Идентификация удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом сосуде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ
|
Нафикова, Эльвира Рамилевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Уфа
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
□ОЗОВО131
На правах рукописи
НАФИКОВА Эльвира Рамилевна
ИДЕНТИФИКАЦИЯ УДЕЛЬНОГО ВЕСА ЖИДКОСТИ И ВЫСОТЫ ЕЕ СТОЛБА В ЗАКРЫТОМ СОСУДЕ
01 02 05 — Механика жидкости, газа и плазмы
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
I А МАЙ 2007
Уфа - 2007
003060131
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Башкирский государственный университет»
Научный руководитель
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, профессор Султанаев Яудат Талгатович
доктор физико-математических наук, профессор Булгакова Гузель Талгатовна
доктор физико-математических наук, профессор Усманов Салават Мударисович
Ведущая организация
Институт механики Уфимского научного центра РАН
Защита диссертации состоится 25 мая 2007 г в часов
на заседании диссертационного совета Д 212 013 09 при Башкирском государственном университете по адресу 450074, г Уфа, ул Фрунзе, 32, физ -матем факультет, ауд 216
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета
Автореферат разослан
Ученый секретарь диссертационного совета д.т н , профессор
апреля 2007 г
Ковалева Л А
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации. Работа посвящена задаче диагностики состояния закрепления резервуара с жидкостью, а также задаче идентификации параметров жидкости по прогибам резервуара в нескольких точках Ранее подобные задачи не рассматривались
Задачи о равновесии тонкостенных упругих элементов под действием сил со стороны жидкости исследованы в работах М А Ильгамова, Р П Кузьмина, В М Петрова, Ф Л Черноусько и др Наиболее близки по постановке задачи диагностирования закрепления стержней, пластин, мембран по собственным частотам их колебаний (см работы А М Ахтямова, Г Ф Сафиной, Л С Ями-ловой) Задачи рассматриваемого типа связаны также с задачами гидростатики, обратными задачами и задачами диагностики
Настоящая работа дает возможность теоретического прогнозирования типа жидкости и ее объема в закрытом резервуаре, что способствует более глубокому пониманию и описанию процессов, протекающих в закрытом резервуаре На практике могут возникнуть такие сложные ситуации, когда резервуар недоступен для визуального осмотра (например, нахождение рядом опасно для жизни человека) или его нельзя открыть (например, известно, что в нем содержится ядовитая жидкость)
Цель работы- постановка и решение обратных задач по иден-
тификации удельного веса жидкости, высоты ее столба и упругого закрепления закрытого резервуара по прогибам в нескольких точках
Основными задачами работы являются 1) разработка метода идентификации удельного веса жидкости, высоты ее столба, а также условий закрепления вертикальной стенки закрытого резервуара по ее прогибам в нескольких точках, 2) разработка метода восстановления удельного веса жидкости, высоты ее столба, угловой скорости вращения резервуара, а также условий закрепления днища по прогибам днища закрытого вращающегося цилиндрического резервуара в нескольких точках; 3) исследование зависимости прогибов стенки от О (цилиндрической жесткости), а также прогибов днища от высоты столба жидкости и ее удельного веса
Методы исследований. Поставленные задачи решались аналитически с использованием методов гидростатики, решения обыкновенных дифференциальных уравнений, решения линейных алгебраических уравнений, методов определения правой части линейного обыкновенного дифференциального уравнения по решению этого уравнения
Научная новизна. Впервые поставлена и решена обратная задача идентификации удельного веса жидкости, высоты столба жидкости в закрытом резервуаре, его упругого закрепления по прогибам в нескольких точках Задача исследована в случае покоя резервуара, а также в случае вращения
Разработаны методы идентификации удельного веса и высоты столба жидкости, а так же двух или четырех краевых условий по прогибам стенки в нескольких точках закрытого резервуара Применение методов решения задачи приведено в виде результатов численных экспериментов
Практическая значимость. Практическая ценность работы заключается в возможности теоретического прогнозирования типа жидкости в закрытом резервуаре и ее объема, что способствует более глубокому пониманию и описанию процессов, протекающих в закрытом резервуаре Разработанный метод может быть применен в диагностике жидкости в различных сложных ситуациях, когда резервуар недоступен для визуального осмотра (например, нахождение рядом опасно для жизни человека) или его нельзя открыть (например, известно, что в нем содержится ядовитая жидкость) .
Найденные методы учитывают случаи вращения резервуара, а также случаи в состоянии покоя, случаи изменения удельного веса и высоты столба жидкости Позволяют определить различные виды упругого закрепления
Достоверность результатов и предложенных в диссертации методов обоснованы математическими доказательствами, численным экспериментом
На защиту выносятся следующие основные результаты: 1)математические методы определения удельного веса жидкости и высоты ее столба, а также некоторых других характе-
ристик закрытого резервуара (в форме цилиндра, либо параллелепипеда бесконечной длины) по прогибам вертикальной стенки или днища в нескольких точках (для вращающегося и покоящегося состояний), доказательство единственности решений соответствующих обратных задач, 2) восстановление вида и параметров упругого закрепления вертикальной стенки или днища закрытого резервуара по прогибам в нескольких точках
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях- "IV, V, VI Региональные школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике"(БашГУ, Уфа, 2004 г., 2005 г, 2006 г). "II Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, СамГТУ, 2005 г), VI, VII Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математики (окт 2005 г, Сочи-Дагомыс, май 2006 г , Кисловодск), Всероссийская научно-практическая конференция "Наука и образование - 2005", посвященная 15-летию со дня принятия Декларации о государственном суверенитете РБ и 5-летию образования Нефтекамского филиала БашГУ (окт 2005 г., Нефтекамск), Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (нояб-дек 2005 г, Уфа), научных семинарах доктора физико-математических наук А М Ахтямова (БашГУ)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы
