Бифуркации экстремалей из угловых особых точек края банахова многообразия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

I. Схемы конечномерных редукций для угловых особенностей.

1. Фредгольмовы функционалы и их особенности.

2. Конечномерные редукции особенностей.

3. Редуцирующая схема, многообразие катастроф и каустика при наличии угла.

4. Моды бифуркации в угловых критических точках.

II. Бифуркации экстремалей вблизи угловых особенностей.

1. Конечномерная теория угловых особенностей.

2. Каустики и bif—расклады для краевой экстремали с трехкратным вырождением вдоль края.

3. Особенности с трехкратным вырождением относительно максимальной грани.

3.1. Симметричный случай.

3.2. Описание каустики и bif—раскладов в общем случае.

4. Исключительный случай.

Широко известно, что для многих физических систем выполняется принцип наименьшего действия Моперткш, согласно которому состояние системы реализуется как минимум функционала полной энергии, который неразрывно связан с этой системой. То есть конфигурации (фазовые состояния) описываются экстремальной задачей inf, qeQ, где Q - пространство состояний.

Например, подобный принцип имеет место для замкнутых упругих систем и для сегнетоэлектрических фаз кристаллов. Некоторые нелинейные вариационные задачи оптимального управления, теории фазовых переходов, теории интегрируемых га-мильтоновых систем необходимо решать при наличии дополнительных ограничений. На языке функционального анализа эти задачи записываются в виде:

V(x) —> inf, дг(ж) >0, х Е М, г = 1, 2,., где V(x), gi{x) — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М [35], [41], [43], [80]. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей вблизи угловой точки края банахова многообразия [1, 19, 27, 28, 55, 56, 69, 75, 85].

Задача изучения поведения гладких функционалов вблизи угловых точек края банахова многообразия представляет интерес как для общей теории особенностей гладких функций и функционалов, так и для смежных областей математики — теории интегрируемых гамильтоновых систем, вариационных задач с интегральными и терминальными полуограничениями и т.д.

Угловые особенности функций были введены Д. Сирсмой [94] как обобщение краевых особенностей, ранее введенных и изученных В.И. Арнольдом [4]. Д. Сирсма при этом показал, что список нормальных форм простых угловых особенностей получается вложением списка простых краевых особенностей. Среди унимодальных угловых особенностей имеются такие, которые не имеют прямых аналогов в списках краевых (например, особенность х2 + у2 + аху в вершине положительного квадранта на координатной плоскости). Более сложные примеры угловых особенностей и их приложений были рассмотрены Ю.И. Сапроновым [70], давшим описание общей структуры каустики полурегулярной угловой особенности и важнейших bif—раскладов (распадений на семейства бифурцирующих морсовских критических точек). Полная классификация bif —раскладов в полурегулярных точках минимума на вершинах трехгранных углов дана А.В.Гнездиловым [24, 25] в связи с задачей о ветвлении критических торов для функций с поликруговой симметрией, им же описаны типы плоских сечений каустик, отвечающих этим особенностям. Отметим также, что некоторые геометрические и топологические аспекты вариационных задач на многообразиях с краем и углами исследовались в работах [1, 19, 88].

В настоящее время достаточно хорошо развита теория краевых особенностей гладких функций [4, 16, 17, 18, 27, 28, 55, 56]. Краевые особенности фредгольмовых функционалов и некоторые их применения частично изучены в работах О.Ю. Даниловой [29, 30]. С другой стороны, до сих пор не было дано определение бифуркационных мод в угловых особых точках края банахова многообразия, не была разработана процедура вычисления этих мод. До недавнего времени не было работ, в которых бы давались описание каустик и классификация bif—раскладов в угловых особых точках, более сложных, чем полурегулярного типа.

Данная работа посвящена решению этих вопросов для mm—особенностей на верхней (вершинной) грани симплициаль-ного 1 угла для фредгольмовых функционалов, допускающих: 1) трехкратное вырождение вдоль минимальной (вершинной) грани в сочетании с полурегулярностью в нормальном направлении; 2) трехкратное вырождение вдоль максимальной грани.

