Бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из точки минимума с особенностью 3-мерной сборки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Зачепа Анна Валерьевна

Бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2005

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Задорожний Владимир Гри-

Ведущая организация: Вологодский государственный технический университет

Защита состоится 13 декабря 2005г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " <Р " ноября 2005 г. Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.038.05

профессор Сапронов Юрий Иванович

горьевич

кандидат физико-математических наук Стенюхин Леонид Витальевич

доктор ф.-м. наук, профессор

Гликлих Ю. Е.

2006 ¿2 /г g

ZUf 199

Актуальность темы. В оптимальном управлении, в теории упругих систем, в теории фазовых переходов, в теории нелинейных волн и в ряде других разделах современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи вида

где V\(x) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционал на банаховом пространстве Е. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей из вырожденной точки локального минимума.

При решении таких задач достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции х, 2, в соответствии с которым исследование бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала заменяется анализом критических точек ключевой функции. Все топологические и аналитические понятия, характеризующие тип стационарной точки (кратность, локальное кольцо особенности, версальная деформация, бифуркационная диаграмма 3 и т.д.) для таких функционалов вводятся через ключевые функции и их нормальные формы. Найденная нормальная форма ключевой функции помогает организовать детальный бифуркационный анализ критических точек. Так, сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, A.B. Гнездиловым, О.В. Швыре-вой, О.Ю. Даниловой, Е.В. Ладыкиной, A.M. Хуссаином и A.B. Бело-глазовым на такой основе был получен ряд существенных результатов по анализу бифуркаций экстремалей из угловых критических точек

1 Красносельский М.А„ Бобылев Н.А , Мухамадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функциовалов классического вариационного исчисления// Доклады АН СССР, 1978 - Т.240, вып.З.- С.530-533.

'Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи ма~ тем. наук. - 1996. - Т.51, вып.1. - С.101-132.

'Арнольд В И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. M : МЦНМО. 2004 - 672 с.

Vx{x) — Inf,

края банахова многообразия и их приложений.

Вместе с тем, до сих пор остается недостаточно изученной задача о бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью п—мерной сборки при п > 3, весьма часто встречаемой в приложениях. В случае п = 2 имеется полная классификация раскладов экстремалей, бифурцирующих из тгп—особенности (2—мерной сборки) и имеется достаточно подробное описание геометрического строения дискриминантного множества (каустики). В случае п — 3 указаны лишь отдельные расклады бифурцирующих экстремалей и изучены лишь некоторые фрагменты каустики.

Напомним, что условие "ключевая функция № имеет в точке а особенность типа т—мерной сборки" означает, что в некоторой локальной системе координат с центром в точке а функция V/ имеет вид

ат^хкх1 + о(||х||4) + оТу2г, (1)

т

х=(х!,...,хт), у = (у1,..-,у„-т), |<7Г| = 1, с условием, что начало координат в Ст является изолированной стационарной точкой для комплексного продолжения квартичной части УИ4) этой функции. На квартичную часть обычно накладывается условие "выживаемости" (условие Ландау - Хиггса), состоящее в требовании строгой минимальности нулевого значения полинома \¥'4>. Особенности такого типа встречаются, например, в задачах описания устойчивых состояний упругих материалов и стабильных фаз сегнетоэлек-трических кристаллов.

Если квартичная форма Т'И4' находится в общем положении, то число бифурцирующих из нуля стационарных точек функции IV нечетно и не превосходит Зт (этому числу равна кратность нулевой стационарной точки квартичной формы общего положения). Из положительной

определенности W^ следует, что вблизи нуля появляется не более одной точки локального максимума функции W при её возмущениях.

Обозначив (при т = 3) количества минимумов, седел индекса (Морса) 1 и седел индекса 2, соответственно, lo, h и I2, в силу формулы Эйлера, соотношения

lo - h + h = 2, (2)

если существует точка максимума, и

lo - h + h = 1 (3)

— в случае отсутствия точки максимума.

Целочисленный вектор (fo, h, ¿2, 'з) называется ¿»¿/—раскладом.

