Угловые особенности гладких функций в анализе бифуркаций равновесий упругих балок и периодических волн тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи ... ^......

ХУССАИН МУДХИР А. АБДУЛ

Угловые особенности гладких функций в анализе бифуркаций равновесий упругих балок и периодических волн

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ

2005

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация. Челябинский государственный университет

Защита состоится 1 марта 2005г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693. Воронеж. Университетская пл., 1. ауд 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан января 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.038.05

профессор Сапронов Юрий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Задорожний Владимир Григорьевич

кандидат физико-математических наук Стенюхин Леонид Витальевич,

доктор ф.-м. наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В оптимальном управлении, теории упругих систем, теории фазовых переходов и других разделах современного естествознания рассматриваются нелинейные вариационные задачи вида

(с полуограничениями), где ^(ж) — гладкие функционалы на

гладком банаховом многообразии М. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей вблизи угловой точки края банахова многообразия.

Бифуркации экстремалей в классической ситуации (без полуограничений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции

В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях получил развитие анализ так называемых краевых и угловых особенностей (В.И. Арнольд, С.Т.С. Уолл, Д. Сирсма, Д. Пит. Т. Постои и др.).

В рамках теории фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях и ее приложений сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым. А.В. Гнездиловым, О.Ю. Даниловой и О.В. Швыревой был получен ряд результатов, связанных с анализом бифуркаций экстремалей из угловых точек края банахова многообразия и приложениями к нелинейным краевым задачам математической физики. В задаче о бифуркации минимальных поверхностей с ограничениями новые результаты

1 Красносельский М.А.. Бобылев НА , Мухамадиев Э.М Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационною исчисления'/ Доклады АН СССР, 1978 Т.240, вып.З.- С.530-533.

2 Сапронов Ю И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи ма-тем. наук. - 1996 - Т.51, вып 1. - С 101-132

были получены Л.В. Стенюхиным. Вместе с тем оставалась практически неизученной задача о бифуркации экстремалей в случаях согласованного наложения элементарных симметрий, полуограничений и двумерного вырождения (например, по типу омбилической особенности).

В настоящей диссертации рассмотрены бифуркации экстремалей параметрического семейства гладких функционалов в условиях действия следующих двух факторов: 1) двумерного вырождения функционала (порождающего) с омбилической особенностью гиперболического типа, 2) угловой особенности функционала, инспирированной наличием двух симметричных полуограничений.

Опознание возникающих типов особенностей и изучение соответствующих раскладов бифурцирующих морсовских экстремалей проведены на основе модифицированной схемы редукции к ключевой функции от двух (ключевых) переменных.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода изучения бифуркаций экстремалей фрел-гольмова функционала в угловой особой точке с двумерным вырождением и разработка приложений к нелинейным задачам математической физики.

Методика исследования. В диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современной теории гладких функций многих переменных.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова

функционала в критической точке с двумерным вырождением и при наличии двух полуограничений.

2. Получена полная классификация раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из омбилической критической точки гиперболического типа при наличии симметрии и двух полуограничений.

3. Вычислена нормальная форма ключевой функции от двух переменных в задаче о двухмодовых бифуркациях форм равновесия упругой балки на упругом основании при наличии двух полуограничений на изгиб.

4. Разработана новая численно- аналитическая процедура описания двухмодовых бифуркаций (с резонансом 1:2) периодических волн в бесконечной упругой балке на упругом основании в случае четного потенциала.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2004 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в семи работах [1] - [7]. Из работ [3], [4], [7] в диссертацию включены лишь результаты, полученные автором диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения 3 глав, разбитых на 17 параграфов, и списка цитируемой литературы из 118 наименований. Общий объем диссертации — 114 стр.

Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (15 рисунков), выполненной в средах Maple, Математика и посредством визуа-лизатора СМ. Семенова.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей вблизи угловой точки края банахова многообразия

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.

Краткое содержание работы.

В первой главе изложены основы бифуркационного анализа нелинейных краевых задач методами функционального анализа и теории особенностей гладких функций. Дано описание класса фредгольмовых уравнений и основных свойств таких уравнений, изложены элементы теории конечномерных редукций (схемы Ляпунова - Шмидта, Морса - Ботта и их обобщения). Приведен алгоритм вычисления главной части ключевой функции, приведены важнейшие сведения из теории угловых особенностей гладких функций. Дан краткий обзop близких и используемых в диссертации результатов других авторов.

Во второй главе приведены результаты исследования бифуркаций из омбилической угловой особой точки гиперболического типа для абстрактного фредгольмова функционала. Дано описание геометрического строения каустики и перечислены расклады бифурцирующих экстремалей в симметричном случае.

Условие "ключевая функция W имеет в нуле особенность типа гиперболической омбилики" означает, что в некоторой системе коорди-

нат функция имеет следующий вид: Параметрическое семейство

реализует ограниченную миниверсальную деформацию особенности функции (1) в нуле. Здесь А = (б,/3\,02)-

Редуцирующая схема в диссертации выбрана "с учетом полуограничений". После ее проведения получается задача анализа функции в угле

Каустика £ функции А) представляет собой объединение компонент, каждая из которых "отвечает" за вырождение критических точек на соответствующих гранях угла.

