Метод фредгольмова отображения в анализе двухмодовых прогибов слабо непотенциальных упругих систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

4а правах рукописи

4859042

Малюгина Маргарита Александровна

Метод фредгольмова отображения в анализе двухмодовых прогибов слабо непотенциальных упругих систем

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

ВОРОНЕЖ- 2011

4859042

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет»

Защита состоится 22 ноября 2011г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан \ Ц октября 2011г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.2°

профессор Сапронов Юрий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Пенкии Олег Михайлович

333.

доктор ф.-м. наук, профессор

Актуальность темы. Тема диссертации связана с актуальной, но мало исследованной проблемой "многих мод" , под которой подразумевается задача бифуркационного анализа упругих систем вблизи критических состояний с многомерными вырождениями (с вырождениями по нескольким модам). Акцент в работе сделан на слабо непотенциальные системы.

Типичные упругие системы являются, как правило, консервативными, и поэтому соответствующие модельные краевые задачи допускают применение вариационных методов \ 2, 3. Но иногда приходится рассматривать упругие системы, находящиеся под воздействием пеконсер-вативных сил 4. В таких случаях соответствующие краевые задачи не являются вариационными, и для их исследования требуется применение "общих" методов анализа (непотенциальных) уравнений. В случае же слабо пепотенциальпых систем (мало возмущенных потенциальных) имеется возможность использования тех разработок, которые существуют в потенциальном случае.

В данной диссертационной работе рассмотрены примеры слабо непотенциальные краевых задач теории упругих балок и пластин. В их исследовании использованы конструкции общей теории нелинейных фред-гольмовых уравнений в банаховых пространствах 5, 6, 7, 8, позволяющие осуществлять полное решение задачи о бифуркации прогибов упругих систем из критических состояний с многомерными вырождеип-

'Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки / А.С.Вольыир // М.: Гостехиздат. 1956.

2Воровнч И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И.И.Ворович // М.: Наука. 1989. - 370 с.

3Гилыор Р. Прикладная теория катастроф / Р.Гилмор // М.: Мир, 1984. Т.1. 350 с.

4Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В.В.Болотин // М.: Физматлнт. 1961. - 340 с.

5Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольыовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г.Борисович, В.Г.Звягин, Ю.И.Сапронов // Успехи матем. наук. - 1977. Т.32, выи.4. - С.3-54.

6Красноеельскнй М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А.Красносельский, Н.А.Бобылев, З.М.Мухамадиев// Доклады АН СССР, 1978 - T.240, вып.З.- С.530-533.

7Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И.Сапронов // Успехи матем. наук. - 1996. - Т.51, вып.1. - С.101-132.

8Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М.Дариискнй, Ю.И.Сапронов, С.Л.Царев // Современная математика. Фундаментальные направления, М.: МАИ. Т. 12. 2004, 3-140.

ями. Под полным решением бифуркационной задачи подразумевается: описание (локальное) топологии дискриминантных множеств, описание всех допустимых наборов бпфурцирующих прогибов и получение асимптотических формул для ветвей бифурщгрующих прогибов.

В диссертационной работе рассмотрены два примера (модельных) уравнений, в которых сочетаются два типа возмущений, связанных с нарушениями однородности и потенциальности. Первый пример относится к теории упругих балок, в нем рассмотрено уравнение

(Р ( сРиЛ сР-ш ¿ии о

х Е [0,7г], при локализации параметров к = 5+5\, а = 4+<Ь, <7 = д(х) := 1 + ¿о 1{х) (е, ¿о, <5ъ ¿2 — малые параметры), при краевых условиях

-(О) = ^(О) = ^) = 0М=О, (2)

где м — функция прогиба (уравнения подобного рода можно рассматривать также на произвольном отрезке [о,Ь]).

Второй пример относится к теории упругих оболочек: рассмотрено обобщенное уравнение Кармана для равновесных конфигураций прямоугольной пластины

Д(дДш) - [ги,<р] + \юхх + еюх = Д<р + = 0, х,уеПа, (3)

q = ц(х, у) := 1 + ¿о 7 (ж, у), при краевых условиях

и} = Агю = <р = А1р = 0|По, Па = [0, а] х [0,1]. (4)

Через ю и (р обозначены функции прогиба и напряжения пластины (длины о и ширины единица), Д — гармонический оператор Лапласа, [ю, ф\ := ЫххУуу + шуу<рхх - 2 гихурху, А — параметр нагрузки.

Потенциальные краевые задачи теории упругих систем допускают, при соответствующих операторных трактовках уравнений, постановку в виде вариационной задачи

Ух(х) —♦ Ы,

в которой V\ (х) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционалов, заданное па банаховом пространстве Е, А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном). Фредгольмовость функционала означает, но определению, фредгольмовость (нулевого индекса) соответствующего ему градиентного отображения /д : Е —> F, где F — некоторое банахово пространство (пространство значений градиента). Градиент определяется традиционным образом — через соотношение

=(/(*), Л),

где (•,•) — скалярное произведение, взятое из некоторого гильбертова пространства Н, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в F. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, F, Н}, и используется обозначение / = gradV.

В рассмотренных примерах имеется нарушение потенциальности и соответствующее операторное уравнение приобретает следующий вид:

f(x) := grad V(x) + £ П(х) = О

(параметры здесь опущены).

