Многомодовые прогибы слабо неоднородных упругих систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ии344736Э

Костин Дмитрий Владимирович

Многомодовые прогибы слабо неоднородных упругих систем

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 о СЕН 2008

ВОРОНЕЖ - 2008

003447369

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Задорожний Владимир Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Семенов Михаил Евгеньевич

Ведущая организация: Челябинский государственный университет

Защита состоится 14 октября 2008г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете по адресу: 394093, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " 9 " сентября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22

доктор ф.-м. наук, профессор Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы. Ряд краевых задач теории упругих систем естественным образом допускает, при соответствующих операторных трактовках уравнений, эквивалентную постановку в виде вариационной задачи

ВД — И,

в которой Уд (ж) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционалов 1 2, заданное на банаховом пространств Е, X — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве Ь (конечномерном или бесконечномерном). Фродгольмовость функционала означает, но определению, фредгольмовость (пулевого индекса) соответствующего ему градиентного отображения /д : Е —> F, где F — некоторое 6анахо1Ю пространство (пространство значений градиента). Градиент определяется традиционным образом — через соотношение

|=</(*•),/I),

где (•, •) — скалярное произведение, взятое из некоторого гильбертова пространства Н, содержащем Е и Е как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в Р. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, Р, Я}, и используется обозначение / = дгас1 V.

В диссертация рассмотрены два (основных) примера краевых задач: 1) задача о 2-модовых закритичееких прогибах слабо неоднородной упругой балки на упругом основании, определяемых уравнением

сР ( (Рги\ сРю , , , , % , _

d^\ql¿i)+KlL¡?+aW + W = ' Ч{х) = 1 + е1{х), (е.1)

'Красносельский М.А, Бобылев Н.А , Мухамадпев ЭМ Об одной схеме исследования вырожденных экпречалей функционалов классическою вариационного исчислении// Доклады АН СССР, 1078- Т.240, вып 3 - С.530-533.

2Санронов Ю И Конечномерные редукции в иыдких экстремальных чадачах// Уп1ехи ма>ем. 1щк. - 1096 - Т51, вып. 1. - С.101-132.

при краевых условиях

ш(0) = ш(1) = ги"(0)=го"(1) = 0, (6.1)

и 2) задача о 2-модовых закритических прогибах слабо неоднородной упругой пластины, определяемых уравнениями Кармана

Д(<7 Аги) - [ю, <р] + Аюхх = + = 0 (е.2)

при краевых условиях

и> = Дш = <р = А<р = 0|п„. (6.2)

(ъи и (р — функции прогиба и напряжения пластины, А - оператор Лапласа, [ю,(р] := гихх<руу + Шууфхх - 2юху1рху, = [0, а] х [0,1], А — параметр нагрузки).

Потенциалами этих задач служат соответствующие функционалы энергии

и

I |Ди)|2 - АК,|2) + 1 [Д"1^^]!2) Шу. (4)

па

При е = 0 (в случае однородных балки и пластины) полный бифуркационный анализ этих задач был осуществлен Ю.И. Сапроновым и Б.М. Даринским 3 4. В диссертации изложен результат анализа этих краевых задач при малых е Ф 0- Переход к случаю неоднородной балки и неоднородной пластины потребовал перестройки в вычислительной схеме Дарипского — Сапронова, в основе которой лежало условие постоянства пары собственных функций еь е2 линейной части уравнения в нуле

:!Б.М. Д.финс кий, Ю И Сапронов, "Двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для .уравнения четверюго порядка", Поптрягинекие чтеиия - XI, Сборник 1рудов. Часть 1, Воронеж, ВГУ, 2000, 57-64.

1Б.М Даринский, Ю И. Сапронов, С.Л. Царев, "Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов", Современная матемагика. Фундаментальные направления, М. МАИ Т12 2004, 3-140.