В диссертации изучено дискриминантное множество исходного фред-гольмова уравнения и расклады бифурцирующих решений как в непотенциальном случае (теоремы 1, 2). так и в потенциальном.

Наиболее полный бифуркационный анализ проведен в случае симметричной развертки гиперболической омбилики

в симметричном угле: с^ = а^. Функция (2) симметрична, таким образом, относительно преобразования

а угол задан системой неравенств

6 + а£2 > е, £1 - > е, а > 0 (4)

(угол симметричен относительно преобразования (3)).

В общем случае угла, заданного системой т неравенств, каждый расклад задается матрицей

в которой элемент совпадает с количеством критических точек (углового) индекса Морса г. расположенных на гранях коразмерности гДе т ~ коразмерность "вершинной" грани (с? — число, оценивающее сверху значения индексов Морса экстремалей, бифурцирующих из угловой особой точки).

Теорема 3. Каустика развертки (2) разбивает, в случае симметричного угла, область значений параметров на одиннадцать зон {Г^}, к е {1, . 11}- каждой из которых соответствует &г/-расклад критических точек из следующего списка

Описано также строение каустики.

В третьей главе описаны приложения результатов второй главы к задаче о бифуркациях прогибов упругой балки и зарождениях периодических волн.

Колебания и волновые движения упругой балки на упругом основании изучали Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И., Thompson J.M Т. Stewart H.B., Бардин Б.С, Фурта С.Д. и др.

Простейшая нелинейная модель движений балки описывается уравнением ^ ^ ^

(сила упругой реакции квадратична). и! — прогиб балки. V - малый функциональный параметр несовершенства.

Первый шаг в изучении такой задачи — отыскание равновесных (стационарных) состояний, определяемых уравнением

Если рассмотреть стандартные краевые условия

ю(0) = го(1) = = т'\\) =- 0.

(5)

(6)

то эта задача сводится (конечномерной редукцией) к задаче изучения экстремалей 3—параметрического семейства полиномов от двух пере-

3

менных .

В случае наличия дополнительных ограничений (полуограничений) на изгиб балки в виде системы неравенств

> £1 , 'Ця'г) > £2,

(7)

где - малые параметры, получаем задачу

изучения экстремалей 3—параметрического семейства полиномов от двух переменных в угловой области

В диссертации использован нелинейный оператор / действующий из банахова пространства Е непрерывных функций на [0,1] имеющих непрерывные производные до 4—го порядка, для которых выполняются краевые условия (6), в банахово пространство ¥ непрерывных

3Даринский Б. М. Сапронов Ю. И. О ДВУХМОДОВЫХ бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для сравнения четвертого порядка Понтрягинские чтения XI Сборник трудов Часть 1 Воронеж, ВГУ 2000 С 57 64

функций. Оператор / порожден левой частью уравнения (5). Для описания дискриминатного множества уравнения

вблизи критической точки с 2—модовым вырождением и описания раскладов бифурцирующих регулярных решений раскладов) применена модификация метода конечномерной редукции, разработанная О.Ю. Даниловой, Ю.И. Сапроновым и О.В. Швыревой.

Уравнение (8) потенциально и его потенциал (функционал действия) равен

(/(ги,Х) = дгай У(и>, А,0)). Таким образом, рассматриваемая краевая задача сводится к экстремальной задаче

При в нуле имеет место двумерное вырождение.

В случае локализации параметров ана-

лиз ветвления решений можно осуществить посредством редукции к ключевой функции Морса - Ботта:

Данная ключевая функция записывается в виде

= о(£ь£>>7)- где 7 - {6,0\,Рг) Причем функция Wдопус-кает представление, после соответствующих масштабирующих преобразований, в виде

I + ^ + _ ® + А + А + ■ • ■ • (10)

где многоточием обозначено слагаемое ("хвост"), от которою можно избавиться заменой

(в силу 3—определенности омбилической особенности гладкой функ-

4 \

ции ).

Учет полуограничений (7). при выборе редуцирующей схемы, приводит к рассмотрению функции W в угловой области

& + с& > еи 6 + 66 > £2 (11)

(теоремы 4, 5).

В развитие результатов Б.М. Даринского, Е.В. Ладыниной и Ю.И Сапронова 5, в диссертации рассмо1рен функционал

Здесь — поле параметра порядка, заданное на оси Физиче-

ским смыслом которого может быть, например, вектор смещения точки средней линии упругой балки или вектор поляризации сентнето-электрического кристалла, испытывающего при подходящих условиях фазовый переход из высокотемпературной прафазы в несораз-

мерную фазу, характеризуемую стационарной периодической зависимостью р = р(х) (периода I).

