Приложения теории краевых и угловых особенностей гладких функций к анализу бифуркаций решений вариационных задач с круговой симметрией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Ладыкина Екатерина Владимировна

Приложения теории краевых и угловых особенностей гладких функций к анализу бифуркаций решений вариационных задач с круговой симметрией

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2005

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Перов Анатолий Иванович

Ведущая организация: Челябинский государственный университет

Защита состоится 20 декабря 2005г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " ноября 2005 г.

Ученый секретарь I

диссертационного совета К. 212.038. 05

профессор Сапронов Юрий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Валентин Федорович

доктор ф.-м. наук, профессор

Гликлих Ю. Е.

2 шт

Актуальность темы. В теории упругих систем, в теории фазовых переходов, в теории нелинейных волн и других разделах современного естествознания естественным образом возникает вариационная задача вида

ВД — Ьй, (1)

в которой Ух(х) — гладкое семейство гладких функционалов с круговой симметрией, заданное на банаховом пространстве Е , то есть симметричное (инвариантное) относительно линейного действия (не всегда непрерывного по (?) группы Ли £7 = 50(2) на ¿?:

ВДх) = ВД ЧхеЕ, де 50(2). (2)

Здесь А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве Ь (конечномерном или бесконечномерном).

В диссертации рассмотрена вариационная задача (1) с круговой симметрией (2) при следующих дополнительных условиях:

1) функционал У(х) — фредгольмов индекса нуль;

2) действие группы 50(2) задано гомоморфизмом д >-» Тд из 50(2) в группу О (Я) (линейных ортогональных преобразований Я), где Я — некоторое гильбертово пространство, в которое непрерывно и плотно вложено Е\

3) сужение представления Тд на каждое инвариантное конечномерное подпространство N в Е является гладким гомоморфизмом ( д

из 50(2) в 50(ТУ) является гладким отображением).

Групповое действие, подчиненное условию 3, называется слабо гладким.

Фредгольмовость функционала V означает, что

|£Ог)Лзг </(*), Л), (3)

где / : Е —► Г — гладкое фредгольмово отображение нулевого индекса банаховых пространств, (•, •) — скалярное произведение в (гильбертовом) пространстве Я, содержащем Е и Е как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно

ЗРОС НАЦИОНАЛЬНА!' | БИБЛИОТЕКА

¡яям

вложено в F. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, F, #}, и используются обозначения / = gradV = V V.

При изучении бифуркаций решений вариационных задач, содержащих параметры, достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции 1 2, который использован и в данной диссертации.

Вопросам анализа уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (например, монографии и статьи Л.В.Овсянникова, Н.Х.Ибрагимова, П.Олвера, А.М.Виноградова с соавторами, В.Ф.Зайцева, А.Т.Фоменко, В.А.Треногина, Б.В.Логинова, З.И.Баланова и др.).

Ряд аспектов теории функционалов с групповой симметрией развиваются при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса (А.Т.Фоменко, С.В.Матвеев, В.В.Шарко и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А.Бобылев, Б.В.Логинов, В.А.Треногин, Ю.И.Сапронов и др.)

Уравнения с круговой и бикруговой симметриями изучались в работах Б.В.Логинова, В.Г.Звягина, В.Кравцевича и др. В работах А.В.Гнезди-лова изучались уравнения с поликруговой симметрией.

Используемый в диссертации подход к анализу инвариантных функционалов идейно опирается, с одной стороны, на теорию Ботга (о критических многообразиях) с ее развитием в виде теории Морса для круглых функций и боттовских интегралов (А.Т.Фоменко и др.) и, с другой стороны, на теорию эквивариантных особенностей гладких функций (В.И.Арнольд, С.М.Гусейн-Заде, В.Поэнару, С.Т.С.Уолл, Д.Сирсма и др.).

Известно, что многие вопросы бифуркационного анализа вариационных задач в условиях симметрии могут быть сведены к соответствующим вопросам теории миниверсальных разверток краевых и угловых осо-

1 Красносельский М.А., Бобылев H.A., Мухамадиев Э М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// Доклады АН СССР, 1978 - Т.240, вып.З.- С.530-533.

'Сапронов Ю.И Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи матем наук. - 1996. - Т.51, вып.1. - С.101-132.

бенностей гладких функций, развитой В.И. Арнольдом, С.Т.С. Уоллом, Д Сирсмой, Д. Питом, Т. Постовом и др. В рамках теории фредгольмо-вых функционалов на банаховых многообразиях сравнительно недавно был получен ряд новых результатов, связанных с анализом бифуркаций вблизи краевых и угловых особых точек границы банахова многообразия (Ю.И.Сапроновым, А.В.Гнездиловым, О.Ю.Даниловой, О.В.Швыревой, М.А. Хуссейном и A.B. Белоглазовым). В частности, были изучены бифуркации экстремалей из омбилической особой точки гиперболического типа, расположенной на вершинной грани угла. . Основные результаты настоящей диссертации получены при изучении

бифуркаций экстремалей параметрических семейств гладких фредголь-мовых функционалов в случае круговой симметрии при условии четырехмерного вырождения с сильными резонансами 0:1,1:2, 1:3 и произвольными слабыми резонансами.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация теоретической схемы изучения бифуркаций критических орбит экстремалей фредгольмова функционала в условиях круговой симметрии.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления, теории групп Ли и теории гладких функций многих переменных. Основу разви-» той в диссертации схемы анализа составляют модифицированный метод

Ляпунова - Шмидта и теория угловых особенностей гладких функций.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Развита новая схема анализа бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала из конечнократной критической точки, приспособленная к условиям слабой круговой симметрии.