Благодарности. Исследования, представленные в диссертационной работе, проведены под руководством д ф -м н , профессора Я Т Султанаева и д ф -м н., профессора А М Ахтямова, которым автор выражает глубокую благодарность Особую благодарность автор приносит чл корр РАН, д.ф -м н , профессору М А Ильгамову за полезные обсуждения и постановку некоторых задач
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены положения, выносимые на защиту
В главе 1 дан обзор работ по изучаемой теме В главе 2 разработаны методы идентификации удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом резервуаре (в форме параллелепипеда), а также ширины резервуара по прогибам вертикальной стенки в нескольких точках Определены вид и параметры упругого закрепления вертикальной стенки резервуара Исследована задала определения удельного веса жидкости по прогибам стенки цилиндрического резервуара в нескольких точках Доказаны соответствующие теоремы о единственности решения. В параграфе 2.1 найден метод определения удельного веса,
и
с
Рис 1 Цилиндрический изгиб вертикальной пластины под гидростатическим давлением
высоты столба жидкости и ширины резервуара, а также вида и параметров закрепления резервуара (См рис 1) по прогибам вертикальной стенки в нескольких точках Доказана теорема о единственности Исследована зависимость прогиба от цилиндрической жесткости И
Дифференциальное уравнение прогиба вертикальной стенки резервуара имеет вид
где Б = Е ~~ модуль упругости, к - толщина стенки, и -
коэффициент Пуассона, 7 - удельный вес жидкости, Я- высота столба жидкости е [17Ь/20, 191/20]
7(Я-я), г<Н,
0, г ^ Н
(1)
(2)
Условие несжимаемости записано как
гН
/ ydz = {L- H)l (3)
Jo
где I - ширина емкости, занятой жидкостью в недеформирован-ном положении пластины Краевые условия
(cosaiy(z) + sin aij/'"(г))г=0 = 0, ai е [0, тг/2] (4)
(cos a2y'{z) + sin a2y"(z))*=0 = 0, a2 G [-тг/2, 0] (5)
(cosa3y(z) + sma3i/"(z))z=L = 0, a3 6 [—тг/2, 0] (6)
(cos a4y'(z) + sinaAy"(z))z=L =0, a4 G [0, тг/2] (7)
Условие гладкости в точке z = Н
у-(Я)=у+(Я) у'-(Я)=у'+(Я) у"" (Я) = у"+(Н) у"'" (Я) = у'"+(Я) (8)
где у~(2;) и у+(г) это функция у(^) для z < Н и z ^ Н соответственно
Решена задача удельный вес 7, высота Я столба жидкости, ширина I резервуара, углы, аг (г = 1, 4) краевых условий (4) -(7) неизвестны Известна высота L резервуара, а также прогибы пластины в десяти точках, причем первые шесть точек 6 [0,17L/20], а другие четыре € [19L/20, L] Требуется восстановить удельный вес 7, высоту Я столба жидкости, ширину I резервуара, вид и параметры закрепления вертикальной стенки резервуара на краях
Решение обратной задачи проведено в два этапа На первом этапе по прогибам стенки в десяти точках определяются удельный вес жидкости и высота ее столба, функция прогиба днища На втором -- по функции прогиба восстанавливаются неизвестные краевые условия боковой стенки, а из условия несжимаемости расчитывается ширина резервуара
Доказывается теорема (о единственности решения) обратная задача о нахождении удельного веса жидкости, высоты ее столба, ширины резервуара, а также об определении краевых условий вертикальной стенки закрытого резервуара по прогибам в десяти точках имеет единственное решение
Доказательство теоремы вытекает из условия, что Д ф О По результатам решения обратной задачи (1)~(8) при различном параметре В установлено, что увеличение жесткости пластины ведет к уменьшению прогибов
Например, для параметров системы Ь = 5 м, /г = 0,01 м, Я = 18/4 и краевых условий ЮОу" (0) + у~т{0) = 0, у~"(0) = 0, —20у+(5) + у+'"(5) = 0, у+/(5) = 0, означающих упругое закрепление обоих концов стенки, на (рис 2) рассмотрен график зависимости первых шести значений прогибов от цилиндрической жесткости стенки, остальные четыре прогиба имеют такую же тенденцию Подробные значения для двух точек прогиба у\ (г) и 3/10(2) приведены в таблице, характер изменения остальных прогибов аналогичен
Рис 2 Зависимость прогибов пластины от ее жесткости
Е, Ю10 Н/м2 и Б 1—чС-1 II 5п 2/ю = У(1)
39 (вольфрам) 0,29 35484,22 0,00011 0,0000061
20,6 (сталь) 0,28 18627,03 0,00021 0,000011
12,3 (медь) 0,35 11680,91 0,00033 0,000019
10,8 (серый чугун) 0,22 9457,76 0,00042 0,000024
7,9 (серебро) 0,37 7627,54 0,00050 0,000028
7,3 (дюралюминий) 0,34 6878,49 0,00056 0,000031
7,1 (алюминий) 0,34 6690,03 0,00057 0,000032
В параграфе 2.2. поставлена и решена задача о восстановлении удельного веса жидкости в цилиндрическом резервуаре, по прогибу его вертикальной стенки в одной точке
Дифференциальное уравнение прогиба стенки цилиндрического сосуда имеет вид
л 4 4 4 3 4 127 /0х
-^4- +4 ау = тг, а = ^ т = (9)
где 7 - удельный вес жидкости, Е - модуль упругости материала стенки, к - толщина стенки, К - средний радиус Краевые условия представлены как у(0) = 0, у(77) = 0, у'(0) = О, У'{Н) = О
Исследована задачи- Удельный вес жидкости неизвестен Известен прогиб стенки в одной точке Найти 7 - удельный вес 'жидкости, функцию прогиба стенки резервуара, если известно значение прогиба у(г^) в одной точке (к = 1)
Формулируется теорема о единственности решения задачи о нахождении удельного веса жидкости в закрытом цилиндрическом резервуаре по прогибу вертикальной стенки резервуара в одной точке
В главе 3 исследованы обратные задачи идентификации высоты столба жидкости и угловой скорости вращения закрытого цилиндрического резервуара, а также условий закрепления днища по прогибам в нескольких точках Найден метод восстановления удельного веса жидкости и высоты ее столба, а также условий закрепления гибкого днища по прогибам в нескольких точках Исследована задача о восстановлении высоты столба жидкости в закрытом резервуаре, а также краевых условий днища по прогибам неоднородного днища в нескольких точках Доказаны соот-
