Фильтрационные эффекты в задачах тепло-массопереноса и деформирования насыщенных пористых сред

Егоров, Андрей Геннадьевич

Фильтрационные эффекты в задачах тепло-массопереноса и деформирования насыщенных пористых сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Егоров, Андрей Геннадьевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

1999 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Фильтрационные эффекты в задачах тепло-массопереноса и деформирования насыщенных пористых сред»

Автореферат диссертации на тему "Фильтрационные эффекты в задачах тепло-массопереноса и деформирования насыщенных пористых сред"

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ОД На правах рукописи

ЕГОРОВ Андрей Геннадьевич

ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЗАДАЧАХ ТЕПЛО-МАССОПЕРЕНОСА И ДЕФОРМИРОВАНИЯ НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕД

01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1999

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте математики и механики им. Н.Г.Чеботарева Казанского государственного университета.

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук профессор А.В.Костерин,

доктор технических наук, профессор Э.А.Бондарев

доктор технических наук, профессор В.М.Ентов

доктор физико-математических наук, профессор Ю.М.Молокович

Институт прикладной математики им М.В.Келдыша

Защита состоится " 2 Н " февраля 2000 г. в 14 час. 30 мин: в аудитории физ.2 на заседании диссертационного Совета Д 053.29.01 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан "2&" января 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент А.А.Саченков

Н5М .306 , 0

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Процессы деформирования и тепло-массопере-носа в насыщенных пористых средах составляют сущность многих явлений в природе и служат основой разнообразных технологических воздействий в химической промышленности, строительстве, добыче полезных ископаемых. Отсюда интерес к их теоретическому описанию.

Практически всегда указанные процессы протекают на фоне фильтрации насыщающих пористую среду флюидов, что делает необходимым учет и исследование взаимодействия соответствующих физических полей с полем фильтрационных потоков. Повышенный интерес в этой связи представляют ситуации, когда такое взаимодействие выражено особенно отчетливо, определяя саму специфику рассматриваемого явления. Именно они и рассматриваются в данной работе.

Соответствующие задачи возникают при исследовании акустических и консолидационных явлений в пористых средах, при проектировании широко используемых в практике гражданского строительства систем искусственного замораживания фильтрующих горных пород, при утилизациии в многолетнемерзлые грунты высококонцентрированных растворов, при экологической оценке защитных свойств зоны аэрации. Их очевидная практическая значимость, наряду с возникающими перед исследователем проблемами теоретического характера, давно привлекают внимание механиков и математиков. Тем не менее, имеющиеся результаты далеко не исчерпывающи. Они не снимают полностью как проблемы адекватной рассматриваемым процессам математической постановки сложных сопряженных задач механики пористых сред, так и необходимости создания новых и развития известных методов их решения. Все это в конечном итоге определяет актуальность тематики диссертации и позволяет сформулировать

цель работы: развитие общих методов решения и анализ на их основе конкретных задач взаимодействия полей различной физической природы — деформационного, температурного, концентрационного — с фильтрационными потоками в пористой среде.

Основные задачи исследования: — разработать эффективные методы решения новых контактных за-

дач фильтрационной консолидации с подвижной нагрузкой; оценить влияние фильтрационной диссипации энергии на трение качения для пороупругих материалов.

— определить влияние фильтрационных перетоков на затухание упругих волн в слоисто-неоднородной среде и на формирование остаточных напряжений в процессе фильтрационной консолидации глинизированных грунтов;.

— развить математическую модель тепло-массопереноса при фильтрации раствора в пористой среде с учетом фазовых переходов; на основе решения модельных задач, отражающих основные черты конкретных технологических процессов, изучить ее качественные свойства;

— разработать эффективные численные методы решения плоских задач замораживания фильтрующих раствор пористых сред и исследовать с их помощью процесс замораживания фильтрующего грунта линейной цепочкой хладоисточников;

— построить математическую модель влагопереноса в трещиновато-пористой зоне аэрации; оценить на этой основе опасность фильтрационного проникновения загрязнений через зону аэрации.

Диссертационная работа построена так, чтобы решению каждой из сформулированных задач посвящалась отдельная глава.

Методика исследования. В ходе решения задач широко использовались различные классы математических методов; методы осреднения уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, теории подобия и анализа размерностей - при построении математических моделей; методы сращивания асимптотических разложений, теории функций комплексного переменного, интегральных преобразований, вариационные методы - при теоретических исследованиях и построении расчетных зависимостей. Значительное место занимают численные методы теории разностных схем, решения интегральных и обыкновенных дифференциальных уравнений, а также математический эксперимент с применением ПЭВМ.

Научная новизна работы определяется следующими ее основными результатами

1) Разработан новый численно-аналитический метод решения контактных задач теории фильтрационной консолидации с подвижной на-

грузкой, основанный на их сведении к классическим задачам теории функций комплексного переменного и конвективного теплообмена. На его основе решена задача о качении жесткого цилиндра по поверхности пороупругого полупространства с различными условиями трения на площадке контакта и с учетом двухфазного характера области разгрузки. Показано, что в широком диапазоне управляющих параметров задачи преобладающим механизмом трения качения является фильтрационная диссипация энергии.

2) Для произвольных частот и направлений распространения изучен трансформационный механизм затухания упругих волн в слоистых насыщенных пористых средах. Объяснено наблюдаемое в природных средах в широком диапазоне частот постоянство декремента затухания.

3) Поставлена и решена задача о деформировании вязкоупругого пористого полупространства, насыщенного жидкостью, фильтрующейся по закону с предельным градиентом, при приложении к его границе импульсной нагрузки. Проведен параметрический анализ задачи. Доказано, что учет вязких свойств пористой матрицы приводит к принципиальной возможности отступления зон фильтрации и, в конечном итоге, к зависимости распределения остаточных напряжений в грунте от предыстории деформационного процесса.

4) Для задач тепло-массопереноса с фазовыми переходами в насыщенной раствором пористой среде построены новые классы автомодельных решений, характеризующиеся преобладанием конвективных потоков тепла над кондуктивными, либо их соизмеримостью. Показано, что конкуренция конвективного и кондуктивного механизмов переноса может приводить к образованию саморегулирующихся пространственных структур с повышенной льдистостью.

5) Разработан новый численный метод решения плоских задач тепло-массопереноса с фазовыми переходами в фильтрующей пористой среде. Для случая фильтрации пресной воды проведен полный параметрический анализ задачи замораживания грунта линейной непочкой хладоис-точников. Изучена специфика промораживания фильтрующей среды в присутствии раствора. Продемонстрирована принципиальная возможность сохранения талых зон с повышенной концентрацией раствора внутри замороженных областей.

6) Предложена новая модель насыщенно-ненасыщенного влагопере-носа в трещиновато-пористой среде, формулируемая как дифференциальное включение с многозначной в нуле зависимостью проницаемости от давления. На ее основе решена задача определения формы струи полного насыщения от точечного источника в трещиновато-пористой зоне аэрации.

Достоверность полученных в работе теоретических результатов следует из того, что они основаны на общих законах и уравнениях механики сплошных сред и обеспечиваются строгими математическими доказательствами, выводами, оценками, сопоставимостью решений задач, полученных различными методами, совпадением в частных случаях количественных результатов с результатами работ других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты расширяют и углубляют теоретические знания о процессах тепло-массопереноса и деформирования фильтрующих сред и имеют широкий спектр приложений на практике.

Найденные в главе 1 и § 2.1 значения коэффициентов трения качения и затухания упругих волн могут быть использованы для обработки соответствующих экспериментальных данных.

Решение задачи § 2.2 о нагружении вязко-упругого полупространства, насыщенного жидкостью, фильтрующейся по закону с предельным градиентом, может быть полезно при оценке обширных в плане поверхностных воздействий на глинизированные грунты.

Анализ •§ 3.1 процесса интенсивной закачки раствора в мерзлый грунт может быть использован для установления критериев применимости известной технологии захоронения рассолов, применяемой, в частности, при отработке рассолонасыщенных глубоких горизонтов алмазных месторождений Якутии, а полученные в § 3.2 условия возникновения ледопородных барьеров - для создания таких преград с целью управления фильтрационными потоками.

Результаты решения задачи главы 4 о замораживании фильтрующего грунта линейной цепочкой хладоисточников, равно как и разработанный для этого метод, могут быть использованы при проектировании работ по замораживанию горных пород в условиях фильтрационного потока.

Результаты § 5.2 исследования насыщенно-ненасыщенного влагопе-реноса от точечного источника в трещиновато-пористой среде могут быть полезны при экологической оценке защитных свойств зоны аэрации.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались и обсуждались на ежегодных итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (1981-1999), на 6-ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), на Республиканском научно-техническом семинаре "Краевые задачи фильтрации грунтовых вод" (Казань, 1988), на Международной конференции "Flow through porous media: fundamentals and reservoir engineering applications" (Москва, 1992), на Международной научно-технической конференции "Механика машиностроения" (Набережные Челны, 1995), на Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996), на втором Сибирском конгрессе по Прикладной и Индустриальной математики (Новосибирск, 1996), на Международной конференции посвященной 175 летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, 1996), на 11-ой Международной зимней школе по механике сплошной среды (Пермь, 1997), на Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 1997), на 8-ой Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 1999), на школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова (Казань, 1999), на Всероссийской конференции "Краевые задачи и их приложения" (Казань, 1999), на научном семинаре в ИПМ РАН под руководством профессора В.М.Ентова, на семинарах кафедры прикладной математики и семинаре кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета, на городских (Казань) научных семинарах по подземной гидромеханике, на семинарах отделов теории фильтрации, механики пористых сред в НИИ математики и механики Казанского государственного университета.'