Раскладам бифурцирующих критических точек, полученным при возмущениях mm—особенности 3—мерной сборки, соответствует несколько сотен изображающих комлексов 4. Если ограничиться рассмотрением сборок и их возмущений с симметрией параллепипеда (т.е. четных по каждой переменной), то получится около пятидесяти изображающих комплексов (результат A.B. Гнездилова). Полного списка изображающих комплексов для 3—мерных сборок в настоящее время нет. Однако созданные в последнее время новые геометрические методы 5 выглядят весьма обнадеживающими и создающими впечатление

4Как известно из теории Морса, каждую гладкую функцию W на конечномерном многообразии М, имеющую лишь морсовские критические точки, можно изобразить клеточным ком лек-сом, каждая клетка которого взаимно однозначно соотвествует критической точке функции W. Размерность клетки равна индексу Морса соответствующей критической точки, а примыкания клеток в комплексе соотвествуют взаимным примыканиям критических точек (как особых точек динамической системы £ = —gradW(^)) Причем гомотопический тип изображающего комплекса совпадает с гомотопическим типом многообразия М. В частности, наборы стационарных точек функций на плоскости и в трехмерном пространстве можно изображать графами (одномерными остовами изображающих клеточных комплексов) Если функция W коэрцитивна, то изображающий ее комплекс гомотопически тривиален (гомотопен точке) Следовательно, изображающий граф (одномерный остов изображающего комплекса) в случае коэрцитивной функции связен

5Даринский Б M , Сапронов Ю.И, Царев С Л. Бифуркации экстремалей фредгольмовых

реальной возможности разработки эффективных алгоритмов перечисления Ьг/—раскладов для трехмерной сборки.

Случай Z2—симметрии (инвариантности относительно тройки коммутирующих инволюций) ключевой функции исследован А В. Гнезди-ловым (для особенности трехмерной сборки). В диссертации рассмотрен случай симметрии (инвариантности относительно пары коммутирующих инволюций) Этот случай разбивается на два подслучая, в первом из которых коразмерности зеркал обеих инволюций равны единице, а во втором коразмерность зеркала одной из инволюций равна двум. Для обоих случаев в диссертации предложен единый метод исследования — посредством (вторичной) редукции к функции от дгух переменных.

В диссертации получено также приложение развитой общей методики к изучению 3—модовых бифуркации решений 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — создание и развитию метода исследования каустики (дискриминантного множества) и Ы/—раскладов для точек минимума фредгольмова функционала. Основной предмет исследования — точки минимума с особенностью трехмерной сборки.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Основной исследовательский инструмент — метод Ляпунова - Шмидта и вторичная редукция ключевой функции.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные ре-

функционалов// Современная математика. Фундаментальные направления М МАИ Т12 (2004). С.3-134.

зультаты диссертации являются новыми.

1. Построена нормальная форма ключевой функции возмущенного фредгольмова функционала в окрестности точки минимума с особенностью 3—мерной сборки при условии Щ—симметрии.

2. Развита новая методика изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в критической точке минимума с особенностью 3—мерной сборки при условии симметрии.

3. Приведены примеры возмущений, дающих максимальные расклады экстремалей, бифурцирующих из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки в случае Щ—симметрии. Установлено существование экзотического расклада.

4. Вычислена главная часть ключевой функции в задаче о 3—мо-довых бифуркациях решений 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка.

5. Проведен бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка в случае 3—модового вырождения.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей из критической точки с многомерным вырождением.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом и симметрийным анализом краевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2002 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических

системам (г. Суздаль, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Результаты диссертации опубликованы в восьми работах [1] - [8]. Из совместных работ [7], [8] в диссертацию вошли лишь результаты, принадлежащие лично автору.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 22 параграфа, и списка цитируемой литературы из 67 наименований. Общий объем диссертации — 104 стр.

Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (10 рисунков), выполненной в средах Мар1е и посредством визуализатора С.М. Семенова.

В первой главе изложены основы бифуркационного анализа нелинейных краевых задач вариационного исчисления методами функционального анализа и теории особенностей гладких функций. Дано определение класса фредгольмовых уравнений и описание основных свойств уравнений из этого класса. Изложены основные редуцирующие схемы и их обобщения. Приведен алгоритм вычисления главной части ключевой функции, приведены необходимые сведения из теории особенностей гладких функций. Сделан краткий обзор близких результатов других авторов.

Во второй главе дано описание развитого автором диссертации метода исследования бифуркаций экстремалей из точки минимума типа 3—мерной сборки для абстрактных фредгольмовых функционалов.

Как известно из теории нормальных форм полуквазиоднородных особенностей (В.И Арнольд и др.), для тт—особенности типа 3—мерной сборки (в М3) можно подобрать такие локальные координаты, в

которых функция приобретет следующий вид:

N0(2:1, XI, Хз) = <1 х\х\х\ + С! Ж1Х2Й3 + С2 х\хчх\ + С3 X1X2X3+ +Х1 -г х\ + х\ + аг х\х\ + аг + аз х\х\+ +¿1 Х1Х2Х3 + &2 Х\х\хз + Ьз х\х%х\,

где {а^, Ь3, Ск — фиксированный набор коэффициентов, заданный с условием, что квартичная часть имеет 27—кратную особенность в нуле. Соответственно, нормальная форма версальной развертки для этой особенности имеет следующий вид:

