Нелинейные колебания газа в областях с подвижными границами

Аганин, Александр Алексеевич

Нелинейные колебания газа в областях с подвижными границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Аганин, Александр Алексеевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Нелинейные колебания газа в областях с подвижными границами»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные колебания газа в областях с подвижными границами"

На правах рукописи

РГБ ОД-

АГАНИН Александр Алексеевич

2 4 РИВ 2000

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА В ОБЛАСТЯХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Специальность: 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Уфа-2000

Работа выполнена в Институте механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Ш. Шагапов

доктор физико-математических наук, профессор В.М. Головизнин

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Житников

Ведущая организация:

Казанский государственный энергетический институт

Защита диссертации состоится " О " февраля 2000г. в "1500" часов на заседании диссертационного Совета Д 064.13.07 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г.Уфа, ул.Фрунзе, 32, в аудитории 216 физико-математического корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " С> " января 2000г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, профессор

Л.А.Ковалева

А -'

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При нелинейных колебаниях газа могут возникать ударные волны, средние течения, вихревые структуры и т.д. Недостаточный учет этих и других связанных с нелинейными колебаниями эффектов при разработке технических устройств может приводить к резкому сокращению сроков их функционирования, к возникновению аварийных ситуаций. Так па-пример, колебания в трубопроводных системах транспортировки газа или нефти в результате работы насосов или компрессоров могут привести к разрыву трубопроводов. В ракетных двигателях на твердом топливе возможно возникновение режимов вибрационного горения, приводящих к разрушению двигателя. Известны примеры вредных последствий схлопывания пузырьков газа в жидкости. Наиболее часто они проявляются в гидравлических системах. В частности, схлопывающиеся пузырьки вызывают эрозию внутренних поверхностей таких систем, что сокращает сроки их эксплуатации.

Целенаправленное применение особенностей резонансных колебаний газа и сопровождающих их явлений может приносить значительную пользу. Некоторыми примерами тому являются: холодильные установки, использующие термоакустический эффект в закрытой резонансной трубе; малогабаритные элементы струйной автоматики и измерительной аппаратуры, использующие эффект акустического течения около объемных резонаторов; горелки, технологии сушки и утилизации пастообразных сред, использующие эффект пульсирующей струи во внешнем поле открытой резонансной трубы; медицинская аппаратура для дробления камней во внутренних органах человека без хирургического вмешательства, в которой используется эффект несимметричного схлопывания пузырьков с образованием высокоскоростных струй в ходе колебаний пузырьков в жидкости.

Новые знания об особенностях нелинейных колебаний газа могут быть хорошей основой как для увеличения эффективности существующих, так и для создания новых перспективных приложений. Поэтому можно заключить, что тема настоящей работы является актуальной.

Целью работы является изучение особенностей интенсивных нелинейных колебаний газа в областях с подвижными границами на основе численного интегрирования уравнений газовой динамики в форме законов сохранения.

Научная новизна работы состоит в: - методике численного моделирования нелинейных колебаний газа в областях с подвижными границами на основе уравнений газовой динамики в форме законов сохранения;

- установленных особенностях влияния нагрева газа ударными волнами на развитие нелинейных колебаний газового столба в закрытой трубе при периодическом движении поршня;

- выявленных закономерностях нелинейных колебаний газового столба в закрытой трубе при непериодическом резонансном возбуждении;

- модели динамики пузырька газа в жидкости, сочетающей уравнения газовой динамики и их приближения;

- установленных особенностях схлопывания сферического пузырька газа в ходе его колебаний в центре сферического объема жидкости;

- результатах численного моделирования средних течений и волн около вы-_ходных. отверстий объемных резонаторов;---

- результатах численного моделирования пульсаций газа во внешнем поле открытой резонансной трубы.

Достоверность результатов обеспечивается математической постановкой, основанной на общих законах механики сплошной среды, применением разных методов численного решения, согласованием полученных численных решений ряда частных задач с известными аналитическими решениями, численными решениями и экспериментальными данными других авторов.

Практическая значимость работы. Разработанная методика расчета и результаты проведенных исследований могут использоваться при проектировании новых волновых аппаратов и технологий горения, сушки, распылива-ния, сильного сжатия, при создании элементов струйной автоматики.

Апробации работы. Материалы работы обсуждались на следующих семинарах и конференциях: семинар академика Х.А.Рахматулина, НИИ механики МГУ, Москва (1984); семинар академика А.А.Самарского, кафедра вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, Москва (1984); VI Всесоюзная школа "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", Горький (1986); Всесоюзная летняя школа по теории взаимодействия, Казань (1986); VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Ташкент (1986); семинар НИИ Механики при ГГУ, Горький (1986); семинар в Институте прикладной механики АН СССР под рук. проф. В.И.Кукуджанова, Москва (1986); семинары аэродинамического отдела НИИ автоматических устройств, Москва (1982-1987); семинар филиала Института атомной энергии им. И.В.Курчатова под рук. проф. В.Е.Трощиева, Троицк (1986, 1987); Итоговые конференции КФТИ и ИММ КФ АН СССР / КНЦ РАН (1981-1991); семинар на факультете аэродинамики Нанкинского авиационного института, Нанкин, Китай (1990); семинары отдела МСС КФТИ и

ИММ КФ АН СССР / КНЦ РАН (1984-1992); Международная конференция по методам аэрофизических исследований, Новосибирск (1994); V Всероссийское совещание "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики", Казань (1994); I Поволжская научно-техническая конференция, Самара (1995); Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", Казань (1995); Международная научно-техническая конференция "Модель-Проект - 95", Казань (1995); Международная конференция "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", Новосибирск (1996); Международный научно-технический семинар "Новые технологии-96", Казань (1996); Int. Conf. "Mean flow effects in acoustics", Keele, England (1996); First Russia-Japan Joint Simposium on Computational Fluid Dynamics, Novosibirsk (1996); Республиканская научная конференция "Проблемы энергетики", Казань (1997, 1998); IV Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань (1997); First Int. Workshop ICE'97, Predeal, Romania (1997); семинар академика Р.И.Нигматулина, Уфа (1997-1999); Всероссийская конференция "Краевые задачи и их приложения", Казань (1999).

Объем и структура работы. Публикации. Диссертация изложена на 272 страницах машинописного текста, состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 103 рисунка. Список литературы включает 258 наименований. Основные результаты опубликованы в 33 работах, список которых приводится в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определены цель, актуальность, научная новизна и практическая значимость работы. Дан краткий обзор исследований нелинейных колебаний газа в областях с подвижными границами. Основное внимание уделяется работам, в которых изучаются колебания во внутренней полости осе-симметричных резонаторов и возле их выходного отверстия, если таковое имеется. Колебания возбуждаются возвратно-поступательным движением одной из стенок резонатора. К настоящему времени наиболее полно изучены периодические режимы колебаний газового столба в закрытой трубе при относительно небольших амплитудах возбуждения. При теоретическом исследовании, как правило, применяется предположение о постоянстве энтропии на ударных волнах. Основным методом анализа является метод малого параметра. Внешнее нелинейное волновое поле изучено меньше. В основном для этого используется экспериментальный метод. В последнее время значительное внимание уделяется нелинейным колебаниям одиночного пузырька газа в

жидкости. Большинство результатов в этой области получено экспериментально или теоретически на основе модели Рэлея-Ламба-Плессета.

В перечисленных задачах особый интерес представляют режимы интенсивных колебаний, сопровождающиеся, как правило, ударными волнами. Обычно интенсивные колебания достигаются при относительно больших перемещениях стенок резонатора. Поэтому для их теоретического анализа необходимо применять уравнения газовой динамики с учетом перемещений границ расчетной области. В общем случае при такой постановке решение находится численно. Во введении дается краткий обзор существующих численных методов решения задач газовой динамики с подвижными границами. Известные подходьгможно~разбитьналагранжевые, эйлеровые и смешанные эйлерово-лагранжевые. Обсуждаются их преимущества и недостатки. При больших перемещениях или формоизменениях границ расчетной области может возникать необходимость в изменении структуры расчетной сетки. В таком случае перевод решения с одной сетки на другую выполняется интерполяцией. Обсуждаются существующие методы интерполяции.

В первой главе излагаются основные положения методики расчета нелинейных колебаний газа в областях с подвижными границами. В методике используются две модели динамики среды. Первая модель представляет собой систему уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и полной энергии. Вторая отличается от первой тем, что последнее уравнение в ней выражает сохранение энтропии. Обе системы в виде векторного уравнения можно записать следующим образом

(1)

где

(2)

Тогда первой модели соответствуют выражения

д4 =Е, /4 = £(£ +£хи+ауь)+р(£хи+4уу),

g4 = Е(ъ+т]хи+т]уи)+р{?]хи+Г) у п)

(3)

и уравнение состояния вида

р = р{р,Е).

(4)

Второй модели соответствуют выражения

q4=pS, f4=pS({t+%xii+Zyv), g4 = pS(flt+ t]xu+rjyv) (5) и уравнение состояния вида

p = p(p,S). (6)

В (1)-{6): х, у, t- эйлерова или неподвижная система отсчета (х, у -пространственные координаты, t— время), р- плотность, и, и-компоненты вектора скорости среды и относительно эйлеровых координат х, у, соответственно, р- давление, Е- удельная (на единицу объема) полная энергия,

5 = S(S)- энтропийная функция, 5- энтропия, е - е - и2¡2- удельная (на единицу массы) внутренняя энергия (е = Е(р), if, 7, г- смешанная эйлеро-во-лагранжева (СЭЛ) или подвижная система отсчета (£, tj- пространственные координаты, т- время), ха - х в степени а (а= 0,1,2 для плоской, осе-симметричной и сферически симметричной постановок задачи, соответственно), нижние индексы х, у, t, 7, г означают частные производные (£х = бх и т.д.), а верхний индекс Г- операцию транспонирования.

Связь между эйлеровыми и СЕЛ координатами имеет вид х=х(%,т],т), у=у(£,т},т), t = г;

^t=(~xTyn+yTxn)/h, 4x = yn/h, ty=-xn/h-

где h~[xy^ якобиан преобразования.

Векторы t и W учитывают влияние вязкости и теплопроводности, соответственно. В постановке большинства рассматриваемых задач полагается

t=0, W=0.

В этих задачах обобщенные решения систем (1.1)-( 1.4) и (1.1), (1.2), (1.5), (1.6), о которых в настоящей работе идет речь, различаются лишь в задачах с ударными волнами. Иногда векторы t и W используются в качестве механизмов подавления нефизических осцилляции численного решения. В таких случаях конкретный вид выражений векторов t и W зависит как от рассматриваемой задачи, так и от используемого метода ее решения.

В плоскости х, у расчетная область представляет собой совокупность криволинейных четырехугольников (зон). Принимается, что координатные линии const и rj= const подвижной системы отсчета £,77,г при любом г проходят в плоскости х, у вдоль сторон зоны. При этом противоположные

стороны зоны являются отрезками координатных линий одного и того же семейства. Сторонами зон могут быть элементы жесткой стенки, стыка с соседней зоной (внутренней искусственной границы), границы раздела фаз (жидкости и газа), внешней искусственной границы, поверхности мягкой оболочки и др. Важно отметить, что стороной зоны может быть только элемент границы одного типа. Тип границы определяется способом ее обработки, который в значительной степени зависит от используемых на ней граничных условий. Не допускается, чтобы одна часть стороны зоны была, например, элементом искусственной границы, а другая - элементом жесткой стенки. Основными условиями для сторон зоны в методике являются: условия непротекания на твердой стенке; условия на контактном разрыве (границе раздела фаз); условия на внутренней искусственной границе; условия на свободной поверхности; условия на бесконечности.

В методике используются три численных метода решения уравнений газовой динамики: локально-характеристический метод, обладающий свойством ТУО (неувеличения полной вариации решения), метод распада разрыва и произвольный лагранжево-эйлеров метод. Применение разных методов важно для контроля достоверности получаемых результатов. Пусть а—О, геометрические параметры <ЦХ, Т]х, 7]у являются константами, а

газодинамические переменные р,и, V, в изменяются только по оси Тогда уравнение (1) можно записать в виде

Чг+*# = 0. (7)

где векторы ц, { определяются выражениями (2), в которых у4, /4 заданы выражениями (3) или (5). Уравнение (7) эквивалентно уравнению

ЧГ+АЧ^ = 0 (Л=<?Г/<?ч). (8)

Для использования локально-характеристического метода необходимы параметры перехода от уравнения (8), записанного относительно вектора переменных Ч, к уравнению

\гт н-сПаЕ^а"1=0 (т=Щ,

/12 3 4\Т

где \у=ш),ш I - вектор характеристических переменных,

атдиагональная матрица, т-тым элементом главной диагонали которой является ат- собственное значение матрицы А. Такими параметрами являются собственные значения ат, матрицы \.=ду/1 и R = дq/дw,

такие, что Я = Ь '.В работе дается вывод этих параметров для у4, /4, заданных как выражениями (3), так и (5) при соответствующих уравнениях состояния общего вида (4) и (6).

Для применения метода распада разрыва необходимы решения задач о распаде разрыва. В настоящей работе с этой целью получены и используются решения задач о распаде плоского разрыва в рамках системы (7), (2), (3), замыкаемой уравнением состояния вида

(9)

в предположении Ыг}= 0, к системы (7), (2), (5), замыкаемой уравнением состояния вида

р=(рА~Ь)'у8-В. (10)

Из выражения (9) следуют: уравнение состояния идеального газа р ={у при Ь= О, А] =0; уравнение состояния газа Ван-дер-Ваалъса

р = (у-\)р£/(1-рЬ) при =0, где у- показатель адиабаты, Ь = 1/ртах , Ртах~ максимальное значение плотности газа; уравнение состояния жидкости р=(Г-\)р£+к1{р-к.2) при у — Г, Ь = 0, где Г, Щ, /г2- константы жидкости.

При использовании расчетных сеток, согласованных с геометрией подвижных границ вычислительной области, может возникать необходимость в переходе на новую сетку, отличную от старой по количеству ячеек, их местоположению или порядку нумерации. В рамках обычных эйлерово-

а)

б)

Рис. 1

лагранжевых методов такой переход выполнить невозможно. С этой целью в методике используется метод консервативной интерполяции.

Задача консервативной интерполяции состоит в том, чтобы в результате

интерполяции масса произвольной ячейки и новой сетки была равна сумме

масс кусочков (5*у = и ПСг>/- ячеек Ст^ старой сетки, составляющих ячейку

О* (рис.1а, кусочки заштрихованы). Естественной последовательностью решения задачи консервативной интерполяции является (а) определение масс

а ^

каждого кусочка и (Ь) их последующее суммирование. Однако такой способ трудно реализуем алгоритмически в силу большого разнообразия форм кусочков 0*1. Поэтому в методе консервативной интерполяции используется другой подходГОсновная его идея состоит в применении последовательности точек п = 1, N + 1, Л] = Лдг+]| (рис.1б, N=8) включающей

вершины ячейки и и точки пересечения ее сторон со сторонами ячеек старой сетки, занумерованных вдоль контура ячейки и, и взаимнооднозначного отображения ячеек Оц на прямоугольники с вершинами (г, /), (г + 1,/), (г + 1,/ + 1), (г,/+1). Тогда в плоскости х,у каждому отрезку АпАп+х, П — можно поставить во взаимно-однозначное соответствие некоторую подобласть (на рис.1б она заштрихована), состоящую из четырехугольников (и, возможно, одного треугольника), так что масса ячейки и

будет равна алгебраической сумме масс таких подобластей, взятых со знаками (+) или (-).

Во второй главе приводятся основные элементы методики расчета: алгоритм построения сеток, алгоритмы расчета методом распада разрыва, локально-характеристическим методом и произвольным лагранжево-эйлеровым методом, алгоритм консервативной интерполяции. Дается анализ порядка точности и ТУЮ свойства разностной схемы для нелинейного уравнения переноса, лежащей в основе алгоритма локально-характеристического метода. Представлен вывод используемых в этом алгоритме параметров вспомогательного среднего состояния для выражений векторов численного потока.

Гибкость алгоритма построения сеток достигается за счет применения зонного принципа (расчетная область разбивается на ряд криволинейных четырехугольных зон относительно простой геометрии) и включения возможности использования разного числа ячеек вдоль границы соседних зон. Допускается разное положение граничных узлов соседних зон, расположенных с разных сторон жесткой стенки. В результате этих особенностей алгоритма

построения сеток генерация сеток выполняется в методике довольно быстро даже во многих случаях областей сложной геометрии.

Алгоритмы метода распада разрыва и локально-характеристического метода даны как для системы (1)-(3), так и системы (1), (2), (5). При этом используемые в алгоритме метода распада разрыва уравнения состояния ограничены выражениями (9) в системе (1)-(3) и выражениями (10) - в системе (1), (2), (5). В алгоритме локально-характеристического метода таких ограничений нет. Уравнения состояния в нем имеют общий вид (4) в первой системе и (6) - во второй.

Особенность алгоритма метода распада разрыва состоит в том, что среды (газ, жидкость), расположенные по разные стороны от начального разрыва, могут отличаться как уравнениями состояния, так и уравнениями динамики. Алгоритм локально-характеристического метода является обобщением Т\Т) схемы для одномерного нелинейного уравнения переноса. Показано, что в эйлеровом случае на гладких решениях на равномерной сетке вне экстремальных точек эта схема имеет второй порядок точности. В локально-характеристических ТУО схемах обычно для эффективного расчета ударных волн используется специальным образом подобранное вспомогательное среднее состояние. В работе дается вывод параметров вспомогательного среднего состояния как для системы (7), (3), (4), так и системы (7), (5), (6), замыкаемых соответствующими уравнениями состояния общего вида.

Основные отличия произвольного лагранжево-эйлерова метода от метода распада разрыва и локально-характеристического метода состоят в том, что в нем (а) используется расщепление на три фазы: явную лагранжевую, неявную лагранжевую и эйлеровую и (Ь) часть переменных (векторы количества движения и скорости) принимаются среднеинтегральными на ячейках вспомогательной сетки, образованных диагоналями ячеек основной сетки.

Алгоритм консервативной интерполяции состоит из трех частей. В первой части определяется функция плотности в ячейках старой сетки. Во второй части для очередной ячейки и новой сетки определяются параметры, необходимые для расчета ее массы. В частности, формируются последовательность {(хп,уп),п=1,М+1,(хы+1,уы^1)=(х1,у1)^ координат точек А„ и

последовательность {(г„,у'„), п = 1,Ы} индексов ячеек старой сетки, содержащих отрезки Ап Лл+1. Устанавливается параметр 1т = птщ_гл. В третьей

части алгоритма производится расчет массы ячейки и .

