Конечно-элементный анализ напряженно-деформированного и предельного состояний сухих и водонасыщенных грунтов, взаимодействующих с упругими конструкциями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

СЕКАЕВА ЛИЛИЯ РАИЛЕВНА

УДК 539.3

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО И ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЙ СУХИХ И ВОДОНАСЫЩЕННЫХ ГРУНТОВ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С УПРУГИМИ КОНСТРУКЦИЯМИ

Специальность 01.02.04 -механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань 2005

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина»

Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки РФ и РТ, академик РАЕН, МАН ВШ, АНТ Коноплёв Юрий Геннадьевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Бережной Дмитрий Валерьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Каюмов Рашит Абдулхакович

доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки и техники РТ, профессор

Паймушин Виталий Николаевич

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, г. Санкт-Петербург

Защита состоится «29» декабря 2005 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.11 по защите диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан «25» ноября 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент A.A. Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

П6Ь070

Актуальность темы. Диссертация посвящена конечно-элементному анализу напряжённо-деформированного и предельного состояний сухих и водонасыщенных грунтов, взаимодействующих с упругими конструкциями.

Прогресс в развитии фундаментостроения и подземного строительства в значительной мере определяется достигнутыми к настоящему времени результатами в области математического моделирования различных процессов или физических явлений, в частности, процессов деформирования и разрушения элементов конструкций и сооружений. Существует определённый разрыв между потребностями практики и существующими СниПами, регламентирующими деятельность проектировщиков и строительную практику, и возможностями уточнённых расчётов элементов конструкций и сооружений исходя из современных возможностей более точной постановки практических задач и их реализации на ЭВМ на основе использования численных методов.

Основным направлением задач, стоящих перед механикой грунтов, является теоретический прогноз поведения грунтовых толщ (их деформируемости, прочности, устойчивости и пр.) под влиянием внешних и внутренних воздействий: разнообразных нагрузок от сооружений, изменений (под действием природных факторов и деятельности человека) условий равновесия, например, при размывах, колебаниях уровня фунтовых вод, разгрузке глубоких слоёв грунта при копке строительных котлованов и др.

Задача исследования напряжённо-деформированного состояния фунтов под действием внешних сил и собственного веса фунта является главнейшей в механике грунтов, и разрешение её для различных случаев зафужения имеет непосредственное приложение в практике строительства. Для практики сфоительства весьма важно знать, как распределяются напряжения в фунте при загрузке части его поверхности, как напряжённое состояние меняется с течением времени, при каких условиях наступает предельное напряжённое состояние, после чего возникают недопустимые деформации и нарушения сплошности фунтового массива и т.п. Особо существенное значение имеют вопросы определения деформаций фунтов, а именно: общей величины деформаций и отдельных её видов (упругих, остаточных), протекания деформаций во времени и разности деформаций (осадок) под отдельными частями сооружений. Взаимосвязанные процессы деформирования и фильтрации в насыщенных пористых средах составляют сущность многих явлений в природе и служат основой разнообразных технологических воздействий в химической промышленности, сфоительстве и добыче полезных ископаемых. Важную роль в её развитии ифает математическое моделирование, позволяющее прогнозировать и оптимизировать технологические воздействия, интерпретировать и обрабатывать опытные данные. Развитие этой теории отражено в работах ряда исследователей: И.П. Бойко, М.А. Био, Н.М. Герсеванова, Ю.К.

Зарецкого, A.B. Костерина, H.H. Маслова, В.Н. Николаевского, А.Б. Фадеева, В.А. Флорина, H.A. Цытовича и др.

Цель диссертационной работы. Создать методику расчёта напряжённо-деформированного и предельного состояний сухих и водонасыщенных фунтовых массивов, взаимодействующих с деформируемыми конструкциями, на основе метода конечных элементов. Исследовать статическое взаимодействие подземных промышленных сооружений с грунтом.

Научная новизна результатов:

1. Дальнейшее развитие метода конечных элементов для трёхмерного взаимодействия деформируемых конструкций с сухими и водонасыщенными грунтами;

2. Результаты расчёта трёхмерных конструкций, в том числе железобетонных, взаимодействующих с грунтами с учётом фильтрации.

Практическая значимость работы:

1. Приведённые алгоритмы и разработанные на их основе программы расчёта отличаются универсальностью и позволяют проводить численные исследования напряжённо-деформированного и предельного состояний деформируемых конструкций, взаимодействующих с сухими и водонасыщенными грунтами. Результаты использовались при выполнении научно-исследовательской работы в рамках научного сопровождения проектирования и строительства метрополитена г. Казани;

2. Совершенствование методики статического расчёта обделки тоннеля метрополитена на базе создания трёхмерной конечно-элементной модели и соответствующего программного обеспечения;

3. Исследование влияния химического закрепления грунта в зоне расположения перегонных тоннелей при строительстве метрополитена г. Казани.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математическим обоснованием предлагаемых методик расчёта, сравнением полученных решений для тестовых задач с известными из литературы аналитическими результатами, анализом результатов расчёта реальных конструкций на сетках, состоящих из разного числа и типа конечных элементов.

На защиту выносятся:

1. Двумерная и трёхмерная постановка задачи статического деформирования сухих и водонасыщенных грунтов, разработанный и апробированный пакет программ, реализующий предложенную методику определения напряжённо-деформированного состояния на основе метода конечных элементов;

2. Методика определения предельного состояния для сухих грунтов;

3. Решение новых практических задач взаимодействия деформируемых конструкций с фунтовыми массивами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались и обсуждались

на итоговой студенческой конференции (Казань, КГУ, 2002 г.); на международной молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, КГУ, 2002-2003 г.г.);

на конференции «Наука и практика. Диалоги нового века» (Набережные Челны, 17-19 марта, 2003 г.);

на городской научно-практической конференции «Студенты Зеленодольску» (Зеленодольск, 12 апреля, 2003 г.);

на XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции (Казань, 20-22 мая, 2003 г.);

на Тринадцатой Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 29-31 мая, 2003 г.); на Двенадцатой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 30 июня-5 июля, 2003 г.);

на XX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 24-26 сентября, 2003 г.);

на итоговой научной конференции 2003 г. Казанского научного центра РАН (Казань, 2004 г.);

на Пятой конференции пользователей программного обеспечения CAD-FEM GmbH (Москва, 21-22 апреля, 2005 г.);

на городском научно-методическом семинаре кафедр теоретической механики (Казань, 31 мая, 2005 г.);

на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1-3 июня, 2005 г.);

на ежегодных итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (Казань, КГУ, 2003-2005 г.г.);

на семинаре кафедры теоретической механики КГУ и лаборатории механики оболочек НИИММ им. Н.Г. Чеботарёва (Казань, КГУ, 2005 г.).