7У(Ж1, Х2, Хз) = Л х\х\х\ -(- С1 х\х\х\ + С2 х\х2х\ + Сз х\х\хз+

+х\ + Х2 + х* + а,1 х\х\ + 02 х\х\ + аз х\х\+

+61 х\х2Хз + &2 Х\х\хз + Ьз ХХХ2х\+

+А,2 х1хз+/3зл х^+^з г^з+Дз.г £2^3+7 Х1Х2а:з+

+¿1 а?! + 52 х\ + 63 х\ + £1,2X1X2 + £1,3X1X3 + £2,3^2^3+

+41 хг + 92 хг + дг х2, где {а,г, Ь}, Ск, с1, Д^-, <5^, эд, 7} — параметры деформации.

В случае четной особенности нужно отбросить все мономы нечетной степени. В случае (2г)2—симметрии, связанном с действиями группы (Жг)2, порожденными (в соответствующих координатах) парами инволюций

/ -V / V (Х11

51-. Х2 Х2 —► ~Х2

\хз; V хз / \хз) V Жз /

(хЛ ( —Х\ ^ < «1 \

Х2 Х2 Х2 —аг2

\х3) \ хз / КХЧ

получаем (посредством усреднения по действию группы (Z2)2) следующие нормальные формы версальных деформаций: N(xi,X2, £3) =

= d х\х\х\ -I- с х\х\хъ + x\ + x\ + x\ + ai х\х\ + а2 х\х\ + а3 х]х\+

+01 х\хъ + 02 х\х3 + 61 х\ + ¿2 + 5г х\ + qx3

— в случае типа Si и N(xi,x2, х3) =

= d х\х\х\ + х* + х* + х\ 4- ai х\х\ + a2 х\х\ -1- а3 х\х\ + b х\х2х%+ +ôi х\ + 5ъх\ + 53х\ + £ х2хг

— в случае типа 52.

В диссертации дано описание подхода к изучению геометрического строения каустики (теорема 1) и раскладов бифурцирующих экстремалей для деформаций такого типа.

В частности, дано описание семи максимальных 6г/—раскладов и для двумерных сборок. Множество всех невырожденных двумерных сборок естественным образом делится на три класса Kj, K i, К 3. каждый из которых определяется значением топологического индекса соответствующего поля градиентов (равного нижнему индексу в символе класса).

Лемма 3. При а € (—1, и е ф- 0 функция

U{x, у, г) = (х2 - £ у)2 + 2а(х2 - еу)у2 + уА

имеет особенность Aj в нуле и пару морсовских критических точек на оси х = 0 с индексами Морса Oui. Теорема 2. Для двумерной сборки

U(x, у) = х4 + 2ах2у2 + у4 при а € (—1,2^1) существует bif-расклад (5,4,0).

Имея это утверждение, легко получить некоторые результаты о максимальных bif—раскладах для трехмерных сборок.

Теорема 3. В случае симметрии типа S2 допускаются только стандартные bif—расклады: (6,12,8,1) и (8,12,6,1).

Теорема 4. В случае симметрии типа Si допускается экзотический расклад (10,13,4,0) (помимо стандартных).

Теорема 5. Для класса К-\ допускаются следующие максимальные bif—расклады: (3,5,1) (1,5,3) (2,5,2).

Теорема 6. Для класса допускаются максимальные bif—расклады (2,6,1) и (1,6,2).

В третьей главе проведен бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи для нелинейного ОДУ шестого порядка в случае 3—мерного вырождения (на основе методики, развитой во второй главе).

Нелинейные ОДУ шестого порядка исследовались в работах В.Г За-дорожнего, Е.В. Корчагиной и A.B. Попова в связи с обратной задачей вариационного исчисления и задачей о многочастотных колебаниях в системах нелинейных осцилляторов.

В диссертации показано, что изучение экстремалей функционала

УЬ«.-**)-<4

о

с лагранжианом С в виде при краевых условиях

го

и локализации параметров

a = ä + Si, Ki = «i + i2, к2 = к2 + 53, 11

где

(кь кг, й)т = (п2 + тп2 + I2, n2m2 + m¥ + n2Z2, n2m2i2)T,

сводится к изучению бифуркаций критических точек некоторого параметрического семейства полиномов от трех переменных, особенность которого определяется квартичной частью.

После пересечения точкой (ki, К2, а) характеристической плоскости (в пространстве управляющих параметров) нулевая функция теряет стабильность и рождается ненулевое стабильное состояние. Характеристические плоскости задаются через линеаризованное уравнение:

, d?h d4h <fh , n f = W + Kld^ + K2d^ + ah = ° (6)

(при краевых условиях (5)): характеристические плоскости состоят из тех и только тех точек («г, «2»«)» для которых уравнение (6) имеет ненулевое решение. Поиск нетривиальных решений линеаризованного уравнения приводит к характеристическому уравнению

А6 + «iA4 + «2А2 + а = 0.