Анализ бифуркаций осуществлен на основе обобщенной схемы конечномерной редукции Ляпунов а-Шмидт а, в результате применения которой анализ поведения фредгольмова функционала сводится к изучению ключевой функции в окрестности угловой граничной точки из области конечномерного пространства. Стандартные методы теории особенностей гладких функций (метод нормальной формы гладкого ростка и его версаль-ной деформации, теоремы Дж.Мазера о конечной определенносхУгол называется симплициальным, если он определен системой неравенств с линейно независимыми градиентами (в каждой точке). ти и т.п.) позволяют получать сведения о геометрии каустик, о bif—раскладах и о расположениях бифурцирующих экстремалей на гранях угла посредством рассмотрения главной полиномиальной части ключевой функции.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — развитие теории конечномерных редукций фредгольмовых функционалов для исследования угловых особенностей. Изучение геометрии каустик и классификация bif—раскладов для угловых критических точек фредгольмовых функционалов.

Методика исследования. В диссертации использованы методы теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, функционального анализа, вариационного исчисления и теории особенностей гладких функций.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

1) разработан метод изучения бифуркаций экстремалей из угловых особых точек края банахова многообразия; построена общая теория конечномерных редукций для угловых особенностей фредгольмовых функционалов;

2) дано определение и разработана процедура вычисления мод бифуркации в угловой критической точке;

3) изучена каустика и дана классификация bif—раскладов для новых типов угловых особенностей, более сложных, чем полурегулярные;

4) впервые осуществлен полный бифуркационный анализ задачи о закритических прогибах эйлерова стержня при наличии двух полуограничений.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей вблизи края банахова многообразия.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях: "Понтрягинские чтения - VII" (Воронеж, 1996), "Стохастический и глобальный анализ" (Воронеж, 1997), "Третий международный симпозиум по классической и небесной механике" (Великие Луки, 1998), "Воронежская зимняя математическая школа" (Воронеж, 2002); а также на семинарах: кафедры математического моделирования (руководитель проф. Костин В.А.), отдела нелинейного анализа НИИМ ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [97] - [105].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 основных разделов, и списка использованной литературы из 105 наименований. Общий объем диссертации — 111 страниц.

1. Аграчев А.А. Квазиэкстремальность для управляемых систем / А.А. Аграчев, Р.В. Гамкрелидзе // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. - 1989. - Т.35. - С.109-134.

2. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых Отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн Заде. - М.: Наука, 1982. - 304 с.

3. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромия и асимптотика интегралов / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн Заде. - М.: Наука, 1984. - 336 с.

4. Арнольд В.И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли Bk,Ck, F4 и особенности эволют / В.И. Арнольд // Успехи мат. наук. 1978. - Т.33. -Вып.5(203). - С.91-105.

5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1989. - 472 с.

6. Бобылев Н.А. Леммы Морса для функционалов вариационного исчисления / Н.А. Бобылев, Ю.М. Бурман // Функц. анализ и его прил. 1991. - Т.25, iVfi3. - С.1-11.

7. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах / Н.А. Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин. М.: Магистр, 1998. - 658 с.

8. Бобылев Н А. О бифуркации экстремалей в вариационных задачах / Н.А. Бобылев, М.А. Красносельский // ДАН СССР. -1990. Т. 314, N- 2. - С.265-268.

9. Борисович Ю.Г. Об оценке количества критических точек функционалов / Ю.Г. Борисович // ДАН СССР. 1955. -Т.101, Nй 2. - С.205-207.

10. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук.- 1977.- Т.32 Вып.4.-С.3-54.

11. Борисович А.Ю. Функционально-операторный метод исследования бифуркаций в эквивариантной проблеме Плато /A.Ю. Борисович // Известия ВУЗов. Математика. 1997. -Т. 2 (417), NQ 1. - С.56-65.

12. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер, JI. Ландер. М.: Мир, 1977. - 208 с.

13. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях / А.Д. Брюно. М.: Наука. Физ-матлит, 1998. - 288 с.

14. Ваинберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. -М.: Наука, 1968. 528 с.

15. Васильев В.А. Асимптотика экспоненциальных интегралов, диаграмма Ньютона и классификация точек мининума /B.А. Васильев // Функц. анализ. 1977. - Т.Н. - Вып.З. C.1-11.

16. Васильев В.А. Об аффинности нормальных форм стратов ц = const гладких функций / В.А. Васильев // Функц. анализ. 1978. - Т.12. - Вып.З. - С.72-73.

17. Васильев В.А. Асимптотика экспоненциальных интегралов в комплексной области / В.А. Васильев // Функц. анализ. -1979. Т.13. - Вып.4. - С.1-12.

