Квазиклассически сосредоточенные состояния в нерелятивистской квантовой механике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

томский государственный унивансида

1 Г 5 О Л "рйьа* рукописи

УДК Ь39.12:53(>.14Ь

Рогова Анна Марксовна

КВАЗИКЛАССИЧКСКИ СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКОИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

01.04.02 - теоретическая Знайка

Автореферат Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Тскси 19Й4

Работа выполнена иа кафедре квантовой теория поля Томске, государственного университета.

Научные' руководителя: доктор физшео-катешлгаееккх наук Белов В.В.

кандидат физнко-матоиаипеских наз Трифонов А.Ю. оиноччнты: доктор фазико-иатеиатичаских иау! профессор Эпп В.Я. ксидидчт фмзико-матеиатичвекк* на Иуэенко С.М.

Ш'.^йяя организация: Московский внэргетичзскна институт.

Эацита состоится "— н--------1994г. в—пасов

ки явсадании специализированного совета Д 063.63.О7 по присуз до5иг ученой степени доктора наук по скацааяьностк CI.04.02 (тао^г.леская физика) б Томском государственном ушверентэт! проспект ЛИяшп. 36)

г лне^.р^тяццей шало оэнакошться в Научной библиотека ".¡'уускг, о государственного университете.

Автореферат разослан"____"_________ .1994. ^

ГШШР СЕКРЕТАРЬ СпвцкияизирсБаиного Совета кандидат Дмз. мат. наук

С.Л. Ляхокга

0Щ4Л :и?АНТШ1С-ГЙ1{А РАБОТЫ

В диссертации развивается метод траекторно когерелтшх состояний в квазиклассическом приближении нерелятивистской квантовой механики. В рамках этого метода доказаны теоремы об основных понятиях квазиклассического приближения, реализована строгая процедура получения классических уравнений движения. Дано обоснование того, что квазиклассическое приближение эквивалентно (в смысле вычисления средних значений няолыдаомых) замене уравнения Шредингера конечной замкнутой системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

АКТУАЛЬНОСТЬ ХЕШ. Метод построения квазгаслаесичееких асимптотик является одним ил наиболее мощных, а зачастую и единственным" методом исследования широкого класса задач, .для которых, как правило, невозможно построение явных формул для точных решений. При математическом подходе (рекевдя основшд уравнений теории ищутся в виде формального разложения гго малому параметру 11) в конкретных задачах должен быть нрсведон анализ и найдена область значений параметров, для которых квазиклассическоо приближение корректно. В диссертации развивается (включающий построение.асимптотик как существенную часть) подход, устанавливающий физическое соответствие результатов квантовой и классической механик. Точное математическое определение понятия квазиклассической сосредоточенности позволяет выделять состояния, допускающие корректный переход от квантовой механике к классической и отбрасывать "существенно квантовые состояния".

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является придание строгого математического смысла некоторым принципиальным понятиям квазиклассического приближения и их применение к решении копиретише физических задач и И^кХ/ЮМ.

НЫШАН Н0И1ШЛ.

Все результаты, вынесенные на защиту являются оригинальными. Постановка задач осуществлялась совместно с научными руководителями. Все расчеты проведены диссертантом лично.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ ДИССЕРТАЦИИ.

Полученные в работе теоретические результаты дают возмог, гость эффективно применять развитую технику квазиклассического трае-кторно - когерентного приближения для реиения принципиальных-вопросов, связанных с конструктивным построением и исследованием состояний, допускающих прэдельный переход от квантовой к классической теории.

Материалы диссертации могут найти применение в работах, ведущихся го сходной тематике на кафедре теоретической физики МГУ, других вузах и научно-исследовательских институтах.

Публикации. По тема диссертации опубликовано 7 работ,

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ, Материалы диссертации докладывались на Региональной теоретической конференции ученчх еевпрного Кавказа. Майкоп, октябрь 1930.