В целом диссертация докладывалась и получила одобрение на расширенном семинаре кафедры теоретической механики и лаборатории механики оболочек НИИММ им. Н.Г. Чеботарёва Казанского государственного университета.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 11 работ. Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованной литературы. Изложена на 175 страницах машинописного текста, содержит 36 таблиц, 54 рисунка. Список литературы насчитывает 205 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации, обоснована актуальность темы, сформулированы цель и положения, выносимые на защиту. Даётся краткий анализ структуры и содержания диссертации

В первой главе рассматриваются основные уравнения теории консолидации квазидвухфазных грунтов. Система вариационных разрешающих уравнений консолидации квазидвухфазных фунтовых сред

\з1г8р8э;Ыу-о, (,)

V V

у т»8Р 5

Рп

получена на основе Эйлерова подхода к описанию движения в предположении справедливости принципа эффективных напряжений Терцаги

(3)

Закон фильтрации записывается по отношению к разности приведенных скоростей жидкости и скелета грунта в форме Дарси-Герсеванова.

Рассмотрен случай квазистатического движения грунтовой среды, когда ускорениями частиц фильтрующей жидкости и скелета грунта можно пренебречь.

Расчёт проводится на основе изопараметрических квадратичных конечных элементов сплошной среды Сирендипова семейства, в качестве узловых неизвестных которых выбраны декартовы проекции вектора перемещений скелета грунта и поровое давление фильтрующей жидкости.

Аппроксимации вектора перемещений 9, записанного в покомпонентном виде = {ы,у,н'}г, и порового давления Р™

представим в виде

{*}=[¥(*)]{*•(/)} <4>

и

/-={„(*)}><(')}. причём разделение пространственных и временных переменных заложим уже на уровне поэлементной аппроксимации.

Применяя стандартную конечно-элементную методику, получим систему разрешающих уравнений в виде

№МОД={/Ь <6)

[Я]{р}+[Л/]{р}+[сГ{5}=Н, (7)

где {,9} и | - вектор узловых перемещений и вектор узловых значений

порового давления для всей расчётной области. Главные граничные и начальные условия примут вид

(8)

(9)

Вторая глава посвящена основным расчётным алгоритмам. Реализованы расчётные схемы, позволяющие определять напряжённо-деформированное состояние грунта в случае гидростатического распределения порового давления (случай установившегося течения грунтовых вод) и в случае квазистатического движения грунта (случай неустановившегося движения). Для решения задачи консолидации используется конечно-разностная схема по времени типа Кранка-Николсона, что приводит к решению на каждом шаге линейной системы уравнений вида:

(10)

[с]т [М)-[Н]\

В двумерном случае основными расчётными элементами являются 4-х и 8-ми узловые конечные элементы. В трёхмерном - 8-ми узловой конечный элемент.

Рассматриваются тестовые задачи, позволяющие судить о точности и эффективности предложенной методики.

В качестве одного из р» (мпа) тестов решена задача определения эффективных

давлений в скелете глинистого грунта, залегающего на несжимаемой породе подверженного действию сплошной равномерно распределённой нагрузки. На рисунке 1 приведено сравнение распределений давлений в скелете грунта1.

- решение Цытовича Н А

- решение МКЭ

Рис. 1.

ЦытовичНА Механика грунтов / Н А Цытович -М Госстройиздат, 1963 - 636 с

В рамках модели М.А. Био рассматривается плоская задача о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство с порами, заполненными жидкостью. На рисунке 2 приведён график изменения осадки от времени, в точке поверхности удалённой от приложения сосредоточенной силы на расстоянии 1м, построенный на основе аналитического решения2. Треугольниками обозначены значения осадок, полученных на основе конечно-элементной методики. Далее решена задача деформирования плоской водонасыщенной среды под кратковременным (время действия нагрузки 500 секунд) действием распределённой нагрузки. На рисунке 3 приведено сравнение распределений порового давления по толщине расчётной области через 5000 секунд после начала процесса3.

-5x10"* -1х1СГ5

- - решение Керчмака В И.

- - решение МКЭ

Р(МПа) 0.12

0.02

у = 0

уШ

у = 5

■ ранение РунгЕ.В. - ранение МКЭ

Рис. 2.

Рис. 3.

Третья глава посвящена предельному состоянию в грунте. Реализована методика определения напряжённого и предельного состояния грунта, учитывающая условия прочности Мизеса-Боткина, как задание предельной поверхности в виде

Т^С , (11)

где т1 = <Т1 / у/3 - интенсивность касательных напряжений, сг0 - среднее * ♦

напряжение, <р - угол трения на октаэдрической площадке, с -предельное сопротивление чистому сдвигу.

2 Керчман В И Контактная задача консолидации водонасыщенной среды / В И Керчман // Изв АН СССР МТГ -1974 -№3 -С 102-109

3 Рунг Е В Разностные методы решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации дис канд физ-мат наук 010107 защищена 25 11 04 / Е В Рунг - Казань, 2004 - 117с

Задача решается на основе метода конечных элементов, причём реализуется итерационная процедура, известная как «метод начальных напряжений». В соответствии с ней на каждом шаге итерации формулируется линейная задача, и найденные напряжения оцениваются по соотношениям предельного состояния. Если грунт не достиг предельного состояния, то считается, что напряжённое состояние найдено. Если грунт вышел в предельное состояние, то определяются «истинные» напряжения и «дополнительные», которые в совокупности равны найденным из решения линейной задачи напряжениям |<та+|,|- Их необходимо корректировать по принятой теории предельного состояния и определять истинные напряжения {<х<к+')}. Разность этих напряжений и определяет неуравновешенные «дополнительные» напряжения

= (12)

Используется формулировка итерационной процедуры в приращениях, в соответствии с которой на шаге итерации определяется приращение

перемещений |ду(А+|)|. В этом случае на первом шаге решается задача

др} = \\\{ъ}т Щау + <13>

V V 5„

из которой находится вектор перемещений деформаций и

напряжений = • Далее определяются истинные и

дополнительные напряжения. Все последующие шаги итерации

основаны на решении уравнения

ш{лст(*+1)Г = (и)

V V

из решения, которого находятся

Истинное деформированное состояние определяется как

(15)

Напряжения для анализа возможного предельного состояния и определения истинных и дополнительных напряжений находятся как

(17)

Условие остановки итерационного процесса формулировалось как ограничение на приращение перемещений

На и(*+1>|

йв. (18)

Г 1

Истинные напряжения: Закон Гука:

сту = + ЯЗУ£о = П1]тпетп. (20)

Окончательно для компонент упругопластической матрицы получается выражение

Г)еР — Г) _

Г с \

\Тг У

тп_у

(21)

где - компоненты девиатора тензора напряжений, К - модуль

всестороннего сжатия.

