Динамика и релаксация атомов и атомных систем во внешних полях

Семин, Виталий Владимирович

Динамика и релаксация атомов и атомных систем во внешних полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

Семин, Виталий Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.21 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Динамика и релаксация атомов и атомных систем во внешних полях»

Автореферат диссертации на тему "Динамика и релаксация атомов и атомных систем во внешних полях"

На правах рукописи

004ЫНО7О

Семин Виталий Владимирович

ДИНАМИКА И РЕЛАКСАЦИЯ АТОМОВ И АТОМНЫХ СИСТЕМ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ

01.04.21 - Лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 2 ДЕН 2010

Самара - 2010

004614896

Работа выполнена в Самарском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Горохов Александр Викторович,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Гайнутдинов Ренат Хамитович,

доктор физико-математических наук, Решетов Владимир Александрович

Ведущая организация: Саратовский государственный

университет им. Н.Г. Чернышевского

Защита диссертации состоится "17" декабря 2010 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.218.01 в Самарском государственном университете по адресу: 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова 1, СамГУ, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан " /Ь "• ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Жукова В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

В современной квантовой оптике и лазерной физике значительное внимание уделяется как теоретическому, так и экспериментальному исследованию взаимодействия отдельных атомов и простейших атомных систем с электромагнитным полем. Подобный интерес обусловлен рядом объективных причин, главные из которых сводятся к следующему.

Теоретическое описание таких систем является достаточно простым. Действительно, реальный атом в резонансном лазерном поле можно заменить простейшей моделью - двухуровневой квантовой системой, в которой из всего набора атомных уровней выделены лишь два, частота перехода между которыми близка к частоте лазерного поля. Такая модель атома широко распространена в квантовой оптике, благодаря тому, что она является точно решаемой.

Кроме того, исследование самых простых квантовых систем, таких как одиночный атом во внешнем лазерном поле, перестает быть чисто теоретическим, поскольку современный технический уровень позволяет проводить прецизионные эксперименты с отдельными атомными частицами. При этом точность проводимых экспериментов все время возрастает. Это ставит задачу теоретического учета все более и более тонких эффектов.

С другой стороны все результаты, которые получены в квантовой оптике для модели двухуровневого атома, могут быть непосредственно распространены на другие области физики, например, на физику квантовых точек. В этих областях динамика объектов подчиняется управляющим уравнениям, аналогичным по структуре уравнениям, квантовой оптики, однако значения параметров системы, таких как переходные дипольные моменты и т.п., могут иметь абсолютно другие значения. Данный факт может привести к существенно иной динамике, что требует исследования влияния подобных "аномальных" параметров на протекание процессов в системе. Существенным же здесь является факт, что объекты, подо&ые квантовым точкам, ядерным спинам, органическим молекулам, сверхпроводящим кольцам и др., в некоторых случаях можно моделировать двухуровневой квантовой системой, которую мы будем называть в дальнейшем обобщенным термином "двухуровневый атом".

В квантовой информатике модель двухуровневого атома является фундаментальной, поскольку представляет собой квантовый аналог бита - кубит. С этой позиции описание поведения кубита в полях различного типа является первостепенной задачей.

ставляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных полях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.

Свет, испущенный двухуровневым атомом при взаимодействии с резонансным лазерным полем, проявляет ряд сугубо неклассических эффектов, например, таких как антигруппировка и сжатие света, расщепление спектральных линий. С этой позиции принципиальный интерес представляет распространение теории, развитой для одиночного атома, на случай системы взаимодействующих атомов.

Одним из основных предположений при решении задач квантовой оптики и лазерной физики является предположение о марковском характере протекания случайного процесса. Результаты, полученные в марковском приближении, хорошо согласуются с экспериментальными данными при рассмотрении многих оптических явлений. Иначе обстоит дело в новых направлениях развития физики, таких как физика квантовых точек. В системах квантовых точек память при взаимодействии с окружением может быть достаточно длинной, что в свою очередь не позволяет пренебрегать ею. В этой связи представляется актуальной задача обобщения существующих уравнений на случай наличия у системы памяти.

Цель диссертационной работы

Цель диссертационной работы заключается в исследовании влияния тепловых, лазерных и стохастических полей, а также эффектов памяти на динамику и релаксацию двухуровневых атомов и систем, состоящих из двух идентичных диполь-дипольно взаимодействующих двухуровневых атомов.

Для достижения поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• На основании методов квантовой теории открытых систем построить уравнение, описывающее динамику одиночного двухуровневого атома и системы из двух диполь-дипольно взаимодействующих двухуровневых атомов во внешних тепловом, лазерном и стохастических полях.

• Изучить влияние указанных полей на вероятности заселения уровней атомных систем, а также проанализировать их влияние на спектральные свойства излучения рассматриваемых систем.

• Обобщить марковские динамические уравнения на случай систем с кратковременной памятью.

• Проанализировать наличие эффектов памяти в спектре излучения двухуровневого атома и системы двух взаимодействующих двухуровневых

атомов.

Научная новизна

Научная новизна диссертации заключается в том, что

• Выявлено влияние стохастических полей на спектр резонансной флуоресценции двухуровневого атома.

• Впервые получено уравнение для двух диполь-дипольно взаимодействующих атомов во внешних тепловом, лазерном полях с учетом шумовой компоненты лазерного поля.

• Аналитически построен контур линии излучения системы взаимодействующих атомов и описано влияние указанных полей на его форму.

• Впервые дано обобщение известного квантового кинетического уравнения для взаимодействующих двухуровневых атомов при наличии кратковременной памяти.

• Обнаружены деформации спектральной линии излучения взаимодействующих атомов, вызванные наличием памяти.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаев; сравнением с экспериментом, а также совпадением результатов, полученных разными методами.

Научная и практическая значимость результатов

1. Найденные аналитические выражения для спектров излучения взаимодействующих атомов позволяют определять величину дипольных моментов частиц по их спектрам, а также расстояние между ними.

2. Развит общий подход к описанию диссипативных систем с кратковременной памятью, сводящий интегро-дифференциальное уравнение Накашимы-Цванцига к замкнутому дифференциальному уравнению. Этот подход может быть применен для решения других задач квантовой оптики.

3. Полученные в диссертации результаты могут использоваться в учебном процессе при подготовке студентов и магистров, специализирующихся по теоретической физике, лазерной физике и оптике.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Квантовые кинетические уравнения, описывающие динамику двухуровневых атомов во внешних тепловом и лазерном полях, а также атомных систем, состоящих из двух взаимодействующих двухуровневых атомов во внешних тепловом и лазерном полях в марковском и немарковском случаях и их решения.

2. Точные выражения для формы спектральных линий двухуровневого атома и системы двухуровневых атомов во внешних полях как с учетом, так и без учета эффектов памяти.