18. Вахрамеев С.А. Теория Пале Смейла для многообразий с углами. Случай конечной размерности / С.А. Вахрамеев // Успехи мат. наук. - 1990. - Т.45. - Вып.4. - С.141-142.

19. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнений Пуассона в прямоугольнике / Е.А. Волков // ДАН СССР. 1962. -Т.147, №-2. - С.13-16.

20. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки / А.С. Воль-мир. М.: Гостехиздат, 1956.

21. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих облочек И.И. Ворович. М.: Наука, 1989. - 376 с.

22. Гантмахер Теория матриц / Гантмахер. -М.: Наука, 1967-С.484-487 .

23. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов функционалов с поликруговой симметрией: Диссертация на соискание степени кандидата физ.-мат. наук / А.В. Гнездилов. Воронеж, 1999. - 127 с.

24. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией / А.В. Гнездилов // Функц. анализ и его прил. 2000. - Т.34. - Вып.1,- С.83-86.

25. Голубицкии М. Устойчивые отображения и их особенности / М. Голубицкий, В. Гийемин. М.: Мир, 1978. - 290 с.

26. Давыдов А.А. Особенности в двумерных управляемых системах / А.А. Давыдов. М.: МГУ, 1982. - 149 с.

27. Давыдов А.А. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях / А.А. Давыдов // Труды МИАН. 1995. - Т.209. - С.73-106.

28. Данилова, О.Ю. Симметричные бифуркации экстремалей вблизи края банахова многообразия / О.Ю. Данилова // Математические модели и операторные уравнения / Воронеж: Вор-ГУ. 2001.- С.45-69.

29. Данилова О.Ю. Бифуркации экстремалей симметричных фредгольмовых функционалов в краевых особых точках: Диссертация на соискание степени кандидата физ.-мат. наук / О.Ю. Данилова. Воронеж, 2002. - 128 с.

30. Даринскии Б.М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Известия ВУЗов. Математика. 1997. - Т 2,- С.35-46.

31. Даринский Б.М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Топологические методы нелинейного анализа / Воронеж: ВорГУ.- 2000. С.41-57.

32. Ежов В.В. Каноническая форма многочлена 4—го порядка в нормальном уравнении вещественной гиперповерхности вС3 / В.В. Ежов, А.В. Лобода, Г. Шмальц // Матем. заметки. -1999. Т.66. - Вып.4. - С.624-626.

33. Емельянов С.В. Гомотопии экстремальных задач / С.В. Емельянов, С.К. Коровин, Н.А. Бобылев, А.В. Булатов. -М.: Наука, 2001. 350 с.

34. Заваровский Ю.Н. О методе Ляпунова Шмидта для вариационных задач с параметром / Ю.Н. Заваровский; Воронеж.гос.ун-т. - Воронеж, 1961. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ,478 82.

35. Зачел а В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов. Воронеж: ВорГУ, 2002. - 185 с.

36. Иллс Дж. Основания глобального анализа / Дж. Иллс // Успехи мат. наук. 1969. - Т.24, iVQ 3. - С.157-210.

37. Иллс Дж. Фредгольмовы структуры / Дж. Иллс / / Успехи мат. наук. 1971. - Т.26, IVa 6. - С.213-240.

38. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени / Ф. Клейн /Под ред. А.Н. Тюрина.- М.:Наука, 1989. -336 с.

39. Красносельский М.А. Применение вариационных методов в задаче о точках бифуркации /М.А. Красносельский // Мат. сборник. 1953. - Т.ЗЗ, iVQ 3. - С.199-214.

40. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М.А. Красносельский. -М.: Гостехиздат, 1956. 390 с.

41. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А. Красносельский, Н.А. Бобылев, Э.М. Мухамадиев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, JVS 3. -С.530-533.

42. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко. М.: Наука, 1969. - 456 с.

43. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский. -М.: Наука, 1966. 499 с.

44. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 512 с.

45. Красносельский М.А. Бифуркационные значения параметров в вариационных задачах / М.А. Красносельский, Э.М. Мухамадиев, А.В. Покровский // ДАН СССР. 1980. - Т. 225, iVfi 2. - С.282-286.

46. Курот А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. -М.: Наука, 1975. 432 с.

47. Лобода А.В. О нормальных уравнениях поверхности, содержащей плоское вполне вещественное многообразие / А.В. JIo-бода // Матем. заметки. 1992. - Т.52. - Вып.1. - С.76-86.