В рамках модели идеально-пластической среды строится итерационная процедура решения физически нелинейной задачи типа метода начальных напряжений. В результате удаётся определить области (зоны) достижения грунтами предельного состояния и уровень пластических деформаций, приобретённых грунтом. Наибольшее распространение при решении физически нелинейных задач методом конечных элементов получила итерационная процедура, известная как «метод начальных напряжений». В соответствии с ней на каждом шаге итерации формулируется линейная задача и найденные напряжения оцениваются по соотношениям предельного состояния. Если материал не достиг его, то считается, что напряжённое состояние найдено. Если материал вышел в предельное состояние, то определяются «истинные» напряжения и «дополнительные», которые в совокупности равны найденным, из решения линейной задачи. Далее считается, что «дополнительные» напряжения являются неуравновешенными внутренними усилиями, и на следующем шаге итерации они принимаются как внешние силы.

Рассматривается модельная задача - расчёт насыпи под действием собственного веса и нагрузки, равномерно распределённой по верхней грани, нижняя грань не имеет вертикальных смещений, а боковые -горизонтальных. Исследован случай плоского деформирования. Считается,

что грунт - однородная среда со следующими физико-механическими свойствами: модуль деформации Е = 0.160 МПа , коэффициент бокового расширения // = 0.42. сцепление С-40КПа, угол внутреннего трения <р = 17", плотность р = 2000кг/м*, нагрузка ц = 0.40МПа, высота Я, =40м, высота Н2=45м, длина ¿ = 211.29м, высота И = 1Лм, длина I = 55 м.

Приведено распределение интенсивности напряжений в расчётной области от собственного веса грунта без учёта и с учётом распределённой по дорожному полотну нагрузки. А также распределение прогибов в расчётной области от действия распределённой по дорожному полотну нагрузки, распределение интенсивности пластических деформаций после приложения всей нагрузки (собственного веса грунта и распределённой по дорожному полотну). На рисунке 4 приведена расчётная область, на рисунке 5 -распределение интенсивности пластических деформаций после приложения нагрузки.

<г

.0.0216

9

00

0.0024 I 0 0048 00077 0ХЮР6

0.0120 00144 00168 00192

00216 I

Рис. 5.

Таблица 1.

Варианты расчёта Решение МКЭ линейные элементы Решение МКЭ квадратичные элементы Решение АЫБУБ Решение4

и,\МПа\ (собственный вес) 0.505 0.508 0.505 0.504

сг [МПа] (собственный вес и распределённая нагрузка ¿¡) 0.593 0.617 0.590 0.588

(собственный вес и распределённая нагрузка «у) 0.854 0.897 0.854 0.854

£, (собственный вес и распределённая нагрузка д ) 0.022 0.023 0.022 0.023

В таблице 1 приведено сравнение результатов решений данной задачи с решениями, полученными в ППП АЫвУЗ и кандидатской диссертации Л.У. Султанова.

В четвёртой главе решаются новые практические задачи. В первой задаче основной целью расчёта является определение положения и уровня напряжённо-деформированного состояния фекального коллектора, находящегося в непосредственной близости от прокладываемого тоннеля метрополитена, во время проходки и после окончания строительных работ.

Для этого проводится трёхмерный расчёт грунтового массива зоны максимального взаимного сближения коллектора и обделки тоннеля метрополитена с учётом уровня грунтовых вод и расположенного выше подземного перехода. Исходная расчётная область приведена на рисунке 6.

Детальное моделирование подземного перехода невозможно из-за ограничений на размерность задачи, поэтому подземный переход представляется в виде толстостенного прямоугольного параллелепипеда без верхнего перекрытия. Коллектор моделируется сплошной бетонной трубой без внешнего кожуха.

4

Султанов Л У Исследование больших вязкоупругопластических деформаций в трёхмерной постановке дисс канд физ-мат наук 01 02 04/ЛУ Султанов -Казань, 2005 -141 с

Рис. 6.

Кинематические условия задачи предполагают, что точки всех боковых и нижней грани выделенного объёма грунта испытывают перемещения только в своей плоскости. Вся расчётная область находится под действием собственного веса. Определённые таким образом перемещения и напряжения в коллекторе будем называть в дальнейшем базовым расчётом и будем сравнивать с ним все остальные расчёты (те, в которых моделируется и обделка метрополитена).

Проходка линии метрополитена для водонасыщенных фунтов схематично изображена на рисунке 7. Т.е. расчётная область усложняется с появлением участка обделки метрополитена, причём его длина может меняться от нуля до длины расчётной области.

В работе проводилось два типа расчётов. Первый - без учёта влияния фунтовых вод. В том случае весовая нафузка рассчитывалась, исходя из плотности сухих фунтов или бетона. Второй тип расчётов, с учётом гидростатической нафузки, предполагает несколько иную схему определения весовой нафузки. Учёт приведённой весовой нафузки в этом случае будем проводить следующим образом:

- приведённый удельный вес водонасыщенных фунтов должен определяться по формуле

„ =Умч-Ув (22)

/ей , . '

1 + е

где увн - удельный вес водонасыщенного фунта, у мц - удельный вес минеральных частиц фунта, ув - удельный вес воды, е - коэффициент пористости фунта;

- на внешнюю поверхность коллектора, обделки тоннеля метрополитена и на часть поверхности подземного перехода, находящуюся ниже уровня фунтовых вод, должна действовать гидростатическая нафузка, соответствующая уровню фунтовых вод.

Основная часть расчётов была проведена с учётом уровня фунтовых вод. В таблице 2 - значения первых главных напряжений и прогибов коллектора в зависимости от минимального расстояния между коллектором (с учётом кожуха) и обделкой тоннеля при длине линии тоннеля 60 м без учёта давления. В таблице Дсг, - процент отклонения первого главного напряжения от базового расчёта, Диу - максимальное абсолютное смещение

коллектора в зоне сближения с обделкой, Аи"°н - максимальное смещение

коллектора в зоне сближения с обделкой относительно концов коллектора на фаницах расчётной области.

Таблица 2.

/ [М] сг, [Мпа] Дсг, [%] Аиу [см] Ди™

Базовый расчёт 2.91 - - -

0.5 3.63 +24.7 0.50 0.66

1.0 3.53 +21.3 0.47 0.63

1.5 3.45 + 18.6 0.46 0.61

2.0 3.35 + 15.1 0.42 0.57

Основной целью второй задачи является определение наилучшей формы области химического закрепления грунта в зоне пересечения тоннелями метрополитена грунтового массива с целью снижения уровня напряжённо-деформированного состояния в обделке тоннеля.

Вторая задача состоит из трёх этапов: первый - деформирование сплошных колец обделки метрополитена в однородном грунте при наличии зоны химического закрепления.

Расчётная область исследуемой модельной задачи с одним тоннелем приведена на рисунке 8. Считаем, что грунт, окружающий обделку, а также грунт в области химического закрепления являются водо-насьпценными, и уровень грунтовых вод совпадает с верхней границей фунтов. Бетонная обделка является водонепроницаемой.

Далее, для различной формы зон химического закрепления фунта определяются окружные напряжения в кольце обделки. Примеры взаимного расположения зоны химического закрепления фунта и обделки метрополитена приведены на рисунке 8 (один тоннель), на рисунке 10 (два тоннеля).

