Квазиклассические траекторно-когерентные состояния и эволюция квантовых средних тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВ ЕНШй УНИВЕРСИТЕТ им. В. 6. Куйбышева

На правах рукописи УЖ 539.12:53и.145

Кондратьева Маргарита Федоровна

КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРНО-КОГЕРЕНТШЕ СОСТОЯНИЯ Й ЭВОЛЮЦИЯ КВАНТОВЫХ СРЕДНИХ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск 1993

Работа выполнена на кафедре Прикладной Математики Московского института электроники и математики.

Научные руководители: доктор Физико-математических наук. . Б. В. Белов, кандидат Физико-математических наук А.Ю. Трифонов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, А.В.Шаповалов,

кандидат Физико-математических наук А. Г. Караваев.

• Ведущая организация: Московский энергетический институт.

Защита состоится "_"__1993 г. в_ часов

на заседании специализированного совета й 063.53.07 по присуждению ученой степени доктора наук по специальности 01.04.02 (теоретическая физика) в Томском государственном университете С 634010 Томск, проспект Ленина. 36. главный корпус, аудитория 136).

С диссертацией можно оз>»акомитъся в Научной библиотеке Томского государствекого университета.

Автореферат разослан "_"_1993 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ специализированного Совета j^y

кандидат физико-математических наук С. Л. Ляхович

Подпиоако к печати 20.09.93 3:и:.1С5 Тир.DO Обгон I п.л.

'Ш, Москва, М.Ппопэрокая ул.,12

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации развивается новое (траекторно-когерентное) направление квазиоассического подхода в квантовой теории. В ражей зтого направления построены асимптотические рете-ния конкретных- квачтовомеханических эволюционных уравнений-и реализована строгая процедура получения соответствуших классических уравнений. Предложено описание квантовой системы, альтернативное уравнению Шредингера. Показано, что квазиклассическоэ ' приближение в квантовой механике эквивалентно (в смысла вычисления срэдних значений наблюдаемой) замене уравнения Шреджгера конечной замкнутой системой ■ обыкновенных дифференциальных уравнений.

АКТУАЛЬНОСТЬ. ТЕМЫ. Метал построения кзазиклассических асимптотик является одним из наиболее мощный, а зачастую и единственным методом исследования широкого класса задач, -для которых, как правило, невозможно построение явных формул для точных решений.

Математическая сторона квазиклассического подхода в кванто-зоя механике состоит в том,. что основные уравнения теории [уравнение Ыредингера, Дирака и т.п.) могут быть рассмотрены сак уравнения с малым параметром & (формально .пропорциональным постоянной Планка К ) и„ следовательно, их решения Можно 1скать з виде разложений по этому параметру. В связи с этим в сонкретньгх задачах яолхея быть проведен анализ и найдена область значений параметров, для которых 'квазиклассическое -причинение корректно, т.е. безразмерный параметр разложения мая.

Другой взгляд на квазиклассическое- приближение, предстазля-щийся' более глубоким и плодотворным,. состоит в том, что тре-)уется не только.искать приближенные решения кзантовомехани-[еских задач, но и устанавливать физическое соответствие >езультатов квантовой и классической механик. Именно этот юдход, включающий построение асимптотик как существенную (асть, развивается в диссертации. -