ветствующие теоремы о единственности решения
В параграфе 3.1. исследована задача о закрытом вращающемся цилиндрическом резервуаре, днище которого пластина (См рис. 4) Установлено, что по прогибам днища в нескольких точках высота столба жидкости и угловая скорость вращения, а также закрепление днища восстанавливаются однозначно Рассмотрены случаи когда, цилиндрический резервуар вращается и покоится
Уравнение поверхности жидкости во вращающемся цилиндрическом резервуаре в неинерционной системе отсчета имеет вид Я(г) = Щ^т2 + Щ, где Но - вершина параболы, т - угловая скорость вращения, г - радиус днища
На (рис 3) при радиусе дна стакана г=5 м, вершине параболы в Но=2 м, исследована зависимость высоты жидкости от угловой скорости вращения, из таблицы видно, что с возрастанием угловой скорости вращения высота столба жидкости в сосуде растет и парабола становится более вытянутой
ги (обор/сек) \\'=4 \у=3 ш=0
Н (и) Н=33,89 Н= 22,41 Н=г 13,48 Н= 2
Дифференциальное уравнение прогиба днища цилиндрического резервуара имеет вид
+ (10)
где Б - цилиндрическая жесткость, и) - угловая скорость враще-
н
1Е0
140 ■
120 ■
100 ■
80 • 603
60 ■
40 • /
20 • Л
О 4-
1*2,5
И'
Рис. 3 Зависимость высоты столба жидкости от угловой скорости вращения
ния, 7 - удельный вес жидкости, Но — вершина параболы
Краевые условия днища
(соеаху(г) - ашац/"(г))г=-ь = 0, аг € [0, тг/2] (И) (со$а2у'(г) - Вта2у"(г))т=-ь = 0, а2 € [0, тг/2] (12)
Решена задача Найти высоту столба жидкости Но и угловую скорость вращения основания цилиндриче ского резервуара, а также закрепление днища (те углы а\, а 2 из (11) -(12)), если известны диаметр емкости и значения прогибов у(гв нескольких точках г
Обратная задача решается в два этапа На первом этапе по прогибам стенки в нескольких точках определяется высота столба жидкости, угловая скорость вращения, функция прогиба днища
Рис 4 Вид вращающегося сосуда, днище которого пластина (мембрана)
Задача решена в случаях -ш = 0 и ги ф 0 На втором — по функции прогиба восстанавливаются неизвестные краевые условия днища
Сформулирована теорема о единственности решения обратной задачи о нахождении высоты столба жидкости и угловой скорости вращения цилиндрического резервуара, а также об определении упругого закрепления его днища по прогибам в нескольких точках
В параграфе 3.2. решена задача о закрытом вращающемся цилиндрическом резервуаре, гибкое днище которого мембрана (См рис 4) Установлено, что по прогибам днища в нескольких точках восстанавливаются удельный вес жидкости, высота столба жидкости, а также закрепление днища Рассмотрены случаи
когда, цилиндрический резервуар вращается и покоится
Уравнение для описания малого отклонения гибкого днища стакана из плоского состояния имеет вид.
Краевые условия представлены в виде
{сов(р1у'{г) - вту»!у(г))г=_£, = 0, (14)
где (р1 некоторый угол из сегмента [0, 7г/2]
Исследована следующая задача найти удельный вес жидкости и высоту ее столба в цилиндрическом резервуаре, а также краевые условия днища, если известны диаметр сосуда и значения прогибов днища стакана у(г) в нескольких точках Гк
Метод решения задачи таков сначала по прогибам стенки в нескольких точках определяется удельный вес жидкости, высота ее столба и функция прогиба днища Исследованы случаи го = 0 и гп ф 0 Далее по функции прогиба восстанавливаются неизвестные краевые условия днища
Сформулированы теоремы о единственности решения обратной задачи определения удельного веса жидкости и высоты ее столба, а также вида и параметров закрепления гибкого днища закрытого цилиндрического резервуара по прогибам в нескольких точках
В параграфе приводятся применение методов в конкретных ситуациях Исследована зависимость прогибов гибкого днища от
0,3 0,25 0,2 И 0,15 0,1 0,05 -0
хСО
—I—
ш
Керосин
Нефть
1/2
3'4
Рис 5. Зависимость прогибов от удельного веса
удельного веса жидкости По результатам решения обратной задачи с уравнением (13) и краевыми условиями 1) — \у{~ 1) = О, ^у'( 1) + \у{1) = 0 для Я0=1/2 м, Го = Ю Н.
Установлено, что при увеличении удельного веса жидкости в резервуаре прогибы в соответствующих точках растут (См рис 5). Приведем данные вычислений
Жидкость 7 (Н/м3) Г! = \ М г2 = | м Г 2, = | м
нефть 0,76 0.083 0,080 0,074
керосин 0,8 0,088 0,084 0,078
чистая вода 1 0,11 0,10 0,09
Исследовано также влияние на значения прогибов днища высоты столба жидкости. По результатам решения обратной задачи
05 0 7 I 15
Рис б' Зависимость прогибов от высоты столба жидкости
с уравнением (13) и краевыми условиями
1) - у"'(-1) = 0, ~у{ 1) + у"'{ 1) = О
с параметрами системы То == 10 Н, 7 =1 (вода)
Установлено, что при увеличении высоты столба жидкости в резервуаре давление на днище возрастает и днище прогибается сильнее, те прогибы в соответствующих точках растут (См рис 6) Следующая таблица также подтверждает возрастание значений прогибов при увеличении столба жидкости
#0, м -2 = 1 з П5 = 4
0,5 0,027 0,022 0,014
0,7 0,037 0,031 0,020
1 0,054 0,044 0,029
1,5 0,081 0,067 0,044
В параграфе 3.3. рассмотрена и решена задача о восстановлении высоты стонба жидкости в закрытом резервуаре (в форме параллелепипеда) и закрепления днища, которое представляет собой неоднородную пластину по прогибам днища в нескольких точках Показана аналогия решения задачи о восстановлении высоты столба жидкости в закрытом резервуаре и закрепления днища с задачей определения вертикальной нагрузки и условий закрепления стержня Обе эти задачи решены методами предложенными в предыдущих параграфах [1], [2]
В заключении формулируются основные результаты работы, выносимые на защиту
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
1) Установлено, что по нескольким значениям прогиба стенки, либо днища закрытого резервуара с жидкостью однозначно восстанавливаются удельный вес жидкости, высота ее столба, а также условия закрепления на краях Задача исследована для покоящихся и вращающихся резервуаров
2) Установлено, что обра/гные задачи восстановления удельного веса жидкости, высоты ее столба, а также условий закрепления вертикальной стенки, либо днища закрытого резервуара с жидкостью являются устойчивыми
