Квазиклассические методы для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и нелинейного уравнения Шредингера в теории когерентных квантовых ансамблей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

БОРИСОВ Алексей Владимирович

КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА- ПЛАНКА-КОЛМОГОРОВА И НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В ТЕОРИИ КОГЕРЕНТНЫХ КВАНТОВЫХ АНСАМБЛЕЙ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Томский государственный университет"

Научный руководитель: зав. каф. теоретической физики Томского

государственного университета доктор физико - математических наук, профессор Шаповалов A.B.

Научный консультант: зав. каф. высшей математики и

математической физики Томского политехнического университета доктор физико - математических наук, профессор Трифонов А.Ю.

Официальные оппоненты: зав. каф. прикладной и теоретической

физики Новосибирского государственного технического университета доктор физико - математических наук, профессор Дубровский В.Г.

проректор по международным связям Томского государственного педагогического университета

доктор физико - математических наук, профессор Эпп В.Я.

Ведущая организация: Московский государственный

технологический университет СТАНКИН

Защита состоится 21 сентября в 14-30 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.267.07 при ГОУ ВПО "Томский государственный университет" по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 23 июня 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико - математических наук Ивонин И.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Когерентные квантовые ансамбли активно изучаются и служат основой для теоретического описания явлений в современной атомной физике, квантовой и нелинейной оптике. В атомной физике интенсивно развиваются новые направления, изучающие воздействие лазерных источников света на поступательные и внутренние степени свободы атомов, которые привели к ряду важных открытий. В 1997 г. С. Чу, К. Коэн-Тапнуджи, У. Фйллип-су была присуждена Нобелевская премия за достижения в области лазерного охлаждения и захвата нейтральных атомов. Технология лазерного охлаждения позволила достигнуть сверхнизких температур (вплоть до Ю-9 К) для атомных ансамблей, на основе чего были экспериментально получены разреженные когерентные атомарные ансамбли газов щелочных металлов, взаимодействующие с лазерными полями. Это, в свою очередь, стимулировало развитие атомной оптики и атомной интерферометрии (управление когерентными волнами материи). За получение бозе - эйнштейновского конденсата в разреженных атомарных ансамблях щелочных металлов в 2001 г. были удостоены Нобелевской премии В. Кеттерле, Э. Корнелл и К. Виман. Квантовые атомарные ансамбли охлажденных ионов рассматриваются как системы перспективные для создания квантовых гейтов - элементной базы квантовых компьютеров.

Математические модели систем, описывающие эти атомарные ансамбли, основываются на построении решений нелинейных уравнений, в которых доминирующую роль играют внешние поля, моделирующие конфигурацию магнитооптической ловушки в случае бозе-эйнштейновского конденсата. Это является дополнительным аргументом в пользу актуальности теоретического изучения моделей таких систем. Рассматриваемые системы в приближении самосогласованного поля моделируются нелинейными уравнениями (Фоккера-Планка-Колмогорова, Гросса-Питаевского, Шредингера и д.р.) с переменными коэффициентами, описывающими воздействие внешних полей на систему. Исследуемые в диссертации уравнения имеют более широкое применение и используются в нелинейной оптике, гидродинамике и д.р., поэтому получение решений этих уравнений также является актуальной задачей.

Отметим, что уравнение Гросса-Питаевского совпадает с многомерным нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) с переменными коэффициентами (внешними полями).

Цель работы и задачи исследования:

* применение метода квазиклассических асимптотик к проблеме интегрирования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего состояние атомарного ансамбля в приближении самосогласованного поля для полей произвольной конфигурации;

* компьютерное моделирование кинетики атомарного ансамбля с использованием квазиклассических методов;

* развитие метода квазиклассических асимптотик для многомерного кубично-нелинейного уравнения Шредингера с внешним полем с целью построения многомерных солитоноподобных асимптотических решений;

* изучение распространения локализованных оптических солитоноподобных импульсов в кубично-нелинейной неоднородной среде на основе развитого метода квазикласических асимптотик;

* исследование эволюции солитоноподобных квазиклассических решений НУШ, локализованных в окрестности замкнутой кривой, во внешнем поле изотропного осциллятора.

Методы исследования Для исследования моделей, рассматриваемых в диссертации, используются аналитические квазиклассические методы решения нелинейных уравнений математической физики (в том числе метод комплексного ростка ВКБ-Маслова) в комбинации с методами компьютерного моделирования. Для численного моделирования НУШ с внешними полями специального вида используется стандартный явный численный сеточный метод.

Научная новизна Предложен аналитический метод построения квазиклассических решений асимптотических по малому параметру ц —» 0 для нестационарного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего кинетику ансамбля в полевых конфигурациях произвольной размерности. В комбинации с компьютерным моделирование получено распределения поля взаимодействия атомарного пучка со стоячей волной.

Получено явное аналитическое выражение для главного члена асимптотического по малому параметру Л —► 0 решения одномерного НУШ со стационарным внешним полем общего вида. Детально проанализировано поведение полученного решения для различных внешних полей специального вида.

Развит метод построения квазиклассических солитоноподобных асимптотических решений для многомерного нелинейного уравнения Шредингера с внеш-

ним полем в декартовой системе координат на основе теории комплексного ростка Маслова. В рамках развитого метода предложен специальный метод квазиклассической линеаризации НУШ, основанный на введении особого класса функций и приводящий к соответствующему линейному уравнению (линейному ассоциированному уравнению Шредингера). На введенном классе функций построены квазиклассические асимптотические решения ассоциированного линейного уравнения Шредингера. ...

По решениям ассоциированного уравнения Шредингера построены квазиклассические состояния, описывающие эволюцию системы в окрестности соответствующей фазовой траектории. Получено уравнение определяющее эту траекторию.

С целью построения решения во всей области пространства получено явное аналитическое асимптотическое по малому параметру Л —> 0 решение многомерного НУШ с внешним полем справедливое в локальной области фазового пространства.

В полярной системе координат построено аналитическое выражение для главного члена асимптотического решения НУШ с внешним полем изотропного гармонического осциллятора. Построенное асимптотическое решение локализовано в окрестности замкнутой плоской кривой и является квазиклассическим асимптотическим решением в (1+2) - мерном пространстве-времени и не имеет сингулярностей при соответствующем выборе параметров задачи.

Положения, выносимые на защиту

1. Предложен аналитический метод построения квазиклассических решений асимптотических по малому параметру ц —» 0 для нестационарного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего кинетику ансамбля в полевых конфигурациях произвольной размерности. На основе развитого метода и численного моделирования показано, что существует два режима образования пространственно неоднородных структур в фазовом пространстве ансамблей медленных атомов в произвольных 2-мерпых и 3-мерных полевых конфигурациях.

2. Предложен специальный метод квазиклассической линеаризации НУШ, основанный на введенном автором классе функций. На этом классе функций в декартовой системе координат методом комплексного ростка Маслова найдены асимптотические решения ассоциированного линейного уравнения Шредингера. Получен в явном виде главный член квазиклассического со-

литоноподобного асимптотического по малому параметру Н —» О решения многомерного НУШ- с внешним полем. Решение описывает эволюцию системы в окрестности соответствующей фазовой траектории. На введенном классе функций построен оператор эволюции НУШ с помощью операторов симметрии.

3. Методом квазиклассических асимптотик и численным моделированием проведен анализ процесса распространения оптических солитонов в кубично-нелинейной неоднородной среде, описываемой одномерным НУШ с переменными коэффициентами. Показана устойчивость солитонного режима распространения в средах с различной плотностью. Описано изменение параметров импульса в процессе распространения.

4. Проведена модификация развитого в работе метода квазиклассических асимптотик для НУШ в полярной системе координат. С помощью модифицированного метода построено асимптотическое решение квазиклассически сосредоточенное в окрестности замкнутой плоской кривой. Получено явное выражение для главного члена асимптотики НУШ с внешним полем изотропного гармонического осциллятора. Указаны параметры начальных

,, условий и поля осциллятора, при которых квазиклассическое решение периодично по времени и не имеет особенностей.

Научная и практическая ценность работы Развитые в работе аналитические методы исследования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и полученные солитоноподобные решения многомерного нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами могут быть использованы при рассмотрении широкого круга задач атомной физики. К числу наиболее интересных задач данной области относятся: исследования кинетических характеристик атомарных ансамблей в многоуровневых моделях атомов; нахождение конфигураций полей магнитооптических ловушек, необходимых для получения локализованных не разрушающихся квантовых атомарных ансамблей; исследование распространения солитоноподобных импульсов в неоднородных нелинейных средах.