1ак. например, решение одной мз принципиальных проблем соответствия результатов квантовой м классической механики для заряда во внешней электромагнитном поле - проблемы вывода классических уравнение движения из уравнения движения для юаотгово-мехеиичэскик средник в пределе при — 0 принято связывать с существованием нормирований« динамических состояний квантовой система в форме валковък пакетов» сосредоточен-■ ных в окрестности положения классической частицы. Естественно . ожидать» что такие состояния можно построить в квазиклассическом приближении. если потребовать чтобы фаза волновой Функции имела, в отличие от стандарткк-8 8КБ асимптотик, неотрицательную мнимую часть, обращавшуюся в нуль на .классической траектории. Построение такого сорта квазиклассических асимптотик дае'т возможность продвинуться в этой старой проблеме, поставленной по-существу еще П„ ЭренФестом для нерелятавистс-кой квантовой механики, и решить ее в обаем случае - для произвольного внешнего поля, причем,как для. нерелятивистской, так и для релятивистской частицы с учетом ее спина С изоспи-на). При этом открывается возможность расширенной трактовки самой классики как замкнутой система обыкновенных дифференциальных уравнения (ОДУ) относительно квацтово-меканических средних набора наблюдаемых, н получения, из квантовой механики классических уравнения для квантовых средних наблюдаемых, не имещих классического аналога (например, спин или изоспин частицы). Указанный подход позволяет получить (В.Г. Багров. В.В. Белов) уравнения двикекия спина для произвольных электромагнитных полей и строго обосновать, тот Факт, что в спиновых уравнениях 'электромагнитные поля следует брать в точках классической траектории точечного заряда. Другой подход для получения квазиклассических аналогов уравнения БИТ из уравнений Гейзенберга, основанный на собственновременном представлении уравнения Дирака использовался в работах В;А. Бордови-дана. И.М. Тернова. Проблема получения замкнутой системы ОДУ относительно квантовых средних особенно актуальна при рассмотрении квантовых теорий в неабелевых калибровочных полях.

где подчас не ясно, что понимать под классикой, и поэтому сака постановка вопроса о соответствии квантовой теории классике является проблематичной. Например, такая ситуация имеет место в квантовой механике релятивистской частицы с изотопическим спином во внешнем неабелевом калибровочном поле с группой 511(2). где к настоящему времени нельзя считать установленной окончательно саму концепцию классического описания неабелева заряда. Эта проблема, начиная с работ Вонга, интенсивно обсуждается и . в настоящее время С В. Дрешлер, Г. Ародц, В.Хейни, А.И.Алексеев, Б.А.Арбузов. В.Г.Багров, А.С.Вшивцев, Р. Монтгомери).

Следует отметить также, что решения указанного вида для уравнения Шредингера со скалярным потенциалом строились в работам В. М. Бабича, Ю. П. Данилова, Г. Хагедорка, Е. Хеллера, М. Ни-ето. Для произвольных (в том числе и релятивистских гамильтонианов) во внешнем электромагни-шом поле разработан и реализован общий ыетод построения квазиклассичэских асимптотик С В. Г. Багров, В.В.Белов, И. М. Тернов. А.Г.Караваев. А. Ю. Трифонов), основанный на теории, комплексного ростка В. П.Маслова. Построенные этим »¿етодом волновые Функции получили' название "Квазиклассические Траекторно-когерентньв состояния"СКТКС). В случае квадратичных гамильтонианов КТКС являются точными решениями квантовой задачи и совпадают с (сжатыми) когерентными состояниями.

ЦЕЛЬЮ РАБОТУ является развитие методов построения квазиклассических асимптотик с комплексными фазами для ' динамических квантовых систем и их применение к решению конкретных физических задач и проблем, в частности проблемы получения классических уравнений движения из квантовой теории.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

1. Реализован общий метод построения динамических асимптотических решений уравнения Мрэдингера (в Форме'волновых пакетов, локализованных в окрестности классической траектории

частицы в Фазовом пространстве) - квазиклассических траектор-но-когерентных состояний для задачи о квантовом ангармоническом осцилляторе и задачи о движении электрона в однородном электромагнитном поле в присутствии соленоида. Проведен анализ расплывания пакетов и зависимости невязки от времени. Указана область параметров задачи, для которых квазиклассическое приближение применимо.

2. Построены новые асимптотические С с любой степенью точности по параметру fi — 0) Формулы - КТКС для задачи о движении мзоспиновой частицы в произвольном пол Янга-Миллса с калибровочной группой SUC 2) как в нерелятивистском так и в релятивистском случаях.

