Построение метода и решений импульсных задач механики сплошной среды с подвижными границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ИМПУЛЬСНЫХ ПРОЦЕССОВ И ТЕХНОЛОГИЙ

Р Г Б ОД На правах рукописи

- г окт г"!

КРУТИКОВ Виктор Сергеевич

ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДА И РЕШЕНИЙ ИМПУЛЬСНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Специальность 01.02.05—механика жидкости, газа и

плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев-1995

Диссертацией является рукопись Работа выполнена в Институте импульсных процессов и технологий HAH Украины

Официальные оппоненты:

- академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор А.С.Алексеев,

- доктор физико-математических наук, профессор

И.Т.Селезов,

- доктор технических ка}к, профессор

В .Л. Касьянов

Ведущая организация - Институт прикладных проблем механики

и математики HAH Украины

в /Ужасов на заседании специализированного совета Д 01.04.01 в Институте гидромеханики HAH Украины по адресу: 252057, Киев - 57, Желябова 8/4

Защита состоится "

" О ¿CA !>_199Jf.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидромеханики HAH Украины.

Автореферат разослан " ^ " ¿Е^Л^Я- 199fr.

Ученый секретарь специализированного совета Д 01.04.01 в Институте гидромеханики HAH Украины доктор технических наук

С.И.Крыль

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работ«, ¡посвящена проблеме уравнений математической физики для сдучая задания- граничных условий на подвижных границах.

Актуальность проблемы» Уже >йсшее двух столетий перед ма-тематщаод схода проблемы решения нелинейных задач, описываемых уравнениями в частных .производных, сложнейшая из которых - проблема подвижных границ - граничные условия удовлетворяются на движущихся границах. Даже в том случае, когда основное уравнение, описывающее исследуемый процесс, линейное, наличие подвижных границ делает задачу существенно нелинейной, и, как известно, в этом случае суша двух решений не является решением.. Это явилось причиной того, что до настоящего времени не было методов точного аналитического решения таких задач. Точные решения задач подобного рода, полученные з основном при шомощи удачных догадок, известны лишь в очень ограниченном числе случаев, притом обычно лишь для какого-либо частного вида граничных условий. Исследователям приходилось принимать различные допущения: изменять граничные условия, сносить граничные условия на неподвижные границы, либо заменять действие движущихся границ системой особенностей. Это приводило к ограниченности решений, а в некоторых случаях и к неприемлемым результатам. Показательно, что еще Даламбером (1747 г.) было получено решение волнового уравнения {задача Коши), в котором, естественно, вид функции, зависящий от граничных условий, оставался неизвестным. В известном обобщении общего метода конечных интегральных преобразований (Кошляков Н.С., Гринберг Г.А.) используется разложение по "мгновенным" собственным" функциям. Однако, это приводит к решению бесконечной системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Актуальность работы заключается также в том, что решение проблемы позволяет построить аналитические решения: сложных существенно нелинейных задач с одной и двумя подвижными границами; обратных задач для этик случаев; задач с подвижными границами, описываемыми уравнениями параболического типа; перейти к решению нелинейных обыкновенных»диффе-

ренциальных уравнений и дважды нелинейных задач, задач с проницаемыми и подвижными границами - которые ранее в математической физике не рассматривались.

Необходимость решения этих вопросов и решения проблемы подвижных границ диктуется, в частности, их многочисленными приложениями в различных областях физики, механики, задач управления движением границ,гидрогазодинамики, сейсмоакусти-ки, акустики. Позволяет рассмотреть процессы плавления и отвердевания, фильтрации, нестационарных движений вязкопласти-ческих сред, диффузии, теплопроводности и т.д., описываемые уравнениями параболического типа с подвижными границами. Развитие численных методов, реализуемых на ЭВМ, не снимают остроты вопросов получения количественных результатов при решении задач с подвижными границами. Не противопоставляя аналитические методы численным, отметим известные преимущества точных аналитических решений при анализе исследуемых явлений, вычислениях, связанных с большими временами и расстояниями, а также многократными отражениями волн возмущения; при решении обратных задач; вопросов управления движением границ и во многих других случаях.

Целью работы является разработка нового подхода к решению проблемы подвижных границ уравнений математической физики и методов точного аналитического решения нелинейных прямых и обратных задач с одной и двумя подвижными границами.

Автором сделана попытка, по-ввдимому, впервые разработать* общий метод точного аналитического решения задач с подвижными границами, использующий общий для всех подобных задач факт распространения возмущений в сплошных средах с конечной скоростью. Не претендуя на полный охват этих направлений, автор стремился показать работоспособность и пер- . спективность предложенного метода решения проблемы подвижных границ уравнений математической физики. Основное внимание уделено гидродинамике импульсных процессов.

Общая методика исследований нетрадиционна, состоит в нахождении зависимостей между значениями исследуемых функций на подвижных границах и в других точках, аргументы которых имеют сложную структуру. Аргументы взаимодействуют

между собой и определяются с учетом реальных величин запаздываний.

[Научная новизна работы заключавгея в создании впервые:

- нового нетрадиционного подхода к решению проблемы подданных границ уравнений математической фиаики - методов обратных задач с учетом взаимодействия нелинейных аргументов;

- методов аналитического решения класса задач для волнового уравнения с одной и двумя подвижными границами, одна движется, а вторая неподвижна, прямых и обратных задач для этих случаев, при произвольных величинах перемещений, начальных радиусов и законах движения границ;

- методов аналитического решения важного класса задач, описываемых волновым уравнением, для случая задания нелинейных дополнительных условий в областях с подвижными границами, а также нелинейными условиями на подвижных границах,при этом закон движения границы неизвестен и подлежит определенна;

- методов аналогического решения класса задач для волнового уравнения с подвижными и проницаемыми границами,прямых и обратных, при произвольных законах изменения скорости и проницаемости границы.

Теоретическое и прикладное значение определяется тем,что волновое уравнение описывает многие важные в научном и прикладном плане процессы, оно является основным уравнением математической физики,полученные решения могут быть использованы для описания других физических процессов.

До настоящего времени было известно лишь одно аналитическое решение Дж.Тэйлора (1946 г.) волнового уравнения с подвижной границей - частный случай расширения сферы в безграничной среде с постоянной скоростью.

