Нелинейное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова в квазиклассическом траекторно-когерентном приближении тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/ 1!

На правах рукописи

Резаев Роман Олегович

Нелинейное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова в квазиклассическом траекторно-когерентном приближении

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2007

0 -III

003164Б1

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики Томского политехнического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

профессор Трифонов Андрей Юрьевич

Научный консультант:

доктор физико-математических наук

профессор Шаповалов Александр Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор

доктор физико-математических наук профессор

Дубровский Владислав Георгиевич Кистенев Юрий Владимирович

Ведущая организация: Казанский государственный университет

9Ц /Ч^О

Защита состоится ' " января 2008 г. в ' ' час. на заседании

диссертационного совета Д 212.267.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Томском государственном университете по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан I " декабря 2007 г.

У ченый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук профессор

Ыо

И.В. Ивонин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Фундаментальной проблемой в изучении сложных систем (классических, квантовых, биологических и т д ) является построение и анализ теоретических моделей, учитывающих влияние на систему большого числа случайных факторов Учет влияния случайных воздействий на систему может проводиться как в формализме стохастических дифференциальных уравнений, так и в формализме уравнения Фоккера-Планка В первом случае адекватным методом исследования служит компьютерное моделирование Аналитические методы более естественно использовать в моделях, основанных на уравнении Фоккера-Планка

Нелинейное уравнение Фоккера-Планка естественным образом возникает при описании моделей сложных систем со стохастической обратной связью в приближении самосогласованного поля1 Интерес к изучению моделей таких систем обусловлен прежде всего тем, что они описывают процессы с учетом неопределенности в эволюции системы Область приложения уравнений Фоккера-Планка достаточно широка: ферромагнетизм, нелинейная гидродинамика, физика плазмы, астрофизика, биофизика, атомная физика и др Например, описание явлений в нелинейной оптике базируется на когерентных квантовых ансамблях (К Коэн-Таннуджи, Э Корнелл), которые моделируются нелинейными уравнениями, в частности, Фоккера-Планка или в формализме стохастических дифференциальных уравнений В настоящее время активно исследуется воздействие случайных возмущений на эволюцию начального распределения частиц в ускорительной камере, описание которого также может быть проведено на основе нелинейного уравнения Фоккера-Планка

Развитие методов интегрирования уравнения Фоккера-Планка или связанных с ним стохастических дифференциальных уравнений является актуальной задачей Существует ограниченное число методов построения точных решений многомерных нелинейных уравнений с нелокальными слагаемыми Поэтому задача построения аналитических решений таких уравнений осо-

i-T D Frank Non-linear Fokker~Pla,nck equations Fundamentals and applications, Springer 2004

бенно важна не только с точки зрения математической физики, но и для тех физических явлений, которые эти уравнения описывают

Среди приближенных методов решения задач теоретической физики заметное место занимают асимптотические методы Одним из наиболее распространенных асимптотических методов является метод квазиклассических асимптотик. Квазиклассическое приближение показало свою эффективность при решении проблем, связанных как с принципиальными вопросами квантовой теории, так и с расчетом конкретных физических эффектов, в том числе и описываемых нелинейными уравнениями Поэтому развитие методов построения квазиклассических решений для многомерного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью и их приложение являются актуальной задачей

Цели и задачи работы

Целью работы является развитие квазиклассических методов интегрирования уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью и приложение этих методов к реальным задачам.

В соответствии с общей целью работы в диссертации решаются следующие основные задачи

1 Разработать асимптотические методы построения аналитических решений нелинейных задач теоретической физики на примере многомерного уравнения Фоккера-Планка с переменными коэффициентами и нелокальной нелинейностью

2 Определить класс потенциалов внешнего поля нелинейного уравнения Фоккера-Планка, для которых развитые квазиклассические методы дают точные решения Применить разработанный асимптотический метод к построению точных решений и операторов симметрии уравнения Фоккера-Планка

3 Рассмотреть приложение полученных результатов к процессам, происходящим при формировании и распространении пучков в ускорительных камерах

Научная новизна

Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми Впервые разработан метод квазиклассичеекого траекторно-когерентного приближения для интегрирования многомерного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью На его основе построено формальное асимптотическое решение задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка в классе траекторно-сосредоточенных функций Получена система Эйнштейна-Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов функции распределения Впервые в явном виде построены семейство операторов симметрии и оператор эволюции уравнения Фоккера-Планка с квадратичным оператором и квадратичной нелокальной нелинейностью и с их помощью найдено семейство решений исходного нелинейного уравнения Разработан метод расчета распределения интенсивности переходного излучения при пролете заряженных частиц, распределенных по заданному закону, через мишень произвольной формы Исследована зависимость концентрации интенсивности излучения от геометрии мишени

Теоретическая и практическая ценность работы

Результаты диссертации вносят вклад в развитие асимптотических методов нелинейной математической физики сложных систем

Разработанный метод приближенного решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка открывает возможность изучения физических систем со стохастической обратной связью В частных случаях применение метода дает точные решения исходного нелинейного уравнения, что представляет несомненный интерес для описания физических процессов с учетом их стохастической природы Полученные характеристические динамические системы (системы Эйнштейна-Эренфеста с самодействием) позволяют определить поведение ряда параметров исследуемой нелинейной системы, не прибегая к интегрированию нелинейного уравнения Фоккера-Планка

В качестве приложения исследуется ряд задач ускорительной техники Предложена схема эксперимента по определению длины банча с использованием дифракционного излучения, что открывает широкие возможности для невозмущающей диагностики и контроля пучков

Основные положения, выносимые на защиту

1 Метод построения асимптотических решений многомерного нестационарного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью в классе траекторно-сосредоточенных функций с точностью