Полученные в работе результаты исследования кинетики ансамблей медленных атомов могут быть использованы при проектировании полевых конфигураций, выступающих в роли световых масок в технологиях атомной наноли-тографии, а также при постановке экспериментов по эффективному захвату и охлаждению нейтральных атомов и при интерпретации результатов этих экспе-

риментов. Получение локализованных не разрушающихся квантовых атомарных ансамблей на охлажденных ионах может рассматривается как перспективный метод для создания квантовых гейтов - элементной базы квантовых компьютеров.

Развитие квазиклассических методов интегрирования представляет самостоятельный интерес для нелинейной математической физики.

Достоверность научных выводов и результатов Предложенные О диссертации теоретические модели и методы расчета опираются на апробированные в квантовой теории поля, квантовой механике и математической физике аналитические методы, на современные общепринятые представления об используемых приближениях (приближение самосогласованного поля, дипольное приближение, резонансное двухуровневое приближение) при описании взаимодействия атомов со световым полем. Достоверность сформулированных в диссертации положений и выводов подтверждается качественным и в ряде случаев количественным согласием полученных результатов с результатами других авторов. Асимптотические решения построены в соответствии с общепринятыми доказанными теоремами об области применимости метода квазиклассических асимптотик. Тестирование численных расчетах проводилось стандартными методами, включающими использование частных аналитических решений, интегралов движения и других критериев корректности численного моделирования.

Апробация работы Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах Томского государственного университета, Томского политехнического университета, докладывались на Международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 2000; 11 Международной конференции "Theoretical and experimental problems of relativity and gravitation"and International Workshop "Gravity, strings and quantum field theory", ТГПУ Томск, 2002; Международном оптическом конгрессе "Оптика XXI век. Фундаментальные проблемы оптики-2002", Санкт-Петербург, 2002 СПб: СПбГИТМО (ТУ); 10 Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", Пущино, 2003; 3 Международной конференции молодых ученых и специалистов <Оптика - 2003>, Санкт - Петербург, 2003; "XVI Международной летней школе-семииар по современным проблемам теоретической и математической физики. Петровские чтения", Казань, 2004; Международном семинаре "Days on Difraction-2004", St.Petersburg, Russia; Days of diffraction'2005. International seminar. Saint Petersburg, 2005; 12 Международном конгрессе "Математика. Компьютер. Образование", Пущино, 2005; Междуна-

родной конференции SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications), Киев, 2005.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах [1-9].

Структура и объем работы Диссертация объемом 112 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 161 наименования и включает в себя 10 рисунков и графиков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные цели работы, указана новизна результатов, приведена структура и содержание диссертации, перечислены защищаемые положения.

В первой главе представлена исходная система уравнений на атомарный оператор плотности и полевые операторы. Кратко описан алгоритм сведения этой системы уравнений к исходному уравнению эволюции па атомарную матрицу плотности. Изложена схема редукции самосогласованных уравнений для атомарного ансамбля, взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем, к кинетическому уравнению па функцию распределения атомов ансамбля в фазовом пространстве

(вг+Р дя) /(R, Р,т)=(Х) дРп (s„(R, Р)) £apnaPjDnj(R, Р))/(R, Р, г).

п nj

(1)

Это уравнение является уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова в безразмерном виде с релаксационными членами, учитывающими воздействие квантованного электромагнитного поля, и описывает кинетику атомарного ансамбля в световом поле. Здесь д = \/2шцта - параметр квазиклассичности; ftijjR = (Нк)2/(2М) - энергия отдачи; т0 - временной параметр, характеризующий оптическую накачку основного состояния атома в слабых полях; масштабы времени ¿о = Tq/ц (t = tor), расстояния го = 1 /к (г = roR), импульса Ро = tik//j, (р = ро Р), a i?(R, Р) и ®(R, Р) безразмерные величины являющиеся квантовомеханическим средним от оператора силы по внутренним степеням свободы и тензором диффузии в импульсном пространстве, соответственно. Параметр ц является малой величиной для приближений, при которых было получено исходное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, и имеет вид

fi = \/Тп/(Тпор S) = 1/у/Ш.

Здесь квТц = (Ьк)2/(2М) — температурный предел, соответствующий энергии отдачи при излучении одного фотона, а квТпор = Ьу/2 — доплеровский предел охлаждения, 7 - постоянная радиационной релаксации для возбужденного состояния атома, М — безразмерная атомная масса, — параметр квазиклассичности. Отметим, что переход к уравнению (1) осуществляется для разреженного атомарного ансамбля в приближении диполыюго резонансного взаимодействия.

Рис. 1: Слева координатное, а справа импульсное распределения поля взаимодействия атомарного пупка со стоячей волной. Параметры численного моделирования: квазиклассический параметр ц - 0.05; па рисунках (а-б) — относительная отстройка 6 —10, насыщение 9 = 0.5 и время взаимодействия г — 100; на рисунках (в-г) - относительная отстройха 6 — 10, насыщение 3 = 5 и время взаимодействия т = 45

В полевых конфигурациях произвольной размерности впервые предъявлен аналитический метод решения уравнения (1). Данный метод является квазиклассическим и основан на разложении в ряд по малому параметру р. —> 0 функции распределения атомарного ансамбля в классе траекторно - сосредоточенных функций. Метод применен для описания динамики ансамбля медленных атомов в произвольных 2-мерных и 3-мерных полевых конфигурациях на малых временах взаимодействия атомов с полем в случае, когда атомарные ансамбли в начальный момент времени занимают малый объем в фазовом пространстве. На основе развитого метода и численного моделирования показано, что существует два режима образования пространственно неоднородных структур в фазовом пространстве ансамблей медленных атомов, что продемонстрировано на рис. 1.

Во второй главе рассмотрена модель квантового разреженного атомарно-

го ансамбля, исследование которой основано на решениях уравнения Гросса-Питаевского, а также модель распространения нелинейных световых импульсов в оптических световодах, описываемая НУШ. Последнее в (1+1) - мерном случае имеет вид

т + + 52|Ф (X,К) I2 - V (X, 4)

¿т

Ф(х,4,Л)=0. (2)

Здесь д — вещественный параметр нелинейности, 34 — частная производная по переменной Вещественная функция V (х, играющая роль потенциала внешнего поля, моделирует неоднородность и нестационарность показателя преломления среды распространения оптического импульса; комплексная функция Ф(х,£,Л) квадратично интегрируема по переменной х; |Ф|2 = ФФ*, Ф* - комплексно сопряжено к Ф. Норма функции Ф (х,4,Л) определяется выражением -■ -

||Ф||2= I

Для одномерного НУШ с внешним полем определен класс функций с общим элементом следующего вида:

Данный класс включает в себя в качестве частного случая точное односоли-тонное решение НУШ, полученное методом обратной задачи рассеяния. Соли-тоноподобные решения нелинейных уравнений математической физики широко применяются в различных физических приложениях. Солитопы в строгом смысле определяются как безотражательные решения нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. Основным свойством со-литонов является сохранение формы при распространении и столкновениях, что подобно упругому столкновению частиц. В более широком смысле солито-нами (уединенными волнами) называют локализованные решения нелинейных волновых уравнений, которые, как правило, не интегрируются МОЗР.

Проведено численное моделирование (1+1) - мерного НУШ с потенциалом внешнего поля следующих видов: периодический потенциал У(х) = а( 1 — сов(Ьа:)), гауссов потенциал У(х) = — аехр(—Ьх2) и потенциалом V (х) = /О, х < О,

< „ представляющих интерес в задачах распространения соли-

1 —а, 0 < х,

тоиоподобиых импульсов в нелинейных неоднородных средах. Численное моделирование проводилось явным сеточным методом. Показано соответствие численных и аналитических асимптотических решений. Обсуждены возможные применения полученных квазиклассических решений НУШ с полями специального вида в нелинейной оптике.

Отметим, что поведение солитоноподобных решений уравнения (2) может быть исследовано в рамках теории возмущений солитонов в предположении о малости внешнего поля. В отличии от данной теории применяемый в работе квазиклассический метод не предполагает малость внешнего поля.

Третья глава посвящена построению асимптотических решений методом комплексного ростка Маслова для многомерного НУШ вида

£(Ф)(х) = [-¿Щ + П0, х, t) - 32|Ф(х, t, ft)|2] Ф(х, t, ft) = О,

где обозначено: х = (Xj) 6 Rn; i,j,k,l = t € R1; dt = dfdt\ p =

—ifrV] V — оператор градиента по x\ g - вещественный параметр нелинейности; h — асимптотический параметр, ft —» 0. Псевдодиффереициальный оператор Ti{p,x,t) упорядочен по Вейлю и имеет символ 7i(p,x,t) квадратичный пор 6 R":

Щр, t) = H„(t)§) + | (<£ H{S, t)) + {П(х, t), й) + По(х, i).

