Атом в сильном лазерном поле сложного спектрального состава тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Г" - Ъ О Я

» I 0

„ л

^ (ШкГ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 539.186 ■

КАЗАКОВ Александр Яковлевич

АТОМ В СИЛЬНОМ ЛАЗЕРНОМ ПОЛЕ СЛОЖНОГО СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА

( 01.04.02 - теоретическая физика )

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт - Петербург 1996

Работа выполнена в отделе вычислительной физики Научно-Исследовательского Института Петербургского государственного университета

и математической Физики Санкт-

Офищиальные оппоненты:

доктор физико-математических наук доктор физико-математических наук доктор физико-математических наук

С.А.Вакуленко М.В.Федоров Э.Е.Фрадкин

Ведущая организация:

Петербургское Отделение Математического института им. В.А.Стеклова

Защита состоится 1Н 1996 г. в 15.30 на заседании

диссертационного совета Д.063.57.15 по защите дисертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н. А.Н.Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию физических процессов, сопровождающих динамику атома в сильном лазерном поле сложного спектрального состава. Соответствующие задачи теоретической физики связаны с развитием .новых областей фундаментальных и прикладных исследований и освоением перспективных направлений высокой технологии. Упомянем здесь лишь такие мотивы, как лазерная спектроскопия , химические реакции под воздействием лазерного поля, проблемы разделения изотопов, освоение технологии лазерного манипулирования отдельными атомами и т.д. [1-12 ]. Общим моментом в рассматриваемых задачах является освоение возможностей, которые предоставляет использование сильного лазерного излучения с произвольным спектральным составом. Разноообразие физических приложений приводит к к разнообразию различных постановок физических задач, весьма отличающихся и по уровню сложности. Подчеркнем, что исследование некоторых таких задач находится лишь на начальном этапе. Появление все более мощных лазеров и прогресс экспериментальной техники делают возможным освоение новых диапазонов физических параметров, позволяют ставить новые физические задачи и делают необходимым их теоретическое исследование. Ряд таких теоретических задач, возникающих на стыке квантовой оптики, атомной физики и лазерной физики, и являются предметом данной диссертации.

Цель работы заключается в изучении возможностей, предостав-

ляемых для управления динамикой атома сильным лазерным излучением со сложным спектральным составом. Это, во-первых, решение задачи о спектре квазиэнергий двухуровневого атома в интенсивном полигармоническом ( полихроматическом ) квазирезонансном внешнем поле. Далее, в диссертации исследуется задача о том, к каким физическим последствиям приводят особенности спектра квазиэнергий ( окрестности параметрических резонансов, ПР ) двухуровневого атома на примере слабо модулированного бигармонического ( бихроматическом ) внешнего поля. Одной из основных задач диссертации является задача построения нового аналитического подхода к процессам типа ионизации атома в сильном ( сверхсильном ) модулированном внешнем поле. В диссертации также рассматриваются физические системы со свободным обменом фотонами между различными модами внешнего поля. С физической точки зрения общим моментом для рассматриваемых в диссертации задач является исследование таких ситуаций, когда взаимодействующие системы ( атом и внешнее поле ) нельзя рассматривать по отдельности, применяя для описания их взаимодействия методы теории возмущений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Развит последовательный асимптотический подход к задачам о динамике атома в сильном ( сверхсильном ) лазерном поле, состоящий в сведении такого типа задач к исследованию решений интегро-дифференциальных уравнений с большим параметром. На этой основе построена теория многофотонной ионизации атома в сверхсильном поле сложного спектрального состава. Обнаружена связь между яв-

лением стабилизации атома в сверхсильном лазерном поле и наличием дискретных собственных значений у субматрицы оператора ди-польного момента атома. Обнаружена возможность возрождений населенности первоначально заселенного уровня.

2. Построена асимптотическая теория распада уровня в зону под воздействием сильного квазирезонансного лазерного поля с произвольной модуляцией. Обнаружена возможность захвата населенности уровня в случае поля с глубокой модуляцией.

3. Вычислена скорость распада изолированного уровня в континуум в резонансном приближении без учета переходов в континууме в терминах асимптотических характеристик матричного элемента оператора дипольного момента агома.

4. Описан в аналитическом виде спектр квазиэнергий двухуровневого атома в интенсивном полихроматическом лазерном поле, в том числе вычислены ширины квазиэнергий в случае чисто радиационного распада.

5. Исследованы особенности спектра поглощения газа двухуровневых атомов под воздействием слабо модулированного сильного бихрома-тического излучения в окрестности параметрического резонанса ( когда уровни квазиэнергии асимптотически сближаются ).

6. Исследованы особенности спектра поглощения газа трехуровневых атомов под воздействием слабо модулированного бихроматического излучения в случае параметрического резонанса. Обнаружена возможность периодического усиления без инверсии в таких ситуациях.

7. Описан осциллирующий характер механической силы, действующей на атом погруженный в слабо модулированное бихроматическое излу-

чение в случае параметрического резонанса.