Второй этап - деформирование сплошных колец обделки метрополитена в реальном фунте при наличии зоны химического закрепления.

Основной целью является определение наилучшей формы зоны закрепления грунта для опасного сечения для двух тоннелей, представленных сплошными бетонными кольцами. I Разрез грунтов расчётной области и расположение тоннелей приведены

на рисунке 9. На рисунке 11 - оптимальный вариант расположения зоны химического закрепления при наличии двух тоннелей. В таблицах 3 и 4 ' приведены максимальные и минимальные окружные напряжения в обделке

тоннеля метрополитена в зависимости от угла наклона левой части зоны химического закрепления и от длины зоны химического закрепления соответственно.

Рис. 8.

2 в

8-

л

X

о

19

о

£

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

Таблица 3.

Угол наклона зоны закрепления вокруг левого тоннеля _1ШП аокр [МПа] [МПа] ^.ти °окр [МПа] а _тах [МПа]

базовый расчёт -20.1 10.8

0° -16.3 -3.8 7.14 -3.66

10° -15.9 -4.2 6.73 -4.07

20° -15.5 -4.6 6.18 -4.62

Таблица 4.

гс/ор М ~ превышение горизонтальной полустороны зоны закрепления над радиусом обделки тт аокр [МПа] А _тт [МПа] _тах <*окр [МПа] л _!ШХ [МПа]

базовый расчёт -19.4 12.4

0.5 -13.7 -5.7 6.51 -5.89

1.5 -13.7 -5.7 6.56 -5.84

2.5 -13.7 -5.7 6.60 -5.80

Третий этап - деформирование блочных колец обделки метрополитена в реальном грунте при наличии зоны химического закрепления грунта с учётом контакта между блоками.

Проводим окончательный расчёт (реальные грунты, два тоннеля, найденная оптимальная форма химического закрепления грунта) для колец обделки, составленных из блоков, с учётом контактного взаимодействия между ними. Эта задача (в отличие от предыдущих) является нелинейной и требует подробного описания способа стыковки блоков и механизма контактного взаимодействия.

Решается задача упругого деформирования бетонного кольца обделки метрополитена, расположенного в толще грунтового массива. Предполагается, что кольцо обделки, поперечное сечение которого показано на рисунке 12, состоит из восьми сегментных блоков, соединённых друг с другом посредством резиновых вставок.

Материалы: шж бетон ш грунт ■■ резина

г Области

моделирования:

1,2 - концы сегментных блоков

3 - внешний зазор, занятый грунтом

4 - резиновая вставка

5 - зазор между блоками

(область возможного контакта)

6 - внутреотй зазор

Рис. 12. Рис. 13.

Для реализации возможности контактного взаимодействия блоков кольца обделки метрополитена применяется численная схема, использующая специальные контактные элементы. Они включаются в работу, когда линейные деформации обжатия такого элемента становятся отрицательными, а сдвиговая жёсткость такого элемента корректируется в зависимости от напряжений обжатия. Задача решается в шаговой постановке.

Рисунок 13 иллюстрирует взаимное расположение резиновой вставки и концов сегментных блоков при их стыковке.

Считается, что конструкция работает в условиях плоской деформации, происходящей под действием весовой нагрузки, а влияние арматуры не учитывается. Расчётная схема предусматривает возможность смыкания бетонных блоков обделки в процессе деформирования.

Расчёт проводился для зоны химического закрепления, приведённой на рисунке 11, для угла наклона зоны химического закрепления вокруг левого тоннеля 20' от горизонтали.

В таблице 5 приведены максимальные и минимальные окружные напряжения для различных расчётных случаев для левого и правого тоннелей соответственно.

Таблица 5.

Тоннели Левый Правый

Варианты расчёта „min аокр [МПа] „тах аокр [МПа] _min °окр [МПа] _тах аокр [МПа]

Базовый расчёт (сплошное кольцо) -20.1 10.8 -19.4 12.4

Учёт зоны химического закрепления (сплошное кольцо) -15.5 6.18 -13.7 6.60

Базовый расчёт (блочное кольцо) -13.6 5.24 -11.9 6.75

Учёт зоны химического закрепления (блочное кольцо) -9.87 3.88 -8.76 4.32

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

/

1. Дана двумерная и трёхмерная постановка задачи упругого и упругопластического деформирования сухих и водонасыщенных грунтов.

2. Реализована методика расчёта напряжённо-деформированного и предельного состояний сухих и водонасыщенных грунтовых массивов, взаимодействующих с деформируемыми конструкциями, на основе метода конечных элементов.

3. Разработан и апробирован пакет программ, реализующий предложенную методику определения напряжённо-деформированного и предельного состояния на основе метода конечных элементов.

4. Получены новые числовые результаты расчёта подземных транспортных сооружений, взаимодействующих с грунтами, в том числе и с водонасыщенными, в двумерной и трёхмерной постановках.

Работа поддержана грантом Министерства Образования (2004 г.), грантом Академии Наук Республики Татарстан (2005 г.) и грантом для аспирантов КГУ III года обучения (2005 г.).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Секаева J1.P. Плоская задача деформирования грунтовых массивов с учётом влияния фильтрации грунтовых вод / Л.Р. Секаева // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. «Лобачевские чтения-2002»: материалы международ, молодежной науч. школы-конференции (Казань, 28 ноября-1 декабря, 2002 г.). - Казань: Изд-во Казан, матем. о-ва, 2002. - Т. 18. - С. 78-79.

2. Секаева Л.Р. Исследование напряжённо-деформированного состояния сухих и водонасыщенных грунтов / Д.В. Бережной, Ю.Г. Коноплёв, Л.Р. Секаева // «Наука и практика. Диалоги нового века»: материалы конф. (Наб. Челны, 17-19 марта, 2003 г.). - Наб. Челны: Изд-во Камского гос. политехи, ин-та, 2003. - Ч. II. - С. 283-285.

3. Секаева Л.Р. Исследование напряжённо-деформированного состояния водонасыщенных грунтов / Л.Р. Секаева // Городская науч.-практ. конф. «Студенты Зеленодольску»: сб. докладов (Зеленодольск, 12 апреля, 2003 г.). - Зеленодольск, 2003.

4. Секаева Л.Р. Исследование напряжённо-деформированного состояния грунтов / Д.В. Бережной, Ю.Г. Коноплёв, Л.Р. Секаева // Сб. материалов XV Всерос. межвуз. науч.-техн. конф. (Казань, 20-22 мая, 2003 г.). - Казань: КГУ, 2003. - Ч. 1. - С. 366-368.

5. Секаева Л.Р. Деформирование грунтовых массивов с учётом влияния фильтрации грунтовых вод / Д.В. Бережной, Ю.Г. Коноплёв, Л.Р. Секаева // «Математическое моделирование и краевые задачи»: тр. Тринадцатой Межвуз. конф. (Самара, 29-31 мая, 2003 г). - Самара, 2003.-Ч, 1.-С. 12-14.