2. Изучены плоские сечения каустики, получена классификация раскладов бифурцируюших критических орбит в случае слабо 50(2)—ин-

вариантного фредгольмова функционала при условии четырехмерного вырождения с резонансами 0 : 1, 1 : 2, 1 : 3 и всеми резонансами порядков, больших 4.

3. Получено приложение к задаче о зарождении и распространении периодических волн в упругой балке на упругом основании.

4. Получено приложение к задаче о бифуркации периодических волновых решений нелинейного соболевского уравнения 2-го порядка.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и развитие методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей в условиях круговой и более общей групповой симметрии.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом и симметрийным анализом краевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения" (г.Воронеж, 2000 г.), на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (г. Челябинск, 2002 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г Суздаль, 2002 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (г. С-Петербург, 2004 г.), на конференции "Образование, наука, производство и управление в XXI веке" (г. Ст.Оскол, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах [1] - [8]. Из совместных работ [1], [5], [6] в диссертационную работу Лады-

киной Е.В. вошли результаты, полученные лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы из 99 наименований. Общий объем диссертации — 114 стр.

Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (5 рисунков), выполненной в среде Maple и посредством визуализатора С.М. Семенова.

Краткое содержание работы

Первая глава содержит краткое изложение известных результатов, адаптированное к ситуации, рассматриваемой в диссертации, а также обзор близких результатов других авторов.

Во второй главе приведены результаты исследования бифуркаций экстремалей из особой точки для абстрактного фредгольмова функционала в условиях слабо гладкой круговой симметрии.

Теорема 1. Пусть гладкий фредгольмов функционал V инвариантен относительно слабо гладкого действия компактной группы Ли G и допускает. эквиваршнтную конечномерную редукцию (Ляпунова - Шмидта) Тогда соответствующая ключевая функция W также инвариантна относительно (гладкого) действия данной группы G, то есть

= ^(е), Щ е Еп с Е, g € G, (4)

где Rg — соответствующее матричное представление группы G в пространстве ключевых параметров Е" ~ К", Е — банахово пространство.

Имеет место следующее обобщение теоремы А.В.Гнездилова:

Теорема 2. Пусть функционал

V : 0(а) с Е r

(Е — банахово пространство) обладает слабой т— круговой симметрией в окрестности О (а) некоторой неподвижной относительно действия тора Тт критической точки а е Е функционала V. Тогда его

ключевая функция

IV : 6(0) ск2™-»! в некоторых координатах имеет следующий вид

т

...,6т) = £ °3 (4-1 + + 3=1

то

£ (4-1+Ф (&-1 + &) + I4). (5)

зМ 1

В диссертации рассматривается лишь слабо гладкое действие 50(2) на с условием инвариантности Е, Р, и У. Всюду предполагается эк-вивариантность редуцирующего отображения р (что влечет инвариантность ключевой функции). В большинстве рассмотренных случаев предполагается также, что индуцированное действие 30(2) на К" полусвободно (следовательно, п четно: п = 2тп).

Отождествив вектор £ € М" с комплексным вектором г = ... , гт)Т 6 С"1, запишем инвариантность ключевой функции IV в виде соотношения IV(г) — \¥(г), где 2 = (ехр^рдв)*!, ... , ехр(гртв)гт)т (инвариантность относительно действия

{ехр(гй), г) н-> (ехр(грх«)«!, ... ,ехр(гртз);гт)т, (6)

окружности А К").

Множество ненулевых критических точек ключевой функции IV представляют собой набор одномерных подмногообразий (критических орбит действия (6)), диффеоморфных окружностям.

Теорема 3. Пустып = 2, г\ — £1+62«, = £3+61* иР1 = 1, Р2 = 2. Тогда ключевая функция IV допускает представление в виде

Ыг + а212) + \ {А\1\ + А21\ + 2В1г12) +

+Сг13 + С2Ь + О, II + Г>2/З/4 + о(11 IIII /3/4), (7)

где

/з = (£? - + 26^4, и = - (£ - е2)и,

(■полная система инвариантов действия группы 80(2)) оц — 8\ — 6о — 62, а2 — 4(5х — ¿о — 1662,

27Г 2тг

' 1 Г 3 1 Г

Аг = А2 = — I е\йх = - , В = — / = 3,

о о

С,, Вь — вычисляемые константы (их точные значения в данный момент не важны).

Теорема 4. В случае А—мерного вырождения с резонансом 1 : 2 ключевая функция IV в полярных координатах

& = п СО£2 = П 8т(^1), & = т2 С08(<р2), & = г2 8т((р2),

допускает представление (после деления на нормирующую константу) в виде

-\(р!г1 + 02 г|) + \{г\ + Г24 + Аг\г\) + СГ?Г2 С08(^ + 0)+ (8)

г<?е с,в — вычисляемые константы, ф = <р2 — г9, в — некоторые гладкие функции, соответственно, двух и трех переменных, для которых

*(г?,г1) = от, е(г?,г2,1/|) = о(|с|2).

Условие стационарности орбиты по фазе -ф = 2(р\ —<р2 дает следующие критические значения фазы:

^ = о+о(|е|2), тг+о(|е|2).

