Метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций для двухкомпонентного уравнения типа Хартри тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
|
Смирнова, Екатерина Ивановна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
004613447
На правах рукописи
Смирнова Екатерина Ивановна
Метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций для двухкомпонентного уравнения типа Хартри
Специальность 01.01.03 - математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
1 8 НОЯ 2010
Москва - 2010
004613447
Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского государственного института электроники и математики (технического университета)
Научные руководители:
доктор физико-математических наук,
профессор Белов Владимир Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и математической физики Томского политехнического университета Трифонов Андрей Юрьевич
Научный консультант:
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Московского государственного института электроники и математики Карасев Михаил Владимирович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук Лобанов Андрей Евгеньевич
доктор физико-математических наук, профессор Родионов Василий Николаевич
Ведущая организация:
Томский государственный университет
Защита состоится " 07" декабря 2010 г. в 16 час. на заседании диссертационного совста Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики (технического университета)
Автореферат разослан " ^" ноября 2010 г. Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.133.07
к.ф.-м.н., доцент 'ЗК'Ш.мкКьЬ- П. В. Шнурков
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Современные математические модели, представляющие значительный интерес в физике, химии и биологии, как правило, основаны на нелинейных уравнениях или системах нелинейных уравнений различных типов. Примером нелинейной системы является бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) в парах щелочных металлов, взаимодействующих с лазерными полями, который впервые был получен в 1995 году. Характерной чертой БЭК является проявление квантовых эффектов уже на макроскопическом уровне. Математические модели, учитывающие «неидеальность» межатомного взаимодействия частиц бозе-эйнштейновского конденсата смеси различных атомов, основаны на двухкомпо-нентном нелокальном уравнении Гросса-Питаевского. В математической литературе это уравнение принято называть уравнением типа Хартри. Уравнение типа Хартри возникает в нелинейной оптике для описания распространения импульсов, в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках, в ядерной физике при исслсдовашш систем многих частиц в приближении Хартри.
Точное интегрирование нелинейных уравнений с переменными коэффициентами, а тем более, систем таких уравнений, удается осуществить сравнительно редко. В каждом таком случае требуется построение уникальных математических конструкций и развитие на их основе соответствующей математической теории. Исследование классов нелинейных уравнений, содержащих произвол в коэффициентах, в многомерном пространстве возможно лишь на основе адекватных приближённых методов. Среди таких методов, позволяющих получать приближенные решения эволюционных уравнений в аналитической форме, особенно эффективным оказался метод квазиклассических асимптотик. Нетривиальные приближённые решения уравнений с малым параметром при производных строятся в специально подобранном классе функций, сингулярно зависящих от асимптотического малого параметра. Определение данного класса функций является ключевым моментом в применении метода квазиклассических асимптотик для конкретного уравнения. Достоинством метода квазиклассических асимптотик является то, что на его основе в рамках общего подхода удается исследовать различные эволюционные уравнения, существенно различающиеся по своей математической структуре.
В связи с этим разработка квазиклассических методов интегрирования систем нелинейных уравнений типа Хартри представляется весьма актуальной.
Цель работы. Целью настоящей работы является развитие асимптотических методов интегрирования двухкомпонентного многомерного нелинейного уравне-
ния типа Хартри и применение этих методов к решению задачи Коши, Флоке и спектральной задачи для двухкомпонентного уравнения типа Хартри.
Достижение поставленной цели обеспечивается решением следующих основных задач:
1. Разработать метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций (КТСФ) для построения асимптотических по малому параметру Н —> 0 решений двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри с нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения.
2. Методом КТСФ построить асимптотические решения задачи Коши для двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри.
3. С помощью метода КТСФ построить квазиклассические спектральные серии нелокального матричного стационарного оператора типа Хартри.
4. Рассмотреть приложение разработанного метода для построения квазиэнергетических спектральных серий нелокального матричного периодического по времени оператора типа Хартри.
Методы исследования. Результаты диссертации получены с помощью методов квазиклассического приближения, теории дифференциальных операторов, теории динамических и гамильтоновых систем.
Научная новизна. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.
Впервые разработан метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций для приближенного интегрирования многомерного двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри с нелокальной нелинейностью. На его основе построено формальное асимптотическое решение задачи Коши для двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций. Получена система Гамильтона-Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения. Впервые в явном виде построены приближенные оператор Флоке и оператор эволюции двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций, с их помощью найдены квазиэнергетические и энергетические спектральные серии оператора типа Хартри. Предъявлены выражения квазиклассических солитоноподобных решений уравнения типа Хартри гауссовского и автомодельного типов.
Основные результаты. В работе впервые получены следующие основные результаты:
1. На основе метода комплексного ростка Маслова и ковариантного подхода впервые разработан метод квазиклассическях траекторно-сосредоточенных функций (ТСФ) для построения асимптотических решений уравнения типа Хартрн с нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения. Методом квазиклассических ТСФ построено с любой степенью точности по малому параметру h формальное асимптотическое решение задачи Коши для двухкомпонентного уравнения типа Хартри. В явном виде найден приближенный нелинейный оператор эволюции двухкомпонентного уравнения типа Хартри в классе ТСФ.
2. Получена динамическая система Гамильтона-Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения, которая реализует принцип соответствия для квантовых систем, описываемых нелинейными математическими моделями.
3. С помощью развитого метода для двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри построены (с точностью до О (ft3'2)) квазиклассические спектральные серии, отвечающие устойчивой в линейном приближении точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста.
4. На основе предложенного метода получены явные выражения для квазиклассического солитоноподобного решения многомерного двухкомпонентного уравнения типа Хартри (mod Л3/2) гауссовского и автомодельного типов во внешних полях.
5. Методом квазиклассических ТСФ получены квазиклассические квазиэнергетические спектральные серии и асимптотика оператора Флоке в классе ТСФ для уравнения типа Хартри с матричным периодическим по времени гамильтонианом. Для квадратичного по координатам и импульсам, периодического матричного оператора получены точные решения задачи Флоке для нелинейного уравнения.
Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы носят общетеоретический характер и представляют интерес с точки зрения развития квазиклассических методов интегрирования нелинейных моделей теоретической и математической физики на примере многомерного нелинейного двухкомпонентного эволюционного уравнения типа Хартри с малым асимптотическим параметром при частных производных.
Метод квазиклассически сосредоточенных функций позволяет достичь более глубокого понимания структуры квантовых систем, описываемых нелинейными математическими моделями. Полученная динамическая система Гамильтона-Эрен-феста порядка М реализует принцип соответствия результатов квантовой и классической механик и дает приближенное описание поведения исследуемой квантовой системы, не прибегая к интегрированию нелинейного матричного уравнения типа Хартри. Последнее достигается введением новых классических динамических переменных, количество которых зависит от М. С помощью этих переменных удается приближенно линеаризовать исходное нелинейное уравнение и построить его асимптотические решения.
Построенные асимптотические решения применимы для описания стационарных состояний БЭК и в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Метод построения асимптотических решений двухкомпонентного эволюционного уравнения типа Хартри с малым параметром при частных производных, нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения в классе ТСФ. Методом квазиклассических ТСФ в явном виде получено формальное асимптотическое решение задачи Коши, удовлетворяющее с заданной точностью М > 2 двухкомпонентному уравнению типа Хартри и заданным начальным условиям.
2. Динамическая система Гамильтона-Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения. Полученная система дает приближенное описание поведения исследуемой квантовой системы, не прибегая к интегрированию нелинейного матричного уравнения типа Хартри.
3. Метод построения квазиклассических спектральных серий, отвечающих устойчивой в линейном приближении точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста для двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри. Получены явные выражения для главного члена квазиклассической асимптотики.
4. Квазиклассические солитоноподобные решения двухкомпонентного уравнения типа Хартри (mod ft3/2) гауссовского и автомодельного типов во внешних полях.
5. Явные выражения для квазиклассических квазиэпергетических спектральных серий и асимптотики оператора Флоке в классе ТСФ для уравнения типа Хартри с матричным периодическим по времени гамильтонианом. Построены точ-
ные решения задачи Флоке для нелинейного уравнения с квадратичным по координатам и импульсам периодическим матричным гамильтонианом.
Апробация диссертации и публикации. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:
— III Международной конференции студентов и молодых ученых "Перспективы развития фундаментальных наук", 16 мая-19 мая, 2006 г., Томск,
— International seminar "Days on Diffraction'2006". May 30 - June 02, 2006. St. Petersburg,
— International conference "Days on Diffraction'2007". May 29 - June 01, 2007. St. Petersburg,
— XIII Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, 23-29 августа, 2007, Москва,
— International seminar "Days on Diffraction'2009". May 2G - May 29, 2009. St. Petersburg,
а также на „Научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов", МИЭМ, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 гг.
Результаты автора по теме диссертации опубликованы в десяти работах, список работ приводится в конце автореферата. Четыре работы [1], [3-5] опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, содержащего 163 библиографические ссылки. Общий объем диссертации составляет 108 страниц.
Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дана постановка задачи, проведен краткий обзор литературы и установлена связь результатов, представленных в диссертации, с результатами работ других авторов. Дано описание структуры диссертации и сформулированы основные задачи, решаемые в ней. В первой главе диссертации на основе идей метода комплексного ростка
Маслова 1 и ковариантного подхода2 подробно описан метод построения асимптотических решений нелинейного нестационарного однокомпонентного уравнения типа Хартри
{-ihdt + нж[Ф](1)}Ф = о, ф е ь2(жпх), (1)
где оператор Хартри определяется формулой
ЯХ[Ф](4) = H(t) + яУ[Щ1). (2)
Здесь H(t) = H(z,t); У[Ф](£) = fRnV*(y,t)V(z,w,t)V(y,t)dy; самосопряженные в 1,2 операторы H(z, t), V(z, w, t) являются функциями от некоммутирующих операторов z = (—ihd/dx, ж), и> = (—ihd/dy,y), х, у £ R" и упорядочены по Вейлю, Ф* - комплексно сопряженная функция к Ф; х- вещественный параметр нелинейности; h - "малый параметр", /г £ (0,1).
Сформулированы условия, наложенные на символ оператора Я*[Ф](£). Введен класс траекторно-сосредоточенных функций (ТСФ) на заданной траектории, в котором строятся асимптотические решения. Приведены основные свойства класса ТСФ, необходимые для построения асимптотических решений уравнения типа Хартри (1).
Во второй главе диссертации метод КТСФ развит для построения асимптотических решений задачи Коши для двухкомпонентного эволюционного уравнения типа Хартри (1) с нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным оператором (2) вида
Hit) = H°(t)i+М(<?, #(*)), ?[*](«) = I t)[v°(t)i + (<?, 9тш ш
к3
где Ф(ж,/.) = ("01 (л?,i),V2^,i))T; Ф+(.т,<) = (ij>u(x,t),iji2*(x,t)) - эрмитово сопряженная функция; <77, ¿ = 1,3,- матрицы Паули; (,) - скалярное произведение
в R3; Я°(г) = H°(z,t), ti(t) = H(z,t) и V°(t) = V°(z,w,t), V{t) = V(z,w,t) - псевдодифференциальные операторы от некоммутирующих операторов г и ii; х, (г - вещественные параметры. Символы H°(z,t),H(z,t), V°(z,w,t), V(z,w,t) операторов H°(t), H(t), V°(t), V(t) являются С°°-гладкими функциями и вместе со всеми своими производными по г и и растут при \z\ —» оо и |и>| —» с» не быстрее, чем полином, равномерно по i el.
^ Маслов В.П., Комплексный метод BKB в нелинейных уравнениях.// Наука.,Главная редакция физико-математической литературы. М., 1977 о
Bagrov V.G., Belov V.V., and Trifonov A.Yu. Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics: I. High order corrections to multidimensional time-dependent equations of Schrodinger type.// Ann. of Phys. (NY) 246:2. 1996. 231-280 c.
Асимптотические по малому параметру h решения уравнения (1) строятся в классе траекторно-сосредоточенных при h —» 0 на фазовой траектории Z(t, 0) двухкомпонентных функций (ТСФ), определенном соотношением
оо
Ф(х, t,h) = Y2 hk/2uW{t)Фт(х, t, h), (3)
к=о
где иЩ) - двухкомпонентная вектор-функция, гладким образом зависящая от переменной t, а t, К) = tj ехР + h)< А^))] ■ Комплекс-
нозначная функция t) принадлежит пространству Шварца S по переменной £ G R3, гладким образом зависит от вещественная функция S(t,h) и 6-мерная вектор-функция Z(t,h) = (P(t.h),X(t,h)) регулярно зависят от в окрестности Й = 0 и подлежат определению при t > 0; 5(0, h) = 0 и Z(0, h) = zq = (pb, io) - произвольная точка фазового пространства Щ,х, Ах = х — X(t, h).
Процедура построения решения задачи Коши с любой точностью по малому параметру ft заключается в следующем. Для уравнения (1) в классе ТСФ (3) выводится система Гамнльтона-Эренфсста (ГЭ) порядка М, М = 0, оо, где М - порядок наибольшего учитываемого момента. Затем с помощью решений системы ГЭ нелинейному уравнению (1) сопоставляется семейство линейных ассоциированных уравнений Паули. Указывается процедура, позволяющая по заданному начальному условию для уравнения (1) при помощи решений семейства ассоциированных уравнений Паули построить решения задачи Коши для нелинейного уравнения (1). Показано, что конструкция квазиклассическнх решений может быть перенесена на изучение геометрических и топологических свойств уравнений движения соответствующей системы Гамильтона-Эренфеста. В результате удалось построить приближенный нелинейный оператор эволюции двухкомпонентного нелокального уравнения, сформулировать нелинейный принцип суперпозиции в классе ТСФ и с любой точностью по 0(H(N+1V% (N > 2) получить формальное решение задачи Коши.
Главный член квазиклассической асимптотики уравнения типа Хартри с точностью 0(hz/2) определяется решениями системы Гамильтона-Эренфеста второго порядка
г = Jdz^H°(z, t) + xV°(z, w, t) + x(f}, V(z, w, t)) + цЦГи H(z, t))+ Д<2>9Ш> + (dZ! A^dz)) [Ha(z, t) + kV0{z, w, t)+
.«М)»}
?7 = 2цг] х Н{г, £) + ц(дг, Д(2)а2)г7 х Н(г, г),
(4)
г—V : <Й
где 3- стандартная симплектическая матрица размерности 6 х 6; я — х||Ф||2; крестом (х) обозначено векторное произведение в К3;
М„{г, *, ч) = ^ [Я°(г, *) + «,, 0 + ш, О, V)] (5)
(Ф]г1Ф) т {Ф1{А*}№1Ф) (Ф|а|Ф)
~ ТФ]Р (' }" —¡¡Фр—' " ' = ||Ф|Р '
Решение последнего уравнения системы (4) удобно представить в форме т] = у+(£)ау(Ь), где двухкомпонентные комплексные функции ?;(<) определяются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
хф.Д^м)^«, (6)
Через будем обозначать решения уравнения (6), удовлетворяющие условию (а, ^)'^(О) = О{(0) где £ = ±1; £ - произвольный единичный вектор.
Система (4) является замкнутой и, в отличие от однокомпонентного случая, содержит дополнительные динамические переменные г}. Показано, что построение асимптотических решений для нелинейного уравнения типа Хартри решает проблему соответствия квантовых и классических нелинейных систем в смысле подхода Эренфеста.
В третьей главе диссертации метод КТСФ использован для построения квазиклассических спектральных серий матричного стационарного оператора типа Хартри (асимптотических решений стационарного уравнения типа Хартри)
Ях[ Ф]Ф = ЯФ, (7)
отвечающих устойчивой в линейном приближении точке покоя системы Гамильтопа-Эренфеста.
Известно, что в линейном уравнении Паули наличие дополнительной степени свободы приводит к расщеплению уровней энергии. Поскольку рассматриваемое уравнение, в определенном смысле, близко к линейному, то подобный эффект наблюдается и в траекторно-сосредоточенных функциях, отвечающих точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста. Асимптотические выражения для собственных
значений (mod Л3/2) имеют вид
з 1
ем = H°(Z,( о)+едад2,0)(О)|+Й х) п*(о ("*+2) +
к=1
+й (l + ¿Я,, Д<2)(Сш) «,) + (»7.(0, ?(£.«). «)))|ш=г.(с,;
отвечающая им последовательность собственных функций оператора типа Хартри = ^g^exp Af) + ±_(Ах,В.С^Ах)] [A+(0)]"l, (8)
где Ах = s-x?fiHc); Я. = В(^°»(С),#'0)(С)); С. = C(zi2'°>(c),#n>(0);
z.(0 = д12)(0 = д12,0)(О;ч.(С) = rf "»(О+^'Ю - устой-
чивая (mod Л3'2) в линейном приближении точка покоя системы Гамильтоиа-Эренфеста (4), отвечающая задаче (7); нормировочная постоянная имеет вид N„ = N0{y/U\¥)-\ где N0 = (7r/-t)-3/4(detImB(^2'0)(C),#0)(C)))1/4; гг собственный
вектор матрицы (ст.п); п = Я(^2'0))/\/(H(z[m), H(Ziw})).
Матрицы В,, С, составлены из координатных Zj = Zj(0 11 импульсных компонент Wj = Wj{0 собственных векторов fj = (Zj, Wj)т (j = 1,2, 3), отвечающих собственным значениям ii]j(C),j = 1,2,3, матрицы JMx(Z<^'°\C,),fft'Q\c)) (5), нормированных условием косоортогоналыюсти (f^Jfj) = —2г<5jy. Звездочка (*) над векторами означает комплексное сопряжение.
Оператор рождения А+(0) определяется формулой А+(0) = nJ=iA+(0),
Л/(0) = ^щК^.Й - (Wj - B.C;lZ', Да:)].