8. Предложено новое атомное зеркало на основе каустики квазирезонансных световых полей. Показано, что каустика дает возможность реализовывагь макро- и микро-ловушки и "пинцет" для атомов.

9. Описан широкий класс физических систем ( описываемых с помощью соответствующих модификаций модели Джейнса-Каммингса ) с возможностью свободного обмена фотонами между модами. Предложен простой аппарат, позволяющий строить спектр гамильтонианов ( или решение начальных задач, если внешнее поле содержит классическую составляющую ) для этого класса физических систем.

Достоверность полученных результатов вытекает из физической и математической строгости постановки задач, приводимых рассуждений и вычислений, а также сравнений с результатами других физических работ.

Методика исследования. Физической основой полученных в диссертации результатов являются результаты квантовой механики и, в первую очередь, уравнение Шредингера. С математической точки зрения развиваемый в работе подход заключается в сведении соответствующего уравнения Шредингера ( с помощью надлежащего базиса ) к системе С конечной или бесконечной ) обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, выделении естественного малого ( или большого ) параметра и решения задачи в рамках подходящей асимптотической процедуры. При изучении спектра квазиэнергий двух-

уровневого атома в интенсивном полигармоническом поле мы используем метод эталонного уравнения для построения асимптотик решений линейного дифференциального уравнения второго порядка [ 13, 14 ]. Для задач, связанных с изучением динамики двухуровневого ( трехуровневого ) атома в слабо модулированном бигармоническом поле в окрестности ПР мы используем метод многих масштабов [ 15 ]. При исследовании процессов типа ионизации атома в сильном ( сверхсильном ) внешнем поле мы сводим соответствующую задачу к задаче построения асимптотики решения интегро-дифференциальных уравнений с большим параметром; простейшие задачи такого типа были решены в [ 16 ]. При изучении моделей типа Джейнса - Кам-мингса со свободным обменом фотонами между модами внешнего поля мы используем формализм Фока - Баргманна [ 17 ], что позволяет применить к задачам этого типа мощную технику, развитую в теории уравнений в частных производных.

Теоретическая и практическая значимость. Хотя работа имеет теоретический характер, ее результаты имеют как практическую, так и теоретическую ценность. Наиболее важным теоретическим результатом является разработка нового аналитического подхода к задачам типа ионизации атома в сильном световом поле. При решении соответствующих физических задач были решены и новые задачи асимптотического анализа - построены асимптотики решений интегро-дифференциальных уравнений с большим параметром в ситуациях, когда функциональные параметры задачи имеют особенности разных типов. Полученные результаты позволяют в общих терминах описать

динамику соответствующих физических систем и, в частности, описать явления типа стабилизации атома в сверхсильном лазерном поле и возрождений населенности первоначально заселенного уровня.

Полученное в диссертации описание спектра квазиэнергий двухуровневого атома позволяют проследить зависимость положения квазиуровней от различных параметров задачи, таких, как модуляция внешнего поля, амплитуда отдельных его гармоник и т.д.

Исследование физических проявлений особенностей спектра квазиэнергий ( в окрестности ПР ) показало перспективность применения этих об'ектов для задач лазерной спектроскопии, управления механической динамикой атомов и создания новых источников лазерного излучения. Весьма перспективными представляются также возможные приложения предложенного в диссертации нового атомного зеркала на основе каустики квазирезонансного излучения.

Описанные в диссертации модификации моделей Даейнса -Каммингса обладают весьма важными с точки зрения приложений физическими свойствами. Тот факт, что в соответствующих физических системах возможен свободный обмен фотонами между различными модами внешнего поля позволяет рассматривать такие системы как источники квантованного излучения. При этом другие моды внешнего поля ( классические или квантованные ) могут выполнять роль накачки. При этом мы можем управлять параметрами генерируемого излучения, выбирая параметры накачки. Таким образом, эти физические системы представляются весьма перспективными как источники квантованного излучения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на 3 Международном Совещании по квантовым и нелинейным процессам в квантовой оптике ( Дубна, 1993 ), IV NATO Workshop of Super-Intense Laser Atom Physics ( Волга, 1995, "Konstantin Si-monov" ), Workshop of Laser Cooling and Atom Physics ( Волга, 1995, "Konstantin Sirronov" ), Quantum Electronics and Laser Science Conference ( QELS'96, Anaheim, California, 1996 ), Международной конференции по лазерной физике ( LPHYS'96, Москва, июль 1996 ), семинарах кафедр вычислительной физики, математической физики, квантовой механики, кафедры общей физики - 1, лаборатории квантовой электроники физического факультета С.-Петербургского Государственного Университета, лаборатории математических проблем геофизики Петербургского Отделения Математического Института РАН, кафедры общей физики и волновых процессов Московского Государственного Университета, семинарах Института Общей Физики РАН, физического факультета С.-Петербургского Педагогического Института, ВНИИ Метрологии им. Д.И.Менделеева.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ К.1 - К.12 ], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и об'ем диссертации. Работа состоит из Введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Параграфы, в свою очередь, разбиты на пункты. Некоторые громоздкие детали вычислений

