Когерентные состояния в динамике и релаксации систем двух- и трехуровневых атомов

Михайлов, Виктор Александрович

Когерентные состояния в динамике и релаксации систем двух- и трехуровневых атомов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

Михайлов, Виктор Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.21 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Когерентные состояния в динамике и релаксации систем двух- и трехуровневых атомов»

Автореферат диссертации на тему "Когерентные состояния в динамике и релаксации систем двух- и трехуровневых атомов"

На нравах рукописи

Михайлов Виктор Александрович

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ В ДИНАМИКЕ И РЕЛАКСАЦИИ СИСТЕМ ДВУХ- И ТРЁХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ

01.04.21 - лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 2003

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Горохов Александр Викторович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Дербов Владимир Леонардович,

кандидат физико-математических наук, доцент

Решетов Владимир Александрович.

Ведущая организация: Самарский филиал Физического института

им. П.Н. Лебедева РАН

Защита диссертации состоится 2003 г. в_ . час. на за-

седании диссертационного совета Д 212.218.01 в Самарском государственном университете но адресу: 443011, г. Самара, ул. академика Павлова, 1, СамГУ, Зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук В.А. Жукова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

В последние годы в лазерной физике и квантовой оптике наблюдается существенный прогресс, вызванный совершенствованием экспериментальной техники. Появились лазеры, способные создавать ультракороткие импульсы достаточной мощности, регистрирующая аппаратура фемтосекундного диапазона, возможность передавать и регистрировать сверхслабые сигналы, наблюдать в эксперименте взаимодействие одного или нескольких атомов как с квантованным полем в резонаторе, так и между собой. В "шумовой"лазерной спектроскопии важной задачей является исследование отклика атомов на внешние случайные ноля, поскольку он содержит, например, информацию о временах релаксации, то есть о величинах, представляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных нолях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.

Интенсивно развиваются экспериментальные и теоретические методы исследования взаимодействия простейших атомных систем с лазерным излучением, действующим вблизи атомных переходов, физика микромазера и спектроскопия изолированного атома. Активно разрабатываются схемы квантовых вычислений на одиночных атомах и ансамблях из небольшого числа атомов. В теории сверхизлучения и нелинейных оптических явлений объектом исследования являются как единичные атомы, тале и коллективы атомов, находящихся в специально приготовленных кооперативных состояниях.

При исследовании когерентных кооперативных явлений необходимо учитывать взаимодействие квантовых ансамблей с окружением - термостатом и при последовательном квантовомеханическом подходе переходить от операторных уравнений для матрицы плотности к с— числовым. Обычно такими уравнениями как, например, в теории лазера и спонтанной релаксации, являются уравнения Фоккера - Планка (УФП), получение которых и поиск методов их решения является самостоятельной и актуальной задачей. Важной является также проблема выбора удобного и адекватного физической модели базиса для вычисления квантовомеханических средних от операторов физических величин. Последние приводят к одновременным и разновременным корреляционным функциям, измеряемым экспериментально.

Использование глауберовских когерентных состояний (КС) и бозонного представления атомных операторов дает возможность рассматривать задачи динамики и релаксации квантовых систем с опинм-х подиний Г1'"""""

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

подход, эффективный в осцплляторных моделях, приводит для п~уровневых систем к сложной проблеме проектирования из пространства произведений глауберовских КС на инвариантное подпространство неприводимого представления группы SU (п).

A.M. Переломовым (1972) был предложен метод построения когерентных состояний для произвольных групп Ли - обобщённых когерентных состояний (ОКС). Привлекательной чертой использования ОКС для описания динамики и спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов является то, что уравнения динамики не зависят от числа атомов, а в УФП для релаксации, число атомов входит как параметр. Это даёт возможность применения методов теории возмущений для нахождения приближённых решений.

Модель двухуровневого атома является одной из простейших. Например, последовательное рассмотрение резонансного взаимодействия между двумя уровнями, в том случае, когда нижний уровень не является основным, а ради-ационно уширен, требует введения Третьего уровня. Модель трехуровневого атома, в общем случае с неэквидистантным спектром, является основой для описания таких явлений как когерентное пленение населенностей, кванто-зые биения, эффект пересечения уровней. Группой динамической симметрии трехуровневого атома, является группа SU(3). Получение уравнений, описывающих динамику коллектива таких атомов, с помощью ОКС группы SU(3), позволило бы изучать вопросы приготовления атомов в определенных суиер-позиционных состояниях и процессов их декогерентизации (расиада), важных в квантовой инженерии, связанной с проблемой построения квантовых компьютеров и кодированием и декодированием сигналов, передаваемых но квантовому каналу (квантовая криптография).

Возвращение к более детальному изучению этих фундаментальных процессов и разработка адекватных методов их описания вновь являются весьма актуальными.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование особенностей когерентной динамики и релаксации в системах из двух- и трёхуровневых атомов, взаимодействующих с внешним классическим электромагнитным нолем и диссинативным окружением.

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

ОКС группы ви(п), вывод из него уравнений движения для системы п— уровневых атомов и нахождение временной зависимости населённостей трёхуровневых атомов.

• Вывод УФП для когерентной релаксации системы двух- и трёхуровневых атомов, их точное решение в случае изолированного атома, вычисление двухвременных корреляционных функций и формы контуров линий излучения.

• Разработка метода решения уравнения Фоккера-Планка, описывающего когерентную спонтанную релаксацию большого числа двухуровневых атомов.

• Применение метода КС для описания релаксации квантовых систем, имеющих некомпактную группу динамической симметрии для квантового параметрического усилителя.

Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что:

Построена система ОКС на однородном пространстве £'£/(3)//У(2) группы 5/7(3), изучены их свойства и дано обобщение для системы ОКС на однородном пространстве 8и(п)/и{п — 1) группы ¿¡"¿/(п). Построен интеграл по траекториям в представлении ОКС группы полу-

чены квазиклассические уравнения, описывающие динамику квантовой системы, гамильтониан которой является линейной функцией генераторов полносимметричного представления этой группы.

• Найдено точцое решение уравнений динамики трехуровневого атома ьо внешнем лазерном гармоническом и бигармоническом нолях и найдены явные выражения для населенностей уровней через параметры ОКС.

• Найдено точное выражение для нронагатора уравнения Фоккера - Планка, описывающего релаксацию трехуровневого атома, вычислена характеристическая функция и рассчитаны одновременные корреляционные функции и контуры линий излучения.

• Выведено уравнение Фоккера-Планка для Р— символа матрицы плотности двухуровневого атома в термостате со сжатыми флуктуациями, найдено его точное решение и выявлено влияние параметров сжатия термостата на контур линии излучения.

• Точно решена задача о двухуровневом атоме во внешнем стохастическом поле, получена связь наблюдаемых, таких, как вероятности нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии и формы контура линии излучения, с параметрами стохастических процессов.

• Построена теория возмущений для уравнения ФоккерагПланка, описывающих квантовую когерентную релаксацию ансамбля двухуровневых атомов, вычислены поправки первого порядка к функции Грина и контуру линии излучения.

• Исследована кинетика вырожденного параметрического усилителя в термостате со "сжатымипфлуктуациями и в случае точного резонанса найдено решение.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; тестированием общих алгоритмов по результатам, нолученных в других работах для частных случаев; сравнением с экспериментом, а также совпадением результатов, нолученных разными методами.

Научная и практическая ценность результатов

Развит общий подход описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем, основанный на применении метода ОКС. Изученная динамика трехуровневого атома, взаимодействующего с лазерными полями, может быть использована для исследования оптимальных режимов приготовления атомов в когерентных состояниях и оценки времени декогерентизации в микромазерах, в теории квантовой информации и криптографии.

