Математические модели и численные алгоритмы анализа дискретно-распределенных автогенераторов и виброчастотных датчиков

Никулин, Андрей Валентинович

Математические модели и численные алгоритмы анализа дискретно-распределенных автогенераторов и виброчастотных датчиков тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Никулин, Андрей Валентинович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Математические модели и численные алгоритмы анализа дискретно-распределенных автогенераторов и виброчастотных датчиков»

Автореферат диссертации на тему "Математические модели и численные алгоритмы анализа дискретно-распределенных автогенераторов и виброчастотных датчиков"

На правах рукописи

НИКУЛИН Андрей Валентинович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА ДИСКРЕТНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ АВТОГЕНЕРАТОРОВ И ВИБРОЧАСТОТНЫХ ДАТЧИКОВ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 2005

Работа выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Зайцев Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Ивахник; кандидат физико-математических наук, доцент С.Ю. Медведев.

Ведущая организация:

Федеральное государственное унитарное предприятие «Самарский отраслевой научно-исследовательский институт радио»

Защита состоится « %» суг/улЛ^А 2005 г. в на заседании

диссертационного совета Д 219.003.01 в ГОУВПО «Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики» по адресу:

443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГАТИ Автореферат разослан «_!_]_» 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 219.003.01,

доктор технических наук

./Гг?^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Современная теория колебаний для приближенного анализа нелинейных моделей колебательных и автоколебательных систем имеет обширный набор асимптотических и родственных им методов. Результатом их применения в большинстве случаев является система так называемых укороченных уравнений для амплитуды и фазы (комплексной амплитуды) колебаний. Иногда укороченные уравнения удается решить аналитически. А так как укороченные уравнения не содержат быстрых осцилляций во времени, то и их численное интегрирование возможно при менее жестких требованиях к устойчивости метода, чем те, что необходимы для получения осциллирующих численных решений уравнения движения колебательных систем. Однако процедура получения приближенных укороченных уравнений из точного уравнения движения - весьма трудоемкий этап решения задачи даже тогда, когда речь идет о не слишком сложной модели нелинейности системы. Но, если не предполагается аналитического исследования укороченных уравнений, то их и необязательно записывать в аналитической форме. Для численного интегрирования системы укороченных уравнений достаточно иметь алгоритм расчета ее правых частей при всех допустимых значениях комплексной амплитуды. Таким образом, задача разработки численных алгоритмов формирования укороченных уравнений по уравнениям движения произвольного вида является актуальной задачей математического моделирования.

Мощный аппарат численных методов позволяет детально проанализировать характеристики автогенераторов дискретно-распределенного типа, имеющих сосредоточенные активные элементы и распределенные колебательные системы и цепи обратной связи. К их числу относятся автоколебательные частотные датчики, применяемые в сфере измерений различных физических величин, в частности, струнные автогенераторы, используемые для измерений ускорения, силы, давления.

Первые попытки использовать струнный метод в измерениях были предприняты еще в начале XX века. Но в практику измерений лишь 60-е годы. Наличие новых материалов для струн, например, нитевидных кристаллов полупроводников в настоящее время вновь обусловило возрастающий интерес к виброчастотным датчикам, поддерживаемый также успехами цифровой обработки сигналов.

Широкие возможности для преобразований сигналов и измерения их параметров предоставляют дискретные нелинейные колебательные и автоколебательные системы, функционирующие в дискретном времени (ДВ-системы). Актуальность исследования подобного рода динамических систем существенно возросла в связи с успехами цифровой электроники и микропроцессорной техники, однако и значительную часть реально существующих в естественных ^ ружающей среды

целесообразно исследовать в рамк х моделей. Тем не

менее, радиофизические методы анализа колебаний в нелинейных ДВ-системах получили к настоящему времени существенно меньшее развитие, чем методы исследования аналоговых систем.

Следует особо отметить, что имеющиеся к настоящему времени данные указывают на то, что нелинейная дискретная система может быть сравнительно легко переведена из динамического режима в режим хаотических колебаний или автоколебаний. При этом характеристики хаоса определяются динамикой системы, а не внешними шумовыми источниками с независимо заданной статистикой. Подход на основе представлений о динамическом хаосе обоснованно считается весьма плодотворным при вероятностной интерпретации многих явлений окружающей среды. Таким образом, специфика автоколебаний в ДВ-системах требует детального и систематического исследования радиофизическими методами.

Цель работы и задачи исследования

Целью настоящей работы является разработка математических моделей и численных алгоритмов анализа дискретно-распределенных автогенераторов и виброчастотных датчиков, включающая в себя решение следующих задач:

- разработка компьютерной версии метода ММА;

- разработка математических моделей струнного электромеханического резонатора и автогенератора на его основе, решение их численными и приближенными методами, сопоставление решений с данными эксперимента;

- разработка численных методов исследования дискретных и распределенных автогенераторов;

- исследование процесса синхронизации дискретного осциллятора гармоническим сигналом;

- разработка динамического алгоритма детектирования сигналов с угловой модуляцией на основе эффекта синхронизации дискретного автогенератора.

Методы исследования

Основу работы составляют методы теории колебаний и волн, методы математического моделирования, асимптотические методы теории нелинейных колебаний, численные методы теории динамических систем. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием математических пакетов.

Научная новизна работы определяется

- разработкой численного метода медленно меняющихся амплитуд и его применением для расчета характеристик автоколебательных систем;

- модификацией метода усреднения для дискретных автоколебательных систем и использованием его для расчета характеристик дискретных автогенераторов;

- методикой и результатами численного моделирования ряда автоколебательных систем с распределенными (волновыми) обратными связями;

- разработкой математической модели струнного автогенератора и модовым анализом автоколебаний;

- исследованием амплитудных и фазовых характеристик нелинейных колебаний струнного резонатора;

- исследованием эффекта синхронизации дискретного осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом;

- построением алгоритма частотного детектирования на основе эффекта синхронизации дискретного осциллятора.

Положения, выносимые на защиту

1. Численная реализация метода медленно меняющихся амплитуд.

2. Математическая модель автогенератора на основе струнного электромеханического резонатора, позволяющая выявить эффект стабилизации частоты, обусловленный взаимодействием мод и гармоник автоколебательной системы.

3. Амплитудные и фазовые характеристики нелинейных колебаний струнного резонатора - результаты моделирования и эксперимента.

4. Динамический и стохастический режимы синхронизации дискретного осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом.

5. Динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации ДВ-автогенератора.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

- использованием математически обоснованных численных методов решения рассматриваемых задач;

- количественной согласованностью результатов математического моделирования и натурного эксперимента;

- соответствием приведенных результатов численных расчетов их аналогам, полученным другими авторами;

- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Практическая ценность работы

1. Предложенные в диссертационной работе численные методы исследования автоколебаний могут найти применение при решении ряда прикладных задач:

- для анализа и оптимизации режимов колебаний радиочастотных автогенераторов;

- для анализа автоколебаний в дискретных автогенераторах и разработкой нелинейных алгоритмов цифровой фильтрации сигналов;

- для проектирования автоколебательных систем с распределенными (волновыми) обратными связями.

2. Математические модели струнного резонатора и автогенератора на его основе, а также результаты численного моделирования могут использоваться для дальнейшего повышения точности и совершенствования конструкции виброчастотных датчиков.