Изучение условий стационарности по амплитудам гь г2 приводит к задаче о бифуркации критических точек из сложной критической точки с особенностью параболической омбилики + Функция =

+ £i?2 симметрична по переменной V(—£1,6) = ViiiA'i)- Рассмотрим ограниченную миниверсальную развертку особенности этой функции в нуле (в классе функций, четных по £1 ):

1,6) = й + + ¿1Й + ¿2Й + 42-

Стандартная замена ^ = и, и > 0, приводит к эквивалентной задаче изучения бифуркаций экстремалей из краевой особой точки для развертки

W{u, = + <2 + Sm + 62$ 4- А6, «>0.

Переход к краевой особенности не отражается на каустике, которая представляет собой следующее объединение множеств:

£ = Г0п( U Eg* U Smt,

где Eq"*, Eg1* — подмножества (компоненты) каустики, отвечающие за вырождение краевых особенностей вдоль края и, соответственно, по нормали, а компонента, отвечающая за вырождение внутренних (некраевых) критических точек.

Нетрудно проверить, что в данной задаче компонента £гп( является пустой, построение параметризации каустики сводится к параметризации лишь ее "краевых" компонент.

Теорема 5. В случае 3—мерного вырождения со стандартным действием группы SO (2) на пространстве ключевых переменных ключевая функция W допускает представление (после масштабирования и деления на нормирующую константу) в виде

<76 + \ Ы20 + С*2Г2) + I (Абг2 + Ü2Ü) + \ (е04 + ье0г2 + г4) + 0(||i II4),

(9)

где г2 = + £f> 9> аь а2, ßu 02, 7 ~~ некоторые функции от исходного параметра 5 (их точный вид в данный момент не важен).

Если ßi ф О и /?2 ф 0 при 5 = 0, то анализ поведения ключевой функции сводится к анализу в полуплоскости и > 0 семейства полиномов

Wi{u, v) = v3 + uv + 5\U + fav. 10

В случае резонанса 1 : 3 при отождествлении вектора £ е R4 с комплексным вектором z = (zi, z2)T € С2 условие инвариантности ключевой функции W записывается в виде

W(z) = W(z), z = (ехр(г ip)zi, ехр(г 3^)гг)Т-

Следовательно, функция W допускает представление

(агЬ + + \ (Axl\ + A2l\ + 2Bhh + C3I3 + СЖ) + о(||£||4),

где

h = &3+збй)^ - (3^2+фи, h = №++(е?+збй)£з

— инварианты относительно следующего действия группы 50(2):

{ехр(г</з),г} i-f (ехр(г <p)zi, ехр(г 3<p)z2)T.

Таким образом, в случае 4—мерного вырождения с резонансом 1 : 3 ключевая функция W в полярных координатах представима (после масштабирования и деления на нормирующую константу) в виде:

+ &r22) + i(r} + rj + 2аг\т\ + сг\г2 cos(^))+ (10)

+$(г2иг22)+г21г2е(г21,г2)ф))

где с = с(б) — вычисляемая константа, ф = ц>2 — Зух + const, "д, в — некоторые гладкие функции, соответственно, двух и трех переменных, для которых

tf(r?,rf) = o(|i|e), е(г1г2,Ф) = 0№2).

В результате редукции по фазовой переменной и линейной замены координат анализ ключевой функции (10) сводится к анализу функции вида:

~2 + 273«f) + ^(м4 + V4 + 2au2v2).

Дискриминантный анализ бифуркаций критических точек такого семейства функций недавно осуществил Ф.А. Белых.

В случае слабого резонанса р : q, |р| + \q\ > 5, ключевая функция W допускает представление

~ (ai/i + a2I2) + J {AJl + A2li + 2BI&) + 0(||£||4). (И)

Соответственно, для случая 4—мерного вырождения со слабым резонансом ключевая функция W допускает в полярных координатах представление (после масштабирования и деления на нормирующую константу) вида:

-\ (far! + (52г\) + ^ (rf + r\ + 1агУ2) + d{rl r\) + г\гъв{г1 r2,ip), a > -1,

где a — a(S) — вычисляемая константа, ф = pip2 — q<p 1 + const, q — некоторые гладкие функции, соответственно, двух и трех переменных, для которых

tf(fir22) = 0(!£i6), 0(r?,r2,vo = o( lei2).

После редукции по фазовой переменной реализован переход к анализу функции вида:

~\{Wi + 72И2) + \(ui + uj + 2awfu|),

аналогичной возникающей в случае резонанса 0 : 1. Анализ этой функции сводится к анализу функции

+ 72^2) + ^(vf + v2 + 2aviv2)

в положительной четверти координатной плоскости.

В третьей главе изучены на основе результатов второй главы 2—мо-довые бифуркации периодических волновых движений упругой балки на упругом основании- описаны условия возникновения периодических волновых движений упругой балки на упругом основании при взаимодействии пары волновых мод с резонансами 0:1, 1:2, 1 : 3 и р q, М + |<?| 5 и, в частности, исследованы случаи устойчивости бифурци-рующих волн на основе принципа наименьшего действия (наименьшего значения интеграла энергии).

Колебания и волновые движения упругой балки на упругом основании ранее изучали Ю А Митропольский, Б.И. Мосеенков, ХМ.Т.ТЬотрэоп, Н.В^ешай, Б С. Бардин, С.Д. Фурта и др. Простейшая нелинейная модель движений балки описывается уравнением

а2ги д2и> 0 з п

где ги — прогиб балки (поле смещений точек средней линии упругой балки, заданное на оси х).