Предложенный метод проиллюстрирован рядом примеров, в частности, рассмотрен пример3, где линейный гамильтониан определяется формулой
Я(г) = |^1 + ^(а,Я), (9)
Н € R3,/i,m- параметры системы. В качестве модели нелокального взаимодействия выбран матричный потенциал самодействия
УЩ = J dy<$+(y)
W(x-y)(V°l + ii(a,V))
Ф(У), (Ю)
«1
Маслов В.П., Чуркин A.B. Об одном решении уравнения Гросса-Питаевского для конденсатной волновой функции // Мат. заметки. - 2005. - Т. 78, JVi 4. - С. G04-607.
где W(x — у) = Ui ехр[— ] + [/2ехр[— ] - комбинация двух гауссовых функций с амплитудами U\, U2 и дисперсиями 2-/1, 272; V £ К3, V0 - вещественные параметры.
В отличие от однокомпонентного случая, векторный характер (1), приводит к расщеплению уровней энергии - для каждого фиксированного ( = ±1 квазиклассические собственные значения (mod ft3/2) оператора Нх[Ф] имеют вид:
Е* = *((№ + и2) + уа;(С) ¿ U + D+ С^|Я|, (11)
с собственной
ii ^ 2
частотой w2(C) = -*(С) + , где
Я(С) = ^° + С(п^))||Ф||2, Й =-=£==. (12)
у/{Я,й)
В четвертой главе диссертации сформулированы условия, при которых формальные асимптотические решения при ft —> 0 двухкомпонентного уравнения типа Хартри (1) можно трактовать как квазиклассические солитонные решения (нерасплывающиеся волновые пакеты гауссова профиля).
Предъявлены выражения нерасплывающихся в квазиклассическом приближении волновых пакетов (mod ft3/2), отвечающих нестационарному матричному уравнению (1) с гамильтонианом линейной части вида (9) и трансляционно-ицва-риантным нерезонансным выпуклым потенциалом вида (10) в нелинейной части:
= Z(OWTT(0) > 0, сл l, m = 1,3, I ± m,
r=0
где пределена в (12), ш?, {] = 1,2,3) — собственные значения матрицы £(0^(0) •
Показано, что эффект фокусировки за счет интегральной нелинейности при я Ф 0 приводит для выпуклых потенциалов к существованию локализованных асимптотик уравнения (1), для которых дисперсии в координатном и импульсном представлении ограничены по времени.
В одномерном однокомнонентном случае, в отсутствии внешнего ноля с тран-сляционно-инвариантным потенциалом взаимодействия в (1), проведен анализ динамики распространения и ширины локализации волнового пакета при различных параметрах начальных данных и нелокального потенциала.
В случае трансляционно-инвариантного невыпуклого потенциала самодействия, выбранного в виде (10) в нелинейной части, и с гамильтонианом линейной части,
отвечающей суперпозиции поля осциллятора, переменного электрического поля, постоянного магнитного поля и поляризационного слагаемого:
H{t)= (^{p-^A{x))2 + (E(t),x) + {kx,x)^l + ^h{a,H), (13)
получены явные выражения квазиклассических автомодельных солитонов, мотивированные работой 4.
Здесь т, с, е, ц вещественные параметры; А(х) = В х х; В - постоянный вектор (.В € R3) ; к = diag(fci, к2, &з) - вещественная 3x3 матрица; х, у е R3; (£(£), z) -потенциал электрического поля, гладко зависящий от
Квазиклассический автомодельный солитон (mod ft3/2) двухкомпонентного уравнения самосогласованного поля (1) определяется следующей формулой:
Ф^(£, i, /г) = V( ехр(—i£(i\H\t] exp
-м
Фф-ХЦ)) х
х exp х exp
i rt(mk{T),k{r)) (кХ{т\Х{т)) п hJo 2 2 dT\ *
l- (тЯ(1) + f - X{t)) exp [ - i yf' (я(г), X(t))
(14)
dr
Здесь t^ - собственный вектор матрицы {<?, Я) /уЧ^?; /?); (А(, Фд,) - квазимода скалярного оператора Хартри (mod h3^2)
П (р-Й^))2 .
— Г,
2т
Й(С) [ W(x-№x((y~X(t,m2dy, х,у,< J R3
х(С) определяется (12); динамика центра тяжести солитоноподобного решения описывается уравнением тХ(() = ~Е{1) — кХ(Ь) + ЦX(¿) х В.
Также в данной главе метод КТСФ применен для построения асимптотических квазипериодических решений в классе ТСФ, т. е. решений трехмерной двухком-понентной задачи Флоке
Ф£(£ t + T,h)= ехр[-г£Т/П}У£(х, t, h)
(15)
для уравнения (1), когда матричные операторы H(t), У[Ф](4)- являются периодическими функциями времени: H{t + Т) = H{t), + Т) = V^](i)- Эти асимптотические по малому параметру h решения представляют собой нерасплы-вающиеся волновые пакеты. Величина £, входящая в (15), называется квазиэнергией и определена по модулю Ни, и> = 2-п/Т, т. е. £' = £ + muih, m£Z.
^Карасев M.B., Маслов В.П. Алгебры с общими перестановочными соотношениями н их приложения // Совр. пробл. матсм. - 1979. - Т. 13. - М.: ВИНИТИ. — С. 145-267.
С точностью 0(fi3/2) получен главный член квазиклассической асимптотики, отвечающий в пределе при fi —» 0 при каждом фиксированном С: С = ^li Движению по периодической траектории в фазовом пространстве Л1 = {z = (P(t, О, (),X(t, О, С))} ; построены квазиэнергетические фоковские состояния уравнения типа Хартри (1), (2), (15) и приведены явные выражения для оператора монодромии.
Для квазиэнергий с точностью 0(/i:!/2) получено
S® = -±S(t, А, С) + Л + \)+ u/ç j . (16)
Здесь
S(T, п, С) = £dT [(Р(т, fi, 0, ^(т, fi, О) - H°(Z(t, fi, С)) -
-kV°(Z(r, fi, О, w) - к(тЦт, h, О, V(Z(t, fi, О, ю)> -
Д(2)(тДОй>> [V°(Z(T,h, C),w) + (17)
+ (K(z(r,fi,c),™),7T(r,fi,0)l| 1;
J \w=Z(T,n,().
(fi(t, fi, (), Д'2'(<, fi, ()) - периодические решения системы Гамильтона-Эренфеста (4); u/ç - показатель Флоке линейной гамильтоновой системы (6), удовлетворяющей условию Флоке: vç(t + Т) = ехр[—iuçT]vç(t), Imw<; = 0. Комплексный росток г3 (Л1) образован векторами ak(t,()(k = 1,2,3): комплексно независимыми решениями задачи Флоке для системы в вариациях, отвечающей матрице
M„(P(t, fi, О, X(t, fi, О, t, ff(t, fi, 0) (5):
àk{t) = JMx{P(t, fi, C), X(£, h, C), t, 7?(i, fi, OKW, 0t(i + T, C) = exp^^orjfliii, C).
В качестве иллюстрации метода построены точные квазиэнергетические состояния двухкомионентного нелокального уравнения Хартри с квадратичным тран-сляционно-инвариантиым взаимодействием и внешним полем, представляющим собой суперпозицию периодически изменяющегося во времени электрического поля, поля осциллятора и поляризационного слагаемого.
Полученные выражения в предельном случае я —► О совпадают с известными результатами для уравнения Паули.
В приложении А приведены свойства системы в вариациях, необходимые для полноты изложения.
В приложении В приведены необходимые сведения о многомерных полиномах Эрмита.
В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации
и выносимые на защиту.
Работы, опубликованные по теме диссертации:
1. В. В. Белов, Е. И. Смирнова, Локализованные асимптотические решения уравнения самосогласованного поля. Математические заметки, 2006. т. 80, №2, с. 309-312.
2. Е. И. Смирнова, Квазиклассическая асимптотика автомодельных решений уравнения Хартри. Труды III Всероссийской конференции "Перспективы развития фундаментальных наук". Томск: ТПУ, 2006. с. 187-189.
3. В. В. Белов, М. Ф.Кондратьева, Е. И. Смирнова, Квазиклассические солитоно-подобные решения уравнения Хартри. Доклады Академии Наук, 2007, т. 416, №2, с. 177-181.
4. Е.И. Смирнова, А.Ю. Трифонов, A.B. Шаповалов, Формализм квазиклассических асимптотик для двухкомпонентного уравнения типа Хартри. Известия ВУЗов, Физика, 2009, т. 52, №10, с. 59-67.
5. В.В. Белов, Е.И. Смирнова, А.Ю. Трифонов, Квазиклассические спектральные серии двухкомпонентного уравнения типа Хартри. Известия ВУЗов, Физика, (принята к печати).
6. Е. И. Смирнова, Солитоны уравнения самосогласованного поля. Внутревузов-ский сборник. Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.-МИЭМ, 2006, с.