3. Дискретный осциллятор Ван дер Поля и динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации автогенератора целесообразно использовать для реализации быстродействующих цифровых систем частотного детектирования сигналов с угловой модуляцией, в том числе в составе цифровых устройств измерения физических величин на основе частотных датчиков.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на 1-1У международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г.Самара, 2001 г., 2003 г., г.Волгоград, 2004 г., г. Нижний Новгород, 2005 г.), IX Российской научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, ПГАТИ, 2002 г.), Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и студентов, посвященной 107 годовщине Дня радио (г. Красноярск, 2002 г.), Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2002» (г. Нижний Новгород, 2002 г.), 8-й Всероссийской научно-технической конференции «Методы и средства измерений физических величин» (г. Нижний Новгород, 2003 г.), конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 2005 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций на соискание степени докторов наук, и 10 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 96 наименований и содержит 140 страниц текста, в том числе 69 рисунков на 46 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования и ее практическая значимость, проведен обзор литературы по теме диссертации, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов,

представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе представлен ряд методов анализа автоколебательных систем. В параграфе 1.1 представлены классические методы медленно меняющихся амплитуд и метод усреднения, позволяющие получить укороченные уравнения для нахождения «медленно меняющихся» амплитуды и фазы колебаний квазилинейных квазиконсервативных систем.

В параграфе 1.2 разработана численная реализация метода ММА. Для этого на комплексное уравнение для амплитуды и фазы после стандартной замены переменных классического метода ММА подействуем оператором дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на временном отрезке, равном периоду колебаний Го, дискретизированному с периодом A = T0/N. Главным условием выбора временного отрезка является равенство нулю полной фазы колебаний в его начале. В результате получается система т.н. «укороченных» уравнений для амплитуды a(t) и фазы (p{t):

=Im (f(a(0 cos(2 ля / N),~co0a(t) s'm(2m / jV)))}

=--^Refi^ i/Ш соз(2яи / N)-o)0a{t) sin(2 m / N)))},

dt a)0a(t)

A j

где Fn( ) обозначено ДПФ 1-го частотного канала. В полученной системе укороченных уравнений не предполагается аналитической записи правых частей уравнений, более того, проводить ее нецелесообразно т.к. необходимые для используемого метода значения правых частей вычисляются в процессе интегрирования методом БПФ. Приведены примеры применения метода к расчету характеристик квазигармонических автоколебаний в генераторе на операционном усилителе (ОУ) для двух видов аппроксимации его передаточной характеристики. Точность численных решений зависит от длины преобразуемой последовательности N, которая всегда увеличивается, если в правых частях исходных уравнений для нелинейной динамической системы содержатся разрывы функций и (или) производных. Так, в рассмотренных примерах при гладких характеристиках ОУ для относительной разности численного и аналитического решений | Z>a(i) |= 1.1-10-12 потребовалось N=8, в то время как при негладких характеристиках для приемлемой точности (относительной разности численных решений при двух соседних значениях N) За = 6.0 • 10"3 необходимо уже N=32.

В параграфе 1.3 показано, что правые части укороченных уравнений компьютерной версии метода ММА с длиной преобразуемой последовательности N могут рассматриваться как результат фильтрации полигармонических сигналов, генерируемых нелинейностями автоколебательных систем цифровым КИХ-фильтром с подавлением всех гармоник, кроме тех, что имеют частоты N+1, 2N+1, 3N+1 и т.д.

В параграфе 1.4 предложена модификация метода усреднения для дискретных автоколебательных систем томсоновского типа, позволяющая получить укороченные уравнения для комплексной амплитуды колебаний

А[п] = Â[n -1] + Мт^Ц^ &[»], Жп -1]),

где А[п] - усредненная медленная комплексная амплитуда с номером отсчета п, a Z - комплексное число, лежащее на единичной окружности с центром в начале координат.

Параграф 1.5 посвящен методике моделирования автоколебательных систем с распределенными обратными связями, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными. В методике используется гибридная вычислительная схема, в которой разностная аппроксимация производных проводится лишь по пространственной переменной. В результате получается система из N дифференциальных уравнений для колебаний в узловых точках Un(t) = u(xn,t), n=l,2,...N, где N-количество точек разбиения по пространственной координате х. Достоинство предлагаемой вычислительной схемы заключается в возможности использования стандартных компьютерных программ для численного интегрирования данной системы уравнений и, как следствие, в простоте ее программной реализации. В качестве примера использован генератор с RC-линией в цепи обратной связи, неинвертирующим операционным усилителем с кубической нелинейностью и дифференцирующей ДС-цепью в качестве нагрузки линии (рис. 1). При использовании в распределенной /?С-линии обратной связи светочувствительных материалов данный автогенератор можно использовать в качестве датчика освещенности с выходным ЧМ-сигналом. На рис. 2 приведены примеры применения методики к расчету автоколебаний генератора. Моделируемый режим представляет собой колебание, образованное нелинейной суперпозицией двух первых мод кольцевой колебательной системы с периодическим подавлением высокочастотной моды.

Параграф 1.6 содержит заключения и выводы по материалам первой главы.

Вторая глава посвящена моделированию автоколебаний в струнном автогенераторе, используемом в качестве математической модели при проектировании виброчастотных датчиков. В параграфе 2.1 представлены экспериментальные исследования резонансных колебаний струнного электромеханического резонатора (ЭМР) - струны из вольфрамового сплава в поле постоянного самарий-кобальтового магнита, возбуждаемой гармоническим током. Обнаружен нелинейный гистерезисный характер частотных и амплитудных характеристик, увеличивающийся с ростом амплитуды входного воздействия.

Параграф 2.2 посвящен построению линейной эквивалентной схемы струнного ЭМР в виде параллельного колебательного контура с частотной характеристикой

где | - расстройка частоты, которая достаточно точно описывает поведение ЭМР при малых амплитудах возбуждающего сигнала. Методом численной обработки результатов эксперимента при малых амплитудах возбуждения на основе линейной эквивалентной схемы определен ряд параметров струнного ЭМР: значение собственной частоты колебаний /0, добротности <2, омического сопротивления струны Яс, резонансного сопротивления, а также эквивалентные значения индуктивности Ьс и емкости Се.

В параграфе 2.3 построена математическая модель автогенератора на основе струнного ЭМР в форме нелинейного интегро-дифференциального уравнения с частными производными, записанного в нормированных величинах

= 2уВ(Х)

\В{Х)

д2и 8 V

—г + 2 5---

8Т 8Т дХ

12 V

8ЩХ,Т) 8Т

(IX

\В(Х)

8ЩХ,Т) дТ

ах

для отклонения струны Ц=и(Х,Т) в магнитном поле с индукцией В(Х), 5 и у -параметры модели, определяющие потери и глубину обратной связи, соответственно. При выводе уравнения использована неполная кубическая аппроксимация передаточной характеристики активного элемента (АЭ). Эквивалентная схема струнного автогенератора приведена на рис. 3.

В параграфе 2.4 проводится численное решение данного уравнения: на основе разностного метода, описанного в первой главе, строится разностная модель в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отмечается нелинейный характер колебаний струнного автогенератора при больших значениях коэффициента глубины обратной связи. Построена зависимость частоты автоколебаний от глубины обратной связи со - <о{у) (рис. 4), которая свидетельствует о том, что струнный автогенератор в целом представляет собой неизохронную систему: с ростом глубины обратной связи у, а, следовательно, и амплитуды автоколебаний, частота автоколебаний понижается, но при этом существуют изохронные участки с неизменной частотой. На основе спектрального анализа автоколебаний с помощью быстрого преобразования Фурье выяснено, что области изохронности обусловлены взаимодействием гармоник автоколебаний с высшими модами собственных колебаний резонатора - при попадании гармоники в окрестность моды, имеющей высокую добротность, происходит ее «затягивание» и образуется область изохронности с постоянной частотой автоколебаний.

В параграфе 2.5 производится модовый анализ автоколебаний -разложение решения по модам собственных колебаний закрепленной на концах

струны в результате чего получается система

И=1

нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для модовых коэффициентов Ат(Т):

4 {(/Г

с1 А^. _ 1

1т+ а я = Пл Р(Т) = ^ХтАт(Т), т —1,2,...,А/.