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 24 научных статьях и одной монографии.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка использованных источников, содержит 232 страницы сквозной нумерации, в том числе 3 таблицы, 50 рисунков; список литературы насчитывает 151 наименование.

Краткое содержание работы

Во введении отмечается актуальность темы, формулируются цель и положения, выносимые на защиту. Приводится краткий обзор работ, имеющих отношение к излагаемым результатам. Дается краткий анализ структуры и содержания диссертации.

ка. Основное внимание уделяется вычислению момента трения качения. Известно, что помимо универсального механизма Рейнольдса, трение качение имеет своим источником также вязкие свойства материала основания. На это впервые, видимо, указал А.Ю.Ишлинский (1939). Вязкий механизм трения качения для вязкоупругих тел анализировался в работах Л.А.Галина, И.Г.Горячевой, Э.В.Теодоровича, S.C. Hunter, L.W. Morland, K.L. Johnson. В пороупругом материале вязкая диссипация энергии определяется фильтрационными перетоками, и центральным вопросом главы является оценка вклада фильтрационного трения в общее сопротивление перекатыванию.

В § 1.1 указанная задача решается при задании условий Герца на

Рис. 1. Схема процесса

В главе 1 рассматриваются плоские контактные задачи фильтрационной консолидации с подвижной нагрузкой. Объект, на котором опробуются предлагаемые методы решения таких задач, один и тот же на протяжении всей главы. Речь идет о расчете напряженно-деформиро ванного состояния пороупруго-го полупространства под действием свободно катящегося по его поверхности жесткого кат-

площадке контакта.

Процесс фильтрационной консолидации полупространства описывается в подвижной системе координат, связанной с катком, системой уравнений

М„, + (А+/^-| = 0> (1)

+ ( = (2)

Уд£-к ДР = 0. . (3)

Здесь и- перемещения, 9 = А,¡1 - коэффициенты Ламе, р - дав-

ление в жидкости, V - скорость движения катка, к - фильтрационный коэффициент. Граничные условия

у = 0; х > <ц, :г < — а_ : сг^ = <713/ — р = 0, (4)

др диу х у = 0; -а_<х<а+ : — = 0, — = ^ = 0. (5)

ставятся на недеформированной границе полупространства. Они указывают на то, что вне площадки контакта граница свободна от усилий и давление на ней совпадает с атмосферным давлением, принятым за нуль. Сама площадка контакта непроницаема для жидкости, нормальные перемещения катка и пористой матрицы на ней совпадают. Последнее условие в (5) - условие Герца - соответствует нулевому коэффициенту трения скольжения между катком и пористой матрицей.

Задача (1)-(5) решается полуобратным методом. Вместо задания веса катка (суммарной нормальной нагрузкой на основание), фиксируется длина а — (а+ + а_)/2 площадки контакта, а вес катка подсчитываем в результате решения задачи. После перехода к стандартным безразмерным переменным выделяются два определяющих параметра рассматриваемого процесса

Г = («>0, 0<г<1/2).

Центральным моментом в решении задачи (1)-(5) является ее переформулировка для функций 0, f, к:

в~<Цуи, 1тЛ = 2их — «Ие / — -.

1 ду дх ' у -1 5

Первая из них удовлетворяет уравнению типа конвективной теплопроводности

= (6)

две другие аналитичны. Граничные условия в терминах в, /, к записываются в виде

» = 0, N>1 : ^ = б = г1т/ = 0; (7)

у= 0, И<1 : — = 0, — = 2г, rRef—2(x- А). (8) ду ду

Здесь ( ~ 1тк + д/в; характеризующая асимметрию площадки контакта константа А = (а_ — а+)/(а_ + а+) заранее неизвестна и подлежит определению в ходе решения задачи.

Реализуется следующая схема нахождения функций 9, /, к и постоянной Л. Вначале по первым двум условиям в (7), (8) отыскиваются в и Д. Соответствующая задача сводится к решению граничного интегрального уравнения. После нахождения в последние граничные условия в (7), (8) определяют / как решение задачи Синьорини; константа А находится из условий ее разрешимости.

При медленном и быстром движении катка решение соответствующих задач строится явно. Основные интегральные характеристики процесса - безразмерный веса катка (дг), асимметрия площадки контакта (Л) и безразмерный момент трения качения (т) - даются формулами

~ л ^ л Л0 яте т0

7Г 7Г — 2 7Г Г . .

д«-, Л «г-, т«—, (5->сх>).

2 7Гй ¿я

Результаты расчета ртво всем диапазоне безразмерной скорости й'

движения катка представлены на рис. 3. Сплошным и штриховым линиям отвечают предельные - 0 и 0,5 соответственно - значения параметра г. При 0 < г < 0,5 кривые занимают промежуточное положение. Представленные результаты позволяют утверждать, что 1. Длина площадки контакта определяется главным образом весом катка. Ее зависимость от скорости катка значительно слабее и в первом приближении может игнорироваться.

2. В широком диапазоне скоростей движения катка (10~5 < я < 102) фильтрационный механизм трения качения доминирует над рейнольд-совским.

3. Искомые зависимости достаточно точного приближаются линейными по параметру г ^ функциями. Это обстоятельство используется в дальнейшем при рассмотрении отличных от герцевских условий трения на 0.5 площадке контакта.

На рис. 3 представлены распределения эффективных нормальных напряжений (рс) и дав- ю-1 1 10 л лени я на площадке кон-

Рис. 2. Нагрузка и момент трения качения в такта для различных скорос- _

1 г зависимости от безразмерной скорости катка

тей движения катка. Видно, что

при малых 5 нагрузку воспринимает скелет; с ростом в все большую ее часть принимает на себя жидкость; наконец при з —> оо пористая среда становится эффективно несжимаемой и вся нагрузка воспринимается жидкостью.

Обращает на себя внимание наличие участка пониженного по сравнению с атмосферным давления в задней части площадки контакта. Область пониженных давлений, начинающаяся на площадке контакта, простирается вдоль свободной поверхности вплоть до бесконечности. В теории фильтрации принято связывать дополнительное к атмосферному снижение давления в областях, примыкающих к свободной поверхности, с двухфазным характером (вода плюс воздух) заполнения их порового пространства. Классическая модель фильтрационной консолидации этого не учитывает. Для адекватного описания исследуемого процесса в зоне разгрузки ее необходимо уточнить.

Такое уточнение и сопутствующие ему расчеты проводятся в § 1.2. Предлагаемое уточнение касается уравнения (3) баланса массы жид-

. 1 Ч = -г

А // Зт т \ \ \ л \

/ /У (/ / \ \ \ ^ ч

-1 -0,5 0 0,5 г 1

Рис. 3. Распределение давления и эффективных нормальных напряжений на площадке контакта при г = 0, 3 и различных в

кости. Оно переписывается в виде (■

„1пдв дБ\ „

^ дх+тШ~ р= '

(9)

пригодном как в области полного, так и частичного насыщения. Здесь 5 - водонасыщенность, т - пористость, х - фазовая проницаемость по жидкости недонасыщенной пористой среды. В предположении малости капиллярного давления по сравнению с внешней нагрузкой принимаются предельные зависимости 5 и х от давления:

(10)

Здесь Я - многозначная в нуле функция Хевисайда, а знак включения означает принадлежность Б графику этой функции. Вместе с тем указанное предположение позволяет пренебречь влиянием капиллярного давления на эффективные напряжения, сохранив тем самым уравнения равновесия (1)-(2) без изменения.

Можно показать, что в рассматриваемой задаче дифференциальное включение (9)—(10) приводит к вариационному неравенству

(Н)

для определения давления. Решение возникающей при этом системы уравнений (1), (2), (11) проводится конечноразностным методом. Типичные результаты расчетов представлены штриховыми линиями на рис. 3. Видно, что учет двухфазности зоны разгрузки не приводит к существенному изменению силовых характеристик процесса. Вследствие этого и основные интегральные характеристики решения достаточно точно определяются классической схемой фильтрационной консолидации. Дополнительные исследования позволяют найти аналитические выражения для границы двухфазной области при малых скоростях движения катка и на бесконечности

s —> 0 : х2 sin2 ф„ — у2 cos2 ф* = sin2 ф„ cos2 ф„ cos<^„ = 0,626 х —У оо : (l + V2) X = sy2.

В § 1.3 результаты § 1.1 обобщаются в ином направлении - на случай отличных от герцевских условий трения. Рассматриваются два типа таких условий. Они отвечают бесконечному (условие прилипания) и конечному коэффициенту трения скольжения между катком и пористой матрицей. В обоих случаях решение задачи отыскивается в виде ряда по степеням г. Основным результатом соответствующей асимптотической процедуры является то, что с точностью 0(г2) величины q, т, А не зависят от условий трения и могут быть подсчитаны после решения задачи (6) с граничными условиями

б(а,0) = 0> (N>1); |;М) = 2' (N<!)' (12) согласно формулам

В них D± указывают особенности в на концах площадки контакта, По дается интегралом от 9 по площадке контакта:

rw ч /я, м, дв .89 DJs)

W = /'(*,о)«**, ц +

Введением сопряженной к в функции задача (6), (12) сводилась к классической задаче конвективного теплообмена пластинки заданной температуры в потоке идеальной жидкости и, в конечном итоге, к интегральному уравнению по площадке контакта.

В главе 2 рассматриваются два других деформационных процесса в насыщенной пористой среде, для которых фильтрационные свойства среды играют, несмотря на вторичный, вынужденный характер фильтрации, определяющую роль.