Ш Всесоюзной нколэ - совещании "Основания современной фк-

зики". 27 апреля - 5 мая 1991 г. Сочи.

У школе молодых ученых МГУ "Элементарные частицы и внешние поля". 20 -26 апреля 1992 г. Ярославль.

Школе•- семинаре "Секреты квантовой и математической интуиции". 12 - 14 июля 1993 г. Дубна.

Всесоюзном семинаре "Космомикрофизика и калибровочные поля", 24 - 31 августа 1993 г., Москва, МГУ.

Всероссийском семинаре 'Теоматризация физики - истоки, развитие и современные направления" 1-5 ноября 1993 г., Казань

ОБЫШ РАБОТЫ. Диссертация изложена на___страницах машинописи- .

ого текста. Список использованной литературы включает___ наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и слиска литературы.

Во введении обозначены основные подходы к квазиклассическому приближению и отмочены шночевые достижения в развитии каждого подхода. Представлен новый взгляд на квазиклассическое приближение в рамках формализма квазиклассически сосредоточенных состояний. Дано описание основных положений и задач, решаемых в диссертации.

I глава посвящена квазиклассической сосредоточенности состояний и выводу классических уравнений движения из квантового уравнения Шредингера.

В п.л показано, что понятие сосредоточенности в окрестно- , сти классической траектории (теорема Эренфенста) для систем с

неквадратичным гамильтонианом требует уточнения:

llm"F = xk(t) (0.1)

h-Ю

Требование (0.1) с необходимостью приводит к определению кваз-иклассически сосредоточенного состояния.

Определение. Состояние Ф назовем квазиклассически сосредоточенным на фазовой траектории x(t), p(t), если для волновой функции в х - представлении ф(х,г,Ю,в р - представлении <|)(p,t,h) существуют обобщенные пределы:

lim №(xtt,h)|2 = ß(x - x(t>),

h-O

:0.2)

lira №<p,t,h)|e = ö(p - p(t)).

В п.2 сосредоточенные состояния (0.2). записаны без ограничения общности K8K в х, так и в р - представлении. По ним рассчитаны средние операторов Дх®, ¿р®. Из условия (0.2) и соотношения неопределенностей получены уточнения на вид квазиклассически сосредоточенных состояний. Для корректного вывода классических уравнений движения из квантовомехацических в п.4 введено понятие фазовой траектории уже в квантовой механике. Если существует предел

lim X(t,h) = x(t), lim J5(t,h) - p(t) (0.3)

h~0 h-*0

то естественно назвать x(t) и p(t) фазовой траекторией классической системы, соответствующей данному состояний ф. Очевидно, что как средние, так и предельные значения (0.3) зависят от ф. Следователи;«, требование, чтобы x(t), p(t) явл-

ялись решениями классической системы Гамильтона есть требование на выбор ф квазиклассически сосредоточенным. Хотя формулировка (0.2) не исключает возможности существования квазиклассически сосредоточенных состояний, для которых векторы x(t) и p(t) не связаны между собой и с классической траекторией (0.3). Однако в первой главе доказана теорема о квазиклассических состояниях (творена Эренфеста - Багрова):

Если состояние квазиклассически сосредоточенное, то x(t) и p(t) являются решениями соответствующей классической системы Гамильтона . i

При доказательстве теоремы из многомерного уравнения Шре-дингера с необходимостью получена классическая система Гамильтона. Тогда как обычно ограничиваются получением уравнения Гамильтона - Якобн в некотором формальном пределе h<*0.

В п. б обсуждаются следствия теоремы. Важнейшим следствием представляется возможность "порождения" классических уравн- , ений движения методом комплексного ростка в процессе построения приближенных решений, сосредоточенных в окрестности классических траекторий. Возможность такого подхода была продемонстрирована в [ 1 ]. В методе ВКБ - Маслова предполагается, что соответствующие классические уравнения движения и их решения известны. В свете доказанной теоремы очевидно, что такое предположение излишне.