1Я=1

¿р ат'

Здесь Хп =2 ^В(Х)$т(7тХ)с1Х _ коэффициенты разложения индукции о

магнитного поля по модам ЭМР, причем для симметричного относительно Х=0.5 поля коэффициенты хт с четными номерами равны нулю и, следовательно, все четные уравнения системы описывают затухающие колебания четных мод резонатора, соп = т - нормированная частота колебаний моды. Используя линейное приближение данной системы уравнений найдены условия самовозбуждения колебаний на различных модах: Г >251x1, /и=1,3,5..., при этом первая (основная) мода имеет наименьший порог возбуждения, поэтому струнный генератор возбуждается из нулевого начального состояния на основной моде ЭМР. Показано, что одномодовое приближение - осциллятор Рэлея не может служить адекватной моделью струнного автогенератора, в то время как неполное трехмодовое приближение и(Х,Т)~ А^Т^вШ^лХ)^- Аг{Х)&т(Ъ7!Х) в виде двух связанных осцилляторов Рэлея, взаимодействующих через общую цепь обратной связи достаточно хорошо описывает эффект затягивания гармоник автоколебаний (рис. 4).

Рассчитана частотная характеристика моды колебаний в виде резонансной кривой, аналогичной соответствующей характеристике параллельного колебательного контура. После сопоставления графика АЧХ с экспериментальными данными сделан вывод о том, что при малых амплитудах колебаний струнный ЭМР колеблется на первой моде.

■ III

\ 1 1 ч 1 О 0 Чюкнкя модель — Сйжодовоегрибтотие

Рис. 3.

15 20 25

Рис. 4.

Параграф 2.6 содержит заключения и выводы по материалам второй главы.

В третьей главе построена и исследована математическая модель струнного электромеханического резонатора с учетом изменения силы натяжения струны в процессе колебаний, так как при больших значениях возбуждающего сигнала линейные АЧХ мод колебаний не отражают нелинейные гистерезисные характеристики, полученные в результате эксперимента. В параграфе 3.1 на основе учета изменения силы натяжения струны в процессе колебаний строится уточненная модель струнного электромеханического резонатора, которая в нормированных переменных принимает вид

д2и- + 28?и

дТ1

дТ

1 +

2}{дХ)

ах

а2и дх2

= ОВ(Х)1(Т);

и описывает нелинейные колебания струны с отклонением от положения равновесия 17(Х,Т) с протекающим по ней током /(7) в магнитном поле с

/„ /Ж

Кп

индукцией В(Х). Параметр 8 описывает потери в резонаторе, а & - ~ -'

"о у "О

Параграф 3.2 содержит описание разложения решения данного уравнения по модам собственных колебаний резонатора, аналогичному использованному во второй главе:

с1гА„ „ . <М„ - + 28-

ат1

йТ

Г , м \

0>1Ат=ОХя1{Т), т = 1,3,5...

Показано, что в одномодовом приближении (т= 1) система получившихся дифференциальных уравнений переходит в известное уравнение Дюффинга с частотой колебаний со^-тг, которое затем решается классическим и описанным в первой главе численным методами ММА. Из укороченных уравнений для амплитуды и фазы колебаний выводится кубическое уравнение относительно стационарной амплитуды колебаний, графики решения которого относительно расстройки £ при фиксированной амплитуде входного воздействия Р (рис. 5), а также решения а(Р) при фиксированном значении £ хорошо согласуются с данными эксперимента:

В параграфе 3.3 на основании укороченных уравнений ММА построено выражение для нелинейной фазочастотной характеристики струнного ЭМР

= агс*ап

-5а2

со?а2 ■

24 И

2 +

где учтено омическое сопротивление струны при протекании по ней тока с амплитудой график решения которого хорошо согласуется с данными эксперимента (Рис. 6). На рисунках 5-6 решения для амплитуды и фазы стационарных колебаний показаны сплошными линиями, точками нанесены значения, полученные в результате эксперимента, стрелками показаны изменения частоты внешнего сигнала.

Рис. 5. Рис. 6.

В параграфе 3.4 проведено решение уравнения Дюффинга численным методом ММА и при сопоставлении с неполной двухмодовой моделью

струнного ЭМР, рассчитанной численными методами решения дифференциальных уравнений, показано, что одномодовое приближение с учетом изменения силы натяжения струны в процессе колебаний достаточно хорошо описывает струнный ЭМР и учет высших мод не дает существенного вклада в амплитудные характеристики.

Параграф 3.5 содержит заключения и выводы по материалам третьей главы.

Четвертая глава посвящена исследованию процесса синхронизации дискретного осциллятора Ван дер Поля внешним гармоническим сигналом. В параграфе 4.1 представлена синтезированная методом импульсной инвариантности модель дискретного автогенератора Ван дер Поля на основе одноименной аналоговой системы прототипа в форме разностного уравнения для нелинейной рекурсивной системы второго порядка

у[п) = а,у[п -1]+ а2у[п - 2}+Г(1 - у2[п -1])0[" -1Ь Л" ~2Ь +

+ Рх[п -1]

с коэффициентами

а, = 2ехр(-яО1б"')с05(2яО1), а2 = -ехр(-2яО,0"'), у = -^яехр(-яЦ£Г1)8т(2яП|), /? = 2яП, ехр(-лП,еч)8т(2лО,)

где и О, - добротность и измеряемая в единицах частоты дискретизации аа = 27г/Д частота аналогового прототипа ДВ-резонатора, соответственно, g -параметр превышения над порогом генерации. Данные формулы связи параметров дискретного автогенератора с параметрами аналогового прототипа позволяют целенаправленно выбирать режимы генерирования.

В параграфе 4.2 представлены результаты исследования процесса синхронизации дискретного автогенератора внешним сигналом модифицированным для дискретных систем методом ММА, определены области синхронизации, амплитудно-частотная (рис. 7) и фазочастотная характеристики синхронного режима (рис. 8). На рис. 7-8 точками приведены значения, полученные в результате эксперимента. Исследована устойчивость синхронного режима, определены области устойчивости. Обнаружен новый устойчивый режим колебаний - область стабильного генерирования на частоте , равной четверти частоты дискретизации. Дано объяснение этому явлению как эффекту самосинхронизации генератора подмененной третьей гармоникой Данный режим колебаний исследован модифицированным методом усреднения для дискретных автоколебательных систем и показано хорошее соответствие решения укороченного уравнения данным эксперимента.

В параграфе 4.3 описан обнаруженный эффект стохастизации автоколебаний неавтономного ДВ-автогенератора при значительных превышениях порога генерации (я>5). Оценка спектра мощности стохастических автоколебаний по методу Бартлетта представлена на рис. 9. Спектр содержит широкую полосу хаотической генерации с центральной частотой £21/4 =0.25 и узкую линию внешнего воздействия 0 = 0.17. Фазовый портрет стохастических автоколебаний относится к классу странных аттракторов (рис. 10). Следует отметить, что переход в стохастический режим в исследуемом генераторе при наличии внешнего гармонического воздействия наблюдается при меньших значениях параметра превышения порога генерации, чем в автономном режиме. Дано объяснение этому явлению как существованию в дискретной автоколебательной системе второго устойчивого состояния за счет эффекта самосинхронизации с повышенной амплитудой колебаний и случайными переходами системы из одного состояния в другое, вызванными воздействием внешнего сигнала.

100-1-1-1-1-1-1-т-1-1- 4-1-1-1-1-1-1-г

Рис. 9. Рис. 10.

В параграфе 4.4 представлен динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации дискретного автогенератора Ван дер Поля. Для детектирования используется линейная область ФЧХ ДВ-

автогенератора, график косинуса которой имеет также линейный участок. Уравнение системы-детектора имеет вид

у[п] = а,у[п-1]+агу[п-2}+у(\-у2[п-\]){у[п-1]-у[п-2]) + ¡лЩ > г\п\ = а,г[п -1]+у\п -1 ]ж[и -1]

где второе уравнение описывает обработку сигнала дискретным низкочастотным фильтром первого порядка: сг,=ехр(-2яОс), Г2С - частота среза фильтра. Величина выходного сигнала г[п] системы линейно зависит от расстройки частот в полосе входного ЧМ-сигнала х[п], при условии,

что |0[«]-П,| лежит в линейной области ФЧХ дискретного автогенератора. Приведен пример практического использования предложенного алгоритма -результаты оценки временной зависимости доплеровского смещения частоты акустического сигнала, излучаемого источником, установленным на колеблющемся маятнике и оцифрованного с частотой дискретизации 44.1 кГц, с амплитудной сеткой разрядностью 16 бит (рис. 11). Для сравнения, на рис. 12 представлены результаты независимой обработки реализации х[п] методом гетеродинирования, полосовой фильтрации с помощью дискретного преобразования Фурье и вычисления частоты по интервалам пересечения нулевого уровня.