3. В рамках волнового Формализма решена проблема предельного перехода fi — 0 из квантовой механики частицы в произвольном- хромоэлектромагнитном по/.е в классическую в духе подхода ЭренФеста: показано, что для квантовой системы с гамильтонианом Дирака (Шредингера) с калибровочной группой SIX 2) каанто-во-механические средние, рассчитанные по КТКС для операторов координат, импульсов и изоспина частицы, в пределе при fi О являются решениями конечной замкнутой системы обыкновенных дифференциальных уравнения, совпадающих с уравнениями Вонга.

4. Разработан новый асимптотический подход к проблеме вывода классических уравнений движения из уравнений квантовой механики. Классические уравнения определены как система обыкновенных дифференциальных уравнения, зависящих от fi и замкнутая относительно квантовьс( средних некоторого набора наблюдаемых. Установлена иерархия классических в этом новом смысле уравнений движения, градуированная точностью по парам*.-тру fi, с которой вычисляются средние набора наблюдаемых и соответственно точностью, с которой построенные КТКС аппроксимируют решение квантовой, задачи.

С другой стороны эта конечные классические системы ОДУ могут рассматриваться как квазиклассическое приближение соот-ветствувдея квантовой задачи, а их источник - полученная в диссертации замкнутая система с бесконечным числом уравнений

переменных - как описание квантовой системы, альтернативное равнению Шредингера. Это означает, что квантово-механическсе реднее любой наблюдаемой (заданной самосопряженным операто-эм в пространстве состояний квантовой задачи) вычисляется очно по решениям бесконечной системы ОДУ или с некоторой очностью по параметру $ — 0 по решениям соответствующей коечной системы ОДУ. Такой метод вычисления средних является льтернативой решению уравнения Шредингера (точно или прибли-екно по & -»О) с последушим усреднением оператора по полу-енным волновым функциям.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ ДИССЕРТАЦИИ. Полученные в работе тео-етические результаты дают возможность эффективно применять азвитую технику квазиклассического траекторн о- ко ге Ре н тн о го риближения для решения принципиальных вопросов, связанных с остроением классической теории движения заряже: яьи частиц, заишдействугацих с калибровочными полями. Материалы диссер-•ации могут найти применение в работах, ведущихся по сходной ематике на кафедре теоретической физики МГУ, квантовой тео->ии поля Томского госуниверсихета и других вузах и науч-га-исследовательских' институтах.

Предложенное в диссертации квазиклассическое описание квантовой задачи конечной замкнутой системой ОДУ, позволяет дру-■им способом рассчитывать квантовые характеристики системы, в юстности квантово-механические средние наблюдаемых (с любой ¡петенью точности по & »0). Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

ШРОБАЩЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Материалы диссертации докладывались на ручных семинарах кафедр теоретической Физики физического Фа-сультета. МГУ, ■ прикладной математики МИЭМ, на школе молодых /ченых МГУ "Элементарные частицы и внешние поля" (Ярославль, 1992 г.), на Всесоюзной конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической Физики" (Тернополь, 1989 г.), на региональной конференции молодых ученых "Ф1зика

конденсовенного стани" (Львов. 1990 г.), на школе "Секреты кзаитовой и математической интуишй" (Дубна, 1993 г.), на 6-й Ломоносовской конференции по Физике элементарных частиц "Cosmomlcrophysics and geuBe fields" (Москва, 1993 г.).

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на страницах маши-

нописного текста. Слисок использованной литературы вкличает наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Бо введении обзорно рассматриваются различные подходы, устанавливающие связь классической и квантовой теорий и анонсируется новый подход к решению этой проблемы в рамках Формализма квазиклассичэсклх траакторно-когерентных состояний. Дано описание структуры диссертации и основных задач, решаемых в ней.

Первая глава посвящена построению КТКС нестационарных квантовых систем, а именно построены асимптотические по парамэтру ii 0 решения квантовой системы с гамильтонианом 71, такие что:.

1) они образуют полный ортонормнрованныя набор динамических состояний квантовой системы, локализованных в окрестности ■

классической траектории и параметрически зависящих от произвольной точки Фазового пространства (х.°,р")г i) - ыультииндекс, нумерующий состояния. М - степень приближения по параметру Н - 0,1,2,...