Учет краевых условий с необходимостью приводит к соотношениям

A2 = -n2, п = 1,2----

Отсюда получаем набор соотношений а — к^п2 — Kiп4 + п6, задающих характеристические плоскости Li,L,2,..,Ln,— Огибающая поверхность L семейства характеристических плоскостей ограничивает ту область управляющих параметров, для которых функционал действия имеет единственную точку минимума (в нуле). При пересечении точкой в пространстве управляющих параметров поверхности L происходит бифуркация рождения нетривиального стабильного состояния. Поверхность L является ломанной (кусочно линейной), гранями которой служат плоские многоугольники, ограниченные линиями

попарных пересечений характеристических плоскостей. Эти линии называются характеристическими. Одна из промежуточных целей диссертации — проверка существования общих точек для отдельных пар характеристических линий. Такие точки называются характеристическими. Интерес к ним вызван тем, что они дают эффект трехмодового вырождения.

Пересечение поверхности Ь по внутренней точке грани, принадлежащей Ьп, приводит к одномерной бифуркации с модой

Пересечение же Ь по точке излома, принадлежащей линии (характе-ристистической) пересечения плоскостей Ьп, Ьт приводит к двумерной бифуркации с модами еп,ет. Соответственно, пересечение же Ь по характеристической точке, являющейся точкой пересечения плоскостей ^т Ът > 1ц, приводит к трехмерной бифуркации с модами вя, ет, б/.

Теорема 7. Три характеристические плоскости Ьт, Ъп, Х7, отвечающие произвольной тройке попарно различных натуральных чисел т., п, I, пересекаются по (единственной) точке

Теорема 8. Для ключевой функции, соответствующей функционалу (4), имеет место следующее асимптотическое представление:

(«1, к2, а) - (п2 + т2 +12, п2т2 + тп212 + п212, п2т212).

1

+7

4 \2тг

++ я* ■+++

+

+о(К|4) + 0(|£|4)0(«5),

где

= — ¿1 — ¿2 + ¿3,

А2 - -5\ - 16i2 + 4i3, A3 = -61 - 81d2 + 9i3-

(n,m,0 = (1,2,3)

На основе этой формы в диссертации проведен бифуркационный анализ рассмотренной краевой задачи.

Автор выражает благодарность Ю.И. Сапронову и Ф.А.Белых за обсуждение материалов диссертации и замечания.

Публикации автора по теме диссертации

1. Зачепа A.B. Трехмодовые вырождения в краевой задаче для ОДУ шестого порядка/А.В.Зачепа// Воронежская зимняя математическая школа - 2002. Воронеж: ВГУ, 2002. - С.28-29.

2. Зачепа A.B. Трехмодовые вырождения в краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка/ A.B. Зачепа// Сб. трудов молодых ученых матем. факультета ВГУ. Воронеж: ВГУ, 2003. - С.52-58.

3. Зачепа A.B. Трехмодовые бифуркации в краевой задаче для ОДУ шестого порядка/ А.В.Зачепа// Средства математического моделирования. 4-ая международная конференция. С-Петербург: С-Петербургский Политехнический Университет, 2003. Тез. - С.191.

4. Зачепа A.B. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для ОДУ шестого порядка/А.В.Зачепа// Воронежская зимняя математическая школа - 2004. Воронеж: ВГУ, 2004. Тез. - С.49.

5. Зачепа A.B. Об одной вариационной задаче с трехмерным вырождением экстремали/А.В.Зачепа//Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир: Владимирский Государственный Университет, 2004. -С.93-95.

6. Зачепа A.B. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ шестого порядка/ A.B. Зачепа// Труды матем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. "ТЕФА", 2004. - С.48-55.

7. Зачепа A.B. О бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Труды математического факультета, вып. 9 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. - С.57-71.

8. Зачепа A.B. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/Ф.А. Белых, A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Семинар по глобальному и стохаг стическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 18-33.

Заказ № 802 от 1.11.2005г. Тираж 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

»2 i s OÍ

РНБ Русский фонд

2006-4 22128

Введение.

1 Бифуркационный анализ краевых задач вариационного исчисления методами функционального анализа.

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.2 Леммы Морса.

1.3 Фредгольмовы уравнения с параметрами.

1.4 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная).

1.5 Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта.

1.6 Редукция Морса - Ботта.

1.7 Обобщенная редукция.

1.8 Приближенное вычисление ключевой функции.

