Задачи фильтрационной консолидации с неизвестными границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1 Плоские контактные задачи фильтрационной консолидации

1.1 Постановка задачи

1.1.1 Уравнения.

1.1.2 Граничные условия

1.1.3 Дополнительные условия.

1.1.4 Переход к безразмерным переменным

1.1.5 Переформулировка задачи в терминах новых функций.

1.2 Общая схема приближенного решения задачи. Определение нормальных усилий . . .■•.

1.2.1 Разложение по малым г.

1.2.2 Численное решение задачи А. Подсчет интегральных характеристик.

1.2.3 Асимптотическое исследование задачи А

1.2.4 Анализ полученных результатов

1.3 Решение задачи в полной постановке при нулевом коэффициенте трения

1.3.1 Постановка задачи.

1.3.2 Решение задачи А.

1.3.3 Решение задачи В.

1.3.4 Сравнение полученных результатов

1.4 Приближенное решение задачи. Нахождение касательных усилий.

1.4.1 Случай полного прилипания

1.4.2 Приближенное решение в общем случае

2 Одномерные задачи консолидации с неизвестной подвижной границей

2.1 Постановка задачи. Начальное состояние.

2.1.1 Уравнения.

2.1.2 Начальные и граничные условия.

2.1.3 Начальное состояние в случае постоянной нагрузки

2.1.4 Начальное состояние в случае импульсной нагрузки

2.2 Постоянная нагрузка.

2.2.1 Численное решение задачи

2.2.2 Результаты расчетов

2.3 Импульсная нагрузка.

2.3.1 Качественная картина прЬцесса и ее зависимость от величины прилагаемого импульса

2.3.2 Численное решение.

2.3.3 Результаты расчетов

2.4 Серия импульсов.

Взаимосвязанные процессы деформирования и фильтрации в насыщенных пористых средах составляют сущность многих явлений в природе и служат основой разнообразных технологических воздействий в химической промышленности, строительстве и добыче полезных ископаемых. Отсюда интерес к теории таких процессов. Важную роль в ее развитии играет математическое моделирование, позволяющее прогнозировать и оптимизировать технологические воздействия, интерпретировать и обрабатывать опытные данные. Как правило, оно выполняется на основе модельных представлений теории фильтрационной консолидации, берущей начало с пионерской работы К.Терцаги [81, 55] 1925 года. В ней он впервые ввел понятие эффективных напряжений и решил одномерную задачу уплотнения водонасыщенного глинистого грунта в виде слоя конечной толщины.

Эта теория получила дальнейшее развитие в трудах Н.М.Гер-севанова [11, 12], В.А.Флорина [56, 57, 58], Н.А.Цытовича [60, 61], Ю.К.Зарецкого [26, 27], М.Био [6, 7], В.Н.Николаевского [46, 47] и других. Общая математическая модель фильтрационной консолидации на базе вариационно-термодинамического подхода создана М.Био [6, 7]. Ее глубокий анализ с позиций механики сплошной среды проведен В.Н.Николаевским [46, 47]. А.В.Костериным на основе вариационных формулировок задач фильтрационной консолидации исследована их корректность и предложены обоснованные численные методы их решения [17, 18, 34, 33, 19]. В последние годы интерес к теории фильтрации усиливается, о чем свидетельствует быстрый рост числа публикаций по этой тематике [66, 79, 63, 28, 68, 38, 78, 75].

Математическая модель фильтрационной консолидации насыщенной пористой среды под действием внешних поверхностных сил включает в себя суммарное уравнение движения (квазиравновесия) фаз, условия неразрывности (баланса масс), закон фильтрации, реологическое соотношение для пористого скелета, граничные и начальные условия.

В простейшем варианте модели теории фильтрационной консолидации считается, что жидкость и материал зерен несжимаемы, пористая матрица деформируется упруго, а жидкость фильтруется по закону Дарси. Реологические соотношения в этом случае имеют вид:

СГц = \68ij + (¿) д = -кУр (2)

Здесь Х{ - декартовы координаты, о^ -.эффективные напряжения в скелете, р - давление в жидкости, Ец - тензор макродеформаций, в = £ц - объемная деформация среды, д - скорость фильтрации, к - коэффициент фильтрации, Л, ¡1 - коэффициенты Ламе упругой пористой матрицы.

Адекватное описание свойств реальной пористой среды предполагает усложнение определяющих соотношений (1), (2). Для пористого скелета часто необходим учет его вязких и пластических свойств. Задачи фильтрационной консолидации с учетом этого рассматривались в работах [25, 65]. Закон фильтрации также в ряде случаев может носить более сложный характер, чем закон Дарси (2). Так, например, коэффициент фильтрации может зависеть от деформаций среды [59, 62]. Другой возможностью, особенно важной для описания консолидации глинизированных грунтов, является наличие предельного градиента [36, 37, 42, 76].

