Автоколебательные и стохастические процессы в некоторых модельных динамических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Модели нелинейных систем и методы их исследования

§1. Нелинейные системы и динамический хаос

§2. Методы исследования динамических систем.

Глава II. Бифуркации периодических решений моделей с квадратичной и неполиномиальной нелинейностью

§3. Устойчивость стационарного решения.

§4. Бифуркация стационарного решения и рождение предельного цикла

§5. Бифуркации периодических решений в модели

Гарела-Росслера.

§6. Аттракторы модели автогенератора с управлением по частоте и влияние внешнего воздействия

Глава III. Поведение нелинейных динамических систем при наличии внешних шумов

§7. Бифуркации в динамических системах с шумом.

§8. Уравнение Фоккера-Планка для квазилинейных динамических систем

§9. Влияние внешнего шума на динамические системы

На первых этапах количественного описания явлений окружающего мира практически все разделы физики ограничивались изучением равновесных или квазиравновесных состояний и процессов. Разнообразие и сложность физических задач на "динамическом уровне" оказались столь велики, что поначалу допущения о малости полей, слабости возмущений и т.п. представлялись совершен-' но естественными и использовались как практически единственная возможность "оторваться от квазиравновесности". Так было в оптике, акустике, электродинамике и большинстве других разделов физики. Подобная ситуация стимулировалась еще и тем, что в руках экспериментаторов большей частью имелись лишь весьма слабые поля.

В результате принцип суперпозиции, то есть представление о том, что аддитивность причин приводит к аддитивности же следствий, стал настолько привычным, что даже казался универсальным ключом к пониманию и количественному описанию большинства физических проблем. При решении проблем физической науки, не связанных с существенными отклонениями от состояний равновесия, теория ограничивалась линейными (точнее, линеаризованными) динамическими моделями. Хотя уже тогда ограниченность "линейной физики" была достаточно очевидна, "линейный" подход еще долго оставался в физике преобладающим.

Но в начале XX века число нелинейных проблем, требующих неотложного решения, начало лавинообразно расти. Важность исследования нелинейных явлений была понята прежде всего в механике. Эти исследования привели в последующем к разработке Н.Н.Боголюбовым широко известных ныне асимптотических методов в теории нелинейных колебаний [1].

К 30-м годам нелинейные задачи стали актуальными в акустике, физике твердого тела, статистической механике. Принципиально нелинейные задачи ставились практическими потребностями радиотехники (детектирование и генерация колебаний), они возникали и в других прикладных проблемах (теория автоматического регулирования и т.д). Однако математические вопросы в столь различных областях физики и техники казались специфическими для каждой частной проблемы и не связанными друг с другом.

Тогда же было понято, что отсутствие аддитивного отклика физических систем на аддитивные воздействия (знание частных решений недостаточно для построения решения уравнений динамики), является наиболее общей ситуацией и нелинейные проблемы из различных областей физики и техники оказываются очень сходными и требуют единого подхода к их математическому описанию. Среди физиков различных специальностей начало вырабатываться "нелинейное мышление", и разные области науки начали перенимать "нелинейный опыт" друг друга. Именно тогда в работах Л.И.Мандельштама, Б.Ван-дер-Поля, А.А.Андронова и других была создана теория нелинейных явлений (см., например, [2-5]).

Возрастание интереса к исследованию систем нелинейных уравнений также объясняется открытием явления динамического хаоса, которое было сделано относительно недавно [6-11]. Один из основополагающих научных принципов заключается в том, что детерминированные системы по своей сути являются предсказуемыми: при заданных уравнениях, описывающих некоторую систему, и начальных условиях для этих уравнений поведение системы может быть предсказано на любой интервал времени. Открытие хаотических систем доказало ограниченность такой точки зрения. Иначе говоря, хаотическая система представляет собой детерминированную систему, которая ведет себя случайным образом. В связи с этим возникает проблема определения условий, при которых поведение детерминированной системы может быть непредсказуемым.

