Качественный анализ динамических систем с шумом на основе исследования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Оглавление. •

Введение.

Краткое содержание

Глава 1. Основная теорема существования.

Глава 2. Теоремы о неотрицательности.

1. Неотрицательность стационарного решения.

2. Теорема о локализации нестационарных решений.

3. О единственности стационарного решения.

Глава 3. Численное исследование уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова.

1. Математические основания алгоритма приближенного вычисления стационарного решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова.

2. Численное исследование алгоритма в одномерном случае.

3. Численный анализ некоторых двумерных динамических систем, возмущенных шумом.

Общая характеристика работы

В диссертации развиты и обоснованы новые методы исследования свойств устойчивости решений уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, возникающего в связи с анализом динамических систем, возмущенных шумом. Получено достаточное условие существования у уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова стационарного решения, являющегося плотностью вероятности. На его основе разработан алгоритм исследования устойчивости динамических систем к действию шума. Предложенный метод применим к динамическим системам наиболее общего вида в пространстве произвольной размерности.

Актуальность темы

В современном естествознании одно из центральных мест занимает исследование объектов вероятностной природы. К таким объектам относятся, прежде всего, физико-химические, испытывающие на себе влияние термодинамических флуктуаций. Другим примером служат объекты, функционирующие в случайной среде. При описании таких объектов часто прибегают к понятию стохастического дифференциального уравнения, то есть динамической системы х = fix), возмущенной шумом. Этой системе соответствует марковский процесс, плотность вероятности которого (при достаточно общих предположениях относительно шума) подчиняется уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова: h du/dt=Au-div{uf), xelRn, t>0, u=u(x,t). (1) n „2 n

Здесь au= £ , f=f(x) - векторное поле bir.) i=l дх±2

В диссертации в связи с анализом стохастических дифференциальных уравнений рассматриваются различные свойства устойчивости решений задачи Коши для уравнения (1). При этом в центре внимания оказывается вопрос о существовании у уравнения (1) стационарного решения, являющегося плотностью вероятности некоторой случайной величины. Существование такого решения уравнения (1), рассматриваемого по х в Rn, характеризует притягивающую способность векторного поля fix) и не всегда имеет место. Так, при f(х)=0 уравнение (1) обращается в уравнение теплопроводности, всякое решение которого (с интегрируемым начальным условием) равномерно по xe[Rn стремится к нулю при t —. Таким образом, интеграл (по х) от решения по любому ограниченному (и измеримому по Лебегу) множеству из кп , то есть вероятность нахождения системы в этом множестве с течением времени стремится к нулю, плотность вероятности "расплывается" , стационарного решения, являющегося плотностью вероятности, не существует. С другой стороны, известны примеры векторных полей с устойчивой особой точкой, соответствующее уравнение (1) для которых имеет стационарное решение - плотность вероятности. Здесь, в отличие от уравнения теплопроводности, решение с течением времени сохраняет пространственную локализованность.

Итак, в зависимости от векторного поля fix) возможны два качественно разных типа поведения решения задачи Коши для (1); один из типов поведения (его мы назовем устойчивым) характеризуется наличием стационарного решения уравнения (1), являющегося плотностью вероятности. Важным как с теоретической так и с прикладной точки зрения является вопрос об устойчивости (в указанном выше смысле) уравнения (1) при заданном векторном поле fix). Представляет интерес получение достаточных условий на векторное поле fix), обеспечивающих устойчивость уравнения (1), а тем самым и устойчивость динамической системы х = fix) к действию шума.

Актуальность проблемы обусловлена широкой распространенностью вероятностных моделей, в частности, моделей в форме уравнения (1). Уравнение -(1) (и ему подобные) возникает при вероятностном описании многих биологических явлений: биохимических реакций ([11, [2 ], [3]), роста и взаимодействия популяций ([1],[41), генетического дрейфа ([4]). В некоторых моделях случайное возмущение интерпретируется как вредное, деструктивное влияние внешней среды на биологический объект, а критерием качества объекта служит локализован-ность распределения вероятностей ([4]). Наличие такого свойства у объекта (в терминах уравнения (1)) и исследуется в диссертации.