3. Деформация контура линии излучения в системе двух взаимодействующих атомов при учете эффектов памяти, проявляющаяся как в смещении максимумов, так и в изменении их величин.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: X Международных чтениях по квантовой оптике (Самара, 2007); XI и XII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород, 2008, 2010); Всероссийской молодежной конференции "VI Самарский конкурс научных работ по оптике и лазерной физике" (Самара, 2008); Тринадцатой международной молодежной научной школе "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2009); IX Международном симпозиуме по фотонному эху и когерентной спектроскопии (Казань, 2009); Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительная физика" (Дубна, 2009), семинаре "Теоретическая и математическая физика" (Самара, 2009), Международная школа для студентов и молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 2008, 2009, 2010), Второй международной конференции "Математическая физика и ее приложения "(Самара, 2010); а также на научно-практических конференциях и семинарах в Самарском государственном университете и Казанском государственном университете им. Ульянова-Ленина.

Работа над диссертацией поддержана стипендией фонда Дмитрия Зимина "Династия" в 2008 г.; грантом Министерства образования и науки Самарской области для студентов, аспирантов и молодых ученых 2010 года (JYS 234Е2.2А). Часть результатов получены при краткосрочных командировках в Казанский государственный университет им. Ульянова-Ленина в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" в 2009 и 2010 годах.

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Личное участие автора

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Объем и структура диссертации

Диссертация изложена на 116 с. печатного текста (в том числе 39 рисунков). Она состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 122 наименования. Общий объем диссертации -137 страниц текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность настоящего исследования, сформулированы цель работы, выбор объекта и методов исследования.

В первой главе на основе имеющихся литературных источников рассмотрено явление резонансной флуоресценции. Дано качественное объяснение особенностей спектральных линий. Сделан обзор экспериментов по резонансной флуоресценции, проведенных с коллимированными пучками атомов, ионами в ионных ловушках, а также с квантовыми точками.

Во второй главе рассматривается двухуровневый атом во внешних полях. Первый раздел данной главы посвящен выводу кинетического уравнения Накашимы-Цванцига в общем виде, которое широко применяется в квантовой теории релаксации, однако представляет формальный интерес, поскольку его решения не известны.

Второй раздел данной главы посвящен релаксации двухуровневого атома во внешнем лазерном поле при конечной температуре резонатора. Показано, что общее уравнение Накашимы-Цванцига для матрицы плотности системы

путем итераций сводится к следующему операторно-кинетическому уравнению

^ = —[Нгед^рШ - | {[0-_0+р(«) - 2<7+р(*)<Г_ + р(4)<7_СТ+]ЛМ-

+ [<Т+<Т-Р® - 2сг_р(г)сг+ + р(*)<т+<7--](# + 1)} , (1)

где Нгед = + £(()о_) - гамильтониан взаимодействия атома с полем,

7 - постоянная распада, <7± - повышающий и понижающий атомные операторы, N — ^ехр (^¡^ — 1] - среднее число бозонов в резервуаре на частоте атомного перехода ш0, кь- постоянная Больцмана и Т - температура.

операторы, N = ехр — 1 - среднее число бозонов в резервуаре на частоте атомного перехода и>о, кь - постоянная Больцмана и Т - температура.

Из решения кинетического уравнения (1) получено выражение для контура линии излучения в виде

= 16(27^7 + ис)е + (4£2 + РМ^е + (Р - шс)^)ыс) ( ) { ' СТ(3£> - - 4шс) (31) + /х - 4гшс)шстг ' 1 1

где параметры определяются следующим образом: С = (2Ы + 1)272 + 8£2, Б = (2И + 1)7, Р = О — 2гшс, и>с = ы — шо, С - частота Раби внешнего поля. При ТУ = 0 полученная формула переходит в хорошо известный спектр Моллоу.

Видно, что рост температуры приводит к эффективному возрастанию ширины спектральной линии. Данный факт представлен на рис. 1.

Рис. 1: Влияние температуры на контур линии излучения. Непрерывная линия: N = 0.3, £о = 4, 7 = 1, пунктирная линия: то же при нулевой температуре (триплет Моллоу)

Третий раздел посвящен обобщению предыдущего результата на случай наличия в системе стохастических полей, которые представляют собой шумы лазерного поля. Вводятся поля двух типов. Поля первого типа С вызывают случайные переходы между уровнями, поля второго типа вызывают дрожание уровней. Оба типа стохастических полей моделируются оптическим белым шумом, с корреляционными свойствами вида

« адвд »= 2|5(г! - ¿2),

« Св)С(*2) »=« ШФ2) »= - к), (3)

«ШШ »=« ШШ »= о

где ст^, <т2 - дисперсии соответствующих процессов (интенсивность шума) и ^п, ^с - частоты внешних воздействий на исследуемую систему.

Операторно-кинетическое уравнение для атома во внешних лазерном и стохастических полях вида (3)

+ [<т+(т-р{г) - 2<т-р(£)сг+ + р(4)<т+<г_](Л + 1)} + (4)

( 2

+ —2— [а0а0р{¿) - а0р(г)а0] -

<ТС2

—2— [<т_<т+р^) - 0-р{£)0+ + а+(Т-р^) - сг+р^)ст_ + /г.с.] Ч

0.50 0.48 0.46 <£ 0.44 0.42 0.40. 0.38

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 \у

Рис. 2: Вероятности возбуждения верхнего уровня для различных интенсивностей стохастического поля (. Штрихпунктирная линия: а^/и^ = 0, ,/У=1,£о = 1,7 = 1; пунктирная линия: о^/г^ = 0.1, N = 1, £0 = 1, 7 = 1 ; непрерывная линия: а^/ц = 0.2, N = 1, = 1, 7 = 1. Для всех случаев раа = рьь = 1/2, ра6 = раЬ = 1/2, стп/^п = О

0.50 0.48 0.46 | 0.44 0.42 0.40 0.38

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 I у

Рис. 3: Вероятности возбуждения верхнего уровня для различных интенсивностей внешнего поля П. Штрихпунктирная линия: ап/ип = О, N = 1, £о = 1, 7 = 1; пунктирная линия: (Тя/^п = 0.1,ЛГ = 1, непрерывная линия: аа/щ = 0.2, N = 1. Для всех случаев Раа = РЬЬ - 1/2, раЬ = раЬ = 1/2, 2<7(/^( = О

Матричные элементы оператора плотности представляют собой вероятности возбуждения соответствующих уровней. Вероятности возбуждения верхнего уровня для различных значений интенсивностей стохастических полей приведен на рис. 2 и рис. 3. Видно, что с ростом интенсивности обоих

видов стохастических полей незначительно повышается вероятность возбуждения верхнего уровня в стационарном режиме.

Из решения данного уравнения аналитически построен контур линии излучения. Показано, что влияние стохастического поля С аналогично влиянию температуры. Поле О приводит к незначительным деформациям спектральной линии (см. рис. 4).

