Метод квазиклассически сосредоточенных состояний для уравнения типа Хартри с периодическими внешними полями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Направахрукописи

Лисок Александр Леонидович

Метод квазиклассически сосредоточенных состояний для уравнения типа Хартри с периодическими внешними

полями

Специальность 01 04 02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики Томского политехнического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

профессор Трифонов Андрей Юрьевич (ТПУ)

Научный консультант:

доктор физико-математических наук

профессор Шаповалов Александр Васильевич (ТГУ)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

профессор Белов Владимир Владимирович (МИЭМ)

доктор физико-математических наук

профессор Бордовицын Владимир Александрович (ТГУ)

Ведущая организация:

Казанский государственный университет

Защита состоится 2004 г. в час. на заседании

диссертационного совета Д 212.267.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Томском государственном университете по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан

«5»

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук профессор

И.В. Ивонин

Общая характеристика работы

В диссертации развивается метод построения аналитических решений нелинейных задач квантовой теории и их приложений на примере уравнения типа Хартри с периодическими внешними полями.

Актуальность темы

Нелинейные модели являются основой описания широкого класса физических явлений. В этих моделях особый интерес представляют уравнения в многомерных пространствах с переменными коэффициентами (внешними полями) и различными видами нелинейности. Разработка аналитических методов интегрирования таких уравнений представляет актуальную проблему не только для математической физики, но и для физических приложений описываемых этими моделями.

Точно решаемые задачи математической физики исключительно важны, поскольку позволяют проиллюстрировать основные положения и выводы рассматриваемой теории или модели. Однако такие задачи чаще всего возникают в следствии упрощения исследуемой модели. Для нелинейных уравнений, с переменными коэфициентами фактически отсутствуют точные аналитические методы интегрирования и поэтому проблема разработки различных асимптотических методов решения нелинейных уравнений для них особенно актуальна.

В линейных задачах математической физики особое место занимают асимптотические методы, получившие название квазиклассических. Квазиклассическое приближение естественно возникло в квантовой механике поскольку одним из постулатов квантовой теории является принцип соответствия который предъявляет к теории требование, чтобы в пределе К —> 0 квантовая динамика переходила в соответствующую классическую. Для нелинейных квантовых систем проблема соответствия практически не изучена и ее исследование представляется актуальной задачей.

Помимо решения фудаментальных проблем квантовой теории, квазиклассическое приближение доказало свою эффективность при расчете конкретных кванто-вомеханических эффектов. Например, квазиклассическими методами могут быть описаны геометрические свойства физических систем, находящихся под внешним

периодическим воздействием. Для квантовых систем с нетривиальной топологией такие свойства «представлении» так называемыми топологическими или геометрическими фазами (ГФ) волновой функции. Теория ГФ в квантовой механике опирается на свойство линейности уравнения Шрёдингера. Для нелинейных уравнений понятие ГФ также может быть введено хотя не вполне очевидно, что построенное выражение определяется лишь геометрией системы и не содержит динамического вклада из-за наличия нелинейности. ГФ в нелинейных системах менее изучены не только из-за отсутствия принципа суперпозиции решений. Нетривиальная топология системы может определяться как соответствующими граничными условиями, так и внешними полями. Последние входят в уравнение в виде переменных коэффициентов. Построение квазиэнергетических состояний и ГФ, в этом случае, сталкивается с фундаментальной проблемой интегрируемости нелинейных уравнений, поэтому естественно изучать ГФ в нелинейных системах в квазиклассическом приближении.

Эксперементальные достижения последних лет — наблюдение конденсанции Бозе -Эйнштейна (БЭК) в парах щелочных металлов - открыло новые возможности для исследования макроскопических квантовых явлений. Теория БЭК основана на уравнении Гросса - Питаевского1, которое в математической литературе известно, как нелинейное уравнение Шрёдингера. Учет «неидеальности» межатомного взаимодествия частиц конденсата приводит к нелокальному уравнению Гросса - Питаевского, которое также называется уравнением типа Хартри.

Метод квазиклассически-сосредоточенных состояний оказался эффективным инструментом исследования математических моделей основанных на линейных уравнениях. Обобщение этого метода на случай нелинейных задач описываемых нелинейными уравнениями типа Хартри, является одной из основных задач диссертации.

Цель работы

Цель диссертационной работы состоит в развитии методов построения аналитических решений нелинейных задач квантовой теории и их приложений на примере уравнения типа Хартри с периодическими внешними полями.

*Питаевский Л.П Бозе-Эинштеновская конденсация в магнитных ловушках // Успехи физ наук. 1988 Т 168 С 641-653

Научная новизна

В работе впервые получены следующие основные результаты:

1. Предложен метод решения задачи Флоке для уравнения типа Хартри с периодическими по времени потенциалами внешнего поля в классе траекторно-сосредоточенных функций (ТСФ).

2. Построены с любой степенью точности по Н—¥0 квазиклассические квазиэнергетические спектральные серии, асимптотика оператора Флоке и фаза Ааронова-Анандана (в классе ТСФ) для уравнений типа Хартри с периодическим по времени оператором.

3. Построены оператор эволюции и однопараметрическое семейство операторов симметрии (операторы которого задают нелинейный аналог представления группы Гейзенберга-Вейля) одномерного уравнения типа Хартри с квадратичным оператором.

4. Сформулирован нелинейный принцип суперпозиции позволяющий каждой линейной комбинации точных решений уравнения типа Хартри с квадратичным оператором сопоставить другое решение этого уравнения.

Теоретическая и практическая ценность работы

Результаты, приведенные в диссертации, имеют общетеоретический характер и иллюстрируют высокую эффективность метода квазиклассически сосредоточенных состояний на примере задачи Флоке для уравнения типа Хартри

С одной стороны, использование квазиклассически сосредоточенных состояний позволяет достичь более глубокого понимания структуры самой квантовой теории. Это достигается, например, при решении проблемы соответствия результатов квантовой и классической механик, а именно, позволяет по новому взглянуть на квазиклассическое приближение как на приближенное описание квантовой системы в терминах новых классических динамических переменных. Показано, что для нелинейных уравнений соответствие результатов квантовой и классической механик существенно зависит от класса решений на котором рассматривается классический предел 0.