Исследование хаоса представляет собой в настоящее время одну из наиболее важных проблем нелинейной динамики. Отметим, что понятие "хаос" играло весьма существенную роль уже в мировоззрении философов древности, в частности, представителей школы Платона. В физике понятие "хаос", "хаотическое движение", "порядок" являются фундаментальными, но, тем не менее, недостаточно четко определенными.

Начиная с классических работ Максвелла, Больцмана, Гиббса хаотическим называют движение атомов в состоянии статистического равновесия. Хаотическим, однако, называют и движения в состояниях, далеких от равновесия, например, в генераторах шума, в турбулентных потоках и т.д. Широкое распространение получил термин "динамический хаос". Он характеризует сложные движения в маломерных ("простых") нелинейных диссипативных динамических системах. Классическим примером такой системы служат уравнения Лоренца в теории тепловой конвекции [7].

Таким образом, одним и тем же термином "хаос" характеризуют самые разные виды сложных движений в системах как с малым, так и с большим числом степеней свободы (макроскопических систем).

Отметим, что изучение систем взаимодействующих многих частиц занимает важное место в современной теоретической физике. Методами статистической механики в последние годы получены ряд важнейших результатов, относящихся к свойствам как равновесных, так и неравновесных термодинамических систем. Значительные успехи в этом направлении были достигнуты, в частности, на основе формализма корреляционных функций и концепции Н.Н.Боголюбова об иерархии времен [1,4,14], позволившие понять существенные черты эволюции динамических систем. Проблемы термодинамики неравновесных процессов нашла также существенное развитие в трудах И.Пригожина [15,16]. Вместе с тем, следует отметить, что в рамках традиционной термодинамики необратимых процессов рассматриваются процессы лишь в системах, находящихся вблизи состояния термодинамического равновесия [17].

В связи с открытием динамической стохастичности, важное значение приобрело исследование нелинейных динамических систем, которые могут иметь самую различную природу: физическую, химическую, биологическую, экологическую и т.д. [19-28] Эти системы являются чрезвычайно сложными, что обуславливается прежде всего тем, что они, являясь макроскопическими, состоят из многих подсистем, принимаемых за элементы их строения. Важнейшее общее свойство этих систем независимо от их природы заключается прежде всего в том, что являясь системами открытого типа, они обладают свойством пространственно-временной и структурной самоорганизации. Последнее определяет общность проблем и математических методов исследования нелинейных динамических систем [29,30].

С теоретической точки зрения принципиальными являются вопросы выяснения механизмов организации хаоса в фазовом пространстве детерминированной системы, исследование сценариев перехода к хаосу и характеристик хаотического режима. Эти исследования имеют важное практическое значение с точки зрения управления различными процессами в конкретных системах (физических, химических, технологических, биологических, экологических и т.д.), описываемых, например, с помощью нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Исследование конкретных динамических систем выяснили тот факт, что несмотря на многообразие последних, пути перехода к хаотическому режиму ограничены узким набором механизмов, наиболее распространенным из которых является переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода [31,33]. В частности, в известной работе М.Фейгенбаума (см. [34,35]), для некоторого класса одномерных отображений установлена закономерность распределения бифуркационных значений управляющего параметра для случая бифуркации с удвоением периода.

Здесь следует особо отметить, что возможность режимов с удвоением периода в нелинейных системах рассматривались Н.Н.Боголюбовым в его классических работах по асимптотическим методам в нелинейной механике [1]. Эти методы, основанные на принципе усреднения и представляющие, по сути, специальную форму теории бифуркаций нелинейных дифференциальных уравнений, весьма эффективны при исследовании поведения нелинейных систем [36,37].

Заметим, что в связи со существенными трудностями построения решений нелинейных систем для нахождения бифуркационных значений "физических" параметров систем, за исключением простейших из них, когда фазовое пространство является одно- или двумерным, используются численные методы [19,25,28,30].