В классе траекторно-сосредоточенных функций в явном виде получено формальное асимптотическое решение задачи Коши, удовлетворяющее с точностью > 3 уравнению Фоккера-Планка и заданным на-

чальным условиям

2 Оператор эволюции многомерного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью с точностью N > 3, в классе траекторно-сосредоточенных функций в явном виде Точные решения задачи Коши уравнения Фоккера-Планка с квадратичным оператором и квадратичной нелокальной нелинейностью С помощью оператора эволюции получено семейство операторов симметрии

3 Система Эйнштейна-Эренфеста, с точностью описывающая эволюцию центрированных моментов функции распределения Построены в явном виде фазовые потоки, параметрически зависящие от подмногообразия фазового пространства, сохраняющие или не сохраняющие фазовый объем, в зависимости от параметров, и описывающие эволюцию носителя решения (при I) —> 0) уравнения Фоккера-Планка

4 Метод расчета распределения интенсивности переходного излучения при пролете заряженных частиц, распределенных по заданному закону, через мишень произвольной формы Показано, что при выборе специальной (параболической) формы мишени наблюдается увеличение концентрации интенсивности излучения на детекторе по сравнению с плоской мишенью

Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях

— XV международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики, 2003 г, Казань,

— Международная научно-практическая конференция «Физико-технические проблемы атомной энергетики и промышленности», 2004 г , Томск,

— XVII международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики, 2005 г, Казань,

— I Всероссийская конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2005 г, Томск,

— XI Международная конференция студентов и молодых ученых «Современная техника и технологии», 2005 г , Томск,

— XXXV Международная конференция по «Физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами», 2005 г , Москва,

— II Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2006 г , Томск,

— Int Seminar «Day on Diffraction'2006», S. Petersburg,

— III Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2007 г , Томск,

— bit Seminar «Day on Diffraction'2007», S Petersburg,

— International Workshop «Gravity, Strings and Quantum Field Theory», 2007, Tomsk,

а также на научных семинарах кафедры высшей математики и математической физики Томского политехнического университета, кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета, кафедре прикладной математики Московского института электроники и математики, на Томском общегородском семинаре по теоретической физике По теме диссертации опубликовано 9 статей в отечественной и зарубежной научной печати, а также 6 тезисов докладов на всероссийских и международных конференциях

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 140 библиографических ссылок Общий объем диссертации составляет 104 страницы Работа содержит 20 рисунков

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проведен краткий обзор литературы и установлена связь результатов, представленных в диссертации, с результатами работ других авторов Дано описание структуры диссертации и сформулированы основные задачи, решаемые в ней

В первой главе диссертации вводится класс траекторно-сосредоточенных функций £(«,£>)) Функции этого класса при стремлении малого

параметра к нулю сосредоточены в окрестности точки, движущейся по некоторой заданной кривой Рассматривается одномерное уравнение Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью в классе траекторно-сосредоточенных функций и коэффициентом диффузии, зависящим от координаты и времени

+♦ №. <> = »• т

Юо

А(/, х, г) = ух(х,+ * ! у, *)/(»,г) (2)

—оо

Для уравнения (1), (2) приведена система обыкновенных дифференциальных уравнений — система Эйнштейна-Эренфеста, описывающая динамику центральных моментов функции распределения

Нелинейному уравнению Фоккера-Планка сопоставлена вспомогательное семейство ассоциированных линейных уравнений Фоккера-Планка Ключевая идея предлагаемого метода построения решения задачи Коши для нелинейного уравнения состоит в следующем решения задачи Коши для линейного ассоциированного уравнения при определенном выборе параметров семейства являются приближенными решениями нелинейного уравнения В результате удается построить приближенный «нелинейный» оператор эволюции исходного нелинейного уравнения в классе траекторно-сосредоточенных функций и с любой точностью по получить формальное решение

задачи Коши

Во второй главе предложен метод приближенного интегрирования уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью в многомерном случае

= + ф, *)«(£,*) +

г) J \у3(г, У, г)м(?7, «)<#] >, л € К" (з)

к»

Здесь t е R1, х = (si, , а;„)т 6 Kn, у = (yi,. ,уп)т 6МП- независимые переменные, (х\, ,жп)т означает транспонированный вектор или матрицу, угловые скобки { , ) представляют евклидово скалярное произведение, dx = dx\ dxn, Т — матрица диффузии, V(x, t), W(x, у, t) — заданные функции, a D — малый параметр

Для уравнения (3) получена динамическая система Эйнштейна-Эренфеста, описывающая эволюцию моментов функции распределения Как и в одномерном случае, нелинейному уравнению Фоккера-Планка сопоставлено вспомогательное семейство ассоциированных линейных уравнений Фоккера-Планка Построена биортогональная система функций

iv(cM,S(Ai)(t,C)), wM(x,t,SM(t,C)), (4)

являющихся решениями прямого и обратного ассоциированных уравнений Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом соответственно Функции (4) являются многомерными функциями Эрмита

Построена производящая функция для биортогональной системы функций в классе траекторно-сосредоточенных функций и рассмотрены ее свойства С помощью функции Грина

G0(x,y,t,s,^M\t,C))

ассоциированного линейного квадратичного уравнения Фоккера-Планка получена функция Грина нелинейного уравнения Фоккера-Планка и нелинейный оператор эволюции уравнения (3) в классе траекторно-сосредоточенных функций с точностью 0(D3/2), определяемый соотношением

t) = Uo(t, V(x))(x) = J G0(x, у, t, s, C)\c^V(y)dy, (5)

R»

где постоянные Cv определяются из уравнения х(0, С) = xv(0) Вектор xv(t) — математическое ожидание, вычисленное по функции <р(х), а ж (О, С) — общее решение системы Эйнштейна-Эренфеста

Функция u(°\x,t) является асимптотическим с точностью до 0(D3//2) решением уравнения (3), удовлетворяющим начальному условию

