Когерентные состояния, динамический хаос и когерентная релаксация в моделях квантовой оптики и лазерной физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

Горохов Александр Викторович

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС И КОГЕРЕНТНАЯ РЕЛАКСАЦИЯ В МОДЕЛЯХ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ И ЛАЗЕРНОЙ ФИЗИКИ

01.04.21 - Лазерная физика 01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов - 2005

Работа выполнена на кафедре общей и теоретической физики Самарского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Аветисян Юрий Арташесович,

доктор физико-математических наук, профессор

Мельников Леонид Аркадьевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Шелепин Леонид Александрович

Ведущая организация: Казанский физико-технический институт

им. Е.К. Завойского КНЦ РАН

Защита диссертации состоится 3 октября 2005 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.243.05 в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская 83, ауд. 34 корпуса 3 СГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан 3 / 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор /¿Щръ// В.Л. Дербов

13309

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Принципы симметрии и методы теории групп играют важную роль в аппарате современной квантовой физики. Метод групп динамической симметрии, появившийся в середине 60-х годов XX века (В.И. Манько, И.А. Малкин,

A.M. Переломов, B.C. Попов, А.О. Barut, С. Fronsdal, Е. Sudarshan и др.) оказался исключительно полезным при расчетах квантовых систем, переводя на язык теории представлений групп и алгебр Ли такие задачи, как отыскание волновых функций, уровней энергии, амплитуд и сечений переходов и т.д. В начале 70-х годов возник, тесно связанный с теорией групп метод обобщенных когерентных состояний (В.И.Манько, JI.A. Шелепин, A.JI. Шелепин,

B.П. Карасев, A.M. Переломов, R. Gilmore, R. Glauber, J. Klauder и др.). Когерентные состояния (КС), если их удачно построить, оказываются квантовыми состояниями наиболее близкими к классическим (минимизация соотношений неопределенности для генераторов динамической группы). Эволюция параметров когерентного состояния приводит к классической динамике для классического аналога квантовой задачи, а, если гамильтониан линеен но генераторам динамической алгебры, то временная эволюция квантовой задачи чисто классическая. В последнее время метод динамических групп и алгебр активно применяется в квантовой оптике и физике конденсированных сред (В.П. Карасев, Е.А. Кочетов, C.B. Пранц, B.C. Ярунин, J.L. Birman, J. Gerry, R.R. Puri, A.Solomon и др.). При этом на наш взгляд наиболее существенные успехи связаны с разработкой теории континуальных интегралов (интегралов но траекториям) в представлении КС и их применении. В настоящей работе метод динамических групп, связанных с ними КС и континуальных интегралов является основным методом исследования. При этом изучены как принципиальные вопросы построения КС для моделей многоуровневых атомов, исследования их свойств, так и их применения к теории когерентного (коллективного, кооперативного) поведения в квантовой оптике. По прежнему остается весьма актуальным исследование когерентных резонансных явлений, интенсивность протекания которых пропорциональны квадрату числа частиц (световое (фотонное) эхо, оптическая нутация, сверхизлучение и ряд других).

В последние годы в лазерной физике и квантовой оптике наблюдается существенный прогресс, вызванный совершенствованием экспериментальной техники. Появились лазеры, способные создавать ультракороткие импульсы достаточной мощности, регистрирующая аппаратура фемтосекундного диапазона, возможность передавать и регистрировать сверхслабые сигналы, на-

блюдать в эксперименте взаимодействие

•ос. национальна* библиотека

im или пегтгппьких атомов как

03

•м» ни IЕКА I

J

между собой так и с квантованным полем в высокодобротных резонаторах и оптических ловушках. В "шумовой" лазерной спектроскопии важной задачей является исследование отклика атомов на внешние случайные поля, поскольку ои содержит, например, информацию о временах релаксации, то есть о величинах, представляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных полях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.

Наиболее простой и вместе с тем фундаментальной системой в квантовой оптике и лазерной физике является двухуровневый атом, взаимодействующий с одной модой квантованного электромагнитного поля. Введенная еще Эйнштейном, эта модель вновь вызвала интерес почти полвека спустя, когда Джейнсом и Каммингсом было найдено точное решение для вероятности переходов между уровнями в так называемом приближении вращающейся волны, исключающем из рассмотрения антирезонансные слагаемые (модель Джейнса- Каммингса (МДК)). Однако лишь в последнее время интерес перестал быть чисто теоретическим, поскольку реализация одноатомного мазера и микролазера предоставила возможность непосредственного исследования таких систем и экспериментальной проверки основных положений квантовой электродинамики Потребность в более детальном изучении двух - и п— уровневых атомов, взаимодействующих как классическим (лазерным), так и с квантованным электромагнитным полем, связана также с разработкой так называемых О - компьютеров (квантовых компьютеров) и методов квантовых вычислений.

Модель двухуровневого атома является одной из простейших. Однако, последовательное рассмотрение резонансного взаимодействия между двумя уровнями, в том случае, когда нижний уровень не является основным, а ради-ационно уширен, уже требует введения третьего уровня. Модель трехуровневого атома, в общем случае с неэквидистантным спектром, является основой для описания таких явлений как когерентное пленение населенностей, квантовые биения, эффект пересечения уровней. Группой динамической симметрии трехуровневого атома, является группа 5Т7(3). Получение уравнений, описывающих динамику коллектива таких атомов, с помощью КС группы 811 (3), позволило бы изучать вопросы приготовления атомов в определенных сунерпозиционных состояниях и процессов их декогеренции (распада), важных в современной квантовой инженерии.

Вместе с тем появились новые математические подходы исследования кван-товооптических систем и моделей, использующие принципы супсрсимметрии

и технику грассмановых антикоммутирующих переменных. Так, недавно было показано, что супергруппа OSp(2|2) может быть связана с обобщенной модели Джейнса - Каммингса, не использующую приближение вращающейся волны. Это значит, что гамильтониан может быть представлен функцией генераторов соответствующей супералгебры. Как известно, знание группы динамической симметрии позволяет сделать важные заключения о спектре состояний системы, существенно облегчить вычисления амплитуд и вероятностей переходов, статистической суммы. Е.А. Кочетовым построен интеграл по траекториям для чистой МДК в представлении КС супергруппы £/(1|1), которая является группой динамической симметрии этой системы и подгруппой OSp( 2|2).

В настоящей работе построен континуальный интеграл для обобщенной су-нерсимметричной модели Джейнса - Каммингса в представлении когерентных состояний супергруппы OSp(2|2). Полученный результат использован для изучения квазиклассической динамики параметров когерентных состояний и, затем, вычисления вероятностей переходов между уровнями атома и статистической суммы . Применение супергруппы OSp(2|2) основывалось на переходе к однофермионной реализации операторов энергетического спина и, соответственно, замене коммутационных соотношений антикоммутационными в алгебре атомных операторов. Если такая замена не производится, алгебраическая структура не замкнута, и группы динамической симметрии (порождаемой некоторой конечномерной алгеброй Ли, опирающейся на коммутационные соотношения) не существует. Тем не менее, если гамильтонианы невзаимодействующих подсистем обладают динамической симметрией, техника когерентных состояний может также оказаться полезной при расчетах. Использование грассмановых переменных и техники двойного преобразования Хаббарда - Стратоновича оказалось полезным для расчетов как термодинамически равновесных свойств систем из взаимодействующих бозонов и фермионов, так и матричных элементов оператора эволюции. Кроме того, континуальные интегралы, построенные с помощью двойного преобразования Хаббарда - Стратоновича полезны при проведении расчетов недавно экспериментально открытых атомных конденсатов.

Еще в 1977 г. были опубликованы первые работы, связанные с описанием хаоса в моделях с большим числом атомов (модель Дике). За счет большого числа атомов становилась достаточно большой эффективная константа связи, для единичного атома в (макро)резонаторе такие значения были экспериментально недостижимы. Однако появление одноатомного мазера и микролазера привели к надежде на реализацию в обозримом будущем систем с константой взаимодействия порядка частоты перехода, что делает такую за-

дачу актуальной. Для одноатомного мазера переход осуществляется между высоковозбужденными уровнями ридберговских атомов (главное квантовое число п = 60 -т- 70). Хорошо известно, что матричный элемент переходного дипольного момента между уровнями с соседними п ведет себя подобно п2. В микролазере аномально большие значения констант связи могут быть обусловлены малыми размерами резонаторов порядка длины волны (кванго-воразмерные потенциальные ямы. В теоретических работах (C.B. Пранц , R. Graham, R.F. Fox и др.) изучался динамический хаос в системе "двухуровневый атом + поле" без учета квантовых флуктуаций.

Обе возможности - исследование квазиклассической динамики параметров КС и динамики операторных средних - были реализованы компьютерной программой, написанной на основе известных вычислительных алгоритмов. Программа позволяет в широком диапазоне менять начальные условия, значения констант взаимодействия, частоты как переходов между уровнями, так и внешних полей. Отметим, что понятия когерентности и хаоса никак не противоречат друг другу, поскольку под хаосом мы понимаем хаотическое поведение параметров КС, т.е. обычный детерминированный хаос в "классической" динамической системе переменных, ассоциированных с исследуемой квантовой задачей. Напомним, что можно говорить как о хаосе в полностью консервативных системах, когда хаотическое поведение обусловлено значениями параметров и другими исходными данными (в нашем случае - большими константами связи), так и о динамическом хаосе, когда на систему оказывается регулярное воздействие извне. Как правило, в качестве такого воздействия рассматривали возмущение фотонной моды классической внешней периодической силой. Нам представляется, что имеет смысл изучить и иные способы возбуждения полевой моды, в частности, учет параметрических эффектов, возникающих из-за нелинейности среды, помещаемой в резонатор.

Когерентная (унитарная) динамика, является скорее исключением, чем правилом. Любая реальная физическая система всегда связана с внешним окружением и поэтому эволюционирует неунитарным образом, что приводит к необратимому разрушению когерентности. Интенсивно развиваются экспериментальные и теоретические методы исследования взаимодействия простейших атомных систем с лазерным излучением, действующим вблизи атомных переходов, физика микромазера и спектроскопия изолированного атома. Активно разрабатываются схемы квантовых вычислений на одиночных атомах и ансамблях из небольшого числа атомов. В теории сверхизлучения и нелинейных оитических явлений объектом исследования являются как единичные атомы, так и коллективы атомов, находящихся в специально приготовленных кооперативных состояниях. Ансамбли п—уровневых атомов,

взаимодействующих с классическим электромагнитным полем или спонтанно распадающихся из возбужденного состояния, описываются полносимметричными представлениями группы динамической симметрии 5Т/(п), причем спонтанный распад происходит внутри одного и того же неприводимого представления, определяемого заданием начального состояния. При исследовании когерентных кооперативных явлений необходимо учитывать взаимодействие квантовых ансамблей с окружением - термостатом и при последовательном квантовомеханическом подходе переходить от операторных уравнений для матрицы плотности к с— числовым Обычно такими уравнениями как, например, в теории лазера и спонтанной релаксации, являются уравнения Фоккера - Планка (УФП), получение которых и поиск методов их решения является самостоятельной и актуальной задачей. Важной является также проблема выбора удобного и адекватного физической модели базиса для вычисления квантовомеханических средних от операторов физических величин. Последние приводят к одновременным и разновременным корреляционным функциям, измеряемым экспериментально.

Использование глауберовских КС и бозонного представления атомных операторов дает возможность рассматривать задачи динамики и релаксации квантовых систем с единых позиций. Однако, такой подход, эффективный в осцилляторных моделях, приводит для п—уровневых систем к сложной проблеме проектирования из пространства произведений глауберовских КС на инвариантное подпространство неприводимого представления группы 6" С/(п). Привлекательной чертой использования КС для описания динамики и спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов является то, что уравнения динамики не зависят от числа атомов, а в УФП для релаксации, число атомов входит как параметр. Это дает возможность применения асимптотических методов для нахождения приближенных решений в случае больших коллективов частиц.

Возвращение к более детальному изучению этих фундаментальных процессов и разработка адекватных математических методов их описания вновь являются весьма актуальными.

Цель и основные задачи диссертационного исследования

Цель диссертационной работы заключается в исследовании качественных и количественных особенностей когерентной динамики и релаксации суперпозиционных фотонных состояний в (неидеальных) резонаторах и в системах из двух- и трехуровневых атомов, взаимодействующих с квантованным и классическим (как регулярным, так и случайным) электромагнитным нолем и диссипативным окружением на основе математического аппарата, использующего технику когерентных состояний соответствующих групп динамиче-

ских симметрий.

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• Обоснование единого подхода для описания когерентных явлений, основанного на методе динамических групп и технике теоретико - групповых когерентных состояний.

• Исследование интегралов по траекториям в представлении теоретико -групповых КС, вывод квазиклассических уравнений для параметров КС и изучение их свойств.

• Построение системы КС группы 5?7(п) п—уровневых атомов и их детализация для модели трехуровневых атомов. Получение интеграла по траекториям в представлении КС группы ви(п), вывод из него уравнений движения для системы п—уровневых атомов и нахождение временной зависимости населенностей трехуровневых атомов.

• Расчет статистической суммы системы взаимодействующих фермионов и бозонов на основе метода двойного преобразования Хаббарда - Стра-тоновича и динамических супералгебр.

• Построение интеграла по траекториям для суперсимметричной модели Джейнса - Каммингса в представлении КС супергруппы 0зр(2\2), расчет спектра, вероятностей переходов и статистической суммы.

• Проведение детального математического моделирования хаотичных и стохастических систем квантовой оптики. Исследование особенностей динамического хаоса в двухуровневых моделях и моделях трехволнового взаимодействия.

• Вывод УФП для когерентной релаксации системы двух - и трехуровневых атомов, их точное решение в случае изолированного атома, вычисление двухвременных корреляционных функций и формы контуров линий излучения.

• Разработка метода решения уравнения Фоккера-Планка, описывающего когерентную спонтанную релаксацию большого числа двухуровневых атомов.

• Применение метода динамических групп и КС для описания релаксации квантового параметрического усилителя и фотонов в модели одноатомного мазера.

Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что-

Найдены квазиклассические асимптотики интегралов по траекториям в представлении теоретико - групповых КС и показано, что традиционный подход справедлив лишь в рамках квазиклассики.

Построена система КС на однородном пространстве 5[/(3)/Е/(2) группы 811(3), изучены их свойства и дано обобщение для системы КС на однородном пространстве 517(п)/?7(п — 1) группы 5С/(п). Построен интеграл по траекториям в представлении КС группы ■?[/(п), найдены квазиклассические уравнения, описывающие динамику квантовой системы, гамильтониан которой является функцией генераторов полносимметричного представления этой группы.

Впервые построен интеграл по траекториям для суперсимметричной модели Джейнса- Каммингса и ее обобщений. Рассчитаны спектр, вероятности переходов и статистическая сумма.

Найдено точное решение уравнений динамики трехуровневого атома во внешнем лазерном гармоническом и бигармоническом полях и рассчитаны явные выражения для населенностей уровней через параметры КС.

Впервые исследованы эффекты динамического хаоса в двухуровневых моделях квантовой оптики под воздействием периодической параметрической накачки.

Впервые методом максимального коэффициента Ляпунова исследован динамический хаос в модели Дике с диссипацией и учетом параметрической накачки фотонной моды и предсказано возможное подавление квантовых флуктуаций в фотонной моде.

Впервые найдено точное выражение для пропагатора УФП, описывающего релаксацию трехуровневого атома, вычислена характеристическая функция и рассчитаны одновременные корреляционные функции и контуры линий излучения.

Выведено уравнение Фоккера-Планка для Р— символа матрицы плотности двухуровневого атома в термостате со сжатыми флуктуациями, найдено его точное решение и выявлено влияние параметров сжатия термостата на контур линии излучения.

Впервые точно решена задача о двухуровневом атоме во внешнем стохастическом ноле, получена связь наблюдаемых, таких, как вероятности нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии, формы контура линии излучения и продольного и поперечного времен релаксации, с параметрами стохастических процессов

• Впервые рассчитано асимптотическое разложение для решения УФП, описывающего когерентную релаксацию ансамбля двухуровневых атомов, вычислены поправки первого порядка ~ 1/ЛГ к пропагатору УФП и контуру линии излучения.

• Исследована кинетика вырожденного параметрического усилителя в термостате со "сжатыми" флуктуациями и в случае точного резонанса найдено явное аналитическое решение.

• Найдено точное представление матрицы плотности модели Джейнса -Каммингса с фотонными потерями.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается:

• Использованием строгих математических методов.

• Детальным анализом общих физических принципов, лежащих в основе изучаемых моделей.

• Тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаев.

• Совпадением результатов, полученных разными методами.

• Качественным и количественным сравнением с существующими экспериментальными данными.

Научная и практическая ценность результатов

1. Развит общий подход описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем, основанный на применении метода КС. Изученная динамика трехуровневого атома, взаимодействующего с лазерными полями, может быть использована для исследования оптимальных режимов приготовления атомов в когерентных состояниях и оценки времени декогеренции в микромазерах, в теории квантовой информации и квантовых вычислений.

2. Полученный в диссертации метод расчета статистической суммы фер-мион - бозонных систем с использование двойного преобразования Хаб-барда - Стратоновича перспективен для исследования свойств недавно открытых атомных конденсатов и атомных лазеров.

3. Предсказанный эффект утончения контура линии излучения двухуровневого атома при спонтанной релаксации в "сжатом" термостате, но

сравнению с релаксацией в обычном термостате, дает принципиальную возможность экспериментального определения степени сжатия света. Использование данного эффекта может привести к созданию лазерных систем с более высокой степенью монохроматичности излучения.

4. Полученные формулы контуров линий излучения трехуровневого атома для спонтанной релаксации при Т ф О позволяют более точно определять константы релаксации или радиационного уширения уровней в экспериментах по спектроскопии изолированного атома.

5. Развитая теория релаксации двухуровневого атома во внешних стохастических полях дает принципиальную возможность экспериментального определения параметров статистики поля и оценки времен релаксации.

6. Найденное точное выражение для матрицы плотности обобщенной модели Джейнса - Каммингса с фотонными потерями открывает новые возможности в теоретическом и экспериментальном исследовании одноатомного мазера.

7. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе в Самарском ГУ при чтении спецкурсов: "Методы теории групп в квантовой физике" и "Когерентные и кооперативные явления", при подготовке курсовых и дипломных работ студентами специализации "теоретическая физика".

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Метод описания когерентной динамики п— уровневых атомов во внешних классических полях, основанный на гамильтоновых уравнениях для параметров КС группы 5?7(п).

2. Метод расчета статистической суммы взаимодействующих фермионов и бозонов на основе двойного преобразования Хаббарда - Стратоновича.

3. Интеграл по траекториям для суперсимметричных моделей Джейнса -Каммингса, построенный в представлении КС супергруппы ОБР(2|2) и метод решения квазиклассических уравнений с комплексными и грас-смановыми переменными.

4. Расчет характеристик динамического хаоса в двухуровневых моделях квантовой оптики. Предсказание подавления квантовых флуктуаций фотонов в режиме развитого динамического хаоса.