Здесь угловыми скобками обозначено евклидово скалярное произведение векторов, (а, 6) = Вещественные функции: (п х п) - матрица Wpp(t), вектор 7i(x, t) и скаляр Но(х, t) гладко зависят от указанных аргументов. Эти функции моделируют внешние поля, действующие на систему. Состояние системы описывается комплексной функцией Ф(х, t, ft),

|Ф|2 = |Ф(:г, t, ft)|2 = Ф(£, t, ft) Ф*(г, t, ft),

функция Ф*(x,t,h) комплексно сопряжена к Ф(х, i,ft).

Для этого уравнения построены квазиклассические решения асимптотические по малому параметру ft —► 0. Поскольку в приложениях особый интерес представляют локализованные решения НУШ с переменными коэффициентами, квазиклассическое решение строится в классе функций, включающем в качестве частного случая точное односолитонное решение НУШ. В этой главе квазиклассическое решение построено для (1 + п) — мерного НУШ в классе

it

функций

х {1 + ЛсЬ (в)и(9,х, t, h) + ihch (6)v{6, X, t, h)} , (3)

локализованных в окрестности незамкнутой параболической поверхности

Г{ = {¿с ; ff(x,t,0) = t) =0}, (4)

ассоциированной с фазовой кривой

7=^:i6R&1z = 2(i),teR1}1 z=(p,x), Z(t) = (P(t),X(t)), (5) описывающей эволюцию вершины поверхности. Здесь х 6 R", р € R"; вещественные функции S(x,t,h), cr(x,t,h) регулярно зависят от параметра h —► 0. На классе функций (3) справедливы оценки

Axk = Ô(hV2), Др*| =Ô(A1/a), <7P(t),AÎ>' = Ô(ft),

I 0=const "

где Дх = S— X(t), Ар = р — P(t). Величина в = cr(x,t,h)/h является «быстрой» переменной, вещественные функции и = и(в, х, i, Л) и v = v(e,x,t,h) регулярно зависят от своих аргументов и ограничены по в.

Вектор 7? = 7?(t) нормален к поверхности (4) в ее вершине О■ На рис. 2 приведена схема, иллюстрирующая особенности функций класса (3), в котором построены асимптотические решения. В направлении нормали к поверхности Г4 функции имеют вид односолитонного решения одномерного нелинейного уравнения Шредингера. На данном классе функций решение НУШ строится с точностью 0{ft?!2), h —► 0 с помощью решений соответствующего линейного уравнения Шредингера, которое названо линейным ассоциированным уравнением Шредингера. Для построения решений НУШ в классе функций (3) находятся квазиклассические решения линейного ассоциированного уравнения Шредингера, не имеющие нормы в Li. Построен оператор эволюции для линейного ассоциированного уравнения Шредингера. Показано, что при действии данного оператора на функцию, которая соответствует решению линейного ассоциированного

уравнения, получается функция, которая также будет соответствовать решению исходного нелинейного уравнения. Оператор эволюции линейного ассоциированного уравнения Шредингера индуцирует соответствующий оператор эволюции НУШ с точностью 0(Н3/2) в классе функций (3). Данный оператор обладает специальными свойствами и назван "поперечным". Получены уравнения, определяющие фазовую кривую 7 вида (5).

В явном виде для поля 3 - мерного осциллятора построен главный член асимптотического решения НУШ в классе функций (3). Детально продемонстрирована динамика решения НУШ в локальной области фазового пространства в (1+1) - мерном и (1+2) - мерном случаях для положительно и отрицательно определенного поля осциллятора. В (1+2) - мерном случае поверхность Г' представляет собой параболу на плоскости К2, ветви которой изменятся под действием внешнего поля, а вершина по кривой Полученные асимптоти-

ческие выражения описывают сложное движение солитоноподобной волны в локальной области фазового пространства с изменяющимся направление движения, переменной скоростью как по направлению, так и по величине и изменяющимся положением ветвей параболы под действием внешнего поля.

В четвертой главе формализм, развитый в третьей главе, модифицирован применительно к НУШ с внешним полем в полярной системе координат. На основе этого формализма построены квазиклассические решения, локализованные в окрестности замкнутой кривой, асимптотические по малому параметру 1г —+ 0, которые в (1+1) - мерном случае при отсутствии поля переходят в точное односолитонное решение НУШ. В каждый момент времени построенные решения существуют во всем пространстве К2. В направлении нормали к кривой эти решения имеют солитоноподобную форму. Для рассматриваемых решений НУШ получено соответствующее линейное ассоциированное уравнение Шредингера.

Подробно рассмотрены свойства асимптотических решений НУШ в полярной системе координат для внешнего поля изотропного гармонического осциллятора. В явном виде получен главный член асимптотического разложения. На рис. 3 проиллюстрировано поведение модуля главного члена асимптотики, |Ф0|. Приведены условия, при которых из решений, построенных в локальной области пространства с помощью формализма третьей главы, строятся по средством метода \vavwlet асимптотические решения, локализованные в окрестности замкнутой плоской кривой и совпадающее с заданной точностью по асимптотическому параметру К —► 0 с решениями, построенными в рамках модифи-

Рис. 3: |Фо| — модуль главного члена асимптотического решения НУЩ в поле изотропного гармонического осциллятора в полярной системе координат

цированного формализма для НУШ в полярной системе координат. Условия сшивки асимптотических решений получаются с помощью теоремы о разбиении единицы. Указаны параметры начальных условий и поля осциллятора, при которых квазиклассическое решение периодично по времени и не имеет особенностей. Такое решение интерпретируется может быть использовано в модели состояния (1+2) - мерного квантового атомарного ансамбля во внешнем поле магнитооптической ловушки.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Аналитический метод построения асимптотических решений уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в приближении по малому параметру квазиклассичности ¡1 = у/^ш^го, характеризующему оптическую накачку основного состояния атома в слабых полях для произвольных полевых конфигураций.

2. На основе анализа построенных аналитических решений в комбинации с компьютерным моделированием показано существование двух режимов формирования пространственно неоднородных структур в фазовом пространстве ансамбля медленных атомов в произвольных 2-мерных и 3-мерных полевых конфигурациях. Показано, что описание кинетики атомарного ансамбля на основе полученных решений на временах ¿¡„ь ~ ¿ор//1 согласуется с результатами работ других авторов. Здесь ^ - среднее время

взаимодействия, а ¿ор - характерное время оптической пакачки.

3. Методом квазиклассических асимптотик построено явное аналитическое выражение для главного члена асимптотики (1 + 1) - мерного НУШ с внешним полем. Построенное выражение является квазиклассическим солито-ноподобным решением. Явным сеточным методом построено численное решение солитоноподобного импульса в кубично-нелинейной неоднородной среде с внешними полями специального вида.

4. Развит метод построения квазиклассических солитоноподобных асимптотических решений для многомерного нелинейного уравнения Шредип-гера с внешним полем в декартовой системе координат на основе теории комплексного ростка Маслова.

5. В рамках развитого метода предложен специальный метод квазиклассической линеаризации многомерного НУШ с переменными коэффициентами, основанный на введении специального класса функций и приводящий к соответствующему линейному уравнению Шредингера (линейному ассоциированному уравнению Шредингера). На этом классе функций построены квазиклассические асимптотические решения ассоциированного линейного уравнения Шредингера. Для последнего построен оператор эволюции на функциях данного класса, который, в свою очередь, индуцирует нелинейный оператор эволюции для асимптотических решений НУШ.

6. Развитый для декартовой системы координат метод квазиклассических асимптотик применен к НУШ в полярной системе координат. Построен главный член асимптотического решения НУШ с внешним полем в полярной системе координат. Для поля однородного гармонического осциллятора в явном виде получено локализованное в окрестности замкнутой плоской кривой квазиклассическое решение, не имеющее особенностей.

Результаты по диссертации опубликованы в работах

[1] Борисов A.B., Трифонов А.Ю., Шаповалов A.B. "Одномерный НУШ - со-литон во внешнем поле. Полуклассический подход и компьютерное моде-лирование"//Тр. Междунар. Конф. "Математические модели и методы их иследовапия". 2001. Красноярск. 2000, в 2-х томах, T.I. 326 е., Т.Н. 322 с. - Т.1. - С.111-115. Россия. Под ред. В.К. Андреева и Ю.В. Штанько/ Ин-т вычислительного моделирования СО РАН.- Красноярск.

