Фредгольмовы уравнения с круговой симметрией и резонансные бифуркации циклов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Карпова Антонина Петровна

Фредгольмовы уравнения с круговой симметрией и резонансные бифуркации циклов

00346 1749

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ- 2009

003461749

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор) физико-математических паук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

Ведущая организация: Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена

Защита состоится £4 февраля 2003г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного сонета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

профессор Сапронов Юрий Иванович

профессор Глушко Андрей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Ляхов Лев Николаевич

314.

Автореферат разослан января 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор ф.-м. наук, профессор

Глнклих Ю.Е.

Актуальность темы. Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования периодических решений дифференциальных уравнений и изучением их свойств. Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, A.A. Андронова и Э. Хоифа и др.

Несмотря на значительные достижения в развитии теории бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений, многие ее задачи остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения системы вблизи вырожденной точки покоя при наличии сильных резонансов. Мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических решений, бифурцирующих из сложного фокуса динамической системы в ситуации мпогомодового вырождения. Системы с такими особенностями появляются в радиофизике при исследовании автоколебаний в RC-генераторах, в реальных моделях экономики, понуля-ционной динамики, химической кинетики и в др. разделах современного естествознания.

Среди наиболее часто используемых в паше время методов исследования бифурцирующих циклов выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, Б.И. Мосеенков, Е.А. Гребеников, Ю.А.Рябов, М.Н.Киоса, С.В.Миронов и др.). Большинство созданных на этой идее подходов достаточно эффективно работает лишь в случаях систем стандартного вида. Задача же приведения произвольного уравнения к стандартному виду, вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов ее решения. И даже для уравнений стандартного вида трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию периодических решений.

Алгоритмы, основанные на применении теоремы Плисса- Кэли о центральном подмногообразии с последующими нормализациями и огрубле-

ниями уравнения, суженного на центральное подмногообразие, также не являются универсальными, так как основаны на некоторых упрощающих предположениях.

Таким образом, при наличии большого числа работ по изучению зарождения периодических волн, вихревых структр и циклов динамических систем вблизи сложного фокуса, поиск алгоритмов, эффективных в построении и анализе ветвящихся периодических решений дифференциальных уравнений, остается по-прежнему актуальной задачей.

В данной диссертации изложена процедура приближенного вычисления и анализа ветвления периодических решений ДУ, развивающая и дополняющая вычислительные схемы, опубликованные в работах Ю.И. Сапронова, Б.М. Даринского, В.А. Смольянова и Е.В. Ладыкиной г, 2.

Методологическую основу предлагаемой вычислительной процедуры составляют теория гладких 50(2) — эквивариатных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах.

В работе использована трактовка дифференциальных уравнений в виде операторного уравнения

в котором /д — гладкое фредгольмово отображение (с параметром) банахова пространства Е в банахово пространство Р. Решение такой задачи осуществляется переходом (редукцией) к конечномерному уравнению

М и N — открытые подмножества в Rn. Идея исследования нелинейных систем посредством сведения к конечномерному алгебраическому уравнению применялась многими специалистами по анализу нелинейных краевых задач (см. работы М.А. Красносельского, П.П. Забрейко, М.М. Вайпберга, В.А. Трепогипа, H.A. Сидорова, Б.В. Логинова, J.E. Marsden и др., координаты которых имеются, например, в обзоре В.Р.

Сапронов Ю. Ц., Смольянов В.А. Обобщенная редукция Каччиополи и бифуркация решений уравнений при разрушении непрерывных симметрия// Математические модели и операторные уравнения. - Воронеж: изд-во ВГУ, 2001. - С. 125-139

-ДаринскиП Б.М., Ладынина Е.В., Сапронов Ю.И. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 52-67

/аМ = b, w € Е, b & F,

(1)

0д(О = ß, £ е м, ßeN,

(2)

Зачепы и Ю.И. Сапронова "Локальный анализ фредгольмовых уравнений" (Воронеж, ВГУ. 2002. - 185 е.). Эта же идея использована в настоящей диссертации.

Проблематика диссертации сгруппирована вокруг уравнений с круговой симметрией. Уравнения с круговой, бикруговой и ноликруговой симметриями изучались в работах Б.В.Логинова, В.Г. Звягина, В. Крав-цевича, Ю.И. Сапронова, В.А. Смольяпова, A.B. Гпездилова и др.

Разнообразным вопросам анализа дифференциальных уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (см. монографии и статьи Л.В. Овсянникова, Ы.Х. Ибрагимова, П. Олвера, A.M. Виноградова с соавторами, В.Ф. Зайцева, А.Т. Фоменко, В.А. Треио-гина, Б.В. Логинова и др. Ряд аспектов теории вариационных и общих операторных уравнений с групповой симметрией развивался при непосредственном воздействии эквивариантиой теории Морса (А.Т. Фоменко, В.В. Шарко и др.) и теории ветвления решений нелинейных эквивари-антпых уравнений (J.E. Marsden, H.A. Бобылев, Б.В. Логинов, В.А. Тре-погин, З.И. Балапов и др.).

Цель работы и основные задачи. Основные научные результаты данной диссертации допускают абстрактную формулировку в терминах фредгольмова уравнения со слабой круговой симметрией, рассмотренного вблизи (порождающей) особой точки с четырехмерным вырождением. Центральная конструктивная идея диссертации — сведение (редукция) задачи об изучении решений уравнения (1) (в условиях круговой симметрии) к аналогичной задаче для конечномерного алгебраического уравнения (ключевого уравнения) (2) с его последующим качественно- численным анализом. Цель работы — реализация центральной конструктивной идеи в задаче резонансного циклогенеза.