2) имеется оценка нормы невязки

а/ iu-tQt >7t)%iH)\i -rUa)^oanti)

»

3) состояния являются асимптотикой точного решения задачи

// У^оуноеГ % ^ У = 0(6 )

4) состояния обладают свойством траекторной когерентности

да)

Ь — о

Л Л /»

для наблюдаемой А - имешей. классический аналог

й(х(1),р(И, t), где хи),- решения классических уравнений движения.

В п.1 первой главы воспроизводится метод построения состояний с указанными своРствами - КТКС для уравнения Ирадингера опмсьЕактлего частицу с N степенями свободы в электромагнитной поле. Расс&отривагзтся две конкретные квантовые модели, для ко-тсрьм ка основании общих Формул строятся первые члены асимптотики. Кроме того, в этик моделях вычислена дисперсия координат и показано, что КТКС для электрона в однородном магнитном поле а присутствии соленоида являются нерасллывахшмися пакетами (дисперсия ограничена по времени), а для модели квантового ангармонического осциллятора

л ,

2 (п. > Г Ъзс.

указало время, за которое дисперсия возрастает не более чем з два раза. Вычислено значение параметра разложения этой задачи и указаны значения параметров потенциала гг.Ь и начальных данных задачи, для который параметр квазиклассического разло-гекия нал. Проведен анализ времени разруиэния точностиГ, определяемого условием

) > 2 ,

где /(¿)- невяз|са из (1). Выявлена зависимость времени 1' разрушения точности и распаивания пакета от параметров потенциала и начальных данных задачи (энергии, начальной дисперсии

волнового пакета).

В п. 2 первой главы предъявлен алгоритм построения квазиклассических траекторно-коге рентных состояний для уравнения

типа Паули А

А *

Д л | . JT* х Л A w

Ъ . Х(х., р. t,it ) , 2) -- Т>

(Г = ((Г,, 6*1,6;)- матрицы Паули. оч )

Согласно общему алгоритму построены -il,

КТКС изоспиновой частицы в произвольном внешнем поле Ян-га-Миллса с калибровочной группой SIX 2) с любой степенью точности по параметру ii. Показано, что:

-задача построения КТКС уравнения типа Паули сводится к решению трех систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

-главный член асимптотики уравнения типа Паули представляется в виде произведения главного члена асим-

л

птотнки скалярного уравнения Шредингера с гамильтонианом % и спинора Л/^ftj, определяемого уравнением

ïj. Util =1,

где функция D (je, p) вычислена в точке классической траектории x(i),pd)~ решении системы гашлътона с гамильтонианом Я (х,.р, 6, О ) .

В п.З главы первой построены одночастичные КТКС (с любой степенью точности по параметру & 0) для релятивистского уравнения Дирака в хромоэлектромагнитном поле с потенциалами i ) ; (x,i)-(А?, А*, А a*i,2,i ( калибровочная группа SUC 2)). Этот набор КТКС отвечает одному из собственных значений матричного гамильтониана задачи. Решения для другого собственного значения получаются аналогично. Показано, что главный член асимптотики имеет вид

. ' . П. , : /

1\ - проектор на собственное подпространство, отвечающее

выбранному собственному значению, главный член КТКС

свободно движущейся скалярной частицы, 4-х компонентный спинор удовлетворяет уравнению

ЦЬ *Ь { О ) И -О, >.(*„,х>,

Т1(0)- ><ю£п(0), ^

а функция 25 (х,/>) вычислена в точкам классической траектории отвечашей свободному движению частицы.

Вторая глава посвящена выводу уравнений для квантовых средних набора наблюдаемых.