Наиболее полное описание нелинейных динамических моделей, наряду с динамическим описанием, требует привлечения аппарата статистической теории. Одно из направлений статистического описания нелинейных динамических систем может быть основано на теории диффузионных стохастических процессов, описываемых уравнениями типа Фоккера-П ланка [12,38-40]. Здесь следует особо отметить, что при моделировании динамических систем, например, системой нелинейных дифференциальных уравнений, используются переменные, являющиеся секулярными в смысле Боголюбова [4]. Это дает возможность использования подхода статистической механики, основанного на рассмотрении процессов в макроскопических системах как случайных марковских процессов [41]. Этот факт определяет естественное направление статистического описания нелинейных динамических систем.

Уравнения типа Фоккера-Планка, связанные с соответствующими стохастическими уравнениями Ито [42,102], имеют сложную структуру, и для построения их решений, за исключением частных случаев, используется приближение, базирующееся на линеаризации векторных полей вблизи фазовых траекторий детерминистских систем [43]. Это приближение приводит к модификации теории флуктуаций Онсагера [44] и широко используется при аналитическом исследовании стохастических диффузионных процессов в различных динамических моделях [28,43,45-49]. Вместе с тем, вследствие диффузионного расплывания волнового пакета со временем, границы физической применимости решений, имеющих тогда гауссову форму, в общем случае ограничены достаточно малыми значениями времени. Поэтому представляет значительный интерес как построение решений уравнения Фоккера-Планка с учетом эффектов нелинейности системы, так и установление условия применимости гауссовской аппроксимации решений.

Поскольку уравнение Фоккера-Планка для нелинейной системы в общем случае не допускает аналитического решения, то является весьма интересным проведение численного анализа этого уравнения, в частности, нахождение его стационарных решений.

Основная цель работы состоит в аналитическом и численном исследовании динамических систем с квадратичной и неполиномиальной нелинейностью, а также изучение диффузионных стохастических процессов в этих системах. С этой целью в работе поставлены задачи:

1. исследование устойчивости и бифуркаций стационарных решений нелинейных систем с малым числом степеней свободы;

2. изучение бифуркаций периодических решений;

3. построение и анализ спектров динамических моделей, вычисление энтропии Колмогорова-Синая и корреляционной размерности аттракторов рассматриваемых систем;

4. аналитическое построение решений уравнений типа Фоккера-Планка для линейных динамических систем;

5. построение решений уравнений Фоккера-Планка для квазилинейных динамических систем и выяснение пределов применимости гауссовской аппроксимации; численное построение стационарных решений уравнения Фоккера-Планка для нелинейных систем;

6. исследование бифуркаций периодических решений при наличии внешних шумов;

7. разработка необходимых алгоритмов и создание пакета программ для численного анализа динамических моделей.

При решении поставленных задач мы основываемся на идеях асимптотических методов Крылова-Боголюбова, а при численном подходе используем метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений Рунге-Кутта, метод отображений Пуанкаре, спектральный анализ на основе метода быстрого фурье-преобразования, вычисление энтропии Колмогорова, оценку корреляционных размерностей аттракторов изучаемых систем.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Глава I носит методический характер и содержит основные определения (§1) и краткое описание основных методов исследования динамических систем (§2). Так, например, в параграфе 1 дано определение типа систем, рассматриваемых в работе, как систем обыкновенных дифференциальных уравнений для зависящих от времени переменных состояния. Там же дано определение динамического хаоса, наблюдаемого в детерминированных стохастических системах. Кроме того, рассмотрены различные сценарии перехода к хаотическому режиму — Ландау-Хопфа, Рюэля-Таккенса, Фейгенбаума и через перемежаемость.

Заключение

1. Были исследованы две принципиально нелинейные модели колебательных процессов из различных областей естествознания, имеющих среди своих решений режим динамической сто-хастичности. Показано, что переход к хаотическому движению происходит согласно сценарию Фейгенбаума через каскад бифуркаций удвоений периода.