Безусловно, "функционально-операторная оболочка" придает представленному здесь подходу универсальность и широту, выводящие разработанную методику исследований за рамки, очерченные рассмотренными примерами.

Анализ уравнения осуществлен посредством "двумерного усечения" — сведением (методом Ляпунова-Шмидта) к изучению ветвления решений ключевого уравнения на координатной плоскости

А, е) := grad W(£, А) + НД) = О, £ е М2, где А) — ключевая функция, отвечающая функционалу

— потенциалу исходного уравнения при е = 0. Слагаемое Не(£) — нспо-тенциалыюе отображение (возмущение).

Так как исходное уравнение нечетно и нарушение потенциальности происходит лишь за счет внесения в него малого несамосопряжеииого линейного слагаемого ВЕ(х) := е^, то ключевое уравнение приобретет малое непотенциалыгое слагаемое Н£(£), главная линейная часть которого (по управляющему параметру е) является галеркинской аппроксимацией (по возмущенным модам ej).

Структура ключевой функции двух и более переменных в задачах о прогибах балок и пластин ранее исследовалась в работах Б.М. Дарин-ского, Ю.И. Сапронова и Д.В. Костина.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация новой модификации бифуркационного анализа нелинейных краевых задач теории упругих систем, приспособленной для применения в условиях понижения дискретной симметрии и нарушения потенциальности. Достижение цели осуществлено через разработку алгоритма редуцирующего перехода к ключевому уравнению, локальное описание геометрии сечений дискриминантных множеств, классификацию раскладов бифурцирующих равновесных конфигураций и получение формул асимптотического представления ветвей бифурцирующих решений.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и теории гладких функций многих неременных. Базу развитой в диссертации аналитической схемы составляет модифицированный метод Ляпунова-Шмидта, оснащенный конструкциями теории особенностей гладких функций и отображений.

Автор диссертации в своих исследованиях отталкивался от работ Д.В. Костина 9, 10, в которых был предложен алгоритм вычисления формул асимптотического представления ветвей равновесных конфигураций сла-

9Костии Д.В. Применение формулы Маслова для асимптотического решения одной задачи об упругих деформациях / Д.В. Костин // Матем. заметки, 2008, 83:1. - С. 50-G0.

10Коетин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки / Д.В. Костин // Доклады Академии Наук, 2008, том 418, №4, - С. 295-299.

бо неоднородных упругих балок и пластин на упругих основаниях вблизи критических состояний с двухмодовыми вырождениями. Для соответствующих функционалов энергии Д.В. Костину удалось описать строение каустик (дискриминантных множеств уравнений прогибов) и проанализировать влияние характера неоднородности на формы прогибов.

Автором диссертации рассмотрен другой тип возмущения уравнений равновесий балок и пластин, связанный с нарушением потенциальности уравнений и понижением симметрии. Предложенный в диссертации вычислительный алгоритм использует элементы вычислительного алгоритма Д.В. Костина и фактически является его обобщением и развитием.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработана новая модификация спектрального метода Ляпунова-Шмидта, приспособленная для бифуркационного анализа слабо непотен-циальиых фредгольмовых уравнений в условиях двухмодового вырождения и понижения симметрии; описано строение главной части ключевого уравнения.

2. Получена локальная параметризация дискриминантных множеств (для параметрических семейств слабо ненотенциальных фредгольмовых уравнений) в условиях двухмодового вырождения; получены графические изображения 2(1- и Зй-сечений дискриминантных множеств и получено описание раскладов бнфурцирующнх решений уравнений равновесных состояний слабо неоднородных и слабо ненотенциальных упругих балок и пластин.

3. Выведена асимптотическая (по закритическим приращениям параметров) формула для ветвей решений, учитывающая влияние характера неоднородности на закритические прогибы слабо ненотенциальных упругих балок и пластин.

4. Проведена компьютерная апробация разработанной аналитической схемы и, как следствие, получена визуализация бифуркационного процесса для слабо неоднородных и слабо непотенциальных упругих балок и пластин.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и новое развитие методу фредгольмова отображения в теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач. Описание геометрии дискриминантных множеств, классификация бифурцирующих раскладов решений и описание аналитической зависимости прогибов упругих балок и пластин от характера дополнительных возмущений могут найти применение в задачах современной теории носткритического анализа упругих систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова академика В.А. Садовничего (Москва, 2009 г.), на конференции "XX Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум" (КРОМШ-2009), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 2010 г.), на конференции "XXI Крымская Осенняя Математическая Школа-Симнозиум" (КРОМШ-2010), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 2011 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах. Работа [7] опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 77 наименований. Общий объем диссертации — 112 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (19 иллюстраций), выполненной в среде Maple.

Краткое содержание работы

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней содержится краткое изложение ряда известных теоретических положений по анализу бифуркаций решений фредгольмовых уравнений, адаптированное к ситуации, рассмотренной в диссертации. Приведены результаты исследования бифуркаций экстремалей абстрактного фредгольмова уравнения из особой точки с многомерным вырождением при нарушении симметрии параллелепипеда. Изложена также версия редуцирующей схемы

Ляпунова-Шмидта, которая в диссертации представлена в виде нелинейного аналога классической галеркинской аппроксимации.