5. Уравнение Фоккера - Планка (УФП) в представлении теоретико - групповых когерентных состояний для двух - и трехуровневых систем. Формула связи двухвременного коррелятора динамической подсистемы с решением УФП.

6. УФП и его решение для когерентной релаксации ансамбля двухуровневых атомов в термостате со сжатыми флуктуациями, точный пропагатор для случая изолированного атома, форма контура линии излучения.

7. УФП для двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим нолем и их пропагаторы, полученные методом теории возмущений, методом дифференцирования статистических средних и для точно решаемой модели.

8. Зависимости контура линии излучения и вероятностей нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии от параметров стохастических полей для дельта - коррелированного процесса, процесса Кубо - Андерсона, сильных и слабых столкновений. Выражения для времен продольной и поперечной релаксации через параметры стохастических нолей.

9. Метод построения асимптотического разложения для УФП, описывающего спонтанную релаксацию ансамбля большого числа двухуровневых атомов, пропагатор такой системы в первом порядке малости по параметру разложения и поправку того же порядка к выражению для формы контура линии излучения.

10. Метод решения УФП для квантового параметрического усилителя с потерями.

11. Точное выражение для матрицы шкнности двухуровневого аюма в резонаторе с фотонными потерями.

Апробация работы

Работа выполнена в Самарском государственном университете на кафедре общей и теоретической физики.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на- Международных Семинарах по теоретико - групповым методам в физике (Звенигород, 1979, 1982 и Юрмала, 1985); семинаре по теоретико-групновым методам ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева (Москва, 1986), Всесоюзном совещании молодых ученых Математические проблемы статистической механики и квантовой теории поля (Куйбышев, 1987), б Всесоюзном коллоквиуме Современный fpynnoeou анализ Методы и приложения (Баку,

1988); IV Всесоюзном симпозиуме Световое эхо и пути его практического применения (Куйбышев, 1989); Всесоюзной школе - семинаре Представления групп в физике (Тамбов, 1989), XIII Международном Коллоквиуме по теоретико- групповым методам в физике (Москва, 1990), IV и V рабочих совещаниях Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии (Обнинск, 1991, 1992); 2 Международном семинаре Squeezed States and Uncertainty Relations (Москва, 1992); IV Международном семинаре Квантовая оптика (Раубичи, 1992); Международной конференции Volga Laser Тоиг{теплоход "Александр Суворов", 1993); VII Международной конференции Symmetry Methods in Physics (Дубна, 1995); 5 Международной конференции Path Integrals from meV to Mev (Дубна, 1996); Международном семинаре Дифференциальные уравнения и их приложения (Самара, 1996); Международном семинаре Нелинейное моделирование и управление (Самара, 1997); VI Международном симпозиуме Фотонное эхо и когерентная спектроскопия (Йошкар-Ола, 1997); Международных рабочих совещаниях Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 1997, 2003); VIII и IX Международных Чтениях по квантовой оптике (Казань, 1999 и Санкт - Петербург, 2003); IV Харитоновских научных тематических чтениях Физика лазеров. Взаимодействие лазерного излучения с веществом(Саров, 2002); Международных школах молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 1999 - 2004); 3 Международной конференции Quantum Physics and Communication (Дубна, 2005); Всероссийской научной конференции Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века (Самара, 2005); а также на научных семинарах и ежегодных научно - практических конференциях в Самарском государственном университете.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 60 работ, в том числе: статьи в реферируемых журналах - 14; сборники трудов Всероссийских, отраслевых и региональных симпозиумов, научных и научно-технических конференций и семинаров - 20; сборники трудов международных симпозиумов и конференций - 23; учебные пособия - 3.

Личное участие автора.

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии. Ряд работ выполнен совместно Дж. J1. Бирманом (prof. J.L. Birman, CUNY, New York) при совместной постановке задач и обсуждении полученных результатов. При этом автору принадлежит реализация теоретических методов и расчетных схем, проведение численного моделирования и физическая интерпретация полученных результатов. Под руководством автора в составлении программ расчетов и проведении числен-

ных экспериментов участвовали аспиранты Е.В. Рогачева, В.В. Ручков, A.B. Ширяев, И.Е. Синайский и соискатели В.А. Михайлов и A.B. Шайкин. В работах, выполненных с этими и другими соавторами, автору принадлежат постановка задач и разработка методов их решений. Обсуждение полученных результатов выполнялось совместно с соавторами.

Объем и структура работы Диссертация изложена на 296 с. печатного текста. Она состоит из введения, 7 глав, заключения и списка литературы, включающего 291 наименование. Общий объем диссертации - 321 страницы текста (в том числе 77 рисунков).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обозначен предмет исследования, обоснована актуальность темы, дан анализ состояния проблемы к моменту начала исследований, сформулированы цель и задачи работы, основные положения, выносимые на защиту, отмечены новизна полученных в диссертации результатов, их научное и практическое значение, апробация работы, публикации по ее теме, личное участие автора в выполнении работы, ее объем и структура, а также кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе, после сжатого обзора метода динамических групп в квантовой физике и применения глауберовских КС в физике лазеров и квантовой оптике, изложен метод построения КС для произвольных групп Ли, эффективный для квантовых систем, имеющих группу динамической симметрии.

Построен интеграл по траекториям в фазовом пространстве параметров КС для матричного элемента оператора эволюции квантовой системы с динамической группой и найдена его квазиклассическая асимтотика, которая приводит к гамильтоновым уравнениям в пространствах параметров КС с естественной структурой симплектического многообразия Кэлера. Для п— уровневого атома (п— уровневых атомов, находящихся в эквивалентных условиях), система таких уравнений имеет вид системы обобщенных уравнений Риккати

аа = Han(t) + Е [Haß(t) - Hnn(t)6aß] zß - Е Hnß{t)zaz(i)

/3=0 0=0

где (Hni(t)) = H(t) - эрмитова n x n матрица гамильтониана, имеющая нулевой след.

Важной особенностью уравнений (1) является то, что они совпадают с уравнениями, определяющими эволюцию КС |z(i)) группы SU(n) и следующим из временного уравнения Шредингера, как это было показано для случая двух- и трехуровневой систем. Это говорит о том, что квазиклассическое

решение в этом случае оказывается точным. Уравнения (1) имеют один и тот же вид для всех полносимметричных представлений, что является отражением их квазиклассичности.

Решение задачи Коши для уравнений (1) имеет вид мультидробнолиней-ной функции, определяемой сдвигом начальной точки

z(t0) = (zl(t0), ..., zn_1(ío)) G SU(n)/U(n — 1) преобразованием из группы SU(n). Для этого надо в (1) сделать подстановки вида za = rf/rf, а = 1,... п — 1, которые приводят к системе линейных уравнений

ihrf = £ Hki{t)rf, k = l,...n. (2)

i=1

Решение системы (2) определяется действием на заданную начальную точку (Л1 (to), -

r¡n(to)) унитарной матрицы #(£, io) S SU(n), т.е.

VW = £(0(Mo)W(ío), ¡=i

откуда

"EMMo^M + MMO)

za{t) = ^-•

nn (Mo)

Динамика КС для двухуровневых атомов (а также атомов (молекул) с эквидистантным набором 2j + 1 уровней) управляется уравнением Риккати

iz = A(t) + UJ0 Z- À(t) z2, (3)

где (в случае линейно поляризованного монохроматического внешнего поля частоты oj) A(t) = А exp(—iwt), А определяется произведением переходного дипольного момента атома и амплитуды напряженности поля, и>q— частота перехода в атоме.

Временная динамика может быть наглядно представлена движением точки на плоскости или ее образом на сфере Блоха S?..

На рис 1.(а-г) изображены траектории на комплексной плоскости и сфере Блоха и типичная временная зависимость вероятности перехода атома на верхний уровень. Видно, что траектории обладают ярко выраженной "симметрией", тогда как вероятность возбуждения

A2 sin2 О t

^-(--»)» + *■ <4>

Р(1)

Рис 1 Динамика когерентных состояний для двухуровневого атома' а, б - траектория на комплексной плоскости г = х + гу и вероятность Р{{) нахождения атома на верхнем уровне для г(0) = 1 + г, ш0 = 1, ш — 2/3, А = 2; в, г - траектория на комплексной плоскости (показан участок в окрестности начала координат —2 < Яег, 1тг < 2 ) и образ всей траектории на сфере Блоха для г(0) = 1 + г, и)о = 1, ш = 1,333, А = 10, для временного интервала < е [0,200]

а б

Рис. 2: Генерация когерентного состояния для двухуровневого атома: а - траектория на комплексной плоскости г = х + 1у, |гь| ~ О,358; б - вероятность Р({) нахождения атома на верхнем уровне (г(0) = 0, иа = 1, и = 2, А = 1,5, г = £0 = 5)

не зависит от тонких деталей внутренней динамики когерентных состояний. Здесь il = (1/2)У(ш - uj0)2 + а2- частота Раби.

Численные расчеты показывают, что при воздействии короткого светового импульса система переходит и (с точностью до фазы, определяемой свободной временной эволюцией) остается в некотором КС.

На рис. 2. (а, б) показан один из примеров генерации КС в случае двухуровневого атома иод воздействием гауссового импульса

A(t) = А exp [-iujt- (t - i0)2/r2].

В частности, видно, что после кратковременного внешнего воздействия первоначально невозб^жденный атом переходит в КС

|2b е~гш°г)

и точка z(t) начинает вращаться с частотой cj0 но окружности радиуса |Zq|.

Для сопоставления со случаем воздействия поля с постоянной амплитудой приведена также вероятность P{t) возбуждения атома на верхний уровень при тех же начальных условиях. Здесь временная зависимость Р{1) уже не определяется простой формулой (4). Внутри интервала воздействия со стороны внешнего ноля вероятность перехода на верхний уровень очень близка к 1, а после завершения воздействия становится постоянной и определяемой формулой:

Рис. 3" Схема переходов между энергетическими уровнями трехуровневого атома

Для описания динамики и релаксации систем трехуровневых атомов построена система КС для группы 5[/(3). Такие КС задаются точкой фактор-пространства 3и(3)/и(2) « СР?, изоморфного двумерному комплексному пространству. Точке этого пространства с координатами (гг, г2) соответствует вектор КС

\гг, г2 >= (1 + г!«1 + г2г2Г"1+3/2'*2 |0 >, (5)

где щ и ц2— собственные числа диагональных операторов алгебры 5С/(3), заданной в базисе Картана-Вейля, Ь+ и ,7+ повышающие операторы этой алгебры, не входящие в максимальную стационарную подалгебру и(2) вакуумного вектора |0 >, в качестве которого обычно выбирается вектор, соответствующий нижнему уровню атома (рис.3).

Изучены свойства построенных КС и исследованы их приложения к динамике трехуровневых атомов, взаимодействующих с классическим электромагнитным полем. В этом случае гамильтониан является линейной комбинацией операторов алгебры Ли группы Я 11(3) :

Н = П [^оД + П0Н2 + {АЗ+ + ВК+ + ВЬ+ + Л.с.)] • (6)

Решение уравнения Шредингера в виде

т)) = е~гф{1)\гьг2), (7)

приводит к системе уравнений:

¿¿1 = (а>о + Оо)-21 - Вг\ - Лггг2 + Вг2 + В

И2 = (щ/2 4- П0)г2 - Аг\ - Вг\г2 + Вгх + А,

где Л, В, В- как функции времени зависят от компонент ноля и матричных элементов оператора дипольного момента.

Рис 4: Динамика населенностей уровней изолированного V— атома. Случай точного резонанса. Затухание отсутствует. Возбуждение гауссовым импульсом. Параметры модели ш0/2 + П0 = 0.8; ш0 + По = 1.3; П12 = 0; П13 = 2; = 0; ш13 = 1.3; г = 20; = 10; ш0г-безразмерное время, |г,(0)| = 1; |г2(0)| = 2.

Таким образом, квантовомеханическая задача сводится к решению уравнений, описывающих классическое движение точки (21,22) на фазовом пространстве СР2. Важной особенностью используемого здесь подхода является то, что полученная система уравнений описывает как динамику изолированного трехуровневого атома, так и динамику ансамбля N невзаимодействующих между собой трехуровневых атомов, если их эволюция задается унитарным оператором из полносимметричного представления 0) группы 5{/(3). Это отвечает случаю, когда энергетические уровни атомов невырождены и в начальный момент времени все атомы приготовлены в одинаковых состояниях.

Введение комплексных переменных х, у, г € Сз с помощью подстановок г1 = .т:/2, г2 = у/г линеаризует систему уравнений.

Изучена динамика ансамбля N трехуровневых атомов V— типа, взаимодействующих с двумя лазерными полями с учетом распада возбужденных уровней на невключенные в систему уровни с феноменологическими константами распада. Решение уравнений найдено точно методом Лапласа. Выведены формулы для населенностей уровней, выражающие их через параметры КС группы 517(3).

Использованный подход может быть полезен для применения в квантовой инженерии при изучении оптимальных режимов создания суперпозиционных состояний атомов и определения времени их декогеренции.

На рис.4, представлены результаты численного расчета динамики населенностей трехуровневого V— атома при возбуждении лазерным гауссовым импульсом.

Во второй главе изучены суперсимметричные расширения динамических алгебр Ли. Исследована проблема расчета статистической суммы для системы взаимодействующих бозонов и фермионов. Использование техники и интегрального преобразования Хаббарда - Стратоновича позволяет "линеаризовать" гамильтониан на соответствующей динамической (супер) алгебре и представить физические величины, характеризующие термодинамически равновесную систему в виде гауссовых средних (континуальных интегралов) но случайным комплексным и (или) грассмановым вспомогательным полям и, в принципе, получить результаты за рамками приближения среднего поля, расширив, тем самым, границы применимости алгебраических методов. Новизна подхода, по сравнению с имеющимися в литературе публикациями, основана на грассмановой версии преобразования Хаббарда - Стратоновича (ПХС), наряду с обычным, заданным над вещественным или комплексным нолем чисел, и распутывании эффективного оператора эволюции на супергруппе Гейзенберга- Вейля N). Когерентные состояния на этой группе

использованы для вычисления следа. Разобраны примеры применения данного подхода к фермионной модели Липкина - Мешкова на группе 57/(2).

Изучено также суперсимметричное обобщение МДК, которая имеет линейно реализованную динамическую симметрию супергруппы Овр(2|2). Детализированы известные для этой супергруппы КС и на основе метода, развитого в главе 1, построен континуальный интеграл. Предложен метод нахождения решений гамильтоновых уравнений для параметров суперкогерентных КС, рассчитаны точный спектр и статистическая суммы модели.

Для этого вычислен матричный элемент оператора эволюции между двумя произвольными КС

< КС\и(г,го)\КС > , (8)

где {/(£, ¿о) = ехр(—г(£ — Ь0)Н), используя разложение единицы по КС и разбивая временной интервал на малые промежутки

ЛГ» 1

в пределе при N оо получаем:

< 0<7|ехр(-г(*-*о)Я)|0'ст' >= /ОМ^е13,

ЛГ-1

£>Моо = П

5 = IЬ Л = ^ ¡[т 8<ММ(а, ёт; в, в) - вЩ-

-{аа - в в)} - 1Цва\ва)) <Й где в и а - параметры когерентных состояний,

к 1 ' < ва\& а > '

-символ оператора гамильтониана, 5 и Ь - аналоги функции действия и лагранжиана соответственно.

Тогда гамильтоновы уравнения движения с комплексными и грассмано-выми переменными имеют вид:

й

2та(аЬ - вЩвёе&М)2 + 2тЬ вёсЬМ = г—Цва\9а) (9)

да

о

2та(аа - вЩвсШМ)2 + 2та ЯйегМ = -1—Цва\ва) (10)

Л

2тв{а7т - #)(5с?еШ)2 + 2тЪБвЖМ = -^Н{ва\ва) (И)

да

I'

2тв(аа - 05) (SdetM)2 + 2т(9 5deiМ = г Л(0<т|0<7) -= (12)

од

М = М(а,а;6,в), (13)

где д /д и д /д - так называемые левые и правые производные по грассмано-вым переменным. Параметр т является одним из параметров, определяющих представление супергруппы OSp(2|2). Для суперсимметричной МДК он равен 1/4.

Уравнения решены аналитически для широкого класса гамильтонианов при начальных условиях самого общего вида. В явном виде рассчитаны вероятности переходов между уровнями модели и ее статистическая сумма.

В третьей главе методом динамики когерентных состояний и динамики средних значений физических величин изучен динамический хаос в моделях двухуровневых атомов, взаимодействующих с квантованным полем в идеальном резонаторе и их обобщений для т.н. трехволнового параметрического взаимодействия. Основным методом исследования является расчет временных зависимостей среднего числа фотонов, инверсии населенностей атома (атомов) и фазовых портретов. Из алгебраических соображений был исследован также гамильтониан, в котором генераторы группы SU(2) заменялись генераторами группы SU( 1,1), являющейся ее аналитическим продолжением. Такие гамильтонианы возникают при квантовом описании трехволнового параметрического взаимодействия. Получаемые уравнения, описывающие динамику параметров КС, даже в самых простых случаях необходимо решать с применением численных методов. В методе, изучающем динамику средних значений операторов, учитывалось взаимодействие описанных выше систем с нелинейной средой (параметрическая накачка). Хаос в системе определялся но исследованию временных зависимостей физических величин, фазовых портретов и расчетом максимального коэффициента Ляпунова.

Исследовано влияние хаоса на степень сжатия в фотонной моде. Хорошо известно, что сжатие удобно определить с помощью операторов Х\, и Х2, которые заданы соотношением:

b = X1 + iX2,

здесь 6— оператор уничтожения. Фотонная мода является сжатой, если V(Xi) (или V(X2)) меньше, чем 1/4, здесь

V(Xt) =< X? > - < Хг >2, (г =1,2), [Xi, Х2) — г/2.

Для описания возможной генерации сжатого света необходимо использовать общие уравнения, следующие из рассмотрения набора операторов, включающем величины Х12 и их билинейные комбинации. Здесь явный вид такой

\

i >

V j

Vi /

э

Рис. 5 Фазовые портреты для временной динамики полуразности населенностей двухуровневого атома с одноквантовыми переходами Рождение циклов с ростом консчанты связи а(0) = 1, С(0) = 0.5; ui0 = 1, ш = 1 05, д = д- (А)- д = 0 448; (В)- д = 0.4485; (С)-д = 0.449, (D): д = 0.46; (Е): д = 0.471; (F): д = 0.9

системы опущен из-за ее громоздкости. Он приведен в диссертации и в наших работах.

Изучена обобщенная (т.н. "одетая") модель Дике, гамильтониан которой задан в виде аналогичном МДК, где атомные операторы заменены коллективными атомными операторами

П1 = -£Э\3\ (* = з,±.)

8=1

Оказалось, что квазиклассическая динамика (при N —> оо) в этой модели может быть задана следующей системой нелинейных уравнений:

х = -у, у = х + 2ez, z = -2 еу,

ё = [ц — ocos(vt)\ h — ае sin(i/r), . .

к = — [ц + a cos(v г)] е + a h sin(^ т) + /З2 х, п — 4hx + 4аи sin(i/r) — Aav cos(ut), u = 2^iv — 2hx + crn sin(^r), v = -2ци + 2ex - <тпсо$(ит).