Третья глава посвящена оценке эффективности принятых в методике алгоритмов и реализующего их программного комплекса. Для этого в основном применяются задачи, имеющие аналитические решения. Приводятся решения задач о распаде разрыва, о слете холодного газа к точке, о сходящемся сферическом поршне, о сверзвуковом обтекании клина и конуса, о раскрытии парашюта в потоке газа. В задаче о слете холодного газа к точке динамика газа описывается уравнениями

(рг2)+(рг2и)г= О, (рг2и)+(рг2и+рг2)г = 2гр, (11) -(РЛ)г+{г2(р±Е)и}7=0--

где г - пространственная координата, отсчитываемая от точки, к которой слетается газ, р = (у-\)р£. Условия на бесконечно удаленной границе имеют

вид р(«з,£) = р°, р(оо,£) = 0, ц(ооД)-ц°. При £=0 имеем р(г,0) = р°,

р(г,0)=0, и(г,0) = и° <0.

На рис.2а представлено пространственное распределение плотности р

на момент времени £ = 0.6, полученное при у = 5/3, р° = 1, и0 = -1. Сетка равномерная, подвижная, г° =1. Правая граница является лагранжевой. Сплошные кривые без символов - аналитическое решение, кривые с символами - численное. Кривые с кружочками и звездочками получены на сетках из 100 и 200 ячеек соответственно. При хорошем согласовании кривых давления (на рисунке не представлены) наблюдаются большие расхождения расчетных и аналитических кривых плотности в окрестности точки г=0. Например, в ячейке, примыкающей к этой точке, плотность на сетке из 100 ячеек превышает точное значение более чем в 3.5 раза.

240 160 80

Рис.2

Для сближения численного решения с аналитическим использовались искусственные вязкость и тепловой поток. Удовлетворительные результаты достигнуты при искусственной вязкости, уравнение движения с учетом которой имеет вид

(рг2и){ +(рг2+рг2и2}г = 2 рг + 2г{тгг-г»),

где тгг-г" = 2р(иг-и/г), р={к^иг при иг<0, р=0 при иг>0. Здесь безразмерный коэффициент; I- параметр, обычно равный текущему размеру ячейки. Уравнение энергии с искусственным тепловым потоком имеет вид

(Ег%+[гЦр + Е)и\=(кеггг%,

где к£ =(кк1)риг при иг<0; лгг = 0 при иг>0. Здесь кк~ безразмерный коэффициент. Результаты расчетов с использованием искусственных вяз-

кости и теплового потока на сетке из 300 ячеек при = 0.1 (другие параметры те же, что и выше) приведены на рис.2б. Как видно, согласование расчетной и аналитической кривых вполне удовлетворительное.

В задаче о сходящемся сферическом поршне до начального момента времени / = 0 сферический поршень и газ, заключенный внутри отграничиваемого им объема, находятся в покое. При < = 0 поршень мгновенно приобретает скорость в направлении центра сферического объема. Для описания

динамики газа используются уравнения (П.). При / = 0 имеем р{г,0) = р°,

/?(/",/)=р°, и(г,0) = 0 при 0<г<л°, где г0- начальное положение поршня,

и(г° ,0^=ир, ир< 0 - скорость движения поршня. В результате мгновенного

изменения скорости поршня при < = 0 возле него возникает сходящаяся ударная волна. В интервале времени, в котором в небольшой окрестности точки г-0 находятся сходящаяся или расходящаяся ударные волны, эта задача является автомодельной.

На рис.3 представлены пространственные распределения давления р и

плотности р при /=1.4, р° =1, р° = 0.71428, ир=-0.5, ¿2=0.067. При

/ = 0 расчетная область 0 < г < 1 покрывалась сгущающейся к полюсу по геометрической прогрессии вычислительной сеткой из 800 ячеек. Размер ячейки возле полюса составлял 5-10"^. Использовались лагранжевы координаты (гг=ы). Расчетные кривые с символами относятся к одному моменту времени до (кривые 1) и трем моментам после (кривые 2-4) фокусировки ударной волны в полюсе. Сплошные кривые 1 - автомодельное решение, соответствующее расчетным кривым 1. Расхождение расчетных и автомодель^, ных кривых 1 слева от области касания их графиков плотности объясняется численным размазыванием фронта ударной волны, а справа - тем, что с увеличением г само решение задачи все более отклоняется от автомодельного.

Для кривых плотности 2-4 на фронте ударной волны отношение р\ /р\ (р\,

р\ - плотности газа перед и за фронтом расходящейся ударной волны) примерно равно 2.2 (в автомодельном решении 2.3). Можно заключить, что согласование численного и автомодельного решений удовлетворительное.

Задача раскрытия парашюта в потоке газа характеризуется большими перемещениями и формоизменениями купола. Поэтому она применяется для оценки эффективности работы алгоритмов построения сеток и консервативной интерполяции. В этой задаче динамика газа описывается следующей системой уравнений

(рха\ + (рхаи)х+(рхау)у = 0,

{рхаи)( + (рхаи2 + рх}^ + (рхат} = архаА, (12)

(рхаи)( + (рх"ии)х + (рхаи2 +рха)у= о, (Еха)(+[(Р + Е)х"и]х+[(Р + Е)хаа\у=0,

в которых р=(у-[)рЕ, /=1.4, а=1. Динамика парашюта описывается уравнениями осесимметричного парашюта модели Х.А.Рахматулина. Система замыкается соответствующими кинематическими и динамическими условиями. Рассматриваются сверхзвуковой (М00 = 3) и дозвуковой (Л^ = 0.1) режимы раскрытия. В первом случае ход раскрытия определяет ся выходом из под купола парашюта ударной волны, возникающей в первые моменты раскрытия. Во втором случае раскрытие определяется периодическим обменом массами газа между областью под куполом парашюта и внешним простран-

Рис. 4

ством. На рис.4 показаны фрагменты полей векторов скорости в три момента времени при М^—3 (верхний ряд) и М,л = 0.1 (нижний ряд). Поток газа движется слева направо. Векторы скорости указаны стрелками, начало которых располагается в узлах расчетной сетки. На обоих режимах качество сетки со временем почти не изменяется. Изменение числа ячеек в области под куполом свидетельствует об изменении структуры сетки и о применении консервативной интерполяции. Контроль выполнения законов сохранения показал, что при проведении интерполяции свойство консервативности выполняется с точностью до погрешностей машинного округления.

В четвертой главе приводятся результаты исследования нелинейных колебаний газового столба в закрытой трубе при периодическом возбуждении поршнем (рис.5а) и непериодическом резонансном возбуждении внешним давлением (рис.56). В литературе обычно изучаются периодические колебания при периодическом возбуждении без учета нагрева газа ударными

а) б)

Рис.5

волнами. В настоящей работе этот эффект исследуются для случая теплоизолированного газового столба. С этой целью используются модель с сохранением полной энергии. Для сравнения применяются решения по модели с сохранением энтропии, в которой средняя температура газа в трубе остается неизменной. При периодическом возбуждении (рис.5а) рассматриваются гар-

монические колебания поршня на частотах в окрестности линейного резонанса при амплитудах хождения поршня I порядка 10"3 и 10"2 длины трубы Ь. Для контроля правильности результатов проводилось сравнение полученных в расчетах временных зависимостей давления около неподвижного конца трубы на установившемся режиме с известными теоретическими и экспериментальными данными. Установлено удовлетворительное согласование.

«/¡5-0.80

а) б)

Рис. 6

Исследования показывают, что при //¿~10"3 различие решений с учетом и без учета изменения температуры газового столба в результате прохождения ударных волн не превосходит 5%. Это относится как к переходному, так и установившемуся режиму. При 1)Ь~ Ю-2 решения с учетом (рис.ба) и без учета (рис.66) нагрева газа в трубе ударными волнами сильно различаются. Без учета этого эффекта на частотах в окрестности резонанса после сравнительно небольшого времени наступает установление. Его можно рассматривать как следствие баланса между энергией, подводимой поршнем в трубу в результате совершаемой работы, и энергией, теряемой системой на скачках уплотнения из-за предположения о сохранении энтропии.

При учете нагрева газа ударными волнами режим колебаний является существенно неустановившимся. При частотах 1.1 <©/¿2<1.15, где со, Г2-частота возбуждения и резонансная частота, соответственно, наиболее интенсивные изменения происходят после завершения начальной фазы переходно-

го процесса (рис.ба, со//2=1.13). При пренебрежении нагревом газа ударными волнами амплитудно-частотная зависимость после относительно небольшого начального интервала времени в последующем не изменяется, а в постановке задачи с учетом нагрева ее максимум увеличивается, сдвигаясь вдоль оси частот в сторону больших значений.

При непериодическом резонансном возбуждении уравнение движения имеет вид

¿и„

■р + М = Рт - Рех,

Рех = Р°+ЛРех ПР11 рех = р°-Лре

Р 1

-ех ПРИ °р <0. (13) Здесь т.р- масса поршня, отнесенная к площади поперечного сечения канала трубы, ¡л*- коэффициент трения, ур- скорость движения поршня вдоль оси

у; рех, р-т- внешнее и внутреннее давления на поршень, Лрех- амплитуда колебаний внешнего давления. В соответствии с (13) возбуждение колебаний газа в трубе происходит согласованно с движением поршня: внешнее давление рех имеет большее значение при сжатии газового столба и меньшее -при его расширении. 3

Исследования показали, что колебания газа в трубе при непериодическом возбуждении (13) приобретают ряд особенностей, существенно отличных от тех, что имеют место при гармоническом изменении внешнего давления. В случаях, когда трение поршня о стенки трубы не учитывается, периоды колебаний и максимальные значения пиковых температур быстро и неограниченно возрастают (рис.7, сплошные и пунктирные кривые - решения с учетом и без учета нагрева газа ударными волнами, соответственно). При этом минимальные значения температуры на фазе разрежения и длины газового столба на фазе сжатия в модели без учета нагрева газа ударными волнами (модель с сохранением энтропии) от периода к периоду уменьшаются, а в модели его учетом (модель с сохранением полной энергии), наоборот, увеличиваются. С уменьшением массы поршня по отношению к массе газового столба ударные волны в трубе возникают

Ю/(2п)

Рис. 7

быстрее. Амплитуды колебаний температуры и длины газового столба, а также их максимальные значения, уменьшаются. Это означает, что с уменьшением массы поршня доля механической энергии, преобразующейся в тепловую, увеличивается. Учет трения поршня о стенки трубы в рамках обеих моделей при отсутствии ударных волн в газовом столбе приводит к выходу системы на периодический режим. При наличии ударных волн режим периодических колебаний наступает лишь в модели, предполагающей отсутствие нагрева газа ударными волнами. В модели, учитывающей нагрева газа ударными волнами, амплитуда и период колебаний, а также минимальные значения-температуры-и длины газового столба продолжают-медленновозрастать__

В пятой главе рассматривается динамика сферического пузырька газа в центре сферического объема жидкости (рис.8) при идеальных моделях обеих сред. Колебания возбуждаются давлением, гармонически изменяющимся на

внешней поверхности жидкой сферы: pex(t) = р®х - Арех sin coi, р®х = рех(0),

где Арех- амплитуда колебаний. В последнее время большое внимание привлекают режимы колебаний пузырька газа в жидкости с ударными волнами. В таких задачах модели, в которых для описания газа используются уравнения газовой динамики, а перемещение поверхности пузырька рассчитывается по уравнению Рэлея-Ламба-Плессета, оказываются недостаточно точными, так как ударные волны могут возникать не только в пузырьке, но и в окружающей жидкости. Поэтому в общем случае для описания обеих сред необходимо применять уравнения газовой динамики (11), решение которых находится численно. Вместе с тем такой подход требует значительных потребностей компьютерного времени из-за больших различий физических характеристик газа и жидкости, радиусов пузырька и объема окружающей жидкости. В настоящей работе развивается модель динамики сферического пузырька газа в центре сферического объема жидкости на режимах с образованием ударных волн, обладающая высокой экономичностью (с вычислительной точки зрения ) и хорошей точностью. Эти качества достигаются за счет совместного применения уравнений газовой динамики (11) и их приближений: для газа в пузырьке используется гомобарическое приближение

— + и—+иг +—=0, рг =.0, р = р{р), (14)

Р Р г

Рис.8

для жидкости в ближней зоне - приближение малосжимаемой жидкости иг^=Ь,щ+ииг+^=0,р-р° =(с«)\р-р°)

для жидкости в дальней зоне - акустическое приближение 2и г

Р\ г Р[

(16)

Здесь С/°, р°1~ невозмущенные скорость звука и плотность жидкости. В результате применения приближений (14)—(16) подавляющую часть времени в ходе каждого колебания распределение параметров в газе и жидкости находятся не из решения уравнений (11), а из решения следующего уравнения

Ги £

Ч , Рь~Ре1 , ть (I

Р)

(17)

п, мкм

где (ЭД =г^иь, гь , иь- радиус и скорость поверхности пузырька, ^-давление в пузырьке, ре! -давление, которое имело бы место в центре жидкой сферы при отсутствии в ней пузырька, штрих означает производную по времени.

На рис.9 приведены зависимости радиуса пузырька гь (кривые 1) и давления в центре пузырька Р| (кривые 2) от отно-

сительного времени / - /с, где tc- время, при котором радиус пузырька принимает минимальное значение. Приведенный интервал времени характеризует наиболее интенсивную финальную часть стадий схлопывания пузырька. Сплошные кривые соответствуют эталонному решению, под которым понимается решение, полученное без применения приближений: для описания и газа, и жидкости использованы только уравнения (11), пунктирные кривые — решение по модели настоящей работы. Наблюдается вполне удовлетворительное согласование обеих зависимостей. При этом потребности компьютерного времени в предлагаемой модели меньше примерно в 20 раз.

В шестой главе излагается дальнейшее развитие идеологии моделирования динамики пузырька газа в жидкости на основе совместного примене-

3.0 мс, не

ния уравнений газовой динамики и их приближений для постановки задачи с учетом теплопроводности газа и жидкости, вязкости жидкости в приближении несжимаемой жидкости, поверхностного натяжения на границе между жидкостью и газом. При высоких давлениях используются взятые из литературы уравнения состояния реальных газа и жидкости. В частности, уравнение состояния газа учитывает колебательные степени свободы, диссоциацию, ионизацию, силы межмолекулярного взаимодействия.

При учете теплопроводности уравнение энергии в (11) принимает вид (£г2Ыг> + Е)и]г= ~(г2ж)г,

а) б)

Рис.10

где И7 = -кТг. Приближения (15), (16) остаются в силе, а (14) изменяется на % + рь[иг + 2")= 0, рг = О, (рг2ы + г2Г)г = О,

где Рь=Р^(гь /гь) > ШТР,,Х означает производную по времени. Сохраняет

свою силу и уравнение (17).

На рис.10 приведены пространственные распределения параметров р,

р, и кТ возле центра пузырька для 6 последующих моментов времени

(кривые 1-6) для =4.5мкм, <у=2я"(26.5кГг/), Арех= 1.55бар. Радиальное положение поверхности пузырька отмечено жирной точкой. Представлены решения с учетом (а) и без учета (б) теплопроводности. В обоих случаях финальная стадия схлопывания пузырька начинается с гладкого распределения параметров в обеих средах (кривые 1). С течением времени максимальное значение температуры в варианте с учетом теплопроводности смещается из центра в область поверхности пузырька (кривые 2-4). В обоих вариантах в момент времени наблюдается образование ударной волны. Ее интенсивность по мере распространения к центру пузырька быстро возрастает.

При t>t(¡ решения с учетом и без учета теплопроводности становятся качественно различными. При учете теплопроводности вскоре после времени ¿6 происходит фокусировка сходящейся ударной волны в центре пузырька. В результате этого возникает расходящаяся ударная волна, интенсивность которой по мере ее удаления от центра уменьшается. Через некоторое время расходящаяся ударная волна взаимодействует с поверхностью пузырька, в результате чего в жидкость уходит ударная волна, а в газ - волна разрежения. Поведение решения без учета теплопроводности при />/5 имеет иной характер. Вскоре после времени сходящаяся ударная волна фокусируется в центре пузырька. В результате этого образуется расходящаяся ударная волна. Навстречу ей распространяется сходящаяся простая волна сжатия (кривые 6, г»0.\мкм). Через небольшой промежуток времени сходящаяся волна сжатия и расходящаяся ударная волна вступают во взаимодействие. Далее сходящаяся волна сжатия превращается во вторую сходящуюся ударную волну, которая вскоре фокусируется в центре пузырька. В результате этого возникает вторая расходящаяся ударная волна, которая быстро догоняет первую, и они объединяются в одну расходящуюся ударную волну. В последующем решение ведет себя так же, как и в случае с учетом теплопроводности.

На рис. 11 приведены зависимости газодинамических переменных от относительного времени t-tc в середине ячейки, граничащей с центром пу-

500

-3500-

-7500

1Е+5 ] --

1Е+4-] 1Е+3 т Г 1 I 1 1-1-1-1 1111

О 50 пс

-50

О 50 Ыс, пс

100

Рис.11

зырька. Видно, что в решении с учетом теплопроводности (сплошные кривые) в центре пузырька фокусируется одна ударная волна, а в решении без ее учета (пунктирные кривые) - две. Примерно через 75 пс после этого в обоих решениях происходит фокусировка волны разрежения, возникшей в результате взаимодействия расходящейся ударной волны с поверхностью пузырька.

Варьирование амплитуды Арех в интервале \1Ь<Арех<\.7Ьбар с шагом 0.1 бар показывает, что в этом интервале оба решения, и с учетом, и без учета теплопроводности, при Арех <1.55 бар качественно подобны решению при Арех ~\.ЪЪбар с учетом теплопроводности, а при Арех >1.55 бар - решению при Арех = 1.55 бар без учета теплопроводности.

В седьмой главе рассматриваются колебания газа около объемного резонатора, представляющего собой цилиндрическую камеру, на одном конце которой находится круговая пластина с центральным отверстием, а на другом - плоский поршень, колеблющийся в осевом направлении. Пластина и поршень ортогональны оси симметрии. Внешняя область ограничена неподвижными стенками, которые совместно с поверхностью резонатора рис образуют внешнюю цилиндрическую

камеру, расположенную соосно с камерой резонатора. Все стенки и пластина считаются абсолютно жесткими. Диаметральное сечение объемного резонатора и внешней камеры приведено на рис.12. Закон перемещений поршня

имеет вид ур - у0+Ыпа)1, где /- амплитуда колебаний; у0- осевая координата поршня при £ = 0 (у0 Для описания динамики газа внутри резонатора и во внешней камере используется система (12) при р = (у-1)р£, у = \А, ог=1.

