Траекторно-когерентное приближение в теории спонтанного излучения бозона тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ6 ОД томский государственный университет

им. в.в.ШЙИИЖ

1 g ДПР 1993

На правах рукописи ЗДК 539.I2i530.I45

б0лт0в0кий Дмитрий Владимирович tpaektohío-когержшое приближение в

теории спонтанною излучения b0301ía

01.04,02 - теоретическая физика

Автореферат

Диссертации На соискание ученой степени - кандидата физико-математических наук

Т О М С 1С -

1993

Работа выполнена на кг:Т>едре' высшей математики и математической физики Тодлкого полт ехнического университета и на кафедре прикладной математики Московского института электронного машиностроения

Научные руководители:

Официальные оплонентн:

Доктор физико-математических наук, профессор Никитин ГЛ. ГЛ.,

доктор физико-математических наук, доцент Белов В.В.

доктор физико-математических наук, доцент Эпл В.Я.,

кандидат физико-математических наук, о.н.с, Каменщик А.Ю.

Ведущая организация -

Институт оптики атмосферы СО РАН

{Защита состоится tf^/p^-fS 1993 г. в часов

на заседании специализированного Совета Д 063.53.07 по присуждению ученой степени доктора наук по специальности 01.04.02 (тео -реткческая фазиса) в Томском государственном университете [634010 Томск, проспект Лешша,36, главный корпуо, ауд.136).

G ди'г?о."тацпой можно ознакомиться в Научной библиотеке Том -око го государственного ушшерситета. ' '

Автореферат разослан ЛО^РУгЗ- 1993 г.

У'ШШЙ СЕКРЕГАРЬ

онецначпзмровашюго Совета кандидат ф;юлко-матеиа'ГНчеа.--:ис наук

ОВЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ таи. Понятие квазиклассического приближения юзникло практически одновременно с квантовой механикой. При «ом обычно используют два подхода.

Первый из них состоит в том, что в основных уравнениях тео-ши (уравнении Шредингера, Клейна-Гордона, Дирака и т.д.) при-:утст.вует' параметр А - постоянная Планка, - который может в оп-¡еделенных ситуациях рассматриваться как малый, и, следоват&чьно, юшения основных уравнений можно искать в виде некоторых (вообще ■оворя, асимптотических) формальных рядов по А , А -* О ; По уществу, это чисто математическая задача, не связанная с фнзи -есшш смыслом теории, однако тлеющая большую самостоятельную ,ешюсть.

В основе второго подхода лежит требование искать не только рпближенные по А О решения основных уравнений теории, но и становить физическое соответствие результатов квантовой механи-и классической. Именно этот подход развивается "5 диссертации.

Сейчас очевидно, что не существует универсального, не завидного от конкретной физической ситуации, способа получения про-звольных кчассических величин из квантово-механичесглх в преде-е при к — О . .

Так, например, решение одной из принципиальных задач соот -етствия результатов квантовой механики классической для заря^ енной частицы во внешнем электромагнитном поле - проблемы выво-а классических уравнений движения из уравнений движения для вантово-механических средних в пределе при О основано на ¿пользовании нормированных динамических состояний квантовой истемы в форме волновых пакетов,'сосредоточенных в окрестности эложения классической частицы, Тшшё состояния можно построить квазиклассическом приближении, если потребовать,■чтобы фаза элновой функции имела бы, в отличие от стандартных ВКБ асимпто-^

неотрицательную мнимую часть, обращающуюся в ноль на клао-этеской траектории. Построение такого сорта квазиклассических зимптотик позволяет решить эту'задачу в общем случае - для про-звольного внешнего поля.

Развитие приближенных (квазиклассических) методов расчета гзшескга. эффектов во внещрих электромагнитных полях остается

актуальной задачей теоретической физики и представляет одно к важных её направлений. Универсальность квазиклаесических мето дов проявляется в возможности их использования как для слабых так и душ интенсивных электромагнитных полей (естественно, в этих случаях разложение идет по разным параметрам). Поэтому и пользование квазиклассического метода оказывается эффективным как при решении ряда задач, связанных с экспериментом, так и при решении некоторых общетеоретических проблем.