[2] Борисов А.В., Кистенев Ю.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Оптический солитоноподобный пучок в кубично-нелинейной поперечно-неоднородной среде // Труды Международного оптического когресса "Оптика XXI век. Фундаментальные проблемы оптики-2002."Санкт-Петербург, 14-17 октября 2002. - СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2002. С.22-24.

[3] Борисов А.В., Кистенев Ю.В.,Трифонов А.Ю.,Шаповалов А.В. Компыот-нрное моделирование асимптотического НУШ - солитона во внешних полях специального вида. //В сб. "Математика. Компьютер. Образование."2003. №10. Изд-во: R&C Dynamics, Москва-Ижевск. С.176-184. Часть II.

[4] Борисов А.В., Кистенев Ю.В..Трифонов А.Ю.: Шаповалов А.В. Исследование динамики солитоноподобного решения нелинейного уравнения Шре-

■ дингера с внешним полем // Изв. вузов. Физика. 2004. Т.47, №.1. С.21-26.

[5] Борисов А.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Квазиклассическое приближение для многомерного нелиненйного уравнения Шредикгера с внешним полем //В сб. Математика. Компьютер. Образование. Под ред. Риз-ниченко Г.Ю. 2005. Т. 2, №12. С.648-659.

[6] Борисов А.В., Трифонов АЛО., Шаповалов А.В. Многомерное нелинейное уравнений Шредингера в поле осциллятора//Известия вузов, Физика. 2005. №7. С.70-75.

[7] TVifonov A.Yu., Bezverbny A.V., Borisov A.V., Shapovalov A.V. Temporal kinetics of atomic ensemble in a light field/ in MPLP-2004 Proceedings.-Novosibirsk. 2005. P. 65-76.

[8] Borisov A.V., Shapovalov A.V., and TVifonov A.Yu. Transverse Evolution Operator in Semiclassical Approximation//Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2005. V.l. Paper 019. 17p. /http://www.imath.kiev.ua/ sigma/2005/Paper019/ http://www.emis.de/journals/SIGMA/

[9] Борисов A.B., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Квазиклассическое приближение для нестационарного двумерного нелинейного уравнения Шредингера с внешним полем в полярных координатах//Известия вузов, Физика. 2D06. №7, С. 49-56.

Тираж 100. Заказ 621. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40.

Введение

1 Кинетика атомарного квантового ансамбля в квазиклассическом приближении

1.1 Атомарный ансамбль в квантованном электромагнитном поле

Ф 1.2 Уравнение эволюции матрицы плотности атомарного ансамбля

1.3 Кинетическое уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для атомарного ансамбля

1.3.1 Редукция квантового кинетического уравнения.

1.3.2 Атомарный ансамбль в световом поле.

1.3.3 Классические уравнения Эйнштейна - Эренфеста.

1.3.4 Координатное и импульсное распределение атомов ансамбля

1.4 Основные результаты 2 Квазиклассические асимптотики одномерного НУШ с внешним полем

2.1 Модели атомарного ансамбля и распространения оптических импульсов в световодах.

2.2 Солитоноподобные квазиклассические решения.

2.2.1 Класс солитоноподобных функций

2.2.2 Построение асимптотического решения.

2.3 Численное моделирование.

2.3.1 Разностная схема.

2.3.2 Численное и асимптотическое решения НУШ в полях специального вида.

2.4 Основные результаты

3 Квазиклассическое приближение многомерного НУШ в локальной области

3.1 Свойства решений многомерного НУШ с фокусирующей нелинейностью

3.2 Класс функций, локализованных в окрестности параболической поверхности.

3.3 Линейное ассоциированное уравнение Шредингера.

3.4 Квазиклассические решения ассоциированного уравнения . 60 3.4.1 Система в вариациях.

3.5 Квазиклассические решения НУШ.

3.5.1 Операторы симметрии.

3.5.2 Главный член квазиклассической асимптотики.

3.5.3 Оператор эволюции

3.6 Квазиклассическое приближение для НУШ с полем осциллятора

3.7 Основные результаты

4 Квазиклассические решения НУШ с внешним полем в полярных координатах

4.1 Класс функций, квазиклассически сосредоточенных в окрестности замкнутой плоской кривой.

4.2 Главный член асимптотического решения НУШ в полярной системе координат

4.3 Изотропный гармонический осциллятор.

4.4 Основные результаты

Работа посвящена исследованию самосогласованных нелинейных моделей когерентных атомарных ансамблей, взаимодействующих с квантованным электромагнитным полем в присутствии внешних полей методами квазиклассиче

Шк ских асимптотик. Рассматриваемые системы в приближении самосогласованного поля [1-3] моделируются нелинейными уравнениями (Фоккера-Планка-Колмогорова, Гросса-Питаевского, Шредингера и д.р.) с переменными коэффициентами, описывающими воздействие внешних полей на систему. Анализ уравнений и их решений проведен методами квазиклассических асимптотик [3-24] в комбинации с компьютерным моделированием [25-31].

Актуальность темы работы обусловлена тем, что когерентные квантовые ансамбли активно изучаются и служат основой для теоретического описания явлений в современной атомной физике, квантовой и нелинейной оптике.

С конца прошлого века в атомной физике интенсивно развиваются новые направления, изучающие воздействие лазерных источников света на поступательные и внутренние степени свободы атомов, которые привели к ряду важных открытий. В 1997 г. С. Чу, К. Коэн-Таннуджи, У. Филлипс были удостоены Нобелевской премии за достижения в области лазерного охлаждения и захвата нейтральных атомов [32]. Технология лазерного охлаждения позволила достигнуть сверхнизких температур (вплоть до 10~9 К) для атомных ансамблей, на основе чего были экспериментально получены разреженные когерентные атомарные ансамбли газов щелочных металлов, взаимодействующие с лазерными полями. Это, в свою очередь, стимулировало развитие атомной оптики [33-36] и атомной интерферометрии [37-39] (управление когерентными волнами материи). В 2001 г. работы В. Кеттерле, Э. Корнелла и К. Вимана были отмечены Нобелевской премией за получение бозе - эйнштейновского конденсата в разреженных атомарных ансамблях щелочных металлов (см. [40]). в Когерентные атомарные ансамбли охлажденных ионов рассматриваются как системы, перспективные для создания квантовых гейтов - элементной базы квантовых компьютеров [41-44]. Это является дополнительным аргументом в пользу актуальности теоретического изучения моделей таких систем.

В технологии лазерного охлаждения и захвата нейтральных атомов [45-47] существенную роль играют конфигурации лазерных полей, имеющих пространственные градиенты полевых параметров, в том числе поляризационные градиенты. Такие конфигурации используются в дипольных и магнитооптической ловушках [48,49], а также при формировании атомарных оптических решеток [50]. Современные эксперименты по лазерному охлаждению и захвату нейтральных атомов и воздействию лазерного поля на атомарные ансамбли описываются упрощенными аналитическими моделями, учитывающими малые значения угловых моментов э энергетических состояний атомов и простейших (одномерных) конфигураций поля [51-53]. Модели таких систем являются нелинейными, что существенно затрудняет их исследование численными методами. Развитие аналитических методов исследования кинетики атомарных ансамблей в резонансных световых полях с произвольной пространственной конфигурацией является актуальным направлением в современной атомной физике, важным для проблем, связанных с интерпретацией получаемых экспериментальных данных и для планирования будущих экспериментов. Наиболее оптимальным подходом к теоретическому анализу этих нелинейных систем оказываются квазиклассические методы, в которых, в отличии от теорий возмущений, не требуется предположение о малости внешних полей [3-24]. Рассматриваемые модели описывают более широкий круг явлений и, в частности, распространение когерентных оптических импульсов в нелинейных средах [54-59], среди которых особый интерес представляют оптические солитоны.

В моделях когерентных квантовых ансамблей обычно предполагается, что каждая частица ансамбля взаимодействует с определенным образом усредненным полем всех других частиц. Это предположение представляет собой приближение самосогласованного поля (СП) [1-3].

В работе основное внимание уделяется моделям СП, основанным на уравнениях Фоккера - Планка, Гросса - Питаевского, Шредингера, изучение которых представляет самостоятельный интерес в математической физике.

Бозе - эйнштейновские конденсаты, получаемые в экспериментах [60-65], сосредоточены в локальной области пространства. Теоретически такие системы описываются локализованными решениями уравнений соответствующих моделей. В диссертации рассматриваются модели, построенные на основе уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) и Гросса - Питаевского (УГП). Последнее имеет вид кубично-нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с потенциалом внешнего поля. В дальнейшем мы будем использовать как термин УГП, так и термин НУШ в зависимости от рассматриваемой модели. Локализованные решения указанных уравнений построены в работе квазиклассическими методами.

