Схемы конечномерных редукций фредгольмовых уравнений и их применения в задачах бифуркационного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Схемы конечномерных редукций фредгольмовых уравнений.

1.1. Редукция Каччиополи и ее обобщение.

1.2. Метод Ляпунова-Шмидта.

Глава 2. Нечетные деформации фредгольмовых уравнений вблизи особой точки типа двумерной сборки.

2.1. Дискриминантные множества и Ьг/-расклады для нечетных деформаций двумерных сборок.

• 2.2. Применение к двухточечной краевой задаче.

Глава 3. Нахождение периодических решений автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.1. Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа.

3.2. Фокус со слабым резонансом.

3.3. Фокус с резонансом 1:3.

Глава 4. Бифуркации автоколебаний в RC-генераторах.

4.1. Математические модели RC-генераторов.

4.1.1. Описание RC-структуры с распределенными параметрами.

4.1.2. Одноламповый автогенератор с распределенными параметрами.

4.1.3. Автогенератор на фильтре верхних частот с распределенными параметрами.

4.1.4. Автогенератор на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структурах с распределенными параметрами.

4.1.5. Модели автогенераторов в случае замены RC-структур с распределенными параметрами системами элементов с сосредоточенными сопротивлениями и емкостями.

4.2. Вычисление параметров автоколебаний в RC-генераторах.

4.2.1. Одноламповый автогенератор с сосредоточенными параметрами.

4.2.2. Автогенератор на фильтре верхних частот с сосредоточенными параметрами.

4.2.3. Автогенератор на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структурах с сосредоточенными параметрами.

4.2.4. Одноламповый автогенератор с распределенными параметрами.

4.2.5. Автогенератор на фильтре верхних частот с распределенными параметрами.

4.3. Анализ результатов расчетов.

Широко известно, что многие нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными допускают запись, при соответствующей операторной трактовке, в виде абстрактного нелинейного уравнения

0, (0.1) в котором F - гладкое фредгольмово нулевого индекса отображение, действующее из банахового пространства в банахово пространство • Исследование фредгольмова уравнения (0.1) часто можно осуществить переходом (редукцией) к конечномерному уравнению

S(4) = 0. (0.2)

Впервые математически строго обоснованные схемы редукций бесконечномерных систем к конечномерным были предложены А. М. Ляпуновым и Э. Шмидтом (см. [45], [94]). С помощью схем конечномерной редукции (вариантов метода Ляпунова-Шмидта), описанию которых посвящены работы [9], [42], [81], [82], [59], [39], [7], [23], [24], [90], [91], [65], [62], были исследованы многие нелинейные краевые задачи, при этом наибольшее количество результатов имеется в области локального анализа и теории бифуркаций. Вместе с тем, в бифуркационном анализе до настоящего времени не использовалась в практических расчетах схема нелокальной редукции, предложенная Р. Каччио-поли для построения теории степени фредгольмовых отображений (см. [87], [88], [7] и библиографию в этих источниках). Как удалось недавно выяснить (см. [75]), данная схема особенно полезна при исследовании бифуркаций в условиях нарушения непрерывных симметрий.

Применение тех или иных схем конечномерной редукции преследует цель эффективного сведения анализа фредгольмова уравнения (0.1) и его возмущений к эквивалентной, но более простой задаче анализа уравнения (0.2) в конечномерном пространстве с условием, что левая часть конечномерного уравнения является полиномиальной. Уравнение (0.1), допускающее такое сведение, называется конечноопределенным. При реализации идеи конечной определенности возникает необходимость не только в ее обосновании, но и в разработке алгоритмов, позволяющих извлекать точную информацию об алгебраической структуре полинома &(£,) и его возмущений. Важную роль при этом играют результаты и методы теории особенностей гладких отображений, позволяющие получать существенные продвижения в решении проблемы многомерного вырождения, основными составляющими которой являются задачи описания структур бифуркационных диаграмм и раскладов решений, бифурцирующих из особых точек. Однако до сих пор остаются неисследованными бифуркационные диаграммы многих особенностей, имеющих прикладную актуальность. В частности, особый интерес представляют ситуации, связанные с многомодовыми вырождениями, в которых количество и асимптотика бифурцирующих решений определяются кубическими слагаемыми тейлоровских разложений левой части уравнения (0.2). Такие особенности возникают, как правило, в связи с изучением бифуркаций периодических и условно-периодических решений из сложного фокуса (см. [4], [55], [43], [44] и литературу в этих источниках).