К главным составляющим основной задачи отнесены: 1) описание алгебраической структуры главной части ключевого уравнения, 2) описание геометрической структуры дискриминантного множества £ уравнения (1), 3) описание раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к £), 4) приближенное построение амплитуд ветвей бифурцирующих периодических решений.

В диссертации предложено решение основной задачи для класса дина-

мических систем, включающего в себя автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамиеского типа, уравнения колебаний упругой балки на упругом основании и др.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных уравнений, современного анализа гладких отображений и теории инвариантов. Методологическая основа — схема Ляпунова-Шмидта, рассмотренная в рамках общей теории гладких 50(2)—эквивариантных фредгольмовых уравнений (в бесконечномерных банаховых пространствах).

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Дано описание алгебраических структур главных частей ключевых отображений (для класса динамических систем, включающего в себя уравнения колебаний упругой балки, автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамиеского типа и ДР-)-

2. Разработаны и обоснованы алгоритмы приближенного вычисления амплитуд периодических решений, бифурцирующих из точек покоя при наличии резонансов.

3. Разработан и апробирован алгоритм приближенного вычисления параметризаций трехмерных сечений дискриминантных множеств (для задачи о периодических решениях ДУ).

4. Проведено вычисление асимптотик амплитуд резонансно бифурцирующих циклов автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамического типа и уравнения колебаний упругой балки на упругом основании.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых уравнений в бифуркационном анализе циклов динамических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2006 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург, 2007, 2008 гг.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ, па семинаре по глобальному и стохастическому анализу (ВГУ, рук. — проф. Ю.Е. Гликлих) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В совместных публикациях ([1], [2], [G], [7], [8]) соавторам принадлежат постановки задач и разбор некоторых примеров. Статья [8] опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 59 наименований. Общий объем диссертации — 106 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (4 рисунка), выполненной в среде Maple.

Содержание работы.

В первой главе изложены основы бифуркационного анализа колеба-телпых и волновых процессов посредством формализма фредгольмовых уравнений, дано краткое описание необходимых элементов теории фредгольмовых уравнений.

Во второй главе дано изложение результатов бифуркационного анализа фредгольмовых уравнений с круговой симметрией, изложен алгоритм построения амплитуд бифурцирующих решений.

Рассмотрены банаховы пространства Е, F и гильбертово пространство Н такие, что Е непрерывно вложено в F, F непрерывно вложено в Н, и семейство фредгольмовых отображений нулевого индекса / : Е х Mm —> F, гладкое по совокупности переменных, представленное в виде

Л{е)х + В(х,х,е) + С(х,х, х,е) + о(||х|||;),

где *4(е) ~ гладкое семейство линейных фредгольмовых операторов нулевого индекса, В, С — квадратичный и кубический операторы.

Предполагается что, задан слабо гладкий гомоморфизм Т : 50(2) —► 0(Н) — из группы 50(2) в группу ортогональных линейных преобра-

N

зований некоторого гильбертова пространства Я (его непрерывность не предполагается) 3. Гомоморфизм Т задает ортогональное действие на пространстве Я: G х Я —> Я, (д,х) i—► у = Тд{х) У{д,х) 6 G х Я. Предполагается, что Е п F инвариантны, а / эквивариантно относительно данного действия: Тд(Е) с Е, Tg(F) с F, /(%){•), е) = VgeSO(2), ебГ.

Из эквивариантиости / следует эквивариантность его производной (в пуле) Д(е) = е) и инвариантность подпространства ./V := КегЛ(0).

Пусть Е = JV®ñ», F = iV©ñ, dimN = 4, -4(e)(A0 С iV, С

R. Предполагается также, что в N задан базис {еь 92, ез, в4} (не зависящий от е), в котором матрица Ац(е) оператора Ai(e) := Л(е) имеет следующий вид:

( ах{е) -(Зх{е) 0 0 \ Pi{e) ai(s) 0 0 0 0 а2(е) -Me) v 0 0 (32(е) а2(е) )

Собственные значения матрицы А^е) суть следующие комплексные числа: Ai = Qi(e) ± г/?х(ет); Х2 = а2{е) ± г/3г(е). В диссертации всюду требуется выполнение условия регулярности в нуле для отображения е i—> ^а^е), Pi(e), а2(е), (32, означающего, что ранг матрицы Якоби этого отображения в нуле равеп четырем.

Пусть V : £ —* Ai, Q = X—V — ортопроекторы (в Я). В соответствии с методом Ляпунова-Шмидта, исходное операторное уравнение f(x, е) = 0 записывается в виде системы двух уравнений

í f(i){u + V,£) = 0,

\ f{oo-4){u + v,e) = 0,

где u = Vx, V = Qx, /(4)(х, г) := Vf{x,s), /(о0_4)[х, е) := Qf{x,e). Из второго уравнения этой системы следует, в силу теоремы о неявной функции, существование зависимости v = Ф(и,е) = Ф(£, е), £ = и 4. Отображение Ф называется редуцирующим.

3Слабая гладкость означает, что индуцированное действие soí2) па любом конечномерном инвариантном подпространстве n g h является гладким.