Ч=о = fix) (6)

Построен оператор эволюции fJ(N)(t, ip(x))(g) и формальные асимптотические решения задачи Коши и^(х, t) с точностью до

Метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций позволяет в ряде случаев получить точные результаты

В третьей главе для уравнения Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом и квадратичной нелокальной нелинейностью построены точные решения уравнения (3) для градиентов потенциалов

= Кгх, = К2х + КШ (7)

где К\,К2,К$ — произвольные постоянные матрицы порядка пхп В явном виде построены точные оператор эволюции и операторы симметрии уравнения Фоккера-Планка (3), (7) путем редукции исходной нелинейной задачи к линейной Предлагаемый метод иллюстрируется рядом примеров В частности, в явном виде вычислены операторы симметрии исходного нелинейного уравнения

Исследована зависимость системы Эйнштейна-Эренфеста от области локализации решений уравнения Фоккера-Планка (3) Рассмотрен класс функций, квазиклассически сосредоточенных на многообразии А?, к < п, в следующем смысле

Ьтм(1,() = J 6{х — х{р,т))<1т (8)

А?

Здесь с!т — мера на многообразии Уравнение х = г) параметрически определяет многообразие Л^ На множестве функций (8) получена система Эйнштейна-Эренфеста нулевого порядка с самодействием к-то порядка

ж(£, т) = -У3(х{Ь, у Иг), х{г, а), (9)

Система (9) порождает фазовые потоки <?<(Лд), параметрически зависящие от подмногообразия в фазовом пространстве Система (9) для квадратичных потенциалов (7) проинтегрирована в явном виде Показано, что фазовый поток <?{(Ло) существенно зависит от многообразия В частности, фазовый поток при определенных условиях может являться диссипативным (фазовый объем стремится к нулю с ростом £), а фазовый поток Ре(Лд) сохраняет фазовый объем На рис 1 изображена обратная ситуация В зависимости от параметров потенциалов (7) оба фазовых потока <?г(Ло) и <?г(Л-о) могут сохранять фазовый объем (рис 2)

р р р

Рис. 1: Эволюция начальной кривой Л£ при наличии вынуждающей силы (ЛоовИ, 0)т: 1 - Л} = &(Л8М, 2- Л} = &(Л£)Л£.

-ч -а -г

12

г а ч

1=0

Рис. 2: Эволюция начальной кривой Лд при наличии вынуждающей силы (Л сое(И),0)т и отсутствии силы трения: 1 — = д1(Ло)Ло, £ — Л| = д^Л^А},.

\

вогнутая ЭК. мишень

-к

электро-оптический кристалл

Рис. 3: Схема эксперимента по определению длины банча

Рис. 4: Распределение интенсивности радиальной компоненты переходного излучения от мишени параболической формы для различных фокусных расстояний: р = 5000 (1), 2500 (8), 800 отн. ед. (5); Я = 0,16.

В четвертой главе рассматривается приложение полученных результатов к процессам, происходящим при формировании и распространении пучков в ускорительных камерах.

Рассмотрена задача о влиянии начальных возмущений на поперечное распределение частиц в пучке, функция распределения которых удовлетворяет уравнению Фоккера-П ланка. Обсуждается проблема невозмущающей диагностики пучков. Предлагается метод диагностики пучков ультрарелятивистских заряженных частиц (рис. 3), основанный на дифракционном излучении частиц, пролетающих вблизи проводящих мишеней. Показано, что соответствующим выбором формы мишени можно добиться эффекта самофокусировки излучения (рис. 4). Эффект самофокусировки, в свою очередь, дает возможность снизить стоимость диагностирующей аппаратуры за счет удешевления линз, требующих жесткой юстировки.

В приложении А приведены свойства решений системы в вариациях, необходимые для полноты изложения.

В приложении Б описан способ получения функции Грина задачи Ко-ши линейного ассоциированного уравнения Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом методом преобразования Фурье.

В заключении излагаются основные результаты диссертации.

Основные результаты работы

В работе впервые получены следующие основные результаты

1 Развит метод построения асимптотических решений многомерного нестационарного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью в классе траекторно-сосредоточенных функций с точностью 0(0^^), Б —► 0,№>3

2 Построено с точностью 0(ЛУ/2), £> —> О, N > 3 формальное асимптотическое решение задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка в классе траекторно-сосредоточенных функций

3 Построен в явном виде с точностью И —> 0,Ы > 3 в классе траекторно-сосредоточенных функций оператор эволюции многомерного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью С точностью 0(Г>М/2) в классе траекторно-сосредоточенных функций построены семейства квазиклассических операторов симметрии

4 Получена с точностью система Эйшнтейна-Эренфеста, описывав ющая эволюцию центрированных моментов функции распределения В явном виде построено семейство операторов симметрии и оператор эволюции уравнения Фоккера-Планка с квадратичным оператором и квадратичной нелокальной нелинейностью С помощью операторов симметрии найдено семейство решений исходного нелинейного уравнения Построены параметрические семейства фазовых потоков, определяющих эволюцию носителя решения нелинейного уравнения Фоккера-Планка

5 Разработан метод расчета распределения интенсивности переходного излучения при пролете заряженных частиц, распределенных по заданному закону, через мишень произвольной формы Исследована зависимость концентрации интенсивности излучения на детекторе по сравнению с плоской мишенью от геометрии мишени

Основные работы, опубликованные по теме диссертации:

1 Безвербный А В , Гоголев А С , Резаев Р О , Трифонов А Ю Нелинейное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова в квазиклассическом траекторно-

когерентном приближении // Известия вузов Физика — 2005 — Т 48, № 6 - С 38-47

2 Потылицын А П , Резаев Р О Фокусировка переходного и дифракционного излучения ультрарелятивистских частиц в изогнутых мишенях // Поверхность Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования — 2006 - № 3 - С 77-83

