Бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из угловой точки минимума тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Белоглазов Алексей Валерьевич

Бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из угловой точки минимума

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ-2006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Опойцев Валерий Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Прядиев Владимир Леонидович

Ведущая организация: Владимирский государственный университет

Защита состоится 19 декабря 2006г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.03S.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " ноября 2006 г.-

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.038.05 доктор ф.-м. наук, профессор

Смагин В. В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В аналитической механике, теории упругих систем, теории фазовых переходов, сиетемостатике и других разделах современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи с полуограничениями

У(х)—► ш£, 5*(аО>0, А = 1,2, ... ,ш,

где У{ж), — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей из угловой точки края банахова многообразия.

В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях получил развитие анализ так называемых краевых и угловых особенностей (В.И. Арнольд, С.Т.С. Уолл, Д. Сирсма, Д. Пит, Т. Постоя и др.). В частности, В.И. Арнольдом был сформулирован принцип отождествления краевых особенностей с особенностями, инвариантными относительно действия элементарной'инволюции (инволюция называется элементарной, если коразмерность ее зеркала равна единице). Этот принцип позволил перенести понятие краевой особенности на комплексный случай и развить соответствующую теорию Затем Д. Сирсмой были введены и исследованы угловые особенности (1981) как обобщение краевых особенностей. Теория краевых и угловых особенностей гладких функций получила дальнейшее развитие в работах В А. Васильева, А ,А. Давыдова, В.И. Матова и др.

Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов в классической ситуации (без полуограничений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции 2'3. Сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, А.В. Гнездиловым, О.Ю. Даниловой, О.В. Швыревой, М А.

'Араольд В. И. Критические точки функций на многообразия с краен, простые группы Ля В»,£7»,Л и особенности вволют// Успехи мах. мук. - 1978.- Т. 33,вып. 6(203).-С. 91-105,

'Красномяьсюиа М.А., Бобылей Н.А., Мухам ади ев Э.М. Об едиой схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// Доклады АН СССР, 1878.- Т.240, вып.З.- С.530-533.

'Сапронов ЮЛ Конечномерные редукции в гладких »кетреыадьяьк задачах// Успехи иатеы. ваук. -1996. - Т.В1, вьщ.1. - С.10М32.

Хуссаином'был проанализирован ряд случаев, связанных с анализом бифуркаций экстремалей из точек минимума, принадлежащих угловой части края банахова многообразия, и с приложениями к нелинейным краг евым задачам математической физики.

Вместе с тем, до сих пор оставались неизученными задача о бифуркации экстремалей из пятикратной угловой точки минимума и задача о бифуркациях из угловой точки минимума, имеющей двумерное вырождение по типу омбилической особенности гиперболического типа, весьма часто встречаемой в приложениях. Последняя задача была частично исследована М.А. Хуссаином и Ю.И. Сапроновым в случае симметричного угла.

В настоящей диссертации рассмотрены бифуркации экстремалей параметрического семейства гладких функционалов с двумя полуограничениями при одномерном и двумерном вырождениях второго дифференциала.

Цель работы. Разработка и апробация методов изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в угловой особой точке с ' одномерным и двумерным вырождениями.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы'методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в угловой точке минимума с одномерным вырождением (при наличии двух полуограничений).

2. Получена полная классификация раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из пятикратной (угловой) точки минимума (при наличии двух полуограничений).

3. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функ-

ционала в угловой точке минимума с двумерным вырождением (при наличии двух полуограничений).

4. Получена классификация основных раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из омбилической критической точки минимума гиперболического типа (при наличии двух полуограничений).

5. Разработана численно-аналитическая процедура описания даухмо-довых бифуркаций равновесных конфигураций упругой балки на упругом основании при наличии двух полуограничений, периодических решений гамильтоновых систем, периодических волн в бесконечной упругой балке на упругом основании, стационарных концентраций вещества в среде с нелинейной диффузией.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей вблизи угловой точки края банахова многообразия. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2006 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на конференции "Герценовские чтения" в РГГГУ (Санкт-Петербург, 2006), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Публикации. Материал диссертации опубликован в 11 работах [1] — [11]. Из совместной работы [4] в диссертационную работу Белоглазова А.В. вошли результаты, полученные лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 20 параграфов, и списка цитируемой литературы из

"94 наимёНШ&ний. Общий объем диссертации — 120 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (15 рисунков), выполненной в среде Maple.

Содержание работы

Б первой главе излажены основы бифуркационного анализа нелинейных краевых задач методами функционального анализа и теории особенностей гладких функций. Описаны основные редуцирующие схемы (Ляпунова - Шмидта, Морса - Ботта и их обобщения). Приведен алгоритм вычисления главной части ключевой функции, приведены основные сведения из теории угловых особенностей гладких функций. Доказана теорема об инвариантности ключевой функции относительно выбора гамильтонова или лагранжева формализмов (теоремы 1, 2). Сделан краткий обзор близких результатов других авторов.

Во второй главе приведены результаты исследования абстрактного фредгопьмова функционала в угловой точке минимума с одномерным и двумерным вырождениями второго дифференциала. Указаны алгебраические системы уравнений, позволяющие давать описание геометрического строения каустик и перечислены (основные) расклада бифурциру-ющих экстремалей для рассматриваемых типов угловых ттпп—особенностей.

