Траекторные методы в физике электронно-атомного рассеяния и корпускулярной оптике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СМИРНОВ ВАЛЕРИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

ТРАЕКТОРНЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ ЭЛЕКТРОННО-АТОМНОГО РАССЕЯНИЯ И КОРПУСКУЛЯРНОЙ ОПТИКЕ

Специальности 01.04.05-оптика 01 04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

"и^чав157

Санкт-Петербург 2008

003458157

Работа выполнена на кафедре оптики Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант доктор физ.-мат. наук,

профессор Толмачев Юрий Александрович

Официальные оппоненты . доктор физ.-мат. наук,

профессор Демков Юрий Николаевич

доктор физ.-мат. наук, профессор Дубов Виктор Викторович

доктор физ.-мат. наук, профессор Беляев Андрей Константинович

Ведущая организация 1 Физико-технический институт

им А. Ф. Иоффе РАН

Защита состоится « ^и2003 г. в / 5^часов мин на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д.212 232.45 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу .

199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб. дом 7/9, СПбГУ

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького СПбГУ

Автореферат разослан « £*» ф е^-^/); £_2008 г.

Ученый секретарь совета по защите

докторских и кандидатских диссертаций Д.212.232.45

доктор физико-математических наук,

профессор /I Ионих Ю. 3.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена развитию и применению траекторных методов в физике электронно-атомного рассеяния и корпускулярной оптике. В ней рассматриваются ряд теоретических аспектов методов основанных на траекторных интегралах фейнмаиовского типа и некоторые способы оценки таких интегралов для решения задач физики рассеяния. Также предлагаются линзовые системы нано- и атомного масштаба для корпускулярной оптики и изучаются их свойства и возможности применения в корпускулярной микроскопии и голографии. Большая часть результатов получена с применением траекторных методов.

Актуальность темы диссертации

Траекторные методы давно и широко используются в физике Наибольшее развитие получили рапичные варианты метода молекулярной динамики при рассмотрении задач классической механики и статистической физики. В квантовой физике траекторные методы имеют меньшее развитие в силу, как самой ее природы, так и традиций Наиболее часто используемым вариантом траекторных методов в квантовой физике является квазиклассическое приближение. Весьма широко используются в физике методы, основанные на траекторных интегралах различного типа Интегралы винеровского типа (фейнмановские интегралы для мнимого времени с вещественной экспонентой) применяются для решения задач статистической и квантовой физики [Ь.1]. Фейнмановские траекторные интегралы часто используются в теоретических построениях, однако, их применение для вычисления физических величин связано с определенной сложностью. Эта сложность во многом обусловлена осциллирующим характером подынтегрального выражения, содержащего комплексную экспоненту. В связи с этим, несмотря на потенциальные возможности, фейнмановские траекторные интегралы практически не используются для вычисления физических величин. К числу их достоинств следует отнести непертурбативность, гибкость и физическую наглядность постановки задачи, перспективность в исследовании нестационарных задач, особенно интенсивно изучаемых в последнее время в атомной физике.

В силу сказанного актуальной является задача построения способов оценки траекторных интегралов фейнмаиовского тина для решения задач атомной физики и, в частности, физики электронно-атомных столкновений.

Корпускулярную оптику можно трактовать, как широкое обобщение обычной световой оптики в отношении расширения набора основных частиц с фотонов светового диапазона до всевозможных частиц и квазичастиц. В практическом отношении наибольшее распространение до недавнего времени имели системы, основанные на заряженных частицах, прежде всего системы электронной оптики. Вместе с тем, номенклатура реально используемых частиц все время расширяется. Сейчас находят применение

системы, основанные на фотонной оптике радио- и рентгеновского диапазона, нейтронной,' фононной (инфра- и ультразвуковой), атомной оптике, и т. д. Есть проект по реализации нейтринной оптики [Ь.2].

Одним из основных 'методов изучения строения вещества на атомном уровне является электронная Микроскопия. Переход за суб-ангстремный предел в разрешении электронных микроскопов представляет собой сложную проблему, решение'которой имеет большое практическое значение. Несколько, продвинуться в разрешении позволяют коррекция аберраций объективной линзы и увеличение ускоряющего напряжения.

Атомная оптика в настоящее врёмя является интенсивно развиваемым направлением исследований, результаты которых применяются в ряде областей, в том числе ,в микроскопий и нанотехнологиях [Ъ.З]. Для формирования тонких кроссоверов атомных пучков используется фокусировка атомов на различных системах. Наибольшее разрешение (десятки нанометров) достигнуто при фокусировке на микролинзах, образованных стоячей световой волной. Однако, разрешение существующих систем не позволяет приблизиться к величинам, порядка атомного размера.

В свете сказанного, большое значение имеет разработка методов, ориентированных на прогресс в корпускулярной оптике атомного разрешения. К их числу относятся методы, основанные на предложенной нами концепции атомной линзы в корпускулярной оптике.

Цель и задачи работы • ' .

Цель работы состояла в

• теоретической разработке траекторных методов основанных на траекторных интегралах фейнмановского типа;

» разработке способов оценки .траекторных интегралов фейнмановского типа для решения задач атомной физики и корпускулярной оптики;

• определении параметров различных корпускулярных пучков, формируемых атомными линзами некоторых конфигураций;

• рассмотрении возможностей использования атомных линз в корпускулярной микроскопии н голографии.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи :

• рассмотрение ряда вопросов связанных с проблемой сходимости конечномерных аппроксимаций траекторного интеграла;

• построение общего выражения для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана;

• построение траекторного интеграла для матрично-значных гамильтонианов,

• разработка способов оценки .траекторных интегралов фейнмановского типа;

• тестирование этих способов на простых задачах;.

• изучение свойств корпускулярных пучков, формируемых атомными линзами различных конфигураций;

• рассмотрение совместной самофокусировки светового и атомного пучков;

• моделирование схемы электронной микроскопии со сканированием решеткой фокусов электронного пучка, образованных атомными линзами;

• моделирование схем корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе.

Научная новизна работы состоит в том, что:

• применяющаяся в доказательстве сходимости предельных процедур для фейнмановских траекторных интегралов теория Чернова, касающаяся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, обобщается на класс стабильных семейств операторов;

• приведено достаточное условие сходимости по норме аппроксимаций оператора эволюции;

• впервые получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана;

• предложен ряд способов оценки траекторных интегралов фейимановсого типа;

• эти способы апробированы на простых модельных задачах, допускающих решение с произвольной точностью и на задачах электронно-атомного рассеяния;

• предложены и теоретически обоснованы

- использование одиночных атомов в качестве линзовых систем электронной оптики;

- использование решеток атомов в кристалле в качестве линзовых систем электронной оптики;

- осевая схема корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе;

• впервые изучены параметры электронного пучка, распространяющегося за одиночным атомом и за колонками атомов в тонком кристалле;

• впервые изучены параметры атомного пучка распространяющегося через наноотверстие в тонкой пленке в отсутствие и в присутствие внешнего электростатического поля.

Основные положения, выносимые на защиту

1 Обобщение теории Чернова, касающейся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, на класс стабильных семейств операторов.

2 Достаточное условие сходимости по норме аппроксимаций оператора эволюции.

3. Общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана.

4. Способы оценки траекторных интегралов фейнмановского типа, основанные на

- методе Монте-Карло,

- обрезании в окрестности оптимальной траектории,

- аппроксимации гауссовыми интегралами.

5. Применение этих способов для задач электронно-атомного рассеяния.

6. Разработка концепции атомной линзы для корпускулярной оптики, а именно

• результаты изучения параметров

- электронного пучка, формируемого при прохождении одиночных атомов и колонок атомов в кристалле,

- атомного пучка распространяющегося через наноотверстие в тонкой пленке в отсутствие и в присутствие внешнего электростатического поля;

- системы с самофокусировкой светового и атомного пучков наномасштаба;

• предложение и теоретическое обоснование

- использования одиночных атомов в качестве линзовых систем электронной оптики;

- использования решеток атомов в кристалле в качестве линзовых систем электронной оптики;

- осевой схемы корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе.

Апробация работы

Результаты вошедших в диссертацию исследований представлены на

- XVIII, XX, XXIII, XXIV Международных конференциях по физике фотонных, электронных и атомных столкновений (ICPEAC: Aarhus, 1993; Vienna, 1995; Stockholm, 2003; Rosario, 2005);

- V, VIII Европейских конференциях по атомной и молекулярной физике (ЕСАМР: Edinburgh, 1995; Rennes, 2004);

- Объединенной европейской и национальной астрономической встрече, сопутствующий коллоквиум "Атомные и молекулярные данные для астрофизики" (JENAM-2000. Москва, 2000);

- V, VI конференциях и II, III, IV семинарах "Атомные данные для астрофизических исследований" (С.-Петербург, 1993, 1995, 1998, 1999, 2000);

- Международной конференции HI-TECH 98, St. Petersburg, 1998;

- 18th International Conference on X-ray and Inner-Shell Processes, Chicago, 1999;

- Международной конференции молодых ученых и специалистов 'Оптика-99' Санкт-Петербург, 1999;

- IV Международной научно-технической конференции «Электроника и информатика-2002», Зеленоград, 2002;

- 31, 34 EGAS Conference (Marseille, 1999; Sofia, 2002);

- International seminar on physics of electronic and atomic collisions, Klyazma, Moscow region, 2001;

- International Conference on Physics of Low Temperature Plasma. Kyiv, 2003.

Обобщение результатов работы приведено в публикациях в журналах

- Ultramicroscopy, 1997, J. Phys. D, 2001, Phys. Rev. В, 2002, Phys. Rev. A, 2007, J. Phys. A, 2008.

Работа поддерживалась грантами РФФИ (проект № 00-03-32920-а, 2000 г.); НАТО (project: PST.EV.976808, 2000 г.); Министерства образования (Межвузовская программа: «Научные исследования высшей школы по экологии и рациональному природопользованию». 2000 г.; Программа: «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», подпрограмма: "Электроника", раздел' "Микро- и наносистемная техника", код проекта 208.06.01.070,2002 г.).

Исследования по теме диссертации получили следующие премии.

- первую премию на конкурсе 2004 года лучших научных работ России и стран СНГ в области оптической голографии и интерферометрии им. профессора Ю. И. Островского, учрежденном Физико-техническим институтом РАН им. А. Ф. Иоффе: работа «Изучение фокуса атомной линзы как источника излучения в корпускулярной голографии»;

- третью премию в конкурсе 2003 года научных работ Физического Учебно-Научного Центра Санкт-Петербургского государственного университета: работа «Теоретические исследования атомарных линз в корпускулярной оптике».

