Интегральные и дискретные модели процессов фазовой синхронизации автоколебательных систем

Агибалов, Сергей Александрович

Интегральные и дискретные модели процессов фазовой синхронизации автоколебательных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Агибалов, Сергей Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Интегральные и дискретные модели процессов фазовой синхронизации автоколебательных систем»

Автореферат диссертации на тему "Интегральные и дискретные модели процессов фазовой синхронизации автоколебательных систем"

На правах рукописи ¡1

АГИБАЛОВ Сергей Александрович

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И Д ИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4840855

Самара-2011

1 7 мдр 2011

4840855

Работа выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем ГОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор В.В. Зайцев Официальные оппоненты:

заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор С.Б. Раевский;

кандидат физико-математических наук Д.П. Табаков Ведущая организация: филиал ФГУП НИИР - СОНИИР

Защита состоится 18 марта 2011г. в 13:00 часов на заседании диссертационного совета Д 219.003.01 при ГОУ ВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» По адресу:

443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУТИ

Автореферат разослан февраля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 219.003.01

О.В. Осипов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Основы представлений об автоколебательных системах, как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, были сформулированы академиком А.А. Андроновым в первой трети XX века. С тех пор автоколебательные системы и модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Например, представления об автоколебаниях широко используются в моделях химических реакций, биологических систем, механических конструкций. Но наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.

В радиофизике было введено в рассмотрение и подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нелинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, определены способы их практического использования. В частности, установлено, что фазовая синхронизация - явление, состоящее в согласованности фаз и частот автоколебаний и внешнего сигнала, характерна для всех без исключения автоколебательных систем.

Начиная с первых работ 20-х годов прошлого века и до настоящего времени, подавляющее большинство моделей автоколебательных систем в радиофизике формулируется в дифференциальной форме - в форме нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, а также дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими физической ситуации граничными условиями. Использование асимптотических методов теории нелинейных колебаний позволяет понизить порядок дифференциальной модели, сводя задачу анализа к решению системы укороченных уравнений для амплитуд и фаз автоколебаний. При этом решение укороченных уравнений, как правило, проводится численными методами.

размерности, т.е. переменных «вход-выход» резонатора, для самосогласованной системы «активный элемент-резонатор» можно записать нелинейное интегральное уравнение движения, относящееся к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Такие интегральные модели не получили заметного распространения в теории автоколебательных систем. По-видимому, это обусловлено тем, что нелинейные уравнения движения, как дифференциальные, так и интегральные, не имеют точных аналитических решений, а приближенные и численные решения традиционно строятся для дифференциальных моделей. В связи с интегральными моделями можно лишь отметить публикации, в которых линейные флуктуационные интегральные уравнения используются при анализе фазовых шумов радиочастотных автогенераторов и полупроводниковых инжекционных лазеров.

Следует также отметить, что на уровне физических представлений о процессах генерации автоколебаний существуют две обобщенные структурные схемы автогенератора. Одна из них - это колебательный контур с внешним отрицательным затуханием, другая - усилитель с положительной обратной связью. И если дифференциальная форма уравнений движения является адекватным описанием первой структуры, то интегральная модель полностью соответствует структуре «усилитель плюс обратная связь».

Кроме того, интегральные модели автоколебательных систем позволяют синтезировать дискретные во времени автогенераторы -алгоритмы генерации дискретных сигналов. Такие автогенераторы (алгоритмы) можно использовать для обработки цифровых сигналов и защиты информации от несанкционированного доступа.

Таким образом, разработка и анализ моделей неавтономных автоколебательных систем с дискретными и дискретно-распределенными параметрами, основанных на интегральных уравнениях движения (ИУД), является актуальной задачей радиофизической теории колебаний, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение.

Цель работы

Цель диссертационного исследования состоит в разработке методики математического моделирования процессов фазовой синхронизации автоколебательных систем с дискретными в пространстве нелинейностями на основе интегральных уравнений движения, преобразованиях интегральных моделей к форме дискретных во времени нелинейных рекурсивных фильтров и моделировании процессов синхронизации автоколебательных систем, функционирующих в дискретном времени.

Методы исследования

Работа выполнена на основе методов теории нелинейных колебаний, математического моделирования, теории радиотехнических сигналов и

систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработка сигналов. Численные результаты получены на основе алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических вычислений.

Научная новизна диссертационной работы заключается: в методе моделирования синхронизации автоколебательных систем с сосредоточенными активными элементами, основанном на интегральных уравнениях движения систем;

в распространении метода медленно меняющихся амплитуд теории нелинейных колебаний на неавтономные автоколебательные системы, функционирующие в дискретном времени;

в новых математических моделях синхронизированных автогенераторов с сосредоточенными и распределенными ЛС-цепями обратных связей;

в методике и результатах численного моделирования ряда автоколебательных систем.

Практическая значимость работы

Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа и моделирования автоколебаний могут найти применение при решении задач проектирования радиочастотных генераторов, аналоговых и цифровых устройств обработки сигналов, для прогнозирования процессов развития систем различной физической природы, в учебном процессе высших учебных заведений.

Достоверность полученных в диссертации результатов определяется и подтверждается:

- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа автоколебательных систем; хорошей согласованностью приближенных аналитических результатов и результатов численного эксперимента;

соответствием результатов проведенного анализа и моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

- соответствием основных результатов численного анализа и моделирования общим физическим закономерностям.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод анализа и численного моделирования процессов фазовой синхронизации дискретно-распределенных автоколебательных систем.

2. Интегральные модели синхронизированных автогенераторов с дискретными и распределенными ЛС-цепями обратной связи.

3. Результаты анализа частотных характеристик синхронизации автогенератора с ЛС-линией обратной связи.

4. Способ проектирования ДВ-автогенераторов томсоновского типа и результаты анализа и моделирования процессов их синхронизации гармоническим сигналом.

5. Модель синхронизации системы «хшцник-жертва» в дискретном времени.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на

- VI, VII, IX Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 2007 г.; г. Самара, 2008 г.; г. Челябинск, 2010 г);

VIII Международной научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники и связи» (г. Иркутск, 2009 г.);

- XI региональной научной школе-семинар «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (г. Ульяновск, 2009 г.);

- IX международной школе-семинар «Хаотические автоколебания и формирование структур» (г. Саратов, 2010 г.);

- П Международной научно-технической конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 2010 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликованы 11 работ, в том числе 4 статьи (из них 3 - в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора наук) и 7 докладов и тезисов докладов научно-технических конференций и семинаров.