В данной главе проведена редукция функционала энергии к функции четырех переменных, для которой найдена главная часть.

Потенциальная энергия деформации балки определяется интегралом

о 4 '

где и — некоторая гладкая функция, и{ьз) = о(ш2).

Аналогичный интеграл энергии используется в теории сегнетоэлек-трических кристаллов, испытывающих (в соответствующих условиях) фазовый переход из высокотемпературной парафазы в несоразмерную фазу, характеризуемую стационарной периодической зависимостью.

Уравнение равновесия, полученное из условия равенства нулю первой вариации (первого дифференциала) этого функционала, имеет следующий вид:

Очевидно, что данное уравнение имеет тривиальное решение т(х) = О при всех значениях параметров. При больших значениях «о это решение является устойчивым. Потеря устойчивости происходит при переходе через наименьшее собственное значение дифференциального оператора (в линейной части исходного уравнения) «г^рг + «адр + «о-

Рассматривая периодические волны в виде: к = гй{кх — ш1) (и = ^ — скорость распространения волны), получим уравнение, в котором вместо «4 участвует (эффективный) коэффициент

«1 = к2К1 + 771«2. (12)

Соотношение (12) показывает, что с увеличением частоты увеличивается коэффициент что приводит к бифуркации бегущих периодических волн.

Таким образом, поиск бифурцирующих волн приводит к построению периодического решения уравнения

_ д2™ _ „„ Л «2^4 + «1^2 + «О® + И (ЙО = О,

определяющего экстремали функционала (энергии)

Такие волны допускают представление

€з(х, £) = Т\ вт(ру + ¡р{) -I- г2 вт(ду + + о(гьг2),

у = к х — со Ь, р,} € г, НОД (р, д) = 1, в пределах которого реализуется значительное разнообразие профилей и "скоростных" свойств бифурцирующих волн.

Поиск волн указанного вида сводится к изучению экстремалей функционала и на пространстве периодических функций фиксированного периода. Очевидно, что этот функционал инвариантен относительно действия группы 50(2), порожденного оператором сдвига аргумента функции.

Также в третьей главе описаны условия возникновения периодических волновых решений уравнения 2-го порядка типа С.Л. Соболева при резонансном взаимодействии пары волновых мод (рассмотрены случаи резонансов 0:1, 1:2, 1 : 3 и р: д, \р\ + > 5).

Теория уравнений типа С.Л. Соболева (или, более кратко, соболевских уравнений), начало которой заложено в работе С.Л. Соболева "Об одной новой задаче математической физики" (Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18. С. 3-50), развивалась в трудах многочисленной группы российских и зарубежных математиков. Большинство аспектов современного состояния этой теории освещены в монографии Г.А.Свиридюка и В Е.Федорова

"Линейные уравнения соболевского типа" (ЧелГУ. 2003. 179 с.) и монографии И.Е.Егорова, С.Г.Пяткова, С.В.Попова "Неклассические дифференциально - операторные уравнения" (Новосибирск: Наука. 2000). Начально - краевые задачи для соболевских уравнений второго и более высокого порядков изучались методами функционального анализа в работах А.А.Замышляевой.

В данной диссертации рассмотрено нелинейное соболевское уравнение второго порядка

+ 01-53- + Ри + и!1 = 0,

дЬЮх2 1дР дх2 и показано, что условия зарождения "малых" волновых решений и их характер в ситуации резонансного взаимодействия двух волновых мод могут быть описаны в терминах некоторого полинома второй степени (двух переменных), рассмотренного в положительной четверти координатной плоскости.

Автор искренне благодарит профессора Ю. И. Сапронова за научное руководство, внимание и поддержку, а также А.А.Белоглазова, М.А.Хус-саина и Е.В.Чемерзину за обсуждение результатов диссертации и замечал ия.

Публикации автора по теме диссертации

1. Ладыкина Е.В. Бифуркации критических орбит из критической точки типа многомерной сборки для функционала с непрерывной симметрией/ Е.В. Ладыкина, Ю.И. Сапронов// Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Воронеж: ВорГУ. Тез. конф. 2000. С. 139-140

2. Ладыкина Е.В. О бифуркациях критических орбит для фредголь-мовых функционалов с непрерывной симметрией/ Е.В. Ладыкина// Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели -Челябинск, 2002. Тез. конф. С.62

3. Ладыкина Е.В. Критические орбиты фредгольмовых функционалов с непрерывной симметрией/ Е.В. Ладыкина// Международная кон-

" ? 1 4 6 9

ференция по дифференциальным Тез. докладов. Владимир: ВладГ!

4. Ладынина Е.В. О бифуркацй рывными симметриями/ Е.В. Лад ных математического факультета

73.

5. Даринский Б.М. Фредгольм*.

рией и периодические волны/ Б.М. Даринский, Е.В. Ладынина, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. -Воронеж: ВорГУ. 2003. - С. 52-67.

6. Даринский Б.М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны в нелинейных средах/ Б.М. Даринский, Е.В. Ладынина, Ю.И. Сапронов// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2004. СПб., 2004. - С. 24-29.