при всех значениях параметров. В случае неоднородности это условие нарушается и, более того, оно не допускает обобщения, например, в виде условии существования непрерывного семейства собственных функций. В схеме, предложенной в диссертации, условие постоянных собственных функций заменено условием существования пары гладких параметрических семейств функций е^ег, линейная оболочка которых инвариантна относительно линейной части уравнения в нуле. Такая пара, в случае ее построения, позволяет, как показано в диссертации, провести полный анализ ветвления равновесных конфигураций балки и пластины в условиях слабой неоднородности. Решение данной задачи представляет реальный интерес для теории посткритического анализа упругих систем. Представляет интерес и задача выяснение зависимости "геометрии прогиба" от "характера неоднородности".

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация методов бифуркационного анализа нелинейных краевых задач теории упругих систем в условиях многомодового вырождения и понижения дискретной симметрии, а также описание каустики и классификация раскладов бифурцирующих равновесных конфигураций слабо неоднородных упругих балок и пластин в случай 2-модовых вырождений.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Базу развитой в диссертации аналитической схемы составляет модифицированный метод Ляпунова - Шмидта, оснащенный конструкциями теории особенностей гладких функций.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработана новая схема анализа бифуркаций нелинейных краевых задач I! условиях многомодового вырождения и понижения симметрии параллелепипеда.

2. Дано описание каустики и получена классификация раскладов би-фурцирующих решений в случаях 2-модовых вырождений уравнений равновесных состояний слабо неоднородных упругих балок и пластин.

3. Дано описание аналитической зависимости закритичееких прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности.

4. Проведена компьютерная апробация разработанной аналитической схемы и, как следствие, получена полная визуализация бифуркационного анализа слабо неоднородных упругих балок и пластин.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и новое развитие методу фредгольмовых уравнений в теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач. Описание геометрии каустик, классификация бифурцирующих раскладов решений и описание аналитической зависимости прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности могут найти применение в задачах современной теории посткритического анализа упругих систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (г. С-Петербург, 2006, 2008 г.г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (г. Москва, 2007 г.), па семинаре ВГУ но бифуркационному анализу нелинейных задач (руководитель — проф. Сапронов Ю.И.), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (г. Воронеж, 2004 г., 2006 г. 2008 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 работах [1| - [12]. В совместных публикациях [1],[12] соаитору принадлежит постановка задач.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 69 наименований. Общий объем диссертации — 111 стр.

Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (10 рисунков), выполненной в среде Maple.

Краткое содержание работы

Первая глава носит, в основном, пропедевтический характер. В ней содержится краткое изложение ряда известных результатов по исследованию бифуркаций решений краевых задач, адаптированное к ситуации, рассматриваемой и диссертации.

Во второй главе приведены результаты исследования бифуркаций экстремалей абстрактного фредгольмова функционала из особой точки с многомерным вырождением при нарушении симметрии параллелепипеда. Симметрия параллелепипеда означает инвариантность функционала относительно ортогонального (в Н) действия группы Z!J, заданного набором коммутирующих инволюций, с условием, что линейная оболочка N основных мод бифуркации (по которым вырождается краевая задача) инвариантна относительно этого действия, а индуцированное действие па N является полуточным, т.е. с единственной неподвижной точкой (в нуле). Материал главы опирается на конечномерные редукции — аппарат исследования потенциальных физических систем с неединственностью состояний.

Вариационную версию редуцирующей схемы Ляпунова-Шмидта можно представить в виде нелинейного аналога ритцевекой аппроксимации.

Классической ритцевской аппроксимацией функционала V на банаховом пространстве Е называется функция

£ = (£ъ ... ,ит,

где е\, ... ,еп — некоторый линейно независимый набор векторов в Е (базис ритцевской аппроксимации). Экстремалям £ = (£ь ... ,£п)т

п

функции IV соответствуют точки х = ^ ^е,, называемые ритцевскими аппроксимациями экстремалей V. Точность ритцевских аппроксимаций повышается за счет увеличения количества базисных элементов. Если, обобщая, рассмотреть "нелинейные" аппроксимации вида

где Ф — гладкое отображение из N := зрап{е\, ..., еп) в Ы1 (ортогональное дополнение к N в метрике пространства функций с суммируемым квадратом), то можно добиваться любой аппроксимативной точности при фиксированном наборе базисных функций и, следовательно, априори ограниченном количестве степеней свободы аппроксимирующей системы.