В линейных задачах квантовой теории эффективен метод ВКБ-Маслова [324], с помощью которого удалось решить ряд важных проблем в классической статистической механике, квантовой механике многих частиц, квантовой ста

10 тистике и квантовой теории поля (см. например, [22,23] и цитируемую там литературу). Спецификой данного метода является формулировка классического аналога рассматриваемой квантовой системы. В рамках этой формулировки должны быть получены соответствующие классические уравнения движения. В рассматриваемых в работе случаях эти уравнения описывают эволюцию центра волнового пакета и моменты высшего порядка для решения нелинейного уравнения. Квазиклассическое асимптотическое решение исходного уравнения модели строится с помощью решения классической задачи.

Применение метода квазиклассических асимптотик к самосогласованному описанию взаимодействия электромагнитного поля со средой при одновременном учете эффектов отдачи от рассеяния атомами фотонов и процессов оптической ориентации позволяет описывать состояния атомов в полях произвольной конфигурации. В полях с большими градиентами может возникать сильная зависимость поступательного движения и передачи импульса, момента импульса от поля атома, а также процессы оптической ориентации основного и возбужденных состояний атома осложняется наличием ряда случайных факторов. Такая корреляция приводит к возникновению разнообразных кинетических и поляризационных эффектов в атомарных ансамблях [60-62]. Учет вкладов поляризации светового поля в кинетику атомарных ансамблей предполагает использование моделей атомов, учитывающих вырожденность состояний по проекциям углового момента [51,66,67]. В работе используется стандартная двухуровневая модель резонансного взаимодействия атомов с полем с вырожденными по проекциям углового момента энергетическими состояниями [68,69]. Ф Описание квантовых ансамблей на основе многомерного кубично-нелинейного уравнения Шредингера с внешним полем (уравнения Гросса-Питаевского) ставит проблему построения решений данного уравнения. Набор методов интегрирования таких уравнений ограничен. Наиболее значимым достижением в этой области является метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) [70-73]. В рамках этого метода для (1+1) - мерного нелинейного уравнения Шредингера с постоянными коэффициентами получены солитонные решения. Многомерные обобщения МОЗР и многомерные солитоны изучались многими авторами (см., например, [74-76]). Теория систем близких к интегрируемым [77,78], существенно опирающаяся на метод обратной задачи, позволяет учесть влияние малых возмущений на динамику параметров солитонов. Данная теория ограничена, с одной стороны, предположением о малости дополнительных членов в НУШ (включая внешние поля), а, с другой стороны, применимостью данной теории к (1+1) - мерному уравнению. В многомерном случае набор методов интегрирования нелинейных уравнений с переменными коэффициентами крайне ограничен, поэтому квазиклассическое приближение представляется наиболее естественным подходом к данной проблеме.

НУШ возникает во многих задачах нелинейной физики например, в нелинейной оптике [54-56,59,71,79-82], в теории конденсатов Бозе-Эйнштейна [83-89], в теории нелинейных возбуждений в квазипериодических структурах [90] и д.р. В данной работе рассмотрено распространение оптических солитоноподобных импульсов в различных внешних полях специального вида квазиклассическим методом [91-99] и численным моделированием [91-93,99]. Исследовано поведение локализованных импульсов в многомерном случае с целью получения * условий, при которых возможно существование устойчивых локализованных решений [97,98].

Согласно поставленной цели, в работе решались следующие задачи теории лазерного охлаждения атомарных ансамблей, нелинейной оптики и нелинейной математической физики:

1. Применение метода квазиклассических асимптотик к проблеме интегрирования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего состояние атомарного ансамбля в приближении самосогласованного поля для полей произвольной конфигурации. Компьютерное моделирование кинетики атомарного ансамбля с использованием квазиклассических методов.

2. Развитие метода квазиклассических асимптотик для многомерного нелинейного уравнения Шредингера с внешним полем с целью построения многомерных солитоноподобных приближенных решений.

3. Изучение распространения локализованных оптических солитоноподобных импульсов в кубично-нелинейной оптической среде в присутствии внешних полей на основе развитого метода квазиклассических асимптотик для НУШ с внешним полем.

4. Построение главного члена солитонноподобных квазиклассических асимптотических решений для НУШ во внешних полях специального вида.

5. Построение оператора эволюции и изучение свойств симметрии многомерного НУШ с внешним полем на классах функций специального вида.

При решении поставленных задач нами впервые получены следующие основные результаты:

1. Предложен аналитический метод построения квазиклассических решений асимптотических по малому параметру К —0, для нестационарного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего кинетику ансамбля в полевых конфигурациях произвольной размерности.

2. Развит метод построения квазиклассических солитоноподобных асимптотических решений для многомерного нелинейного уравнения Шредингера с внешним полем в декартовой системе координат на основе теории комплексного ростка Маслова.

3. Получено явное аналитическое выражение для главного члена асимптотического по малому параметру Н 0, решения одномерного НУШ с внешним полем. В отсутствии внешнего поля асимптотическое решение переходит в точное односолитонное решение. Детально проанализировано поведение полученного решения для различных внешних полей специального вида.

4. В рамках развитого метода предложен специальный метод квазиклассической линеаризации НУШ, основанный на введении специального класса функций и приводящий к соответствующему линейному уравнению Шре-дингера (линейному ассоциированному уравнению Шредингера). На этом классе функций построены квазиклассические асимптотические решения ассоциированного линейного уравнения Шредингера.

5. Получен главный член асимптотического по малому параметру Н —> О, решения многомерного НУШ с внешним полем. Решение справедливо в локальной области фазового пространства.

6. В полярной системе координат построен главный член асимптотического решения НУШ с внешним полем и показано, что в рамках соответствующих ограничений в полях специального вида может существовать не коллапсирующее локализованное решение (1+2) - мерного НУШ.

7. Для изотропного осциллятора построен главный член квазиклассического асимптотического локализованного решения в (1+2) - мерном случае.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Диссертация объемом 112 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 161 наименования и включает в себя 10 рисунков и графиков.

4.4 Основные результаты

Развитый в третьей главе метод квазиклассических асимптотик модифицирован для НУШ в полярной системе координат. С помощью модифицированного метода построено асимптотическое решение квазиклассически сосредоточенное в окрестности замкнутой плоской кривой. Получен главный член этого асимптотического решения для (1+2) - мерного НУШ в полярной системе координат. Такое квазиклассическое решение, согласно определению класса функций (4.23), справедливо в области пространства при г » 0.

Получено явное выражение главного члена асимптотики НУШ с внешним полем изотропного гармонического осциллятора. Указаны параметры начальных условий и поля осциллятора, при которых квазиклассическое решение периодично по времени и не имеет особенностей. На этом примере показано соответствие решений (1+2) - мерного НУШ, построенных при помощи метода wavelet в декартовой системе координат, и решений, полученных в полярной системе координат.

Полученные в этой главе решения согласуются с аналогичными исследованиями других авторов [160,161].

Заключение

В диссертации методами квазиклассических асимптотик в комбинации с компьютерным моделированием рассмотрены модели нелинейных физических систем, основанных на уравнениях Фоккера-Планка-Колмогорова, Гросса-Пи-таевского, Шредингера. В соответствии с поставленными целями работы, получены следующие основные результаты.

1. Аналитический метод построения асимптотических решений уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в приближении по малому параметру квазиклассичности // = л/2шцТо, характеризующему оптическую накачку основного состояния атома в слабых полях для произвольных полевых конфигураций.

2. На основе анализа построенных аналитических решений в комбинации с компьютерным моделированием показано существование двух режимов формирования пространственно неоднородных структур в фазовом пространстве ансамбля медленных атомов в произвольных 2-мерных и 3-мерных полевых конфигурациях. Показано, что описание кинетики атомарного ансамбля на основе полученных решений на временах ¿¡^ ~ ¿0р//^ согласуется с результатами работ других авторов. Здесь - среднее время взаимодействия, а £ор - характерное время оптической накачки.

3. Методом квазиклассических асимптотик построено явное аналитическое выражение для главного члена асимптотики (1+1) - мерного НУШ с внешним полем. Построенное выражение является квазиклассическим солитоно-подобным решением. Явным сеточным методом построено численное решение солитоноподобного импульса в кубично-нелинейной неоднородной среде с внешними полями специального вида.

4. Развит метод построения квазиклассических солитоноподобных асимптотических решений для многомерного нелинейного уравнения Шредингера с внешним полем в декартовой системе координат на основе теории комплексного ростка Маслова.