Согласно теосеья ЭрэнФеста, только для квадратичных гамильтонианов можно построить конечную замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно квантовых средних операторов координаты х. и импульса р --¿АЭ/й^.. Задача состоит в получении замкнуто«* системы относительно квантовых средних в случав произвольного гамильтониана, т.е. нужно указать такой набор наблюдаемых,эволюция средних значения которых описывается замкнутой системой ОДУ. Такая система получена в диссертации: она является одним из способов описания квантовой задачи, поскольку содержит информацию о квантовой системе в смысле вычисления средних значений наблюдаемых величии и спектра. Следовательно, имеется выбор: либо описывать квантовую систему уравнением в частных производных,либо бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В диссертации выбран такой набор наблюдаемых, и бесконечная замкнутая система ОДУ для квантовых средних значений представлена в такой Форме, что оказалось возможном получить конечные замкнутее системы О ДУ (относительно п » 2,3,___переменных), являкшеся описанием квантовой задачи, альтернативным уравнении Шрадчнгера в квазиклассическом приближении. Причем с ростом размерности п системы ОДУ точность приближения по квазиклассичоскому параметру $ увеличивается.

В 4. А получена бесконечная система уравнений относительно

квантовый средних координат £ импульсов р и моментов (п»2,3,...) любого порядка, представляющая описание квантовой системы, альтернативное уравнению Шредингера с гамильтонианом 7С - РУ2.ПУ. *■ У(ос-). Выбрав в качестве переменных = уи к>ь Сг+к -п) квантовые средние операторов с символами Вейля (х-эс )к(р-р)\ получим

¿-х, ё - -уй) - £ •

Л/ = /п<./г. [ [ Ц; ] [ ^ ] } ( 1й 3 " У'-«1-1- гЛСтб Л.

Тогда для любого самосопряженного оператора ^ * р)Инеем (в предположении о сходимости ряда)

А Ы <чг!Й1Г> - 21 ^

П,(П * /

Систему, не содержащую параметр & явно«, получаем для набора переменных ум» „ являющихся квантовыми средними операторов вида " •

г, йх ... др +йр ... дх ар ') , ТА Л т Л А •• 1/ М

¿Ъс = Х- ОС , Ар * р - р .

Возможность записать систему, не содержащую ги не означает изгнания постоянной Планка из описания квантовой системы. Эквивалентность полученной системы ОДУ квантовому уравнению имеет место лишь в классе начальных условий, согласующихся с ке^нтово-механическими соотношениями между моментами типа соотношений неопределенности Гейзенберга, Шредингера и их обобщений. Следовательно, наличие Л С хотя бы'в начальных условиях) является необходимым для квантового описания. Анализ системы с такими начальными данными показывает, что в любой момент времени 1>0 имеет место оценка = "/г ) ,

т.э. & всегда присутствует в системе неявно. Призером состояния» на который такая оценка выполнена, лелкотсп КТКС. построенное з глава 1.

Аналогично мокно получить (и это сделано а диссертации в п. 4.5) замкнутую бесконечную систему•уравнений, альтернативную скалярному уравнению с произвольны?! гамильтонианом. Далее, в п. 5 такая система получека для эволюционного уравнения типа Паули относительно переменных х., р , _/1/п (п > г ), дополненных квантов ¡¿¡¿и средними операторов спина (изоспина).

Ограничиваясь заданной точностью по & Ст.о.отбрасывая члены порядка выше),, мы получаем замкнуту» конечную систему от-

носительно средних х, р сг.'-'нз (нзсспина) и ментов у^л порядка К не выше «(л »'0,1,2,...). Эта система ОДУ представляет описание квантовой системы, альтернативное уравнению Ыре-дингера с точностью {г^на некотором конечном интервале зре-

г . Л

мэни Ю/г ]/г.е. квантовое среднее наблюдаемой А определяется ее решениями

к* т о Г

Назовем эту конечную систему ОДУ классикой п-го порядка. Тогда классические уразнеия 0-го порядка для нерелятивистского электрона в электромагнитном поле совпадают с классическим нерелятивистскими уранениями Лоренца, а классика 2-го порядка описывает' влияние спина на траекторию частицы и содержит нерелятивистские уравнения Френкеля.