4Символом ~ обозначается "снятие" координат с вектора и g n

Лемма 1. Имеет место следующее соотношение: Ф(£,е) = После перехода к ключевому уравнению

0(0 г) := 0(1)(О^) + в(2)(Ое) + ©(3)(0е) + о(|£|3) = О,

где

е&е) = /(4) ^Ьъ + Ф^е),*^,

рассмотрено, с целыо его анализа, общее алгебраическое отображение с круговой симметрией 0 : К4 —► К4:

е(0 = (©!(£), ©2(0, ©3«). е4(0)т, ело = £

к

? = к = (ки к2, А-з, к4), % е 2.+, \к\ = к + к2 + к3 +

Кругвая симметрия приводит к коммутируемости В со стандартным действием окружности (группы 50(2)) на М4), заданным соответствием

Т : {ехр(г^), г) \—> (ехр(рщ)гиехр(<?г^)г2)т (3)

(вектор £ 6 М4 тождествлен с комплексным вектором г = (гь г2)Т 6 С2, ¿1=0 + г'0, -2=0 + ¿£4), НОО{р, д) = 1 (симметрия типа р : <?)■

Теорема 1. Для гладкого отображения 0, удовлетворяющего условию круговой симметрии типа 1:2, имеет место следующее представ-

7 «1 -/?! О 0 \ ((х\ Ь\ 0 0 \ / 00 + \

лен ие:

О

+

61 а\ О О 0 а2 -62 \ О О Ъ2 а2 )

О О

00 - 00 & - Й 200

\

/?1 й! О О О 0 «2 ~/?2 \ О 0 /32 а2 )

( с{1\ + ¿1X2 -С2Г1 - <12Х2 О с2Тх + <1212 с{11 + ¿{12 О

О О С3Х1 + (1312 -с^Ту - ¿4X2

\ О О С4Г1 + ¿4X2 С3Х1 + ¿Зх2 у

где ХьХ2,Хз,Х4 — образующая система инвариантов. Коэффициенты оц, р1, щ, , с,, (¿г в представлении отображения 0, указанном в теореме, явно выражаются через "операторные коэффициенты" /(ж,е).

Аналогичное утверждение имеет место и в случае резонанса 1:3 (теорема 3).

+

Далее уравнение 0(0 = 0 заменено уравнением 0(0 = 0,

0(0 = (В1(е),ё2(о,0з(о,04(о)т,

в котором компоненты Qj представляют собой следующие скалярные произведения:

©3(0 := (©(0.-га), ©4(0 := (9(0,¿га), zi 0)т, tzi:=(-aíi,0,0)T,

л2 := (0,0,6, Í4)T, iz2 := (0,0, 6)Т-

Функции 0к являются инвариантами. Более того, для них имеют место следующие представления:

9i(0 = «А - 61I4 + (ai + cjli + d{I2) Jx + o(|e|4), 92(0 = bil3 + a{I.4 + (A + c2Ji + d2l2) h + o(|e|4),

93(0 = a2l3 ~ b2li + {a2 + c3h + d3l2) T2 + o(|£|4), 94(0 = ¿>2X3 + a2.h + (ft + c4Ii + dAl2) h + o(|í |4). Перейдя к комплексным переменным, получим соотношения

©i + г©2 = Щ (13 + Hi) +h (Ai + vJx + wi 12) + o(|£|4),

где Ai := ai + i¡3\, ui~ai+ibi, v\~c\+ic2, w\ := d\ + id2, и

03 + ¿94 = u2 (I3 + ili) +12 (A2 + v2lx + w2I2) + o(|£|4),

где A2 := a2 + i/32, u2:=a2 + ib2, w2:=c3-Hc4, w2:=d3 + id4. Из системы двух уравнений (с комплексными коэффициентами)

9i + г92 = 93 + ¿94 = О

получим

13 + Hi = -щ% (Ai + v{Ix + WlX2) + о(|£|4)

и

U2I1 (Al + vili + №1X2) - u{I2 (A2 4- v2Tx + w2l2) + o(|£|4) = 0.

Сгруппировав в последнем соотношении подобные слагаемые, получим приведенное уравнение

Ц1 = ii'2^1, /г2 = — W1A2, А = U2V1, В = —щи) 2, С = U'2'Wl — ЩИ2.

Из этих уравнений можно находить соотношения между амплитудными, угловыми (фазовыми) переменными и параметрами (например, в теории колебаний — зависимость между амплитудой и периодом колебания), определять количество бифурцирующих решений и вычислять асимптотические представления для амплитудных переменных.

Переход к приведенному уравнению не приводит (при щ ф 0 и щ, ф 0) к потере решний и поялению новых решений. Выигрыш от перехода состоит в том, что главная часть ключевого уравнения заменяется на явную зависимость от Ti,lo и систему двух скалярных уравнений относительно I\,Ti- Причем степени полиномов в левых частях этих уравнений равны 2. На основе этой системы легко осуществить дискри-мипантпый анализ.

В случае общего положения, приведенное уравнение можно представить, после овеществления и соответствующих преобразований переменных, в виде системы уравнений

левая часть которой представляет собой нормальную форму минивер-сальной деформации омбилической особенности (гиперболического или, соответственно, эллиптического типа — в зависимости от знака перед у\ в первом уравнении) относительно контактных преобразований векторных полей вида в(у) —► А(у)в((р(у)), <р(0)) = 0 (А(у) — гладкий пучок обратимых матриц, <р — локальный диффеоморфизм). В гиперболическом случае дискримипантное множество £ допускает (теорема 2) пара-

метризацию ¿1 = rcos(VO) ¿2 = гsin(V>), ¿3 = jz sin(V0(l +

cos(i/j + ^) — cos(2c/?)) - |sin(y>) — jsin(3<£>) ), Si =cos(ip)(l —

cos(ip + ф) + cos(2^)) - I cos(yj) — j cos(3</?) I. Дополнение Г2 = R4 \ £

lull + 112I2 + Alf + 2В1г12 + Cl'i + o(|e|4) = 0,

2/i ± vl + + ¿2Z/2 = 2/1 J/2 + hy\ + ¿42/2 = 0,

является объединением четырех открытых попарно непересекающихся подмножеств ft = ft21 U ft2 U ft^1 U ft] таких, что: при 5 € ft21 имеется два (регулярных) решения (их топологические индексы противоположны по знаку) и при этом топологический индекс пулевого решения равен — 1; при S € ft2 система приведенных уравнений имеет лишь одно ненулевое решение и топологический индекс нуля равен 1; при S € ftj1 имеется четыре решения: два из них индекса —1 (включая нулевое) и два — индекса 1; при S £ ft] имеется четыре решения, из которых два индекса 1 (включая нулевое) и два — индекса —1.