7. Е. И. Смирнова, Асимптотика автомодельных солитоноподобных решений уравнения самосогласованного поля. Внутревузовский сборник. Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.-МИЭМ, 2007, с.26
8. Е. И. Смирнова, Квазиклассические солитоноиодобные решения нелокального уравнения Гросса Питаевского. Внутревузовский сборник. Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.-МИЭМ, 2008, с.52-54
9. Е. И. Смирнова, Квазиклассические решения двухкомпонентного нелокального уравнения Шредингера. Внутревузовский сборник. Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.-МИЭМ, 2009, с.23
10. Е. И. Смирнова, Квазиклассические спектральные серии двухкомпонентного оператора типа Хартри. Внутревузовский сборник. Научнотехннческая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.-МИЭМ, 2010, с.32
Подписано к печати " 0? " ноября 2010 г. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии МИЭМ. Москва, ул. Пионерская, д. 12. Заказ № 185 . Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз.
Введение
Глава 1. Задача Коши для уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредо-точенных функций
1 Постановка задачи и обозначения
2 Класс траекторно-сосредоточенных функций
3 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста
3.1 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста для упорядоченных по Вейлю операторов.
3.2 Система Гамильтона-Эренфеста, не содержащая постоянную Планка
3.3 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий.
4 Задача Коши для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера
5 Рекуррентная система ассоциированных уравнений Шрёдингера
6 Счетный набор решений уравнения типа Хартри (mod 0(/13/2))
Глава 2. Задача Коши для двухкомнонентного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций
7 Постановка задачи и обозначения
8 Класс траекторно-сосредоточенных двухкомпонентных функций
9 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста 47 9.1 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий.
10 Задача Коши для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера
11 Рекуррентная система ассоциированных уравнений Шрёдингера
12 Решение задачи Коши для двухкомпонентного уравнения типа Хартри (mod 0(ft3/2))
13 Квазиклассически сосредоточенные решения двухкомпонентного уравнения типа Хартри (высшие приближения) (mod
Глава 3. Квазиклассические спектральные серии нелинейного двухкомпонентного оператора Хартри, отвечающие точке покоя классической системы
14 Постановка задачи
15 Конструкция траекторно-когерентных состояний нестационарного уравнения типа Хартри
16 Квантование устойчивых точек покоя системы Гамильтона-Эренфеста
17 Квазиклассические спектральные серии для двухкомпонентного уравнения типа Хартри во внешнем поле с трансляционно-инвариантным потенциалом самодействия
•Глава 4. Солитоноподобные решения двухкомпонентного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций
18 Постановка задачи
19 Квазиклассические солитоны двухкомпонентного уравнения типа Хартри в отсутствие внешнего поля
20 Автомодельные солитоны двухкомнонентного уравнения типа Хартри
21 Флоке-решения двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри
22 Квазиэнергетические спектральные серии оператора типа Хартри (mod /I3/2) 84 Заключение 91 Приложение А. Система в вариациях
Современные математические модели, представляющие значительный интерес в физике, химии и биологии, как правило, основаны на нелинейных уравнениях или системах нелинейных уравнений различных типов. Примерами широко известных нелинейных систем являются двухкомпонентный бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) [1] (см. также [2]), реакционно-диффузионные (РД) системы [3,4] (см. также обзор [5]). Точное интегрирование нелинейных уравнений с переменными коэффициентами удается осуществить сравнительно редко. В каждом таком случае требуется построение уникальных математических конструкций и развитие на их основе соответствующей математической теории.
Метод обратной задачи рассеяния позволяет найти точные аналитические решения для нестационарного одномерного однокомпонентного нелинейного уравнения Шрёдин-гера (НУШ) в отсутствие внешнего поля [6-10]. Данный метод сводит задачу Коши для исходного нелинейного уравнения в классе функций, локализованных в некоторой области пространства, к решению линейного интегрального уравнения. Более глубокое понимание интегрируемости уравнения дает теоретико-полевое представление, в рамках которого НУШ преобразуется к вполне интегрируемым гамильтоновым системам. Процедура интегрируемости представляет собой переход к переменным «действие -угол» [7,8]. В рамках теории солитонов показано, что пространственно локализованное начальное состояние поля при выполнении определенных пороговых условий в процессе эволюции трансформируется к солитонному виду.
При наличии в НУШ малых дополнительных членов, позволяющих описывать динамику солитонов под действием внешних сил и полей, нарушается точное интегрирование. В этом случае решение удаётся построить лишь приближённо методами теории возмущения солитонов в предположении о малости поля [11,12]. В данной теории предполагается, что основной вклад в приближённое решение имеет форму солито-на, параметры которого медленно эволюционируют под влиянием малых возмущений. Теория возмущений позволяет строить высшие приближения, описывающие искажение формы солитона. Возможности теории возмущений ограничены предположением о малости внешних воздействий и, кроме того, тем, что невозмущённое уравнение является точно интегрируемым (1 + 1)-мерным солитонным уравнением, что не позволяет перейти к многомерной динамике. Также следует отметить, что для нелинейных уравнений простые разложения решений в степенной ряд по малому асимптотическому параметру описывают лишь линейное приближение рассматриваемой нелинейной модели и не позволяют учесть существенно нелинейные эффекты. Такие решения применимы в ограниченной области параметров и переменных модели [11]. Математическая теория таких уравнений развита для задачи Коши в [13-24].
Систематическим способом нахождения семейств частных решений уравнений РД-типа является симметрийный анализ дифференциальных уравнений [25-27]. В работах [28,29] проведена классификация (1 + 1)-мерных двухкомпонентных систем РД-типа с симметриями и найдены частные решения, определяемые симметриями. Аналогичное исследование проводилось в [30], где частные решения находились с помощью нели-евских симметрии. Но для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений методы симметрийного анализа [25, 31-35] не дают желаемого результата. Симметрийный анализ позволяет изучать системы, обладающие высокой симметрией, но вычисление симметрии затруднительно при наличии нелокальных слагаемых.
Поэтому развитие адекватных методов построения приближенных решений уравнения типа Хартри с нелокальной нелинейностью является актуальной задачей.
Исследование классов нелинейных уравнений, содержащих произвол в коэффициентах, в многомерном пространстве возможно лишь на основе адекватных приближённых методов. Для эволюционных уравнений таковым оказался метод квазиклассических асимптотик [36-41], который применим к уравнениям с малым параметром при производных. Нетривиальные приближённые решения строятся в специально подобранном классе функций, сингулярно зависящих от асимптотического малого параметра. Определение данного класса функций является ключевым моментом в применении метода квазиклассических асимптотик для конкретного уравнения. Достоинством метода квазиклассических асимптотик является то, что' на его основе в рамках общего подхода удается исследовать различные эволюционные уравнения, существенно различающиеся по своей математической структуре.
Квазиклассическое приближение, отвечающее линейным уравнениям квантовой механики, возникло фактически одновременно с квантовой механикой и имеет два ярко выраженных аспекта: прагматический и философский (см., например, [42-44]).
Прагматический аспект связан с тем, что основные квантовомеханические уравнения содержат «малый» параметр Н при старших производных, например, нестационарное уравнение Шрёдингера г}г—=Ш, Н = Я(р,х,г) = %- + и{х,г), р = ж е М", (0.1) и I/ ¿1111/ отвечающее классической системе с функцией Гамильтона
П(р,х,Ь) = ^ + и(х,г). (0.2)
Существует широкий круг задач, в которых характерный,безразмерный параметр, пропорциональный /I, можно считать малым, и, следовательно, возникает математическая задача о построении приближённых по этому параметру решений квантовомеха-нических уравнений — задача построения квазиклассических асимптотик по Н —> 0.
Философский аспект связан с тем, что одним из постулатов квантовой теории является принцип соответствия. Этот принцип предъявляет к квантовой теории требование, чтобы в пределе /! —> 0 квантовая динамика переходила в соответствующую классическую, хотя в аксиоматической формулировке квантовая механика является логически замкнутой теорией и не опирается на классическую. Поскольку совершенно очевидно, что не существует универсального, не зависящего от конкретной физической ситуации, способа получения произвольных классических величин из квантовомеханических, при решении проблемы соответствия необходимо пояснять, в каком смысле, например, заданная квантовая динамика в пределе Н —> 0 переходит в соответствующую классическую [45,46]. Вывод классических уравнений движения для квантовомеханических величин в пределе при К —> 0 является одной из принципиальных проблем соответствия квантовой и классической механик.
В основе подхода к проблеме соответствия квантовой и классической механик лежит представление о классических уравнениях движения как пределе при Н —» 0 уравнений движения для средних значений соответствующих квантовомеханических величин. В рамках такого представления соответствие между квантовыми наблюдаемыми, имеющими классический аналог, и классическими наблюдаемыми понимается в следующем смысле: квантовые средние по некоторым (специально выбранным - квазиклассически сосредоточенным) нестационарным состояниям должны в пределе при Н —> 0 переходить в фазовую плотность, представляющую собой классическую наблюдаемую, вычисленную на характеристиках уравнения Лиувилля. Впервые такой подход был предложен Эренфестом [46], рассмотревшим в 1927 г. задачу о связи решений эволюционного однокомпонентного уравнения Шрёдингера (0.1) и классического уравнения Ньютона тх = — VII (х).