Рис. 13

Рис.13 характеризует формирование однонаправленного среднего течения в варианте 0*ех=0ех, Сех = 1,ех, ¿ех/Ь = 3, 0/(1=10, Оех/В~2.Ъ, £>/¿ = 3.75, //¿=0.01, <уАД2я"с°^=0.05 . На этом рисунке приведены временные зависимости мгновенной скорости в отдельных точках оси симметрии. Видно, что газ в ходе одной половины периода втекает в резонатор, а ходе другой - вытекает из него (кривая 1). По мере удаления от перегородки во внешнюю область смещение газа в сторону резонатора в ходе одного колебания все более убывает (кривая 2), а с некоторого расстояния течение становится полностью однонаправленным (кривая 3). С увеличением расстояния от отверстия амплитуда колебаний уменьшается. Переходные процессы возле отверстия завершаются в течение 3-4 колебаний. Большее время требуется для установления периодического режима возле дальней от отверстия стенки внешней камеры (около 10 колебаний).

Течение через отверстие объемного резонатора можно разбить на две фазы: фазу всасывания газа в резонатор и фазу его выброса во внешнюю камеру. Первая фаза соответствует полупериоду, когда газ в отверстии движет-

ся из внешней камеры в резонатор, а вторая - полупериоду с движением газа в отверстии из камеры резонатора во внешнюю камеру. Установлено, что переход от фазы всасывания газа в камеру резонатора к фазе его выбросу во внешнюю область (и наобо-

а)

рот) начинается "возле-кромки-отверстия. Затем направление движения газа изменяется на противоположное и в зоне, прилегающей к оси симмет-

б) Рии-

Рис. 14 Рис.14 характеризует

структуру среднего течения, которое устанавливается после завершения переходных процессов внутри резонатора и во внешней камере. На рис. 14а векторами одинаковой длины показаны направления вектора скорости среднего течения. Направления векторов определяются тем, что в камере резонатора газ вращается против хода часовой стрелки, а во внешней камере - по ходу. Точка вместо вектора означает, что значение модуля скорости в этом месте мало. На рис.146 представлено поле векторов средней скорости. Из рис.14 видно, что в обеих камерах газ вовлечен во вращательное движение с направлением скорости возле пластины к отверстию. Течение возле оси симметрии имеет струйный характер. Внутри резонатора струя направлена к поршню, а снаружи - в противоположную сторону.

Расчеты показывают, что небольшое отклонение геометрических размеров резонатора и внешней камеры (по отношению к диаметру отверстия), частоты и амплитуды от тех численных значений, к которым относятся приведенные выше результаты, не приводит к качественным изменениям характеристик колебаний газа и среднего течения.

Е.В.Мартыновым [26] экспериментально установлено, что при варьировании частоты возбуждения амплитуда колебаний скорости в отверстии имеет выраженный максимум в области частоты

Л=си

s+s'w К

--h-

Здесь с - скорость звука в невозмущенном газе, сг- площадь отверстия, 8-длина канала, S* = 0.85с/- концевая по- , 0

т/ _ vmax/ с

правка, V- объем камеры резонатора, 009

• / "ж

0.01 0.03 0.05 0.07 2kcoL/С®

Рис. 15

Vex- объем внешней камеры. 0.08

На рис.15 представлена полученная 0.07 в расчетах зависимость амплитуды коле- 0.06 баний скорости в центре отверстия итазс от безразмерной частоты. Максимум достигается при ä)L/(2яс°)=0.05. В экспериментах он получается при Ob/(2/ТС°) = 0.061. Расхождение составляет менее 19%.

В восьмой главе рассматривается колебания газа, генерируемые открытой резонансной трубой, источником возбуждения в которой является плоский поршень (рис.16). Закон движения поршня имеет вид

Ур ~у°+lsincot+4a2-Pcoscot-a.

Здесь у0- координата среднего положения поршня, 21- ход поршня, а-длина шатуна, со- круговая частота колебаний, равная собственной частоте открытой трубы Q= / (2L), L- длина трубы, расстояние между ее срезом и средним положением поршня (то есть у0 = -L), с0- скорость звука в невозмущенном газе. Стенки трубы, диаметр которой равен d, считаются жесткими бесконечно тонкими. Внешняя область представляет собой длинную цилиндрическую камеру большого диаметра (в » 20 раз больше диаметра трубы), одно из торцевых сечений (входное) которой находится между поршнем и открытым концом. Труба и камера расположены соосно. До начального момента времени t = 0 газовая среда находится в состоянии покоя с невозмущенными значениями плотности р° и давления р°. При этом поршень занимает среднее положение. При t = 0 поршень начинает движение. Одновременно во входном сечении камеры у = —0.75с? начинается вдув газа с параметрами pin = р°, р1п = р°, uin. Принимается, что динамика газа описывается системой (12) при р = (у-1)ре, а-1, у = 1.4. Граничными условиями на поверхности контакта газа со стенками трубы, камеры и подвижным

поршнем являются условия непротекания. Выходное торцевое сечение внешней камеры считается бесконечно удаленным. На нем параметры газа остаются невозмущенными. Расчеты проводились при /?=48см, Ь =300сл/, й =5см, 1=9.5\см, а=2\см, у1п= -3.3см, осевой координате внешней искусственной границы расчетной области уои{ -39см. Осевая компонента скорости вдува принималась равной 6.8 м/с (и1п - 0).

Эффективность расчетов в подобных задачах сильно зависит от выбора расчетной сетки. В данной задаче в зонах 0 -б (рис.16) она принималась сле-~дугощейг3она0г-1х400—¿-/-24—¿^-увеличивается-к-поршню.-начиная-

7Г—(Л' 1 I 9 I д"

♦ 4

Рис.16

с Ау{-(1/24, зона 1: 3x15, Ах^й/24, Лу^й/6, зона 2: 6x47,

Лзс-^й/24, /1г/;- =¿/12, зона 3: 12x12, Лх1 = й/24, Аух = ¿/24, зона 4:

48x12, Ах1 увеличивается к стенке внешней камеры, начиная с Ах1 = ¿/24, Ау{- увеличивается в отрицательном направлении оси у, зона 5: 12x42,

Ах1 =¿/24, Ау]- увеличивается от среза трубы, начиная с Ау\ =¿/24, зона б: 48x48, Ах/, Ау^ увеличиваются вдоль положительных направлений

своих осей, начиная с Ах1 = Ау1 = ¿/24. Здесь запись АхВ означает А ячеек в радиальном направлении, В - в осевом. Подвижная сетка используется в зоне 0. Она перестраивается так, что первый элемент Ауу остается неизменным. Принятая сетка позволила сократить время расчетов по сравнению с равномерной сеткой с ячейками Ах1 = Ау! - й / 24 более, чем в 5 раз.

Зависимости безразмерного значения осевой компоненты вектора скорости ь/с0 от безразмерного времени £с°/1. в отдельных точках оси симметрии внутри трубы {у/й < 0), на срезе трубы (у/¿ = 0) и во внешней области {у\й> 0) приведены на рис. 17. Верхний график рис. 17 относится к

О 10 20 (с 30

Рис.17

ячейке нулевой зоны. Поскольку в нулевой зоне используется подвижная сетка, то с течением времени осевая координата ее ячеек меняется в соответствии с перемещением поршня. Приведенное на графике значение у* / й соответствуют осевому положению в начальный момент времени ¡=0.

Возле поршня амплитуда колебаний скорости минимальна и соответствует закону возбуждения. Внутри трубы по мере удаления от поршня форма колебаний все более уклоняется от гармонической. При этом в области у/¿<-0.48 размах колебаний возрастает, а в области у/¿>-0.48 убывает. Максимальная величина размаха колебаний, достигаемая при у/¿»-0.48, составляет 0.6. Во внешней области по мере удаления от среза трубы до у/ ¿»1.782 все большая часть графиков колебаний безразмерной скорости смещается в полуплоскость 1>/с° > 0. Это означает, что в ходе каждого периода частицы газа все большую часть времени (и с большей скоростью) движутся в сторону от открытого конца трубы. В области ¿//¿>1.782 движение газа в сторону трубы полностью отсутствует. Газ, совершая колебания, удаляется в положительном направлении оси у. С увеличением расстояния от среза трубы во внешнюю область колебания становятся

все более близкими к разрывным. Указанные особенности качественно согласуются с известными экспериментальными данными.

Анализ изменения структуры течения в ходе одного периода показывает, что начало очередной фазы выброса примерно совпадает с началом очередного периода колебаний поршня. Газ начинает вытекать из трубы в части среза трубы, находящейся возле кромки. В начале фазы выброса возле оси симметрии на удалении около одного диаметра от среза трубы образуется и быстро разрушается тороидальный вихрь с направлением движения на оси

симметрии внутрь"трубы7Возле~кромки"трубы с еетаешней-стороны-образу--ется еще один вихрь с направлением вращения, противоположным первому. По мере развития фазы выброса он отрывается от кромки и перемещается в сторону верхней границы. В начале фазы выброса скорость вытекания газа больше у кромки трубы, чем на оси симметрии. Примерно через четверть периода фаза истечения газа из трубы достигает своего апогея. Затем она идет на спад. Далее примерно через половину периода начинается фаза всасывания. Затекание газа в трубу также начинается возле кромки. На фазе всасывания образование вихревого движения газа внутри трубы не наблюдается. Вместе с тем имеет место неравномерность распределения скорости по радиусу. В пристеночной области скорость меньше, чем возле оси. На фазе всасывания область с внешней стороны трубы с движением газа в сторону открытого конца простирается от него на расстояние не более полутора диаметров. Апогей фазы всасывания наступает примерно через четверть периода от ее

ШШШШ!Ш1ШШ1Ш I I ШШШШШШШПИ Г I ¡¿ттшшншшп \ I (.-ДШНШШШШН III! I I

Рис. 18

начала. Затем интенсивность фазы всасывания спадает, и примерно через четверть периода начинается новая фаза выброса.

На рис.18 во фрагменте расчетной области представлены поле направлений векторов скорости (а) и поле векторов скорости (б), демонстрирующие структуру течения возле отверстия трубы в один из моментов времени на установившемся периодическом режиме. Фрагмент включает полностью зону 5 и частично зоны 4-6. Ось у направлена снизу вверх. Она ограничивает фрагмент с левой стороны. Ось х направлена слева направо. Положение начала вектора соответствует центру ячейки, по значениям компонент вектора скорости которой производится построение. Газ внутри трубы движется наружу, а во внешней области - снизу вверх. Видно, что внутри трубы в пристеночной области скорость вытекания больше. Возле оси симметрии над отверстием имеется тороидальный вихрь с направлением движения на оси внутрь трубы. Вихрь с обратным направлением вращения продолжает формироваться возле кромки с внешней стороны.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана методика расчета нелинейных колебаний газа в областях с подвижными границами. Методика позволяет изучать плоские, осесиммет-ричные и сферически симметричные движения, установившиеся и переходные режимы. Она основана на численном интегрировании уравнений газовой динамики в форме законов сохранения относительно подвижных криволинейных координат. Реализованы две модели динамики среды. Первая включает уравнения сохранения массы, импульса и полной энергии. Вторая отличается от первой тем, что вместо уравнения сохранения полной энергии принимается уравнение сохранения энтропии. Для интегрирования уравнений газовой динамики используются метод распада разрыва, локально-характеристический метод и произвольный лагранжево-эйлеров метод. Применяются неравномерные криволинейные сетки, подстраиваемые под геометрию границ расчетной области. Структура расчетной сетки может изменяться. При ее изменении перевод решения с одной сетки на другую выполняется методом консервативной интерполяции.

порядка Ю-3 длины трубы этим эффектом можно пренебречь. При амплитудах хождения поршня на порядок больше нагрев газа ударными волнами ве-

дет к значительному увеличению длительности переходного режима. Максимальные значения амплитуды колебаний давления на переходном режиме получаются в ~1.5 раза больше, чем на установившемся. Учет нагрева газа ударными волнами приводит к увеличению максимального давления на -35%. При этом максимальное давление по частоте сдвигается относительно собственной частоты газового столба в сторону больших значений на -10% дальше, чем в случае, когда нагрев газа в трубе не учитывается.

3. Исследованы нелинейные колебания газового столба в закрытой трубе —при-непериодическом_резонансном возбуждении, когда действующее на

поршень внешнее давление изменяется в такт с движением поршня. Установлено, что без учета трения поршня о стенки трубы периоды колебаний и максимальные значения пиковых температур быстро и неограниченно возрастают. При этом минимальные значения температуры на фазе разрежения и длины газового столба на фазе сжатия из-за нагрева газа в трубе в результате преобразования на ударных волнах части механической энергии в тепловую также увеличиваются. При учете трения поршня о стенки трубы режим периодических колебаний наступает лишь при отсутствии ударных волн. При наличии ударных волн амплитуда и период колебаний, а также минимальные значения температуры и длины газового столба медленно возрастают.

4. Развита эффективная с вычислительной точки зрения модель динамики сферического пузырька газа в центре сферического объема жидкости на режимах с образованием ударных волн. В модели учтены теплопроводность обеих сред, поверхностное натяжение и вязкость жидкости. Высокая экономичность и хорошая точность этой модели достигаются за счет совместного применения уравнений газовой динамики и их приближений. Уравнения газовой динамики применяются в ней лишь там и тогда, где и когда это необходимо по ходу решения задачи, а именно, только в пузырьке и тонком слое окружающей жидкости и только на финальной быстроскоростной стадии схлопывания.

плитуды возбуждения в центре пузырька наблюдается фокусировка сначала одной ударной волны (при 1.25 <Арех< 1.55 бар), а затем - двух (при Арех ~ 1.65 бар). При пренебрежении эффектом теплопроводности указанные особенности в решении сохраняются, но с небольшим сдвигом по амплитуде. В частности, без учета теплопроводности фокусировка двух ударных волн в центре пузырька начинает наблюдаться с Лрех «1.55 бар. При переходе к уравнению состояния Ван-дер-Ваальса амплитуда возбуждения, соответствующая образованию ударной волны в пузырьке, увеличивается до Арех »1.55 бар. С применением уравнения состояния Ван-дер-Ваальса фокусировка двух ударных волн в центре пузырька в рассмотренном диапазоне изменения амплитуды возбуждения не наблюдается. •

6. Впервые проведено численное моделирование колебаний газа около выходного отверстия объемных резонаторов. Рассмотрены резонаторы в виде короткой трубы, на одном конце которой находится подвижный поршень, а на другом - круговая пластина с центральным отверстием. Изучено изменение структуры течения газа около отверстия на переходном и установившимся режимах колебаний при возбуждении в окрестности резонансной частоты. Установлено, что в ходе колебаний возле, отверстия объемного резонатора вдоль оси симметрии образуются две пульсирующие струи, одна - внутри, а другая - снаружи резонатора с направлением в сторону от отверстия. Образование пульсирующих струй является результатом того, что основная масса газа, перетекающего через отверстие, забирается из области возле поверхности пластины, а выбрасывается в область оси симметрии. Выявлено, что изменение направления потока газа через сечение отверстия пластины на противоположное происходит не по всей площади отверстия одновременно, а последовательно от его кромки к центру. Средние течения газа и внутри, и во внешней камере резонатора представляют собой тороидальные вращательные движения, при которых смещение газа в области оси симметрии происходит в направлении пульсирующих струй. „ ,

ее диаметров выделена соосная с ней цилиндрическая область, диаметр и длина которой примерно равны одному и пяти диаметрам трубы, соответственно. В этой области интенсивные колебания сопровождаются большими скоростями среднего течения. Вблизи среза трубы интенсивность волнового поля выше;, однако скорости среднего течения - меньше. В остальной части внешнего поля скорость среднего течения и интенсивность волнового поля плавно уменьшаются.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ-

1. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Метод консервативной интерполяции интегральных параметров ячеек произвольных сеток//Динамика оболочек в потоке. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1985, № 18. С.144-160.

2. Гильманов А.Н., Аганин A.A. Изучение неотражающих условий на искусственных границах расчетной области //Динамика оболочек в потоке.-Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1985, № 18. С.77-87.

3. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Алгоритм расчета газодинамических течений на произвольно изменяющихся сетках //Сб. материалов VI-Всесоюзной школы "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики". Горький: 1986. С.8.

4. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование процесса раскрытия парашюта //Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Ташкент: 1986. С. 16.

5. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование взаимодействия газовых потоков с подвижными телами изменяемой геометрии //Численные методы механики сплошной среды. Сборник трудов. Новосибирск: 1986, Т.17, № 6. С.3-11.

6. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование сильного взаимодействия мягких оболочек с газом на основе произвольного лагранжево-эйлерова метода и метода консервативной интерполяции //Взаимодействие оболочек со средой. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1987, №20. С.51-69.

7. Аганин A.A. Взаимодействие газа с тонкими телами изменяемой геометрии при наличии конструктивной проницаемости //Взаимодействие оболочек со средой. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1987, №20. С.70-

,90.

8. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование взаимодействия парашюта с газом //Труды 8-Дальневосточной конференции по мягким оболочкам. Владивосток. 1987. С.96-99.

9. Агашш А.А., Кузнецов В.Б. Алгоритм расчета газодинамических задач на произвольно изменяющихся сетках //Численные граничные условия. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1990, №26. С.85-98.

Ю.Аганин А.А., Кузнецов В.Б. Реализация граничных условий на контактных поверхностях в задачах обтекания тел сложной геометрии //Численные граничные условия. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1990, №26. С.99-118.

11 .Аганин А.А., Кузнецов В.Б. Построение расчетных сеток в задачах внешнего обтекания тел сложной изменяемой геометрии //Численные граничные условия. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1990, №26. С.119-130.

12.Аганин А.А., Кузнецов В.Б., Кугдусов P.M., Малов О.А., Смирнова Э.Т. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе с подвижным поршнем //Деп. ВИНИТИ 04.09.90 N 4883 - В90. С.1-24.

13.Аганин А.А., Ильгамов М.А. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе //Прикл. Мех. Техн. Физ., 1994, Т.35, № 6. С.39-44.

14.Aganin А.А., Ilgamov М.А. Numerical simulation of gas oscillations and flows generated by wave resonators //Proceed. ICMAR'94,' Novosibirsk, 1994, Part 1. P.3-8.

15.Aganin A.A., Ilgamov M.A., Kuznetsov V.B. Numerical simulation of intensive gas oscillations in wave technology installations //Proceed. Int. scien.-tech. conf. "Model-project 95", Kazan, 1995. P.10-12.

lô.Aganin Â.A., Kuznetsov V.B., Martynov E.V., Smirnova E.T. Numerical simulation of gas flows near volume resonators //Proceed. Int. scien.-tech. conf. "Model-project 95", Kazan, 1995. P.53-55.

17.Aganin A.A., Ilgamov M.A., Smirnova E.T. Development of longitudinal gas oscillations in a closed tube //Journal of Sound and Vibration, 1996, 195. P.359-374.