3 Potylitsyn А Р, Rezaev Е О Focusing of transition radiation and diffraction radiation from concave targets // Nuclear Instrument and Methods m Physics Research В - 2006 - Vol 252 - P 44-49

4 Rezaev R О , Trifonov A Yu , Shapovalov A V Symmetry operators for the Fokker-Plank-Kolmogorov equation with nonlocal quadratic nonlmeanty // Symmetry Integrability and Geometry Methods and Applications — 2007 — Vol 3, 005 (P 1-17)

5 Резаев P О , Трифонов А Ю Квазиклассические траекторно-сосредоточенные решения двумерного уравнения ФПК с квадратичным потенциалом // Труды I Всероссийской конференции «Перспективы развития фундаментальных наук» — Томск ТПУ, 2004 — С 153-154

6 Резаев Р О , Трифонов А Ю Решение нелинейного уравнения Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом // Труды II Международной конференции «Перспективы развития фундаментальных наук» — Томск ТПУ, 2005 - С 257-259

7 Резаев Р О , Потылицын А П Фокусировка и дефокусировка переходного и дифракционного излучений ультрарелятивистских частиц в изогнутых мишенях // Труды XI Международной конференции «Современная техника и технологии» — Томск ТПУ, 2005 — С 315-317

8 Резаев Р О , Потылицын А П Расчет переходного и дифракционного излучения // Труды II Международной конференции «Перспективы развития фундаментальных наук» — Томск ТПУ, 2005 — С 73-76

9 Резаев Р О , Левченко Е А , Трифонов А Ю Характеристики нелинейного уравнения Фоккера-П ланка // Труды IV Международной конференции «Перспективы развития фундаментальных наук» — Томск ТПУ, 2007 — С 148-151

Тираж 100. Заказ 1834. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40

Введение

Глава 1. Одномерное уравнение Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью

1 Класс траекторно-сосредоточенных функций в окрестности точки

2 Система Эйнштейна-Эренфеста

3 Ассоциированное линейное уравнение Фоккера-Планка

4 Функция Грина нелинейного уравнения в классе траекторно-сосредоточенных функций. Оператор эволюции

5 Формула Меллера

Глава 2. Многомерное уравнение Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью

6 Система уравнений Эйнштейна-Эренфеста

7 Структура решения нелинейного уравнения Фоккера-Планка в классе траекторно-сосредоточенных функций

8 Производящая функция для траекторно-сосредоточенных решений ассоциированного уравнения

9 Многомерные полиномы Эрмита. Функция Грина

10 Оператор эволюции и операторы симметрии для нелинейного уравнения

11 Квазиклассические асимптотики с точностью 0(DN/2). Высшие приближения к главному члену

12 Обратное уравнение Фоккера-Планка

Глава 3. Уравнение Фоккера-Планка с нелокальной квадратичной нелинейностью

13 Уравнение Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом и нелокальной нелинейностью

14 Система уравнений Эйнштейна-Эренфеста

15 Траекторно-когерентное решение уравнения Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом

16 Операторы симметрии для уравнения с нелокальной квадратичной нелинейностью

16.1 Задача Коши и оператор эволюции.

16.2 Операторы симметрии и сплетающий оператор.

16.2.1 Операторы симметрии нелинейного и линейного уравнения Фоккера-Планка

16.2.2 Операторы симметрии и операторная задача Коши.

16.2.3 Операторы симметрии и оператор эволюции.

17 Фазовые потоки, порождаемые нелинейным уравнением Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом 71 17.1 Пример.

Глава 4. Эволюция распределения частиц в электронных пучках

18 Описание взаимодействия частиц в пучках на основе уравнения Фоккера-Планка

19 Фокусировка переходного и дифракционного излучения от изогнутых мишеней 79 Заключение 88 Приложение А. Система в вариациях 89 Приложение Б. Функция Грина задачи Коши линейного уравнения Фоккера-Планка

Фундаментальной проблемой в изучении сложных систем (классических, квантовых, биологических и т.д.) является построение и анализ теоретических моделей, учитывающих влияние на систему большого числа случайных факторов. Следует отметить, что одиночное случайное воздействие в таких системах вызывает малое изменение параметров системы, однако суммарный эффект действия большого количества флуктуаций приводит к заметным изменениям в состоянии системы. Учет влияния случайных воздействий на систему может проводиться как в формализме стохастических дифференциальных уравнений (в форме Ито, Стратоновича и др.), так и в формализме уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. В первом случае адекватным методом исследования служит компьютерное моделирование. Аналитические методы более естественно использовать в моделях, основанных на уравнении Фоккера-Планка-Колмогорова. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова первоначально использовалось для описания движения броуновских частиц, т.е. малых, но существенно больших, чем молекулы жидкости, частиц, находящихся в жидкости. Молекулы жидкости сталкиваются с макроскопической частицей, причем количество таких соударений на разных сторонах макрочастицы в общем случае оказывается различным, что приводит к скачкообразным изменениям положения частицы в жидкости, т.е. к флуктуациям. В результате броуновская частица совершает хаотическое движение, при котором невозможно предсказать заранее ее появление в какой-либо наперед заданной точке пространства. Тем не менее, можно найти вероятность обнаружить броуновскую частицу в заданной области. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова описывает эволюцию плотности распределения вероятностей расположения частиц. Функция плотности вероятности дает возможность вычислить различные характеристики броуновской частицы, такие как средние значения импульса, координаты, энергии, дисперсии и т.д. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова может описывать не только поведение броуновской частицы, но целый ряд явлений (в термодинамике, химии, эволюционной биологии и различных социальных науках), имеющих стохастическую природу (см., например, [1,2]). Повышенный интерес вызывают стохастические процессы, описываемые уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова с различными типами нелинейности (см., например, [3-20]).