Рис. 4: Контур линии излучения при варьировании поля П. Пунктирный контур: N = 0.2, = 4, 7 = 1, аа/^а = 0.001, 2а= 0.01; непрерывный контур: N = 0.2, £0 = 4, 7 = 1, = 0.1, 2с^/^с = 0.01. Контуры практически не отличаются

В третьей главе исследуется система из двух идентичных диполь-дипольно взаимодействующих двухуровневых атомов в полях различного вида.

Первый раздел посвящен описанию системы из двух идентичных диполь-дипольно взаимодействующих двухуровневых атомов в тепловом резервуаре. На основании метода проекционного оператора Накашимы-Цванцига построено операторно-кинетическое уравнение вида

о.ю

0.08 э1 о.об

0.02

0.00

-30 -20 -10 0 10 20 30

рфр'

Е -т {[*;*№) - +(5)

где

Я12 - 921 =

З70 Г _ - ч/_ м соsifc.fi!) = = ~ №ея)№ея)1 кК +

_ „ _ „ /ыпГЛЯ) созМгДШ

\мт - Ч^ЫЫп)] + -рг) |,

711 = 722 = 70,

Зто {,-. - _ ч/-, - м 5т(кВ.) 712 = 721 = -у < [М1/42 - (^едД/^ед)] —^--Ь

+ кхй - 3^)^)] - j | = ~/оФ-

Здесь 70 = ^^ - стандартная константа релаксации, которая получается в теории одного атома, К - расстояние между атомами, /Зр - единичный вектор дипольного момента р-го атома, ед - единичный вектор в направлении R■

Везде в дальнейшем предполагается, что дипольные моменты атомов параллельны между собой и перпендикулярны линии их соединяющей.

Показано, что в этом случае контур линии излучения определяется следующим образом

S(u,) = ^Re {J0°° dt(< a+(iK(0) > + < a2+(i)a2"(0)

cos(AkR) J0°° dt{< <7+^)^(0) > + < cr+(f)crf (0) >)e~!Wi j,

(6)

где Ak = к — к', разность волновых векторов падающей и излученной волн. Слагаемые, содержащие cos (AkR), описывают интерференцию.

С использованием формулы (6) и решения (Б) аналитически найдено выражение для контура линии излучения.

S(w) =Ref 4i ^Pss ^C + ~ Puu ~ cos^a) (j)

[Ш> 6 \n (4^2 - 4ilQg + Л7о2 - 4ш1 + 4i{2N + 1)Ъ{ф + 2)шс) 1 '

4isin2(o;)psa

тг (2j + ¿70(2iV(0 - 2) + ф - 1) + 2uic) где

А = ф2 + 8N(N + 1)ф + Аф+ 12N{N +1) + 3, Pij = lim Pij{t),

t—too

B = 2g + ¿7o {Ф + iV(40 + 6) + 3), g = 70 Sl(kR), C= 2g -¿70(^+^(4^ +6) + 3), а = AkR/2, шс = w - ш0.

Из данной формулы видно, что форма контура зависит от безразмерного расстояния kR. График спектра представлен на рис. 5. При большом расстоянии между атомами спектр представляет собой лоренцеву кривую. При сближении атомов контур начинает деформироваться и расщепляется в дуплет (за счет дипольного взаимодействия). Дело в том, что система энергетических уровней двух взаимодействующих двухуровневых атомов включает четыре уровня. При отсутствии диполь-дипольного взаимодействия (расстояние между атомами достаточно велико) два из четырех уровней вырождены, что и наблюдается на контуре спектральной линии. При сближении

0.07 0.06 0.05 "3 0.04 й" 0.03 0.02 0.01 0.00

-30 -20 -10 0 10 20 30 -30 -20 -10 0 10 20 30

1) (<^-<ч0)/уо 2) (си—£с>о)/уо

Рис. 5: Контур линии излучения системы двух взаимодействующих атомов: 1) для различных расстояний между атомами N = 1: кЯ = 107г (сплошная линия), кЯ = 7г/6 (штрихпунктирная линия), кЯ = 7г/8 (пунктирная линия); 2) для различных температур кЯ = 7г/8: N=1 (сплошная линия), N=2 (шгрихпунктирная линия), N=3 (пунктирная линия)

атомов (взаимодействие растет) вырождение снимается и линия расщепляется в дуплет, при этом один из переходов сильно подавлен, что выражается в несимметричности контура.

Второй раздел данной главы посвящен описанию динамики системы двух идентичных двухуровневых атомов во внешнем лазерном поле с учетом шумовых компонент. Шумовые компоненты моделируются белым шумом с известными корреляционными свойствами. Операторно-кинетическое уравнение получается в виде

р = -¿[У(г), рЦ)\ - £ Ц. ((<г;*+р - 2а+ра; + ра-^)М р,р'

+ - 2+ (хт^ар)^ + 1))

- Е ^ + л-с)+К . (8)

р \ С (I /

где = + + Н.с), Di - дисперсии слу-

чайных процессов, г/; - частоты внешних воздействий на систему, - диагональный оператор р-го атома, £о - частота Раби внешнего поля, £ - время, шо - частота перехода в атоме, ш - частота лазерного поля, Ёр - радиус вектор р-го атома, кр - волновой вектор.

В общем случае аналитический расчет контура линии излучения не представляется возможным. Численные расчеты показали, что при достаточно большом расстоянии между атомами в резонансном лазерном поле наблюдается картина типичная для резонансной флуоресценции. При уменьшении расстояния снимается вырождение между уровнями, поле перестает быть резонансным и появляется дельтаобразный пик на частоте поля, который свидетельствует о появлении квазиуровня. Результаты представлены на рис. 6.

1.2 1.0 _ 0.8 ¿0.6 0.4 0.2 0.0

-10 -5 0 5 10

(ш-шо)1уо

Рис. 6: Контур линии излучения взаимодействующих атомов во внешнем лазерном поле. Параметры в системе: N = 0, £ = 0.027о, П = О.О170, 2£0 = 670- Расстояние между атомами кЯ = 57г (пунктирная линия), кЯ = тг/5 (сплошная линия).

В четвертой главе исследуется немарковская релаксация двухуровневых атомов.

В первом разделе изучены математические особенности построения основных типов немарковских уравнений наиболее распространенных в квантовой оптике, указаны достоинства и недостатки каждого метода.

Во втором разделе развивается новый подход учета кратковременной памяти, при этом предполагается, что время памяти т должно удовлетворять неравенству 1/7, где Ь - время наблюдения за системой, 7 - постоян-

ная распада. Путем разложения матрицы плотности в ряд по малому времени памяти в уравнении Накашимы-Цванцига строится обобщенное кинетическое уравнение для двухуровневого атома в резонаторе взаимодействующего с внешним лазерным полем,

и О ъ т

— = -~[Нгед(Ь),р(0)]-- (ст+ст-р - 2ст_р<7+ + р(7+ст-)+г/3[сг+ст_сг+сг_, р], (9)

^е /3 =

Данное уравнение является более простым по сравнению с традиционными немарковскими интегро-дифференциальными уравнениями.