В настоящее время в исследованиях периодических решений выделяются (по количеству применений) метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В. И. Арнольд, А. Д. Брюно и др. (см. [2], [46], [84])) и метод конечномерной редукции (метод Ляпунова-Шмидта с его модификациями). Начало современного этапа в развитии и применениях второго из этих методов (на основе функционального анализа и теории операторов) связывают с работами В. И. Юдовича по бифуркации циклов в гидродинамических системах (см. [85], [86]). Однако, несмотря на внушительные достижения в развитии теории бифуркаций периодических решений, многие ее задачи остались до сих пор недостаточно изученными. Например, мало исследованы случаи многомерного вырождения в сложных фокусах при наличии сильных резонансов (см. [84], [4], [43]).

Основная цель настоящей диссертационной работы - развитие методов конечномерной редукции гладких фредгольмовых уравнений и получение новых применений редуцирующих схем к задачам бифуркационного анализа, а также разработка подходов к описанию дискриминантных множеств и bif-раскладов решений параметрических семейств нелинейных краевых задач в условиях многомодового вырождения.

В работе рассмотрены схема конечномерной редукции Каччиополи с ее обобщением и схема конечномерной редукции Ляпунова-Шмидта, а также их приложения к некоторым бифуркационным задачам. Кроме того, исследованы дискриминатные множества и б/^расклады для нечетных деформаций двумерных сборок вида G(£,) = (^] • + a-'tfy ^>2 + > ^ )Т • Известно (см. [44]), что к данной форме сводятся (линейным преобразованием) многие регулярные кубические отображения, действующие из R в R2. Однако, полного анализа бифуркационных эффектов (включая информацию о геометрическом строении дискриминантного множества), вызванных деформациями такой особенности, до настоящего времени проведено не было.

В качестве одного из возможных приложений развитых в диссертации методов конечномерной редукции рассмотрена задача вычисления параметров периодических решений, бифурцирующих из нулевой точки покоя автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью. При исследовании данной задачи в случае сложного фокуса использована конечномерная редукция по обобщенной схеме Каччиополи, дающая, с нашей точки зрения, новое освещение процедуры вычисления циклов, бифурцирующих из сложного фокуса по двум модам. Опираясь на данную схему и метод Ляпунова-Шмидта (см. [9], [59]), можно построить эффективную процедуру вычисления и анализа бифурцирующих циклов (включая случаи сильных резонансов).

Другой рассмотренной в диссертации задачей является задача вычисления параметров автоколебаний в RC-генераторах. Как известно, автогенераторы — источники незатухающих автоколебаний, т. е. колебательных процессов, существующих без внешнего периодического воздействия, - находят широкое применение в современной радиотехнике. При этом RC-генераторы, т. е. автогенераторы, созданные на основе RC-структур с распределенными параметрами, представляют особый интерес, так как обладают рядом преимуществ по сравнению с LC-генераторами, в частности, удовлетворяют требованиям уменьшения размеров устройств, повышения надежности и простоты конструкции. В связи с этим, исследование процессов в RC-генераторах, в частности, расчет параметров автоколебаний, является весьма актуальной задачей, к которой обращались многие авторы (см., например, [10], [26]-[38], [48] - [54], [92], [93]). При этом использовались, главным образом, метод малого параметра и метод нормальных форм. В настоящей диссертации задача вычисления параметров колебаний в RC-генераторах рассмотрена с позиции методов конечномерной редукции фредгольмовых уравнений в бесконечномерных банаховых функциональных пространствах.

Заключение

Основные научные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. Получили дальнейшее развитие методы конечномерной редукции гладких фредголь-мовых уравнений в применении к задачам бифуркационного анализа, в частности, предложено обобщение схемы конечномерной редукции Каччиополи.

2. Исследованы дискриминантные множества и bif-расклады в точках фредгольмовых особенностей типа двумерной сборки (для нечетных версальных деформаций). Получено приложение к двухточечной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений в случае двумерного вырождения.