6. Секаева Л.Р. Исследование напряжённо-деформированного состояния водонасыщенных грунтов / Л.Р. Секаева, Д.В. Бережной // Тез. докладов Двенадцатой Международ, конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 30 июня-5 июля, 2003 г). - М.: Изд-во МАИ, 2003. - Т. 2. -С. 563-564.

7. Секаева Л.Р. Исследование взаимодействия деформируемых конструкций с сухими и водонасьпценными грунтами / Л.Р. Секаева, Д.В. Бережной, Ю.Г. Коноплёв // «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов»: тез. докладов XX Международ, конф. (Санкт-Петербург, 24-26 сентября, 2003 г.). - СПб., 2003. - С. 160-162.

8. Секаева Л.Р. Исследование взаимодействия деформируемых конструкций с сухими и водонасьпценными грунтами / Л.Р. Секаева, Д.В. Бережной, Ю.Г. Коноплёв // «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов»: тр. докладов XX Международ, конф. (Санкт-Петербург, 24-26 сентября, 2003 г.). - СПб., 2003. - Т. III. - С. 156-159.

9. Секаева Jl Р. Трёхмерная задача взаимодействия сухих и водонасыщенных сред / Л.Р. Секаева // Тр. Матем. центра им Н.И. Лобачевского. «Лобачевские чтения-2003»: материалы международ, молодёж. науч. школы-конференции. (Казань, 1-4 декабря, 2003 г.). -Казань: Изд-во Казан, матем. о-ва, 2003. - Т. 21. - С. 195-196.

10. Секаева Л.Р. Деформирование железобетонных блоков обделки тоннеля метрополитена с сухими и водонасыщенными грунтами с учётом их контактного взаимодействия / Д.В. Бережной, A.A. Саченков, Л.Р. Секаева, P.P. Хакимзянов // Сб. трудов Пятой конф. пользователей программного обеспечения CAD-FEM GmbH (Москва, 21-22 апреля, 2005 г.). - М., 2005. - С. 102-107.

11. Секаева Л.Р. Деформирование железобетонных блоков обделки тоннели метрополитена, взаимодействующих с сухими и водонасыщенными грунтами с учётом их химического закрепления / Д.В. Бережной, Ю.Г. Коноплёв, Л.Р. Секаева // «Математическое моделирование и краевые задачи»: тр. Всерос. науч. конф. (Самара, 1-3 июня, 2005 г.). - Самара, 2005. - Ч. 1. - С. 64-66.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им. В.И.Ульянова-Ленина

Тираж 120 экз. Заказ 11/94

420008, г. Казань, ул. Университетская, 17 тел. 292-65-60,231-53-59

02536ft

РЫБ Русский фонд

2006-4 29753

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ КОНСОЛИДАЦИИ КВАЗИДВУХФАЗНЫХ ГРУНТОВ.

1.1. Квазидвухфазные грунты.

1.1.1. Системы напряжений в квазидвухфазном грунте.

1.1.2. Системы деформаций в квазидвухфазном грунте.

1.1.3. Основные уравнения теории консолидации квазидвухфазных фунтов.

1.2. Конечно-элементная постановка задачи.

1.2.1. Получение основной системы разрешающих уравнений.

1.2.2. Определение граничных и начальных условий.

ГЛАВА 2. ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ РАСЧЁТНЫХ АЛГОРИТМОВ ЗАДАЧ.

2.1. Алгоритм решения квазистатической задачи.

2.2. Метод трапеций.

2.2.1. Схема численного интегрирования основной системы разрешающих уравнений по времени.

2.3. Используемые конечные элементы.

2.3.1. Двумерные конечные элементы.

2.3.2. Трёхмерный конечный элемент.

2.4. Построение матрицы жёсткости 8-ми узлового трёхмерного элемента.

2.5. Квазистатическое деформирование грунта под действием равномерно распределённой нагрузки без возможности бокового расширения.

2.6. Деформирование плоской водонасыщенной среды под действием сосредоточенной силы.

2.7. Квазистатическое деформирование плоской водонасыщенной среды под действием зависящей от времени распределённой нагрузки.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ГРУНТЕ.

3.1. Алгоритм расчёта предельного состояния в грунте.

3.2. Упругопластический расчёт земляной насыпи.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.,.

4.1. Расчёт поля перемещений и напряжённого состояния в коллекторе при проходке под ним тоннеля метрополитена.

4.2. Расчёт напряжённо-деформированного состояния кольца обделки метрополитена при наличии зоны химического закрепления.

4.2.1. Исследование влияния зоны химического закрепления на деформирование сплошного кольца обделки тоннеля метрополитена в однородном грунте.

4.2.2. Исследование влияния зоны химического закрепления на деформирование сплошного кольца обделки тоннеля метрополитена в реальном грунте.

4.2.3. Деформирование блочного кольца обделки тоннеля метрополитена с учётом контакта между блоками в реальном грунте при наличии зоны химического закрепления грунта.

Взаимосвязанные процессы деформирования и фильтрации в насыщенных пористых средах составляют сущность многих явлений в природе и служат основой разнообразных технологических воздействий в химической промышленности, строительстве и добыче полезных ископаемых. Отсюда интерес к теории таких процессов. Важную роль в её развитии играет математическое моделирование, позволяющее прогнозировать и оптимизировать технологические воздействия, интерпретировать и обрабатывать опытные данные. Как правило, оно выполняется на основе модельных представлений теории фильтрационной консолидации, берущей начало с пионерской работы Терцаги К. [200] 1925 года. В ней он впервые ввёл понятие эффективных напряжений и решил одномерную задачу уплотнения водонасыщенного пористого грунта в виде слоя конечной толщины.

Эта теория получила дальнейшее развитие в трудах Герсеванова Н. М. [38, 39], Флорина В. А. [145, 146, 147], Цытовича Н. А. [149, 150], Зарецкого Ю. К. [55, 56, 57], Био М. А. [23, 24], Николаевского В. Н. [94, 95, 96, 97] и других. Общая математическая модель фильтрационной консолидации на базе вариационно-термодинамического подхода создана Био М. А. [23, 24]. Её глубокий анализ с позиций механики сплошной среды проведён Николаевским В. Н. [96, 97]. Костериным А. В. на основе вариационных формулировок задач фильтрационной консолидации исследована их корректность и предложены обоснованные численные методы их решения [49, 50]. В последние годы интерес к теории фильтрации усиливается, о чём свидетельствует быстрый рост числа публикаций по этой тематике [60, 81, 160, 166,178, 194, 196, 206].

Математическая модель фильтрационной консолидации насыщенной пористой среды под действием внешних поверхностных сил включает в себя суммарное уравнение движения (квазиравновесия) фаз, условия неразрывности (баланса масс), закон фильтрации, реологическое соотношение для пористого скелета, граничные и начальные условия.

