Бифуркации экстремалей симметричных фредгольмовых функционалов в краевых особых точках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1. Конечномерные редукции фредгольмовых функционалов.

1.1. Потенциальные фредгольмовы уравнения.

1.2. Конечномерные редукции.

1.3. Общая схема редукции Ляпунова - Шмидта.

1.4. Практическая схема локальной редукции

1.5. Функционалы с симметрией параллелепипеда.

2. Краевые экстремали. .: . •;

2.1. Краевые особенности гладких функционалов.

2.2. Редукции функционалов с симметрией.

2.3. Симметричное однородное ограничение.

2.4. Неоднородное симметричное ограничение.

2.5. Комбинированное ограничение.

2.6. Исключительный случай.

3. Анализ симметричных возмущенных двумерных сборок при наличии полуограничений.

3.1. Возмущенная двумерная сборка с симметрией параллелепипеда.

3.2. Ограничение > 0.

3.3. Ограничение >

3.4. Ограничение pt;i + > 0.

В оптимальном управлении, теории упругих систем, теории фазовых переходов и других разделах современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи вида

V(x) —► inf, д(х) > О, х е М с полуограничением), где V(x),g(x) — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М [26], [34], [47]. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей вблизи края банахова многообразия [1, 12, 30, 35, 40, 50].

Бифуркации экстремалей в классической ситуации (без полуограничений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции (см. [34], [26], [40] и литературу в этих источниках).

Используемое (в большинстве известных работ) условие фред-гольмовости функционалов позволяет применять различные схемы конечномерной редукции (схемы Ляпунова - Шмидта, Морса - Ботта и их обощения), дающие возможность применения в бесконечномерных экстремальных задачах достижений современного анализа гладких функций конечного числа переменных.

В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях имеется раздел, связанный с анализом так называемых краевых особенностей (В.И. Арнольд [3],[2], С.Т.С. Уолл [60], Д. Сирсма [59], Д. Пит, Т. Постон, И. Стюарт [34] и др.). В частности, В.И. Арнольдом сформулирован принцип отождествления краевых особенностей с особенностями, инвариантными относительно действия элементарной инволюции (инволюция называется элементарной, если коразмерность ее зеркала равна единице). Этот принцип позволил перенести понятие краевой особенности на комплексный случай и развить соответствующую теорию [3].

До недавнего времени в рамках теории фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях имелось мало законченных результатов, связанных с анализом бифуркаций вблизи краевой особенности ([37], [17]) и практически неизученной оставалась задача о бифуркации экстремалей в случаях согласованного наложения элементарной симметрии, полуограничения и обычного (безусловного) вырождения.

В настоящей диссертации рассмотрены бифуркации экстремалей параметрического семейства гладких функционалов в условиях совмещения двух факторов — 1) симметричного (с симметрией параллелепипеда) двумерного вырождения и 2) краевой особенности, инспирированной симметричным полуограничением.

Соответствующие бифуркационные эффекты (вызванные наложением краевых и симметричных особенностей) изучены посредством включения ограничителя д(х) в совокупность ключевых параметров.

Классификация типов возникающих при этом особенностей и изучение соответствующих раскладов бифурцирующих мор-совских экстремалей произведены на основе редукции к ключевой функции от двух или трех ключевых переменных. В типичном случае редукция приводит к задаче анализа функции на полуплоскости с особенностью двумерной сборки, четной по каждой из ключевых переменных. Основное содержание рассматриваемой задачи — исследование всех bif—раскладов (распадений) вырожденной краевой (лежащей на крае полуплоскости) критической точки при всевозможных регулярных гладких возмущениях функции.

В исключительном случае, в котором grad д(х) ортогонален основным модам бифуркации, возникает необходимость редукции к ключевой функции от трех переменных, анализ которой эквивалентен анализу одного из вариантов угловой трехмерной сборки [16], [17]. Результаты работ А. В. Гнезд и лова нетрудно приспособить для описания bif—раскладов краевых особенностей в исключительном случае.