3. Получено приложение методов конечномерной редукции фредгольмовых уравнений (схемы Ляпунова-Шмидта и обобщенной схемы Каччиополи) к задаче вычисления параметров периодических решений автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью в случае циклов, бифурцирующих из сложных фокусов со слабым резонансом и с резонансом 1:3.

4. Полученные результаты для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений использованы для расчета параметров автоколебаний в одноламповом автогенераторе, в автогенераторе на фильтре верхних частот и в автогенераторе на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структурах в случае замены RC-структур с распределенными параметрами системами элементов с сосредоточенными сопротивлениями и емкостями.

5. Получено приложение метода конечномерной редукции Ляпунова-Шмидта к задаче бифуркации автоколебаний в одноламповом автогенераторе с распределенными параметрами и в автогенераторе на фильтре верхних частот с распределенными параметрами.

6. Установлено, что полученные формулы для параметров автоколебаний в рассмотренных RC-генераторах хорошо согласуются с результатами численного моделирования их работы.

1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. - М.: ■ Наука, 1981.-568 с.

2. Арнольд В. И. Математические аспекты классической и небесной механики / В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. - Т. 3. - С. 1-304.

3. Арнольд В. И. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов / В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гу-сейн-Заде. М.: Наука, 1982. - 304 с.

4. Бибиков Ю. Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации / Ю. Н. Бибиков. Ленинград: изд. ЛГУ, 1991. - 144 с.

5. Бондаренко В. Г. RC-генераторы синусоидальных колебаний / В. Г. Бондаренко. М.: Связь, 1976.-208 с.

6. Борисович Ю. Г. К теории нелинейных фредгольмовых отображений / Ю. Г. Борисович, Ю.И.Сапронов// Труды VII летней математической школы. Изд. АН УССР, 1971.-С. 128-163.

7. Борисович Ю. Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю. Г. Борисович, В. Г. Звягин, Ю. И. Сапронов // Успехи математических наук. 1977. -Т. 32, Вып. 4.-С. 3-54.

8. Борисович Ю. Г. О разрешимости нелинейных уравнений с фредгольмовыми операторами / Ю. Г. Борисович // Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах. -Воронеж, 1984.-С. 3-32.

9. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. М.: Наука, 1969. - 528 с.

10. Воробьев А. М. Релаксационные колебания в RC-автогенераторах с распределенными параметрами / А.М.Воробьев, В. Ф. Камбулов, А. С. Прудниченко // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. - Т. 40, № 12. - С. 62-64.

11. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор. М.: Мир, 1984. - Т. 1. - 350 е., Т. 2.-285 с.

12. Голубицкий М. Устойчивые отображения и их особенности / М. Голубицкий, В. Гийе-мин. М: Мир, 1978. - 290 с.

13. ДаринскийБ. М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов // Известия ВУЗов. Математика. Казань, 1997. -Т. 2.-С. 35-46.

14. Даринский Б. М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов // Понт-рягинские чтения XI: Сб. науч. тр. - Воронеж, 2000. - Часть 1. - С. 57-64.

15. ДымарскийЯ. М. О типичных бифуркациях в одном классе операторных уравнений / Я. М. Дымарский // ДАН СССР. 1994. - Т. 338, № 4. - С. 446-449.

16. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления / Д. П. Желобенко. М.: Наука, 1970. - 664 с.

17. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Зайцев. Л.: ЛГПИ, 1989. - 80 с.

18. Зайцев В. Ф. Дискретно групповой метод интегрирования уравнений нелинейной механики / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин; ИПМ АН СССР. Препринт № 339. - М., 1988.-44 с.

19. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Зайцев, А. В. Флегонтов. Л.: ЛИИАН, 1991. - 240 с.

20. Зачепа В. Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В. Р. Зачепа, Ю. И. Сапронов. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 2002. - 185 с.

21. Зачепа В. Р. О локальном анализе нелинейных фредгольмовых уравнений / В. Р. Зачепа, Ю. И. Сапронов // Труды НИИМ им. В. А. Стеклова. 1983. - Т. 154. - С. 113-117.

22. Зачепа В. Р. О регулярно ветвящихся решениях фредгольмовых уравнений / В. Р. Зачепа // Современные методы в теории.краевых задач. Воронеж, 2000. - С. 65-73.