При этом хорошо видно, что память приводит к сдвигам частоты перехода, что в свою очередь приводит к деформации спектра резонансной флуоресценции, см. рис. 7.

В третьем разделе развитый метод учета памяти применяется для описания релаксации системы двух идентичных взаимодействующих двухуровневых атомов. Уравнение, описывающее динамику в данном случае, имеет вид

Рис. 7: Спектр резонансной флуоресценции двухуровневого атома в немарковском случае. Параметры в системе: £о = 1, 7о = 1- Штрих-пунктирная кривая /3 = 6, сплошная кривая /3 = 3, пунктирная кривая /3 = 0 (марковский случай)

Р = * ХЖ V РШ9рр' - XI 1V + "Р^ ~ аР^аР )+ (10)

р/Р' РР'

2* у О'У —1

+4 ¿^(~2(СГ^СГР- еТР^'^р) + '

и'рр'

здесь все величины аналогичны введенным ранее (см. уравнение (5)).

Контур линии излучения для данного случая построен аналитически, однако выражение для него очень громоздко и здесь не приводится. Соответствующие численно рассчитанные кривые представлены на рис. 8.

(Ol-O>0)/-у0

Рис. 8: Контур линии излучения взаимодействующих двухуровневых атомов в немарковском случае. Параметры в системе: kR = 7г/5, jo = 1, Afc-R = тг/6, p3S = 0.5, рии = 0.5, pas = 0. Короткая пунктирная линия 7о|2г = 0 (марковский случай), длинная пунктирная линия = 0.5, сплошная линия = 1

Хорошо видно, что с ростом параметра немарковости 7of*j, контур деформируется и его максимумы смещаются. Это связано с деформацией структуры энергетических уровней, к которым приводят эффекты памяти. Данный факт, как нам кажется, может быть обнаружен при проведении прецизионных экспериментов с атомами в ловушках.

В данной главе показано, что эффекты короткой памяти в случае одиночного атома приводят к смещению максимума спектральной кривой без изменения ее формы, что приводит к незначительным деформациям спектра резонансной флуоресценции. В случае взаимодействующих атомов аналитически построен контур линии излучения, в котором наблюдается заметная деформация по сравнению с марковским случаем.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. На основе метода проекционного оператора развит математический формализм для описания динамики и релаксации двухуровневых квантовых систем во внешних полях.

2. Получены выражения для формы контура линии излучения через параметры стохастических процессов, моделирующих случайные лазерные поля.

3. Получены аналитические выражения для формы контура линии излучения взаимодействующих атомов при отличной от нуля температуре, а также для атомов в стохастических полях, когда регулярной компонентой можно пренебречь. Для атомов в лазерном поле численно вычислен контур спектральной линии.

4. Развит формализм, позволяющий описывать квантовые системы с короткой памятью. Построены динамические уравнения для двухуровневого атома и системы двух идентичных взаимодействующих двухуровневых атомов при наличии кратковременной памяти.

5. Показано, что память в системе двух взаимодействующих атомов приводит к деформациям контура линии излучения, а именно к смещениям максимумов и изменениям их величин.

В приложении приводится подробный вывод операторно-кинетического уравнения (5) для двух взаимодействующих атомов во внешнем поле.

Список публикаций по теме диссертации

I. Научные статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, утвержденных ВАК РФ:

1. Горохов A.B., Семин В.В. Влияние стохастических полей на спектр резонансной флуоресценции двухуровневого атома // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. Т. 12. No 1. С. 85-87.

2. Горохов A.B., Семин В.В. Расчет спектра флуоресценции для двух взаимодействующих атомов // Оптика и спектроскопия. 2009. Т. 107. No 4. С. 617-622.

3. Горохов A.B., Семин B.B. Излучение системы двух идентичных взаимодействующих атомов // Известия РАН. Серия физическая. 2009. Т. 73. No 4. С. 548-550.

II. Статьи в прочих изданиях:

4. Горохов A.B., Семин В.В. Спектр излучения двухуровневого атома во внешнем электромагнитном поле // Теоретическая физика. 2008. Т. 9. С.164-170.

5. Горохов A.B., Михайлов В.А., Семин В.В. Уравнение Фоккера-Планка в теории релаксации двухуровневых атомов во внешних полях // Теоретическая физика. 2008. Т. 9. С. 171-178.

III. Тезисы докладов:

6. Семин В.В. Влияние белого шума на вероятность возбуждения перепутанных состояний в системе двух взаимодействующих атомов / В кн.: Всероссийская молодежная конференция "VI Самарский конкурс научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике". Самара: Универс Групп, 2008. - С. 14 - 18.

7. Семин В.В., Горохов A.B. Резонансная флуоресценция двухуровневого атома. Подход квантового кинетического уравнения / В кн.: Тезисы докладов XXXIV Самарской областной студенческой научной конференции. 4.1. Общественные, естественные и технические науки. Самара: Типография ГУВД Самарской области, 2008. - С. 128.

8. Semin V.V., Gorokhov A.V. Non-Markovian relaxation of atomic systems and line shape calculation / In book: Mathematical modeling and computational physics. Book of abstract of international conference. Дубна: ОИЯИ, 2009. - С. 27.

9. Семин В.В., Горохов A.B. Контур линии излучения системы двух атомов во внешнем тепловом поле / В сборнике статей: XIII Международная молодежная школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия". Казань: Казанский государственный университет, 2009. - С. 225 - 228.

10. Горохов A.B., Семин В.В. Квантовая немарковская динамика атомных систем / В кн. Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения": Материалы Межд. конф. Самара: Изд-во "Книга", 2010. - С. 100-101.

Подписано в печать 9 ноября 2010 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная.

Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1906_•

443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1. Отпечатано УОП СамГУ.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Семин, Виталий Владимирович

Введение

1 Резонансная флуоресценция двухуровневого атома

1.1 Спектр резонансной флуоресценции.

1.1.1 Предел слабого поля.

1.1.2 Предел сильного поля: появление боковых полос

1.2 Экспериментальное измерение спектра резонансной флуоресценции

2 Двухуровневый атом во внешних классическом и стохастических полях

2.1 Метод проекционного оператора в квантовой теории открытых систем

2.2 Двухуровневый атом в лазерном поле.

2.2.1 Модель и модельный гамильтониан

2.2.2 Операторное кинетическое уравнение.

2.2.3 Спектр излучения двухуровневой системы во внешнем лазерном поле.

2.3 Двухуровневая система во внешних классическом и стохастических полях.

2.3.1 Релаксация двухуровневой системы под действием внешних стохастических и регулярных полей

2.3.2 Спектр излучения

2.3.3 Интерпретация полученных результатов.

3 Излучение взаимодействующих атомов во внешних полях

3.1 Излучение взаимодействующих атомов во внешнем тепловом поле.