Для первого из них (§ 2.1) - затухания упругих волн в насыщенной пористой среде - причина этого прежняя: единственным механизмом диссипации энергии в пороупругих средах является фильтрационная диссипация. Проблема здесь состоит в том, что стандартный механизм вязкого трения в теории Френкеля-Био-Николаевского предсказывает значительно более слабое затухание волн, чем то, которое наблюдается на практике. Оставаясь в рамках указанной теории, Б.Я.Гуревич и С.Л.Лопатников показали, что достаточно допустить неоднородность среды, чтобы существенно исправить ситуацию. Соответствующий (трансформационный) механизм затухания основывается на том, что на неоднородностях среды часть энергии распространяющейся волны первого рода переходит в волны второго рода и теряется в силу быстрого фильтрационного затухания последних.

Исследование трансформационного механизма затухания проводится в § 2.1 методами осреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Этот подход позволяет обобщить известные результаты на более широкий частотный диапазон и произвольную ориентацию волнового вектора относительно направления напластования.

Реализация процедуры осреднения осуществляется для случая распространения монохроматических волн в слоистонеоднородной среде. При этом в качестве малого параметра принимается отношение характерной толщины слоев к длине волны. В результате задача нахождения макроскопических характеристик волны - скорости распространения и коэффициента затухания - сводится к решению так называемых задач на ячейке. Когда параметры среды слабо отличаются от своих средних по пространству значений, решение последних находится явно. Для общего случая на основе вариационных формулировок исследуются качественные свойства макроскопических характеристик.

Удается показать, что зависимость декремента затухания <1 от частоты си носит немонотонный характер. В том случае, когда простран-

ственные размеры неоднородностей одинаковы либо близки друг к другу, максимум затухания ярко выражен. В реальных пористых средах, как правило, имеется широкий спектр масштабов неоднородностей. Это формализуется введением в рассмотрение специального класса моделей с набором разномасштабных и одинаково часто встречающихся неоднородностей. Для таких сред в зависимости ¿(ш) вместо выраженного максимума имеет место широкое плато, что согласуется с известным экспериментальным фактом.

Во втором рассматриваемом процессе (§ 2.2) - консолидации глинизированных грунтов - сами свойства жидкости (предельный градиент давления) влияют на динамику изменения напряженно-деформированного состояния насыщенной пористой среды. Одномерная задача консолидации с учетом указанного обстоятельства рассматривалась в работах П. А. Мазурова, С.Щ.МуриджанянаС.Ш и Э.А.Хачатряна, F.Pascal и Н. Pascal, Murray D.W. При этом принималось, что пористая матрица деформируется упруго. Однако в существенно нестационарных условиях наряду с упругими, необходимо учитывать и.вязкие свойства глинизированных грунтов. Поэтому в § 2.2 рассматривается более общая реологическая модель Кельвина-Фойгта для пористой матрицы; фильтрация жидкости описывается законом с предельным градиентом давления.

В указанных предположениях одномерный процесс деформирования пористого полупространства описывается в безразмерных координатах уравнением

относительно эффективного напряжения ст. Уравнение (13) дополняется нулевым начальным условием и граничными условиями, отвечающими приложению к границе полупространства способом "высокопроницаемый поршень" постоянной нагрузки, нагрузки импульсного типа либо серии импульсов.

Спецификой рассматриваемых задач является наличие неизвестных подвижных границ. Уже в начальный момент времени в полупространстве скачком устанавливается и далее сохраняется в течение всего процесса, разбиение на области двух типов. Это области фильтрации

(13)

{\да/дх\ > 1), в которых эффективные напряжения а подчиняются линейному уравнению и области "замороженных" (остаточных) напряжений {\да/дх\ < 1), с неизменным значением а и нулевой скоростью фильтрации. Положение границ раздела областей определяется в ходе решения задачи из условий сопряжения

М = о.

'0V

дх2

да

дх

= 1.

В расчетах используется чисто неявная по времени разностная схема сквозного счета. Для решения возникающих на каждом временном слое нелинейных сеточных уравнений удается с учетом априорной информации о виде решения построить экономичный (0(N) операций, где N - число узлов сетки) алгоритм. На этой основе проводится полный параметрический анализ рассматриваемых задач. Основное внимание при этом уделяется картине остаточных напряжений, сохраняющихся в системе по установлению процесса.

В главе 3 строятся новые автомодельные решения задач тепло-мас-сопереноса в фильтрующей раствор мерзлой пористой среде. Отличительной чертой соответствующих физических процессов является высокая интенсивность фильтрационных потоков в системе. Другой класс решений аналогичных задач, в отсутствии вынужденной фильтрации раствора, изучался ранее в работах В.М. Ентова, A.M. Максимова, Г.Г. Цыпкина, В.И.Васильева, Е.Е. Петрова.

Способность ряда мерзлых горных пород обеспечивать такие потоки известна и используется, например, при закачке в мерзлый грунт крепких рассолов при отработке рассолонасыщенных глубоких горизонтов алмазных месторождений Якутии. Общая картина протекания сложных процессов тепло-массопереноса при реализации указанной технологии еще далека от полной ясности. Тем более полезными здесь могут оказаться постановка и решение модельных одномерных задач, несущих в себе те или иные особенности исследуемых процессов. Одной из таких особенностей является высокая интенсивность закачки рассолов. С ее учетом в § 3.1 ставится и решается задача о закачке с заданным темпом раствора постоянной концентрации и температуры в фиксированную трубку тока.

Постановка этой задачи опирается на известную модель В.М. Енто-

вз, A.M. Максимова, Г.Г. Цыпкина, описывающую фазовые переходы лед - вода в спектре температур и допускающую наличие двухфазной зоны сосуществования льда и раствора. Стандартные уравнения фильтрации, тепло- и массопереноса замыкаются в двухфазной зоне условием локального термодинамического равновесия. Последнее записывается сквозным образом в виде включения /I £ Я(с 4-Т), где с и Т

- безразмерные концентрация примеси и температура, ¡х - влажность (1 — ц - льдистость), Н - многозначная в нуле функция Хевисайда. Распределение влажности, наряду с полем давления, температуры и концентрации, также является искомым. Начальные и граничные условия предполагают задание начальной влажности ¡л+ и температуры Т+ грунта, а, так же температуры Х!_ и концентрации с_ закачиваемого раствора.

С учетом специфики изучаемого процесса, в уравнениях переноса тепла и примеси пренебрегается кондукцией и диффузией по сравнению с конвективным переносом тепла и примеси, Это делает рассматриваемую задачу автомодельной, что, в свою очередь, позволяет провести ее полный анализ. Он включает в себя классификацию всех возможных (четырех) типов решения и определение в терминах входных параметров условий их реализации. Профили различных типов решений и карта режимов представлены на рис. 4, 5. Характер решения

- двухфронтовой: с более быстрым концентрационным и медленным температурным фронтом. Для первых двух режимов полное протаива-ние грунта происходит на концентрационном фронте; температурный движется по талой области. Соответственно, условия реализации этих режимов не зависят от температуры закачиваемой жидкости.

(1)

(2)

(3)

(4)

Рис. 4. Режимы процесса

1,5-

Для двух других режимов окончательное плавление льда осуществляется температурным фронтом. Их условия реализации зависят от температуры закачиваемого раствора. Однако такая зависимость слаба. На рис. 5 стрелками показано изменение областей реализации этих режимов при изменении от минимально возможной до бесконечно большой. Обратим внимание на то, что при достаточно низкой концентрации закачиваемого раствора реализуется такой режим (4), при котором на концентрационном фронте происходит не снижение, а рост льдистости. Соответственно, между концентрационным и температурным фронтами имеет место область постоянной малой влажности. При дальнейшем уменьшении входной концентрации значение влажности в указанной области снижается и достигает нуля на линии АВ (рис. 5). Эта линия ограничивает область (0) параметров, в которой решения исходной задачи не существует.

Отсутствие решения соответствует полному промерзанию грунта. Детальное описание происходящих при этом процессов невозможно в чисто конвективной постановке § 3.1. Необходим учет обоих - конвективного и кондуктивного - механизмов переноса тепла. Соответствующий анализ проводится в § 3.2.

Помимо научного интереса, его изучение имеет и практическое значение. Рринципиальная возможность промерзания грунта при закачке в него раствора может использоваться для создания ледопородных барьеров. Соответствующая технология заключается в последовательной закачке в низкотемпературный грунт концентрированного рассола положительной температуры и пресной воды. Для ее анализа базовой является модельная одномерная задача о промерзании грунта на границе идентичных пористых сред, насыщенных в начальный момент времени раствором различной температуры и концентрации. При этом на внешних, достаточно удаленных от облас-

0,5-

V 2 ' \ 1

3 \\

е..

■ч---- --------- \

х\

0 '

0 0,5 1

Рис. 5. Карта режимов при Т+ = —0,5

ти промерзания границах, фиксируется перепад напоров, "проталкивающий" пресную воду в область х > 0 с низкой начальной температурой Т+. Постановка соответствующей задачи имеет в простейшем случае вид

" =-*(")!;. = (п>1) (14)

(1ЕН(Т + с), (16)

£ = 0, х > 0 : ц= ц+, с = с+, Т = Г+ = -с+, £ = 0, <£<0: (1 = 1, с = О, Т=Т_.

Рассматривается "начальный" этап промерзания, когда возмущения Т,с,/1 сконцентрированы вблизи х = 0 и не достигают внешних границ области. Граничные условия для них несущественны. Не существенна также и величина перепада давлений, поддерживаемого на внешних границах; важно лишь, что он "достаточно велик" для того, чтобы обеспечить преобладание конвективных потоков при конечных значениях проницаемости.