18.Аганин А.А., Кузнецов В.Б. Численное моделирование внешнего волнового поля открытой резонансной трубы //Труды Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", Новосибирск, 1996. С.120-121.

19.Аганин А.А., Ильгамов М.А. Колебания газа в закрытой трубе при непериодическом резонансном возбуждении поршнем //Труды 4-конф. по нелинейным колебаниям механических систем, 1996, Н.-Новгород, С.З.

20.Aganin А.А., Ilgamov М.А., Kuznetsov V.B. Numerical simulation of intensive wave field of an open resonant tube in a wave technology installation /Яn

A.T.Chwang, J.H.W. Lee & D.Y.C. Leung (Eds) Hydrodynamics, A.A.Balkema/ Roterdam/Brookfield, 1996, V.2, P.595-600.

21.Аганин А.А., Смирнова Э.Т. Численное моделирование продольных колебаний газа в закрытой трубе на основе уравнений идеального газа //Моделирование динамических процессов в сплошных средах. Казань: Издательство Казанского математического общества. 1997. С.7-33.

22.Аганин А.А. Динамика газа в пузырьке, находящемся в центре сфериче-ского—объема—жидкости—//Труды~1_Междун7~конф7^'Модёли—механики сплошной среды, вычислительной технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении", Казань, 1997. T.l. С.44-48.

23.Аганин А.А., Смирнова Э.Т. Численное моделирование интенсивных возмущений газа акустическими резонаторами //Моделирование динамических процессов в сплошных средах. Казань: Издательство Казанского математического общества. 1997. С.34-80.

24.Аганин А.А., Ильгамов М.А. Особенности расчета нелинейных сферических волн в газе и жидкости методом распада разрыва //Моделирование динамических процессов в сплошных средах. Казань: Издательство Казанского математического общества. 1997. С.109-194.

25.Аганин А.А. Алгоритм консервативной интерполяции разрывных решений задач газовой динамики //Труды I Междун. конф. "Модели механики сплошной среды, вычислительной технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении", Т.2, Казань, 1997, С.64-68.

26.Аганин А.А., Кузнецов В.Б., Мартынов Е.В., Смирнова Э.Т. Экспериментальное и численное исследование акустических течений около объемных резонаторов //Прикл. Мех. Техн. Физ., 1997, Т.38, №6. С.61-71.

27.Аганин А.А., Ильгамов М.А. Численное моделирование динамики кавита-ционного пузырька в жидкости //Тезисы докладов Международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 1997, С.4-5.

28.Аганин А.А., Ильгамов М.А. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе при непериодическом движении поршня //Изв. АН. МЖГ, 1998, № 2. С.134-142.

29.Аганин А.А., Ильгамов М.А. Численное моделирование динамики газа в пузырьке при схлопывании с образованием ударных волн //Прикл. Мех. Техн. Физ., 1999, Т.40, №2. С.101-110.

30.Аганин A.A., Ильгамов М.А. Колебания сферического пузырька газа в жидкости с образованием ударных волн //Изв. АН. МЖГ, 1999, №6. С.126-133.

31.Аганин A.A., Ильгамов М.А. Гидродинамическое моделирование периодических колебаний пузырька воздуха в воде //Труды Всеросс. научн. конф. "Краевые задачи и их приложения", Казань, 1999. С. 129-135.

32.Аганин A.A., Нигматулин Р.И., Ильгамов М.А., Ахатов И.Ш. Динамика пузырька газа в центре сферического объема жидкости //Докл. АН, 1999, т. 369, №2, С.182-185.

33.Aganin A.A. Dynamics of a small bubble in a compressible fluid //Int. Jour. Num. Meth. Fluids (принята в печать).

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность член-корреспонденту РАН Марату Аксановичу Ильгамову за внимание и поддержку при работе над диссертацией. Автор признателен также коллегам, родственникам и друзьям, оказавшим содействие появлению этой работы.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Аганин, Александр Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

МЕТОДИКИ РАСЧЕТА.

1.1. Уравнения динамики среды.

1.2. Параметры преобразования к характеристическому виду

1.3. Решения задач о поршне, вдвигаемом в сжимаемую среду

1.4. Решения задач о поршне, выдвигаемом из сжимаемой среды

1.5. Решения задач о распаде разрыва в сжимаемой среде

1.6. Метод консервативной интерполяции.

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА

2.1. Алгоритм построения сеток.

2.2. Алгоритм расчета методом распада разрыва.

2.3. Алгоритм расчета локально-характеристическим методом.

2.4. Разностная схема локально-характеристического метода.

2.5. Среднее состояние локально-характеристического метода.

2.6. Алгоритм расчета произвольным лагранжево-эйлеровым методом.

2.7. Алгоритм консервативной интерполяции.

Глава 3. РАСЧЕТ МЕТОДИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

3.1. Задачи о распаде разрыва.

3.2. Задача о слете холодного газа к точке.

3.3. Задача о сходящемся сферическом поршне.

3.4. Задачи сверхзвукового обтекания клина и конуса.

3.5. Задача о раскрытии парашюта в потоке газа.

Глава 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗОВОГО СТОЛБА В

ЗАКРЫТОЙ ТРУБЕ

4.1. Постановка задачи при периодическом возбуждении

4.2. Нелинейные колебания газового столба при амплитудах хождения поршня порядка 10 длины трубы.

4.3. Нелинейные колебания газового столба при амплитудах хождения поршня порядка 10" длины трубы.

4.4. Постановка задачи в случае непериодического возбуждения

4.5. Нелинейные колебания при большой массе поршня

4.6. Нелинейные колебания при средней и малой массе поршня

4.7. Влияние трения поршня о стенки трубы.

Глава 5. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКА ГАЗА В ЖИДКОСТИ.

МОДЕЛИ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗА И ЖИДКОСТИ

5.1. Постановка задачи и ее приближения.

5.2. Построение эффективной модели динамики пузырька.

5.3. Изучаемые модели динамики пузырька.

5.4. Динамика пузырька идеального газа в идеальной жидкости

5.5. Анализ эффективности развитой модели.

Глава 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКА ГАЗА В ЖИДКОСТИ.

МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СРЕД.

6.1. Постановка задачи и уравнения состояния.

6.2. Приближения.

6.3. Методические особенности использования моделей реальных сред.

6.4. Исследование условий перехода к приближениям.

6.5. Эффект теплопроводности и уравнения состояния.

6.6. Эффект теплопроводности и амплитуда возбуждения

Глава 7. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ ОКОЛО ВЫХОДНОГО ОТВЕРСТИЯ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ

7.1. Результаты экспериментальных исследований.

7.2. Постановка задачи.

7.3. Расчетные сетки и численная сходимость.

7.4. Акустические течения и волны около объемных резонаторов.

7.5. Влияние геометрических характеристик и параметров возбуждения

Глава 8. ПУЛЬСАЦИИ ГАЗА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ОТКРЫТОЙ РЕЗОНАНСНОЙ ТРУБЫ.

8.1. Постановка задачи.

8.2. Расчетная область и вычислительные сетки.

8.3. Особенности пульсаций в области оси симметрии.

8.4. Изменение газовых потоков на установившемся режиме

8.5. Структура среднего течения.

Введение диссертация по механике, на тему "Нелинейные колебания газа в областях с подвижными границами"

При нелинейных колебаниях газа могут возникать ударные волны, средние течения, вихревые структуры и т.д. Недостаточный учет этих и других связанных с нелинейными колебаниями эффектов при разработке технических устройств может приводить к резкому сокращению сроков их функционирования, к возникновению аварийных ситуаций. Так например, колебания в трубопроводных системах транспортировки газа или нефти в результате работы насосов или компрессоров могут привести к разрыву трубопроводов. В ракетных двигателях на твердом топливе возможно возникновение режимов вибрационного горения, приводящих к разрушению двигателя. Известны примеры вредных последствий схлопывания пузырьков газа в жидкости. Наиболее часто они проявляются в гидравлических системах. В частности, схлопывающиеся пузырьки вызывают эрозию внутренних поверхностей таких систем, что сокращает сроки их эксплуатации.

Изучению особенностей нелинейных колебаний в газе и жидкости посвящено большое количество публикаций. Обобщающими изданиями в этом отношении являются монографии Зарембо и Красильникова [84], Whitham [251], Руденко и Солуяна [129], Lighthill [201] и др. Простейшими известными в литературе способами возбуждения нелинейных колебаний в газе и жидкости являются возвратно-поступательное движение жесткой стенки, периодический тепломассоподвод, натекание потока. В частности, для резонансных труб эти способы впервые рассмотрели Hartmann [179], Lehmann [199], Mayer-Schuchard [205], Lettau [200], Smidt [236]. В более сложных объектах, как например, трубопроводные системы компрессоров, камеры сгорания жидкостных и твердотопливных ракетных двигателей, возбуждение колебаний обычно происходит не только указанными выше простыми способами, но и в результате влияния ряда других факторов. Колебания в таких объектах изучали Rosen [234], McClure et al. [206], Раушенбах [123], Reynst [232], Chu [160], Chu and Ving [161], Engler and Nachbar [169], Brownlee [155], Sirignano and Crocco [238], Elias et al. [168], Ильгамов [90], Владиславлев и др. [41], Подымов и др. [122], Wheatley et al. [250] и др.

Колебания газового столба в трубе. До последнего времени наибольшее внимание в области нелинейных резонансных колебаний газа и жидкости уделялось продольным и преимущественно продольным колебаниям газового столба в длинной трубе. Рассматривались в основном закрытая труба и труба с одним открытым концом. Довольно подробные обзоры исследований в этом направлении даны в работах Галиева Ш.У. и Галиева Т.Ш. [45], Ильгамова и др. [95], Ilgamov et al. [188]. Колебания газового столба в трубе изучались экспериментально и теоретически. Чаще в качестве источников возбуждения использовались электромагнитный вибратор (Lehmann [199], Saenger and Hudson [235], Temkin [242, 243] и др.) и поршень мотоциклетного или автомобильного двигателей (Lettau [200], Гуляев и Кузнецов [79], Галиев и др. [46], Zaripov and Ilgamov [258] и др.). При электромагнитном вибраторе амплитуды возбуждения меньше. Изучались колебания в однородных [Saenger and Hudson [235] , Галиев и др. [46], Cruikshank [163] и др.) и неоднородных (Zaripov and Ilgamov [258], Lawrenson et al. [198] и др.) трубах. Как правило, неоднородные трубы использовались для достижения колебаний с большими амплитудами. Рассматривалось возбуждение в окрестности собственной частоты газового столба (Lettau [200], Saenger and Hudson [235], Гуляев и Кузнецов [46], Васильев и др. [40] и др.,), в окрестности высших резонансов (Zaripov and Ilgamov [258], Зарипов [85, 86], Althaus and Thomann [150] и др.) и низших резонансов (Галиев и др. [46], Merkli and Thomann [207, 208], Althaus and Thomann [150] и др.).

При изучении нелинейных колебаний газа в трубе установлено существование ударных волн в окрестности линейных и нелинейных резонансов (Lettau [200], Галиев и др. [46]), выявлено возникновение стационарных вихревых движений (например, при возбуждении на собственной частоте закрытой трубы в каждой половине трубы располагается по одному вихрю с движением газа вблизи стенок в направлении к концу трубы (Ильгамов и др. [97])), обнаружено охлаждение центральной части трубы (акусто-термический эффект) при возбуждении на околорезонансных частотах (Merkli and Thomann [208]).

В теоретических исследованиях колебаний газа в трубе впервые нелинейные эффекты были учтены во втором приближении в работах Betchov [154] и Горьков [76]. Используя метод малого параметра, Горьков [76] получил разрывное решение. Разрывные колебания рассматривали также Островский [120], Гусев [80]. Наиболее эффективным оказался подход, разработанный Chester [157]. В дальнейшем он был развит в работах Галиев и др. [46], Галиев и Шихранов [47-49], Шихранов [141]. При относительно малых амплитудах возбуждения вблизи линейных резонансов теоретические результаты этих работ находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными Temkin [242], Галиева и др. [46], Cruikshank [163], Sturtevant [241].

В работе Галиева и др. [46] впервые экспериментально показано существование и дается теоретическое описание периодических ударных волн вблизи нелинейных резонансов. В последующем колебания в окрестности нелинейных резонансов рассматривали Merkli and Thomann [207], Keller [196], Mortell and Seymour [216], Althaus and Thomann [150]. Используя модификации подхода Chester [157], Зарипов и Ильгамов [87], Zaripov and Ilgamov [258] получили теоретическое описание интенсивных колебаний газа с разрывами в трубах с переходником. Модификации подхода Chester использовались таюке в работах Галиев [43, 44], Mortell [211, 212], Mortell and Seymour [213-216], Seymour and Mortell [237], Keller [192-195], Jimenez [191].

В работе Канер и др. [99] решение находится путем сведения исходной постановки к уравнениям Бюргерса для двух встречных волн. В работах Крайко и Ни [101], Ни [113-115] используется метод характеристик. Влияние диссипативных потерь на колебания газового столба изучали Гуляев и Кузнецов [79], Chester [157], Lehmann [199], Seymour and Mortell [237], Temkin [242, 243], Галиев [42, 44], Галиев и Шихранов [47, 48]. Показано, что диссипация уменьшает амплитуду колебаний. Гуляев и Кузнецов [79], Temkin [242], Chon et al. [159], Галиуллин и Пермяков [50] учли потери на турбули-зацию течения газа в трубе.

Внешняя область открытой трубы. Первые эксперименты по изучению внешней области открытой резонансной трубы были проведены Hudson [187]. На частотах вблизи линейного резонанса он обнаружил появление у открытого конца трубы прерывистой струи и вихревых колец. Движение газа в этой области в ходе одного периода колебаний Hudson разбил на четыре фазы: формирование струи, отделение струи от газового столба в трубе, формирование вихрей и ламинарное втекание газа в трубу. Аналогичные исследования провели Disselhorst and Van Wijngaarden [166], Зарипов и др. [88].

Измерения колебаний скорости термоанемометром в осевом и радиальном направлениях в окрестности открытого конца трубы выявили возможность существования двух структур течения. В одних экспериментах фаза истечения струи аналогична стационарному истечению из насадков (Галиуллин и др. [52, 53], Галиуллин и Ревва [51], Репин и др. [125], Зарипов и др. [88]): в окрестности оси симметрии наблюдается область с постоянным значением скорости (ядро струи), а возле кромок - область ее монотонного уменьшения. В других экспериментах (Зарипов и др. [88], Васильев и др. [39], Зарипов и Репин [89]) структура потока на фазе истечения струи содержит область постоянного значения скорости возле оси симметрии. Далее по направлению к кромкам трубы располагаются области увеличения, а затем резкого уменьшения скорости истечения. При этом в первой структуре потока максимальное значение скорости располагается возле оси симметрии, а во второй - возле кромок трубы на границе между второй и третьей областями. Различие в структурах течения возле открытого конца связывается (Ильгамов и др. [97]) с соотношениями диаметров трубы й и поршня с1п (источника возбуждения). Если диаметр трубы больше диаметра поршня [й > с1п), то возникает первая структура, если меньше (с1<с1п)- то вторая. Наличие максимума скорости возле кромок трубы во второй структуре потока при истечении объясняется образованием вихрей внутри трубы. В экспериментах с йп > й размер ядра струи вдоль оси симметрии составляет 2> — 6й, в экспериментах с йп<й

Осциллограммы колебаний скорости в различных точках оси симметрии на разных расстояниях от среза трубы показывают, что во внешнем поле вблизи отверстия колебания скорости на фазе всасывания и выброса происходят с примерно одинаковой амплитудой. По мере удаления во внешнюю область сначала амплитуда на фазе выброса сохраняет свое значение, а на фазе всасывания - убывает. Начиная с некоторого расстояния в течении всего периода движение газа в сторону открытого конца прекращается (составляющая фазы всасывания исчезает). Затем уменьшается и амплитуда колебаний скорости на фазе выброса и, наконец, начиная с некоторого расстояния в ядре струи имеют место лишь хаотические пульсации незначительной амплитуды. Описанные изменения колебаний скорости наблюдали в экспериментах Зарипов и др. [89], Ingard and Ising [190], Van Wijngaarden and Disselhorst [245], Галиуллин и др. [52, 53], Репин и др. [125].

При резонансных колебаниях газового столба открытой трубы были выявлены режимы колебаний с периодическими ударными волнами внутри трубы (Sturtevant [241], Зарипов [85], Репин и др. [125], Зарипов и Репин [89]). Осциллограммы давления, снятые в разных сечениях вдоль оси симметрии внутри трубы, свидетельствуют о том, что начиная с некоторого расстояния от поршня в профилях давления начинают возникать изломы, которые по мере приближения к отверстию постепенно трансформируются в разрывы. Разрывы образуются при I/L> 0.064, где L- длина трубы. Пространственная область с разрывами состоит из двух смежных подобластей, расположенных внутри и снаружи трубы возле ее среза. С увеличением 1/L размеры этих подобластей увеличиваются.

Внешняя область объемного резонатора. Под объемным резонатором (резонатором Гельмгольца) обычно понимается сосуд с небольшим по диаметру и коротким по длине канала отверстием. Все пространственные размеры сосуда сравнимы между собой. Линейная теория объемных резонаторов создана Гельмгольцом и Рэлеем. В соответствии с этой теорией (Ламб [105]) объемный резонатор (резонатор Гельмгольца) рассматривается как колебательная система с одной степенью свободы. В первом приближении полагается, что кинетическая энергия системы сосредоточена в газе, движущемся в отверстии и некоторой его окрестности, а потенциальная энергия определяется энергией упругой деформации газа, находящегося в сосуде. Линейной теории оказывается недостаточно для описания эффектов, возникающих во внешнем поле объемного резонатора при его интенсивном возбуждении. В частности, известно (Nyborg [226], Зарембо и Красильников [84], Ingard and Ising [190], Зарембо [82], Гольдберг [73]), что при интенсивном возбуждении объемного резонатора в окрестности его выходного отверстия возникает акустическое течение (среднее течение, акустический ветер, звуковой ветер), которое не описывается линейной теорией.

До недавнего времени число работ, посвященных изучению нелинейных колебаний газа около интенсивно возбуждаемых объемных резонаторов, оставалось сравнительно небольшим. Причем большинство известных исследований являются экспериментальными. Ingard and Ising [190] использовали экспериментальную установку, в которой объемный резонатор представляет собой короткую трубу длиной 70мм, диаметром 95мм. На одном конце трубы находился поршень диаметром 100мм, а на другом - круговая пластина толщиной 6мм с отверстием диаметром 7мм. Пластина в области отверстия с внешней стороны заточена так, что ширина канала отверстия составляет 0.1мм. С помощью термоанемометра изучалось изменение скорости на оси симметрии на разных расстояниях от отверстия при варьировании уровня звукового давления в резонаторе от 120 до 157дб. Установлено, что с увеличением расстояния от отверстия скорость движения газа в сторону отверстия все более уменьшается, а начиная с некоторого расстояния полностью отсутствует. Последнее свидетельствует о том, что на некотором удалении от отверстия течение имеет однонаправленный пульсирующий характер.