3) Установлено, что с возрастанием удельного веса жидкости или высоты ее столба в резервуаре значения прогибов днища также возрастают
Основные публикации по теме диссертации
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК
1 Нафикова Э Р Решение обратной статической задачи диагностирования закрепления и нагруженности стержня // Вестник Башкирского университета Уфа, 2005 № 2 С 12-14
2 Нафикова Э Р О статической диагностике закрепления неоднородного стержня и нагрузки, действующей на стержень // Обозрение прикладной и промышленной математики Москва, 2005 Т. 12 № 4 С 1046-1048
Прочие публикации
Нафикова Э Р О статической диагностике нагруженности и закрепления стержня// IV Региональная школ а-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ Тезисы докладов Уфа БашГУ, 2004 С 146
Нафикова Э Р О статической диагностике закрепления стержня// Труды IV Региональной школы-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике Уфа БашГУ, 2004 С 165-172
Нафикова Э Р Обратная статическая задача диагностирования закрепления мембраны и высоты столба жидкости // Труды второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" Часть 1 Самара СГТУ, 2005 С 195-197
Нафикова Э Р О диагностировании закрепления изгиба вертикальной пластины // Материалы всероссийской научно-практической конференции "Наука и образование - 2005" В 3-х ч Ч III Нефтекамск БашГУ, 2006 С 64-68 Нафикова Э Р Задача об изгибе вертикальной пластины / / Сборник тезисов докладов V Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике Уфа БашГУ, 2005 С 9
8 Нафикова Э. Р Диагностика закрепления стенки резервуара и высоты столба жидкости// Сборник трудов между народной уфимской зимней школы-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых- Математика Т III Уфа БашГУ, 2005 С 124-130
9 Ахтямов А М , Нафикова Э Р. Восстановление краевых условий и функции нагрузки £(х)// Сборник тезисов докладов VI Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии Уфа БашГУ, 2006 С 17
10 Ахтямов А. М , Нафикова Э Р Восстановление краевых условий и функции нагрузки// Сборник трудов VI Региональной школы конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии Математика Том II Уфа БашГУ, 2006 С 109-111
Нафикова Эльвира Рамилевна
ИДЕНТИФИКАЦИЯ УДЕЛЬНОГО ВЕСА ЖИДКОСТИ И ВЫСОТЫ ЕЕ СТОЛБА В ЗАКРЫТОМ СОСУДЕ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени канпипата фупико-матемятцчес^их наук
Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05 01 99 г
Подписано в печать 23 04 2007 г Бумага офсетная Формат 60x84/16 Гарнитура Times Отпечатано на ризографе Уел печ. л 1,26 Уч-изд л 0,79 Тираж 100 экз Заказ 218
Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32
Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32
0 ВВЕДЕНИЕ
0.1 Актуальность темы диссертации.
0.2 Цель исследования.
0.3 Научная новизна получинных результатов.
0.4 Практическая значимость результатов.
0.5 Краткое содержание работы.
0.6 Положения диссертации, выносимые на защиту
0.7 Благодарности.
1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
1.1 Исторические замечания.
1.2 Прямая задача.
1.3 Обратная задача.
2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ВЕСА ЖИДКОСТИ, ВЫСОТЫ ЕЁ СТОЛБА В ЗАКРЫТОМ РЕЗЕРВУАРЕ ПО ПРОГИБАМ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ РЕЗЕРВУАРА
2.1 Определение удельного веса жидкости и высоты ее столба, а также вида и параметров закрепления вертикальной стенки но прогибам в десяти точках в закрытом резервуаре.
2.1.1 Постановка обратной задачи
2.1.2 Метод восстановления удельного веса, высоты столба жидкости, ширины емкости резервуара, а также условий закрепления стенки
2.1.3 Единственность решения обратной задачи
2.1.4 Применение метода определения удельного веса жидкости и высоты се столба в закрытом резервуаре, а также ширины и условий закрепления вертикальной стенки.
2.2 Задача о цилиндрическом резервуаре.
2.2.1 Введение.
2.2.2 Деформация стенок цилиндрического резервуара
3 ДИАГНОСТИКА ТИПА ЖИДКОСТИ В ЗАКРЫТОМ ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ
3.1 Задача о закрытом вращающемся цилиндрическом сосуде, днище которого представляет собой пластину
3.1.1 Введение.
3.1.2 Постановка задачи.
3.1.3 Метод определения типа жидкости, а также условия закрепления днища на краях по ее прогибам в нескольких точках.
3.2 Идентификация удельного веса, высоты столба жидкости по прогибам гибкого днища закрытого цилиндрического резервуара в нескольких точках
3.2.1 Постановка задачи.
3.2.2 Математическая постановка обратной задачи
3.2.3 Метод определения удельного веса жидкости или вершины параболы по прогибам гибкого днища в нескольких точках.
3.2.4 О единственности решения обратной задачи
3.2.5 Устойчивость решения
3.2.6 Применение метода определения удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом вращающемся сосуде, а также условий закрепления днища сосуда.
3.3 Определение высоты столба жидкости в резервуаре, дно которого представляет собой неоднородную пластину
3.3.1 Постановка задачи.
3.3.2 Математическая постановка обратной задачи
3.3.3 Метод нахождения высоты столба жидкости и краев!,IX условий.
3.3.4 Применение метода определения высоты столба жидкости в закрытом резервуаре, а также условий закрепления неоднородного днища
3.3.5 Статическая диагностика стержня.
0.1 Актуальность темы диссертации
Работа посвящена задаче диагностики состояния закрепления резервуара с жидкостью, а также задаче идентификации параметров жидкости по прогибам резервуара в нескольких точках. Ранее подобные задачи не рассматривались.
Задачи о равновесии тонкостенных упругих элементов под действием сил со стороны жидкости исследованы в работах В.Г. Шухова, Н.Е. Жуковского, С.А. Чаплыгина, Л.Г. Лойцянского, Р.П. Кузьминой, В.М. Петрова, Ф.Л. Черноусько, М.А. Ильгамова и др. Наиболее близки но постановке задачи диагностирования закрепления стержней, пластин, мембран по собственным частотам их колебаний (см. работы A.M. Ахтямова, Г.Ф. Сафиной, Л.С. Ямиловой). Задачи рассматриваемого типа связаны также с задачами гидростатики, обратными задачами и задачами диагностики.