Пресная вода, фильтруясь под действием перепада давлений в низкотемпературную область х > 0, с необходимостью замерзает. При этом вблизи х = 0 развивается зона повышенной льдистости (линза), структура которой и является предметом исследования.

Априори ожидается существование по крайней мере двух режимов протекания рассматриваемого процесса: диффузионного (О) при низкой начальной температуре грунта и конвективного (С), когда Т+ близко к О°С. О-режим соответствует полному промерзанию (р, — 0) грунта вблизи х = 0. В этом случае фильтрационный поток отсутствует и конвективный механизм переноса тепла выключен. Для С-режима, наоборот, влажность всюду отделена от нуля. Здесь при достаточно большом внешнем перепаде напоров кондукция пренебрежимо мала по сравнению с конвективным переносом тепла. В обоих случаях соответствующие задачи автомодельны в своих автомодельных переменных (х/уД и х]Ь) и условия их реализации легко выписываются.

Если свести их вместе (рис. 6), то фазовая плоскость (Т+,(1+) разобьется на четыре подобласти. Конвективный тип решения реализуется в подобластях А, В, диффузионный - в В, С. Интересны подобласти

ч2

£) и В изменения параметров. В первой из них запрещены оба рассмотренных типа решения, во второй - оба допустимы и априори не ясно, какой из них физически реализуется. Это заставляет обратиться к поиску промежуточного решения исходной задачи - устойчивого в области Ю и неустойчивого в В.

Такой тип решения действительно существует. Он описывает ситуацию, когда влажность (/¿,) в зоне промерзания настолько мала, что основное фильтрационное сопротивление сосредоточено именно здесь. В результате малые изменения ц, вблизи нуля способны независимо от величины внешнего перепада напоров регулировать фильтрационный поток так, чтобы обеспечить баланс конвектив-

0,5

-1

-0,5 Г+ Рис. 6. Карта С- и Р-режимов

ных и кондуктивных членов в уравнениях переноса. Соответственно, уравнения (14), определяющие фильтрационный поток в системе, оказываются эквивалентны условиям предельности профиля влажности

тт/*(х^) =0, с +Т > 0, У({) > 0.

При этом задача становится автомодельной с автомодельной переменной £ = х/уД и скоростью фильтрации, затухающей со временем как V = у/\/1. Это позволяет провести ее полное исследование. Оно показывает, что имеется два типа промежуточных решений - Б и N (рис.

(а) |х

-1 5"х

/У Л

(б)

Ц V—

I N.

6 6 €

С. Г

Рис. 7. Промежуточный тип решений

7), характеризующихся тем, что нулевое значение влажности в первом случае достигается в одной точке, а во втором случае - на конечном интервале изменения автомодельной переменной. Если представить эти решения в плоскости (Т+, и), то им будут отвечать кривые СВ и АВ соответственно (рис.8). Кривые СС' и АА' на этом рисунке отвечают решениям Ю- и С-типов.

Две устойчивые ветви решения -АА' (соответствует случаю, когда ле-допородный барьер не образуется) и С'С В (образование ледопородного барьера) - оказываются разделенными неустойчивой ветвью АВ Ы-решений. Наибольший практический интерес здесь представляет вычисление величин воо и 0», характеризующих условия образования и деградации ледопородного

барьера. Такие вычисления проведе- Рис' 8' С"' ^-решенил в фа,о-

вой плоскости

ны во всем диапазоне изменения входных параметров. Дополнительные исследования подтвердили обоснованность пренебрежения диффузионным переносом примеси и изменением удельного объема воды при замерзании в исходной постановке (14), (15) задачи.

Глава 4 посвящена построению численного метода решения плоских задач замораживания фильтрующих раствор грунтов и рассмотрению на этой основе процесса замораживания фильтрационного потока линейной цепочкой хладоисточников. Такие задачи неоднократно, при тех или иных упрощающих предположениях, рассматривалась В.А.Максимовым, И.С.Клейном, Э.А.Бондаревым, В.А.Чугуковым, К.Г. Корневым, Г.И.Мухамадуллиной, М.Е.Со1сЫеш М.Е., II. Ь. Ке1с111.Ь. и другими авторами. Однако имеющиеся результаты относятся лишь к фильтрации пресной воды и даже в этом случае далеко не полны.

В § 4.1 формулируется исходная система уравнений и излагается метод ее решения.

В простейшем варианте исходная система уравнений имеет вид

VI/= 0, У = К(р) = рп, п = 3, (17)

(19)

(20)

Она записана сквозным образом и равно пригодна в двухфазной, талой и мерзлой зонах. Соответственно, при ее численном решении используется схема сквозного счета. При этом удобным оказывается перейти от нахождения концентрации к нахождению эквивалентной ей характеристики в = /1С, представляющей собой количество примеси в единице объема среды. Влажность, рассматриваемая как функция температуры при фиксированном 9 однозначна и непрерывна.

Дискретизация исходных уравнений методом конечных разностей проводится стандартным образом. Для температурной и концентрационных задач" используется чисто неявная по времени схема, конвективные члены аппроксимировались разностями против потока. Для решения полученных уравнений на слое по времени применяется итерационная процедура, на каждой итерации которой сначала по значениям влажности с предыдущей итерации отыскивается с использованием нескольких V- циклов многосеточного метода приближение к давлению, а затем 'после подсчета скоростей фильтрации решением уравнения (18) уточняется 9 и из (19), (21) находятся новые приближения температуры Т и влажности ц. Последнее осуществляется комбинацией метода Ньютона с методом низкого порядка (несколько итераций метода Зейделя), хорошо улавливающим положение фронтов. Алгебраическое уравнение, возникающее на каждом шаге метода Зейделя, решается точно. При решении линеаризованного по Ньютону уравнения осуществляется один У-цикл многосеточного метода. Расчеты проводились на сетках с числом узлов до ~ Ю5.

В § 4.2 на основе сконструированного метода рассматривается процесс замораживания фильтрационного потока линейной цепочкой хла-доисточников. Соответствующие граничные условия имеют вид

Т>-9 Т< -в

(21)

t = 0 : с=с°, Т= 1-е0,

х —> —оо : У = 1 :

у = 0 :

В первых трех пунктах § 4.2 речь идет о фильтрации пресной воды. В этом случае концентрация тождественно равна нулю и уравнение (18) выполняется автоматически; оно не используется в расчетах. Условие ц £ Н{Т) локального термодинамического равновесия регуля-ризуется с использованием соотношение (21), где величина в принимается постоянной малой величиной порядка Ю-5 — Ю-6.

Решение соответствующей задачи управляется тремя безразмерными комплексами - мощностью q хладоисточника, критериями Пекле Ре и Ко. В зависимости от соотношения между величинами q и Ре выделяются три случая.

При q < 2Ре со временем устанавливается стационарное состояние с образованием конечных ледопородных тел вокруг хладоисточника. Отыскание их формы представляет здесь основной интерес. Необходимо отметить, что случай Ре > q/2 уже был достаточно полно исследован ранее в работах К.Г.Корнева и Г.И.Мухамадуллиной на основе численно-аналитического подхода, существенно использующего методы теории функций комплексного переменного. Сравнение соответствующих результатов с проведенными нами расчетами продемонстрировало как высокую точность предлагаемого сеточного метода так и его относительную дешевизну. Новыми моментами являются асимптотика формы ледопородного тела при Ре —> 0, полученная в явном виде:

2 ре _ q

Ре 0 : |1 - е~"\ = е~2™, а = Ч, z = г + iy, 1 1 2Peg

и уточнение известных результатов при q « 2Рё, где применение численно-аналитического подхода затруднено.

При q = 2Ре ледопородное тело со временем неограниченно растет, вытягиваясь вдоль фильтрационного потока. Стационарная постановка задачи сводится при этом к отысканию полубесконечной (максимальной предельно-равновесной) формы ледопородного тела. Результа-

ту = 1, Т = 1 - си с = си дТ

V-0, - = о.

т/ л дТ *xf \

= Ъу = — 2

Рис. 9. Максимальные предельно-равновесные формы лсдопородного тела

ты численного расчета максимальных ледопородных форм представлены на рис. 9. Для наиболее интересной геометрической характеристики ледопородных тел - их полуширины (а) - удается найти аналитическую формулу

в (Ре) = -.

■^нру-м-ч?

Наконец, при д > 2Ре ледопородные тела растут вплоть до своего смыкания в некоторый момент времени. Наибольший интерес здесь вызывает нахождение времени и смыкания. Напомним, что задача решается в условиях заданного фильтрационного потока на бесконечности. Поэтому при смыкании тел скорость фильтрации в промежутке между ледопородными телами неограниченно растет. На первый взгляд представляется, что наличие этой особенности в скорости фильтрации приведет к особенностям температурного поля и, в конечном итоге, сделает трудоемким аккуратное определение времени смыкания. Оказывается, однако, что наряду с ростом скорости фильтрации происходит быстрое выполаживание температурного поля в талой области близ точки смыкания. Здесь, по существу, имеет место однофазная задача Стефана, для которой наличие либо отсутствие фильтрационного движения в талой зоне несущественно. Типичную динамику роста и смыкания ледопородных тел иллюстрирует рис. 10.

У 0,75 0,5

0,25 0

-1 -0,5 0 0,5 1 х

Рис. 10. Динамика роста ледопородного тела (Ко=3, Ре=1)

Для определения зависимости времени смыкания от параметров Ре, Ко, д были проведены многовариантные расчеты. Они позволили предложить для в наиболее интересной для практики области изменения определяющих параметров единую аппроксимационную зависимость.