Здесь учтены только резонансные слагаемые в гамильтониане, описывающем параметрическую накачку:

ко (eintbb + e-liltVP),

и использованы обозначения:

<Uz>=Nz, <К±>= N(x±iy), <b>={E + iH)VN,

е = —¡ЗЕ, h = —/3 Н, п=<&Ь + Ь&>, u + iv=<bb>, T — u>ot, ц = ш/ш0, v = Q,/w0, а = 2ко/шо, /3 = 2g\fN/w0-

При выводе уравнений (14) выполнен предел N —► оо. Это позволяет оборвать и замкнуть систему динамических уравнений для средних. Подчеркнем, что уравнения (14) записаны для "минимального" набора переменных, дающих возможность рассчитать изменение со временем степени сжатия. В самом деле, легко показать, что

D = V{Xx) = [п(г) + 2и(т)]/4 + 0(1/N).

Приведем некоторые результаты, полученные в случае обобщенной модели Дике. На рис.6 показаны зависимости максимального показателя Ляпунова А от константы взаимодействия "атомы + поле" /? при некоторых разных параметрах системы и различных начальных условиях: "черные квадратики" соответствуют обобщенной модели Дикке без учета параметрической накачки (сг = 0); точки " + " рассчитаны для модели с а = 0.9. Видно, что при большой величине накачки хаос в системе в значительной степени подавлен. По видимому, это связано с тем, что при Q = 0 и а = ц система (14) линеаризуется и имеет регулярное решение.

На рис.7 изображены временные зависимости (нормированной на единицу) разности населенностей уровней ансамбля двухуровневых атомов, а на рис. 8 показаны два типичных результата поведения сжатия с течением времени. Все числовые параметры те же, что и для рис.7. Предполагалось, что в

ЧР>

о.ж

Рис. 6: Максимальный коэффициент Ляпунова А(/?) /1 = 1, х(0) = ?/(0) = 0, г(0) = 1, е(0) = /г(0) = 1. "черные квадратики": а = 0; "кресты": о = 0.9

начальный момент í = 0 все атомы инвертированы, а поле находится в вакуумном состоянии. Для рис. 7(А) и 7(А) (а — 0.9) и сильная параметрическая раскачка фотонной моды подавляет хаос "атомных переменных", а в случае рис. 7(В) и 7(В) (<7 = 0.1) атомная система ведет себя хаотически. Как следует из рис. 8 (А,В) квантовые шумы в фотонной моде наиболее эффективно подавляются именно в случае хаоса в атомной подсистеме.

Во четвертой главе исследуется когерентная спонтанная релаксация систем двух- и трехуровневых атомов в термостате - фотонной бане. На примере релаксации системы двухуровневых атомов, слабо взаимодействующей с термостатом, дан обзор методов получения операторных кинетических уравнений для матрицы плотности атомной подсистемы. Методом КС построено соответствующее УФП для контравариантного символа матрицы плотности, общий вид решения которого для пропагатора (функции Грина УФП) записан в виде разложения по собственным функциям оператора Бельтрами -Лапласа, заданного на однородном пространстве КС группы 811(2). Для изолированного атома приведено точное решение. Выведена формула для двух-временной корреляционной функции, выраженной через символы операторов атомной подсистемы, что делает ее удобной при использовании полученного решения УФП:

(Л(£)В(0)> = Ц ¿у.{г, ¿Ж*', ¿')(г\А°\г)1С(г, г, £|г', О)^^, г', 0),

(15)

где Цг, г, £|г', г', 0)- пропагатор УФП, А°(Ь) = и^ЩАЩЦ), Щг)- оператор эволюции свободной атомной подсистемы, 0)— контравариантный

(Л>

Рис. 7- Временные зависимости нормированной разности населенностей двухуровневых атомов для "одетой" модели Дикке. г(0) = 1,х(0) = у(0) = 0, е(0) = Н(0) =0; и>0 = ш,Р = 1.0. (А): а = 0.9; (В): а = 0.1

Рис. 8' Временные зависимости стрпени сжатия фотонной моды О(т) для "одетой" модели Дикке. г(0) = 1, х(0) = ?/(0) = 0, е(0) = /г(0) = 0; и0 = = 1.0. (А): а = 0.9; (В): а = 0.1 (Сжатым состояниям соответствуют точки, расположенные ниже горизонтальной штриховой линии И — 1/4.)

символ произведения операторов 5/3(0), а йц— инвариантная мера на однородном пространстве X, точками которого параметризуется вектор КС \z >.

Исследована релаксация ансамбля двухуровневых атомов в сжатом термостате. В таком термостате кроме обычных некоррелированных тепловых фотонов присутствуют фотоны, рождающиеся, например, в двухфотонных процессах генерации нелинейной средой термостата. В этом случае среднее число одновременно рождающихся и, соответственно, поглощающихся пар фотонов отлично от нуля < £>+ £>+ >ф 0, < Ь} Ь} >ф 0.

С их учетом получено операторное кинетическое уравнение и соответствующее ему УФП:

Здесь

\(< V >+hch(2r,) - 1}

¿ ¿Jüfj=üJo

s = (<1У> +het9'sh{2r-l)

< v > — среднее число фотонов в моде термостата без сжатия на частоте перехода wo и той же температуры, г3 — параметр сжатия в j—ой моде, 7— константа затухания. 2 J = N— число двухуровневых атомов в ансамбле.

Для случая изолированного атома (J = 1/2) найден точный пропагатор УФП и корреляционная функция (при релаксации из начального атомного КС \zo >)

(J+(t) J_(0)> = l + ( (17)

2 1 + Z()Zo L и но ней форма контура линии излучения:

зМ =

2тг

+

(и, - и,о)2 + (£ + 7|5|) {ш - и>0)* + (Е - 7|5|)

(18)

где Г = 7(2А/" + 1).

Определено отношение ширины линии излучения Д двухуровневого атома при релаксации в "сжатом" термостате к ширине линии Го = г] + <5 того же атома при релаксации в обычном термостате:

— = VVl -(- 4sh42r — 2sh22r, 1 о

где г— параметр сжатия.

Важной особенностью полученного отношения является его независимость от температуры термостата. Результаты расчета, позволяют оценить уменьшение ширины контура линии излучения.

Изучена релаксация системы трехуровневых атомов с неэквидистантным спектром в термостате при Т ф 0 и получено соответствующее УФП. Найдены точный пропагатор УФП для случая изолированного V— атома, характеристическая функция и выражения для одновременных корреляционных функций операторов перехода между уровнями атома < ./((£)./_ (£) >, < Ь+(£)//_(£) > и их пределы при £ —+ оо. Вычислены также соответствующие двухвременные корреляционные функции и показано, что форма контура линии излучения является лоренцевой и вклад в ее ширину дает также и константа затухания смежного перехода.

Пятая глава посвящена изучению релаксации двухуровневого атома, который взаимодействует не только с фотонным термостатом, но и с окружающими его атомами, взаимодействие с которыми рассматривается как стохастический процесс и (или) с флуктуирующей частью поля излучения лазера с широкой линией генерации, которая рассмотрена как стационарный стохастический процесс. Взаимодействие атома со стохастическим полем задавалось в виде

н* = % [т л+т л+т •?-), т

где П(£)— определяет случайный сдвиг уровней атома, а £(£), £(£) — случайные функции, пропорциональные интенсивности внешнего стохастического ноля и определяющие переходы между уровнями.

Выведено операторное кинетическое уравнение, в котором взаимодействие со стохастическим полем учитывается точно. Соответствующее ему УФП, полученное методом КС, решается точно по стохастическому полю П(£), приводящему к сдвигу уровней и методом теории возмущений, учитывая поправку второго порядка малости по стохастическим полям £(£), £(£).

Использован подход к решению полученного УФП методом дифференцирования статистических средних, который при учете вкладов случайных процессов £(£), £(£) в общем случае приводит к необходимости обращения к методам теории возмущений. Для случая, когда сдвиг уровней описывается марковским дихотомическим процессом, найдено точное решение.

Другой подход основан на использовании полученного в диссертации операторного кинетического уравнения, усредненного по реализациям стохастических полей, которое имеет вид:

+ <!/> (27+р7_ - 7_ 7+,3-р7_7+)]

-^(¿)(27+/57_ + 7_/57+ - /57_7+ - 7+7-/5) +^(г)(27+/57- + 7-/3,7+ - /57+1 - 7_7+/5), (21)

где = | < П(4)П(*а) > <йь = | < ЦШЬ) > е^^Лх.

Показано, что это уравнение является точным, если ограничиться информацией о стохастических процессах, содержащейся только в двухвременных корреляционных функциях < > и < £(^£(¿1) >• Выведено соответ-

ствующее ему УФП и найдено его точное решение. Вычислены вероятности нахождения атома в верхнем и нижнем состояниях (рис. 9) и формы контуров линии излучения для стохастических процессов с нулевым (оптический белый шум) и конечным (процесс Кубо - Андерсона) временем корреляции. Показано, что в точно решаемой модели форма контура линии излучения является лоренцевой с шириной определяемой как характеристиками термостата, так и нолей Г2(£) и £(£)- Первый подход, использующий теорию возмущений, приводит к поправке, искажающей лоренцевый контур Однако проведенные численные расчеты показали, что в приближении слабого шума конгуры в обоих подходах практически совпадают.

Получены формулы для времен продольной и поперечной релаксации в зависимости от параметров стохастических процессов, которые приводят к соотношению

¿11 1/П 12

здесь и дисперсия и частота случайного процесса Если стохастические поля отсутствуют, то для времен релаксации получается хорошо известное в квантовой теории релаксации соотношение Тг = 27\.

Решение УФП, полученное при точном учете процессов Г2(£) и по теории возмущений во втором порядке малости по интенсивности флуктуаций <т| полей £(£) и £(£), приводит к поправке в выражении для контура линии излучения, искажающей лоренцевский контур. Однако, численные расчеты показывают, что контуры линий излучения для оптического белого шума и модели Кубо-Андерсона, рассчитанные методом теории возмущений и в точно решаемой модели практически совпадают.

10 12 14

Рис 9' Вероятность нахождения двухуровневого атома в верхнем состоянии в случае процесса Кубо- Андерсона. |г0|2 = 2, <тп = 0.01, чп/ша = 0.012, 7/0*0 = 0.01,< V >= 5, = 0.1, и(/ш0 = 0.005. Сплошная линия соответствует точно решаемой модели, средняя линия — расчету по теории возмущений. Для сравнения показана вероятность нахождения атома в верхнем состоянии для релаксации при тех же параметрах в отсутствии внешнего стохастического поля - верхняя кривая.

В шестой главе развит метод асимптотического разложения для УФП, описывающих спонтанную релаксацию ансамбля N невзаимодействующих между собой атомов. Изучена система двухуровневых атомов, для которой вычислены поправки первого порядка малости ~ ^ для пропагатора и формы контура линии излучения.

Получены выражения для двухвременной корреляционной функции

(а+т0))

аа <р> +Ъ) г е™0*-^ 43

и формы контура линии излучения

оо

д(ш) = Ле/<Ие'ш\а+{1)а{ 0)) =

(23)

(24)

Щ

+ (7 < V > +3)

7

где N — 13— число двухуровневых атомов в ансамбле.

Суть данного подхода как осцилляторного приближения (и поправок к нему) для ансамбля из N двухуровневых атомов, невзаимодействующих между собой, но находящихся в скоррелированном начальном состоянии, хорошо отражает первое слагаемое соответствующее лоренцевой форме линии излучения осциллятора, уширенной в N раз. Оно определяет ширину кооперативного распада N двухуровневых атомов, вычисленную в предположении о

Рис. 10' Контур линии излучения д(и>) ансамбля N невзаимодействующих двухуровневых атомов. 7/010 = 0.01, < V >= 0.1, N = 10. Пунктирная линия соответствует вкладу от первого члена правой части формулы (13).

неограниченности спектра энергий. Второе слагаемое дает поправку, возникающую из-за конечности (ограниченности сверху) набора уровней атомов, приводящую к деформации лоренцева контура и уширению линии излучения.

Кроме того исследована необратимая динамика системы двух диполь - ди-польно взаимодействующих двухуровневых атомов, локализованных в оптической ловушке и взаимодействующих с фотонным термостатом и внешним лазерным полем.

Были рассчитаны временные зависимости вероятностей возбужения симметричных и антисимметричных состояний для широкого круга значений физических параметров. На рис. . (а-г) приведены расчеты соответствующих вероятностей только для двух случаев расположения атомов, на расстоянии длины и половины длины волны импульсного лазерного излучения, падающего вдоль оси расположения атомов.

В частности, из выполненных расчетов можно сделать следующие выводы:

Для заселения суперпозиционных (запутанных) состояний с достаточно высокой вероятностью необходимо обеспечить, как можно точнее, соблюдение "одинаковости" условий, в которые помещены атомы.

С ростом амплитуды поля (частоты Раби) заселение симметричного состояния предваряется режимом высокочастотных колебаний, тогда как для антисимметричного состояния таких колебаний нет, если сов(КЬ) = +1; для противоположного знака соя(КЬ) антисимметричное и симметричное состояния "меняются местами".

С увеличением длительности импульса ноля время жизни созданных за-пуханных состояний (как симметричного, так и антисимметричного) растет

Ps(t)

Гч»—

1

Pa(t)

Рис. 11: Вероятности возбуждения симметричного Р3(<) - (а, в) и антисимметричного Ра(1) - (б, г) запутанных состояний в системе двух диполь-дипольно взаимодействующих атомов-а,б - сов(.КХ) = 1, в,г - соъ(КЬ) = — 1

приблизительно пропорционально длительности импульса. Симметричное состояние в асимптотике при t —> оо исчезает полностью, тогда как антисимметричное состояние распадается не полностью и вероятность обнаружить в нем квантовую систему выходит на некоторое стационарное значение. Установлено, что с помощью воздействия на атомы импульсом внешнего классического поля можно осуществлять достаточно эффективный мониторинг квантовых суперпозиционных состояний.

В седьмой главе с помощью метода КС изучается релаксация осцилля-торных (фотонных) систем, имеющих некомпактную группу динамической симметрии. Рассматривается релаксация гармонического осциллятора и вырожденного параметрического усилителя в "сжатом" термостате, для которых получены точные решения. В частности показано, что метод динамических групп позволяет отыскивать решения не только уравнения Шредин-гера, но и УФП. В первом случае найдено точное решение и показано, что контур линии излучения не зависит от параметра "сжатия" термостата. Во втором случае для нулевой расстройки также найдено точное решение и показано, что пропагатор имеет вид гауссового пакета (если начальное состояние /5(0) = \гц)('гц\) на комплексной плоскости. Значение параметра связи А = ¿7 определяет границу зоны устойчивости А > j7 и зоны неустойчивости А < |7. Сжатие термостата проявляется в дополнительной деформации гауссова профиля пропагатора, эффективного в случае, если фаза комплексного параметра s равна 7Г, Зя",____

Исследованы фрактальные свойства т.н. квантовых ковров, возникающих для специально организованных бесконечных суперпозиций п— квантовых состояний, введенных недавно Берри и Войчиком. На рис. 12Ь показан типичный фрактальный квантовый ковер (светлые области означают более высокую вероятность) и его срез по времени и пространству. Периодичность во времени с периодом 2-7г/3, видимая на ковре, связана со структурой спектра частот = 3(4m_1 + ... + т = 1,..., оо, к = 1,..., т, фракталь-

ной плотности вероятности P(x,t). Размерности Dx и Dt это размерности сечений ковра Р(х, t) по пространству (рис. 12с и 12d) и времени (рис 12е)

Построены графики плотности вероятности суперпозиций волновых функций гармонического осциллятора в представлении глауберовских КС, которые в координатном представлении обнаруживают свойства фрактальности Рис. 13 показывает, что фрактальность не сохраняется ни в одном из сечений, все графики носят гладкий характер. Это означает, что переход от координа!-ного к глауберовскому представлению не сохраняет размерностей графиков функций.

Исследована также динамика двух связанных осцилляторов, один из ко-

рос национальна библиотека . с петербург 09 SM «ш» 1

Рис. 12: Типичный фрактальный квантовый ковер для частицы в прямоуюльной потенциальной яме (а) и (Ь), пространственное (t = 1(с) и t — 1 (d)) и временное (х = 1 (е)) сечения, средняя скорость (f)

Рис. 13: Квантовый ковер Войчика для гармонического осциллятора в глауберовском представлении (а) и (Ь), сечения по Яе а (4 = 1, 1ш а = 1 (с)) и времени (Ие а = 1т а = 1

(с!))

торых изначально приготовлен в вакуумном, а второй в состоянии фрактальной суперпозиции Войчика. Показано, что осцилляторы обмениваются начальными состояниями, что в принципе дает надежду на разработку экспериментальных методов генерации фрактальных суперпозиций.

Метод решений УФП для осцилляторных систем использован для нахождения точной матрицы плотности МДК с фотонными потерями, при этом, релаксация в атомной подсистеме не учитывается (мазерное приближение). Решение кинетического уравнения будем искать с использованием Р- представления Клаудера - Сударшана для фотонной моды Для этого представим редуцированную матрицу плотности в виде:

(Ра

рае= /£РдДа,М|а)(а|<8>МН-. (25)

1 /»,1/ Я"

В формуле (25) вектор состояния |а) является осцилляторным когерентным состоянием мазерной фотонной моды, а \ц) и \у) - собственные векторы гамильтониана свободного двухуровневого атома (ц, и =1,2).

Для коэффициентов Рм„ (а, а, £) получаем систему зацепленных уравнений типа уравнений Фоккера - Планка (26), при этом удобно ввести формальный четырехмерный вектор Р - с компонентами Р\\, Р\2, Ргп •, Р22 '■

^Р = 1,оР + £1Р, (26)

где матричные дифференциальные операторы ¿о и Ь\ имеют следующий вид:

/О -а+-§= О

= -гд

0 —а —а + 0 д_ да 0

а 0 0

0 а —а

О

Здесь 1 - единичная 4x4 матрица в пространстве атомных переменных. В результате перехода в новое представление:

р' = ехр [гН^/п] ■ рАР ■ ехр {-Ш^/П,}, (27)

кинетическое уравнение для матрицы плотности сводится к кинетическому уравнению для фотонной моды в неидеальном резонаторе, решение которого хорошо известно. Используя решение для МДК в случае идеального резонатора и совершив обратный переход в исходное представление для матрицы плотности, находим для нее явное выражение:

PAF(t)= £

n,m=0 V n! ml

{[cos(fi„£/2) + i cos6nsin(fi„£/2)] • [cos(fimí/2) - icos9 msin(f2mí/2)] In, 1)(то, 1|+ + [cos(ííní/2) + ícos$nsin(0„f/2))] • [¿sin0rosin(íímí/2)] \n, l)(m + 1,2|+ -I- [—г sin вп sin(íí„í/2)] • [cos(fimí/2) - ¿cos0msin(fimí/2)] |n + 1,2) (то, 1|+

[sin0nsin(íín£/2)] • [sin0m sin(f2mí/2)] |n+ l,2)(m + 1,2|} . (28)

Здесь Пп = y/4g2{n +1) 4- Au2 - частота Раби, вп = arctg Aw -

отстройка частоты; а функции Fnm{t) определены следующим образом:

F m _ p-Tt/2(m-n) Г S"n!a8™ ( |Qo|2 e~7t\ , (Pao

Fnm{t)-e j (s + 1)m+1e - L„ ^J P0(a0) —,

для то > n и m < n соответственно. Здесь L"~m(x) -обобщенный полином JIareppa, и параметр s = (n) (1 — e~7t).

