Группу инвариантности уравнения называют также группой симметрии, или группой, допускаемой уравнением. Нахождение такой однопараметрической группы сводится к решению линейной системы определяющих уравнений для инфинитезимального оператора (генератора) группы Ли. Построенная по генератору группа Ли конечных преобразований может применяться к любому решению уравнения, допускающему группу, и, таким образом, генерировать параметрические семейства новых решений уравнения из известного решения [29-31].

Другим словами, группу Ли точечных преобразований инвариантности дифференциального уравнения можно рассматривать как однопараметрическую группу Ли операторов симметрии уравнения. Подробное описание применения групп Ли к обыкновенным ДУ можно найти, например, в [32-34]. Для ДУ с частными производными (ДУЧП) применение методов теории групп Ли опирается па процедуру продолжения действия группы Ли на частные производные высших порядков. Инфинптезимальный оператор продолженной группы Ли имеет специальную структуру и является базовым объектом исследования свойств симметрии ДУЧП. Инфинптезимальный оператор продолженной группы Ли, допускаемой ДУЧП, определяется линейным уравнением в частных производных на коэффициенты оператора, которые задают так называемые симметрии уравнения. Множество симметрий обладает алгебраическими свойствами, которые используются для анализа свойств уравнений и нахождения семейств их решений [32-35]. Исследовано Применение теоретико-групповых методов для уравнений гидродинамики [30,37], механики сплошной среды [38] и т.д.

Построение группы Ли преобразований по ее генератору возможно лишь в случае точечных преобразований независимых и зависимых переменных уравнения, а также в особом случае контактных преобразований, когда генератор зависит также от производных первого порядка. Если симметрии уравнения зависят от производных высших порядков (высшие симметрии), то построить конечную группу Ли преобразований, а следовательно, и группу Ли операторов симметрии в общем виде ие удается. Кроме вычисления высших симметрий существуют и другие направления применения методов теории групп Ли, например, нахождение нелокальных симметрий, законов сохранения и др. [32-34].

Группы симметрии для ИДУ могут быть вычислены с номощыо прямых или косвенных методов [39]. Алгоритмы методов косвенного расчета основаны на замене исходного

нелокального ИДУ системой дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП). Полученная система анализируется стандартными методами классического группового анализа Ли уравнений в частных производных [32,40-42]. Нелокальные уравнения могут быть сведены к системе УЧП с помощью метода моментов, метода покрытия и др. (см., например, [39]). Метод моментов был использован для вычисления симметрии точечной группы Ли для уравнения Власова-Максвелла в теории плазмы [43] и для кинетических уравнений Бенни, уравнений типов Власова и Вольцмана [44]. Метод покрытия был разработан в [45] и применен для кинетического уравнения коагуляции.

Прямые методы вычисления симметрии были разработаны и применены для уравнения Вольцмана, уравнения движения вязкоупругих сред, уравнений Бенни и Власова-Максвелла (см. [1,39,46,47) и ссылки в них).

Исследования в области теории одно- и многопараметрических приближенных групп преобразований были инициированы Байковым [48], Фущичем [49] и др. Приближенные симметрии включают в себя малый параметр и могут быть рассчитаны для уравнений в частных производных при наличии или отсутствии малого параметра. Приближенные симметрии были найдены для уравнения Буссииеска [50], нелинейного волнового уравнения и других типов уравнений [48].

Достижения в области нелокальных методов открывают новые перспективы развития симметрийного анализа. В [51] использован нелокальный анзатц, чтобы свести