2. Было обнаружено, что в различных областях пространства управляющих параметров систем, возникающие странные аттракторы имеют существенно различную степень хаотичности. Это определяется изучением таких характеристик автостохастического движения, как спектральная плотность, энтропия Колмогорова-Синая и фрактальная размерность странного аттрактора.

3. В рамках анализа влияния случайных флуктуаций на динамические системы была рассмотрена задача построения приближенных решений уравнения Фоккера-Планка для квазилинейных динамических систем. На основе определенных преобразований случайных переменных в исходных стохастических уравнениях Ито и флуктуационно-диссипационных соотношений была дана явная аналитическая форма ковариационной матрицы. Была рассмотрена операторная форма теории возмущений для построения решения уравнения Фоккера-Планка в окрестности асимптотически устойчивой стационарной точки детерминистской системы с обсуждением вопросов сходимости полученных решений.

4. Численный анализ исследуемых моделей показал качественное изменение колебательных режимов при воздействии на них случайных возмущений фазовых переменных в виде белого шума. Так, например, был обнаружен закон скейлинга, связывающий максимальную величину интенсивности шума и возможность наблюдения очередной бифуркации удвоения периода. Кроме того, учет флуктуаций в виде белого шума приводит к сдвигу бифуркационных значений управляющих параметров, а также к явлениям, характеризуемых как индуцированные шумом переходы — добавка внешнего случайного воздействия приводит к появлению принципиально новых, не существовавших ранее в системе режимов.

5. В рассматриваемой модели автогенератора были обнаружены два различных механизма дестохастизации, то есть перехода системы в регулярный режим под воздействием некоторого внешнего воздействия. Явление параметрической дестохастизации выражается в том, что изменение периодическим образом одного из управляющих параметров системы приводит к смене хаотического движения регулярным решением типа предельного цикла. Причем разрушение странного аттрактора происходит только для определенных частот периодического воздействия и по достижении амплитуды возмущающей силы некоторого порогового значения. В качестве другой модели влияния внешних неслучайных воздействий был выбран гармонический сигнал малой амплитуды на определенной частоте. Аддитивное возмущение одной из фазовых координат при соответствующем выборе интенсивности шума и частоты сигнала приводит к выходу системы на регулярный режим. Зависимость уменьшения стохастичности движения от частоты но

123 сит характер резонанса — дестохастизация происходит только в очень узком интервале частот.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору М.Х.Харрасову за постановку, обсуждение задач и постоянное внимание к работе.

Автор искренне благодарит профессоров Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова Б.И.Садовникова и В.В. Алексеева за сотрудничество и поддержку.

1. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.гНаука, 1974.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.:Наука, 1981.

3. Van der Pol В. On relaxation oscillations. //Philosophical Magasine (7), 1926, v.2, p.978-992.

4. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.гГостехиздат, 1946.

5. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. 2-изд. М.:Наука, 1987.

6. Жаботинский A.M. Концентрационные колебания. М.:Наука, 1974.

7. Лоренц Э.Н. Детерминированное непериодическое движение. //Странные аттракторы. М.:Мир, 1981, с.88-116.

8. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. //Странные аттракторы. М.:Мир, 1981, с.117-151.

9. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И. Нелинейная физика. Стохастичность и структуры. //Физика XX века: Развитие и перспективы. М.:Наука, 1984, с.219-280.

10. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.:Мир, 1988.

11. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе: О детерминированном подходе к турбулентности. М.:Мир, 1991.

12. Боголюбов H.H. О стохастических процессах в динамических системах. //ФЭЧАЯ, 1978, т.9, вып.4, с.501-579.

13. Боголюбов H.H.(мл.), Садовников Б.И., Шумовской A.C. Математические методы статистической механики модельных систем. М.:Наука, 1989.

14. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. М.: Изд-во МГУ, 1987.

15. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.:Мир, 1979.

16. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение. М.:Мир, 1990.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.:Наука, 1976.