Авторский метод позволил впервые:

- получить аналитическое решение задачи восстановления полей скорости и давления расширяющейся сферической полости (а также цилиндрической и плоской случаев симметрии) в сжимаемой среде, включая поверхность подвижной границы,по давлению (или скорости) в фиксированной точке волновой зоны;

- решить комплекс обратных задач восстановления законов: расширения полости, давления на подвижной границе и

ввода энергии в полость, расширяющейся в тонкой о.болочке, заполненной и погруженной в сжимаемую жидкость, по давлению в точке вне оболочки;

- получить аналитические зависимости для оценки возможности получения.заданных волн давления за счет выбора.необходимого закона ввода энергии в расширяющуюся полость;

- аналитически учесть влияние конечной величины началь-, ного радиуса на гидродинамические характеристики расширяющейся полости в скимаемой среде;

- определить границы применимости волнового уравнения и его решений в задачах импульсной гидродинамики, показана корректность решаемых обратных задач;

- поставить и решить прямые и обратные задачи с подвижной и проницаемой границей;

- решить задачу восстановления полей скорости и давления расширяющейся сферической полости, включая подвижную границу, по давлению в бликней зоне (нелинейное дополнительное условие);

- произвести учет влияния вязкости и теплопроводности на волновые процессы расширяющейся полости в сжимаемой среде (без ограничения. к.Г»{ , где к. - волновое число, -радиус сферы);

■ - получить аналитические решения задачи расширения цилиндра в сжимаемой среде и показать возможность использования волнового уравнения Р = 2 для описания импульсных процессов;

-.решить аналитически классическую задачу определения волновых движений сжимаемой среды между двумр движущимися границами с учетом месторасположения и величин фронтовых разрывов. Законы изменения скоростей, величины начальных радиусов и перемещений могут быть произвольными.

Достоверность полученных результатов обеспечивается: • - адекватностью в рамках принятых допущений матемятичес- • них моделей и реальных объектов физических явлений и исследуемых процессов;

- удовлетворительным качественным и количественным совпадением результатов решений волнового уравнения в областях с подвижными границами с

а) экспериментальными данными,

б) известными в литературе частными решениями изве-'ными аналитическими и численными методами более сложных 1авнений и систем нелинейных уравнений;

- корректностью решаемых обратных задач, доказаны соот-¡тствующие теоремы единственности и устойчивости решений;

- тем, что полученные решения:

- при подстановке в волновое уравнение переводят его лето часть в нуль,

- при устремлении скорости распространения возмущений к оконечности переходят в известные решения для несжимаемой >еды,

- при устремлении скорости проницаемости к нулю переходят . соотношения для непроницаемых границ,

- для случая сферической симметрии могут быть приведены к |рмулам Дж.Тэйлора частного случая расширения сферы с постовой скоростью,

- при устремлении коэффициентов сдвиговой и объемной вяз-!сти, теплопроводности к нулю переходят в решения для вде- . [ьной сжимаемой жидкости.

Квалификация работы. Широкий круг вопросов, связанных с ¡учением и использованием решений задач с подвижными.грани-1ми, отсутствие единого теоретического подхода к решению юблемы подвижных границ уравнений математической физики, сут'ствие даже приближенных подходов к решению таких задач ж с двумя подвижными границами, обратных и прямых, с неличными граничными условиями на подвижных границах, многочис-нные технические приложения полученных решений - все это 13Воляет квалифицировать поставленную задачу как новое пер-[ективное направление прикладной математики и механики.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, [ти глав, разбитых на 32 параграфа, заключения. Изложена на □ с. машинописного текста, имеет 47 рисунков, список из 157 даменований литературных источников.

Апробация результатов. Основные результаты работы докла-тались на П и Ш Всесоюзных симпозиумах по физике акустико-дродинамических явлений и оптоакустике (.Суздаль, 1979 г.; шкент, 1982 г.). Всесоюзном совещании "Электроимпульсная

технология и электромагнитные процессы в нагружённых твердых телах" (Томск, 1982 г.). На 1У Всесоюзном симпозиуме "Методы . теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии" (Новосибирск, 1985 г.). На Всесоюзных совещаниях "Электрогидравлический эффект и его применение" (Николаев, 1980, 1984, 1988 г.г.). На семинарах профессора H.H.Калитки-на в Институте прикладной математики АН СССР (1978 г.), на семинаре профессора М.А.Исаковича в Акустическом институте АН СССР (1980 г.), на семинарах академика АН УзССР Х.А.Рах-матулина на механико-математическом факультете МГУ (1981, 1986 г.г.), на семинаре профессора Е.В.Захарова на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ (1983 г.), на семинаре профессора А.Я.Сагомоняна на механико-математичес-^ком факультете МГУ (1987 г.), на семинаре профессора А.Г. Горшкова в Московском авиационном институте (1987 г.), на -семинарах академика Б.И.Шемякина на механико-математическом факультете МГУ (май, октябрь 1992 г.). •

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 30 работ, в том числе одна монография.'

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ . -

Во введении приводится содержание проблемы подвижных границ, краткий обзор некоторых ранних результатов, связанных с решением отдельных задач с подвижными границами и подходов к решению проблемы. Здесь же излагается краткое содержание диссертации и обсуждение актуальности, научной новизны, теоретической и практической ценности. '

Первая глава содержит анализ существующих основных методов решения задач, описываемых уравнениями в частных производных, при наличии подвижных границ. Показывает их возможности и недостатки.

Метод характеристик, §1.1, по-видимому, позволяет получить наиболее достоверные результаты с учетом-нелинейности среды. Однако применение его для решения задач с двумя подвижными границами при многократном отражении волн возмущения, либо при расйространении на большие расстояния и прй больших временах затруднительно и достаточно дорого. Разра-

!отенная методика решения методом характеристик импульсных 1вдач расширения поршня, описываемых полной системой квази-[инейных уравнений в частных производных первого порядка: сравнений движения, неразрывности и состояния для изоэнтро-шчесних процессов в форме Тэта

тГ,р,Р - скорость, плотность, давление; г", £ - радиус, врз-!я; У - показатель симметрии; &„ ¡г - постоянные; -

[.азлениз и плотность невозмутценной среды; позволила опреде-шть границы применимости других методов и приближенных ре-юний. . •

В § 1.2 рассматривается метод теории размерностей, кото-/ зый позволяет понизить количество независимых переменных на ¡диницу, что для двумерных задач равносильно -переходу от си-:темы уравнений в частных производных к система нелинейных >быкновенных дифференциальных уравнений» Метод теории раз-герностей ыожет быть применен для решения задачи расширения юршня с постоянной скоростью (автомодельная задача) с уче- . •см нелинейности среды. Автором произведено численное реше-1ке задач расширения поршня с постоянной скоростью для трех :лучаев симметрли в диапазоне скоростей расширения поршня ) 1,1 и давлений до 30000 кгс/см*\ Сравнение с чис-