48. Лобода А.В. Локальное описание однородных вещественных гиперповерхностей двумерного комплексного пространства в терминах их нормальных уравнений / А.В. Лобода // Функц. анализ и его прил. 2000. - Т.34. - Вып.2. - С.33-42.

49. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б.В. Логинов. Ташкент: Фан, 1985. - 184 с.

50. Любасова Г.Ю. О бифуркации инвариантных торов из сложного фокуса при двухкратном и трехкратном вырождении без сильных резонансов / Г.Ю. Любасова; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1988. - 52 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.04.88, IVе- 2962 - 88.

51. Ляв А. Математическая теория упругости / А. Ля в. М.-Л.: НКТН СССР, 1935. - 674 с.

52. Ляпунов A.M. Sur les figures d'equilibre реи differentes des ellipsoides d'ime masse liquide homogene donnee d'un mouvement de rotation, p.l / A.M. Ляпунов // Записки Академии наук. -Санкт-Петербург, 1906.

53. Матов В.И. Особенности функции максимума на многообразии с краем / В.И. Матов // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981.- Вып.6. - С.195-222.

54. Матов В.И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразии с краем / В.И. Матов // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981.- Вып.7. - С.174-189.

55. Милнор Дж. Теория Морса / Дж. Милнор. М.: Мир, 1965. -184 с.

56. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. М.: Наука, 1970.

57. Мухамадиев Э.М. О группах гомологии критических точек гладких функций / Э.М. Мухамадиев // Докл. АН Тадж. ССР. 1983. - Т. 26, iVQ 9. - С.553-557.

58. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг. М.: Мир, 1977. - 232 с.

59. Опойцев В.И. Нелинейная системостатика / В.И. Опойцев. -М.: Наука, 1986. 248 с.

60. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний А.И. Перов. Воронеж: ВорГУ, 1981. - 196 с.

61. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней / Е.П. Попов. М.: Наука, 1986. - 296 с.

62. Постников М.М. Введение в теорию Морса / М.М. Постников. М.: Наука, 1971. - 567 с.

63. Постои Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт. М.: Мир, 1980. - 608 с.

64. Рапопорт Л.Б. Устойчивость по Ляпунову и знакоопределенность квадратичной формы в конусе / Л.Б. Рапопорт j j Прикладная математика и механика. 1986. - Т. 50, N- 4. -С.674-679.

65. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. М.:Мир, 1980. - 608 с.

66. Сапронов Ю.И. Ветвление решений гладких фредгольмовых уравнений / Ю.И. Сапронов // Уравнения на многообразиях. -Воронеж: ВорГУ, 1982. С.60-82.

67. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий / Ю.И. Сапронов // Прикладная математика и механика. 1988. - Т.52. - Вып.6. - С.997-1006.

68. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю.И. Сапронов // Матем.сборник. 1989. -Т.180, iVfi10. - С.1299-1310.

69. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции и локальный анализ фредгольмовых уравнений. Диссертация на соискание степени доктора физ.-мат. наук / Ю.И. Сапронов. Воронеж, 1991. - 231 с.

70. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Матем. заметки. 1991. - Т.49, Na 1. - С.94-103.

71. Сапронов Ю.И. Существование и сравнение конечномерных редукций для гладких функционалов / Ю.И. Сапронов // Глобальный и стохастический анализ. Воронеж: ВорГУ, 1995. -С.69-90.

72. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции и визуализация бифуркации экстремалей / Ю.И. Сапронов // Современные методы нелинейного анализа. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 1995. - С.81-82.

73. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук. -1996. Т.51. - Вып.1. - С.101-132.

74. Сапронов Ю.И. Явное представление конечномерных редукций в интегрируемых вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, О.Н. Левченко // Topological methods in nonlinear analysis. Gdan'sk, 1997. - C.129-143.

75. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Матем. заметки. 2000. - Т.58, JVa 5. -С.745-754.

76. Сидоров Н.А. Ветвление решений нелинейных уравнений с потенциальными системами разветвления / Н.А. Сидоров // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркутский университет, 1980. - Вып.7. - С.136-155.

77. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики/ Сост. А.В.Бочаров, А.М.Вербовецкий, А.М.Виноградов и др.; Под ред. А.М.Виноградова и И.С.Красильщика. М.: Факториал, 1997. - 464 с.