Теорема подчеркивает то обстоятельство, что корректный переход от квантовой теории к классической требует наложения определен.<ых ограничений на квантовые состояния. (Их квазиклассической сосредоточенности).

Вопрос о существовании квазиклассически сосредоточенных состояний решается положительно по крайней мере для уравнений Шредингэра и Кляйна - Гордона для заряда во внешнем электромагнитном поле и Дирака с внешним калибровочным полем (Багров, Тернов, Белов, Маслов, Кондратьева).

Если существует среднее значение по квазиклассически сосредоточенным состояниям от произвольного оператора A(5t,£,t), то существует классический предел

lira A(î.fl.t) = A(x(t), pit)). (0.4)

h-»0

причем, для величины A(t) справедлива классическая связь

dA(t)/dt = ÔA/dt + J |(ôH/apk(t))(OA(t)/ôxk) -

- (ÔH/ôxk(t))(aA(t)/flpk(t))| (0.5)

Приближенные (по h~0) решения эволюционных квантово - механических уравнений, удовлетворяющие условию (0.2) или (0.4) получили название квазиклассических траекторно - когерентных состояний (Т.К.С.).

Не трудно понять, что утверждение теореш о квазиклассической сосредоточенности не изменится, если вместо точных решений (сосредоточенных состояний) уравнения Щредангера мы еэзьм-ем Т.К.С.. То есть уравнение Шредингера заменим на

Вф = 0(h) (0.6)

Для осуществления такого доказательства в п. 6 провелось построение и изучение свойств полного набора Т.К.С. одномерного уравнения Шредингера

<l>v(x.t,h) = Jv(t)Hv(y) expllh"1 S(x,t) + irip(t)]

2S(£,t) = a(t)Ç2 + 2p(t)£ + x(t)p(t) + x<t), (0.Г)

a(t).= a,(t) + ia2(t), { = x - x(t>

Jv('t) = (2vv\)~uz (aa(t)/nh)1/f y = {(a^t)/!»)1'8.

Для того, чтобы функция (0.6) принадлежала пространству 2 и имела единичную норму необходимо и достаточно

Im a(t) = agit) > 0 (0.8)

J0(t) = (a2(t)/ith)1/4

олучен явный, вид (0.6) также в импульсном представлении и рас читаны матричные элементы операторов £ и р, х2, рг, средне-вадратичные ошибки Л?и Др^.

X = x(t), р = p(t) (0.9>

А? = l^tév + 1), Âp5 = kala(t)|?(2v + t). k = (h/2a2(t))1/2.

¡ажио, что по Т.К.С. средние моментов Ах™, Ар"1 пропорциональны jni/г _

Георома Эренфеста - Багрова доказывается.в п.8 для полного набора Т.К.С. и для волновых пакетов не только гауссовой формы. Данное в п.4 общее доказательство теоремы о квазикласс-пески сосредоточенных состояниях, обладая исчерпывавдей обшн-эстью, не вскрывает конкретных деталей "появления" классических уравнений движения при построении квазикляссически сосредоточенных состояний (точных или приближенных решений). В п. 7 предлагается конкретное построение кввзиклассически сосредоточенного состояния, являющегося приближешшм по М) решением одномерного уравнения Шредингера для частицы в произвольном

нестационарном поле V(x,t).

Ity)(x,t,h) = F(x.t,h) - 0.

(0.10)

Функция F называется невязкой уравнения. Последовательно налагая все более жесткие оценки на норму невязки видим, что если ||F||г = 0(h), h ♦ О, то существуют Т.К.С. где x(t) произвольно и может не только не удовлетворять классическим уравнениям, но и не Оыть связанным с p(t).Требование ||F||2 = 0(h.2) с необходимостью восстанавливает классику из квантовой механики. Однако характеристики волнового пакета с точностью до постоянных - начальных условий дифференциальных уравнений н; a(t) и %(t) определяются лишь при ||F||2 = 0(h3). При этом а невязке остается член, зависящий от конкретного вида потенциала V(x.t).