' Предсказанный эффект утончения контура линии излучения двухуровневого атома при спонтанной релаксации в "сжатомятермостате, но сравнению с релаксацией в обычном термостате, дает принципиальную возможность экспериментального определения степени сжатия света. Использование данного эффекта может привести к созданию лазерных систем с более высокой степенью монохроматичности излучения.

Полученные формулы контуров линий излучения трехуровневого атома для спонтанной релаксации при Т ф 0 позволяют более точно определять константы релаксации или радиационного уширения уровней в экспериментах по спектроскопии изолированного атома.

Развитая теория релаксации двухуровневого атома во внешних стохастических полях дает принципиальную возможность экспериментального,опре-

деления параметров статистики ноля и оценки времен релаксации.

На защиту выносятся следующие основные результаты

и положения:

1. Уравнение Фоккера - Планка и его решение для когерентной релаксации ансамбля двухуровневых атомов в термостате со сжатыми флукту-' ациями, точный нронагатор для случая изолированного атома, форма

' контура линии излучения.

2. Уравнения Фоккера - Планка для двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим нолем и их проиагаторы, полученные методом теории возмущений, методом дифференцирования статистических средних и для точно решаемой модели.

3. Зависимости контура линии излучения и вероятностей нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии от параметров стохастических нолей для дельта - коррелированного процесса, процесса Кубо - Андерсона, сильных и слабых столкновений. Выражения для времен продольной и поперечной релаксации через параметры стохастических полей.

4. Метод построения асимптотического разложения для уравнения Фоккера - Планка, описывающего спонтанную релаксацию ансамбля большого числа двухуровневых атомов, функцию Грина такой системы в первом порядке малости но параметру разложения и поправку того же порядка к выражению для формы контура линии излучения.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании молодых ученых Математические проблемы статистической механики и квантовой теории поля (Куйбышев, 1987г.), на IV Всесоюзном симпозиуме Световое эхо и пути его практического применения (Куйбышев, 1989г.), на Всесоюзной школе - семинаре Представления групп в физике (Тамбов, 1989), на XIII международном коллоквиуме но теоретико-групповым методам в физике (Москва, 1990г.), на IV и V рабочих совещаниях Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии (Обнинск, 1991г., 1992г.), на IV международном семинаре Квантовая оптика (Раубичи, 1992г.), на XII международном рабочем совещании Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 1997г.), на семинаре но теоретико- групповым методам ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева.

Работа выполнена в Самарском государственном университете.

Публикации. По результатам работы опубликовано 14 печатных работ.

Личное участие автора

. Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения,приложения и списка литературы, включающего 106 наименований. Общий объем диссертации - 145 страниц текста (в том числе 23 рисунка).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обозначен предмет исследования, обоснована актуальность темы, дан анализ состояния проблемы к моменту начала исследований, сформулированы цель и задачи работы, основные положения, выносимые на защиту, охарактеризованы новизна полученных в диссертации результатов, их научное и практическое значение, апробация работы, публикации но ее теме, личное участие автора в выполнении работы, ее объем и структур«, а также кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе, после сжатого обзора применения глауберовских КС в физике лазеров и квантовой оптике, показана их ограниченность для описания атомных систем с конечным числом уровней. Изложен метод построения ОКС для произвольных групп Ли, эффективный для квантовых систем, имеющих группу динамической симметрии, и его реализация для построения ОКС группы 81/(2) и применение для описания динамики системы двухуровневых атомов во внешнем классическом поле.

Для описания динамики и релаксации систем трехуровневых атомов построена система ОКС для группы 311(3). Такие ОКС задаются точкой фак-торпространства 317(3)/II(2) и СРг, изоморфного двумерному комплексному пространству. Точке этого пространства с координатами (г\, г%) соответствует вектор ОКС

\ZijZ2 >= (1 + 2121 + 2222Г",+3/2"2 в*'1' е2^ |0 >, (1)

где /I] и /¿2— собственные числа диагональных операторов алгебры 311 (3), заданной в базисе Картана-Вейля, Ь+ и </+ повышающие операторы этой

Рис. 1. Схема переходов между энергетическими уровнями трехуровневого атома.

алгебры, не входящие в максимальную стационарную подалгебру С/(2) вакуумного вектора |0 >, в качестве которого обычно выбирается вектор, соответствующий нижнему уровню атома (рис.1).

Изучены свойства ностроенных ОКС и их исследованы их приложения к динамике трёхуровневых атомов, взаимодействующих с классическим электромагнитным нолем. В этом случае гамильтониан является линейной комбинацией операторов алгебры Ли группы Би(3):

Н — % [идНг + ПоНг + (А7+ + ВК+ + ЦЬ+ + Л.с.)]. (2)

Решение уравнения Шредингера в виде

|Ф(0) = е-^>|21,22>, (3)

приводит к системе уравнений:

¿¿1 = (ш0 + По)- Г)г\ - Л22 + Вг2 + О

гг2 = (шо/2 + По)гг — Аг| — 5г1г2 + Вгг + А,

где Л, В, В— как функции времени зависят от компонент ноля и матричных элементов оператора дипсшьного момента.

Таким образом, квантовомеханическая задача сводится к решению уравнений, описывающих классическое движение точки (г\, г2) на фазовом пространстве СР%. Важной особенностью используемого здесь подхода является то, что полученная система уравнений описывает как динамику изолированного трехуровневого атома, так и динамику ансамбля N невзаимодействующих между собой трехуровневых атомов, если их эволюция задается унитарным оператором из далносимметричного представления £>(N,0) группы

Рис. 2. Динамика иаселенностей уровней изолированного V— атома. Случай точного резонанса. Затухание отсутствует. Возбуждение гауссовым импульсом. Параметры модели Шо/2 + По = 0.8; ал, + По = 1.3; Пи = 0; П]3 = 2; = 0; ш,3 = 1.3; т = 20; = 10; и*><-безразмерное время, |гх{0)| = 1; |га(0)| = 2.

и .

SU(3). Это отвечает случаю, когда энергетические уровни атомов невырождены и в начальный момент времени все они находятся в одинаковых состояниях.

Введение неременных x,y,z € Сз с помощью подстановок Z\ — x/z, z<i = y/z линеаризует систему уравнений.

Изучена динамика ансамбля N трехуровневых атомов V— типа, взаимодействующих с двумя лазерными полями с учетом распада возбужденных уровней на невключенные в систему уровни с феноменологическими константами распада. Решение уравнений найдено точно методом Лапласа. Выведены формулы для населенностей уровней:

Щг) = N 1

N2(t) = N N3(t) = N

l + fcWP + teWF l + jzxWP + ^MI2'

ы*)|г

l + kWI' + teWI2'

Использованный подход удобен для применения в квантовой инженерии при изучении оптимальных режимов создания суперпозиционных состояний атомов и определения времени их декогерентизации.

На рис.2, представлены результаты численного расчета динамики населенностей трехуровневого V— атома при возбуждении лазерным гауссовым импульсом.

Для изучения динамики п— уровневых атомов использован подход интегралов но траекториям. Построен интеграл по траекториям для ковари-антного символа'оператора эволюции и методом перевала найдены квазиклассические уравнения движения. Показано, что в случае трехуровневого атома, взаимодействующего с внешним полем, эти уравнения совпадают с уравнениями, найденными методом ОКС. Дано обобщение метода для группы Зи(п), приведен вид ОКС, параметризуемых точкой однородного пространства Зи(п)/и(п — 1) группы 811 (п) ¿'получены уравнения динамики п— уровневой системы во внешних классических полях.