Диссертация направлена на развитие метода квазиклассически сосредоточенных состояний2 для построения спектральных серий многомерного нелинейного уравнения типа Хартри и его приложению к актуальным проблемам теоретической и математической физики теории топологических фаз решений нелинейных уравнений, теории конденсата Бозе-Эйнштейна1

С другой стороны, квазиклассически сосредоточенные состояния удобно использовать для анализа конкретных физических эффектов во внешних полях Предложенный в работе новый метод расчета квазиклассических квазиэнергетических спектральных серий оператора Хартри, отвечающих замкнутым траекториям системы Гамильтонона-Эренфеста, может иметь важное прикладное значение в спектроскопии, теории Бозе-Эйнштейновского конденсата и в астрофизике Принципиальным отличием рассматриваемых в диссертации задач является то, что исследуемые нелинейные уравнения в общем случае не допускают интегрирования методом обратной задачи3 и его обобщениями такими, например, как метод "л-бар"проблемы Захарова-Манакова - наиболее эффективное обобщение метода обратной задачи4

Полученные в работе общие формулы для фазы Ааронова-Анандана волновых функций оператора Хартри могут оказаться полезными как для прояснения статуса квантовых фаз в теоретической физике, так и для постановки экспериментов по их измерению

Основные положения, выносимые на защиту:

1 Метод решения задачи Флоке для уравнения типа Хартри с периодическим по времени оператором в классе ТСФ

2 Явные выражения для квазиклассических квазиэнергетических спектральных серий, асимптотики оператора Флоке и фазы Ааронова-Анандана квазиэнергетических состояний (в классе ТСФ) для уравнения типа Хартри с периодическим по времени оператором.

2 Bagrov V G , Belov V V , TVifonov A Yu Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics I High order corrections to multidimensional time dependent equations of Schrodinger type // Ann of Phys (N Y ) 1996 V 246, No 2, 231 - 290

3 Захаров В Е , Манаков С В , Новиков С П , Питаевский Л П Теория солитонов Метод обратной задачи М Наука, 1980, 319 с

4 Konopelchenko В G Sohtons m mulhdimenswns Singapour, London, Hong-Kong World Scientific, 1993

3. Нелинейный принцип суперпозиции позволяющий каждой линейной комбинации точных решений уравнения типа Хартри с квадратичным оператором сопоставить другое решение этого уравнения.

4. Построеные точные решения, операторы симметрии, однопараметрическое семейство операторов симметрии, генераторы этого семейства для уравнения типа типа Хартри с квадратичным оператором.

Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

— XIV международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. 22 июня - 03 июля 2002 г., Казань;

— International Workshop "Gravity, Strings and Quantum Field Theory"(July 1-7 2002 g., Tomsk);

— XV International Conference "Symmetry in nonlinear mathematical physics, June 23-29, 2003 Institute of Mathematics, Kyiv (Kiev), Ukraine;

— Workshop on Separability Theory of Differential Equations. January 12 - 16, 2004 Department of Mathematics, Linkoping University (Sweden);

— XV международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. 22 июня - 03 июля 2003 г., Казань;

— Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" приуроченная к 85-летию академика Л.В. Овсянникова 10 -14 мая 2004 г., Институт гидродинамики им. МА. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск;

— XVI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики, 22 июня - 03 июля 2004 г., Казань;

— Int. Seminar "Day on Diffraction'2004". June 29 - July 03, 2004. S. Peterburg,

а также на научных семинарах кафедры высшей математики и математической физики Томского политехнического университета, кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета, кафедре прикладной математики Московского института электроники и математики, на Томском общегородском семинаре по теоретической физике.

По теме диссертации опубликовано б статей в отечественной и зарубежной научной печати, а также 7 тезисов докладов на всероссийских и международных конференциях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, приложения заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 174 библиографических ссылки. Общий объем диссертации составляет 102 страницы. Работа содержит 3 рисунка.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проведен краткий обзор литературы и установлена связь результатов, представленных в диссертации, с результатами работ других авторов. Дано описание структуры диссертации и сформулированы основные задачи, решаемые в ней.

В первой главе диссертации развит метод построения асимптотических квазипериодических решений , то есть решений многомерной задачи Флоке

с квазиэнергией для уравнения

где самосопряженные в Х2 операторы У(2,й,1) периодически зависят от

времени:

Здесь

являются функциями от некоммутирующих операторов

, упорядоченные по Вейлю; функция комплексно сопряжена к - вещественный параметр, - "малый параметр", Асимптотические по малому параметру 0 решения строятся в

классе квазиклассически сосредоточенных функций.

Глава организована следующим образом. В первом разделе дана постановка задачи Флоке в классе ТСФ. Во втором разделе рассмотрены их простейшие свойства. Методика построения решений задачи (2), (1) в классе ТСФ опира-

ется на технику решения задачи Коши5 и существенно использует динамическую систему уравнений Гамильтона - Эренфеста (систему уравнений для средних и центрированных моментов). В третьем разделе приведен вывод системы Гамильтона-Эренфеста, описывающей "частицеподобные" свойства квазикласси-чески сосредоточенных решений уравнения типа Хартри. В четвертом разделе уравнение типа Хартри эффективно линеаризовано с помощью решений системы Гамильтона-Эренфеста и получено семейство ассоциированных линейных уравнений Шрёдингера, определяющих асимптотическое решение исходной задачи (2), (1). Для семейства ассоциированных уравнений Шрёдингера построено решение задачи Флоке в классе ТСФ. В пятом разделе с точностью построены ква-

зиэнергетические фоковские состояния уравнения типа Хартри и получен главный член квазиклассической асимптотики. В частности, для квазиэнергий с точностью

О( ) получено

£W(mod и) = -~S(T, h) + hJ2 + h,

(5)

Jbl

1

S(T,h) = J {(P(t,h)X(t,h))-sj(Z(t,h),t)-

P_ Т r I

Здесь Z(t,h) = (P(t, h),X(t, Н)У пер'иодиче< Эренфеста второго порядка

дические

енИя системы Гамильтона -

(6)

где

zz

l w=zJ L w~zJ

а (2n х 2п)-матрица Aft) определена соотношением

V Vxp(t) (Txx{t)

(7)

5 V.V. Belov, A.Yu. Trifonov and A.V. Shapovalov, The Trajectory-Coherent Approximation and the System of Moments for the Hartree Type Equation // Int. J. Math, and Math. Sci. (2002). Vol. 32, No 6. P. 325-370. Белов В.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В., Квазиклассическое траекторно-когерентное приближение для уравнения типа Хартри // Теор. Мат. Физ. (2002). Т. 130, №3. С. 460-492.

Здесь п х п матрицы <ГХХ(£), арр{£), <?рх(£) матрицы "дисперсий" координат, импульсов и матрица корреляции координат и импульсов, соответственно.

Через к = 1,п обозначены показатели Флоке системы в вариациях, отвечающей траектории I = п)

а-к

JSjZ2{t)ak, 4 = 1,1», ak{t + T) = e,n>Tak(t).

(8)

В шестом разделе построены квазиклассически сосредоточенные квазиэнергетические решения (общий случай) для уравнения Хартри с произвольной степенной точностью по параметру при ft 0 . Явные выражения для нелинейного оператора Флоке (оператора монодромии) уравнения (2) построены в заключительном разделе главы.