Выведенная формула для матрицы плотности является точной, однако она содержит бесконечное суммирование по Фоковскому базису. Легко проверить, что все ряды в выражении (28) являются сходящимися. Прямой расчет показывает также, что след выведенного выражения для матрицы плотности строго равен единице.

В случае г—квантовых переходов между атомными уровнями с гамильтонианом взаимодействия "атом + поле"

Haf = Пд [(a+)r¿- + (а)г5+],

получаем выражение для матрицы плотности, аналогичное формуле (28) с

П„ = д2М„ + А2, 0п = агсАд , где А = и0 - по, Мп = д (п +

г - г), и с проектором |п, 1 ){т + г, 2| вместо |п, 1 )(т + 1,2|, |п + г, 2)(то, 1| вместо \п + 1,2)(т, 1| и так далее.

С использованием найденного представления для матрицы плотности рассчитаны временные зависимости паселснностей уровней, среднего числа фотонов в резонаторе С}— фактора Фано и рассчитан спектр излучения фотонов для нулевой температуры термостата, которые при малых константах

Рис 14: Спектр излучения 5(и) и спектр среднего числа фотонов п(и>) для начального когерентного состояния, |а0|2 = Ю, д = 1, 7 = 0.02. По оси абсцисс отложена отстройка Л и в единицах константы взаимодействия атом - поле д.

затухания полностью совпадают с известными результатами, а для больших затуханий предсказаны новые режимы поведения указанных величин.

Рассчитаны также форма контура линии излучения системы и спектральная плотность фотонов в резонаторе. Типичный график показан на рис.14.

Сравнивая две кривые на рис.14 для спектра среднего числа фотонов (п(ш) в полости и спектра излучения Б (и), заключаем, что в рамках обсуждаемой модели должна наблюдаться линия излучения в виде дублета близких линий, сдвинутых относительно частоты перехода на ио на величину ~ д/'2.

В Заключении резюмируются основные результаты и перспективы работы.

1. На основе метода обобщенных когерентных состояний развит математический формализм для описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем и вычисления наблюдаемых величин.

2. Построена система КС группы 311 (3), изучены их свойства, дано обобщение для группы 311(Ы), выведены уравнения, описывающие динамику атомов во внешних полях, и найдены их решения для монохроматических и импульсных лазерных полей. Показано, что развитый формализм

можно использовать для разработки метода управления квантовыми системами.

3. Разработан метод расчета статистических сумм систем взаимодействующих фермионов и бозонов, основанный на использовании двойного преобразования Хаббарда - Стратоновича и техники суперсимметричных КС.

4. Детально изучено суперсимметричное обобщение модели Джейнса - Кам-мингса: построен континуальный интеграл в представлении когерентных состояний супергруппы ОБр(2|2) и выведены динамические уравнения для параметров этих когерентных состояний. Динамические уравнения точно решены для случаев суперсимметричной МДК и суперсимметричной "одетой" МДК. Для суперсимметричной МДК, исходя из полученных решений, вычислены вероятность перехода атома и статистическая сумма.

5. В Получены динамические уравнения, описывающие модель двухуровневого атома, взаимодействующего с модой квантованного электромагнитного поля в идеальном резонаторе. Обнаружены регулярные, многочастотные и хаотические режимы поведения параметров когерентных состояний и вероятностей перехода в "атомной" подсистеме.

6. Изучено влияние на возникновение и развитие хаоса в "атомной" подсистеме регулярного параметрического воздействия на нолевую моду. Установлено, что, учет параметрических нестабильностей нелинейной среды, помещенной вместе с атомами в резонатор, приводит к появлению новых, неизвестных ранее регулярных режимов и к эффективному подавлению хаоса.

7. Рассчитан максимальный коэффициент Ляпунова в модели Дике с диссипацией и предскан эффект подавления квантовых флуктуаций (сжатия) в фотонной подсистеме.

8. Получено уравнение Фоккера - Планка для спонтанной релаксации ансамбля трехуровневых V- атомов с неэквидистантным спектром и найдено его точное решение для случая изолированного атома Показано, что форма контура линии излучения является лоренцевой, уширение которой зависит и от параметров, характеризующих смсжный переход.

9. Получен точный пропагатор УФП для когерентной релаксации двухуровневого атома в термостате со "сжатыми" флуктуациями, показано, что форма контура линии излучения является суммой двух лоренцевых

контуров, ширина которых зависит от степени "сжатия" флуктуаций электромагнитного поля термостата.

10. Исследована релаксация двухуровневой системы во внешнем стохастическом поле. Получены выражения для пропагатора и формулы для вычисления вероятностей обнаружения атома в верхнем и нижнем состояниях и формы контура линии излучения через параметры стохастических процессов, моделирующих случайные лазерные поля.

11. Построена асимптотическая теория разложения решений УФП, описывающих спонтанную релаксацию ансамбля атомов и найден общий вид пропагатора в виде разложения по параметру, обратному числу атомов в ансамбле. Для случая релаксации ансамбля N двухуровневых атомов вычислены поправки первого порядка к корреляционным функциям и их вклад в форму контура линии излучения.

12. Исследована фрактальная размерность квантовых ковров, порождаемых бесконечными суперпозициями состояний в осцилляторных системах. Установлено, что фрактальность зависит от выбора квантовомеханиче-ского представления.

13. Найдено точное решение МДК с фотонными потерями. Рассчитаны временные зависимости инверсии населенностей атома, числа фотонов, Q— фактора Фано и спектры излучения в зависимости от начального состояния динамической фотонной моды в неидеальном резонаторе.

Основные публикации по теме диссертации

1. Горохов A.B. Методы теории групп в задачах квантовой физики 4 1-Куйбышев. Изд. Куйбышевского госуниверситета. 1977. - 80 с.

2. Горохов А.В Групповой подход к расчету вероятностей вибронных переходов / В. кн.: Теория атомов и молекул. Вильнюс 1979. С. 100.

3. Горохов A.B. Методы теории групп в задачах квантовой физики Ч II.

- Куйбышев. Изд Куйбышевского госуниверситета. 1979 - 96 с.

4. Горохов A.B. Континуальные интегралы в представлении когерентных состояний на группах Ли. Динамика системы, взаимодействующей с бозон-ным нолем / В кн.: Теоретико - групповые методы в физике. М. Наука. 1980 T.I. С. 249 - 256.

5. Горохов A.B. Когерентные состояния на группах Ли и интегралы по траекториям /В кн.: Теоретико - групповые методы в физике. М. Наука 1983 Т.Н. С. 201 - 209.

6. Горохов A.B. Методы теории групп в задачах квантовой физики Ч III

- Куйбышев. Изд. Куйбышевского госуниверситета. 1983. - 96 с.

7. Горохов A.B. Когерентные состояния, интегралы по траекториям и нелинейные уравнения / Сб. статей. Применение классической и квантовой теории ноля к решению физических задач. Изд. Куйбышевского госуниверситета. -Куйбышев. 1983. С. 80 - 88.

8. Горохов A.B., Николаева О.П. Уравнение Фоккера - Планка в задаче о релаксации спиновых систем / Сб статей. Применение классической и квантовой теории поля к решению физических задач.- Куйбышев. Изд. Куйбышевского госуниверситета. 1983. С. 121 - 127.

9. Горохов A.B., Михайлов В.А. Когерентные состояния и интегралы но траекториям для динамической группы SU(N) // Изв. вузов. Физика. 1985. N 7. С. 59 - 64.

10. Gorokhov A.V. Coherent States on Lie Groups and Path Integrals /In book: Group Theoretical Methods in Physics. - London - New York. Harwood Academ. Publishers. 1985. v. 1. P. 189 - 199.

11. Горохов A.B. Интегралы по траекториям на компактных многообразиях Кэлера / В кн.: Теоретико - групповые методы в физике. М. Наука 1986 Т. И. С . 399 - 410.

12. Горохов A.B., Абдулвалиев А.Г. Суперсимметричная квантовая механика и интегралы по траекториям / Тезисы докл. XII Куйбышевской обл. межвузов, конф. Куйбышев. 1986. С. 32.

13 Gorokhov A.V. Path Integrals on Compact Kahler Manifolds /In book: Group Theoretical Methods in Physics. VNU Science Press.- Utrecht. BV 1986. V. 1. P. 595 - 608.

14. Горохов A.B., Михайлов В.А. Уравнение Фоккера - Планка для обобщенной модели Дикке /Статистическая механика и теория фазовых переходов.-Куйбышев. Межведомственный сб. 1989. С. 118 - 127.

15. Горохов А.В , Михайлов В. А. Релаксация двухуровневых атомов, взаимодействующих со сжатым термостатом и квантовый принцип суперпозиции /Световое эхо и пути его практических применений. IV Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов.- Куйбышев. 1989. С. 59.

16. Горохов A.B., Михайлов В.А. Квантовая кинетика параметрически возбуждаемого многомодового осциллятора /Световое эхо и пути его практических применений. IV Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов.- Куйбышев 1989. С.60.

17. Горохов A.B., Михайлов В.А., Ручков В.В. Кинетика параметрического осциллятора в бане со сжатыми флуктуациями /Световое эхо и проблемы когерентной оптики Межведомственный сб науч. статей,- Куйбышев. 1990 С.134-142.

18 Gorokhov А V , Mikhailov V. A. Fokker-Planck equations in coherent states

representation for quantum relaxation / In book: Quantum Field Theory, Quantum Mechanics and Quantum Optics. Nova Science Publishers Inc.- New York. 1991. P.233-235.

19. Birman J.L., Gorokhov A.V. Double Stratonovich - Hubbard Trick and Novel Path Integral for System Of Interacting Fermions // Lect. Notes in Physics. 1991, V. 382, P. 383 - 393.

20. Gorokhov A.V., Birman J.L. Novel Method for Calculating the Path Integral for the Partition Function of a Many - Fermion System // Europhys. Lett. 1991, V.15(6). P. 615 - 620.

21. Gorokhov A.V. Grassmanian Hubbard - Stratonovich Formula and Dynamical Supersymmetry of Interacting Fermions / In book: Symmetry Methods in Physics, ed. by Ya.A. Smorodinsky. - Obninsk. 1992. P. 118 - 120.

22. Горохов А.В , Ручков В.В. Квантовый хаос в двухуровневых моделях нелинейной оптики /В сб.: "Некоммутативные структуры в математической физике". - Тольятти, 1993. С. 84 - 89.

23. Горохов А.В., Ручков В.В. Квантовый хаос в "одетой" модели Дикке // Изв. РАН (Серия физическая). 1994 Т 58. С. 201 - 205.

24. Gorokhov A.V., Rogacheva E.V. Hubbard - Stratonovich Formula, Path Integrals and Effective Dynamical (Super)Algebras /In book: "Symmetry Methods in Physics". - Dubna. 1995. P. 23.

25. Горохов А.В., Рогачева E.B. Когерентные состояния на группе Osp(2|2) и континуальный интеграл в модели двухуровневого атома // Вестник Сам-ГУ (спец.выпуск). 1995. С. 99 - 108.

26 Birman J.L., Gorokhov A.V. Hubbard - Stratonovich Tricks, Dynamical Superalgebras and Related Path Integral Problems / In book: "Path Integrals from mev to Mcv". Dubna. 1996. P. 259 - 264.

27. Горохов А В , Михайлов В.А. Уравнения Фоккера - Планка в процессах релаксации многоуровневых систем /В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов международного семинара - Самара: Сам-ГУ. 1996. С.17.

28. Горохов А.В., Михайлов В.А. Сжатые флуктуации термостата и кинетика двухуровневых атомов // Вестник Самарского гос. тсхнич. университе-та.(сер. Физ.- мат.) 1996. N 4. С.101-106.

29. Gorokhov A.V , Rogacheva E.V., Shiryaev A.V. Dynamical Chaos in Several Models of Quantum Optics // Proc. SPIE. 1997, V. 3239, P. 249 - 255.

30. Gorokhov A.V , Mikhailov V.A. Fokker-Planck equations method in theory of multilevel atoms relaxation //Proc. SPIE. 1997. V.3239. P.256-260.

31. Горохов А.В., Рогачева E.B., Ширяев A.B. Динамика когерентных состояний в моделях квантовой оптики // Вестник СамГУ. - 1997. N 2 С. 157

32. Горохов A.B., Рогачева Е.В., Ширяев A.B. Динамический хаос в некоторых моделях квантовой оптики // Изв. РАН (Серия физическая). 1998. Т. 62. С. 333 - 338.

33. Горохов A.B., Михайлов В.А. Метод уравнений Фоккера - Планка в теории релаксации многоуровневых атомов. // Изв. РАН (Серия физическая) 1998. Т. 62. С. 427 - 432.

34. Горохов A.B., Михайлов В.А. Уравнения Фоккера - Планка в процессах релаксации многоуровневых систем /В кн.: Труды второго международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара: Сам-ГУ. 1998. С. 26 - 33.

35. Аснин B.JT., Горохов A.B., Синайский И.Е., Геометрическая фаза в некоторых моделях квантовой оптики /В кн.: Когерентная оптика и оптическая спектроскопия, Казань. 1998. С. 191 - 196.

36. Горохов A.B., Ручков В.В., Устойчивость и хаос в двухуровневых моделях квантовой оптики /В кн.: Когерентная оптика и оптическая спектроскопия. Казань. - 1998. С. 209 - 212.

38. Gorokhov A.V., Rogacheva E.V., Shiryaev A.V. Quantum Chaos in Optical Models /In book: High Energy Physics and Quantum Field Theory. Moscow. 1999. p. 471 - 476.

39. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Quantum relaxation of n-level system /In book: High energy physics and quantum field theory. Proceedings of XII-th Workshop. Ed. by B.B. Levtchenko.- Moscow. 1999. P.477-481.

40. Gorokhov A.V. Chaos and Squeezing in Quantum Optics //Proc. SPIE. 2000. V. 4002. P. 65 - 73.

41. Горохов A.B., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем //Теор. физика. 2000. Т. 1, С. 54-62.

42. Горохов A.B., Рогачева Е.В. Хаос в квантовых системах // Теор. Физика (СамГУ). 2000. Т. 1. С. 93 - 98.

43. Горохов A.B., Ручков В.В. Расчет максимального показателя Ляпунова для двухуровневых моделей квантовой оптики с учетом диссипации //Теор. Физика (СамГУ). 2000. Т. 1. С. 99 - 105.

44. Gorokhov A.V. Chaos and Squeezing in Several Models of Quantum Optics // Proc. SPIE. 2000. v. 4061. P. 58 - 65.

45. Горохов A.B. Когерентные состояния, хаос и сжатие в моделях квантовой оптики // Изв. РАН (Серия физическая). 2000, Т. 64. С. 2037 - 2046.

46. Горохов A.B., Синайский И.Е Динамика двухуровневого атома в идеальном резонаторе с зависящей от времени константой взаимодействия "атом

4- поле" / В кн.: /Когерентная оптика и оптическая спектроскопия. Казань. 2000. С.15 - 21.

47. Gorokhov A.V. Fokker - Planck Equations for Quantum Amplifiers and Squeezing //Proc. SPIE. 2001. V. 4243, P. 173 - 180.

48. Горохов A.B.' Генерация и разрушение квантовой когерентности // t Теор. Физика (СамГУ). 2001. Т. 2. С. 74 - 85.

48. Горохов А.В., Михайлов В.А. Метод асимптотического разложения для уравнения Фоккера-Планка в теории когерентной релаксации двухуровневых атомов // Естествознание. Экономика. Управление. 2002. Т.1. С. 36-42.

49. Горохов А.В. Атомные конденсаты и атомный лазер // Соросовский Обр. Журн. 2001. N 1. С. 71 - 76.

51. Gorokhov A.V, Shaikin A.V. Quantum Carpets and Fractals for Superpositions of States of Photons //Proc. SPIE. 2002. V. 5067, P. 253 - 264.

52. Горохов А.В., Михайлов В.А. Метод асимптотического разложения для уравнения Фоккера-Планка в теории когерентной релаксации двухуровневых атомов // Естествознание. Экономика. Управление. 2002, т.1, в. 3, С. 36-42.

53. Горохов А.В., Афанасьев А.С., Шайкин А.В. Криптоалгоритм на основе хаотических функций // Известия Белорусской инженерной академии. 2003. 1 (15)/2 , с. 231 - 237.

54. Gorokhov A.V., Sinaiski I.E. Fokker - Planck Equation Method and Photon Statistics in Theory of One - Atom Maser //Proc. SPIE. 2003. V. 5402. P. 35-41.

55. Gorokhov A.V, Shaikin A.V. Fractal Properties of the Quantum Superpositions //Proc. SPIE. 2003. V. 5402, P. 42 - 53.

56. Gorokhov A.V., Sinaiski I.E. Exact Solution of the Jayncs - Cummings Model with Relaxation //Proc. SPIE. 2003. V. 5476. P. 91 - 98

57. Горохов А.В., Синайский И.Е. Точное решение модели одноатомного мазера // Теор. Физика (СамГУ) 2003. Т. 4. С. 99 - 107.

58. Gorokhov A.V., Sinaiski I.E. Exact solution of the one - atom maser model //in book: High Energy Physics and Quantum Field Theory, ed. by M. Dubinin and V. Savrin. D.V. Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics. Moscow State University. Moscow. 2003. P. 472 - 478.

59. Горохов А.В., Синайский И.Е. Метод уравнения Фоккера - Планка и . статистика фотонов в теории одноатомного мазера // Изв. РАН (Серия физическая). - 2004, Т. 68. С. 1288 - 1291.

60. Горохов А.В. Когерентные состояния, интегралы по траекториям и ква-•V зиклассическая динамика // Теор. Физика (СамГУ). 2004. Т. 5. С. 81 - 93.

»15257.

РНБ Русский фонд

2006-4 13309

Подписано в печать 6 июня 2005 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 2.75 пл. Тираж 100 экз. Заказ № з21 . 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1. Отпечатано ООО "Универс-групп".

Введение

1 Модельные гамильтонианы, когерентные состояния и интегралы по траекториям в квантовой оптике и лазерной физике

1.1 Динамические группы в квантовой оптике

1.2 Когерентные состояния на динамических группах Ли

1.3 Интегралы по траекториям в голоморфном представлении и квазиклассическая динамика.

1.3.1 Гауссовы пакеты и гамильтоновы интегралы по путям

1.3.2 Символы операторов и интегралы по траекториям

1.3.3 Квазиклассическое приближение и гамильтоиовы уравнения в пространствах Кэлера.

1.3.4 Нестандартные члены и проблема выхода за рамки квазиклассики

1.4 Когерентные состояния группы SU(п) и динамика п-уровневых систем.

1.4.1 Многоуровневые атомы во внешнем однородном иоле

1.4.2 Когерентные состояния группы SU(2) и генерация атомных когерентных состояний.