Личный вклад автора

Диссертант принимал непосредственное и равноправное участие в постановке задач, построении аналитических и численных моделей, проведении расчетов, обсуждении и физической интерпретации результатов.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников из 101 наименования. Объем диссертации - 138 страниц. Работа содержит 54 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования и ее практическая значимость, проведен обзор литературы по теме диссертации, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена разработке методов анализа процессов синхронизации на основе интегральных уравнений движения автоколебательных систем. В п. 1.1 проведена классификация интегральных уравнений, среди которых выделен тип, наиболее общий для большинства автогенераторов:

х(0 = '\hit-+ + (1)

Здесь ядро уравнения представляется в виде многочлена относительно (/ - /') и является импульсной характеристикой линейной системы. Данный класс интегральных уравнений является уравнениями Вольтерра второго рода относительно Функция /(х((),х(ф учитывает нелинейности активного элемента и положительную обратную связь в системе. Функция времени Х(1) - свободные колебания в контуре, зависящие от начальных условий, е(г) - внешнее воздействие.

В п. 1.2. исследован режим установившихся автоколебаний под внешним воздействием для интегральной модели автогенератора. Показано, как с помощью метода медленно меняющихся амплитуд от интегральных уравнений движения можно перейти к уравнению для комплексной амплитуды установившихся автоколебаний. Составлены обобщенные уравнения АЧХ и ФЧХ синхронных колебаний. В п. 1.3 проведено исследование областей устойчивости установившихся режимов синхронных колебаний. Для этого введено малое возмущение комплексной амплитуды внешнего воздействия и определена системная функция линейного преобразования возмущений комплексной амплитуды сигнала синхронизации в возмущения комплексной амплитуды синхронных колебаний в матричной форме. Путем исследования положения полюсов системной функции получены условия устойчивости синхронных колебаний.

Сравнение результатов анализа процессов синхронизации с помощью интегральных моделей автоколебательных систем с известными результатами, полученными в рамках дифференциальных моделей, проведено в п. 1.4 на примере осциллятора Ван дер Поля. В п. 1.4.1 построены АЧХ и ФЧХ для интегральной модели Ван дер Поля, исследованы области устойчивости установившихся синхронных колебаний. В п. 1.4.2 проведено сравнение полученных результатов из п. 1.4.1 с результатами для дифференциальной модели Ван дер Поля.

В заключение первой главы проведен анализ ЛС-генераторов с сосредоточенными параметрами, в качестве активного элемента которых использован операционный усилитель с кубической передаточной характеристикой. На основе их интегральной модели построены АЧХ и ФЧХ синхронных установившихся колебаний, исследованы области устойчивости. В п. 1.5 рассмотрен RC-генератор с интегрирующей цепью обратной связи. Еще одна схема ЛС-генератора с дифференцирующей цепью обратной связи исследована в п. 1.6. На рис. 1 представлено семейство АЧХ, построенных в квазигармоническом приближении для случая синхронных установившихся колебаний в RC-генераторе с коэффициентом усиления активного элемента К0 = 40 и значением нормированных амплитуд внешнего воздействия Ех =1.0, Ег =0.5, Еъ =0.25 и Е4 =0.075 (нумерация индексов соответствует нумерации кривых на рисунке). Границы областей устойчивости показаны кривыми I и П. Устойчивыми являются те участки АЧХ, которые лежат вне области, ограниченной линией I, и выше линии П. Для оценки точности результатов проведено численное решение ИУД и дано сравнение численных и приближенных аналитических результатов.

Во второй главе диссертации разработаны интегральные модели ряда автогенераторов с распределенными колебательными системами, общая схема которых приведена на рис. 2, и проведен их анализ. В качестве цепи обратной связи в рассмотренных автогенераторах использована RC-линия.

В п. 2.1 составлено интегральное уравнение движения для данного типа автогенераторов, получены алгебраические уравнения для АЧХ и ФЧХ установившихся синхронных колебаний и границ областей устойчивости. рис 2. В п. 2.2 рассмотрен

автогенератор с кубической передаточной характеристикой операционного усилителя. Для данного типа

Рис. 3.

генератора семейство АЧХ изображено на рис. 3. Коэффициент усиления взят со значением К0 =15. Кривая 1 отвечает нормированной амплитуде внешнего воздействия Е = 0.03, кривая 2 - Е = 0.08, кривая 3 - Е = 0.15.

На рисунке устойчивыми являются участки АЧХ, которые лежат вне области, ограниченной линией I, и выше линии П.

Приближенные аналитические результаты в п. 2.2 сопоставлены с результатами численного эксперимента, проведенного на основе интегральной модели автогенератора с ЛС-линией обратной связи. При обработке результатов численного эксперимента использованы методы теории аналитического сигнала и частотной фильтрации и помощью преобразования Фурье.

Автогенераторы с релейной и кусочно-линейной передаточными характеристиками операционных усилителей рассмотрены в п. 2.3 и п. 2.4.

В третьей главе предложен вариант решения задачи проектирования автогенератора, функционирующего в дискретном времени (ДВ-автогенератора) и находящегося под действием внешнего дискретного гармонического сигнала. Теория нелинейных динамических ДВ-систем в настоящее время находится на начальном этапе своего развития, и одно из ее центральных мест занимают ДВ-автогенераторы. Практический интерес представляют методы проектирования (синтеза) нелинейных ДВ-систем, позволяющие воспроизводить в дискретном времени характеристики колебаний, наблюдаемых в аналоговой системе-прототипе. Для решения задачи проектирования ДВ-автогенератора в п. 3.1.2 в качестве аналоговой модели-прототипа использована интегральная модель осциллятора Ван дер Поля. Принцип инвариантности импульсной характеристики линейного колебательного контура автогенератора по отношению к дискретизации времени применен к преобразованию ИУД НВ-системы в уравнение движения ДВ-автогенератора в рекурсивной форме:

у[п] = аху{п-\] + а2у[п-2} + ^

+ -у\п-1 ])(Я« -1] - у[п - 2]) + е[п -1].

Здесь е[п\ - дискретный сигнал синхронизации, у - параметр глубины положительной обратной связи, а параметры а, и а2 связаны с собственной частотой Q„ (измеряется в единицах частоты дискретизации) и добротностью Q осциллятора Ван дер Поля в непрерывном времени соотношениями

а, = 2а0со&(27£10), а2 =-а0, а0 = ехр(-яПо0~ ).