Параграф 4.5 содержит заключения и выводы по материалам четвертой главы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

К основным результатам и выводам диссертационной работы следует отнести следующее:

2. Предложен вариант метода усреднения для дискретных автоколебательных систем, позволяющий получить укороченные уравнения для комплексной амплитуды колебаний.

3. Разработана методика моделирования автоколебательных систем с распределенными обратными связями, использующая гибридную вычислительную схему, в которой разностная аппроксимация производных проводится лишь по пространственной переменной.

4. Разработана математическая модель автогенератора на основе струнного ЭМР в форме нелинейного интегро-дифференциального уравнения с частными производными и проведено моделирование предложенными в работе методами. Обнаружено, что в автогенераторе наблюдается эффект стабилизации частоты автоколебаний, обусловленный взаимодействием гармоник автоколебаний и мод резонатора.

5. Разработана математическая модель струнного резонатора с учетом изменения силы натяжения в процессе колебаний струны. Показано, что в рамках модового разложения струнный резонатор описывается системой связанных уравнений Дюффинга.

6. Получены экспериментальные данные, подтверждающие результаты математического моделирования резонатора.

7. Исследован процесс синхронизации дискретного автогенератора Ван дер Поля внешним сигналом методом ММА, определены области синхронизации, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики синхронного режима. Обнаружен новый устойчивый режим колебаний -область стабильного генерирования на частоте , равной четверти частоты дискретизации. Дано объяснение этому явлению как эффекту самосинхронизации генератора подмененной третьей гармоникой.

8. Обнаружен эффект стохастизации колебаний дискретного автогенератора, находящегося под действием внешнего гармонического сигнала.

9. Предложен динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации дискретного автогенератора. Экспериментально подтверждена высокая вычислительная эффективность алгоритма.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин А.В. Численное моделирование автогенераторов с распределенными обратными связями // Тезисы докладов и сообщений I международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» 10-16 сентября 2001 г., г. Самара, Т.1. с. 123-124.

2. Зайцев В В., Никулин А.В Моделирование автоколебательных систем с распределенными обратными связями // Материалы IX Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов, 18-22 февраля 2002 г, г. Самара, ПГАТИ. с. 15-16.

3. Зайцев В.В, Зайцев О.В., Никулин А В Особенности анализа дискретных автогенераторов методом усреднения // Сборник научных трудов ежегодной Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и студентов, посвященной 107 годовщине Дня радио, г. Красноярск, 7-8 мая 2002 г. с.20-22.

4. Зайцев В В., Зайцев О.В., Никулин А.В., Яровой Г П. Эффект самосинхронизации в дискретном осцилляторе Ван-дер-Поля // Тезисы Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ-2002», 2002 г., г. Нижний Новгород, с. 5-6.

5. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин А.В Исследование эффекта самосинхронизации дискретного осциллятора Ван-дер-Поля методом усреднения // Тезисы докладов и сообщений II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», 7-13 сентября 2003 г., г. Самара, с. 114-115.

6. Зайцев В.В., Никулин А.В., Трещев В.М. Численное моделирование автоколебаний в струнном генераторе // Тезисы докладов и сообщений II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», 7-13 сентября 2003 г., г. Самара, с. 120.

7. Зайцев В.В., Никулин А.В., Трещев В.М. Численная модель струнного автогенератора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2003. -Т.6. -№4. с. 85-87.

8. Зайцев В В., Зайцев О.В, Никулин А.В., Яровой Г.П. Моделирование автоколебаний в генераторе с электромеханическим резонатором // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2003. - Второй специальный выпуск, с. 118126.

9. Зайцев В.В., Никулин А.В., Трещев В.М., Яровой Г.П. Динамическая модель струнного акселерометра // Материалы 8-й Всероссийской научно-технической конференции «Методы и средства измерений физических величин», г. Нижний Новгород, 23 декабря 2003 г. с. 7.

10 .Зайцев ВВ., Зайцев О В., Никулин А.В, Яровой ГП Численная реализация метода ММА и цифровая фильтрация сигналов // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2004-№2. с. 120-130.

11 .Зайцев ВВ., Зайцев О.В., Никулин A.B. Метод ММА в численных моделях автоколебательных систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2004. - Т.7. - №2. с. 42-46.

12.Зайцев В.В., Никулин A.B., Трещев В.М. Нелинейные колебания в струнном резонаторе // Тезисы докладов и сообщений III международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», 6-12 сентября 2004 г., г. Волгоград, с. 157-158.

13.Зайцев В.В., Никулин А.В, Никулин В.В. Численное моделирование нелинейных колебаний струны в электромеханическом резонаторе // Тезисы докладов конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века», г. Самара, 1-5 июля 2005 г. с. 82-83.

14.Зайцев В.В., Никулин A.B., Никулин В.В. Нелинейная модель колебаний струны в электромеханическом резонаторе // Тезисы докладов IV международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», г. Нижний Новгород, 3-9 октября 2005 г., с. 57.

15.Зайцев В.В., Никулин A.B., Никулин В.В. Нелинейный резонанс в струнном ЭМР // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2005 - №5. с. 93-98.

Подписано в печать 07.11.05 Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Усл.-печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,91. Тираж 100 экз. Заказ № 1220 443011, Самара, ул. Академика Павлова,!.

Отпечатано УОП СамГУ

20 40

РНБ Русский фонд

2006-4 17075

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Никулин, Андрей Валентинович

Введение.

Глава I. Численные методы анализа автоколебательных систем

1.1 Метод медленно меняющихся амплитуд и метод усреднения. Аналитический вариант.

• 1.2 Численная реализация метода ММА. v 1.3 Метод ММА и цифровая фильтрация сигналов.

1.4 Метод усреднения для дискретных автоколебательных систем

1.5 Полуразностная модель автогенератора с распределенной обратной связью.

1.6 Выводы.

Глава И. Моделирование автоколебаний в струнном генераторе г# 2.1 Экспериментальные исследования резонанса в ЭМР.

2.2 Линейная эквивалентная схема струнного ЭМР и численная обработка результатов эксперимента.

2.3 Модель струнного автогенератора.

2.4 Разностный метод моделирования автоколебаний.

2.5 Модовый анализ автоколебаний в струнном автогенераторе. w^ 2.6 Выводы.

Глава III. Нелинейный резонанс в струнном элетромеханическом резонаторе.

3.1 Модель нелинейных колебаний струны.

3.2 Модовый анализ эффекта нелинейного резонанса.

4 3.3 Нелинейная фазочастотная характеристика струнного ЭМР.

3.4 Исследование уравнения Дюффинга численным методом ММА

3.5 Выводы.

Глава IV. Детектирование доплеровских смещений частоты в дискретном автогенераторе.

4.1 Модель ДВ-автогенератора.

4.2 Синхронизация ДВ-автогенератора гармоническим сигналом

4.3 Стохастизация автоколебаний неавтономного ДВ-генератора

4.4 Динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации ДВ-автогенератора.