Одним из наиболее перспективных приложений уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова является атомная физика, где в последнее время получен целый ряд интересных результатов, связанных с воздействием лазерного излучения на поступательные и внутренние степени свободы атомов. За последние два десятилетия достигнуты большие успехи в лазерном охлаждении [21] (Нобелевская премия за 1997 г. (С. Чу, К. Коэн-Таннуджи, У. Филлипс)), захвате и удержании атомов с образованием периодических и квазипериодических пространственных структур [22-25]. Существенный прогресс в управлении движением атомов привел к формированию новых направлений в атомной оптике [26] и интерферометрии [27], использующих когерентные атомарные пучки с заданными свойствами в прецезионных измерениях атомарных констант и детальных исследованиях взаимодействий таких атомарных ансамблей с поверхностями и другими физическими объектами. Также рассматриваются возможности использования когерентных ансамблей из нейтральных атомов в квантовых вычислениях [28,29]. Проблема описания движения атома в неоднородно поляризованных световых полях достаточно сложна из-за сильной корелляции между внутренними и поступательными степенями свободы атома. Поэтому при рассмотрении результатов экспериментов в реальных полевых конфигурациях и при учете реальной структуры энергетических уровней атомов преимущественно используются методы численного моделирования исходных квантовых кинетических уравнений: численное интегрирование квантовых уравнений для матрицы плотности атомов в импульсном пространстве [25]; метод Монте-Карло для волновых атомарных функций [30]. Эти методы дают хорошее количественное согласие результатов моделирования с экспериментом, однако требуют больших временных затрат, а вклады различных физических механизмов, приводящих к локализации и охлаждению атомов, остаются невыясненными. Квазиклассический поход [31,32] позволяет обнаружить и оценить влияние таких механизмов. В квазиклассическом приближении кинетический этап эволюции атомарного ансамбля описываются уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова1 вида и)

XJ где f(r,p) — функция распределения атомов в фазовом пространстве {r.p} € M2ri, описывающем динамику атомарного ансамбля по поступательным степеням свободы.

Уравнение (0.1) в математической литературе называют также уравнением Кра-мерса. Как уже было сказано, описание стохастических процессов можно проводить на основе двух эквивалентных подходов: стохастические дифференциальные уравнения и уравнение Фоккера-Планка. Например, уравнению Ланжевена вида x = v, v = -lv + F(x)/m + T(t), (0.2) r(t')r(t)) = 2<y(kT/m)8(t - f), (T(t)) = 0, где T(t) — так называемая случайная сила Ланжевена, отвечает уравнение Фоккера-Планка специального вида, так называемое уравнение Крамерса (0.1): du(v,x,t) г д д ( F{x)\ -ykTd2i , . ot I ox ov \ m J m ovz J

Коэффициентами уравнения Фоккера-Планка (0.1) являются светоиндуцированная сила F(r,p), обусловленная эффектами отдачи при поглощении и спонтанном и вынужденном испускании атомом фотонов, и матрица диффузии D(r,p) = \\Di3(f,p)\\ в пространстве импульсов, обусловленная случайным характером процессов испускания-поглощения. Структура этих коэффициентов несет информацию о действующих в среде диссипативных механизмах, механизмах захвата и удержания атомов в областях локализации.

Уравнение Фоккера-Планка также естественным образом возникает при описании движения заряженных частиц в ускорителях [33-35]. Особую роль в физике высоких энергий играют коллайдеры. Эксперименты, проводимые на коллайдерах, требуют создания пучков с заданными характеристиками: максимальная светимость, высокая степень поляризации, стабильный ток и пр. Отклонения от заданных параметров могут гВ физической литературе уравнение Фоккера-Планка-Колмогоровапринято называть уравнением Фоккера-Планка. В дальнейшем мы будем использовать оба термина. привести к дестабилизации пучка, и, в конечном счете, невозможности проведения эксперимента. Чтобы удовлетворить необходимым требованиям, нужно учитывать ряд эффектов, возникающих в процессе формирования и распространения пучка. Особо нужно отметить эффекты, приводящие к деградации пучка, состоящего из большого числа частиц. Современные пучки представляют собой последовательные сгустки частиц (так называемые банчи). Каждый такой банч содержит порядка 1013 частиц. К эффектам, приводящим к дестабилизации пучка, можно отнести различные резонансы, кулонов-ское взаимодействие, квантовые флуктуации и т.д.

Задача описания динамического поведения банчей посредством макроскопических динамических переменных таких, как плотность частиц, имеет большое значение для физики ускорителей. Математически система банчей может быть описана стохастическими дифференциальными уравнениями или соответствующим уравнением Фоккера-Планка. Например (см. [34]), функция распределения частиц в банче в поперечном направлении к движению пучка описывается уравнением (р, vx)Tk0 + <i?f + fgvvp>^0 + <vp, FkVw = (Vp,F%))(Vp,Ff)Fk o, (0.4) где J-'kо = P, t) — функция распределения частиц в фазовом пространстве; угловыми скобками (.,.) обозначено скалярное евклидово произведение векторов; F?'- детерменированные и стохастические составляющие радиационной силы трения

->(]Л "'(к) соответственно; FL ' — ускоряющая сила; FLq — сила взаимодействия пучков, которая может зависеть от функции распределения (x,p,t). Таким образом, уравнение (0.4) в общем случае является нелинейным. В работе [34] использовался численный алгоритм исследования уравнения (0.4).