Во второй главе приведено описание известной процедуры вычисления главной части ключевой функции IV в случае базиса (рнтцсвской) аннроксимацин, составленного из собственных функций, и предложена модификация этой процедуры для случая произвольного базнса. При этом была использована методика Д.В. Костина, посредством которой построен базис аппроксимации (в ситуации понижения симметрии), и на его основе построена главная часть ключевого отображения в случае слабо неиотенцпалыюго уравнения (теорема 1):

6>(£, А, е) = дгаЛ А) +

В = (Ьи), Ьц = (В(е,-), е,) = е^ ,

еье2 — (возмущенные) моды бифуркации.

Сформулированы и доказаны теоремы о локальной параметризации дискримипантного множества (теоремы 2, 3). Приведены примеры компьютерных изображений плоских сечсннй дискрнминантиых множеств (на основе построенной параметризации).

В третьей главе изложены результаты анализа бифуркаций равновесных конфигураций слабо неоднородных упругой балок и пластин на упругом основании в условиях двухмодового вырождения и нарушения потенциальности (на базе общих утверждений второй главы). В частности, дано описание главных частей ключевых уравнений (теоремы 4, 6, 10, 11), найдены локальные параметризации дискримшгантных множеств (теоремы 5, 7,12,13), сформулированы теоремы об общей (локальной) топологической структуре дополнения к дискримнпантному множеству с указанием количеств бпфурцнрующих решений (теоремы 8, 14) и об асимптотических представлениях решений (теоремы 9, 15).

Рассмотрение слабо неоднородных и слабо нспотенцпальиых балок и пластин привело к "понижению" симметрии ключевого отображения и увеличению размерности базы деформации. Анализ бифуркационных

диаграмм и бифурцирующих критических точек в этой ситуации несколько усложнился, но выявил новые бифуркационные эффекты.

Колебания и волновые движения упругой балки на упругом основании изучали Ю.А. Митропольский, Б.И. Мосеепков, J.M.T. Thompson, H.B. Stewart, B.C. Бардин, С.Д. Фурта и др. Простейшая нелинейная (промасштабированная) модель движений однородной балки описывается уравнением

d2w diw д2и> ,

где w — прогиб балки (поле смещений точек средней линии упругой балки, расположенной вдоль оси х).

Аналогичное уравнение возникает н в теории кристаллов, в которой w — параметр порядка.

Как известно, первый шаг в изучении такой задачи — отыскание равновесных (стационарных) состояний, определяемых уравнением

d^w eßw

—+ + = (5)

Уравнение (5), рассмотренное на [0,1] при краевых условиях

«0)-§<0)-.<l)-g(l)-0. (6)

является уравнением Эйлера для экстремалей функционала

'-/(КФ'-ФН^Ь <7)

Двумерное вырождение нулевой экстремали происходит при

к = щ := (р2 + q2)w2, а = ol\ := p2q2it4, p,q&N,

со стандартными модами бифуркации

ei = V2sm(pnx), е2 = V2sm(q7rx).

В диссертационной работе рассмотрен случай р = 1, q = 2 и, соответственно, Ki = 57г2, ах = 47г4 (эти значения являются наименьшими из

тех, при которых происходит 2-мсрнос вырождение; в остальных случаях анализ аналогичен). При этом ¿i := к — к\, S2 := cc — ct\ — закрнтнчеекпе приращения.

Анализ бифуркационных эффектов в подобной ситуации осуществляется посредством редукции к (ключевой) функции

№(£, S) := inf V(u + v, ai + ¿i, «i + S2),

V

£ = (£1,6), ¿ = №,¿2), u = (,1e1+£2e2, v±eue2. Так как функционал (7) инвариантен относительно инволюций J\, J2:

Мр){х) :=р(1 ~х), Ji:=-J2, то функция W обладает симметрией прямоугольника:

W(-tuS2,óuS2) = = ,6,<М2),

из которой вытекает справедливость асимптотического представления

™&б) = и(Ы) + 0№*) + 0(\а\4)0(б),

где U(£,S) = V(^iei + £2в2,<5) — линейная ритцевская аппроксимация функционала V по модам е\,е2. Таким образом, для ключевой функции имеет место асимптотическое представление

ад,S) = + ^е2 + \ {Adt + 2+ Сф + о(|£|4) + 0(|£| 4)0(¿),

где

Ai = — TT2S2, X2 = ¿1 — 47T2¿2, 1 1 1

A = J e\dx — 2 ' В = J e\e\dx = 3 , С = J e\dx = ^ .

00 o

После деления на 3/2 получается функция с нормализованной главной частью:

W0(tS) = Ü(^5) + o(\^) + Oml)O(6),

где

"Геометрический сюжет" бифуркации критических точек и первые асимптотики ветвей бифурцирующих точек (по закрнтическим приращениям управляющих параметров) для функции ЭДо(£,<5) полностью определяются се главной частью 0(^,6), которая представляет собой "возмущенную двумерную сборку" (с коэффициентом двойного отношения Ь = 2), четную по каждой переменной.