В случае одномерного вырождения описаны условия, при которых возникает пятикратная угловая точка минимума. Главная часть соответствующей ключевой функции (после подходящих замен переменных) в этом случая может быть представлена в виде

2

W{x, у, А) = у + -I- Sx2 + <цх + дгу, А = (5, gi, ®)Г- (1)

Наличие полуограничений приводит к задаче исследования этой функции в угле

Íx + aiy > 0; ^

at + агу > 0.

Для функции W(x, у, А) найдено каустическое множество Е. Данное

множество 4 является объединением компонент, каждая из которых "отвечает" за вырождение критических точек на соответствующих гранях угла: 2 = 2ол 11 11 ^^ии^ЫЗдесь £о,о - множество параметров, при которых вырождается, как критическая точка, вершина угла; £§д — множество параметров, при которых сужение функции ТУ(х, у) на грань угла х + а\у = 0 имеет вырожденную критическую точку; множество содержит параметры, при которых имеется вырожденный экстремум у сужения функции на грань угла х+а%у = 0; компоненты £"1 и £™о отвечают за попадание критической точки функции Ш{х,у) на соответствующие грани угла; если параметр принадлежит множеству £1,1, то во внутренности угла имеется вырожденная критическая точка.

Каустика £ разбивает пространство параметров на компоненты связности (ячейки регулярности), в каждой из которых расклад экстремумов функции \¥{х,у, А) постоянен. Найдены все возможные наборы экстремумов функции IV (х, у, А). Перечисленные наборы экстремумов представлены в виде матрицы , где 1{ — количество критических точек индекса » на мерных гранях. В диссертации найдены уравнения компонент каустики и найдены ограничения (запреты) на значения элементов I* (теоремы 3 - 7). В итоге получена

Теорема 8. Все возможные при условии (2) расклады бифурцирую-щих экстремалей для функции, (1) описываются следующими матрицами:

/1 о а\ ( 1 о о \ 0 0 0 , 0 0 0 , \0 О О/ \1 I о/

[01 о \ /о 1 О\ / 0 1 0 \ 100 ,1 00 , 010 . \оо°/ \11°/ \100/ /00 1 \ /о 0 1\

110,030.

\0 0 0 / V 1 0 0}

'Под каустикой £ функции ТУ подразумевается множество параметров, прп которых эта функция лмеет в угле вырожденную критическую точку.

-Решение рассмотренной задачи включает, в частности, следующий

важный факт: максимальное количество ответвляющихся критических точек (для рассмотренной особенности) меньше алгебраической кратности особенности.

В случае двумерного вырождения предполагается, что невозмущенная ключевая функция имеет в нуле особенность типа "гиперболической омбилики". Это означает, что в некоторой системе координат эта функция имеет следующий вид: Woífbía) = Для функции Wo(£i,£3) в диссертации рассмотрена ограниченная миниверсалъная деформация

- W(C1,6, А) = f + Ы2 + d(í1 - g) + Mi + Р& + Здесь А =

Редуцирующая схема подобрана "с учетом полуограничений". После редукции получается задача анализа функции W(£i, £2, А) в угле

fi+aiÍ2>ei, íi + a2Í2>£2, ai > 0, 02 < 0.

Основные расклады соответствуют случаю е = 0. Для упрощения " вычислений вделана замена переменных, переводящая вершину угла в начало координат. В результате, получена задача исследования функции

~ ti3

t^OiiiTfe, А) = у + t]ivl + divl + ¿vii + ^тт + «»л + <&т (3)

в угле

{Vi + oiift > 0, Vi +азт > О-

Здесь А =в {di, d2.d3.91> 92)- Для функции Ufa, А) найдены (алгебраические) уравнения компонент каустики и найдены ограничения (запреты)

на значения элементов í¡ {теоремы 9 — 18), В итоге получена

Теорема 19. Если а^ог < 0, то все возможные при условии (4) расклады бифурцирующих экстремалей для функции (3) описываются следующими матрицами:

(i о о\ / о i о \ / i о о \ / i о о \ /о о i \ / i о о \ 000 ,100 ,1 1 0 , 01 1,110 , 000 , 0 0 0 J \0 0 о) \0 0 Vo 0 °J Vo 0 V1 * 0/

(1 О 0 \ /о 1 D\ / 0 1 0 \ / О 1 0 \ /О О 1\ /0 1

000 , 0 1 0 , 2 1 0 ,1 0 О . о 2 0 I, I 1 1 1, 011/ \1 0 О J V 0 ° 0 / \ 1 1 ° / V * 0 0 / V 0 0 о/

/ 1 0 0 \ /О 1 1\ /0 1 0\ / 1 0 0 \ / 1 0 0\ /01 о\

0 2 0 |, [ 2 о 0 ,1 0 0 , 0 2 0 , 1 0 1. 0 3 1,

\ 1 0 О / \ О 1 0 / \ □ 1 1 / ^ О 0 1 / V. 0 1 0 / \ 1 О О У

/ 1 0 0 \ / 1 0 0 \ /I о о \ '/О 1 0\ /0 1 0 \ / 0 0 1 \

1 2 1>1 1 0 I 2 20 ,1 2 0 , 20 1.1 1 0 1 ■

\ооо/\о11/ \о а о/ V001/ V ° i ° / V1!0/

(0 1 0\ / 1 0 0 \ /I о 0\ / 1 0 0 \ / 1 О 0 \ /о 1 о\ 1 2 0 , 0 О 0 ,11 0 , 0 1 1 I, I О 1 1 , 0 1 О ,