вынесены в приложения к параграфам. Общий об'ем диссертации -365 страниц машинописного текста. Имеется 36 рисунков. Список литературы содержит 315 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении работы подробно изложены мотивировки данного исследования, приведены основные результаты диссертации и описано содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена изучению спектра квазиэнергий двухуровневого атома в интенсивном полигармоническом квазирезонансном внешнем поле [ К.2, К.З ]. На первом этапе ( в параграфе 1.1 ) мы рассматриваем задачу в рамках уравнения Шредингера, пренебрегая наличием релаксации в атоме. Волновую функцию атома мы вводим в стандартном виде:

|Ф( Ь) > = {с1С"Ь)|1> + сг (012> )ехр[-1 (Е1+ Ег)Ь/2 ь], где Е , |ш> - энергия и волновая функция т-го уровня, т = 1, 2,

Ш

ь - константа Планка, Ь - время. Уравнение Шредингера для двухуровневого атома в электромагнитном поле в терминах амплитуд с (Ь) записывается в виде системы:

га

с!с 1ц

~ШГ = 1ыС1 + — Р(г)Сг'

с!с 2.Д

ИГ =~ 1шс2 + — Р(1;)с1'

где и ~ дипольный момент атома, 2и = (Е1 - Е )/ь, рСЪ) - внешнее

поле. Мы обсуждаем случай полигармонического поля, когда

и = со

рШ = У А СОЙ [ + 0 ], А = ЯеА (1)

п п п п ,

п — ~оэ

Мы полагаем, что значение несущей частоты п выбрано так, что гармоники поля с наибольшими амплитудами имеют номера порядка единицы. Хорошо известно [ 18, 19 ], что под влиянием полигармонического поля исходные уровни энергии двухуровневого атома расщепляются на две серии квазиуровней ( каждый ), расстояние между квазиуровнями в каждой серии равно д. Эти квазиэнергии играют в спектроскопических приложениях роль, во многом аналогичную роли обычных уровней энергии атома. Поэтому определение квазиэнергий и изучение их поведения имеет важные спектроскопические приложения.

После масштабирования времени т = АЬ, соответствующего растяжения всех параметров задачи и применения приближения вращающейся волны ( ПВВ ), мы приходим к задаче определения показателей Флоке уравнения

Г"(г) + р2н(т)|г + (С2 + - - - - -1е(т) = 0.

I- 2(зТТГ яТсГ 4(оТТГ)2-1

(2)

Здесь р - параметр Раби внешнего поля, периодическая функция q(t) описывает модуляцию внешнего поля, к - ( растянутая ) отстройка £5 от частоты атомного перехода. Эта задача обычно решается с помощью численных расчетов на ЭВМ ( см., например, [ 18, 19 ]. Мы ее решаем с помощью метода эталонного уравнения [ 13, 14 ] в предположении, что р >> 1 - большой параметр ( это конкретиза-

ция нашего предположения о том, что внешнее поле интенсивное ). Процедура построения асимптотики показателей Флоке уравнения (2) зависит от наличия или отсутствия нулей у функции q(t) ( мы говорим о глубоко модулированном поле, если имеет нули ) и асимптотических предположений о параметре к. В зависимости от ситуации следует брать в качестве эталонного ( для описания поведения уравнения (2) в окрестности особой точки ) уравнение Уиттекера или "гибрид" уравнения Уиттекера и уравнения параболического цилиндра. Используя асимптотическую технику, мы получаем аналитические выражения для показателей Флоке уравнения (2). Эти соотношения позволяют описать зависимость квазиэнергий двухуровневого атома от параметров задачи. Наиболее интересно при этом поведение квазиэнергий при глубоко модулированном внешнем поле и небольшой отстройке. В этом случае расстояние между квазиуровнями, принадлежащими разным сериям, асимптотически близко к д/2 и слабо зависит от интенсивности внешнего поля.

В параграфе 1.2 мы рассматриваем вопрос о ширине квазиэнергий в случае, если двухуровневый атом, помещенный в интенсивное полигармоническое поле, имеет ненулевые константы релаксации. В этом случае надлежит использовать для описания динамики атома аппарат матрицы плотности. Это приводит к необходимости вычисления показателей Флоке для системы из 4 обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Мы решаем эту задачу в случае чисто радиационного распада атома, при наличии некоторой связи между константами попереченой и продольной релаксации

атома. С физической точки зрения [ 1 ] это случай "минимальный", когда пренебрегается воздействием на атом посторонних об'ектов. В данном случае задача разрешима в явном аналитическом виде и по существу сводится к уже решенной задаче определения квазиэнергий для двухуровневого атома. Полученные результаты позволяют проанализировать зависимость ширин квазиэнергий от параметров внешнего поля. В частности, при глубокой модуляции внешнего поля и небольшой отстройке ширины всех квазиэнергетических уровней асимптотически близки к полусумме констант продольной релаксации.