Рассматриваемая задача представляет интерес во многих других областях естествознания, а также в теории устойчивости движения и теории динамических систем. Известно, например, что в общем случае для динамических систем нет конструктивного алгоритма исследования их глобальной устойчивости ([3 ]).

Состояние вопроса.

История применения уравнения (1) в теории случайных процессов восходит к фундаментальной работе Колмогорова [61. В этой работе было получено уравнение (частным случаем которого является уравнение (1)) для некоторых марковских процессов с первым локальным моментом приращения, равным fix). Еще раньше уравнение (1) появилось в работах Фоккера и Планка по статистической физике (ссылки на их работы имеются в [7]).

Поставленная в диссертации математическая проблема существования у уравнения (1) стационарного решения и его (приближенного или точного) вычисления исследовалась многими авторами ([9], [101) в связи с задачами теории стохастического оптимального управления; эта проблема рассматривалась также в рамках так называемой синергетики [81. Отмеченные работы объединяются общим подходом к исследованию уравнения (1), заключающимся в поиске стационарного решения уравнения (1) в квадратурах. Но стационарное уравнение (1) разрешимо в квадратурах только для очень узкого класса векторных полей fix) (исключение составляет случай одной пространственной переменной). Условие такой разрешимости выражается соотношениями алгебраического типа для fix) и выделяет в пространстве всех векторных полей "узкое" множество, соответствующее нетипичным (например, градиентным или гамильтоновым) динамическим системам.

Для исследования уравнения (1) с векторным полем общего вида необходимы методы функционального анализа. Эти методы успешно применялись в доказательстве теорем существования для различных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами; в связи с нашей задачей отметим работу [7]. В [71 существование стационарного решения уравнения (1) было доказано при любом (бесконечно дифференцируемом) векторном поле fix), но уравнение (1) по пространственным переменным рассматривалось не в к" , а на компактном многообразии. В случае же Rn (который и является предметом диссертации) вопрос остается открытым, методы статьи [7] применить не удается. Иногда проблема оказывается разрешимой методом функций Ляпунова, предложенном в [11], однако построение (или доказательство существования) функции Ляпунова для системы с векторным полем общего вида представляет собой сложную задачу. На данный момент нет алгоритма построения функции Ляпунова даже для невозмущенных систем. Отметим, наконец, что трудности возникают и в приближенном вычислении стационарного решения уравнения (1), о чем свидетельствует замечание в [2, стр.168].

Таким образом, поставленная задача исследования уравнения (1) с векторным полем fix) общего вида представляется важной во многих отношениях. В диссертации предлагается исследовать уравнение (1) методами проекционного типа и на их основе получить достаточное условие на векторное поле fix), обеспечивающее существование стационарного решения уравнения (1), являющегося плотностью вероятности.

Цель работы

Найти и обосновать достаточные условия на векторное поле fix), обеспечивающее существование у уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова стационарного решения, являющегося плотностью вероятности.

Основные результаты диссертации

1. В диссертации получено достаточное условие существования у уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова стационарного решения, являющегося плотностью вероятности. Установлена теорема единственности стационарного решения в определенном классе функций. На основе доказанных теорем предложен новый метод анализа устойчивости динамических систем к действию шума.

2. С помощью полученных теорем построен и обоснован проекционный алгоритм приближенного (сколь угодно точного) вычисления стационарного решения уравнения Фоккера-Планка- Колмогорова. В вычислительном эксперименте с использованием этого алгоритма выявлена возможность стабилизации внешним шумом некоторых неустойчивых динамических систем.

3. Исследована полнота одной параметризованной системы функций, возникшей в связи с анализом уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова.

Научная новизна работы Научная новизна работы заключается в применении к исследованию уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова методов проекционного типа. Именно благодаря таким методам оказалось возможным получить теорему существования у уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова стационарного решения, являющегося плотностью вероятности, а также разработать на ее основе алгоритм исследования этого уравнения при наиболее общем виде векторного поля в пространстве произвольной размерности.

Практическая ценность работы

Предложен и обоснован новый метод анализа устойчивости динамических систем к действию шума.