Влияние нелинейных случайных возмущений на динамику частиц в накопительном кольце исследовалось в работе [35], где авторы на основе отвечающего уравнению Ланжевена уравнения Фоккера-Планка численно исследуют поведение решения вблизи резонансов. Показано, что при соответствующем выборе случайной возмущающей силы повышается устойчивость пучка. Авторы отмечают, что развитый подход связан со значительными затратами машинного времени, и оставляют открытым вопрос о сходимости численных решений. Последняя проблема обсуждалась также в работе [36], в которой предложен метод численного интегрирования нелинейного одномерного уравнения Фоккера-Планка. В качестве примера рассмотрено одномерное уравнение Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью: dtf(x, t) = дх [U'{x, t) + Ddx] f(x, t), (0.5) oo

4 2 г

U(x,t) = ^- + {e-l)^--e(x{t))x, {x(t)}= xf(x,t)dx. (0.6)

4 ^ J

00

Здесь вещественные параметры D, в характеризуют переходный процесс, описываемый уравнением (0.5).

В связи с возможной деградацией пучка, актуальной становится проблема его диагностики. Под диагностикой мы понимаем способ или метод определения поперечных размеров, энергии, поперечного распределения, эммитанса и других характеристик пучка. При этом измерение контрольных параметров пучка должно оказывать минимальное влияние на его характеристики. Существующие диагностики в той или иной мере приводят к дестабилизации пучка. Поэтому выбор диагностики определяется чувствительностью и мерой воздействия этого метода на пучок.

Одним из широко используемых методов диагностики электронных пучков является метод, основанный на переходном излучении. Например, в эксперименте (см. [37]) при измерении поперечных размеров электронного пучка с использованием переходного излучения было достигнуто разрешение порядка 5 мкм. В работе [38] была измерена длина электронного банча с использованием когерентного переходного излучения. Альтернативный подход был продемонстрирован в работе [39], где когерентное переходное излучение пучка с длиной волны порядка 1ь ~ 1 мм фокусировалось на специальный кристалл, через которой проходил луч опорного лазера. Под воздействием электрического поля переходного излучения Eqtr кристалл становится двулучепреломляющим, что приводит к возникновению циркулярно-поляризованной компоненты в излучении лазера после кристалла. Степень поляризации АРс пропорциональна напряженности поля переходного излучения и времени воздействия:

АРС ECtr | At Ectr I к/с. (0.7)

Длина банча определяется из значения степени поляризации А Рс

Использование переходного излучения для диагностики пучка приводит к росту эммитанса исследуемого банча. Поэтому Потылицыным А.П., Науменко Г.А. и др. в работах [40,41] было предложено использовать для диагностики пучка дифракционное излучение, что позволяет исключить непосредственное взаимодействие пучка с мишенью.

В случае, когда внешнее случайное возмущение в стохастических дифференциальных уравнениях нельзя считать гауссовским, описание таких процессов можно проводить на основе уравнения Фоккера-Планка с локальной нелинейностью: t] = (v, D(x, t)V)f(x, t) + (V, F(x, t))na, t), (0.8) где и, ji G E. В частности, уравнение (0.8) используется для описания процесса аномальной диффузии [16], т.е. диффузии, для которой среднее от квадрата смещения частицы пропорционально времени в дробной степени.

В работе [42] была показана связь между обобщенной энтропией

Sq\p}= (l - J [p(v.)Y)(q - q = 1 + n + veR (0.9) и одномерным уравнением (0.8):

-^ = *)] + 0- (0-Ю)

Связь максимума энтропии с решениями нелинейного уравнения Фоккера-Планка рассматривалась также в формализме обобщенной термостатистики [9]. Было показано, что специальным образом выбранные решения нестационарного нелинейного уравнения Фоккера-Планка, отвечающие максимуму энтропии, Тсалиса описывают распространение жидкостей в пористых средах и, в частности, явление аномальной диффузии.

Статистика Больцмана-Гиббса является мощным инструментом при описании большого количества физических систем. Однако она не работает, когда системы включают в себя дальнодействующие силы, эффект «памяти» или эволюция систем идет в фрак-тальноподобном пространстве-времени. Под термином «не работает» здесь понимается появление расходимостей при вычислении интегралов или сумм в подходе Больцмана-Гиббса. Для описания таких систем была предложена так называемая обобщенная термостатистика, которая базируется на понятии обобщенной энтропии

1 <7 s^k1-^, Ей = 1]. (0.11) г

Здесь к — положительная константа; q — вещественный параметр; W — число перестановок в системе; Pi — вероятность реализации каждой перестановки. Обобщенная энтропия (0.11) при q = 1 переходит в обычную энтропию Шеннона S\ — —кв Y^T Pi Pi■ Q-ожидаемое значение величины V дается формулой w

V)q = (0.12) i=1

В случае непрерывных реализаций суммирование в (0.11), (0.12) следует заменить интегрированием (см., например, (0.9)).

В работе [13] было показано, что плотности вероятностей переходных процессов, связанных с обобщенной термостатистикой, описываемые уравнением ФП, сходятся к стационарным плотностям вероятности. В работах [10,15] рассматривались различные классы нестационарных уравнений ФП с локальной и нелокальной нелинейностью, изучалась связь Н-теоремы и свободной энергии в рамках обобщенной термостатистики. Было показано, что такие уравнения связаны с энтропиями, предложенными Рени, Шармом и Миталом.

Точно решаемые задачи математической физики исключительно важны, поскольку позволяют проиллюстрировать основные положения и выводы рассматриваемой теории или модели. Однако такие задачи чаще всего возникают вследствие упрощения исследуемой модели. Для нелинейных моделей с переменными коэффициентами фактически отсутствуют точные аналитические методы интегрирования и поэтому проблема разработки различных асимптотических методов для них особенно актуальна. В линейных задачах математической физики эффективными оказались асимптотические методы, получившие название квазиклассических [43]. Квазиклассическое приближение естественно возникло в квантовой механике, поскольку одним из постулатов квантовой теории является принцип соответствия, который предъявляет к теории требование, чтобы в пределе h —» 0 квантовая динамика переходила в соответствующую классическую. С другой стороны, форма квазиклассических решений определяется тем, что основные квантовомеханические уравнения содержат параметр h при старших производных, который можно считать малым. В моделях, описываемых уравнением Фоккера-Планка (0.1), в роли малого параметра может выступать параметр диффузии D. Ввиду эффективности квазиклассических методов в линейных задачах естественно рассмотреть возможность построения квазиклассических решений нелинейного уравнения Фоккера-Планка.