4 Брекер Т . Ландер Л Дифференцируемые ростки и катастрофы. - М . Мир, 1977 - 208

5 Даринский Ь.М , Ладынина Е.В , Сапронов Ю.И. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны// Математические модели и операторные уравнения Том 2. - Воронеж. ВорГУ 2003 - С 52-67

Уравнение равновесия, полученное из условия равенства нулю первого дифференциала функционала (12), имеет следующий вид:

(13)

Данное уравнение имеет тривиальное решение р(х) = 0 при всех значениях параметров. При больших значениях а это решение является устойчивым. Потеря устойчивости происходит при переходе параметров в область наименьшего собственного значения дифференциального оператора

й4

<Р

Если рассмотреть интеграл действия

Т

1

5 :

= \ I [у11*3112 - и{р)]Л'

(14)

где и — функционал энергии (12), = (р,р) = } / р2с1х. Т - период

о

по времени, то соответствующее ему уравнение Эйлера - Лагранжа

имеет следующий вид:

тр + дгай II(р) = О,

(151

где

дгаА 11(р) = к2 ^ + + ар +

. +/3з Р^

Лх1

+ р° = 0.

Поиск периодической волны в виде р = р(кх +

приводит к уравнению (13), в котором вместо к1 появляется эффективный коэффициент

Соотношение (17) показывает, что с увеличением частоты увеличивается эффективный коэффициент к\, что приводит к бифуркации бегущих периодических волн.

Таким образом, поиск бифурцирующих волн приводит к уравнению, определяющему экстремали эффективного функционала энергии

Одномодовые бифуркации экстремалей определяют рождения волны параметры волны (амплитуда, волновое число, частота, фазовый сдвиг). В случае резонансного взаимодействия двух мод, бифурцирующая волна допускает представление

у = кх-шЬ, 1,п£Х, НОД(г,п) = 1.

В диссертации рассмотрен случай взаимодействия бифурцирующих волн с сильным резонансом 1 : 2, в котором необходим учет входящих в ключевую функцию мономов шестого порядка. При этом

Исследование экстремалей эффективного функционала энергии про-

ведено на основе редукции к ключевой функции

W4É,Í)= inf Ü(jp,R + ó), (20)

Р■ (P.e3)=íj

ei = \Í2 eos (y), e2 — \Í2 sin (y), e3 = \/2 cos(2y), e4 = V2 sin(2j/),

к — критическое значение "управляющего" параметра (на пространстве 27г—периодических функций класса С4, скалярное произведение

из пространства //э([0,27т], М)). Доказаны следующие утверждения: Теорема 6. Ключевая функция (20) допускает представление в виде

Ыг + сцЬ) + \ Ы! + etil + 2e3hh) 4- CI¡+ +AJÍ + A,I¡ + Byííh + ß2/x/| + /?)■ (21)

где

íj = í€x - Шг + Л = 2666 - (í? - f?)t4.

Ö] = (?! — íg — ¿2; 02 = 46] — ío — 1CÍ?.

С, А/с, В] — вычисляемые константы.

Теорема 7. В случае А—мерного вырождения с резонансом 1 : 2 ключевая функция (20) в полярных координатах

= ricos(yji), 6 = Í3 = r2cos(vp2). = г2бт(^2),

допускает представление (после масштабирования ь деления на нормирующую константу) в виде

-\{ßir\ + Är|) + ^rf + 6-А + 2+ crfrl ooe(2V)+ (22)

+r? + a¡r*r¡ + агг\т\ + r¡ + dir*, rf) + rfrfár?, r2. ф).

где с, Oí, a-¿ ■- вычисляемые константы, хр — — т). f> - - некоторые

гладкие функции, соответственно, двух и трех переменных, для которых

■&{Tj,r¡) =0((r'f + r?2;4), в(т\,Г2,ф) =0(r? + 7-¡).

Основные характеристики рассматриваемой бифуркационной задачи определяются главной частью й(£,6).

Функция обладает симметрией относительно действия окруж-

ности в К4:

(23)

(вектор отождествляется с двумерным комплексным вектором

Множество ненулевых критических точек представляют собой набор одномерных подмногообразий (критических орбит действия (23) ), диффеоморфных окружности.

Условие стационарности орбиты по фазе дает следу-

ющие критические значения фазы:

Поиск точек, стационарных по амплитудам г^гг, сводится, после замены к исследованию функции

в положительной четверти кооординатной плоскости

Автор выражает благодарность Ю.И. Сапронову. А.В.Белоглазову, А.Ю. Борзакову, О.Ю. Даниловой, Е.В. Ладыниной и О.В. Швыревой за обсуждение материалов диссертации и замечания.

Из работ [3], [4], [7], опубликованных совместно с руководителем, в диссертацию включены лишь результаты, полученные лично автором диссертации.

Заказ №17 от 21.01.2005 г. Тираж 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Публикации автора по теме диссертации:

1. Хуссаин М.А. О двухмодовых бифуркациях равновесий упругой балки с квадратичной упругой силой/ М.А. Хуссаин// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003.

- С. 132-139.

2. Хуссаин М.А. Двухмодовые симметричные бифуркации равновесий упругой балки с квадратичной силой упругой реакции/ М.А Хуссаин// Понтрягинские чтения- XIV. Тезисы докладов школы. Воронеж: ВорГУ. - 2003. - С. 150-151.