18. Странные аттракторы, /под ред. Л.П.Шильникова и Я.Г.Синая. М.:Мир, 1981.

19. Анигценко A.C. Сложные колебания в простых системах. М.:Наука, 1990.

20. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.:Наука, 1988.

21. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.:Наука, 1987.

22. Паркер Т.С., Чжуа Л.О. Введение в теорию хаотических систем для инженеров. //ТИИЭР, 1987, т.75, N8, с.6-40.

23. Мун Ф. Хаотические колебания. М.:Мир, 1990.

24. Монин A.C. Гидродинамическая неустойчивость. //УФН, 1986, т.150, вып.1, с.61-105.

25. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М.:Наука, 1990.

26. Ланфорд O.E. //Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.:Мир, 1984, с.22-46.

27. Rössler O.E. Chaos and strange attractors in chemical kinetics. //Springer series in sinergetics, 1979, v.3, p.107-113.

28. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.:Наука, 1987.

29. Хакен Г. Синергетика. М.:Мир, 1980.

30. Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.:Мир, 1985.

31. Hopf Е. Abzweigung einer periodischen Lösung von einer station ären Lösung eines Differentialsystems. //Berlin: Math.-Phys. Kl. Sachs Akad. Wiss. Leipzig, 1942, Bd.94, s.1-22.

32. Марсден Дж., Мак-Кракен M. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.:Мир, 1980.

33. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности. //ДАН СССР, 1944, т.44, N8, с.339-342.

34. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем. //УФН, 1983, т.141, вып.2, с.343-374.

35. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин K.M. Универсальность Фейген-баума и термодинамический формализм. //УМН, 1984, т.39, N3, с.3-37.

36. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.:Наука, 1986.

37. Алексеев В.В., Харрасов М.Х. О последовательности бифуркаций удвоения периода в моделях типа Росслера. //ТМФ, 1991, т.88, N1, с.96-103.

38. Энштейн А., Смолуховский М. //Брауновское движение, /под ред. Б.И.Давыдова. М.ЮНТИ, 1936.

39. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. //ДАН СССР, 1958, т.119, с.861-864.

40. Андронов A.A., Витт A.A., Понтрягин Л.С. О статистическом рассмотрении динамических систем. //ЖЭТФ, 1933, т.З, вып.З, с.165-186.

41. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы. М.:МГУ, 1966.

42. Itö К. //Jap.J.Math., 1942, v.18, р.261-301.

43. Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов. М.:Мир, 1990.

44. Onsager L., Machlup S. //Phys.Rev., 1953, v.91, p.1505-1512; 1953, v.91, p.1512-1515.

45. Van Kampen N.G. //Adv.Chem.Phys., 1976, v.34, p.245-261.

46. Ottinger H.C. //J.Chem.Phys., 1989, v.90, p.463-473.

47. Zylka W. //J.Chem.Phys., 1991, v.94, p.4628-4636.

48. Fredrickson G.H., Helfand E. //J.Chem.Phys., 1990, v.93, p.2048-2061.

49. Goel N.S., Maitra S.C., Montroll E.W. //Rev.Mod.Phys., 1971, v.43, p.231-276.

50. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. М.:Мир, 1984.

51. Экман Ж.П. Переход к турбулентности в дисипативных динамических системах. //Синергетика. М.:Мир, 1984, с.190-219.

52. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. /под ред. Суинни X., Голлаба Дж. М.:Мир, 1984.

53. Hopf Е. A mathematical example displaying the features of turbulence. //Commun.Pure and Appl.Math., 1948, v.l, P.303-322.

54. Franceschini V. A Feigenbaum sequence of bifurcation in the Lorenz model. //J.Stat.Phys., 1980, v.22, N3, p.397-406.

55. Collet P., Eckmann J.-P., Koch H. Period doubling bifurcations for families of maps on Rn. //J.Stat.Phys., 1980, v.25, N1, p.1-14.