Еще одним актуальным направлением в развитии теории фильтрационной консолидации является решение сложных неодномерных задач. "Это существенно не только для повышения роли научного прогноза в практике (в связи с расширением круга решаемых задач), но и для развития самой теории консолидации (в связи с усилением обратной связи теории с практикой)." [20]. Как правило, решения двумерных и трехмерных задач фильтрационной консолидации получают на основе сеточных методов [13, 2, 32]. Поэтому каждое аналитическое решение этих задач представляет собой как самостоятельный интерес, так и косвенный, позволяющий использовать его для тестирования численных методов. Одно из немногих таких решений получено в работе [24]. Т4

Продвижение в обоих указанных направлениях (усложнение реологии и неодномерность) во многих случаях приводит к необходимости решения задач с заранее неизвестными границами.

Например, при усложнении реологических соотношений введением пластичности необходимо определять заранее неизвестную границу между областями упругих и пластических деформаций. При нелинейном законе фильтрации с предельным градиентом возникают зоны фильтрации и зоны "замороженных" напряжений. Границы между этими зонами также заранее неизвестны и должны определяться в ходе решения задачи.

Необходимость определения неизвестных границ может возникать также в рамках линейной теории. Это может быть связано, например, в контактных задачах как с причинами чисто геометрического характера (заранее неизвестная граница контакта), так и с нелинейностью граничных условий (неизвестные границы между областями проскальзывания и сцепления).

В настоящей диссертационной работе обсуждаются обе ситуации применительно к конкретным задачам.

Первая из них связана с развитием контактных задач теории фильтрационной консолидации.

Собственно предмет механики контактного взаимодействия имеет давнюю историю. Он восходит к 1882 году, когда Генрих Герц опубликовал свою классическую работу "О контакте упругих тел" [72].

Теория Герца применима только к идеально упругим телам в отсутствие трения по поверхности контакта. Прогресс механики контактного взаимодействия во второй половине нашего столетия связан главным образом с отказом от этих ограничений. Адекватный учет трения по поверхности контакта тел позволил построить в рамках теории упругости описание реалистического контактного взаимодействия со скольжением и качением. Развитие в это же время теорий пластичности и линейной вязкоупругости дало возможность исследовать напряженно-деформированное состояние контактирующих неупругих тел. Во многом благодаря трудам советских ученых Н.И.Мусхелишвили, Л.А.Галина теория контактных задач упругости и вязкоупругости превратилась в законченную научную дисциплину. Число публикаций по этой тематике не поддается учету. Ограничимся тем, что приведем здесь лишь две из них. Современное состояние в области контактных задач теории упругости отражено в книге Дж.Гладуэлла [71]. Контактному взаимодействию неупругих тел посвящена книга К.Джонсона [16]. В ней также рассмотрены сложные прикладные контактные задачи с учетом трения, динамики, теплообмена.

В отличие от теории упругости и вязкоупругости, контактные задачи, сформулированные в рамках теории фильтрационной консолидации, изучены значительно хуже. Ясно, что они должны наследовать некоторые свойства аналогичных задач теории упругости и вязкоупругости. Однако особенности, вызванные процессом фильтрации, не позволяют непосредственно применять хорошо разработанные методы этих теорий. Контактные задачи теории фильтрационной консолидации требуют разработки специальных методов своего решения. Пробным камнем здесь может служить классическая контактная задача о качении жесткого цилиндра по поверхности полупространства. Эта задача также представляет и большой самостоятельный интерес, вызванный необходимостью выявления механизмов силы сопротивления перекатыванию. Известны по крайней мере два механизма возникновения такой силы. Один из них, предложенный Рейнольдсом [77], универсален и связан с относительным скольжением соприкасающихся поверхностей вследствие их деформации. Другой механизм, впервые рассмотренный, видимо, А.Ю.Ишлинским [29, 30], работает для материалов, проявляющих, наряду с упругими, также и вязкие свойства. Вследствие наличия последействия здесь возникает несимметричная картина распределения нормальных напряжений на площадке контакта и появляется момент трения качения. Более полно этот механизм для вязко-упругих тел был исследован в работах Л.А.Галина [10], Флома и Буше [69], Хантера [73].