3. Хуссаин М.А. Бифуркации равновесий упругой балки с квадратичной силой упругой реакции и двумя полуограничителями/Ю.И. Сапронов, М.А. Хуссаин// Воронежская зимняя математическая школа

- 2004. Тезисы докладов школы. Воронеж: ВорГУ. 2004. - С. 96-97.

4. Хуссаин М.А. Упругие равновесия с полуограничениями, нелинейные волны и угловые особенности гладких функционалов/ Ю.И. Сапронов, М.А. Хуссаин// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2004. - С. 191-193.

5. Хуссаин М.А. Бифуркация равновесий упругой балки при наличии двух полуограничителей/ М.А. Хуссаин// Международная научная конференция. Образование, наука, производство и управление в XXI веке. Том И. Старый оскол, 2004. - С. 399-402.

6. Хуссаин М.А К дискриминантному анализу бифуркаций равновесий упругой балки с двумя полуограничителями/ М.А. Хуссаин// Труды математического факультета, в. 8 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2004. - С. 102-107.

7. Хуссаин М.А. Угловые особенности гладких функционалов в задачах о прогибах упругих балок и зарождении нелинейных волн/ Ю.И. Сапронов, М.А. Хуссаин// Труды ВЗМШ-2004. Воронеж, ВГУ. 2004.

- С. 155-167. 386

Введение

Бифуркационный анализ нелинейных краевых задач методами функционального анализа.

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.2 Леммы Морса.

1.3 Фредгольмовы уравнения с параметрами.

1.4 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная).

1.5 Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта.

1.6 Редукция Морса - Ботта.

1.7 Обобщенная редукция.

1.8 Приближенное вычисление ключевой функции.

1.9 Дискриминантные множества.

1.10 Об угловых особенностях гладких функций и функционалов.

1.10.1 Основные определения.

1.10.2 О модах бифуркации и вычислении ключевых функций.

1.10.3 О топологическом сравнении ключевых функций и условиях конечной определенности.

1.10.4 Критические орбиты SO(2) —инвариантных функционалов.

1.10.5 Анализ главной части ключевой функции.

2 Бифуркации экстремалей из омбилических угловых особых точек.

2.1 Основные условия. Вывод ключевых уравнений.

2.2 Омбилическая особенность гиперболического типа.

2.2.1 Каустика в симметричном случае.

2.2.2 Дискриминантное множество и расклады решений в непотенциальном случае.

2.2.3 Каустика в несимметричном случае.

2.3 Случай омбилической точки гиперболического типа на вершине 2—гранного угла.

2.4 Симметричная развертка гиперболической омбилики в симметричном угле.

2.4.1 Случай особенности, представленной в канонической нормальной форме.

2.4.2 Случай угла, совпадающего с первой четвертью плоскости.

3 Бифуркационный анализ некоторых нелинейных задач математической физики.

3.1 Двухмодовые бифуркации равновесий упругой балки с квадратичной упругой силой.

3.1.1 Сведение к операторному уравнению.

3.1.2 Переход к ключевому уравнению.

3.2 Изгибы упругой балки при наличии полуограничений.

3.2.1 Построение главной части ключевой функции.

3.2.2 Описание каустики.

3.3 Волны в нелинейных средах.

3.3.1 Об одном обобщении модифицированного уравнения КДФ.

3.3.2 О периодических волнах в нелинейных средах с одномерным параметром порядка.

3.3.3 Редукция функционала энергии в случае резонанса 1:2.

В оптимальном управлении, теории упругих систем, теории фазовых переходов и других разделах современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи вида

V(x) —> inf, дк(х) >0, х е М, к = 1,2, . , га с полуограничениями), где V{x), ди{х) — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей вблизи угловой точки края банахова многообразия.

Бифуркации экстремалей в классической ситуации (без полуограничений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции \ 2.

В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях получил развитие анализ так называемых краевых и угловых особенностей (В.И. Арнольд, С.Т.С. Уолл, Д. Сирсма, Д. Пит, Т. Постон и др.). В частности, В.И. Арнольдом сформулирован принцип отождествления краевых особенностей с особенностями, инвариантными относительно действия элементарной инволюции (инволюция называется элементарной, если коразмерность ее зеркала равна единице). Этот принцип позволил перенести понятие краевой особенности на комплексный случай и развить соответствующую теорию 3.

1 Красносельский М.А., Бобылев Н.А., Мухамадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// Доклады АН

СССР, 1978.- Т.240, вып.З.- С.530-533.

2Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи матем. наук. - 1996. - Т.51, вып.1. - С.101-132.

3Арнольд В. И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли

В рамках теории фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях и ее приложений сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, А.В. Гнездиловым, О.Ю. Даниловой и О.В. Швыревой был получен ряд результатов, связанных с анализом бифуркаций экстремалей из угловых точек края банахова многообразия и приложениями к нелинейным краевым задачам математической физики. В задаче о бифуркации минимальных поверхностей с ограничениями новые результаты были получены J1.B. Стенюхиным.