23. Иллс Дж. Основания глобального анализа / Дж. Иллс // Успехи математических наук.1969. Т. 24, №3.- С. 157-210.

24. Иллс Дж. Фредгольмовы структуры / Дж. Иллс // Успехи математических наук. 1971. -Т. 26,№6.-С. 213-240.

25. Йосс Ж. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж. Йосс, Д. Джозеф. М.: Мир, 1983.-302 с.

26. Камбулов В. Ф. Автогенераторы с распределенными параметрами и их математические модели / В. Ф. Камбулов, А. С. Прудниченко. Ярославль: ЗАО ФГИ "Содействие", 1997.-Кн. 1. - 113 с.

27. Камбулов В. Ф. Автогенераторы с распределенными параметрами и их математические модели / В. Ф. Камбулов, А. С. Прудниченко. Ярославль: ЗАО ФГИ "Содействие", 1997. - Кн. 2. - 115 с.

28. Камбулов В. Ф. Автоколебательные системы: Учебное пособие Минвуз. РСФСР / В. Ф. Камбулов, А. Н. Куликов. Ярославль: Изд-во Яросл. ун-та, 1986. - 74 с.

29. Камбулов В. Ф. Анализ процессов в одной системе с распределенными параметрами / В. Ф. Камбулов // Моделирование и анализ вычислительных систем. Ярославль, 1987.-С. 163-169.

30. Камбулов В. Ф. Бифуркация автоколебаний в одном RC-генераторе с распределенными параметрами при асимметричной нелинейной характеристике / В. Ф. Камбулов // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. - Т. 40, № 10. - С. 60-67.

31. КамбуловВ. Ф. Влияние асимметрии нелинейной характеристики усилителя на автоколебательные режимы в одном RC-автогенераторе с распределенными параметрами /

32. B. Ф.Камбулов// Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль, 1985.1. C. 49-51.

33. Камбулов В. Ф. Влияние инерционных свойств усилительного каскада на работу автогенератора с распределенными RC-параметрами в цепи обратной связи / В. Ф. Камбулов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль, 1977. -С. 25-32.

34. Камбулов В. Ф. Параметрические колебания в RC-автогенераторе с распределенными параметрами / В. Ф. Камбулов, А. С. Прудниченко // Изв. вузов. Радиоэлектроника. -1997.-Т. 40, №9.-С. 29-36.

35. Камбулов В. Ф. Построение периодического решения одной нелинейной краевой задачи параболического типа / В. Ф. Камбулов // Дифференциальные уравнения и некоторые их приложения. Тюмень, 1983С. 29-47.

36. Камбулов В. Ф. Управляемый автогенератор на гибридной RC-структуре в цепи обратной связи / В. Ф. Камбулов, Е. А. Ширшиков // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс, 1978. - Вып. 20. - С. 9-14.

37. Ко лесов Ю. С. Автоколебания в генераторе с распределенными параметрами / Ю. С. Колесов, В. И. Непринцев // Дифференциальные уравнения. 1972. - Т. 8, № 2. -С. 2087-2089.

38. Колесов Ю. С. Автоколебания в системах с распределенными параметрами / Ю. С. Колесов, В. С. Колесов, И. И. Федик. Киев: Наукова думка, 1979. - 162 с.

39. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 512 с.

40. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг. М.: Мир, 1967.-204 с.

41. Логинов Б. В. О применении непрерывных групп в теории ветвления / Б. В. Логинов, В. А. Треногин // ДАН СССР. 1971. - Т. 197, Вып. 1. - С. 36-39.

42. Логинов Б. В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б. В. Логинов. Ташкент: Фан, 1985. - 184 с.

43. Любасова Г. Ю. Бифуркации инвариантных торов из трехкратной особой точки без сильных резонансов / Г. Ю. Любасова // Глобальный и стохастический анализ. Воронеж, 1995. - С. 57-68.

44. Любасова Г. Ю. О бифуркации инвариантных торов из сложного фокуса при двукратном и трехкратном вырождении без сильных резонансов / Г. Ю. Любасова; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1988. - 52 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.04.88, № 2962-В88.

45. Ляпунов А. М. Sur les figures d'equilibre peu differentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation / A. M. Ляпунов // Зап. Акад. наук. -СПб., 1906.-P. 1.