Введением квазиклассически сосредоточенного состояния из множества векторов состояний выделяется сектор состояний, допускающих квазиклассическое приближение и физически' осмысленный переход от квантовой механики к классической. Эволюция квазиклассически сосредоточенного состояния приводит как правило (но не обязательно) к разрушению квазиклассичности. Ъ большинстве случаев сосредоточенный волновой пакет расплывается. Под нера-сплывашщмся волновым пакетом мы понимаем такое, принадлежащее 1-2 решение уравнения Шредингера, для которого эффективная область сосредоточения квадрата модуля волновой функции ограничена во времени. В 9 параграфе отмечается вероятность существования квант овых систем, для которых нет нерасплывающихся волновых пакетов(точных решений). Однако для приближенных решений

имеет место вторая теорема Багрове:

Существует квазиклассическое (приближенное) решение уравнения Шредингера, являющееся пересиливающимся квазиклассически сосредоточенным волновым пакетом. Доказательство теоремы прив1-одит к соотношению:

5(t) (Im a(t)J1/a = i(t) (Im*a(t)]1/2 (0.11)

Здесь 1ш a*(t) наперед заданная амплитуда расплывающегося волнового пакета ф(х, t ) в переменной х. Im'ÈTitt) определяет характ-эр расплывания пакета ®(x,t) в переменной х.

Im a(t) обеспечивает нужное расплывание волнового пакета S(z,t) в переменной з. Из (0.10) при известном решении класси-юской задачи x(t), нужном Im a(t) и ьаперед заданном Imt) юходим z(t), что в параметрической форме (параметр t) опреде-шет замену х = /(z). Найденная замена переменной позволяет гостроить нерасплывающийся волновой пакет в переменной z.

Тем самым указывается эффективный способ построения нера-ялывагацегося волнового пакета для одномерного уравнения Шред-нгера. Нужная замена переменной найдена в случае свободного равнения Шредингера. Записаны соотношения, полностью определ-ющие нерасплыващийся волновой пакет введена безразмерная остоянная г, являющаяся в данной задаче буквенным параметром вазиклассичности

г = (h/mv2i;),/z ,о = г/ц (0.12)

определяющим ширину пакета о.

При исследовании точности этого решения нкя^нилось, что >мим" норасплнвпни.ч i:«aitw-M «с о-? чЧ", ' " •••::> ••f.'wr orp.v-

ниченность невязки Г(а,1;,й) во все моменты времени. Более того, с течением времени заданная точность не разрушается (сначала ухудшается, однако затем и > \0) точность слабо ув- . еличивается). Наибольшая точность (наименьшая норма невязки) достигается при 1; = «>. При малых г норма невязки . : пропорциональна г3 во все моменты времени (т.е. 0(1г3/г)), что соответствует основному члену квазиклассического приближения.

Третья глава посвящена новой формулировке квазиклассичес- , кого приближения, данной впервые в работе Багрова, Белова, Кондратьевой для одномерного уравнения Шредингера.

Новый подход позволяет заменить уравнение Шредингера ело- . дующей системой:

я = £ Нй^а-Ь) гц V";

, |ЦПЧ=0 Я™

Р = "2 -Е^у ; (0.13)

т - у I у ХгИЦ101"17'-1 а!61^1 2-'Т1-Ю1 + 1

И^Г -м'*0'] Я(Р-о) 0(аг с).^+а-о-7,М-о-7, -¿, ЪА? асы.р

Здесь обозначено

Нрв ^и.Ь) = врв н^ю, н^к.ю = оь н^мо.

V Гк

2 = 2 . (0.14)

7=о 7к=о

+ 7 - о) + 7к " V-

а(к) = а, - 01к, а, - 82>к, "

(х) - ступенчатая функция (Q(x) = 0, х<0; Q(x) = г, х>07. 12 параграфе обоснованы условия, при которых обрыв бесконеч-эй системы имеет смысл и соответствует квазиклассическому риближению 0(him/a). В практических расчетах чаще'всего огрон-таваются точностью 0Ш3/г). Мы привели систем, соответству»-/п этому приближению и решили ее для движения в кулоновском зле (в частном случае г = const).