Аналогичное разбиение пространства параметров имеет место и в эллиптическом случае, с учетом, что сумма топологических индексов всех решений равна 2.

В случае слабого резонанса Р : <7 (|р| + |<?| > 5) вычисления существенно упрощаются, так как вторая пара образующих инвариантов /з, h приобретает порядок выше четвертого и, следовательно, не оказывает влияния на формирование главной части приведенного уравнения.

В третьей главе сформулированы аналоги теорем 1,3 о структуре ключевых отображений для конкретных типов динамических систем (теоремы 5,6,8,9) и описана процедура вычисления амплитуд бифурцирую-щих периодических решений дифференциальных уравнений.

Первый пример — система обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью х = X(x,s), х G Rn, е € R3, при условии, что Х(0,е) = 0 и две пары комплексно сопряженных точек Ai(e), Ai(e), Ai(e), Ai(e) спектра матрицы А(е) = 0, е) трапсверсаль-но пересекают мнимую ось с резонансом (остальная часть спектра находится при всех рассматриваемых значениях £ внутри левой комплексной полуплоскости).

Такое пересечение мнимой оси описывается системой равенств

ReAi(0) = 0, Re А2(0) = 0, ImAi(0) = wb ImA2(0) = w2,

qw\ = pw2 p,q 6 Z, HOD(p, q) = 1.

Предполагается выполнние условия трансверсальности:

, . <9(ReA!,Re A2,k)

det -Чг,-г—1 ф о,

o{ei,e2,e3)

k(s) = q Im (Ai(s)) - P Im (A2(e)).

Второй пример — дииамическая система с квадратично-кубической нелинойстыо из класса "систем гидродинамического тина" °,€. Рассмотривается обобщенное двумерное уравнение Навье-Стокса

v + -v = vA(v) + corad(P) + XB — j

(Д — двумерный лапласиан) с условием несжимаемости div(v) = 0 tía координатной плоскости. Предполагается, что кроме традиционного вектора силы вязкости vA(v) уравнение содержит вектор дополнительных сил торможения ¡iv и упругой вязкости А В т^). При этом 7

(dv d2v\ 1

в rg, У) := div(d D) = D grad(d) + -d A(v),

где D = \ + — тензор скоростей деформации, d det D.

Рассмотрены решения, периодические по х\,х2 (случай уравнения на плоском торе). Поиск решение в виде

( дф дф\т

где ф — вихревая функция, приводит, после применения двумерного ротора, к скалярному уравнению

А(ф) = \А(ф), ф] + „А\ф)+»А(ф)+в(^^,^У (4)

где [ф, <р] — якобиан функций ф, tp.

Посредством одной из процедур дискретизации по пространственным переменным получается обобщенная конечномерная система гидродинамического типа

w = A(w)+ [Mw, w] + B(w,w,w), ®ef,

в которой M — симметричная матрица, матрица А, вообще говоря, ие является симметричной (ее спектр может содержать комплексные числа

5Обухов A.M. Турбулентность и динамика атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат. 1988. 414 с.

6Арпольд В.II., Хссин Б.А. Топологические методы в гидродинамике. М.: МЦНМО. 2007. 392 с.

7Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория. М.: Высш. шк. 1983. 399 с.

с ненулевыми мнимыми частями), [•, •] — кососимметрическая билинейная операция, задающая в некоторых случаях структуру алгебры Ли на К", В(ги,гп,1и) — некоторое кубическое отображение.

В случае галеркинской аппроксимации по системе с\ — 2сой(а;), с2 = 2со&(у), сз = 2соб(х + у), = 2вт(а;), в2 = 2вт(у), вз = 2зт(а; 4- у), получается (теорема 7.) динамическая система гю = Ат + В{и), и>) + С(ад, ги, ш), аде Е6, в которой А =

/ -¿1 р + £г 0 0 0 0 \

-р - £г —¿1 О О О О

О 0 -¿1 д + е2 О О

О 0 - е2 -¿1 О О

0 0 0 0 -62 р + ч + 0(е)

\ О О О 0 _(р + 9)+0(е) -¿2 /

В(ю, ги) = (и;3м5-ги4гив, -шзги6-и>41и5, -ги11и5+ги21ив, ги1ги6+и>21и5,0,0)т, ¿1 = V — /х, ¿2 = 2г/ — ц. Коэффициенты С(ги, и), ю) допускают явное представление. Параметры £\,£2 появляются за счет малых "шевелений" периодов по переменным х\, Х2- Анализ этого уравнения по схеме Ляпунова-Шмидта при значениях параметров 6, е, близких к нулю, дает пространство мод N := Кег%{0) = 5рапс{ди 92,9з, 9а) , где

91 = (соз(р0, - яп(р<), 0, 0, 0, 0)т, д2 = (вт(р4), соз(^), 0, 0, 0, 0)Т, да = (0, 0, соз(^), - зт(^), 0, 0)т, дА = (0, 0, вт(д0. сов(&), 0, 0)Т. В диссертации описана структура кючевого уравнения и соответствующего ему приведенного уравнения, на основе которого осуществлен вывод формул асимптотического вычисления амплитуд бифурцирующих циклов.