Глава 2 посвящена изучению влияния ПР, возникающих при воздействии на атом полигармонического квазирезонансного внешнего поля, на физические характеристики этой системы. Эти ПР являются, по существу, областями параметров, где происходит пересечение ( или квазипересечение ) квазиэнергетических уровней. При этом происходит перестройка и самих квазиэнергетических состояний. В параграфе 2.1 показано, что наиболее резкая такая перестройка происходит при ПР в слабо модулированном бигармоническом поле [ К.1 ]. ( Под слабо модулированным бигармоническим полем мы понимаем поле, состоящее из двух гармоник, квазирезонансных одному и тому же атомному переходу, причем амплитуда одной из гармоник значительно превосходит амплитуду другой. Отметим, что в данной ситуации, в отличие от задач предыдущей главы, не предполагается, что параметр Раби внешнего поля сильно превосходит частоту модуляции внешнего поля. ) В то же время этот случай наиболее прост с формальной точки зрения. Решение соответствующих аналитических задач может быть доведено до сравнительно про-

стых соотношений, позволяющих, в частности, явно учесть доппле-ровский сдвиг и, т.о., исследовать спектроскопические характеристики газа атомов. Поэтому в данной главе мы в основном рассматриваем именно случай слабо модулированного бигармоничеекого поля.

В параграфе 2.2 мы обсуждаем спектр поглощения пробной волны в газе двухуровневых атомов, находящемся под воздействием слабо модулированного бигармоничеекого поля в окрестности ПР. При этом мы полагаем, что газ зондируется встречной ( по отношению к бигармоническому полю ) волной [ К.4 ]. В параграфе 2.3 мы рассматриваем аналогичную задачу для газа трехуровневых атомов, когда слабо модулированное бигармоническое поле квазирезонансно одному атомному переходу, а газ зондируется пробной волной, квазирезонансной смежному переходу. В обоих случаях после перехода к надлежащей временной переменной ( частота модуляции внешнего поля приводится к значению 1 ) и соответствующего преобразования остальных параметров задача сводится к построению установившегося решения системы уравнений вида

где Кт) - 3- ( или 4-)вектор, описывающий компоненты матрицы плотности атома, элементы матрицы £!о связаны с параметрами сильной компоненты внешнего поля, осциллирующие с частотой ±1 элементы матрицы (} (г) связаны с амплитудой слабой компоненты внешнего поля, вектор С описывает накачку. Мы полагаем, что отношение

(3)

амплитуд компонент внешнего поля порядна с, причем с << 1 ; константы релаксации атома тоже порядка с ( т.о., поле является сильным по физической терминологии ). В диагональную часть матрицы £2о входит также допплеровский сдвиг, учитывающий скорость атома. Асимптотическая процедура построение решения системы (3) хорошо известна [ 15 ]. Если разность собственных значений матрицы £2о отлична от ±1, го для построения решения пригодна стандартная теория возмущений и результат в старшем порядке асимптотики не отличается от результата, соответствующего атому в монохроматическом внешнем поле ( когда слабой компоненты внешнего поля нет ). Однако если разность собственных значений матрицы "асимптотически близка к ±1 ( т.е. в окрестности ПР ), то следует применять более тонкую процедуру, основанную на методе многих масштабов [ 15 ] и соответствующее решение значительно отличается от случая монохроматического поля. Во-первых, в установившемся режиме старший член асимптотики решения (3) содержит не только постоянную компоненту, но и осциллирующую с частотой ±1 компоненту, причем амплитуды этих компонент имеют одинаковый асимптотический порядок. Во-вторых, амплитуды этих компонент резко зависят от параметров задачи в окрестности ПР. Отметим, что собственные числа (} зависят от скорости атома. Таким образом, скорость атома служит переменной, описывающей настройку на ПР. Изменяя частоту пробной волны, мы зондируем группы атомов с разной скоростью. В соответствии с этим коэффициент поглощения пробной волны ( точнее, его постоянная во времени компонента и осциллирующая с частотой модуляции внешнего поля компонента ) при

прохождении окрестности ПР испытывает резкие изменения. Описание этих особенностей в указанных выше ситуациях и составляет предмет рассмотрений параграфов 2.2 [ К.4 ] и 2.3 [ К.5 ].