Совмещение симметрийных и краевых особенностей приводит к новым бифуркационным эффектам, представляющим интерес для теории упругости [62] и теории кристаллов [19],[20]. Среди найденных эффектов можно отметить такие, как 1) появление морсовских краевых особенностей с нулевым градиентом (для обычных краевых особенностей это исключено) и 2) сосуществование на крае трех седел или трех разнотипных критических точек — минимума, седла и максимума — для функционала с особенностью (обычной) двухмерной сборки

1 Сборкой размерности п называется гладкая полуоднородная функция четвертого порядка от п переменных. Заменой координат она приводится к виду W(x) = xt +

Таким образом, изучение краевых и симметричных особенностей представляет не только чисто теоретический, но и прикладной интерес.

В диссертации рассмотрены два приложения: 1) к задаче об упругом равновесии пластины Кармана (из теории упругих оболочек) с интегральным ограничителем и 2) к задаче о бифуркации решений вариационной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с интегральным или терминальным полу ограничением.

Следует отметить, что для уравнения Кармана имеются дополнительные трудности, связанные с отсутствием информации о возможных значениях коэффициента двойного отношения (КДО) в квартичной части ключевой функции. Явное его вычисление в настоящее время пока никем не проведено. Однако на основе оценки значений КДО снизу, вытекающей из компьютерных вычислений [52] (для ряда случаев), и с использованием теоремы С.Л.Царева о гладкой эквивалентности ключевых функций [41] удалось полностью изучить 5г/—расклады во всех наиболее важных случаях.

Используемые методы. Диссертация использует методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, разработкой которой занимались М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Н.А. Бобылев, М.М.Вайнберг, В.А. Трено-гин, Б.В. Логинов, Н.А. Сидоров, Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапро-Е ак1.ьА1 [37]. нов, В.Г. Звягин, В.Р. Зачепа, А.Ю. Борисович, Дж. Марсден, Д. Сетинжер, А. Вейнстейн, У.Козель и многие другие математики [25, 26, 27, 7, 11, 28, 45, 22, 9, 55, 56, 61, 33].

В диссертации использованы также элементы анализа гладких функций на конечномерных многообразиях, развитого в работах X. Уитни, Р. Тома, В.И.Арнольда, С.М. Гусейн-Заде, А.А.Давыдова, В. Поэнару, С.Т.С. Уолла, Д. Сирсмы и др. [2, 60, 59, 58]

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в вырожденной краевой экстремали и классификация bif— раскладов из краевой критической точки с 2—мерным вырождением.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа (теория нелинейных фредгольмовых уравнений на гладких банаховых многообразиях), вариационного исчисления и анализа гладких функций многих переменных.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в краевой критической точке.

2. Получена полная классификация раскладов бифурцирую-щих экстремалей (в виде списков изображающих матриц) для 2—мерных симметричных сборок на крае.

3. Найдены новые бифуркационные эффекты: сосуществование разнотипных и однотипных троек бифурцирующих краевых экстремалей.

4. Получено приложение к задаче о бифуркации форм упругого равновесия пластины Кармана (из теории упругих оболочек) с симметричным интегральным ограничителем.

5. Получено приложение к задаче о бифуркации решений вариационной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с симметричным интегральным или терминальным полуограничением.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей вблизи края банахова многообразия.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Понтрягинские чтения - XII" [66], на международной конференции "Стохастический и глобальный анализ" [62], на Воронежских зимних математических школах [64, 65], на международной конференции по топологическим методам в вариационном исчислении (г. Познань, Польша, 2000 г.), на семинарах проф. Сапронова Ю.И. по приложениям теории особенностей (математический факультет ВГУ) и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [62] — [69].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на 13 параграфов, и списка цитируемой литературы из 69 наименований. Общий объем диссертации — 128 стр.

1. Аграчев А.А., Гамкрелидзе Р.В. Квазиэкстремальность для управляемых систем// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. -1989. - Т.35. - С.109-134.

2. Арнольд В.К, Варченко А.Н., Гусеин Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромия и асимптотика интегралов. - М.: Наука. - 1984. - 336 с.

3. Арнольд В.И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли В^, Ck, F\ и особенности эволют// УМН. 1978. - Т.ЗЗ, вып.5(203). - С.91-105.

4. Бардин B.C., Фурта С.Д. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании// Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. - 1998. - С.13-22.

5. Бобылев Н.А., Бурман Ю.М. Леммы Морса для функционалов вариационного исчисления// Функц. анализ и приложения. 1991. - Т.25, №3. - С.1-11.

6. Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах.- М.: Магистр, 1998.- 658 с.