Третий пример — простейшее нелинейное скалярное уравнение из класса уранений соболевского типа:

34и д2и , д2и ди о

Поиск периодических волновых решений в виде и = и)(кх — и!1) (ь = | — скорость распространения волны) приводит, после подходящих масштабирующих преобразований, к уравнению

д2ги дги ,

(параметр е считается малым). В итоге получается задача построения периодического решения ОДУ четвертого порядка.

Такое же уравнение получается в случае задачи о волновых движениях упругой балки па упругом основании.

Если рассмотреть бифурцирующие волновые решения, допускающие представление w(x, t) = ?'i sin(py + ipx) + r2sin(qy + <p2) + о(гь r2), у = k x — ujt, p,geZ, ЫОД (p, q) = 1, то изучение решений (вблизи нуля) уравнения f(w) — 0, при локализации параметров к2 = 5 + <5i, к\ = 4+¿2: осуществлено через редукцию Ляпунова - Шмидта в пространство ключевых координат О = (ги,е^), где {е^} — набор мод бифуркации, k < 4, е\ = \/2cos(a;), е2 = \/2sin(a;), ез = \/2cos(2x), е4 = \/2sm(2;E).

Гомоморфизм Т : G —> О(Я) группы G — 50(2) в группу ортогональных линейных преобразований гильбертова пространства Я, заданный соотношением T0(w)(x) = w{x + <р) {<р — каноническая координата элемента д е 50(2), д = ри = з22 = cos(<p), д-п = -ди = sin(<^)), определяет слабо гладкое ортогональное действие G х Н —> (fl,У = w) € G х Н. Пространства Е, F инвари-

антны относительно данного действия. Ключевое отображение эквива-риантно относительно индуцированного полусвободного действия 50(2) в пространстве ключевых параметров R4. Следовательно, к нему применимы все утверждения и выводы второй главы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Карпова А.П., Сапронов Ю.И. А1етоды теории фредгольмовых отображений в нелокальном анализе бифуркаций циклов / А.П. Карпова, Ю.И. Сапронов // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна -2006. Тез. докл. Воронеж: ВГУ, 2006. С.49-50.

2. Карпова А.П. Фредгольмово уравнение с круговой симметрией в окрестности резонансной особой точки / А.П. Карпова, H.A. Копытин, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 4. Воронеж: ВГУ, изд-во "Созвездие", 2007. - С.69-90.

3. Карпова А.П. О резонансных бифуркациях решений фредгольмова уравнения с квадратичной нелинейностью / А.П. Карпова // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Вып. 2. Воронеж: ВГУ, 2007. С.43-58.

4. Карпова А.П. Бифуркации периодических решений четвертого порядка с резонансом 1:2 / А.П.Карпова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2008. - СПб., 2008. С.58-59.

5. Карпова А.П. Бифуркации решений в резонансной особой точке фред-гольмова уравнения с круговой симметрией/ А.П.Карпова// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2007. - СПб., 2007. С.65-72.

6. Карпова А.П. Бифуркационный анализ фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и его приложения / А.П. Карпова, Е.В. Ладыкина, Ю.И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. -Т. 5, ч. 1. Воронеж: ВорГУ, 2008. С.45-90.

7. Карпова А.П. Резонансные бифуркации решений фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и нелинейная динамика/ А.П. Карпова, Ю.И. Сапронов// Вестник ВГУ. Том 1. Воронеж: ВГУ, 2008. С.184-194.

8. Карпова А.П. Приближенное вычисление амплитуд циклов, бифурци-рующих при наличии резопансов/ А.П. Карпова, Ю.И. Сапронов// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008, вып. 3. С. 12-22.

9. Карпова А.П. Зарождение волновых движений несжимаемой вязкой жидкости на двумерном торе/ А.П. Карпова// Препринт НИИМ ВорГУ Дз 28. Декабрь 2008. Воронеж: ВорГУ. 2008. 10 с.

10. Карпова А.П. К вычислению амплитуд периодических волн в упругой балке па упругом основании/ А.П. Карпова// Препринт НИИМ ВорГУ № 29. Декабрь 2008. Воронеж: ВорГУ. 2008. 16 с.

Работа [8] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Подписано в печать 13.01.09. Формат 60*84 7ц. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 21

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение

1 Элементы бифуркационного анализа фредгольмовых уравнений

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.2 Схема Ляпунова - Шмидта.

1.3 Конечномерные уравнения, как конечномерные усечения фредгольмовых уравнений.

1.4 Дискриминантные множества (бифуркационные диаграммы)

1.5 Отображение в регулярной точке.

1.6 Контактные преобразования и версальные деформации особенностей фредгольмовых отображений.

1.7 Элементы теории G—пространств, слабо гладкая круговая симметрия.

2 Фредгольмовы уравнения с круговой симметрией

2.1 Действие окружности на ядре фредгольмова отображения

2.2 Ключевое отображение

2.3 Алгоритм вычисления ключевого уравнения.

2.4 Алгебраическое уравнение в!4 с круговой симметрией и резонансным вырождением типа 1:2.

2.4.1 Переход к приведенному уравнению.

2.4.2 Нормализованное приведенное уравнение.

2.4.3 Параметризация дискриминантного множества

2.4.4 Случай резонансов р : q, + \q\ > 4.

2.4.5 Резонанс 1:

3 Анализ и вычисление амплитуд бифурцирующих периодических решений дифференциальных уравнений

3.1 Бифуркации циклов из сложного фокуса.