юнными решениями методом характеристик полной системы (I) юказало, что использование автомодельных решений для описаны начальной стадии импульсных процессов^в жидкости может гривести к ошибкам (не описывается разгонный участок). При-1енить этот метод для случаев ненулевого начального радиуса I произвольных скоростей движения' границ не представляется }0зможным, задача становится неавтомодельной. "

§ 1.3 посвящен одному из основных приближенных методов -1етоду малого параметра. Его можно применил- и получить хо~ зошче результаты, если правильно выбран малый параметр и ес-ш он в действительности мал. В работе произведено решение )адачи расширения поршня в сжимаемой жидкости. Показано, что фиемлемые результаты можно получить при М = ^/0.5*0,2

и = - скорость расширения поршня. Этим определены

'раницы применимости метода малого параметра в задачах гид-

родинамики расширяющейся полости. Применить этот, метод для случая движения двух границ и обратных задач нельзя.

В § 1.4 рассмотрено обобщение общего метода конечных интегральных преобразований. Метод предложен Котляковым Н.С., теория его разработана Гринбергом Г.А., он позволяет решать задачи с подвижными границами, описываемыми линейными уравнениями в частных производных гиперболического и параболического типов. В основе метода определение решения в форме разложения по собственным функциям соответствующих задач с неподвижными границами, совпадающими в каждый момент с положением истинных движущихся границ. Решение задач такого типа этим методом приводится к решению ¡бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Применить к решению обратных задач и задач с проницаемой подвижной границей не * представляется возможным.

Широкое распространение получил приближенный метод Кирк-вуда-Бете § 1.5, позволяющий решить задачу в более высоком приближении,- чем акустическое. Однако, как отмечено, применять его нужно осторожно, из-за значительных погрешностей при вычислении полей скорости и давления вблизи подвижной границы. Использование его для случая движения двух границ и обратных задач затруднительно.

Из других приближенных подходов следует отметить нашедшее применение допущение о равенстве потенциала скорости на подвижной границе потенциалу скорости при несжимаемой жидкости. Получаемые при этом приближенные формулы применить для конечных величин начального радиуса, обратных задач и с двумя подвижными границами нельзя. Решение К.А.Наугольных задачи расширения поршня учитывает нелинейные члены в волновом уравнении, в качестве граничного условия принято решение линейной акустики Дж.Тэйлора при движении границы с постоянной скоростью.

Вторая глава. Большинство из упомянутых в главе I мето-• дов применить для решения задач с двумя подвижными границами практически невозможно. Метод характеристик и обобщение общего метода конечных интегральных преобразований пригодны для решения этой задачи, но они реализуются на ЭВМ, что не совсем удобно. Поэтому важное значение приобретает хотя бы

приближенная количественная оценка исследуемых явлений» Автором предложен новый приближенный метод учета движения границ - метод ввода реальных-величии запаздываний. Рассмотрим его на примерах' решения задач с двумя подвижными границами» Суть ■ метода ввода рёальных величин запаздываний в следующем: в полученные точные аналитические решения волнового уравнения для случая, когда граничные условия сносятся на неподвижные границы, то есть ^сотт?р яГЪМ'АЮ, г(Лл,Ц=±л(4) вводятся реальные величины запаздываний. В § 2Л рассмотрена задача плоского случая симметрии, полученные соотношения пригодны для произвольных скоростей измерения с поверхностей поршней и Лу о 0ул точно лереходят в известные формулы Харкевта А.А. для случая постоянной скорости излучения с одного поршня и пулевой скорости другого. Формулы пригодны, если перемещения границ невелики, либо точка, в хсотороЛ определяются гидродинамические характеристики, находится на большом расстоянии от подвижных границ. § 2.2 посвящен одному из существенных моментов предлагаемого подхода - вычислению времени запаздывания в задачах с подвижными границами. Получены формулы для определения величин запаздываний. В § 2.3 производится учет движения двух границ в плоском случае симметрии. В § 2.4 рассматривается задача с двумя излучаащими с произвольной скоростью поверхностями цилиндрической симметрии* В § 2.5 произведен приближенный учет движения двух границ в цилиндрическом случае._Сферически симметричный случай излучения с произвольной скоростью двух поверхностей и учет их движения рассмотрен в § 2.6. Полученные в главе второй решения задач с двумя подвижными границами с помощью допущения о снесении граничных условий на неподвижные границы позволяют оценивать исследуенке функции для трех случаев симметрии, когда движение границ происходит со скоростями порядка десятков метров в секунду. Используя предложенный метод ввода реальных величин запаздываний, получены решения, позволяющие приближенно оценивать исследуемые функции, когда скорости движения границ порядка нескольких десятков метров в секунду.. Однако основным итогом рассмотрения полученных в главе 2 решений необходимо считать следующее. "Понять" ~ это значительно болкае, чем знать числовой ответ или получить деже

формулу. Предложенный подход ввода реальных величин запаздываний и иллюстрация решений волнового уравнения позволяют понять роль сложных.аргументов исследуемых функций, построенных с учетом реальных величин запаздываний. Это позволило впервые получить без каких-либо допущений точное аналитическое решение основного уравнения математической физики волнового с подвижными границами.

Третья глава основная. Посвящена попытке разработать общий метод точного аналитического решения задач, описываемых волновым уравнением с подвижными границами, позволяющий решать и прямые и обратные задачи с одной и двумя подвижными границами. В соотношениях, приведенных в главе второй и полученных приближенным методом ввода реальных величин запаздываний, в формулах Тэйлора расширения сферы с постоянной •скоростью и решении Даламбера (задача Коши) волнового уравнения и некоторых других можно заметить, что аргументы исследуемых функций имеют сложную структуру. Эта структура - результат, возможно и не совсем точного, отражения в решениях уравнений физически очевидного факта распространения возмущений в сплошных средах с конечной скоростью. Конечная скорость распространения возмущений связана с понятием запаздывания. В § 3.1 определены понятия запаздывания и ввды аргументов с запаздываниями.'Рассмотрены запаздывания и ввды аргументов исследуемых функций задачи, у которой распространение возмущений происходит в безграничной среде, их пять, они имеют следующую структуру

/ Ъ-п, ,_г-п> лм-п . г-н, + /;

Как видим,, запаздывания имеют несколько разновидностей и взаимодействуют между собой. Понимание этого факта позволяет контролировать вид решения в процессе его получения, тогда как ранее, запаздывания, появляясь в различных видах при различных математических выкладках, вводило исследователей в заблуждение относительно понятия запаздывания, особенно при конечных перемещениях границы.