1.4.3 Когерентные состояния группы SU(3) и трехуровневые атомы во внешних полях.

2 Динамические супергруппы и суперкогерентные состояния в квантовой оптике и теории систем многих частиц

2.1 Преобразование Хаббарда - Стратоновича и интегралы но траекториям для фермион - бозонных гамильтонианов

2.1.1 Взаимодействующие бозоны и фермионы и преобразования Хаббарда - Стратоновича.

2.1.2 Расчет интеграла по траекториям для статистической суммы многофермионной системы.

2.2 Сунерсимметричные модели Джейнса - Каммингса.

2.2.1 Супергруппа OSp(2|2) и модель Джейнса - Каммингса

2.2.2 Континуальный интеграл в представлении когерентных состояний супергруппы OSp(2|2).

2.2.3 Эволюция параметров когерентных состояний

2.2.4 Решение гамильтоновых уравнений для суперсимметричных обобщений модели Джейнса - Каммингса

2.2.5 Вероятности перехода и статистическая сумма в суперсимметричной модели Джейнса - Каммингса

Динамический хаос в квантовых системах

3.1 Изучаемые модели.

3.1.1 Трехволновое параметрическое взаимодействие

3.2 Гамильтоновы уравнения для параметров когерентных состояний

3.3 Хаотическая и регулярная динамика параметров когерентных состояний

3.4 Уравнения для операторных средних и квантовый хаос

3.5 Обобщенная модель Дикке с затуханием, максимальный показатель Ляпунова и сжатие.

Когерентная релаксация квантовых систем с конечным числом уровней

4.1 Квантовое кинетическое уравнение, релаксация и декогеренция

4.2 Когерентная релаксация системы двухуровневых атомов и уравнение Фоккера - Планка.

4.2.1 Релаксация двухуровневого атома (j = 1/2).

4.2.2 Релаксация атома с j = 1.

4.3 Релаксация двухуровневой системы в "сжатом" термостате.

4.4 Уравнение Фоккера-Планка для когерентной релаксации системы трехуровневых атомов с неэквидистантным спектром

4.5 Точное решение уравнения Фоккера - Планка для изолированного атома.

4.6 Вычисление наблюдаемых величин. Одновременные и двух-временные корреляционные функции.

5 Двухуровневая система во внешних стохастических полях

5.1 Уравнение Фоккера-Планка.

5.2 Пропагатор уравнения Фоккера - Планка. Метод теории возмущений

5.3 Конкретные реализации стохастических процессов и вычисление наблюдаемых.

5.3.1 Оптический белый шум.

5.3.2 Процессы Кубо - Андерсона.

5.4 Марковские дихотомические процессы. Метод дифференцирования статистических средних.

5.5 Точно решаемые модели.

5.5.1 Модель оптического белого шума.

5.5.2 Процессы Кубо-Андерсона

6 Когерентная релаксация ансамблей большого числа квантовых систем

6.1 Асимптотическое разложение для уравнения Фоккера - Плаика

6.2 Когерентная релаксация ансамбля двухуровневых атомов

6.3 Дииоль-дипольно взаимодействующие атомы и квантовое управление.

7 Релаксация в осцилляторных системах, статистика фотонов и сжатие

7.1 Релаксация гармонического осциллятора с одноквантовыми переходами в "сжатом" термостате.

7.2 Кинетика параметрического осциллятора в термостате со сжатыми флуктуациями.

7.3 Квантовые суперпозиции и фракталы.

7.3.1 Квантовые ковры.

7.3.2 Фрактальные решения для гармонического осциллятора

7.3.3 Свойства квантовых ковров в разных представлениях

7.3.4 Свойства осцилляторных фрактальных состояний в представлении КС.

7.3.5 Система связанных осцилляторов и динамика фракталов

7.4 Модель Джейнса -Каммингса с диссипацией, как теория одноатомного мазера.

7.4.1 Точная матрица плотности модели в мазерном приближении

7.4.2 Временные зависимости и спектры излучения

Актуальность проблемы

Принципы симметрии и методы теории групп [1] играют важную роль в аппарате современной квантовой физики. По разным аспектам ее использования к настоящему времени опубликовано огромное количество статей, обзоров и монографий. Метод групп динамической симметрии [2], появившийся в середине 60-х годов (А.О. Barut, С. Fronsdal, Е. Sudarshan, В.И. Мапько, И.А. Малкин, A.M. Переломов, B.C. Попов и др.) оказался исключительно полезным при расчетах квантовых систем, переводя на язык теории представлений групп и алгебр Ли такие задачи, как отыскание волновых функций, уровней энергии, амплитуд и сечений переходов и т.д. В начале 70-х годов возник, тесно связанный с теорией групп метод обобщенных когерентных состояний (A.M. Переломов, В.И.Манько, J1.A. Ше-лении, A.JI. Шелепин, В.П.Карасев, R.Gilmore, R.Glauber, J. Klauder и др.). Когерентные состояния (КС) [3], если их удачно построить, оказываются квантовыми состояниями наиболее близкими к классическим (минимизация соотношений неопределенности для генераторов динамической группы). Эволюция параметров когерентного состояния приводит к классической динамике для классического аналога квантовой задачи. Если же гамильтониан линеен но генераторам динамической алгебры, то временная эволюция квантовой задачи является чисто классической. В последнее время метод динамических групп и алгебр активно применяется в квантовой оптике и физике конденсированных сред (В.П. Карасев, С.В. Пранц, Е.А. Кочетов, J.L. Birman, J. Gerry, R.R. Puri, A. Solomon и др.). При этом на наш взгляд наиболее существенные успехи связаны с разработкой теории континуальных интегралов [6, 4, 5, 7] (интегралов по траекториям) в представлении КС и их применении. В настоящей работе метод динамических групп, связанных с ними КС и континуальных интегралов является основным методом исследования. При этом изучены как принципиальные вопросы построения КС для моделей многоуровневых атомов, исследования их свойств, так и их применения к теории когерентного (коллективного, кооперативного) поведения в квантовой оптике [8, 9, 10].

По прежнему остается весьма актуальным исследование когерентных резонансных явлений, интенсивность протекания которых пропорциональны квадрату числа частиц [11, 10] (световое (фотонное) эхо, оптическая нутация, сверхизлучение и ряд других).

В последние годы в лазерной физике и квантовой оптике наблюдается существенный прогресс, вызванный совершенствованием экспериментальной техники. Появились лазеры, способные создавать ультракороткие импульсы достаточной мощности, регистрирующая аппаратура фемтосекунд-ного диапазона, возможность передавать и регистрировать сверхслабые сигналы, наблюдать в эксперименте взаимодействие одного или нескольких атомов как между собой так и с квантованным полем в высокодобротных резонаторах и оптических ловушках.

В "шумовой" лазерной спектроскопии важной задачей является исследование отклика атомов на внешние случайные ноля, поскольку он содержит, например, информацию о временах релаксации, то есть о величинах, представляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных полях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.

Наиболее простой и вместе с тем фундаментальной системой в квантовой оптике и лазерной физике является двухуровневый атом, взаимодействующий с одной модой квантованного электромагнитного ноля. В рамках этой модели, как оказалось, могут быть описаны практически все основные эффекты, возникающие при взаимодействии излучения с веществом. Введенная Эйнштейном (см., например, [12]), модель вновь вызвала интерес почти полвека спустя, когда Джейнсом и Каммингсом ([13]) было найдено точное решение для вероятности переходов между уровнями в так называемом приближении вращающейся волны, исключающем из рассмотрения антирезонансные слагаемые (модель Джейнса - Каммингса (ДКМ)). Однако лишь в последнее время интерес перестал быть чисто теоретическим, поскольку реализация одноатомного мазера и микролазера ([14], [15], [16]) предоставила возможность непосредственного исследования таких систем и экспериментальной проверки основных положений квантовой электродинамики [17].

Модель двухуровневого атома является одной из простейших. Однако, последовательное рассмотрение резонансного взаимодействия между двумя уровнями, в том случае, когда нижний уровень не является основным, а радиационно уширен, уже требует введения третьего уровня. Модель трехуровневого атома, в общем случае с неэквидистантным спектром, является основой для описания таких явлений как когерентное иленение населенно-стей, квантовые биения, эффект пересечения уровней. Группой динамической симметрии трехуровневого атома, является группа SU(3). Получение уравнений, описывающих динамику коллектива таких атомов, с помощью КС группы SU(3), позволило бы изучать вопросы приготовления атомов в определенных суиернозиционных состояниях и процессов их декогереиции (распада), важных в современной квантовой инженерии.

Потребность в более детальном изучении двух - и п— уровпевых атомов, взаимодействующих как классическим (лазерным), так и с квантованным электромагнитным полем, связана также с разработкой так называемых Q - компьютеров (квантовых компьютеров) [18, 19, 20, 21] и с кодированием и декодированием сигналов, передаваемых но квантовому каналу -квантовая криптография. Современное состояние дел в этой интенсивно развиваюейся области современной физики отражено в монографии [22] и сборнике статей [23].

Вместе с тем появились новые математические подходы исследования квантовооитических систем и моделей, использующие принципы суперсимметрии и технику грассмановых антикоммутирующих неременных. Так, в работе [24] показано, что супергруппа OSp(2|2) может быть связана с обобщенной модели Джейнса - Каммингса, не использующую приближение вращающейся волны. Это значит, что гамильтониан может быть представлен функцией генераторов соответствующей сунералгебры. Как известно, знание группы динамической симметрии позволяет сделать важные заключения о спектре состояний системы, существенно облегчить вычисления амплитуд и вероятностей переходов, статистической суммы (см., например, [25]).

Е.А.Кочетовым ([26]) был построен интеграл по траекториям для чистой ДКМ в представлении КС супергруппы U{ 1|1), которая является группой динамической симметрии этой системы (и подгруппой OSp(2|2)). Континуальные интегралы при расчетах модели двухуровневого атома, взаимодействующего с внешним классическим полем, были использованы в [27], [28]. Была введена концепция "скрытой"SU(2) - симметрии модели Джейпса -Каммингса. Кроме того, к подобным моделям применялся метод обратной задачи [29].

В настоящей работе построен континуальный интеграл для обобщенной суперсимметричной модели Джейнса - Каммингса в представлении когерентных состояний супергруппы OSp{2|2). Полученный результат использован для изучения квазиклассической динамики параметров когерентных состояний и, затем, вычисления вероятностей переходов между уровнями атома и статистической суммы. Применение супергруппы OSp(2|2) осио-вывется на переходе к однофермионной реализации операторов энергетического спина и, соответственно, замене коммутационных соотношений антикоммутационными в алгебре атомных операторов. Если такая замена не ироводится, алгебраическая структура не замкнута, и группы динамической симметрии (порождаемой некоторой конечномерной алгеброй Ли, опирающейся на коммутационные соотношения) не существует. Тем не менее, если гамильтонианы невзаимодействующих подсистем обладают динамической симметрией, техника когерентных состояний может также оказаться полезной при расчетах. Использование грассмановых неременных и техники двойного преобразования Хаббарда - Стратоновича оказалось полезным для расчетов как термодинамически равновесных свойств систем из взаимодействующих бозонов и фермионов, так и матричных элементов оператора эволюции.

Еще в 1977 г. были опубликованы первые работы, связанные с описанием хаоса в моделях с большим числом атомов (модель Дикке) (см., например,[146], [153]). За счет большого числа атомов становилась достаточно большой эффективная константа связи, для единичного атома в резонаторе такие значения были экспериментально недостижимы. Однако появление одноатомного мазера и микролазера привели к надежде на реализацию в обозримом будущем систем с константой взаимодействия порядка частоты перехода, что делает такую задачу актуальной. Для одноатомного мазера переход осуществляется между высоковозбуждепными уровнями ридберговских атомов (главное квантовое число п = 60 -г- 70). Хорошо известно ([155]), что матричный элемент переходного дипольного момента между уровнями с соседними п ведет себя подобно п2. В микролазере аномально большие значения констант связи могут быть обусловлены размерами резонаторов порядка длины волны (квантоворазмериые потенциальные ямы, [14]). Теоретические работы, изучающие динамический хаос в системе "двухуровневый атом + поле" без учета квантовых флуктуаций, появились во второй половине 80-х годов прошлого столетия (см.,например, [156], [157], [158],[159], [161], [162]). Нами из алгебраических соображений был изучен гамильтониан, в котором генераторы группы SU(2) заменялись генераторами группы

SU( 1,1), являющейся ее аналитическим продолжением. Такие гамильтонианы возникают при квантовом описании трехволнового параметрического взаимодействия [163]. Обе задачи легко обобщаются па случай многоквантовых переходов. Однако получаемые уравнения, описывающие динамику параметров КС, даже в таких, казалось бы простых случаях, необходимо исследовать с применением численных методов.

Представлялось необходимым рассмотреть другой квазиклассический подход: изучение динамики средних значений операторов (см.,например, [9], [164]). Такой подход расширяет круг решаемых задач, предоставляя возможность учесть, например, взаимодействие описанных выше систем с нелинейной средой.

Обе возможности - исследование квазиклассической динамики параметров когерентных состояний и динамики операторных средних - были реализованы компьютерной программой, написанной на основе известных вычислительных алгоритмов [166]. Программа позволяет в широком диапазоне менять начальные условия, значения констант взаимодействия, частоты как переходов между уровнями, так и внешних полей. Отметим, что понятия когерентности и хаоса никак не противоречат друг другу, поскольку под хаосом мы понимаем хаотическое поведение параметров когерентных состояний, т.е. обычный детерминированный хаос в "классической" динамической системе переменных, задающих когерентные состояния, ассоциированные с исследуемой квантовой задачей. Напомним, что можно говорить как о хаосе в полностью консервативных системах, когда хаотическое поведение обусловлено значениями параметров и другими исходными данными (в нашем случае - большими константами связи), так и о динамическом хаосе, когда на систему оказывается регулярное воздействие извне ([167], [169]). Как правило, в качестве такого воздействия рассматривали возмущение бозонной (фотонной) моды классической внешней периодической силой [170], [171], [31]. Нам представляется, что имеет смысл изучить и иные способы возбуждения полевой моды, в частности, учет параметрических эффектов, возникающих из-за нелинейности среды, помещаемой в резонатор.

Когерентная (унитарная) динамика, является скорее исключением, чем правилом. Любая реальная физическая система всегда связана с внешним окружением и поэтому эволюционирует неунитарным образом, что приводит к необратимому разрушению когерентности. В последнее время интенсивно развиваются экспериментальные и теоретические методы исследования взаимодействия простейших атомных систем с лазерным излучением, действующим вблизи атомных переходов [32, 33], физика микромазера и спектроскопия изолированных атомов (молекул) [34]. Активно разрабатываются схемы квантовых вычислений на одиночных атомах и ансамблях из небольшого числа атомов. В теории сверхизлучения и нелинейных оптических явлений [35, 36, 37] объектом исследования являются как единичные атомы, так и коллективы атомов, находящихся в специально приготовленных кооперативных (когерентных) состояниях.

В работах [38, 8, 39] было показано, что такие ансамбли п—уровневых атомов, взаимодействующих с классическим электромагнитным полем или спонтанно распадающихся из возбужденного состояния, описываются нол-носимметричными представлениями группы динамической симметрии SU(n), причем спонтанный распад происходит внутри одного и того же неприводимого представления, определяемого заданием начального состояния.

При исследовании когерентных кооперативных явлений необходимо учитывать взаимодействие квантовых ансамблей с окружением - термостатом и при последовательном квантовомеханическом подходе переходить от операторных уравнений для матрицы плотности к с— числовым. Обычно такими уравнениями как, например, в квантовой теории лазера и спонтанной релаксации, являются уравнения Фоккера - Планка (УФП), получение которых и поиск методов их решения является самостоятельной и актуальной задачей. Важной является также проблема выбора удобного и адекватного физической модели базиса для вычисления кваптовомехани-ческих средних от операторов физических величин. Последние приводят к одновременным и разновременным корреляционным функциям, измеряемым экспериментально.

Использование глауберовских КС и бозонного представления атомных операторов дает возможность рассматривать задачи динамики и релаксации квантовых систем с единых позиций [8, 61, 62]. Однако, такой подход, эффективный в осцилляторных моделях, приводит для п—уровневых систем к сложной проблеме проектирования из пространства произведений глауберовских КС на инвариантное подпространство неприводимого представления группы SU(n) [39].

В работе [42] были построены атомные КС, связанные с представлениями группы SU(2), и использованы для анализа процессов спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов. A.M. Переломовым [43, 3] был предложен метод построения КС для произвольных групп Ли. Привлекательной чертой использования КС для описания динамики и спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов является то, что уравнения динамики не зависят от числа атомов, а в УФП для релаксации, число атомов входит как параметр. Это даёт возможность применения асимптотических методов для нахождения приближённых решений в случае больших коллективов частиц .

Возвращение к более детальному изучению этих фундаментальных процессов и разработка адекватных методов их описания вновь являются весьма актуальными [37].

Цель диссертационной работы

Цель диссертационной работы заключается в исследовании качественных и количественных особенностей когерентной динамики и релаксации сунерпозиционных фотонных состояний в (неидеальных) резонаторах и в системах из двух- и трехуровневых атомов, взаимодействующих с квантованным и классическим (как регулярным, так и случайным) электромагнитным полем и диссииативным окружением на основе математического аппарата, использующего технику когерентных состояний соответствующих групп динамических симметрий.

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• Обоснование единого подхода для описания когерентных явлений, основанный на методе динамических групп и техники теоретико - групповых когерентных состояний.

• Исследование интегралов по траекториям в представлении теоретико

- групповых КС, вывод квазиклассических уравнений для параметров КС и изучение их свойств.

• Построение системы КС группы SU(п) п—уровневых атомов и их детализация для модели трехуровневых атомов. Получение интеграла по траекториям в представлении КС группы SU(n), вывод из пего уравнений движения для системы п— уровневых атомов и нахождение временной зависимости паселеиностей трехуровневых атомов.

• Расчет статистической суммы системы взаимодействующих фермио-нов и бозонов на основе метода двойного преобразования Хаббарда -Стратоповича и динамических супералгебр.

• Построение интеграла по траекториям для суиерсимметричной модели Джейнса - Каммингса в представлении КС супергруппы Osp(2|2), расчет спектра, вероятностей переходов и статистической суммы.

• Проведение детального математического моделирования хаотичных и стохастических систем квантовой оптики. Исследование особенностей динамического (квантового) хаоса в двухуровневых моделях и моделях трехволнового взаимодействия.

• Вывод УФП для когерентной релаксации системы двух- и трехуровневых атомов, их точное решение в случае изолированного атома, вычисление двухвременных корреляционных функций и формы контуров линий излучения.

• Разработка метода решения уравнения Фоккера-Планка, описывающего когерентную спонтанную релаксацию большого числа двухуровневых атомов.

• Применение метода динамических групп и КС для описания релаксации квантового параметрического усилителя и фотонов в модели одиоатомного мазера.

Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что:

Найдены квазиклассические асимптотики интегралов но траекториям в представлении теоретико - групповых КС и показано, что традиционный подход справедлив лишь в рамках квазиклассики.