Во второй главе диссертации развитый метод применяется к построению геометрических фаз Ааронова-Анандана.

В восьмом разделе для геометрических фаз Ааронова-Анандана, соответствующих квазиэнергетическим ТКС уравнения (2) в квазиклассическом приближении получено общее выражение

Ь[и](Т) = dr{Ft\rhal{r)}.

w,t) + kVww(z, w, i)j at(i)}j |

Как видно из выражения (9) фаза Ааронова-Анандана 7^, отвечающая квазиэнергетическим ТКС Ф^,,полностью определяется двумя следующими геометрическими объектами: устойчивой в линейном приближении замкнутой фазовой траекторией I = 2о(() системы Гамильтона-Эренфеста и комплексным ростком

/(Z/t)), образованным из п линейно независимых решений Флоке а(Х) системы в вариациях (8). Здесь ä)t(i) —периодическая часть решения системы в вариациях, фигурными скобками обозначено кососкалярное произведение векторов.

В следующих разделах изложенная выше схема применена для нахождения в явном виде спектральных серий и ГФ нелокальных взаимодействий с квадратичным и гауссовским потенциалом.

В девятом разделе для уравнения (2) линейный и нелинейный операторы выбраны в виде

р(хр + рх)

n(t) =

2т

+ ■

■ — eExcosujt,

т<л •\1

dy [ах2 + 2Ьху + сг/2]|Ф(2/, ОР^ОМ)-

(12) (13)

Здесь а, Ь и с - параметры потенциала, х - параметр нелинейности, к > 0, р, Е - заданные постоянные, т, е- масса и заряд частицы, соответственно.

Для квазиэнергетических уровней и фазы Ааронова-Анандана, соответственно, получено

Здесь

В десятом разделе рассматривается трех- и одномерное уравнение (2) с нелокальным гауссовским потенциалом. В трехмерном случае линейный оператор выбирается в виде

где внешнее поле в операторе (19) представляет собой суперпозицию постоянного

1,

магнитного поля Н = (О, О, Н) с векторным потенциалом А = —Н X х, периодически изменяющегося во времени с частотой и электрического поля Е{£) =

к

(Ecosшt,EsUlшt,0) и поля осциллятора с потенциалов. Нелокальный опе-

2

ратор Ф(<)) в (2) выбран в виде

*(*))*(£, 0 = / <1уУ0ехР ¡-^

Ужз ¿т

|Ф(й012Ф(г,*), (20)

где V0 и 7 — вещественные параметры.

Выражения для спектра квазиэнергий и фазы Ааронова-Анандана имеют следующий вид:

(21)

(22) (23)

Здесь

В одномерном случае в уравнении (2) линейный оператор Но) выбран в виде

к

Р2

Щ) = - еЕхсоъшЬ + '-^х2, 2 тп 2

(24)

а нелинейный оператор определён, как

/+00

ехр

•00

272

|Ф(у>«)|аФ(х,4).

(25)

Спектр квазиэнергий 8п и фаза Ааронова-Анандана имеет вид:

Спектр квазиэнергий (21) представляет собой сумму энергий трех гармонических осциляторов со сдвинутыми за счет нелинейности комбинационными частотами и± и и>$. Геометрические фазы (22) не содержат квантовых поправок и не зависят от нелинейного потенциала с точностью Последнее справедливо

и в одномерном периодическом потенциале (26), (27). Это связано с тем, что в рассматриваемых примерах нелинейность и квантовые поправки с заданной точностью по К не влияют на решения системы Гамильтона-Эренфеста и, как следствие, на геометрию системы. Поэтому геометрические фазы, также не зависят от этих факторов. Отметим, что геометрическая фаза в трехмерном случае (22) (при и)ц = 0) в два раза больше, чем в одномерном случае (27). Это связано с тем что в трехмерном случае полю отвечает движение по спирали.

В пределе Т -4 00 (Ш —>• 0) оператор "Н{Ь) в виде (19) (в трехмерном случае) и (24) (в одномерном случае) не зависит от т.е. Нт $(£) — И. Поэтому оператор Хартри так же не зависит от t и соответствующие квазиэнергетические серии в этом пределе переходят в дискретные спектральные серии нелинейной задачи

{П + х?(ф)}ф = £Ф

В третьей главе изучаются свойства симметрии одномерного уравнения тина Хартри с квадратичным периодическим по времени потенциалом внешнего поля

{- тд(+нц) + хуц, ф) }ф = о, (28)

Ш) = —- + —-- еЕхсойш^ 2т 2 +00

У(г,Ф)Ф = 11 йу[ах2 + 2Ьху + су'1)Щу,ф{хЛ).

Здесь к >0, т,, е, а, Ь и с - параметры потенциала, х - параметр нелинейности. В одиннадцатом и двенадцатом разделах найдено точное решение динамической системы (6) и параметрического семейства ассоциированных линейных уравнений Шрёдингера. В результате развитый выше метод (приближенный по опре-

делению) позволят найти точные решения исходного уравнения. В тринадцатом разделе показана справедливость следующих утверждений

Теорема 1. Пусть оператор (/„(t, S, •) определен соотношением

икЦ,8,ф)(х)= J Gx(x,y,t,8,s[t,W))tfa,e№))il>(y)dy (29)

где Gx[x, У, t, S, g(t, С(ф), g(s, £(Ф))) -функция Грина задачи (28) (Явный вид которой приведен в диссертации), а параметры £(ф) определяются уравнением

0М(=а=0о№) = ШФ) (30)

Тогда функция

Ф (x,t) = Ux{t,s^){x) (31)

является точным решением задачи Коши для уравнения типа Хартри (28) с начальным условием Ф(х, i)|i=i = ф(х), а оператор Ux{t, S, •) является оператором эволюции нелинейного уравнения типа Хартри (28). Здесь

e(t, С) = (P(t, С),X[t, С), a„(t, t),<rpx(t, С), axx(t, С))1 (32)

есть общее решение системы Гамильтона-Эренфеста, а g - столбец операторов

g = (р,х, (Ар)2, ^(АрАх - Ах Ар), (Дх)2)т Теорема 2. Пусть оператор U~^(t,s,-) определен соотношением

(33)

(34)

Здесь функция Ох(х,у,3^,д(в,С(ф)),2^>{Ф))) определена соотношением (29), в котором переменную t необходимо заменить на s, переменную s на t, а постоянные С определяются из уравнения

Тогда оператор ,5,-) (34) является левым обратным для оператора

в, •) (29), то есть

й;\1,з,их(и*,ф)){х) = ф{х), (36)

В четырнадцатом разделе с помощью построенных конструкции в явном виде найдены операторы симметрии нелинейного уравнения (28). Пусть а некоторый оператор действующий в и произвольная функция из

класса 7-д Е Т^). Определим оператор А( ■) соотношением

Цх, 0 = А(Щ)(х) = и„а, а (37)

Справедлива

Теорема 3. Если функция решение уравнения типа Хартри (28), то

Ф(х,$ (37) так же решение уравнения (28).