В п. 3.1.3 получены АЧХ и ФЧХ стационарного режима синхронных колебаний, поддерживаемого внешним аддитивным воздействием

Рис. 4 Рис. 5

дискретного гармонического сигнала. Результаты расчета амплитуды для осциллятора с параметрами П0 = 0.2, <2 = 30 и у = 0.062 представлены на рис. 4. Кривая 1 отвечает амплитуде внешнего воздействия Е =0.468, кривая 2 - £=0.234 и кривая 3 - £=0.029. Соответствующие фазочастотные характеристики показаны на рис. 5. Вид данных АЧХ и ФЧХ типичен для неизохронных автогенераторов, в частности, автогенераторов с запаздывающей обратной связью.

В п. 3.1.4 метод медленно меняющихся амплитуд, широко применяемый для анализа нелинейных систем в непрерывном времени, распространен на неавтономные ДВ-системы. Получено укороченное уравнение для комплексной амплитуды автоколебаний, позволяющее исследовать переходные процессы в синхронизируемом ДВ-автогенераторе:

А[п] = А[п-1] +

1 г г/ —1 / *7ч 1117МЛГ- 11 №

2щг)

(3)

21т(г)

-К-1

частотная внешнего

где 2 = ехр( , Н{2) =(2-2а0со5(2яа0) + а£г~1) характеристики линейного ДВ-осциллятора, Е - амплитуда воздействия, С(|/1|,7) - средняя крутизна нелинейности автогенератора (2).

С помощью укороченного уравнения (3) в п. 3.1.5 проведено моделирование процессов установления синхронных колебаний и исследование их устойчивости, выделены области захвата и удержания синхронного режима. Динамику амплитуды автоколебаний внутри области захвата частоты и на ее границах иллюстрирует рис. 6. На нем представлены временные зависимости амплитуды автоколебаний, возбуждаемых от начального значения с;[0] = 0,02, при воздействии сигналов синхронизации с

амплитудой £ = 0,012 и частотами П, =0,287, 03 =0.292 и П, =0,281 (кривые 1, 2 и 3). Как видно из графиков, процесс установления амплитуды синхронных колебаний не является монотонным, в отличие от аналогичного

процесса в автономном генераторе. Форма биений вблизи границ области захвата может быть далека от гармонической (кривая 2).

В п. 3.2 описаны результаты численного эксперимента по синхронизации ДВ-

а[п] 3 i

/з \ i

и 1 /х/2 ; ; п

301] 400

Рис. 6

автогенератора заданного системой уравнений состояния вида

у[п] = 2 cos(2;rQ0)«(/[« -1 ])у[п -1] - а2 (/[и -1 ])у[п - 2] + е[п -1], /[л] = ехр(-2т£2с)/[и -1] + 2лС1су2 [и], (4)

где Пе - частота среза ФНЧ квадратичного детектора огибающей. Результаты позволяют сделать вывод о том, что его характеристики ДВ-автогенератора (4) воспроизводят в дискретном времени характеристики аналогового генератора с инерционной нелинейностью. В частности, при определенных условиях вблизи границы области синхронизации наблюдается «пичковый» режим биений.

Отличительной особенностью автоколебаний в дискретном времени является наличие неустранимой подмены частот в их спектре. На рис. 7 показан амплитудный спектр свободных автоколебаний ДВ-автогенератора с параметрами

ß = 20, у = 1.0,

П0 =0.21, =0.05. Символами gl, g3 и g5 обозначены соответ-

Рис. 7.

А(П)

ственно первая, третья и пятая гармоники.

При приближении частоты настройки генератора к значению П0 = 0.25 спектральные линии гармоник сближаются. При этом процесс взаимодействия первой и третьей гармоник по внешним проявлениям идентичен процессу захвата частоты и его можно назвать «самосинхронизацией».

024 0245 0.23 0-255 0.26

024 0245 0 25 0 255 0 26

Рис. 8. Рис. 9.

На рис. 8 и рис. 9 показаны изменения амплитуды Аа и частоты Оа ДВ-автогенератора при квазистатической перестройке частоты П0 в диапазоне 0.23 < П0 < 0.27. Сопоставление этих графиков с зависимостями А„ - Аа (Д,) и Па = П„(01), где О, - частота синхросигнала в полосах захвата служит подтверждением тезиса о самосинхронизации.

Четвертая глава расширяет области применения методов синтеза и анализа ДВ-систем, рассмотренных в третьей главе, на биологические осцилляторы. В п. 4.1 дана краткая историческая справка развития популяционных моделей, проведена классификация дискретных моделей для разных случаев описания поведения биологических систем. П. 4.2 диссертации посвящен разработке автоколебательных моделей и моделированию синхронизированных колебаний в системе с элементами, взаимодействующими по схеме «хищник-жертва». Исходная модель Вольтерра с запаздыванием (модификация Вангерски - Каннингема) для относительных отклонений численностей видов от их стационарных значений в п. 4.2 приведена к форме

сН

¿ь. л

(5)

Здесь V,, у2 и /л - параметры модели, а функции

№,У1,Уг) = ~У\У1 (О У 2 (0 - (0>

/г С, У1> У 2) = у2 [(1 - ц / V, )у1 (г) + у2(') + у, (0У2 (01

учитывают нелинейности системы и наличие в ней запаздывающей обратной связи, которая при определенных условиях приводит к возбуждению автоколебаний.

Выделенная в (5) линейная диссипативная подсистема, в отсутствие обратной связи, релаксирует к устойчивому нулевому состоянию. Ее импульсная характеристика Ь(/) использована для формирования системы ИУД в виде двух нелинейных уравнений Вольтерра второго рода, которая затем методом импульсной инвариантности преобразована в систему разностных уравнений для выборочных значений у[п] = у (пА):

уГ И=«,"'№-И+СТМ+СФО.

у?>] = ¿Гу'Лп -1] + - 2] + ЬГ/2[п -1 - И,у],

>',["]=«,'22,>'Л"-1]+^22721«-т,у].

При этом предполагается, что интервал дискретизации А составляет целую часть времени запаздывания: т = тА. Коэффициенты в уравнениях (6) определяются через полюсы системной функции порождающей линейной подсистемы.

На основе полученных уравнений движения быД проведен математический эксперимент с целью анализа синхронизации в дискретной системе «хищник-жертва». Для эксперимента были выбраны следующие значения параметров модели: цг = 0,005, V, г = 0.5, у7т - 0.1.

На рис. 10 и рис. 11 приведены экспериментальные данные для АЧХ в областях захвата и удержания соответственно. Точка на графике соответствует режиму свободных автоколебаний. АЧХ имеют вид, типичный для автоколебательных систем с мягкой неизохронностью.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен оригинальный метод анализа и моделирования процессов фазовой синхронизации дискретно-распределенных автоколебательных систем. Метод основан на интегральных уравнениях движения и позволяет с единых позиций анализировать различные схемы АКС.