46. Марсден Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. М.: Мир, 1980. - 368 с.

47. Мищенко А. С. Векторные расслоения и их применения / А. С. Мищенко. М.: Наука, 1984. - 208 с.

48. Непринцев В. И. Автогенераторы с распределенными параметрами, их математические модели и методы анализа / В. И. Непринцев // Труды VIII Международного конгресса по нелинейным колебаниям. Прага, 1978. - С. 993-997.

49. Непринцев В. И. Автогенераторы с RC-распределенными параметрами и нелинейные краевые задачи для их описания / В. И. Непринцев, И. Я. Балаж, В. Ф. Камбулов // Труды Международной конференции по электронным цепям. Прага, 1976. - С. 194-195.

50. Непринцев В. И. Высшие гармоники и переходной процесс в автогенераторе с нелинейной RC-структурой / В. И. Непринцев // Радиотехника и электроника. 1978. -Т. 23, №11.-С. 2336-2339.

51. Непринцев В. И. Исследование автогенераторов на распределенных структурах / В. И. Непринцев, В. Ф. Камбулов, Ю. С. Колесов // Избирательные системы с обратной связью.-Таганрог, 1974.-С. 169-175.

52. Непринцев В. И. Исследование автоколебаний и вопросов построения автогенераторов на основе RC-структур с распределенными параметрами: Дис. . канд. физ.-мат. наук / В. И. Непринцев. Воронеж, 1974. - 136 с.

53. Непринцев В. И. Нелинейные искажения в автогенераторах с распределенной RC-структурой в цепи обратной связи / В. И. Непринцев, В. Ф. Камбулов // Радиотехника и электроника. 1975. - Т. 20, № 5. - С. 982-993.

54. Непринцев В. И. Переходной процесс в автогенераторе с распределенными параметрами / В. И. Непринцев, В. Ф. Камбулов, Б. Л. Корыстен // Труды III конференции с Международным участием по электронным цепям. Прага, 1979. - С. 167-169.

55. Николенко Н. В. Инвариантные асимптотически устойчивые торы возмущенного уравнения Кортевега-де-Фриза / Н. В. Николенко // Успехи математических наук. 1980. -Т. 35, Вып. 5.-С. 121-180.

56. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг. М.: Мир, 1977.-232 с.

57. ОлверП. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. М.: Мир, 1989. - 639 с.

58. Постон Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт. М.: Мир, 1980. - 608 с.

59. Приближенное решение операторных уравнений / Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, М. А. Красносельский и др. М.: Наука, 1969. - 456 с.

60. Рабинович М. И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Тру-бецков. М.: Наука, 1984. - 432 с.

61. Сапронов Ю. И. Ветвление решений гладких фредгольмовых уравнений / Ю. И. Сапронов // В кн.: Уравнения на многообразиях. Воронеж, 1982. - С. 60-82.

62. Сапронов Ю. И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю. И. Сапронов // Успехи математических наук. 1996. - Т. 51, Вып. 1. - С. 101-132.

63. Сапронов Ю. И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю. И. Сапронов // Математические заметки. 1991. - Т. 49, Вып. 1. - С. 94-103.

64. Сапронов Ю. И. О локальной обратимости нелинейных фредгольмовых отображений / Ю. И. Сапронов // Функциональный анализ и его приложения. 1971. - Т. 5, Вып. 4. -С. 38-43.

65. Сапронов Ю. И. Регулярные возмущения фредгольмова отображения и теорема о нечетном. поле / Ю. И. Сапронов // Труды математического факультета ВГУ. Воронеж, 1973.-Вып. 10.-С. 82-88.

66. Сапронов Ю. И. Существование и сравнение конечномерных редукций для гладких функционалов / Ю. И. Сапронов // В кн.: Глобальный и стохастический анализ. Воронеж, 1995. - С. 69-90.

67. Сапронова Т. Ю. Квазиинвариантные подмногообразия фредгольмовых функционалов / Т. Ю. Сапронова // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. Воронеж, 1999. - С. 150-155.

68. Сапронова Т. Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов / Т. Ю. Сапронова // В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, 2000. - С. 107-124.