1.9 Дискриминантные множества.

1.10 О топологическом сравнении ключевых функций и условиях конечной определенности.

2 Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстрема^ лей из точки минимума с особенностью 3-мерной сборки.

2.1 Точка минимума фредгольмова функционала с особенностью многомерной сборки.

2.2 Некоторые общие утверждения о бифуркации экстремалей из точки минимума с особенностью сборки

2.3 Нормальные формы трехмерной сборки.

2.4 Вторичная редукция для трехмерной сборки.

2.5 Дискриминантный анализ бифуркации экстремалей из точки минимума типа 2—мерной сборки.

2.6 Каустика в случае 2—мерной сборки, четной по одной из переменных.

2.7 Максимальные Ы£-расклады критических точек возмущенных двумерных сборок

2.7.1 Класс К\.

2.7.2 О максимальных раскладах критических точек для 3—мерных сборок.

2.7.3 Класс

2.7.4 Класс К-Ъ.

2.7.5 Графические изображения максимальных раскладов.

3 Бифуркационный анализ нелинейной краевой задачи для ОДУ шестого порядка.

3.1 Трехмодовые вырождения в краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка

3.2 Точки 3—мерного вырождения.

3.3 Построение главной части ключевой функции.

3.4 Анализ главной части ключевой функции

3.4.1 Редукция к функции двух переменных.

3.4.2 Исследование ключевой функции для случал (а)

3.4.3 Исследование ключевой функции для случая (Ь)

3.5 Плоские сечения каустики.!

В оптимальном управлении и теории упругих систем, в теории фазовых переходов и теории нелинейных волн, а также в ряде других разделов современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи вида

Vx{x)—>inf, где V\(x) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционал на банаховом пространстве Е. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей из вырожденной точки локального минимума.

При решении таких задач достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции [22], [46] в соответствии с которым исследование бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала заменяется анализом критических точек ключевой функции. Все топологические и аналитические понятия, характеризующие тип стационарной точки (кратность, локальное кольцо особенности, версальная деформация, бифуркационная диаграмма и т.д. [1]) для таких функционалов вводятся через ключевые функции и их нормальные формы. Найденная нормальная форма ключевой функции помогает организовать детальный анализ "качественной картины бифуркаций" критических точек. Так, сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, A.B. Бе-логлазовым, A.B. Гнездиловым, О.Ю. Даниловой, М.А. Хуссаином и О.В. Швыревой на этой основе был получен ряд существенных результатов по анализу бифуркаций экстремалей из угловых особых точек края банахова многообразия. В задаче о бифуркации минимальных поверхностей с ограничениями новые результаты были получены Л.В. Стенюхиным [49]-[50].

Вместе с тем до сих пор остается недостаточно изученной задача о бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью п—мерной сборки при п > 3, весьма часто встречаемой в приложениях. В случае п = 2 имеется полная классификация раскладов бифурцирующих экстремалей и имеется достаточно подробное описание геометрического строения дис-криминантного множества (каустики). В случае п = 3 указаны лишь отдельные расклады бифурцирующих экстремалей и изучены лишь некоторые фрагменты каустики.

Напомним, что условие "ключевая функция IV имеет в точке а особенность типа т—мерной сборки" означает, что в некоторой локальной системе координат с центром в точке а функция \¥ имеет вид аф1ХгХркХ1 + о(||ж||4) + СГгУ1, (1) г,3,к,1 г

X = (я^Ь • • • 5 Хт), У =(У11''') Уп—гп)) |Рг| = с условием, что начало координат в Ст является изолированной стационарной точкой для комплексного продолжения квартичной части этой функции. На квартичную часть обычно накладывается условие "выживаемости" (условие Ландау - Хиггса), состоящее в требовании строгой минимальности нулевого значения полинома И^4). Особенности такого типа встречаются, например, в задачах описания устойчивых состояний упругих материалов [6] и стабильных фаз сегнето-электрических кристаллов [20].

Если квартичная форма У/^ находится в общем положении, то число бифурцирующих из нуля стационарных точек функции \У нечетно и не превосходит Зт (этому числу равна кратность нулевой стационарной точки квартичной формы общего положения). Из положительной определенности следует, что вблизи нуля появляется не более одной точки локального максимума IV при её возмущениях [10].