При численном решении аналогичных задач фильтрации раствора наибольший интерес представляют два вопроса. Первый из них состоит в оценке возможностей стефановского (фронтового) подхода к моделированию динамики замораживания грунта. Фактически это означает выяснение того, насколько существенно отличается форма ледопородного тела (область /л < 1) в общей (с0 > 0) и (при соответствующей коррекции температуры фазового перехода) в стефановской (с0 = 0) постановках. Оказывается, что в широком диапазоне изменения концентраций такое отличие невелико всюду, за исключением узкой зоны в кормовой части тела.

Второй вопрос касается специфики промораживания грунта в присутствии раствора. В этом случае ледопородное тело двухфазно и сквозь него проходит часть фильтрационного потока. Соответствующие линии тока выходят из тела в малой окрестности тыльной точки, принося к ней раствор повышенной концентрации. Расчеты показывают, что это приводит к замедлению либо вообще приостановке роста ледопородного тела в указанной области и способствует образованию узкой застойной талой зоны с повышенной концентрацией примеси в ней.

Высказанные положения иллюстрирует рис. И на котором представлена типичная динамика роста ледопородного тела. Сплошными линиями на нем показаны граница ледопородного тела и линии уров-

Рис. 11. Динамика изменения влажности (Ко=3, Ре=5, 0,3, с" = 0,5)

ня влажности р. = 0,75; 0,5; 0,25; 0,1; 0,03 в различные моменты времени; штриховая линия отвечает границе ледопородного тела при с0 = 0. На этом рисунке выделяются две части границы ледопородного тела - "внешняя" и "внутренняя". Внешняя граница в течение всего процесса хорошо согласуется со стефановской границей (штриховая линия). На стационаре они совпадают друг с другом. Интересно поведение внутренней границы, обязанной своему появлению образованием позади хладоисточника застойной зоны повышенной концентрации. Начальный период ее клинообразного роста сменяется со временем линейным ростом вдоль оси х и, наконец, замыканием застойной зоны.

Образуется своеобразный криопэг - окруженная мерзлым массивом и насыщенная концентрированным раствором область талого грунта.

В Главе 5 обсуждаются особенности переноса влаги в зоне аэрации, вызываемые развитием в исходно недонасыщенной трещиновато-пористой среде фильтрационных областей полного насыщения.

В § 5.1 конструируется математическая модель исследуемого процесса. При этом учитывается существенное различие в характере вла-гопереноса в области неполного и полного насыщения водой пористых блоков. В первой в силу высокой всасывающей способности блоков трещины остаются сухими, перенос влаги осуществляется исключительно по блокам, а сам процесс влагопереноса можно описывать традиционной модель Ричардса. В областях полного насыщения ситуация существенно иная. Здесь вода переносится фильтрационным потоком, а интенсивность влагопереноса резко возрастает за счет фильтрации жидкости по трещинам.

В предположении о том, что время пропитки блока много меньше характерного времени рассматриваемых процессов, предлагается характеризовать вла-гоперенос единым для блоков и трещин давлением. При этом проницаемость (К) трещиновато-пористой среды принимается за-

к2 + кх

висящей от давления р И рав- Рис. 12. Зависимость проницаемости от дав-ной сумме проницаемостей бло- ления длл трещиновато-пористой среды ков и трещин; последняя характеризуется многозначной в нуле функцией Хевисайда Н(р). Записываемая сквозным образом в виде дифференциального включения модель

дз

тп— = + К €ЬН(р) + кЛ(р).

(22)

равно пригодна в областях полного и неполного насыщения. Зависимости я(р) и /(р) полностью определяются капиллярными свойствами блоков и считаются заданными. Вид функции К(р) представлен на рис. 12 сплошной линией.

Реальная микронеоднородность среды должна приводить к регуляризации (штриховая линия на рис. 12) идеализированной ступенчатой зависимости (22). Представляется, что основной вклад в это вносится трещинной неоднородностью в области положительных давлений. Далее в § 5.1 проводится оценка этого вклада для случая слоистой среды. Предполагается, что среда составлена чередованием хорошо и плохо проницаемых слоев, в каждом из которых влагоперенос по трещинам описывается уравнением

д2 = -к2Я(р)У(р + г). (23)

Характеристики - толщина и проницаемость - слоев определяются как независимые реализации соответствующей случайной величины, своей для каждого из двух типов слоев.

В предположении о том, что характерный пространственный масштаб изменения вертикального потока влаги много больше толщины слоев, показано, что макроскопический аналог (23) имеет вид

я- = -V« о %

д. _ -ьмр)^.

Здесь х - плановая координата, к]_ = (А;2~1)~1, йц = (¿2), угловые скобки означают среднее по пространству. Макроскопические фазовые проницаемости Д, /ц монотонно растут от нуля до единицы с ростом давления от нуля до бесконечности. Задача их определения сводится к известной задаче о достижении границы броуновской частицей. В общем случае она решается численно. Аналитически исследован асимптотический характер указанных зависимостей при Р —>■ 0 и Р -> оо. Установлено в частности, что при малых Р фазовые проницаемости линейны по давлению, при больших Р величина 1 — /1 обратно пропорциональна давлению.

В § 5.2 исходная модель (22) влагопереноса в трещиновато-пористой среде используется для решения конкретной задачи, связанной с оценкой защитных свойств зоны аэрации. Известно, что эти свойства резко снижаются при наличии в зоне аэрации областей полного насыщения: быстрый "проскок" по трещинам водорастворимого загряз-

нителя к зеркалу грунтовых вод приводит к тому, что сорбционные свойства пористых блоков остаются незадействованными.

Типичной причиной возникновения области полного насыщения в изначально недонасыщенных породах зоны аэрации является разгрузка "верховодки" через окно в глинистом пропластке в нижележащий трещиновато-пористый пласт. Рассматривается предельная ситуация, когда окно имеет точечные размеры. В плоском случае таким образом

моделируется трещина, в плоскорадиальном - след от скважины.

Задача состоит в отыскании стационарных размеров зоны полного насыщения как функции расхода д жидкости в окно. Для экспоненциальной зависимости в (22) фазовой проницаемости / от давления после известной замены Кирхгофа формулировка задачи выглядит в безразмерных переменных следующим образом. Требуется найти границу Г (рис. 13) и функции г^, и2 в областях напорной фильтрации и недонасыщенных блоков по следующим уравнениям и граничным условиям:

дщ

Рис. 13. Схема процесса

-Ащ = 0;

Ащ = 0;

г = 0: -

дг

д5(х) - А - 1,

дщ дг

дг

Г :

щ = щ

ди

— Ап2.

(24)

(25)

(26)

дщ____

дп дп

Здесь п - нормаль к Г, А — /сг/^1 ~ отношение проницаемостей трещин и блоков. В общем случае для решения этой задачи реализуется численная схема сквозного счета с использованием модифицированного метода поточечной верхней релаксации. Результаты расчета глубины ^о проникновения струи полного насыщения в зависимости от управляющих параметров А ид представлены на рис. 14.

В наиболее интересном случае больших расходов (д —> оо) исходную задачу удается сформулировать как одномерную однофазную задачу

16^0 Itq2

0,8 0,6 0,4 0,2 О

■ 1= оо у

/г 1

) Иг >^0

-0,5 0 0,5 1 1,5 1<^10д Рис. 14. Глубина проникновения струи в зависимости от расхода при различных А

Стефана

ди д2и dz дх2

0 , z > 0 , l(z) < х <

и(0,х) = u{z,oo) = 0-, u(z,l) = 1,

du дх

A + l'

=1 dz'

имеющую явное решение. Величина 2ц в этом случае определяется формулой

F{A)q\

Множитель F, являющий корнем некоторого трансцендентного уравнения, растет от нуля до единицы с ростом А. Аналогичный результат справедлив и для плоско-радиальной задачи.

Основные работы автора по теме диссертации

1. Егоров А.Г. Затухание упругих волн в тонкослоистых насыщенных пористых средах// ПММ. - 1989. - Т. 53. - № 6. - С. 911-918.

2. Егоров А.Г., Костерин A.B., Скворцов Э.В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. - Казань: Изд-во Казан ун-та, 1990. - 102 с.

3. Егоров А.Г., Костерин A.B., Шешуков А.Е. Одномерные задачи протаивания мерзлого грунта фильтрующимся раствором// Изв. РАН. МЖГ. - 1995. - № 4. - С. 149-160.

4. Егоров А.Г., Мухамадуллина Г.И. О максимальном размере ледо-породных тел, образованных при обтекании жидкостью линейной цепочки хладоисточников // Изв. РАН. МЖГ. - 1996. - № 4. - С. 179-181.

5. Егоров А.Г. О промораживании границы раздела грунтов, насыщенных раствором различной температуры и концентрации// Журнал ПМТФ. - 1997. - № 6. - С. 79-86.

6. Егоров А.Г. Стационарные задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации в трещиновато-пористой среде// Изв. РАЕН. МММИУ. - 1997.

- Т. 1. - № 2. - С. 126-129.

7. Егоров А.Г., Костерин A.B. О движении катка по поверхности насыщенного пористого полупространства// Докл. АН России. - 1998.

- Т.360. - № 6. - С. 762-764.

8. Егоров А.Г., Костерин A.B., Сахабутдинова Д.Р. Одномерные задачи консолидации с неизвестной подвижной границей// Изв. РАН. МТТ. - 1998,- № 6. - С. 132-142.