5. В рамках развитого метода предложен специальный метод квазиклассической линеаризации многомерного НУШ с переменными коэффициентами, основанный на введении специального класса функций и приводящий к соответствующему линейному уравнению Шредингера (линейному ассоциированному уравнению Шредингера). На этом классе функций построены ^ квазиклассические асимптотические решения ассоциированного линейного уравнения Шредингера. Для последнего построен оператор эволюции на функциях данного класса, который, в свою очередь, индуцирует нелинейный оператор эволюции для асимптотических решений НУШ.

6. Развитый для декартовой системы координат метод квазиклассических асимптотик применен к НУШ в полярной системе координат. Построен главный член асимптотического решения НУШ с внешним полем в полярной системе координат. Для поля однородного гармонического осциллятора ^ в явном виде получено локализованное в окрестности замкнутой плоской кривой квазиклассическое решение, не имеющее особенностей. I

1. Давыдов A.C. Квантовая механика. - М.: Наука. - 703 с.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука. - 767 с.

3. Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля / Совр. пробл. матем. — М., 1978. Т. И. - С. 153-234. ВИНИТИ.

4. Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы. — М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 с.

5. Маслов В.П. Метод ВКБ в многомерном случае // Дж. Хединг. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). — М.: Мир, 1965. — С. 177-237.

6. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. — 296 с.

7. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977. - 384 с.

8. Карасев М.В., Маслов В.П. Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения // Совр. пробл. матем. — 1979. — Т. 13. — М.: ВИНИТИ. С. 145-267.

9. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущения. — М.: Наука, 1988. 312 с.

10. Maslov V.P. The Complex WKB Method for Nonlinear Equations. I. Linear Theory. — Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 1994. — 304 p.

11. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией// Успехи мат.наук. 1981. Т. 36, №.3. С. 63126.

12. Маслов В.П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973. — 544 с.

13. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией// Успехи мат.наук. 1981. Т. 36, N. 3. С. 63126.

14. Maslov V.P. Quasi-particles associated whith isoenergetic manifold corresponding to classical self-consistent fields // Russian J. of Math. Phys. 1995. Vol. 2, No. 5. P.

15. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и квантовой теории поля. — УРСС, 2000. — 360 с.

16. Shvedov O.Yu., Semiclasical symmetries // Ann.Phys. 2002. Vol. 296, P. 51-89.

17. Мищенко A.A., Стернин Б.Ю., Шаталов B.E. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. — М.: Наука, 1978. — 351 с.

18. Багров В.Г., Белов В.В., Тернов И.М. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния нерелятивистской частицы в произвольном электромагнитном поле // Теор. мат. физика. 1982. Т. 50, №3. С. 390-396.

19. Bagrov V.G., Belov V.V., Ternov I.M. Quasiclassical trajectory-coherent states of a particle in arbitrary electromagnetic field //J. Math. Phys. 1983. Vol. 24, №12. P. 2855-2859.

20. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход. // Теор. мат. физ. 1988. Т. 92, № 2. С. 215-254.

21. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова в спектральных квантовых задачах, соответствующих частично интегрируемым гамильтоновым системам / Мат. ин-т АН СССР) М., 1988. — 80 с. (Препринт №89-0815)

22. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А.Ю. Квазиклассически сосредоточенные состояния уравнения Шредингера / Лекционные заметки по теоретической и математической физике. — Т. 1, ч. 1. — Казань, 1996. — С. 15-136.

23. Бабич B.M., Данилов Ю.П. Построение асимптотики решения уравнения Шредингера, сосредоточенной в окрестности классической траектории / Математические вопросы теории распространения волн. 2.: Записки научных семинаров ЛОМИ. Л. 1969. Т. 15,- С. 47-65.

24. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука. 1978. — 512 с.

25. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука. 1973.; М.: Наука. 1987. - 248с.

26. Волков Е.А. Численные методы. — М.: Наука. 1982.; — М.: Наука. 1987. — 248с.

27. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы — М.: Наука. 1989. — 441с.

28. Ильина В.А., Силаев П.К. Численные методы для физиков-теоретиков. — М.: Ижевск. 2003. т.1 118 с.

29. Ильина В.А., Силаев П.К. Численные методы для физиков-теоретиков. — М.: Ижевск. 2004. Т. 2, 118 с.

30. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент (Введение в нелинейную динамику). — УРСС. 2002. Изд. 3, стереотипное. — 256 с.

31. Chu S. The manipulation of neutral particles // Rev. Mod. Phys. 1998. Vol.70, №3. P.685-706; Cohen-Tannoudji C.N. Manipulating atoms with photons // ibid. P.707-719; Phillips W.D. Laser cooling and trapping of neutral atoms // ibid. P.721-741.

32. Arndt M., Szriftgiser P., Dalibard J., Steane A.M. Atom optics in the time domain // Phys. Rev. A. 1996. Vol.53, №5. P.3369-3378.

33. Hughes I.G., Barton P.A., Roachz T.M., Boshiery M.G., Hindsy E.A. Atom optics with magnetic surfaces: I. Storage of cold atoms in a curved "floppy disk" // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1997. Vol. 30, P. 647-658.

34. Noh Heung-Ryoul, Jhe Wonho. Atom optics with hollow optical systems // Phys. Rep. 2002. Vol. 372, P. 269-317.

35. Wieman C.E., Pritchard D.E., Wineland D.J. Atom cooling, trapping, and quantum manipulation // Rev. Mod. Phys. 1999. Vol. 71, №2. P. S253-S262.

36. Atom Interferometry/ Edited by P.R. Berman Cambridge: Academic Press, 1997.

37. Ovchinnikov Yu.B. A planar waveguide beam splitter // Opt.Commun. 2003. №220. P.229-235.

38. Reichel J. Microchip traps and Bose-Einstein condensation // Appl. Phys. B. 2002. Vol. 75, P.469-487.

39. Monroe C., Meekhof D.M., King B.E., Itano W.M., Wineland D.J. Demonstration of a fundamental quantum logic gate // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, №25. P. 4714-4717.

40. Raimond J.M., Brune M., Haroche S. Colloquium: Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73, P. 565-582.

41. Schmidt-Kaler F., Haffner H., Guide S., Riebe M., Lancaster G.P.T., Deuschle T., Becher C., Hansel W., Eschner J., Roos C.F., Blatt R. How to realize auniversal quantum gate with trapped ions // Appl. Phys. B. 2003. Vol. 77, P. 789-796.

42. Adams C.S., Riis Б. Laser cooling and trapping of neutral atoms // Prog. Quant. Electr. 1997. Vol. 21, P. 1-79.

43. Metcalf H., van der Straten P. Cooling and trapping of neutral atoms // Phys. Rep. 1994. Vol. 244, P. 203-286.

44. Savage C. Introduction to light forces, atom cooling, and atom trapping // arXiv:atom-ph/9510004. 1995. P. 1-16.

45. Grimm R., Weidemuller M., Ovchinnikov Yu.B. Optical dipile traps for neutral atoms // In: Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics, eds. B. Bederson and H. Walther Cambridge: Academic Press. 2000. P. 42-95.

46. Raab E.L., Prentiss M., Cable A., Chu S., Pritchard D.E. Trapping of neutral sodium atoms with radiation pressure // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 59, P. 2631-2634.

47. Grynberg G., Robilliard C. Cold atoms in dissipative optical lattices // Phys. Rep. 2001. Vol. 355, P. 335-451

48. Dalibard J., Cohen-Tannoudji C. Laser cooling below the Doppler limit by polarization gradients: simple theoretical models //J. Opt. Soc. Am. B. 1989. Vol. 6, Ml. P. 2023-2045.

49. Chang S., Minogin V. Density-matrix approach to dynamics of multilevel atoms in laser fields // Phys. Rep. 2002. №365. P.65-143.

50. Finkelstein V., Berman P., Guo J. One-dimensional laser cooling below the Doppler limit // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45, №. P. 1829-1842.

51. Уварова JI.А., Федянин В.К. Асимптотические решения для электромагнитной волны в оптически нелинейном цилиндре // Теор. мат. физика. 1996. Т. 106, М. С. 84-91.

52. Биярин М.А., Молотков И.А. Эволюция огибающей импульса в нелинейном световоде со слабой продольной неоднородностью. // Оптика и спектроскопия 1989. Т.67, т. С. 442-446.

53. Абдулаев Ф.Х., Абрамов P.M., Гончаров В.И., Дарманян С.А. Взаимодействие солитонов в нелинейном направленом ответвителе. // ЖТФ 1994. Т.64, M. С. 101-109.

54. Hasegawa A., Tappert F.¡Transmission of stationary nonlinear optical pulse in dispersive dielectric fibres //Appl. Phys. Lett. 1973, Vol. 23, P. 171-172.

55. Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J.P. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibrws //Phys. Rev. Lett. 1980, V. 45, P. 1095-1098.

56. Золотовский И.О., Семенцев Д.И. Динамика оптических импульсов в периодических нелинейных волокнах. // Физическая и квантовая оптика 2002. Т.92, №2. С. 306-310.

57. Coddington I., Engels P., Schweikhard V., and Cornell E.A. Observation of Tkachenko Oscillations in Rapidly Rotating Bose-Einstein Condensates // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91, №10. 100402 P. 1-4.

58. Schmaljohann H., Erhard M., J. Kronjâger, Kottke M., van Staa S., Cacciapuoti L., Arlt J.J., Bongs K., and Sengstock K. Dynamics of F = 2 Spinor Bose-Einstein Condensates // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92, №4. 040402 P. 1-4.

59. Shin Y., Saba M., Pasquini T.A., Ketterle W., Pritchard D.E., and Leanhardt A.E. Atom Interferometry with Bose-Einstein Condensates in a Double-Well Potential // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92, №5. 050405 P. 1-4.

60. Naomi S. Ginsberg, Joachim Brand, and Lene Vestergaard Hau. Observation of Hybrid Soliton Vortex-Ring Structures in Bose-Einstein Condensates // Phys. Rev. Lett. 2005. PRL 94. 040403 P. 1-4.

61. Axel Griesmaier, Jo.rg Werner, Sven Hensler, Ju.rgen Stuhler, and Tilman Pfau. Bose-Einstein Condensation of Chromium // Phys. Rev. Lett. 2005. PRL 94. 160401 P. 1-4.

62. Meyrath T.P., Schreck F., Hanssen J.L., Chuu C.-S., and Raizen M.G. Bose-Einstein condensate in a box // Phys. Rev. A. 2005. Vol. 71, 041604 P. 1-4.

63. Безвербный А.В., Шаповалов А.В. Моделирование кинетики атомарного ансамбля в световом поле с помощью уравнения Ланжевена // Математическое моделирование. 2004. Т. 16, №9. С.49-60.

64. Cohen-Tannoudji С., Dupont-Roc J., Grynberg G. Photons and atoms. Introduction to quantum electrodynamics. New York: Wiley. 1997. — 488c.

65. Dalibard J., Cohen-Tannoudji C. Atomic motion in laser light: connection between semiclassical and quantum descriptions //J. Phys. B: At. Mol. Phys. 1985. V.18. P. 1661-1683.

66. Martin Wilkens.Spurious velocity dependence of free-space spontaneous emission // Phys. Rev. A 1993 V. 47, M. P. 671-673.

67. Захаров B.E., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1971. Т. 61, С. 118-134.

68. Захаров В.Е., Сынах B.C. О характере особенности при самофокусоровке // ЖЭТФ. 1975, Т. 68, т. С. 940-947.

69. Zhidkov P.E. Korteweg de Vries and nonlinear Schroedinger equation. — LNM1756. 2001. 152 p.

70. Konopelchenko B.G. Solitons in multidimensions: inverse spectral transform method. — Singapore, London: World Scientific, 1993. — 294 p.

71. Dubrovsky V.G. The construction of exact multiple pole solutions of (2+1) dimentional integrable nonlinear evolution equations via the д - dressing method // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. V. 32, P. 369-390.

72. Дубровский В.Г., Формусатик И.Б. Построение новых точных рациональных потенциалов двумерного стационарного уравнения Шредингера с помощью метода д одевания // Научный вестник НГТУ. 2001. №2, С. 143152.

73. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений солитонов // ЖЭТФ 1977. т.73. т. с.537-559.

74. Kivshar Yu.S., Malomed В.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61, No 4. P. 763-915.

75. Витенберг А.Б., Крепостнов П.И., Попов В.О., Розанов Н.Н. Внутренние моды солитонов в средах с насыщающейся нелинейностью показателя преломления. // Физическая и квантовая оптика 2002. Т.92, №4. С. 603-607.

76. Маймистов А.И. Когерентное распространение оптического импульса в световоде, содержащем квазипериодические примеси. Приближение адиабатического следования // Квантовая электроника. 1995. Т. 22, №9.

77. Маймистов А.И. Эволюция уединенных волн, близких к солитонам нелинейного уравнения Шредингера. // ЖЕТФ 1993 т.104. №5 с.3620-3629

78. Колоколов А.А., Вахитов Н.Г. // Изв. вузов. Радиофизика. 1973. т.16. с.

79. Abdulaev F.Kh., Salerno М. Adiabatic Compression of Soliton Matter Waves // arXiv:cond-mat/0306624 vl. Юр.

80. Kostov N.A., Enol'ski V.Z., Gerdjikov V.S., Konotop V.V., Salerno M. Soliton generation of two-component Bose-Einstein condensation in optical lettices. // arXiv:cond-mat/0307156 vl. lip.

81. Scharf R. and Bishop A.R. Soliton chaos in the Schodinger equation with spatially periodic perurbation // Phys. rev. A. 1992, Vol.46, №6. P.2973-2976.

82. Baizakov B.B., Konotop V.V. and Salerno M. Regular spatial structures in arrays of Bose-Einstein condensates induced by modulation instability. // Journal of phys. B. 2002. Vol.35, P.5105-5119.

83. Семенов B.E., Розанов H.H., Высотина H.B. Сверхузкие пучки электромагнитного излучения в среде с керовской нелинейностью // ЖЭТФ. 1999. Т.116. №. С. 458-468

84. Rozanov N.N., Vladimirov A.G., Skryabin D.V., Firth W.J. Internai oscillations of solitons in two-dimensional NLS équation with nonlocal nonlineary. // Phys. lett. A. 2002. V.293 P.45-49.

85. Bang 0., Krolilowski W., Wyller J., Rasmussen J.J. Collapse arrest and solito stabilisation in nonlocal nonlinear média. arXiv:nlin.PS/0201036 vl. 4p.

86. Давыдов A.C. Солитоны в молекулярных системах. — Киев: Наукова Думка 1984, 288с.

87. Борисов А.В., Кистенев Ю.В.,Трифонов А.Ю.: Шаповалов А.В. Исследование динамики солитоноподобного решения нелинейного уравнения Шре-дингера с внешним полем // Изв. вузов. Физика. 2004. Т.47, №.1. С.21-26.

88. Борисов А.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Квазиклассическое приближение для многомерного нелиненйного уравнения Шредингера с внешним полем //В сб. Математика. Компьютер. Образование. Под ред. Ризни-ченко Г.Ю. 2005. Т. 2, №12. С.648-659.

89. Борисов A.B., Трифонов А.Ю., Шаповалов A.B. Многомерное нелинейное уравнений Шредингера в поле осциллятора//Известия вузов, Физика. 2005. т. С.70-75.

90. Борисов A.B., Трифонов А.Ю., Шаповалов A.B. Квазиклассическое приближение для нестационарного двумерного нелинейного уравнения Шредингера с внешним полем в полярных координатах//Известия вузов, Физика. 2006. т. С. 49-56.

91. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука. 1988. 509 с.

92. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. — М: Наука. 1979. 528 с.

93. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. — М.: Наука, 1965. 317 с.

94. Боголюбов H.H. К теории сверхтекучести. Известия АН СССР. 1947, С.77-90.

95. Gross Е.Р. Structure of a quantized vortex in boson systems // Nuovo Cimento. 1961. V. 20, т. P. 454-477.

96. Gross E.P. Hydrodinamics of a superfluid condensate //J. Math. Phys. 1963. V. 4, №2. P. 195-207.

97. Питаевский Л.П. Вихревые нити в неидеалыюм бозе-гпзе. // ЖЭТФ 1961. т.40, С.646-651.

98. Castin Y. Bose-Enstein condensation in atomic gases: simple theoretical rezults. arXiv: cond-mat/0105058 2001. V.l, 146p.

99. Безвербный А.В. Структура радиационной силы трения и "силы Лоренца" при субдопплеровском охлаждении атомов монохроматическим световым полем // Сборник трудов "Фундаментальные проблемы оптики-2000". Санкт-Петербург, 2000, С.53-55.

100. Безвербный А.В. Метод биполярных гармоник в квазиклассической теории субдоплеровского охлаждения // ЖЭТФ. 2000. Т.118, Ml. С.1066-1083.

101. Безвербный А.В. Управление кинетическими и поляризационными состояниями атомарных ансамблей в световых полях: дис. . док. физ.-мат. наук. / ТГУ. Томск, 2005. 238 с.

102. Специализированные выпуски J. Opt. Soc. Am. В, V. 6, №11. 1989; Laser Physics, V. 4, №5, 1994.