3.1.1 Модель системы

3.1.2 Решение операторного кинетического уравнения

3.1.3 Спектр флуоресценции

3.2 Контур спектральной линии взаимодействующих атомов во внешних регулярном и стохастических полях.

3.2.1 Модель системы

3.2.2 Операторное кинетическое уравнение.

3.2.3 Спектр флуоресценции

3.3 Интерпретация полученных результатов.

4 Немарковская релаксация

4.1 Методы построения немарковских кинетических уравнений и их виды.

4.1.1 Квантовые случайные блуждания непрерывные во времени

4.1.2 TCL техника проекционного оператора.

4.1.3 Постмарковское кинетическое уравнение.

4.1.4 Формализм обобщенной квантовой динамики.

4.2 Проявление эффектов памяти в спектрах одиночных двухуровневых атомов

4.2.1 Операторно-кинетическое уравнение.

4.2.2 Спектр излучения.

4.3 Спектр излучения взаимодействующих атомов в немарковском случае.

4.3.1 Модель и операторно-кинетическое уравнение

4.3.2 Контур спектральной линии

Введение диссертация по физике, на тему "Динамика и релаксация атомов и атомных систем во внешних полях"

Актуальность проблемы

Существенным увеличением точности проводимых экспериментов. Современные атомные ловушки позволяют накапливать и длительное время хранить в себе одиночные атомы и группы из их небольшого числа, что делает возможным проведение длительных опытов, получая данные с огромной точностью [1, 2].

С другой стороны, простейшая модель квантовой оптики - модель двухуровневого атома, играет фундаментальную роль в квантовых вычислениях и квантовой информатике, т.к. представляет из себя квантовый аналог бита, так называемый кубит [3, 4]. В этой связи исследование поведения кубита, взаимодействующего с различными полями играет первостепенную роль в теории квантовых компьютеров.

С другой стороны все результаты, которые получены в квантовой оптике для модели двухуровневого атома, могут быть непосредственно распространены па другие области физики, например на физику квантовых точек [38]. В этих областях динамика объектов подчиняется управляющим уравнениям аналогичным по структуре уравнениям квантовой оптики, однако, значение параметров системы, таких как переходные дипольные моменты и пр., могут иметь существенно иные значения. Данный факт может привести к существенно иной динамике протекания процессов в системе, что требует исследования влияния подобных "аномальных" параметров на протекание процессов в системе. Существенным же здесь является факт, что объекты, подобные квантовым точкам, ядерным спинам, органическим молекулам, сверхпроводящим кольцам и др., в некоторых случаях можно моделировать двухуровневой квантовой системой, которую мы будем называть в дальнейшем обобщенным термином "двухуровневый атом".

В "шумовой" лазерной спектроскопии важной задачей является исследование отклика атомов на внешние случайные поля, поскольку он содержит, например, информацию о временах релаксации, то есть о величинах, представляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных полях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.

Спустя более семьдесяти лет вновь оказывается актуальным вопрос о полноте квантовой механики, поднятый в знаменитой работе Эйнштейна, Подольского и Розена [6]. Это связано как с фундаментальными проблемами применения квантовой теории к описанию физической реальности, так и с перспективными прикладными вопросами такими, как создание элементной базы квантовых компьютеров [4]-[7], передача и обработка квантовой информации [8]-[12], квантовая метрология [13].

Свет, испущенный двухуровневым атомом при взаимодействии с резонансным лазерным полем проявляет ряд сугубо неклассических эффектов, например, таких как антигруппировка и сжатие света, расщепление спектральных линий и т.д. [5]. С этой позиции принципиальный интерес представляет распространение теории, развитой для одиночного атома на случай системы взаимодействующих атомов.

В настоящее время накоплено большое количество теоретических и экспериментальных данных посвященных различным проявлениям явления резонансной флуоресценции [19]-[41]. При этом точность проводимых экспериментов все более возрастает. Шумы, непременно присутствующие при проведении любого эксперимента, становятся все более и более заметными. С этой позиции необходимо развивать теоретические методы их учета.

Наиболее сильным упрощением при рассмотрении задач квантовой оптики и физике в целом является предположение о марковском характере протекания случайного процесса. Наиболее известный и всесторонне исследованный физический марковский процесс - это броуновское движение частиц взвешенных в жидкости или газе. Однако, даже такой, казалось бы, простейший процесс на коротких временах проявляет свойства немарковости [102]. Для квантового броуновского движения широко исследуются немарковские уравнения (см. например [21]). В этой связи представляется актуальной задача обобщения существующих уравнений на случай нали чия у системы кратковременной памяти. Цель диссертационной работы

Цель диссертационной работы заключается в исследовании влияния тепловых, лазерных и стохастических полей, а также эффектов памяти на динамику и релаксацию двухуровневых атомов и систем, состоящих из двух идентичных диполь-динольно взаимодействующих двухуровневых атомов.

Для достижения поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• На основании методов квантовой теории открытых систем построить уравнение, описывающее динамику одиночного двухуровневого атома и системы из двух диполь-диполыго взаимодействующих двухуровневых атомов во внешних тепловом, лазерном и стохастических полях.

• Обобщить марковские динамические уравнения на случай систем с кратковременной памятью.

• Проанализировать наличие эффектов памяти в спектре излучения двухуровневого атома и системы двух взаимодействующих двухуровневых атомов.

Научная новизна

Научная новизна диссертации заключается в том, что

• Выявлено влияние стохастических полей на спектр резонансной флуоресценции двухуровневого атома.

• Обнаружены деформации спектральной линии излучения взаимодействующих атомов, вызванные наличием памяти.

Научная и практическая значимость результатов

На защиту выносятся следующие основные результаты:

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: X Международных чтениях по квантовой оптике (Самара, 2007); XI и XII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород, 2008, 2010); Всероссийской молодежной конференции "VI Самарский конкурс научных работ по оптике и лазерной физике" (Самара, 2008); Тринадцатой международной молодежной научной школе "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2009); IX Международном симпозиуме по фотонному эху и когерентной спектроскопии (Казань, 2009); Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительная физика" (Дубна, 2009), семинаре "Теоретическая и математическая физика" (Самара, 2009), Международная школа для студентов и молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 2008, 2009, 2010), Второй международной конференции "Математическая физика и ее приложения "(Самара, 2010); а также на научно-практических конференциях и семинарах в Самарском государственном университете и Казанском государственном университете им. Ульянова-Ленина.

Работа над диссертацией поддержана стипендией фонда Дмитрия Зимина "Династия" в 2008; грантом Министерства образования и науки Самарской области для студентов, аспирантов и молодых ученых 2010 года (№

234Е2.2А). Часть результатов получены при краткосрочных командировках в Казанский государственный университет им. Ульянова-Ленина в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" в 2009 и 2010 годах.