В физической литературе подход Эренфеста связан с представлением о квантово-механических состояниях ф в форме волновых пакетов, локализованных в окрестности классической траектории. С математической точки зрения локализованность означает, что квантовые средние х(Ь) = (х)у, р(Ь) = по таким состояниям от операторов координат х — (ж1;., хп) и импульсов р = —ШУ в пределе при й —0 являются решениями классических (гамильтоновых) уравнений движения
1ш1(г>Ф(4) = £кл(^о), г = (0.3)
Я—>0 где гт(Ь,гь) = ¿о), ^о)) — точка на фазовой траектории гамильтоновой системы
Р = X = Нр, (0.4) стартующей при £ = 0 из произвольной точки го = (ро, Хо) Е К2" фазового пространства.
Условие (0.3) было названо в [47,48] условием траекторной когерентности. Прагматическая сторона этого подхода, по существу, связана с задачей построения волновых пакетов как решений (точных или приближённых по /г —У 0) уравнения Шрёдингера (0.1), удовлетворяющих условию траекторной когерентности (0.3). Эта задача первоначально была решена для случая движения частиц в заданном потенциальном поле [49] и позднее для уравнения Шрёдингера в произвольном электромагнитном поле [47,48] на основе метода комплексного ростка Маслова [41,50,51] (см. также [52-57]). Подробную библиографию по этому вопросу можно найти в обзорах [42,44,55].
Локализованные асимптотические решения уравнения типа Шрёдингера, удовлетворяющие условию траекторной когерентности (0.3), получили название «квазиклассически сосредоточенных» решений (или состояний). Оказалось, что подобные квазиклассически сосредоточенные состояния существуют для всех основных (линейных) уравнений квантовой механики заряженной частицы во внешнем поле с учётом её спина и изоспина. В работах [58-68] (см., например, [69]) такие состояния были построены для уравнений Клейна-Гордона и Дирака-Паули в произвольном электромагнитном поле и для уравнений Шрёдингера и Дирака во внешнем неабелевом поле с калибровочной группой 517(2). Квазиклассически сосредоточенные состояния являются обобщением хорошо известных (сжатых) когерентных состояний (см., например, [70,71]) на случай (линейных) уравнений квантовой механики в произвольных внешних полях.
На основе квазиклассически сосредоточенных состояний был развит новый ковари-антный подход в квазиклассическом приближении для уравнений квантовой механики. Суть этого подхода состоит в том, что в классе квазиклассически сосредоточенных состояний средние значения наблюдаемых, имеющих классический аналог, приближённо (с любой степенью точности 0(hN), ti 0) определяются по решению конечномерной аппроксимации порядка N системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно квантовых средних базисного набора наблюдаемых теории (в случае, например, уравнения типа Шрёдингера этот базисный набор является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Гейзенберга-Вейля, причем в качестве образующих этой алгебры выбраны зависящие от времени операторы /, Х{ — Xi{t) = Ахг, Pi — pi = Api, i = l,n, / - тождественный оператор). Такая бесконечномерная система для уравнения Шрёдингера была получена в работах [72-75] и названа системой Гамильтона-Эренфеста (см. также [42,44]). В работе [76] было доказано, что она является иуассоновой системой относительно (вырожденной) нелинейной скобки Дирака. Для уравнения типа Паули соответствующая пуассонова бесконечномерная система Гамильтона-Эренфеста была выведена в [77]. Для релятивистских уравнений квантовой теории удалось получить [58,59,62-68] лишь соответствующие конечномерные системы Гамильтона-Эренфеста порядка N (N = 0,1, 2).
Но в любом случае ковариантный подход решает проблему прямого вывода классических уравнений движения (в духе первоначального подхода Эренфеста [46]). А именно, под уравнениями классической механики - под «классикой», отвечающей исходной квантовой теории с заданным матричным гамильтонианом, - понимается конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений - система Гамильтона-Эренфеста порядка N (N ^ 0), замкнутая (с точностью до h —ь 0) относительно квантовых средних базисного набора наблюдаемых этой теории. В рамках такой концепции для заданной (линейной) квантовой теории возникает иерархия «классических» уравнений движения, градуированная порядком N (N ^ 0) соответствующей системы Гамильтона-Эренфеста. Было показано, что градуированное семейство систем Гамильтона-Эренфеста не только решает проблему соответствия, но и с точностью до 0(h,(N+1^2) эквивалентна уравнению Шрёдингера. В частности [44,75,78], из системы Гамильтона-Эренфеста второго порядка удалось получить такие чисто квантовые характеристики системы, как, например, энергетический спектр, отвечающий точке покоя и устойчивым замкнутым фазовым кривым.
Как показывают примеры, предложенная концепция согласована с общепринятым в физической литературе представлением о классических уравнениях движения, соответствующих квантовой теории. В частности, для уравнения Шрёдингера и уравнения Клейна-Гордона «нулевая» классика (N = 0) даёт уравнения Ньютона и Лоренца соответственно [69]. Для уравнения Дирака-Паули во внешнем поле система Гамильтона-Эренфеста порядка N = 0 есть расцепленная система уравнения Лоренца и уравнения Баргмана-Мишеля-Телегди, в котором поля вычислены на траекториях уравнения Лоренца, а в случае N = 2 мы получаем [62] классические уравнения движения спина типа уравнения Френкеля [79]. Для уравнений Шрёдингера и Дирака во внешнем калибровочном поле с группой снмметрий SU(2) соответствующая гамильтонова (N = 2) система Гамильтона-Эренфеста переходит в известные классические уравнения Вон-га для неабелева заряда с изоспином 1/2 [64,65]. Другие примеры вывода известных классических уравнений движения из уравнения Дирака в полях кручения, уравнения Дирака с внешним электромагнитным полем в пространстве Римана-Картана и из уравнения Прока приведены в работах [66-68] (см. также [69]).
Целью настоящей диссертации является развитие асимптотических методов интегрирования двухкомпонентного многомерного нелинейного уравнения типа Хартри и применение этих методов к решению задачи Коши, Флоке и спектральной задачи для двухкомпонентного уравнения тина Хартри.
Известное уравнение самосогласованного поля вида ih^ = #Х[Ф]Ф, (0.5)
П„№=По + х J v(x,y,t)\*(y,t)\2dy,
Е" ^ + х е К", где U(х, t) и V(х, у, t) — заданные гладкие потенциалы внешнего и самосогласованного полей соответственно и х = const, является частным случаем уравнения типа Хартри.
Метод квазиклассически сосредоточенных состояний и ковариантный подход оказались эффективным инструментом исследования нелинейных математических моделей, основанных на линейных уравнениях. Обобщение ковариантного подхода на случай нелинейных квантовых систем заведомо нетривиально, поскольку сама постановка задачи о соответствии «классике» уже является проблематичной, так как не ясно, что понимать под уравнениями классической механики в этом нелинейном случае. Поясним это подробнее на примере уравнения (0.5) и его линейного аналога при >с = 0 -уравнения (0.1). Для уравнения Шрёдингера гамильтониан % имеет, как известно, классический аналог - функцию Гамильтона 7i(p, х, t) (0.2) такую, что "К = %(p,x,t) р = -¿ftV (0.1). Следовательно, формулами (0.4) определена динамическая (гамильто-нова) система, которую принято считать классической системой, отвечающей заданной квантовой теории с гамильтонианом %{f>,x,t). С точки зрения ковариантного подхода система (0.4) есть «нулевая» классика, т. е. конечномерная система Гамильтона-Эренфеста порядка N = 0 в фазовом пространстве размерности 2га. Обоснование этого утверждения дано в цитированных выше работах (см., например, [42]) и опирается на следующие два факта:
I. для уравнения Шрёдингера существуют приближённые асимптотические решения (динамические состояния) Ф(.х, t, ti, zq), которые приближают точные решения с точностью до 0(/г1/'2), h —» 0, и таковы, что они квазиклассически сосредоточены на фазовой траектории Z(t) = (P(t.), X(t)) 6 IR2'1 в следующем смысле (см. (0.3)): lim (p)y(t,h) = P(t), Пт(ж)ф(£, fi) = X(t), x = (xi,., xn), p=—ihV\ (0.6)
Л-+0 0
И. 2п-мерная функция времени Z(t) является решением системы Гамильтона (0.4), причём для произвольной траектории этой системы ZKIl(t, z0), параметризованной начальной точкой (ро, х0) — zq, существуют квазиклассически собредоточенные на этой траектории соответствующие асимптотические решения Ф(ж, £, h, z0) уравнения (0.1), параметризованные z0.
Полученные при реализации принципа соответствия «классические» системы представляют интерес с точки зрения исследования геометрических и топологических характеристик их решений. Для «линейной» квантовой механики {ус = 0 в (0.5)) соответствующая классическая система — это априори гамилътонова система в фазовом пространстве с функцией Гамильтона = И°{р,х): i>= -VxU{x).