1 О 0 / \ 1 2 1 / V11«/ Vo 1 1 / V 1 1 0 / \ I 1 1 /

/1 о о\ / i о о \ / 1 О 0 \ / 1 О 0 \ /о 1 о\ / О 1 0 \

0 3 1,1 3 0 I ■ I 1 1 2 I • I 1 0 1 ) • [ 2 1 °М 0 3 0 1 •

V i о о / \о о i / \о i а/ \ i 2 о J \i i о} V101/

/о 1 о\ /0 1 о\ /0 0l\/l0 0\ /1 о о\ / 1 О 0

1 11, 2 1 0 , 2 О 0 ,1 3 0 , 2 I 1, 0 20 ,

\110/ \ О 1 1 / \ 1 2 0 / V1"00/ \ 0 1 0 / V111/

(О 1 0\ /0 1 0\ /О I 0\ /100\ /о 1 0\ /1 о о\ 1 о О , 1 1 1.1 2 0 ,1 2 1 1, I 2 0 1. 2 2 0,

12 1/ Vo11/ V111/ V110/ V1 3 °) Voii/

(I О 0 \ / О 1 0 \ /1 О 0\ / 1 О 0 \ /1 0 0\ / 1 О 0 \ 040 , 021,1 21,1 1 0 , 220 , 011,

1 О 1 / \ 1 1 1 / Voil/ \ 1 2 * / Л 1 1 0 / V 1 2 1 }

(1 0 0\ /100\ /OIOY/OIOX /100\ /1 (I 0\ 022, 130, 111, 210, 03 1, 2 1 1 1,

1 1 0} \1 1 1/ \ 1 2 1 / \l. i 1 / Vlll/ V130/

(I 0 0 \ /1 0 0\ / 1 0 0 \ / 1 0 0 \ 1 1 2 , 220 ,121, 022 . 120/ \ 1 2 1 / ^121/ \ 1 2 1 /

В третьей главе дана иллюстрация результатов первой и второй глав иа примерах прикладных задач: об изучении периодических решений гамильтоновых систем, об анализе бифуркаций прогибов упругой балки, о зарождениях периодических волн н о ветвлении стационарных концентраций вещества.

Рассмотрена гамильтонова система с гамильтонианом в нормальной форме Биркгофа степени два вида

+«г(р| + 4) + АМ + Я1)2 + МЫ + Я2)2 + 2 В(р? + + 4)+ +з?)(РЗ + зЮ3++<$т+яЬ-

Задача отыскания экстремалей функционала

У(р1,р2,диЯ2) = У^(Р1 Я1+Р2 42- ^СР1>Р2.<?1>92))^, О

заданного на пространстве дважды непрерывно дифференцируемых 2тг— —периодических функций, может быть сведена (с помощью конечномерной редукции) к изучению экстремумов функции

то=ш+е2)+ый++А2Щ+

+ ЙНЙ+€?)+а«?+Й)3 + +

+2<ш++й)2+шй++й).

После замены переменных Г1 = £1+^21 Т2 = £з+й < получается функция

и(гх, г2) = ¿т + 52г2 + А\т\ + + 2ВГХГ2+ +Сгг\ + С2т\ + г^пг! +

в области Г1 > 0, гг > 0.

Следующий пример — бифуркации равновесий упругой балки, определяемых уравнением

из точки двумерного вырождения при стандартных краевых условиях

«1(0) = хо(1) = и/'(0) = ш"(1) = 0.

Как известно, эта задача сводится (конечномерной редукцией) к задаче изучения экстремалей 3—параметрического семейства полиномов от

двух переменных (результат Б.М.Дарннского и Ю.И.Сапронова). В случае наличия дополнительных ограничений (полуограничений) на изгиб балки в виде системы неравенств

> €1 , ™(х2) > £2, ( (5)

где £1, ез — малые параметры, 0 < $1 < < 1, возникает задача изучения экстремалей 3-параметрического семейства полиномов от двух переменных в угловой области. Ключевая функция в этой задаче допускает представление, после соответствующих масштабирующих преобразований, в виде

где многоточием обозначено слагаемое ("хвост"), от которого можно избавиться заменой

(в силу 3—определенности омбилической особенности гладкой функции).

Учет полуограничений (5) (при выборе редуцирующей схемы) приводит к рассмотрению функции IV в угловой области

6 + об > «1» £1 + > «а.

В диссертации рассмотрена также задача о волновых движениях нелинейной балки (в развитие результатов Б.М. Даринского, Е.В. Ладыниной, Ю.И. Сапронова и М.Хуссаина) при условии, что ее потенциальная энергия определяется (четным) функционалом

Отыскание-периодические волны в виде р = приводит к урав-

нению, определяющему экстремали эффективного функционала энергии

2зг

р2+

Основной этап исследования состоит в том, чтобы изучить бифуркации экстремалей функционала U.