В связи с результатами параграфа 2.3 возникает следующий вопрос. Если коэффициент поглощения в газе трехуровневых атомов осциллирует, и в окрестности ПР амплитуда его осциллирующей компоненты сопоставима с амплитудой постоянной компоненты, то существуют ли ситуации, когда на части периода коэффициент поглощения меняет знак? Иными словами, возможен ли в такой системе аналог явления, которое в последние годы интенсивно исследуется -усиления без инверсии населенности [ 20 ]. В параграфе 2.4 обсуждается этот вопрос для л - конфигурации уровней атома, причем на один из атомных переходов воздействует слабо модулированное бигармоническое поле [ К.6 ]. На основе результатов параграфа 2.3 проведены расчеты на ЭВМ. Они показали, что есть область параметров системы, когда на части периода осцилляции ( а частота осцилляции совпадает с частотой модуляции внешнего поля ) совокупный коэффициент поглощения газа трехуровневых атомов ( сумма постоянной и осциллирующей компонент ) может принимать отрицательное значение. При этом не требуется специального приготовления исходного состояния атомов и требования на параметры системы достаточно мягкие.

Хорошо известно [ 3, 5, 6 ], что на атом, находящийся в квазирезонансном световом поле, действует механическая сила. В параграфе 2.5 мы обсуждаем это явление для слабо модулированного бигармонического поля в окрестности ПР. Оказывается, в этом слу-

чае в старшем асимптотическом порядке механическая сила, действующая на атом, осциллирует с частотой модуляции внешнего поля. Этот факт предоставляет новые возможности для механического воздействия светом на атом.

В параграфе 2.6 мы обсуждаем вопрос об использовании особенностей световых полей для решения проблем атомной оптики. В последние годы макро- и микроловушки для нейтральный атомов реализуются с помощью особенностей световых полей. В экспериментальной физике для-создания резких градиентов световых полей и реализации' на этой основе атомного зеркала используется явление полного внутреннего отражения [ 3, 5, 6 ]. Мы обсуждаем иные особенности световых полей, известные в теории распространения электромагнитных волн I 21, 22 ]. Наиболее перспективно использование в этих приложениях каустики, которая возникает при отражении световых полей от неплоского зеркала. Мы показыва ем, что каустика позволяет реализовать различные элементы атомной оптики ( такие, как атомное зеркало, атомные макро- и микроловушки и т.п. ), причем эти элементы могут быстро ( с точки зрения атома ) перемещаться, создаваться и уничтожаться, без каких-либо манипуляций внутри вакуумированного об'ема. Атом при этом не приближается к каким-либо реальным телам.

Глава 3 посвящена изучению процессов типа ионизации атома в сильном ( сверхсильном ) модулированном световом поле. В последние годы в этом направлении ведутся интенсивные экспериментальные и теоретические работы [ 2, 4, 7 - 12 ]. Всплеск этих работ в последние 20 лет связан с развитием экспериментальной техники

и, в первую очередь; с созданием достаточно мощных источников излучения. Эти исследования привели к обнаружению ряда новых явлений, таких, как надпороговая ионизация, стабилизация атома в сильном поле и т.д. Теоретические исследования в этой области опираются в основном на методы теории возмущений, полуклассические подходы или численный эксперимент и находятся еще в начальной стадии.

В главе 3 мы развиваем новый подход к этому кругу задач. Он опирается на следующие соображения. Если речь идет о сильных ( сверхсильных ) внешних полях, следует переформулировать эти задачи в виде асимптотических задач, в которых должен присутствовать естественный большой параметр. Разумеется, для каждой конкретной физической задачи этот большой параметр может образовываться с помощью разных процедур обезразмеривания ( в конечной математической задаче большой параметр должен быть безразмерным ), но, очевидно, он всегда пропорционален амплитуде внешнего светового поля. Используя базис состояний статичной части оператора Шредингера, можно свести исходные физических задач к начальным задачам для интегро-дифференциальных уравнений с большим параметром. Таким образом, задачи этой области физики оказываются тесно связанными с задачами теории интегро-дифференциальных уравнений с большим параметром .

В главе 3 мы рассматриваем несколько физических задач этого направления. Соответственно, мы решаем ряд задач асимптотической теории интегро-дифференциальных уравнений с большим параметром. В параграфе 3.1 рассматриваются задачи о динамике квантовых сис-

тем уровень - зона ( У - 3 ) и уровень - континуум ( У - К ) в сильном неглубоко модулированном лазерном поле [ К.7 ]. Здесь слово 'сильное' означает, что эффективный параметр Раби внешнего поля значительно превосходит ширину зоны или эффективную ширину континуума.

Пусть |0> - волновая функция уровня, |Е> - волновая функция состояний в зоне, Et s Е s Е . Если Еа = ш, мы имеем систему У - К. Представим волновую функцию нашей квантовой системы в виде суперпозиции

Е

2

<Kt) = ACt) |0> + | B(E,t)|E>dE.

Е

1

Выпишем уравнение Шредингера для нашей системы в терминах амплитуд A(t), B(E,t), пренебрегая переходами континуум - континуум ( т.е. используя приближение вращающейся волны ):

dA

Е

2

ж - ~ iEoA - iL(t)Jg(E)B(E, t)dE, Е

(4)

-Ц = -iEB - iL(t)g(Е)А.