56. Rossler O.E. An equation for continuous chaos. //Phys.Lett., 1976, v.57A, N5, p.397-398.

57. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. //Conn.Math.Phys., 1980, v.74, N2, p.189-197.

58. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. 2-е изд. М.:Наука, 1992.

59. Видаль К. Динамические неустойчивости, наблюдаемые в системе Белоусова-Жаботинского. //Синергетика. М.:Мир, 1984. с.109-125.

60. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. M.-JL: Физматгиз, 1963.

61. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.:Наука, 1988.

62. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических исследований. М.:Мир, 1980.

63. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.:Наука, 1972.

64. Отнес Р., Эноксон JI. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М.:Мир, 1982.

65. Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.:Мир, 1990.

66. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. //ДАН СССР, 1959, т.124, с.754-755.

67. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы. //ДАН СССР, 1959, т.124, с.768-771.

68. Shimada I., Nagascima Т. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems. //Progr.Theor.Phys., 1979, v.61, N6, p.1605-1616.

69. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.M. Kolmogorov entropy and numerical experiments. //Phys.Rev.A, 1976, v.41, N6, p.2338-2442.

70. Хенон M. Двумерное отображение со странным аттрактором. //Странные аттракторы. М.:Мир, 1981, с. 152-163.

71. Farmer J.D., Ott Е., Yorke J.A. The dimension of chaotic attractors. //PhysicaD, 1983, v.7, N1-3, p.153-180.

72. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors. //Physica D, 1983, v.9, N1-2, p.189-208.

73. Харрасов M.X., Тулебаев С.Д. Бифуркации удвоения периода в трехмерных системах. //Математические методы в химии. Тезисы докладов VIII Всесоюзной конференции, Казань, 1991, с.72-73.

74. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1978.

75. Ruelle D. //Trans.N.Y.Sci., 1973, v.35, p.66-71.

76. Olsen L.F., Degn H. Chaos in an enzime reaction. //Nature, 1977, v.267, p.177-178.

77. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.:Мир, 1986.

78. Gurel О., Rössler O.E. //Math.Japónica, 1979, v.23, p.491-507.

79. Тулебаев С.Д. О бифуркациях периодических решений модели Гарела-Росслера. //Физико-химическая гидродинамика. Межвуз.науч.сб. Башк.гос.ун-т, 1995, с.112-115.

80. Тулебаев С.Д., Харрасов М.Х. Периодические решения модели Гарела-Росслера. //Прикладная нелинейная динамика, 1995, т.З, N1, с.3-10.

81. Тулебаев С.Д. О последовательности бифуркаций удвоения периода в моделях типа Гарела-Росслера. //Тезисы докладов II Всероссийской конференции студентов-физиков, Екатеринбург, 1994.

82. Тулебаев С.Д. Дестохастизация нелинейных динамических систем под воздействием случайных и параметрических воздействий. Препринт. Башк.гос.ун-т, 1999.

83. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. В 2-х частях. Саратов:Изд-во Сарат. ун-та, 1985.

84. Заулин И.А., Пономаренко В.П. Динамические режимы и бифуркационные явления в нелинейных статических системах синхронизации. //Радиотехника и электроника, 1993, т.38, N5, с.889-916.

85. Алексеев А.А. Регулярные и хаотические режимы управляемого по частоте генератора. //Письма в ЖТФ, 1993, т.19, N21, с.16-24.

86. Ott Е., Grebogi С., Yorke J.A. Controlling chaos. //Phys.Rev. Lett., 1990, v.64, N11, p.1196-1207.

87. Singer J., Wang Y., Bau H. Controlling chaotic systems. //Phys. Rev.Lett., 1991, v.66, N9, p.1123-1127.

88. Roy R., Murphy Т., Gills Z., Hunt E. Dinamical control of a chaotic laser: Experimental stabilization of a globally coupled system. //Phys.Rev.Lett., 1992, v.68, N9, p.1259-1263.