Публикации и личный вклад

Теме диссертации посвящены 52 публикации; основное её содержание изложено в работах, ссылки на которые приведены в конце автореферата. Постановка задач, способы решения и полученные при этом основные результаты принадлежат автору. В диссертацию включены данные самостоятельных исследований автора, из совместных работ - результаты, полученные под его научным руководством, и при непосредственном участии.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложений. Она изложена на 312 страницах, включая 276 страниц текста, 79 рисунков, 19 таблиц и список литературы из 250 наименований.

Содержание работы

Во введении дается обзор содержания диссертации.

В главе 1 излагаются общие вопросы, касающиеся метода интегрирования по траекториям в квантовой теории и говорится о подходах к определеншо континуального интеграла фейнмановского типа. В диссертации принята схема определения фейнмановского траекторного интеграла, основанная на предельных процедурах для конечномерных аппроксимаций. Эта схема удобна своей конструктивностью.

В первом параграфе главы 1 приводятся конечномерные аппроксимации траекторного интеграла для представления оператора эволюции. Рассмотрение проводится на основе концепции символов операторов. Используются системы символов, возникающие в методе обобщенных когерентных состояний (ковариантные символы) и так называемые (/^-символы. Рассматривается вопрос о сходимости конечномерных аппроксимаций к символу оператора эволюции. Приводится доказательство сходимости, базирующееся на теории Чернова, касающейся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, которая обобщается на класс стабильных систем операторов [22]. Также приводится достаточное условие сходимости по норме аппроксимаций оператора эволюции.

В случае грассмановых символов, соответствующих фермионным когерентным состояниям, впервые получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана [1]. Показано, что существующее представление, согласно которому такой интеграл по форме не отличается от обычного траекторного интеграла в комплексном фазовом пространстве, как, например, в случае бозонов, неверно. Ранее явно или неявно предполагалось, что гамильтониан является четным по фермионам и соответствующий символ гамильтониана - четной грассмановой функцией. В общем случае произвольной четности в действии, являющемся фазой подынтегральной экспоненты, появляется дополнительное слагаемое - нелинейное по гамильтониану и интегральное по времени, обусловленное некоммутативностыо в общем случае грассмановых символов операторов. Выражение для грассманова символа оператора эволюции имеет следующий вид

где действие на замкнутой грассмановой траектории \а*,а), проходящей через точку («', /?), в общем случае имеет вид

О 0 0

и Н° - нечетная составляющая грассманова символа гамильтониана. Для четных символов действие не содержит члена £0 и имеет обычный вид, формально совпадающий с видом действия для бозонов.

Отметим, что нечетный по фермионам гамильтониан характерен для незамкнутых систем.

Во втором параграфе главы 1 приводятся разные формы определения сечений процессов рассеяния, в основном в рамках нестационарной теории, на основе волновых пакетов, и рассматриваются представления амплитуд и сечений рассеяния в виде траекторных интегралов.

Достоинством нестационарного подхода является то, что, как отмечалось в литературе, он в большой степени не связан с проблемами, возникающими в стационарной теории рассеяния, например, такими, как выбор способов разбиения полного гамильтониана, расходимостями, вопросами разрешимости и однозначности решений стационарных уравнений рассеяния. Он обладает большой гибкостью постановки задачи рассеяния и приводит к простому выражению сечения в виде траекторного интеграла. Кроме того, он легко переносится на исследование нестационарных процессов.

Рассматриваются вопросы, связанные с симметризацией при определении сечений процессов рассеяния с участием тождественных частиц, т. е. с учетом принципа Паули.

В главе 2 рассматриваются некоторые способы оценки траекторных интегралов. Все вычисления проводятся в дискретной форме.

В первом параграфе главы 2 рассматривается возможность оценки фейнмановского интеграла методом Монте-Карло, который часто используется для оценки интегралов высокой размерности и, в частности, для траекторных интегралов винеровского типа в так называемом квантовом методе Монте-Карло [Ь.1]. Для эффективной оценки методом Монте-Карло задается предпочтительная выборка траекторий путем построения области в пространстве траекторий на которой сосредоточен интеграл. По аналогии с квазиклассическим приближением в качестве такой области выбирается трубка траекторий в окрестности некоторой «оптимальной» траектории [2, 9], в окрестности которой замедляются осцилляции подынтегрального выражения. В качестве оптимальной траектории выбирается траектория, минимизирующая норму первой производной эффективного действия 5

(действие + фаза начальной волны) по траекториям £: —С =0.

||Эб [

Оптимальная траектория существует всегда, и в том случае, когда минимум равен нулю, совпадает с траекторией классического движения. Отсутствие нулевых минимумов соответствует отсутствию траекторий классического движения. Трубка траекторий задается матрицей вторых производных

Э25

эффективного действия —-. В случае существования нескольких

'' 'оптимальных траекторий основная область интегрирования представляет собой объединение соответствующих трубок.

Во втором параграфе главы 2 предлагается еще один способ оценки " фейнМановского интеграла [9]. Он основан на обрезании траекторного интеграла в окрестности оптимальной траектории, минимизирующей норму первой производной эффективного действия, такой же, как и при оценке методом Монте-Карло. Эффективное действие аппроксимируется разложением до второго порядка в окрестности оптимальной траектории. Выбирается гауссова функция обрезания с матрицей квадратичной формы в показателе экспоненты, определяемой произведением третьей и первой производных эффективного действия. В итоге траекторный интеграл сводится к гауссову, который берется аналитически

/=<1еГ%)-ехр(/ О = -^,

Зц - производная эффективного действия порядка к.

Отметим, что оценка дает известные асимптотики для исходного интеграла. При невырожденной матрице 5'2 получается асимптотика метода стационарной фазы, который приводит к квазиклассическому приближению в квантовомеханических приложениях. В этом случае ^ = 0, что соответствует условию существования классической траектории. При вырожденной 82 величина 5, не обязана равняться нулю, что соответствует возможному отсутствию классической траектории. В частности, при = 0 и диагональной кубической матрице 53 результат сводится к асимптотикам функций Эйри.

Эта схема оценки требует меньших объемов вычислений по сравнению с методом Монте-Карло за счет устранения фазы накопления статистики.

В третьем параграфе главы 2 предлагается процедура оценки фейнмановского траекторного интеграла при гауссовой аппроксимации [17, 20, 21] В отличие от рассмотренных в диссертации методов стационарной фазы, перевала и обрезания с разложением действия, в которых, по сути, тоже применяется гауссова аппроксимация, процедура, рассматриваемая в этом параграфе, не использует построение стационарных или оптимальных траекторий. Применяется непосредственное разложение подынтегральных выражений на гауссовы компоненты. При разложении используется важное свойство гауссовых функций, состоящее в том, что их произведение есть гауссова функция. Рассматриваются два варианта разложения. В первом варианте разложение строится в виде произведения разложений однокоординатных сомножителей, входящих в траекторный интеграл. При этом достигается высокая точность, но число компонент разложения экспоненциально растет с ростом числа точек дискретной траектории. Во втором варианте для построения разложения применяется соответствующее разбиение области интегрирования, учитывающее поведение потенциала. Хотя такое разложение менее точно, чем в первом варианте, оно передает основные черты подынтегрального выражения и содержит существенно

меньшее число компонент не зависящее от числа точек дискретной траектории - порядка числа комбинаций используемых областей.

В главе 3 рассмотрены применения траекторных методов, основанных на фейнмановском интеграле, к некоторым задачам атомной физики. Рассмотренные в предыдущей главе способы оценки траекторных интегралов тестируются на некоторых простых модельных и реальных столкновительных задачах.

В первом параграфе главы 3 дается формулировка траекторного интеграла для матрично-значных гамильтонианов.

Многие физические системы могут быть описаны в терминах матрично-значных гамильтонианов. Типичными примерами являются задача о движения атома в световом поле, описание атомных и молекулярных столкновений в модели пересечения уровней, описание спин-орбитального взаимодействия и т д.

Обычно при рассмотрении этих задач, например, для построения квазиклассического приближения для матрично-значных гамильтонианов используются соответствующие матричные символы матрично-значных операторов. В настоящей работе рассматривается траекторный интеграл для матрично-значных гамильтонианов, основанный на скалярных символах. Переход от матрично-значного гамильтониана к его скалярному символу осуществляется при разложении по подходящей системе состояний, объединяющей матричные и трансляционные степени свободы. Общая идея подхода была сформулирована нами в [5], где квантовый пропагатор для системы со спином был записан в терминах траекторного интеграла, как по трансляционным, так и по спиновым переменным. Это представление было использовано в [Ь 4] для построения квазиклассического приближения для спин-орбиталыюго взаимодействия В диссертации этот подход распространяется на любые матрично-значные гамильтонианы

Интегрально-траекторное представление для скалярного символа функции имеет вид

,<?,/)= | ехр(£ . 9о ¿а сЩ<1р для соответствующего 5.

Во втором параграфе главы 3 рассматривается слоевой метод динамической теории дифракции с точки зрения интегрирования по траекториям. Слоевой метод Сош1еу-МооЛе, является одним из наиболее ценных методов моделирования для электронной микроскопии Регулярно появляются новые приложения, модификации и анализ этого алгоритма.

В диссертации формула слоевого метода выводится из интегрально-траекторного представления для волновой функции. Траекторный интеграл интегрируется по проекции траекторий на главное направление распространения волны методом стационарной фазы. Отсюда следует, что слоевой метод эквивалентен квазиклассической трактовке распространения волны в главном направлении. Показано, что интегралыю-траекторный

подход дает ясную и компактную формулировку трактовки теория возмущений в рамках слоевого метода.

В работе [Ь.5] также рассматривалась связь между слоевым методом и фейнмановским траекторным интегралом. Однако, траекторный интеграл с лагранжевым действием, рассмотренный в [Ь.5], справедлив только для квадратичной по скорости кинетической энергии. Возможные релятивистские поправки, упомянутые в [Г.5], основаны на релятивистской функции Гамильтона с не квадратной кинетической энергией и верны приближенно, только для малого параметра В нашей работе делается

обобщение формулы слоевого метода для общей формы функции Гамильтона на основе траекторного интеграла в фазовом пространстве.

В третьем параграфе главы 3 приводятся результаты расчета сечения электронного возбуждения гелия на основе оценки интеграла по траекториям методом Монте-Карло по схеме изложенной в первом параграфе главы 2 [2].

Рассматривался переход 118_—>_238 в гелии при возбувдении электронами с энергией 40 еV. Абсолютные значения зависимости дифференциальных сечений от угла рассеяния подтверждаются вычислениями другими известными методами и согласуются с результатами наиболее надежных из них (рис. 1). Вычисленное нами значение интегрального сечения возбуждения перехода составило 11.МО"19 сгп2, что согласуется с данными эксперимента, наиболее надежными расчетами -табл. 1 (названия методов соответствуют рис. 1) и результатом, дающим совокупное представление данных по имеющимся информационным источникам полученным по методике, которая была предложена и апробирована нами на ряде атомных переходов в гелии, аргоне и водороде [12-16, 19].