Задача диагностирования жидкости в закрытом резервуаре, а также закрепления резервуара по прогибам в нескольких точках даст возможность теоретического прогнозирования типа жидкости и ее объема в закрытом резервуаре, что способствует более глубокому пониманию и описанию процессов, протекающих в закрытом резервуаре. На практике могут возникнуть такие сложные ситуации, когда резервуар недоступен для визуального осмотра (например, нахождение рядом опасно для жизни человека) или его нельзя открыть (например, известно, что в нем содержится ядовитая жидкость). Именно этой важной теме - разработке методов определения жидкости в закрытом резервуаре и параметров закрепления резервуара, - и посвящена настоящая диссертация.
0.2 Цель исследования
Основной целью исследования является: постановка и решение обратных задач по идентификации удельного веса жидкости, высоты ее столба и упругого закрепления закрытого резервуара по прогибам в нескольких точках.
В соответствии с поставленной целыо определены следующие основные задачи работы:
1) разработка метода идентификации удельного веса жидкости, высоты ее столба, а также условий закрепления вертикальной стенки закрытого резервуара по ее прогибам в нескольких точках;
2) разработка метода восстановления удельного веса жидкости, высоты ее столба, угловой скорости вращения резервуара, а также условий закрепления днища по прогибам днища закрытого вращающегося цилиндрического резервуара в нескольких точках;
3) исследование зависимости прогибов стенки от И (цилиндрической жесткости), а также прогибов днища от высоты столба жидкости и ее удельного веса.
0.3 Научная новизна полученных результатов
Впервые поставлена и решена обратная задача идентификации удельного веса жидкости, высоты столба жидкости в закрытом резервуаре, его упругого закрепления по прогибам в нескольких точках. Задача исследована в случае покоя резервуара, а также в случае вращения.
Разработаны методы идентификации удельного веса и высоты столба жидкости, а так же двух или четырех краевых условий по прогибам стенки в нескольких точках закрытого резервуара . Применение методов решения задачи приведено в виде результатов численных экспериментов.
0.4 Практическая значимость результатов
Практическая ценность работы заключается в возможности теоретического прогнозирования типа жидкости в закрытом резервуаре и ее объема, что способствует более глубокому пониманию и описанию процессов, протекающих в закрытом резервуаре. Разработанные методы решения задач могут быть применены для диагностики жидкости в различных сложных ситуациях, когда резервуар недоступен для визуального осмотра (например, нахождение рядом опасно для жизни человека) или его нельзя открыть (например, известно, что в нем содержится ядовитая жидкость). А также для диагностики конструкций, составляющими которых являются резервуары.
Найденные методы учитывают случаи состояния покоя резервуара, а также случаи вращения, случаи изменения удельного веса и высоты столба жидкости. Позволяют определить различные виды упругого закрепления.
Предложенные методы решения применимы к определению нагрузки и упругого закрепления стержней, пластин и мембран но прогибам в нескольких точках.
0.5 Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены положения, выносимые на защиту.
В главе 1 дан обзор работ по изучаемой теме.
В главе 2 разработаны методы идентификации удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом резервуаре (в форме параллелепипеда), а также ширины резервуара по прогибам вертикальной стенки в нескольких точках. Определены вид и параметры упругого закрепления вертикальной стенки резервуара. Исследована задача определения удельного веса жидкости по прогибам стенки с
Рис. 1: Цилиндрический изгиб вертикальной пластины иод гидростатическим давлением цилиндрического резервуара в нескольких точках. Доказаны соответствующие теоремы о единственности решения.
В параграфе 2.1 найден метод определения удельного веса, высоты столба жидкости и ширины резервуара, а также вида и параметров закрепления резервуара (См. рис. 1) по прогибам вертикальной стенки в нескольких точках. Доказана теорема о единственности. Исследована зависимость прогиба от цилиндрической жесткости О.
Дифференциальное уравнение прогиба вертикальной стенки резервуара имеет вид: О, 2>Н (2) где И = ' Е ~~ М0ДУЛЬ упругости, к - толщина стенки, и
- коэффициент Пуассона, 7 - удельный вес жидкости, Я- высота столба жидкости G [17L/20, 19L/20]. Условие несжимаемости записано как: ydz = (L — Н) -I (3)
J о где I - ширина емкости, занятой жидкостью в недеформированном положении пластины. Краевые условия: cos а.\ ■ y(z) + sin ai • y"'(z))z=0 = 0, ai G [0, тг/2] (4) cos a2 - y'(z) + sin a2 • y"(z))z=0 = 0, a2 G [—7г/2, 0] (5) cos аз • y(z) + sin a3 • y"'(z))z=L = 0, a3 G [-тг/2, 0] (6) cos a4 • j/(z) + sin a4 • y"(z))z=L = 0, a4 G [0, тг/2] (7)
Условие гладкости в точке z = Н: у-(Н) = у+(Н) у'-(Н) = у'+(Н) у'"(Н) = у"+(Н) у'"-(Н) = у"'+(Н) (8) где y~(z) и y+(z) это функция y{z) для z < Н и z ^ Н соответственно.
Решена задача: удельный вес j, высота Н столба жидкости, ширина I резервуара, углы a¿ (г = 1,.4) краевых условий (4) ~ (7) неизвестны. Известна высота L резервуара, а также прогибы пластины в десяти точках, причем первые шесть точек G [0; 17L/20], а другие четыре G [19L/20;L] . Требуется восстановить удельный вес 7, высоту Н столба 'жидкости, ширину I резервуара, вид и параметры закрепления вертикальной стенки резервуара па краях. уГ»)
Рис. 2: Зависимость прогибов пластины от ос жесткости.
Решение обратной задачи проведено в два этапа. На первом этапе по прогибам стенки в десяти точках определяются удельный вес жидкости и высота ее столба, функция прогиба днища. На втором — по функции прогиба восстанавливаются неизвестные краевые условия боковой стенки, а из условия несжимаемости расчитывается ширина резервуара.
Доказывается теорема (о единственности решения): обратная задача о нахооюдении удельного веса жидкости, высоты ее столба, ширины резервуара, а так'же об определении краевых условий вертикальной стенки закрытого резервуара по прогибам в десяти точках имеет единственное решение.
Доказательство теоремы вытекает из условия, что А ф 0.
По результатам решения обратной задачи (2)-(8) при различном параметре И установлено, что увеличение жесткости пластины ведет к уменьшению прогибов.