69. Сапронова Т. Ю. О разрушении компактных критических орбит инвариантных фредгольмовых функционалов при несимметричных возмущениях / Т. Ю. Сапронова // Труды математического факультета. Новая серия. Воронеж, 1997. - № 2. - С. 54-58.

70. Смольянов В. А. Вычисление амплитуд циклов, бифурцирующих из сложного фокуса с резонансом 1:3 / В. А. Смольянов // Сборник трудов молодых ученых математичес• кого факультета ВГУ. -Воронеж, 2001. -С. 138-143.

71. Смольянов В. А. Дискриминантные множества и bif-расклады для нечетных деформаций двумерных сборок / В. А. Смольянов; Воронеж, гос. ун-т; НИИМ. Препринт № 7. - Воронеж, 2002 - 18 с.

72. Смольянов В. А. Компьютерные эксперименты с моделями автогенераторов с распределенными параметрами / В. А. Смольянов, А. В. Кретинин, С. В. Сопрыкин // I Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков: Тез. докл. — СПб., 1997. -С. 39.

73. Смольянов В. А. Обобщенная редукция Каччиополи и бифуркация решений уравнений при разрушении непрерывных симметрий / В. А. Смольянов, Ю. И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения.-Воронеж, 2001. С. 125-139.

74. Смольянов В. А. Об одном обобщении редукции Каччиополи / В. А. Смольянов, Ю. И. Сапронов // Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы": Тез. докл. Воронеж, 2001. - С. 233-234.

75. Смольянов В. А. Построение и анализ амплитудных уравнений для колебаний в RC-re-нераторах с распределенными параметрами / В. А. Смольянов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань, 2001. — № 5. -С. 160-161.

76. Смольянов В. А. Применение метода Ляпунова-Шмидта к расчету автоколебаний в RC-генераторе на фильтре верхних частот / В. А. Смольянов // Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж, 2002. - Вып. 1. - С. 29-35.

77. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложениях к электронике / Э. Скотт. М.: Советское радио, 1977. - 367 с.

78. В. А. Треногин, Б. В. Логинов, Н. А. Сидоров // ДАН СССР. 1989. - Т. 309, № 2. -С. 286-289.

79. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли / Ф. Уорнер. М.: Мир, 1987.-304 с.

80. Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, И. Вэн, Н. Казаринов. М.: Мир, 1985. - 280 с.

81. ЮдовичВ. И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися цилиндрами / В. И. Юдович // Прикладная математика и механика. 1966. - Т. 30, Вып. 4. - С. 688-698.

82. Юдович В. И. О бифуркации вращательных движений жидкости / В. И. ЮдОвич // ДАН СССР. 1966. - Т. 169, № 2. - С. 306-309.

83. Cacciopolli R. Sulle corrispondenze funzionali inverse diramate: teoria generale e applica-zioni ad alcune equazioni non-lineari .e al problema di Plateau / R Cacciopolli // Rend. Acc. Lincei. 1936. - V. 24. - P. 258-263, P. 416-421.

84. Cacciopolli R. Un principio diinversioni per le corrispondenze funzionali e sue applicazioni able equazione a derivate parzidle / R Cacciopolli // Rend. Acc. Lincei. 1932. - V. 16. -P. 390-395, P. 484-489.

85. Dymarskii Ya. M. The periodic choquard equation / Ya. M. Dymarskii // Operator theory: Advances and applications. Birkhauser Verlag Bazel; Switzerland. - 2000. - V. 117. -P. 87-99.

86. Marsden J. E. On the Geometry of the Liapunow-Schmidt procedure / J. E. Marsden // Lect. Notes in Math. 1979. - V. 755. - P. 77-82.

87. Marsden J. E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J. E. Marsden// Bull. Amer. Math. Soc. 1978. - V. 84, № 6.

88. Neprintsev V. I. Nonlinear equation of oscillator with distributed parameters and his solution / V. I. Neprintsev, V. F. Kambulov, Yu. S. Kolesov // Proc. of European Conference of Circuit Theory and Design. IEE. London, 1974. - P. 194-198.

89. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Teil 3: Uber die Auflosungen der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen / E. Schmidt // Math. Ann. 1908. - V. 65. - P. 370-399.

90. Smale S. An infinite dimensional version of Sard's theorem / S. Smale // Amer. J. Math. -1965.-V. 87.-P. 861-866.