Вместе с тем оставалась практически неизученной задача о бифуркации экстремалей в случаях согласованного наложения элементарных симметрий, полуограничений и двумерного вырождения (например, по типу омбилической особенности, весьма часто встречаемой в приложениях) .

В настоящей диссертации рассмотрены бифуркации экстремалей параметрического семейства гладких функционалов в условиях действия следующих двух факторов: 1) двумерного вырождения функционала (порождающего) с омбилической особенностью гиперболического типа, 2) угловой особенности функционала, инспирированной наличием двух симметричных полуограничений.

Опознание возникающих типов особенностей и изучение соответствующих раскладов бифурцирующих морсовских экстремалей проведены на основе модифицированной схемы редукции к ключевой функции от двух (ключевых) переменных. Основное содержание рассматриваемой задачи — описание геометрической структуры каустики и

Вк,Ск,и особенности эволют// Успехи мат. наук. - 1978. - Т. 33,вып. 5(203). - С. 91-105. исследование всех bif—раскладов (распадений) при всевозможных ре-гуляризирующих гладких возмущениях омбилической особенности гиперболического типа в угловой точке края многообразия.

В диссертации рассмотрены также два приложения: 1) к задаче о бифуркации равновесий упругой балки с двумя ограничителями, 2) к задаче о бифуркации периодических волн в нелинейной среде.

Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в угловой особой точке с двумерным вырождением и разработка приложений к нелинейным задачам математической физики.

В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в критической точке с двумерным вырождением и при наличии двух полуограничений.

2. Получена полная классификация раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из омбилической критической точки гиперболического типа при наличии симметрии и двух полуограничений .

3. Вычислена нормальная форма ключевой функции от двух переменных в задаче о двухмодовых бифуркациях форм равновесия упругой балки на упругом основании при наличии двух полуограничений на изгиб.

4. Разработана новая численно-аналитическая процедура описания двухмодовых бифуркаций (с резонансом 1:2) периодических волн в бесконечной упругой балке на упругом основании в случае четного потенциала.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей вблизи угловой точки края банахова многообразия.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.

Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2004 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Результаты диссертации опубликованы в семи работах [79] - [85].

Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 17 параграфов, и списка цитируемой литературы из 118 наименований. Общий объем диссертации — 114 стр.

1. Аграчев А.А. Квазиэкстремальность для управляемых систем/А.А. Аграчев, Р.В. Гамкрелидзе// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1989. - Т.35. - С.109-134.

2. Арнольд В.И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли Ck, и особенности эволют/В.И. Арнольд // Успехи мат. наук. 1978. - Т. 33,вып. 5(203). - С. 91-105.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики./В.И. Арнольд// М.: Наука, 1989. 472 с.

4. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений./В.И.Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде// Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. М.: Наука. 1982. - 304 с.

5. Арнольд В.И. Математические аспекты классической и небесноймеханики/В.И. Арнольд, В.В. Козлов, А.И. Нейштадт// Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.З. М.: ВИНИТИ. 1985. - С. 1-304.

6. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве./Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман М.: Наука, 1966. - 543 с.

7. Бардин Б.С. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании/Б. С. Бардин, С.Д. Фурта// Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. - 1998. - С. 13-22.

8. Бергер М.С. Теория ветвления в случае нелинейных эллиптическихдифференциальных уравнений и систем/М.С. Бергер// Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. Ред. Келлер Дж.Б., Антман С.М. М.: Мир, 1974. - С. 71-128.

9. Бобылев Н.А. Леммы Морса для функционалов вариационного исчисления/Н.А. Бобылев, Ю.М. Бурман// Функцион. анализ и его прилож. 1971. Т. 25, вып.З. - С.1-11.

10. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах. /Н.А. Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин М.: Магистр, 1998. - 658 с.

11. Бобылев Н.А. О бифуркации экстремалей вариационных за-дач/Н.А. Бобылев, М.А. Красносельский// Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, N 2. - С. 265-268.

12. Болотин С.В. Периодические решения системы с гироскопическими силами/С.В. Болотин// Прикл. матем. и механ. 1987.Т.51, вып.4. - С.686-687.

13. Борзаков А.Ю. Нелинейные ритцевские аппроксимации и визуализации бифуркаций экстремалей/А.Ю. Борзаков, А.А. Лемешко, Ю.И. Сапронов// Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ. 2003, вып. 2. - С.100-112.

14. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера/Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, вып.4. - С.3-54.

15. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы./Т. Брекер, J1. Ландер М.: Мир, 1977. - 208 с.

16. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных опера-торов./М.М. Вайнберг// М.: Наука, 1972. 415 с.

17. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравне-ний./М.М. Вайнберг, В.А. Треногин// М.: Наука. 1969. 528 с.

18. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач./Ф.П. Васильев// М.: Наука, 1981. 400 с.

19. Вахрамеев С.А. Теория Пале Смейла для многообразий с углами. Случай конечной размерности/С.А. Вахрамеев// Успехи матем. наук. - 1990. Т.45, вып.4. - С.141-142.

20. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф./Р. Гилмор// М.: Мир,1984. Т.1. 350 е., Т.2. 285 с. /

21. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с поликруговой симметрией/А.В. Гнездилов// Труды математического факультета. Новая серия. Воронеж: ВГУ. 1997. N2(18). - С.19-26.

22. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией/А.В. Гнездилов// Функц. анализ. 2000. Т.34, вып.1- С.83-86.

23. Гнездилов А.В. Угловые особенности фредгольмовых функционалов/А.В. Гнездилов, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырева// Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ. 2003, вып. 1. С.99-114.

24. М. Голубицкий Устойчивые отображения и их особенности./М. Го-лубицкий, В. Гийемин М.: Мир, 1978. - 290 с.

25. Данилова О.Ю. Двухмодовые бифуркации решений уравнения Кармана при наличии интегрального полуограничения/О.Ю. Данилова/ / Труды математического факультета. Воронеж: Изд. ВГУ, 1999. N 4 (20) (новая серия). - С. 41-50.

26. Данилова О.Ю. Редукции функционалов к возмущенным двумерным сборкам при наличии полуограничения/О.Ю. Данилова// Сборник трудов молодых ученых матем. факультета ВГУ. Воронеж: изд ВГПУ, 2001. - С.55-61.

27. Данилова О.Ю. Бифуркации экстремалей при наложении симметричных и краевых особенностей/О.Ю. Данилова// Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГПУ, 2001. - N 6 (новая серия). - С.44-53.

28. Данилова О.Ю. Симметричные бифуркации экстремалей вблизи края банахова многообразия/О.Ю. Данилова// Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: ВГУ. 2001. - С.45-69.

29. Данилова О.Ю. Моды бифуркации в угловых критических точках/О.Ю. Данилова, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырёва// Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: изд. ВГУ, 2002. N 7 (новая серия). - С. 31-38

30. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей вблизи особенностимногомерной сборки/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. - С. 35-46.

31. Даринский Б.М. Топологический подход к классификациям фазкристаллических сегнетоэлектриков/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. -Воронеж: ВГУ. 2000. С. 41-57.

32. Даринский Б.М. О двухмодовых бифуркациях решений однойвариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка/Б. М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Понтрягинские чтения -XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57-64.

33. Даринский Б.М. К термодинамической теории сегнетоэлектрических фазовых переходов в кристаллах/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, B.J1. Шалимов// Кристаллография. 1999. - Т.44, N 4. - С. 1-5.

34. Darinskii М.М. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter/M.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov// Ferroelectrics. 2002. V. 265. - P. 31-42.

35. Даринский Б.М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны/ Б.М. Даринский, Е.В. Ладыкина, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ. 2003. - С. 52-67.

36. Даринский Б.М. Дискриминантные множества и расклады бифурцирующих решений фредгольмовых уравнений/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Современная математика и ее приложения. -Тбилиси. 2003. Т.7. С.72-86.

37. Даринский Б.М. Фазовые переходы в доменных границах фер-роиков/Б.М. Даринский, А.А. Дьяченко, Ю.И. Сапронов, М.Н. Чаплыгин// Известия РАН. Сер.: физическая. 2004. Т768, N 7. -С.920-926.

38. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представле-ния./Д.П. Желобенко М.: Наука, 1970. - 664 с.

39. Заваровский Ю.Н. Нормальная форма ключевой функции в задачах о критических нагрузках упругих стержней./Ю.Н. Заваровский, Ю.И. Сапронов // Воронеж. 1981. Деп в ВИНИТИ. N 4185-81. 28 с.

40. Заваровский Ю.Н. Ветвление решений уравнения Кирхгофа симметричного пространственного стержня./Ю.Н. Заваровский // Воронеж, ВГУ. 1981. Деп. в ВИНИТИ. N 4610-81. 21с.

41. Заваровский Ю.Н. О методе Ляпунова-Шмидта для вариационных задач с параметром./Ю.Н. Заваровский // Воронеж, ВГУ. 1981. Деп. в ВИНИТИ. N 478-82. 13 с.

42. Заваровский Ю.Н. Нормальная форма ключевой функции обобщенного уравнения Кирхгофа/Ю.Н. Заваровский// Успехи матем. наук. 1983. Т.38, вып.З. - С. 177-178.

43. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений./В.Р. Зачепа , Ю.И. Сапронов // Воронеж, ВГУ. 2002. 185 с.

44. Иллс Дж. Основания глобального анализа/Дж. Иллс// Успехи матем. наук. 1969. Т.24, N 3. - С. 157-210.

45. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических./В. Клинген-берг М.: Мир. 1982. - 416 с.

46. Койтер В.Т. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем/В.Т. Койтер// Механика. Периодический сборник переводов иностр. статей. 1960. N 5. - С.99-110.

47. Коллатц Л. Задачи на собственные значения./Л. Коллатц М.: Наука. 1998. 504 с.

48. Красносельский М.А. Применение вариационных методов в задаче о точках бифуркации/М.А. Красносельский// Мат. сборник. -1953. Т. 33, N 3. С. 199-214.

49. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений./М.А. Красносельский М.: Госте-хиздат, 1956. - 390 с.

50. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчис-ления/М.А. Красносельский, Н.А. Бобылев, Э.М. Мухамадиев// ДАН СССР. 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.

51. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений./ М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий Я.Б., В.Я. Стеценко М.: Наука, 1969. - 456 с.

52. Kunakovskaya O.V. On properties of some klasses of smooth functions on Banach spaces and manifolds/O.V. Kunakovskaya// Methods and appl. of global analysis. Voronezh Univ. Press, 1993. P.81-93.

53. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий./С. Ленг М.: Мир, 1967. - 204 с.

54. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условияхгрупповой инвариантности./Б.В. Логинов Ташкент// Фан, 1985. - 184 с.

55. Ляв А. Математическия теория упругости./А. Ляв М.- Л.: НКТН СССР. 1935. - 674 с.

56. Ляпунов A.M. Sur les figures d'equilibre peu differentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l /A.M. Ляпунов// Зап. Акад. наук, С.-Петербург. 1906.

57. Матвеев С.В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем/С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко, В.В. Шарко// Матем. сборник, 1988. Т. 135, N3. - С.325-345.

58. Матов В.И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразии с краем/В.И. Матов// Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981, вып.7. - С.174-189.

59. Милнор Дж. Теория Морса./Дж. Милнор // М.: Мир. 1965.

60. М1тропольский Ю.О. Дослщження коливань в системах з роз-подшеними параметрами (асимптотичш методи)./Ю.О. MiTpo-польский, Б.1. Мосеенков// Видавництво Кшвського ушверсите-ту// 1961. 123 п.

61. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физи-ке./С.Г. МихлинМ.: Наука, 1970. 512 с.

62. Ниренберг JI. Лекции по нелинейному функциональному анали-зу./Л. Ниренберг// М.: Мир, 1977. 232 с.

63. Обен Ж.П. Прикладной нелинейный анализ./Ж.П. Обен, И. Эк-ланд //М.: Мир, 1988. 510 с.

64. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнени-ям./П. Олвер // М.: Мир, 1989 639 с.

65. Особенности дифференцируемых отображений. Сб. ст. М.: Мир,1968. 268 с.

66. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колеба-ний./А.И. Перов // Воронеж: изд. ВГУ, 1981. 196 с.

67. Постников М.М. Введение в теорию Морса./М.М. Постников М.: Наука. 1971. - 568 с.

68. Постон Т. Теория катастроф и её приложения./Т. Постон, И. Стюарт М.: Мир. 1980. - 608 с.

69. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Том 2. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел./А. Пуанкаре М.: Наука. 1972. - 1000 с.

70. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равнове-сий/Ю.И. Сапронов// Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. - С.997-1006.

71. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций/Ю.И. Сапронов// Матем. сборник. 1989. Т.180, N 10. - С. 1299-1310.

72. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах/Ю.И. Сапронов// Математические заметки. 1991. Т.49, вып.1. - С.94-103.

73. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах/Ю.И. Сапронов// Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, N 1. - С. 101-132.

74. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах/Ю.И. Сапронов, C.JT. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. - С. 745-754.

75. Сидоркин А.С. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственные материалы./А.С. Сидоркин М.: ФИЗМАТЛИТ. 2000. - 240 с.

76. Стенюхин Л.В. О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями/ Л.В.Стенюхин// Труды математического факультета, в. 7 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2002. С. 137-141.

77. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия/В.А. Треногин, Н.А. Сидоров , Б.В. Логинов// Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, N 2. - С. 286-289.

78. Хуссаин М.А. О двухмодовых бифуркациях равновесий упругой балки с квадратичной упругой силой/М.А. Хуссаин// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 132-139.

79. Хуссаин М.А. Двухмодовые симметричные бифуркации равновесий упругой балки с квадратичной силой упругой реакции/ М.А. Хуссаин// Понтрягинские чтения- XIV. Тезисы докладов школы. Воронеж: ВорГУ. 2003 - С. 150-151.

80. Хуссаин М.А. Бифуркации равновесий упругой балки с квадратичной силой упругой реакции и двумя полуограничителя-ми/Ю.И. Сапронов, М.А. Хуссаин// Воронежская зимняя математическая школа 2004. Тезисы докладов школы/ Воронеж: ВорГУ, 2004 - С. 96 - 97.

81. Хуссаин М.А. Бифуркация равновесий упругой балки при наличии двух полуограничителей/М.А. Хуссаин// Международная научная конференция. Образование, наука, производство и управление в XXI веке. Том II/ Старый оскол, 2004 С. 399-402.

82. Хуссаин М.А. К дискриминантному анализу бифуркаций равновесий упругой балки с двумя полуограничителями/ М.А. Хуссаин// Труды математического факультета, в. 8 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2004. С. 102-107.

83. Хуссаин М.А. Угловые особенности гладких функционалов в задачах о прогибах упругих балок и зарождении нелинейных волн/ Ю.И. Сапронов, М.А. Хуссаин// Труды ВЗМШ-2004. Воронеж, ВГУ. 2004. С. 155-167.