1д д я/ & г >

- гг -_

-13

- Д9

-'М "

О 30 во ЗО 120 150 13С

ыгэк . лпя 1 о . >

Рис. 1.

метод метод

■ настоящая работа [2] DW искаженных волн

ссс сильной связи со сходимостью [L 6] OR Очкура

СС, х сильной связи [L.6, L.7] BO Борна

О FOMBT (first order many body theory) V,!,. эксперимент

Таблица 1

Q Ю-19 cm2 метод источник Q 10-" cm2 метод

11.1 this настоящая работа [21 4.4 DW

10 8 ССС [L.61 27.88 OR

15.6 X [L.71 496.2 ВО

20.4 FOMBT 10.3±3.1 14±12 12.2+2 4 эксперимент

18±8 совокупный результат [12, 25]

В четвертом параграфе главы 3 на модельных задачах проводится проверка схемы оценки фейнмановского траекторного интеграла методом обрезания [9], рассмотренной во втором параграфе главы 2.

В первой секции параграфа рассмотрен одномерный интеграл от осциллирующей функции. Из результатов моделирования следует, что предложенная аппроксимация дает хорошее согласие с точным решением.

Во второй секции параграфа рассмотрена задача рассеяния на трехмерном гауссовом потенциале. Вычислялись дифференциальные и интегральные сечения. Проводилось сравнение полученных результатов с расчетом методом фазовых функций, который является наиболее точным в применении к рассматриваемой модельной задаче, а также, с расчетами в первом борцовском, квазиклассическом и эйкональном приближениях.

Расчет рассматриваемым методом показывает хорошие результаты в области средних и больших энергий при сравнении с точным решением

В области малых энергий, для случая потенциального барьера, когда энергия свободной частицы меньше высоты барьера, классические траектории отсутствуют. Рассматриваемое приближение дает хорошие результаты в этой области энергий, что позволяет говорить об успешной работе схемы. При энергиях, когда существуют классические траектории, результаты квазиклассического приближения и нашего совпадают

Необходимо отметить область малых энергий в случае потенциала притяжения, где наблюдается расхождение сечений нашего и точного расчетов. Возможное объяснение этому состоит в том, что при малых энергиях в случае потенциальной ямы необходим учет многих сложных закрученных траекторий вблизи фокальных точек Был проведен тестовый численный эксперимент, в котором производился учет 4-х различных

оптимальных траекторий. Сечение, рассчитанное в этом случае, оказалось ближе к точному.

В пятом параграфе главы 3 приводятся результаты проверки на

простых задачах схемы оценки фейнмановского траекторного интеграла при гауссовой аппроксимации, изложенной в третьем параграфе главы 2.

В первой секции параграфа рассмотрена задача рассеяния на трехмерном гауссовом потенциале [17, 21]. Проводилось сравнение полученных результатов с расчетом методом фазовых функций, который при учете большого числа парциальных волн дает практически точный результат, а также, с расчетами в первом борновском приближении. Последнее сравнение использовалось для внутреннего тестирования схемы расчета. Как следует из проведенных вычислений, результаты, полученные в рассматриваемом приближении, хорошо согласуются с вычислениями методом фазовых функций. Интегральные сечения находились двумя способами: интегрированием дифференциальных сечений, полученных из амплитуд рассеяния в формализме волновых функций и непосредственно -на основе формализма матрицы плотности. При этом интегральное сечение, полученное на основе формализма матрицы плотности состояний, лучше согласуется с точным результатом, чем полученное интегрированием дифференциальных сечений.

Во второй секции параграфа рассмотрена задача рассеяния электрона на атоме водорода [17, 20]. Вычислялись интегральные сечения возбуждения электронным ударом переходов 1з_—>_2в, 2р, Зэ, Зр, 3с1 в атоме водорода, а для перехода 1.ч_—>_2э также и дифференциальные сечения возбуждения.

Результаты для интегральных сечений переходов 18 —> 2я, 2р, Зб, Зр, 3(1 приведены на рис. 2.

вм

2р Зр

3(1

Зэ

Е(а. и.)

На рис. 3 на примере переходов —> 2э, 2р приводится сравнение с результатами, полученными на основе регрессионного анализа по

совокупности имеющихся литературных источников. Соответствующие вопросы рассмотрены в следующем пара1рафе главы 2.

Q(p о2)

Е (а. и.)

is

2р

Is -» 2s

Рис. 3.

На рис. 3 линия 1 - настоящие результаты, тонкая линия 2 -регрессионная зависимость.

Из полученных результатов следует, что дифференциальные сечения качественно передают зависимость от угла рассеяния, хотя, при малых энергиях и больших углах рассеяния несколько отличаются в деталях структуры от расчетов методом ССС (convergent close coupling) [L.8]. Полученные по ним интегральные сечения согласуются с расчетом методом ССС лучше. Как и в задаче рассеяния на потенциале, интегральные сечения рассеяния на атоме водорода в формализме матрицы плотности согласуются с имеющимися данными лучше, чем полученные интегрированием дифференциальных сечений. Наши результаты хорошо передают ход зависимости интегральных сечений от энергии электронов и по абсолютной величине близки к совокупным литературным данным.

Таким образом, проверка подхода на основе гауссовых аппроксимаций на рассмотренных задачах рассеяния на потенциале и на атоме водорода показала его работоспособность. Метод дает приемлемую для многих случаев точность. Из всех рассмотренных нами ранее подходов по применению траекторного интегрирования к электронно-атомному рассеянию данный подход явился самым быстрым с вычислительной точки зрения.

В шестом параграфе главы 3 приводятся данные по электронному возбуждению в атоме водорода, полученные на основе предложенного и использованного в наших работах [12-16, 19] подхода, основанного на регрессионном анализе данных; содержащихся в имеющихся источниках информации по рассматриваемому вопросу и дающего совокупное представление данных. Эти результаты используются для сравнения с нашими расчетами, изложенными в предыдущем параграфе.

Были получены параметры регрессии для интегральных сечений электронного возбуждения переходов Ь —> 2р, Зв, Зр, 3с1 и для перехода п = 1 —»п = 2 по имеющимся теоретическим и экспериментальным работам.

На рис. 4 представлены полученные регрессионные кривые, проведенные по имеющимся данным для переходов 2з, 2р в водороде.

б («о2)

. - 4-

.......йм '.: < .....; -«> ьч

..... ■" • ( . ....... ;

V

—> 2э

Ь->2р Е(а. и.)

Рис. 4.

Разброс величин сечений по разным работам достигает нескольких раз. При этом, величина относительной дисперсии составляет примерно 25% для переходов 1 э —> 2Й, 2р и 30—40% для переходов -> Зб, Зр, 3с1 Такова реальная точность, с которой рассматриваемые сечения известны на настоящий момент.

В главе 4 рассматривается предложенная в [4] и теоретически развиваемая нами концепция атомной линзы в корпускулярной оптике, которая состоит в применении объектов нано- и атомного масштаба в качестве линз для пучков частиц. Рассмотрение этого вопроса имеет большой самостоятельный интерес. Многие результаты в этой области получены нами с применением траекторных методов.

В первом параграфе главы 4, который носит вводный характер, рассматриваются некоторые общие моменты, касающиеся корпускулярной оптики, в том числе и относящиеся к атомным линзам.

Во втором параграфе главы 4 представлены результаты изучения атомной линзы для пучка электронов с энергией, характерной для электронной микроскопии (десятки - сотни килоэлектронвольт).

В качестве простейшей линзы может выступать отдельный атом. Кроме того, в диссертации рассматривается многолинзовая система, образованная цепочкой атомов в кристалле.

Изучение свойств атома как линзовой системы проводилось на основе реалистичных модельных атомных потенциалов, таких как кулоновский, экранированный кулоновский, Томаса-Ферми. Для построения решения задачи о распространении электронной волны через линзу использовались эйкональное, квазиклассическое приближения (их можно отнести к классу траекторных методов), а также широко используемый в динамической теории электронной дифракции слоевой метод Со\¥1еу-Моо&е,

рассмотренный во втором параграфе главы 3. В последнем случае для описания взаимодействия использовались известные данные по атомным формфакторам.

При рассмотрении задачи в квазиклассическом приближении необходимо учитывать, что при аксиальной симметрии положительный луч оси распространения волны является фокальной линией и квазиклассическое приближение в координатном представлений расходится на оси. Поэтому задача рассматривалась в смешанном координатно-импульсном представлении (импульсном по переменным в плоскости ортогональной направлению распространения), в котором расходимост и нет.

В результате прохождения волны за линзой образуется тонкий расходящийся пучок электронов с наименьшим сечением порядка десятков пикометров, расположенным на расстоянии десятых нанометра от края линзы.

В качестве примера на рис. 5 представлены результаты моделирования слоевым методом прохождения электронной волны через тонкий (6 пт) кристалл золота.

Рис. 5. По горизонтальной оси приводится поперечная координата в А . По вертикальной оси - относительная интенсивность в произвольных единицах.

Показано распределение интенсивности в поперечном направлении пучка : (а) - падающего на кристалл в кристаллографическом направлении [100], (Ь - 0 ~ на выходе из кристалла в области максимальной

интенсивности при соответствующих значениях смещения с/ = 0, 0.25, 0.5,

1.0, 2.0 (А) оси первичного пучка относительно оси линейной цепочки атомов кристалла в кристаллографическом направлении [001]. Диаметр первичного пучка был выбран таким, что при наведении на атомную цепочку в кристалле он не захватывал соседние цепочки.

Видно, что диаметр пучка в фокусе атомной линзы порядка А ~ 30 рш. Выходное распределение привязано к оси атомной цепочки и не смещается при смещении первичного пучка. При захвате первичным пучком соседней атомной цепочки появляется соответствующий сателлитный пик интенсивности. Пики при смещении не уширяются.

В третьем параграфе главы 4 рассмотрена фокусировка ионов при каналировании внутри кристалла. Вопросам, связанным с каналированием ионов в кристаллах, посвящено много исследований. В частности, отмечалось существование фокусировки. Параметры фокуса исследовались в меньшей степени, например в работе [Ь.9].

В диссертации рассмотрена начальная стадия каншшрования протонов в кристалле палладия в направлении [100]. Рассматривается первый фокус, образующийся при входе пучка в кристалл. Для описания движения протонов использовался экранированный кулоновский потенциал для атомов палладия. Использовался классический траекторный расчет с поправкой на дифракционное уширение. Тепловые колебания атомов учитывались случайным смещением центров потенциалов из равновесного положения при каждой траектории движения протона со средней амплитудой смещений соответствующей заданной температуре кристалла (кТ ~ 10-30 теУ).