Публикации

Личное участие автора

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Объем и структура диссертации

Диссертация изложена на 116 с. печатного текста (в том числе 39 рисунков). Она состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и списка литературы включающего 122 наименования. Общий объем диссертации -137 страниц текста.

Заключение диссертации по теме "Лазерная физика"

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты диссертационной работы:

5. Показано, что память в системе двух взаимодействующих атомов приводит к существенным деформациям контура линии излучения.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Семин, Виталий Владимирович, Самара

1. Тотек П. Э. Атомные частицы в ловушках // УФН. 1989. Т. 158. С. 451-497. УФН. 1989. Т.158. С. 451-497.

2. Пауль В. Электромагнитные ловушки для заряженных и нейтральных частиц // УФН. 1990. Т. 160. Вып. 12. С. 109-127.

3. Имре Ш., Балаж Ф. Квантовые вычисления и связь. М.: Физматлит,- 2008. 320 с.

4. Килин С.Я. Квантовая информация // УФН. 1999. Т.169, N 5. С.507- 527.

5. Cohen-Tannoudji D. Atoms in strong resonant fields / In book: Frontiers in Laser Spectroscopy. Vol.1. Amsterdam: North-Hollanded. Ed. by R. Balian, S. Haroche and S. Liberman. 1977. P. 3-104.

6. Einstein A., Podolsky A., Rosen N. Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? // Phys. Rev. 1935. V.4. P. 77-84.

7. Cerf N.J., Adami C., Kwiat P.G. Optical Simulation of Quantum Logic // Phys. Rev. A. 1998. V.57. P.R1477-R1480.

8. Ekert A.K. Quantum Cryptography Based on Bell's Theorem // Phys. Rev. Lett. 1991. V.67 P.661-663.

9. Ekert A.K., Rarity J.G., Tapster P.R., Palma G.M. Practical Quantum Cryptography Based on Two-Photon Interferometry // Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P.1293-1295.

10. Bennet H., Brassard G., Mermin N.D. Quantum Cryptography without Bell's Theorem // Phys. Rev. Lett. 1992. V.68. P.557-559.

11. Sergienko A.V., Atature M., Walton Z., Jaeger G., Saleh B.E.A., Teich M:C. Quantum Cryptography using femtosecond-pulsed parametric down-conversion // Phys. Rev. A 2000. V.60. P.R2622-R2625.

12. Jennewein Т., Simon C. , Weihs G., Weinfurter H., Zeilinger A. Quantum Cryptography with Entangled Photons // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P. 4729-4732.

13. Клышко Д.Н., Пенин A.H. Перспективы квантовой фотометрии // УФН. 1987. Т.152. С.653-665

14. Fain В. Irreversibilities in Quantum Mechanics. New York: Kluwer Academic Publishers, 2002. 224 p.

15. Nakajima S. On quantum theory of transport phenomena. Progr. Theor. Phys. 1958. V. 20. P. 948-959.

16. Zwanzig R. Ensemble method in the theory of irreversibility //J. Chem. Phys. 1960. V. 33. N 5. P. 1338-1341.

17. Mollow B.R. Power spectrum of light scattered by two-level systems // Phys.Rev. 1969. V. 188. P. 1969-1975.

18. Newstein M.C. Spontaneous emission on the presence a prescribed classical field // Phys.Rev. 1968. V. 167. P. 89-96.

19. Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. М: Физматлит, 2000.-896 с.

20. Скайли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика. М: Физматлит, 2003.512 с.

21. Koch W., Grobmann F., Ankerhold J., Stockburger J.T. Semiclassical formulation of non-Markovian quantum Brownian motion // Physica E. 2010. V. 42. P. 388-393.

22. Hartig W., Rasmusen W., Shieder R., Walther H. Study of the frequency distribution of the fluorescent light induced by monochromatic radiation // Z.Phys. A. 1976. V. 278. P. 205-210.

23. Wu F.Y., Growe R.E., Ezekiel S. Mesuarment of the spectrum of resonance fluorescence from a two-level atom in an intense monochromatic field // Phys. Rev. A. 1977. V. 15. P. 227-233.

24. Growe R.E., Wu F.Y., Ezekiel S. Investigation of the spectrum of resonance fluorescence induced by a intense monochromatic field // Phys. Rev. Lett. 1975. V. 35. P. 1426-1429.

25. Shuda F., Stroud C.R. Jr., Hercher Observation of the resonant Stark effect at optical frequencies //J. Phys. B. 1974. V. 7. P. L198-L202.1IK

26. Leibfried D., Blatt R. Monroe C. Quantum dynamics of single trapped ions // Rev. Mod. Phys. 2003. V.75. P. 281 324.

27. Wineland D.J. et al. Experimental issue in coherent quantum-state manipulation of trapped atomic ions //J. Res. Nat. Inst. Stand. Technol. 1998. V. 103, No 3. P. 259 328.

28. Diedrich F., Walther H. Nonclassical Radiation of a Single Stored Ion // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 203-206.

29. Hoffge J.T., Baldauf H.W., Lange W., Walther H. Heterodyne measurement of the resonance fluorescence of a single ion //J. Mod. Opt. 1997. V. 44. P. 1999-2010.

30. Hoffge J.T., Baldauf H.W., Eichler T., Helmfrid S.R., Walther H. Heterodyne measurement of the fluorescent radiation of a single trapped ion // Opt. Commun. 1997. V. 133. P. 170-174.

31. Buhner V., Tamm Chr. Resonance fluorescence spectrum of a trapped ion undergoing quantum jumps // Phys. Rev. A 2000. V. 61. P. 061801-1061801-4.

32. Raab Ch., Eschner J., Bolle J., Oberst H., Schmidt-Kaler F., and Blatt R. Motional Sidebands and Direct Measurement of the Cooling Rate in the Resonance Fluorescence of a Single Trapped Ion // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. N 3. P. 538-541.

33. Walther H. Single atom experiments in cavities and traps // Proc. R. Soc. Lond. A. 1998. V. 454. P. 431-445

34. Weber M., Volz J., Saucke K. Analysis of a single-atom dipole trap // Phys. Rev. A. 2006. V. 73. P. 043404-1-043404-6.

35. Wather H. Quantum Optics of a Single Atom // Laser Physics. Vol. 8. No. 1. 1998. P. 1-9.

36. Wrigge G., Gerhardt I., Hwang J., Zumofen G., Sandoghdar V. Efficient coupling of photons to a single molecule and the observation of its resonance fluorescence // Nature. 2008. V. 4. P. 60-68.

37. Stalgies Y. et al. The spectrum of single-atom resonance fluorescence // Europhys. Lett. 1996. V. 35. P. 259-263.

38. Vamivakas A. Nick, Zhao Yong , Lu Chao-Yang, Atatiire Mete Spin-resolved quantum-dot resonance fluorescence // Nature Phys. 2009. V. 5. P. 198 203.

39. Flagg E.B., Muller A., Robertson J.W. et al. Resonantly driven coherent oscillations in a solid-state quantum emitter // Nature Phys. 2009. V. 5. P. 203 207.