В простейшем варианте модели теории фильтрационной консолидации считается, что жидкость и материал зёрен несжимаемы, пористая матрица деформируется упруго, а жидкость фильтруется по закону Дарси. Реологические соотношения в этом случае имеют вид:

Ту=Л06у+21ле9, (1) q = -kàp. (2)

Здесь Xi - декартовы координаты, Су - эффективные напряжения в скелете, р - давление в жидкости, £у - тензор макродеформаций, 0 = £и - объёмная деформация среды, Ç - скорость фильтрации, к -коэффициент фильтрации, Я,// - коэффициенты Ламе упругой пористой матрицы.

Адекватное описание свойств реальной пористой среды предполагает усложнение определяющих соотношений (1), (2). Для пористого скелета часто необходим учёт его вязких и пластических свойств. Задачи фильтрационной консолидации с учётом этого рассматривались в работах [56, 158]. Закон фильтрации также в ряде случаев может зависеть от деформаций среды [151]. Другой возможностью, особенно важной для описания консолидации глинизированных грунтов, является наличие предельного градиента [79, 80, 90, 190].

Ещё одним актуальным направлением в развитии теории фильтрационной консолидации является решение сложных неодномерных задач. Как правило, решения двумерных и трёхмерных задач фильтрационной консолидации получают на основе сеточных методов [2, 40, 71]. Поэтому каждое аналитическое решение этих задач представляет собой как самостоятельный интерес, так и косвенный, позволяющий использовать его для тестирования численных методов.

Продвижение в обоих указанных направлениях (усложнение и неодномерность) во многих случаях приводит к необходимости решения задач с заранее неизвестными границами.

Например, при усложнении реологических соотношений введением пластичности необходимо определять заранее неизвестную границу между областями упругих и пластических деформаций. При нелинейном законе фильтрации с предельным градиентом возникают зоны фильтрации и зоны «замороженных» напряжений. Границы между этими зонами также заранее неизвестны и должны определяться в ходе решения задачи.

Необходимость определения неизвестных границ может возникать также в рамках линейной теории. Это может быть связано, например, в контактных задачах как с причинами чисто геометрического характера (заранее неизвестная зона контакта), так и с нелинейностью граничных условий (неизвестные границы между областями проскальзывания и сцепления).

Вариационный подход применялся также к исследованию фильтрации в деформируемой пористой среде: изучался процесс консолидации (уплотнение насыщенной пористой средой под действием внешней нагрузки). Вариационная формулировка (принцип) служит при этом основой для построения приближённого решения задачи, например, методом конечных элементов. В работе [187] построен функционал, экстремум которого достигается на решении задачи консолидации нелинейно деформируемой насыщенной пористой среды с учётом конечных деформаций. Этот весьма общий результат получен на основе использования плодотворной идеи - перехода от исходных уравнений и граничных условий задачи к их производным по времени («скоростям»). Относительно «скоростей» задача становится линейной, причём коэффициенты уравнений параметрически зависят от текущих значений самих параметров состояния. В [187] освещено также современное состояние вариационной теории консолидации (дан обзор соответствующих вариационных принципов).

Классической задачей консолидации является плоская задача об усадке полупространства под действием мгновенно приложенной прямоугольно-распределённой нагрузки [96]. В такого рода задачах из-за характера приложения нагрузки возникает проблема начального состояния, которое формируется в результате быстрых волновых процессов и потому не описывается безинерциональными уравнениями консолидации. Следовательно, эта проблема не может быть решена в рамках теории консолидации без привлечения дополнительных гипотез. Обычно предполагают, что в начальный момент времени вся нагрузка воспринимается давлением жидкости [96]. Для устранения проблемы начального состояния достаточно рассматривать непрерывно зависящую от времени нагрузку, изменяющуюся не слишком быстро, так, чтобы можно было пренебречь силами инерции в уравнениях движения жидкой и твёрдой фаз.

Контактным задачам теории упругости и вязкоупругости посвящена обширная литература [36, 44, 48]. Прогресс здесь связан, главным образом, с возможностью использования классического аппарата теории функций комплексного переменного для получения аналитического решения соответствующих задач.

Аналогичные по постановке задачи для насыщенных пористых сред, формулируемые в рамках схемы фильтрационной консолидации, менее изучены. Число аналитических решений краевых задач теории консолидации невелико. Основным задачам посвящены работы [61, 63, 162, 165, 169, 183]. В [62] получено приближённое решение контактной задачи о давлении штампа на полуплоскость, [41, 65] построено решение задачи о консолидации в тонком слое и в полосе.

Между тем, контактные задачи фильтрационной консолидации содержательны как с математической, так и с механической точек зрения. С одной стороны, имеющаяся аналогия с абстрактным вязкоупругим материалом оказывается не столь прямой, чтобы можно было непосредственно пользоваться известным аппаратом: необходима разработка специальных методов решения контактных задач фильтрационной консолидации. С другой стороны, специфика объекта порождает новые эффекты, принципиально не возникающие в рамках теории вязкоупругости. К последним, например, можно отнести возможность появления двухфазных зон в изначально полностью насыщенном пористом материале [74].

Классическая теория фильтрации берёт начало с середины позапрошлого века, со времени установления французским инженером Дарси А. линейной зависимости между расходом и потерей напора. Эта зависимость была установлена в результате опытов просачивания воды через песчаный грунт. Многочисленные последователи Дарси А. подтвердили справедливость этого основного закона фильтрации [4, 54, 66, 84, 108].

Большой вклад в развитие этой теории внесла русская и советская школа фильтрации, основоположниками которой являются Жуковский Н. Е., Павловский H. Н., Лейбензон Л. С. Дальнейшее развитие проблемы нашло место в работах Аравина В. И., Ведерникова В. В., Полубариновой-Кочиной П. Я., Нумерова С. Н. Разработанные ими аналитические и приближённые методы позволили решить большой класс задач фильтрации, в том числе задач безнапорной фильтрации через грунтовые плотины. Так, например, успешно применяются метод конформных отображений [29, 30], предложенный Павловским H. Н., метод аналитической теории линейных дифференциальных уравнений [108] (Полубаринова-Кочина П. Я.), метод аналитических функций [4] (Нумеров С. Н.). Аналитические решения получены, в основном, для задач безнапорной установившейся фильтрации через пористые перемычки, из каналов, в скважины и напорной установившейся фильтрации под плотинами гидротехнических сооружений [29, 30, 99, 108, 153].

Аналитические решения задач влагопереноса получены для весьма узкого класса задач [144, 185, 188, 192, 203]. В этих задачах рассматривается только зона аэрации и для простого вида зависимостей гидрофизических характеристик. Решение задач в более общей постановке стало возможным с развитием приближённых методов и появлением быстродействующих ЭВМ.

Одним из наиболее простых и эффективных численных методов является метод конечных разностей (МКР), который применяется при решении как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений с различными условиями на границе области [6, 117]. К достоинству его относится простой вид аппроксимации дифференциальных уравнений, который удобен для программирования. Но метод конечных разностей является эффективным для областей достаточно простой формы.