89. Petrov V., Gaspar V., Masere J., Showalter K. Controlling chaos in the Belousov-Zhabotinsky reaction. //Nature, 1993, v.361, p.240-246.

90. Алексеев В.В., Лоскутов А.Ю. Управление системой со странным аттрактором посредством периодического параметрического воздействия. //ДАН СССР, 1987, т.293, N6, с.1346-1348.

91. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.:Мир, 1986.

92. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем. М.:Наука, 1990.

93. Risken Н. The Fokker-Planck Equation. //Methods of Solution and Applications. Berlin:Springer, 1989.

94. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.:Сов. радио, 1977.

95. Klimontovich Yu.L. Ito, Stratonovich and kinetic forms of the stochastic equations. //Physica A, 1990, v.163, p.515-547.

96. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: Теория и применение в физике, химии и биологии. М.:Мир, 1987. ^

97. Graham R. Macroscopic potencials, bifurcations and noise in dissipative systems. //Noise in Nonlinear Dynamical Systems. vol.l/Ed. F.Moss and P.V.E.McClintock, Cambridge University Press, 1989, p.384-426.

98. Харрасов M.X. Эволюция простой динамической системы в случайном поле. //ТМФ, 1993, т.97, N3, с.414-419.

99. Стратонович Р.Л., Ланда П.С. Воздействие шумов на генератор с жестким возбуждением. //Изв. вузов. Сер. "Радиофизика", 1959, т.2, N1, с.37-42.

100. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.:Наука, 1982.

101. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. //УМН, 1938, т.5, с.5-41.

102. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М.:ИЛ, 1956.

103. Bogolubov N.N. On the stochastic processes in the dynamical systems. JINR, E 17-10514, Dubna, 1977.

104. Van Kampen N.G. Stochastic processes in physics and chemistry. Amsterdam:North-Holland P.C., 1981.

105. Prigogine I., George C., Henin F., Rosenfeld L. //Chemica Scripta, 1973, v.4, p.5-14.

106. Misra В., Prigogine I. On the foundation of kinetic theory. //Stochastic nonlinear systems in phisics, chemistry and biology. Berlin, Heidelberg, N.Y.:Springer, 1981, p.2-11.

107. Graham R., Haken H. //Zs.Phys., 1971, v.243, p.289-301; 1971, v.245, p.141-157.

108. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.:Наука, 1964.

109. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальные интегралы Феймана. М.:Наука. 1976.

110. Keizer J. //J.Chem.Phys., 1975, v.63, p.398-403; 1976, v.64, p.1679-1687.

111. May R.M. Stability and complexity in model ecosystems. PrincetonrPrinceton Univ. Press, 1973.

112. Nakamura K. //Prog.Theor.Phys., 1978, v.59, p.64-76.

113. Bishop M., Clarke J.H.R. //J.Chem.Phys., 1989, v.91, p.3721-3723; 1990, v.93, p.1455-1462; 1991, v.95, p.4589-4598.

114. Parnas R.S., Cohen Y. //J.Chem.Phys., 1989, v.90, p.6680-6690.

115. Trullas J., Giro A., Padro J.A. //J.Chem.Phys., 1990, v.96, p.5177-5189.

116. Nikolis G. Some aspetcs of fluctuation theory in nonequilibrium systems. //Stochastic nonlinear systems in phisics, chemistry and biology. Berlin, Heidelberg, N.Y.:Springer, 1981, p.44-57.

117. Харрасов M.X. Асимптотическое поведение решений уравнения Фоккера-Планка при t -»> оо. //ДАН, 1992, т.325, N2, с.280-283.

118. Харрасов М.Х. Об асимптотике решений уравнения Фоккера-Планка при больших значениях времени. //ТМФ, 1993, т.97, N1, с.113-120.

119. Газизов И.Ч., Тулебаев С.Д., Салинас-Мартыновский Ю.М. Уравнение Фоккера-Планка в теории квазилинейных динамических систем. //ДАН, 1995, т.343, N2, с.179-182.