Например, для параметров системы Ь = 5 м, /г = 0,01 м, Я = 18/4 и краевых условий: 100 • у~(0) + у~'"(0) = 0, у~"(0) = 0,
20 ■ у+(5) + у+"'(5) = 0, у+/(5) = 0, означающих упругое закрепление обоих концов стенки, па (рис. 2) рассмотрен график зависимости первых шести значений прогибов от цилиндрической жесткости стенки, остальные четыре прогиба имеют такую же тенденцию.
Подробные значения для двух точек прогиба 7/1(2) и 7/10(2) приведены в таблице, характер изменения остальных прогибов аналогичен:
Е, Ю10 Н/м2 и Б ы = У( I) Ую = 1/(1)
39 (вольфрам) 0,29 35484,22 0,00011 0,0000061
20,6 (сталь) 0,28 18627,03 0,00021 0,000011
12,3 (медь) 0,35 11680,91 0,00033 0,000019
10,8 (серый чугун) 0,22 9457,76 0,00042 0,000024
7,9 (серебро) 0,37 7627,54 0,00050 0,000028
7,3 (дюралюминий) 0,34 6878,49 0,00056 0,000031
7,1 (алюминий) 0,34 6690,03 0,00057 0,000032
В параграфе 2.2. поставлена и решена задача о восстановлении удельного веса жидкости в цилиндрическом резервуаре, по прогибу его вертикальной стенки в одной точке.
Дифференциальное уравнение прогиба стенки цилиндрического сосуда имеет вид: йАу{г) „л л 4 3 4 12" 7 /Л\ 4 • а • 9 = т • г, ^ = ^ т< = ^ (9) где 7 - удельный вес жидкости, Е - модуль упругости материала стенки, к - толщина стенки, Я - средний радиус. Краевые условия о у&)
Г ттт ттт Г
11
Рис. 3: Вид вращающегося сосуда, днище которого пластина (мембрана). представлены как: у(0) = 0, т/(Я) = 0, у'(0) = 0, у'(Н) = 0.
Исследована задачи: Удельный вес жидкости неизвестен. Известен прогиб стенки в одной точке. Найтг17 - удельный вес э/сидко-сгпи, функцию прогиба стенки резервуара, если известно значение прогиба у(гь) в одной точке г^ (к = 1).
Формулируется теорема о единственности решения задачи о нахождении удельного веса жидкости в закрытом цилиндрическом резервуаре по прогибу вертикальной стенки резервуара в одной точке.
В главе 3 исследованы обратные задачи идентификации высоты столба жидкости и угловой скорости вращения закрытого цилиндрического резервуара, а также условий закрепления днища по прогибам в нескольких точках. Найден метод восстановления удельного веса жидкости и высоты ее столба, а также условий закрепления гибкого днища но прогибам в нескольких точках. Исследована задача о восстановлении высоты столба жидкости в закрытом резервуаре, а также краевых условий днища по прогибам неоднородного днища в нескольких точках. Доказаны соответствующие теоремы о единственности решения.
В параграфе 3.1. исследована задача о закрытом вращающемся цилиндрическом резервуаре, днище которого пластина (См. рис. 3). Установлено, что но прогибам днища в нескольких точках высота столба жидкости и угловая скорость вращения, а также закрепление днища восстанавливаются однозначно. Рассмотрены случаи когда, цилиндрический резервуар вращается и покоится.
Уравнение поверхности жидкости во вращающемся цилиндрическом резервуаре в неинерционной системе отсчета имеет вид: Я (г) = ^ ■ г2 + Яо, где Яо - вершина параболы, т - угловая скорость вращения, г - радиус днища.
На (рис. 4) при радиусе дна цилиндрического резервуара г—5 м, вершине параболы в Яо=2 м, исследована зависимость высоты жидкости от угловой скорости вращения, из таблицы видно, что с возрастанием угловой скорости вращения высота столба жидкости в сосуде растет и парабола становится более вытянутой: т (обор/сек) \у=4 \у=0
Я (м) Н=33,89 Н= 22,41 Н= 13,48 Н= 2
Дифференциальное уравнение прогиба днища цилиндрического резервуара имеет вид: + (Ю) где В - цилиндрическая жесткость, ги - угловая скорость вращения, 7 - удельный вес жидкости, Яо — вершина параболы.
F J g 180
I uo 1 120 S «о
11?,5
§ 80■ 803
60 / g i« / о
3 4 5
Угловая скорость вращения
Рис. 4: Зависимость высоты столба жидкости от угловой скорости вращения.
Краевые условия днища: eos ai • у (г) - sin ai • y'"(r))r=-L = 0, аг в [0, тг/2] (И) (cos a2 • у'(г) - sin a2 • /(r))r=L = 0, a2 e [0, тг/2] (12)
Решена задача: Найти высоту столба оюидкости Hq и угловую скорость вращения основания цилиндрического резервуара, a manotee закрепление днища (т.е. углы а\, а2 из (2)-(3)), если известны диаметр емкости и значения прогибов y{rk) в нескольких точках
Обратная задача решается в два этапа. На первом этапе по прогибам стенки в нескольких точках определяется высота столба жидкости, угловая скорость вращения, функция прогиба днища. Задача решена в случаях т — 0 и ш ф 0. На втором — по функции прогиба восстанавливаются неизвестные краевые условия днища.
Сформулирована теорема о единственности решения обратной задачи о нахождении высоты столба жидкости и угловой скорости вращения цилиндрического резервуара, а также об определении упругого закрепления его днища по прогибам в нескольких точках.
В параграфе 3.2. решена задача о закрытом вращающемся цилиндрическом резервуаре, гибкое днище которого мембрана (См. рис. 3). Установлено, что по прогибам днища в нескольких точках восстанавливаются удельный вес жидкости, высота столба жидкости, а также закрепление днища. Рассмотрены случаи когда, цилиндрический резервуар вращается и покоится.
Уравнение для описания малого отклонения гибкого днища цилиндрического резервуара из плоского состояния имеет вид: где некоторый угол из сегмента [0, 7г/2].
Исследована следующая задача: пайти удельный вес жидкости и высоту ее столба в цилиндрическом резервуаре, а тако/се краевые условия днища, если известны диаметр сосуда и значения прогибов днища цилиндрического резервуара у (г) в нескольких точках г/.
Метод решения задачи таков: сначала по прогибам стенки в нескольких точках определяется удельный вес жидкости, высота ее столба и функция прогиба днища. Исследованы случаи ю = 0 и т ф 0. Далее ио функции прогиба восстанавливаются неизвестные краевые условия днища.