Во второй главе исследуется когерентная спонтанная релаксация систем двух- и трехуровневых атомов в термостате - фотонной бане. На примере релаксации системы двухуровневых атомов слабо взаимодействующей с термостатом, дан обзор методов получения операторных кинетических уравне-

ний для матрицы плотности атомной подсистемы. Методом ОКС построено соответствующее УФП для контравариантного символа матрицы плотности, общий вид решения которого для пронагатора (функции Грина УФП) записан в виде разложения но собственным функциям оператора Бельтрами - Лапласа, заданного на однородном пространстве ОКС группы 51/(2). Для изолированного атома приведено точное решение. Выведена формула для двухвременной корреляционной функции на языке символов операторов, что делает ее удобной при использовании полученного решения УФП:

{А(1)В(0)) = //d^l(z,z)dф\z^)(z\Ao\zЩz,z,t\z\¿,0)Vйm{z',^,0): (4)

где К(г, 2, Цг1, г1,0)- пропагатор УФП, Л°(£) = О^фАОоЦ), 170(4)- оператор эволюции свободной атомной подсистемы, Тц^у— контравариантный символ произведения операторов В р(0), а ¿р— инвариантная мера на однородном пространстве X, точками которого параметризуется вектор ОКС [г >.

Исследована релаксация ансамбля двухуровневых атомов в сжатом термостате. В таком термостате кроме обычных некоррелированных тепловых фотонов присутствуют фотоны, рождающиеся, например, в двухфотонных процессах генерации нелинейной средой термостата.

В этом случае среднее число одновременно рождающихся и, соответственно, поглощающихся пар фотонов отлично от нуля < Ь* Щ >Ф 0, < Ь^ Ь} >ф 0.

С их учетом нолучено операторное кинетическое уравнение и соответствующее ему УФП:

+^(-2./, + | + |) + + 2+ 51 + с.с.) 1 (5)

Здесь

5 = |(< и >

< V > — среднее число фотонов в моде термостата без сжатия на частоте перехода а>о и той же температуры, rj— параметр сжатия в у— ой моде, 7— константа затухания. 2,/ — Ы— число двухуровневых атомов в ансамбле.

Для случая изолированного атома (3 = 1/2) найден точный нронагатор УФП и корреляционная функция (при релаксации из начального атомнот КС |гд >)

(М^Ш) = К [е^-Ь^НН 4 ) (6)

2 1 + 2о2о 1 J

и но ней форма контура линии излучения:

9(ш)=ь

£+71*?! , 1-7151

-- ^--

(ш - шо)2 + + 7|5|Г - ^о)2 + (I - 7|5|)

(7)

где Г = 7(2Я + 1).

Определено отношение ширины линии излучения Д двухуровневого атома при релаксации в "сжатом"термостате к ширине линии Гц = т] + <5 того же атома при релаксации в обычном термостате:

^ = \j\Z\ + 4зЬ42г - 2в/г22г, (8)

Го

где 1— параметр сжатия.

Интересной особенностью полученного отношения является его независимость от температуры термостата. Результаты расчета, позволяют оцешпь уменьшение ширины контура линии излучения.

Рассмотрена релаксация системы трехуровневых атомов с неэквидистантным спектром в термостате при Т ф 0 и получено соответствующее УФП. Найдено его точный пропагатор для случая изолированного V— атома, характеристическая функция и выражения для одновременных корреляционных функций операторов перехода между уровнями атома < J+(t)J-(t) >, < ¿(.(¿)£_(£) > их пределы при £ —> оо. Вычислены также соответствующие двухвременные корреляционные функции и показано, что форма контура линии излучения является лоренцевой и вклад в ее ширину дает также и константа затухания смежного перехода.

Третья глава посвящена изучению релаксации двухуровневого атома, который взаимодействует не только с фотонным термостатом, но и с окружающими его атомами, взаимодействие с которыми рассматривается как стохастический процесс и (или) с флуктуирующей частью поля излучения лазера с широкой линией генерации, которая рассмотрена как стационарный стохастический процесс - эксимерный лазер, лазер на красителях, твердотельный лазер.

Взаимодействие атома со стохастическим нолем задавалось в виде

Я„ = Й П(0 л+ Й (€(*)./++ £(«)•/-), • (9)

где Г2(4)— определяет случайный сдвиг уровней атома, а £(4), случай-

ные функции, пропорциональные интенсивности внешнего стохастического ноля и определяющие переходы между уровнями.

Выведено операторное кинетическое уравнение, в котором взаимодействие со стохастическим нолем учитывается точно. Соответствующее ему УФП, полученное методом ОКС, решается точно но стохастическому нолю П(£), приводящему к сдвигу уровней и методом теории возмущений, учитывая поправку второго порядка малости по стохастическим полям £(<), £(£).

Рассмотрен подход к решению полученного УФП методом дифференцирования статистических средних, который при учете вкладов случайных процессов в общем случае приводит к необходимости обращения к методам теории возмущений. Для случая, когда сдвиг уровней описывается марковским дихотомическим процессом, найдено точное решение.

Другой рассматриваемый подход основан на использовании полученного в диссертации операторного кинетического уравнения, осредненного по реализациям стохастических полей, которое имеет вид:

%= 2 !(< "> +1) -з+з-р )+

+ < V > (2 р - р - р ,7+ )|

+к&){2<}+рЗ- + ЛрД - - (ю)

где Кп(Ь) = /п^ад^'ад = /^(¿ЖгОе-^^-^сг«!.

Показано, что это уравнение является точным, если ограничиться информацией о стохастических процессах, содержащейся только в двухвременных корреляционных функциях. Выведено соответствующее ему .УФП и найдено его точное решение. Вычислены вероятности нахождения атома в верхнем и нижнем состояниях (рис. 3) и формы контуров линии излучения для стохастических процессов с нулевым (оптический белый шум) и конечным (процесс Кубо - Андерсона) временем корреляции. Показано, что в точно решаемой модели, форма контура линии излучения является лоренцевой. Первый подход, использующий теорию возмущений, приводит к поправке, искажающей лоренцевый контур. Однако проведенные численные расчеты показали, что

2 4 i 8 10 12 14

a>o*

Рис. 3. Вероятность нахождения двухуровневого атома в верхнем состоянии в случае процесса Кубо- Андерсона. |zo|2 = 2, <тп = 0.01, i/j/uo = 0.012, 7/шо = 0.01,< v >= 5, <т£ = 0.1, и2/ш0 = 0.005. Сплошная линия соответствует точно решаемой модели, средняя линия — расчету по теории возмущений. Для сравнения показана вероятность нахождения атома в верхнем состоянии для релаксации при тех же параметрах в отсутствии внешнего стохастического поля - верхняя кривая.

в приближении слабого шума контуры в обоих подходах практически совпадают.

Получены формулы для времен продольной и понеречной релаксации в зависимости от параметров стохастических процессов, которые в простом случае белого шума приводят к соотношению

1 4.a«- 1 ПП

Если стохастические поля отсутствуют, то для времен релаксации получается хорошо известное соотношение T¡¡ - 27\.

Решение УФГ1, полученное при точном учете процессов fl(t) и но теории возмущений во втором порядке малости но интенсивности флуктуаций <т| полей £(t) и £(f), приводит к поправке в выражении для контура линии излучения, искажающей лоренцевский контур. Однако, численные расчеты показывают, что контуры линий излучения для оптического белого шума и модели Кубо-Андерсона, рассчитанные методом теории возмущений и в точно решаемой модели практически совпадают.