2. Разработана, алгоритмически и программно реализована схема численного эксперимента по исследованию частотных характеристик синхронизированных АКС.

3. Разработана интегральная модель синхронизированного генератора с .КС-линией в цепи обратной связи. Методами численного анализа и численного эксперимента установлено, что данная АКС имеет частотные характеристики синхронизации асимметричные относительно частоты автономных автоколебаний.

4. Предложен новый способ использования принципа импульсной инвариантности для решения задачи проектирования ДВ-автогенераторов.

5. Метод медленно меняющихся амплитуд теории нелинейных колебаний распространен на неавтономные нелинейные динамические системы в дискретном времени.

6. Исследованы частотные характеристики синхронизации ДВ-автогенераторов томсоновского типа. Показано, что подмена частот гармоник автоколебаний в дискретном времени является причиной эффекта самосинхронизации автогенераторов.

7. Предложена дискретная модель для исследования колебательных процессов в системе «хищник-жертва» с внешним периодическим воздействием.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Никулин В.В. Фазовая синхронизация ДВ-автогенератора и динамический алгоритм частотного детектирования // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов VI Международной НТК. - Казань, 2007. - С. 47.

2. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Яровой Г.П. Синхронизация распределенного RC-генератора // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов VII Международной НТК. - Самара, 2008. -С. 103-104.

3. Агибалов СЛ., Зайцев В.В., Яровой ГЛ. Синхронизация автоколебательных систем с диффузионными связями // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2008. - Вып. 6.-С. 341-351.

4. Агибалов СЛ. Интегральная модель синхронизированного генератора с мостом Вина // Современные проблемы радиоэлектроники и связи: тезисы докладов VIII Международной НТК. - Иркутск, 2009. - С. 5052.

5. Агибалов С.А., Хлопков П.С. Модель синхронизации твердотельных автогенераторов с микрополосковыми резонаторами // Актуальные проблемы физической и функциональной электроники: тезисы докладов XI региональной научной школы-семинар. - Ульяновск, 2009. -С. 62.

6. Агибалов СЛ., Зайцев В.В., Яровой Г.П. Синхронизация автогенератора с КС-линией в цепи обратной связи // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2009. - Т. 12. - № 1. - С. 3943.

7. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Карлов А.В. (мл) Моделирование процесс-сов установления режима синхронизации ДВ-осциллятора // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2010. - Вып. 2. - С. 129-137.

8. Агибалов С.А., Зайцев В.В. Фазовая синхронизация томсоновского ДВ-автогенератора // Хаотические автоколебания и формирование структур: тезисы докладов IX международной школы-семинара. -Саратов, 2010. С. 60-61.

9. Агибалов С .А., Зайцев В.В. О синхронизации вольтерровых циклов // Математическая физика и ее приложения: тезисы докладов П Международной НТК. - Самара, 2010. - С. 122.

10. Агибалов СЛ., Карлов А.В. (мл) О синхронизации биологических осцилляторов // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов IX Международной НТК. - Челябинск, 2010.-С.241.

11. Агибалов СЛ., Зайцев В.В., Карлов А.В. (мл) Синхронизация ДВ-осциллятора Ван дер Поля внешним гармоническим сигналом // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2010. - Т. 13. -№ 4.-С. 39-45.

Подписано в печать 03.02.2011 г. Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Усл.-печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,91. Тираж 100 экз. Заказ № 1970 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.

Отпечатано УОП СамГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Агибалов, Сергей Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СИНХРОНИЗАЦИИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Интегральное уравнение движения синхронизированных автоколебательных систем с одной степенью свободы.

1.2. Исследование режима установившихся автоколебаний под внешним воздействием.

1.3. Исследование устойчивости режима синхронных колебаний.

1.4. Синхронизация модели осциллятора Ван дер Поля.

1.4.1. Интегральная модель.

1.4.2. Дифференциальная модель.

1.5. Синхронизация ЯС-генератора с интегрирующей цепью обратной связи

1.5.1. Модель генератора.

1.5.2. Анализ режима синхронизации.

1.5.3. Устойчивость режима синхронных колебаний.

1.5.4. Численное моделирование динамики процессов синхронизации

1.6. Синхронизация ЯС-генератора с дифференцирующей цепью обратной связи.

1.6.1. Модель генератора.

1.6.2. Анализ установившегося режима синхронных колебаний

1.6.3. Устойчивость режима синхронных колебаний.

ГЛАВА 2 АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СИНХРОНИЗАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Интегральное уравнение движения автогенератора с ЯС-линией.

2.2. Анализ режима синхронизации для автогенератора с кубической передаточной функцией операционного усилителя.

2.3. Анализ режима синхронизации для автогенератора с релейной передаточной функцией операционного усилителя.

2.4. Анализ режима синхронизации для автогенератора с линейной кусочно-непрерывной передаточной функцией операционного усилителя.

ГЛАВА 3 ФАЗОВАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ АВТОГЕНЕРАТОРОВ.

3.1. Синхронизация ДВ-осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом.

3.1.1. Введение.

3.1.2. Проектирование ДВ-осциллятора Ван дер Поля.

3.1.3. Характеристики стационарного режима синхронных колебаний

3.1.4. Переходные процессы в ДВ-автогенераторе.

3.1.5. Устойчивость синхронных колебаний.

3.1.6. Моделирование процессов установления режима синхронизации ДВ-осциллятора.

3.2. Синхронизация томсоновского ДВ-осциллятора.

3.2.1. Томсоновский автогенератор в дискретном времени.

3.2.2. Синхронизация автогенератора внешним гармоническим сигналом.

3.2.3. Эффект самосинхронизации ДВ-автогенератора.

3.2.4. Синхронизация и самосинхронизации ДВ-автогенератора.

ГЛАВА 4 ДИСКРЕТНАЯ ВО ВРЕМЕНИ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССОВ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ АВТОКОЛЕБАНИЙ БИОЛОГИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА.

4.1. ДВ-осцилляторы в моделях математической биологии.

4.1.1. Введение.

4.1.2. Дискретные популяционные модели.

4.1.3. Дискретные модели логистического типа.

4.1.4. Модель I.

4.1.5. Модель II.

4.1.6. Модель III.

4.1.7. Модель IV.

4.2. ДВ-модель процессов синхронизации в системе «хищник-жертва».

4.2.1. Явление синхронизации стохастических автоколебательных систем.

4.2.2. Дискретные модели с запаздыванием.

4.2.3. Дискретные модели роста взаимодействующих популяций

4.2.4. Дифференциальная модель системы «хищник-жертва».