4.5 Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Математические модели и численные алгоритмы анализа дискретно-распределенных автогенераторов и виброчастотных датчиков"

Изучение колебательных процессов имеет большое значение для самых разнообразных разделов механики, физики и техники. Предметом теории колебаний является рассмотрение общих закономерностей колебательных процессов в различных динамических системах. Колебательные процессы в системах с постоянными параметрами (в линейных системах) изучены уже сравнительно давно, и математическая их теория развита с большой полнотой. Однако изучение общих закономерностей колебаний в системах с параметрами, зависящими от состояния системы (в нелинейных системах), началось значительно позднее, и долгое время рассматривались лишь отдельные частные задачи без обобщения полученных результатов на широкие классы динамических колебательных систем и протекающие в них процессы.

Среди нелинейных систем особое место занимают «автоколебательные системы». Термины «автоколебания» и «автоколебательные системы» предложены более 70 лет тому назад А.А. Андроновым. Эти термины являются в настоящее время общепринятыми: автоколебательной системой обычно называют систему, преобразующую энергию постоянного источника в энергию колебаний [1], или, другими словами, это системы с самоподдерживающимися колебательными процессами [2]. Необходимыми элементами всякой автоколебательной системы являются: 1) собственно колебательная система, 2) источник постоянной энергии, 3) элемент, управляющий поступлением энергии в колебательную систему, который можно условно назвать клапаном, 4) цепь обратной связи между колебательной системой и клапаном [1-5]. Благодаря наличию обратной связи (так называемой положительной обратной связи) в автоколебательных системах при определенных условиях может происходить нарастание малых колебаний. В пассивных системах (системах, не содержащих источников энергии) колебания всегда затухают, например, за счет механического трения, выделения тепла на электрическом сопротивлении и т. п. Поскольку, в противоположность этому, в автоколебательных системах колебания не затухают, то такие системы часто называют системами с отрицательным трением, отрицательным сопротивлением, отрицательной температурой и т. п. За счет нелинейности нарастание колебаний в автоколебательных системах не происходит до бесконечности, а ограничивается некоторой стационарной величиной, т. е. в таких системах могут возникать и поддерживаться незатухающие колебания - автоколебания. Период этих колебаний определяется характерными временными параметрами системы. Во многих системах возникающие автоколебания по форме оказываются близкими к гармоническим, а их частота близка к одной из собственных частот колебательного элемента. Такая ситуация характерна для весьма обширного и важного класса автоколебательных систем, получивших название квазилинейных и квазиконсервативных.

Автоколебательные системы можно разделить еще на два класса систем: сосредоточенные системы или системы с сосредоточенными параметрами -системы, которые можно заменить моделями с конечным числом степеней свободы, и распределенные системы или системы с распределенными параметрами — системы, которые заменяют моделями с бесконечным числом степеней свободы. Для описания процессов в сосредоточенных системах используются обыкновенные дифференциальные уравнения. Процессы же в распределенных системах описываются уравнениями в частных производных либо интегральными уравнениями.

Автоколебания различной природы имеют большое разнообразие и играют большую и важную роль в различных областях науки и техники. Характерные свойства автоколебательных систем обусловлены нелинейностью дифференциальных уравнений, которые описывают поведение таких систем [6]. А поскольку эти правые части этих дифференциальных уравнений принципиально содержат нелинейные функции, то не существует общих методов точного их решения, таких как для линейных дифференциальных уравнений [3-5, 7, 8]. Среди всех нелинейных систем можно выделить системы, достаточно близкие к линейным - квазилинейные системы, для которых соответствующие дифференциальные уравнения хотя и являются нелинейными, но содержат некоторый параметр е, входящий в эти уравнения так, что при нулевом значении s они вырождаются в линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что параметр б является «малым», т. е. может принимать лишь достаточно малые по абсолютной величине значения.

Актуальность работы

Для квазилинейных квазиконсервативных колебательных систем к настоящему времени разработано достаточно много приближенных асимптотических методов исследования [1, 2, 6, 9, 10, 11]. Все они сводятся к получению с использованием ряда приближений неких укороченных уравнений, описывающих исходную квазилинейную систему, причем тем точнее, чем меньше параметр е и чем меньшее количество приближений было сделано. Во многих случаях получение укороченных уравнений очень трудоемкий процесс, даже при не очень сложном виде нелинейных дифференциальных уравнений. Здесь приходят на помощь другой способ решения - численные методы решения дифференциальных уравнений. При использовании данных методов характер нелинейной части не играет существенной роли, а необходимая точность задается лишь объемом вычислений [12-14]. В связи с бурным ростом мощности вычислительной техники в последние годы, численные методы все чаще используются для решения нелинейных дифференциальных уравнений, а их использование в совокупности с приближенными асимптотическими методами выводит исследования автоколебательных систем на новый уровень.

Одним из важных применений автоколебательных систем с распределенными параметрами является их использование в сфере измерений различных физических величин. Причем одним из перспективных направлений является создание преобразователей различных физических величин в частоту. Это обусловлено тем, что погрешность воспроизведения эталона частоты лежит t "X на уровне (5-*-8)'10" , и на современном уровне развития науки и техники частота является одной из наиболее точно измеряемых физических величин. Стандартные цифровые электронно-счетные частотомеры позволяют в обычных условиях производить измерение частоты с погрешностью не более 10'8~10*9. Кроме того, высокая помехоустойчивость и помехозащищенность частотопередающих трактов позволяет организовать дистанционные системы измерения и контроля, надежно работающие в промышленных условиях. Частотный выходной сигнал может быть преобразован в код практически без потери точности. Из всего многообразия частотных измерительных преобразователей одними из перспективных являются струнные измерительные преобразователи. Струнный преобразователь представляет собой высокодобротную механическую колебательную систему с линейно распределенными параметрами. Частота собственных поперечных колебаний струны обусловлена силой ее продольного натяжения. Преобразуя любую измеряемую физическую величину в изменение силы продольного натяжения струны, можно получить изменение частоты колебаний струны, являющееся мерой измеряемой величины. Для получения непрерывного выходного сигнала обычно реализуется струнный автогенератор, в котором струна является частотозадающим элементом.

Первые попытки использовать струнный метод для целей измерения деформаций элементов конструкций были предприняты в 1919 г. О. Шифером. Начало практического использования струнного метода измерений в нашей стране относится к 1928 г. и связано с именем акад. Н.Н. Давиденкова, который одним из первых описал преимущества струнных датчиков [15]. Но повышенный интерес к данному методу измерений был проявлен лишь во второй половине XX века. Было разработано много конструкций струнных датчиков для измерения различных физических величин: силы, давления, температуры, и др. [16-28], проведено много исследований различных погрешностей датчиков: температурных погрешностей, погрешностей, обусловленных упругими несовершенствами материала струн, влияние внешних инерционных сил, и др. [18, 22, 26, 27, 29-35]. Исследования по оптимальному режиму возбуждения струнных резонаторов можно найти в работах [34, 36], выбор различных параметров струны (материала, размеров и т.д.) описан в работе [37], одну из наиболее удачных схем усилителя колебаний с комбинированной обратной связью для использования со струнным резонатором для получения автогенератора можно найти в работе [38]. Однако проблемы улучшения метрологических характеристик, эксплуатационных показателей и конструктивных усовершенствований притягивали к себе большую часть интереса исследователей [15-45], в то время как частотным характеристикам колебаний струны уделялось не так много внимания. Тем не менее, можно найти работы, в которых отражены как линейные [46], так и нелинейные частотные характеристики [21, 47]. Тем не менее, вопросам нелинейных фазочастотных характеристик и модового анализа колебаний струны в магнитном поле в струнных резонаторах практически не уделялось внимания. Достижение минимального времени реагирования, дальнейшее повышение точности и совершенствование конструкции виброчастотных датчиков возможно лишь на основе детальных исследований переходных процессов и флуктуационных явлений в струнных автогенераторах.

Использование новой элементной базы для материалов струн -нитевидных кристаллов полупроводников, обеспечивающих лучшие механические характеристики [25, 28, 34], обусловило вновь возрастающий интерес к струнным датчикам в настоящее время [48], особенно с возможностью современной цифровой обработки частотных сигналов виброчастотных датчиков.