Упругие равновесные конфигурации слабо неоднородной балки описываются уравнением

с12 ( ,

= 1 + ¿070е) > (8)

где — малый параметр, 7 — гладкая функция. Это уравнение, рассмотренное на отрезке [0,1] числовой оси при тех же краевых условиях (6), определяет экстремали функционала

В данном случае параметры ¿0,61, ¿2 дают трехмерный вектор, принадлежащей пространству параметров К3.

Важнейшая техническая трудность заключена в построении главной части ключевого отображения, отвечающего слабо неоднородной и слабо непотенциальной системе (при добавлении в уравнение (8) дополнительного слагаемого е^г).

С использованием теорем Д.В. Костина (полученных для вариационного случая), в диссертационной работе вычислены главные части ключевых отображений:

Доказательство того, что главная часть ключевого отображения имеет указанную форму, сводится, во-первых, к достаточно очевидной проверке того, что росток отображения

)

сильно конечно 3-опрсдслен относительно отношения контактной эквивалентности ростков (при Ь > 1) н, во-вторых, к проверке базнсностн системы ростков

$1(1,0)т, 6(1,0)Т, 6 (0,1)Т, 6 (о, 1)т, Ы22(1.0)т, ^126(0,1)т

в факторе пространства нечетных ростков £(Е2,Е2) но касательному подпространству к орбите (рассмотренного ростка) действия группы контактных преобразований, сохраняющих нечетность ростков.

Дискрнмниантиое множество для этого отображения определяется следующей системой уравнений:

11Л0 = О, \ 6(0 = 0;

где 0(4) = — якобиан отображения ве(£).

Часть дискримннантиого множества, отвечающая за вырождение пулевых решений, задается уравнением \\ • \2 — 82 + е2 = 0. Для ненулевых решений, применив переход к полярной системе координат & = гсоз(<р),£2 = гвгп(<р), получаем следующее утверждение (теорема 7): Часть дискриминантного множества, отвечающая за вырождение ненулевых решений исследуемого уравнения, задается следующей параметризацией:

' Р = „*т3тЬ2-1) _ л(зтг(</>)(6-1)+2) с 15 сов(ф) и 2 ст(ф) >

Ах = -8(Ь + 1)(2 - 8т2(ф)(Ъ - 1))+

1> соф)) + 2 МЩФ) 2 5^(0)' Л2 = _а(Ь + 1)(2 - 8Ы2{ф)(Ъ - 1))-

{ъ _ 1}№зм^)) ОЬЦ^м + ЙШ^Щ .

^ ' соя(ф) 2 2 С0.ч{-ф)

Здесь в = ф =

Ключевое уравнение позволяет определять ключевые параметры, через которые выражаются посткрнтические прогибы балок и пластин формулой

ги = и + V, у = Ф{3)(и, 8) +г 1г + о(||и||3, |е|), 13

где ф(3)(к,(5) — однородное кубическое (по и) отображение.

QJ оо-2

dv

и € N, v ± N, Г~2 = Qf, В00-2 = QB, Q = I — V, V - орто-

проектор на N := Lm(ei,e2), (ei,e2) — корневые векторы, полученные возмущениями собственных векторов производной Фреше в нуле левой части модельного уравнения (при е = 0). Формулы асимптотических приближений для корневых векторов получены посредством алгоритма Д.В. Костина.

В случае балки b = 2, а в случае пластины известно, что 1 < b < 3 (на основе приближенных вычислений, проведенных в работе E.J. Holder и D. Schaeffer u).

Посредством полученных формул построены компьютерные графические изображения двумерных и трехмерных сечений дискриминантных множеств. Приведены также примеры графических изображений прогибов. Особый информативный интерес представляют изображения двумерных сечений до = const, е = const дискриминантных множеств (цифры на рисунках обозначают количество бифурцирующих прогибов, осями координат служат параметры Л1; Л2):

"Holder E.J. Boundary conditions and mode jumping in the Karman equations / E.J. Holder, D.Schaeffcr // SIAM J. Math. Anal. - 1984. B.15. N 3. - P.44C-457.

T

b = 2 (¿0 > e), (до = e) , (d0 < e)

b = 3 (¿o > e), (¿o = s) , (¿o < e)

Отбрасывание "тейлоровского хвоста" и "лишних" мономов в ключевом отображении при переходе к его главной части (при котором не изменяется топология локальных сечений каустик и структура bif—раскладов) основано на теоремах о конечной определенности ростков векторных нолей и их деформаций 12, 13, 14.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Малюгина М.А. Бифуркационный анализ краевой задачи для ОДУ четвертого порядка в условиях нарушения потенциальности / М.А.Малюгина // Математические модели и операторные уравнения. Том 5, ч.1. Воронеж: ВГУ. 2008. - С. 114-121.

[2] Малюгина М.А. К анализу носткритических прогибов слабо неоднородных упругих систем в условиях нарушения потенциальности / М.А. Малюгина // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Сборник научных статей под ред. Ю.Е.Гликлиха и Ю.И. Сапронова. - Воронеж: ВГУ, 2009. - Вып. 4 - С.32 37.

[3] Малюгина М.А. Бифуркационный анализ краевых задач в условиях нарушения потенциальности / М.А. Малюгина // Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений" , посвященная 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова академика В.А. Садовпичсго: материалы конференции, Москва, 30 марта - 3 апреля 2009 г. - М.: Изд-во "Университетская книга2009. - С. 173.