У h (0.7) х = р с канонической 2-формой dp A dx. Решение задачи Коши для исходного нелинейного уравнения в квазиклассическом приближении определяется специально построенными геометрическими объектами фазового пространства системы (0.7). В простейшем с точки зрения общей теории [40,41] случае таким объектом является [A°,rf] — нульмерное ланранжево многообразие А® с комплексным ростком Маслова rf, где А^ — точка на фазовой траектории системы (0.7) р = Р{х0,р0, t) — ркл, х = Х{х0,р0, t) = жкл, стартующая при t = 0 из точки {pq,x0).
Двухкомпонентное уравнение типа Хартри запишем в виде
-ihdt + Я*[Ф](*)}Ф = 0, Ф € Ь2{Ж3Х, С2), (0.8) где действие оператора Хартри определяется формулой
Ях[Ф]фФ = (tf (i) + Ф. ' (0.9)
Здесь
H{t) = H°(t)l + ßh(a, Ü(t)), (0.10)
У[Ф](*) = J V+{y,t)[V\t)I+ (a,P{t))}V{y,t)dy, (0.11) к3 где ус - вещественный параметр нелинейности; Ф(ж, t) — {ipl{x,t),Tl>2{x,t))T-, Ф+(ж, t) = {^l*{x,t),^2*{x,t)) - эрмитово сопряженная функция; er;, I = 1,3, - матрицы Паули; H°{t) = H°{z, t), H{t) = H{z,t), V°{t) = V°{z,w,t), и V{t) = V(z,w,t), - псевдодифференциальные операторы от некоммутирующих операторов z и го: z = (—гНд/дх, х), w = (—ihd/dy, у),
Для систем нелинейных уравнений Шрёдингера с унитарной нелинейностью (уравнений типа Хартри) (0.8) проблема «соответствия» в духе подхода Эренфеста сталкивается со следующими трудностями (однокомпонентный случай см. в [78]). Во-первых, оператор "Нх[Ф] не имеет естественного классического аналога в традиционном смысле и поэтому априори не определена какая-либо динамическая система (не зависящая от
Ф) - кандидат на классическую систему, отвечающую задаче (0.8). Во-вторых, открытым остается вопрос о существовании точных или приближённых по ft —> 0 решений этого уравнения типа волновых пакетов, для которых существуют пределы для квантовых средних операторов координат и импульсов. Полученные в диссертации результаты позволяют по новому взглянуть на проблему соответствия. Показано, например, что классические уравнения движения квантовых средних различны в зависимости от классов состояний, на которых осуществляется предельный переход при ft —> 0.
Так, например, для однокомпонентного уравнения (0.8) (когда H(t) = 0, V(t) — 0) с сингулярным потенциалом самодействия V°{x,y) кулоновского типа квазиклассические собственные функции и собственные значения - спектральные серии спектральной задачи или, как принято говорить в математической литературе, квазимоды, сосредоточенные при ft —У 0 вблизи маломерных подмногообразий в М^, были получены [80-83] на основе «сингулярного» варианта ВКБ-метода с помощью эталонных уравнений. Асимптотические спектральные серии оператора типа Хартри с притягивающим потенциалом взаимодействия гауссова вида при отсутствии внешнего поля построены в [84], соли-тоноподобные решения для уравнения типа Хартри и некоторых видов потенциалов взаимодействия построены в [85-88].
Для общего оператора типа Хартри (0.9) с С°°-гладкими символами H°(z, t), H(z, t), V°(z, w, t), V(z, w, t), растущими вместе со своими производными по z и w при \z\ —> 0 и |ги| —» 0 не быстрее, чем полином, удалось в рамках метода квазиклассически сосредоточенных функций [89-93] получить асимптотические состояния [94], удовлетворяющие предельному соотношению (0.3) и позволяющие строить классический предел также для наблюдаемых, не имеющих классического аналога (спин, изоснин). Отметим, что метод квазиклассических траскторно-когерентных функций позволил показать, что в квазиклассическом приближении классические уравнения представляют описание квантовой системы, альтернативное соответствующему квантовому уравнению, с некоторой точностью по квазиклассическому параметру ft.
Подчеркнём, что всюду в работе речь идёт о построении формальных асимптотических решений уравнения типа Хартри с невязкой, норма которой имеет сколь угодно малую оценку по параметру ft, ft —> 0. Обоснование этих асимптотик на конечных временах t € [0,Т], Т = const, представляет собой отдельную нетривиальную математическую задачу. Эта задача связана с получением априорных оценок решения нелинейного уравнения (0.8), равномерных по параметру ft € (0,1), и в данной работе не рассматривается. Отметим, что из эвристических соображений, приведённых в работе [95], оценка разности между точным и построенными формальными асимптотическими решениями, по-видимому, может быть получена с использованием методов, развитых в работах [40,41].
Уравнение (0.8) играет фундаментальную роль в теории бозе-эйнштейновского конденсата [96]. Кроме того, оно используется в нелинейной оптике для описания распространения импульсов [97], в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках [98] и т.д.
Уравнение (0.8) в теории БЭК принято называть связанным нелокальным уравнением Гросса-Питаевского, оно описывает двухкомпонентный неидеальный конденсат в поле магнитной или оптической ловушки. Компоненты вектор-функции ф1(х) и г{>2(х) определяют квантовые состояния компонент конденсата [99,100]. Двухкомпо-нентный конденсат может быть реализован в виде смеси двух систем различных атомов [101,102] либо в виде ансамбля атомов одного вида, находящихся в различных спиновых состояниях [103,104]. Осцилляторный потенциал в операторе (0.9) моделирует внешнее поле ловушки. Внешний потенциал в (0.9) одинаков для обеих компонент конденсата, что имеет место при использовании ловушки, созданной только оптическим лазером [105,106]. Поляризационное слагаемое ¡d(a,H(t)) описывает, например, взаимопревращение компонент конденсата под воздействием внешнего поля, где параметр ц отвечает за интенсивность перехода из одной компоненты конденсата в другую [107]. Взаимодействие между частицами системы учитывается нелокальным членом (среднее поле), характеризующимся оператором V[W](i) вида (0.11). Оператор V°(t) отвечает за нелокальное взаимодействие внутри компонент, a (a, V{t)) - за взаимодействие между различными компонентами. В идеальном бозе-газе при температуре, равной нулю, все частицы находятся в состояниях с нулевыми импульсами, образуя бозе-конденсат. С повышением температуры бозе-конденсат размывается и при некоторой температуре исчезает. В реальной бозе-жидкости к температурному размытию добавляется динамическое, обусловленное межатомным взаимодействием. Таким образом, построение солитоноподобных решений двухкомпонентного уравнения типа Хартри позволяет описывать бозе-конденсат при температуре, близкой к нулю, и отсутствии динамического размытия.
Для уравнений с нелокальной нелинейностью точные методы интегрирования неизвестны, поэтому для исследования моделей обычно нелокальными членами пренебрегают. Однако такое ограничение не всегда корректно. Например, численные исследования динамических процессов в РД-системах показали, что именно нелокальность взаимодействия в системе приводит к формированию диссипативных структур [108,109]. В свою очередь, в [110,111] было показано, что метод квазиклассических асимптотик может быть успешно применён к уравнениям с унитарной нелинейностью типа Хартри. При этом предполагалось, что интегральное ядро в потенциале взаимодействия достаточно гладкое.
Приведём другой пример, усиливающий интерес к квазиклассическому методу. Проблемы, связанные с БЭК в парах щелочных металлов, удерживаемых в магнитно-оптических ловушках, привлекают значительное внимание [112,113](см. также [114,115]). В качестве теоретической основы используются модели полей с ¿-образным межчастичным взаимодействием во внешнем потенциале (V°(z, w,t) — 5(х — у), H(z,t) = 0, V(z,w,t) = 0) [116] и строятся локализованные решения уравнения (0.8). Одним из недостатков расчётов бозе-конденсата является то, что в них используются различные модельные представления для волновой функции, которую описывает чаще всего локальное уравнение Гросса-Питаевского и которая учитывает, как правило, только короткодействующие парные межатомные корреляции.
Также недостатком является то, что уже в пространстве двух измерений локализованные решения БЭК с фокусирующей нелинейностью неустойчивы и в процессе эволюции испытывают коллапс [117], который не наблюдается в эксперименте. Так как большинство моделей, основанных на локальном уравнении Гросса-Питаевского, являются упрощением нелокальной модели [118], представляет интерес более детально ' проанализировать нелокальный оператор У[Ф], возникающий в ходе получения уравнения Гросса-Питаевского. Наличие иелокальности даёт возможность обойти проблему коллапса волновой функции в модели БЭК [119,120].
Важные результаты были получены в спектральной теории таких уравнений [121— 130]. В гладком случае квазимоды, сосредоточенные вблизи точки, были получены впервые в [41,84,111]. Одной из задач, поставленных в диссертации, является задача о построении спектральных серий нелинейного матричного оператора типа Хартри
Ях[ Ф]Ф = Еи Ф, (0.12) отвечающих точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста.