9. Егоров А.Г. Плоская контактная задача фильтрационной консолидации// ПММ. - 1999. - Т. 63. - № 4. - С. 629-644.

10. Егоров А.Г. Шешуков А.Е. Фильтрация растворов в насыщенном мерзлом грунте : автомодельные решения// Труды XIV сессии международной школы по моделям механики сплошной среды. - Москва, 1998.

- С. 61-66.

11. А.Г.Егоров. Плоские задачи замораживания фильтрующей пористой среды: Препр. № 99-2/Казан. мат. общ-во.-Казань, 1999.-41 с.

12. Егоров А.Г. Плоские задачи замораживания фильтрующих грунтов// Современные проблемы математического моделирования. Сборник трудов VIII Всероссийской школы-семинара. - Ростов-на-Дону: изд-во Ростовского госниверситета, 1999. - С.73-81.

13. Егоров А.Г. Плоские контактные задачи консолидации// Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. Т.З. Краевые задачи и их приложения. Материалы Всероссийской научной конференции. -Казань: Унипресс, 1999. - С.299-304.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Егоров, Андрей Геннадьевич

Введение

1 Плоские контактные задачи фильтрационной консолидации

1.1 Контактная задача с условиями Герца на площадке контакта

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Метод решения.

1.1.3 Качественный анализ задачи.

1.1.4 Быстрое движение катка.

1.1.5 Медленное движение катка.

1.1.6 Анализ результатов.

1.2 Учет двухфазности зоны разгрузки.

1.2.1 Уточнение модели.

1.2.2 Численное решение задачи.

1.2.3 Обсуждение результатов.

1.2.4 Двухфазная область при малой скорости качения

1.2.5 Поведение двухфазной области на бесконечности

1.3 Другие условия трения на площадке контакта.

1.3.1 Малая сжимаемость. Расщепление задачи

1.3.2 Нормальные усилия на площадке контакта

1.3.3 Касательные усилия на площадке контакта

1.3.4 О буксовании катка.

2 Одномерные задачи консолидации и акустики пористых сред

2.1 Затухание упругих волн в тонкослоистых насыщенных пористых средах.

2.1.1 Процедура осреднения.

2.1.2 Слабонеоднородные среды.

2.1.3 Среды с широким спектром неоднородностей

2.1.4 Вариационная формулировка задач на ячейке. Качественные результаты.

2.1.5 Общее положение между направлениями напластования и распространения волны.

2.2 Задачи фильтрационной консолидации с неизвестной подвижной границей.

2.2.1 Постановка задачи. Начальное состояние.

2.2.2 Постоянная нагрузка.

2.2.3 Импульсная нагрузка.

2.2.4 Серия импульсов.

3 Автомодельные задачи тепло-массопереноса в мерзлых пористых средах

3.1 Протаивание мерзлого грунта фильтрующимся раствором

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Решение в двухфазной зоне.

3.1.3 Полное плавление на С-фронте. Режимы 1,

3.1.4 Плавление на Т-фронте. Режимы 3, 4.

3.1.5 Анализ результатов.

3.2 Промерзание границы двух пористых сред, насыщенных раствором различной температуры и концентрации

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Предельные решения.

3.2.3 Промежуточное решение. Автомодельная постановка

3.2.4 Построение промежуточного решения.

3.2.5 Анализ результатов.

3.2.6 Численное моделирование процесса промораживания

4 Плоские задачи замораживания фильтрующих пористых сред

4.1 Постановка и общая схема решения задачи.

4.1.1 Дифференциальная постановка задачи.

4.1.2 Дискретизация задачи.

4.1.3 Многосеточный метод решения фильтрационной и тепловой задачи.

4.2 Задачи замораживания фильтрационного потока линейной цепочкой хладоисточников.

4.2.1 Фильтрация пресной воды. Стационарные решения

4.2.2 Максимальная предельно-равновесная форма ле-допородного тела.

4.2.3 Время смыкания ледопородных тел.

4.2.4 Особенности замораживания фильтрующегося раствора

5 Особенности влагопереноса в трещиновато-пористой среде

5.1 Уравнения влагопереноса в трещиновато-пористой зоне аэрации.

5.1.1 Простейшая гомогенная модель процесса.

5.1.2 Макроскопические уравнения влагопереноса по трещинам в слоисто-неоднородной среде.

5.1.3 Асимптотические свойства коэффициентов переноса

5.2 Влагоперенос от источника в трещиновато-пористой среде

5.2.1 Постановка задачи.

5.2.2 Асимптотические решения.

5.2.3 Численное решение.

Введение диссертация по механике, на тему "Фильтрационные эффекты в задачах тепло-массопереноса и деформирования насыщенных пористых сред"

Диссертация посвящена теоретическому исследованию процессов деформирования и тепло-массопереноса в насыщенных пористых средах. Характерной особенностью рассматриваемых процессов является определяющее воздействие на их протекание эффектов взаимодействия специфичных полей напряжений, температуры, концентрации, влажности с полем фильтрационных потоков.

Актуальность темы. Процессы деформирования и тепло-массопереноса в насыщенных пористых средах составляют сущность многих явлений в природе и служат основой разнообразных технологических воздействий в химической промышленности, строительстве, добыче полезных ископаемых. Отсюда интерес к их теоретическому описанию.

Практически всегда указанные процессы инициируют или протекают на фоне фильтрации 1 насыщающих пористую среду флюидов, что делает одной из центральных задач теории учет и исследование взаимодействия соответствующих физических полей с полем фильтрационных потоков. Повышенный интерес, в этой связи, представляют ситуации, когда такое взаимодействие выражено особенно отчетливо, определяя саму специфику рассматриваемого явления. Именно они и рассматриваются в данной работе. данной работе термин фильтрация понимается в узком смысле, как движение жидкости в насыщенных пористых средах под действием перепада гидростатического напора (давления в отсутствие силы тяжести). Именно так этот термин понимается в гидрогеологии [81] и многих работах по механике пористых сред (см., например, [122]), где различают собственно фильтрацию и влагоперенос в горных породах при их неполном насыщении.

1. разработать эффективные методы решения плоских контактных задач фильтрационной консолидации с подвижной нагрузкой и вычислить на этой основе момент трения при качении жесткого цилиндра по поверхности пороупругого полупространства; оценить относительную роль фильтрационной диссипации энергии в общем сопротивлении перекатыванию;

2. определить роль фильтрационных перетоков на затухание упругих волн в слоисто-неоднородной среде (трансформационный механизм затухания) и на формирование остаточных напряжений в процессе фильтрационной консолидации глинизированных грунтов;

3. развить математическую модель фильтрации раствора в пористой среде с учетом фазовых переходов; изучить ее качественные свойства на основе решения модельных задач, отражающих основные черты конкретных технологических процессов;

4. разработать эффективные численные методы решения плоских задач замораживания фильтрующих раствор пористых сред и исследовать с их помощью процесс замораживания фильтрующего грунта линейной цепочкой хладоисточников;

5. построить математическую модель влагопереноса в трещиновато-пористой среде, учитывающей возникновение областей фильтрационного движения; оценить на этой основе опасность фильтрационного проскока загрязнений через зону аэрации.

Методика исследования. В ходе решения задач, возникающих при выполнении диссертационной работы, широко использовались различные классы математических методов. При построении математических моделей - методы гомогенизации, двухмасштабных разложений, теории подобия и анализа размерностей. При теоретических исследованиях и построении расчетных зависимостей - методы сращивания асимптотических разложений, теории функций комплексного переменного, интегральных преобразований, вариационные методы. Значительное место занимают численные методы теории разностных схем, решения интегральных и обыкновенных дифференциальных уравнений и также математический эксперимент с применением ПЭВМ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка использованных источников, содержит 232 страницы сквозной

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Егоров, Андрей Геннадьевич, Казань

1. Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации. - Рига.: Зинатне, 1980. - 178 с.

2. Алимов М.М., Корнев К.Г., Мухамадулина Г.И. Равновесная форма ледопородного тела, образовавшегося при обтекании жидкостью системы двух замораживающих скважин// ПММ. 1994. -№ 5. - С. 110-124.

3. Бакирова О.И. О некоторых методах решения задачи Стефана// Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. - № 3. - С. 491-500.

4. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах// ПММ. I960. - Т. 24. - № 5. - С. 852-864.

5. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. - 278 с.

6. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. - 208 с.

7. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. - 352 с.

8. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 448 с.

9. Берзон И.С. и др. Динамические характеристики сейсмических волн в реальных средах. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 212 с.

10. Бернардинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. - 102 с.

11. Бондаренко Н.Ф. Физика движения подземных вод. Л.: Гидроме-теоиздат, 1973. - 216 с.

12. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. - 310 с.

13. Васильев В.И., Максимов А.М., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Математическая модель замерзания-таяния засоленного мерзлого грунта// Журнал ПМТФ. 1995. - Т. 36. - № 5. - С. 57-66.

14. Влияние свойств горных пород на движение в них жидкостей. / Бан А. и др. М.: Гостоптехиздат, 1962. - 275 с.

15. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. - 336 с.

16. Галеева Д.Р. Задачи фильтрационной консолидации с неизвестными границами. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1999. -125 с.

17. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругос-ти. М.: Наука, 1980. - 303 с.

18. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи мат. наук. 1959. - Т. 14. - Вып. 2(86). - С.87-158.

19. Глаговский В.Б., Нуллер Б.М. Контактная задача теории консолидации для полосы// ПММ. 1999.- Т. 63. - № 1. - С. 138-148.