В четвертой главе развит метод теории возмущений для УФП, описывающих спонтанную релаксацию ансамбля N невзаимодействующих между собой атомов. Изучена система двухуровневых атомов, для которой вычислены поправки первого порядка малости ~ для нронагатора и формы контура линии излучения.

Получены выражения для двухвременной корреляционной функции

д(ю)

-0.4

-0.2

Рис. 4. Контур линии излучения д(и) ансамбля N невзаимодействующих двухуровневых атомов. 7/шо = 0.01, < и >= 0.1, N — 10. Пунктирная линия соответствует вкладу от первого члена правой части формулы (13).

{а+Ц)а{0)) = аойое*"0'"^ _ ай0^(7 < и > +3) I е^'-^г (12) и формы контура линии излучения

оо

5И = Яе/ сИе-™'(а+(1)а(0)} = (13)

и_

I |3)7 ("-»)*-(**)'

где ЛГ = 27— число двухуровневых атомов в ансамбле.

Суть данного подхода как осцилляторного приближения (и поправок к нему) для ансамбля из N двухуровневых атомов, невзаимодействующих между собой, но находящихся в скоррелированном начальном состоянии, хорошо отражает первое слагаемое соответствующее лоренцевой форме линии излучения осциллятора, уширенной в N раз. Оно определяет ширину кооперативного распада N двухуровневых атомов, вычисленную в предположении о неограниченности спектра энергий. Второе слагаемое дает поправку, возникающую из-за конечности (ограниченности сверху) набора уровней атомов, приводящую к деформации лоренцева контура и уширению линии излучения.

В пятой главе, с помощью метода КС, изучается релаксация квантовых систем, имеющих некомпактную группу динамической симметрии. Рассматривается релаксация гармонического осциллятора и вырожденного параметрического усилителя в "сжатом"термостате, для которых получено точное решение.

Показана эффективность применения глауберовских КС для получения УФП и нахождения его решений методом распутывания операторных экспонент для бесконечноуровневых систем на примере релаксации квантового осциллятора и квантового параметрического .осциллятора в термостатах со "сжатыми"флуктуациями. В первом случае найдено точное решение и показано, что контур линии излучения не зависит от параметра "сжатия"термостата. Во втором случае для нулевой расстройки также найдено точное решение и показано, что пропагатор имеет вид гауссового пакета (если Начальное состояние /5(0) = 12о)(го|) на комплексной плоскости. Значение параметра связи А = \ определяет границу зоны устойчивости А > | и зоны неустойчивости А < "Сжатие"термостата проявляется в дополнительной деформации гауссова профиля пропагатора, эффективного в случае, если фаза комплексного параметра в равна 7Г, Зтг, —

В Заключении резюмируются основные результаты и перспективы работы.

В Приложение вынесены формулы, использованные при вычислении поправки первого порядка для пропагатора УФП ансамбля из N двухуровневых атомов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты проведенного исследования можно сформулировать следующим образом.

1. На основе метода обобщенных когерентных состояний развит математический формализм для описания динамики и релаксации миогоуровне-. вых квантовых систем и вычисления наблюдаемых величин.

2. Построена система ОКС группы 31/(3), изучены их свойства, дано обобщение для группы 5£/(ЛГ), выведены уравнения, описывающие динамику атомов во внешних полях, и найдены юс решения для монохроматических и имиульсных лазерных полей.

3. Получено уравнение Фоккера - Планка для спонтанной релаксации ансамбля трёхуровневых V- атомов с неэквидистантным спектром и его точное решение для случая изолированного атома. Показано, что фор-

ма контура линии излучения является лоренцевой, уширсннс которой зависит и от параметров, характеризующих смежный переход.

4. Получен точный проиагатор УФП для когерентной релаксации двухуровневого атома в термостате со ■всжатыми"флуктуациями, показано, что форма контура линии излучения является суммой двух лоренце-вых контуров, ширина которых зависит от степени "сжатия"флуктуаций электромагнитного ноля термостата.

5. Исследована релаксация двухуровневой системы во внешнем стохастическом ноле. Получены выражения для нронагатора и формулы для вычисления вероятностей обнаружения атома в верхнем и нижнем состояниях и формы контура линии излучения через параметры стохастических процессов, моделирующих случайные лазерные ноля.

6. Построена теория возмущения для УФП, описывающих спонтанную релаксацию ансамбля атомов, найден общий вид нронагатора в виде разложения но параметру, обратному числу атомов в ансамбле. Для случая релаксации ансамбля N двухуровневых атомов вычислены поправки первого порядка к корреляционным функциям и их вклад в форму контура линии излучения.

Основные публикации по теме диссертации

1. Михайлов В.А. Обобщенные когерентные состояния для группы SU(3) и динамика трёхуровневых систем. Применение методов классической и квантовой теории к решению физических задач./Межвузовский сб.- Куйбышев.-1983,- с.ИЗ-117.

2. Горохов A.B., Михайлов В.А. Когерентные состояния и интегралы по траекториям для динамической группы SU(N). //Изв. вузов Физика.- 1985. -N 7.- с.59-64.

3. Горохов A.B., Михайлов В.А. Уравнение Фоккера- Планка лн обобщенной модели Дикке. /Статистическая механика и теория фазовых переходов. Межведомственный сб.- Куйбышев.- 1989.- с.118-127.

4. Горохов A.B., Михайлов В.А. Квантовая кинетика параметрически возбуждаемого мйогомодового осциллятора. /Световое эхо и пути его практических применений. IV Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов.- Куйбышев.-1989,- с.60.

5. Горохов A.B., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневых атомов, взаимодействующих со сжатым термостатом и квантовый принцип суперпозиции.

/Световое эхо и пути его практических применений. IV Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов.- Куйбышев,- 1989.- 59 с.

6. Горохов А.В., Михайлов В.А., Ручков В.В. Кинетика параметрического осциллятора в бане со сжатыми флуктуациями. /Световое эхо и проблемы когерентной оптики. Межведомственный сб. науч. статей.- Куйбышев.- 1990,-с.134-142.

7. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Fokker-Planck equations in coherent states representation for quantum relaxation in quantum field theory, quantum mechanics and quantum optic. Nova Science Publishers Inc.- New York.- 1991,- p.233-235.

8. Горохов А.В., Михайлов В.А. Уравнения Фоккера - Планка в процессах релаксации многоуровневых систем. /В кн. Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов международного семинара - Самара: СамГУ.- 1996.- с.17.

9. Горохов А.В., Михайлов В.А. Сжатые флуктуации термостата и кинетика двухуровневых атомов. // Вестник Самарского гос. технич. университета.-1996,- N 4.- с.101-106.

10. Gorokhov А.V., Mikhailov V.A. Fokker-Planck equations method in theory of multilevel atoms relaxation. //Proceeding SPIE.- 1997.- v.3239.- p.256-260.

П.Горохов А.В., Михайлов В.А. Уравнения Фоккера - Планка в процессах релаксации многоуровневых систем. /В кн. Труды второго международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара: СамГУ.- 1998.- с.26 - 33.

12. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Quantum relaxation of n-level system. /High energy physics and quantum field theory. Proceedings of XH-th Workshop. Ed. by B.B. Levtchenko.- Moscow.- 1999.-p.477-481.

13. Горохов A.B., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем. //Теоретическая физика.-2000. т. 1, с. 54-62.'

14. Горохов А.В., Михайлов В. А.Метод асимптотического разложения для уравнения Фоккера-Планка в теории когерентной релаксации двухуровневых атомов. // Естествознание. Экономика. Управление. - 2002, т.1, в. 3, с.36-42.

Подписано в печать 27.08.2003 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,16. Усл. кр.-отг. 1,24. Уч.-изд.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 64.