Как известно из теории Морса [40], каждую гладкую функцию IV на конечномерном многообразии М, имеющую лишь морсовские критические точки, можно изобразить клеточным комлексом, каждая клетка которого взаимно однозначно соответствует критической точке функции IV. Размерность клетки равна индексу Морса соответствующей критической точки, а примыкания клеток в комплексе соответствуют взаимным примыканиям критических точек (как особых точек динамической системы £ = —дгас11¥(€)). Причем гомотопический тип изображающего комплекса совпадает с гомотопическим типом многообразия М. В частности, наборы стационарных точек функций на плоскости и в трехмерном пространстве можно изображать графами (одномерными остовами изображающих клеточных комплексов). Если функция У/ коэрцитивна, то изображающий ее комплекс гомото-пически тривиален (гомотопен точке). Следовательно, изображающий граф (одномерный остов изображающего комплекса) в случае коэрцитивной функции связен.

При т = 3 количества минимумов, седел индекса (Морса) 1 и седел индекса 2 будем обозначать /о, к и ¿2- В силу (2.4) имеем следующие соотношения:

10-11 + 12 = 2, (2) если существует точка максимума, о - ¿1 + к = 1 (3) в случае отсутствия точки максимума.

Целочисленный вектор 1о, к, ¿2> ¿з называется 6г/—раскладом [11] -[16].

Изображающий клеточный комплекс состоит из /о вершин, /1 ребер и ¿2 двумерных клеток. Он полностью определяется своим одномерным остовом (изображающим графом). Вершины графа взаимно однозначно соответствуют точкам минимума, а ребра — седлам индекса 1. При этом две вершины соединяются ребром, если существует кривая, соединяющая соответствующую им пару точек минимума, составленная из пары линий кратчайшего спуска (интегральных кривых поля градиентов), связывающих пары "седло - минимум" (малым шевелением функции или метрики можно добиться того, что любая интегральная кривая, вытекающая из седла, втекает в точку локального минимума). Двумерные грани соответствуют точкам максимума. За счет изменения метрики в областях вида {с\ <\¥ < С2}, не содержащих критических точек, можно переносить финальные точки сепаратрис из одних локальных минимумов на другие (то есть сепаратрисы будут втекать в другие точки локальных минимумов). За счет таких переключений можно получать разнообразные соединения ребрами вершин в пределах одного расклада стационарных точек. Переключениям сепаратрис соответствуют гомологические преобразования графа.

Раскладам бифурцирующих критических точек, полученным при возмущениях особенности 3—мерной сборки, соответствуют несколько сотен изображающих комлексов. Если ограничиться рассмотрением сборок и их возмущений с симметрией параллепипеда (т.е. четных по каждой переменной), то получится около пятидесяти изображающих комплексов [7] - [9]. Полного списка изображающих комплексов для 3—мерных сборок в настоящее время нет. Однако созданные в последнее время новые геометрические методы [10] - [17] выглядят весьма обнадеживающими и создающими впечатление реальной возможности разработки эффективных алгоритмов перечисления bif—раскладов для трехмерной сборки.

Настоящая диссертация посвящена исследованию дискриминантно-го множества и ¿¿/—раскладов для точки минимума с особенностью трехмерной сборки. Основной исследовательский инструмент (помимо метода - Шмидта [22], [4], [3], [46]) — повторная редукция ключевой функции. Отдельные случаи симметрии (например, четности по отдельным группам переменных), дают возможность повторной редукции к функции на двумерной сфере и к функции от двух переменных.,

Случай Zf—симметрии ключевой функции (инвариантности относительно трех коммутирующих инволюций) полностью исследован A.B. Гнездиловым [7, 8] (для особенности трехмерной сборки). В диссертации рассмотрен случай Z|—симметрии ключевой функции (инвариантности относительно двух коммутирующих инволюций). Этот случай разбивается на два подслучая, в первом из которых коразмерности зеркал обеих инволюций равны единице, а во втором коразмерность зеркала одной из инволюций равна двум. Оба случая исследованы в диссертации посредством повторной редукции к функции от двух переменных.

В диссертации получено также приложение развитой общей методики к изучению 3—модовых бифуркации решений 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка.

Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала из точки минимума с трехмерным вырождением и разработка приложений к нелинейным задачам математической физики.

В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Построена нормальная форма ключевой функции возмущенного фредгольмова функционала в точке минимума с особенностью 3—мерной сборки при условии симметрии.

2. Развита новая методика изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в критической точке минимума с особенностью 3—мерной сборки при условии ^¡—симметрии.

3. Приведены примеры возмущений, дающих максимальные расклады экстремалей, бифурцирующих из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки в случае ^¡—симметрии. Установлено существование экзотического расклада.

4. Вычислена главная часть ключевой функции в задаче о 3—модовых бифуркациях решений 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка.

5. Проведен бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка в случае 3—мерного вырождения.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей из критической точки с многомерным вырождением.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.

Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2002 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Результаты диссертации опубликованы в восьми работах [60] — [67].

Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 22 параграфа, и списка цитируемой литературы из 67 наименований. Общий объем диссертации — 104 стр.

1. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений./В.И.Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде// М.: МЦНМО. 2004. 672 с.

2. Бардин B.C. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом осно-вании/Б.С. Бардин, С.Д. Фурта// Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. - 1998. - С. 13-22.

3. Бобылев H.A. Геометрические методы в вариационных задачах./Н.А. Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин М.: Магистр, 1998.-658 с.

4. Бобылев H.A. О бифуркации экстремалей вариационных задач/Н.А. Бобылев, М.А. Красносельский// Докл. АН СССР. -1990. Т. 314, N 2. - С. 265-268.

5. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофьт./Т. Брекер, JI.Ландер М.: Мир, 1977. - 208 с.

6. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат.1956.

7. Гнездилов A.B. Бифуркации критических торов для функционаловс поликруговой симметрией/А.В. Гнездилов// Труды математического факультета. Новая серия. Воронеж: ВГУ. 1997. N2(18).- С.19-26.

8. Гнездилов A.B. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией/А.В. Гнездилов// Функц. анализ.- 2000. Т.34, вып.1- С.83-86.

9. Гнездилов A.B. Угловые особенности фредгольмовых функционалов/А.В. Гнездилов, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырева// Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ. 2003, вып. 1. С.99-114.

10. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. - С. 35-46.

11. Даринский Б.М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. -Воронеж: ВГУ. 2000. С. 41-57.

12. Даринский Б.М. О двухмодовых бифуркациях ретттений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого поряд-ка/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Понтрягинские чтения -XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57-64.

13. Даринский Б.М. К термодинамической теории сегнетоэлектриче-ских фазовых переходов в кристаллах/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, В.Л. Шалимов// Кристаллография. 1999. - Т.44, N 4.- С. 1-5.

14. Darinskii M.M. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter/M.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov// Ferroelectrics. 2002. V. 265. - P. 31-42.

15. Даринский Б.М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны/ Б.М. Даринский, Е.В. Ладыкина, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ. 2003. - С. 52-67.

16. Даринский Б.М. Дискриминантные множества и расклады бифур-цируютцих ретттений фредголъмовых уравнений/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Современная математика и ее приложения. -Тбилиси. 2003. Т.7. С.72-86.

17. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредголъмовых функ-ционалов/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев// Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т.12. 2004. С.3-134.

18. Задорожний B.F. Условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка/ В.Г. Задорожний, Е.В. Корчагина// Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж: ВГУ. 2000. Вып.2. С.48-61.

19. Задорожний В.Г. Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех звязанных контурах Ван-дер-Поля/В.Г. Задорожний, A.B. Попов// Дифференциальные уравнения. 1999, №11. С.1580.

20. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. Москва, Наука. 1984. - 247 с.

21. Корчагина Е.В. Нахождение функционалов в обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка/ Е.В. Корчагина// Вестник факультета прикладной математики и механики. Воронеж: ВГУ. 2003. Вьтп.4. С.54-71.

22. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчис-ления/М.А. Красносельский, H.A. Бобылев, Э.М. Мухамадиев// ДАН СССР. 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.

23. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений./ М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий Я.Б., В.Я. Стеценко М.: Наука, 1969. - 456 с.

24. Kunakovskaya O.V. On properties of some klasses of smooth functions on Banach spaces and manifolds/O.V. Kunakovskaya// Methods and appl. of global analysis. Voronezh" Univ. Press, 1993. P.81-93.

25. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий./С. Ленг М.: Мир, 1967. - 204 с.

26. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности./Б.В. Логинов-Ташкент// Фан, 1985. 184 с.

27. Ляв А. Математическия теория упругости./А. Ляв М.- Л.: НКТН СССР. 1935. - 674 с.

28. Ляпунов A.M. Sur les figures d'équilibré peu différentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l /A.M. Ляпунов// Зап. Акад. наук, С.-Петербург. 1906.

29. Матвеев C.B. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамилътоновых систем/С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко, В.В. Шарко// Матем. сборник, 1988. Т.135, N3. - С.325-345.

30. Матов В.И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразии с краем/В.И. Матов// Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981, вьтп.7. - С.174-189.

31. Милнор Дж. Теория Морса./Дж. Милнор // М.: Мир. 1965.

32. Мггропольский Ю.О. Дослутження коливань в системах з розподь леними параметрами (асимптотичт методи)./Ю.О. М1трополь-ский, Б.1. Мосеенков// Видавництво Ктвського утверситету// 1961. 123 п.

33. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физи-ке./С.Г. МихлинМ.: Наука, 1970. 512 с.

34. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анали-зу./Л. Ниренберг// М.: Мир, 1977. 232 с.