В § 3.2 рассматривается обратная задача для волнового уравнения с подвижными границами. Эта задача о поршне, расши-

ряющемся по произвольному закону в безграничной, сжимаемой, покоящейся при Ь< 0 жидкости. Стенки поршня считаются непроницаемыми. Для одномерных случаев движение жидкости наиболее полно описывается системой (I) с соответствующими граничными и начальными условиями. Эта система для потенциальных течений приводится к следующему уравнению для потенциала . скорости

(пч)г-% уг }=О

Давление в любой точке, включая подвижную поверхность поршня, можно определить из интеграла Ко.чи-Лагранжа

■ <з>

где

ложет быть без ограничения общности принята равной нулю. Член 0,5в волновой зоне весьма мал, но достигает больших значений, соизмеримых с членом /аУ^ вблизи и на поверхности поршня. Для нахождения давления необходимо в (3) знать функцию У . Потенциал скорости в об-¿цем случае из уравнения (2) определить чрезвычайно сложно. В настоящее время (2) может быть решено методом малого параметра для постоянной скорости расширения. Поэтому в определенных границах изменения скорости и давления, очевидно, при этом плотность среды приближенно равна плотности среды в невозмущенном состоянии ^ , потенциал скорости У в (3) будем определять из (2), пренебрегая в нем членами второго и третьего порядков малости, то есть из уравнения

Уи =<? (4)

Начальные условия полагаем нулевыми. Известны условия на подвижных поверхностях поршня

/г({)= (5)

или в точке г". '. волновой зоны

Вопрос использования потенциала скорости У , определена го из волнового уравнения (4), в интеграле Коши-Лагранжа с и линейным членом "ihpeV*" был дискуссионным. Он разрешен в раС - те Л.И.Слепяна (ДАН СССР, 1985, т.282, » 4, с.809-813), в koi рой показано, что в подобных задачах, когда энергия сжатия ж» кости мала по сравнению с кинетической энергией, линеаризацу уравнения движения (интеграла Коши-Лагранжа) не оправдана, 4i не препятствует линеаризации волнового уравнения для потенциа скорости.

Если известны условия на подвижных поверхностях поршня (Е то это прямая задача, а если только условия (6) - обратная.Де если исследуемый процесс описывается линейным уравнением, на; чие подвижных границ делает задачу существенно нелинейной:суь 'двух решений не является решением и метод суперпозиции непрш ним, что видно из формулы Тэйлора (частный случай расширения сферы с постоянной скоростью) Р-Ра 'Zf>„ rf*ГQ-e i/r ~~ *]/(■/-Методологически важным, примыкающим к понятию нелинейности п{ блемы подвижных границ для волнового уравнения, является воп{ идентичности, равноценности Эйлерова и Лагранжева описания с ной и той же задачи расширения полости в сжимаемой среде.Лине ное волновое уравнение (4) в связанных (лагранжевых) коорди* Vax £r=r-/l(iJj:

■Ir-r -hr-i^t-/Ä* - ЬЫ**!*r '

* ¿1 - jx*re-. *>&}

при этом положение границы f-Mf) будет фиксировано .Как вин это уравнение является сугубо нелинейным, решить его аналитик кн в общем случае достаточно сложно (если не невозможно). J. и VC/UO,cortii получено решен*

- irit^tÜLj,

которые точно переходят в формулы Эйлерова описания § 5.2. 3j показана корректность,равноценность Эйлерова и Лагранжева ог сания задач для волнового уравнения с подвижными границами.

Применяя одностороннее преобразование Лапласа к (4) щ

учете нулевых начальных условий, получаем операторное уравнение, решение его для случая ^ = 3 имеет вид

л)]

где £ - параметр преобразования.

Для определения функции при решении прямой задачи можно использовать только условие (5). Выбранный для решения задачи операционный метод обладает многими преимуществами, однако специфика его такова, что он не позволяет решить прямую задачу традиционным путем, в чем непосредственно убеждаемся при попытка определить с,(з) по условию (5) па грани- , це. Это одно из препятствий при решений задач с подвижными границами.

Для получения интересующих нас зависимостей между значениями исследуемых функций воспользуемся физически очевидным фактом появления возмущений в точке // волновой зоны с запаздыванием (/> ~Г„} /о.а [а] , Давление в точке те-ет зид р(г,, = - П^Го I

Рассматривая случай движения границы в безграничной среде, при учете условия (5) определяем -■$(■!) Г*

хгхр(хг0 /а.). Тогда решение волнового уравнения имеет

вид • _

Переходя к оригиналам, получаем искомые зависимости при учете реальных величин запаздываний. Значения исследуемых функций в любых точках таковы

На подвижной.границе

л I Г'еМ (9)

Для вычисления по формулам (8) при решении обратных задач необходимо знание величины ЯЫ) . Изменение радиуса подвижной граниш можно определить следующим образом.

Объем жадности, протекающий через замкнутую поверхность ( Ц}ГГ1), равен изменению объема в единицу времени, т.е.

= , Рде гг _ второе соотношение из

(7). Интегрируя от 0 до -6 и переходя на подвижную границу, можно получить следующее кубическое уравнение

+ (9)

функция / для обратных задач известна.

Соотношения (7)-(8) представляют точное аналитическое решение линеаризованного уравнения (4); подстановка их в волновое уравнение превращает его левую часть в нуль. Соотношения (7), (8), (9) позволяют определять гидродинамические харадте-'ристики в любой точке и в любое время, в-том числе и на подвижной границе. Условие (6) может быть задано в любой точке.

Если давление в точке изменяется по экспоненциальному закону

Мехр^-^ЯМ*' постоянные,

то соответствующие формулы примут вид:

РМ-й-ле^ш.

г (10)

Таким же образом можно получить формулы и для случаев аппроксимации функции / другими элементарными функциями или их комбинациями.