В последнее время при решении задач фильтрации широкое применение находит более универсальный метод - метод конечных элементов (МКЭ) [37, 46, 58, 87, 120, 133]. Его преимущество - высокая устойчивость в применении к областям сложной геометрии и неоднородной структуры. МКЭ основан на замене исследуемого объекта совокупностью конечного числа дискретных элементов, связанных между собою в узлах. Непосредственный переход к расчётной схеме из соображений механики даёт возможность естественно формулировать граничные условия, произвольно располагать узлы сетки, сгущая её в местах ожидаемого большого градиента искомых величин, применять метод для исследования областей, состоящих из фрагментов различной физической природы и т.д.

Развитие метода отражено в работах зарубежных исследователей Аргириса Дж., Вилсона Э., Айронса М. Р., Клафа Р. У., Зенкевича О. К., Одена Дж. и др. Значительный вклад в теорию метода конечных элементов содержится в отечественных работах Постнова В. А., Хархурима И. Я., Сахарова А. С., Розина JI. А., Образцова И. Ф. и др.

Литература, посвящённая теории и реализации метода конечных элементов, весьма обширна. Среди целого ряда монографий следует отметить работы [12, 37, 58, 98, 101, 103, 109, 110, 116, 119, 130]. История метода, его современное состояние и его сравнение с другими широко используемыми численными методами отражено в обзорах [27, 102].

Разработанные в последнее время новые вычислительные схемы, реализующие МКЭ и МКР значительно расширили класс фильтрационных задач, решаемых численными методами. Исследованию задач классической фильтрации с применением численных методов посвящены работы [5, 67, 78, 82, 104].

Использование механики грунтов в инженерной практике с каждым годом становится всё более широким. Так, на основе получения ряда конкретных решений задач механики грунтов, а также проверки результатов в натуре оказалось возможным разработать весьма прогрессивный, дающий значительную экономию средств метод проектирования фундаментов по предельным состояниям грунтовых оснований [45].

Развитие механики грунтов и, в частности, динамики оснований позволило учёным и инженерам разработать и с успехом применять виброметод забивки свай, шпунтов и буровых труб в сыпучие и пластичные связные грунты [10].

Как методы улучшения свойств слабых грунтов необходимо отметить: оригинальный метод искусственного обжатия глинистых грунтов понижением напора грунтовых вод в подстилающих песках (метод Кнорре М. Е.); методы химического и электрохимического закрепления грунтов, разработанные профессором Ржаницыным Б. А. [113], метод термического закрепления просадочных лёссовидных грунтов Литвинова И. М. [77] и др.

В [179] для расчёта грунтовых оснований и фундаментов используется метод конечных элементов, для которого записаны определяющие соотношения упруговязкопластического поведения грунта в связанной постановке, когда учитывается фильтрация жидкости в грунте (закон Дарси). Из принципа возможных приращений в скоростях записана соответствующая конечно-элементная формулировка задачи. Описана процедура пересчёта входных параметров задачи, определяемых при стандартных испытаниях поведения грунта под нагрузкой, в материальные константы и функции, присутствующие в используемых определяющих соотношениях.

В работе [170] исследуется проблема уплотнения насыщенных пористых сред. Особенностью предлагаемого подхода является более детальный учёт зависимости проницаемости породы от напряжений в скелете и давления флюида, который в общем случае может быть сжимаемым (например, газ). Проницаемость принимается нелинейно зависящей от перечисленных величин. Такой учёт является существенным на больших глубинах (в геодинамических задачах) или при значительных нагрузках на поверхности. Разработана конечно-элементная модель деформации насыщенной породы. Рассматриваемая нелинейная система уравнений использована в проблеме динамики грунта при нагружении на поверхности полупространства.

Kovacic D., Szavits-Nossan А. в своей работе [177] оценивают эффективность применения алгоритма динамической релаксации к задачам консолидации двухфазовой среды, где поры деформируемого грунтового скелета приняты полностью насыщенными сжимаемой жидкостью. Алгоритм позволяет обойтись без построения глобальной матрицы жёсткости и решения системы уравнений, т.к. операции выполняются на уровне элементов и алгоритм хорошо приспособлен к нелинейным задачам. В качестве независимой переменной принято относительное перемещение поровой воды (вместо порового давления), что позволяет применять одну и ту же интерполяционную функцию для жидкой фазы и грунтового скелета.

В работе [156] Adachi Т., Hirata Т., Hashimoto Т., Oka F., Mimura М. закон состояния для нормально консолидированных глин базируется на упругопластической теории и модели Кем-Клей. Применение разработанной компьютерной программы к анализу глинистого основания в процессе сооружения дамб включает и расчёт консолидации. Для учёта объёмного размягчения фунта при нагружении исходное уравнение дополнено членом, зависящим от функции размягчения.

В [100] приведены результаты изучения деформирования грунтов трёхслойного водоносного пласта, связанного с длительной откачкой подземных вод одиночной скважиной из нижнего напорного горизонта, опирающегося на водонепроницаемые недеформируемые породы. При постановке задачи для описания движения подземных вод использованы теории гидродинамики и фильтрационной консолидации, а для деформирования грунтов - деформационная теория пластичности.

Орехов В. В. в работе [107] приводит описание комплекса вычислительных программ, предназначенного для решения задач взаимодействия фундаментов с грунтовыми основаниями при статических и динамических воздействиях на основе метода конечных элементов.

В работе [141] Фадеева А. Б., Матвеенко Г. А. решение трёхмерной задачи сведено к решению ряда осесимметричных задач разложением узловых нагрузок и перемещений по окружной координате в ряды Фурье. Грунт рассматривается как идеально упругопластическая среда с поверхностью текучести, описываемой критерием Боткина в октаэдрических напряжениях.

Миховой Л. [88] на основании пространственной теории Био М. А. консолидации грунта решена осесимметричная задача с применением метода конечных элементов. Грунт принят как двухфазная система, состоящая из твёрдой фазы (скелета) и жидкой фазы (жидкости в порах скелета). Принято, что скелет линейно деформируемый материал. Жидкость недеформируема при полной водонасыщенности фунта и деформируема при наличии газа.

В работе [143] Фадеева А. Б., Репиной П. И., Глыбина Л. А. профамма обеспечивает получение серии упругопластических решений для заданной последовательности нагружения гравитационными силами, пошагового приложения строительных нагрузок, постадийной выемки котлованов для подземных выработок, введения на любом этапе конструктивных элементов (фундаментов, обделки тоннелей и т.п.). Отличительной особенностью является возможность введения на любом этапе заданных перемещений узлам. Модель среды - билинейная, упругопластическая, с критерием текучести Кулона.

Stematiu D., Paunescu D. [199] предлагают модель поведения грунта с неполным насыщением под действием внешней нагрузки. Модель учитывает взаимодействие между тремя составными фазами грунта: твёрдым скелетом, водой и воздухом. Система дифференциальных уравнений неразрывности и баланса решена численно методом конечных элементов.