7. Ладынина Е.В. Бифуркации экстремалей функционала действия в условиях круговой симметрии/ Е.В. Ладынина// Образование, наука, производство и управление в XXI веке. Ст.Оскол, 2004. - с.300-303

8. Ладынина Е.В. Бифуркации орбит критических точек фредгольмо-вых функционалов с круговой симметрией/ Е.В. Ладынина // Воронеж: ВорГУ. НИИ математики. Препринт N13. Август, 2005. - 27 с.

Заказ №Я7£от & У/ 2005г. Тираж ¿00 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Введение

1 Фредгольмовы вариационные уравнения

1.1 Элементы анализа фредгольмовых функционалов

1.1.1 Фредгольмовы операторы.

1.1.2 Фредгольмовы функционалы.

1.1.3 Локальный анализ фредгольмовых функционалов

1.2 Функционалы с групповой симметрией и угловые особенности

1.2.1 Бифуркационые диаграммы функционалов

1.2.2 Об угловых особенностях.

1.2.3 Моды бифуркации угловой особенности.

1.3 Функционалы, инвариатные относительно гладкого действия группы Ли.

1.4 Приближенное вычисление ключевой функции.

2 Фредгольмовы функционалы со слабо гладкой круговой симметрией.

2.1 Элементы теории G—пространств в условиях слабо гладкой круговой симметрии.

2.1.1 Предварительные замечания.

2.1.2 Версальные деформации, каустики и ключевые функции.

2.1.3 Функционалы со слабо гладкой симметрией.

2.2 Случай резонанса 1:2.

2.2.1 Структура ключевой функции в условиях слабой круговой симметрии и резонанса 1:2.

2.2.2 Анализ главной части ключевой функции.

2.3 Случаи других резонансов.

2.3.1 Резонанс 0:1.

2.3.2 Резонанс 1:3.

2.3.3 Резонанс р : q, |р| + \q\ > 5.

В теории упругих систем, теории фазовых переходов, теории нелинейных волн и других разделах современного естествознания естественным образом возникает вариационная задача вида: в которой V\(x) — гладкое семейство гладких функционалов с круговой симметрией, заданное на банаховом пространстве Е, то есть симметричное (инвариантное) относительно линейного действия Тд (не всегда непрерывного по д) группы Ли G = 50(2) на Е\

А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном). В диссертации рассмотрена вариационная задача (1) с круговой симметрией (2) при следующих дополнительных условиях:

1) функционал V(x) — фредгольмов индекса нуль;

2) действие группы 50(2) задано гомоморфизмом д н» Тд из 50(2) в группу 0(H) (линейных ортогональных преобразований Н), где Н — некоторое гильбертово пространство, в которое непрерывно и плотно вложено Е;

3) сужение представления Тд на каждое инвариантное конечномерное подпространство N в Е является гладким гомоморфизмом ( д Tg\N из 50(2) в SO(N) является гладким отображением).

Групповое действие, подчиненное условию 3, будем называть слабо гладким.

Фредгольмовость функционала V означает, что

V\(x) —> inf,

1)

Vx(Tgx) - Vx(x) Vx£E, ge 50(2),

2) x)h={f(x),h)

3) где / : Е —У F — гладкое фредгольмово отображение нулевого индекса банаховых пространств, (•, •) — скалярное произведение в некотором гильбертовом пространстве Н, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в F. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, F, Н} и используются обозначения / = grad V = V V.

При изучении бифуркаций решений вариационных задач, содержащих параметры, достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции [43], [61], который использован и в настоящей диссертации.

Вопросам анализа уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (например, монографии и статьи Л.В.Овсянникова, Н.Х.Ибрагимова, П.Олвера, А.М.Виноградова с соавторами, В.Ф.Зайцева, А.Т.Фоменко, В.А.Треногина, Б.В.Логинова, З.И.Бала-нова и др. [28] - [32], [38], [46], [47], [53], [54], [66], [68] [69, 70])

Ряд аспектов теории функционалов с групповой симметрией развивался также при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса (А.Т.Фоменко, В.В.Шарко [69, 70] и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А.Бобылев, Б.В.Логинов, В.А.Треногин и др. [5], [7], [И], [46], [44], [68]).

Уравнения с круговой и бикруговой симметриями изучались в работах Б.В.Логинова [46], В.Г.Звягина [36, 37], В.Кравцевича [42] и др. В работах А.В.Гнездилова [12, 13] изучались уравнения с поликруговой симметрией.

Используемый в диссертации подход к анализу инвариантных функционалов идейно опирается, с одной стороны, на теорию Ботта [79] (о критических многообразиях) с ее развитием в виде теории Морса для боттовских интегралов (А.Т.Фоменко и др., [56], [69], [85, 86] ) и, с другой стороны, на теорию эквивариантных особенностей гладких функций ( В.И.Арнольд, С.М.Гусейн-Заде, В.Поэнару, С.Т.С.Уолл, Д.Сирсмаи др., [1], [3], [88], [91]).

Известно, что многие вопросы бифуркационного анализа вариационных задач в условиях симметрии могут быть сведены к соответствующим вопросам теории миниверсальных разверток краевых и угловых особенностей гладких функций, развитой В.И. Арнольдом, С.Т.С. Уол-лом, Д. Сирсмой, Д. Питом, Т. Постоном и др., [2], [89]. В рамках теории фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях сравнительно недавно был получен ряд новых результатов, связанных с анализом бифуркаций вблизи краевых и угловых особых точек границы банахова многообразия (Ю.И.Сапроновым, А.В.Гнездиловым, О.Ю.Даниловой, О.В.Швыревой, М.А. Хуссаииом и А.В. Белоглазо-вым, [58] - [59], [14], [15] - [18], [75] - [77]). В частности, были изучены бифуркации экстремалей из омбилической особой точки гиперболического типа, расположенной на вершинной грани угла.