Ясно, что в насыщенной пористой среде трение качения должно определяться диссипативными потерями при фильтрационном перетоке жидкости. Ожидается, что этот объемный источник диссипации в общем случае должен преобладать над поверхностной диссипацией механизма трения Рейнольдса и, таким образом, вязкий механизм трения в насыщенных пористых средах должен быть преобладающим. Представляет интерес выяснить этот вопрос количественно.

Как уже отмечалось выше, основная причина возникновения неизвестных границ в задачах фильтрационной консолидации связана с нелинейностью уравнений. Одна из возможных нелинейностей в уравнениях - это наличие предельного градиента. Он оказывает существенное влияние на фильтрацию жидкости в глинизированных породах [8, 40]. Одномерные задачи консолидации с учетом наличия предельного градиента рассматривались в [76, 42, 36, 37]. При этом принималось, что пористая матрица деформируется упруго. Однако в существенно нестационарных условиях, наряду с упругими, необходимо также учитывать и вязкие свойства глинизированных грунтов. Предельным проявлением таких условий является мгновенное приложение импульсной нагрузки. Описание протекающих при этом процессов невозможно без учета вязких свойств пористой матрицы. Поэтому представляется целесообразным обобщить результаты указанных выше работ на более общий случай линейно вязкоупругого грунта.

Сказанное выше определяет цели диссертационной работы:

- Построение метода решения плоских контактных задач теории фильтрационной консолидации применительно к задаче о качении цилиндра по поверхности пороупругого полупространства.

- Решение задач о нагружении различными видами нагрузки вязкоупругого пористого полупространства, насыщенного жидкостью, фильтрующейся по закону с предельным градиентом.

Цели диссертационной работы определяют ее структуру. Диссертационная работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка литературы. Список литературы включает в себя 81 наименование.

Заключение

В диссертационной работе рассмотрены два класса задач фильтрационной консолидации с неизвестными границами.

В первом разделе разработан метод решения плоских контактных задач теории фильтрационной консолидации. Он заключается в асимптотическом разложении решения по степеням сжимаемости пористой матрицы и сведении получающихся при этом задач к классическим задачам конвективного теплообмена и теории функций комплексного переменного.

На основе полученного метода рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра по поверхности пороупругого полупространства для различных условий трения между, поверхностью цилиндра и пористой средой. Рассмотрен общий случай конечного предельного коэффициента трения, и два частных - нулевого и бесконечного большого коэффициентов трения. Для предельных случаев бесконечно быстрого и бесконечно медленного движения катка построено аналитическое решение. Получена зависимость момента трения качения от безразмерной скорости движения катка. Показано, что в насыщенных пористых средах вязкий механизм трения, предложенный Ишлинским, преобладает над механизмом трения Рейнольд-са. Сравнение полученных результатов с-точными для герцевских условий трения на площадке контакта показало достаточную точность предложенного метода.

Во втором разделе поставлена и решена задача о напряженно-деформированном состоянии вязкоупругого пористого полупространства, насыщенного жидкостью, фильтрующейся по закону с предельным градиентом, при приложении к его поверхности постоянной, либо импульсной нагрузки. Построен сеточный метод решения возникающих при этом задач с неизвестными подвижными границами. Проведен параметрический анализ решения задачи.

Перспективы исследования, в первую очередь, связаны с необходимостью уточнения классической модели фильтрационной консолидации на случай возникновения двухфазных зон в первоначально полностью насыщенной пористой среде. Последние, как показано в первом разделе, неизбежно возникают в зоне разгрузки позади движущегося катка. Один из возможных подходов к их моделированию обсуждается в работе [34]. Он приводит к необходимости решения задач, рассмотренных в первом разделе, но при наличии неизвестной границы между зонами полного и частичного насыщения.

1. Абрамович М., Сгпиган И. Справочник по специальным функциям. - М., 1979. - с.686.

2. Алейников С.М. Расчет контактного взаимодействия фундаментных конструкций с пористо-упругим основанием / / Соврем. методы стат. и динам, расчета сооруж. и конструкций. 1994. - N3. - С.171-181.

3. Алимов М.М. Асимптотическое решение задачи о теплообмене пластины с равномерно набегающим потоком // ПММ (в печати).

4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984, 211 с.

5. Бернардинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. 102 с.

6. Био М.А. Механика деформирования и распространения аку* стических волн в пористой среде. В кн.: Механика, М., ИЛ., 1963, - С. 103-134.

7. Био М.А. Вариационные принципы в теории теплообмена. -М.: Энергия, 1975. 208 с.

8. Бондаренко Н.Ф. Физика движения подземных вод. Л.: Ги-дрометеоиздат, 1973. - 216 с.

9. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

10. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязко-упругости. М.: Наука, 1980. 304 с.

11. Герсеванов Н.М. Основы динамики грунтовой массы. M.-JL: ОНТИ, 1937. - 242 с.

12. Герсеванов Н.М., Полъшин Д.Е. Теоретические основы механики грунтов и их практические применения. М.: Стройиз-дат, 1948. - 248 с.

13. Гитин Д.Н. Пространственная задача для абсолютно жесткого штампа на водонасыщенном основании // Основания, фун-дам. и мех. грунтов. 1994. - N1. - С.2-5.

14. Горячева И.Г. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. - С.7.

15. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962, 1100 с.

16. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989.510 с.

17. Дроботенко М.И., Костерин A.B. Обобщенное решение задачи фильтрационной консолидации // Докл. АН России. 1996. - Т.350. N5. - С.619-621.

18. Дроботенко М.И., Костерин A.B. Исследование фильтрационной консолидации путем сведения к задаче Коши для смещений скелета // Препр./ Казан, гос. ун-т. НИИ мат. и мех. -1991. N1. - С.1-33.

19. Егоров А.Г., Костерин A.B., Скворцов Э.В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. Казань: Изд-во Каз. унив-та, 1990. 102 с.

20. Егоров А.Г., Костерин A.B., Сахабутдинова (Галеева) Д.Р. Одномерные задачи консолидации с неизвестной подвижной границей // Механика твердого тела. 1998, N6. - С.132-142.

21. Егоров А.Г., Костерин A.B., Сахабутдинова (Галеева) Д.Р. Одномерные задачи консолидации с неизвестной подвижной границей // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды II Межд. конф., Ростов-на-Дону, 19-20 сентября1996 г. С.58-62.

22. Егоров А.Г., Костерин A.B. О движении катка по поверхности насыщенного пористого полупространства // ДАН России, 1998, т.360, N6.

23. Зарецкий Ю.К. Вязко-пластичность грунтов и расчеты сооружений. М.: Стройиздат, 1988. - 352 с.

24. Зарецкий Ю.К. Лекции по современной механике грунтов. -Ростов-на-Дону, Изд-во РГК, 1987. 453 с.

25. Зарецкий Ю.К. Теория консолидации грунтов. М.: Наука, 1967. - 270 с.

26. Исрафилов P.M., Цурпал С. И. Динамическое деформирование пористой, насыщенной жидкостью среды под воздействием гармонического импульса // Ин-т мех. HAH Украины. -Киев, 1995. 19 с.

27. Ишлинский А.Ю. Трение качения. // ПММ. 1939. В. 2. С. 245260.

28. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Книга 1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. - 360 с.

29. Косенков В.М. Фильтрация жидкости в многофазной пористой консолидированной среде под действием импульсной нагрузки // Динам, сплош. среды. 1995. - N110. - С.117-121, 199.

30. Костерин A.B. Фильтрационная консолидация теория и некоторые приложения // Докл. на 13 сес. междунар. шк. помоделям мех. сплош. среды, СПб, 27 июня 3 июля, 1995 г. -СПб, 1995. -С.114-123.

31. Костерин A.B., Березинский Д.А. Насыщенно-ненасыщенные состояния деформируемых пористых сред. // Докл. РАН. В печати.

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, 736 с.

33. Мазуров П.А. К одномерной теории нелинейной консолидации. в кн. Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. Часть 1. Казань, Казанский физико-технический ин-т КФАН СССР, 1985, с.94-105.

34. Мазуров П.А. Расчет одномерной нелинейной консолидации. в кн. Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. Казань, Казанский физико-технический ин-т КФАН СССР, 1987, с.55-62.

35. Мазуров П.А. Вариационные принципы фильтрации несжимаемой жидкости в средах с двойной пористостью // Прикл. мат. и мех. (Москва). 1993. - 57, N1. - С.65-70.

36. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. - 476 с.

37. Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Одномерная фильтрация сжимаемой вязко-пластичной жидкости. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1971. 63 с.

38. Моссаковский В.И. Основная смешанная задача теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий. ПММ, 1954, т. 18, вып.З, с.418-427.

39. Муриджанян С.Ш, Хачатрян Э.А. Влияние начального градиента напора на процесс консолидации.// Изв. АН Армянской ССР, 1983, 36, N 5, с 22-25.

40. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.-Л., Гостехиздат, 1946. -448 с.

41. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручение и изгиб. М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1949. - 635 с.

42. Мухамадуллина Г. И. Математическое моделирование замораживания фильтрующих грунтов. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1995. 112 с.

43. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984. 232 с.

44. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.Л. Механика насыщенных пористых ¿ред. М.: Недра, 1970. 355 с.

45. Нужин М. Т., Ильинский Н.Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Казань: изд-во Казанского университета, 1963. с. 131-132.

46. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит-ры. 1981.

47. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (19171967). Отв. ред. П.Я. Кочина. М.: Наука 1969, 545 с.

48. Рвачев В. Л. Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы // ПММ. 1956. Т.20. Вып.2.- С.248-254.

49. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

50. Сретенский Л.И. О нагревании потока жидкости твердыми стенками // ПММ. 1935. Т.2. Вып.2. С.163-179.

51. Терцаги К. Теория механики грунтов. Перевод с нем. М.: Гос-стройиздат, 1961.

52. Флорин В.А. Основы механики грунтов, т.И. JI.-M. : Госстрой-издат, 1961. 544 с.

53. Флорин В.А. Теория уплотнения земляных масс. М.: Строй-издат, 1948. - 284 с.

54. Флорин В.А. Уплотнения земляной среды и фильтрации при переменной пористости с учетом влияния связанной воды. // Изв. АН СССР, ОТН. 1951. N11. - С.1625-1649.

55. Хейфец Л.И., Неймарк A.B. Многофазные процессы в пористых средах. М.: Химия, 1982.

56. Цытович H.A. Механика грунтов. М.: Высшая школа, 1983.- 288 с.

57. Цытович И.А. Основы механики грунтов. JI.-M.: Глав. ред. строит, лит-ры, 1934. - 307 с.

58. Черемской П.Г., Слезов В.В., Ветехтин В.И. Поры в твердом теле. М.: Энергоатомиздат, 1990.

59. Швец В.В., Шаповал В.Г. Общее решение пространственной задачи теории взаимосвязанной фильтрационной консолидации // Основания, фундам. и мех. грунтов. 1994. - N5. -С.19-21.

60. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с. . '

61. Bardet J.P. A viscoelastic model for the dynamic behavior of saturated poroelastic soils // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1992. - 59, N1.-C.128-135.

62. Bear J., Corapcioglu M. Y. (Eds.) Fundamentals of transport phe-numena in porous media // Martinus Nijhoff Publishers, 1984, 1003 p.

63. Bufler H. Zur Theorie der rollenden Reibung. Ing.-Arch., 1959, 27, p.137. . '

64. Dluzewski J anus z Maciej. Numerical modelling of soil-structure interactions in consolidation problems // Pr. nauk. Bud. / PWarsz. 1993. - N123. - C.3-116.

65. Flom D.G., Bueche A.M. Theory of rolling friction for spheres. -J. Appl. Phys., 1959, 30, p.1725.

66. Fortin M., Glowinski R. Augmented Lagrangian. Amsterdam: North-Holland, 1983.

67. Gladwell G.M.L. Contact Problems in the Classical Theory of Elasticity. Alphen aan den Rijn: Sijthoff and Noordhoff, 1980.

68. Hertz H. On the contact of elastic solids. J. reine und angewandte Mathematik, 1882, 92, S.156-171.

69. Hunter S. C. The Hertz problem for a rigid spherical indenter and a viscoelastic half-space. J. Mech. and Phys. Solids, 1960, 8, p.219.

70. Kornev KMukhamadullina G. Mathematical theory of freezing for flow in porous media // Proc. Royal Soc. Lond. 1994. Ser.A. V.447. P.281 297.

71. Lee P.K.K., Xie K.H., Cheung Y.K. A study on one-dimensional consolidation of layered systems // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 1992. - 16, N11. - C.815-831.

72. Pascal Florica, Pascal Hanry, Murray D. W. Consolidation with threshold gradients.// Int. J. Numer. and Anal. Geomech., 1981,5,N 3, pp. 247-261.

73. Reynolds 0. On rolling friction. // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1875. V. 166. Pt. 1. P. 155-174.

74. Saduki S. Analytical and computational studies on the consolidation of multilayered soils // Eng. Comput. 1991. - 8, N2. -C.181-188.

75. Sehadurai A.P.S., Yue Z.Q. On the indentation of a poroelastic layer // Int. J. Number, and Anal. Meth. Geomech. 1994. - 18, N3. - C.161-175.

76. Signorini A. Sopra un problema al contorno nella teoría delle funzioni di variabile conplessa. // Ann. Mat. Pura ed Appl. 1916. Ser.3. T.25. P.253-273.

77. Terzaghi K. Erdbaumechanik auf bodenphysikalischer Grundlage. Wien: Manzische Buchdruckerei, 1925. - 399 s.