78. Толе дано Ж.-К. Теория Ландау фазовых переходов / Ж.-К. Толедано, П. Толедано. М.:Мир, 1994. - 461 с.

79. Треногин В.А. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений / В.А. Треногин, Н.А. Сидоров // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркутский университет, 1972. -Вып.1. - С.216-247.

80. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А. Треногин, Н.А. Сидоров, Б.В. Логинов // ДАН СССР. 1989. - Т.309, N2. -С.286-289.

81. Царев C.JI. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G инвариантного функционала / С.Л. Царев // Труды математического факультета (новая серия)/ Воронеж: ВорГУ. - 1998. - Вып. JVa3. - С.73-76.

82. Царев С. Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / C.JI. Царев // Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: ВорГУ. -2000. - С.132-136.

83. Щербак И.Г. Двойственность краевых особенностей / И.Г. Щербак // Успехи мат. наук. 1984. - Т.29. - Вып.2. -С.220-221.

84. Banach S. Uber mehrdeutige stetige Abbildungen / S. Banach, S. Mazur // Studia Math. S. 1934. - P.174-178.

85. Knightly G. H. Some mathematical problems from plate and schell theory / G.H. Knightly // Lect. notes in pure and appl. math. -1971.- V. 19. P.245-268.

86. Kunakovskaya O.V. On properties of some klasses of smooth functions on Banach spaces and manifolds / O.V. Kunakovskaya // Methods and appl. of global analysis. Voronezh Univ. Press, 1993. - P.81-93.

87. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Marsden // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. - V.84, 7Vfl 6.

88. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunov-Schmidt Procedure / J.E. Marsden f/ Lecture Notes in Mathematics. N.-Y.: Springer-Verlag, 1979, - V.755. - P.77-82.

89. N ashed M.Z. Global invert ibility in nnolinear functional analysis / M.Z. Nashed, J.E. Hernander // Fixed point theory andapplications. Word Scientific Publishing, River Edge, NJ. 1992. -P.229-247.

90. Роёшги V. Singularites C00 en Presence de Symetrie / V.Poenaru // Lecture Notes in Mathematics. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - V. 510, Chapter II. - P.61-89.

91. Sapronov Y.I. Smooth Marginal Analyszis of Bifurcation of Extremals / Y.I. Sapronov // Geometry in Partal Differential Equations. Word Scientific Publishing, Co.Pte.Ltd. 1994. -P. 345-375.

92. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc / D. Siersma // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1981. - Y. 32, iV-125. - P.119-127.

93. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities / C.T.C. Wall // Bull. London Math. Soc. 1980. - V. 12. -P.169-175.

94. Weinstein A. Singularities of Families of Functions / A. Wein-stein // DifEerentialgeometrie im Grossen. Obervolfach. 1969. -V.4. - P.323-330.

95. Швырева О.В. Краевые и угловые особенности в анализе закритического поведения эйлерова стержня / О.В. Швырева // Понтрягинские чтения-VII. Тезисы докладов школы / Воронеж, ВорГУ. 1996. - С.192.

96. Shvyreva О. V. Bifurcation of extremals in a neighborhood of a semiregular corner singular point / O.Yu. Danilova, O.V. Shvyre-va // Stochastic and global analysis. Abstr. int. conf. Voronezh: VSU, 1997. - P.16-17.

97. Швырева О.В. О краевых и угловых особенностях функционалов действия / О.В. Швырева // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ / Воронеж: ВГПУ. 2001. - С.144-149.

98. Швырева О.В. О бифуркациях экстремалей из вершины симплектического угла / О.В. Швырева // Труды математического факультета (новая серия)/ Воронеж:ВорГУ. 2001. -Вып. N-5. - С.207-216.

99. Швырева О.В. Полурегулярные угловые экстремали с симметриями и дополнительными вырождениями /О.В. Швырева // Воронежская зимняя математическая школа 2002. Тезисы докладов школы / Воронеж: ВорГУ, 2002. - С.85-87.

100. Швырева О.В. Моды бифуркации в угловых критических точках / О.Ю. Данилова, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырёва //Труды математического факультета (новая серия) / Воронеж: ВорГУ. 2002. - Вып. N^7. - С.33-39.

101. Швырева О.В. Каустики и bif—расклады для краевой экстремали с трехкратным вырождением вдоль края / О.В. Швырева // Труды математического факультета (новая серия) / Воронеж: ВорГУ. 2002. - Вып. iVa7. - С.149-160.