Сравнение давления на подвижной поверхности поршня, расширяющегося в сжимаемой жидкости, вычисленное без учета и с учетом нелинейного члена интеграла Коши-Лагранжа, показывает, что погрешность может достигать 100 % при неучете члена

Сравнение результатов вычислений по формуле Тэйлора (расширение сферы с постоянной скоростью), методом характеристик и предложенным методом показало, что точное аналитическое решение (7), (8), (9) волнового уравнения (4) описывает ударные волны; показывает наличие разрывов на переднем фронте волны при любых сколь угодно малых скоростях расширения сферы; решения (7), (8), (9) описывают разгонный участок для задачи

тг(Я 0-1 +} = и= ? , чего не описывает автомодельное решение и решение Тэйлора; пригодны для любого закона расширения поршня; позволяют расчитать влияние Г0 на гидродинамические характеристики; они пригодны для решения прямых и обратных задач.

Корректность решаемых обратных задач рассмотрена в § 3.4: доказана соответствующие теоремы единственности и устойчивости полученных решений волнового уравнения с учетом подвижности границ.

' Впервые получено решение классической задачи расширения полости в замкнутом объеме, вызванном, например, электрическим разрядом, лазерным импульсом, взрывом взрывчатых веществ, при произвольных законах изменения скоростей движения границ, величин перемещений и начальных радиусов § 3.5.

Точные решения волнового уравнения при наличии двух движущихся границ с произвольной скоростью имеют ввд [б]

Р(г, * /а.)-* +ЛГЛ /а) Г,

(И)

к съ)-а/гЪ

*< , £ ^ -(г-а -¿г,)/л

1Ал/

Ь * , ^ = * + /а.

° о

А ]+^ ) -А ы *{]

о о

.на подвижных границах

Р(Аи(И,ыпм)-р(ки(н.^га/с;= Ъ(ягл(ц, (14)

(И, 1*лгл/&)]/>&&)

Для решения обратных задач понадобится знание величин

({■) , которые можно определить следующим образом. Интегрируя операционным методом (13) и переходя на подвижные границы, получаем

где Го,00 - начальные радиусы первой и второй подвижных границ (полости и преграды), /ц - произвольные функции, которые могут быть аппроксимированы различными способами: экспонентами, тригонометрическими или другими элементарными функциями и их комбинациями. В общем случае произвольных законов движения границ и вида функций удобно ^ представить в следующем виде

- —

/С»/

ш^св:,^)

здесь ¿-ь^к,, Дп, - постоянные, Б~а - единичная раз-

рывная функция нулевого порядка, , - коэффициенты интерполяционного полинома Лагранжа степени т . Число т

определяет количество точных значений решения и может быть сколь угодно большим; <¿*,J3k. - характеризуют моменты появления ударных волн в точках и могут быть точно вычислены § 2.2. Подставляя в (IIMI5) вед функций с учетом интегрирования и дифференцирования разрывных функций с запаздыванием, которое рассмотрено в § 3.6, где приведены соответствующие формулы (3.62)-(3.64), получаем зависимости, аргументы которых следующие

. , , r-n-Z/l , , , г-г,-Л г, .

гт т —---J3<c, t'¿ 6 ¿-рьн (16)

Точные решения волнового уравнения при наличии одной неподвижной границы и другой движущейся с произвольной скоростью имеют ввд § 3.7

, = , Ci *ЯЛ -- const, 7Г(ЯХ)=0

давление на вторую границу обозначено

rr)-o rmc

. ■ **4 (17)

г(г,1)лР.гуЯл --¿{wj-m) * e-fjffwj ¿i +

• "P^ш}~Цг[(pWM'ЛМ№¿t]=9l(r> éj (I8)

На подвижной границе

{ *

м ° и ° (19)

подставляя в (18), (19) вид функции I из (17), получим зависимости, аргументы которых будут следующими

(20)

Как видим, расчет сводится к вычислению аргументов с запаздываниями типа (16), (20). Отметим симметричность конструкций полученных решений и тот факт, что подстановка их в волновое уравнение превращает его левую часть в нуЛь. Они пригодны для решения прямых и обратных задач.

Случай движения одной границы в безграничной среде. Соответствующие формулы (7)-(9) можно получить из (13)-(16) при

0.'-*"*° • Следует отметить, что соотношения (19), (15), (10), (9) обладают хорошей сходимостью и метъдом последовательных приближений из кубических уравнений можно вычислять с любой степенью точности. При и после двукратного дифференцирования, (9) переходит в известную формулу Р-Рс = /»./г при для несжимаемой жидкости.

• В § 3.2 проведена экспериментальная проверка полученных решений. В сферической оболочке, заполненной и погруженной в сжимаемую среду, произведен электрический разряд. Регистрировалось перемещение оболочки, давление в точке У = 0,395 м вне и на расстоянии I см от внутренней поверхности оболочки.

Решен комплекс обратных задач по измеренному давлению вне оболочки восстановлены: скорости и давления на подвижной поверхности оболочки, давление на внутренней поверхности оболочки и внутри оболочки, законы изменения радиуса, скорости и давления на подвижной поверхности полости, расширяющейся внутри оболочки, закон ввода энергии в полость. Удовлетворительное согласование различных расчетных й экспериментальных данных свидетельствует о правомочности предложенного подхода к решению проблемы подвижных границ.

Представленная в этом параграфе методика расчета комплекса обратных задач с подвижными границами имеет значительно большие, качественно новые возможности. Позволяет решать целый класс задач управления, решить которые друг ¡ми способами затруднительно или невозможно. Например, по заданной форме функции давления в точке волновой зоны вне оболочки, определение параметров оболочки, закона ввода энергии в полость, расширующуюся в оболочке, оптимизация выбора импульсного источника и т.п.

Четвертая глава посвящена применению полученных точных решений и исследованию возмущений в сжимаемой, вязкой и теп-лопроводящей среде.

В § 4.1 рассмотрен-важный вопрос о границах применимости волнового уравнения и его решений в задачах импульсной гидродинамики. Известно из литературы, что точного предела применимости уравнения (4) до настоящего времени не установлено: он колеблется по давлению от 350 кгс/см до 3000 кгс/см^ и более. Полученные аналитические решения волнового уравнения .. позволили впервые определить границы применимости уравнения (4) в задачах импульсной гидродинамики. Это сделано в виде предельной величины скорости расширения полости. Проделанные вычисления на ЭВМ полной системы (I) показали, что с достаточной для практических целей точностью уравнение (4), а значит и его точное решение, применимо при скоростях расширения поршня до 200 м/с: при VÍ&W, t)-C 200 м/с ударная , волна (сразу) отходит от расширяющейся полости со скоростью &с » 1460 м/с - это и служит границей, а при несколько больших скоростях расширения - с несколько большей скоростью, чем аа и приходит в точку Г} несколько ранее.