35. Обен Ж.П. Прикладной нелинейный анализ./Ж.П. Обен, И. Эк-ланд //М.: Мир, 1988. 510 с.

36. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнени-ям./П. Олвер // М.: Мир, 1989 639 с.

37. Особенности дифференцируемых отображений. Сб. ст. М.: Мир, 1968. - 268 с.

38. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колеба-ний./А.И. Перов // Воронеж: изд. ВГУ, 1981. 196 с.

39. Попов A.B. Многочастотные колебания в автогенераторе на трех связанных контурах/ A.B. Попов// Воронеж, ун-т. Воронеж, 2000. 28 с. Деп. в ВИНИТИ 15.01.01, J№ 103 В2001.

40. Постников М.М. Введение в теорию Морса./М.М. Постников М.: Наука. 1971. - 568 с.

41. Постон Т. Теория катастроф и её приложения./Т. Постон, И. Стюарт М.: Мир. 1980. - 608 с.

42. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Том 2. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел./А. Пуанкаре М.: Наука. 1972. - 1000 с.

43. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равнове-сий/Ю.И. Сапронов// Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. - С.997-1006.

44. Сапронов Ю.И. Полурегулярньге угловые особенности гладких функций/Ю.И. Сапронов// Матем. сборник. 1989. Т.180, N 10. - С. 1299-1310.

45. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах/Ю.И. Сапронов// Математические заметки. 1991. Т.49, вьтп.1. - С.94-103.

46. Сапронов Ю.И. Конечномерные редуктщи в гладких экстремальных задачах/Ю.И. Сапронов// Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, N. 1. - С. 101-132.

47. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах/Ю.И. Сапронов, СЛ.-Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. - С. 745-754.

48. Сидоркин A.C. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственные материалы./A.C. Сидоркин М.: ФИЗМАТЛИТ. 2000. -240 с.

49. Стенюхин Л.В. О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями./ Л.В.Стенюхин// Труды математического факультета, в.7 (новая серия).Воронеж: ВорГУ,2002. С.137-141.

50. Стенюхин Л.В. Проблема Плато и лагранжев формализм./ Ю.Г.Борисович, Л.В.Стенюхин// Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. Вып.ХХУ1, Москва: МГУ. С. 110-129.

51. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия/В.А. Треногин, H.A. Сидоров , Б.В. Логинов// Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, N 2. - С. 286-289.

52. Царев С.Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам/С.Л. Царев// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. -С. 132-136.

53. Царев С.Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией/С.Л. Царев// Современная математика и ее приложения. 2003. Т.7. - С.87-91.

54. Швырева О.В. О бифуркациях экстремалей из вертттины симплек-тического угла/О.В. Швырева// Труды матем. факультета ВГУ. N 5 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 207-216.

55. Швырёва О.В. Каустики и bif—расклады для краевой экстремали с трехкратным вырождением вдоль края/О.В. Швырева// Труды матем. факультета ВГУ. N 7 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2002. - С. 149-160.

56. Швырёва О.В. Бифуркации равновесных форм эйлерова стержня при наличии двух полуограничений/О.В. Швырева// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 147-159.

57. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls/Y.J. Ishibashi// Ferroelectrics. 1989. V.98. - P.193-205.

58. Poénaru V. Singularités C°° en Présence de Symétrie/V. Poénaru// Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: SpringerVerlag, 1976. - P. 61-89.

59. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen/E. Schmidt// Math. Ann. 1908. - V.65. - P. 370-399.

60. Зачепа A.B. Трехмодовые вырождения в краевой задаче для ОДУ тттестого порядка./А.В.Зачепа// Воронежская зимняя математическая тпкола 2002. Воронеж: ВГУ, 2002. - С.28-29.

61. Зачепа A.B. Трехмодовые вырождения в краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка/ A.B. Зачепа// Сб. трудов молодых ученых матем. факультета ВГУ. Воронеж: ВГУ, 2003. С.52-58.

62. Зачепа A.B. Трехмодовые бифуркации в краевой задаче для ОДУ шестого порядка/ А.В.Зачепа// Средства математического моделирования. 4-ая международная конференция. С-Петербург: С-Петербургский Политехнический Университет, 2003. С. 191.

63. Зачепа A.B. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ шестого порядка/ A.B. Зачепа// Труды матем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. "ТЕФА", 2004. С.48-55.

64. Зачепа A.B. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для ОДУ шестого порядка/ А.В.Зачепа// Воронежская зимняя математическая тикола 2004. Воронеж: ВГУ, 2004. - C.49.

65. Зачепа A.B. О бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Труды математического факультета, вып. 9 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. С.57-71.

66. Зачепа A.B. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ Ф.А. Белых, A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. С.18-33.