Медников и Новицкий [112] изучали акустические течения, образуемые генератором, состоящим из эксцентрикового вибратора, соединенного с днищем сильфона, и резонирующей полости. Для образования резонирующей полости использовались емкости цилиндрической, конической и экспотенци-альной форм с диаметром отверстия 50мм, диаметром основания 70-200мм и высотой 0.4-1м. Частота возбуждения изменялась в пределах 10-108Гц.

Установлено, что зависимость средней скорости от частоты возбуждения носит резонансный характер: имеется пиковая частота, при которой скорость среднего течения максимальна. Визуализация течения дымовыми струйками позволила установить, что течение имеет ярко выраженный турбулентный характер. Во внешней области зафиксировано образование замкнутого тороидального вихря.

Акустические течения возле отверстия диаметром 0.75см при прохождении через него звуковой волны интенсивностью до 150дБ, частотой 500 и 1600Гц изучались Лебедевой [107]. Ею исследованы особенности распределения скорости акустического течения вдоль оси симметрии отверстия от частоты и амплитуды падающей волны. Изучен спектральный состав волны на разных расстояниях от отверстия.

В работе Борисовой и др. [37] приведены некоторые результаты экспериментальных и теоретических исследований нелинейных вынужденных колебаний в резонаторе Гельмгольца. Используемый в экспериментах резонал л тор был выполнен в виде сферической колбы объемом ~10~ м . Длина отверстия ~5-10-2м, а его диаметр -2,4-10~2м. Собственная частота резонатора ~170Гц. Измерены изменение давления в сосуде резонатора, распределения среднего давления вдоль оси резонатора, на стенке отверстия и по радиусу на срезе отверстия. Максимальные скорости потока превышали в отверстии 100м/с. Теоретические исследования велись на основе квазиодномерного приближения и его упрощений. Принималось, что резкие изменения площади поперечного сечения отсутствуют. В рамках принятой модели изучены временные зависимости массового расхода через отверстие для разных форм резонаторов.

В работе Ming and Dai [209] излагаются результаты экспериментальных исследований акустического течения около объемного резонатора, внутренняя камера которого выполнена в виде сопла, к широкому отверстию которого подсоединен сферический сегмент. Диаметр узкого (выходного) отверстия сопла - 7см, диаметр широкого - 25.4см. Установлено, что на собственной частоте резонатора возле выходного отверстия формируется пульсирующая струя. Дано распределение средней скорости течения в различных сечениях, ортогональных оси симметрии. Установлено, что в сечениях возле выходного отверстия среднее течение направлено в области оси симметрии в одну сторону (к резонатору), а на периферии - в другую. На фазе всасывания газа в резонатор с внутренней стороны возле кромки его отверстия зафиксировано образование тороидального вихря. Приведена амплитудно частотная характеристика резонатора с ярко выраженной резонансной частотой в области 52Гц.

Экспериментальные исследования акустических течений около возбужденных объемных резонаторов, имеющих малые размеры (объем <1см3) и короткую длину канала отверстия (<0.1 мм) проводились в НИЛ "Измерительные преобразователи" КГТУ им.А.Н.Туполева, г.Казань, под руководством заведующего лабораторией Е.В.Мартынова. Некоторые результаты этих исследований опубликованы в работах Мартынов [110], Мартынов и Краснов [111], Аганин и др. [23]. Обнаружено, что в зависимости от параметров возбуждения и геометрии резонатора около отверстия возможны три режима течения: ламинарный, переходный и турбулентный. Ламинарный режим устанавливается при числах Рейнольдса Re < 600 (Re = umax d/v, где vmax -наибольшее значение средней скорости на оси симметрии, й- диаметр отверстия, v- коэффициент кинематической вязкости). Он характеризуется отсутствием высокочастотных беспорядочных пульсаций во всей области течения и малой скоростью струи. Переходный режим характеризуется наличием высокочастотных хаотических пульсаций во всей области течения. При преобразовании из ламинарного режима в переходный ширина струи существенно увеличивается, а постоянная составляющая скорости вдоль оси симметрии резко уменьшается. При Re < 800 устанавливается турбулентный режим. Он характеризуется наличием ламинарного ядра вдоль оси симметрии длиной до

5d, вокруг которого имеется шлейф с беспорядочным высокочастотными пульсациями, характерными для турбулентных течений.

Динамика пузырька газа в жидкости. В последнее время наблюдается резкое увеличение интереса к задачам нелинейных колебаний пузырька газа в жидкости. Начиная с работы Рэлея (Rayleigh) [230], в которой рассматривалась задача о схлопывании пузырька в неограниченном объеме несжимаемой жидкости, и до относительно недавнего времени для теоретического исследования колебаний пузырька газа в жидкости использовались в основном модели Рэлея-Ламба-Плессета, в которых разрежение-сжатие газа в пузырьке принимается по всему объему равномерным, а окружающая пузырек жидкость - несжимаемой или слабосжимаемой. В развитие этой модели внесли вклад работы Rayleigh [230], Herring [180], Plesset [227], Noltingk and Neppiras [225], Poritsky [228], Trilling [244], Prosperetti [229], Нигматулин [116], Lofstedt et al. [203] и др. Одна из последних подобных моделей предложена Нигматулиным и др. [117]. В отличие от других моделей при ее построении окружающая пузырек жидкость разбивается на две зоны. Принимается, что в ближней к пузырьку зоне, которая составляет от 1 до 10 радиусов пузырька, жидкость несжимаема, а в дальней справедливо акустическое приближение. Сшивка зон производится асимптотически через промежуточную бесконечность. Другое отличие этой модели от аналогичных моделей состоит в том, что в ней учитываются не только волны, расходящиеся от пузырька, но и волны, отраженные от внешней поверхности жидкого объема.

Новый всплеск интереса к задачам динамики пузырька газа в жидкости возник после экспериментального открытия в начале 90-х годов явления од-нопузырьковой сонолюминесценции (Gaitan et al. [170]), обещающего большие перспективы для физики и химии (Crum [164, 165]). В типичном эксперименте по сонолюминесценции сферическая колба радиусом в несколько сантиметров заполняется жидкостью (водой). С помощью преобразователей на поверхности колбы в жидкости создается стоячая волна так, что помещенный в нее пузырек радиусом в несколько микрон запирается возле центра колбы. Пузырек совершает периодические колебания, на каждом из которых возникает вспышка света.

Явление однопузырьковой сонолюминесценции обладает рядом интересных свойств. В первую очередь это трансформация акустической энергии в световую с очень коротким временем излучения (Gompf et al. [172], Hiller et al. [183]), наличие оптического спектра с плавным увеличением вплоть до ультрафиолетовой области ([Hiller et al. [182], Hiller [181]), устойчивость колебаний пузырька в течении тысяч акустических циклов (Barber et al. [152]). Обсуждение этих и других аспектов однопузырьковой сонолюминесценции можно найти в обзорных работах Barber et al. [153], Matula [204].

Обычно устойчивая динамика и свечение пузырька в жидкости наблюдается при частотах 10-50кГц, среднем радиусе 1-1 Омк, то есть при возбуждении на частотах ниже частоты линейного резонанса. При малых амплитудах возбуждения пузырек совершает колебания с сохранением сферической формы. Однако с течением времени он растворяется из-за наличия поверхностного натяжения (Akhatov et al. [149]). С увеличением амплитуды возбуждения, благодаря диффузии через поверхность пузырька, размеры пузырька в ходе колебаний увеличиваются (Crum [164], Akhatov et al. [149]), так что пузырек фрагментируется, наблюдается образование микроструек, неустойчивость границы раздела фаз, "танцующее" поведение (Holt and Gaitan [185]). При дальнейшем увеличении амплитуды возбуждения положение пузырька фиксируется. Его колебания и свечение становятся устойчивыми. Еще большее увеличение амплитуды возбуждения сначала приводит к пропорциональному увеличению интенсивности свечения (Matula [204]), а затем, после превышения некоторого порогового значения, к разрушению пузырька. Очевидно, что при устойчивых колебаниях пузырька интегральные потоки массы через поверхность пузырька за период колебаний должны быть равны нулю. На начальных этапах теоретического моделирования использование этого условия приводило к значительной разнице между значениями среднего радиуса в теории и экспериментах. Недавно была предложена новая гипотеза (Lohse et al. [202]), в соответствии с которой высокие температуры, возникающие внутри пузырька в ходе схлопывания, вызывают химические реакции. Химические реакции изменяют содержимое пузырька так, что с течением времени основную роль в установлении устойчивого режима колебаний начинают играть инертные газы, имеющие малую концентрацию в газе, растворенном в жидкости.

Сравнение расчетных и экспериментальных данных показывает (Lôfstedt et al. [203]), что в подавляющей части периода модель Рэлея-Ламба-Плессета дает правильное изменение радиуса пузырька во времени. Наибольшее расхождение имеет место в завершающей стадии схлопывания пузырька, где возникает вспышка света. В частности, уровень расчетных температур получается ниже тех, что, по оценкам, наблюдается в экспериментах. Было высказано предположение (Lôfstedt at al. [203]), что причиной свечения являются ударные волны, возникающие внутри пузырька при определенных параметрах возбуждения. Это предположение подтвердили расчетами Wu and Roberts [254, 255]. Для описания газовой среды в пузырьке они использовали уравнения газовой динамики, а скорость движения поверхности пузырька находили решением уравнения Рэлея-Ламба-Плессета. При таком сочетании окружающая пузырек жидкость предполагается слабосжимаемой. Подобный подход использовали также Kondic et al. [197], Vuong and Szeri [246], Chi and Leung [158], Yuong et al. [247]. При этом Wu and Roberts [254, 255], Vuong and Szeri [246] принимали уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, Kondic et al. [197] -уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, дополненное слагаемыми, учитывающими вибрационные степени свободы, ионизацию и диссоциацию, Chi and Leung [158] - уравнения состояния Ван-дер-Ваальса, Шривасана (Srivasan et al.[239]) и Мосса (Moss et al. [217]), Yuong et al. [247] - широкодиапазонное трехчленное уравнение состояния из холодной составляющей и слагаемых, учитывающих движение ядер и электронов. Расчеты Wu and Roberts [254, 255] показывают, что на финальной стадии схлопывания имеет место взаимодействие расходящихся ударных волн с границей между газом и жидкостью. Поэтому на финальной стадии предположение о малой сжимаемости жидкости является недостаточно точным. Для моделирования схлопывания пузырька необходимо применять полную гидродинамическую модель не только для газа, но и для жидкости. Моделирование динамики пузырька с использованием уравнений газовой динамики для обеих сред было выполнено Moss et al. [217, 218]. При этом для жидкости при больших давлениях применялось уравнение состояния Ree [231].

Выводы относительно существующих методов исследования нелинейных колебаний газа и эюидкости. Нелинейные колебания газа активно изучаются экспериментально и теоретически. В подавляющем большинстве работ теоретический анализ ведется на основе метода малого параметра. При этом используется предположение о постоянстве энтропии при переходе через скачок уплотнения. Часто предполагается также и периодичность решения. Такой подход вполне оправдан при отсутствии ударных волн. В качестве приближенного метода он может применяться также и для изучения колебаний с ударными волнами малой интенсивности. В противном случае, когда интенсивность ударных волн значительна, пренебрежение эффектом изменения энтропии на разрыве может приводить к физически неверным результатам. Поэтому для исследования интенсивных колебаний газа с ударными волнами необходимо применять другие подходы.

Интенсивные колебания газа часто сопровождаются относительно большими перемещениями границ пространственной области, где они происходят. В частности, это могут быть перемещения стенок резонаторов, границы раздела с жидкостью и др. Для изучения подобных задач необходимо применять уравнения газовой динамики, включающие законы сохранения массы, импульса и полной энергии. В рамках такого подхода решение находится численно.

В работе используются две модели динамики среды. Первая модель представляет собой систему уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и полной энергии. Вторая отличается от первой тем, что последнее уравнение в ней выражает сохранение энтропии. Исходные уравнения записываются относительно подвижных криволинейных координат.

Численные методы для задач с подвижными границами. Эффективность такого подхода во многом определяется используемыми в нем численным методом, алгоритмом построения расчетных сеток, а при больших изменениях формы границ расчтной области и методом интерполяции решения с одной вычислительной сетки на другую.

Среди численных методов решения уравнений газовой динамики одним из наиболее эффективных ввиду своей универсальности является конечно-разностный метод. Применение метода конечных разностей позволяет получить решение широкого класса задач с разнообразными особенностями течений. Описание методов численного интегрирования уравнений газовой динамики, разностных схем, их свойств, а также обзор большого числа работ можно найти у Анучиной [27], Анучиной и Забродина [28], Белоцерковского [32], Белоцерковского и Давыдова [33], Годунова и Рябенького [64], Годунова и др. [61, 62], Ковеня и Яненко [100], Кутлера [104], Пейре и Тейлора [121], Рихтмайера и Мортона [127], Роуча [128], Самарского [132], Самарского и Попова [133], Шенга [140], Чемпена [139], Harten et al. [177], Woodward and Colella [253].

Разностные схемы, лежащие в основе численных методов в газовой динамике совершенствуются по многим направлениям. Не придерживаясь какой-либо строгой классификации, среди них можно выделить такие, как метод С.К.Годунова (метод распада разрыва) [60], метод коррекции потоков FCT Бориса и Бука [36], полностью консервативные схемы со сбалансированной аппроксимацией конвективных потоков (Головизнин и др. [65]), схемы с невозрастающей полной вариацией TVD Harten [174], применение повышенного порядка интерполяции в рамках метода распада разрыва (Colella and Woodward [162]), применение приближенного решения задачи о распаде разрыва (Roe [233]), метод конечного объема (Wang and Widhopf [248]), использование пятиточечных шаблонов по пространству (Montagne et al. [210]), неявные схемы (Yee and Harten [256]), вариационно-разностные подходы (Головизнин и др. [68-72]), схемы типа ENO (Harten and Osher [178]) и UNO (Harten et al. [175]), метод расщепления потоков по направлениям (Yee et al. [257]), локально-бароторпные схемы (Головизнин и Самарская [66,67]).

В соответствии со способами описания движения среды существующие численные методы можно подразделить на лагранжевые, эйлеровые и смешанные эйлерово-лагранжевые (СЭЛ) (Noh [220-222]). Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. В лагранжевых методах (Noh [222]) расчетная сетка вморожена в среду и перемещается вместе с ней. Каждая ячейка сетки содержит один и тот же элемент среды. Лагранжевы методы наилучшим образом подходят для задач с подвижными границами. В силу жесткой связи сетки со средой координатная линия, размещенная в начальный момент времени вдоль границы, остается в таком положении на протяжении всего хода вычислений. Поэтому реализация граничных условий здесь проще. Кроме того, в лагранжевых методах нет сложностей, связанных с конвективными слагаемыми, аппроксимация которых требует особого внимания. В противном случае может возникать связанное с этим численное размазывание градиентов решения.

Вместе с тем, при использовании лагранжевых методов возникают серьезные проблемы, обусловленные потерей точности на сильно искаженных ячейках. Для избежания искажений ячеек в литературе предлагается ряд средств. Так, Софронов и др. [135], Шульц [142], Wilkins [252] применяют искусственную вязкость, замедляющую скашивание углов ячеек. В численной методике LINK (Батлер [31]) для регуляризации конечно-разностной сетки вводятся искусственные массовые силы. В работах Гольдин и др. [74], Софронов и др.[135] используются треугольные ячейки. Треугольные ячейки накладывают на движение среды более "жесткие" ограничения, чем четырехугольные (Бабенко [29]). Там, где требуется моделирование сложных физических процессов, применяют комбинированные треугольно-четырехугольные ячейки.

Всякая регуляризация сетки без применения ее локальной или глобальной перестройки имеет смысл при лагранжевом подходе лишь при подавлении искажений ячеек численной природы. Если по ходу решения ячейка "выворачивается" естественным образом, то искусственное сдерживание такой деформации ячейки дает неверный результат. Общим методом избежания сильных искажений ячеек при лагранжевых подходах является перестройка сетки с проведением соответствующей интерполяции решения. Поскольку всякая интерполяция может толковаться как своеобразный пересчет конвективных потоков, то с вычислительной точки зрения без ущерба для экономичности лагранжевого подхода следует вести речь лишь о локальной перестройке сетки. В этом смысле глобальная перестройка сетки также возможна, но только при условии, что она выполняется достаточно редко. В противном случае более оправданным оказывается использовать метод СЭЛ переменных.

Особенностью эйлеровых методов является неподвижность сетки. В рамках эйлеровых методов задачи с фиксированными границами обычно решаются на неравномерных криволинейных сетках, сгущающихся в зонах с большими градиентами решения. Эйлеровые методы позволяют изучать движение среды при больших изменениях ее элементарных объемов. Вместе с тем, возникают трудности с численной реализацией граничных условий на поверхностях, не совпадающих с координатными линиями неподвижной эйлеровой сетки. В частности, в окрестности подвижных границ могут возникать дробные ячейки. С одной стороны, это ведет к усложнению алгоритмов постановки граничных условий, а с другой - к понижению точности вычислений.

Применение СЭЛ переменных (подвижных сеток) позволяет в определенной степени избавиться от недостатков и соединить преимущества лагранжевых и эйлеровых подходов. СЭЛ переменные вносят гибкость в изменение сеток, так что сетки могут оставаться неподвижными, двигаться вместе со средой или перемещаться независимо от среды произвольным наперед заданным образом. Например, одно семейство координатных линий может оставаться неподвижным, а другое - перемещаться вместе со средой (Трулио [136]). Можно проводить вычисления во внутренних узлах расчетной области на неподвижной сетке, а границы перемещать лагранжевым образом (Noh [220-223]), Niçois et al. [219]. Однако наиболее часто расчетная сетка внутри вычислительной области подстраивается под изменяющуюся форму границ (Гильманов и др. [58], Гильманов и Сахабутдинов [57, 59], Годунов и др. [61, 62], Годунов и Прокопов [63], Головизнин и др. [65], Лисейкин и Яненко [108], Сахабутдинов и Петров [134], Херт [138], Amsden and Hirt [151], Butler et al. [156], Hirt et al. [184]). Обсуждение смешанного эйлерово-лагранжевого подхода для изучения больших смещений деформируемых тел в идеальной жидкости и варианты записи кинематических и динамических граничных условий на поверхности контакта приводятся М.А. Ильгамовым [91,92, 96].