Стохастические явления в некотором смысле близки к квантовым процессам, с той точки зрения, что для описания эволюции систем в обоих случаях используется вероятностный подход. Ввиду этого асимптотические методы, развитые для задач квантовой механики, можно использовать для изучения стохастических процессов, описываемых уравнением Фоккера-Планка. В частности, для линейного оператора L — VV — DА, D > О, V G Rn, V — гладкое векторное поле, допускающее /с-мерный инвариантный тор, Доброхотовым С.Ю. и др. рассматривалась возможность построения асимптотических собственных функций, локализованных в окрестности этого тора [44]. Было показано, что свойство асимптотической устойчивости инвариантного тора является достаточным условием существования собственных функций рассматриваемого оператора.

На основе комплексного метода ВКБ, или теории комплексного ростка Маслова [45,46], был развит подход траекторно-когерентного приближения, позволивший построить асимптотические решения в виде локализованных волновых пакетов, центр которых движется по некоторой фазовой кривой, для уравнения Шрёдингера [47-50] и для многомерного нестационарного уравнения типа Хартри с нелокальной нелинейностью [51-54]. Настоящая диссертация развивает этот подход на случай нелинейного уравнения Фоккера-Планка.

В работах [53, 55-59] найдены локализованные, асимптотические при h —► 0, решения уравнения типа Хартри — «квазисолитоны», обладающие рядом свойств, присущих уединенным волнам. Одним из наиболее интересных свойств уединенных волн является проявление частицеподобных свойств. Для «квазисолитонов» =- квазиклас-сически траекторно-сосредоточенных решений уравнения Фоккера-Планка — эти свойства представлены динамической системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно математического ожидания X(t, D), P(t, D). Также в эту систему входят центрированные моменты высших порядков. При D —> 0 центр таких «квазисолитонов» движется в пространстве переменных {р, х} по траектории-решению динамической системы относительно средних. Такая система называется системой Эйнштейна-Эренфеста.

В работе [60] на основе комплексного ростка Маслова были построены квазиклассические асимптотики одномерного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью и «узкими», т.е. имеющими малую дисперсию в начальный момент времени, начальными распределениями:

4-оо

A(f,x,t) = Vx(x,t) + x J Wx(x,y,t)f(y,t), (0.14) оо где B(x,t), V(x, i), W(x,y,t) — заданные бесконечно гладкие функции, растущие при |сс|, \у\ —> оо не быстрее, чем полином. В частности, были получены система Эйнштейна-Эренфеста для уравнения (0.17) и ассоциированное уравнение Фоккера-Планка на основе асимптотических оценок, приведенных в работе [61].

Целью настоящей работы является развитие асимптотического метода решения задачи Коши на основе комплексного ростка Маслова для многомерного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью следующего вида: xu(x,t) / Wz(x,y,t)u(y,t)dy

Vg(x, t)u(x,t) + xew\ (0.15)

Здесь t G R1, х = (х\,., xn)T E Rn, у = (yi,., уп)т e Шп — независимые переменные; (xi,. ,xn)J означает транспонированный вектор или матрицу; угловые скобки {.,.) представляют евклидово скалярное произведение; dx = dx\. dxn; u(x,t) — вещественная гладкая функция, убывающая при —> оо; Т — некоторая постоянная матрица диффузии; V(x, t), W(x, у, t) — потенциалы, определяющие коэффициент дрейфа, представляющий собой бесконечно гладкие функции, растущие при \х\, \у\ —^ оо не быстрее, чем полином, а дУdWs(x,y,t) * д дх ' =-д£-' n = ({U6) где D — малый параметр. Уравнение (0.15) является нелинейным, поскольку коэффициент дрейфа зависит от функции распределения. Для систем многих тождественных частиц функция W(x, у, t) имеет смысл потенциала парного взаимодействия. В этом случае исходная многочастичная задача (см., например, [3,4,19]) эффективно сводится к задаче (0.15) с меньшим числом измерений, но с нелокальным взаимодействием. Нелокальный потенциал в уравнении (0.15) обобщает аналогичные потенциалы, рассматриваемые в работах [5-7,9,12,13,15,18,19].

Метод квазиклассических асимптотик, приближенный по своей сути, в ряде частных случаев позволяет получить точные решения рассматриваемых задач. Например, для квадратичных потенциалов V(x,t), W(x,y,t) в нелинейном уравнении (0.15) в настоящей диссертации построены точные решения, точный оператор «эволюции», получен явный вид операторов симметрии.

Построение точных операторов симметрии представляет особый интерес в групповом и алгебраическом анализе нелинейных дифференциальных уравнений. Однако такое построение возможно только в частных случаях вследствие нелинейности производящих уравнений. Подробный обзор результатов исследований симметрийных свойств ряда линейных и нелинейных дифференциальных уравнений можно найти в [62]. В частности, с использованием метода симметрийной редукции были получены широкие классы точных решений таких нелинейных уравнений, как уравнение эйконала, д'Аламбера, Лиувилля, теплопроводности, Шредингера, Борна-Инфельда, Буссинеска, Монжа-Ампера, полигармонических уравнений. Нахождению групп симметрии линейного уравнения Фоккера-Планка для различных коэффициентов сноса и диффузии посвящены работы [63-71]. В [62] рассматривается применение метода алгебр Ли для исследования одномерного и двухмерного линейного уравнения Фоккера-Планка. С использованием этого метода найдены максимальные группы преобразований для одномерного уравнения Фоккера-Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии. Главное внимание уделено построению в явном виде классов точных решений уравнений Фоккера-Планка, которые допускают четырехмерную алгебру инвариантности. Также исследованы симметрийные свойства двухмерного линейного уравнения Фоккера-Планка с произвольными коэффициентами сноса и постоянными коэффициентами диффузии, а также построены классы точных решений уравнения Крамерса.