7. Бобылев И.А., Красносельский М.А. О бифуркации экстремалей в вариационных задач // ДАН СССР. 1990. - Т. 314, № 2. - С.265-268.

8. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера/ / Успехи матем. наук. 1977. - Т.32, N4. - С.3-54.

9. Борисович А.Ю. Редукция задачи о бифуркации минимальных поверхностей к операторным уравнениям и отыскание бифуркаций от катеноида, геликоида, поверхностей Шерка и Эн-непера// Успехи матем. наук. 1986. - Т.41, №-5. - С.165-166.

10. Борисович А.Ю. Функционально-операторный метод исследования бифуркаций в эквивариантной проблеме Плато // Известия ВУЗов. Математика, 1997. т. 2 (417). N.1. - С.56-65.

11. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1968. - 528 с.

12. Вахрамеев С.А. Теория Пале Смейла для многообразий с углами. Случай конечной размерности// Успехи матем. наук.- 1990. Т.45, вып.4. - С.141-142.

13. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнений Пуассона в прямоугольнике// Докл. АН СССР. 1962. - Т.147, N^2.- С.13-16.

14. Вольмир А. С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиз-дат. - 1956.

15. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих облочек. М.: Наука. - 1989. - 376 с.

16. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов функционалов с поликруговой симметрией. Диссертация на соискание степени кандидата физ.-мат. наук. - Воронеж, 1999. - 127 с.

17. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией// Функц. анализ и его прил. 2000. - Т.34, вып. 1С.83-86.

18. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1978. - 290 с.

19. Даринский В.М., Сапронов Ю.И. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки// Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. - С.35-46.

20. Заваровскии Ю.Н. О методе Ляпунова Шмидта для вариационных задач с параметром. - Воронеж: Изд. ВГУ, 1961. -13 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 478 - 82.

21. Зачепа В.Р. О ветвлении решений уравнения Кармана// В кн. Уравнения на многообразиях. Воронеж: Изд. ВГУ, 1982.- С.111-115.

22. Иллс Дж. Основания глобального анализа// Успехи матем. наук. 1969. - Т.24, № 3. - С.157-210.

23. Иллс Дж. Фредгольмовы структуры// Успехи матем. наук.- 1971. Т.26, №■ 6. - С.213-240.

24. Красносельский М.А. Применение вариационных методов в задаче о точках бифуркации// Мат. сборник. 1953. - Т.33, N 3. - С.199-214.

25. Красносельский М.А., Бобылев Н.А., Мухамадиев Э.М. Об одной задаче исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// ДАН СССР. 1978. - Т.240, 3. - С.530-533.

26. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. - 1975. - 512 с.

27. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: Фан, 1985.- 184 с.

28. Ляпунов A.M. Sur les figures d'equilibre peu differentes des el-lipsoides d'une masse liquide homogene donnee d'un mouvement de rotation, р.1// Записки Академии наук. Санкт-Петербург, 1906.

29. Матов В.И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразии с краем// Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981, вып.7. - С.174-189.

30. Милнор Дж. Теория Морса. М.:Мир, 1965. - 184 с.

31. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир. - 1977. - 232 с.

32. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний. Воронеж: изд. ВГУ, 1981. - 196 с.

33. Постои Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее^ приложения.- М.: Мир. 1980. 608 с.

34. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий/ / Прикл. матем. и механ. 1988. - Т.52, вып.6. - С.997-1006.

35. Сапронов Ю.И. Двумодовая бифуркация решений уравнения Кармана// Дифференциальные уравнения. 1989. - Т.25, 7V-6.- С.1078-1081.

36. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций// Матем. сборник. 1989. - Т.180, № 10. -С.1299-1310.

37. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции и локальный анализ фредгольмовых уравнений. Диссертация на соискание степени доктора физ.-мат. наук. - Воронеж, 1991. - 231 с. -С.94-103.

38. Сапронов ЮМ. Существование и сравнение конечномерных редукций для гладких функционалов// В кн.: Глобальный и стохастический анализ. Воронеж: Изд. ВГУ, 1995. - С.69-90.

39. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах // Успехи матем. наук. 1996. - Т.51, вып.1. - С.101-132.

40. Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах// Матем. заметки. 2000. - Т. 58, №■ 5. - С. 745-754.