На рисунке 6 приведено поперечное распределение интенсивности в области фокуса для пучка протонов с энергией 10_кеУ.

Фокусное расстояние в этом случае равно Р = 1.38 пш. Высота пика интенсивности в фокусе в 250 раз превосходит интенсивность пучка падающего на кристалл. Ширина пика порядка 3 пикометров. Дифракционное уширение составляет Д = 1.7 рш при длине волны Л = 0.29 рш.

В диапазоне энергий пучка 10 - 1000 кеУ

- фокусное расстояние растет линейно по скорости;

- приблизительно сохраняется вид поперечного распределения

интенсивности пучка в фокусе.

В четвертом параграфе главы 4 представлены результаты изучения нанолинз различных конфигураций для пучка атомов и молекул.

В начале параграфа рассматриваются вопросы описания взаимодействия атомов с линзой.

Во второй секции четвертого параграфа рассматривается атомная линза в виде конца линейной цепочки атомов углерода. Классическим траекторным расчетом находилось распределение интенсивности в различных сечениях пучка атомов аргона, направленного поперек углеродной цепочки. В качестве потенциала взаимодействия атомов Си Аг брался потенциал типа 6-9 Леннарда-Джонса с параметрами по данным работы [ЬЛО].

В таблице 2 приведены фокусное расстояние Р, относительная интенсивность в фокусе I для главного пика, полуширины сечений главного пика различными плоскостями, параллельными оси пучка и оценка дифракционного уширения А г в зависимости от энергии налетающих частиц Е.

Таблица 2

о о „ о 0

Е, шеУ ^ А / Ах, А Ау, А А 45, А А,,, А

10 4.5 59 0.4 1.3 0.6 0.18

30 8.5 32 0.4 0.8 0.6 0.23

100 25 24 0.3 0.7 0.5 0.40

Было также исследовано распространение пучка атомов аргона с максвелловским распределением по энергиям с кТ = 30 шеУ. Оказалось, что интенсивность в пике в большой области не зависит от расстояния до фокусирующего атома, т. е. система обладает большой глубиной резкости. Однако, относительная интенсивность уменьшается в несколько раз по сравнению с монокинетичным пучком.

В третьей секции четвертого параграфа рассмотрена атомная линза в форме наноотверстия. В силу характера взаимодействия атомов пучка и наноотверстия такая линза является дефокусирующей в отсутствие внешних электрических полей. Внешнее поле может изменять фокусное расстояние наноотверстия и, в частности, делать линзу фокусирующей.

В диссертации моделировались две линзовые системы без внешнего поля.

Одна представляла собой пучок атомов ксенона с энергией 30 шсУ, проходящий через наноотверстие в од пой или в двух оболочках графита диаметром 2 пш, 3 пш и 5.2 пт. В качестве потенциала взаимодействия атомов С и Хе взят потенциал типа 6-9 Леннарда-Джонса с параметрами

по данным работы [I, 10]. Расчет проводился в классическом траекторном приближении.

Другая линзовая система представляла собой пучок атомов ртути, проходящий через наноотверстие в пленке оксида алюминия толщиной 2.5 пш Расчет проводился в квантовом приближении.

В таблице 3 для второй линзовой системы приведено фокусное расстояние линзы Е (вверху) и диаметр пучка в мнимом кроссовере Д (внизу) в зависимости от радиуса линзы Л и энергии атомного пучка Е.

Таблица 3.

Я, пт

Е, теУ 1.4 1.6 1.8 2.0

30 -08 -1.5 -2.0 -3.1

0 02 0.03 0.03 0.04

60 -1.6 -2.8 -3.8 -5.9

0.025 0.03 0.03 0.04

100 -2.7 -4.6 -6.2 -9.4

0.03 0.04 0.04 0.05

Мнимый кроссовер представляет собой характеристику действительного фокуса фиктивной волны, полученной при обратном распространении волны от дефокусирующей линзы с убранной (выключенной) линзой.

Атомная линза в виде наноотверстия в тонкой пленке для атомного пучка имеет самое высокое качество из исследованных нами атомных линз для атомных пучков. Для пучков тяжелых атомов диаметр пучка в мнимом фокусе линзы определяется в основном геометрическими аберрациями и составляет величину порядка десятков пикометров. Усиление интенсивности в мнимом фокусе составляет порядка нескольких сотен раз.

В диссертации рассмотрена также фокусировка атомных и молекулярных пучков в электрических полях некоторых конфигураций [6, 7].

Рассматривалась осесимметричная конфигурация поля, качественно соответствующая полю в наноотверстии во внешнем поле.

Были рассмотрены два вида взаимодействия частиц пучка с полем. Для атомов и неполярных молекул - квадратичное по полю взаимодействие,

которое определяет квадратичный эффект Штарка в атоме, V = -^аЕ2, где

а - поляризуемость атома или молекулы, а также линейное по полю, усредненное по ориентациям взаимодействие вида V = -//£ для полярных молекул, где ц - дипольный момент молекулы.

Проводились, как классический траекторный, так и квантовый расчеты.

В результате анализа структуры теоретического выражения для фокусного расстояния была получена параметрическая аппроксимация для фокусного расстояния линзы F

где Я - радиус линзы, Е - внешнее поле, У0 - параметр взаимодействия, а, Ь - параметры аппроксимации, которые могут быть найдены из регрессии по полученным данным. Сравнение с модельным расчетом, показало хорошую выполнимость этой аппроксимации.

Интересно отметить, что диаметр кроссовера в фокусе атомной линзы для атомных пучков для ряда исследованных линзовых конфигураций получается меньше диаметра атома. Под диаметром кроссовера следует понимать точность, с которой центры масс атомов выстроены друг за другом в фокусе атомной линзы.

В пятом параграфе главы 4 рассмотрена совместная самофокусировка светового и атомного пучков.

В последние годы интенсивно изучается и применяется манипулирование атомами в световом поле [Ь.З]. При этом, в основном, рассматриваются линейные по атомной плотности эффекты. В диссертации рассмотрена задача самофокусировки атомного пучка в поле световой волны. Это явление относится к эффектам нелинейной корпускулярной оптики и происходит, вообще говоря, одновременно с самофокусировкой световой волны. При самосогласованной эволюции атомного и светового пучков, динамически формируется пучковая атомно-линзовая система. Рассмотрение проводится в рамках двухуровневой модели атома на основе уравнений Максвелла и Шредингера.

Явление самофокусировки по сути близко к явлению самолокализации атомов в световом поле, которое рассматривалось, например, в [Ь. II]. В отличие от [Ъ. 11] наше рассмотрение учитывает квантовые свойства движения атомов, например, дифракционное уширение самофокусирующегося пучка атомов.

Вначале рассмотрена линейная фокусировка атомного пучка в световом поле. Показано, что двухкомпонентная атомная волна является суперпозицией двух волн у/ = у/++у/_, одна из которых сфокусирована (имеет действительный фокус), а другая дефокусирована (имеет мнимый фокус). Эти волны обусловлены наличием двух поверхностей адиабатического потенциала взаимодействия атомов с полем. Получена формула для фокусных расстояний парциальных атомных волн -

где Е - кинетическая энергия атомного пучка. В знаменателе формулы /1/ стоит значение второй производной проективного адиабатического

потенциала V по радиальной переменной на оси линзы. Соответствие между реальным знаком фокусного расстояния и знаком ± в формуле /]/ определяется знаком второй производной проективного адиабатического потенциала, зависящего в свою очередь от знака частоты отстройки от резонанса А. При фокусировке пучка атомов на максимумах интенсивности света, например, на фокусе светового пучка, при положительной отстройке (А > 0) происходит фокусировка парциальной волны у/_ и дефокусировка парциальной волны цг+. При отрицательной (А < 0) - наоборот. При фокусировке на минимумах интенсивности света, например, на узлах стоячей световой волны, картина обратная.

Фокусное расстояние, вычисляемое на основе формулы /1/ хорошо согласуется с полученным из модельного расчета на основе уравнения эволюции атомного пучка в заданном световом поле

Для рассмотрения нелинейных эффектов численно решались совместные уравнения эволюции светового и атомного пучков. Вводится критерий, определяющий параметры системы, при которых начинает

проявляться эффект самофокусировки - К Л - • а■ N

\Л) сок

»1. Здесь Я

- длина световой волны, Я - радиус светового пучка в первичном фокусе, А -частота отстройки от резонанса, й)ц - частота Раби, определяемая взаимодействием атома с полем Птн= \1У\, а - атомная поляризуемость на

частоте отстройки А, N - атомная плотность. Проведенное численное моделирование подтверждает этот критерий.

В главе 5 рассмотрены некоторые варианты возможного применения атомных линз.

В первом параграфе главы 5 рассмотрены возможности применения атомных линз в корпускулярной микроскопии.

В первой секции параграфа речь идет об электронной микроскопии.

Как показывают наши исследования (см § 1 гл. 4), одиночные тяжелые атомы или колонки атомов в тонком кристалле, могут выступать в качестве линзы, способной сфокусировать пучок электронов в область с поперечным сечением меньше чем 0.05 пш в диаметре. Если такой атомный фокусер использовать в качестве конечной линзы в электронном микроскопе, то возможно уменьшение предела разрешения до 0.05 пш или менее но сравнению с пределом разрешения 0.2 пт для лучших из доступных в настоящее время электронных микроскопов, работающих в той же области энергий 100 - 400 кеУ.

Идеализированная схема использования атомной линзы в качестве объективной линзы сканирующего электронного микроскопа впервые рассматривалась в нашей работе [4]. В последующей работе [3] было предложено и изучено еще несколько схем электронной микроскопии с атомной линзой.

Работы по исследованию атомных линз в электронной микроскопии проводились также в университете штата Аризона США профессором J. М. Cowley [L.12-L.17]. На основе слоевого метода Cowley-Moodie было теоретически исследовано каналирование электронного пучка при прохождении через колонку атомов в кристалле, образующую атомную линзу. Результаты этих исследований подтвердили выводы нашей работы [4] о параметрах сфокусированного пучка. Рассматривались различные схемы применения атомных линз в электронной микроскопии Было также экспериментально продемонстрировано увеличение разрешения при фокусировке на атомах [L.16, L.17] В экспериментах по визуализации кластеров вольфрама, помещенных на углеродную нанооболочку, проводившихся по одной из схем, предложенных в нашей совместной работе [3] на стандартном электронном микроскопе с разрешением не выше 0.34 nm было получено разрешение - 0.06 nm, что соответствует шестикратному увеличетпо разрешения.

Во второй секции первого параграфа рассмотрены возможности реконструкции образа при сканировании решёткой фокусов электронного пучка, формируемых атомными линзами.