Для уравнения Шредингера с калибровочной группой 51К 2) слассика 0 ~го порядка есть свободное лвижение частицы, з классика 2 -го порядка совпадает с нерелятивистскими сравнениями Вонга. Лля уравнения Дирака с калибровочной груп-гай 51X2) получена замкнутая система относительно р к квантового среднего оператора изоспина (классика 2 -го порядка), »та система совпала (после перехода к собственному времени) с :звестными релятивистскими уравнениями Вонга.

С точки зрения предложенного в диссертации подхода» в квазиклассическом приближении уравнение Вонге представляет описание изоспиновой частицы в поле Янга-Миллса, альтернативное уравнению Дирака (Шредингера) с калибровочной группой БУС 2) (с точностью так те как уравнение Лоренца есть описание

спиновой частицы во внешнем поле, альтернативное уравнению Паули, с точностью &

В п. 6 приведена бесконечная система для квантовых средних х,р и моментов высших порядков в случае гармонического осциллятора.

Удалось получить ее точное решение. Сравнивая эти решения со средними значениями тек я® операторов по точным решениям эволюционного уравнения Шредингера получаем известные Формулы для спектра гармонического осциллятора. В заключении сформулированы основные результата и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построена первые члены асимптотик в виде квазиклассических траекторно-гсогерентных состояний для уразкения Шредингера в задачах о квантовом ангармоническом осциллятора и об электроне в магнитном поле в присутствии соленоида. Исследованы вопросы о корректности квазиклассического приближения,, о расплы-вании пакетов, о времени разрушения точности.

2. Построены с любой степенью точности по параметру & 0 квазиклассические ТКС для уравнений Шредингера и Дирака в полях Янга-Миллса с калибровочной группой 51К2).

3. В рамках квазиклассического подхода реализована математическая процедура получения классики из квантовой механики: получены замкнутые конечные системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно квантовых средних Яр и моментов порядка не выше п (названные классиками п-го порядка). Эти системы эквивалентны исходному квантовому уравнению с некоторой точностью по параметру Так, квантовое среднее, наблюдаемой А, вычисленное по приближенному решению квантового уравнения, выражается через решения указанных систем соответ-

егвушего порядка.

4. Показано, что классика 2-го порядка для уравнения Дирака (Шредингера) с калибровочной группой SIX 2) совпадает с известными уравнениями Вонга. описывапцими изоспиновую частицу в поле Янга-Йиллса.

5. Получено точное решение бесконечной замкнутой системы ОДУ относительно квантовый средних операторов координат, импульсов и моментов любого порядка в задаче о квантовом гармоническом осциллятотре и, как следствие, известные Формулы для спектра в этой задаче.

Основное содержанио и результаты диссертации опубликованы в следущих работах:

1. Белов В.В.. Кондратьева М.Ф. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния дуально-заряженной частицы а произвольном электромагнитной поле.//Сб. Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений. Вып. 4, Деп. ВИНИТИ 020689 N 3657 В89.

2. Белов В.В., Кондратьева М.Ф. Кваэиклассические траектор-но-когерентиые состояния релятивистской цветной частицы с изоспинок 1/2.-Томск. 19Ш.-20с. (Препринт СО АН СССР, N21).

3. Белов В. В., Кондратьева М. Ф. Классические уравнения движения в квантовой механике релятивистской цветной частицы с изоспином 1/2.- Томск, 1901 - 33с. (Препринт СО АН СССР. Томск, N11).

4. Белое В.В., Кондратьева М.Ф. Классические уравнения движения в квантовой механике с калибросочньаш полями. //ШФ. -1992

- том 92. N1. - с. 41-61.

5. Белов В.В., Кондратьева М.Ф. Эффект Аарсмсва-Бома для нестационарным квазиклассических траекторно-когерентных состояний в однородном магнитном поле. // Известия ВУЗов, Физика.

- 1992. - N 10. - с. 83-90.

6. Белов В.В., Кондратьева М.Ф. Квазиклассические траектор-но-когерент. ьи состояния ангармонического осциллятора. // Известия ВУЗов. Физика. - 1993. - N 8.