В спектральных задачах квазиклассические собственные функции и собственные значения - спектральные серии, или квазимоды, [40,41,50], - можно сопоставить компактным Ак лишь при условии их инвариантности относительно фазового потока д1н (.Ак — д1нАк). При этом в маломерном случае, т.е. при к < п, инвариантные изотропные подмногообразия должны удовлетворять дополнительному условию типа условия устойчивости. Это условие на геометрическом языке означает существование инвариантного комплексного ростка Маслова г3 над Ак [41,50,131], образованного комплексными траекториями линеаризованной системы в окрестности Ак. В простейшем случае к = 0, когда Л° - устойчивая точка покоя гамильтонова векторного поля алгоритм построения соответствующих спектральных серий методом комплексного ростка (канонический оператор Маслова с комплексной квадратичной фазой [40,41,50]) эквивалентен известному в физике методу осцилляторного приближения в окрестности точки Л°. В случае замкнутой фазовой кривой Л1 [39,132,133] условие орбитальной устойчивости (условие существования комплексного ростка г3 над Л1) эквивалентно тому, что соответствующая система в вариациях допускает базис, состоящий из флоке-решений, косоортогональных касательному вектору к кривой Л1 [41,50].
Основная идея построения соответствующих квазимод заключается в том, чтобы найти асимптотические решения Ф(ж, /I) е 1Сгп задачи Коши (0.9) с начальными условиями, выбранными в классе /Сд, зависящие от времени по гармоническому закону
Г 2 1
Ф(ж, ¿, Я) = ехр — — А£ Ф\(х,Н). Ясно, что тогда пара (Л, Ф>) есть квазимода оператора
Другая задача, поставленная в диссертации, - формулировка условий, при которых квазиклассические локализованные решения можно трактовать как квазиклассические солитонные решения (квазиклассические «солитоны»).
Для линейного однокомпонентного случая н«[Ш) = + и(х) + У(х - у)\ш (0.13) когда в операторе Хартри полагаем ж = 0, поставленная задача переходит в задачу об эволюции в квазиклассическом приближении сжатого когерентного состояния ъ ЛГ0ехр -(Р0,х-х0) ехр -(£ - х0, В0(х - х0)) . (0.14) г
Здесь (ро.жо) — произвольная фиксированная точка фазового пространства К2га; Во — пхп произвольная симметричная матрица с положительной мнимой частью: 1т Во > 0; N0 = (тг/1)-п/4(с1еит В)1,А.
Тогда классическая система, отвечающая оператору Хартри Н^Ф](£) (0.13) и названная в [93,134] системой Гамильтона-Эренфеста, имеет вид z = JVZ + U{x) + V(x - у) + + 2ZVxx(x - У)))
Д2 = JMH{z)A2 - A2M„(z)J, Al = Д2.
0.15) т т,г , . / 0 —Uxx(x(t))\ тг
Здесь J — стандартная симплектическая матрица, J= ; Uxx(x) =
0 J
Щх), Vxx{x - у) = §->У{х -у), к = х||Ф||2.
Общие формулы комплексного метода ВКБ-Маслова дают главный член асимптотики (mod Л3/2) задачи (0.13), (0.14) (при х = 0) в следующем виде:
Ф(ж,£,/г) = iVexp [|:(5кл(4) + (Дсл(0>я - £«.(*)) х
1Г1 х ехр [|(.т-fкл(í))BC-1(í)(f-fкл(í)))](detC(£))-1/2. (0.16) Здесь £кл(£) — классическое действие:
5кл = (Щ^- - С/(хкл(г))) йт, (0.17) а матрицы В(¿), С(£) (определяющие комплексный росток г" € г" = {(го, г),ги =
ВС~1(Ь)г}) суть матричные решения задачи Коши для системы в вариациях (линеаризации системы (0.18) в окрестности ): 7Мн(гКЛ) , „ , , ,
0.18)
В(0) = В0, С(0) = 1„ = ||пхп.
Препятствием к тому, чтобы считать такие солитоноподобные решения квазиклассическими солитонами, является тот факт, что эти волновые пакеты расплываются при Ь—>оо (на временах ¿^^¡Ьг, 0<5<1). За исключением случая, когда 17 (х) - потенциал квадратичного осциллятора, дисперсии координат и импульсов, вычисленные по состояниям Ф (х, К) (0.16), растут при ¿->-оо не медленнее, чем линейная функция по£.
Оказывается [88,91], что эффект фокусировки за счёт интегральной нелинейности при >с ф 0 приводит (по крайней мере, для выпуклых потенциалов самодействия) к существованию локализованных асимптотик уравнения (0.13), (0.14) в форме гауссова пакета, имеющего структуру (0.16), для которого дисперсии координат и импульсов являются ограниченными функциями времени t € [0, +оо). Такие асимптотические решения естественно интерпретировать как квазиклассические солитоны гауссова профиля.
Важно отметить, что в работе [135] для нелинейного уравнения Шредингера с нелокальной нелинейностью типа Хартри в тонком квантовом волноводе, были построены гауссовы волновые пакеты и в случае, когда стенки волновода имеют периодическую структуру, показано, что при положительном значении параметра нелинейности интегральная нелинейность позволяет пакету не расплываться при его распространении. Более того, были обнаружены такие ситуации, когда пакет периодически во времени и пространстве сильно фокусируется.
Примером проявления солитоноподобных свойств, рассмотренных в диссертации, являются квазиэнергетические состояния, впервые введенные Зельдовичем [136,137](см. также [138]), отвечающие матричному Т-периодическому по времени оператору типа Хартри и обладающие свойством
Ъе(х,Ь,Н) = е-^уе&ЪГъ), (0.19) где
Ре(х,г + Т,К) = (ре(х,г,П). (0.20)
Величина £, входящая в (0.19), была названа квазиэнергией и определена по модулю Ьш (и) = 27г/Т), т.е. £' = £ 4- тНш, т € Ъ. Квазиэнергетические состояния играют ключевую роль при описании квантовомеханических систем, находящихся под влиянием сильных периодических внешних воздействий, когда стандартные методы нестационарной теории возмущений оказываются неприемлемыми, и являются частным случаем циклических состояний, введённых Аароновым и Ананданом [139].
Интересным классом квазиклассических солитонов, рассмотренным в диссертации, являются автомодельные солитоны, впервые введенные в работе [95] для уравнения (0.5) в отсутствие внешнего поля и{х,Ь) = 0. Типичный автомодельный солитон - решение уравнения (0.5), отвечающее закону сохранения импульса. Поясним конструкцию такого решения на примере однокомпонентного случая для уравнения (0.5). Пусть (А, Фа (а?)) - собственное значение и соответствующая собственная функция оператора Хартри
Нх[ Ф]ФА = АФА, НФАИ^КЗ) = 1, (0.21)
Тогда формула *) = охр [ 4 (л - М) (] Фд (* *„ - 1«), (0.22) где (ро,%о) € - параметры, определяет автомодельный солитон - точное решение уравнения (0.5).
Если удастся построить приближённый по Н —У 0 спектр и собственные функции спектральной задачи (0.21), удовлетворяющие уравнению не точно, а приближённо по параметру /¿: "Н>с[Ф]Фа = АФа + 0(ка), а > 0, Я —> 0, где невязка 0{1га) оценивается по норме 1*2(М^)), т0 формула (0.22) задаёт асимптотическое автомодельное решение исходного уравнения (0.5) (квазиклассический автомодельный солитон).
Перейдём к описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 163 библиографические ссылки. Общий объём диссертации составляет 108 страниц.
Заключение
В работе получены следующие оригинальные основные результаты:
1. На основе метода комплексного ростка Маслова и ковариантного подхода впервые разработан метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций (ТСФ) для построения асимптотических решений уравнения типа Хартри с нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения. Методом квазиклассических ТСФ построено формальное асимптотическое решение задачи Коши для двухкомпонентного уравнения типа.Хартри с любой степенью точности по малому параметру h. В явном виде найден приближенный нелинейный оператор эволюции двухкомпонентного уравнения типа Хартри в классе ТСФ.
2. Получена динамическая система Гамильтона-Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения, которая реализует принцип соответствия для квантовых систем, описываемых нелинейными математическими моделями.
3. С помощью развитого метода для двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри построены (с точностью до 0(h3/2)) квазиклассические спектральные серии, отвечающие устойчивой в линейном приближении точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста.
4. На основе предложенного метода получены явные выражения для квазиклассического солитоноподобного решения многомерного двухкомпонентного уравнения типа Хартри (mod Я3/2) гауссовского и автомодельного типов во внешних полях.
5. Методом квазиклассических ТСФ получены квазиклассические квазиэнергетические спектральные серии и асимптотика оператора Флоке в классе ТСФ для уравнения типа Хартри с матричным периодическим по времени гамильтонианом. Для квадратичного по координатам и импульсам периодического матричного оператора получены точные решения задачи Флоке для нелинейного уравнения.
В заключение автор благодарит профессора Шаповалова А. В. за дискусии, профессора В. Г. Багрова и профессора Карасева М. В. за внимание к работе.
Особую благодарность я выражаю научному руководителю профессору Белову В. В. за помощь, оказанную во время обучения в аспирантуре и профессору Трифонову А. Ю. за многочисленные обсуждения различных аспектов данной работы и неизменную поддержку.