12Арнольд В.И. Особенности диф4>еренцируемих отображений / В.И. Арнольд, А.Н. Варчснко, С.М. Гусейн-Заде // Ы.: МЦНМО. 2004. - 672 с.

13Варчснко А.Н. О ростках аналитических отображении, топологический тип которых определяется конечной струей / А.Н.Варченко // Функц. анализ и его прил. 1972. Т.6, вын.З. C.G3 64.

14Мазер Дж.Н. Конечная определенность гладких отображении / Дж.Н.Мазер // Математика -1970. Т. 14, № 1. - С. 115-175.

[4] Малюгина М.А. Анализ уравнения конфигурации слабо неоднородных упругих систем при двухмодовом вырождении в условиях нарушения потенциальности / М.А. Малюгина // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2010. Тез. докл. - Воронеж: ВГУ, 2010. - С.90-100.

[5] Малюгина М.А. Анализ уравнения конфигураций слабо неоднородных упругих систем при двухмодовом вырождении в условиях нарушения потенциальности / М.А. Малюгина //' Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум (КРОМШ-2010). Двадцать первая ежегодная международная конференция. Тезисы докладов. - С.29.

[6] Малюгина М.А. Двумерные локальные сечения днекриминантного множества уравнения Кармана при наличии неконссрвативной силы / М.А. Малюгина // Математические модели и операторные уравнения. Том 7. Воронеж: ВГУ. 2011. - С.160-169.

[7] Малюгина М.А. Сечение дискриминантпых множеств слабо неоднородных упругих систем в условиях нарушения потенциальности / М.А. Малюгина //Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2011. №1 - С.187 192.

Работа [7] опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Подписано в печать 13.10.11. Формат 60 * 84 '/16. Усл. неч. л. 0.93. Тираж 80 экз. Заказ 1265.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

/

Введение

1 Метод фредгольмова отображения в теории нелинейных краевых задач.

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.2 Схема Ляпунова - Шмидта (общая).

1.3 Фредгольмовы функционалы.

1.4 Фредгольмовы уравнения с параметрами.

1.5 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная).

1.6 Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта.

1.7 Дискриминантные множества.

1.8 Алгоритм вычисления главной части ключевой функции и ключевого уравнения, асимптотическое представление решений.

1.9 Контактные преобразования и версальные деформации особенностей фредгольмовых отображений.

Бифуркационный анализ фредгольмовых уравнений с многомерным вырождением при понижении симметрии параллелепипеда и нарушении потенциальности.

2.1 Вычисление главной части ключевой функции в случае базиса ритцевской аппроксимации, состоящего из собственных векторов.

2.2 Вычисление главной части ключевой функции в случае базиса ритцевской аппроксимации, состоящего из корневых векторов.

2.3 Построение базиса ритцевской аппроксимации, состоящего из корневых векторов.

2.4 Бифуркационный анализ в случае особенности 2-мерной сборки.

2.5 Строение ключевого отображения для слабо неоднородных и слабо несимметричных уравнений.

2.6 Локальная параметризация дискриминаптного множества для слабо неоднородных и слабо несимметричных уравнений в случае двухмодового вырождения.

3 Бифуркационный анализ двухмодовых прогибов слабо неоднородных упругих балок и пластин.

3.1 Двухмодовые прогибы слабо неоднородных упругих балок на упругом основании.

3.1.1 Случай однородной балки.

3.1.2 Случай слабо неоднородной балки.

3.1.3 Вычисление интегральных коэффициентов.

3.1.4 Примеры описания каустик.

3.2 Двухмодовые прогибы слабо неоднородных упругих балок на упругом основании в условиях нарушения потенциальности.

3.2.1 Случай однородной балки.

3.2.2 Прогибы неоднородной балки в условиях нарушения потенциальности.

3.3 Двухмодовые прогибы слабо неоднородной упругой пластины Кармана.

3.3.1 Однородная упругая пластина.

3.3.2 Неоднородная упругая пластина.

3.3.3 Вычисление интегральных коэффициентов.

3.3.4 Случай нарушения потенциальности.

Тема диссертации связана с актуальной, но мало исследованной проблемой "многих мод" , под которой подразумевается задача бифуркационного анализа упругих систем вблизи критических состояний с многомерными вырождениями (с вырождениями по нескольким модам). Акцент сделан на слабо непотенциальные системы.

Типичные упругие системы являются, как правило, консервативными и поэтому соответствующие модельные краевые задачи допускают применение вариационных методов [12], [13], [21], [52]. Но иногда приходится рассматривать упругие системы, находящиеся под воздействием неконсервативных сил [5]. В таких случаях соответствующие краевые задачи не являются вариационными и для,их исследования требуется применение "общих" методов анализа (непотенциальных) уравнений. В случас же слабо непотенциальиых систем (мало¡возмущенных потенциальных) имеется возможность использования тех разработок, которые существуют в потенциальном случае.