Если функционал V инвариантен относительно ортогонального действия группы и допускает эквивариантную редукцию Ляпунова -Шмидта, то соответствующая ключевая функция IV также инвариантна относительно группы Щ. Следовательно, в некоторой системе координат па N для IV имеем следующие соотношения:

Во второй главе приведено описание известной процедуры вычисления главной части ключевой функции IV в случае базиса ритцевской

аппроксимации, составленного из собственных функций, и предложена модификация этой процедуры для случая произвольного базиса.

В диссертации показано (теоремы 1, 2), что на основе формулы ортогонального проектора на корневое подпространство возмущенного симметричного оператора, приведенной в монографии В.П.Маслова "Асимптотические методы и теория возмущений" (Наука, М., 1988), можно построить базис ритцевской аппроксимации (после понижения симметрии) и на его основе построить главную часть ключевой функции. В случае двух ключевых переменных проведен анализ локального строения каустик (теорема 3) — посредством вторичной редукции к угловой переменной (в полярной системе координат).

Обоснование того, что отбрасывание "тейлоровского хвоста" и "лишних" мономов в ключевой функции не изменяет топологию изучаемых сечений каустик и структуру bif—раскладов, проведено на основе теорем о конечной определенности ростков функций и их деформаций 5.

В третьей главе изложена схема анализа бифуркаций равновесных конфигураций слабо неоднородной упругой балки на упругом основании (раздел 3.1) в условиях двухмодового вырождения (на базе общих утверждений второй главы). Колебания и волновые движения упругой балки на упругом основании изучали Ю.А. Митропольский, Б.И. Мосеенков, J.M.T. Thompson, H.B. Stewart, B.C. Бардин, С.Д. Фурта и др.. Простейшая нелинейная (промасштабированпая) модель движений однородной балки описывается уравнением

d2w dAw d2w о

где w — прогиб балки (поле смещений точек средней линии упругой балки, расположенной вдоль оси х).

"Арнольд В И. Особенности диффе[хчщ1ф>рмых оюбражепий/ В И. Арнольд, А Н. Еарчепко, СМ Гучейн-Заде// М. МЦНМО. 2004. - 672 с.

Как известно, первый шаг в изучении такой задачи — отыскание равновесных (стационарных) состояний, определяемых уравнением

(1Аи) (Рт ч , „

_ + к_ + сш + и;3 = 0. (5)

Если рассмотреть стандартные краевые; условия (Ь.1), то полученная граничная задача может допускать 2—мерные вырождения, порождающие 2—модовые бифуркации.

Уравнение (5) является уравнением Эйлера для экстремалей функционала

■/(К

'•»ЧМ^К»

Двумерное вырождение нулевой экстремали происходит при

« = «1 := (р2 + <72)7г2, а = а1:=р2 д2ж4,

со стандартными модами бифуркации

е\ ~ у/2зт{рттх), = у/^вт^жх).

Далее предполагается, чтор =1, q = 2п, соответственно, кх = 5тг2, а\ = 47г4 (эти значения являются наименьшими из тех, при которых происходит 2-мерное вырождение; в остальных случаях анализ аналогичен), := к — «1, ¿2 := а — а\ — закритические приращения, А1 = 5]. — я-2^, А1 = ¿1 - 7Г252.

Анализ бифуркационных эффектов осуществляется посредством редукции к (ключевой) функции

\У{£,5)= т£ У(ш,а1 + <5ьК1 + <52),

ТО <Ш,Г 1)=5ь (Ю,Г2)=Й

£ = 5 = (51,5а)-

Так как функционал V инвариантен относительно инволюций Мр)(х) :=р(1 -х), 10

то функция IV обладает симметрией прямоугольного параллелограмма:

из которой вытекает справедливость асимптотического представления

\У(£,5) = и(и) + о№4) + 0(№1)0(5),

где и(£,<$) = ~ линейная ритцевская аппроксимация

функционала V по модам е.\,еч- Таким образом, для нормализованной ключевой функции IV' имеет место асимптотическое представление

уС? + + \ Ш + 2т + + о(1^|4) + 0(|£|4)0(<5),

"Геометрический сюжет" бифуркации критических точек и первые асимптотики ветвей бифурцирующих точек (по закритическим приращениям управляющих параметров) для функции IV полностью определяются ее главной частью С/, которая представляет собой "возмущенную двумерную сборку" (с коэффициентом двойного отношения а = 2), четную по каждой переменной.