Следует отметить актуальность квазиклассического исследо вания квантовых эффектов в сильных полях, в связи с быстрым развитием ускорительной и лазерной техники и в связи с исслед ваниями процессов взаимодействия излучения" с веществом.

Вышесказанное доказывает обоснованность интереса к пробл' ме квазиклассического описания движения и излучения заряжешш; частиц.во внешних электромагнитных полях.

Поскольку вычисления характеристик излучения связано с большим объёмом трудоёмких выкладок, в диссертации уделено вш мание решению модельных задач (например, постоянное'и однород но'е магнитное поле), что позволяет контролировать методику рас чета.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертации является развитие приближенных методов построения решении (квазиклассических асимптота с комплексными фазами) уравнений релятивистской квантовой меха ники и использование этих решений для расчета физических эффек тов в квантовой электродинамике.

Для достижения этой цели необходимо решить сл едущие зада

чи:

1.' Разработать метод нахоядения высших приближений для кваэшедаосических траекторно-когерентных состояний (ТКС) уравнений Клейна-Гордона и релятивистского псевдодифференциальнохю

' уравнения типа Шредингера.'

2. Провести исследование пробле.лн расплывания квазикласси-чеоких волновых пакетов.

3. досмотреть применение'метода ТКС к проблеме спонтанного излучения заряда.

4. Провести сравнение метода ТКС с другими (в том числе и квазиклассическими) методами, применяемыми в теории излучения.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Б работе впервые предложен метод нахождения высших приближений для КЕазиклассических траекторно-когерен-тных состояний (ТКС) уравнений Клейна-Гордона и релятивистского уравнения типа Шредингера в произвольном электромагнитном поле. Такие решения построены в виде асимптоэтгческого ряда по полуце -л им степеням малого параметра А , (к О) о любой степенью точности по О и образуют полные ортонормированные наооры.

В рамках метода ТКС решена проблема предельного перехода при &-* О из квантовой механики в классическую для релятивистской бессшшолой частицы, а именно средние квантозомеханические, расчитанные по кзазиклассическим ТКС уравнения Клейна-Гордона для операторов координат и импульсов в пределе при О. являются решениями классических уравнений движения.

'Получены условия, при которых квазикласспческпй волновой, пакз!г (ТКС) не расплывается. Построены нерасплызащкеся хвази -классические волновые пакеты в аксиально-симметричное алектро -магнитдом поле (как в релятивистском, так и нерелятивистском случаях).

На основе ТКС уравнения Клейна-Гордона в произвольном электромагнитном поле предложен метод вычисления матричных элементов от квантовых наблвдаемых и решена задача расчета основных характеристик спонтанного излучения бозона с учетом первой квантовой, поправки включительно в области параметров, когда отдача фотона мала и движение бозона квазнклассично,'

Показано, что спектрально-угловое распределение излученной энергии представляется в виде конкретного функционала от классической траектории частицы, для которой рассмотрено как ультрарелятивистское, так и нерелятивистское прнблшнешш. Получена мощность излучения' нерелятивистской частицы в аксиально-симметричном магнитном поле.

Показана возможность радиационной самополяризащш нереляти -вистСйих электронов в некоторой классе аксиально-симметричных электрических полей.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Выполненные з диссертации исследования носят теоретический характер. Полученные новые результаты -могут быть использованы и теоретических и экспериментальных

исследованиях квантовых эффектов при движении и излучении реля -тивнотскгх заряженных частиц в лазерной и ускорительной технике, а также при решении астрофизических задач, связанных с движением заряженных частиц в электромагнитных полях сложных конфигураций.'

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 6 работ,'

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Материалы диссертации докладывались на научных семинарах теоретического отдела Института сильноточной электроники, на семинарах кафедр квантовой теории поля Том -ского госуниверситета, прикладной математики Московского института электронного машиностроения, на Томском общегородском семи-.наре по теоретической физике, на У школе молодых ученых МГУ "Элементарные частицы и внешние-поля" •

ОБЪЁМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на 99 страницах маши-, нописного текста. Список использованной литературы включает в себя 119 наименований.