Отпечатано в УПЛ СФ МГУП 443066, г. Самара, пр. Масленникова, 37

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Михайлов, Виктор Александрович

Введение

1 Обобщенные когерентные состояния групп, их свойства и динамика многоуровневых систем

1.1 Метод когерентных состояний в квантовой оптике и лазерной физике.

1.2 Обобщенные когерентные состояния для произвольной группы Ли. ОКС группы SU(2), их свойства и некоторые приложения.

1.3 Обобщенные когерентные состояния группы

SU(3), их свойства и приложение к динамике трехуровневой неэквидистантной системы.

1.4 Интегралы по траекториям, обобщенные когерентные состояния группы SU (п), и динамика n-уровневых систем

2 Когерентная релаксация квантовых систем, имеющих компактную группу динамической симметрии

2.1 Уравнение Фоккера-Планка для когерентной релаксации системы двухуровневых атомов.

2.2 Когерентная релаксация двухуровневой системы в термостате со "сжатыми" флуктуациями.

2.3 Уравнение Фоккера-Планка для когерентной релаксации системы трехуровневых атомов с неэквидистантным спектром

2.4 Точное решение уравнения Фоккера - Планка для случая изолированного атома.

2.5 Вычисление наблюдаемых величин. Одновременные и двух-временные корреляционные функции.

3 Релаксация двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем

3.1 Уравнение Фоккера-Планка для описания двухуровневой системы, взаимодействующей со стохастическим полем.

3.2 Вычисление пропагатора уравнения Фоккера - Планка. Метод теории возмущений.

3.3 Конкретные реализации стохастических процессов: оптический белый шум и процессы Кубо-Андерсона. Вычисление наблюдаемых.

3.3.1 Оптический белый шум.

3.3.2 Процессы Кубо-Андерсона.

3.4 Марковские дихотомические процессы. Подход на основе дифференцирования статистических средних.

3.5 Точно решаемая модель релаксации двухуровневой системы, взаимодействующей со стохастическим полем

3.5.1 Модель оптического белого шума.

3.5.2 Процессы Кубо-Андерсона.

4 Когерентная релаксация ансамблей большого числа квантовых систем

4.1 Теория возмущений для уравнения Фоккера - Планка

4.2 Когерентная релаксация ансамбля двухуровневых атомов

5 Релаксация квантовых систем, имеющих некомпактную группу динамической симметрии

5.1 Релаксация гармонического осциллятора с однокванто-выми переходами в "сжатом" термостате.

5.2 Кинетика параметрического осциллятора в термостате со сжатыми флуктуациями.

Введение диссертация по физике, на тему "Когерентные состояния в динамике и релаксации систем двух- и трехуровневых атомов"

Актуальность проблемы

В последние годы в лазерной физике и квантовой оптике наблюдается существенный прогресс, вызванный совершенствованием экспериментальной техники. Появились лазеры, способные создавать ультракороткие импульсы достаточной мощности, регистрирующая аппаратура фемтосекундного диапазона, возможность передавать и регистрировать сверхслабые сигналы, наблюдать в эксперименте взаимодействие одного или нескольких атомов как с квантованным полем в резонаторе, так и между собой. В "шумовой" лазерной спектроскопии важной задачей является исследование отклика атомов на внешние случайные поля, поскольку он содержит, например, информацию о временах релаксации, то есть о величинах, представляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных полях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.

Интенсивно развиваются экспериментальные и теоретические методы исследования взаимодействия простейших атомных систем с лазерным излучением, действующим вблизи атомных переходов [1, 2], физика микромазера и спектроскопия изолированного атома [3]. Активно разрабатываются схемы квантовых вычислений на одиночных атомах и ансамблях из небольшого числа атомов. В теории сверхизлучения и нелинейных оптических явлений [4, 5, 6] объектом исследования являются как единичные атомы, так и коллективы атомов, находящихся в специально приготовленных кооперативных состояниях.

В работах [7, 8, 9] было показано, что такие ансамбли п—уровневых атомов, взаимодействующих с классическим электромагнитным полем или спонтанно распадающихся из возбужденного состояния, описываются полносимметричными представлениями группы динамической симметрии SU(n), причем спонтанный распад происходит внутри одного и того же неприводимого представления, определяемого заданием начального состояния.

При исследовании когерентных кооперативных явлений необходимо учитывать взаимодействие квантовых ансамблей с окружением -термостатом и при последовательном квантовомеханическом подходе переходить от операторных уравнений для матрицы плотности к с— числовым. Обычно такими уравнениями как, например, в теории лазера и спонтанной релаксации, являются уравнения Фоккера - Планка (УФП), получение которых и поиск методов их решения является самостоятельной и актуальной задачей. Важной является также проблема выбора удобного и адекватного физической модели базиса для вычисления квантовомеханических средних от операторов физических величин. Последние приводят к одновременным и разновременным корреляционным функциям, измеряемым экспериментально.

Использование глауберовских когерентных состояний (КС) и бозон-ного представления атомных операторов дает возможность рассматривать задачи динамики и релаксации квантовых систем с единых позиций [8, 10, 11]. Однако, такой подход, эффективный в осциллятор-ных моделях, приводит для п—уровневых систем к сложной проблеме проектирования из пространства произведений глауберовских КС на инвариантное подпространство неприводимого представления группы SU(n) [9].

В работе [12] были построены атомные КС, связанные с представлениями группы 5(7(2), и использованы для анализа процессов спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов. A.M. Переломовым [13, 14] был предложен метод построения когерентных состояний для произвольных групп Ли - обобщённых когерентных состояний (ОКС). Привлекательной чертой использования ОКС для описания динамики и спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов является то, что уравнения динамики не зависят от числа атомов, а в УФП для релаксации, число атомов входит как параметр. Это даёт возможность применения методов теории возмущений для нахождения приближённых решений.

Модель двухуровневого атома является одной из простейших. Например, последовательное рассмотрение резонансного взаимодействия между двумя уровнями, в том случае, когда нижний уровень не является основным, а радиационно уширен, требует введения третьего уровня. Модель трехуровневого атома, в общем случае с неэквидистантным спектром, является основой для описания таких явлений как когерентное пленение населенностей, квантовые биения, эффект пересечения уровней. Группой динамической симметрии трехуровневого атома, является группа SU(3). Получение уравнений, описывающих динамику коллектива таких атомов, с помощью ОКС группы SU(3), позволило бы изучать вопросы приготовления атомов в определенных суперпозиционных состояниях и процессов их декогеренции (распада), важных в квантовой инженерии, связанной с проблемой построения квантовых компьютеров и кодированием и декодированием сигналов, передаваемых по квантовому каналу (квантовая криптография).

Возвращение к более детальному изучению этих фундаментальных процессов и разработка адекватных методов их описания вновь являются весьма актуальными [6].

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование особенностей когерентной динамики и релаксации в системах из двух- и трёхуровневых атомов, взаимодействующих с внешним классическим электромагнитным полем и диссипативным окружением.

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• Построение системы ОКС группы SU(3) для модели трёхуровневых атомов, исследование их свойств и обобщение для п—уровневых атомов (группа SU(n)). Получение интеграла по траекториям в представлении ОКС группы SU{n), вывод из него уравнений движения для системы п— уровневых атомов и нахождение временной зависимости населённостей трёхуровневых атомов.

Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что:

• Построена система ОКС на однородном пространстве SU(3)/U(2) группы SU(3), изучены их свойства и дано обобщение для системы ОКС на однородном пространстве SU(n)/U(n — 1) группы SU(п). Построен интеграл по траекториям в представлении ОКС группы SU(n), получены квазиклассические уравнения, описывающие динамику квантовой системы, гамильтониан которой является линейной функцией генераторов полносимметричного представления этой группы.