В данной диссертационной работе рассмотрены два модельных примера слабо непотенциальных краевых задач теории упругих балок и пластин. В их исследовании использованы конструкции общей теории нелинейных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах [6], [28], [48], позволяющие осуществлять полное решение задачи о бифуркации прогибов упругих систем из критических состояний с многомерными вырождениями. Под полным решением бифуркационной задачи подразумевается: описание (локальное) топологии дискриминантных множеств (для соответствующих уравнений равновесных состояний упругих систем), описание всех допустимых наборов бифурцирующих прогибов и получение асимптотических формул для ветвей бифурцирующих прогибов.

Автор диссертации в своих исследованиях отталкивался от работ Д.В.

Костина [33], [34], в которых был предложен алгоритм вычисления формул асимптотического представления ветвей равновесных конфигураций слабо неоднородных упругих балок и пластин на упругих основаниях вблизи критических состояний с двухмодовыми вырождениями. Для соответствующих функционалов энергии ему удалось описать строение каустик (дискриминантных множеств уравнений прогибов) и проанализировать влияние характера неоднородности на формы прогибов.

Автором диссертации рассмотрен другой тип возмущения уравнений равновесий балок и пластин, связанный с нарушением потенциальности уравнений [71] и понижением симметрии [72]. Предложенный в диссертации вычислительный алгоритм использует элементы вычислительного алгоритма Д.В. Костина и фактически является его обобщением и развитием.

Количество "управляющих" параметров в рассмотренных здесь уравнениях больше, чем в аналогичных уравнениях, рассмотренных в рабо

В диссертации рассмотрены примеры модельных уравнений, в которых сочетаются два типа возмущений, связанных с нарушениями однородности и потенциальности. Первый пример относится к теории упругих балок, в нем рассмотрено уравнение х € [0,7г], при локализизации параметров к — 5 -Ь а = 4 + ¿2, д = д(х) 1 + ¿07(3;) (е, ^0)^1)^2 — малые параметры) при краевых условиях где гп — функция прогиба (уравнения подобного рода можно рассматривать также на произвольном отрезке [а, Ь]). Второй пример относится к теории упругих оболочек: рассмотрено обобщенное уравнение Кармана тах [30]-[34].

2) для равновесных конфигураций прямоугольной пластины

Д(дДи>) - [ги,ф\ + \шхх + еп)х = Дс/? + ^[ги,гу] = 0, х,уе£2а, (г»3) д = ^(ж, ?/) := 1 + 50 7(2;, у), при краевых условиях = Аги = '(р = А<р = 0|па, = [0, а] х [0,1]. (г>4)

Через цжц) обозначены функции прогиба и напряжения пластины (длинны а и ширины единица), Д — гармонический оператор Лапласа, [гу, <р\ := 'Шхх(руу + 1иууч>хх — 2 Шхуфху, А — параметр нагрузки.

Потенциальные краевые задачи теории упругих систем допускают, при соответствующих операторных трактовках уравнений, постановку в виде вариационной задачи

У\(х) —> Ы, в которой У\(х) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционалов [3], [35], [58], заданное на банаховом пространстве Е, X — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве Ь (конечномерном или бесконечномерном). Фредгольмовость функционала означает, по определению, фредгольмовость (нулевого индекса) соответствующего ему градиентного отображения /д : Е —> Е, где Р — некоторое банахово пространство (пространство значений градиента). Градиент определяется традиционным образом — через соотношение где (•, •) — скалярное произведение, взятое из некоторого гильбертова пространства Н, содержащем Ей Е как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в Е. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, .Р, и используется обозначение / = дгасЬУ.

В рассмотренных примерах имеется нарушение потенциальности и соответствующее операторное уравнение приобретает следующий вид: я) := дгааУ{х) + вЧ{х) = О параметры здесь опущены).

Безусловно, "функционально-операторная оболочка" придает представленному здесь подходу универсальность и широту, выводящие разработанную методику исследований за рамки, очерченные рассмотренными примерами.

Анализ уравнения осуществлен посредством "двумерного усечения" — сведением (методом Ляпунова-Шмидта) к изучению ветвления решений ключевого уравнения на координатной плоскости

0«, Л, в) := дгав, ТУ(£, Л) + Яе«) = 0, £ е М2, где А) — ключевая функция, отвечающая функционалу потенциалу исходного уравнения при в = 0. Слагаемое Н£(%) — непотенциальное отображение (возмущение).

Так как исходное уравнение нечетно и нарушение потенциальности происходит лишь за счет внесения в него малого несамосопряженного линейного слагаемого ВЕ{х) := в^, то ключевое уравнение приобретет малое непотенциальное слагаемое Не(£), главная линейная часть которого (по управляющему параметру в) является галеркинской аппроксимацией (по модам е3).

Структура ключевой функции двух и более переменных в задачах о прогибах балок и пластин ранее исследовалась в работах Б.М. Дарин-ского, Ю.И. Сапронова [20] и Д.В. Костина.

Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация новой модификации бифуркационного анализа нелинейных краевых задач теории упругих систем, приспособленную для применения в условиях понижения дискретной симметрии и нарушения потенциальности. Достижение цели осуществлено через разработку нового вычислительного алгоритма, локальное описание геометрии сечений дискриминантных множеств, классификацию раскладов бифурцирующих равновесных конфигураций и получение формул асимптотического представления ветвей бифурцирующих конфигураций.