Цифровая обработка сигналов как направление развития науки и техники зародилась в 1950-х годах и поначалу представляла собой довольно экзотическую отрасль радиоэлектроники, практическая ценность которой была далеко не очевидной. Однако за прошедшие пятьдесят лет благодаря успехам микроэлектроники системы цифровой обработки сигналов не только воплотились в реальность используются в промышленности, но и вошли в нашу повседневную жизнь. Более того, во многих прикладных областях цифровая обработка сигналов стала вытеснять «традиционную» (аналоговую). В этой связи все более важным является вопрос о проектировании дискретных во времени систем (и цифровых систем как частного случая дискретных) с заданными характеристиками [49-57]. При этом особое внимание следует уделять исследованию нелинейных дискретных систем в связи с их широкими возможностями для обработки сигналов. Так, нелинейные рекурсивные системы второго порядка демонстрируют широкое многообразие периодических движений и могут быть использованы как генераторы сигналов. При этом они часто обладают новыми свойствами и особенностями, которых нет у аналоговых систем-прототипов [58-61]. Возникает вопрос разработки приближенных асимптотических методов для описания подобного рода систем. Для этого в качестве базы с большим успехом может использоваться обширный аппарат классических асимптотических методов для НВ-систем с модификациями применительно к ДВ-системам.

Цель работы

- разработка компьютерной версии метода ММА;

- разработка численных методов исследования дискретных и распределенных автогенераторов;

- исследование процесса синхронизации дискретного осциллятора гармоническим сигналом;

Методы исследования.

Научная новизна работы определяется

- разработкой математической модели струнного автогенератора и модовым анализом автоколебаний;

- исследованием амплитудных и фазовых характеристик нелинейных колебаний струнного резонатора;

- исследованием эффекта синхронизации дискретного осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом;

- построением алгоритма частотного детектирования на основе эффекта синхронизации дискретного осциллятора.

Положения, выносимые на защиту:

1. Численная реализация метода медленно меняющихся амплитуд.

5. Динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации ДВ-автогенератора.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

- использованием математически обоснованных численных методов решения рассматриваемых задач;

- количественной согласованностью результатов математического моделирования и натурного эксперимента;

- соответствием приведенных результатов численных расчетов их аналогам, полученным другими авторами;

- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Практическая ценность работы

- для анализа и оптимизации режимов колебаний радиочастотных автогенераторов;

- для проектирования автоколебательных систем с распределенными (волновыми) обратными связями.

База исследования

Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались:

- I международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 10-16 сентября 2001 г.);

- IX Российской научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, ПГАТИ, 12-22 февраля 2002 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и студентов, посвященной 107 годовщине Дня радио (г. Красноярск, 7-8 мая

2002 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2002» (г. Нижний Новгород, 2002 г.);

- II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 7-13 сентября

2003 г.);

- 8-й Всероссийской научно-технической конференции «Методы и средства измерений физических величин» (г. Нижний Новгород, 23 сентября

2003 г.);

- III международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Волгоград, 6-12 сентября

2004 г.);

- конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 1-5 июля 2005 г.);

- IV международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Нижний Новгород, 3-9 октября 2005 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций на соискание степени докторов наук и 10 тезисов докладов и сообщений различных научно-технических конференций и семинаров.

Содержание работы

Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе представлен ряд методов анализа автоколебательных систем. Приведены классические метод медленно меняющихся амплитуд и метод усреднения. Разработаны на их основе численная реализация метода ММА с примером использования для расчета характеристик автоколебательных систем и модификация метода усреднения для дискретных автоколебательных систем. Показано, что правые части укороченных уравнений компьютерной версии метода ММА могут рассматриваться как результат фильтрации полигармонических сигналов, генерируемых нелинейностями автоколебательных систем цифровым КИХ-фильтром. Предложена методика и приведены результаты численного моделирования автоколебательных систем с распределенными (волновыми) обратными связями разностным методом.

Во второй главе представлены экспериментальные исследования резонанса в промышленном образце электромеханического резонатора, построена линейная эквивалентная схема струнного ЭМР, методом численной обработки результатов эксперимента определен ряд его параметров. Построена математическая модель автогенератора на основе струнного ЭМР в форме нелинейного интегро-дифференциального уравнения, проведено его численное решение разностным методом, а также на основе модового разложения колебаний проанализирован обнаруженный эффект затягивания гармоник автоколебаний.

В третьей главе построена математическая модель струнного электромеханического резонатора с учетом изменения силы натяжения в процессе колебаний. Проведено решение уравнения Дюффинга - одномодового приближения струнного ЭМР методом ММА, рассчитана нелинейная амплитудно-частотная характеристика, построено выражение для нелинейной фазочастотной характеристики с учетом омического сопротивления струны, проведено сопоставление с данными эксперимента. Также проведено решение уравнения Дюффинга численным методом ММА и проанализировано влияние количества мод в модовом разложении на описание струнного ЭМР.

В четвертой главе представлена синтезированная методом импульсной инвариантности модель дискретного автогенератора Ван дер Поля на основе одноименной аналоговой системы прототипа с уравнением движения в форме рекуррентного соотношения. Исследован процесс синхронизации дискретного автогенератора внешним сигналом методом ММА, определены области синхронизации, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики синхронного режима, проведено сопоставление результатов с данными численного эксперимента. Обнаружен и исследован модифицированным методом усреднения для дискретных автоколебательных систем новый режим колебаний на частоте <у,/4. Обнаружен эффект стохастизации автоколебаний дискретного автогенератора, находящегося под действием внешнего гармонического сигнала. Представлен динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации дискретного автогенератора Ван дер Поля и цифровой фильтрации сигналов, приведены результаты детектирования доплеровского смещения частоты акустического сигнала, излучаемого движущимся источником.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

4.5 Выводы

1. Представлена синтезированная методом импульсной инвариантности модель дискретного автогенератора Ван дер Поля на основе одноименной аналоговой системы прототипа с уравнением движения в форме рекуррентного соотношения для нелинейной рекурсивной дискретной системы второго порядка.

2. Исследован процесс синхронизации дискретного автогенератора внешним сигналом обобщенным на дискретные системы методом медленно меняющихся амплитуд, определены области синхронизации, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики синхронного режима, проведено сопоставление результатов с данными численного эксперимента. Обнаружен новый устойчивый режим колебаний - область стабильного генерирования на частоте , равной четверти частоты дискретизации. Дано объяснение этому явлению как эффекту самосинхронизации генератора подмененной третьей гармоникой Данный режим колебаний исследован модифицированным методом усреднения для дискретных автоколебательных систем и показано хорошее соответствие укороченного решения данным численного эксперимента.

3. Обнаружен эффект стохастизации автоколебаний дискретного автогенератора, находящегося под действием внешнего гармонического сигнала.

4. Представлен динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации дискретного автогенератора Ван дер Поля и цифрового фильтра первого порядка.

5. Приведены результаты детектирования доплеровского смещения частоты в акустическом сигнале, излучаемого движущимся источником. Показано хорошее соответствие продетектированного сигнала данным, полученным методом гетеродинирования, полосовой фильтрации с помощью дискретного преобразования Фурье и вычисления частоты по интервалам пересечения нулевого уровня.

Метод детектирования на основе синхронизации ДВ-автогенератора

Рис. 4.20

Доплеровское смещение частоты акустического сигнала

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К основным результатам и выводам диссертационной работы следует отнести следующее:

1. Разработана компьютерная версия метода медленно меняющихся амплитуд, предназначенная для моделирования переходных процессов и стационарных режимов в автоколебательных системах томсоновского типа. Приведены примеры применения метода к расчету характеристик квазигармонических автоколебаний в генераторе на операционном усилителе для двух видов аппроксимации его передаточной характеристики. Для численного решения с достаточно малой длиной последовательности (N = 23 =8), используемой для преобразования Фурье, точность по сравнению с аналитическим решением пренебрежимо мала, что позволяет проводить расчеты с небольшими вычислительными затратами.