• Найдено точное решение уравнений динамики трехуровневого атома во внешнем лазерном гармоническом и бигармоническом полях и найдены явные выражения для населенностей уровней через параметры ОКС.

• Найдено точное выражение для пропагатора уравнения Фоккера -Планка, описывающего релаксацию трехуровневого атома, вычислена характеристическая функция и рассчитаны одновременные корреляционные функции и контуры линий излучения.

• Выведено уравнение Фоккера-Планка для Р— символа матрицы плотности двухуровневого атома в термостате со сжатыми флук-туациями, найдено его точное решение и выявлено влияние параметров сжатия термостата на контур линии излучения.

• Построена теория возмущений для уравнения Фоккера-Планка, описывающих квантовую когерентную релаксацию ансамбля двухуровневых атомов, вычислены поправки первого порядка к функции Грина и контуру линии излучения.

• Исследована кинетика вырожденного параметрического усилителя в термостате со " сжатыми" флуктуациями и в случае точного резонанса найдено решение.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаев; сравнением с экспериментом, а также совпадением результатов, полученных разными методами.

Научная и практическая ценность результатов

Предсказанный эффект утончения контура линии излучения двухуровневого атома при спонтанной релаксации в "сжатом" термостате, по сравнению с релаксацией в обычном термостате, дает принципиальную возможность экспериментального определения степени сжатия света. Использование данного эффекта может привести к созданию лазерных систем с более высокой степенью монохроматичности излучения.

Полученные формулы контуров линий излучения трехуровневого атома для спонтанной релаксации при Т ^ О позволяют более точно определять константы релаксации или радиационного уширения уровней в экспериментах по спектроскопии изолированного атома.

Развитая теория релаксации двухуровневого атома во внешних стохастических полях дает принципиальную возможность экспериментального определения параметров статистики поля и оценки времён релаксации.

На защиту выносятся следующие основные результаты . и положения:

1. Уравнение Фоккера - Планка и его решение для когерентной релаксации ансамбля двухуровневых атомов в термостате со сжатыми флуктуациями, точный пропагатор для случая изолированного атома, форма контура линии излучения.

2. Уравнения Фоккера - Планка для двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем и их пропагаторы, полученные методом теории возмущений, методом дифференцирования статистических средних и для точно решаемой модели.

3. Зависимости контура линии излучения и вероятностей нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии от параметров стохастических полей для дельта - коррелированного процесса, процесса Кубо - Андерсона, сильных и слабых столкновений. Выражения для времен продольной и поперечной релаксации через параметры стохастических полей.

4. Метод построения асимптотического разложения для уравнения Фоккера - Планка, описывающего спонтанную релаксацию ансамбля большого числа двухуровневых атомов, функцию Грина такой системы в первом порядке малости по параметру разложения и поправку того же порядка к выражению для формы контура линии излучения.

Апробация работы

Представления групп в физике (Тамбов, 1989), на XIII международном коллоквиуме по теоретико- групповым методам в физике (Москва, 1990г.), на IV и V рабочих совещаниях Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии (Обнинск, 1991г., 1992г.), на IV международном семинаре Квантовая оптика (Раубичи, 1992г.), на XII международном рабочем совещании Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 1997г.), на семинаре по теоретико-групповым методам ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева.

Работа выполнена в Самарском государственном университете.

Публикации.

По результатам работы опубликовано 14 печатных работ. г

Личное участие автора

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения,приложения и списка литературы, включающего 106 наименований. Общий объем диссертации - 145 страницы текста (в том числе 23 рисунков).

Заключение диссертации по теме "Лазерная физика"

Заключение

1И Сформулируем основные выводы и результаты диссертационной работы:

1. На основе метода обобщенных когерентных состояний развит математический формализм для описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем и вычисления наблюдаемых величин.

2. Построена система ОКС группы SU(3), изучены их свойства, дано обобщение для группы SU(N), выведены уравнения, описывающие динамику атомов во внешних полях, и найдены их решения для монохроматических и импульсных лазерных полей.

3. Получено уравнение Фоккера - Планка для спонтанной релаксации ансамбля трехуровневых V- атомов с неэквидистантным спектром и его точное решение для случая изолированного атома. Показано, что форма контура линии излучения является лоренцевой, ушире-ние которой зависит и от параметров, характеризующих смежный переход.

4. Получен точный пропагатор УФП для когерентной релаксации двухуровневого атома в термостате со "сжатыми" флуктуациями, показано, что форма контура линии излучения является суммой двух лоренцевых контуров, ширина которых зависит от степени сжатия" флуктуаций электромагнитного поля термостата.

5. Исследована релаксация двухуровневой системы во внешнем стохастическом поле. Получены выражения для пропагатора и формулы для вычисления вероятностей обнаружения атома в верхнем и нижнем состояниях и формы контура линии излучения через параметры стохастических процессов, моделирующих случайные лазерные поля.

6. Построена теория возмущения для УФП, описывающих спонтанную релаксацию ансамбля атомов, найден общий вид пропагатора в виде разложения по параметру, обратному числу атомов в ансамбле. Для случая релаксации ансамбля N двухуровневых атомов вычислены поправки первого порядка к корреляционным функциям и их вклад в форму контура линии излучения.

В заключение мне хотелось бы выразить благодарность и признательность своему научному руководителю кандидату физико - математических наук, доценту А.В. Горохову за постановку задачи, руководство работой, постоянную помощь и внимание.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Михайлов, Виктор Александрович, Самара

1. Тер-Микиелян M.JI. Простейшие атомные системы в резонансных лазерных полях.УФН.- 1996.- т.167, 12.- с.1249-1294.

2. Аллен А., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы.- М.:Мир,-1978.-222с.

3. Walther Н/ Experiments with single atoms in cavities and traps. In: Fundamental problems in quantum theory. Eds. D.M. Greenberg and A. Zeiler.// Ann. N.Y. Acad. Sci., 1995.- v.755, p. 133-179.

4. Маныкин Э.А., Самарцев В.В. Оптическая эхоспектроскопия.- М.; Наука, 1984.- 320с.

5. Нагибарова И.А., Богданов Е.Н., Дерюгин И.А. Динамика квантовых систем.- Минск; Наука и техника,- 1986.- 279.

6. Мандель JL, Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. М.: Наука. Физматлит,- 2000.- 896 с.

7. Шелепин JI.A. К теории когерентного спонтанного излучения. //ЖЭТФ. 1968.- т.54.- с.1463.

8. Махвиладзе Т.М., Шелепин J1.A. Теоретико-групповой анализ когерентных свойств некоторых физических систем.//Труды ФИАН.- 1973.- т.70,- с. 120-146.

9. Карасев В.П., Шелепин JLA. Когерентные состояния и производящие инварианты групп SU(n) и их приложения.//Труды ФИАН.-1980.- т.124.- с.49-74.

10. Горохов А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч.2.- Куйбышев; 1979.- 96с.

11. Горохов А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч.З.- Куйбышев; 1983.- 96с.

12. Glauber R.J. Coherent and incoherent states of the radiation field. //Phys.Rev.- 1963.- v.131.- p.2766-2789.

13. Глаубер P. Оптическая когерентность и статистика фотонов, /в кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизикаю- М.: Мир.- 1966.-с.91-281.

14. Клаудер Д., Сударшан Э. Основы квантовой оптики.- М.: Мир.-1970.- 428с.

15. Клышко Д.Н. Физические основы квантовой электроники.- М.: Наука.- 1986.- 296с.