В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Базу развитой в диссертации аналитической схемы составляют модифицированный метод Ляпунова-Шмидта, оснащенный конструкциями теории особенностей гладких функций.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработана новая модификация спектрального метода Ляпунова-Шмидта, приспособленная для бифуркационного анализа слабо непотенциальных фредгольмовых уравнений в условиях двухмодового вырождения и понижения симметрии; описано строение главной части ключевого уравнения.

2. Получена локальная параметризация дискриминантных множеств (для параметрических ссмсйств слабо непотенциальных фредгольмовых уравнений) в условиях двухмодового вырождения; получены графические изображения 2(1- и 3 (¿-сечений дискриминантных множеств и получено описание раскладов бифурцирующих решений уравнений равновесных состояний слабо неоднородных и слабо непотенциальных упругих балок и пластин.

3. Выведена асимптотическая (по закритическим приращениям параметров) формула для ветвей решений, учитывающая влияние характера неоднородности на закритические прогибы слабо непотенциальных упругих балок и пластин.

4. Проведена компьютерная апробация разработанной аналитической схемы и, как следствие, получена визуализация бифуркационного процесса для слабо неоднородных и слабо непотенциальных упругих балок и пластин.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и новое развитие методу фредгольмовых уравнений в теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач. Описание геометрии дискриминантных множеств, классификация би-фурцирующих раскладов решений и описание аналитической зависимости прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности и непотенциальности могут найти применение в задачах современной теории посткритического анализа упругих систем.

Результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова академика В.А. Садовничего (Москва, 2009 г.), на конференции "XX Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум" (КРОМШ-2009), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 2010 г.), на конференции "XXI Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум" (КРОМШ-2010), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 2011 г.).

Результаты диссертации опубликованы в 7 работах.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 77 наименований. Общий объем диссертации — 112 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (19 иллюстраций), выполненной в среде Maple.

1. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений / В.И.Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде // М.: МЦНМО. 2004. 672 с.

2. Бардин B.C. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основ алии / B.C. Бардин, С.Д. Фурта // Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. - 1998. - С.13-22.

3. Бобылев H.A. Геометрические методы в вариационных задачах / И-А.Бобылев, C.B. Емельянов, С.К. Коровин // М.: Магистр, 1998. — 658 с.

4. Бобылев H.A. О бифуркации экстремалей вариационных задач / Ii-А.Бобылев, М.А. Красносельский // Докл. АН СССР. 1990. - Т- 314> N 2. - С. 265-268.

5. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчив остиВ.В.Болотин // М.: Физматлит. 1961. 340 с.

6. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и тес^>РияЛере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапроно// Успехи матем. наук. 1977. Т.32, вып.4. - С.3-54.

7. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер» э Л.Ландер // М.: Мир, 1977. 208 с.

8. Варченко А.Н. Теорема об эквисингулярности семейств алгебраических многообразий / А.Н.Варченко // Успехи матем. наук. 1971. Т.26, вып.1. С.217-218.

9. Варченко А.Н. О ростках аналитических отображений, топологический тип которых определяется конечной струей / А.Н.Варченко // Функц. анализ и его прил. 1972. Т.6, вып.З. С.63-64.

10. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике / Е.А.Волков // Докл. АН СССР. — 1962. —147, №2. — С. 13-16И. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки / А.С.Вольмир // М.: Гостехиздат. 1956.

11. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И.И.Ворович // М.: Наука. 1989. 376 с.

12. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Р.Гиломор // М.: Мир, 1984. Т.1. 350 е., Т.2. 285 с.

13. Гнездилов A.B. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией / A.B. Гнездилов // Функц. анализ. -2000.

14. Голубицкий М. Устойчивые отображения и их особенности. / М.Голубицкий, В. Гийемин // М.: Мир, 1977. 290 с.

15. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки /Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. - С. 35-46.

16. Даринский Б.М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. -Воронеж: ВГУ. 2000. С. 41-57.

17. Даринский В.М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Понтрягинские чтения XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57-64.

18. Даринский Б.М. К термодинамической теории сегнетоэлектриче-ских фазовых переходов в кристаллах /Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, B.JL Шалимов // Кристаллография. 1999. - Т.44, N 4. -С. 1-5.

19. Даринский Б.М. Дискриминантные множества и расклады бифур-цирующих решений фредгольмовых уравнений / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Современная математика и ее приложения. -Тбилиси. 2003. Т.7. С.72-86.

20. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, C.JI. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т.12. 2004. С.3-134.

21. Задорожний В.Г. Условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка / В.Г. Задорожний, Е.В. Корчагина // Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж: ВГУ. 2000. Вып.2. С.48-61.

22. Задорожний В.Г. Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех звязанных контурах Ван-дер-Поля / В.Г. Задорожний, A.B. Попов // Дифференциальные уравнения. 1999, №11. С.1580.

23. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф.Зайцев // JL: ЛГПИ, 1989 80 с.

24. Зачепа A.B. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ шестого порядка / A.B. Зачепа // Трудыматем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. "ТЕ-ФА 2004. С.48-55.

25. Зачепа A.B. О бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3—мерной сборки / A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Труды математического факультета, вып. 9 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. С.57-71.

26. Зачепа A.B. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки / Ф.А. Белых, A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. С.18-33.

27. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Воронеж: ВорГУ. 2002. 185 с.

28. Изюмов Ю.А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю.А. Изгомов , В.И. Сыромятников // М.: Наука. 1984. - 247 с.

29. Костин Д.В. Ортопроектор теории возмущения линейных операторов и бифуркации равновесия слабо неоднородной упругой балки / Д.В. Костин // Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крсйна 2006. Воронеж: ВорГУ, 2006. - С. 106-113.

30. Костин Д.В. Применение формулы Маслова для асимптотического решения одной задачи об упругих деформациях / Д.В. Костин // Матем. заметки, 2008, 83:1. С. 50-60.

31. Костин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки / Д.В. Костин // Доклады Академии Наук, 2008, том 418, №4, С. 295-299

32. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А. Красносельский, H.A. Бобылев, Э.М. Мухамадиев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.

33. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений./ М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий Я.Б., В.Я. Стеценко // М.: Наука, 1969. 456 с.

34. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг // М.: Мир, 1967. 204 с.

35. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б.В. Логинов Ташкент // Фан, 1985. - 184 с.

36. Ляв А. Математическия теория упругости / А. Ляв // М.- Л.: НКТН СССР. 1935. 674 с.

37. Ляпунов A.M. Sur les figures d'équilibré peu différentes des ellipsoïdes d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l / A.M. Ляпунов // Зап. Акад. наук, С.-Петербург. 1906.

38. Мазер Дж.Н. Конечная определенность гладких отображений / Дж.Н.Мазер // Математика 1970. Т. 14, № 1. - С. 145-175.

39. Мазер Дж.Н. Стратификация и отбражения / Дж.Н.Мазер // Успехи матем. наук. 1972. Т. 27, № 5. - С. 85-113.

40. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений / В.П. Маслов // М.: Наука. 1988. 312 с.

41. Милнор Дж. Теория Морса./Дж. Милнор // М.: Мир. 1965.

42. М1тропольский Ю.О. Дослщження коливань в системах з розподше-ними параметрами (асимптотичш методи) /Ю.О. М1тропольский, Б.1. Мосеенков // Видавництво Кшвського ушверситету// 1961. -123 п.'

43. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлии // М.: Наука, 1970. 512 с.

44. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк // М.: Наука, 1969.

45. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг // М.: Мир, 1977. 232 с.

46. Обен Ж.П. Прикладной нелинейный анализ / Ж.П. Обен, И. Экланд // М.: Мир, 1988. 510 с.

47. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер // М.: Мир, 1989.- 639 с.

48. Особенности дифференцируемых отображений. Сб. ст. // М.: Мир, 1968. 268 с.

49. Постников М.М. Введение в теорию Морса / М.М. Постников // М.: Наука. 1971. 568 с.

50. Постон Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, И. Стюарт // М.: Мир. 1980. 608 с.

51. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Том 2. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел / А. Пуанкаре // М.: Наука. 1972. 1000 с.

52. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий / Ю.И. Сапронов // Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. -С.997-1006.

53. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю.И. Сапронов // Матем. сборник. 1989. Т. 180, N 10.- С. 1299-1310.

54. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах /Ю.И. Сапронов // Математические заметки.- 1991. Т.49, вып.1. С.94-103.

55. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, N 1.- С. 101-132.

56. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, C.JI. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. - С. 745-754.

57. Сапронова Т.Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов / Т.Ю.Сапронова // Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, ВГУ. 2000. -С.107-124.

58. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А. Треногин, Н.А. Сидоров , Б.В. Логинов // Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, N 2. - С. 286-289.

59. Царев С.Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С.Л. Царев // Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. - С. 132136.

60. Царев С.Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией / С.Л. Царев // Современная математика и ее приложения. 2003. Т.7. - С.87-91.

61. Швырева О.В. О бифуркациях экстремалей из вершины симплекти-ческого угла / О.В. Швырева // Труды матем. факультета ВГУ. N 5 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 207-216.

62. Darinskii В.M. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter / B.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov // Ferroelectrics. 2002. V. 265. - P. 31-42.

63. Holder E.J. Boundary conditions and mode jumping in the Karman equations / E.J.Holder, D. Schaeffer // SIAM J. Math. Anal. 1984. B.15. N 3. - P.446-457.

64. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls / Y.J. Ishibashi // Ferroelectrics. 1989. V.98. - P. 193-205.

65. Poénaru V. Singularités C°° en Présence de Symétrie / V. Poénaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter И. N.-Y.: SpringerVerlag, 1976. - P. 61-89.

66. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen / E. Schmidt // Math. Ann. 1908. -V.65. - P. 370-399.

67. Thompson J.M.T. Nonlinear Dynamiks and Chaos / J.M.T. Thompson, H.B. Stewart // Wiley Sz Sons, Chichester Singapore, 1986.

68. Малюгина M.А. Бифуркационный анализ краевой задачи для ОДУ четвертого порядка в условиях нарушения потенциальности / М.А.Малюгина // Математические модели и операторные уравнения. Том 5, ч.1. Воронеж: ВГУ. 2008. С.114-121.

69. Малюгина М.А. К анализу посткритических прогибов слабо неоднородных упругих систем в условиях нарушения потенциальности /t