В случае резонансного взаимодействия двух мод бифурцирующая волна допускает представление в виде

р(т, t) = гг sin (ly + (pi) + Г2 sm(nj/ + ^2) + o(ri,r2),

у = к x~ w i, i,neZ, НОД(Г,п) = 1. В диссертации рассмотрен случай резонанса 1: 2, в котором необходим учет входящих в ключевую функцию мономов шестого порядка. Ключевая функция

W(t,S)= ,1Ц t &(p,R + i), (6):

P1 <P.ej)=Cj

ei = V2 cos(y), e2 = V^ sin(y), e3 = Vi cos(2y), e* = V2 em(2y), f = (fi,6,6.Ci)T, S=(S0,61,S2)T, допускает представление 5 в виде

| (ai/i + a2h) + \ (£i+ + teihh) + +AlI31 + Aill + BJlh + B2hli + o(ll Ii Ii), где/! = £? + & h = $ + & /> = (tf-g)fc + 2fi66», U =

(£i - £)&» ai = öi-So- S2, cx2 = - 50 - 16S2, C, Ak, Bs -вычисляемые константы. В случае 4—мерного вырождения с резонансом 1: 2 ключевая функция (6) в полярных координатах

£i = ricos(^i), = nsb(v3i), £3 = г2 cos(p2), £4 = гавш(^2),

'Сапронов Ю.И., Хуссаин М.А. Угловые особенности гладки* фуикцвояало® в задачах о прогибах упругих балок и зарождении нелинейных вола// Труды ВЗМШ-2004. Воронеж, В ГУ. 2001. -с. 155-167.

допускает представление (после масштабирования и деления на нормирующую константу) в виде

+ (ЬтЪ) + + 5гт\ + + СГ1Г2 соб(2^)+

+ а1тУ2 + агт\г\ + г8 + г|) 4- гМе(г?, г2, V). где с, 01, яг — вычисляемые константы, ф = <Р2—2<Ри А в ~~ некоторые гладкие функции, соответственно, двух и трех переменных, для которых

*(»■?, - 0((г= + г|Д е(г1,г2, ф) - 0(г? + 4).

Бифуркации полностью определяются главной частью ¿), кото-рал обладает симметрией относительно действия окружности в К4;

{ехр(г$),£} н> (ехр(га)г, ехр(г2я)ш)т, (7)

г = 6 + 6 = Сз + & »

(вектор £ отождествляется с комплексным вектором (г, го)т). Множество ненулевых критических точек представляют собой набор одномерных подмногообразий (критических орбит действия (7) ), диффеоморфных окружности. Условие стационарности орбиты по фазе ф — 2у>1 — ц>2 дает следующие критические значения фазы:'

^=о+о(|е|2), 1+0№2), *+ош2), у+0(^|2).

Поиск точек, стационарных по амплитудам п, г2, сводится, после замены т^ = и, г| — к исследованию функции

+ + -+■ ¿IV2 + 263иу)+

+и3 + 011А1 4- ^ад»2 + V3 + ... в положительной четверти кооординатной плоскости и > 0, и > 0.

Последний пример — задача о бифуркации стабильных концентраций вещества в среде с нелинейной диффузией. Динамика изменений концентрации вещества в нелинейной среде с нелинейной диффузией может быть описана уравнением

ди д {-ПГ . { ди\

с краевыми условиями

«'(0) = ы'<1) = 0. (8)

Здесь Т>(и) — коэффициент (нелинейной) диффузии, зависящий от концентрации и: Х>(и) = £>о +

д ^и, ^^ — слагаемые более высокого порядка относительно Предполагается, что выполнены следующие ограничения на концентрацию вещества

J и(х)<1х = £о, У^а^-и(^) > ек> к = 1..п.

Рассмотренная ситуация приводит нас в условия задачи о бифуркации экстремалей в многогранном угле.

Стационарные уровни концентрации вещества в заданной среде при краевых условиях (8) определяются уравнением, которое является уравнением экстремалей функционала (энергии)

Положив п = 2, мы попадаем в ситуацию 2—гранного угла. Действуя в соответствии с описанной во второй главе вычислительной схемой, мы получим главную часть ключевой функции (после соответствующих замен переменных и отбрасывания "липших" сл агаемых) вида

ТУ (¡с, у, А) = у + ^ + 5х2 + 51Ж + д2у, А = (5, д1р д2)г

в угле

Г х + агу > 0;

\ х + 02У > 0.

Такнм образом, вновь получаем задачу, изученную во второй главе.

Автор выражает благодарность Ю.И. Сапронову, С.Л. Цареву, А.Ю. Борзакову, Е.В. Ладыниной и О-В. Швыревой за обсуждение материалов диссертации и замечания.

Список литературы

[1] Белоглазов A.B. Сохранение ключевой функции при переходе от ла-

гранжева к гамильтонову формализму/A.B. Белоглазов// Сборник трудов молодых ученых математического факультета В ГУ. 2003. Воронеж: AHO Изд. "Водолей". - С.37-46.

[2] Белоглазов A.B. Конечномерно редуцирующие схемы в лагранжевоы

и гамильтоновом формализмах/А.В. Белоглазов// Труды математического факультета, в.9 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2004. -* С. 3-8.

[3] Белоглазов A.B. Изучение конечномерных редукций в лагранжевом

и гамильтоновом формализмах/А.В. Белоглазов//Тез. докл. Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Владимир: Владимирский государственный университет, 2004. - С. 37-38.