16. Radcliffe J.M. Some properties of coherent spin states.//J.Phys. A.: Gen.Phys.- 1971.- v.4.- p.313-323.

17. Barut A.O., Girardello. New "coherent" states associated with non-compact groups.//Commun. Math. Phys.- 1971- v21.- p.41-55.

18. Малкин И.А., Манько В.И. Динимические симметрии и когерентные состояния квантовых систем.- М.: Наука.- 1979. 320с.

19. Schwinger J/ On angular momentum./NYO-3071, U.S. Atomic energy commission, oak ridge.- 1952.- p.50.

20. Bonifacio R., Kim D.M., Scully M.O. Description of many atom system in terms of coherent boson states.//Phys.Rev.- 1969.- v.187, N 2.-p.441-446.

21. Перина Я. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений.- М.: Мир,- 1987.- 368с.

22. Пранц С.В. Динамические симметрии связанных гармонических осцилляторов в нелинейной оптике./В кн. Теоретико-групповые методы в фундаментальной и прикладной физике.- М.: Наука.-1988.- с.73-101.

23. Горохов А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч.1.- Куйбышев; 1977.- 96с.

24. Louisell W. Quantum statistical properties of radiation.- Wiley, New York.- 1979.- 528p.

25. Фейнман P., Хибс А. Квантовал механика и интегралы по траекториям.- М.: Мир.- 1968.- 382с.

26. Kazumasa Т. Lectures on path integral coherent states representation. Сорюсирон Кэнкю., 1980. - т. 62, 1. - с. 1-24.

27. Попов В.Н., Ярунин B.C. Коллективные эффекты в квантовой статистике излучения и вещества.- Л.:Изд-во ЛГУ.- 1985.- 192с.

28. Hillery М., Zubary M.S. Path integral approach to problems in quantum optics.//Phys. Rev. A.- v.26, p.496-505.

29. Глаубер P. Когерентность и детектирование квантов./ В кн. Когерентные состояния в квантовой теории. М.: Мир. 1972. с. 26-70.

30. Delburgo R. Minimal uncertainty states for the rotation and allied groups.//J/ Phys. A: Math. Gen.- 1977.- v. 10., p.1837-1846.

31. Delburgo R., Fox J.R. Maximum weight vectors possess minimal uncertainty.//J/ Phys. A: Math. Gen.- 1977.- v.10. p.L233-L235.

32. Переломов A.M. Описание обобщенных когерентных состояний, наиболее близких к классическим.// Ядерная физика,- 1979.- т.29, 6.- с.1688-1696.

33. Klauder J.R., Skagerstam B.S. Coherent States, Application in physics and mathematical physics.- World Sci. Publ.Co, Singapore.- 1985.- 911 P

34. Летохов B.C., Чеботаев В.П. Нелинейная лазерная спектроскопия сверхвысокого разрешения.- М.: Наука 1990.- 512с.

35. Агапьев Б.Д., Горный М.Б., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В. Когерентное пленение населенностей в квантовых системах. //УФН.- 1993.- т.163, N 9.- с.1-36.

36. Михайлов В.А. Обобщенные когерентные, состояния для группы SU{3) и динамика трехуровневых систем. Применение методов классической и квантовой теории к решению физических задач./Межвузовский сб.- Куйбышев.- 1983.- с. 113-117.

37. Elgin J.N. Semiclassical formalism for the treatment of three-level system.//Phys.Letters.- 1980.- v.80A, N 2,3.- рЛ40-142.

38. Рождественский Ю.В. Динамика трехуровневого атома в поле двух стоячих световых волн.//ОиС.- 1990.- т.69, вып.2.- с.247-251.

39. Пранц С.В., Якунова Л.С. Временная эволюция трехуровневого атома в поле лазерных импульсов.//ОиС.- 1990.- т.69, вып.5.-с.964-970.

40. Корсунский Е.А., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В. Временная эволюция атомных населенностей в трёхуровневых системах. // ЖЭТФ.- 1991.- т.100, вып.5(11).- с.1438-1448.

41. Rai J., Mehta C.L. Boson representation for n-level quantumsystem.//Optics Communication.- 1982.- v.42, N 2.- p.113-115.

42. Klauder J.R. Path integrals and stationary-phase approximations. // Phys.Rev D.- 1979.- v. 19, N 8. p.2349-2356.

43. Kuratsuju H., Suzuki T. Path integral in the representation of SU(2) coherent state and classical dynamics in a generalization phase space//J.Math.Phys.- 1981.- v.22, N 4.- p.472-476.

44. Kuratsuju H., Mirabuchi Y. A semiclassical treatment of path integrals for the spin system//J.Math.Phys.- 1981.- v.22, N 4.- p.757-764.

45. Новиков Л.Ф. Когерентные состония на группах Ли и оператор эволюции системы взаимодействующих бозонов и фермионов. // ТМФ.- 1977.- т.30, N 2.- с.218-227.

46. Горохов А.В. Когерентные состояния на группах Ли и интегралы по траекториям./В кн. Теоретико-групповые методы в физике.- М.: Наука.- 1983.- т.2.- с.201-209.

47. Горохов А.В. Континуальные интегралы в представлении когерентных состояний на группах Ли. Динамика систем, взаимодействующих с бозонным полем. /В кн. Теоретико-групповые методы в физике.- М.: Наука.- 1980.- т.1,- с.249-256.

48. Горохов А.В. Интегралы по траекториям на компактных разнообразиях Кэлера. /В кн. Теоретико-групповые методы в физике.- М.: Наука.- 1986,- т.2.- с.399-410.

49. Горохов А.В., Михайлов В.А. Когерентные состояния и интегралы по траекториям для динамической группы SU(N).//Изв. вузов Физика.- 1985. N 7.- с.59-64.

50. Березин Ф.А. Континуальный интеграл по траекториям в фазовом пространстве.//УФН.- 1980.- т.132, N 3.- с.497-548.

51. Березин Ф.А. Квантование.//Изв. АН СССР, сер. матем.- 1974.-т.38, N 5.- с.1116-1175. Березин Ф.А. Квантование в комплексных симметичных пространствах.//Изв. АН СССР, сер. матем.- 1975.-т.39, N 2.- с.363-402.

52. Брайловский А.Б., Вакс В.А., Митюгов В.В. Квантовые модели релаксации //УФН.- 1996.- т.166, в 7.- с.795- 800.

53. Davies Е.В. Quantum Theory of Open System. New York: Academic Press.- 1976. - 412 c.

54. Блум К. Теории матрицы плотности и ее приложения.- М.: Мир.-1983.- 248 с.

55. Файн В.Н. Фотоны и нелинейные среды./В кн. Квантовая радио-• физика., т.1.- М.: Сов. радио.- 1972. 472 с.

56. Альперин М.М., Клубис Я.И., Хижняк А.И. Введение в физику двухуровневых систем. Киев: Наукова думка. - 1987 - 224 с.

57. Барьяхтар В.Г., Петров Э.Г. Кинетические явления в твердых телах. Киев: Наукова думка.- 1989.- 296 с.

58. Лэкс М. Флуктуации и когерентные явления.- М.: Мир.- 1974. 300 с.

59. Хакен Г. Лазерная светодинамика.- М.:Мир.- 1988.- 350 с.

60. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления в оптике.- М.: Наука.- 1988.- 288с.

61. Зельдович Б.Я., Переломов A.M., Попов B.C., Релаксация квантового осциллятора. //ЖЭТФ.- 1968.-t.55.- с.586-606.

62. Зельдович Б.Я., Переломов A.M., Попов B.C., Релаксация квантового осциллятора при наличии внешней силы. //ЖЭТФ.- 1969.-т.57.- с.196-206.