Основные результаты настоящей диссертации получены при изучении бифуркаций экстремалей параметрических семейств гладких фредгольмовых функционалов в случае круговой симметрии при условии четырехмерного вырождения с сильными резонансами (0:1,1:2, и 1 : 3) и произвольными слабыми резонансами.

Все исследования в диссертации проведены посредством использования специально разработанной для таких задач модификации редуцирующей схемы Ляпунова - Шмидта.

Основную задачу диссертации можно представить в виде следующих двух тесно связанных компонент:

1) описание геометрической структуры дискриминантного множества (каустики);

2) классификации раскладов бифурцирующих экстремалей (bif—раскладов), отвечающих всевозможным регуляризирующим гладким возмущениям функционала (для заданного типа особенности).

В диссертации рассмотрены также два приложения:

1) к задаче о зарождении и распространении периодических волн в упругой балке на упругом основании и

2) к задаче о бифуркации периодических волновых решений нелинейного соболевского уравнения 2-го порядка.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация теоретической схемы изучения бифуркаций критических орбит экстремалей фредгольмова функционала в условиях круговой симметрии.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления, теории групп Ли и теории гладких функций многих переменных. Основу развитой в диссертации схемы анализа составляют модифицированный метод Ляпунова - Шмидта и теория угловых особенностей гладких функций.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Развита новая схема анализа бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала из конечнократной критической точки, приспособленная к условиям круговой симметрии.

2. Изучены плоские сечения каустики и получена классификация раскладов бифурцирующих критических орбит в случае SO(2)—инвариантного фредгольмова функционала при условии четырехмерного вырождения с резонансами 0 : 1, 1 : 2, 1 : 3 и всеми резонансами порядков, больших 4.

3. Получено приложение к задаче о зарождении и распространении периодических волн в упругой балке на упругом основании.

4. Получено приложение к задаче о бифуркации периодических волновых решений нелинейного соболевского уравнения 2-го порядка.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и развитие методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей в условиях круговой и более общей групповой симметрии.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом и симметрийным анализом краевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения" (г.Воронеж, 2000 г.), на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (г. Челябинск, 2002 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2002 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (г. С-Петербург, 2004 г.), на конференции "Образование, наука, производство и управление в XXI веке" (г. Ст.Оскол, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах

92] - [99].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы из 99 наименований. Общий объем диссертации — 114 стр.

1. Арнольд В. И. Критические точки функций на многообразии с кра-ем, простые группы Ли С&, F4 и особенности эволют / В.И. Арнольд // Успехи мат. наук. 1978. - Т. 33,вып. 5(203). - С. 91-105.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики /В.И. Арнольд. М.: Наука, 1989. - 472 с.

3. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений.Классификация критических точек каустик и волновых фронтов / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн Заде. - М.: Наука. 1982. - 304 с.

4. Бардин B.C. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании / B.C. Бардин, С.Д. Фурта // Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.:"Эльф",1998. - С. 13-22.

5. Бергер М.С. Теория ветвления в случае нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений и систем / М.С. Бергер // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. Ред. Келлер Дж.Б., Антман С.М. М.: Мир, 1974. - С. 71-128.

6. Бобылев Н.А. Леммы Морса для функционалов вариационногоисчисления / Н.А. Бобылев, Ю.М. Бурман // Функц. анализ и его прил. 1991. - Т.25, iVfl3. - С.1-11.

7. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах /Н.А. Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин. М.: Магистр, 1998. - 658 с.

8. Бобылев Н.А. О бифуркации экстремалей вариационных задач /Н.А. Бобылев, М.А. Красносельский // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 314, N 2. - С. 265-268.

9. Борисович Ю.Г Нелинейные фредгольмовы отображения и теорияЛере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук 1977 - Т.32 - Вып.4.- С.3-54.

10. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер, Л. Ландер. М.: Мир, 1977. - 208 с.

11. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. М.: Наука, 1968. - 528 с.

12. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с поликруговой симметрией / А.В. Гнездилов // Труды математического факультета. Новая серия. Воронеж: ВГУ. 1997. N2(18). - С.19-26.

13. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией / А.В. Гнездилов // Функц. анализ. 2000. Т.34, вып.1 - С.83-86.

14. Гнездилов А.В. Угловые особенности фредгольмовых функционалов / А.В. Гнездилов, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырева // Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ. 2003, вып. 1. С.99-114.

15. Данилова, О.Ю. Двухмодовые бифуркации решений уравнения Кармана при наличии интегрального полуограничения / О.Ю. Данилова // Труды математического факультета. Воронеж: Изд. ВГУ, 1999. N 4 (20) (новая серия). - С. 41-50.

16. Данилова О.Ю. Редукции функционалов к возмущенным двумерным сборкам при наличии полуограничения / О.Ю. Данилова // Сборник трудов молодых ученых матем. факультета ВГУ. Воронеж: изд ВГПУ, 2001. - С.55-61.

17. Данилова О.Ю. Бифуркации экстремалей при наложении симметричных и краевых особенностей / О.Ю. Данилова // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГПУ, 2001. - N 6 (новая серия). - С.44-53.