2. Правые части укороченных уравнений компьютерной версии метода ММА с длиной преобразуемой последовательности N могут рассматриваться как результат фильтрации полигармонических сигналов, генерируемых нелинейностями автоколебательных систем цифровым КИХ-фильтром с подавлением всех гармоник, кроме тех, что имеют частоты ДЧ-1, 2N+1, 3N+1 и т.д.

3. Предложена модификация метода усреднения для дискретных автоколебательных систем томсоновского типа, позволяющая получить укороченные уравнения для комплексной амплитуды колебаний.

4. Предложена методика моделирования автоколебательных систем с распределенными обратными связями использующая гибридную вычислительную схему, в которой разностная аппроксимация производных проводится лишь по пространственной переменной. Приведены примеры применения методики к расчету автоколебаний генератора с ЛС-линией в цепи обратной связи, неинвертирующим операционным усилителем с кубической нелинейностью и дифференцирующей ЯС-цепью в качестве нагрузки линии.

5. Представлены экспериментальные данные по амплитудно-частотным и фазочастотным характеристикам промышленного элемента электромеханического резонатора - струны из вольфрамового сплава в поле постоянного магнита, обнаружен их гистерезисный характер все более увеличивающийся с ростом амплитуды входного воздействия.

6. Для малых сигналов входного воздействия струнный ЭМР может описываться линейной эквивалентной схемой в форме параллельного колебательного контура с последовательно включенным сопротивлением Rc. При сопоставлении АЧХ и ФЧХ контура с линейными АЧХ и ФЧХ, полученными в эксперименте, методом наименьших квадратов вычислены значения сопротивления Rc, собственной частоты колебаний /о, добротности Q, а также эквивалентные значения индуктивности Lt и емкости Се струнного ЭМР.

7. Разработана математическая модель для струнного автогенератора на основе струнного ЭМР в форме нелинейного интегро-дифференциального уравнения с частными производными. На основе разностного метода моделирования проведено численное решение уравнения для струнного автогенератора. Обнаружено, что в автогенераторе наблюдается эффект затягивания гармоник автоколебаний высшими модами колебаний электромеханического резонатора.

8. Проведен модовый анализ автоколебаний струнного автогенератора на основе разложения решения по модам собственных колебаний резонатора. Определены условия самовозбуждения различных мод автоколебательной системы, установлено, что порог возбуждения моды увеличивается с ростом номера моды. Установлено, что для описания эффекта затягивания гармоник автоколебаний достаточно использовать две моды в модовом разложении решения - двухмодовую модель в форме двух связанных осцилляторов Рэлея. Рассчитана частотная характеристика моды колебаний, после сопоставления с экспериментальными данными свидетельствующая о том, что при малых амплитудах колебаний струнный ЭМР колеблется на первой моде.

9. Разработана математическая модель струнного резонатора с учетом растяжения струны в процессе колебаний, произведено разложение решения по модам собственных колебаний резонатора. Показано, что в одномодовом приближении струнный резонатор описывается уравнением Дюффинга.

10. Показано, что амплитудно-частотная характеристика уравнения Дюффинга, рассчитанная методом ММА, хорошо соотносится с экспериментальными данными нелинейного резонанса, что говорит о достаточности одномодового приближения для описания струнного ЭМР и малом вкладе остальных мод. На основе укороченных уравнений, полученных методом ММА, выведена фазочастотная харатеристика струнного ЭМР с учетом омического сопротивления струны и проведено сопоставление с данными эксперимента.

11. Проведено решение уравнения Дюффинга численным методом ММА и при сопоставлении с двухмодовой моделью струнного ЭМР, рассчитанной численными методами решения дифференциальных уравнений, показано, что одномодовое приближение с учетом растяжения струны достаточно хорошо описывает струнный ЭМР и учет высших мод не дает существенного вклада.

12. Представлена синтезированная методом импульсной инвариантности модель дискретного автогенератора Ван дер Поля на основе одноименной аналоговой системы прототипа. Исследован процесс синхронизации дискретного автогенератора внешним сигналом методом ММА, определены области синхронизации, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики синхронного режима, проведено сопоставление результатов с данными численного эксперимента. Обнаружен новый устойчивый режим колебаний - область стабильного генерирования на частоте <у1/4, равной четверти частоты дискретизации. Дано объяснение этому явлению как эффекту самосинхронизации генератора подмененной третьей гармоникой Данный режим колебаний исследован модифицированным методом усреднения для дискретных автоколебательных систем и показано хорошее соответствие укороченного решения данным численного эксперимента. Обнаружен эффект стохастизации автоколебаний дискретного автогенератора, находящегося под действием внешнего гармонического сигнала.

13. Представлен динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации дискретного автогенератора Ван дер Поля и цифрового фильтра Баттерворта второго порядка. Приведены результаты детектирования доплеровского смещения частоты в акустическом сигнале, излучаемого движущимся источником. Показано хорошее соответствие продетектированного сигнала данным, полученным методом гетеродинирования, полосовой фильтрации с помощью дискретного преобразования Фурье и вычисления частоты по интервалам пересечения нулевого уровня.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Никулин, Андрей Валентинович, Самара

1. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. - 360 с.

2. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1978. - 392 с.

3. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний М.: Наука, 1964.352 с.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физматгиз, 1959. 384 с.

5. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний М.: Наука, 1969.

6. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. - 384 с.

7. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. М.: Физматлит, 2001. - 416 с.

8. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит, 2001. - 496 с.

9. Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 504 с.

10. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984,-535 с.

11. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. — М.: Высш. шк., 2001 -395 с.

12. Мэтъюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB: Пер. с англ. М.: Изд. дом «Вильяме», 2001. - 720 с.

13. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. М.: Наука, 1977. - 400 с.

14. Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.408 с.

15. Давиденков Н.Н. Струнный метод измерения деформаций. JI.-M.: Гостехиздат, 1933. - 304 с.

16. Пивоваров Ю.Н., Цодиков Ю.М. Струнный частотный датчик для телеизмерения // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. 22. - №4. - с. 539-542.

17. Новицкий П.В. Проблема создания частотных датчиков для всех электрических и неэлектрических величин // Измерительная техника. 1961. -№4.-с. 16-21.

18. Эткин Л.Г. Вибрационные динамометры // Измерительная техника. 1961.-№12.-с. 27-30.

19. Эткин Л.Г. Вибрационные динамометры // Приборостроение. 1962. №8. - с. 28.

20. Синюхин Ю.А., Ярмольчук Г.Г. Радиационный струнный датчик низких температур // Приборы и системы управления. 1967. №8. - с. 7-10.

21. Рамм Д.В., Синельников Г.А., Эткин Л.Г. Автоколебательная система вибро-частотных датчиков при статических нагрузках // сб. «Регистрирующая аппаратура для вибро-частотных датчиков». М., 1967. - с. 3-24.

22. Милохин Н.Т. Частотные датчики систем автоконтроля и управления. М.: Энергия, 1968. - 128 с.

23. Беляев М.Ф., Доржиев Д.Д., Михайлов А.Н., Яновский В.Я. Датчики механических величин с вибрационно-частотным преобразователем // Приборы и системы управления. 1971. —№5. —с. 16-18.

24. Брехов Р.С. Высокотемпературный тензометр струнного типа // Приборы и системы управления. 1971. №5. - с. 21-22.

25. Окороков В.В. Высокостабильный струнный автогенератор // Приборы и системы управления. 1974. №6. - с. 46-47.

26. Брехов Р.С., Левин М.Н. Высокотемпературный струнный датчик давления // Приборы и системы управления. 1974. №8. - с. 38-39.

27. Карцев Е.А., Короткое В.П. Унифицированные струнные измерительные преобразователи. М.: Машиностроение, 1982. - 144 с.

28. Карцев Е.А. Датчики неэлектрических величин на основе унифицированного микромеханического резонатора // Приборы и системы управления. 1996.- №4. с. 32-35.