103. Aspect A., Arimondo E., Kaiser R., Vansteenkiste N., Cohen-Tannoudji C. Laser cooling below the one-photon recoil energy by velocity-selective coherent population trapping // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61, №7. P. 826-829.

104. Lett P.D., Watts R.N., Westbrook C.I., Phillips W.D., Gould P.L., Metcalf H.J. Observation of atoms laser cooled below the Doppler limit // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61, №2. P. 169-173.

105. Казанцев А.П., Сурдутович Г.И., Яковлев В.П. Механическое действие света на атомы. — М.: Наука, 1991.

106. Балыкин В.И., Летохов B.C., Миногин В.Г. Охлаждение атомов давлением лазерного излучения // Успехи физ. наук. 1985. Т. 147. С. 117.

107. Безвербный А.В., Гоголев А.С., Резаев P.O., Трифонов А.Ю. Нелинейное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова в квазиклассическом траекторно-когерентном приближении // Изв. вузов. Физика. 2005. №5. С.8-18.

108. Stefano Bellucci and Andrey Yu.Trifonov. Semiclassically-Concentrated Solutions for the One-dimensional Fokker-Planck Equation with a Nonlocal Nonlinearity // Journal of Physics A, 2005. -т. V.38. -с. P. L103-L114

109. Trifonov A.Yu., Bezverbny A.V., Borisov A.V., Shapovalov A.V. Temporal kinetics of atomic ensemble in a light field/ in MPLP-2004 Proceedings-Novosibirsk. 2005. P. 65-76.

110. Belov V.V., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. The Trajectory-Coherent Approximation and the System of Moments for the Hartree Type Equation // Int. J. Math, and Math. Sci. 2002. V. 32, M. P. 325-370.

111. Белов В.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. , Квазиклассическое траекторно-когерентное приближение для уравнения типа Хартри // Теор. мат. физика. 2002. Т. 130, №3. С. 460-492.

112. Lisok A. L., Trifonov A. Yu., and Sapovalov A.V. The evolution operator of the Hartree-type equation with a quadratic potential //J. Phys. A.: Math. Gen. 2004. V.37. P. 4535-4556.

113. F.N. Litvinets, A.Yu. Trifonov, A.V. Shapovalov. Berry phases for the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with a quadratic potential // Journal of Physics A: Mathematical and General, 2006. Vol. 39 -P. 1191-1206

114. Alexander Shapovalov, Andrey Trifonov and Alexander Lisok. Exact Solutions and Symmetry Op-erators for the Nonlocal Gross-Pitaevskii Equation with Quadratic Potential //Sym., Integ. and Geom.: Meth. and Appl., 2005. -т. Vol. 1, 007 -c. 1-14

115. Лисок А.Л., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Операторы симметрии уравнения типа Хар-три с квадратичным потенциалом // Сибирский математический журнал, 2005. -т. Т. 46 № 1 -с. С. 149-165.

116. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло И.А. Вейвлеты и их использование // УФН 2001. Т. 171, №5. С. 465-501.

117. Pan G.W. Wavelets in electromagnetics and device modeling. — Wiley interscience a john wiley & sons publication, 2003 — 551p.

118. Borisov A. V., Kistenev Yu. V., Trifonov A. Yu. and Shappvalov A. V. A model of optical soliton-like beam in cubically nonlinear transversally inhomogeneous medium//Book of abstracts, v. 1, September 30 October 6, 2002 Dubna, Moscow Region. P 85.

119. Borisov А.V., Trifonov A.Yu., and Shapovalov A.V. On semiclassical solitary waves of the non-linear Schrodinger equation with an external field. Int. Seminar. "Days on Difraction-2004", June 29-July 2, St.Petersburg, Russia.

120. Borisov A.V., Trifonov A.Yu., and Shapovalov A.V. On semiclassical solitary waves of the non-linear Schrodinger equation with an external field//Int. Seminar. "Days on Difraction-2004", St.Petersburg, Russia.

121. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Квантовая электродинамика. M.: Наука. -724 с.

122. Lewenstein М., You L., Cooper J., Burnett К. Quantum field theory of atoms interacting with photons: Foundations // Phys. Rev. A. 1994. V. 50, №3. P. 2207-2232.

123. Делоне Н.Б., Крайнов В.П. Основы нелинейной оптики атомарных газов. М.: Наука. 1986. с.

124. Смирнов B.C., Тайченачев А.В., Тумайкин A.M. Мультипольное разложение оператора радиационной релаксации // Изв. вузов. Физика. 1987. Т.ЗО, №10. С.30-40.

125. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике — М:Наука. 1979. 319с.

126. Bezverbnyi A.V., Kosulin N.L., Tumaikin A.M. Formation of light-induced spatial gratings of cooled atoms in light fields with polarization gradients // Laser Phys. 1992. V.2, №6. P.1010-1020.

127. Безвербный A.B., Прудников O.H., Тайченачев A.B., Тумайкин А. М., Юдин В.И. Сила светового давления, коэффициенты трения и диффузии для атомов в резонансном неоднородно поляризованном поле // ЖЭТФ. 2003. Т.123, т. С.437-456.

128. Прудников О.Н., Тайченачев А.В., Тумайкин A.M., Юдин В.И. Кинетика атомов в эллиптически поляризованной стоячей волне // ЖЭТФ. 1999. Т.115, С.791-804.

129. Миногин В.Г. Кинетическое уравнение для атомов, взаимодействующих с лазерным излучением // ЖЭТФ. 1980. Т.79, С.2044-2056.

130. Javanainen J. Density-matrix equations and photon recoil for multistate atoms // Phys. Rev. A. 1991. V. 44, P. 5857-5880.

131. Yoo S.M., Javanainen J. Low-intensity limit of the laser cooling of a multistate atom // Phys. Rev. A. 1992. V. 45, №5. P. 3071-3083.

132. Yoo S.M., Javanainen J. Wigner-function approach to laser cooling in the recoil limit // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. V. 8, P. 1341-1347.

133. Prudnikov O.N., Arimondo E. Quasiclassical laser cooling in an intense standing wave //J. Opt. B: Quantum. Semiclass. Opt. 2004. V. 6, P. 336-344.

134. Dalibard J., Cohen-Tannoudji C. Dressed-atom approach to atomic motion in laser light: the dipole force revisited // J. Opt. Soc. Am. B. 1985. V. 2, №.11 P. 1707-1720.

135. Petsas K.I., Grynberg G., Courtois J.-Y. Semiclassical Monte Carlo approaches for realistic atoms in optical lattices // Eur. Phys. J. D. 1999. V. 6, P. 29-47.

136. B.A. Выслоух: Эксперименты с оптическими солитонами. УФН, 1982, Т. 136, №3, С. 519-531.

137. Shapovalov A.V. , Trifonov A.Yu. Semiclassical Solutions of the Nonlinear Schrodinger Equation // J.Nonlin. Math. Phys. 1999. V. 6, №2. P. 1-12.

138. Rainer Schraft and Bishop A.R. Soliton chaos in the nonlinear Schrodinger equation with spatially periodic perturbation //Physical Review A. 1992, V. 46, №, P. R2973-R2976.

139. Bang 0., Rasmussen J.J., Christiansen P.L. Subcritical localization in the discrete nonlinear Schrodinger equation with arbitrary power nonlinearity // Nonlinearity. 1994. V.7, P. 205-218.

140. Kartashov Ya. V.,Crasovan L-C., Michalache D., Torner L. Robast propagation of two-color soliton clusters supported by competing nonlinearities // Phys.Rev. Let. 2002. V. 89, №27. P. 273902-273902-4.

141. Юэн Г., Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде / Пер. с англ. — М.: Мир. 1987. —179 с.

142. Shapovalov A., Trifonov A., and Lisok A. Semiclassical approach to the geometric phase theory for the Hartree type equation // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2004. V. 50, Part 3. P. 1454-1465.

143. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Вес-селя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены. -М.: Наука, 1966. 296 с.

144. Малкин М.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. — М.: Наука, 1979. — 320 с.

145. Попов М.М. Функции Грина уравнения Шрёдингера с квадратичным потенциалом // Пробл. мат. физики. — JI. №6. 1973. — С. 119-125.

146. Dodonov V.V., Malkin I.A. Man'ko V.I. Integrals of motion, Green functions and coherent states of dynamic systems // Intern. J. Theor. Phys. — 1975. —1. V. 14, №1. P. 37-54.

147. Luc Berge, Tristram J. Alexander, and Yuri S. Kivshar. Stability criterion for attractive Bose-Einstein condensates // Phys. Rev. A, 2000. V. 62, №023607 P.l-6.