[4] Белоглазов A.B. Определение зависимости коэффициентов диффу-

зии от ее содержания в однородной полимерной пленке/Белоглазов В.А., Белоглазов A.B.// Сорбционные и хромотографические процессы. Т.4, вып.1. Воронеж: ВГУ. 2004. С.111-118.

[5] Белоглазов A.B. Бифуркации условных экстремумов из омбиличе-

ской точки минимума в вершине угла/А.В. Белоглазов// Математические модели и операторные уравнения. Том 3. Воронеж: ВорГУ, 2005. - С. 4-12.

[6] Белоглазов A.B. Бифуркации условных экстремалей из омбилической

особой точки гиперболического типа в вершине угла/А.В. Белоглазов/ / Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы международной научной конференции ТВМНА-2005. Воронеж: ВорГУ, 2005. С.18-19.

[7] Белоглазов A.B. Список раскладов, бифурцирующих из омбиличе-

ской точки минимума в вершине угла/А.В. Белоглазов// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического

образования. Герценовские чтения - 2006. Материалы научной конференции. - СПб., 2006. - С. 18-22.

[8] Белоглазов A.B. Изучение бифуркационных раскладов, рождающих-

ся из омбилической точки минимума в вершине угла/А.В. Белоглазов// Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна -2006. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2006. С.22.

[9] Белоглазов A.B. Бифуркации экстремалей фредгольмова функцио-

нала из омбилической точки минимум в вершине угла/А.В. Белоглазов// Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. - 2006, вып. 2 -

[10] Белоглазов A.B. Об угловых особенностях гладких функций в нелинейных задачах математической физики/А.В. Белоглазов// Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна- 2006. Воронеж: ВорГУ, 2006. - С. 21-36.

[11] Белоглазов A.B. Бифуркации стабильных концентраций вещества в среде с нелинейной диффузией и при наличии полуограничений на значения концентрации в заданной паре точек/А.В. Белоглазов//" Воронеж: ВорГУ. НИИ математики. Препринт №17. Сентябрь; 2006. 11 с.

Подписано в печать 8.11.2006. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100. Заказ шГ Издательско-полиграфдческий центр Воронежского государственного университета, 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.208-853. Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.

Введение

1 Бифуркационный анализ фредгольмовых функционалов.

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.2 Леммы Морса.

1.3 Фредгольмовы уравнения с параметрами.

1.4 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная). . . •.

1.5 Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта.

1.6 Редукция Морса - Ботта.

1.7 Обобщенная редукция.

1.8 Приближенное вычисление ключевой функции.

1.9 Угловые особенности гладких функций и функционалов.

1.10 О модах бифуркации и вычислении ключевых функций.

1.11 О топологическом сравнении ключевых функций и условиях конечной определенности.

1.12 Инвариантность ключевой функции относительно гамиль-тонова и лагранжева формализмов.

2 Бифуркации экстремалей из угловых особых точек.

2.1 Основные условия. Вывод ключевых уравнений.

2.2 Одномерное вырождение

2.3 Омбилическая особенность гиперболического типа.

2.3.1 Нахождение каустического множества.

2.3.2 Случай омбилической точки гиперболического типа на вершине 2—гранного угла.

2.3.3 Расклады бифурцирующих экстремалей.

3 Бифуркационный анализ некоторых нелинейных задач математической физики.

3.1 Гамильтонова система с гамильтонианом в нормальной форме Виркгофа.

3.2 Двухмодовые бифуркации равновесий упругой балки с квадратичной упругой силой.

3.2.1 Сведение к операторному уравнению.

3.2.2 Переход к ключевому уравнению.

3.2.3 Изгибы упругой балки при наличии полуограничений.

3.3 Волны в нелинейных средах.

3.3.1 О периодических волнах в нелинейных средах с одномерным параметром порядка.

3.3.2 Редукция функционала энергии в случае резонанса 1:2.

3.4 Бифуркации стабильных концентраций вещества в среде с нелинейной диффузией.

В аналитической механике, теории упругих систем, теории фазовых переходов, системостатике и других разделах современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи с полуограничениями вида V{x) —> inf, дк{х) >0, х е М, к = 1,2, . , т, где V(x), gk(x) — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М (см., например, [7], [И], [15], [33], [40] - [43], [51], [53], [71], [72], [76], [77]). Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей из угловой точки края банахова многообразия [57].

В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях получил развитие анализ так называемых краевых и угловых особенностей (В.И. Арнольд, Д.Сирсма, С.Т.С. "Уолл, Д. Пит, Т. Постон и др.) [2], [56],[83], [84]. В частности, В.И. Арнольдом был сформулирован принцип отождествления краевых особенностей с особенностями, инвариантными относительно действия элементарной инволюции (инволюция называется элементарной, если коразмерность ее зеркала равна единице). Этот принцип позволил перенести понятие краевой особенности на комплексный случай и развить соответствующую теорию [2]. Позже Д. Сирсмой [83] были введены и исследованы угловые особенности (1981) как обобщение краевых особенностей. Теория краевых и угловых особенностей гладких функций получила дальнейшее развитие в работах В.А. Васильева, А.А. Давыдова, В.И. Матова и др. [13], [14], [23] - [25], [46], [47]

Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях в классической ситуации (без полуограничений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции [7], [8], [35], [41], [58]. Сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, А.В. Гиездиловым [18] - [20], О.Ю. Даниловой [26] - [28], О.В. Швыревой [67] [69], М.А. Хуссаином [63], [64] был проанализирован ряд случаев, связанных с анализом бифуркаций экстремалей из точек минимума, принадлежащих угловой части края банахова многообразия, и с приложениями к нелинейным краевым задачам математической физики.