При больших скоростях влияние членов второго и третьего порядков малости в уравнении (2) становится, существенным. В этих случаях пренебрегать отброшенными членами уже невозможно, необходимо обращаться к решению полной системы (I) или уравнению (2).

Полученные решения обратной задачи для волнового уравнения в областях с подвижными границами позволило перейти от . процесса познания процесса расширения полости в сжимаемой среде к решению вопросов управления движением подвижных границ, что более сложно и важно. В § 4.2 на конкретных примерах показано, как по любому, заранее заданному, исходя из технологических потребностей, профилю ударной волны в произвольной точке, определяется необходимая для его получения мощность

вводимая в расширяющуюся полость. Рассмотрен, представляющий особый интерес, случай, когда-профиль ударной волны имеет произвольное число скачков.

В § 413 впервые произведено прямое определение влияния величины начального радиуса на гидродинамические характеристики расширяющейся полости в сжимаемой среде. Показано, как велико это влияние. Большие значения П> на практике встречаются при расчетах взрывов газовых смесей в жидкости. Учет величины г0 необходим при расчетах канала электрического разряда, лазерного импульса и шаровой молнии, имеющих конечные размеры.

В" § 4.4 произведен учет вязкости и теплопроводности, рассмотрено волновое уравнение

j-y^&.y"-* = а (20)

где 4> = % t * ç * % ( itv л 4» ), £, Ç - коэффициенты сдвиговой и объемной вязкостей, se. - коэффициент теплопроводности; Cpt Сгг - удельные теплоемкости. Получены аналитические зависимости, позволяющие учесть влияние вязкости и теплопроводности без ограничения кг^./ ( к - волновое число, г - радиус сферы).

В § 4.5 показана возможность определения давления без внесения возмущений в среду, используя полученные решения и результаты измерений скоростей частиц и давлений на нелодвиж-

ных границах.

Влияние скорости испарения с внутренней поверхности расширяющегося плазменного поршня на гидродинамические характеристики рассмотрено в § 4.6. Определейие исследуемых функций на больших расстояниях от подвижной границы приведено в § 4.7, показано хорошее совпадение результатов с расчетами С.А.Христиановича и экспериментальными данными Р.Коула.

В § 4.8 получено решение волнового уравнения при наличии проницаемых и излучающих границ [22], то есть когда на подвижной границе, изменяющейся по эвяону [I], скорости частиц среды, соприкасающиеся с подвижной границей, не равна

ctHW/dt , то есть V(AW.*) / dßti)/dir . Полученные аналитические соотношения пригодны для решения прямых и обратных задач и различных вариантах задания дополнительных условий. Подобные задачи в математической физике не рассматривались.

Пятая глава посвящена расширению возможностей применения предложенного метода к решению других волновых задач, теории теплопроводности и диффузии при наличии движущихся границ.

В § 5.1 рассмотрено волновое уравнение с подвижными границами при наличии цилиндрической симметрии. Решение волнового уравнения для /»2 рассматривалось многими авторами, однако вопрос границ применимости этого уравнения для описания процессов расширения полости, в сжимаемой среде оставался открытым. В этом параграфе исследовано точное аналитическое решение волнового уравнения цилиндрической симметрии, а также возможность применения полученных результатов для оценки гидродинамических полей скорости и давления при расширении цилиндрической полости, при этом закон изменения скорости подвижной границы, величины перемещений и начального радиуса произвольны. Для случая

ре,.

получаем / „

Г± v-Vl г

О7- / - *

' ' /Л* / '

йИё) „ /п /М- £

В общем случае произвольных величин перемещений, начального радиуса, закона изменения скоростей двтееил границ и

вида функции - й^л) имеем;

в '

* р(д--т) ¿г г Д ^* _гмг I

} } (22)

/ ( Г г

I I 7/ ЪЩГ^п^

{ (пг(г^Г)ЛГ Г £

ги ^Гг

(23)

Г ■

(р

"I и ^^Г / , сг-кц йАГ,

(24)

Соотношения (21)-(24) являются точными аналитическими решениями волнового уравнения для ¡) =2, когда граничные условия удовлетворяются на подвижных границах, подстановка их в волновое уравнение превращает его левую часть в нуль, они пригодны для решения прямых и обратных задач. Решения (21)-(24) получены впервые [I] .

*

§ 5.2 посвящен решению волнового уравнения, плоская симметрия, с подвижными границами, движущимися с произвольными законами изменения скорости в сжимаемой среде. Впервые получены точные аналитические решения для случая движения двух и одной границ. Решения пригодны для прямых и обратных задач.

В § 5.3 предложены математические приемы, выполнение которых обеспечивает получение решений задач с подвижными границами, описываемыми уравнениями параболического типа, решения пригодны для произвольных законов движения границ, а не только пропорциональной ТгГ .

В §'5.4 впервые установлены аналитические зависимости между законом ввода энергии к источнику возмущения и спектром возбуждаемых им гидродинамических волн. Это позволяет б широком диапазоне изменения (задания) спектра - формы функции давления в точке волновой зоны реконструировать динамические 'и кинематические параметры расширяющейся полости,-определять однозначно закон ввода энергии и оптимизировать выбор соответствующих импульсных источников.

Задачи с нелинейными граничными условиями и подвижными границами - современный раздел математической физики, прикладная важность их настолько велика, что они становятся в ряд актуальнейших проблем математики и механики. § 5.5 посвящен построению решений волнового уравнения с нелинейными условиями в областях с подвижншли границами. Рассмотрены задачи с нелинейными условиями вада f4]

для общего случая произвольных законов движения границ (при этом закон движения границ неизвестен и подлежит определению), величин начального радиуса и перемещений,получены решения

Л«»*/

■ т 1

Коэффициенты Ят интерполяционного полинома Лагранжа степени т определяются из квадратного уравнения

—~/<д -I 1

<26)

С - г' 7 п 7 -¿У р - ** Р ** 4 р

т=о /п-о

Рассмотрены задачи с нелинейным условием типа

РК(Н,И~/><> !

закон движения границы неизвестен и подлежит определению.

Основные результаты работы состоят в следующем.