40. Astafiev O., Zagoskin A.M., Abdumalikov A.A. Jr., Pashkin Yu. A. et al. Resonance Fluorescence of a single artificial atom // Science. 2010. V. 327. P. 840-843.

41. Xu Xiaodobg, Sun Bo, Berman Paul R., Stell Duncan G., Bracker Alaan S. Gammon Dan, Sham L.G. Coherent Optical Spectroscopy of a Strongly Driven Quantum Dot // Science. 2007. V. 317. P. 929-932.

42. Hanson R., Kouwenhoven L.P., Petta J.R., Tarucha S., Vandersypen L.M.K. Spins in few-electron quantum dots // J. Mod. Phys. 2007. V. 79. P. 1217-1265.

43. Gardiner C. W. Quantum noise. Berlin: Springer. 2000. 438 p.

44. Белавин A.A., Зельдович Б.Я., Переломов A.M., Попов B.C. Релаксация квантовых систем с эквидистантным спектром // ЖЭТФ. 1969. Т.56. Вып. 1. С. 264-274.

45. Lax М.Quantum Noise. XI. Multitime correspondence between quantum and classical stochastic processes // Phys. Rev. 1968. V. 172. P. 350-361.

46. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркни А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981.-640 с.

47. Горохов А.В., Михайлов В.А. Релаксация двухуровневой системы взаимодействующей с внешним стохастическим полем // Теор. физ. 2000. Т.1. С.54-62.

48. Петров Э.Г., Тесленко В.И. Кинетические уравнения для квантовой динамической системы, взаимодействующей с термостатом и случайным полем // ТМФ. 1990. Т. 84. С. 446-458.

49. Быков В.П., Лазерная электродинамика. М: Физматлит, 2006. 384 с.

50. Горохов А.В. Когерентные состояния, динамический хаос и когерентная релаксация в моделях квантовой оптики и лазерной физики /

51. Дисс. соиск. уч. степени доктора физ.-мат. наук. Самара. 2005, 321 с.

52. Dicke R.H. Coherence in spontaneous radiation processes // Phys. Rev. 1954. V. 93. P. 99-110.

53. Baldwin G.S., Solem J.C. Recoilless gamma-ray lasers // Rev. Mod. Phys. 1997. V. 69. P. 1085-1117.

54. Anderson M.H., Ensher J.R., Matthews M.R., Wieman C.E., Cornell E.A. Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor // Science. 1995. V. 269. P. 198-201.

55. Inouye S., Chikkatur A.P., Stamper-Kurn D.M., Stenger J., Pritchard D.E., Ketterle W. Superradiant Rayleigh scattering from a Bose-Einstein condensate // Science. 1999. V.285. P. 571-574.

56. Moore M.G., Meystre P. Theory of superradiant scattering of laser light from Bose- Einstein condensates // Phys. Rev. Lett. 1999. V.83. P. 52025205.

57. Трифонов Е.Д. К теории сверхизлучательного рэлеевского рассеяния света на бозе-эйнштейновском конденсате // ЖЭТФ. 2001. Т.120. Вып.5(11). С. 1117-1125.

58. Аллен JL, Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. М: Мир. 1978, - 224 с.

59. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Коллективное спонтанное излучение (сверхизлучение Дике) // УФН. 1980 . Т.131. С. 653-694.

60. Вальтер Г. Одноатомный мазер и другие эксперименты квантовой электродинамики резонатора // УФН. 1996. Т. 166, No 7. С. 777 794.

61. Meschede D., Walther Н., Miiller G. One Atom Maser // Phys. Rev. Lett. 1985. V.54, No 6. P. 551 - 554.

62. McKeever J. et al. Experimental realization of a one-atom laser in the regime of strong coupling // Nature. 2003. V. 425. P. 268 271.

63. Ficek Z., Seke J., Kralicek R. Resonance fluorescence spectrum in a weak squeezed field with an arbitrary bandwidth // Phys. Rew. A. 1998. V. 58. No 2. P. 1597 1600.

64. Nha H., Chough Y.-T., An K. Resonance fluorescence of a two-level atom in a colored vacuum // Phys. Rev. A. 2000. V. 62. 021801 (R)-l 021801(R)-4.

65. Gao S., Li. F., Zhu S. Quantum interference and phase-dependent spectrum of resonance fluorescence of a three-level V-type atom // Phys. Rev. A. 2002. V. 66. 043806-1 043806-10.

66. Bienert M., Merkel W., Morigi G. Resonance fluorescence of a trapped three-level atom // Phys. Rev. A. 2004. V. 69. 013405-1 013405-12.

67. Evers J., Jentschura U.D., Keitel C.H. Relativistic and radiative corrections to the Mollow spectrum // Phys. Rev. A. 2004. V. 70. 0621111 062111-20.

68. Bienert M., Torres M. Zippilli S., Morigi G. Resonance fluorescence of a cold atom in a high-finesse resonator // Phys. Rev. A. 2007. V. 76. 013410-1 013410-10.

69. Gao S.-Y.,Li F.-L., Zhu S.-Y. Phase-independent spectrum of atomic resonance fluorescence from a driven three-level atom in ladder configuration // Phys. Lett. A. 2005. V. 335. P. 110-120.

70. Carreno F., Anton M.A., Galderon O.G. Quantum interference effects in resonance fluorescence and absorption spectra of a V -type three-level atom damped by a broadband squeezed vacuum // Optics Communications. 2003. V. 221. P. 365- 385.

71. Gangopadhyay G., Basu S., Ray D. Cavity-field-assisted atomic relaxation and suppression of resonance fluorescence at high intensities // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. No 2. P. 1317 1319.

72. Башкиров E.K. Метод исключения бозонных переменных в квантовой теории сверхизлучения. Самара: Издательсвто "Самарсикий университет" 2008. 64 с.

73. Kus M., Woldkiewicz К. Two-atom resonance fluorescence // Phys. Rev. A. 1981. V. 23. No 2. P. 853 857.

74. Ficek Z., Sanders B.C. Quantum beats in two-atom resonance fliorescence // Phys. Rev. A. 1990. V. 41. No 1. P. 359 368.

75. Toor A.H., Zubairy M.S. Effects of finite bandwidth, of the resonance fluorescence spectrum inside of a cavity // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. No 1. P. 449 460.

76. Rudolph T.G., Ficek Z., Dalton B.J. Two-atom resonance fluorescence in running- and standing-wave laser fields // Phys. Rev. A. 19905. V. 52. No 1. P. 636 656.

77. Lehmberg R.H. Radiation from N-atom system. I . General formalism // Phys. Rev. A. 1970. V. 2. P. 883-888.

78. Lehmberg R.H. Radiation from N-atom system. II. Spontaneous emission from a pair of atoms // Phys. Rev. A. 1970 V. 2. P. 889-896.