СОДЕШШИЗ РАБОТЫ

\

Структура диссертации.1 Диссертация 009Т0ИТ из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении обоснована актуальность выбранной теш, изложен краткий обзор литературы и установлена связь результатов, полу -ченных в диссертации, с работами других авторов. Дано описание структуры диссертации и основных задач,' решаемых в ней.

' В первой главе не только показана принципиальная возмож -ность получения приближенных по А О решений уравнения Клейна-Гордона и релятивистского уравнения типа Шредингера' с точностью До О( А , где /У - любое не зависящее от Й натуральное чноло, но и дан конструктивный способ построения соответствующих высших приближений. В явном виде выписаны решения соответствующих уравнений с точностью до О Существенно, что в разложение в асимптотический ряд происходит по степеням А . Мелщу ЖС уравнения Клейна-Гордона и ТКС релятивистского уравнения типа Шредингера установлена связь (с точностью до О (Ь^2)) для случая произвольного электромагнитного ноля.

В качестве иллюстрации изложенной схемы в явном виде пост-.

эены ТКС бесспиновой релятивистской частицы в постоянном одно-эдном магнитном.поле с точностью до ■ •

Используя ТК состояния, рассмотрена проблема предельного зрехода при к О из квантовой механики в классическую.' По -азано, что средние квантовомеханические, рассчитанные поква-жласоическим ТКС уравнения Клейна-Гордона, для операторов координат й импульсов в пределе при А О являются решениями юссических уравнений движения.

Во второй главе проведено исследование проблемы расплыва-квазиклассических волновых пакетов - ТКС бесспиновой части-i как в нерелятивистском, так и в релятивистском случае.' Покато, что квазикпассический волновой пакет (главный ч ,н асимп-этики) не расплывается, если все решения систеш в вариациях [) Спинеризации систеш Гамшгьтонй) &М и С ограничены.1

Хрри) -х^мЦс«)/ '

}(о) — // ¿¿¡у// , С (о) = // $¿¿¡1, Я£ > О, /, 2,3),

'си) ф-о) У ¿¿зер , , , Мрр вычислены в точ-

3 (х^/Т), ри, • , - решение класси-

зской систеш Гамильтона.1 Ограниченность АМ и С(¿) оз-1чает выполнение следующих условий

77ЙАГ /¿\ ■({)/ <" ' • V ' ^

(2)

частном случае классических систем, допускающих одну цикли -зскугс переменную У ( ¿я) условие ограниченности решений гстемы в вариациях (I) для семейства равновесных окружностей (£) , эквивалентно услозию ^гГ= О . (где ¿^ - частота

ращения). ' ' •

В качестве примеров построены керасплызавдиеся квазиклас -иеские волновые пакеты - квазиклаосическле траекторко-коге -знтные состояния нерелятивистской и релятивистской бессгановых

частиц в аксиально-симметричном электромагнитном'поле.' Показано, что в нерелятивистском случае существует класс электромагнитных полей с потенциалами .

(3)

' ¡-г 2 е 1 (А*+£)С1 '

в которых евазиклассические волновые пакеты не расплываются дня всех равновесных окружностей

В релятивистском случае для электромагнитных полей, задаваемых (в полярной системе координат) потенциалами <Р = , А^ О, = г гН<>.) + и И ¿г/¡г .о квазиклассические волновые пакеты на разовой кривой

ч-

и!= Ш = др? е я

не расплываются, если выполнено условие

Необходимо отметить, что условие нерасплывания квазиклассического волнового пакета % ¿, А) не означает нерасдлывание точного решения (которое в начальный момент совладает о квази -классическими ТКС % ^ (X, о, А) поскольку все ио-

/пользуемые асимптотические оценки справедливы только для конечных временных интервалов [ О, ГУ.

Далее рассматривается связь ТКС с коррелированными коге -рентным» и когерентными состояниями. Квазиклассические ТКС являются естественным обобщением когерентных и коррелированных когерентных состояний на случай произвольного внешнего поля и релятивистских волновых уравнений. Для квантовых систем, эффектив -ный гамильтониан которых квадратичен по операторам координат и импульсов, квазшиассические ТКС являются точными решгчиями и переходят в (коррелированные) когерентные соотояния, что иллюстрируется на примере нерелятивистской частицы в постоянном од-

нородном магнитном поле.