20. Горячева И.Г. Контактная задача качения вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала // ПММ. 1973. - Т. 37. -Вып. 5. - С. 925-933.

21. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

22. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.

23. Гуревич Б.Я., Лопатников С.Л. О затухании продольных волн в насыщенной пористой среде со случайными неоднородностями// Докл. АН СССР. 1985. - Т. 281. - № 6. - С. 1335-1339.

24. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. - 509 с.

25. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 383 с.

26. Егоров А.Г. Затухание упругих волн в тонкослоистых насыщенных пористых средах// ПММ. 1989. - Т. 53. - № 6. - С. 911-918.

27. Егоров А.Г. Насыщенно-ненасыщенная фильтрация в грунтах сложной структуры// 2-ой Сибирский конгресс по Прикладной и Индустриальной Математики (ИНПРИМ 96): Тез. докл. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1996. - Ч. 3 - С. 272.

28. Егоров А.Г. О промораживании границы раздела грунтов, насыщенных раствором различной температуры и концентрации// Журнал ПМТФ. 1997. - № 6. - С. 79-86.

29. Егоров А.Г. Стационарные задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации в трещиновато-пористой среде// Изв. РАЕН. МММИУ. 1997. - Т. 1. - № 2. - С. 126-129.

30. Егоров А.Г. Плоская контактная задача фильтрационной консолидации// ПММ. 1999. - Т. 63. - № 4. - С. 629-644.

31. А.Г.Егоров. Плоские задачи замораживания фильтрующей пористой среды.: Препр. № 99-2/Казан. мат. общ-во. Казань, 1999. -41 с.

32. Егоров А.Г. Плоские задачи замораживания фильтрующих грунтов// Современные проблемы математического моделирования. Сборник трудов VIII Всероссийской школы-семинара. Ростов-на-Дону: изд-во Ростовского госниверситета, 1999. - С.73-81.

33. Егоров А.Г., Костерин A.B. Контактная задача фильтрационной консолидации с подвижной нагрузкой// 11-я межд. зимняя школа по механике сплошных сред: Тез. докл. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. - Ч. 1 - С. 122.220

34. Егор ов А.Г., Костерин А.В, О движении катка по поверхности насыщенного пористого полупространства// Докл. РАН. 1998. -Т.360. - № 6. - С. 762-764.

35. Егоров А.Г., Костерин А.В., Сахабутдинова Д.Р. Одномерные задачи консолидации с неизвестной подвижной границей// Изв. РАН. МТТ. 1998.- № 6. - С. 132-142.

36. Егор ов А.Г., Костерин А.В., Сахабутдинова Д.Р. Одномерные задачи консолидации с неизвестной границей// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды II Межд. конф., Ростов-на-Дону, 19-20 сентября 1996 г. Ростов-на-Дону, 1996. - С. 58-62.

37. Егоров А.Г., Костерин А.В., Сахабутдинова Д.Р. Фильтрационная консолидация глинистых грунтов под действием импульсной нагрузки// Нелинейное моделирование и управление: Тез. докл. межд. семинара, Самара, 24-27 июня 1997 г. Самара, 1997. -С.52-53.

38. Егоров А.Г., Костерин А.В., Скворцов Э.В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. Казань: Изд-во Казан ун-та, 1990. - 102 с.

39. Егоров А.Г., Костерин А.В., Шешуков А.Е. Одномерные задачи протаивания мерзлого грунта фильтрующимся раствором// Изв. РАН. МЖГ. 1995. - № 4. - С.149-160.

40. Егоров А.Г., Костерин А.В., Шешуков А.Е. 1-D Problems on Interactions beetween Partially Frozen Soil and Moving Solute.// Advanced Mathematics, Computations and Applications. Int. conf., Novosibirsk, June 1995. V. 1. - P. 94.

41. Егоров А.Г., Мухамадуллина Г.И. О максимальном размере ледо-породных тел, образованных при обтекании жидкостью линейной цепочки хладоисточников // Изв. РАН. МЖГ. 1996. - № 4. - С. 179-181.

42. Егоров А.Г., Шешуков А.Е. Одномерная задача создания ледопо-родной потивофильтрационной завесы в мерзлом грунте// Тезисы докладов Межд. Научно-Техн. Конф. "Механика Машиностроения". 28-30 марта 1995 г. Набережные Челны, 1995. - С.37-38.

43. Егоров А.Г., Шешуков А.Е. О промораживании пористой среды фильтрующимся раствором.// Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Всеросс. семинара. Казань, 1996, С.53-55.

44. Егоров А.Г., Шешуков А.Е. Промораживание пористой среды фильтрующимся раствором/ Казанск. ун-т. Казань, 1995. - 35 с. - Деп. в ВИНИТИ. № 2513 - В95.

45. Егоров А.Г. Шешуков А.Е. Фильтрация растворов в насыщенном мерзлом грунте : автомодельные решения// Труды XIV сессии международной школы по моделям механики сплошной среды. -Москва, 1998. С. 61-66.

46. Ентов В.М., Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Образование двухфазной зоны при промерзании пористой среды.: Препринт № 269/ ИПМ АН СССР. М., 1986. - 56 с.

47. Ентов В.М., Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Об образовании двухфазной зоны при кристаллизации смеси в пористой среде //Докл АН СССР. 1986. - Т. 288. - № 3. - С. 621-624.

48. Ершов Э.Д. Физико-химия и механика мерзлых пород. М.: МГУ. 1986.-325 с.

49. Иванов Н.С. Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах. -М.: Наука, 1969. 240 с.

50. Ишлинский А.Ю. Трение качения // ПММ. 1939. - Т. 2. - Вып. 2. - С. 245-260.

51. Калинин H.H., Нуллер Б.М. Уравнения транспорта волокнистого консолидируемого материала и эффект пристенного слоя// ПММ- 1987. Т. 51. - № 3. - С. 522-525.

52. Каменомосткская С.Л. О задаче Стефана// Мат. сб. -1961. — Т. 53.- № 4. С. 489-514.

53. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М-- Наука, 1964. - 488 с.х>

54. Керчман В.И. Контактная задача консолидации водонасьнденноисреды// Изв АН, МТТ. 1974. - № 3. - С. 102-109.

55. Керчман В.И. Задачи консолидации и связанной термоупругости для деформируемого полупространства// Изв АН, МТТ- ~ 1976. -№ 1. С. 45-56.

56. Клейн И.С. Приближенное решение задачи о замораживании фильтрующего грунта линейной системой охлаждаюЦДих устано вок // Тр. института "ВОДГЕО". М., 1983. - С. 29—32.

57. Клейн И.С. Замораживание фильтрующего грунта однорядной системой охлаждающих установок// Тр. института "ВОДГЕО".- М., 1984. С. 43-46.

58. Клейн И.С. О создании мерзлотной завесы в фильтрующем грунтовом массиве// Физические процессы горного производства. Те-пломассоперенос в горных выработках и породных коллекторах. -Л.: изд-во ЛГИ, 1985. С. 113-122.

59. Коваленко Е.В. О расчете тонких пористых покрытий// ПММ. -1990. Т. 54. - № 3. - С. 469-473.

60. Колесников А.Г. К изменению математической формулировки задачи о промерзании грунта// Докл АН СССР. 1952. - Т. 82. -№ 6. - С. 889-892.

61. Кондратьев O.K. Сейсмические волны в поглощающих средах. -М.: Недра, 1986. 156 с.

62. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: изд. НГУ, 1972. - 128 с.

63. Корнев К.Г. Плоские задачи замораживания фильтрующих грунтов. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1988. - 118 с.

64. Корнев К.Г., Чугунов В.А. Определение равновесной формы тел, ^образовавшихся при застывании фильтрационного потока// ПММ.- 1988. Т. 52. - № б. - С. 991-996.

65. Костерин A.B., Березинский Д.А. Насыщенно-ненасыщенные состояния деформируемых пористых сред// Докл. РАН. 1998. - Т. 358. - № 3. - С. 343-345.

66. Кучеров А.Б., Николаев Е.С. Попеременно-треугольный метод решения сеточных эллиптических уравнений в прямоугольнике// ЖВМ и МФ. 1976. - Т.16. - № 5. - С. 1164-1174.

67. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 357 с.

68. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

69. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983. - 416 с.

70. Максимов В.А. К определению форм тел, образовавшихся при застывании потока жидкой фазы// ПММ. 1976. - Т. 40. - № 2. -С. 289-298.

71. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Явление "перегрева" и образование двухфазной зоны при фазовых переходах в мерзлых грунтах// ДАН СССР. 1987. - Т. 294,- № 5. - С. 1117-1121.

72. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Образование двухфазной зоны при взаимодействии талых и мерзлых пород с раствором соли.: Препринт № 305/ ИПМ АН СССР. М., 1987. - 60 с.

73. Мазуров П.А. К одномерной теории нелинейной консолидации// Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. Часть 1. Казань. Казанский физико-технический ин-т КФАН СССР, 1985, - С. 94-105.

74. Мазуров П.А. Расчет одномерной нелинейной консолидации.// Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. -Казань, Казанский физико-технический ин-т КФАН СССР, 1987. С. 55-62.

75. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. -240 с.

76. Меламед В.Г. Тепло- и массообмен в горных породах при фазовых переходах. М.: Наука, 1980. - 228 с.

77. Мироненко В.А. Динамика подземных вод- М.: изд-во МГГУ, 1996. 519 с.

78. Мироненко В.А. и др. Способ создания противофильтрационных завес. Авт. свид. № 1507977. - Бюл.изобретений: 1989. № 34.