4.2.5. Уравнения движения системы «хищник-жертва» в дискретном времени.

4.2.6. Численный эксперимент.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

Введение диссертация по физике, на тему "Интегральные и дискретные модели процессов фазовой синхронизации автоколебательных систем"

1.1. Актуальность работы

Основы представлений об автоколебательных системах, как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, были сформулированы академиком A.A. Андроновым [1-3] в первой трети XX века. С тех пор автоколебательные системы и модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Например, представления об автоколебаниях широко используются в моделях химических реакций [4], биологических систем [5, 6], механических конструкций [7].

Но наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.

Синхронизация - универсальное явление, характерное для всех без исключения автоколебательных систем. В рамках классической теории различают вынужденную синхронизацию, то есть синхронизацию автоколебаний внешним сигналом, и взаимную синхронизацию, наблюдающуюся при взаимодействии двух автоколебательных систем. В обоих случаях проявляются одни и те же эффекты, связанные с двумя классическими механизмами синхронизации: захватом собственных частот (и соответственно фаз) колебаний или же подавлением одной из двух независимых частот.

Не так давно было обнаружено, что явление, подобное синхронизации, можно наблюдать в классе колебательных систем, не являющихся, строго говоря, автогенераторами. Речь идет о так называемых стохастических осцилляторах — нелинейных диссипативных системах, в которых колебания возникают под действием шума. Различают два типа стохастических осцилляторов: возбудимые осцилляторы и бистабильные осцилляторы. Для возбудимых систем характерна генерация импульсов в условиях, когда сигнал внешнего воздействия превышает некоторый пороговый уровень. В результате действия шума такая система, представляющая собой случайную последовательность импульсов, совершает стохастические колебания. Бистабильный стохастический осциллятор — это нелинейная система с двумя устойчивыми состояниями. Присутствие шума приводит к случайным переключениям состояний из одного состояния в другое.

Это - синхронное изменение клеточных ядер, синхронная генерация потенциалов действия нейтронами, различные формы коллективного поведения насекомых, животных (к примеру, «система хищник-жертва») и, даже, человеческих обществ. Данные объекты, как правило, не отделены от своего окружения, а, наоборот, взаимодействуют с другими объектами, то есть являются открытыми системами. И порой очень трудно охарактеризовать подобную систему как автоколебательную. Явление синхронизации может оказаться определяющим фактором в определении данных систем. Как правило, взаимодействие открытых систем с другими объектами очень слабое, едва заметное, но, тем не менее, оно приводит к качественному изменению состояния: объект подстраивает свой ритм, согласуя его с ритмами других объектов.

В радиофизике было введено в рассмотрение и подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нелинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, в том числе и синхронизация, определены способы их практического использования.

Одна из первых математических моделей автоколебательной системы с одной степенью свободы, получивших широкую известность среди радиофизиков как осциллятор Ван дер Поля, описана в работе [8]. Б. Ван дер Поль предложил также приближенный аналитический метод решения нелинейного дифференциального уравнения движения автогенератора, дающий адекватное описание динамики высокодобротных и слабо нелинейных автоколебательных систем — систем томсоновского типа [9]. Для исследования периодических режимов томсоновских автоколебательных систем успешно применялись также методы возмущений Ляпунова-Пуанкаре [2, 10]. В дальнейшем наиболее полное развитие приближенные методы анализа нелинейных колебаний получили в работах научных школ Л.И.Мандельштама [11], Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова,

Ю.Н. Митропольского [12,13] и других исследователей [14,15]. Были разработаны асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения Боголюбова—Митропольского, имеющие строгое математическое обоснование и позволяющие получать приближенные решения уравнений движения автоколебательных систем различных порядков по параметру нелинейности.

Первый порядок метода усреднения и его разновидность - метод медленно меняющихся амплитуд (метод ММА) - получили широкое распространение в инженерной практике [16]. На основе метода усреднения С.М. Рытовым [17], А.Н.Малаховым [18], Р.Л. Стратановичем [19] была построена теория флуктуаций в автоколебательных системах.

Асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения широко используются при анализе автоколебательных систем со многими степенями свободы [20] и распределенных автоколебательных систем [21,22]. Проведено их обобщение на автоколебательные системы с запаздывающими связями [23, 24].

Использование асимптотических методов теории нелинейных колебаний позволяет понизить порядок дифференциальной модели, сводя задачу анализа к решению системы укороченных уравнений для амплитуд и фаз автоколебаний. При этом решение укороченных уравнений, как правило, проводится численными методами [25, 26]. Численные методы можно использовать и для выполнения процедуры неявного формирования системы укороченных уравнений (см., например, [27-29]).

Вместе с тем среди автоколебательных систем можно выделить системы дискретного и дискретно-распределенного типов. В них локализованный в пространстве (дискретный) активный элемент взаимодействует либо с сосредоточенной колебательной системой, либо с распределенным резонатором. В любом из указанных автогенераторов линейная колебательная система или цепь обратной связи по отношению к точкам включения нелинейного активного элемента может быть описана импульсной характеристикой [30]. При надлежащем выборе ее физической размерности, т.е. переменных «вход—выход» резонатора, для самосогласованной системы «активный элемент—резонатор» можно записать нелинейное интегральное уравнение движения, относящееся к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода [31]. Такие интегральные модели не получили заметного распространения в теории автоколебательных систем. По-видимому, это обусловлено с тем, что нелинейные уравнения движения, как дифференциальные, так и интегральные, не имеют точных аналитических решений, а приближенные и численные решения традиционно строятся для дифференциальных моделей. В связи с интегральными моделями можно лишь отметить публикации, в которых линейные флуктуационные интегральные уравнения используются при анализе фазовых шумов радиочастотных автогенераторов [32] и полупроводниковых инжекционных лазеров [33, 34].

Между тем, в статье [35] и диссертации [38] показано, что интегральные модели автоколебательных систем позволяют синтезировать дискретные во 8 времени автогенераторы — алгоритмы генерации дискретных сигналов. Такие автогенераторы (алгоритмы) можно использовать для обработки цифровых сигналов [36] и защиты информации от несанкционированного доступа [37].

Следует также отметить, что на уровне физических представлений о процессах генерации автоколебаний существуют две обобщенные структурные схемы автогенератора. Одна из них - это колебательный контур с внешним отрицательным затуханием, другая — усилитель с положительной обратной связью. И если дифференциальная форма уравнений движения является адекватным описанием первой структуры, то интегральная модель полностью соответствует структуре «усилитель плюс обратная связь».

Таким образом, разработка и анализ моделей автоколебательных систем с дискретными [39] и дискретно-распределенными параметрами [40], основанных на интегральных уравнениях движения, является актуальной задачей радиофизической теории колебаний, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение.