Каустика (бифуркационная диаграмма функций) Еу функции 0 разбивает плоскость управляющих параметров на шесть ячеек регулярности. Каждой ячейке соответствует один из следующих раскладов бифурцирующих критических точек: (1,0,0), (2,1,0), (2,2,1), (4,4,1) 6.

Упругие равновесия слабо неоднородной балки описываются уравнением (е.1), в котором е — малый параметр, 7 — гладкая функция. Уравнение (е.1) (рассматриваемое на отрезке [0,1] числовой оси при тех же (что и вьгггге) краевых условиях (Ь.1)) определяет экстремали функционала (3).

Параметры 81,82 вместе с параметром е образуют трехмерное пространство параметров К3.

г,Компопенга строки (/о,/I,ракпа ко'шчегшу кршических точек с индексом Морса к и раехчеирицлочо'л раскладе бифурцирующих критических точек.

Теорема 4. В краевой задаче (е.1),(Ь.1) подмножество М3\Е(/) (дополнение к дискриминант/тому множеству), рассмотренное в достаточно малой окрестности нуля, состоит из четырех связных открытых подмножеств Г2ь Из, О. г, и Г2д (ячеек регулярности), которым соответствуют Ы$-расклады (1,0,0), (2,1,0), (2,2,1) и (4,4>1)-

Доказательство этой теоремы и дальнейший анализ бифуркационных эффектов осуществляегся посредством редукции к (ключевой) функции. Весовой множитель q препятствует применению исследовательской схемы Даринского - Сапронова. Тем не менее, бифуркационный анализ решений рассмотренной краевой задачи также можно осуществить посредством редукции к ключевой функции более общего вида

Ш _ У(ю,а1+51,к1+62),

IV (»лЖь (ш,е2)=£2 где {е^} — "возмущенные" моды бифуркации:

ёк = ек + £Ик + о(е),

образующие базис в 2—мерном корневом подпространстве оператора Гессе Н = А + еВ в нуле, где

(элементы ек не являются, как иравило, собственными функциями оператора Н).

Основная техническая трудность в построении главной части ключевой функции состоит в вычислении коэффициентов /ц-. Их можно определить на основе формулы ортогонального проектора на корневое подпространство возмущенного симметричного оператора. Таким образом, вместо собственных функций рассмотрены такие элементы е,(А).

ек = \/28т(кпх)

j = 1,2, для которых

0.

Ox

&0,А)е,(А) = 5>д(А)еЦА).

к

Функции e"j(A) называются корневыми. Входящие в эти соотношения функции ад(A), e"j(A) гладко зависят от А. В качестве искомых базисных элементов можно взять

ei(A) .= P(A)(efc),

где

PÍA) =

(А) = ¿jn\,z)dz

— ортоироектор на двумерное корневое подпространство, I — окружность достаточно малого радиуса с центром в нуле (па комплексной плоскости), lZ(X,z) — резольвента:

ЩХ,z) = ((А + еВ- ziy1.

Таким образом,

ёк = ek + ehk + o(e),

где

hk = Мек, М := J- {(А - ziylB{A - zl)~ldz.

2т J

е

Для получения корневых векторов ёк необходимо вычислить интеграл

Мвк = j> {A-ziylB(A-ziylekdz,

l-l=i

(с учетом краевых условий). Здесь I — контур |z| = 1.

Соответствующие соотношения для возмущенных корневых функций представлены в теореме 5. На основе полученных соотношений выведены

формулы для коэффициентов главной части ключевой функции (теорема 6). После представления ключевой функции в нормальной форме

V) = \ {Ъ + Щ (I + 2 щ Щ + -А (£ + 4ЙЙ + $ +

дано описание каустики и btf—раскладов по методике, изложенной во второй главе. В результате дано доказательство теоремы 4 и осуществлен полный анализ геометрической структуры дискриминантного множества и его дополнения, а также найдены все расклады бифурцирующих решений, соответствующих ячейкам регулярности. В диссертации приведены трехмерные изображения каустики (полученные в компьютерной среде Maple) и метаморфоз линий уровней ключевой функции.