Все основные утверждения и конструкции данной главы обобщаются с заданной точностью по Н, Н —► 0, и для уравнения типа Хартри более общего вида. Однако, данное обобщение будет справедливо лишь в приближенном смысле, с точностью до д(/г'М+1'/2), К —> 0, где М - порядок системы Гамильтона-Эренфеста. В частности, это позволяет построить особый вид приближенных операторов симметрии (а также симметрии) для указанных выше уравнений типа Хартри, которые естественно назвать квазиклассическими операторами симметрии (симмет-риями).

В Приложении А приведены свойства системы в вариациях, необходимые для полноты изложения.

В заключении перечислены основные результаты, приведенные в диссертации и выносимые на защиту.

Основные работы, опубликованные по теме диссертации:

1. Лисок А.Л., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В., Яковлев Д.Е. Квазиэнергетические спектральные серии и геометрические фазы для уравнения типа Хартри // Сб. «Новейшие проблемы теории поля» под ред. А.В. Аминовой. Труды международной XШ-XГV летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики. Казань: Изд-во «РегентЪ», 2003 г. С. 264-279.

2. Лисок А.Л., Литвинец Ф.Н., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Геометрические фазы и квазиэнергетические спектральные серии уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом // Известия вузов, Физика. — 2004. — Т. 47, № 4.

- С. 55-62.

3. Lisok A.L., Trifonov AYu., and Shapovalov A.V. The evolution operator of the Hartree-type equation with a quadratic potential // J. Phys. A. — 2004. — Vol. 37.

- P. 4535-4556 (e-print math-ph/0312004, 23 pp.).

4. Lisok A.L., Trifonov A.Yu. and Shapovalov A.V. Semiclassical Approach to the Geometric Phase Theory for the Hartree Type Equation // Proc. of Inst. of Math, of NAS of Ukraine. - 2004. - Vol. 50, № 3. - P. 1454-1465.

5. Лисок А.Л., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Квазиклассическое приближение в теории геометрических фаз для уравнения типа Хартри // Сб. «Новейшие проблемы теории поля» под ред. А.В. Аминовой. Труды международной XV летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики. Казань: Изд-во «Оргкомитета Петровских чтений», 2004 г. С. 191-202.

6. Лисок А.Л., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Функция Грина уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом // Теор. матем. физика. — 2004. — Т. 141, № 2. - С. 228-242.

«21894

РНБ Русский фонд

2005-4 21743

Введение

Глава 1. Задача Флоке для уравнения типа Хартри в классе траекторпо-сосредо-точепных функции

1 Постановка задачи и обозначения

2 Траекторпо-сосредоточеиные функции

3 Система уравнении Гамильтона-Эренфеста

3.1 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста для упорядоченных но Вейлю операторов.

3.2 Система Гамильтона-Эренфеста, не содержащая постоянную Планка

3.3 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий.

4 Задача Флоке для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдпнгера

5 Квазиэиергстнческие спектральные серии оператора типа Хартри (mod 0(h3/2)) 30 С Квазнэпергетические спектральные серии оператора типа Хартри (mod 0(/15/2))

7 Оператор Флоке

Глава 2. Геометрические фазы уравнения типа Хартри, отвечающие квазиэперге-тическим спектральным сериям

8 Геометрические фазы траскторно-когерентных состояний

9 Геометрические фазы уравнения типа Хартри в поле одномерного гармонического осциллятора и переменном электрическом поле с квадратичным нелокальным потенциалом

9.1 Система Гамильтона-Эренфеста.

9.2 Ассоциированное линейное уравнение Шрёдиигера.

9.3 Квазиэнергетические спектральные серии и фаза Ааропова-Апапдапа

10 Геометрические фазы уравнения типа Хартри в поле гармонического осциллятора с нелинейным потенциалом гауссовского типа

10.1 Уравнение типа Хартри в поле многомерного гармонического осциллятора, постоянном и однородном магнитном поле и переменном электрическом поле с нелинейным потенциалом гауссовского типа.

10.2 Система Гамильтона-Эренфеста и ассоциированное уравнение Шрёдпнгера

10.3 Квазиэнергии и геометрические фазы.

10.4 Геометрические фазы уравнения типа Хартри в поле одномерного гармонического осциллятора и переменном электрическом поле с нелинейным потенциалом гауссовского тина . G

Глава 3. Оператор эволюции уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом

11 Уравнение типа Хартри и система Гамильтона-Эренфеста

12 Параметрическое семейство ассоциированных линейных уравнений Шрёдпнгера

13 Функция Грина уравнения типа Хартри

14 Операторы симметрии уравнения типа Хартри 79 Заключение 84 Приложение А. Система в вариациях 85 Список литературы

Нелинейные модели описывают широкий класс явлений, играющих фундаментальную роль в современной физике. Эти модели, как правило, основываются на нелинейных уравнениях математической физики. Особый интерес представляют уравнения в многомерных пространствах с переменными коэффициентами (внешними полями) и различными видами нелинейности. Разработка аналитических методов интегрирования таких уравнений представляет актуальную проблему не только для математической физики, по и для физических приложений, описываемых этими моделями. Одним из нелинейных уравнений, которое служит основой описания различных моделей квантовой теории и нелинейной оптики, является уравнение типа Хартри.

Точно решаемые задачи математической физики исключительно важны, поскольку р позволяют проиллюстрировать основные положения и выводы рассматриваемой теории или модели. Однако такие задачи чаще всего возникают вследствие упрощения исследуемой модели. Для нелинейных моделей с переменными коэффициентами фактически отсутствуют точные аналитические методы интегрирования, и поэтому проблема разработки различных асимптотических методов для них особенно актуальна.

В линейных задачах математической физики эффективными оказались асимптотические методы, получившие название квазиклассических. Квазиклассическое приближение естественно возникло в квантовой механике, поскольку одним из постулатов квантовой теории является принцип соответствия который предъявляет к теории требование, чтобы в пределе Л —» О квантовая динамика переходила в соответствующую классическую. С другой стороны, форма квазиклассических решений определяется тем, » что основные квантовомеханнческие уравнения содержат параметр 11 при старших производных. Например, для уравнения Шрёдингера имеем

ОУ ш— = Щг) = н(р,х,1), р = -ш. (о.1)

Здесь Н(р,х,1) — вейлевский символ оператора "Н(£). Существует широкий круг задач, в которых параметр к можно считать малым, и, следовательно, возникает математическая задача о построении приближенных асимптотических решений этих уравнений. Математический аппарат решения проблемы соответствия получил название метода квазиклассических асимптотик.