3.1.1 Случай 4-мерной динамической системы

3.1.2 Случай п-мерной динамической системы.

3.2 Замечания о возможности исследования устойчивости бифурцирующих циклов.

3.3 Система гидродинамического типа с нелинейной вязкостью и трением.

3.4 Двухмодовые бифуркации периодических волновых решений уравнения 4-го порядка.

Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования периодических решений дифференциальных уравнений и изучением их свойств. Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, А.А. Андронова и Э. Хопфа и др.

Несмотря на значительные достижения в развитии теории бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений, многие ее задачи остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения системы вблизи вырожденной точки покоя при наличии сильных резонансов. Мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических решений, бифурцирующих из сложного фокуса динамической системы в ситуации многомодового вырождения. Системы с такими особенностями появляются в радиофизике (при исследовании автоколебаний в RC-генераторах), в реальных моделях экономики, популяци-онной динамики, химической кинетики и других разделах современного естествознания.

Среди наиболее часто используемых в наше время методов исследования бифурцирующих решений выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, Б.И. Мосеенков, Е.А. Гребеников, Ю.А.Рябов, М.Н.Киоса, С.В.Миронов, В.Г.Задорожний и др.). Большинство созданных на этой идее подходов достаточно эффективно работает лишь в случаях систем стандартного вида. Задача же приведения произвольного уравнения к стандартному виду, вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов ее решения. И даже для уравнений стандартного вида трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию бифурцирующих циклов.

Алгоритмы, основанные на применении теоремы Плисса - Кэли о центральном подмногообразии с последующими нормализациями и огрублениями уравнения, суженного на центральное подмногообразие, также не являются универсальными, так как основаны на некоторых упрощающих предположениях.

Таким образом, при наличии большого числа работ по изучению зарождения периодических волн, вихревых структр и циклов динамических систем вблизи сложного фокуса (см., например, [4], [30], [38], [20] и литературу в этих источниках) поиск алгоритмов, эффективных в построении и анализе ветвящихся периодических решений дифференциальных уравнений, остается по-прежнему актуальной задачей.

В данной диссертации изложена процедура приближенного вычисления и анализа ветвления периодических решений ДУ, развивающая и дополняющая вычислительные схемы, опубликованные в [33], [9]. Методологическую основу предлагаемой вычислительной процедуры составляют теория гладких 50(2)—эквивариатных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах.

При рассмотрении дифференциальных уравнений с большим числом параметров зачастую точные или приближенные формулы решений не дают полного представления о происходящих бифуркациях. Картина предстает намного более полной и ясной, когда результат анализа решений дополнен анализом дискриминантного множества (совокупности значений параметров, при которых существуют вырожденные решения и при переходе через которые изменяется состав решений). Дискриминант-ное множество делит пространство управляющих параметров на ячейки, каждой из которых соотвествует состав решений, неизменный по количеству и качеству (при вариациях параметров вдоль ячеек). Изложенная в диссертации процедура позволяет решать в том числе и задачу дискри-» минантного анализа параметрических семейств периодических решений.

В работе использована трактовка дифференциальных уравнений в виде операторного уравнения лО) = ь, weE, be F, (l) в котором fx — гладкое фредгольмово отображение (с параметром) банахова пространства Е в банахово пространство F. Решение такой задачи осуществляется переходом (редукцией) к конечномерному уравнению

Ш = А £ е М, р е N, (2) в котором 0д(£) = (/л (<£>(£)); М и N — области в Мп, (р и 4> — гладкие вложения М и N в Е и F соответственно. Идея исследования нелинейных систем посредством сведения к конечномерному алгебраическому уравнению применялась многими специалистами по анализу нелинейных краевых задач (см. работы М.А. Красносельского, П.П. Забрейко, М.М. Вайнберга, В.А. Треногина, Н.А. Сидорова, Б.В. Логинова, J.E. Marsden и др., координаты которых имеются, например, в обзоре [17]). Эта же идея использована в настоящей диссертации.

Проблематика диссертации сгруппирована вокруг уравнений с круговой симметрией. Уравнения с круговой, бикруговой и поликруговой симметриями изучались в работах Б.В.Логинова, В.Г. Звягина, В. Крав-цевича, Ю.И. Сапронова, В.А. Смольянова, А.В. Гнездилова, Е.В. Ла-дыкиной и др.

Разнообразным вопросам анализа дифференциальных уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (см. монографии и статьи JI.B. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, П. Олвера, A.M. Виноградова (с соавторами), В.Ф. Зайцева, А.Т. Фоменко, В.А. Треногина, Б.В. Логинова и др. [15], [18], [27], [28], [37]). Ряд аспектов теории вариационных и общих операторных уравнений с групповой симметрией развивался при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса (А.Т. Фоменко, В.В. Шарко и др.) и теории ветвления решений нелинейных эквивариантных уравнений (J.E. Marsden, Н.А. Бобылев, Б.В. Логинов, В.А. Треногин, З.И. Баланов и др.).

Цель работы и основные задачи. Основные научные результаты данной диссертации допускают абстрактную формулировку в терминах фредгольмова уравнения со слабой круговой симметрией, рассмотренного вблизи (порождающей) особой точки с четырехмерным вырождением. Центральная конструктивная идея диссертации — сведение (редукция) задачи об изучении решений уравнения (1) (в условиях круговой симметрии) к аналогичной задаче для конечномерного алгебраического уравнения (ключевого уравнения) (2) с его последующим качественно-численным анализом. Цель работы — реализация этой идеи в задаче резонансного циклогенеза.