Как было отмечено, на выходе из кристалла образуется тонкий кроссовер с максимальной интенсивностью на очень малых расстояниях (десятые доли nm) от последнего атома в кристалле. Исследуемый образец практически сложно перемещать для сканирования на таком расстоянии от кристалла ввиду неровности (в общем случае) поверхностей образца и фокусирующего кристалла. В зависимости от степени гладкости для каждого образца требуется определенная степень удалённости от кристалла, поэтому необходимо создать условия, при которых кроссовер образовывался бы как можно дальше от кристалла. В работе [3] предложен метод, который позволяет обойти выше изложенные трудности. Он основан на известном в волновой оптике принципе Фурье плоскостей, согласно которому бесконечная решётка периодически расположенных в плоскости точечных когерентных источников (распределение интенсивности которых в пространстве представляет собой дельта-функцию) периодически повторяется в пространстве (расходящиеся лучи снова фокусируются с некоторым периодом в пространстве). Расстояния до Фурье плоскостей для

точечных источников находятся из известного [3] соотношения R = , где

¿А

R - расстояние до плоскости, а - расстояние между источниками, п -порядок плоскости, Я - длина волны. При энергии электронов 300 keV для

кристалла золота (а = 2А) получается расстояние до первой плоскости Фурье

Я = 93А. Современные технологии позволяют поместить и перемещать образец на таком расстоянии от кристалла.

Таким образом, при использовании рядов атомов в слое кристалла в качестве фокусирующих элементов для фокусировки пучка от электронного

микроскопа, на выходе из кристалла получается распределение интенсивности, представляющее собой решётку тонких пиков диаметром порядка 0.03 пт и порядка 0.04 пт на расстоянии первой Фурье-плоскости.

В работе приведены результаты моделирования схемы микроскопии со сканированием образца такой решёткой, при котором из детектируемого сигнала восстанавливается передаточная функция образца. Качество визуализации зависит от вида и величины шума В работе выявлены диапазоны шумов и неточностей знаний о падающей на образец волне, позволяющих с допустимым качеством визуализировать образец.

Во втором параграфе главы 5 приводятся результаты теоретического изучения корпускулярной голография с фокусировкой источника на атомной линзе.

Как показали проведенные нами исследования [8, 10, 11], определенные перспективы применения атомных линз для получения ультравысокого разрешения в корпускулярной микроскопии могут быть связаны с использованием малых кроссоверов пучков, формируемых атомными линзами, как источников для корпускулярной голографии. При этом, в голографической микроскопии можно применять, как фокусирующие, так и дефокусирующие линзы с мнимым кроссовером. Для атомных пучков последние в форме наноотверстий проще в реализации, так как не требуют приложения внешних полей.

Были предложены схемы осевой корпускулярной голографии с освещением объекта от фокуса атомной линзы.

При моделировании процессов записи электронной голограммы и реконструкции образа изучалось влияние дрейфа, когерентного и некогерентного уширений первичного электронного пучка.

Моделирование осевой схемы корпускулярной голографии с использованием атомной линзы для освещения объекта показало, что разрешение в реконструированном образе имеет величину порядка диаметра кроссовера линзы. При этом сопряженные образы не создают существенных помех наблюдению реконструированных образов Это обусловлено тем, что при реконструкции образ находится в фокусе, а сопряженный образ дефокусирован В этом, а также в использовании единичного фокуса, что существенно упрощает анализ голограммы, и в большей интенсивности пучка от внешнего источника с атомной фокусировкой состоят преимущества схемы корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе по сравнению с известной схемой с внутренним источником.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

По траекторным методам

1. Для доказательства сходимости предельных процедур для фейнмановских траекторных интегралов дано обобщение теории Чернова, касающейся

сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции на класс стабильных семейств операторов.

2. Приведено достаточное условие сходимости по норме аппроксимаций оператора эволюции.

3. Впервые получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана.

4. Дана формулировка траекторного интеграла для матрично-значных гамильтонианов.

5. Проведены построение и апробация некоторых способов оценки траекторных интегралов фейнмановского типа, основанных на

- методе Монте-Карло,

- обрезании в окрестности оптимальной траектории,

- аппроксимации гауссовыми интегралами.

6. На их основе предложены способы расчета сечений электронно-атомного рассеяния.

7. Результаты расчетов сечений рассеяния на основе предложенных способов сравниваются с результатами других методов, которые либо являются точными, либо получены в приближениях, которые принято считать достаточно хорошими. Это, прежде всего, метод close coupling convergent (ССС). Для сравнения также применяются результаты, полученные на основе предложенного в наших работах подхода, основанного на регрессионном анализе данных по совокупности источников информации по рассматриваемому вопросу.

8. Проведенные исследования позволяют сделать ряд заключений.

• Метод Монте-Карло дает хорошее согласие с имеющимися результатами, однако, он требует больших вычислений, связанных с заданием предпочтительной выборки, и не подходит для массовых вычислений. Сложной проблемой является контроль количества оптимальных траекторий при построении предпочтительной выборки.

• Оценка траекторного интеграла при обрезании дает хорошие результаты для не слишком сложной картины оптимальных траекторий. Как и предыдущий подход, он требует больших вычислений, связанных с построением оптимальных траекторий, и не подходит для массовых вычислений.

• Оценка траекторного интеграла, основанная на прямой аппроксимации его гауссовыми интегралами, дала хорошие результаты при сравнительно небольших вычислительных затратах.

По атомным линзам в корпускулярной оптике

1. Впервые изучены параметры электронного пучка, распространяющегося за одиночным атомом и за колонками атомов в тонком кристалле. Показано, что эти системы могут выступать в качестве линзы, способной

сфокусировать пучок электронов в область с поперечным сечением, меньшим, чем 0 05 пш в диаметре.

2. Рассмотрена фокусировка ионов при каналировании в кристалле. Найдено, что для протонов с энергий пучка 10 - 1000 ксУ фокусное расстояние линейно по скорости протонов растет от 1.3 пт до 13 пш, приблизительно сохраняется вид поперечного распределения интенсивности пучка в фокусе. Высота пика интенсивности в фокусе в 250 раз превосходит интенсивность пучка, падающего на кристалл. Ширина пика порядка 3 пикомеггров

3 Впервые изучены параметры атомного пучка, распространяющегося через наноотверстие в тонкой пленке, в отсутствие и в присутствие внешнего электростатического поля

• Показано, что дефокусирующая атомная линза в виде наноотверстия в тонкой пленке для атомного пучка имеет самое высокое качество из исследованных нами атомных линз для атомных пучков. Для пучков тяжелых атомов тепловых энергий диаметр пучка в фокусе линзы определяется, в основном, геометрическими аберрациями и составляет величину порядка десятков пикометров. Усиление интенсивности в мнимом фокусе составляет порядка нескольких сотен раз.

• Для фокусирующих атомных линз в форме наноотверстий во внешнем электростатическом поле получена и проверена аппроксимационная формула для фокусного расстояния.

4. Рассмотрена фокусировка атомного пучка в световом поле.

• Выявлено наличие двух фокусов (действительного и мнимого) при фокусировке атомного пучка на световой линзе. Получены формулы для соответствующих фокусных расстояний Расчет по этим формулам подтверждается численным моделированием.

• Рассмотрена совместная самофокусировка светового и атомного пучков Вводится критерий, определяющий параметры системы, при которых начинает проявляться эффект самофокусировки, который подтверждается проведенным численным моделированием.

5. Впервые предложены и теоретически обоснованы :

• Использование одиночных атомов в качестве линзовых систем электронной оптики.

• Использование решеток атомов в кристалле в качестве линзовых систем электронной оптики. При этом были выявлены диапазоны параметров системы, которые позволяют с допустимым качеством реконструировать образ при сканировании решёткой фокусов атомных линз от пучка электронов.

• Схемы корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе. Моделирование осевой схемы корпускулярной голографии с использованием атомной линзы для освещения объекта

показало, что разрешение в реконструированном образе имеет величину порядка диаметра кроссовера линзы. При этом сопряженные образы не создают существенных помех наблюдению реконструированных образов.

В Приложениях приведены некоторые известные сведения, используемые при изложении материала Это сделано для упрощения изложения основного текста, удобства ссылок и уточнения применяемых в диссертации обозначений.

В первом параграфе Приложений излагаются основные определения и сведения о символах операторов и методе обобщенных когерентных состояний, которые используется для построения конечномерных аппроксимаций траекторного интеграла.

Во втором параграфе Приложений приводится представление функций гамильтониана (в частности резольвенты гамильтониана) в виде траекторного интеграла

В третьем параграфе Приложений приведен вариант вывода квазиклассического приближения на основе применения метода стационарной фазы к интеграл}' по траекториям в фазовом пространстве

В четвертом параграфе Приложении приведены формулы для волнового пакета.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. В. В. Смирнов. Фейнмановский принцип для фермионов с нечетным ковариантным символом гамильтониана. Теор. и Мат Физ , 1992, т 90, №_1, с. 155-160.

2. V. V Smirnov and A. A. Mityureva. The new approach to the computer experimental studies of atoms excitation by electron impact. Helium. J. Phys. B: Atomic and Mol. Phys., 1996, v. 29, n. 13, p. 2865-2874.

3. J M. Cowley, J С. H. Spence, V. V Smirnov. The enhancement of electron microscope resolution by use of atomic focuscrs. Ultramicroscopy. 1997, Vol. 68, n. 2, p 135-148.

4. Valery V. Smirnov. Atomic focusers. J. Phys. D' Appl. Phys., 1998, v. 31, n. 13, p. 1548-1555.

5. V V Smirnov. Path integral for system with spin. J. Phys. A: Math, and Gen., 1999, v. 32, n. 7, p 1285-1290.

6. В. В. Смирнов. Фокусировка атомных и молекулярных пучков в электрических полях некоторых конфигураций. Журн Тех. Физ., 2001, т. 71. в 7, с.92-97

7. A. A. Mityureva, V. V. Smirnov, О. A. Vorobiev. A nanohole as an atomic lens for atoms and molecules. J. Phys. D : Appl. Phys., 2001, v. 34, n. 13, p. L65-L69

8. V. V. Smirnov and J. M. Cowley. In-line electron holography with an atomic focuser source. Phys. Rev. B, 2002, v. 65, n .6, 064109(9).

9. А. А. Митюрева, A. H. Семёнов, В. В. Смирнов. Исследование схемы оценки фейнмановского интеграла методом обрезания на модельной задаче рассеяния. Вестник СПбГУ, сер. 4,2002, вып. 4 (№ 28), с. 13-20. '

10. В. В. Смирнов, О. А. Воробьев, А. А. Митюрева, Т. Е. Примагина. Корпускулярная голография с фокусировкой источника на атомной линзе. Вестник СПбГУ, сер. 4,2003., вып. 3 (№ 20), с. 23-36.