Аналогичный анализ проведен и в случае для уравнения Кармана — краевой задачи (е.2), (Ь.2) (раздел 3.2, теоремы 7 - 9).

Публикации автора по теме диссертации

[1] Костин Д.В. Бифуркация равновесий неоднородной упругой балки с квадратичной силой упругой реакции/Д.В. Костин, Ю.И. Сапронов// Воронежская зимняя математическая школа - 2004. Воронеж: ВорГУ, 2004. С.63-64.

[2| Косгин Д.В. Плоские сечения дискриминантного множества для уравнения прогибов слабо неоднородной упругой балки/Д.В. Костин// Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2006. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 200G. С.54.

[3] Костин Д.В. Построение ключевой функции в краевой задаче, определяющей посткритические равновесные конфигурации слабо неоднородной балки/Д.В. Костин// Межвузовский сборник трудов семинара по

фундаментальному и прикладному анализу.-Старый Оскол, 2006. С.51-59.

|4] Костин Д.В. Ортопроектор теории возмущения линейных операторов и бифуркации равновесия слабо неоднородной упругой балки/Д.В. Костин// Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крей-на - 2006. Воронеж: ВорГУ, 2006. - С. 106-113.

[5] Костин Д.В. О двухмодовых бифуркациях равновесных конфигураций слабо неоднородной балки на упругом основании/Д.В. Костин// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2006. Материалы научной конференции. - СПб., 2006. - С. 94-99.

[6| Костин Д.В. Бифуркации равновесий конфигураций слабо неоднородной балки/Д.В. Костин// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтря-гинские чтения - XVIII 2007. - Воронеж: ВорГУ, 2007 - С. 94-95.

[7] Костин Д.В. Анализ нетления равновесных конфигураций неоднородной балки/Д.В. Костин// Международная конференция, посвященная памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского): Тезисы докладов. - М.. Изд-во МГУ, 2007. -С. 158.

[8| Костин Д.В. Применение формулы Маслова для асимптотического решения одной задачи об упругих деформациях /Д.В. Костин// Матсм. заметки, 2008, 83:1. - С. 50-60.

[9| Костин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки/Д.В. Костин// Доклады Академии Наук, 2008, том 418, №4, - С. 295-299

[10] Костин Д.В. Об одной схеме бифуркационного анализа фредголь-мовых уравнений/Д.В. Костин// Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С.

[И] Костин Д.В. Двухмодовые бифуркации решений уравнении Кармана в случае слабо неоднородной пластины/Д.В. Костин// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2008. Материалы научной конференции, 14-19 апрели 2008. - СПб., 2008. - С. 71 -73.

[12] Костин Д.В. Применение асимптотических методов теории линейных операторов в анализе бифуркаций экстремалей /Д.В. Костин, Ю.И. Сапронов// Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крсйна - 2008. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С.172-179.

Работы [8], [9] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Подписано в печать 01.09.08. Формат 60x84 1/,в. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 1624

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение

1 Метод фредгольмовых функционалов в теории нелинейных краевых задач.

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.2 Фредгольмовы функционалы.

1.3 Леммы Морса.

1.4 Фредгольмовы функционалы с групповой симметрией.

1.5 Фредгольмовы уравнения с параметрами.

1.6 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная).

1.7 Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта.

1.8 Редукция Морса - Ботта.

1.9 Обобщенная редукция.

1.10 Квазиинвариантные подмногообразия.

1.11 Приближенное вычисление ключевой функции.

1.12 Дискриминантные множества.

1.13 Топологическое сравнение ключевых функций и условия конечной определенности.

1.14 Точка минимума фредгольмова функционала с особенностью многомерной сборки.

1.15 Некоторые общие утверждения о бифуркации экстремалей из точки минимума с особенностью сборки.

1.16 Максимальные bif-расклады критических точек в случае возмущенных двумерных сборок.

2 Бифуркационный анализ вариационных задач с многомерным вырождением в случае понижения симметрии параллелепипеда.