Исторически сложились два подхода к решению этой проблемы. В первом из них, % предложенном Борном [1], квантовая система приближенно описывается классическим статистическим ансамблем, который определяется квазиклассической волновой функцией. Строгое обоснование этого подхода основывается на алгоритме построения квазиклассических решений волновых уравнений, который задаётся каноническим оператором Маслова [2-С]. В этом случае соответствие результатов квантовой и классической теорий проявляется в том, что главный член асимптотического разложения матрицы плотности квантовой системы является при й —> 0 решением уравнения Лиувилля.

В основе второго подхода, предложенного Эренфестом [7], лежит представление о классических уравнениях движения как о пределе при Л —> 0 уравнений движения для средних значений соответствующих квантовомеханических величин. В рамках такого представления соответствие между квантовыми наблюдаемыми, имеющими клас-* сический аналог, и классическими наблюдаемыми понимается в следующем смысле: квантовые средние но некоторым (специально выбранным - квазиклассическн сосредоточенным) нестационарным состояниям должны в пределе при /I —0 переходить в фазовую плотность, представляющую собой классическую наблюдаемую, вычисленную па характеристиках уравнения Лиувилля.

Подход Эреифеста связан с представлением кваптовомеханических состоянии в виде волновых пакетов, локализованных в окрестности положения частицы на классической траектории. С математической точки зрения локализованность означает, что квантовые средние по таким состояниям от операторов координат и импульсов в пределе при Я —> О являются решениями классических (гамильтоновых) уравнений движения

Нш<г> = гс1Ц,г0), О^г^Г. (0.2)

Л->0 Условие (0.2) было названо [8,9] условием траекторной когерентности. Прагматическая сторона этого подхода, по существу, связана с представлением волновых пакетов как решений (точных пли приближенных по Н —>• 0) уравнения Шрёдингера (0.1), удовлетворяющих условию траекторной когерентности (0.2). Эта задача первоначально была решена для случая движения частиц в заданном потенциальном поле В.М. Бабичем и Ю.П. Даниловым [11] и позднее для уравнения Шрёдингера в произвольном электромагнитном поле В.Г. Багровым, В.В. Беловым и И.М. Терновым [8-10] па основе метода комплексного ростка Маслова [12-10]. Подробную библиографию но этому вопросу можно найти в работах [17-20).

В работах [18,19,21-23] был развит новый подход в квазиклассическом приближении для нерелятивистских уравнений квантовой механики. Суть этого подхода состоит в том, что в классе квазиклассическн сосредоточенных состояний средние значения наблюдаемых приближенно (с любой степенью точности К —> 0, N > 0) определяются по решению конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно квантовых средних базисного набора наблюдаемых теории (в случае, например, уравнения типа Шрёдингера этот базис - универсальная обертывающая алгебра алгебры Гейзенберга-Вейля). Такая система для уравнения Шрёдингера была получена впервые в работах [21-23] и названа системой Гамильтоиа-Эренфеста.

Метод квазиклассическн сосредоточенных состояний оказался эффективным инструментом исследования математических моделей, основанных на линейных уравнениях. Обобщение этого метода на случай нелинейных моделей, основанных на нелинейном уравнении типа Хартри, является одной из основных задач диссертации. Последнее представляется особо актуальным, поскольку «проблема соответствия» для нелинейных квантовых систем практически не изучена. Полученные в диссертации результаты позволяют по-новому взглянуть па эту проблему. Показано, например, что классические уравнения движения квантовых средних значений различны в зависимости от классов состояний, на которых осуществляется предельный переход при Н —> 0.

Помимо решения фундаментальных проблем квантовой теории, квазиклассическое приближение доказало свою эффективность при расчёте конкретных кваптовомеханических эффектов (см. [19,24-38] и цитируемую там литературу). Например, кваз и классическими методами могут быть описаны геометрические свойства физических систем, находящихся под внешним периодическим воздействием. Нетривиальная геометрия и топология системы определяют глобальные свойства решений математических уравнечип, её описывающих. Для квантовых систем с нетривиальной топологией такие свойства «представлены» так называемыми топологическими или геометрическими фазами

ГФ) волновой функции. Проявления ГФ были обнаружены о поляризационной оптике, механике, химии молекулярных комплексов. Теоретические и экспериментальные исследования геометрических фаз в квантовой механике проводились, начиная с конца 20-х годов прошлого века (Вап-Флек, 1929; Дирак, 1931; Ааронов-Бом, 1959). Работа Беррн [39] (1984) существенно расширила область применения ГФ и привела к интерпретации этого понятия в терминах калибровочной симметрии и эффективного калибровочного поля или в геометрической формулировке — гильбертова расслоения с конечномерной базой [40,41]. Подробное изложение данной проблематики можно найти, например, в обзорах [42,43].

Для линейного уравнения Шрёдпигера с Т-периодическпм гамильтонианом %{t) Зельдовичем [45] и Рптусом [4G] впервые был введен важный класс решений — ква-зиэпергетические состояния ^.'¿(х, t, h), обладающие свойством

Ъ£(х, t, П) = e-i£t'hy£{x, t, h), (0.3) где tp£(x, t + T, h) = ipe{£, t, h). (0.4)

Величина £, входящая в (0.3), была названа квазиэиергией и определена по модулю tao (со — 2iг/Т), т.е. £' = £ + rnhui, тп € Z. Состояния такого типа называются квазн-энергетическнмп и играют ключевую роль при описании квантовомехапических систем, находящихся под влиянием сильных периодических внешних воздействий, когда стандартные методы нестационарной теории возмущений оказываются неприемлемыми.

Квазпэиергетпческие состояния (0.3) являются частным случаем циклических состояний, введенных Аароновым и Ананданом [48] (см. также обзоры [42-44]). Под циклической эволюцией квантовой системы па временном интервале [0,Т] понимается следующее: вектор состояния vI;(i) имеет вид ф(0 = е^ф), t G [0,Т], (0.5) где

ДТ) - ДО) = ¿(mod 2тг), (0.0) р(Т) = yj(O). (0.7)

При этом полная фаза ф функции (0.5) разбивается па два слагаемых: динамическую фазу

4=Lee (о.8) л J (Ф(01ФМ> о и геометрическую фазу Ааронова-Анандана = ,/« (0.9)

J ШМФ о

Сравнив (0.3) и (0.5), получаем, что для квазиэпсргетических состояний функция f(t) равна f(t) = -et/h, (o.io) а для подпои фазы ф, согласно (0.6), имеем Т ф=—— (тос127г).