Здесь Eq - энергия уровня,

L(t) = Jduf (u)cos[<^(w) + t(f2 + ы)],

u

1

п - оптическая частота, £(ш) описывает модуляцию внешнего поля, функция ф(и) описывает начальные фазы отдельных гармоник . Функция д(Е) - матричный элемент оператора дипольного момента, она

описывает взаимодействие состояний в зоне и уровня и внешнего поля. Мы полагаем, что справедливы соотношения: |w |, \ыг\ << П. Нас интересует решение системы уравнений (4) со следующими начальными данным, которые соответствуют задаче о распаде уровня в зону ( континуум ):

А(0) = 1, В(Е,0) = 0, (5)

В качестве естественного масштаба мы используем для этой задачи ширину зоны С или эффективную ширину континуума ). Используя соответствующую замену временной переменной и исключая переменную В(г), мы сводим задачу к решению начальной задачи для интег-ро-дифференциального уравнения

т_

а'= isa - р2т(т)| m(x)a(x)Q(x-x)dx, (6)

о

Q(y) = Jv2(ç)exp(-içy)dç, (7)

<а

a(0) = 1, (8)

где х - новая временная переменная, а(т)- функция A(t) после сдвига в новых переменных, v(ç) - приведенный матричный элемент оператора дипольного момента атома, функция m(г) описывает модуляцию внешнего поля, р - эффективный параметр Раби внешнего поля ( отношение размерного параметра Раби к ширине зоны или эффективной ширине континуума ), s - приведенная расстройка несущей частоты внешнего поля. Нас интересует решение этой задачи

в случае, когда р >> 1, а остальные параметры принимают значения порядка 1. То, что модуляция внешнего поля неглубокая означает, что

р(т) = |П)(г) I > 0. (9)

На первом этапе мы обсуждаем динамику системы У - 3, когда величина С2 конечна. При этом известные методы [ 16 ] позволяют построить асимптотику решения задачи в любом порядке. В итоге мы получаем, что населенность уровня осциллирует, причем усредненная населенность уровня не изменяется со временем.

Аналогичным образом мы обсуждаем и задачу о динамике квантовой системы У - К. В этом случае = °> и мы полагаем, что выполняются соотношения

C2v2(<) = е (1 + с)" + п(<), (10)

причем пСС) = 0(Га_1), 0 < а < 1, е = const > 0. Это, между прочим, позволяет ввести понятие об эффективной ширине континуума и сохранить предыдущие обозначения. Однако в этой ситуации результаты [ 16 ] непосредственно неприменимы: вторая производная функции Q(y) обращается в и при у = 0. Используя надлежащую модификацию асимптотической процедуры, мы строим асимптотику решения. Оно представляется в виде суммы двух быстроосциллирующих обобщенных гармоник Раби и медленно осциллирующего асимптотически малого слагаемого. Одна из гармоник распадается со скоростью порядка 0(р~а), в то время как

амплитуда второй гармоники не изменяется. Таким образом, скорость распада населенности уровня уменьшается с ростом параметра Раби, т.е. с ростом амплитуды внешнего поля.

В параграфе 3.2 мы обсуждаем динамику квантовой системы У -3 в сильном глубоко модулированном квазирезонансном поле [ К.9 ]. В этом случае условие ( 9 ) не выполняется: функция т(т) может иметь нули ( например, периодически ), и результаты [ 16 ] не применимы к построению асимптотики решения задачи (6) - (8). Для ее построения мы рассматриваем динамику системы на интервалах времени, не содержащих нули ш(х), и на интервалах, содержащих нули ш(т) отдельно, а затем применяем процедуру сшивки построенных решений. При этом решение задачи в целом опять-таки представляется в виде суммы двух обобщенных гармоник Раби. Скорость распада ( уменьшения амплитуды ) этих гармоник есть, в общем случае, величина порядка 0(р-1). Однако возможны ситуации ( связанные со специальным выбором т(т) ), когда распада гармоник, а значит и средней средней населенности уровня, нет.

В параграфе 3.3 мы обсуждаем динамику атома в сверхсильном световом поле. Мы предполагаем, что в начальном состоянии заселен один уровень. Используя те же соображения ( разлагая волновую функцию по собственным состояниям статичной части потенциала и приводя уравнение Шредингера к бесконечной системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений ) что и выше, мы сводим задачу к построению решения начальной задачи для системы инте-гро-дифференциальных уравнений

йа/йЬ = - 11гд(Ь)^а(х)я(х)ф(х,Ь)(1х1

(И)

о

9(х,Ь) = ^(Е№Е,х,ЬПЕ

(12)

зз(Е,х,Ь)/дЬ = - Ш(£,х,Ь) + 1Ед(Ъ)^Р(Е,Е1)Е(Е1,х,Ъ)(1Е1, (13)

Здесь масштаб времени выбран так, что "средняя" частота внешнего поля равна 1, Л - эффективный параметр Раби внешнего поля, - модуляция внешнего поля, а(Ъ) - амплитуда проекции волновой функции атома на первоначально заселенный уровень. Функции Р(Е,Е ), ¿(Е) - матричные элементы оператора дипольного момента атома. Мы полагаем, что эти функции удовлетворяют условиям типа (10). Мы ищем решение системы (11) - (14) в предположении, что Я >> 1, а остальные параметры задачи есть величины порядка 1. Это и есть конкретизация понятия "сверхсильное поле".