63. Белавин А.А., Зельдович Я.Б., Переломов А.М., Попов B.C. Релаксация квантовых систем с эквидистантным спектром.// ЖЭТФ.-1969.-t.56.- с.264.

64. Agarwal G.S. Quantum statistical theories of spontaneous emission and their relation to other approaches.// Springer Tracts in Modern Physics.- v.70.- p.129.

65. Narducci L.M., Bowden C.M., Bluemel V., Garrazana G.P., Tuft R.A. Multitime-correlation functions and the atomic coherent state representation.//Phys. Rev.A.- 1975.- v.ll, N 3.- p.973-980.

66. Зверев В.В. Управляющее уравнение сверхизлучения для системы многоуровневых молекул (теоретико-групповой подход).//ОиС.-1983.- т.54, N 6,- с.987-992.

67. Risken Н. The Fokker-Plank equation.- Berlin: Springer.- 1984,- 346p.

68. Петров В.Э., Решетняк С.А., Третьяков Г.Н., Шелепин Л.А. Многомерное уравнения Фоккера-Планка и их решение.//Труды ФИАН,- 1980.- т. 124.- с.75-96.

69. Горохов А.В., Михайлов В.А. Уравнение Фоккера Планка для обобщенной модели Дикке. / Статистическая механика и теория фазовых переходов ./Межведомственный сб.- Куйбышев.- 198.- с. 118127.

70. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Fokker-Planck equations in coherent states representaion for quantum relaxation in quantum field theory, quantum mechanics and quantum optics. /Nova Science Publishers Inc.- New York.- 1991.- p.233-235.

71. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С.Введение в статистическую радиофизику и оптику.- М.: Наука.- 1981.- 640с.

72. Килин С.Я. Квантовая оптика. Поля и их детектирование.- Минск: Наука и техника.- 1990.- 176с.

73. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования.- М.: Наука.- 1986.-320с.

74. Горохов А.В., Михайлов В.А. Уравнения Фоккера- Планка в процессах релаксации многоуровневых систем. / В кн. Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов международного семинара.- Самара: СамГУ.- 1996.- с. 17.

75. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Fokker-Planck equations method in theory of multilevel atoms relaxation.//Proceeding SPIE 1997.-v.3239.- p.256-260.

76. Горохов А.В., Михайлов В.А. Уравнение Фоккера- Планка в процессах релаксации многоуровневых систем. /В кн. Дифференциальные уравнения и их приложения. Труды второго международного семинара.- Самара: Изд-во Самарский университет.- 1998.-с.26-33.

77. Gorokhov А.V., Mikhailov V.A. Quantum relaxtion of n-level system.//High energy physics and quantum field theory. XII-th workshop on high energy physics and quantum field theory. Proceedings, ed. by B.B. Levtchenko.- Moscow.- 1999.- p.477-481.

78. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественнных науках.-М.: Мир.- 1986.

79. Боголюбов Н.Н., Козеровски М., Куанг Чан, Шумовский А.С. Новые эффекты в квантовой электородинамике.//Физика элементарных частиц и атомного ядра.- 1988.- т.19, N 4.- с.831-863.

80. Gardiner C.W. Inhibition of atomic phase decays by squeezed light: a direct effect by squeezing. //Phys.Rev.Lett.- 1986.- v.56, 18. p.1917-1920.

81. Polzik E.S., Carri J., Kimble H.J. Spectroskopy with squeezed light. //Phys.Rev.Let.-1992. v.68, 20. - 3020-3023.

82. Dupertuis M.-A., Stenholm S. Rigged-reservoir response.I. General theory.//J. Opt.Soc.Am.B.- 1987.- v.4, N 7.- p.1094-1101.

83. Dupertuis M.-A., Barnett S.M., Stenholm S. Rigged-reservoir response.II. Effects of squeezed vacuum.//J.Opt.Soc.Am.B.- 1987.-v.4, N 7.- p.1102-1108.

84. Dupertuis M.-A., Barnett S.M., Stenholm S. Rigged-reservoir response.III. Multiatiom squeezed status.//J.Opt.Soc.Am.B.- 1987.-v.4, N 7.- p.1124-1129.

85. Горохов А.В., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневых атомов, взаимодействующих со сжатым термостатом и квантовый принцип суперпозиции.//Световое эхо и пути его практических применений. IV Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов.- Куйбышев.1989.- 59с.

86. Горохов А.В., Михайлов В.А. Сжатые флуктуации термостата и кинетика двухуровневых атомов.//Вестник Самарского гос. тех-нич. университета.- 1996.- N 4.- с.101-106.

87. Meystre P., Sargent М. Elements of quantum optics.- Berlin: Springer.1990.-484p.

88. Luthenhaus N., Cirac J.I., Zoller P. Mimicking a squeezed bath interaction: Quantum reservoir engineering with atoms. //Phys. Rev. A. 1998. - v. 57, N 1. - p. 548-558.

89. Hegerfeldt G.C., Sachse T.I., Sondermann D.G. Unusual light spectral from a two-level atom in squeezed vacuum.// Quant. Semiclass. Opt.-1997.- v.9.- p.1-16.

90. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику.- М.: Наука.- 1981.

91. Петров Э.Г., Тесленко В.И. Кинетические уравнения для квантовой динамической системы, взаимодействующей с термостатом и случайным полем.// ТМФ.- 1990.-t.84.- с.446-458.

92. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Quantum kinetik of system interacting with heat bath and stochastic field. // Symmetry Methods in Physics.- Obninsk.- 1992.- p. 120.

93. Горохов А.В., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем. // Теоретическая физика. 2000. т. 1, с. 54-62.

94. Шредингер Э. Современное положение в квантовой механике, //в сб. Шредингер Э. Новые пути в физике.-.М.: Наука.- 1971.

95. Шапиро В.Е., Логинов В.Н. Динамические системы при случайных воздействиях.- Новосибирск: Наука.- 1982.- 160с.

96. Petrov E.G., Teslenko, Goychuk I.A. Stochastically averaged master equation for a quantum-dynamic system interactivy with a thermal bath.//Phys. Rev. E.- 1994.- vol.49, N 5.- p.3894-3902.

97. Goychuk I.A. Kinetic equation for a dissipative quantum system driven by dichotomic noise.//Phys. Rev. E.- 1995.- v.51, N 6.- p.6267-6270.

98. Goychuk I.A., Petrov E.G. Dynamics of the dissipative two-level system driven by external telegraph noise.// Phys. Rev. E.- 1995.-vol.52, N 3.- p.2392-2400.

99. Petrov E.G., Goychuk I.A., May V. Effective transfer rate for a dissipative two-level system driven by regular and stochastic field.// Phys. Rev. E.- 1996, v.54, N 4.- p.4500-4503.

100. Feynman R.P. An operator calculus having applications in quantum electrodynamics. //Phys.Rev.- 1951.- v.84.- p.* 108 128.

101. Wilcox R.H. Exponential operators and parameter differentianion in quantum physica.//J.Math.Phys.- 1967.- v.8, N 4.- p.962-982.

102. Горохов А.В., Михайлов В.А., Ручков В.В. Квантовая кинетика параметрически возбуждаемого многомодового осциллятора. / Световое эхо и пути его практических применений. IV Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов.- Куйбышев.- 1989.- с.60.

103. Горохов А.В., Михайлов В.А. Кинетика параметрического осциллятора в бане со сжатыми флуктуациями. / Световое эхо и проблемы когерентной оптики.Межведомственный сб.науч. статей.-Куйбышев.- 1990.- с. 134-142.