Разработан, обоснован и реализован на ЭВМ алгоритм численного исследования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Четвертой и Пятой международных конференциях "Математика. Компьютер. Образование", на 39-й, 40-й, 41-ой и 42-ой научных конференциях МФТИ, на заседании Международной школы "Проблемы теоретической биофизики" (Москва, МГУ, 15-20 июня 1998 года), на Шестой международной конференции по безопасности сложных систем (январь 1998 года). Частично результаты работы докладывались на семинаре по математической физике кафедры высшей математики МФТИ (руководитель семинара - д. ф.-м. н., проф., чл. -корр. РАО Г. Н. Яковлев).

Публикации

По материалам диссертации автором опубликовано 10 печатных работ, в том числе три статьи в академических журналах.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, краткого содержания, четырех глав и списка литературы. Общиий объем текста -Ю5 страниц. Список литературы содержит наименований.

1. Романовский Ю. М. , Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М. : Наука,1975.

2. Термодинамика и кинетика биологических процессов / Под ред. А. И. Зотина. М. : Наука, 1980.

3. Термодинамика и регуляция биологических процессов / Под ред. А. И. Зотина. М. : Наука, 1984.

4. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М. : Наука, 1969.

5. Ноаров А. И. Проблемы локализации решений уравнения Фоккера-Планка и устойчивость биологических систем // Проблемы теоретической биофизики (тезисы докладов Международной школы). М., 1998. С. 155.

6. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи мат. наук. 1938. вып. 5. С. 5-41.

7. Zeeman Е.С. Stability of dynamical systems // Nonline-arity. 1988. V.l P.115-155.

8. Хакен Г. Синергетика: Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М. : Мир, 1985.

9. Красовский А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М. : Наука, 1974.

10. Платонов A.A. Термодинамические аналоги в статистическойтеории динамических систем. В сб. 13.

11. Хасьминский Р. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М. : Наука, 1969.

12. Иосида К. Функциональный анализ. М. : Мир, 1967.

13. Колмогоров А. Н. , Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1989.

14. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М. : Мир, 1968.

15. Маккин Г. Стохастические интегралы. М. : Мир, 1972.

16. Биркгоф Г. Теория структур. М. : Изд-во иностр. лит.,1952.

17. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. N1. С. 177 179.

18. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.

19. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. : Наука, 1983.

20. Ляпунов А. А. Проблемы теоретической и прикладной кибернетики. М. : Наука, 1980.21. "Проблемы кибернетики", вып. 25, М. : Наука, 1972.

21. Либ Э., Лосс М. Анализ. Новосибирск : Научная книга,1.К/ "71998.

22. Ноаров А. И. О полноте системы функций, линейно зависящих от параметра // Доклады Академии Наук. 1999. Т. 366. N2. С. 164 -166.

23. Ноаров А. И. Об одном достаточном условии существования стационарного решения уравнения Фоккера-Планка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. N5. С. 587-598.

24. Ноаров А.И. Численное исследование уравнения Фоккера-Планка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. N8. С. 13371347.

25. Ноаров А. И. О неустойчивости одного проекционного алгоритма // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. (Тезисы докладов 42-ой научной конференции МФТИ, 26-27lut)ноября 1999 года). Москва-Долгопрудный. С. 83.

26. Ноаров А. И. Уравнение Фоккера-Планка: признак существования стационарного решения плотности распределения // 4-ая международная конференция "Математика, компьютер, образование" (Пущино, 29 января - 3 февраля 1997г.). Тезисы. Москва, 1997. С. 117.

27. Ноаров А. И. Уравнение Фоккера-Планка как возможная кине-тйческая модель сохраняющих реакций биологических систем // 5-ая международная конференция "Математика, компьютер, образование" (Дубна, 26 -30 января 1998г.). Тезисы. Москва, 1998. С. 149.

28. Ноаров А. И. 0 стабилизации системы Вольтерра внешним шумом // 7-ая международная конференция "Математика, компьютер, образование" (Дубна, 24 29 января 2000г.). Тезисы. Москва, Прогресс-Традиция, 1999. С. 248.