1.2. Цель работы

1.3. Методы исследования

Работа выполнена на основе методов теории нелинейных колебаний, математического моделирования, теории радиотехнических сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов.

Численные результаты получены на основе алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических вычислений. Научная новизна диссертационной работы заключается:

- в методе моделирования синхронизации автоколебательных систем с сосредоточенными активными элементами, основанном на интегральных уравнениях движения систем;

- в распространении метода медленно меняющихся амплитуд теории нелинейных колебаний на неавтономные автоколебательные системы, функционирующие в дискретном времени;

- в новых математических моделях синхронизированных автогенераторов с сосредоточенными и распределенными ЛС-цепями обратных связей;

- в методике и результатах численного моделирования ряда автоколебательных систем.

1.4. Практическая значимость работы

Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа и моделирования автоколебаний могут найти применение при решении задач проектирования радиочастотных генераторов, аналоговых и цифровых устройств обработки сигналов, прогнозирования процессов развития систем различной физической природы, в учебном процессе высших учебных заведений.

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается:

- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа автоколебательных систем;

- хорошей согласованностью приближенных аналитических результатов и результатов численного эксперимента;

- соответствием результатов проведенного анализа и моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

- соответствием основных результатов численного анализа и моделирования общим физическим закономерностям.

1.5. Положения, выносимые на защиту

2. Интегральные модели синхронизированных автогенераторов с дискретными и распределенными 7?С-цепями обратной связи.

3. Результаты анализа частотных характеристик синхронизации автогенератора с .КС-линией обратной связи.

5. Модель синхронизации системы «хищник—жертва» в дискретном времени.

1.6. Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на

- VIII Международной научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники и связи» (г. Иркутск, 2009 г.);

- XI региональной научной школе-семинар «Актуальные , проблемы физической и функциональной электроники» (г. Ульяновск, 2009 г.);

- IX международной школе-семинар «Хаотические автоколебания и. формирование структур» (г. Саратов, 2010 г.);

- II Международной научно-технической конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 2010 г.).

1.7. Публикации

По материалам диссертации опубликованы 11 работ, в том числе 4 статьи (из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора наук) и 7 докладов и тезисов докладов научно-технических конференций и семинаров.

1.8. Содержание работы

Первая глава посвящена разработке методов анализа процессов синхронизации для интегральных моделей автоколебательных систем. В п. 1.1 проведена классификация интегральных уравнений, среди которых выделен тип, наиболее общий для большинства автогенераторов. В п. 1.2. исследован режим установившихся автоколебаний под внешним воздействием для интегральной модели автогенератора. Показано, как с помощью метода V медленно меняющихся амплитуд от интегральных уравнений движения можно перейти к уравнению для комплексной амплитуды установившихся автоколебаний. Составлены обобщенные уравнения АЧХ и ФЧХ синхронных колебаний.- В п. 1.3 проведено исследование областей устойчивости установившихся режимов синхронных колебаний. Для этого было введено малое возмущение комплексной амплитуды внешнего воздействия. Выведена системная функция линейного преобразования возмущений комплексной амплитуды сигнала синхронизации в возмущения комплексной амплитуды синхронных колебаний в матричной форме, из определителя которой были получены уравнения устойчивости, согласно критерию Рауса-Гурвица [41, 42].

Проверка методов анализа процессов синхронизации для интегральных моделей автоколебательных систем проведена в п. 1.4 на примере модели осциллятора Ван дер Поля. В п. 1.4.1 построены АЧХ и ФЧХ для интегральной модели Ван дер Поля, исследованы области устойчивости установившихся синхронных колебаний. В п. 1.4.2 проведено сравнение полученных результатов из п. 1.4.1 с результатами для дифференциальной модели Ван дер Поля.

В заключение первой главы проведены анализы РС-генераторов с сосредоточенными параметрами, в качестве активного элемента которых взят операционный усилитель с кубической передаточной характеристикой. На основе их интегральной модели построены АЧХ и ФЧХ синхронных установившихся колебаний, исследованы области устойчивости. В п. 1.5 рассмотрен Т^С-генератор с интегрирующей цепью обратной связи. Для оценки точности результатов проведено численное решение ИУД. Другой регенератор с дифференцирующей цепью обратной связи исследован в п. 1.6.

Во второй главе приведен результат анализа интегральных моделей ряда автогенераторов с распределенными колебательными системами. Построены АЧХ и ФЧХ синхронных установившихся колебаний, исследованы области устойчивости. В качестве обратной связи для данных автогенераторов выбрана /?С-линия. Соответственно интегральное уравнение для данного типа автогенераторов составлено в п. 2.1. В п. 2.2 рассмотрен автогенератор с кубической передаточной характеристикой операционного V усилителя. Проведен численный эксперимент на основе интегральной модели пространственно-распределенной колебательной системы, на основе которого подтверждена точность предложенных нами методов исследования. Случаи для релейной и кусочно-линейной передаточных характеристик операционного усилителя рассмотрены соответственно в п. 2.2 и п. 2.3. В третьей главе предлагается вариант решения задачи проектирования ДВ-автогенератора, находящегося под действием внешнего сигнала, и исследуется процесс фазовой синхронизации дискретного осциллятора Ван дер Поля. Теория нелинейных динамических ДВ-систем в настоящее время находится на начальном этапе своего развития, и одно из ее центральных мест занимают ДВ-автогенераторы. Практический интерес представляют методы проектирования (синтеза) нелинейных ДВ-систем, позволяющие

13 воспроизводить в дискретном времени характеристики колебаний, наблюдаемых в аналоговой системе-прототипе. Один из таких методов, основанный на принципе инвариантности импульсной характеристики резонансной цепи аналоговой системы по отношению к дискретизации времени, был описан в статьях [35, 43]. Для решения задачи проектирования ДВ-автогенератора в п. 3.1.2 в качестве аналоговой модели-прототипа был взят осциллятор Ван дер Поля. Действуя в рамках метода импульсной инвариантности, было получено уравнение движения ДВ-автогенератора Ван дер Поля в рекурсивной форме. В п. 3.1.3 были получены АЧХ и ФЧХ стационарного режима синхронных колебаний, поддерживаемого внешним аддитивным воздействием дискретного гармонического сигнала.