11. В. В. Смирнов, О. А. Воробьев, А. А. Митюрева, Т. Е. Примагина. Теоретическое изучение атомной голографии с фокусировкой источника на основе атомно-размерного эффекта в атомной линзе. Известия высших учебных заведений. Электроника. 2003, № 2, с. 3-7.

12. А. А. Митюрева, В. В. Смирнов. Аппроксимация энергетических зависимостей сечений электронного возбувдения атома гелия. Опт. и спектр., 1993, т. 74, в. 1, с. 6-11.

13. А. А. Митюрева, В. В. Смирнов. Аппроксимация энергетических зависимостей сечений электронного возбуждения атомных уровней гелия из метастабильных состояний. Опт. и спектр., 1999, т. 86, в. 6, с. 933-938.

14. А. А. Митюрева, В. В. Смирнов, Г. А. Пономаренко. Аппроксимация сечений электронного возбуждения триплетных уровней гелия из метастабильного состояния 23Sb Опт. и спектр., 2002, т. 92, в. 3, с. 368374.

15. A. A. Mityureva, V. V. Smirnov. Electron Impact Excitation Cross Sections of Helium Atom Levels from the 23 Si Metastable State According to Experiment and Theory. Russian Journal of Physical Chemistry, Vol. 76, Suppl. 1,2002, pp. S109-S114.

16. А. А. Митюрева, В. В. Смирнов. Электронное возбуждение атомов аргона в метастабильные состояния и из метастабильных в вышележащие. Опт. и спектр., 2004, т. 97, в. 4, с. 544-558.

17. А. А. Митюрева, В. В. Смирнов. Оценка сечений электронного рассеяния на основе гауссова фейнмановского интеграла. Опт. и спектр., 2005, т. 99, № 1, с. 8-16.

18. А. Г. Резикян, В. В. Смирнов. Возможности реконструкции образа при сканировании решёткой фокусов атомных линз от электронного пучка. Журн. Тех. Физ., 2005, т. 75, в. 10, с. 99-103.

19. А. А. Митюрева, В. В. Смирнов. Интегральные сечения электронного возбуждения уровней атома водорода. Опт. и спектр., 2006, т. 101, № 3, с 360-365

20. Л. А. Митюрева, В. В. Смирнов. Оценка сечений электронного возбуждения переходов Is —> 2s, 2р, 3s, Зр, 3d атома водорода на основе гауссовой аппроксимации фейнмановского интеграла Опт и спектр., 2006, т. 101, №3, с. 366-371

21. V. V. Smimov. Test of a path-integral approach for the computation of scattering cross sections on an exactly solvable model. Phys. Rev. A., 2007, v. 76, n. 5, 052706 (p 1-8)

22. V. V. Smimov. A note on the limiting procedures for path integrals. J. Phys. A: Math, and Theor., 2008, v. 41,035306 (13pp)

23. В. В. Смирнов Компьютерное исследование электронного возбуждения в гелии. Тр. V Конференции по атомным данным для астрофизики. С.Петербург, 1993, с.11.

24. A. Z. Devdariani, V. V. Smimov. Ionisation in Two Excited Hydrogrn Atoms Low Speed Collision. Proc. XVIIIICPEAC, Aarhus, 1993, Contr. P., v. 2, p. 646

25. А. А. Митюрева, В. В. Смирнов. Некоторые закономерности в сечениях возбуждения атома Не электронным ударом Тр. VI Конференции -Атомные данные для астрофизики. С.-Петербург, 1995, с. 10-11.

26. A. A. Mityureva, V V. Smimov. The presentation of total literature data method for the cross section of electron impact helium atoms excitation from excited states. Proc. ECAMP 5, Edinburgh, 1995, part II, p.779.

27. A. A. Mityureva, V. V. Smimov. The new approach to the studies of atoms excitation by electron impact and computer experiment, based on it. Helium. Proc. ECAMP 5, Edinburgh, 1995, part II, p. 780.

28. Valeiy V. Smimov & Alia A. Mityureva. Scattering of narrow electron beam Proc. XX ICPEAC, Vienna, Austria, 1997, v. l,p. 197

29. Alia A. Mityureva & Valeiy V. Smimov. The compression of the total information for the cross sections of electron impact excitation from the ground and metastable states of helium. Proc. XX ICPEAC, Vienna, 1997, v l,p. 198.

30. A. A. Mityureva & V. V. Smimov. Electron microscopy with atomic objective lens. HI-TECH 98, St.-Petersburg, 1998.

31. А. А. Митюрева, В. В. Смирнов. Возбуждение и ионизация гелия электронным ударом из метастабильных состояний. Матер. II семинара - Атомные данные для астрофизических исследований С.-Петербург, 1998, с. 13-14.

32. A. A. Mityureva, V. V. Smimov. Selective Excitation of Atomic Inner Shells. Proc. 18th International Conference on X-ray and Inner-Shell Processes, Chicago, Illinois, USA, August 23-27, 1999.

33. A. A. Mityureva, G. А. Ponomarenko, V. V. Smimov. The Approximation of the Energy Dependences of the Electron Impact Excitation Cross Sections for Some Levels of He Atom from the 23S Metastable State. Proc. 31st EGAS, Marseille, 6-9 July 1999, PI-79.

34. О. А. Воробьев, В. В. Смирнов. Исследование фокусировки атомов инертных газов на атомной линзе. Тр. Международной конференции молодых ученых и специалистов 'Оптика-99' Санкт-Петербург, 19-21 октября 1999, с. 9.

35. А. А. Митюрева, Г. А. Пономаренко, В. В. Смирнов, А. Н. Семенов. Оценка интеграла по траекториям методом перевала. Матер. III семинара - Атомные данные для астрофизических исследований. С.Петербург, 1999.

36. A. A. Mityureva, G. N. Ponomarenko, V. V. Smimov. Approximation of energy dependencies of cross sections of electron impact excitation of triplet levels of He atom from triplet metastable state. Труды IV семинара "Атомные данные для астрофизических исследований". С. -Петербург, 2000, с. 21-22.

37. G. N. Ponomarenko, V. V. Smimov. Estimation of path integral.by saddle-point method. Труды IV семинара "Атомные данные для астрофизических исследований". С.-Петербург, 2000, с. 29-30.

38. A. A. Mityureva, G. A. Ponomarenko, V. V. Smimov. Approximations for cross sections of electron impact excitaion from metastable atomic states. JENAM-2000 (Joint European and National Astronomical Meeting), CONNECTED COLLOQUIUM No. 3 "Atomic and Molecular Data For Astrophysics", Moscow, Russia, June 5-6, 2000, p. 208.

39. A. A. Mityureva, G. A. Ponomarenko, V. V. Smimov, A. N. Semenov. Estimation of path integral by saddle-point method. JENAM-2000 (Joint European and National Astronomical Meeting), CONNECTED COLLOQUIUM No. 3 "Atomic and Molecular Data For Astrophysics", Moscow, Russia, June 5-6,2000, p. 208.

40. A. A. Mityureva, G. A. Ponomarenko, V. V. Smimov. The electron impact excitation cross sections out of 23S metastable state of He atom in experimental and theoretical studies. International seminar on physics of electronic and atomic collisions, March 12-16, 2001, Klyazma, Moscow region, Russia, p. 48-50.

41. A. A. Mityureva, V. V. Smimov, A. N. Semenov. Electron impact excitation to and from metastable argon atoms. EGAS 34 Conference, Sofia, 2002,2p

42. В. В. Смирнов, О. А. Воробьев, А. А. Митюрева, Т. Е. Примагина. Теоретические основы корпускулярной голографической микроскопии с фокусировкой источника на основе атомно-размернош эффекта в атомной линзе. IV Международная научно-техническая конференция «Электроника и информатика-2002», Зеленоград, 2002, ч. 2, с. 276-277.

43. A. A. Mityureva, V. V. Smirnov. Cross sections of the electron impact excitation from and to metastable states of argon atoms for investigation of low-energy plasma. International Conference on Physics of Low Temperature Plasma May 11-15, 2003, Kyiv lp

44. A A. Mityureva, V. V. Smirnov. Electron impact excitation cross sections of argon out of and to metastable states from experimental and theoretical data.

XXIII International Conference on Photonic, Electronic and Atomic Collisions (ICPEAC) July 23-29, 2003, Stockholm, Sweden, Tu 049

45. A A Mityureva, Т. E. Primagina, V. V. Smirnov, O. A. Vorobiev. Theoretical studies of atomic lenses in the corpuscular optics. XXIII International Conference on Photonic, Electronic and Atomic Collisions (ICPEAC) July 23-29, 2003, Stockholm, Sweden, Mo 199

46. A. A. Mityureva, V. V. Smirnov. Electron-impact cross sections from Gaussian path integral. 8th European Conference on Atomic and Molecular Physics (ECAMP VIII), Rennes, France, July 6-10,2004, 3-95.

47. V. V. Smirnov, A. A. Mityureva, Т. E. Primagina. Theoretical studies of atomic lens focus as illumination source for atomic holography. 8th European Conference on Atomic and Molecular Physics (ECAMP VIII), Rennes, France, July 6-10, 2004, 5-32.

48. V. V. Smirnov. Semiclassical approximation for matrix-valued hamiltonians. 8th European Conference on Atomic and Molecular Physics (ECAMP VIII), Rennes, France, July 6-10, 2004, 1-14

49. A. A. Mityureva, V. V. Smirnov, A. N. Semenov. Regularities in cross sections for the electron interaction with metastable heliun and argon atoms. 8th European Conference on Atomic and Molecular Physics (ECAMP VIII), Rennes, France, July 6-10, 2004, 3-96.

50 A A. Mityureva, V. V. Smirnov, M. V. Zvidrin. Gaussian path integral

estimation of the electron-impact excitation cross sections in hydrogen atom.

XXIV International Conference on Photonic, Electronic and Atomic Collisions (ICPEAC), Rosario, Argentina, July 20 - 26, 2005

51. A A. Mityureva, G. A. Ponomarenko, V. V. Smirnov, M. V. Zvidrin. The compact representation of data set for electron-impact excitation cross sections in Hydrogen atom using global interpolation approach. XXIV International Conference on Photonic, Electronic and Atomic Collisions (ICPEAC), Rosario, Argentina, July 20 - 26,2005

52. A. A. Mityureva, V. V. Smimov. Approximation of energy dependences of the cross sections for electron excitation of atomic metastable levels of rare gases. XXIV International Conference on Photonic, Electronic and Atomic Collisions (ICPEAC), Rosario, Argentina, July 20 - 26, 2005

Цитируемая литература

L.l. James В Anderson. Diffusion and Green's Function Quantum Monte Carlo Methods. Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems: From Theory to Algorithms. Lecture Notes. J. Grotendorst, D. Marx, A. Muramatsu (Eds.), John von Neumann Institute for Computing, Julich, NIC Series, Vol. 10, ISBN 3-00-009057-6, pp. 25-50, 2002.