0.11)

В силу (0.8)—(0.11) фаза Ааропова-Анандапа 7г, отвечающая данному квазиэнергетп-ческому состоянию Ь), может быть определена по формуле (шос127г) т ^

Явление бозе-энпштейновской конденсации было предсказано еще па заре квантовой механики и с тех нор постоянно привлекало внимание как теоретиков, так и экспериментаторов. Это явление было одним из первых, которое показало, что квантовая механика может описывать эффекты не только на микроскопическом атомном уровне, но и в привычном нам повседневном масштабе. Первоначально было установлено, что бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) играет главную роль в явлениях сверхтекучести и сверхпроводимости. Однако в обоих случаях изучение самого БЭК, не говоря уже о динамике перехода системы в состояние БЭК, было крайне трудным, поскольку температуру газа следовало довести до уровня лишь немногим выше абсолютного нуля. С открытием лазерного охлаждения эту задачу удалось решить. Экспериментаторы фиксировали атомы газа магнитными ловушками, затем замедляли их движение лазерными лучами. А далее, опять же лазерным лучом, отбирали самые быстрые атомы, пока не оставалось сколько-то с минимальной энергией. Несколько лет назад БЭК был напрямую получен в лаборатории (см., например, [49-51]). Экспериментаторы к тому времени научились удерживать облако атомов щелочных металлов в магипто-оптических или чисто оптических ловушках. Охлаждая удержанные атомы до сверхнизких температур, удалось добиться перехода атомов в состояние бозе-конденсата.

Теория БЭК основана на уравнении Гросса-Питаевского [52], которое в математической литературе известно как нелинейное уравнение Шрёдингера. Учёт «иеиде-альности» межатомного взаимодействия частиц конденсата приводит к нелокальному уравнению Гросса-Питаевского [53,55]. Наличие пелокальиостп оказывается полезным сточки зрения проблемы коллапса волновой функции [54]. В различных разделах нелинейной физики нелокальное уравнение Гросса-Питаевского имеет различные названия (обобщенное нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение Гинзбурга-Ландау и др.). Здесь и далее мы будем использовать термин «уравнение типа Хартри». Изучение различных аспектов конденсации Бозе-Эйнштейна превратилось в бурно развивающееся направление современной физики. Исследование ГФ в БЭК [56-58] вызывает интерес к проблеме ГФ нелинейных систем.

Теория ГФ в квантовой механике опирается на свойство линейности уравнения Шрёдингера. Для нелинейных уравнений понятие ГФ также может быть введено (см., например, [42]), хотя не вполне очевидно, что построенное выражение определяется лишь геометрией системы и не содержит динамический вклад, обусловленный нелинейностью. Геометрические фазы в нелинейных системах менее изучены не только из-за неприменимости классического принципа суперпозиции решений. Нетривиальная топология системы может определяться как соответствующими граничными условиями, так и внешними полями. Последние входят в уравнение в виде переменных коэффициентов. Построение квазнэнергетических состояний и геометрических фаз в этом случае

0.12) о сталкивается с фундаментальной проблемой интегрируемости нелинейных уравнений, поэтому естественно изучать ГФ в нелинейных системах в квазиклассическом приближении.

В настоящей работе под уравнением типа Хартри мы будем понимать уравнение вида

-ihdt + = 0, ф е ¿2(R£), (0.13) где действие оператора типа Хартри определяется формулой ('H(t) + xV{t, Ф))Ф. (0.14)

Здесь

H(t)=U(z,t), V(t,V) = J dy<L'*(y,t)V(z,w,m>(y,t), (0.15)

Bu а самосопряжённые в и упорядоченные по Вейлю [59,00] операторы Tl(z, t), V(z, w, t) - функции от иекоммутирующих операторов z = (—ihd/dx,x), w = (—ihd/dy,íf), z,y£ R"; функция Ф* комплексно сопряжена к Ф; к - вещественный параметр; h - «малый параметр», h 6 [0,1[.

В частном случае, когда вейлевские символы операторов в (0.15) имеют вид 2

Щг, 0 = У + U(£, t), pe Rn, V(z, w, t) = V(x, y, t), уравнение

-ih^-!jA*+(u(x,t) + x: J V(x,y,t)MM\2dyyV = 0 (0.10)

R" называется в квантовой механике нестационарным уравнением типа Хартри во внешнем поле с потенциалом U(x,t), где V(x,?j,t) - потенциал самосогласованного поля.

В задачах квантовой механики и ядерной физики при исследовании взаимодействия систем многих частиц в приближении Хартри (см., например, [G1-6G]) потенциал V(x, у, t) имеет, как правило, сингулярности, в частности, в обычном уравнении Хартри [G7] - кулоповского типа. Уравнение (0.1G) с гладким интегральным ядром возникает, например, при описании взаимодействия бозонов с формфактором в потенциале взаимодействия [G8], фермиоиов в модели Тиринга [G9], коллективных возбуждений в молекулярных цепочках [70], в сверхтекучих квантовых жидкостях [71]. Это же уравнение возникает и в задачах квантовой теории нелинейных оптических явлений, например «сжатого» [72] света, при распространении коротких и мощных импульсов в нелинейной среде с учётом вклада молекулярных колебаний в нелинейную поляризацию среды [73].

Математическая теория уравнений типа Хартри (0.1G) (задача Коши) развита в [74-85], важные результаты были получены также в спектральной теории таких уравнений [80-101]. Теория квазнклассического приближения при h —» 0 для этого тина нелинейных уравнений начала систематически разрабатываться в [102-104] (см. также [105]). При этом предполагалось, что интегральное ядро в потенциале взаимодействия в (0.1G) достаточно гладкое. Для такого гладкого случая была построена (формальная) квазпклассичсская асимптотика задачи Коши с быстроосциллнрующими начальными условиями [103], а для соответствующих спектральных задач были впервые построены квазимоды, сосредоточенные вблизи точки [12,103,106]. Асимптотические решения, локализованные в окрестности незамкнутых кривых, для стационарного ураву нения типа Хартрн (0.10) были построены в [107,108]. Случай сингулярного ядра взаимодействия в квазиклассической асимптотике спектра уравнения типа Хартрн активно исследовался, начиная с [103], в работах [109-111]. Интересные результаты в теории построения квазимод уравнения типа Хартри, сосредоточенных при h —» 0 вблизи маломерных подмногообразий, были получены в [112,113] на основе «сингулярной» версии ВКБ-метода, разработанной в [111]. Наконец, отметим, что уравнения типа Хартри вида (0.13) (с симметричным символом интегрального «операторного» ядра в (0.15): V(z,w,t) = V(w,z,t)) играют важную роль в конструкции асимптотических решений для iV-частичного уравнения Шрёдингера при N —> оо [114,115]. В данной работе для уравнения типа Хартри (0.13) (с гладкими вейлевскими символами в операторе (0.14)) мы строим локализованные асимптотические при h —> 0 решения - «квазисолитопы»,

• обладающие рядом свойств, присущих уединенным волнам.