В соответствии с величиной перемещения узлов разностной сетки за один шаг по времени существующие СЭЛ методы можно подразделить на 3 группы. К первой группе можно отнести квазилагранжевые методы, в которых величина перемещения узлов относительно мала (Брекбилл [38]). Вторую группу можно составить из методов, в которых перемещение узлов сетки больше, чем в первой группе. Вместе с тем оно ограничено некоторой долей (как правило 1/3) минимального характерного размера окружающих узел ячеек. Методы первых двух групп широко применяются для решения разнообразных задач.

В ряде задач по ходу расчета может возникать потребность в коренном изменении сетки, в частности, тогда, когда часть узлов нужно добавить, удалить или переместить на большое расстояние. Все эти ситуации можно свести к случаю с большим перемещением узлов. Тогда переход на новую сетку можно выполнить путем перемещения узлов не за один, а за несколько вспомогательных шагов, с удовлетворением на каждом из них условий методов второй группы. Однако такой переход обычно вызывает сильное размазывание градиентов решения. Поэтому во многих случаях он может быть неприемлемым. Наиболее естественным способом перехода на новую сетку при больших перемещениях узлов является интерполяция. Если в интерполируемом решении имеются разрывы, то при частом проведении интерполяция должна быть консервативной. Методы консервативной интерполяции предложены Ногак е! а1. [186], Гулидовым и Фоминым [77], Эико-шсг [167]. Метод Гулидова и Фомина [77] развит для небольшой коррекции сеток в лагранжевых методах расчета. Алгоритм Ногак е! а1. [186] является дискретным. Его точность зависит от количества частей, на которые разбиваются интерполируемые ячейки. Представляется, что такой способ эффективен тогда, когда новая сетка является декартовой. Среди перечисленных выше методов интерполяции наиболее общим является тот, что предложен Биколуюг [167]. Вместе с тем, метод Викошюг [167] требует машинного времени больше, чем другие перечисленные методы. Кроме того, он сложнее в алгоритмическом отношении.

Таким образом, имеется две возможности перехода на новую сетку: расчет конвективных потоков по аналогии с обычными эйлеровыми методами и интерполяция. Первый способ годится для относительно небольших изменений сетки в два последующие момента времени, а второй можно использовать в любом случае. При этом первый способ экономичнее второго.

Важным аспектом численного решения задач газовой динамики являются искусственные границы расчетной области, которые возникают при замене неограниченной области исходной дифференциальной задачи на конечную область разностной задачи. Обычно такие границы вызывают отражения, которые могут существенно исказить решение внутри расчетной области. Для избежания или уменьшения влияния отраженных возмущений применяют различные приемы. Наиболее простым и общепринятым является последовательное удаление внешних искусственных границ до тех пор, пока отраженные возмущения не перестанут достигать интересующую часть расчетной области. Иногда подобное расширение расчетной области может приводить к значительному увеличению времени счета, а иногда, в силу естественных ограничений производительности компьютеров, может быть просто недостижимо.

Более экономичным способом борьбы с отраженными возмущениями является постановка неотражающих граничных условий, пропускающих падающие волны без отражений. Обзоры исследований по теме неотражающих граничных условий выполнены Ильгамовым [93, 94]. Им же предложен ряд новых неотражающих условий. Результаты их применения к задачам осесим-метричного обтекания изложены в статьях Ильгамова и Илюшина [98], Кут-дусова [103]. Еще одним способом борьбы с отраженными возмущениями является введение в исходные уравнения дополнительных слагаемых, изменяющих скорость распространения или амплитуду падающих на границу или отраженных от нее волн. С помощью таких слагаемых можно, например, ввести возле искусственных границ поглощающий слой и путем подбора коэффициентов поглощения добиваться уменьшения амплитуды проходящих возмущений (Ильгамов [95]).

В работе для интегрирования уравнений газовой динамики используются метод распада разрыва, локально-характеристический метод и произвольный лагранжево-эйлеров метод. Эти методы используются в литературе для решения задач газовой динамики в постановке с сохранением полной энергии. В настоящей работе дается развитие идеологий метода распада разрыва и локально-характеристического метода на случай системы с уравнением сохранения энтропии. Возможность решения задачи разными методами является важной для контроля достоверности получаемых результатов. Применяются подвижные неравномерные криволинейные сетки, подстраиваемые под геометрию границ расчетной области. Структура расчетной сетки может изменяться. При изменении структуры расчетной сетки перевод решения с одной сетки на другую выполняется методом консервативной интерполяции. Научная новизна работы состоит в:

- методике численного моделирования нелинейных колебаний газа в областях с подвижными границами на основе уравнений газовой динамики в форме законов сохранения;

- модели динамики пузырька газа в жидкости, сочетающей уравнения газовой динамики и их приближения;

- результатах численного моделирования средних течений и волн около выходных отверстий объемных резонаторов;

- результатах численного моделирования пульсаций газа во внешнем поле открытой резонансной трубы.

Апробация работы. Материалы работы обсуждались на следующих семинарах и конференциях: семинар академика Х.А.Рахматулина, НИИ механики МГУ, Москва (1984); семинар академика А.А.Самарского кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, Москва (1984); VI Всесоюзная школа "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", Горький (1986); Всесоюзная летняя школа по теории взаимодействия упругих оболочек с жидкостью, газом и твердым деформируемым телом, Казань (1986); VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Ташкент (1986); семинар НИИ Механики при Горьковском государственном университете, Горький (1986); семинар в Институте прикладной механики АН СССР под рук. проф. В.И.Кукуджанова, Москва (1986); семинары аэродинамического отдела НИИ автоматических устройств, Москва (1982-1987); семинар филиала Института атомной энергии им. И.В.Курчатова под рук. проф. В.Е.Трощиева, Троицк (1986, 1987); Итоговые конференции КФТИ и ИММ КФ АН СССР/КНЦ РАН (1981-1991); семинар на факультете аэродинамики Нанкинского авиационного института, Нанкин, Китай (1990); семинары отдела МСС КФТИ и ИММ КФ АН СССР/КНЦ РАН (1984-1992); Международная конференция по методам аэрофизических исследований, Новосибирск (1994); V Всероссийское совещание "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики", Казань (1994); I Поволжская научно-техническая конференция, Самара (1995); Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", Казань (1995); Международная научно-техническая конференция "Модель-Проект -95", Казань (1995); Международная конференция "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", Новосибирск (1996); Международный научно-техн. семинар "Новые технологии-96", Казань (1996); Int. Conf. "Mean flow effects in acoustics", Keele, England (1996); First Russia-Japan Joint Simposium on Computational Fluid Dynamics, Novosibirsk (1996); Республиканская научная конференция "Проблемы энергетики", Казань (1997, 1998); IV Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань (1997); First Int. Workshop ICE'97, Predeal, Romania (1997); семинар академика Р.И. Нигматулина, Уфа (1997-1999); Всероссийская конференция "Краевые задачи и их приложения", Казань (1999).

Работа в целом обсуждалась на семинаре ИММ КНЦ РАН.

Структура работы. Работа состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы.

В первой главе излагаются основные положения методики расчета. Приводятся две системы исходных уравнений, различающихся тем, что одна система включает уравнение сохранения полной энергии, а другая - уравнение сохранения энтропии. Описывается структура расчетной области и основные граничные условия. Дается вывод ряда параметров преобразования одномерной системы уравнений относительно исходных переменных к эквивалентной системе относительно характеристических переменных. Эти параметры необходимы для используемого в методике локальнохарактеристическом метода. Приводятся решения задач о поршне, вдвигаемом в сжимаемую среду и выдвигаемом из нее. Решения даются для обеих систем исходных уравнений. Они используются в приводимых далее решениях задачи о распаде разрыва в сжимаемой среде, необходимых для используемого в методике метода распада разрыва. В конце главы излагается метод консервативной интерполяции, используемый для перевода решения с одной сетки на другую в случае различия их структур. Основное содержание данной главы опубликовано в работах Аганин [1, 10], Аганин и др. [4-7], Аганин и Кузнецов [16-20], Гильманов и Аганин [55], Аганин и Смирнова [26], Aganin and Ilgamov [144].

Во второй главе излагаются основные элементы методики расчета. Это алгоритм построения сеток, алгоритмы расчета методом распада разрыва, локально-характеристиеским методом и произвольным лагранжево-эйлеровым методом, алгоритм консервативной интерполяции. Приводится анализ порядка точности и TVD свойства (неувеличения полной вариации решения) разностной схемы, лежащей в основе используемого алгоритма локально-характеристического метода. Дается вывод параметров вспомогательного среднего состояния локально-характеристического метода. Основное содержание данной главы опубликовано в работах Аганин [1, 3], Аганин и др. [4-7], Аганин и Кузнецов [16-20], Гильманов и Аганин [55], Аганин и Смирнова [25], Aganin and Ilgamov [144].

Третья глава посвящена оценке эффективности принятых в методике алгоритмов и реализующего их программного комплекса. Для этого в основном применяются задачи, имеющие аналитические решения. Приводятся решения задач о распаде разрыва, о слете холодного газа к точке, о сходящемся сферическом поршне, о сверзвуковом обтекании клина и конуса, о раскрытии парашюта в потоке газа. Основное содержание данной главы опубликовано в работах Аганин и Ильгамов [10], Аганин и Кузнецов [16, 18-20], Гильманов и Аганин [55], Аганин и Смирнова [25, 26].

В четвертой главе приводятся результаты исследования нелинейных колебаний газового столба в закрытой трубе при периодическом возбуждении поршнем и непериодическом резонансном возбуждении внешним давлением. Основное содержание данной главы опубликовано в работах Аганин и Ильгамов [8, 9, 11], Аганин и др. [22], Аганин и Смирнова [25], Aganin et al. [147].

В пятой главе рассматривается динамика сферического пузырька газа в центре сферического объема жидкости при идеальных моделях обеих сред. Приводится построение новой модели, основанной на использовании принятой полной постановки этой задачи и ее приближений. Дается анализ ее эффективности. Основное содержание данной главы опубликовано в работах Аганин [2], Аганин и Ильгамов [10,12,13,15], Аганин и др. [24], Aganin [143].

В шестой главе излагается дальнейшее развитие идеологии моделирования динамики пузырька газа в жидкости на основе совместного применения уравнений газовой динамики и их приближений для постановки задачи с учетом теплопроводности газа и жидкости, вязкости жидкости в приближении несжимаемой жидкости, поверхностного натяжения на границе между жидкостью и газом. При высоких давлениях используются взятые из литературы уравнения состояния реальных газа и жидкости. В частности, уравнение состояния газа учитывает колебательные степени свободы, диссоциацию, ионизацию, силы межмолекулярного взаимодействия. Даются результаты исследования условий перехода к приближениям, эффекта теплопроводности при разных уравнениях состояния и различных амплитудах возбуждения. Основное содержание данной главы опубликовано в работах Аганин и Ильгамов [13-15], Аганин и др. [24], Aganin [143].

29 шень ортогональны оси симметрии. Внешняя область ограничена неподвижными стенками, которые совместно с поверхностью резонатора образуют внешнюю цилиндрическую камеру, расположенную соосно с камерой резонатора. Дается сравнение полученных результатов с известными экспериментальными данными. Оценивается влияние геометрических характеристик и параметров возбуждения. Основное содержание данной главы опубликовано в работах Аганин и др. [23], Аганин и Смирнова [26], Aganin е1 а1. [148].

В восьмой главе рассматривается колебания газа, генерируемые открытой резонансной трубой, источником возбуждения в которой является плоский поршень. Излагаются результаты исследования особенностей пульсаций газа в области оси симметрии, изменения газовых потоков на установившемся режиме и структуры среднего течения. Основное содержание данной главы опубликовано в работах Аганин и Кузнецов [21], Aganin е1 а1. [145, 146].

В заключении приводятся основные результаты и выводы.

Автор выражает глубокую благодарность член-корреспонденту РАН Марату Аксановичу Ильгамову за внимание и поддержку при работе над диссертацией. Автор признателен также коллегам, родственникам и друзьям, оказавшим содействие появлению этой работы.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

2. Исследовано влияние нагрева газа ударными волнами на характер разрывных колебаний газового столба в закрытой трубе при периодическом возбуждении поршнем. Установлено, что при амплитудах хождения поршня порядка 10~3 длины трубы этим эффектом можно пренебречь. При амплитудах хождения поршня на порядок больше нагрев газа ударными волнами ведет к значительному увеличению длительности переходного режима. Максимальные значения амплитуды колебаний давления на переходном режиме получаются в -1.5 раза больше, чем на установившемся. Учет нагрева газа ударными волнами приводит к увеличению максимального давления на -35%. При этом максимальное давление по частоте сдвигается относительно собственной частоты газового столба в сторону больших значений на -10% дальше, чем в случае, когда нагрев газа в трубе не учитывается.

3. Исследованы нелинейные колебания газового столба в закрытой трубе при непериодическом резонансном возбуждении, когда действующее на поршень внешнее давление изменяется в такт с движением поршня. Установлено, что без учета трения поршня о стенки трубы периоды колебаний и максимальные значения пиковых температур быстро и неограниченно возрастают. При этом минимальные значения температуры на фазе разрежения и длины газового столба на фазе сжатия из-за нагрева газа в трубе в результате преобразования на ударных волнах части механической энергии в тепловую также увеличиваются. При учете трения поршня о стенки трубы режим периодических колебаний наступает лишь при отсутствии ударных волн. При наличии ударных волн амплитуда и период колебаний, а также минимальные значения температуры и длины газового столба медленно возрастают.

5. Исследована зависимость динамики пузырька воздуха в воде от амплитуды возбуждения Арех, теплопроводности газа и жидкости с полным учетом сжимаемости обеих сред и с применением уравнений состояния реальных газа и жидкости. В уравнении состояния воздуха учитывались вибрационные степени свободы, диссоциация, ионизация, силы межмолекулярного взаимодействия. Рассмотрен случай динамики пузырька равновесного радиуса 4.5мкм при изменении амплитуды возбуждения от 1.15 до 1.65бар. Установлено, что в рамках принятой модели при амплитуде возбуждения Арех «1.15 бар ударные волны в пузырьке не возникают. С увеличением амплитуды возбуждения в центре пузырька наблюдается фокусировка сначала одной ударной волны (при \.25< Арех <1.55бар), а затем - двух (при Арех «1.65бар). При пренебрежении эффектом теплопроводности указанные особенности в решении сохраняются, но с небольшим сдвигом по амплитуде. В частности, без учета теплопроводности фокусировка двух ударных волн в центре пузырька начинает наблюдаться с Арех «1.55бар. При переходе к уравнению состояния Ван-дер-Ваальса амплитуда возбуждения, соответствующая образованию ударной волны в пузырьке, увеличивается до Арех «1.55бар. С применением уравнения состояния Ван-дер-Ваальса фокусировка двух ударных волн в центре пузырька в рассмотренном диапазоне изменения амплитуды возбуждения не наблюдается.

6. Впервые проведено численное моделирование колебаний газа около выходного отверстия объемных резонаторов. Рассмотрены резонаторы в виде короткой трубы, на одном конце которой находится подвижный поршень, а на другом - круговая пластина с центральным отверстием. Изучено изменение структуры течения газа около отверстия на переходном и установившимся режимах колебаний при возбуждении в окрестности резонансной частоты. Установлено, что в ходе колебаний возле отверстия объемного резонатора вдоль оси симметрии образуются две пульсирующие струи, одна - внутри, а другая - снаружи резонатора с направлением в сторону от отверстия. Образование пульсирующих струй является результатом того, что основная масса газа, перетекающего через отверстие, забирается из области возле поверхности пластины, а выбрасывается в область оси симметрии. Выявлено, что изменение направления потока газа через сечение отверстия пластины на противоположное происходит не по всей площади отверстия одновременно, а последовательно от его кромки к центру. Средние течения газа и внутри, и во внешней камере резонатора представляют собой тороидальные вращательные движения, при которых смещение газа в области оси симметрии происходит в направлении пульсирующих струй.

7. Впервые проведено численное моделирование пульсаций газа во внешнем поле открытой резонансной трубы. Выявлены особенности структуры газовых потоков и средних течений на установившемся режиме. В частности, установлено, что максимальные скорости движения газа достигаются не в области оси симметрии, а возле кромки отверстия. Там же достигаются максимальные скорости среднего течения. Обнаружено, что изменение направления потока газа через сечение отверстия трубы на противоположное происходит не по всей площади отверстия одновременно, а последовательно от его кромки к центру. Во внешнем поле трубы на расстоянии полутора-двух ее диаметров выделена соосная с ней цилиндрическая область, диаметр и длина которой примерно равны одному и пяти диаметрам трубы, соответственно. В этой области интенсивные колебания сопровождаются большими скоростями среднего течения. Вблизи среза трубы интенсивность волнового поля выше, однако скорости среднего течения - меньше. В остальной части внешнего поля скорость среднего течения и интенсивность волнового поля плавно уменьшаются.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Аганин, Александр Алексеевич, Казань

1. Аганин A.A. Взаимодействие газа с тонкими телами изменяемой геометрии при наличии конструктивной проницаемости //Взаимодействие оболочек со средой. Труды семинара. Казань: КФТИКФАН СССР. 1987, №20. С.70-90.

2. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование процесса раскрытия парашюта //Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Ташкент: 1986. С. 16.

3. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование взаимодействия газовых потоков с подвижными телами изменяемой геометрии //Численные методы механики сплошной среды. Сборник трудов. Новосибирск: 1986а, Т.17, № 6.С.З-11.

4. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование взаимодействия парашюта с газом //Труды 8-Дальневосточной конференции по мягким оболочкам. Владивосток. 1987а. С.96-99.

5. Агании A.A., Ильгамов М.А. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе //Прикл. Мех. Техн. Физ., 1994, Т.35, № 6. С.39-44.

6. Аганин A.A., Ильгамов М.А. Колебания газа в закрытой трубе при непериодическом резонансном возбуждении поршнем //Труды 4-конф. по нелинейным колебаниям механических систем, 1996, Н.-Новгород, С.З.

7. Аганин A.A., Ильгамов М.А. Особенности расчета нелинейных сферических волн в газе и жидкости методом распада разрыва //Моделирование динамических процессов в сплошных средах. Казань: Издательство Казанского математического общества. 1997. С. 109-194.

8. Аганин A.A., Ильгамов М.А. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе при непериодическом движении поршня //Изв. АН. МЖГ, 1998, № 2. С.134-142.

9. Аганин A.A., Ильгамов М.А. Численное моделирование динамики газа в пузырьке при схлопывании с образованием ударных волн //Прикл. Мех. Техн. Физ., 1999, Т.40,№2. С.101-110.