L.2. Yu. N. Demkov and A. M. Puchkov. Gravitational focusing of cosmic neutrinos by the solar interior. Phys. Rev. D 61,083001 (2000)

L.3. Jabez J. McClelland . Nanofabrication via Atom Optics. Nanotechnology, Vol. I, 335-385 (2000)

L.4. M. Pletyukhov, Ch. Amann, M. Mehta, M. Brack. Semiclassical theory of spin-orbit interactions using spin coherent states. Phys. Rev. Lett., v. 89, 116601 (2002).

L.5. D. Van Dyck. Phys. Status Solidi B, 1975, v.72, n.l, p.321-336.

L.6. I. Bray, D. V. Fursa, I. E. McCarthy. Calculation of electron-helium scattering at 40 eV. Phys. Rev. A, 1995, V. 51, № 1, p. 500-503.

L.7. K. Bhadra, J. Callaway, R. J. W. Hemy. Electron-impact excitation of the n = 2 levels of helium at intermediate energies. Phys. Rev., 1979, v. 19, №5, p. 1841-1851.

L.8. I. Bray, A. T. Stelbovics. Convergent close-coupling calculations of electron-hydrogen scattering. Phys. Rev. A, 1992, v. 46, n. 11, p. 69957011.

L.9. Yu. N. Demkov, J. D. Meyer. A subatomic microscope, superfocusing in channeling and close encounter atomic and nuclear reactions. The European Phys. J. В - Condensed Matter and Complex Systems. 2004, v. 42, n. 3, p.361-365.

L. 10. L. Pang and F. Brisse. Endohedral Energies and Translation of Fullerene -Noble Gas Clusters G@Cn(G = He, Ne, Ar, Kr, and Xe; n=60 and 70). J. Phys. Chem., 1993, 97, p. 8562-8563.

L. 11. A. P. Kazantsev, G. I. Surdutovich, D. O. Chudesnikov, V. P. Yakovlev.

Scattering, velocity bunching, and self-localization of atoms in light field. J. Opt. Soc. Amer. B, 1989, v. 6,n. 11, p. 2130-2139.

L.12. Michael Sanchez and J. M. Cowley. The imaging properties of atomic focusers. Ultramicroscopy. 1998, v. 72, p. 214-222.

L.13. R. E. Dunin-Borkowski and J. M. Cowley. Simulations for imaging with atomic focusers. Acta Cryst., 1999, A55, p. 119-126.

L.14. J. M. Cowley, N. Ooi and R. E. Dunin-Borkowski. Moire patterns in

electron microscopy with atomic focuser crystals. Acta Cryst., 1999, A55, p 533-542.

L. 15. J. M. Cowley. Atomic-focuser imaging in electron nanodiffraction from carbon nanoshells. Ultramicroscopy, 2000, v. 81, n. 2, p. 47-55.

L 16 J. M. Cowley and J B. Hudis. Atomic-focuser imaging by graphite crystals in carbon nanoshells. Microscopy & Microanalysis, 2000, v. 5, p. 429-436.

L.17. J. M. Cowley. Electron holography with atomic focusers. Phys. Rev. Letters, 2000, v. 84, n. 16, p. 3618-3621.

Отпечатано копнровалыю-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 14.08.08 с оригинал-макега заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л.2. Тираж 100 экз., Заказ № 882/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-13-00.

Введение

Глава I. Метод интегрирования по траекториям в квантовой 13 теории

§ 1. Фейнмановское представление

1. Аппроксимация оператора эволюции

2. Конечномерные аппроксимации и предельный переход

2.1 Траекторный интеграл для обобщенных когерентных состояний

2.2 Траекторный интеграл для до-символов

3. О связи с интеграторами

§ 2. Представление сечений рассеяния траекторным интегралом

1. Нестационарный подход

2. Стационарный подход

Глава II. Некоторые способы оценки траекторных интегралов

§ 1. Оценка фейнмановского интеграла методом Монте

Карло. Ограничение области интегрирования. Предпочтительная выборка.

§ 2. Оценка фейнмановского интеграла методом обрезания с 55 разложенным действием

1. Общее выражение

§ 2. Фокусирующие свойства атома для электронного пучка. 155 Фокусировка на различных потенциалах. Фокусировка на цепочке атомов. 1. Кулоновский потенциал.

2. Потенциалы Томаса-Ферми.

3. Атомная линза для электронного пучка в форме колонки атомов в тонком кристалле.

§ 3. Атомная фокусировка ионов 167

§ 4. Атомная линза для атомного пучка. 171

1. Взаимодействие атомов с линзой.

2. Атомная линза в виде конца линейной цепочки атомов углерода.

3. Атомная линза в форме наноотверстия.

3.1 Дефокусирующее действие наноотверстий для атомного пучка. Классический траекторный расчет.

3.2 Дефокусирующая атомная линза в виде наноотверстия для атомного пучка. Квантовое рассмотрение.

3.3 Фокусировка атомных и молекулярных пучков в электрических полях некоторых конфигураций.

§ 5. Самофокусировка атомного пучка в поле световой 209 волны

1. Общие уравнения для кинетики атома в электромагнитном поле

2. Описание совместной эволюции светового и атомного пучков в квазиклассическом приближении по осевой координате

3. Бипотенциальное движение

4. Фокусировка атомного пучка в поле световой волны

5. Приближение слабого поля

6. Моделирование взаимной самофокусировки атомного и светового пучков

Глава V. Варианты применения атомных линз

§1. Возможности применения атомных линз в электронной 239 микроскопии.

1. Общее рассмотрение.

2. Возможности реконструкции образа при сканировании решёткой фокусов атомных линз от электронного пучка.

§ 2. Корпускулярная голография с фокусировкой источника 253 на атомной линзе.

1. Схема осевой корпускулярной голографии с освещением объекта от фокуса атомной линзы.

2. Моделирование осевой схемы корпускулярной голографии с атомно-линзовой фокусировкой источника.

2.1 Процедура реконструкции.

2.2 Моделирование для электронной голографии.

2.3 Моделирование для атомной голографии.

Заключение 266

Приложения

§ 1. Некоторые системы символов операторов 270

1. Определение символов в методе обобщенных когерентных состояний

2. до-символы

§ 2. Представление траекторным интегралом функций 278 гамильтониана

§ 3. Оценка фейнмановского интеграла методом 280 стационарной фазы. Связь с квазиклассическим приближением. Волновой пакет

Литература

Введение.

Траекторные методы, т. е. методы привлекающие понятие траектории в рассмотрении разного рода задач, давно и широко используются в физике. Наибольшее развитие получили различные варианты метода молекулярной динамики при рассмотрении задач классической механики и статистической физики. В квантовой физике траекторные методы получили меньшее развитие в силу, как самой ее природы, так и традиций. Наиболее часто используемым вариантом траекторных методов в квантовой физике является квазиклассическое приближение.

Весьма широко используются в физике методы, основанные на траекторных интегралах различного типа. Интегралы винеровского типа (фейнмановские интегралы для мнимого времени с вещественной экспонентой) применяются для решения задач статистической и квантовой физики. Траекторные методы, базирующиеся на фейнмановском принципе, часто используются в теоретических построениях, однако, применение фейнмановских траекторных интегралов с действительным временем для вычисления физических величин связано с определенной сложностью. Эта сложность во многом обусловлена осциллирующим характером подынтегрального выражения, содержащего комплексную экспоненту. В связи с этим, несмотря на потенциальные возможности, фейнмановские траекторные интегралы практически не используются для вычисления физических величин. К числу их достоинств следует отнести непертурбативность, гибкость и физическую наглядность постановки задачи, перспективность в исследовании нестационарных задач, особенно интенсивно изучаемых в последнее время в атомной физике.

В силу сказанного актуальной является задача построения способов оценки траекторных интегралов фейнмановского типа для решения задач атомной физики и, в частности, физики электронно-атомных столкновений.

Главы 1-3 диссертации в основном и посвящены вопросам формулировки и тестирования некоторых таких способов на простых задачах.

Существует ряд подходов к определению континуального интеграла фейнмановского типа. В нашей работе принят подход на основе предельных процедур для конечномерных аппроксимаций. Рассмотрение базируется на концепции символов операторов. Используются системы символов, возникающих в методе обобщенных когерентных состояний и так называемые до-символы. Вопросы сходимости предельных процедур рассматриваются на основе теории Чернова, касающейся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, которая обобщается на класс стабильных систем операторов [1.1.30].

Для фермионных систем обобщенные когерентные состояния, как известно, могут быть реализованы в грассмановом расширении пространства состояний. При этом возникает интеграл по траекториям в грассмановой алгебре. Ранее считалось, что такой интеграл по форме не отличается от обычного траекторного интеграла в комплексном фазовом пространстве в представлении Фока-Баргмана [1.1.5, А. 1.5, А.1.6]. Однако, в нашей работе [1.1.31] впервые было показано, что это не так и было получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре.

Для многих задач траекторные методы являются естественными методами рассмотрения. К их числу относятся задачи, рассмотренные в диссертации. Это задачи рассеяния электронов на атомах и родственные задачи расчета линз для корпускулярных пучков в классическом и квазиклассическом приближениях.

Методы, основанные на траекторных интегралах, образуют самостоятельную группу методов решения задач рассеяния. В них используется запись решения соответствующей задачи рассеяния в форме траекторного интеграла, который дает явное выражение вероятности, амплитуды или сечения рассеяния через гамильтониан взаимодействия. Тем самым, решение задач рассеяния этой группой методов сводится к интегрированию.

Возникает задача построения способов оценки соответствующих траекторных интегралов. Известно, что квазиклассическое приближение может быть получено из оценки фейнмановского траекторного интеграла методом стационарной фазы. Вместе с тем, другие способы оценки траекторных интегралов для задач рассеяния тоже могут представлять интерес. Как уже отмечалось, эти способы для задач электронно-атомных столкновений практически не развиты. В диссертации рассмотрен ряд вариантов решения задачи рассеяния, основанный на оценках траекторных интегралов.

Помимо чисто теоретического интереса развитие методов оценки сечений электронно-атомного рассеяния на основе фейнмановского подхода в квантовой механике имеет и практическое значение. Оно состоит в следующем.