Построена система КС на однородном пространстве SU(3)/U(2) группы SU(3), изучены их свойства и дано обобщение для системы КС на однородном пространстве SU(ri)/U(n — 1) группы SU(ri). Построен интеграл по траекториям в представлении КС группы SU{n), найдены квазиклассические уравнения, описывающие динамику квантовой системы, гамильтониан которой является функцией генераторов иол-иосимметричного представления этой группы.

Впервые построен интеграл по траекториям для суперсимметричной модели Джейнса- Каммингса и ее обобщений. Рассчитаны спектр, вероятности переходов и статистическая сумма.

Найдено точное решение уравнений динамики трехуровневого атома во внешнем лазерном гармоническом и бигармоническом полях и рассчитаны явные выражения для населенностей уровней через параметры КС.

Впервые исследованы эффекты динамического хаоса в двухуровневых моделях квантовой оптики под воздействием периодической параметрической накачки.

Впервые методом максимального коэффициента Ляпунова исследован динамический хаос в модели Дике с диссипацией и предсказано возможное подавление квантовых флуктуаций в фотонной моде.

Впервые найдено точное выражение для пронагатора УФП, описывающего релаксацию трехуровневого атома, вычислена характеристическая функция и рассчитаны одновременные корреляционные функции и контуры линий излучения.

Выведено уравнение Фоккера-Планка для Р— символа матрицы плотности двухуровневого атома в термостате со сжатыми флуктуациями, найдено его точное решение и выявлено влияние параметров сжатия термостата на контур линии излучения.

• Впервые точно решена задача о двухуровневом атоме во внешнем стохастическом иоле, получена связь наблюдаемых, таких, как вероятности нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии и формы контура линии излучения, с параметрами стохастических процессов.

• Впервые рассчитано асимптотическое разложение для решения УФП, описывающего квантовую когерентную релаксацию ансамбля двухуровневых атомов, вычислены поправки первого порядка ~ 1/N к нропагатору УФП и контуру линии излучения.

• Исследована кинетика вырожденного параметрического усилителя в термостате со "сжатыми" флуктуациями и в случае точного резонанса найдено явное аналитическое решение.

• Впервые найдено точное представление матрицы плотности модели Джейнса - Каммингса с фотонными потерями.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; тестированием общих алгоритмов но результатам, полученных в других работах для частных случаев; сравнением с экспериментом, а также совпадением результатов, полученных разными методами.

Научная и практическая ценность результатов

1. Развит общий подход описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем, основанный на применении метода КС. Изученная динамика трехуровневого атома, взаимодействующего с лазерными нолями, может быть иснользована для исследования оптимальных режимов приготовления атомов в когерентных состояниях и оценки времени декогеренции в микромазерах, в теории квантовой информации и квантовых вычислений.

2. Полученный в диссертации метод расчета статистической суммы фер-мион - бозонных систем с использование двойного преобразования Хаббарда - Стратоновича перспективен для исследования свойств недавно открытых атомных конденсатов и атомных лазеров.

3. Предсказанный эффект утончения контура линии излучения двухуровневого атома при спонтанной релаксации в "сжатом" термостате, по сравнению с релаксацией в обычном термостате, дает принципиальную возможность экспериментального определения степени сжатия света. Использование данного эффекта может привести к созданию лазерных систем с более высокой степенью монохроматичности излучения.

4. Полученные формулы контуров линий излучения трехуровневого атома для спонтанной релаксации при Т ф 0 позволяют более точно определять константы релаксации или радиационного уширения уровней в экспериментах но спектроскопии изолированного атома.

5. Развитая теория релаксации двухуровневого атома во внешних стохастических нолях дает принципиальную возможность экспериментального определения параметров статистики ноля и оценки времён релаксации.

6. Найденное точное выражение для матрицы плотности обобщенной модели Джейнса - Каммингса с фотонными потерями открывает новые возможности в теоретическом и экспериментальном исследовании одноатомного мазера.

7. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе в Самарском ГУ при чтении спецкурсов: "Методы теории групп в квантовой физике" и "Когерентные и кооперативные явления", при подготовке курсовых и дипломных работ студентами специализации "теоретическая физика".

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Метод описания когерентной динамики п— уровневых атомов во внешних классических полях, основанный на гамильтоновых уравнениях для параметров КС группы SU{ri).

2. Метод расчета статистической суммы взаимодействующих фермиоиов и бозонов на основе двойного преобразования Хаббарда - Стратопови-ча.

3. Интеграл по траекториям для суперсимметричных моделей Джейнса - Каммингса, построенный в представлении КС супергруппы

OSP{2|2) и метод решения квазиклассических уравнений с комплексными и грассмановыми переменными.

4. Расчет характеристик динамического хаоса в двухуровневых моделях квантовой оптики. Предсказание подавления квантовых флуктуаций фотонов в режиме развитого динамического хаоса.

5. Уравнение Фоккера- Планка (УФП) в представлении теоретико - групповых когерентных состояний для двух - и трехуровневых систем. Формула связи двухвремепного коррелятора динамической подсистемы с решением УФП.

6. УФП и его решение для когерентной релаксации ансамбля двухуровневых атомов в термостате со сжатыми флуктуациями, точный про-нагатор для случая изолированного атома, форма контура линии излучения.

7. УФП для двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим нолем и их иропагаторы, полученные методом теории возмущений, методом дифференцирования статистических средних и для точно решаемой модели.

8. Зависимости контура линии излучения и вероятностей нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии от параметров стохастических полей для дельта - коррелированного процесса, процесса Кубо - Андерсона, сильных и слабых столкновений. Выражения для времен продольной и поперечной релаксации через параметры стохастических нолей.

9. Метод построения асимптотического разложения для УФП, описывающего спонтанную релаксацию ансамбля большого числа двухуровневых атомов, проиагатор такой системы в первом порядке малости но параметру разложения и поправку того же порядка к выражению для формы контура линии излучения.

10. Метод решения УФП для квантового параметрического усилителя с потерями.

11. Точное выражение для матрицы плотности двухуровневого атома в резонаторе с фотонными потерями.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Международных Семинарах но теоретико - групповым методам в физике (Звенигород, 1979, 1982 и Юрмала, 1985); семинаре по теоретико-групповым методам ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева (Москва, 1986); Всесоюзном совещании молодых ученых Математические проблемы статистической механики и квантовой теории поля (Куйбышев, 1987); 6 Всесоюзном коллоквиуме Современный групповой анализ. Методы и прило-эюения (Баку, 1988); IV Всесоюзном симпозиуме Световое эхо и пути его практического применения (Куйбышев, 1989); Всесоюзной школе - семинаре Представления групп в физике (Тамбов, 1989), XIII Международном Коллоквиуме но теоретико- групповым методам в физике (Москва, 1990), IV и V рабочих совещаниях Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии (Обнинск, 1991, 1992); 2 Международном семинаре Squeezed States and Uncertainty Relations (Москва, 1992); IV Международном семинаре Квантовая оптика (Раубичи, 1992); Международной конференции Volga Laser ТЬш"(тешюход "Александр Суворов", 1993); VII Международной конференции Symmetry Methods in Physics (Дубна, 1995); 5 Международной конференции Path Integrals from me V to Mev (Дубна, 1996); Международном семинаре Дифференциальные уравнения и их приложения (Самара, 1996); Международном семинаре Нелинейное моделирование и управление (Самара, 1997); VI Международном симпозиуме Фотонное эхо и когерентная спектроскопия (Йошкар-Ола, 1997); Международных рабочих совещаниях Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 1997, 2003); VIII и IX Международных Чтениях но квантовой оптике (Казань, 1999 и Санкт - Петербург, 2003); IV Харито-повских научных тематических чтениях Физика лазеров. Взаимодействие лазерного излучения с веществом (Саров, 2002); Международных школах молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 1999 - 2004); 3 Международной конференции Quantum Physics and Communication (Дубна, 2005); Всероссийской научной конференции Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века (Самара, 2005); а также на научно - практических конференциях и научных семинарах в Самарском государственном университете.

Публикации.

По теме диссертационной работы опубликовано 60 работ, в том числе: статьи в реферируемых журналах - 14; сборники трудов Всероссийских, отраслевых и региональных симпозиумов, научных и научно-технических конференций и семинаров - 20; сборники трудов международных симпозиумов и конференций - 23; учебные пособия - 3.

Личное участие автора

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии. Ряд работ выполнен совместно Дж. JI. Бирманом (CUNY, New York) при совместной постановке задач и обсуждении полученных результатов. При этом автору принадлежит реализация теоретических методов и расчетных схем, проведение численного моделирования и физическая интерпретация полученных результатов. Под руководством автора в составлении программ расчетов и проведении численных экспериментов участвовали аспиранты Е.В.Рогачева, В.В. Ручков, А.В. Ширяев, И.Е. Синайский и соискатели В.А. Михайлов и А.В.Шайкин. В работах, выполненных с этими и другими соавторами, автору принадлежат постановка задач и разработка методов их решений. Обсуждение полученных результатов выполнялось совместно с соавторами.

Объем и структура работы

Диссертация изложена на 296 с. печатного текста. Она состоит из введения, 7 глав, заключения и сииска литературы, включающего 291 наименования. Общий объем диссертации - 321 страницы текста (в том числе 77 рисунков).

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты диссертационной работы:

1. На основе метода обобщенных когерентных состояний развит математический формализм для описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем и вычисления наблюдаемых величин.

2. Построена система КС группы SU(3), изучены их свойства, дано обобщение для группы SU(N), выведены уравнения, описывающие динамику атомов во внешних нолях, и найдены их решения для монохроматических и импульсных лазерных нолей. Показано, что развитый формализм можно использовать для разработки метода управления квантовыми системами.

3. Разработан метод расчета статистических сумм систем взаимодействующих фермионов и бозонов, основанный на использовании двойного преобразования Хаббарда - Стратоновича и техники суперсимметричных КС.

4. Детально изучено суперсимметричное обобщение модели Джейнса -Каммингса: построен континуальный интеграл в представлении когерентных состояний супергруппы OSp(2|2) и выведены динамические уравнения для параметров этих когерентных состояний. Динамические уравнения точно решены для случаев суперсимметричиой модели Джейнса - Каммингса и суперсимметричной "одетой" модели Джейнса - Каммингса. Для суперсимметричиой модели Джейнса -Каммингса, исходя из полученных решений, вычислены вероятность перехода атома и статистическая сумма.

5. В базисе теоретико - групповых когерентных состояний получены динамические уравнения, описывающие модель двухуровневого атома, взаимодействующего с модой квантованного электромагнитного поля в идеальном резонаторе. Данный метод распространен на случай трехволнового параметрического взаимодействия. Обнаружены регулярные, много частотные и хаотические режимы поведения параметров когерентных состояний и вероятностей перехода в "атомной" иод-системе.

6. Изучено влияние на возникновение и развитие хаоса в "атомной" подсистеме регулярного параметрического воздействия па нолевую моду. Установлено, что, учет параметрических нестабильиостей нелинейной среды, помещенной вместе с атомами в резонатор, приводит к появлению новых, неизвестных ранее регулярных режимов и к эффективному подавлению хаоса.

7. Рассчитан максимальный коэффициент Ляпунова в модели Дике с диссипацией и предсказан эффект подавления квантовых флуктуаций (сжатия) в фотонной подсистеме.

8. Получено уравнение Фоккера - Планка для спонтанной релаксации ансамбля трехуровневых V- атомов с неэквидистаптным спектром и найдено его точное решение для случая изолированного атома. Показано, что форма контура линии излучения является лоренцевой, уши-рение которой зависит и от параметров, характеризующих смежный переход.

9. Получен точный нропагатор УФП для когерентной релаксации двухуровневого атома в термостате со "сжатыми" флуктуациями, показано, что форма контура линии излучения является суммой двух лорен-цевых контуров, ширина которых зависит от степени "сжатия" флуктуаций электромагнитного ноля термостата.

10. Исследована релаксация двухуровневой системы во внешнем стохастическом иоле. Получены выражения для пропагатора и формулы для вычисления вероятностей обнаружения атома в верхнем и нижнем состояниях и формы контура линии излучения через параметры стохастических процессов, моделирующих случайные лазерные ноля.

11. Построена асимптотическая теория разложения решений УФП, описывающих спонтанную релаксацию ансамбля атомов и найден общий вид нроиагатора в виде разложения но параметру, обратному числу атомов в ансамбле. Для случая релаксации ансамбля N двухуровневых атомов вычислены поправки первого порядка к корреляционным функциям и их вклад в форму контура линии излучения.

12. Исследована фрактальная размерность квантовых ковров, порождаемых бесконечными суперпозициями состояний в осцилляторных системах. Установлено, что фрактальность зависит от выбора квантово-механического представления.

13. Найдено точное решение модели Джейнса - Каммингса с фотонными потерями. Рассчитаны временные зависимости инверсии населен-ностей атома, числа фотонов, Q— фактора Фано и спектры излучения в зависимости от начального состояния динамической фотонной моды в неидеальном резонаторе.

1. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем.- М.: Наука. 1979. 320 с.

2. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука. 1987. - 272 с.

3. Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике.- М.: Атомиздат. 1976. 256 с.

4. Simon В. Functional integration and quantum physics. NY: Academic Press Publishers. 1979. - 296 p.

5. Mensky M.B. Continuous Quantum Measurements and Path Integrals. -IOP Publishing Ltd. 1993. 201 p.

6. Wipf A. Path Integrals. Jena.: Friedrich-Schiller-Universitat. 2002. - 158 P

7. Махвиладзе T.M., Шелепин JI.А. Теоретико-групповой анализ когерентных свойств некоторых физических систем //Труды ФИАН.-1973.- т.70. С. 120 146.

8. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления в оптике: Сверхизлучение. Бистабильность. Фазовые переходы.- М.: Наука. 1988. 288 с.

9. Калачев А.А., Самарцев В.В. Когерентные явления в оптике. Казань.: Казанский гос. университет им.В.И. Ульянова - Ленина. 2003.- 281 с.

10. Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика. М.: Физматлит. 2003. 512 с.

11. Yoo H.-I. Eberly J.H. Dynamical theory of an atom with two or three levels interacting with quantized cavity fields // Physics Reports. 1985. V.118. No. 5. P. 239 -337.

12. Jaynes E.T., Cummings F.W. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser // Proc.IEEE. 1963. Vol.51. P.89 -109.

13. Вальтер Г. Одноатомный мазер и другие эксперименты квантовой электродинамики резонатора // УФН. 1996. Т. 166. N 7. С.777 794.

14. Meschede D., Walther Н., Mtiller G. One Atom Maser // Phys. Rev. Lett. 1985. V.54. No. 6. P.551 - 554.

15. Rempe G., Walther H.,Klein N. Observation of Quantum Collapse and Revival in One Atom Maser //Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. No.4. P. 353 - 356.

16. Козеровский M., Мамедов А.А., Манько В.И., Чумаков С.М. Взаимодействие двух- и трехуровневых атомов с квантованным полем в идеальном резонаторе // Тр. ФИАН. 1992. Т. 208. С. 3 17.

17. Feynman R.P. Quantum mechanical computers // Found. Phys. 1986. -V.16. P.507- 531.

18. Deutsch D. Quantum theory, the Church Turing principle and the universal quantum computers //Proc. Roy. Soc. (London), Ser.A. 1985. V.400. P.97 - 117.

19. Berthiaume A.,Deutsch D., Jozea R. The stabilisation of quantum computation // Proceeding of the Work Shop on Physics and Computations, Phys.Сотр.'94., IEEE, Computer Society Press. 1994. P.60 62.

20. Peres A. Error symmetrization in quantum computers // Phys.Сотр.'96 . Extended Abstract. 1996. P. 1 3.

21. Валиев К.А., Кокин A.A. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Москва Ижевск.: РХД. 2001. - 352 с.

22. Баумейстер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления. М.: Постмаркет. 2002. 376 с.

23. Берман Г.П., Дулен Г.Д., Майньери Р., Цифрииович В.И. Введение в квантовые компьютеры. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". Москва, Ижевск. 2004. 187 с.

24. Buzano С., Rasetti M.G., Rastello M.L. Dynamical superalgebra of "dressed" Jaynes Cummings Model // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P.137- 139.

25. Шелепин A.JI., Шелепин Л.А. Теория амплитуд вероятности и ее групповые аспекты // Тр. ФИ АН. 1994. Т.218. С.З 59.

26. Kochetov Е.А. Supercoherent States in the Models of Quantum Optics // Laser Physics. 1992. V.2. No.5. P. 770 774.

27. Zaheer K., Zubairy M.S. Atom field interaction without the rotating -wave approximation: A Path - Integral Approach // Phys. Rev. 1988. V. A 37. P. 1628 - 1633.

28. Kochetov E.A., Yarunin V.S. Coherent State Path Integral for a Transition Amplitude: A Theory and Applications // Physica Scripta. 1995. V.51. P. 46 - 53.

29. Jurco B. On Quantum Integrable Models Related to Nonlinear Quantum Optics. An Algebraic Bethe Ansatz Approach // J. Math. Phys. 1989. V.30. P. 1739 1743.

30. Crungelj J., Martinis M., Mikita Martinis V. Properties of a Deformed Jaynes - Cummings Model // Phys. Rev. 1994. V. A 50. P. 1785 -1791.

31. Авербух И.Ш., Перельман Н.Ф. Динамика волновых пакетов высо-ковозбуждепных состояний атомов и молекул // УФН. 1991. Т. 161. С.41 81.

32. Тер-Микиелян М.Л. Простейшие атомные системы в резонансных лазерных полях // УФН. 1996. Т. 167, С. 1249 1294.

33. Боголюбов Н.Н. (мл.), Шумовский А.С. Сверхизлучение. Лекции для молодых ученых. Дубна. 1987. 88 с.

34. Walther H. / Experiments with single atoms in cavities and traps. In: Fundamental problems in quantum theory. Eds. D.M. Greenberg and A. Zeiler // Ann. N.Y. Acad. Sci. 1995. V. 755. P. 133 179.

35. Маныкин Э.А., Самарцев В.В. Оптическая эхоспектроскопия. М.: Наука. 1984. 320 с.

36. Нагибарова И.А., Богданов Е.Н., Дерюгин И.А. Динамика квантовых систем,- Минск; Наука и техника. 1986. 279 с.

37. Мандель JL, Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. М.: Наука. Физматлит. 2000. 896 с.

38. Шелепин JI.A. К теории когерентного спонтанного излучения // ЖЭТФ. 1968. т.54. С. 1463 1471.

39. Карасев В.П., Шелепин JI.A. Когерентные состояния и производящие инварианты групп SU(n) и их приложения //Труды ФИАН. 1980. Т. 124. С. 49-74.

40. Karassiov V.P. Polinomial Lie Algebras slpd{2) in Action: Smooth sl(2) Mappings and Approximations // quant ph /9608016

41. Puri R.R. SU(m,n) coherent states in the bosonic representation and their generation in optical parametric processes // Phys.Rev. 1994. V. A 50. P. 5309 5316.

42. Arrechi F.T., Courteus E., Gilmore R., Thomas H. Atomic coherent states in quantum optics // Phys. Rev. 1972.V. A 6. P. 2211 2237.