Вместе с тем, до сих пор оставались неизученными задача о бифуркации экстремалей из пятикратной угловой точки минимума и задача о бифуркациях из угловой точки минимума, имеющей двумерное вырождение по типу омбилической особенности гиперболического типа, весьма часто встречаемой в приложениях. Последняя задача была частично исследована М.А. Хуссаином и Ю.И. Сапроновым для случая симметричного, угла [60].

В настоящей диссертации рассмотрены бифуркации экстремалей параметрического семейства гладких функционалов с двумя полуограничениями при одномерном и двумерном вырождениях второго дифференциала.

Опознание возникающих типов особенностей и изучение соответствующих раскладов бифурцирующих морсовских экстремалей проведены на основе модифицированной схемы редукции к ключевой функции от двух (ключевых) переменных.

Основное содержание рассматриваемой задачи — описание геометрической структуры каустики и исследование всех bif—раскладов (распадений) при всевозможных регуляризирующих гладких возмущениях. В диссертации рассмотрены также приложения к задаче о периодических решениях гамильтоновой системы, к задаче о бифуркации равновесий упругой балки с двумя ограничителями, к задаче о бифуркации периодических волн в нелинейной среде и к задаче о бифуркациях стационарных концентраций вещества.

Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация методов изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в угловой особой точке с одномерным и двумерным вырождениями.

В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в точке минимума с одномерным вырождением при наличии двух полуограничений.

2. Получена полная классификация раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из пятикратной угловой точки минимума при наличии двух полуограничений.

3. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в точке минимума с двумерным вырождением при наличии двух полуограничений.

4. Получена классификация основных раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из омбилической критической точки минимума гиперболического типа при наличии двух полуограничений.

5. Разработана численно-аналитическая процедура описания двухмо-довых бифуркаций

• равновесных конфигураций упругой балки на упругом основании при наличии двух полуограничений;

• периодических решений гамильтоновых систем;

• периодических волн в бесконечной упругой балке на упругом основании;

• стационарных концентраций вещества в среде с нелинейной диффузией.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей вблизи угловой точки края банахова многообразия.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.

Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2006 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на конференции "Герценовские чтения" в РГПУ (Санкт-Петербург, 2006), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Материал диссертации опубликован в 11 работах [85] - [95]. Из совместной работы [88] в диссертационную работу Белоглазова А.В. вошли результаты, полученные лично автором.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 20 параграфов, и списка цитируемой литературы из 94 наименований. Общий объем диссертации — 120 стр.

1. Аграчев А.А. Квазиэкстремальность для управляемых систем/ А.А.Аграчев, Р.В. Гамкрелидзе// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1989. -Т.35. - С.109-134.

2. Арнольд В.И. Критические точки функций на многообразии с краем,простые группы Ли Bk,Ck,Fi и особенности эволют/В.И. Арнольд // Успехи мат. наук. 1978. - Т. 33,вып. 5(203). - С. 91-105.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики./В.И.Арнольд// М.: Наука, 1989. 472 с.

4. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений,/В.И.Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде// Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. М.: Наука. 1982. -304 с.

5. Бардин B.C. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании/Б.С. Бардин, С.Д. Фурта// Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. - 1998. - С. 13-22.

6. Бобылев Н.А. Леммы Морса для функционалов вариационного исчисления/Н.А. Бобылев, Ю.М. Бурман// Функцион. анализ и его при-лож. 1971. Т. 25, вып.З. - С.1-11.

7. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах./Н.А.Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин М.: Магистр, 1998. - 658с.

8. Бобылев Н.А. О бифуркации экстремалей вариационных задач/Н.А.Бобылев, М.А. Красносельский// Докл. АН СССР. 1990. - Т. 314, N 2. - С. 265-268.

9. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теорияЛере-Шаудера/Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, вып.4. - С.3-54.

10. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы./Т. Бр.екер, Л. Ландер М.: Мир, 1977. - 208 с.

11. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операто-ров./М.М. Вайнберг// М.: Наука, 1972. 415 с.

12. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравне-ний./М.М. Вайнберг, В.А. Треногин// М.: Наука. 1969. 528 с.

13. Васильев В.А. Асимптотика экспоненциальных интегралов, диаграмма Ньютона и классификация точек минимума./А.В. Васильев// Функц. анализ и его прил. 1977. Т.11, вып.З. С. 3-11.

14. Васильев В.А. Об аффинности нормальных форм стратов i — const гладких функций/А.В. Васильев// Функц. анализ и его прил. 1978. Т.12, вып.З. С. 72-73.

15. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач./Ф.П. Васильев// М.: Наука, 1981. 400 с.

16. Вахрамеев С.А. Теория Пале Смейла для многообразий с углами. Случай конечной размерности/С.А. Вахрамеев// Успехи матем. наук. - 1990. Т.45, вып.4. - С.141-142.

17. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф./Р. Гилмор// М.: Мир, 1984. Т.1, 350 е., Т.2. 285 с.

18. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с поликруговой симметрией/А.В. Гнездилов// Труды математического факультета. Новая серия. Воронеж: ВГУ. 1997. N2(18). - С.19-26.

19. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией/А.В. Гнездилов// Функц. анализ. 2000. Т.34, вып.1,- С.83-86.

20. Гнездилов А.В. Угловые особенности фредгольмовых функциона-лов/А.В. Гнездилов, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырева// Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ. 2003, вып. 1. С.99-114.

21. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика./ К. Годбийон М.: Мир. 1973. - 188 с.

22. М. Голубицкий Устойчивые отображения и их особенности./М. Голу-бицкий, В. Гийемин М.: Мир, 1978. - 290 с.

23. Давыдов А.А. Граница достижимости многомерной управляемой си-стемы/А.А. Давыдов// Труды Тбилисского ун-та. 1982. Т.232-233, вып. 13-14. С. 78-96. •

24. Давыдов А.А. Особенности в двумерных управляемых систе-мах./А.А. Давыдов М.: МГУ, 1982. - 149 с.

25. Давыдов А.А. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях/А.А. Давыдов// Труды МИАН. 1995. - Т. 209. - С 73-106.

26. Данилова О.Ю. Редукции функционалов к возмущенным двумерным сборкам при наличии полуограничения/О.Ю. Данилова// Сборник трудов молодых ученых матем. факультета ВГУ. Воронеж: изд ВГПУ, 2001. - С.55-61.

27. Данилова О.Ю. Бифуркации экстремалей при наложении симметричных и краевых особенностей /О.Ю. Данилова// Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГПУ, 2001. - N 6 (новая серия). -С.44-53.

28. Данилова О.Ю. Симметричные бифуркации экстремалей вблизи края банахова многообразия/О.Ю. Данилова// Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: ВГУ. 2001. - С.45-69.

29. Данилова О.Ю. Моды бифуркации в угловых критических точках/О.Ю. Данилова, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырёва// Труды ма-тем. факультета ВГУ. Воронеж: изд. ВГУ, 2002. N 7 (новая серия). - С. 31-38

30. Даринский Б.М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка/В.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Понтрягинские чтения XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57-64.

31. Даринский Б.М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны/ Б.М. Даринский, Е.В. Ладыкина, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ. 2003. - С. 52-67.

32. Даринский Б.М. Дискриминантные множества и расклады бифурци-рующих решений фредгольмовых уравнений/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Современная математика и ее приложения. Тбилиси. 2003. Т.7. - С.72-86.

33. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев// Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12 (2004). М., 2004 - С.3-140.

34. Жаботинский A.M. Концентрационные колебания./A.M. Жаботин-ский М.: Наука. 1974. 179 с.

35. Заваровский Ю.Н. О методе Ляпунова-Шмидта для вариационных задач с параметром./Ю.Н. Заваровский // Воронеж, ВГУ. 1981. Деп. в ВИНИТИ. N 478-82. 13 с.

36. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений./В.Р. За-чепа, Ю.И. Сапронов // Воронеж, ВГУ. 2002. 185 с.

37. Иллс Дж. Основания глобального анализа/Дж. Иллс// Успехи ма-тем. наук. 1969. Т.24, N 3. - С. 157-210.

38. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических./В. Клингенберг -М.: Мир. 1982.- 416 с.

39. Коллатц Л. Задачи на собственные значения./Л. Коллатц М.: Наука. 1998. 504 с.

40. Красносельский М.А. Применение вариационных методов в задаче о точках бифуркации/М.А. Красносельский// Мат. сборник. 1953. Т. 33, N 3. - С. 199-214.

41. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисле-ния/М.А. Красносельский, Н.А. Бобылев, Э.М. Мухамадиев// ДАН СССР. 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.

42. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений./ М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Ру-тицкий Я.Б., В.Я. Стеценко М.: Наука, 1969. - 456 с.

43. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности./Б.В. Логинов Ташкент// Фан, 1985. -184 с.

44. Ляпунов A.M. Sur les figures d'equilibre peu differentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l /A.M. Ляпунов// Зап. Акад. наук, С.-Петербург. 1906.

45. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях./Дж. Марри М.: Мир. 1983. 399 с.

46. Матов В.И. Особенности функции максимума на многообразии с краем/ В.И. Матов// Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981, вып.6. - С.195-222. • :,

47. Матов В.И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразии с краем/ В.И. Матов// Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981, вып.7. - С.174-189.

48. Милнор Дж. Теория Морса./Дж. Милнор // М.: Мир. 1965.

49. Мп?ропольский Ю.О. Дослщження коливань в системах з розподь леними параметрами (асимптотичш методи)./Ю.О. Миропольский, Б.1. Мосеенков// Видавництво Кшвського ушверситету// 1961. 123 п.

50. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике./С.Г. Михлин// М.: Наука, 1970. 512 с.

51. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу./Л. Ниренберг// М.: Мир, 1977. 232 с.

52. Обен Ж.П. Прикладной нелинейный анализ./Ж.П. Обен, И. Экланд //М.: Мир, 1988.- 510 с.

53. Опойцев В.И. Нелинейная системостатика./В.И. Опойцев // М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986248 с.

54. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колеба-ний./А.И. Перов // Воронеж: изд. ВГУ, 1981. 196 с.

55. Постников М.М. Введение в теорию Морса./М.М. Постников М.: Наука. 1971. - 568 с.