Наиболее характерным свойством уединённых волн («квазисолитоиов») является проявление частицеподобиых свойств. Для «квазисолитоиов» — квазиклассически сосредоточенных состояний уравнения типа Хартри — эти свойства представлены ниже динамической системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно «квантовых» средних X(t,ti), P(t,h) операторов координат х и импульсов р и центрированных моментов высших порядков. В пределе при h —> 0 «центр тяжести» такого «квазисолнтопа» движется в фазовом пространстве по траектории этой динамической системы: в каждый момент времени квазиклассически сосредоточенное состояние эффективно сосредоточено в окрестности точки X(t,0) (в ^-представлении) и в окрестности точки P(t, 0) (в/^-представлении). Эту систему1 относительно квантовых средних для уравнения типа Хартри мы так же, как и в линейном случае, называем системой Гамилътоиа-Эреифесгпа. Отметим, наконец, следующий важный факт, что в отличие от (линейного) уравнения типа Шрёдингера в самой конструкции квазиклассически сосредоточенных состояний уравнения типа Хартри существенно используются решения системы Гамильтопа-Эренфеста.

Ключевым методом рассматриваемой диссертации является разработанный метод решения задачи Флоке в классе траекторпо-сосредоточениых функций. Он развивает метод решения задачи Коиш, предложенный в [110,117]. В результате удается построить квазиэнергетические спектральные серии (0.3) уравнения типа Хартри и исследовать отвечающие им геометрические фазы.

Перейдём к описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введения,

Заключение

В работе впервые получены следующие основные результаты:

1. Предложен метод решения задачи Флоке для уравнения типа Хартри с периодическим по времени оператором в классе траекторно-сосредоточенных функций.

2. Построены с любой степенью точности по /I —> 0 квазиклассические квазпэнерге-тпческне спектральные серии, асимптотика оператора Флоке и фаза Ааронова-Апапдана (в классе траекторно-сосредоточенных функций) для уравнений типа Хартри с периодическим по времени оператором.

3. Построены оператор эволюции и однопараметрическое семейство операторов симметрии (операторы которого задают нелинейный аналог представления группы Гейзеиберга-Вейля) одномерного уравнения типа Хартри с квадратичным оператором.

4. Сформулирован нелинейный принцип суперпозиции позволяющий каждой линейной комбинации точных решений сопоставить решение уравнения тина Хартри.

Результаты диссертации опубликованы в работах [1С9-174]. В заключение я хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Трифонову А. 10. и научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Шаповалову А. В. за многочисленные обсуждения различных аспектов данной работы, постоянную помощь в работе.

1. Born M. Quantenmechanik der Stobvorgänge // Zeitsch. fur Phys. — 192G. — Bd. 38.- S. 803-827.

2. Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы. — M.: Изд-во МГУ, 19G5. 549 с.

3. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приблиэ/сение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 197G. — 29G с.

4. Маслов В.П. Метод ВКБ в многомерном случае // Дж. Хёдинг. Введение в метод (фазовых интегралов (метод ВКБ). — М.: Мир, 19G5. — С. 177-237.

5. Маслов В.П. Асимпгпогпичеате льетоды и теория возльущения. — М.: Наука, 1988.- 312 с.

6. G. Мищенко A.A., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Лагранэ/севы многообразия и метод канонического оператора. — М.: Наука, 1978. — 351 с.

7. Эрепфест П. Замечание о приближенной справедливости классической механики в рамках квантовой механики // Относительность. Кванты. Статистика. М.: Наука, 1972. - С. 82-84.

8. Багров В.Г., Белов В.В., Тернов И.М. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния нерелятивистской частицы в произвольном электромагнитном поле // Теор. мат. физика. 1982. — Т. 50, Л* 3. — С. 390-39G.

9. Bagrov V.G., Belov V.V., Ternov I.M. Quasiclassical trajectory-coherent states of a particle in arbitrary electromagnetic field // J. Math. Phys. — 1983. — Vol. 24, No 12.- P. 2855-2859.

10. Багров В.Г., Белов B.B. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния бессппновой релятивистской частицы в произвольном электромагнитном поле // Изв. вузов. Физика. 1982. - Т. 25, № 4. - С. 48-50.

11. Бабич В.М., Данилов Ю.П. Построение асимптотики решения уравнения Шрёдин-гера, сосредоточенной в окрестности классической траектории // Математические вопросы теории распространения волн. 2.: Записки научных семинаров ЛОМИ. Т. 15. Л., 19G9. - С. 47-G5.

12. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М.: Наука, 1977.

13. Маслов В.П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973. — 544 с.

14. Maslov V.P. The Complex WKB Method for Nonlinear Equations. I. Linear Theory. — Basel, Boston, Berlin: Birkhanser Verlag, 1994. — 304 p.

15. Littlejohn R.G., The semiclassical evolution of wave packets // Phys. Rep. — 198G. — Vol. 138, No 1-2. P. 193-291.

16. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А.Ю. Квазикласспчески сосредоточенные состояния уравнения Шрёдипгера // Лекционные заметки по теоретической и математической физике. — Т. 1, ч. 1. — Казань, 199G. — С. 15-13G.

17. Hepp K. The classical limit for quantum mechanical correlation on functions // Commun. Math. Phys. 1973. - Vol. 35. - P. 205-277.

18. Багров В.Г., Белов В.В., Кондратьева М.Ф. Квазиклассическое приближение в квантовой механике. Новый подход // Теор. матем. физика. — 1994. — Т. 98, JV® 1.- С. 48-55.

19. Bagrov V.G., Belov V.V., Kondratyeva M.F., Rogova A.M., Trifonov A.Yu. A new formulation of quasi-classical approximation in quantum mechanics //J. Moscow Phys. Soc. 1993. - Vol. 3. - P. 1-12.

20. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu. New methods for semiclassical approximation in quantum mechanics // Quantum Systems: New Trends and Methods: Proc. Inter. Workshop. — Minsk, 23-29 May 1994. — Singapore: World Scientific, 1994.

21. Bensch F., Rorsch H.J., Mirbach В., Ben-Tal N. EBK quantization of quasi-encrgies // J. Phys. A: Math. Gen. 1992. - Vol. 25. - P. 67G1-6777.

22. Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. The Aharonov-Anandan phase for quasi-energy trajectory-coherent states // J. Phys. A: Math. Gen. — 1995. Vol. 28. — P. 5653-5672.

23. Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Maslov's complex germ method nd Berry's phase // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - Vol. 27, No 18. - P. 6267-6286.

24. Багров В.Г., Белов В.В., Маслов В.П. Метод квазиклассических траекторио-когерентных состояний в задаче о спонтанном излучении электрона // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 308, № 1. - С. 88-91.

25. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu. Theory of spontaneous radiation by electrons in a trajectory-coherent approximation //J. Phys. A: Math. Gen.— 1993. — Vol. 2G, No 22. P. 6431-6449.

26. Belov V.V., Boltovskiy D.V., Trifonov A.Yu. Theory of spontaneous radiation by bosons in quasi-classical trajectory-coherent approximation // Int. J. Mod. Phys. B. — 1994.- Vol. 8, No 18. P. 2503-2524.

27. Тернов Н.М., Бордовицьш В.А., Торрес Р. О квантовых поправках в квазиклассической теории сннхротроипого излучения // Изв. вузов. Физика. — 1986. — Т. 29, Л* 5. С. 115-117.

28. Тернов И.М., Бордовицьш В.А. О квантовых поправках в квазиклассической теории синхротронного излучения // Вестн. МГУ. Физика, астрономия. — 1987. — Т. 23, Л"8 2. С. 21-24.

29. Тернов И.М., Бордовицьш В.А., Эпп В.Я. Синхротронпое излучение и собственный магнитный момент электрона // Изв. вузов. Физика. — 1990. — Т. 33, Л"8 5. — С. 49-52.

30. Тернов И.М., Бордовицьш В.А., Эпп В.Я. Аномальный магнитный момент электрона и синхротронпое излучение // Изв. вузов. Физика. — 1990. — Т. 33, Л"8 6. — С. 22-26.

31. Тернов II.М., Бордовицьш В.А., Эпп В.Я. Смешанное синхротронпое излучение системы «заряд + магнитный момент» // Изв. вузов. Физика. — 1990. — Т. 33, Л"» 7. С. 103-105.

32. Бордовицьш В.А., Тернов И.М., Эпн В.Я. Квантовые эффекты в излучении Виг-лера // Изв. вузов. Физика. 1991. - Т. 34, Л"8 5. - С. 10-14.

33. Теория излучения релятивистских частиц / Под ред. В.А. Бордовицына. — М.: Физмалит, 2002. 576 с.

34. Байер В.П., Катков В.М., Страховенко В.М. Электромагнитные процессы при высоких энергиях в ориентированных монокристаллах. — Новосибирск: Наука, 1989. 340 с.

35. Байер В.Н., Катков В.М., Фадпп С.В. Излучение релятивистских электронов. — М.: Атомиздат, 1973. — 374 с.

36. Berry M.V. Quantum phase factors accompanying algebraic changes // Proc. Roy. Soc. London. 1984. - Vol. A392, N 1802. - P. 45-58.

37. Simon B. Holonomy, the quantum adiabatic theorem and Berry's phase // Phys. Rev. Let. 1983. - Vol. 51, No 24. - P. 21G7-2170.

38. Wilczek F., Zee A. Appearance of gauge structure in simple dynamical systems // Phys. Rev. Let. 1984. - Vol. 52, No 24. - P. 2111-2114.

39. Вшшцкий С.И., Дербов В.JI., Дубовик В.М., Марковски Б.Л., Степановский Ю.П. Топологические фазы в квантовой механике и поляризационной оптике // Успехи физ. паук. 1990. - Т. 160, вып. 6. - С. 1-49.

40. Клышко Д.Н. Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах // Успехи физ. наук. — 1993. Т. 1G3, вып. 11. - С. 1-18.

41. Biswas S.N., Soni S.K. Quantal phase of Berry and its relation to Hannay's angle in classical mechanics // Proc. Indian Nath. Sci. Acad. — 1990. — Vol. 57A, No 1. P. 1-44.

42. Базь A.M., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады о нерелятивистской механике. — М.: Наука, 1971.

43. Aiiandan J., Aharonov Y. Geometric quantum phase and angles // Phys. Rev. D. — 1988. Vol. 38, No G. - P. 18G3-1870.

44. Courteieller Ph., Freeland R.S., Heinzen D.J. Observation of a Feshbach resonance in cold atom scattering // Phys. Rev. 1998 - Vol. 81, No 1. - P. G9-72.

45. Kendall B.D., Marc-Oliver M., Michael A.J., Michael R.A., Ketterle W. Evaporative cooling of sodium atoms // Phys. Rev. Let. — 1995. — Vol. 74, No 74. — P. 5203-5205.

46. Jin D.S., Ensher J.R., Matthew M.R., Wieman C.E., Cornel E.A. Collective exitations of a Bose-Einstein condensate in dilute gas // Phys. Rev. Let. — 199G — Vol. 77, No 4. P. 420-423.

47. Пптаевскпй JI.П. Конденсация Бозе-Эйпштейна в магнитных ловушках. Введение в теорию // Успехи фпз. наук. — 1998. — Т. 1G8. — С. 641-G53.

48. Боголюбов Н.Н. К теории сверхтекучести // Изв. АН СССР. Сер. физ. — 1947. — Т. 11, Л'« 1. С. 77-90.

49. Турицын С.К. Пространственная дисперсия нелинейности и устойчивости многомерных солитонов // Теор. мат. физ. — 1985. — Т. G4, К0- 2. — С. 22G.

50. Graviat P. A non-existence result for supersonic travelling wawes in Gross-Pitaevskii equation // Comm. Math. Pys. — Vol. 243. — P. 93-103.

51. Chen Z.-D., Liang J.-Q., Slien S.-Q., Xie W.F. Dynemics and Berry phase of two-species Bose-Einstein condenssates. — e-print: cond-rnat/043570. — 23 p.

52. Petrosyan K.G. and You L. Topological phases and circulating states of Bose-Einstein condensates // Phys. Rev. A. — 1998. — Vol. 59. — P. G39-G42.

53. Fuentes-Guridi I., Pachos J., Bose S., Vedral V., Choi S. Geometric phases of mesoscopic spin in Bose-Einstein condensates // Phys. Rev. A. — 2002. — Vol. GG. — P. 022102(G).

54. Карасев M.B., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона: Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991.

55. G0. Гроот С.Р. де, Сатторп Л.Г. Электродинамика. — М.: Мир, 1982.

56. G1. Пекар С.И. Исследования по электронной теории кристаллов. — М.: Гостехиздат, 1951.

57. G2. Ring P., Schuck P. The nuclear many-body problem. — N.Y., 1980.сз