84. Царев C.JI. Устойчивость индекса Морса невырожденной критической точки гладкого фредгольмова функционала/С.JI. Царев// Сб. статей студентов и аспирантов матем. факультета ВГУ. Воронеж: ВГУ, 2000. - С. 57-61.

85. Царев С.Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам/С.Л. Царев// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. -С. 132-136.

86. Царев С.Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией/С.J1. Царев// Современная математика и ее приложения. 2003. Т.7. - С.87-91.

87. Чемерзина Е.В. Каустики гладких параметрических семейств фредгольмовых функционалов./Е.В. Чемерзина Воронеж: Вор-ГУ. НИИМ ВГУ, препр. N9. Ноябрь 2003. - 47 с.

88. Швырева О.В. О бифуркациях экстремалей из вершины симплек-тического угла/О.В. Швырева// Труды матем. факультета ВГУ. N 5 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 207-216.

89. Швырёва О.В. Каустики и bif—расклады для краевой экстремали с трехкратным вырождением вдоль края/О.В. Швырева// Труды матем. факультета ВГУ. N 7 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2002. - С. 149-160.

90. Швырёва О.В. Бифуркации равновесных форм эйлерова стержня при наличии двух полуограничений/О.В. Швырева// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 147-159.

91. Banach S., Mazur S. Uber mehrdeutige stetige Abbildungen/S. Ba-nach// Studia Math. 5. 1934. P.174-178.

92. Bott R. Nondegenerate critical manifolds/R. Bott// Ann. of Math. Ser. 2. 1954. 60, N2. - P.248-261.

93. Chillingworth D. A global genericity theorem for bifurcations in variational problems/D. Chillingworth// Jorn. of Functional Anal. 1980. V.35. P.251-278.

94. Chow S.-N. Methods of Bifurcation Theory./S.-N. Chow, J.K. Hale- N.-Y.: Springer-Verlag, 1982. 515 p.

95. Chow S.-N. Bifurcation Theorem for Critical Points of Variational Problems/S.-N. Chow, E.A. Lauterbach// Nonlinear Anal., Theory, Methods, Appl. 1985. V.9, N 1. - P.51-61.

96. Conley C.C. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conyecture of V.I.Arnol'd/C.C. Conley, E. Zehnder // Invent. Math. 1983. V.73.- P.33-49.

97. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Theory./M. Golubitsky, D. Schaeffer V. 1. N.-Y.: Springer-Verlag, 1985. - 463P

98. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Theory./M. Golubitsky, I. Stewart, D. Schaeffer// V.2.-N.-Y.: Springer-Verlag, 1988.-533 p.

99. Gromoll D. On diffeerentiable functions with isolated critical points/D. Gromoll, W. Meyer// Topology, 8. 1969. P.361-370.

100. Holder E.J. Boundary conditions and mode jumping in the Karman equations/E.J. Holder, D. Schaeffer// SIAM J. Math. Anal. 1984. B.15. N 3. - P.446-457.

101. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls/Y.J. Ishibashi// Ferroelectrics. 1989. V.98. - P.193-205.

102. Kielhofer H. A Bifurcation Theorem for Potential Operator/H. Kielhofer// Journ. Func. Anal. 1988. V.77, N 1. - P.l-8.- из

103. Magnus R.J. Universal unfolding in Banach spaces: reduction and stability/R.J. Magnus// Mathematics Report 107, Battele, Genewa. 1977.

104. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory/J.E. Mars-den// Bull. Amer. Math. Soc. 1978. V.84, N 6.

105. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunow-Schmidt proce-dure/J.E. Marsden// Lect. Notes in Math. 1979. V.755. - P.77-82.

106. Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables/M. Morse// Trans. Am. Math. Soc. 1931. V.33. - P.72-91.1109. Morse M. The calculus of variations in the large./М. Morse/'/ New York, 1934.

107. Nashed M.Z. Global invertibility in nonlinear functional analy-sis/M.Z. Nashed, J.E. Hernander// Fixed point theory and applications. World Scintific Publishing, River Edge, NJ-1992. P.229-247.

108. Palais R.S. Morse Theory on Hilbert Manifolds/R.S. Palais// Topology. 1963. V.2. - P. 299-340.

109. Poenaru V. Singularites C°° en Presence de Symetrie/V. Poenaru// Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P. 61-89.

110. Rothe E. Critical Points and Gradient Fields of Scalars in Hilbert Space/E. Rothe// Acta Math. 1951. N 85. - P. 73-98.

111. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichun-gen, Theil 3: Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungenund Verzweigung ihrer Losungen/E. Schmidt// Math. Ann. 1908. - V.65. - P. 370-399.

112. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc/D. Siersma// Quart. J. Oxford Ser. 1981. - V.32, N 125. - P. 119-127.

113. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities/C.T.C. Wall// Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P. 169-175.

114. Weinstein A. Singularities of families of functions/A. Weinstein// Differential geometrie in Grossen. V.4. Oberwolfach. 1971. P.323-330.

115. Zemlyanukhin A. Exact solutions of the fifth-order non-linear evolution eqyations/A. Zemlyanukhin// Regular and chaotic dynamics. 1999. V. 4. N 3. P.67-69.