Исходя из результатов, полученных в работе [45], для исследования процессов установления синхронных колебаний ДВ-осциллятора и их устойчивости проведено обобщение метода медленно меняющихся амплитуд (ММА) на осцилляторы, находящиеся под действием внешнего гармонического сигнала [44], на основании чего в п. 3.1.4 было получено укороченное уравнение, позволяющее исследовать переходные процессы в синхронизируемом ДВ-осцилляторе. В п. 3.1.5 с помощью укороченного уравнения было проведено исследование устойчивости установившегося режима синхронных колебаний. С помощью полученного укороченного уравнения в п. 3.1.6 было проведено моделирование автоколебаний в ДВ-осцилляторе Ван дер Поля, выделены области захвата и удержания в режиме синхронизации.

В п. 3.2 был синтезирован обобщенный ДВ-автогенератор томсоновского типа, рассмотрена фазовая синхронизация гармоническим сигналом. Был выделен эффект самосинхронизации как следствие взаимодействия основной гармоники и гармоники, возникшей в результате характерного для ДВ-автогенераторов эффекта подмены частот.

Заключительная четвертая глава расширяет методы синтеза и анализа ДВ-систем, рассмотренные в третьей главе, на биологические осцилляторы. В п. 4.1 дана краткая историческая справка развития популяционных моделей, проведена классификация дискретных моделей для разных случаев описания поведения биологических систем. Особое внимание в данной главе уделено рассмотрению модели биологической системы типа «хищник-жертва», для которой в п. 4.2 строится имитационная дискретная модель с запаздыванием, основанная на уравнениях движения в дискретном времени. На основе полученных уравнений движения проводится математический эксперимент с целью анализа синхронизации в дискретной системе «хищник-жертва». Выделяются области захвата и удержания, исследуются области биений.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

3. Разработана интегральная модель синхронизированного генератора с ЯС-линией в цепи обратной связи. Методами численного анализа и численного эксперимента установлено, что данная АКС имеет частотные характеристики синхронизации автогенератора с мягкой неизохронностью.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Агибалов, Сергей Александрович, Самара

1. Андронов А.А. Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний (доклад на съезде русских физиков, 1928 г.) // Собр. трудов А.А. Андронова. М.: Изд. АН СССР, 1956.

2. Андронов А.А., Витт А.А. , Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959.-916 с.

3. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. 2-е изд. - М.: Физматгиз, 1959. - 572 с.

4. Эбелинг Э. Образование структур при необратимых процессах. — М.: Мир, 1976.-280 с.

5. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. М.: Институт компьютерных исследований, 2003. - 368 с.

6. Романовский Ю.М., Степанова Н.Д., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. 2-е изд. М.-Ижевск: РХД, 2004. - 472 с.

7. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. — М.: Наука, 1972. — 432 с.

8. Van der Pol В. The Nonlinear Theory of Electric Oscillations // Proc. IRE. V. 22. -№9.-P. 1051 -1086.

9. Мигулин B.B., Медведев В.И., Мустель E.P., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. 2-е изд. - М.: Наука, 1988. - 392 с.

10. Найфе А. Введение в методы возмущений. — М.: Мир, 1984. — 536 с.

11. Мандельштам JI.И. Полное собрание сочинений. Т. 2. - Л.: Изд. АН СССР, 1947.-396 с.

12. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — 4-е изд. — М.: Наука, 1974. 504 с.

13. Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику / Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов. Киев: Изд. АН УССР, 1937. - 364 с.

14. Волосов В.М. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем / В.М. Волосов, Б.И. Моргунов. -М.: Изд. МГУ, 1971. 508 с.

15. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981.-400 с.

16. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. -М.: Наука, 1984,-320 с.

17. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. — М.: Наука, 1966. -404 с.

18. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968. — 660 с.

19. Стратанович P.JI. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. — М.: Сов. радио, 1961. 560 с.

20. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. -М.: Наука, 1980.-360 с.

21. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. — М.: Наука, 1983. 320 с.

22. Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. М.: Сов. радио, 1978. - 272 с

23. Митропольский Ю.А. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. Киев: Вища школа, 1979.-248 с.

24. РубаникВ.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969.-288 с.

25. Арушанян О.Б. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране / О.Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин. М.: Изд. МГУ, 1990. -336 с.

26. ОртегаДж., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Дж. Ортега, У. Пулл. М.: Наука, 1986. - 288 с.

27. Зайцев В.В. Метод ММА в численных моделях автоколебательных систем / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, A.B. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2004. Т. 7. - № 2. - С. 5-12.

28. Зайцев B.B. Численная реализация метода ММА и цифровая фильтрация сигналов / В.В.Зайцев, О.В.Зайцев, А.В.Никулин, Г.П.Яровой // Вестник СамГУ, 2004.-№2(32).-С. 120-130.

29. Зайцев В.В. Моделирование полигармонических автоколебаний методом ММА / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2004. — Т. 7. № 3. - С. 31-34.

30. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. — 3-е изд. — М.: Высшая школа, 2005. 462 с.

31. ВольтерраВ. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1982. 304 с.

32. ЖалудВ. Шумы в полупроводниковых устройствах / В. Жалуд, В.Н. Кулешов. -М.: Сов. радио, 1977.-416 с.

33. Yamamoto Y. Theory of a negative frequency feedback semiconductor laser / Y. Yamamoto, O. Nilsson, S. Saito // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1985. -V. 21.-№12.-P. 1919-1928.

34. Ямамото E. Модуляция частоты и частотный шум в полупроводниковых лазерах // В кн.: Физика полупроводниковых лазеров / Под ред. X. Такумы. — М.: Мир, 1989.-310 с.

35. Зайцев В.В., Давыденко С.В., Зайцев О.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. — Т.З. N2. — С. 64-67.

36. Зайцев В.В., Зайцев О.В. Детектор ЧМ-сигнала на основе кольца фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2005. — Т. 8. — № 1. — С. 82-84.

37. Зайцев В.В. Скрытая передача информации на основе хаотических автоколебаний дискретного осциллятора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2007. Т. 10. № 1. С. 132-135.

38. Зайцев O.B. Синтез и моделирование дискретных автогенераторов и нелинейных резонансных систем: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Самара: СамГУ, 2006.- 194 с.

39. Агибалов С.А. Интегральная модель синхронизированного генератора с мостом Вина // Современные проблемы радиоэлектроники и связи: тезисы докладов VIII Международной НТК. Иркутск, 2009. - С. 50-52.

40. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. 223 с.

41. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 272 с.

42. Зайцев В.В. ДВ-осцилляторы, порождаемые томсоновскими автоколебательными системами / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, A.B. Карлов, A.B. Карлов (мл)// Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2008. -Т. 11.-№4.-С. 98-103.

43. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Карлов A.B. (мл). Моделирование процессов установления синхронизации ДВ-осциллятора. Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010. Вып. 2. - С 129-137.