К главным составляющим основной задачи отнесены: 1) описание алгебраической структуры главной части ключевого уравнения, 2) описание геометрической структуры дискриминантного множества £ уравнения (1), 3) описание раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е), 4) приближенное построение амплитуд ветвей бифурцирующих периодических решений.

В диссертации предложено решение основной задачи для класса динамических систем, включающего в себя автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамиеского типа, уравнения колебаний упругой балки на упругом основании и др.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных уравнений, современного анализа гладких отображений и теории инвариантов. Методологическая основа — схема Ляпунова-Шмидта, рассмотренная в рамках общей теории гладких SO(2)— эквивариантных фредгольмовых уравнений (в бесконечномерных банаховых пространствах).

Материал диссертации развивает и дополняет более ранние результаты исследований Б.М. Даринского, Ю.И. Сапронова, В.А. Смольяпова и Е.В. Ладыкиной [33], [9], [12].

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Дано описание алгебраических структур главных частей ключевых отображений для класса динамических систем, включающего в себя уравнения колебаний упругой балки, автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений и системы гидродинамиеского типа.

2. Разработаны и обоснованы алгоритмы приближенного вычисления амплитуд периодических решений, бифурцирующих из точек покоя при наличии резонансов.

3. Разработан и апробирован алгоритм приближенного вычисления параметризаций трехмерных сечений дискриминантных множеств (для задачи о периодических решениях ДУ).

4. Проведено вычисление асимптотик амплитуд резонансно бифурцирующих циклов автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамического типа и уравнения колебаний упругой балки на упругом основании.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых уравнений в бифуркационном анализе циклов динамических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2006 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург, 2007, 2008 гг.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ, на семинаре по глобальному и стохастическому анализу (ВГУ, рук. — проф. Ю.Е. Гликлих) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных с соавторами ([52], [53], [57], [58], [59]), соавторам принадлежат лишь постановки отдельных задач и разбор отдельных примеров. Статья [59] входит в "перечень ВАК".

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 61 наименований. Общий объем диссертации — 106 стр.

1. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений/ В.И.Арнольд, А.Н.Варченко, С.М.Гусейн-Заде - М.: МЦНМО. 2004. -672 с.

2. Арнольд В.И. Топологические методы в гидродинамике/ В.И.Арнольд, Б.А.Хесин М.: МЦНМО. 2007. - 392 с.

3. Бардин Б.С. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании / Б.С. Бардин, С.Д.Фурта // Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. - 1998. - С. 13-22.

4. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации / Ю.Н.Бибиков Ленинград: изд. ЛГУ. 1991. 144 с.

5. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах / Н.А.Бобылев, С.В.Емельянов, С.К.Коровин М.: Магистр, 1998. - 658 с.

6. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г.Борисович, В.Г.Звягин, Ю.И.Сапронов // Успехи матем. наук. Т.32, вып.4. 1977. С.3-54.

7. Глушко А.В. Асимптотическаие методы в задачах гидродинамики/ А.В. Глушко Воронеж: ВорГУ, 2003. - 300 с.

8. Голубицкий М. Устойчивые отображения и их особенности/ М. Голу-бицкий, В. Гийемин М.: Мир, 1'978. - 290 с.

9. Даринский Б.М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка / Б.М.Даринский, Ю.И.Сапронов // Понтрягинские чтения XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57-64.

10. Даринский Б.М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны / Б.М.Даринский, Е.В.Ладыкина, Ю.И.Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 52-67.

11. Даринский Б.М. Дискриминантные множества и расклады бифур-цирующих решений фредгольмовых уравнений / Б.М.Даринский, Ю.И.Сапронов // Современная математика и ее приложения. Тбилиси. 2003. Т.7. - С.72-86.

12. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М.Даринский, Ю.И.Сапронов, С.Л. Царев С.Л.// Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12 (2004). С.3-140.

13. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория / П.Жермен М.: Высш. шк. 1983. - 399 с.

14. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф.Зайцев Л.: ЛГПИ, 1989. - 80 с.

15. Зайцев В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Точные решения / В.Ф.Зайцев, А.Д.Полянин М.: Физ-матлит, 1995. - 560 с.

16. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р.Зачепа, Ю.И.Сапронов Воронеж: ВГУ, 2002. - 185 с.

17. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х.Ибрагимов М.: Наука, 1983.- 280 с.

18. Изюмов Ю.А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю.А.Изюмов, В.И.Сыромятников Москва, Наука. 1984. - 247 с.

19. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж.Йосс, Д.Джозеф М.: Мир. 1983. - 302 с.

20. Коллатц Л. Задачи на собственные значения / Л.Коллатц М.: Наука. 1998. 504 с.

21. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А.Красносельский, Г.М.Вайникко, П.П.Забрейко, Я.Б.Рутицкий, В.Я.Стеценко М.: Наука, 1969. - 456 с.

22. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А.Красносельский, Н.А.Бобылев, Э.М.Мухамадиев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.

23. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А.Красносельский, П.П.Забрейко М.: Наука, 1975. - 512 с.

24. Матвеев С.В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем / С.В.Матвеев, А.Т.Фоменко, В.В.Шарко // Математический сборник. 1988. Т. 135, N 3. С. 325-345.

25. Обухов A.M. Турбулентность и динамика атмосферы / А.М.Обухов- JL: Гидрометеоиздат. 1988. 414 с.

26. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В.Овсянников М.: Наука, 1978.

27. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П.Олвер М.: Мир, 1989.- 639 с.

28. Постон Т. Теория катастроф и её приложения / Т.Постон, И.Стюарт- М., Мир. 1980. 608 с.

29. Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн / М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков М.: Наука. 1984. 432 с.

30. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю.И.Сапронов // Матем. сборник. 1989. Т.180, N 10. - С. 1299-1310.

31. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И.Сапронов // Успехи матем. наук. Т. 51, вып. 1. 1996.- С. 101-132.

32. Сапронов Ю. И. Обобщенная редукция Каччиополи и бифуркация решений уравнений при разрушении непрерывных симметрий / Ю.И.Сапронов, В.А.Смольянов // Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: изд-во ВГУ, 2001. - С. 125-139.

33. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения соболевского типа / Г.А.Свиридюк, В.Е.Федоров Челяб. гос. ун-т. 2003. 179 с.

34. Стрыгин В.В. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами / В.В.Стрыгин, Г.Ю.Северин // Вестник ВГУ. Сер.: физика, математика. 2006, №2.

35. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р.Темам М.: Мир. 1981. - 408 с.

36. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А.Треногин, Н.А.Сидоров, Б.В.Логинов // ДАН СССР. 1989. Т.309, N 2 - С.286-289.

37. Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б.Хэссард, Н.Казаринов, И.Вэн М.: Мир. 1985. 280 с.

38. Царев С.Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией / С.Л.Царев // Современная математика и ее приложения. Тбилиси, 2003. Т.7. - С. 87-91.

39. Cacciopolli R. Un principio diinversioni per le corrispondenze funzionali e sue applicazioni able equazione a derivate parzidle / R. Cacciopolli // Rend. Acc. Lincei. 1932. V.16. - P. 390-395, P. 484-489.

40. Cacciopolli R. Sulle corrispondenze funzionali inverse diramate: teoria generale e applicazioni ad alcune equazioni non-lineari e al problema di Plateau / R.Cacciopolli // Rend. Acc. Lincei.- 1936. V.24. P. 258-263, P. 416-421.

41. Conley C.C. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conyecture of V.I.Arnol'd/C.C. Conley, E. Zehnder / C.C.Conley // Invent. Math. 1983. V.73. P.33-49.

42. Eilbeck J.C. Numerical studies of solitons / J.C.Eilbeck // Solitons and condensed matter physics. Berlin and New York: Springer.

43. Elworthy K.D. Differential structures and Fredholm maps on Banach manifolds / K.D.Elworthy, A.J.Tromba // Proc. Sympos. Pure. Math. -15, A.M.S. 1970. P.49-94.

44. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls// Ferroelectrics / Y.J.Ishibashi 1989. - V.98. - P.193-205.

45. М1тропольский Ю.О. Дослщження коливанъ в системах з розподь леними параметрами (асимптотичш методи) / Ю.О.Мггропольский, БЛ.Мосеенков Б.1. Видавництво Кшвського ушверситету. 1961. 123 п.

46. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Marsden // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. V.84, N 6.

47. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunow-Schmidt procedure / J.E. Marsden // Lect. Notes in Math. 1979. V.755. - P.77-82.

48. Poenaru V. Singularites C°° en Presence de Symetrie / V.Poenaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P. 61-89.

49. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen / E.Schmidt // Math. Ann. 1908. V.65. -P. 370-399.

50. Zemlyanukhin A. Exact solutions of the fifth-order non-linear evolution eqyations/A. Zemlyanukhin // Regular and chaotic dynamics. 1999. V. 4. N 3. P.67-69.

51. Карпова А.П., Сапронов Ю.И. Методы теории фредгольмовых отображений в нелокальном анализе бифуркаций циклов / А.П.Карпова, Ю.И.Сапронов // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2006. Тез. докл. Воронеж: ВГУ, 2006. С.49-50.

52. Карпова А.П. Фредгольмово уравнение с круговой симметрией в окрестности резонансной особой точки / А.П.Карпова, Н.А.Копытин, Ю.И.Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 4. Воронеж: ВГУ, изд-во "Созвездие", 2007. С.69-90.

53. Карпова А.П. О резонансных бифуркациях решений фредгольмова уравнения с квадратичной нелинейностью / А.П. Карпова // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Вып. 2. Воронеж: ВГУ, 2007. С.43-58.

54. Карпова А.П. Бифуркации периодических решений четвертого порядка с резонансом 1:2 / А.П.Карпова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Гер-ценовские чтения 2008. - СПб., 2008. С.58-59.

55. Карпова А.П. Бифуркации решений в резонансной особой точке фредгольмова уравнения с круговой симметрией/ А.П.Карпова// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2007. - СПб., 2007. С.65-72.

56. Карпова А.П. Бифуркационный анализ фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и его приложения / А.П. Карпова, Е.В. Jla-дыкина, Ю.И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Т. 5, ч. 1. Воронеж: ВорГУ, 2008. С.45-90.

57. Карпова А.П. Резонансные бифуркации решений фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и нелинейная динамика/ А.П. Карпова, Ю.И. Сапронов// Вестник ВГУ. Том 1. Воронеж: ВГУ, 2008. С.184-194.

58. Карпова А.П. Приближенное вычисление амплитуд циклов, бифур-цирующих при наличии резонансов/ А.П. Карпова, Ю.И. Сапронов// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008, вып. 3. С.12-22.

59. Карпова А.П. Зарождение волновых движений несжимаемой вязкой жидкости на двумерном торе/ А.П. Карпова// Препринт НИИМ Вор-ГУ № 28. Декабрь 2008. Воронеж: ВорГУ. 2008. 10 с.

60. Карпова А.П. К вычислению амплитуд периодических волн в упругой балке на упругом основании/ А.П. Карпова// Препринт НИИМ ВорГУ № 29. Декабрь 2008. Воронеж: ВорГУ. 2008. 16 с.