79. Kurizki G., Ben-Reuven A. Theory of cooperative fluorescence from products of reactions or collions: identical neutral atomic fragments// Phys. Rev. A. 1987. V. 36. P . 90-102.

80. Agarwal G.S. Quantum statistical theories of spontaneus emission // Spinger tracts in modern physics. Vol. 70. Springer: Berlin, 1974. 131 p.

81. Lewenstein M., You L., Cooper J., Burnett K. Quantum field theory of atoms interacting with photons: Foundations // Phys. Rew. A. 1994. V. 50. No 3. P. 2207- 2231.

82. Lewenstein M., You L.j Cooper J. Quantum field theory of atoms interacting with photons. II. Scattering of short laser pulses from trapped bosonic atoms // Phys. Rew. A. 1995. V. 510. No 6. P. 4712 4727.

83. You L., Lewenstein M., Glauber R.J., Cooper J. Quantum field theory of atoms interacting with photons. III. Scattering of weak cw light from cold samples of bosonic atoms // Phys. Rew. A. 1996. V. 53. No 1. 329 352.

84. Горохов А.В. Генерация и разрушение квантовой когерентности // Теор. физ. 2001. Т.2. С. 74-85.

85. Kimble H.J., Mandel L. Theory of resonance fluorescence // Phys. Rev. A. 1976. V. 13. P. 2133-2144.

86. Шляйх В.П. Квантовая оптика в фазовом пространстве. М.: Физмат-лит, 2005. 760 с.

87. Charmichael Н. An Open Systems Approach to Quantum Optics. Berlin: Springer-Verlag, 1993. 179 p.

88. Михайлов В.А. Методы решения уравнения Фоккера-Планка для двухуровневого атома в стохастическом поле // Теоретическая физика. 2006. Т. 7. С. 93-101.

89. Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups // Commun. Math. Phys. 1976. Vol. P. 119-130.

90. Fussell D. P., McPhedran R.C., Martij de Sterke C. Two-dimensional treatment of the level shift and decay rate in photonic crystals // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 046605-1- 046605-14.

91. Falci G., D'Arrigo A., Mastellone A., Paladino E. Initial Decoherence in Solid State Qubits // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. P. 167002-1-1670024.

92. Wong V., Gruebele M. Nonexponential dephasing in a local random matrix model // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 63. P. 022502-1-022502-9.

93. Aquino G., Palatella L., Grigolini P. Absorption and Emission in the Non-Poissonian Case // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93 P. 050601-1-050601-4.

94. Moodley M., Petruccione F. Stochastic wave-function unraveling of the generalized Lindblad master equation // Phys. Rev. A. 2009. Vol. 79. P. 042103-1 042103-10.

95. Budini A.A. Stochastic representation of a class of non-Marcovian completely positive evolution // Phys.Rev. A 2004. - Vol. 69. - P. 0421071 - 042107-12.

96. Breuer H.-P., Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems. Oxford: Oxford University Press, 2002. 630 p.

97. Breuer H.-P., Gemmer J., Michel M. Non-Markovian quantum dynamics: Correlated projection superoperators and Hilbert space averaging // Phys. Rev. E. 2006. V. 73. P. 016139-1 016139-13.

98. Shabani A., Lidar D.A. Completely positive post-Markovian master equation via a measurement approach // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 71. P. 020101(R)-1 020101 (R)-4.

99. Feynman R.P. Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. Vol. 20. P. 367-387.

100. Feynman R., Hibbs A. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York: McGraw-Hill, 1965. 430 p.

101. Gainutdinov R. Kh. Nonlocal interaction and quantum dynamic // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. Vol. 32. P. 5657-5678.

102. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979. 424 с.

103. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990. 376 р.

104. Budini A.A. Open quantum system approach to single-molecule spectroscopy // Phys. Rev. A. 2009. V. 79. P. 043804-1 043804-17.

105. Gangopadhyay G., Ray D.S. Non-Markovian master equation for linear and nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P. 1507-1515.

106. Горохов A.B., Михайлов В.А., Семин В.В. Уравнение Фоккера-Планка в теории релаксации двухуровневых атомов во внешних полях // Теор. физика. 2008. Т.9. С.171-178.

107. Горохов А.В., Семин В.В. Расчет спектра флуоресценции для двух взаимодействующих атомов // Оптика и спектроскопия. 2009. Т. 107. N 4. С. 617-622.

108. Горохов A.B., Семин B.B. Спектр излучения двухуровневого атома во внешнем электромагнитном поле // Теоретическая физика. 2008. Т. 9. С. 164-170.

109. Горохов A.B., Семин В.В. Излучение системы двух идентичных взаимодействующих атомов // Изв. РАН. Сер. физическая. 2009. Т.73. No 4. С.548-550.

110. Горохов A.B., Семин В.В. Влияние стохастических полей на спектр резонасной флуоресценции двухуровневого атома // Физ. волновых процессов и радиотех. сис-мы. 2009. Т. 12. No 1. С.85-87.

111. Semin V.V., Gorokhov A.V. Non-Markovian relaxation of atomic systems and line shape calculation / In book: Mathematical modeling and computational physics. Book of abstract international conference. Дубна: ОИЯИ, 2009. С. 27.

112. Горохов А.В., Семин В.В. Квантовая немарковская динамика атомных систем / В кн. Вторая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: Материалы Межд. конф. Самара: Изд-во «Книга», 2010. С. 100 - 101.

113. Breuer Н.-Р. Non-Markovian generalization of the Lindblad theory of open quantum systems // Phys. Rev. A. 2007. V. 75. P. 022103-1 -022103-9.

114. Budini A. Lindblad rate equations // Phys. Rev. A. 2006. V. 74. P. 053815-1 053815-12.

115. Sokolov I. M. Linear response to perturbation of nonexponential renewal process: A generalized master equation approach // Phys. Rev. E. 2006. V. 73. P. 067102-1 067102-3.

116. Breuer H.-P., Vacchini B. Structure of completely positive quantum master equations with memory kernel // Phys. Rev. E. 2009. V. 79. P. 041147-1 041147-12.

117. Huang X. L. , Sun H. Y., Yi X. X. Non-Markovian quantum jump with generalized Lindblad master equation // Phys. Rev. E. 2008. V. 78. P. 041107-1 041107-5.

118. Gainutdinov Renat Kh., Mutygullina Aigul A. , Scheid Werner Effects of nonlocality in time of interactions of an atom with its surroundings on the broadening of spectral lines of atoms // Physics Letters A. 2002 V. 306. P. 1-9.

119. Stefanescu Eliade, Scheid Werner, Sandulescu Aurel Non-Markovian master equation for a system of Fermions interacting with an electromagnetic field // Annals of Physics. 2008 V. 323. P. 1168-1190.

120. Адамян Г.Г., Антоненко H.B., Каноков 3., Саргсян B.B. Квантовые немарковские стохастические уравнения // ТМФ. 2005. Т. 145. No 1. С. 87-101.