Автор благодарен также Резаеву P.O. за полезные дискуссии во время подготовки диссертации.
1. Roberts D.C., Ueda M. Stability analysis for n-component Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. A. — 2006. — V. 73. P. 053611.
2. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. - 512 с.
3. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 404 с.
4. Цыганов М.А., Бикташев В.Н., Бриндли Дж., Холден А.В., Иваницкий Г.Р. Волны в кросс-диффузионных системах особый класс нелинейных волн // Усп. физ. наук. - 2007. - Т. 177, вып. 3. - С. 275-300.
5. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980.
6. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы исследования и решения нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985. -469 с.
7. Newell А. С. Solitons in Mathematics and Physics. — Arizona: Soc. Indus. Appl. Math., 1985.
8. Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. -484 с.
9. Додц Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. - 694 с.
10. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов // Журн. эксперим. теор. физики. 1977. — Т. 73, вып. 2(8) - С. 537-558.
11. Kivshar Y.S., Malomed В.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys. 1990. - V. 8. - P. 763-915.
12. Bove A., Da Prato G., Fano G. An existense proof for the Hartree-Fock time dependent problem with bounded two-body intraction // Comm. Math. Phys. — 1974. — V. 37. P. 183-192.
13. Chadam J.M., Glassey R.T. Global existence of solutions to the Cauchy problem for time-dependent Hartree equation // J. Math. Phys. — 1975. — V. 16. — P. 1122-1130.
14. Glassey R.T. Asymptotic behavior of solutions to certain nonlinear Schrodinger-Hartree equations // Comm. Math. Phys. — 1977. — V. 53, No 1. — P. 9-18.
15. Delgado V. Global solutions of the Cauchy problem for the classical coupled Maxwell-Dirak and other nonlinear Dirac equations in one space dimension // Proc. Amer. Math. Soc. — 1978. — V. 69, No 2. — P. 289-296.
16. Fukuda L., Tsutsumi M. On coupled Klein-Gordon-Schrodinger equations // J. Math. Anal. Appl. — 1978. V. 66, No 2. - P. 358-378.
17. Davies E.B. Some time-dependent Hartree equations // Ann. Inst. H. Poincare. — 1979.- V. A31, No 4. P. 319-337.
18. Ginibre J., Velo G. On a class of non-linear Schrodinger equations with non-local interaction // Math. Z. — 1980. V. 170, No 2. — P. 109-136.
19. Bias Л.-D., Figueira M. Decroissance a 1'infim de la solution d'une equation non lineaire dutype Schrodinger-Hartree // C.R. Acad. Sci. — 1980. — V. AB290, No 19. — P. A889-A892.
20. Choquet-Bruhat Y. Solutions globales des equations de Maxwell-Dirac-Klein-Gordon (masses nulles) // C. R. Acad. Sci. Ser. 1. — 1981. — V. 292, No 2. — P. 153-158.
21. Horst E. On the classical solutions of the initinal value problem for the unmodified non-linear Vlasov equation // Math. Meth. Appl. Sci. — 1981. — V. 3, No 2. — P. 229-248.
22. Strauss W.A. Nonlinear scattering theory at low energy: sequel // J. Funct. Anal. — 1981. — V. 43, No 3. — P. 281-293.
23. Nakamitsu K., Tsutsumi M. The Cauchy problem for the coupled Maxwell-Schrodinger equations // J. Math. Phys. — 1986. — V. 27, No 1. P. 211-216.
24. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 399 с.
25. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. - 280 с.
26. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. - 318 с.
27. Шмидт А.В. Анализ систем реакция-диффузия методом линейных определяющих уравнений // Журн. выч. математики и мат. физики. 2007. - Т. 47, № 2. - С. 256-258.
28. Hizel Е., Turgay N.C. Symmetry group analysis and similarity solutions for nonlinear reaction-diffusion system of Gray-Scott type // Int. Math. Forum, 2. 2007. - No. 58.- P. 2847-2858.
29. Cherniha R. Non-Lie reductions of nonlinear reaction-diffusion systems with variable diffusivities // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2004. - V. 50, No. 1. - P. 62-68.
30. Meirmanov A.M., Pukhnachov V.V., Shmarev S.I. Evolution Equations and Lagrangian Coordinates. — Berlin: Walter de Gruyter, 1994.
31. Anderson R.L., Ibragimov N.H. Lie-Backlund Transformations in Applications. — Philadelphia, PA: SIAM, 1979.
32. Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations. — New York: Springer,1986.
33. Fushchich W.I., Nikitin A.G. Symmetries of Maxwell Equations. — Dordrecht: Reidel,1987.
34. Gaeta G. Nonlinear Symmetry and Nonlinear Equations. — Dordrecht: Kluwer, 1994.
35. Маслов В.П., Федорюк M.B. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976.
36. Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы. — М.: Мир, 1965.- 549 с.
37. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущения. — М.: Наука, 1988.- 312 с.
38. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах диффракции коротких волн. — М.: Наука, 1972. — С. 465.
39. Маслов В.П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973. — 544 с.
40. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М.: Наука, 1977.
41. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А.Ю. Квазиклассически сосредоточенные состояния уравнения Шрёдингера // Лекционные заметки по теоретической и математической физике. — Т. 1, Ч. 1. — Казань, 1996. — Т. 15-136.
42. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А.Ю. Методы математической физики. Асимптотические методы: Учебное пособие. — Томск: Изд-во политехи, ун-та, 2004. 166 с.
43. Born М. Quantenmechanik der Stobvorgänge // Zeitsch. fur Phys. — 1926. — Bd. 38.- S. 803-b27.
44. Багров В.Г., Белов В.В., Тернов И.М. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния нерелятивистской частицы в произвольном электромагнитном поле // Теор. мат. физика. 1982. - Т. 50, №3. - С. 390-396.
45. Bagrov V.G., Belov V.V., Ternov I.M. Quasiclassical trajectory-coherent states of a particle in arbitrary electromagnetic field // J. Math. Phys. —- 1983. — V. 24, No 12.- P. 2855-2859.
46. Бабич B.M., Данилов Ю.П. Математические вопросы теории распространения волн. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1969. Т. 15. - С. 47-65.
47. Белов В.В., Доброхотов С-Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход // Теор. матем. физика. — 1988. Т. 92, № 2. - С. 215-254.
48. Белов В.В., Доброхотов -С.Ю. Канонический оператор Маслова на изотропных многообразиях с комплексным ростком и его приложение к спектральным задачам // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 298, № 5. - С. 1037-1042.
49. Нерр К. The classical limit for quantum mechanical correlation on functions // Commun. Math. Phys. 1973. - V. 35. - P. 265-77.
50. Zucchini R. Asymptotic /l1/,2-expansion in classic particle limit of non-relativistic quantum mechanics // Ann. of Phys. (NY). 1985. - V. 159, No 2. - P. 199-219.
51. Hagedorn G.A. 1985 Semiclassical Quantum Mechanics. IV. Large Order Asymptotics and More General States in More then One Dimension // Ann. Inst. Henri Poincare. -1985. V. 45, No 4. - P. 363-74.
52. Littlejohn R.G. The semiclassical evolution of wave packets // Phys. Rep. 1986. - V. 138, No 1-2. - P. 193-291
53. Доброхотов С.Ю., Тирроци Б., Шафаревич А. И. Представление быстроубываю-щих функций каноническим оператором Маслова // Мат. заметки. 2007. - Т. 82, вып. 5. - С. 792-796.
54. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Некоторые приложения теории комплексного ростка к теории уравнений с малым параметром // Совр. пробл. матем.— 1975. —Т.5. С.145-207.
55. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Quasiclassical spectral series of the Dirac operators corresponding to quantized two-dimensional Lagrangian tori // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - V. 27, No 15. - P. 5273-5306.
56. Белов В.В., Маслов В.П. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния оператора Дирака с аномальным взаимодействием Паули // Докл. АН СССР. -1989. Т. 305, №3. - С. 574-577.
57. Белов В.В. Квазиклассический предел уравнений движения квантовых средних для нерелятивистских систем с калибровочными полями Томск, 1989. (Препринт / Томский научный центр СО АН СССР; №58.)
58. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Quantization of closed orbits in Dirac theory by Maslov's complex germ method // J. Phys. A: Math. Gen. — 1994. V. 27, No 3. - P. 1021-1043.
59. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu. Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics: II. High order corrections to the Dirac operators in external electromagnetic field // e-print:quant-ph/9806017. — 1998. — 27 pp.
60. Белов В.В., Маслов В.П. Квазиклассические ТКС в квантовой механике с калибровочными полями // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 311, вып. 4. - С. 849-854.
61. Белов В.В., Кондратьева М.Ф. «Классические» уравнения движения в квантовой механике с калибровочными полями // Теор. матем. физика. 1992. - Т. 92, №1. -С. 41-60.
62. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Quasi-classical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics of a charged particle in a curved spacetime // Class. Quantum Grav. — 1991. V. 8. — P. 515-527.67.