Построение решения этой начальной задачи опирается на процедуру типа интегрирования по частям уравнения (11). С ее помощью мы выводим "укороченное" уравнение, которое необходимо для построения решения с точностью до асимптотически малых поправок. Это уравнение мы первоначально решаем, полагая, что интегральный оператор с ядром Р(Е,Е ) ( субматрица оператора дипольного момента атома ) - интегральный оператор Гильберта - Шмидта и имеет чисто дискретный спектр. В этом ( нефизичном ) случае процедура построения решения задачи (11) - (14) достаточно проста и позво-

■Е(Е,Ь,Ь) = ё(Ю, а(Ъ)= 0.

(14)

ляет получить явную-формулу, описывающую решение вплоть до асимптотически малых поправок. Это соотношение сводится, по существу, к интегралу по спектру субматрицы от величин, явным образом связанных со спектром статичной части оператора Шредингера и оператора дипольного момента атома. Затем мы выписываем аналог этого соотношения для реальных атомов, для простоты рассматривая одномерный атом. Оказывается, что спектр субматрицы в этом случае можно описать в явном виде. При достаточно общих предположениях он содержит, кроме непрерывной части ( -», ш ) еще и дискретные собственные значения. При вычислении упомянутого выше интеграла по такому спектру кроме интеграла по разрезу возникают еще и псевдополюса. Если число дискретных собственных значений субматрицы равно L, то число псевдополюсов M > L + 1. В итоге для амплитуды первоначально заселенного уровня мы получаем соотношение вида:

M t

ait; = £ ^exp^ipC^Jgfsjds + iVfçJt J + (15)

m=l О

+Ю t

+ jdrexpj^iprj'qC.sJds + iV(r)t^\(r),

—GO О

где первая сумма отражает вклад псевдополюсов, а интеграл ( от абсолютно интегрируемой функции ) - вклад непрерывной части спектра. Это соотношение приводит к следующим результатам.

1) Стабилизация атома в сверхсильном поле. Интеграл от быстроосциллирующей функции дает асимптотически малый вклад при вычислении средней населенности уровня, в то время как вклад псевдополюсов положителен.

ii) Если t = t , причем t

m

[qfsjds = 0, 0

то в населенность уровня дает вклад и интеграл в правой части (15). Т.о., в населенности уровня возникают пики шириной 0(р 1), т.е. имеются возрождения ( revivals ) населенности.

Hi) Соотношение (15) описывает общую структуру решения нашей начальной задачи. Из него следует, что главную часть решения составляет несколько относительно простых функций.

В главе 4 мы обсуждаем некоторые модификации модели Джейнса - Каммингса, обладающими интересными с точки зрения приложений свойствами. Хорошо известно, что модель Джейнса - Каммингса адекватно описывает взаимодействие ( двухуровневого ) атома с квазирезонансной квантованной модой электромагнитного излучения. Однако с точки зрения создания квантованного поля с заданной статистикой эта модель ( а точнее, соответствующая физическая система ) не предоставляют достаточно богатых возможностей. Это связано с тем обстоятельством, что в этой модели не происходит генерации квантованной моды, квантованное поле скорее деформируется при взаимодействии с атомом. Этот факт отражается в "бедной" структуре собственных функций соответствующего гамильтониана - их проекции на состояния чисел заполнения квантованной моды содержат только две ненулевые компоненты. Аналогичные обстоятельства имеют место и для известных модификаций модели Джейнса - Каммингса (см., например, [23] ).

В главе 4 мы обсуждаем ряд модификаций модели Джейнса - Камминг-са, которые описывают взаимодействие ( двухуровневого или трехуровневого ) атома с квантованной модой и еще одной ( квантованной или классической ) модой, причем возможен свободный обмен фотонами между модами. Соответствующие физические системы могут в полном смысле слова быть "источниками" квантованного излучения - оно может формироваться за счет "перетекания" фотонов из другой моды через атом.

Для исследования таких систем мы применяем аппарат Фока -Баргманна. Он позволяет свести соответствующую задачу к исследованию уравнения в частных производных. Для построения решений этого класса уравнений развита мощная техника, в том числе методы деления переменных и разнообразные асимптотические процедуры. Эти методы позволяют нам либо построить полный набор собственных функций для соответствующего гамильтониана, либо описать в явных терминах решение начальной задачи ( если среди мод внешнего поля есть классическая ). И в том и в другом случае решения этих задач демонстрируют наличие "свободного" обмена фотонами между модами.