Методов точного аналитического решения существенно нелинейных задач прямых и обратных, с одной и двумя подвижными границами, проницаемыми границами, с нелинейными граничными условиями на подвижных границах до сих пор не существовало. По существу даже не было примеров исследования конкретных задач с двумя подвижными границами, обратных, с проницаемыми подв: кными границами, с нелинейными граничными условиями на подвижных границах, законы движения которых неизвестны и подлежат определению.

I. В работе впервые предложен и разработан подход к решению проблемы лодвикных границ уравнений математической физи-

ки, учитывающий факт распространения возмущений в сплошных средах с конечной скоростью, определяются зависимости между функциями, аргументы которых имеют сложную структуру»

2. Автором впервце получены точные аналитические решения существенно нелинейных задач с подвижными границами для волнового уравнения - прямые задачи - для случаев плоской цилиндрической и сферической симметрии, ]> = I, 2, 3.

3. Разработана методика и решены аналитически обратные • задачи для волнового уравнения с подвижной границей для плоской, цилиндрической и сферической симметрия, при этом закон движения границ неизвестен и подлежит определению.

4. Разработана методика и решены аналитически прямые задачи для еолнового уравнения с двумя подвижными границами.

5. Автором разработана методика и решены аналитически обратные задачи для волнового уравнения с двумя подвижными границами.

Точные аналитические решения, впервые полученные для волнового уравнения с подвижными границами (п.п. 2-5 Заключения), выходят за рамки применения их в импульсной гидродинамике. . Волновое уравнение - основопдлагающее уравнение математической физики - описывает многие физические- процессы. Полученные решения могут быть использованы и при исследовании других физических процессов.

6. Доказаны теоремы единственности (с использованием полной энергии возмущенной среды) и устойчивости полученных решений волнового уравнения с подвижными границами для прямых и обратных задач импульсной гидродинамики.

7. Впервые произведено решение проблемы сложных аргументов, их получения и взаимодействия для случая движения с произвольными законами измеьения скоростей одной и двух движущихся границ.

8. Получены формулы для интегрирования и дифференцирования разрывных функций с запаздываниями, а также вычисления величин запаздываний при наличии двух движущихся границ.

9. Определены впервые границы применимости волнового уравнения и его решений для плоской, цилиндрической и сферической симметрия при описании импульсных процессов в жидкости.

10. Предложены математические приемы, выполнение которых обеспечивает получение решений задач с подвижными границами, описываемыми уравнениями параболического типа, решения при. годны для произвольных законов движения границ.

11. Определены границы применимости методов решения волновых задач: малого параметра, размерности и подобий, решения Тэйлора для постоянной скорости расширения границы, Ландау

. Л.Д., ввода реальных величин запаздываний и возможные погрешности при их применении.

12. Разработанный подход к решению задач с подвижными границами открывает новые возможности для анализа и решения дважды нелинейных задач, а также решбния нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

13.. Разработана методика определения гидродинамических 'полей расширяющейся полости в жидкости, произведен расчет полной системы методом характеристик; расчет автомодельных задач расширены с постоянной скоростью для трех случаев симметрии в диапазоне давлений до 30000 кг/плг.

14. Впервые решен комплекс обратных задач определения закона ввода энергии в полость, расширяющейся в тонкой оболочке, заполненной и погруженной в сжимаемую жидкость. Исходным для реконструкции принято давление в точке вне оболочки. Проведенное исследование позволяет.решить многие вопросы переизлучения возмущений оболочками, подбора размеров И' материала оболочек, подбора соответствия импульсных источников и параметров оболочек с целью получения необходимого спектра сигнала вне оболочки.

15. Ча основе решений обратных задач решены вопросы управления движением расширяющейся полости в жидкости, вызванного, например, электрическим разрядом, лазерным импульсом, взрывом взрывчатых веществ или газовых смесей, выхлопом сжатого газа и т.д., что позволяет оптимизировать выбор импульсных. источников в современных технологиях.

16. Решены вопросы определения давления без внесения возмущений.в среду, определения величины начального радиуса, влияния испарения с внутренней поверхности движущейся грани-

■ цы на гидродинамические характеристики.

17. Проведен учет влияния диссипативных процессов вяз-

кости и теплопроводности на волновые процессы (без предположения к.- волновое число, Г - радиус сферы). Кроме того, этим показана возможность применения метода к более сложным уравнениям с подвижными границами.

18. Разработана методика и решены задает с проницаемой и излучающей подвижной границей при произвольных Законах-движения границ; проницаемости и излучения. Развитая методика является методологической основой изучения влияния новых, подобных нетрадиционных граничных условий.

19. В рамках авторского подхода разработана методика и решены задачи с нелинейными граничными условиями и подвижными границами для волнового уравнения и нелинейными граничными условиями на подвижных границах при произвольных законах движения границ, которые заранее неизвестны. Методика может

,быть использована для получения и поддержания необходимое время заранее заданного давления на подвижной поверхности плазменного поршня, что необходимо как для изучения плазмы канала электрического разряда и лазерного импульса в жидкости, гак и для современных технологий.

ПУБЛИКАЦИИ

по теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Крутиков B.C. Волновые явления с учетом конечных перемещений проницаемых границ//Доклады РАН (АН СССР), 1993.

т.333, № 4. - С.512-514. »

2. Крутиков B.C. О восстановлении давления на движущейся границе плазменного поршня//Письма в журнал технической физики, 1988, т.14, вып.б. - C.5I0-5I4.

3. Крутиков B.C. Приближенная оценка влияния проницаемости подвижной границы плазменного поршня//Письма в журнал технической физики, 1989, т.15, вып.14, с.45-48.

4. Крутиков B.C. Количественная оценка волновых явлений с нелинейными условиями в областях с подвижными границами //Письма в журнал технической физики,1990,т.16,вып.22, с.37-42.

5. Крутиков B.C. Об одном-решении обратной задачи для волнового уравнения с нелинейными условиями в областях с под-

вижными границами//Прикладная математика и механика. Москва, 1991, »6, с.1068-1062.

6. Крутиков B.C. О взаимодействии слабых ударных волн со сферической оболочкой с учетом подвижности границ//Иэ-вестия АН СССР. Механика твердого тела. - Москва,1992, № 2, с.178-186.

7. Крутиков B.C. Одномерные задачи механики сплошной среды с подвижными границами. - Киев, Наук.думка,1985. - 125с.

8. Крутиков B.C. К вопросу управления электрическим разрядом в жидкости//Электронная обработка материалов. -1983, » б (114). - С.67-70.

9. Крутиков B.C. О расширении поршня в жидкости//Новое в разрядноимпульсной технологии. - К.: Наук.думка, 1979.-СЛ12-120.