В третьей главе рассматривается проблема спонтанного излучения бозона в произвольном внешнем электромагнитном поле. Разработан приближенный метод расчета (на основе ТКС управнения Клейна-Гордона) основных характеристик спонтанного излучения бессдиновой релятивистской частицы в той области инвахшантных параметров, когда отдача фотона мала и его движение кв-.зиклас -сично. Удалось з:ишсать (в представлешш Оарри и в первом порядке по полю излучения) -спектрально^глозое распределение энергии (с учетом цервой квантовой поправки включительно), как Фушс--ционал от эс (&,у) , ра, решений уравнения

Лорьчца и матриц б'ы), - комплексны;;, решений соответствуй-щей сист.еш в вариациях. Показано, что с точностью до О 'Л *) , к О , характеристики излучения борона еотдг^ют о усх^-я.Ю). -шллл по спиновым состояниям соотьететрул';а"ш харогчсрлсуш-лм» излучения электрона, расчитанныг.ш но 'ГКО уравнения Да^лт.

При. А =0 полученные формулы естественно Д'л.т класспчео •■ шю выражения вдя мощности излучения. В том случае, если начальное и конечное состояния излучащей частицы явяякпсч траекто^ .«• когерентными, то матричный элемент процесса изл7-"нпя имеет классический предел пропорциональны!'! Оурье- об .. , похсицла-к-в Лиенара-Вихерта излучаемого поля (в вахтовой зоне).

Отметил, что первая квантовая поправхса (прспорцпоналъня.ч (с , ), действительно гарантирована. Это обеспечивается

тем, что в процессе вычисления' матричных элементов тока перехода использованы квазшслассическле' ТКС ( тос{ А ), приближа-ицие точные волновые функ-пш.уравнения-Клейна-Гордона, выбранные в начальный момент в виде траекторно-когерентных, с точно -стыо до , и, следовательно, гарантируют все поправки

линейные по 4 . Эта же точность вычислений сохраняется и при суммировании квадрата матричного элемента по конечным состояниям.

Подчеркнем, что в методе ТКС нет ограничений снизу на энергию частицы. Полученное выражение для первой квантовой поправки является справедливым .При всех энергиях электрона (при которых квантовые поправки остаются меньше соответствующего классического члена) и учитываем как отдачу фотона (,(А<~Уе)« £ ),

так i: кзантовые поправки, связанные с "квантовым характером траектории" . ■.

Отметим, что в выракешш для спектрально-углового распреде - ' ленля излученной энергии выделены "флуктуационные члены", явным обрасом зависящие от характера качельных квантовых (траекторко -когерентных) состояний - параметров волнового пакета сосредото -чеккого з окрестности начального положения излучающей частицы (которым:: можно пренебречь в ультрарелятивистском приближении, но следует учитывать в нерелятивистском).

3 полученных выражениях для характеристик излучения рассмотрены предельные случаи. .¡¡¿я ультрарелятивистских частиц ( ¿- -= (р/тс3-) » 1) результаты естественно'переходят в известные результаты квазиклаосического операторного метода (с релятивистской точностью) (В.Ю.Байер, В,Ы.Катков), но в разложении по А , Û-+0 и с точностью до й(Аг).

В нерелятивистском приближении получена общая- формула для полной излученной энергии

£ M W £ ! ?[<Ы Ш +

L~ е»

,. L Re.[^p(C(t) D(v) С+(Щ]сИ + (5)

^ Jjh J dit -j- I/n[Sf> (СШ)0(0)С%)Щ V.

« oo i 2

y- О(Г) +■ a (¿1,

/id), CM _ решения системы в вариациях. (I),' V, S - параметры-волнового пакета, сосредоточенного в окрестности начального положена частицы,' '

Используя формулу (5) вычислена мощность излучения в акси -альпо-симметричном магнитном поле, в поле гармонического осциллятора и в постоянном однородном магнитном поле.' Результаты вычис -лекий в последних двух случаях хорошо согласуются- с ранее известными.1