18. Данилова О.Ю. Симметричные бифуркации экстремалей вблизи края банахова многообразия / О.Ю. Данилова // Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: ВГУ. 2001. -С.45-69.

19. Данилова О.Ю. Моды бифуркации в угловых критических точках / О.Ю. Данилова, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырёва // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: изд. ВГУ, 2002. N 7 (новая серия). - С. 31-38

20. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. -С. 35-46.

21. Даринский Б.М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. -Воронеж: ВГУ. 2000. С. 41-57.

22. Даринский Б.М. К термодинамической теории сегнетоэлектри-ческих фазовых переходов в кристаллах / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, В.В. Шалимов // Кристаллография. 1999. -Т.44, N 4. - С. 1-5.

23. Darinskii М.М. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter / M.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov // Ferroelectrics. -2002. V. 265. P. 31-42.

24. Даринский Б.М. Дискриминантные множества и расклады бифурцирующих решений фредгольмовых уравнений / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Современная математика и ее приложения. Тбилиси. 2003. Т.7. - С.72-86.

25. Даринский Б.М. Фазовые переходы в доменных границах феррои-ков / Б.М. Даринский, А.А. Дьяченко, Ю.И. Сапронов, М.Н. Чаплыгин // Известия РАН. Сер.: физическая. 2004. Т768, N 7. -С.920-926.

26. Егоров И.Е. Неклассические дифференциально операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов // Новосибирск: Наука. 2000.

27. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев // Дифференциальные уравнения, 1989.- Т.25, N3.- С.379-387.

28. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев JL: ЛГПИ, 1989.- 80 с.

29. Зайцев В. Ф. О дискретно-групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев // ДАН СССР, 1988-Т.299, N3.- С.542-545.

30. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой метод интегрирования уравнений нелинейной механики / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин Препринт N339. М.: ИПМ АН СССР, 1988,- 44 с.

31. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. / В.Ф. Зайцев,A.В. Флегонтов Л.: ЛИИАН, 1991,- 240 с.

32. Замышляева А.А. Задача Коши для линейного уравнения соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Уравнения соболевского типа. Сб. научн. работ. Чел.ГУ, 2002. -С. 16-29.

33. Замышляева А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Вычисл. технологии, 2003. Т.8, № 4. -С.45-54.

34. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений /B.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов Воронеж, ВГУ. 2002. - 185 с.

35. Звягин В.Г. Индекс нулевой точки вполне непрерывного возмущения фредгольмова отображения, коммутирующего с действием тора / В.Г. Звягин // Известия ВУЗов. Математика, 1997 N2C.47-55.

36. Звягин В.Г. К теории степени эквивариантных ФоС^ВЯ—отображений / В.Г. Звягин // Доклады РАН, 1999-Т.364, N2,- С.155-157.

37. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х. Ибрагимов М.: Наука, 1983 - 280с.

38. Изюмов Ю.А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов /Ю.А. Изюмов, В.И. Сыромятников Москва, Наука. 1984. -247 с.

39. ИллсДж. Основания глобального анализа / Дж. Иллс // Успехи матем. наук. 1969. Т.24, N 3. - С. 157-210.

40. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических / В. Клин-генберг М.: Мир. 1982. - 416 с.

41. Кравцевич В. Бифуркация систем обратимых по времени /B. Кравцевич, Дж. By // Известия ВУЗов. Математика.- Казань, 1997.- N2.- С.75-85.

42. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления /М.А. Красносельский, Н.А. Бобылев, Э.М. Мухамади-ев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.

43. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений /М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко М.: Наука, 1969. - 456 с.

44. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий /C. Ленг М.: Мир,1967. - 204 с.

45. Логинов В.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б.В. Логинов Ташкент: Фан, 1985. - 184 с.

46. Матвеев С.В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем / С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко, В.В. Шарко. // Матем. сборник, 1988. Т.135, N3. - С.325-345.

47. Матов В.И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразии с краем / В.И. Матов // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981, вын.7. - С.174-189.

48. Милнор Дж. Теория Морса / Дж. Милнор М.: Мир. 1965. -184 с.

49. М\тропольский Ю.О. Дослщження коливань в системах з роз-подшеними параметрами (асимптотичш методи) / Ю.О. MiTpo-польский, Б.1. Мосеенков -Видавництво КиЧвського ушверсите-ту. 1961. 123 с.

50. Ниренберг JJ. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг М.: Мир, 1977. - 232 с.

51. Обеп Ж.- П. Прикладной нелинейный анализ / Ж.-П. Обен И. Экланд М.: Мир, 1988. - 510 с.

52. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников М.: Наука, 1978,- 232 с.

53. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер М.: Мир, 1989 - 639 с.

54. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов Воронеж: изд. ВГУ, 1981. - 196 с.

55. Постников М.М. Введение в теорию Морса / М.М. Постников -М.: Наука. 1971. 568 с.

56. Постои Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, И. Стюарт М.: Мир. 1980. - 608 с.

57. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий / Ю.И. Сапронов // Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. -С.997-1006.

58. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю.И. Сапронов // Матем. сборник. 1989. Т. 180, N 10. - С. 1299-1310.

59. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Математические заметки. 1991. Т.49, вып.1. - С.94-103.

60. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Матем. заметки. -1991. Т.49, № 1. - С.94-103.

61. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, C.JI. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. - С. 745-754.

62. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения соболевского типа / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров -ЧелГУ. 2003. -179 с.

63. Свиридюк Г.А. Морфология фазовых пространств одного класса линейных уравнений типа Соболева высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева // Вестник ЧелГУ. Матем. и мех. Челябинск, 1999. № 2. -С. 87-72.

64. Сидоркин А.С. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственные материалы / А.С. Сидоркин М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 240 с.

65. Виноградов A.M. Симметрии и законы сохранения управляемой математической физики / A.M. Виноградов, И.С. Красильщик -М.: Факториал, 1997 464с.

66. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18. С. 3-50.

67. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А. Треногин, Н.А. Сидоров, Б.В. Логинов // ДАН СССР. 1989. - Т.309, 2. - С.286-289.

68. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения / А.Т. Фоменко М.: МГУ, 1988.- 416с.

69. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия вполне интегрируемых гамильтоновых систем / А.Т. Фоменко // Успехи матем. наук, 1989,- Т. 44, вып. 1.- С.145-173.

70. Царев C.JI. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G-инвариантного функционала / С.Л. Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: ВорГУ, 1998. -№3 (новая серия). - С.73-76.

71. Царев C.JI. Устойчивость индекса Морса невырожденной критической точки гладкого фредгольмова функционала / С.Л. Царев // Сб. статей студентов и аспирантов матем. факультета ВГУ.- Воронеж: ВГУ, 2000. С. 57-61.

72. Царев C.JI. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С.Л. Царев //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000.- С. 132-136.

73. Царев С.Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией / С.Л. Царев // Современная математика и ее приложения. 2003. Т.7. - С.87-91.

74. Швырева О.В. О бифуркациях экстремалей из вершины сим-плектического угла / О.В. Швырева // Труды матем. факультета ВГУ. N 5 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 207-216.

75. Швырева О.В. Каустики и bif—расклады для краевой экстремали с трехкратным вырождением вдоль края / О.В. Швырева // Труды матем. факультета ВГУ. N 7 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2002. - С. 149-160.

76. Швырева О.В. Бифуркации равновесных форм эйлерова стержня при наличии двух полуограничений / О.В. Швырева // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 147-159.

77. Banach S. Uber mehrdeutige stetige Abbildungen / S. Banach, S. Mazur 11 Studia Math. S. 1934. - P. 174-178.

78. Bott R. Nondegenerate critical manifolds / R.Bott // Ann. of Math. Ser. 2. 1954. 60, N2. - P.248-261.

79. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. V. 1 / M. Golubitsky, D. Schaeffer N.-Y.: Springer-Verlag, 1985. - 463 P

80. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Stewart I., Theory. V.2. / M. Golubitsky, D. Schaeffer, I. Stewart -N.-Y.: Springer-Verlag, 1988.-533 p.

81. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls// Ferroelectrics / Y.J. Ishibashi // 1989. V.98. - P.193-205.

82. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Marsden // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. - V.84, iVa 6.

83. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunov-Schmidt Procedure / J.E. Marsden // Lecture Notes in Mathematics. N.-Y.: Springer-Verlag, 1979, - V. 755. - P.77-82.

84. Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables / M. Morse 11 Trans. Am. Math. Soc. 1931. - V. 33. - P. 72-91.

85. Morse M. The calculus of variations in the large / M. Morse. New York, 1934.

86. Nashed M.Z. Global invertibility in nnolinear functional analysis / M.Z. Nashed, J.E. Hernander // Fixed point theory and applications. Word Scientific Publishing, River Edge, NJ. 1992. - P.229-247.

87. Роёпаги V. Singularites C°° en Presence de Symetrie / V. Poenaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P. 61-89.

88. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc / D. Siersma // Quart. J. Oxford Ser. 1981. - V.32, N 125. - P. 119-127.

89. Tromba A. A Sufficient Condition for a Critical Point of a Functional to be a Minimum and its Application to Plateau's Problem / A. Tromba // Matematische Annalen. 1983. - V. 263 - P.303-312.

90. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities / C.T.C. Wall // Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P.169-175.

91. Ладыкина Е.В. О бифуркациях критических орбит для фредголь-мовых функционалов с непрерывной симметрией / Е.В. Ладыкина // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели Челябинск, 2002. -С. 62

92. Ладыкина Е.В. Критические орбиты фредгольмовых функционалов с непрерывной симметрией / Е.В. Ладыкина // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тез. докладов. Владимир: ВладГУ, 2002. -С.96.

93. Даринский Б.М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны / Б.М. Даринский, Е.В. Ладыкина, Ю.И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ. 2003. - С. 52-67.

94. Ладыкина Е.В. О бифуркации критических орбит функций с непрерывными симметриями /Е.В. Ладыкина // Сборник статей молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж: ВорГУ, 2003. С.64-73.

95. Ладыкина Е.В. Бифуркации экстремалей функционала действия в условиях круговой симметрии /Е.В. Ладыкина // Образование, наука, производство и управление в XXI веке. Ст.Оскол, 2004. -с.300-303

96. Ладыкина Е.В. Бифуркации орбит критических точек фредгольмовых функционалов с круговой симметрией /Е.В. Ладыкина Воронеж: ВорГУ. НИИ математики. Препринт N13. Август, 2005. 27 с.