79. Мордовский С.Д., Петров Е.Е., Изаксон В.Ю. Математическое моделирование двухфазной зоны при промерзании-протаивании мно-голетнемерзлых пород Новосибирск: Наука. 1997. - 120 с.

80. Муриджанян С.Ш, Хачатрян Э.А. Влияние начального градиента напора на процесс консолидации// Изв. АН Армянской ССР. -1983. Т. 36. - № 5. С 22-25.

81. Мухамадуллина Г.И. Математическое моделирование замораживания фильтрующих грунтов. Дис. . канд. физ.-мат. наук. -Казань. - 1995. - 112 с.

82. Найфэ А.Х. Методы.возмущений. М.: Мир, 1976. - 455 с.

83. Насонов И.Л. Замораживание фильтрующих горных пород. М.: Недра, 1968. - 184 с.

84. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М.: Наука, 1987. - 464 с.

85. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. -М.: Недра, 1984. 232 с.

86. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. - 335 с.

87. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана// Докл. АН СССР. 1960. - Т. 135. - № 5. - С. 1054-1057.

88. Павлов А.Р., Пермяков П.П., Бараней Т.В. Разностный метод решения задачи промерзания при фазовом переходе в спектре температур// Процессы переноса в деформируемых дисперсных средах. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1982. - С. 111-119.

89. Павлов А.Р., Пермяков П.П. Математическая модель и алгоритмы расчета на ЭВМ тепло- и массопереноса при промерзании грунта// ИФЖ. 1983. - Т. 44. - № 2. - С. 311-316.

90. Пермяков П.П. Идентификация параметров математической модели тепловлагопереноса в мерзлых грунтах. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1979. - 86 с.

91. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: ГИТТЛ, 1952. - 676 с.

92. Порохняк A.M., Рассудов A.B. Захоронение жидких отходов в криолитозоне. М.: Недра, 1993. - 112 с.

93. Прозоров Л.Б. Замораживание при проходке шахтных стволов в условиях фильтрационного потока// Замораживание горных пород при проходке стволов шахт. М.: изд-во АН СССР, 1961. - С. 138— 193.

94. Проскуряков Б.В. Тепловой расчет замораживающей скважины в фильтрующем грунте// Изв. ВНИИГ. 1951. - Т. 45. - С. 20-25.

95. Пудовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1978. - 188 с.

96. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917 -1967) / Отв. ред. П.Я. Полубаринова-Кочина. М.: Наука, 1969. -545 с.

97. Рвачев В.Л. Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы // ПММ. 1956. - Т.20. - Вып.2. -С.248-254.

98. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига : Звайгзне, 1967. -457 с.

99. Саламатин А.Н. Математические модели дисперсных потоков. -Казань.: изд-во Казан, ун-та, 1987. 172 с.

100. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. -656 с.

101. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 591 с.

102. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана// ЖВМиМФ. 1965. - Т. 5. - № 5. - С. 816-827.

103. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. -М.: Мир, 1984. 472 с.

104. Сретенский Л.Н. О нагревании потока жидкости твердыми стенками // ПММ. 1935. - Т. 2. - Вып. 2. - С. 163-179.

105. Теодорович Э.В. Скольжение цилиндра по вязкоупругому основанию // ПММ. 1978. - Т. 42. - Вып. 2. - С. 367-372.

106. Трупак Н.Г. Замораживание грунтов при строительстве подземных сооружений. М.: Недра, 1979. - 344 с.

107. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. -622 с.

108. Уошборн А.Л. Мир холода. Геокриологические исследования. -М.: Прогресс, 1988. 384 с.

109. Флорин В.А. Основы механики грунтов. t.II. JI.-M. : Госстрой-издат, 1961. - 544 с.

110. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987. - 502 с.

111. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз.- 1944. Т. 2. - № 4, -С. 133-149.

112. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса.- М.: Мир, 1976. 630 с.

113. Цытович Н.Ф. Механика мерзлых грунтов. М.: Высшая школа, 1973. - 446 с.

114. Чугунов В.А., Корнев К.Г. Динамика ледопородных ограждений при замораживании фильтрующих горных пород// ИФЖ. 1986. -Т. 51.-№2.-С. 305-311.

115. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные задачи.- М.: Мир, 1979. 400 с.

116. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1967. - 195 с.

117. Amberg G. Computation of macrosegregation in an iron-carbon cast// Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. - V. 34. - № 1. - P. 217-227.

118. Bear J. Dinamics of Fluids in Porous Media. N.Y.: Elsevier, 1972.

119. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asemptotic analysis for periodic structures. Amsterdam.: North-Holland Publ. Сотр., 1978.- 301 p.

120. Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation// J. Appl. Phys. 1941. - V. 12. - № 2. - P. 155-165.

121. Biot M.A. Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid-Saturated Porous Solid// J. Acoust.Soc.Am. 1956. - V. 28 - № 2. -P. 168-191.

122. Derski W. Equations of a consolidation theory for the case of a source of fluid// Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Tech. 1965. - V. 13. - № 1. -P. 37-43.

123. Elliott C.M. Error analisis of the enthalpy method for Stefan problem// IMA J. Numer. Anal. 1987. - № 7. - P. 61-71.

124. Fang L.Y., Cheung F.B., Linehan J.H., Pedersen E.J. Selective freezing of a dulite salt solution// Trans. ASME, J. Heat Transfer.- V. 106. P. 385-393.

125. Fortin M., Glowinski R. Augmented Lagrangian. Amsterdam: North-Holland, 1983. - 178 p.

126. Gibson R.E., McNamee J. A tree dimensional problem of a consolidation of a semi-infinite clay stratum// Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1963. - V. 16, Pt. 1. - P. 115-127.

127. Goldstein M.E., Reid R.L. Effect of fluid flow on freezing and thawing of saturated porows media //Proc. Royal Soc. Lond. 1978. - Ser. A.- № 364. P. 45-73.

128. Hackbush W. Multi-Grid Methods and Applications. New York: Springer-Verlag, 1985. - 234 p.

129. Hashemi H.T., Slepcevich C.M. Effect of seepage stream on artifical soil freezing// J. of the soil mechanics and faundation division. ASCE.- 1973. V. 99. - № 3. - P. 267-289.

130. Hunter S.C. The rolling contact of a rigid cylinder with a viscoelastic half-space// Trans. ASME, Ser E, J Appl. Mech. 1961. - V.28. -№ 4. - P. 219-226.

131. Kavatani T., Watarabe H. Finite element solutions for problems of heat transfer with phase change in ground-water system// Mem. Fac. Eng. Kobe University. 1982. - № 29. - P. 203-222.

132. Kornev K., Mukhamadullina G. Mathematical theory of freezing for flow in porous media// Proc. Royal Soc. Lond. 1994. - Ser.A. - V. 447. - P. 281-297.

133. Marini L.D., Pietra P. Fixed-point algorithms for ststionary flow in porous media. Instituto di Analisi Numerica del C.N.R., Pavia, preprint № 380, 1983.- 36 p.

134. McNamee J., Gibson R.E. Plane strain and axially symmetric problems of a semi-infinite clay stratum// Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1960. - V. 13, Pt. 2. - P. 210-227.

135. O'Neill K., Miller R. D. Exploration of a rigid-ice model of frost heave// Wat. Resour. Res. 1985. - V. 21. - № 3. - P. 281-296.

136. Neilson D.G., Incropera F.P., Bennon W.D. Numerical simulation of solidification in horizontal cylindrical annulus charged with an aqueous salt solution// Int. J. Heat Mass Transfer. 1990. - V. 33. - № 2. -P. 367-380.

137. Nochetto R.H. A class of non-degenerate two-phase Stefan problems in several space variables// Comm. Partial Diff. Equations. 1987. -№ 12. - P. 21-45.

138. Panday S, Corapcioglu M. Solute Rejection in Freezing Soils.// Water Resourses Research. 1991. - V. 27. - № 1. - P. 99-108.

139. Pascal Florica, Pascal Hanry, Murray D.W. Consolidation with threshold gradients// Int. J. Numer. and Anal. Geomech. 1981. -№ 3. - P. 247-261.

140. Philip J.R. The theory of infiltration, p. 1 // Soil Sci. 1957. - V. 83.- № 5. P. 345-357.

141. Philip J.R. The theory of infiltration, p. 2 // Soil Sci. 1957. - V. 83.- № 6. P. 435-448.

142. Pullan A.J. The quasilinear approximation for unsaturated porous media flow// Water Resourses Research. 1990. - V. 26. - P. 1219 -1234.

143. Reid R.L. Integral methods for the melting of permofrost be groundwater flow// AICHE Symp. Ser. 1978. - V. 74. - P. 265-270.

144. Reynolds O. On rolling friction// Phil. Trans. Roy. Soc. London. -1877. -V. 166, Pt. 1. P. 155-174.

145. Richards L.A. Cappilary conduction of liquids through porous mediums// Physics 1931. - V. 1. - № 5. - P. 318-322.

146. Signorini A. Sopra un problema al contorno nella teoria delle funzioni di variabile complessa // Ann. Mat. pura ed Appl. 1916. - Ser. 3, T. 25. - P 253-274.

147. Wesseling P. An Introduction to Multigrid Methods. New York: Wiley, 1992. - 312 p.

148. Worster M.G. Convection in Mushy Layers// Annu. Rev. Fluid Mech.- 1997. V. 29. - P. 91-122.

149. Worster M.G. The dynamics of Mushy Layers// Interactive Dynamics of Convection and Solidification. S.H.Davis et al. (eds). NATO ASI Ser. E219. - Dordrecht: Kluwer. - 1992. - P. 113-138.