Итак на .защиту выносятся следующие положения:

1. Определение квазиклассически сосредоточенных состояний, жазательство теоремы о квазиклассической сосредоточеннос-

[ состояний, исследование механизма возникновения классическ-: уравнений движения из уравнения Шредингэра.

2. Доказательство теоремы о существовании квазикласспчзс-х нерзсплывакщихся волновых пакетов и разработка конструктп-ого метода их построения.

3. Обоснование возможности формулировки квазиклвссическо-приближения в виде конечной замкнутой системы обыкновенных

фференциальных уравнений и рассмотрение простейших следствий ой формулировки.

ОСНОШШ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Депо определение квазшитссичесш сосредоточенного состояния. исследованы некоторые свойства сосредоточенных состояний.

2. Доказана с исчерпываадей общностью теорема Эренфеста -- Багрова о квазиклассыческой сосредоточенности. Приведено также доказательство этой теоремы для полного набора Т.К.С. -для волновых пакетов не только гауссовой формы.

3. Исследовано формирование квазиклассическя сосредоточенного волнового пакета при последовательной наложении все басов жестких (до О (II31/2)) требований точности на киадрг..' норш навязки одномерного уравнания Шредангера для частица в произвольной нестационарной потенэтальнои пола.

Дано строгое доказательство теореш о нерасплываидеыся квазиклассически сосредоточенном волновой пакете. Указан эффективный способ построения нврасилыЕ .кцкхся квазкклассическнх волновых пакетов для одномерного уравнения Шредангера и получена керасплывапцаясн гауссоода.

5. Записана в ыногоыернои случае бесконечней система обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентная уравнении Шредангера¿ Введением сосредоточенного состояния обоснован обрыв системы обыкновенных дифференциальных уравнений и доказана физическая эквивалентность полученной конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и обычного квазикласспческо-го подхода в квантовой механике. Для иллюстрации нового подхода к квазиклассическому приближению рассмотрено движение частиц в кулоновскои поле.

Основное содчрчаняе и результаты диссертации опублякованы в следующих работах:

1. Рогова A.M. Уравнение Ньютона кис следствие квазиклассического метода решения уравнения Шредангвра.//Известия вузов.Физика. - 1991, том 34, N 7, - с.77 - 81.

2. Рогова A.M. Математические свойства траекторно - когерентных СОСТОЯНИЙ. Двп. ВИНИТИ 13.01.92 - N 129. - В 92. - 22 с,

3. Багров В.Г., Белов В.В., Рогова A.M. Квазшслассически соор-едотсчешыэ состояния в квантовой механике.//TMS. - 1992, том 90, N 1, - с. 84 - 94.

4. Bagrov V.G., Doloov 7.7., Rogova A.M. and Trlfonov A. Yu. Tho quaslcla33lcal localisation of the states and obtaining of motion from quantum theory.// Modern Ihysicc Letters B, 1993, vol. 7, U 26, p. 1667 - 1676.

5. BeloY 7.V., Bolto7sky D.V., Hogoya A.M. and A. Yu. Trlfono7. Kondleperalve. quazl - classical тате packets. (В печати)

6. Болов В.В., Рогова A.M. Норасплыващчеся квазиклзссичоские волновав пакзтн в нерелятйвистской квантовой механике. известия вузов. Физика. - 1994, том 37, Н 6, с

7. Багров В.Г., Кондратьева М.Ф., Белов Р.В., Рогова A.M., Трифонов 5.Ю.Новая формулировка квазшслассяческого приближения в квантовой механике. 'В печата)

Заказ fib Тирад /СО зхз. УОП ТГУ. Тачек, 'Лпютнга, '».