29. РаммД.В., Эткин Л.Г., Яновский В.Я. Влияние инерционных сил на вибрационно-частотные датчики // Измерительная техника. 1964. №11. - с. 35-37.

30. Беляев М.Ф., Рамм Д.В., Удалая В.Н. Погрешность вибрационно-частотных преобразователей, обусловленная упругими несовершенствами их материала // Измерительная техника. 1971. №12. - с. 45-47.

31. Ривкин И.Я. О некоторых погрешностях струнных преобразователей // Приборостроение. 1966. №12. - с. 1-4.

32. Брехов Р.С. О температурной погрешности струнного тензометра при динамическом тепловом режиме // Приборы и системы управления. 1973-№11.-с. 12.

33. Брехов Р.С. Анализ температурной погрешности струнного тензометра // Приборы и системы управления. 1973.- №12. с. 26-28.

34. Байцар Р.И., Лавитская Е.Н. Способ улучшения характеристик полупроводниковых датчиков со струнным резонатором // Приборы и системы управления. 1998-№1.-с. 51-52.

35. Цодиков Ю.М. Струнные датчики с линейной характеристикой // сб. «Теория и применение автоматических систем». — М.: Наука, 1964. с. 337-341.

36. Северов А.П. Импульсное возбуждение струн в струнных датчиках // Приборы и системы управления. 1968.- №3. с. 9-11.

37. Короткое В.П., Скачко Ю.В. Использование информационно-энергетических критериев при исследовании качества струнных преобразователей // Измерительная техника. 1972. №1. - с. 40-43.

38. Кочерян ЭТ. Электронное устройство с комбинированной обратной связью для струнного генератора // Измерительная техника. 1973. №7. - с. 3738.

39. Самонов Ф.А. Метод расчета струнных преобразователей // Измерительная техника. 1970. №9. - с. 51-52.

40. Бушланов В.П., Тараненко Ю.К., Снегур В.Н. Вибро-частотный датчик с асимметричным возбуждением резонатора // Измерительная техника. 1986.-№8.-с. 37-39.

41. Махат В.Г., Плискин Ю.С. Методы измерения частоты частотных датчиков // Приборостроение. 1965. №5. - с. 5-8.

42. Северов А.П. Струнный преобразователь с электромагнитным импульсным возбуждением // Приборы и системы управления. 1967 №11. — с. 12-14.

43. Курманов Ю.Г., Левитан Г.И. Линейные преобразователи частоты струнных датчиков // Приборы и системы управления. 1968 №9. - с. 13-14.

44. Осадчий Е.П., Жучков А.К Вопросы расчета и конструирования дифференциальных струнных датчиков // Приборы и системы управления. 1971.-№5.-с. 18-21.

45. Рабухин В.Б., Подшиваленко А.В. Использование струн переменного сечения в прецизионных струнных датчиках // Приборы и системы управления. 1992.-№10.-с. 19-21.

46. Красъко А.С., Тюшкевич Н.Н. Передаточная функция струны // Измерительная техника. 1972. №10. - с. 42-43.

47. Гусев Е.Д. Некоторые вопросы расчета струнных датчиков // Приборостроение. 1964. №4. - с. 4-7.

48. Тенденции в разработке акселерометров для военных и аэрокосмических применений // Приборы и системы управления. 1999 №5. -с. 53-56.

49. Голъдберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990. - 434 с.

50. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.-416 с.

51. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. СПб.: Политехника, 1999.- 592 с.

52. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2002.- 608 с.

53. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.-364 с.

54. Рабинер Р., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. - 458 с.

55. Баскаков С.И. Радио/технические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 2000.-462 с.

56. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х т. Т.1, 2. М.: Мир, 1983. - 562 е., 486 с.

57. Maprui-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения.- М.: Мир, 1990.-508 с.

58. Galas Z, Ogorzalek M.J. II IEEE Trans. Circuits and Systems. 1990. -V.37. -№8. P. 1068.

59. Брюханов Ю. A. 11 Изв. вузов. Радиофизика. 2000. T.43. - №1.с. 59.

60. Зайцев В.В. , Зайцев О.В., Давыденко С.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. Т.З. - №2. - с. 64-67.

61. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Яровой Г.П. Статистические оценки характеристик стохастических автоколебаний дискретного осциллятора Ван Дер Поля // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2001. -Т.4. -№1. с. 18-21.

62. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин А.В. Метод ММА в численных моделях автоколебательных систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2004. Т.7. - №2. с. 42-46.

63. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин А.В., Яровой Г.П. Численная реализация метода ММА и цифровая фильтрация сигналов // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2004.- №2. с. 120-130.

64. Берестнев Д.П., Зайцев В.В., Яровой Г.П. Численный метод исследования стационарных режимов нелинейных систем // Математическое моделирование волновых процессов в электродинамических системах СВЧ. — Самара: Изд. СамГУ, 1992. с. 54-59.

65. Медведев С.Ю., Перов М.Ю., Якимов А.В. Влияние БПФ на оценку спектра // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 2002. Т. 45, №3. - С. 263-269.

66. Зайцев В.В., Яровой Г.П. II Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1998. Т.1. - №1. - с. 69-70.

67. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. - 412 с.

68. Непринцев В.Н., Камбулов В.Ф. Нелинейные искажения в автогенераторах с распределенной ЛС-структурой в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1975. Т.20. - №5. - с. 982-993.

69. Камбулов В.Ф. Бифуркация автоколебаний в сигнале /?С-генератора с распределенными параметрами при асимметричной нелинейной характеристике // Изв. вузов. Радиофизика. 1997. Т.40. - №10. - с. 60-67.

70. Камбулов В.Ф., Нечаев Ю.Б., Тарасов С. А. Анализ автопараметрических автоколебаний в одной распределенной /?С-системе в случае резонанса 1:3 // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1999. Т.2. - №2. - с. 40-42.

71. Зайцев В.В., Никулин А.В., Трещев В.М. Численная модель струнного автогенератора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2003. Т.6. - №4. с. 85-87.

72. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин А.В., Яровой Г.П. Моделирование автоколебаний в генераторе с электромеханическим резонатором // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2003. Второй специальный выпуск, с. 118126.

73. Зайцев В.В., Никулин А.В., Трещев В.М., Яровой Г.П. Динамическая модель струнного акселерометра // Материалы 8-й Всероссийской научно-технической конференции «Методы и средства измерений физических величин», г. Нижний Новгород, 23 декабря 2003 г. с. 7.

74. Зайцев В.В., Никулин А.В., Никулин В.В. Нелинейный резонанс в струнном ЭМР // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2005.- №5. с. 93-98.

75. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983.-320 с.

76. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986.-438 с.

77. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. -М.: Наука, 1969.-288 с.

78. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка// Успехи физических наук. 1999.-Т.169.-№1. с. 7-38.

79. Климонтович Ю.Л. Что такое стохастическая фильтрация и стохастический резонанс? // Успехи физических наук. 1999. Т. 169. - №1. с. 39-47.

80. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003 -544 с.

81. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. - 496 с.

82. Шахгтьдян В.В., Ляховкин А.А. Фазовая автоподстройка частоты. -М.: Сов. Радио, 1966. 512 с.

83. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. М.: Сов. Радио, 1978. - 600 с.

84. Системы фазовой синхронизации // Под ред. В.В. Шахгнльдяна и Л.Н. Белюстиной. -М.: Радио и связь, 1982. -288 с.

85. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Яровой Г.П. Детектор доплеровского смещения частоты на основе ФАП дискретного автогенератора / Сб. статей: Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов. Пенза, 2004. - с. 100-103.

86. Зайцев В.В., Зайцев О.В. Детектор ЧМ-сигнала на основе кольца фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2005. Т.8. - №1. с. 82-84.

87. Манаев ЕМ. Основы радиоэлектроники. М.: Радио и связь, 1985488 с.