43. Perelomov A.M. Coherent states for arbitrary Lie group //Commun. Math. Phys. 1972. V.26. P. 222 236.

44. Klauder J.R. Continous Representation Theory. I. Postulates of Continous Representation Theory // J. Math. Phys. 1963. V. 4. P. 1055-1058.; II. Generalized Relation Between Quantum and Classical Dynamics. //J. Math. Phys. 1963. P. 1058 1076.

45. Klauder J.R., Skagerstam B.S. Coherent States, Applications in Physics and Mathematical Physics. Singapore.: World Scientific. 1985.- VII + 911 p.

46. Wei-Min Zhang, Da Hsuan Feng, Gilmore R. Coherent States: Theory and Some Applications // Rev. Mod. Phys. 1990. V. 62. P. 867 -927.

47. R.R.Puri. Mathematical Methods of Quantum Optics. Berlin: Springer. 2001 - XIII + 285 p.

48. Glauber R.J. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field. //Phys.Rev.- 1963. V.131. P. 2766-2789.

49. Глаубер P. Оптическая когерентность и статистика фотонов, /в кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. М.: Мир. 1966. С. 91 -281.

50. Клаудер Д., Сударшан Э. Основы квантовой оптики.- М.: Мир. 1970. 428 с.

51. Клышко Д.Н. Физические основы квантовой электроники.- М.: Наука. 1986. 296 с.

52. Radcliffe J.M. Some properties of coherent spin states // J.Phys. A.: Gen.Phys. 1971. V.4. P.313-323.

53. Barut A.O., Girardello. New "coherent" states associated with non-compact groups.//Commun. Math. Phys. 1971.V. 21. P. 41 55.

54. Барут А.О., Рончка P. Теория представлений групп и ее приложения. Т. 2. М.: Мир. 1980. - 393 с.

55. Schwinger J. On angular momentum /NYO-3071. U.S. Atomic energy commission. Oak Ridge. 1952. - 50 p.

56. Bonifacio R., Kim D.M., Scully M.O. Description of many atom system in terms of coherent boson states // Phys.Rev.- 1969. V.187. P. 441 446.

57. Перина Я. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений.- М.: Мир. 1987. 368 с.

58. Пранц С.В. Динамические симметрии связанных гармонических осцилляторов в нелинейной оптике. /В кн. Теоретико-грунновые методы в фундаментальной и прикладной физике.- М.: Наука.- 1988.-С.73-101.

59. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука. 1970. - 664 с.

60. Горохов А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. 4.1.-Куйбышев.: Изд.-во КуГУ. 1977. 80 с.

61. Горохов А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч.2.-Куйбышев.: Изд. во КуГУ. 1979. - 96 с.

62. Горохов А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч.З.Куйбышев.: Изд.-во КуГУ. 1983.- 96 с.

63. Louisell W. Quantum statistical properties of radiation.- Wiley. New York. 1979. 528 p.

64. Фейнман P., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968. - 383 с.

65. Marinov M.S. Path Integrals in Quantum Theory: An Outlook of Basic Concepts //Phys. Rept. 1980. V. 60. P. 1-57.

66. Schweber S.S. On Feynman Quantization // J. Math. Phys. 1962 V. 3. P. 831 842.

67. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей- М.: Наука. 1988. 272 с.

68. Березин Ф.А. Континуальный интеграл по траекториям в фазовом пространстве // УФН. 1980. Т. 132. С. 497-548.

69. Kleinert Н. Path Integrals and Collective Fields // Fortsch. der Physik V. 26. P. 565-672; Kleinert H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics and Polymer Physics World Scientific. Singapore. 1995. Second extended edition - 850 p.

70. Klauder J.R. Continuous Representations and Path Integrals, Revisited / In book: Path Integrals. N.Y.: Plenum. Ed. by G. J. Papadopoulos and J.T. Devrees. 1978. P. 5 - 38.

71. Klauder J.R. Path Integrals and Stationary Phase Approximations // Phys. Rev., 1979, V. 19 D. P. 2349 - 2356.

72. Горохов А.В. Континуальные интегралы в представлении когерентных состояний на группах Ли. Динамика системы, взаимодействующей с бозонным полем / В кн.: Теоретико групповые методы в физике. М.: Наука. 1980. Т. 1. С. 246- 256.

73. Горохов А.В. Квантовая теория колебаний большой амплитуды, виб-ронные переходы в трехатомных молекулах и метод динамических групп в молекулярной симметрии. / Дисс. соиск уч. степени канд. физ.-мат. наук. Куйбышев. 1980. 169 с.

74. Marinov M.S., Terntyev M.V. Dynamics on the Group Manifold and the Path Integral //Fortsch. der Physik. 1979. V. 27. P. 511-545.

75. Горохов А.В.Когерентные состояния и интегралы по траекториям / в кн. Теоретико-групповые методы в физике. М.: Наука, 1983. Т. 2. С. 200- 211.

76. Gorokhov A.V. Coherent States on Lie Groups and Path Integrals /In book: Group Theoretical Methods in Physics.- Harwood Academ. Publishers. London New York. 1985. V. 1. P. 189 - 199.

77. Горохов А.В. Интегралы по траекториям на компактных многообразиях Кэлера / В кн.: Теоретико групповые методы в физике. - М.: Наука. 1986. т.П. С . 399 - 410.

78. Gorokhov A.V. Path Integrals on Compact Kahler Manifolds /In book: Group Theoretical Methods in Physics. VNU Science Press. BV. Utrecht. 1986. V. 1. P. 595 - 608.

79. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. - 472 с.

80. Kuratsuji Н., Suzuki Т. Path Integral Approach to Many Body Systems and Classical Quantization of Time Dependent Mean Field // Suppl. Progr. Theor. Phys. 1983. V. 74 - 75, P. 209 - 220.

81. Gerry Ch. C. SU(1,1) Coherent States Dynamics . A Path Integral Approach // Phys. Rev. V. A 39. P. 971 975.

82. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и некоторые их применения // УФН., 1977. Т. 123. С. 23 55.

83. Клаудер Дж., Сударшан. Э. Основы кантовой оптики. М.: Мир. 1970.

84. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУю 1983. - 555 с.

85. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука. 1979 Т. 1. - 760 с.

86. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения -М.: Изд-во МГУ 1988. 413 с.

87. Grosche Ch. An Itroducrion into the Feynman Path Integral // arXiv:hep-th/9302097. 1993. 92 p.

88. Barut A.O., Bohm A. Dynamical Groups and Mass Formula // Phys. Rev. 1965. V. 139. p. B1107 B1112.

89. Грановский Я.И. О кулоновской поляризации вакуума // ЖЭТФ. 1976. Т. 70. С. 2035 2040.

90. Грановский Я.И., Димашко Ю.А. Осцилляторное представление в задаче Ландау о движении частицы в однородном поле // ЖЭТФ. 1975. Т. 68. С. 1991 1996.

91. Дмитриев В.Ф., Румер Ю.Б. Алгебра 0(2,1) и атом водорода // ТМФ. 1970. Т. 5. С. 226 280.

92. Fet A.I. The System of Elements from the Group Theoretical Point of View / Preprint N 1 of Organic Chemistry Institute. Novosibirsk. 1979. -44 p.

93. Wulfman C.E. Dynamical Groups in Atomic and Molecular Physics / in book: Group Theory and Its Application. V. II. E.M. Loebl ed. NY.: Academic Press. 1971. P. 145 197.

94. Lie Groups in Atomic and Molecular Spectroscopy // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 25. P. 186 192.

95. Xya JIo-Кен. Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях. М.: ИЛ. 1959. - 163 с.

96. Keller J.B. Corrected Bohr Sommerfeld Quantum Conditions for Nonseparable Systems // Ann. of Phys. (USA) 1958. V. 4. P. 180 - 188.

97. Прохоров Jl.В. Континуальные интегралы и контрчлены // ЭЧАЯ., 1982. Т. 13. С.1094 1146.

98. Горохов А.В. в кн.: Применение методов классической и квантовой теории к решению физических задач. Куйбышев. Изд-во КуГУ. 1983. С. 80 - 88.

99. Горохов А.В., Михайлов В.А. Когерентные состояния и интегралы по траекториям для динамической группы SU(N) // Изв. Вузов (Физика). 1985. Т.7. С. 59-64.

100. Kochetov Е., Mierzejewski М. BCS-type mean-field theory for the t-J model in the SU(2|1) superalgebra representation // Phys. Rev. 2000. V. В 61. P. 1580- 1581.

101. Горохов А.В. Генерация и разрушение квантовой когерентности // Теор. Физика (СамГУ). 2001. Т. 2. С. 74-85.

102. Горохов А.В. Когерентные состояния, интегралы по траекториям и квазиклассическая динамика // Теор. Физика (СамГУ) 2004. Т. 5. С. 81 - 93.

103. Birman J.L., Gorokhov A.V. Double Stratonovich Hubbard Trick and Novel Path Integral for System Of Interacting Fermions // Lect. Notes in Physics. - 1991. V. 382. P. 383 - 393.

104. Gorokhov A.V., Birman J.L. Novel Method for Calculating the Path Integral for the Partition Function of a Many-Fermion System //Europhys. Lett. 1991. V. 15. N 6. P. 615 620.

105. Gorokhov A.V. Grassmanian Hubbard Stratonovich Formula and Dynamical Supersymmetry of Interacting Fermions /In book: Symmetry Methods in Physics, ed. by Ya.A. Smorodinsky. Obninsk. 1992. P. 118 -120.

106. Birman J.L., Gorokhov A.V. Hubbard Stratonovich Tricks, Dynamical Superalgebras and Related Path Integral Problems / In book: "Path Integrals from mev to Mev". Dubna. 1996. P. 259 - 264.

107. Барут А., Рончка P. Теория представлений групп и ее приложения. -М.: Мир. Т.2 1980. 393 с.

108. Bars I., Giinaydin M. Unitary Representations of Noncompact Supergroup // Commun. Math. Phys. 1983. V. 91. P. 31 51.

109. Montorsi A., Rasetti M., Solomon A.I. Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 2243 . ; Intern. Journ of Modern Phys. 1989. V. B3. P. 247 - .

110. Arve P., Bertsch G., Lauritsen B. and Puddu G. Static Path Approximation for Nuclear Partition Functions // Ann. Phys. (USA). 183. P. 309 320.

111. Горохов А.В. Атомные конденсаты и атомный лазер // Соросовский Обр. Журн. 2001. N 1. С. 71 76.

112. Kozierowski М., Man'ko V.I., Chumakov S.M. Revivals in a Two Atom Single Mode // Physica A. 1989. V. 155. P. 254 - 264.

113. Альиерин M.M., Клубне Я.Д., Хижняк А.И. Введение в физику двухуровневых систем. Киев: Наукова думка. 1987. - 224 с.

114. Yamamoto Y., Imamoglu A. Mesoscopic quantum optics. New York. A Wiley-lnterscience Publication. 1999. - 301 p.

115. Alekseev K. N., Perina J. Squeezed states generation at the transition to quantum chaos // Phys. Rev. 1998. V. E 57. P. 4023-4034.

116. Луиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике. М.: Наука.- 1972. 398 с.

117. Лоудон Р. Квантовая теория света. М.: Мир. - 1976. - 488 с.

118. Хеймейкер P., Pay А. Суперсимметрия в квантовой механике / в кн.: Физика за рубежом. 1988. Серия Б (преподавание): Сборник статей.- М.: Мир. 1988. С. 80 - 102.

119. Schinitt Н.А., Mufti A. Dynamical supersymmetries of the Jaynes -Cummings hamiltonian // Optics Communications. 1990. V. 79. P.305- 308.

120. Balantekin A.B., Schmitt H.A., Halse P. Coherent states for the noncompact supergroups OSp(2\2N, R) // J. Math. Phys. 1989. V. 30. P.274 279.

121. Lee C.J. Spectroscopic Transitions in a Two Level Atom and supersymmetry //Phys. Lett. A. 1990. V. 145. P.177- 181.

122. Попов B.H., Ярунин B.C. Коллективные эффекты в квантовой статистике излучения и вещества. Л.: Изд-во ЛГУ. 1985. - 192 с.

123. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: в 10 т. T.III. Квантовая механика. М.: Наука. - 1989. - 768 с.

124. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука. 1973. - 703 с.

125. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: в 10 т. T.II Теория поля. М.: Наука. 1988. - 512 с.

126. Гришанин Б.А. Квантовая электродинамика для радиофизиков. М.: Изд-во МГУ. 1981. - 126 с.

127. Килии С.Я. Квантовая оптика: Поля и их детектирование. Минск: Навука i тэхшка. 1990. - 176 с.

128. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. М.: Мир. 1978. - 222 с.

129. Коварский В.А., Перельман Н.Ф., Авербух И.Ш. Многоквантовые процессы. М.: Энергоатомиздат. 1985. - 160 с.

130. Лисица М.П., Яремко A.M. Резонанс Ферми. Киев: Наукова Думка. 1984. - 264 с.

131. Smith D., Overend Т. Anharmonic Force Constants of Water // Spectrochim. Acta, A. 1972. V. 28. P.471 484.

132. Kuchitsu K., Morino Y. Estimation of anharmonic potential constants // Bull. Chem. Soc. Japan. 1965. V. 38. P.805 824.

133. Свердлов Л.М., Ковнер M.A., Крайнов Е.П. Колебательные спектры многоатомных молекул. М.: Наука. 1970. - 560 с.

134. Шуберт М., Вильгельми Б. Введение в нелинейную оптику. Т. 2. -Квантовофизическое рассмотрение. М.: Мир. 1979. - 512 с.

135. Глаубер Р. Когерентность и детектирование квантов. в кн.: Когерентные состояния в квантовой теории. - М.: Мир. 1972. - С.26 - 69.

136. Fatyga B.W., Kostelesky V.A., Nieto M.M., Truax D.R. Supercoherent states // Phys. Rev. 1991. V. D 43. P.1403 - 1412.

137. Смородииский Я.А., Шелепии А.Л., Шеленин Л.А. Групповые и вероятностные основы квантовой теории // УФН. 1992. Т. 162. С.1 -95.

138. Fatyga B.W., Kostelesky V.A., Nieto М.М., Truax D.R. Supercoherent States and Physical Systems / in: Workshop on Squeezed States and Uncertainty Relations, NASA Conference Publications 3135. -Washington, D.C. 1992. P. 261 267.

139. Kostelesky V.A., Campbell D.K. Introduction and overview of supersymmetry in physics // Physica 1985. V. 15D. P.3 21.

140. Gorokhov A.V., Rogacheva E.V. Hubbard Stratonovich Formula, Path Integrals and Effective Dynamical (Super)Algebras // VII Intern. Conf. on Symmetry Methods in Physica - Dubna. 1995. P. 23.

141. Горохов A.B., Рогачева E.B. Когерентные состояния па супергруппе OSp(212) и континуальный интеграл в моделях двухуровневого атома. // Вестник Самарского государственного университета. Снец.выиуск. 1995. С. 99 108.

142. Генденштейн Л.Е., Криве И.В. Суиерсимметрия в квантовой механике // УФН. 1985. Т. 146. С.553 590.

143. Белобров П.И., Заславский Г.М., Тартаковский Г.Х. // ЖЭТФ, 1976, Т. 71. С. 1799-1806.

144. Ораевский А.Н. Динамика одномодовых лазеров и динамический хаос // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4. С. 3 42.

145. Ханин Я.И. Основы динамики лазеров. М.: Наука. Физматлит. 1999. 368 с.

146. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука. 1988. - 368 с.

147. Berry M.V. Quantum Chaology // Proc. Roy. Soc. London. 1987.- V. A 413. P. 183-198.

148. Елютин П.В. Проблема квантового хаоса // УФН. 1988. Т. 155. С. 397 480.

149. Gutzwiller М.С. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. New York, Springer-Verlag. 1990. - 382 p.

150. Steiner F. Quantum Chaos //Preprint DESY 94-013, 1994. 94 p.

151. Peres A. Quantum Theory: Concepts and Methods Kluwer Academic Publishers. N.Y. 2002. - 463 p.; Peres A., Terno D.R. Quantum Information and Relativity Theory // Rev. Mod. Phys. 2004. V.76. P. 93 - 123.

152. Classical Chaos and Its Quantum Manifestations / Special Issue of Physica D in honor of Boris Chirikov. Ed. by Bellisard J., Boliigas O., Casati G., Shepelynsky D.L.// LANL Preprint: cond-mat/9903412, 1999.

153. Гилмор P. Прикладная теория катастроф. M.: Мир. 1984. Т.2. - 285 с.

154. Alekseev K.N. Squeezed light generation in nonlinear system with chaotic dynamics // Opt. Commun. 1995. V. 116. P. 468 -477.

155. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика: в 10 т. T.IV / Берестецкий В.В., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. 3-е изд., исир. - М.: Наука. 1989. - 728 с.

156. Пранц С.В., Коньков Л.Е. Карта динамического хаоса для сильно связанной атомно полевой системы // Изв.РАН 1996. Т. 60. С. 551 -554.

157. Prants S.V., Yacoupova L.S. The Jaynes Cummings model with modulated field - atom coupling in resonator quantum electrodynamics // Journal of Modern Optics. 1992. V. 39. P.961 - 971.

158. Graham R., Hohnerbach M. Quantum chaos of the 2-level atom // Acta Physica Austriaca. 1984. V.56. P.45 56.

159. Fox R.F., Eidson J.C. Quantum Chaos and Periodically perturbed Eberly-Chirikov Pendulum // Phys.Rev. 1986. V. A 34. P. 482 492.

160. Fox R.F., Eidson J.C. Systematic corrections to the rotating wave approximation and quantum chaos // Pys. Rev. 1987. V. A 36. P. 4321 -4329.161162163164165166167168169170171

161. Badii R., Brun E., Finardi M., Flepp L., Holzner R., Parisi J., Reyl C., Simonet J. Progress in the analysis of experimental chaos through periodic orbits // Rev. of Mod. Phys. 1994. V. 66. P. 1389 1415.

162. Botina J., Rabitz H., Rahman N. Optimal control of chaotic hamiltonian dynamics // Phys. Rev. 1995. V. A 51. P.923 933.

163. Акулин B.M., Карлов H.B. Интенсивные резонансные взаимодействия в квантовой электронике. М.: Наука. 1987. - 312 с.

164. Nath A., Ray D.S., Global critical instability in atom field interaction // Phys. Lett. 1986. V. A 117. P.341 344.

165. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир. 1990. - 512 с.

166. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир. 1990. - 312 с.

167. Лихтенберг А., Либерман М.// Регулярная и хаотическая динамика. М.: Мир. 1984. 528 с.

168. Шустер Г.Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир. - 1988. -240 с.

169. Алексеев К.Н., Берман Г.П., Цифринович В.И., Фишман A.M. Динамический хаос в магнитных системах // УФН. 1992. Т. 162. С. 81 -118.

170. Алексеев К.Н., Берман Г.П. Переходный динамический хаос при взаимодействии электромагнитного поля с двухуровневыми атомами // ЖЭТФ. 1994. Т. 105. С. 555 567.