Используя выражение для вероятности переходов с переворотом спина в нерелятивистском приближении .(В.Г.Еагров, В.В.Белов, А.Ю.Трифонов),' полученное на' основе ТКС уравнение Дирака, исследуется возможность радиационной самополяризации электронов в аксиально-симметричном фокусирующем электрическом и постоянном однородном магнитном полях,- Так, например/ вероятность излучения* электрона с'переворотом'спина в аксиально-симметричном электрическом поле (с- потевдгалом е Ф- fl0hA) равна Св нерелятивистском приближении)•

"•^""'К""**' * '^Р«»' о

где & - угол, задаоций начальную ориентацию сшша электрона на направление вектора

В заключении последовательно сформулирс-.аны основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен метод нахождения высших приближений для квазиклассических TpaeKTopHo-KorjpeHTHLK состояний (ТКС) уравнешш Клейна-Гордона и релятивистского уравнения типа Шредингера в произвольном электромагнитном поле и установлена связь (с точностью до О(frs,z) ) между ТКС уравнения типа Шредингера-л ТКС уравнения Клейна-Гордона.'

2.' Построены ТКС заряженной частицы, движущейся в электромагнитных полях специальных конфигураций. Установлена связь этих состояний (являющихся точными решениями в случае нерелятивист -ских систем с квадратичными эффективными гамильтонианами) д ко -герентными и коррелированными когерентными состояниями,

3.- Получены условия, при которых квазшиассический волновой пакет (ТКС) не расплывается,' Построены нерасплыващиеся квази -классические волновые пакеты в аксиально-симметричном электромагнитном поле (как в релятивистском, Tait и в нерелятивистском случаях).' ■

4. Методом ТК-состояний для релятивистской бесспгсюзой частицы, движущейся в произвольной внешнее электромагнитном пале

получена первая квантовая поправка к характеристикам спонтанного излучения в виде конкретного функционала от классической траектории. В полученных вырадениях рассмотрены ультрарелятиоистокий и нерелятивистский .пределы.

5. Показано, что в произвольном электромагнитном поле мощность излучения бозона о точностью до 0(й г) , А -* О , совпадает о усредненной по спиновым состояниям мощностью излучения электрона, раочитанной по ТКО уравнения Дирака.

6. На основе полученных результатов, проведено исследование квантовых эффектов в излучении .для нерадятивиотокой частицы, движущейся в аксиально-симметричном стационарном электромагнитном поле.

■ Основное содержание и результаты дисоертации опубликованы в следующих работах:

1. Белов В.В., Болтовокий Д.В. Высшие приближения для квази-класоичеоких траекторно-когерентных состояний оператора Клейна-Гордона в произвольном электромагнитном поле,- Томск, 1989.- 21 с.: (Препринт / Томский научный центр 00 АН СССР, & 23).

2. Белов В.В., Болтовокий Д.В., Трифонов А.Ю. Квазикласси-

■ ческие траекторно-когерентные состояния релятивистского уравнения типа Шредингера и уравнения Клейна-Гордона.- Томок, 1991.- 14 о. (Препринт / Томский научный центр СО АН СССР, Г» 12).

3. Болтовокий Д.В., Караваев А.Г. Томск, 1988.-. 8 с,- Деп. в ВИНИТИ 04.11.88, № 7893-В88. Квазиклаосические траекторно-коге -рентные состояния бесспиноьсй релятивистской чаотицы в постоянном однородном магнитном ноле.

4. Белов В.В., Болтовокий Д.З., Караваев А.Г. Квазшйасси -чест"ш траекторно-когерентные состояния нерелятивиотской частицы в однородном магнитном поле // Изв. Вузов, Физика.- 1990.- 1ё 6.-С.П4-П7.

Белов В.В., Болтовокий Д.В., Трифонов А.Ю. Метод квази -классических траекторно-когерентных ооотояний в задаче о опон -танном излучении бо^на в произвольном внешнем электромагнитном поде.- Томок, 1991.- 30 о. (Препринт / Томский научный центр СО АН СССР, й 14). ~

6, Белов В.-В.у Болтовокий Д.В., Трифонов А.Ю,- Мощнооть спонтанного излучения нерелятивистской частицы в аксиально-симметричном магнитном поле // Изв.1 Вузов,- Физика;1- 1992.- Л 10. — С.79-82.' •