10. Крутиков B.C. Об одном решении задачи Стефана//Электри-ческйе устройства и аппаратура электроимпульсных установок. - К.: Наук.думка, 1981. -C.I23-I27.

11. Крутиков B.C. К определению гидродинамических характеристик в конечной системе//Электрогидравлический эффект и его применение. - К.: Наук.думка, 1981. - С.70-86.

12. Крутиков B.C. Определение влияния скорости испарения с внутренней поверхности поршня на гидродинамические ха-рактеристики//Фиэико-механические процессы при высоковольтном разряде в жидкости. - К.: Наук.думка, 1980. -С.143-145.

13. Иванов A.B., Крутиков B.C. Определение гидродинамических характеристик потока при расширении поршня в жидкости// Электрогидравлический эффект и его применение. - К.: На-ук.думка, 1981. - С.86-96.

14. Крутиков B.C. О восстановлении давления на движущейся границе плазменного поршня//1У Всесоюзн.симпоз.Методы

. теории идентификации в задачах измерительной техники и ■ метрологии. - Новосибирск, 1985. - С.52.

15. Крутиков B.C. Определение гидродинамических характеристик в конечной системе//Основные проблемы разрядноимпульсной технологии. - К.: Наук.думка,1980. - C.I49-I59.

16. Крутиков B.C. Об одной задаче с подвижными границами//

Физические основы электрического взрыва. - К.: Наук.думка, 1983. - С.II0-121. |

[7. Крутиков B.C., Об управлении электрическим разрядом в нид-кости//Технологические особенности использования электрического взрыва. - К.: Наук.думка, 1983. - С.4?-50.

[8. Крутиков B.C. 05 одной задаче механики сплошной среды с подвижными границами//Электроразрядныз процессы: эксперимент, теория, практика. - К.: Наук.думка, 1984. - С.67-80.

[9. Крутиков B.C. Метод точного аналитического решения задач с подвижными границами/УЛодБОдный электровзрыв. - К.: Наук.думка, 1985. - С.69-74^

20. Крутиков B.C. Волновые явления в конечной системе при наличии больших перемещений границ//Новое в злектрогидроим-пульсной обработка. - К.: Наук.думка, 1986. - С.39-47.

II. Крутиков B.C. Об управлении спектром волны давления,вызванного электрическим разрядом в жидкоети//Электрофизи-ческие и гидродинамические процессы'электрического разряда в конденсированных средах. - К.: Наук,думка, 1987, -. С.96-101.

22. Крутиков B.C. К вопросу получения функции давления заданного спектра в сжимаемой среде//Элекгрический разряд в конденсированных средах. К.: Наук.думка, 1989.С.60-66.

»3. Крутиков B.C. К вопросу о волновых явлениях в конечной системе//П Всесоюзный симпозиум по физике акустико-гид-родинамических явлений и оптоакусгике. М.: Наука,1979,-С.54.

¡4. Крутиков B.C. К вопросу управления электрическим разрядом в жидкости//Электроимпульсная технология и электромагнитные процессы в нагруженных твердых телах. -Томск: йзд-во Томск. Госунив.-та, 1982. - С.59-60.

¡5. Крутиков B.C. 05 одном решении задач типа Стефана// Электрический разряд в жидкости и его применение в промышленности. - К.: Наук.думка. 1980. С.62.

16. Крутиков B.C. О вычислении времени^запаздывания в задачах с подвижными границами//Электрический разряд в жидкости и его применение в промышленности. - К.: Наук, думка, 1980. - С.64-65. .

27. Крутиков B.C. О распространении волн в вязкой, теплопрово-дящей среде//Ш Всесоюзный симпоз.по физике, акустико-гидро-динамических явлений и оптоакустике. - Ташкент: Наука.

• 1982. - С. 30.

28. Крутиков B.C. Об управлении движением расширяющейся полости в жвдкоети//Электрический разряд в жидкости и его применение ^промышленности. К.: Наук.думка, 1984. -С.90-92.

АН0ТАЦ1Я

Крутхков В. С, Побудова методу i рппенЬ 1мцульсниХ задач механхзи сущльногс еередовица з рухомиыи межами.

Дисертащя - рукошс, на здобуття вченого ступени доктора ф1зико-математичних наук з специальности 0I.02.C5 - механ1ка рхдкни, газу i плазми, 1нститут гздромеханхки Национально'! академи наук Украхни, m.Khib,I995 р. захицаеться нетрадицхний пэдхтд вирдпення проблеми рухомих меж рхвнянь математичнох ф1-зики для випадку задавання граничних умов на рухомих межах. Науксва новизна полягае у створенн! вперше: методiв аналхтич-ного рпяення к ласу задач для хвильового рхвняння - з однхею i двома рухошми межами, одна рухаеться, а друга - нерухома, прямих i ЗБОротних задач для цих випадкхв, при дов1льних величинах перемхщень, початковиг. радхусхв i законах руху меж; - методов аналхтичного. ршення вежливого класу задач для випадку задавання нелШйедх додаткових умор на рухомих «ежах; - клас задач з рухошми проникниш/випромхнюючиии/межами.

Ключов1 слова: рухош меж;, з»ор<лщ/прям1/ задачх, хвильове piBHHHHe.

• ' aes1raccc

of tba" paper »»Development of a method and solutions for pulae problems of the mechanics of continuous media with moving boundaries" by v.s.Krutikov

This work is a dissertation for th# degree of Doctor of Physical and Mathematical*Sciences in speciality 01.02.05 "Mechanics of liquid,gas and plasma",Institute of Hydromochanics' of the Hational Aoademy of Sciences of the Ukraine,Kiev,1995-A new approach is proposed for solving the problem of moving boundaries in equations of mathematical physics in the case of setting boundary conditions on moving boundaries. The scientific novelty consists in that the following nas been created for the first time: methods of analytical solution of a class of problems for the wave equation with one or tvio moving boundaries when one of them is moving and the other is motionless,as well as methods of solution of direct and inverse problems for these oases

under arbitrary values of displacement,initial radii and laws of boundary movements ; methods of analytical solution of an important class of problems for the case of setting additional non-linear conditions on moving boundaries 5 a class of problems with moving permeable (radiant) boundaries.

Key words: moving boundaries,inverse (direct) problems,

wave equation

\

RSÍIIT 3ai(a3 £»583 Tupa» 120 ana. I0.O7.95r.