10. Аганин A.A., Ильгамов М.А. Колебания сферического пузырька газа в жидкости с образованием ударных волн //Изв. АН. МЖГ, 1999а, №6. С.126-133.

11. Аганин A.A., Ильгамов М.А. Гидродинамическое моделирование периодических колебаний пузырька воздуха в воде //Труды Всеросс. научн. конф. "Краевые задачи и их приложения", Казань, 1999b. С. 129-135.

12. Аганин A.A., Ильгамов М.А. Численное моделирование динамики кавита-ционного пузырька в жидкости //Тезисы докладов Междунар. конф. "Математ. модели и методы их исследования", Красноярск, 1997, С.4-5.

13. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Метод консервативной интерполяции интегральных параметров ячеек произвольных сеток //Динамика оболочек в потоке. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1985, № 18. С. 144-160.

14. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Алгоритм расчета газодинамических задач на произвольно изменяющихся сетках //Численные граничные условия. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1990, №26. С.85-98.

15. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Реализация граничных условий на контактных поверхностях в задачах обтекания тел сложной геометрии //Численные граничные условия. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1990а, №26. С.99-118.

16. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Построение расчетных сеток в задачах внешнего обтекания тел сложной изменяемой геометрии //Численные граничные условия. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1990b, №26. С.119-130.

17. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Численное моделирование внешнего волнового поля открытой резонансной трубы //Труды Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", Новосибирск, 1996. С.120-121.

18. Аганин A.A., Кузнецов В.Б., Кутдусов P.M., Малов O.A., Смирнова Э.Т. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе с подвижным поршнем //Деп. ВИНИТИ 04.09.90 N 4883 -В90. С. 1-24.

19. Аганин A.A., Кузнецов В.Б., Мартынов Е.В., Смирнова Э.Т. Экспериментальное и численное исследование акустических течений около объемных резонаторов //Прикл. Мех. Техн. Физ., 1997, Т.38, №6. С.61-71.

20. Аганин A.A., Нигматулин Р.И., Ильгамов М.А., Ахатов И.Ш. Динамика пузырька газа в центре сферического объема жидкости //Докл. АН. 1999. Т.369. №2. С.182-185.

21. Аганин A.A., Смирнова Э.Т. Численное моделирование продольных колебаний газа в закрытой трубе на основе уравнений идеального газа

22. Моделирование динамических процессов в сплошных средах. Казань: Издательство Казанского математического общества. 1997. С.7-33.

23. Аганин A.A., Смирнова Э.Т. Численное моделирование интенсивных возмущений газа акустическими резонаторами //Моделирование динамических процессов в сплошных средах. Казань: Издательство Казанского математического общества. 1997а. С.34-80.

24. Анучина H.H. О методах расчета течения сжимаемой жидкости с большими деформациями //Численные методы механики сплошной среды. Сб. ст.: Новосибирск. 1970.Т.1, № 4. С.3-84.

25. Анучина H.H., Забродин A.B. Обзор некоторых методов численного решения нестационарных двумерных газодинамических задач //Препринт ИПМ АН СССР. М.: Изд. ИПМ АН СССР. 1976. №60. 47 с.

26. Бабенко К.К. (ред.) Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука. 1979. 296 с.

27. Бакшеев С.П. Нестационарная аэроупругая модель наполнения проницаемого осесимметричного парашюта в потоке идеального сжимаемого газа // Моделирование полета и аэродинамические исследования. Киев. Изд-во Книга. 1988. С.130-139.

28. Батлер Т. Развитие метода ДШТС //Вычислительные методы в механике жидкости. Сб. ст: М.: Мир. 1973. С. 146-155.

29. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука. 1984. 520 с.

30. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука. 1982. 392 с.

31. Белоцерковский С.М., Днепров И.В., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Динамика раскрытия парашюта // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. №3. С.174-179.

32. Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ. М. Машиностроение. 1987.239 с.

33. Борис Дж. П., Бук Д.Л. Решение уравнений непрерывности методом коррекции потоков //Управляемый термоядерный синтез. Сб. ст.: М: Мир. 1980. С.92-141.

34. Борисова H.A., Головин А.Н., Губарев A.B., Лаптев С.А., Некрасов A.A., Печенова О.И. Некоторые результаты исследования нелинейных вынужденных колебаний в резонаторе Гельмгольца //Прикл. Мех. Техн. Физ., 1984. №2(144). С.82-87.

35. Брекбилл Дж. Численная магнитная гидродинамика для плазмы с большим бета //Управляемый термоядерный синтез. Сб. ст.: М.: Мир. 1980. С.11-50.

36. Васильев Л.С., Зарипов Р.Г., Магсумова А.Т., Сальянов O.P. Экспериментальное исследование внешнего волнового поля у открытого конца трубы //Инженерно-физический журнал. 1991. Т.61, № 8. С.714-716.

37. Васильев Л.С., Новиков Ю.Н., Магсумова А.Т., Сальянов O.P. Исследование интенсивных колебаний газа в трубе, открытой с одного конца //Изв. СО АН. Сибирский физико-технический журнал. 1992. №4. С.84-86.

38. Владиславлев А.П., Коробков A.A., Малышев В.А. Трубопроводы поршневых компрессоров. М: Машиностроение. 1972. 288 с.

39. Галиев Ш.У. Нелинейные одномерные колебания вязкого теплопроводя-щего газа в сферическом или цилиндрическом слое // Труды семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1971. № 2. С.240-253.

40. Галиев Ш.У. Динамика взаимодействия элементов конструкций с волной давления в жидкости. Киев: Наукова думка. 1971а. 172 с.

41. Галиев Ш.У. Вынужденные продольные колебания нелинейно-упругого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 4. С.80-87.

42. Галиев Ш.У., Галиев Т.Ш. Линейные и разрывные вынужденные колебания потока пузырьковой жидкости в деформируемом трубопроводе (обзор) //Проблемы прочности. 1994. № 9. С.3-29.

43. Галиев Ш.У., Ильгамов М.А., Садыков Г.В. О периодических ударных волнах в газе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 2. С.57-66.

44. Галиев Ш.У., Шихранов H.H. Исследование возбуждаемых в диссипа-тивной среде периодических ударных волн методом малого параметра //Труды семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1971. №2. С.214-239.

45. Галиев Ш.У., Шихранов H.H. Вынужденные продольные колебания нелинейно-упругой сплошной среды // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казанского университета. 1972. № 9. С.402-418.

46. Галиев Ш.У., Шихранов H.H. Продольные нелинейные колебания газа, возбуждаемого в закрытой трубе со скачком сечения // Труды VIII Всесоюзной акуст. конф. Сб. ст.: Акуст. инст. АН СССР. 1973. С.31-32.

47. Галиуллин Р.Г., Пермяков Е.И. Резонансные колебания газа в закрытой трубе в случае турбулизации течения // Акустический журнал. 1993. Т.39, № 5. С.946-949.

48. Галиуллин Р.Г., Ревва И.П. Истечение пульсирующей струи из цилиндрического канала при колебаниях большой амплитуды. //Изв. ВУЗов. Энергетика. 1987. № 3. С.61-64.

49. Галиуллин Р.Г., Ревва И.П., Халимов Г.Г. Нелинейные колебания газа в полуоткрытой трубе //Акустический журнал. 1982а. Т. 28. № 5. С.617-621.

50. Галиуллин Р.Г., Ревва И.П., Халимов Г.Г. Теория термических автоколебаний. Казань: изд-во Казанск. ун-та. 1982b. 156 с.

51. Гильманов А.Н. Нелинейные колебания эластичной мембраны в дозвуковом потоке газа //Гидроупругость оболочек. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1983. № 16. С.53-69.

52. Гильманов А.Н., Аганин A.A. Изучение неотражающих условий на искусственных границах расчетной области //Динамика оболочек в потоке.-Казань Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1985, № 18. С.77-87.

53. Гильманов А.Н., Ильгамов М.А., Сахабутдинов Ж.М Взаимодействие мягких оболочек со сжимаемой жидкостью // Аннотации докладов V Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. Алма-Ата. Изд-во: Hayка. Казахская ССР. 1981. 111 с.

54. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Численное решение задачи динамики мягкой оболочки в потоке газа // Численные методы решения задач механики сплошной среды. Сб.ст.: Новосибирск. Изд-во: ИТПМ СО АН СССР. 1980. № 47. С.4-6.

55. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Задачи динамики упругих мембран из несжимаемого материала //Взаимодействие оболочек с жидкостью. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1981. № 14. С.118-126.

56. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Произвольный лагранжево эйлеров метод в нелинейных задачах взаимодействия упругого тела с потоком газа //Взаимодействие оболочек с жидкостью. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1981а. № 14. С.127-145.

57. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. 1959. Т.47(89), №3, С.271-306.

58. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976а. 400 с.

59. Годунов С.К., Забродин A.B. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики в подвижной криволинейной системе координат //Препринт.М.: Изд-во ИПМ АН СССР. 1976b. № 66. 39 с.

60. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // ЖВМ и МФ. 1972. Т.12, № 2. С.429-440.

61. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука. 1977. 440 с.

62. Головизнин В.М., Рязанов М.А., Самарский A.A., Чернов С.Ю. Двумерные полностью консервативные разностные схемы газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных // Препринт ИПМ им. Келдыша М.В. АН СССР. 1985. №11.

63. Головизнин В.М., Самарская Е.А. Об одномерных локально-баротропныхразностных схемах газовой динамики // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР. 1981а. № 58. 35 с.

64. Головизнин В.М., Самарская Е.А. Локально-баротропные разностные схемы газовой динамики // Диффер. уравнения. Сборник статей. 1981b. Т.17, №7. С.1228-1239.

65. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечно-разностных математических моделей и гидродинамике // Докл. АН СССР. 1977а. Т.235, № 6. С. 1285-1288.

66. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Об аппроксимации вариационно-разностных уравнений гидродинамике //Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР. 1977b. № 34.

67. Головизнин В.М., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению разностных схем для уравнений гидродинамики в сферических координатах // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР. 1977с. № 16.

68. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению сбалансированных дискретных моделей в многомерной гидродинамике // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР. 1980а. № 141. 31 с.

69. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный принцип для систем с распределенными параметрами гидродинамического типа // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР. 1980b. №147. 20 с.

70. Гольдберг З.А. Акустический ветер //Физический энцеклопедический словарь. М.: Сов. энцеклопедия. 1960.Т.1. С.38.

71. Гольдин В.Я., Калиткин H.H., Левитан Ю.Л., Рождественский Б.Л. Численный расчет уравнений двумерной газодинамики с детонацией // Числ. методы механ. сплош. среды. Сб. ст.: Новосибирск. 1973. Т.4, № 3. С.62-70.

72. Горский Н.Л., Днепров И.В., Мосеев Ю.В. и др. Напряженно деформированное состояние раскрывающего парашюта //Статика и динамика гибких систем. Сб. ст.: М.: Наука. 1987. С.194-201.

73. Горьков А.П. Нелинейные акустические колебания столба газа в закрытой трубе //Инженерный журнал. 1963. Т. 3, Вып.2. С.246-250.

74. Гулидов А.И., Фомин В.М. Модификация метода Уилкинса для решения задач соударения тел-// Новосибирск. Препринт ИТПМ СО АН СССР. 1980. Т 49.

75. Гулин Б.В., Ридель В.В. Динамика парашюта //Гидроупругость оболочек. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1983. № 26. С.116-132.

76. Гуляев А.И., Кузнецов В.Н. Коагуляция аэрозолей под действием периодических ударных волн //Акустический журнал. 1962. Т.8, Вып.4. С.219-220.

77. Гусев В.Э. Установление вынужденных колебаний в акустических резонаторах //Акустический журнал. 1984. Т.30, № 2. С.204-212.

78. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука. 1969. 181с.

79. Ильгамов М.А. О граничных условиях на поверхности контакта жидкости и упругого тела в смешанной форме //Труды семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1974а. № 5. С.82-92.

80. Ильгамов М.А. Граничные условия на поверхности контакта с жидкостью в эйлерово-лагранжевой форме // Труды семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1974b. № 5. С.93-106.

81. Ильгамов М.А. О неотражающих условиях на границах расчетной области //Динамика оболочек в потоке. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1985. № 18. С.4-76.

82. Ильгамов М.А. Обзор работ по неотражающим условиям на границах расчетной области //Численные граничные условия. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1990а. № 26. С.6-54.

83. Ильгамов М.А. Поглощающий слой в расчетной области //Численные граничные условия. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1990b. №.26. С.55-65.

84. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость.- М.: Наука. 1991. 200 с.

85. Ильгамов М.А., Зарипов Р.Г., Галиуллин P.P., Репин В.Б. Нелинейые колебания газа в трубе // Обзоры исследований по механике сплошной среды. Сборник статей. Казань: ИММ КНЦ РАН. 1995. С.79-130.

86. Ильгамов M.Ä., Илюшин A.A. Применение неотражающего условия примоделировании поперечного обтекания цилиндра газом // Нестационарные задачи механики. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1989. №22. С.73-83.

87. Канер В.В., Руденко О.В., Хохлов Р.В. О теории нелинейных колебаний в акустических резонаторах //Акустический журнал. 1977. Т. 23, № 5. С.756-760.

88. ЮО.Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука. 1981. 304 с.

89. Крайко А.Н., Ни A.JI. О приближении нелинейной акустики в задачах о колебаниях газа в трубах // ПММ. 1980. Т.44, №1. С.54-62.

90. Кулачкова H.A., Сахабутдинов Ж.М. Построение расчетных сеток для областей сложной конфигурации // Численные методы механики сплошной среды. Сборник статей. Новосибирск: 1985. Т.16, №3. С.68-86.

91. ЮЗ.Кутдусов P.M. Применение неотражающих граничных условий в осесим-метричной задаче газовой динамики //Численные граничные условия. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1990. №26. С.66-73.

92. Кутлер П. Перспективы развития теоретической и прикладной вычислительной аэродинамики //Аэрокосмическая техника. 1985. Т.З. №8. С.328-341.

93. Ламб Г. Динамическая теория звука. М.: Физматгиз. 1960. Юб.Ландау Л.Д., Лифшиц E.H. Теоретическая физика. Т.4. Гидромеханика.

94. Ю.Мартынов Е.В. Исследование характеристик электропневматического измерительного преобразователя на эффекте акустического течения //Динамические измерения. Тез. докл. 5-го Всесоюзн. симп. Д.: ВНИИМ. 1988. С.52-55.

95. Ш.Мартынов Е.В., Краснов Ю.Н. Пьезоэлектронный электропневматический преобразователь на эффекте акустического течения //Новые электронные приборы и устройства: Матер, конф. М.: МДНТП. 1988.

96. Медников Е.П., Новицкий Б.Г. Экспериментальное исследование мощного звукового ветра//Акустический журнал. 1974. Т.20. № 4. С.526-530.

97. Ни A.JI. Нелинейные резонансные колебания газа в трубе под воздействием периодически изменяющегося давления //Прикл. Мех. Техн. Физ. 1983. Т.47. №4. С.607-618.

98. Ни A.JI. Нелинейные околорезонансные колебания газа в трубе переменного сечения //Прикл. Мех. Техн. Физ. 1985. № 3. С.106-111.

99. Ни A.JI. Нелинейные субгармонические колебания газа в трубе под действием периодически изменяющегося давления //Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. №2. С.151-157.

100. Пб.Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред //М.: Наука. 1987. Т.1. 464с.

101. Нигматулин Р.И., Ахатов И.Ш., Вахитова Н.К. О сжимаемости жидкости в динамике газового пузырька//Докл. РАН. 1996. Т.348. №6. С.768-771.

102. Нигматулин Р.И., Шагапов В.III., Вахитова Н.К., Лэхи Р.Т. Метод сверхсильного сжатия газового пузырька в жидкости непериодическим вибрационным воздействием давления умеренной амплитуды //Докл. АН. 1995. Т.341. №1. С.37-41.

103. Ништ М.И., Судаков А.Т., Ширяев А.П. Раскрытие тонкой осесиммет-ричной оболочки в потоке идеальной жидкости //Динамические системы. -Киев: Выща школа. 1986. Вып.5. С.37-42.

104. Островский Л.А. О разрывных колебаниях в акустическом резонаторе

105. Акустический журнал. 1974. Т. 20. №1. С.140-142.

106. Пейре Р., Тейлор Т. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. JL: Гидрометеоиздат. 1986. 352 с.

107. Подымов В.Н., Северянин B.C., Щелоков Я.М. Прикладные исследования вибрационного горения. Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1978. 141 с.

108. Раушенбах Б.В. Вибрационное горение. М.: Физматгиз. 1961. 300 с.

109. Рахматулин Х.А. Теория осесимметричного парашюта // Науч. труды Института механики МГУ. М.: Изд-во МГУ. 1975. 4.1. №35. С.3-35.

110. Репин В.Б., Новиков Ю.Н., Дементьев А.П. Экспериментальное исследование нелинейных колебаний газа в открытой трубе //Нестационарные задачи механики. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1989. № 22. С.103-110.

111. Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука. 1990. 206с.

112. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир. 1972. 418 с.

113. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: 1980. 616 с.

114. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука. 1975. 287 с.

115. Рысев О.В., Вишняк A.A., Чуркин В.М., Юрцев Ю.Н. Динамика связанных тел в задачах движения парашютных систем. М.: Машиностроение. 1991.

116. Рысев О.В., Пономарев А.Т., Васильев М.И., Вишняк A.A., Днепров И.В., Мосеев Ю.В. Парашютные системы. М.: Наука. Физматлит. 1996. 288 с.

117. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971. 552 с.

118. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука. 1980. 352 с.

119. Сахабутдинов Ж.М., Петров Г.А. Применение произвольного лагранжево-эйлерова численного метода к трехмерным задачам газовой динамики 7/Деп. в ВИНИТИ T 3692-В86. 1986. С.69.

120. Софронов И.Д., Дмитриев Н.А., Дмитриева B.JL, Малиновская Е.В. Методика расчета двумерных нестационарных задач в переменных Лагранжа // Препринт ИПМ АН СССР. 1976. № 59.

121. Трулио Дж. Метод полос и течение газа между пластинами //В кн. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967. С.76-127.

122. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1953. 453 с.

123. Херт С. Произвольный лагранжево-эйлеров численный метод // Численные методы в механике жидкостей. Сборник статей. М.: Мир. 1973. С. 156164.

124. Чемпен Д.Р. Вычислительная аэродинамика и перспектива ее развития.

125. Драйденовская лекция (обзор) // РТК. 1980.Т.18,2. С.3-32. 140.1Пенг Дж.С. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа //Аэрокосмическая техника. 1986. Т.4. №2. С.65-92.

126. Шихранов Н.Н. Вынужденные нелинейные колебания газа в замкнутой трубе со скачком сечения //Труды семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФАН СССР. 1974. № 4. С.237-251.