2.1 Вычисление главной части ключевой функции в случае базиса ритцевской аппроксимации, состоящего из собственных функций.

2.2 Вычисление главной части ключевой функции в случае базиса ритцевской аппроксимации, состоящего из корневых функций.

2.3 Построение базиса ритцевской аппроксимации, состоящего из корневых функций.

2.4 Бифуркационный анализ в случае особенности 2-мерной сборки.

3 Бифуркационный анализ двухмодовых прогибов слабо неоднородных упругих балок и пластин.

3.1 Двухмодовые прогибы слабо неоднородных упругих балок на упругом основании.

3.1.1 Случай однородной балки.

3.1.2 Случай слабо неоднородной балки.

3.1.3 Вычисление интегральных коэффициентов.

3.1.4 Исследование каустики главной части ключевой функ

3.2 Двухмодовые прогибы слабо неоднородной упругой пластины Кармана.

3.2.1 Однородная упругая пластина.

3.2.2 Неоднородная упругая пластина.

3.2.3 Вычисление интегральных коэффициентов.

Ряд краевых задач теории упругих систем естественным образом допускает, при соответствующих операторных трактовках уравнений, эквивалентную постановку в виде вариационной задачи V\(x) —> inf, в которой V\[x) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционалов [24], [3], [45], заданное на банаховом пространстве Е, X — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном). Фредгольмовость функционала означает, по определению, фредгольмовость (нулевого индекса) соответствующего ему градиентного отображения f\ : Е —> F, где F — некоторое банахово пространство (пространство значений градиента). Градиент определяется традиционным образом — через соотношение ^{x)h = (f(x),h), где (•, •) — скалярное произведение, взятое из некоторого гильбертова пространства Н, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в F. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е: F, Н}, и используется обозначение / = gradV.

В диссертации рассмотрены два (основных) примера краевых задач: 1) задача о 2-модовых закритических прогибах слабо неоднородной упругой балки на упругом основании, определяемых уравнением и 2) задача о 2-модовых закритических прогибах слабо неоднородной при краевых условиях w(0) = ги(1) = гу"(0) = гу"(1) = О,

6.1) упругой пластины, определяемых уравнениями Кармана

A(q Aw) - [iy, ф\ + Awxx = AV + ~[w,w] = 0 (e.2) при краевых условиях w = Aw = cp = Acp = 0|fio. (6.2) w и ^ - функции прогиба и напряжения пластины, Д - оператор Лапласа, [w,(p] := wxx<pyy + Wyyipxx - 2wxy(pxy, = [0, a] x [0,1], A — параметр нагрузки).

Потенциалами этих задач служат соответствующие функционалы. энергии и

J |Д-ш|2 - АКЖ|2) + i lA-1^^]!2) dxdy. а

При е = 0 (в случае однородных балки и пластины) полный бифуркационный анализ этих задач был осуществлен Ю.И. Сапроновым и Б.М. Даринским [12],[15]. В диссертации изложен результат анализа этих краевых задач при малых е ф 0. Переход к случаю неоднородной балки и неоднородной пластины потребовал перестройки в вычислительной схеме Даринского — Сапронова, в основе которой лежало условие постоянства пары собственных функций ei, e<i линейной части уравнения в нуле при всех значениях параметров. В случае неоднородности это условие нарушается и, более того, оно не допускает обобщения, например, в виде условия существования непрерывного семейства собственных функций. В схеме, предложенной в диссертации, условие постоянных собственных функций заменено условием существования пары гладких параметрических семейств функций ei,e2, линейная оболочка которых инвариантна относительно линейной части уравнения в нуле. Такая пара, в случае ее построения, позволяет, как показано в диссертации, провести полный анализ ветвления равновесных конфигураций балки и пластины в условиях слабой неоднородности. Решение данной задачи представляет реальный интерес для теории посткритического анализа упругих систем. Представляет интерес и задача выяснение зависимости "геометрии прогиба" от "характера неоднородности".

Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация методов бифуркационного анализа нелинейных краевых задач теории упругих систем в условиях многомодового вырождения и понижения дискретной симметрии; описание каустики и классификация раскладов бифурцирующих равновесных конфигураций слабо неоднородных упругих балок и пластин в случае 2-модовых вырождений.

В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Базу развитой в диссертации аналитической схемы составляют модифицированный метод Ляпунова - Шмидта, оснащенный конструкциями теории особенностей гладких функций.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработана новая схема анализа бифуркаций нелинейных краевых задач в условиях многомодового вырождения и понижения симметрии параллелепипеда.

2. Дано описание каустики и получена классификация раскладов би-фурцирующих решений в случаях 2-модовых вырождений уравнений равновесных состояний слабо неоднородных упругих балок и пластин.

3. Дано описание аналитической зависимости закритических прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности.

4. Проведена компьютерная апробация разработанной аналитической схемы и, как следствие, получена полная визуализация бифуркационного анализа слабо неоднородных упругих балок и пластин.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и новое развитие методу фредгольмовых уравнений в теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач. Описание геометрии каустик, классификация бифурцирующих раскладов решений и описание аналитической зависимости прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности могут найти применение в задачах современной теории посткритического анализа упругих систем.

Результаты диссертации докладывались на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (г. С-Петербург, 2006, 2008 г.г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (г. Москва, 2007 г.), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (г. Воронеж, 2004 г., 2006 г. 2008 г.), на семинаре ВГУ по бифуркационному анализу нелинейных задач (руководитель — проф. Сапронов Ю.И.).

Результаты диссертации опубликованы в 12 работах [58] - [69].

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой

1. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений./ В.И.Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде// М.: МЦНМО. 2004. 672 с.

2. Бардин Б.С. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании/Б. С. Бардин, С.Д. Фурта// Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. - 1998. - С. 13-22.

3. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах./Н.А. Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин М.: Магистр, 1998. - 658 с.

4. Бобылев Н.А. О бифуркации экстремалей вариационных задач/Н.А.Бобылев, М.А. Красносельский// Докл. АН СССР. 1990. - Т. 314, N 2. - С. 265-268.

5. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теорияЛере-Шаудера/Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, вып.4. - С.3-54.

6. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы./Т. Брекер, Л.Ландер М.: Мир, 1977. - 208 с.

7. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона впрямоугольнике /Е.А. Волков// Докл. АН СССР. — 1962. —147,2. С. 13-16

8. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки /А.С. Вольмир// М.:Гостехиздат. 1956.

9. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с3—круговой симметрией/А.В. Гнездилов// Функц. анализ. 2000. Т.34, вып.1.- С.83-86.

10. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. - С. 35-46.

11. Даринский Б.М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. -Воронеж: ВГУ. 2000. С. 41-57.

12. Даринский Б.М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Понтрягинские чтения XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57-64.

13. Даринский Б.М. К термодинамической теории сегнетоэлектриче-ских фазовых переходов в кристаллах/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, B.JI. Шалимов// Кристаллография. 1999. - Т.44, N 4. -С. 1-5.

14. Даринский Б.М. Дискриминантные множества и расклады бифурцирующих решений фредгольмовых уравнений/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Современная математика и ее приложения. -Тбилиси. 2003. Т.7. С.72-86.

15. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/Б.М. Дарииский, Ю.И. Сапронов, C.J1. Царев// Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т. 12. 2004. С.3-134.

16. Задорожний В.Г. Условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка/ В.Г. Задорожний, Е.В. Корчагина// Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж: ВГУ. 2000. Вып.2. С.48-61.

17. Задорожний В.Г. Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех звязанных контурах Ван-дер-Поля/В.Г. Задорожний, А.В. Попов// Дифференциальные уравнения. 1999, №11. С.1580.

18. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений./В.Ф. Зайцев// JL: ЛГПИ, 1989.- 80 с.

19. Зачепа А.В. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ шестого порядка/ А.В. Зачепа// Труды матем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. "ТЕ-ФА", 2004. С.48-55.

20. Зачепа А.В. О бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ А.В. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Труды математического факультета, вып. 9 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2005.-С.57-71.

21. Зачепа А.В. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ Ф.А. Белых, А.В. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 18-33.