В параграфе 4.1 мы обсуждаем взаимодействие двух квантованных мод с двухуровневым атомом, когда обе моды квазирезонансны атомному переходу. Б параграфе 4.2 мы рассматриваем ситуацию, когда одна мода квазирезонансна, а вторая находится в двухфотон-ном резонансе. В параграфе 4.3 мы приводим решение начальной задачи для физической модели, описывающей взаимодействие двухуровневого поля с квазирезонансными квантованной и классической

модами. Параграф 4.4 посвящен обсуждению обмена фотонами между двумя квантованными модами с помощью трехуровневого атома в присутствии классического поля на смежном переходе. В параграфе 4.5 мы обсуждаем взаимодействие квантованной моды с бесконечноуров-невым атомом.

Литература

1. Стенхольм С. Основы лазерной спектроскопии. М.: Мир, 1987.

2. Акулин В.М., Карлов Н.В. Интенсивные резонансные взаимодейст-

вия в квантовой электронике. М., Наука, 1987.

3. Летохов B.C., Чеботаев В.П. Нелинейная лазерная спектроскопия

сверхвысокого разрешения. М.,Наука, 1990.

4. Федоров М.В. Электрон в сильном поле. М, Наука, 1991.

5. Миногин В.Г., Летохов B.C. Давление лазерного излучения на

атомы. М., Наука, 1986.

6. Adams С.S., Sigel M., Mlynek J. Phys. Rep., 1994, v.240, p.

145.

7. Yoo H.-I., Eberly J.H. Phys.Rep., 1985, v.118, p. 241.

8. Головинский П.A., Киян И.Ю. УФН, 1990, т.160, с.97.

9. Knight P.L.,bonder M.A.,Dal ton P. Phys.Rep., 1990,v.190, N1.

10. Eberly J.H., Javanainen J., Rzazewski K. Phys.Rep., 1991,

v.204, N5.

11. Giusti-Suzor A.,Mies F.H., DiMauroL.F., Charron E., Yang B.

J.Phys.В, 1995, v.28, p.309.

12. Делоне Н.Б.,Крайнов В.П. УФН, 1995. т.165, с.1295.

13. Федорюк М.В. . Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983.

14. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. М., Наука, 197?.

15. Найфэ А. Введение в методы возмущений. МИР, Москва, 1984.

16. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.

М., Наука, 1981, гл.4.

17. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М., Наука, 1987.

18. Топтыгина Г.И., Фрадкин Э.Е. ЮТФ, 1982, т.82, с.429.

19. Ruyten W.M. Phys. Rev. А, 1989, v.40, p.1447.

20. Kocharovskaya 0., Scully M.O. Phys. Rep., 1992, v.219,

p.175.

21. Бабич B.M., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в

задачах теории диффракции. Ленинград, Изд--во ЛГУ, 1974.

22. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах

дифракции коротких волн. М., Наука, 1972.

23. Додонов В.В., Манько В.И., Чумаков С.М. Труды ФИАН СССР, 1986, т. 176, с. 57.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ К.1. Казаков А.Я. Двухуровневый атом в бигармоническом поле. //Опт.и Спектр., 1990, т.69, с. 244-246.

К.2. Казаков А.Я. Двухуровневый атом в сильном полигармоническом внешнем поле.//ШЭТФ, 1991, т.99, с. 705-714.

К.З. Александров Ф.О., Казаков А.Я. Об эффекте Штарка для двух-

уровневого атома в сильном полигармоническом поле.//ШЭТФ, 1992, т.101, с.431 - 434.

К.4. Казаков А.Я. Параметрические резонансы в системе: газ двухуровневых атомов + внешнее излучение.//ШЭТФ. 1992. т.102, с.1484-1495.

К.5. Казаков А.Я. Параметрические резонансы в системе: газ трехуровневых атомов + внешнее излучение.//ШЭТФ, 1993, т. 103, с. 1548 - 1570.

К.6. Казаков А.Я. Параметрические резонансы и усиление без инверсии в трехуровневой среде.//Опт. и Спектроск., 1993, т.75, с. 1109 - 1113.

К.7. Казаков А.Я. Квантовые системы уровень - зона и уровень -континуум во внешнем поле.//ШЭТФ, 1995, т.107, с.1047-1060. К.8. Kazakov A.Ya. Modified Jaynes-Cummings model: Interaction of the two-level atom with two modes.//Phys.Lett. A, 1995, v. 206, pp.229 - 234.

K.9. Казаков А.Я. Квантовая система уровень - зона в сильном глубоко модулированном внешнем поле.//Зап. научн. семин. ПО МИАН РАН, 1995, т.230, с.52-74.

К.10. Kazakov A.Ya. Light field caustic: mirror, trap and pincers for atoms.//Laser Physics, 1996, v.6, N1. K.ll. Казаков А.Я. //ШЭТФ, 1996, т. 110, N1 (7). К.12. Kazakov A.Ya. Light field caustic: mirror, trap and pincers for atoms.//Quantum electronics and laser science Conference, Anaheim, California ( QELS'96 ), Techn. Digest, Washington, 0SA, 1996, p.188.