41. Свиридюк Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильным секториальным оператором.// Алгебра и анализ. 1994. Т.6, вып.5. - С.252-272.

42. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Фазовые пространства одного класса операторных уравнений.// Дифф. уравнения. 1990. Т.26, №■ 2. - С.250-258.

43. Сидоркин А.С. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственных материалах. М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2000. - 240 с.

44. Сидоров Н.А. Ветвление решений нелинейных уравнений с потенциальными системами разветвления// В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд. Иркутского университета, 1980. - Вып.7. - С. 136-155.

45. Съярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. М.: Мир. - 1983. - 172 с.

46. Толедано Ж.-К., Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов. М.: Мир. - 1994. - 461 с.

47. Царев C.JI. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G инвариантного функционала/ / Труды матем. фак - та (новая серия). - Воронеж: Изд. ВГУ, 1998. - Вып. тЗ. - С.73-76.

48. Царев C.JI. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. -С.132-136.

49. Щербак И.Г. Двойственность краевых особенностей// Успехи матем. наук. 1984. - Т.29, вып.2. - С.220-221.

50. Banach S., Mazur S. Uber mehrdeutige stetige Abbildun-gen//Studia Math. S. 1934. - P. 174-178

51. Holder E. J., Schaeffer D. Boundary conditions and mode jumping in the Karman Equations// SIAM J. Math. Anal. 1984. -V.15, N 3. - P.446-457.

52. Ishibashi Y. Phenomenological theory of domain walls// Ferro-electrics. 1989. - V.98. - P.193-205.

53. Knightly G. H. Some mathematical problems from plate and schell theory// Lect. notes in pure and appl. math. 1971. - V.19. - P.245 - 268.

54. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory// Bull. Amer. Math. Soc. 1978. - V.84, m 6.

55. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunov-Schmidt Procedure/ / Lecture Notes in Mathematics. V.755. N.-Y.: Springer-Verlag, 1979, - P.77-82.

56. Nashed M.Z., Hernander J.E. Global invertibility in nnolinear functional analysis//Fixed point theory and applications. Word Scientific Publishing, River Edge, NJ. 1992. - P.229-247.

57. Роёпаги V. Singularites C°° en Presence de Symetrie// Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P.61-89.

58. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc// Quart. J. Oxford Ser. 1981. - V.32, N425. - P.119-127.

59. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities// Bull. London Math. Soc. 1980. - V. 12. - P.169-175.

60. Weinstein A. Singularities of Families of Functions// Differen-tialgeometrie im Grossen. Obervolfach. 1969. - V. 4. - P. 323-330.

61. O.Yu. Danilova, O.V. Shvyreva Bifurcation of extremals in a neighborhood of a semiregular corner singular point// Stochasticand global analysis. Abstr, int. conf. Voronezh: VSU, 1997. - P. 16-17.

62. Данилова О.Ю. Двухмодовые бифуркации решений уравнения Кармана при наличии интегрального полуограничения// Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГУ, 1996. -N- 4 (новая серия). - С.41-50.

63. Данилова О.Ю. Прыжки мод в уравнении Кармана// Воронежская зимняя математическая школа (ВЗМШ 2000) "Современный анализ и его приложения". Тезисы докладов. - Воронеж: изд. ВГУ, 2000. - С.66.

64. Данилова О.Ю. Бифуркации экстремалей при наложении краевых особенностей// Воронежская зимняя математическая школа (ВЗМШ 2001) "Современные методы теории функции и смежные проблемы". Тезисы докладов. - Воронеж: изд. ВГУ, 2001. - С.105.

65. Данилова О.Ю. Бифуркации экстремалей в условиях наложения краевых и симметричных особенностей// "Понтрягин-ские чтения — XII". Тез. докл. Воронеж: Изд. ВГУ, 2001. -С.58.

66. Данилова О.Ю. Редукции функционалов к возмущенным двумерным сборкам при наличии полуограничения// Сборник трудов молодых ученых матем. факультета ВГУ. Воронеж: изд ВГПУ, 2001. - С.55-61.

67. Данилова О.Ю. Бифуркации экстремалей при наложении симметричных и краевых особенностей// Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГПУ, 2001. - №■ 6 (новая серия). - С.44-53.

68. Данилова О.Ю. Симметричные бифуркации экстремалей вблизи края банахова многообразия// Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: ВГУ, 2001. - С.45-69.