Известно, что существует довольно много методов расчета сечений электронно-атомных столкновений. Однако, опыт нашей работы в этой области показал, что как бы ни был хорош тот или иной метод и какая бы ни заявлялась при этом точность результата, результаты разных работ отличаются друг от друга, причем иногда весьма значительно. Вместе с тем, методические ошибки разных методов и групп исследователей независимы и при большом числе работ компенсируют друг друга в совокупном результате, который может быть выявлен на основе регрессионного анализа данных по совокупности имеющихся информационных источников.

Накопление базы данных и соответствующий регрессионный анализ проводились нами для сечений электронного возбуждения ряда переходов атомов водорода, гелия и аргона [3.3.11-3.3.15]. Например, для основного перехода в атоме водорода разброс данных составляет два раза, однако выборочная относительная дисперсия по всей совокупности имеющихся результатов составляет порядка двадцати процентов. Это и есть реальная точность, с которой это сечение известно на настоящий момент.

Естественно, что важно пополнение базы результатами, полученными на основе работ, проведенных разными, независимыми методами, обладающими различными, свойственными им методическими ошибками. Методы, основанные на траекторных интегралах фейнмановского типа, методически сильно отличаются от других методов расчета сечений. В этом состоит одна из важных причин практического значения их развития и применения.

Практически важным вариантом задачи рассеяния является изучение свойств линз для корпускулярной оптики. Эти вопросы рассматриваются в Главе 4.

Корпускулярную оптику можно трактовать, как широкое обобщение обычной световой оптики в отношении расширения набора основных частиц с фотонов светового диапазона до всевозможных частиц и квазичастиц. В практическом отношении наибольшее распространение до недавнего времени имели системы, основанные на заряженных частицах, прежде всего системы электронной оптики. Однако, номенклатура реально используемых частиц все время расширяется. Сейчас находят применение системы, основанные, например, на фотонной оптике радио- и рентгеновского диапазона, нейтронной, ■ фононной (инфра- и ультразвуковой), атомной оптике, и т. д., имеется проект по реализации нейтринной оптики [4.1.4].

Одним из основных методов изучения строения вещества на атомном уровне является электронная микроскопия. Вместе с тем, переход за субангстремный предел в разрешении электронных микроскопов представляет собой сложную проблему, решение которой имеет большое практическое значение. Немного продвинуться в разрешении позволяет коррекция аберраций объективной линзы и увеличение ускоряющего напряжения.

Атомная оптика в настоящее время является интенсивно развиваемым направлением исследований, результаты которых применяются в ряде областей, в том числе в микроскопии и нанотехнологиях. Для формирования тонких кроссоверов атомных пучков используется фокусировка атомов на различных системах [4.4.1]. Наибольшее разрешение (десятки нанометров) достигнуто при фокусировке на микролинзах, образованных стоячей световой волной [4.1.9]. Однако, разрешение существующих систем не позволяет приблизиться к величинам, порядка атомного размера.

В свете сказанного, большое значение имеет разработка методов, ориентированных на прогресс в корпускулярной микроскопии атомного разрешения. К их числу относятся методы, основанные на предложенной нами концепции атомной линзы в корпускулярной оптике.

Решение обычной задачи рассеяния на потенциале с точки зрения дифракционной теории линзы соответствует рассмотрению дальней (фраунгофферовой) зоны дифракции. В теории линзы больший интерес представляет ближняя и средняя (френелевская) зоны дифракции.

Для корпускулярных пучков типичной является длина волны меньше атомного размера. В этом случае размер линзовой системы может быть уменьшен вплоть до предельного - размера атома (в атомной физике). Ядро, в принципе, тоже может обладать фокусирующими свойствами по отношению к ядерным силам, но положение ядерной линзы не является контролируемым с ядерной точностью.

Отдельные атомы и небольшие атомные группы (наномасштаба), воздействующие на проходящие корпускулярные пучки, в наших работах мы называем атомными линзами.

Фокусирующие свойства атомов и групп атомов отмечались и рассматривались в физике твердого тела и, в частности, в связи с изучением явления каналирования в кристаллах [4.3.1-4.3.7]. Фокусирующие свойства некоторых модельных потенциалов рассматривались теоретически в [4.2.1, 4.2.2]. В наших работах впервые начато систематическое изучение фокусирующих свойств атомов для электронных пучков в более реалистичных атомных потенциалах и нахождение параметров пучков на выходе из тонкого слоя твердого тела при фокусировке в случае, когда еще не успевает наступить режим каналирования со стационарным распределением по поперечным координатам.

Нами изучались также некоторые конфигурации атомных линз для атомных, молекулярных и ионных пучков.

Взаимодействие частиц пучка с атомной линзой в наших работах рассматривалось в потенциальном приближении.

В последние годы интенсивно изучается и применяется манипулирование атомами в световом поле [4.1.3, 4.1.5-4.1.9]. В диссертации рассмотрена задача самофокусировки атомного пучка в поле световой волны. Это явление относится к эффектам нелинейной корпускулярной оптики и происходит, вообще говоря, одновременно с самофокусировкой световой волны. При самосогласованной эволюции атомного и светового пучков, динамически формируется пучковая атомно-линзовая система. В этой системе атомный пучок становится линзой для самого себя. Рассмотрение проводится в рамках двухуровневой модели атома при бипотенциальном описании движения.

Задача распространения частиц пучка через атомную линзу в диссертации решается в основном в классическом и квазиклассическом приближениях. Используется также слоевой метод СоуЛеу-МоосП, который широко применяется при моделировании распространения корпускулярных волн в кристаллах.

В диссертации приводится вывод слоевого метода на основе фейнмановского траекторного интеграла путем его оценки методом стационарной фазы по части переменных, соответствующих проекции траекторий на выделенное направление движения. Тем самым, устанавливается соответствие слоевого метода квазиклассическому описанию движения в выделенном направлении и квантовому в поперечном направлении, т. е. парциальному квазиклассическому приближению.

На основе траекторного интеграла в фазовом пространстве дается обобщение слоевого метода на гамильтонианы с неквадратичной зависимостью от импульсов. Важным примером служит релятивистский гамильтониан.

В Главе 5 диссертации теоретически рассмотрены вопросы, касающиеся возможности применения атомных линз в корпускулярной микроскопии атомного разрешения и корпускулярной голографии.

Предложено и изучено несколько схем электронной микроскопии с атомной линзой.

Приводятся результаты теоретического изучения корпускулярной голография с использованием малых кроссоверов пучков, формируемых атомными линзами, как источников корпускулярного освещения.

Заключение.

Подводя итог, сформулируем основные результаты и выводы настоящей работы, полученные при теоретическом рассмотрении и компьютерном моделировании.

По траекторным методам

1. Применяющаяся в доказательстве сходимости предельных процедур для фейнмановских траекторных интегралов теория Чернова, касающаяся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, обобщается на класс стабильных семейств операторов;

2. Приведено достаточное условие сходимости по норме аппроксимаций оператора эволюции.

3. Впервые получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана.

4. Проведены построение и апробация некоторых способов оценки траекторных интегралов фейнмановского типа, основанных на

- методе Монте-Карло,

- обрезании в окрестности оптимальной траектории,

- аппроксимации гауссовыми интегралами.

4. На их основе предложены способы расчета сечений электронно-атомного рассеяния.

5. Результаты расчетов сечений рассеяния на основе предложенных способов сравниваются с результатами других методов, которые либо являются точными, либо получены в приближениях, которые принято считать достаточно хорошими. Это, прежде всего, метод clouse coupling convergent (ССС). Для сравнения также применяются результаты, полученные на основе предложенного в наших работах подхода, основанного на регрессионном анализе данных, содержащихся в имеющихся источниках информации по рассматриваемому вопросу и дающего совокупное представление данных.

• Метод Монте-Карло дает хорошее согласие с результатами метода ССС. Однако, он требует больших вычислений, связанных с заданием предпочтительной выборки, и не подходит для массовых вычислений.

• Оценка траекторного интеграла при обрезании дает хорошие результаты для не слишком сложной картины оптимальных траекторий. Как и предыдущий подход, он требует больших вычислений, связанных с построением оптимальных траекторий, и не подходит для массовых вычислений.

• Оценка траекторного интеграла, основанная на аппроксимации его гауссовыми интегралами, показала хорошие результаты при сравнительно небольших вычислительных затратах.

По атомным линзам в корпускулярной оптике

1. Впервые изучены параметры электронного пучка, распространяющегося за одиночным атомом и за колонками атомов в тонком кристалле. Показано, что эти системы могут выступать в качестве линзы, способной сфокусировать пучок электронов в область с поперечным сечением, меньшим, чем 0.05 пш в диаметре.

2. Рассмотрена фокусировка ионов при каналировании в кристалле. Найдено, что для протонов с энергий пучка 10 - 1000 кеУ фокусное расстояние линейно по скоростью протонов растет от 13 А до 130 А, приблизительно сохраняется вид поперечного распределения интенсивности пучка в фокусе. Высота пика интенсивности в фокусе в 250 раз превосходит интенсивность пучка, падающего на кристалл.

Ширина пика порядка 3 пикометров.

3. Впервые изучены параметры атомного пучка, распространяющегося через наноотверстие в тонкой пленке, в отсутствии и в присутствии внешнего электростатического поля.

• Показано, что дефокусирующая атомная линза в виде наноотверстия в тонкой пленке для атомного пучка имеет самое высокое качество из исследованных нами атомных линз для атомных пучков. Для пучков тяжелых атомов тепловых энергий диаметр пучка в фокусе линзы определяется, в основном, геометрическими аберрациями и составляет величину порядка десятков пикометров. Усиление интенсивности в мнимом фокусе составляет порядка нескольких сотен раз.

• Для фокусирующих атомных линз в форме наноотверстий во внешнем электростатическом поле получена и проверена аппроксимационная формула для фокусного расстояния.

4. Рассмотрена фокусировка атомного пучка в световом поле.

• Выявлено наличие двух фокусов (действительного и мнимого) при фокусировке атомного пучка на световой линзе. Получены формулы для соответствующих фокусных расстояний. Расчет по этим формулам подтверждается численным моделированием.

• Рассмотрена совместная самофокусировка светового и атомного пучков. Вводится критерий, определяющий параметры системы, при которых, начинает проявляться эффект самофокусировки. Проведено численное моделирование, подтверждающее этот критерий.

5. Впервые предложены и теоретически обоснованы :

• Использование одиночных атомов в качестве линзовых систем электронной оптики.

Использование решеток атомов в кристалле в качестве линзовых систем электронной оптики. При этом были выявлены диапазоны параметров системы, которые позволяют с допустимым качеством реконструировать образ при сканировании решёткой фокусов атомных линз от пучка электронов.

Схемы корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе. Моделирование осевой схемы корпускулярной голографии с использованием атомной линзы для освещения объекта показало, что разрешение в реконструированном образе порядка диаметра кроссовера линзы. При этом сопряженные образы не создают существенных помех наблюдению реконструированных образов.