127. Шульц У.Д. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа. Сборник: Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С.9-54.

128. Aganin A.A. Dynamics of a small bubble in a compressible fluid //Int. Jour. Num. Meth. Fluids (принята в печать).

129. Aganin A.A., Ilgamov М.А. Numerical simulation of gas oscillations and flows generated by wave resonators //Proceed. ICMAR'94, Novosibirsk, 1994. Part 1. P.3-8.

130. Aganin A.A., Ilgamov M.A., Kuznetsov V.B. Numerical simulation of intensivegas oscillations in wave technology installations //Proceed. Int. scien.-tech. conf. "Model-project 95", Kazan, 1995. P. 10-12.

131. Aganin A.A., Ilgamov M.A., Smirnova E.T. Development of longitudinal gas oscillations in a closed tube //Journal of Sound and Vibration, 1996. 195. P.359-374.

132. Aganin A.A., Kuznetsov V.B., Martynov E.V., Smirnova E.T. Numerical simulation of gas flows near volume resonators //Proceed. Int. scien.-tech. conf. "Model-project 95", Kazan, 1995. P.53-55.

133. Akhatov I., Gumerov N., Ohe C.D., Patlitz U., Lauterborn W. The role of surface tension in stable single bubble sonoluminescence //Phys. Rev. Lett., 1997. V.78. P.227-230.

134. Althaus R., Thomann H. Oscillations of a gas in a closed tube near the fundamental frequency //J. Fluid Mech. 1987. V.183. N 2. P.147-181.

135. Amsden A.A., Hirt C.W. YAQUI: An Arbitrary Lagrangian Eulerian computer program for fluid flows at all speeds //Los Alamos Scientific Laboratory Report LA - 5100. 1973.

136. Barber B.P., Hiller R.A., Arisaka K., Fettermann H. & Puttermann S. Resolving the picosecond characteristics of synchronous sonoluminescence //J. Acoust. Soc. Am. 1992. N 91. P.3061-3063.

137. Barber B.P., Hiller R.A., Lofstedt R., Putterman S.J. & Weninger K.R. Defining the unknowns of sonoluminescence //Phys. Rep., 281, 1997. P.66-143.

138. Betchov R. Non-linear oscillations of the column of a gas //J. Phys. Fluids. 1958. Vol.6. N6. P.205-212.

139. Brownl.ee W.G. Non-linear axial combustion instability in solid propellant motors //AIAA J. 1964. Vol.2. N 2. P.67-69.

140. Butler T.D., Clouthman L.D., Dukowicz J.K., et al. Multidimensional numerical simulation of reactive flow in internal combustion engines //Prog. Energy and Combust. Sci.-1981. Vol.7. N4. P.293-315.

141. Chester W. Resonant oscillations in closed tube //J. Fluid Mech. 1964. Vol.18. N1. P.44-64.

142. Chi M.-C., Leung D. Effects of thermal conduction in sonoluminescence //J. Phys.: Condens. Matter. 1997. Vol.9. P.3387-3397.

143. Chon K.H., Lee P.S., Show D.T. Turbulence measurement in a resonance tube //J. Sound and Vibr. 1983. Vol. 86. N4. P.475-483.

144. Chu B.T. Analyses of a self-sustained driven non-linear vibration //Phys. Fluids. 1963. Vol. 6. N11. P.1638-1644.

145. Chu B.T., Ving P.I. Thermally driven non-linear oscillations in a pipe with travelling shock waves //Phys. Fluids. 1963. Vol.6. N11. P.1625-1637.

146. Colella P. and Woodward P.R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations //J. Comput. Phys. 1984. Vol.54. P. 174-201.

147. CruikshankD.B. Experimental investigation of finite-amplitude acoustic oscillations in closed tubes //JASA. 1972. Vol.52. N3. P.1024-1034.

148. Crum L.A. Measurements of the growth of air bubbles by rectified diffusion //J. Acoust. Soc. Am. 1980. Vol.68. P.203-211.

149. Cram L.A. Sonoluminescence, sonochemistry, and sonophysics //J. Acoust. Soc. Am. 1994. Vol.95. N1. P.559-562.

150. Elias I., Cheung H., Cohen S. Acceleration of burning rate of composite propel-lants by sound wave // AIAA J. 1965. N3. P.71-83.

151. Engler J.F., Nachbar W. Experiments with a solidpropellant acoustic oscillator //AIAA J. 1964. N2. P.58-63.

152. Gaitan D.F., Crum L.A., Roy R.A., Church C.C. Sonoluminescence and bubble dynamics for a single, stable cavitation bubble //J.Acoust. Soc. Am., 1992. Vol.91. P.3166-3172.

153. Glaister P. An approximate linearised Riemann solver for the Euler equations for real gases //J. Comp. Phys. 1988. Vol.74. P.382-408.

154. Gompf B., Gunther E., Nick G., Pecha R. & Eisenmenger W. Resolving sonoluminescence pulse width with time-correlated single photon counting //Phys. Rev. Lett. 1997. Vol.79. P.1405-1408.

155. Gottlieb J.J., Groth C.P.T. Assessment of Rieman solvers for unsteady one-dimensional inviscid flows of perfect gas //J. Comp. Phys. 1988. Vol.78. P.437-458.

156. Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws //J. Comp. Phys. 1983. Vol.49. P.357-393.

157. Harten A., Engquist B., Osher S. and Chakravathy S. Uniformly high-accurate essentially nonoscillatory schemes III. //ICASE 1986. Report No. 86-92.

158. Harten A., Engquist B., Osher S. and Chakravarthy S.R. Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes III //J.Comp. Phys. 1987. Vol.71. P.231-303.

159. Harten A., Lax P., and van Leer. Upstrean Differencing and Godunov-Type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws//SLAN Review. 1983.Vol.25. P.35-61.

160. Harten A. and Osher S. Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes I. SIAM//J. Numer. Anal. 1987. Vol.24. P.279-309.

161. Hartmann Y. On a new metod for the generation of sound waves //Phys. Rev. 1922. V.20, N 5. P.719-731.

162. Herring C. OSRD Report. 1941. N236.

163. Hiller R.A. The spectrum of single-bubble sonoluminescence //PhD thesis, Department of Physics, Los Angeles, University of California at Los Angeles. 1995. USA.

164. Hiller R.A., Putterman S.J. & Barber B.P. Spectrum of synchronous picosecond sonoluminescence //Phys. Rev. Lett. 1992.Vol.69. P.l 182-1184.

165. Hiller R.A., Putterman S.J. & Weninger K.R. Time-resolved spectra of sonoluminescence //Phys. Rev. Lett. 1998. Vol.80. P.1090-1094.

166. Hirt C.W., Amsden A.A., Cook J.L. An Arbitrary Lagrangian-Eulerian Computing Method for All Flow Speeds //J.Comput.Physics. 1974. Vol.14. N3. P.227-253.

167. Holt R.G. & Gaitan D.F. Observation of stability boundaries in the parameter space of single bubble sonoluminescence //Phys. Rev. Lett. 1996. Vol.77. P.3791-3794.

168. Horak H.G., Jones E.M., Kodis J.W. and Stanford II M.T. An algorithm for the discrete rezoning of Lagrangian meshes //J. Comp. Phys. 1978. Vol.26. 277 p.

169. Hudson G.E. Thrust on a piston driven half-open tube //JASA. 1955. V.27, N 3. P.406-416.

170. Jimenez B.J. Non-linear gas oscillations in pipes. Part 1. Theory. //J. Fluid Mech. 1973. Vol.59. N1. P.23-46.

171. Keller J. Subharmonic non-linear acoustic resonances in closed tubes //ZAMP. 1975. Vol.26. N4. P.395-405.

172. Keller J. Third order resonances in closed tubes //ZAMP. 1976a. V.27, N3. P.303-323.

173. Keller J. Resonant oscillations in closed tubes: the solution of Chester's equation//J.Fluid. Mech. 1976b. Vol. 77. N2. P.279-304.

174. Keller J. Non-linear acoustic resonances in shock tube with varying cross-sectional area //ZAMP. 1977a. Vol.28. N1. P.107-122.

175. Keller J. Subharmonic non-linear acoustic resonances in open tubes //Part 1. Theory. ZAMP. 1977b. Vol.28. N3. P.419-431.

176. Kondic L., Gersten J.I. and Yuan C. Theoretical studies of sonolu-minescence radiation: Radiative transfer and parametric dependence //Phys. Rev. 1995. E.52. P.4976-4990.

177. Lawrenson C.C. et al. (Lawrenson C.C., Lipkens В., Lucas T.S., Perkins D.K. and Van Doren T.W.) Measurements of macrosonic standing waves in oscilating closed cavities //J. Acoust. Soc. Am. 1998. Vol.104. N2. Pt.l. P.623-636.

178. Lehmann K.D. Die Dampfungsverluste bei starken Schallschwingungen in Rohren//Ann. Phys. 1934. Vol.21. N1. P.101-109.

179. Lettau E. Messungen an Schwingungen von Gassaulen mit stellen Fronten in Rohrleitungen //Deut. Kratftahrforsch. 1939. Bd39. N1. P.l-17.

180. Lighthill J. Waves in fluids. Cambridge ondon New York Melbourne: Cambridge University Press. 1976. 311p. (Русск. пер. Лайтхилл. Волны в жидкостях. М.: Мир. 1981. 321с.).

181. Lohse D., Brenner М.Р., Dupont Т.F., Hilgenfeldt S. & Johnston B. Sonolumi-nescing air bubbles rectify argon //Phys. Rev. Lett. 1997. Vol.78. P.1359-1362.

182. Löfstedt R., Barber B.P., Putterman S.J. Towards a hydrodynamic theory of sonolu-minescence //Physics ofFluids. 1993.Vol.5. N11. P.2911-2928.

183. Matula T.J. Inertial cavitation and single-bubble sonoluminescence //Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1999. Vol.357. P.225-249.

184. Mayer-Schuchard C. Schwingungen von luftsaulen grosser amplitude //Forsch. Vereines. Deut. Ingn. 1936. H 7. Bd.13. N376. P.12-14.

185. Mc Clure F.H., Hart R.W., Bird J.F. Acoustic resonance in solid propellant rocket//J. Appl. Physics. 1960. Vol.31. N 5. P.91-108.

186. Merkli P., Thomann H. Transition to turbulence in oscillating pipe flow //J. Fluid Mech. 1975a. V.68, N 3. P.567-576.

187. Merkli P., Thomann H. Thermoacoustic effects in a resonance tube //J. Fluid Mech. 1975b. Vol.70. N1. P.161-175.

188. Ming X., Dai C.H. A new phenomenon of acoustic streaming //Proc. Int. Conf. on Dynamic Measurement and its Applications. Beijing. 1989. P.469-476.

189. Montagne J.-L., Yee H.C., Vinokur M. Comparative Study of High-Resolution Shock-Capturing Schemes for a Real Gas // AIAA J. 1989. Vol.27. N10. P. 13321346.

190. Mortell M.P. Resonant thermall-acoustic oscillations IIInt.J. Engng Sci. 1971a. Vol.9. N1. P.175-192.

191. Mortell M.P. Resonant oscillation: a regular perturbation approach //J. Math. Phys. 1971b. Vol.12. N7. P.1069-1075.

192. Mortell M.P., Seymour B.R. Standing waves in a open pipe: a non-linear initial-boundary value problem//ZAMP. 1973a. Vol.24. N4. P.473-487.

193. Mortell M.P., Seymour B.R. The evolution of a self sustained oscillation in a non-linear continuous system //J. Appl. Mech. 1973b. Vol.40. N1. P.101-104.

194. Mortell M.P., Seymour B.R. Non-linear forced oscillations in a closed tube: continuous solutions of a functional equation //Proc. Roy. Soc. London. 1979. Vol.367A. P.253-270.

195. Mortell M.P., Seymour B.R. A finite-rate theory of quadratic resonance in a closed tube//J. Fluid Mech. 1981. Vol.112. P;411-431.

196. Moss W.C., Clarke D.B., White J.W., Young D.A. Hydrodynamic simulations of bubble collapse and picosecond somoluminescence //Phys. Fluids. 1994. Vol.6. N9. P.2979-2985.

197. Moss W.C., Clarke D.B., Young D.A. Calculated Pulse Widths and Spectra of a Single Sonoluminescencing bubble //Science. 1997. Vol.276. P.1398-1401.

198. Nichols B.D., Hirt C.W., and Hotchiss R.S. SOLA-VOF: A solution Algorithm for Transient Fluid Flow with multiple free boundaries (Los Alamos Scientific Lab., NM (USA)). Aug. 1980, 123 p.

199. Noh W.F. CEL A Time-Dependent Two-Space Dimensional, Coupled Eulerian Lagrange Code, Methods in Computational Physics. 1964. Vol.3. P. 117180.

200. Noh W.F. A General Theory for the Numerical Solution of the Equations of Hydrodynamics //Numerical Solutions of Nonlinear Differential Equations, 1966, P.181-211.

201. Noh W.F. Numerical methods in hydrodynamic calculations. LLL Report UCRL-52112,1976a. 82 p.

202. Noh W.F. and Woodward P. SLIC (Simple Line Interface Calculations) //"Proceedings, 5th Int. Conf. Numer. Methods Fluid Dyn.", Lecture Notes in Physics, 1976b. P.

203. Noh W.F. Errors for calculations of strong shocks using an artifical viscosity and an artificial heat flux //J. Comp. Phys. 1978. Vol.72. P.78-120.

204. Noltingk B.E. and Neppiras E.A. Proc. Phys. Soc. London Sec. B. 1950. Vol.63. P.674-685.

205. Nyborg W.L. Acoustical streaming//Physical. Acoustics. B.Mason (Ed.). N.Y., 1965. Vol.2. ptB.

206. Plesset M.S. The dynamics of cavitation bubbles //J. Appl. Mechanics. 1949, P.277-282.

207. Poritsky H. The collapse or growth of a spherical bubble or cavity in a viscous fluid //Proc. of the First U.S. National Congress on Applied Mechanics, edited by E.Sternberg. // Am. Soc. Mech. Eng., New York. 1952. P.813-821.

208. Prosperetti A. Thermal effects and damping mechanisms in the forced radial oscillations of gas bubbles in liquids //JASA. 1977. Vol.61. N1. P.17-27.

209. Rayleigh Lord. On the pressure developed in a liquid on the collapse of a spherical cavity//Phylos. Mag. 1917. Vol.34. N200. P.94-97.

210. Ree F.H. Eqation of State of Water //LLNL Report UCRL-52190. 1976.

211. ReynstF.H. Pulsating combustion. Oxford: Pergamon press. 1961. 301 p.

212. Roe P.L. Appriximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes //J. Comput. Phys. 1981. Vol.43. P.357-372.

213. Rosen G. Nonlinear pressure oscillations in a combustion field //Jet propulsion. I960: Vol.30. P.76-81.235,Saenger R.A., Hudson G.E. Periodic shock waves in resonating gas column //JASA. 1960. Vol.32. N8. P.961-971.

214. Schmidt E. Schwingungen grober Amplitude von Gassaulen in Rohrleitungen //Schrift. Deut. Akad. Huftfahrforsch. 1939. N9. P.121-129.

215. Srivasan S, Tannehill J.C., Weilmuenster K.J. Simplified Curve Fits for the Thermodynamic Properties of Equilibrium Air (NASA Reference Publication 1181), 1987.

216. Stein K.R., Benney R.J., Steeves E.C. A computational model that couples aerodynamic and structural dynamic behavior of parachutes during the opening process //U.S. Army Natick Technical Report. -Natick /TR-93/029. 1993. 33 p.

217. Sturtevant B.B. Non-linear gas oscillations in pipes. Part 2: Experiment //J.Fluid Mech. 1974. Vol.63. N1. P.97-120.

218. Temkin S. Nonlinear gas oscillations in a resonant tube //Phys. Fluids. 1968. Vol.11. N5. P.960-963.

219. Temkin S. Selective damping of resonant acoustic waves in tubes //J. Sound and Vibr. 1974. Vol. 36. N3. P.389-398.

220. Trilling L. The collapse and rebound of a gas bubble //J. Appl. Phys. 1952. Vol.23. Nl.P.14-17.

221. Van Wijngaarden L., Disselhorst J. Resonant gas oscillations in open pipes //Archiwum Mechaniki Stasow. 1979. Vol.31. N1. P.l 15-124.

222. Vuopg V.Q., Szeri A.T. Sonoluminescence and diffusive transport //Physics of Fluids. 1996. Vol.8. N9. P.2354-2364.

223. Vuong V.Q., Szeri A.T., Young D.A. Shock formation within sonoluminescence bubbles //Physics of Fluids. 1999. Vol.ll. N1. P.10-17.

224. Wang J.C.T. and Widhopf G.F. Numerical simulations of blast flowfields using a high resolution TVD Finite volume scheme //Computers. Fluids. 1990. Vol.18, N1. P.103-137.

225. Warming R.F., Beam R.M. and Hyett B.J. Diagonalizition and simulations symmetrization of the gas-dynamic matrices // Mathematics of Computations. 1975. Vol.29. N132. P.1037-1045.

226. Wheatley J., Hofler Т., Swift G.W., Migliori A. Experiments with intrinsically irreversible acoustic head engine//Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50. P.499-502.

227. Whitham G.B. Linear and nonlinear waves. New York: Wiley. 1974. 612 p. (Русск. пер.: Уизем Д.Ж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 622 е.).

228. Wilkins M.L. Use of artificial viscosity in multidimensional fluid dynamic calculations //Lawrence Livermore Laboratory, Preprint UCRL 78348. July 31, 1978. Rev. 1.

229. Woodward P. and Colella P. The Numerical Simulation of Two-Dimensional Fluid Flows with Strong Shocks // J. of Сотр. Phys. 1984. Vol.54. P.l 15-173.

230. Wu C.C., Roberts P.H. Shock wave propagation in a sonoluminescencing gas bubble //Phys. Rev. Lett. 1993. V.70. P.3424-3427.

231. Wu C.C., Roberts P.H. A model of sonoluminescence //Proc.R.Soc. Lond. A,. 1994. Vol.445. P.323-349.

232. Yee, H.C. and Harten, A., Implicit TVD Schemes for Hyperbolic Conservation Laws in Curvilinear Coordinates //AIAA J. 1987. Vol.25. P.266-274.

233. Yee H.C., Klopfer G.H., Montagne J.-L. High-Resolution Shock-Capturing Schemes for Inviscid and Viscous Hypersonic Flows //J. Comput. Phys. 1990. Vol.88. P. 31-61.

234. Zaripov R.G., Ilgamov M.A. Nonlinear gas oscillations in a pipe //J. Sound and Vibr. 1976. Vol.46. N2. P.245-257.