56. Постон Т. Теория катастроф и её приложения./Т. Постои, И. Стюарт- М.: Мир. 1980. 608 с.

57. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функ-ций/Ю.И. Сапронов// Матем. сборник. -1989. Т.180, N 10. С. 12991310.

58. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах/Ю.И. Сапронов// Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, N" 1. -С. 101-132.

59. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах/Ю.И. Сапронов, C.J1. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. - С. 745-754.

60. Сапронов Ю.И. Угловые особенности гладких функционалов в задачах о прогибах упругих балок и зарождении нелинейных волн/ Ю.И. Сапронов, М.А. Хуссаин// Труды ВЗМШ-2004. Воронеж, ВГУ. 2004.- С. 155-167.

61. Стенюхин JI.B. О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями/ Л.В.Стенюхин// Труды математического факультета, в. 7 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2002. С. 137-141.

62. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия/В.А. Треногин, Н.А. Сидоров , Б.В. Логинов// Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, N 2. - С. 286-289.

63. Хуссаин М.А. О двухмодовых бифуркациях равновесий упругой балки с квадратичной упругой силой/М.А. Хуссаин// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 132-139.

64. Хуссаин М.А. К дискриминантному анализу бифуркаций равновесий упругой балки с двумя полуограничителями/ М.А. Хуссаин// Трудыматематического факультета, в. 8 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2004. С. 102-107.

65. Царев С.Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам/С.JI. Царев// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. - С. 132136.

66. Царев С.Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией/С.Л. Царев// Современная математика и ее приложения. 2003. Т.7. - С.87-91.

67. Швырева О.В. О бифуркациях экстремалей из вершины симплекти-ческого угла/О.В. Швырева// Труды матем. факультета ВГУ. N 5 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 207-216.

68. Швырёва О.В. Каустики и 6г/—расклады для краевой экстремали с трехкратным вырождением вдоль края/О.В. Швырева// Труды матем. факультета ВГУ. N 7 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2002. -С. 149-160.

69. Швырёва О.В. Бифуркации равновесных форм эйлерова стержня при наличии двух полуограничений/О.В. Швырева// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. -С. 147-159.

70. Bott R. Nondegenerate critical manifolds/R. Bott// Ann. of Math. Ser. 2. 1954. 60, N2. - P.248-261.

71. Chillingworth D. A global genericity theorem for bifurcations in variational problems/D. Chillingworth// Jorn. of Functional Anal. 1980. V.35, P.251-278.

72. Chow S. N. Bifurcation Theorem, for Critical Points of Variational Problems/S.-N. Chow, E.A. Lauterbach// Nonlinear Anal., Theory, Methods, Appl. - 1985. V.9, N 1. - P.51-61.

73. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Theory./М. Golubitsky, I. Stewart, D. Schaeffer// V.2.-N.-Y.: Springer-Verlag, 1988.-533 p.

74. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls/Y.J. Ishibashi// Ferroelectrics, 1989. V.98. - P.193-205.

75. Kunakovskaya O.V. On.properties of some klasses of smooth functions on Banach spaces and manifolds/O.V. Kunakovskaya// Methods and appl. of global analysis. Voronezh Univ. Press, 1993. P.81-93.

76. Magnus R.J. Universal unfolding" in Banach spaces: reduction and stability/R.J. Magnus// Mathematics Report 107, Battele, Genewa. 1977.

77. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunow-Schmidt procedure/J.E. Marsden// Lect. Notes in Math. 1979. V.755. - P.77-82.

78. Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables/M. Morse// Trans. Am. Math. Soc. 1931. V.33. - P.72-91.

79. Morse M. The calculus of variations in the large./M. Morse// New York, 1934.

80. Palais R.S. Morse Theory on Hilbert Manifolds/R.S. Palais// Topology.- 1963. V.2. P. 299-340.

81. Poenaru V. Singularity C00 en Presence de Symetrie/V. Poenaru// Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P. 61-89.

82. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen/E. Schmidt// Math. Ann. 1908. - V.65.- P. 370-399.

83. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc/D. Siersma// Quart. J. Oxford Ser. 1981. - V.32, N 125. - P. 119-127.

84. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities/C.T.C. Wall// Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P.169-175.

85. Велоглазов А.В. Сохранение ключевой функции при переходе от ла-гранжева к гамильтонову формализму/А.В. Велоглазов// Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. 2003. Воронеж: АНО Изд. "Водолей". С.37-46.

86. Велоглазов А.В. Конечномерно редуцирующие схемы в лагранжевом и гамильтоновом формализмах/А.В. Велоглазов// Труды математического факультета, в.9 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2004. С. 3-8.

87. Велоглазов А.В. Определение зависимости коэффициентов диффузии от ее содержания в однородной полимерной пленке/Белоглазов В.А., Велоглазов А.В.// Сорбционные и хромотографические процессы. Т.4, вып.1. Воронеж: ВГУ. 2004. С.111-118.

88. Велоглазов А.В. Бифуркации условных экстремумов из омбилической точки минимума в вершине угла/А.В. Велоглазов// Математические модели и операторные уравнения. Том 3. Воронеж: ВорГУ, 2005. С. 4-12.

89. Велоглазов А.В. Бифуркации условных экстремалей из омбилической особой точки гиперболического типа в вершине угла/А.В. Велоглазов/ / Топологические и вариационные методы нелинейного анализа