44. Агибалов С.А., Зайцев В.В. Фазовая синхронизация Томсоновского ДВ-автогенератора // Хаотические автоколебания и формирование структур: тезисы докладов IX международной школы-семинар. Самара, 2010. - С. 60-61.

45. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, 2000. 560 с.

46. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. Изд. иностранной литературы, 1957г. -300с.

47. Hammerstein A. Nichtlineare integralgleichungen nebst an Wendungen. Springer Netherlands. Acta Mathematica. 1930. S.l 17-176

48. Никулин B.B. Численное моделирование автоколебательных систем на основе интегральных уравнений движения. — Самара 2008. 139 с.

49. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.-472 с.

50. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: — М.: Наука, 1989. 432 с.

51. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы 6-е изд. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. - 630 с.

52. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей. — М.: Радио и связь, 1982.-280 с.

53. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.:Мир, 1969. — 400 с.

54. Харкевич A.A. Основы радиотехники. 2-е изд. М.: Физматлит, 2007. - 512 с.

55. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. 2-е изд. — M.: URSS, 2010. 552 с.

56. Мюрей Дж. Математическая биология. Том I. М.-Ижевск: РХД, 2009. - 776 с.

57. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Стрелкова Г.И. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний. Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. - 144 с.

58. Кирьянов Д.В. Mathcad 12. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 576 с.

59. Бойко В.И. Схемотехника электронных систем. Аналоговые и импульсные устройства / В.И. Бойко, А.Н. Гуржий, В.Я. Жуйков и др. СПб: БХВ-Петербург, 2004. - 496 с.

60. Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники. 3-е изд. - М.: Радио и связь, 1990. — 512 с.

61. Михальченко В.Н. Операционные Усилители, М.: Радио и связь, 1993, - 240 с.

62. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. - 320 с.

63. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. М.: Техносфера, 2006. 856 с.

64. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

65. Кабанов Д.А. Функциональные устройства с распределенными пара-метрами: Основы теории и расчета / Д.А. Кабанов — М.: Сов. радио, 1979. — 336 с. — С. 7— 38.

66. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Яровой Г.П. Синхронизация распределенного RC-генератора // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов VII Международной НТК. Самара, 2008. - С. 103-104.

67. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Яровой Т.П. Синхронизация автоколебательных систем с диффузионными связями // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2008.-Вып. 6.-С. 341-351.

68. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Яровой Г.П. Синхронизация автогенератора с RC-линией в цепи обратной связи // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. - Т. 12. - № 1. — С. 39-43.

69. Шахтарин Б.И. Генераторы хаотических колебаний / Б.И. Шахтарин и др.. -М.: Гелиос АРВ, 2007. 248 с.

70. Берестнев Д.П. Дискретные сигналы и системы / Д.П. Берестнев, В.В. Зайцев. — Самара: Изд. СамГУ, 1996. 96 с.

71. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин В.В. Интегральные модели автоколебательных систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. Т. 9. - № 1. - С. 53-57.

72. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин A.B. Исследование эффекта самосинхронизации дискретного осциллятора Ван дер Поля // II Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов: тез. докладов. Самара, 2003. С. 114-115.

73. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Яровой Г.П. Статистические оценки характеристик хаотических автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля // Физикаволновых процессов и радиотехнические системы. 2001. Т. 4. — № 1. — С. 18— 21.

74. Зайцев В.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В.В. Зайцев, СВ. Давыденко, О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2000. — Т. 3. — № 2. — С. 64-67.

75. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Никулин В.В. Фазовая синхронизация ДВ-автогенератора и динамический алгоритм частотного детектирования // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов VI Международной НТК. — Казань, 2007. С. 47.

76. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Карлов A.B. (мл) Синхронизация ДВ-осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2010. - Т. 13. - N 2.

77. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. - 496 с.

78. Бабский В.Г. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия / В.Г. Бабский, А.Д. Мышкис // В кн.: Мари Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983. - 400 с.

79. КолесовЮ.С. Математические модели экологии / Ю.С. Колесов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд. ЯрГУ, 1979. - С.3-40.

80. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.: Наука, 1991. - 304 с.

81. Белюстина Л.Н., КокинаГ.А. Качественное исследование уравнений фотосинтеза. // В сб. Колебательные процессы в биологических и химических системах. М.: Наука, 1967.

82. Чернавский Д.С., Чернавская Н.М. О колебаниях в темновых реакциях фотосинтеза. // В сб. Колебательные процессы в биологических и химических системах. М.: Наука, 1967.i136

83. АнищенкоВ.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. — 312 с.

84. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е.,. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.

85. Васильев В.А. Автоволновые процессы / В.А.Васильев, Ю.М.Романовский, В.Г. Яхно. М.: Наука, 1987. - 240 с.

86. ВольтерраВ. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.-288 с.

87. Фейгенбаум М. Универсальность поведения нелинейных систем. // Успехи физических наук. 1983. т.141. - №2. - С .343-374.

88. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. - 296 с.

89. Summers Danny. Chaos in periodically forced diserete- time ecosystem models// Chaos, Solitons & Fractals, November 2000. P. 2331-2342.

90. Мари Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии// Лекции о моделях: Пер. с англ. М: Мир, 1983. - 400 с.

91. Колмогоров А.Н. Качественное исследование математических моделей динамики популяций. // Пороблемы кибернетики, 1972. Вып.25. - С. 100-106

92. Алексеев В.В., Лоскутов А.Ю. О возможности управления системой со странным аттрактором. // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Т.5. - Л.: Гидрометеоиз-дат, 1985. - С. 175-189.

93. Алексеев В.В., Крышев И.И., Сазыкина Т.Г. Физическое и математическое моделирование экосистем. С-Пб.: НПО "Тайфун", 1992. 368 с.

94. Свирежев Ю. М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. -М., Наука, 1978 г.

95. Музычук О.В. Вероятностные характеристики системы «хищник-жертва» со случайно изменяющимися параметрами /О.В. Музучук // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т.5. - №2. - С.80-86f

96. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. -М.: Наука, 1985.- 181 с.

97. Зайцев В.В., Телегин С.С. Интегральная модель автоколебаний в системе «хищник-жертва»// Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2009. Т. 12. -№2.

98. Агибалов С.А., Зайцев В.В. О синхронизации биологических осцилляторов вольтеровских циклов // Математическая физика и ее приложения: тезисы докладов II Международной НТК. Самара, 2010. - С. 122.

99. Агибалов С.А., Зайцев В.В. О синхронизации биологических осцилляторов // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов IX Международной НТК. Челябинск, 2010. - С. 241.