Сформулированы теоремы о единственности решения обратной задачи определения удельного веса жидкости и высоты ее столба,
13)
Краевые условия представлены в виде: соэ 1р\ • у'(г) - вту>1 • у{г))г=-ь = о,
14)
0,3 0,25 -0,2 0,15 0,1 -0,05 0 зсСО
I—
1/4
Керосин Нефть
I— 1/2
I—
34
Рис. 5: Зависимость прогибов от удельного веса. а также вида и параметров закрепления гибкого днища закрытого цилиндрического резервуара по прогибам в нескольких точках.
В параграфе приводятся применение методов в конкретных ситуациях. Исследована зависимость прогибов гибкого днища от удельного веса жидкости. По результатам решения обратной задачи с уравнением (3) и краевыми условиями: ^ • у'{—1) — | • у(—1) = О, 1Г ' + \ ' УО) = 0 Для #0=1/2 м, Т0 - 10 Н.
Установлено, что при увеличении удельного веса жидкости в резервуаре прогибы в соответствующих точках растут (См. рис. 5). Приведем данные вычислений:
Жидкость 7 (Н/м3) т\ = \ м г 2 = \ м тъ = | м нефть 0,76 0,083 0,080 0,074 керосин 0,8 0,088 0,084 0,078 чистая вода 1 0,11 0,10 0,09
Исследовано также влияние на значения прогибов днища высоты столба жидкости. По результатам решения обратной задачи с
Рис. б: Зависимость прогибов от высоты столба жидкости, уравнением (3) и краевыми условиями: г/И)-</"(-!) = о, ^■у(1) + у'"(1) = о с параметрами системы То = 10 Н, 7=1 (вода).
Установлено, что при увеличении высоты столба жидкости в резервуаре давление на днище возрастает и днище прогибается сильнее, т.е. прогибы в соответствующих точках растут (См. рис. 6). Следующая таблица также подтверждает возрастание значений прогибов при увеличении столба жидкости:
Я0, м гз = 1
0,5 0,027 0,022 0,014
0,7 0,037 0,031 0,020
1 0,054 0,044 0,029
1,5 0,081 0,067 0,044
В параграфе 3.3. рассмотрена и решена задача о восстановлении высоты столба жидкости в закрытом резервуаре (в форме параллелепипеда) и закрепления днища, которое представляет собой неоднородную пластину по прогибам днища в нескольких точках. Показана аналогия решения задачи о восстановлении высоты столба жидкости в закрытом резервуаре и закрепления днища с задачей определения вертикальной нагрузки и условий закрепления стержня. Обе эти задачи решены методами предложенными в предыдущих параграфах [22], [23].
В заключении формулируются основные результаты работы, выносимые на защиту.
0.6 Положения диссертации, выносимые на защиту
1) математические методы определения удельного веса жидкости и высоты ее столба, а также некоторых других характеристик закрытого резервуара (в форме цилиндра, либо параллелепипеда бесконечной длины) но прогибам вертикальной стенки или днища в нескольких точках (для вращающегося и покоящегося состояний); доказательство единственности и устойчивости решений соответствующих обратных задач;
2) восстановление вида и параметров упругого закрепления вертикальной стенки или днища закрытого резервуара по прогибам в нескольких точках.
0.7 Благодарности
Исследования, представленные в диссертационной работе, проведены под руководством д.ф.-м.н., профессора Я.Т. Султанаева и д.ф.-м.н., профессора A.M. Ахтямова, которым автор выражает глубокую благодарность. Особую благодарность автор приносит чл. корр. РАН, д.ф.-м.н., профессору М.А. Ильгамову за полезные обсуждения и постановку некоторых задач.
Работа поддержана грантом: № 13/7, 170-05 (АН РБ) "Методы неразрушающего контроля механических систем", 2005г.
Заключение
Подводя итоги можно сказать, что:
1) Доказано, что по нескольким значениям прогиба стенки, либо днища закрытого резервуара с жидкостью однозначно восстанавливаются удельный вес жидкости, высота ее столба, а также условия закрепления на краях. Задача исследована для состояний покоя и вращения.
2) Установлено, что обратные задачи восстановления удельного веса жидкости, высоты ее столба, а также условий закрепления вертикальной стенки, либо днища закрытого резервуара с жидкостью являются устойчивыми.
3) Установлено, что построенный алгоритм решения обратных задач идентификации удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом сосуде адекватно описывает состояние равновесия деформированного резервуара, содержащего жидкость. Расчетами по предложенной модели показано, что с возрастанием удельного веса жидкости или высоты ее столба в резервуаре значения прогибов днища также возрастают.
1. Акуленко Л.Д., Несторов C.B. Частотно-параметрический анализ собственных колебаний неоднородных стержней// Прикладная математика и механика. 2003. Т.67. Вып. 4. С. 588 -602.
2. Ахтямов А. М. К решению обратной статической задачи // Электронный журнал "Исследовано в России", 49, с. 567-573, 2003: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/049.pdf
3. Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня но собственным частотам его изгибпых колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.
4. Ахтямов A.M. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 3. С. 325-331.
5. Ахтямов A.M., Ямилова JI.C. Диагностирование нераспадаю-щего закрепления стержня переменной жесткости// Приборы и системы. Контроль, управление, диагностика. 2006. № 2. С. 56-58.
6. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.
7. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959. 568 с.
8. Волков С.Д. Статическая теория прочности. М.: Машгиз, 1960. 176 с.
9. Геммерлинг A.B. Расчет стержневых систем. М.: Стройиздат, 1974. 207 с.
10. Гроссман Е.П., Пановко Я.Г. Упругие колебания частей смо-лета. Л., Ленинградская военно-воздушная академия. 1947.
11. Докучаев JI.B. Решение краевой задачи о колебаниях жидкости в коионических полостях// ПММ. Т. 28. Выи. 1. 1964.
12. Докучаев J1.B. Об уравнениях упругих колебаний полости, частично заполненной жидкостью// "Изв. АН СССР. Механика". 1965. № 3.
13. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.:Изд-во МГУ. 1994. 206 с.
14. Динник А.Н. Избранные труды. Т. II. Киев: Изд. АН Украинской ССР. 1955. 223 с.
15. Ильгамов М.А. Статические задачи гидроупругости. Казань: ИММ РАН. 1994. 208 с.
16. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука. 1969. 182 с.
17. Ильгамов М.А. Об устойчивости пологой панели под слоем жидкости// Труды семинара по теории оболочек. Казанск. физ.-техп. ин-т. 1973. № 3. С. 241-255
18. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука". 1970. Издание третье. 904 с.
19. Моисеев H.H. К теории колебаний упругих тел, имеющих жидкие полости// ПММ. Т. 23. Вып. 5, 1959.
20. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 439 с.
21. Новичков Ю.Н., Швейко Ю.Ю. Колебания и устойчивость двухслойной цилиндрической оболочки, в полостях которой течет жидкость// Доклады научно-технической конференции МЭИ, секция энергомашиностроительная. М.: Изд-во МЭИ. 1965.
22. Нафикова Э.Р. Решение обратной статической задачи диагностирования закрепления и нагружениости стержня// Вестник Башкирского университета. 2005. № 2. С. 12 14
23. Нафикова Э. Р. О статической диагностике закрепления неоднородного стержня и нагрузки, действующей на стержень //
24. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т. 12. № 4. С. 1046-1048.
25. Нафикова Э. Р. О статической диагностике закрепления стержня// Труды IV Региональной школы-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и фи-зике.Уфа: БашГУ. 2004. С. 165-172.
26. Нафикова Э. Р. Обратная статическая задача диагностирования закрепления мембраны и высоты столба жидкости // Труды второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Ч. 1. Самара: СГТУ. 2005. С. 195-197.
27. Нафикова Э. Р. О диагностировании закрепления изгиба вертикальной пластины // Материалы всероссийской научно-практической конференции "Наука и образование 2005". В 3-х ч.: Ч. III. Нефтекамск: БашГУ. 2006. С. 64-68.
28. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев B.JL, Боровских A.B., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах // М.: ФИЗМАТЛИТ. 2004. С. 186.
29. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений // Под ред. Ю.С. Богданова. Мн.:"Вышэйп1. школа". 1973. 560 с.
30. Ван Дер Мей К., Пивоварчик В.Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями // Функц. анализ и его приложения. 2002. Т. 36. № 4. С.74-77.
31. Сафина Г.Ф. Диагностирование закрепления трубопровода с жидкостью// Приборы и системы. Контроль, управление, диагностика. 2006. № 3. С. 59-60.
32. Сафина Г.Ф. Диагностирование относительной жесткости подкрепленных цилиндрических оболочек по собственным частотам их асимметричных колебаний// Контроль. Диагностика. 2005. № 12. С. 55-59.
33. Кузьмина Р.П. Осесимметричная задача равновесия полусферической пленки под гидростатическим давлением// Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 1. С. 125-131.
34. Кузьмина Р.П. Осесимметричная задача равновесия цилиндрической пленки под гидростатическим давлением// Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 4. С. 183-188.
35. Кузьмина Р.П., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Задачи механики гибких пленок, содержащих жидкие массы. Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука. 1975. С. 324-339.
36. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 431 с.
37. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию (Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы). М.: Наука, 1970. 672 с.
38. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы/ М.: Наука. 1969. 526 с.
39. Петров В.М., Черноусько Ф.Л. О равновесии жидкости, ограниченной гибкой пленкой// Изв. АН СССР. МТТ. 1971. № 4. С. 131-142.
40. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. / Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение. 1968. Т. 1. 831 с.
41. Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов. М.: Физматлит. 1962. 456 с.
42. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир. 1985. 589 с.
43. Рабинович Б.И. Об уравнениях упругих колебаний тонкостенных стержней с жидким заполнением при наличии свободной поверхности// "Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение". 1959. № 4.
44. Рабинович Б.И. Об уравнениях поперечных колебаний оболочек с жидким заполнением// "Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение". 1964. № 1.
45. Ржаницын А.Н. Устойчивость равновесия упругих систем. М.: Гостехтеориздат. 1955. 280 с.
46. Тимошенко С.П. Пластиикы и оболочки. Пер. с англ. М.: Го-стехиздат. 1948. 460 с.
47. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. Пер. с англ. М.: Мир. 1976. 669 с.
48. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М: Изд-во "Наука". 1971. 808 с.
49. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 416 с.
50. Шклярчук Ф.Н. О приближенном методе расчета оссиметрич-ных колебаний оболочек вращения// "Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение". 1965. 6.
51. Шмаков В.П. Об уравнениях осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с жидким заполнением// "Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение". 1964. № 1.
52. Энциклопедия для детей. Том 16. Физика. 4.1. Биография физики. Путешествие в глубь материи. Мехипическая картина мира/ Гл.ред. В.А. Володин. М.: Аванта +, 2002. 448 с.
53. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов 2001.
54. Ямилова JI.C. Восстановление краевых условий спектральной задачи по ее собственным значениям//Вестник Башкирского университета. 2005. № 1. С. 35-38.
55. Borg G. Eine Umkehriing der Sturm Liouvilleschen Eigenwertanfgabe. Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwarte // Acta Math. 1946. V. 78. M. S. 1-96.
56. Chen G., Delfour M.C., Krall A.M., Payre G. Modeling, stabilization and control of serially connected beams / / SI AM J. Control and optimization. 1987, Vol. 25. №3. pp. 526 546.
57. Chen G., Krantz S.G., Russell D.L., Wayne C.E., West H.H., Coleman M.P. Analysis, Designs and Behaviors of Dissipative Joints for Coupled Beams // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1989. Vol. 49. №6. pp. 1665 1693.
58. Dekoninck В., Nicaise S. The eigenvalue problem for networks of beams // Linear algebra and its applications. 2000. Vol. 314. pp. 165 189.
59. Frikha S., Coffignal G., Trolle J. L. Boundary condition identification using condensation and inversion //J. Sound and Vib. 2000. V. 233. No. 3. P. 495-514.
60. Kerr A.D., Coffin D.W. On membrane and plate problems for which the linear theories are not admissible// J.Appl. Mech. 1990, Vol. 57. № 1. P. 128-133.
61. Lindholm U.S., Kana D.D., Abramson H.N. Breathing vibration of a circular cilindrical shell with an internal liquid. J.Aerospace Scl., v. 29, n. 9, 1962.
62. Wen-Hwa-Chu. Breathing vibration of a partially filled tank-linear theory. Journal of Appl. Mech., v. , n. 4, 1963.