Для интегро-дифференциальных уравнений (например, (0.15)) сложность вычисления симметрий обусловлена, в частности, тем, что неизвестно, каким образом задать подходящую структуру для симметрий. Вследствие этого поиск операторов симметрии зачастую не приводит к желаемым результатам. Поэтому явный вид таких операторов симметрии, полученный в настоящей диссертации и опубликованный в работе [72], представляет несомненный математический интерес.

Для уравнения типа Хартри в работе [54] с помощью оператора эволюции были получены квазиклассические операторы симметрии и для специальных потенциалов найден явный вид оператора эволюции, функции Грина и операторов симметрии, а также сформулирован нелинейный принцип суперпозиции.

Перейдем теперь к описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего библиографических ссылок. Общий объем диссертации составля

Заключение

В работе впервые получены следующие основные результаты:

1. Развит метод построения асимптотических решений многомерного нестационарного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью в классе траекторно-сосре-доточенных функций с точностью

2. Построено формальное асимптотическое решение задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка в классе траекторно-сосредоточенных функций.

3. Построен в явном виде с точностью 0(DN/2), D —» О, N > 3 в классе траекторно-сосредоточенных функций оператор эволюции многомерного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью. С точностью 0(DN/2) в классе траекторно-сосредо-точенных функций построены семейства квазиклассических операторов симметрии.

4. Получена с точностью 0(DN/2) система Эйнштейна-Эренфеста, описывающая эволюцию центрированных моментов функции распределения. В явном виде построено семейство операторов симметрии и оператор эволюции уравнения Фоккера-Планка с квадратичным оператором и квадратичной нелокальной нелинейностью. С помощью операторов симметрии найдено семейство решений исходного нелинейного уравнения. Построены параметрические семейства фазовых потоков, определяющих эволюцию носителя решения нелинейного уравнения Фоккера-Планка.

5. Разработан метод расчета распределения интенсивности переходного излучения при пролете заряженных частиц, распределенных по заданному закону, через мишень произвольной формы. Исследована зависимость концентрации интенсивности излучения на детекторе по сравнению с плоской мишенью от геометрии мишени.

Результаты диссертации опубликованы в работах [72,125,131-136]. В заключение я хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Трифонову А.Ю. научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Шаповалову А.В., доктору физико-математических наук, профессору Потылицыну А.П. за многочисленные обсуждения различных аспектов данной работы, постоянную помощь в работе.

1. Risken Н. The Fokker-Planck equation: Methods of Solution and Applications. — New-York: Springer, 1989. — 472 p.2. van Kampen N. G. Stochastic process in Physics and Chemistry. — North-Holland, 1992. 434 p.

2. Helbing D. Interrelations bettween stochastic equations for systems with pair interactions // Physica A. — 1992. Vol. 181. — P. 29-52.

3. Kaniadakis G., Quarati P. Kinetic equation for classical particles obeying an exclusion principle // Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 48. - P. 4263-4270.

4. Kaniadakis G., Quarati P. Classical model of bosons and fermions // Phys. Rev. E. — 1994. Vol. 49. - P. 5103-5110.

5. Kaniadakis G. Classical model of intermediate statistics // Phys. Rev. E. — 1994. — Vol. 49. P. 5111-5116.

6. Drozdov A.N., Morillo M. Validity of basic concept in nonlinear cooperative Fokker-Planck models // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. 3304-3313.

7. Martinez S., Plastino A.R., Plastino A. Nonlinear Fokker-Planck equations and generalized entropies // Physica A. 1998. - Vol. 259. - P. 183-192.

8. Frank T.D., Daffertshofer A. Exact time-dependent solutions of the Renyi Fokker-Planck equations and Fokker-Planck equations related to the entropies proposed by Sharma and Mittal // Physica A. 2000. - Vol. 285. - P. 129-144.

9. Chavanis P.H. Classical model of intermediate statistics // Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 64, 026309, Iss. 2.

10. Frank T.D., Daffertshofer A. Multivariate nonlinear Fokker-Planck equations and generalized thermostatistics // Physica A. 2001. - Vol. 292. — P. 392-410.

11. Frank T.D., Daffertshofer A. H-theorem for nonlinear Fokker-Planck equations related to generalized thermostatistics // Physica A. — 2001. — Vol. 295. — P. 455-474.

12. Kaniadakis G. Non Linear Kinetics underlying Generalized Staistics // Physica A. — 2001. Vol. 296. - P. 405-425.

13. Shiino M. Free energies based on generalized entropies and H-theorems for nonlinear Fokker-Planck equations // J. Math. Phys. 2001. - Vol. 42. - P. 2540-2553.

14. Pedron I.Т., Mendes R.S., Malacurne L.C., Lenzi E.K. Nonlinear anomalous diffusion equation and fractal dimansion: Exact generalized gaussian solution // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 65, Iss. 4.

15. Pedron I.Т., Mendes R.S., Malacurne L.C. N-dimetional nonlinear Fokker-Planck equation whith time-dependent coefficient // Ibid. — 2002. — Vol. 65, Iss. 5.

16. Shiino M. Nonlinear Fokker-Planck equation exhibiting bifurcation phenomena and generalized thermostatistics // J. Math. Phys. 2002. - Vol 43. - P. 2654-2669.19