171. Горохов А.В., Ручков В.В. Квантовый хаос в "одетой" модели Дике // Изв. РАН, серия физическая. 1994. Т. 58. С. 201 - 205.

172. Горохов А.В., Рогачева Е.В. Хаос в квантовых системах // Теор. Физика (СамГУ). 2000. Т.1. С. 93 98.

173. Горохов А.В., Ручков В.В. Расчет максимального показателя Ляпунова для двухуровневых моделей квантовой оптики с учетом диссипации // Теор. Физика (СамГУ). 2000. т. 1. С. 99 105.

174. Gorokhov A.V. Chaos and Squeezing in Several Models of Quantum Optics // Proc. SPIE. 2000. v. 4061. P. 58 65.

175. Горохов А.В. Когерентные состояния, хаос и сжатие в моделях квантовой оптики // Изв. РАН, серия физическая. 2000, Т. 64. С. 2037 -2046.

176. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.: Издательство МГУ. 1983. - 208 с.

177. Ramond P. Supersymmetry in Physics: an algebraic overview // Physica. 1985. V 15D. P.25 41.

178. Ибрагимов H.X. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука. 1983. 280 с.

179. Пиинард А. Физика колебаний. Квантово-мехапические системы. М.: Высшая школа, 1989.- 264 с.

180. Фрадков А.Л., Якубовский О.А. (ред.) Управление молекулярными и квантовыми системами. Сб. статей. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. - 416 с.

181. Горохов А.В., Николаева О.П. Уравнение Фоккера Планка в задаче о релаксации спиновых систем / В кн.: Применение методов классической и квантовой теории к решению физических задач. Куйбышев. Изд. Куйбышевского ГУ. 1983. С. 107 - 113.

182. Kazumasa Т. Lectures on Path Integral Coherent States Representation. Sorusiron Kenku. 1980. V. 62. P. 1-24.

183. Брусов П.Н., Попов В.Н. Сверхтекучесть и коллективные свойства квантовых жидкостей. М.: Наука. 1988. 216 с.

184. Hillery М., Zubary M.S. Path integral approach to problems in quantum optics //Phys. Rev. V. A 26. P. 496 505.

185. Loudon R. The Quantum Theory of Light. N.Y. London. Oxford University Press. 1985. - 456 p.

186. Delburgo R. Minimal Uncertainty States for the Rotation and Allied Groups // J. Phys. A: Math. Gen. 1977. V.10. P.1837-1846.

187. Delburgo R., Fox J.R. Maximum Weight Vectors Possess Minimal Uncertainty //J. Phys. A: Math. Gen. 1977. V.10. P. L233 L235.

188. Переломов A.M. Описание обобщенных когерентных состояний, наиболее близких к классическим // Ядерная физика. 1979. Т.29. С. 1688 1696.

189. Летохов B.C., Чеботаев В.П. Нелинейная лазерная спектроскопия сверхвысокого разрешения.- М.: Наука. 1990. 512 с.

190. Агапьев Б.Д., Горный М.Б., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В. Когерентное иленение населенностей в квантовых системах //УФН. 1993. Т.163. С.1-36.

191. Михайлов В.А. Обобщенные когерентные состояния для группы SU(3) и динамика трехуровневых систем. Применение методов классической и квантовой теории к решению физических задач /Межвузовский сб.- Куйбышев. 1983. С.113-117.

192. Elgin J.N. Semiclassical Formalism for the Treatment of Three-Level System // Phys.Letters. 1980. V.80A. P. 140 142.

193. Рождественский Ю.В. Динамика трехуровневого атома в иоле двух стоячих световых волн//Опт. и спектр. 1990.- Т.69. С. 247 251.

194. Пранц С.В., Якунова Л.С. Временная эволюция трехуровневого атома в иоле лазерных импульсов //Опт. и спектр. 1990. Т.69. С. 964 -970.

195. Корсунский Е.А., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В. Временная эволюция атомных населенностей в трёхуровневых системах // ЖЭТФ. 1991. Т.100. С. 1438 1448.

196. Rai J., Mehta C.L. Boson representation for n-level quantum system //Optics Communication. 1982. V.42. P. 113 115.

197. Klauder J.R. Path integrals and stationary-phase approximations // Phys.Rev. 1979. V. D 19. P. 2349 2356.

198. Kuratsuju H., Suzuki T. Path integral in the representation of SU(2) coherent state and classical dynamics in a generalization phase space // J. Math.Phys. 1981. V.22. P. 472 476.

199. Kuratsuju H., Mirabuchi Y. A semiclassical treatment of path integrals for the spin system // J. Math. Phys. 1981. V. 22. P. 757 764.

200. Новиков Л.Ф. Когерентные состония на группах Ли и оператор эволюции системы взаимодействующих бозонов и фермионов // ТМФ. 1977. Т.ЗО. С. 218 227.

201. Горохов А.В. Континуальные интегралы в представлении когерентных состояний на группах Ли. Динамика систем, взаимодействующих с бозонным полем /В кн.: Теоретико-групповые методы в физике.- М.: Наука. 1980. Т.1. С. 249 256.

202. Горохов А.В. Когерентные состояния на группах Ли и интегралы по траекториям /В кн.: Теоретико-групповые методы в физике.- М.: Наука. 1983. Т.2. С. 201 209.

203. Marinov М. S. Path integral on homogeneous manifolds // J. Math. Phys. 1995. V. 36. P. 501-512.

204. Marinov M. S. Path Integrals in Phase Space / in Lectures on Path Integration: Trieste 1991. ed. by H. Cerdeira et al. World Sci. Singapore. 1993. P. 84 123.

205. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. М.: Наука. 1976. - 192 с.

206. Березин Ф.А. Квантование.//Изв. АН СССР. сер. матем. 1974. Т.38, С. 1116 1175.; Березин Ф.А. Квантование в комплексных симметричных пространствах. // Изв. АН СССР. сер. матем. 1975. Т.39. С. 363- 402.

207. Брайловский А.Б., Вакс В.А., Митюгов В.В. Квантовые модели релаксации // УФН. 1996. Т.166. С. 795 800.

208. Davies Е.В. Quantum Theory of Open System. New York: Academic Press. 1976. - 412 c.

209. Блум К. Теории матрицы плотности и ее приложения.- М.: Мир. 1983.248 с.

210. Файн В.Н. Фотоны и нелинейные среды./В кн. Квантовая радиофизика. Т.1.- М.: Сов. радио. 1972. 472 с.

211. Альиерин М.М., Клубис Я.И., Хижняк А.И. Введение в физику двухуровневых систем. Киев: Наукова думка. 1987 - 224 с.

212. Барьяхтар В.Г., Петров Э.Г. Кинетические явления в твердых телах.- Киев: Наукова думка. 1989.- 296 с.

213. Лэкс М. Флуктуации и когерентные явления.- М.: Мир. 1974.-300 с.

214. Хакен Г. Лазерная светодинамика.- М.: Мир. 1988.- 350 с.

215. Зельдович Б.Я., Переломов A.M., Попов B.C., Релаксация квантового осциллятора //ЖЭТФ. 1968. Т.55. С. 586 606.

216. Зельдович Б.Я., Переломов A.M., Попов B.C., Релаксация квантового осциллятора при наличии внешней силы //ЖЭТФ. 1969. Т.57. С. 196- 206.

217. Белавин А.А., Зельдович Я.Б., Переломов A.M., Попов B.C. Релаксация квантовых систем с эквидистантным спектром // ЖЭТФ. 1969. Т.56. С. 264 275.

218. Goldstein E.V., Meystre P. Dipole Dipole Interaction in Optical Cavities // Phys. Rev. 1997. V. A 56. P. 5135 - 5146.

219. Agarwal G.S. Quantum statistical theories of spontaneous emission and their relation to other approaches // Springer Tracts in Modern Physics. 1973. V. 70. P. 129 136.

220. Narducci L.M., Bowden C.M., Bluemel V., Garrazana G.P., Tuft R.A. Multitime-correlation functions and the atomic coherent state representation //Phys. Rev. 1975. V. A 11. P. 973 - 980.

221. Зверев В.В. Управляющее уравнение сверхизлучения для системы многоуровневых молекул (теоретико-групповой подход) // Опт. и спектр. 1983. Т.54, С. 987 992.

222. Risken Н. The Fokker-Plank equation.- Berlin: Springer. 1984.- 346p.

223. Петров В.Э., Решетняк С.А., Третьяков Г.Н., Шелепин JI.A. Многомерное уравнения Фоккера-Планка и их решение // Труды ФИАН. 1980. Т.124. С. 75 96.

224. Горохов А.В., Михайлов В.А. Уравнение Фоккера Планка для обобщенной модели Дикке /в кн.: Статистическая механика и теория фазовых переходов. Межведомственный сб. - Куйбышев. 1989. С. 118 -127.

225. Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. М.: Физмат-лит. 2001. - 232 с.

226. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику.- М.: Наука. 1981. 640с.

227. Haken Н. Light. Volume 2 Laser Light Dynamics. 1985. N-Y.: North -Holland Phys Publ. - 336 p.

228. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования.- М.: Наука. 1986.- 320 с.

229. Горохов А.В., Михайлов В.А. Уравнения Фоккера- Планка в процессах релаксации многоуровневых систем. / В кн. Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов международного семинара,- Самара: СамГУ. 1996.- С. 17.

230. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Fokker-Planck equations method in theory of multilevel atoms relaxation //Proc. SPIE. 1997. V.3239. P. 256 260.

231. Горохов А.В., Михайлов B.A. Уравнение Фоккера- Планка в процессах релаксации многоуровневых систем /В кн. Дифференциальные уравнения и их приложения. Труды второго международного семинара.- Самара: Изд-во Самарский университет. 1998. С. 26 33.

232. Gorokhov А.V., Mikhailov V.A. Quantum relaxation of n-level system // High energy physics and quantum field theory. XH-th workshop on high energy physics and quantum field theory. Proceedings, ed. by B.B. Levtchenko. Moscow. 1999. P. 477 - 481.

233. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественнных науках.- М.: Мир. 1986. 528 с.

234. Боголюбов Н.Н., Козеровски М., Куанг Чан, Шумовский А.С. Новые эффекты в квантовой электродинамике //Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1988. Т. 19. С. 831 863.

235. Gardiner C.W. Inhibition of atomic phase decays by squeezed light: a direct effect by squeezing // Phys.Rev.Lett. 1986. V.56. P. 1917 1920.

236. Polzik E.S., Carri J., Kimble H.J. Spectroscopy with Squeezed Light // Phys.Rev.Let. 1992. V.68. P. 3020 3023.

237. Dupertuis M.-A., Stenholm S. Rigged-reservoir response. I. General theory // J. Opt.Soc.Am.B. 1987. V.4. P. 1094 1101.

238. Dupertuis M.-A., Barnett S.M., Stenholm S. Rigged-reservoir response.1.. Effects of squeezed vacuum // J.Opt.Soc.Am.B. 1987. V.4. P. 1102 -1108.

239. Dupertuis M.-A., Barnett S.M., Stenholm S. Rigged-reservoir response.

240. I. Multiatiom squeezed status // J.Opt.Soc.Am.B. 1987. V.4. P. 1124 -1129.

241. Горохов А.В., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневых атомов, взаимодействующих со сжатым термостатом и квантовый принцип суперпозиции // Световое эхо и пути его практических применений. IV Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов.- Куйбышев. 1989. С. 59.

242. Горохов А.В., Михайлов В.А. Сжатые флуктуации термостата и кинетика двухуровневых атомов // Вестник Самарского гос. технич. университета. 1996. N 4. С. 101 106.

243. Meystre P., Sargent М. Elements of quantum optics.- Berlin: Springer. 1990. 484 p.1.thenhaus N., Cirac J.I., Zoller P. Mimicking a Squeezed Bath Interaction: Quantum Reservoir Engineering with Atoms //Phys. Rev. 1998. V. A 57. P. 548 558.

244. Hegerfeldt G.C., Sachse T.I., Sondermann D.G. Unusual Light Spectra from a Two-Level Atom in Squeezed Vacuum // Quant. Semiclass. Opt. 1997. V.9. P.l-16.

245. Ахманов C.A., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику.- М.: Наука.- 1981. 578 с.

246. Петров Э.Г., Тесленко В.И. Кинетические уравнения для квантовой динамической системы, взаимодействующей с термостатом и случайным полем // ТМФ. 1990. Т. 84. С. 446 458.

247. Gorokhov A.V., Mikhailov V.A. Quantum kinetik of system interacting with heat bath and stochastic field // Symmetry Methods in Physics. Obninsk. 1992. P. 120.

248. Горохов А.В., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем // Теоретическая физика. 2000. Т. 1. С. 54 62.

249. Шредиигер Э. Современное положение в квантовой механике, //в сб. Шредингер Э. Новые пути в физике.-.М.: Наука. 1971.

250. Шаииро В.Е., Логинов В.Н. Динамические системы при случайных воздействиях.- Новосибирск: Наука. 1982.- 160 с.

251. Petrov E.G., Teslenko, Goychuk I.A. Stochastically averaged master equation for a quantum-dynamic system interactivy with a thermal bath //Phys. Rev. 1994. V. E 49. P. 3894 3902.

252. Goychuk I.A. Kinetic equation for a dissipative quantum system driven by dichotomic noise //Phys. Rev. 1995. V. E 51. P. 6267 6270.

253. Goychuk I.A., Petrov E.G. Dynamics of the dissipative two-level system driven by external telegraph noise // Phys. Rev. 1995. V. E 52. P. 2392 2400.

254. Petrov E.G., Goychuk I.A., May V. Effective transfer rate for a dissipative two-level system driven by regular and stochastic field // Phys. Rev. 1996. V. E 54. P. 4500 4503.

255. Feynman R.P. An operator calculus having applications in quantum electrodynamics //Phys.Rev. 1951. V.84. P. 108 128.

256. Wilcox R.H. Exponential Operators and Parameter DifTerentianion in Quantum Physics // J.Math.Phys. 1967. V.8. P. 962 982.

257. Горохов A.B., Михайлов В.А. Квантовая кинетика параметрически возбуждаемого многомодового осциллятора / Световое эхо и пути его практических применений. IV Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов.- Куйбышев. 1989. С.60.

258. Горохов А.В., Михайлов В.А. , Ручков В.В. Кинетика параметрического осциллятора в бане со сжатыми флуктуациями / Световое эхо и проблемы когерентной оптики.Межведомственный сб.науч. статей.-Куйбышев. 1990. С. 134 142.

259. Горохов А.В., Михайлов В.А. Метод асимптотического разложения для уравнения Фоккера-Планка в теории когерентной релаксации двухуровневых атомов // Естествознание. Экономика. Управление. 2002. Т.1. С. 36-42.

260. Gorokhov A.V. Fokker Planck Equations for Quantum Amplifiers and Squeezing //Proc. SPIE. 2001. V. 4243. P. 173 - 180.

261. Berry M.V. Quantum fractals in boxes // J.Phys.A: Math.Gen. 1996. V.29. P. 6617-6629.

262. Yeazell J.A., Stroud C.R. Observation of fractional revivals in the evolution of a Rydberg atomic wave packet // Phys.Rev. 1991. V. A 43. P. 5153-5156.

263. Vrakking M.J.J., Villeneuve D.M., Stolow A. Observation of fractional revivals of a molecular wavepacket // Phys.Rev. 1996. V. A 54. P. 37 -40.

264. Wojcik D., Bialynicki-Birula I., Zyczkowski K. Time evolution of quantum fractals // Phys.Rev.Lett. 2000. V. 85. P. 5022 5026.

265. Шайкин А.В., Горохов А.В. Квантовые фракталы // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия: Сборник статей. Казань, 2001. С. 57 63.

266. Eckhardt В. Irregular scattering // Physica. 1984. V. D 33. 89 p.

267. Ketzmerick R. Fractal conductance in generic chaotic cavities // Phys.Rev. 1996. V.B 54. P. 10841 10847.

268. Casati G., Guarneri I., Maspero G. Fractal survival probability // Phys.Rev.Lett. 2000. V.84(l). P. 2000 -20012.

269. Abbott L.F., Wise M.B. Dimension of quantum-mechanical path // Am.J.Phys. 1981. V.49(l). P. 37 46.

270. Kroger H. Fractal geometry in quantum mechanics, field theiry and spin systems // Phys.Rep. 2000. V.323(2). P. 818 881.

271. Hall M.J. Raineker M.S., Schleich W.P. Untraveling quantum carpets: a travelling-wave approach // J.Phys.A. 1999. V.32. P. 8275 8291.

272. Wojcik D., Zyczkowski K. // Fractal carpets in a quantum well // xxx.itep.ru. arXiv: math-ph/0107030. 2001. 17 p.

273. Weierstrass F. / Mathematische Werke II. -Berlin: Mayer und Muller, 1895. P. 71 74.

274. Hardy. Weierstrass's non-differentiable function // Trans, of AMS. 1916. V.17. 301 p.

275. Мессиа А. Квантовая механика. Т. 1. M: Наука. 1978. 480 с.

276. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. - 512 с.

277. Berry M.V., Klein S. Integer, Fractional and Fractal Talbot Effects // J.Mod.Opt. 1996. V.43(10) P. 2139 2164.

278. Nowak S. et al. Higher-Order Talbot Fringes for Atomic Matter Waves // Opt. Lett. 1997. V.22. P. 1430 1432.

279. Горохов А.В., Афанасьев А.С., Шайкин А.В. Криптоалгоритм на основе хаотических функций // Известия Белорусской инженерной академии. 2003. 1 (15)/2 , с. 231 237.

280. Gorokhov А.V., Sinaiski I.E. Exact Solution of the Jaynes Cummings Model with Relaxation // Proc. SPIE. 2003. V. 5476, P. 91 - 98.

281. Горохов A.B., Синайский И.Е. Точное решение модели одноатомного мазера // Теор. Физика (СамГУ) 2003. Т. 4. С. 99 107.

282. Горохов А.В., Синайский И.Е. Метод уравнения Фоккера Планка и статистика фотонов в теории одноатомного мазера // Изв. РАН. (Серия физическая). 2004. N. 68. С. 1288 - 1291.

283. Singh S. Field statistics in some generalized Jaynes-Cummings models // Phys. Rev. 1982. A 25. P. 3206- 3216.

284. Eberly J.H., Narozhny N.B., Sanches-Mondragon J.J. Periodic spontaneous collapse and revival in a simple quantum model // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 44, P. 1323-1326.

285. Raithel G., Wagner C., Walther H., Narducci L.M, Scully M.O. The micromaser: a providing ground for quantum physics // Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics, P. Berman, ed.- N.Y.: Academic. 1994. Suppl. V. 2. P. 57 121.

286. Walther H. Single Atom Experiments in Cavities and Traps // Proc. R. Soc. 1998. V. A 454. P. 431 445.

287. Agarwal G.S., Puri R.R. Exact quantum electrodynamics results for scattering, emission, and absorption from a Rydberg atom in a cavity with arbitrary Q // Phys. Rev. 1986. V. A 33. P. 1757 1764.

288. Алискендеров А.И., Шумовский A.C., Xo Чунг Зунг. Квантовые эффекты взаимодействия атома с излучением // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1993. Т. 24. Часть 2. С. 409-463.