Murad М. A., Loula A. F. D. [184] обсуждают устойчивость и сходимость численных решений задачи фильтрационной консолидации насыщенных грунтов. Анализируется семейство затухающих функций, описывающих затухание осцилляции порового давления в грунте, находящемся в начальный период в неуплотнённом состоянии. Оцениваются ошибки вычислений за счёт неоптимального выбора шага дискретизации по времени.

В работе Oka F., Yashima A., Shibata Т., Kato М., Uzuoka R. [189] была рассмотрена полная система уравнений, описывающая процесс разжижения пористых водонасьпценных грунтов под действием переменных нагрузок. Численное решение задачи проведено комплексным методом конечных элементов и конечных разностей. Метод конечных разностей используется для пространственной дискретизации уравнения неразрывности, тогда как метод конечных элементов используется для пространственной дискретизации уравнения равновесия. Совместное использование этих численных методов позволяет уменьшить степень свободы дискретизируемых уравнений.

В работе [164] Chiou Y.-J., Chi S.-Y. в рамках модели Био М. А. проводится расчёт консолидации водонасыщенных слоистых грунтов. Для численного моделирования трёхмерной задачи используются пошаговый по времени метод, несвязный метод граничных элементов и метод последовательных жёсткостей. Исследуются осадка грунта, вызванная поверхностным нагружением и медленное оседание грунта вследствие откачки из нижележащего горизонта.

В статье Стояновича Г. М. [129] расчёты выполнялись по разработанной автором аналитически-экспериментальной методике учёта вибродинамического воздействия и упругопластического напряжённо-деформированного состояния земляного полотна на основе метода конечных элементов и эмпирических зависимостей снижения прочностных свойств грунтов в условиях Кулона.

В [195] выполнено численное моделирование локализации неупругой деформации в насыщенных песчаных образцах в условиях динамического нагружения в отсутствии дренажа. Использован метод конечных элементов для совместного решения уравнения баланса масс и уравнения движения.

В работе Еремеева В. А. [53] в рамках нелинейной механики сплошных сред рассмотрена задача о квазистатическом деформировании пористого тела, насыщенного жидкостью, в случае больших деформаций. Известная модель Био М. А. для пористой среды в случае малых деформаций обобщена на случай конечных деформаций и влияния температуры. Сформулирована нелинейная краевая задача для системы уравнений в частных производных относительно вектора перемещений твёрдого скелета, порового давления и температуры. Получены краевые условия на границе раздела сухой и насыщенной частей пористого тела.

Скворцовым Е. В., Тороповой М. М. в [127] предложен алгоритм расчёта поля пластового давления и продуктивности скважин, учитывающий нелокальный эффект деформирования продуктивного пласта.

В [175] представлена пороупругая численная модель для оценки трёхмерной консолидации за счёт вытеснения грунтовой воды в ненасыщенную анизотропную пористую среду. Численная модель разработана на основе полной системы уравнений для потока грунтовой воды в деформируемой пористой среде с изменяющейся степенью насыщения и метода конечных элементов Галёркина.

Кибец А. И. [64] рассматривает трёхмерные задачи распространения волн напряжений в грунтовых средах. Деформирование грунта описывается моделью Григоряна С. С. Решение задачи основано на методе конечных элементов и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа «крест».

В работе [205] представлен конечно-элементный метод, способный предсказать термомеханическое поведение материалов со случайно распределёнными порами, заполненными жидкостью. Каждая пора считается нагруженной гидростатическим давлением. На основе принципа Геллингера-Рейсснера получены связи между напряжением и деформацией для полигонального элемента, содержащего пору.

Ng А. К. L., Small J. С. [186] методом конечных элементов исследовали консолидационное поведение ненасыщенных грунтов.

В работе [172] алгоритм адаптивного улучшения сетки разработан для нелинейных расчётов в геомеханике и основан на сглаженном представлении диаграммы напряжений в методе конечных элементов.

Использована оценка ошибки в относящемся к приращениям инварианте деформаций сдвига для преобразования сетки в процессе нагружения. Алгоритм разработан в результате анализа задачи пассивного давления грунта с использованием идеальной упругопластической модели Кулона-Мора. Использован смешанный гидромеханический анализ поведения грунта в процессе дренирования. Во всех случаях преобразование сетки признается успешным в областях с высоким градиентом деформаций.

В работе [202] представлена трёхмерная численная модель, деформации которой описываются согласно нелинейной теории упругости. Математическая формулировка связанных задач представлена четырьмя уравнениями на основании принципа сохранения массы и энергии, а также уравнением равновесия. Для описания движения жидкости и воздуха в пористой среде используется закон Дарси. В модели используются трёхмерные изопараметрические двадцати узловые элементы. Метод позволяет моделировать естественно нелинейные параметры грунта.

Авторами [191] предложен численный алгоритм решения задач динамики насыщенных пористых сред. Рассматривается предельный случай несжимаемой жидкости и малой проницаемости среды. В основу алгоритма положен метод смешанных конечных элементов.

Власюк А. П., Мартинюк П. М. [33] исследовали численное решение двумерной задачи фильтрационной консолидации глинистых грунтов. Решение получено методом конечных элементов.

В работе [142] основным недостатком приёмов, рассматривающих условия предельного равновесия на некоторых кинематически возможных поверхностях скольжения - обычно круглоцилиндрических, является упрощённая картина напряжённого состояния. Обычно предполагается, что в грунте действуют только вертикальные напряжения, пропорциональные глубине рассматриваемого участка поверхности скольжения от дневной поверхности. Кроме того, для определения наиболее опасного сочетания сдвигающих и удерживающих сил необходимо проведение множества расчётов по многим возможным поверхностям скольжения; оползневые тела при этом подразбиваются на достаточно крупные блоки, что вносит в результаты расчётов дополнительные погрешности. Достаточно эффективным является сочетание методов конечных элементов и предельного равновесия. Разработанная программа CIRCLE реализует этот подход и обеспечивает автоматический поиск поверхности с минимальным коэффициентом запаса устойчивости.

В работе Бережного Д. В., Голованова А. И., Паймушина В. Н., Сидорова И. Н. [15] разрабатывается конечно-элементная методика расчёта водонасыщенной пористой среды, взаимодействующей с деформируемыми конструкциями.

В работе [7] для оценки сил сопротивления прониканию ударника в грунты анализируется применимость различных моделей поведения грунтовых сред, а также исследуется влияние прочности взаимодействующих сред на значение контактной силы. Обосновывается достоверность методики «обращенного» эксперимента для определения силы сопротивления прониканию ударника в грунт посредством регистрации деформаций мерного стержня. Математическая модель, принятая для описания деформирования сред, формулируется на основании соотношений механики сплошных сред и теории пластического течения. Постановка задачи соответствует обращенному эксперименту, когда контейнер с грунтом ударяет по неподвижному мерному стержню-ударнику.

В работе [11] рассмотрена нестационарная двумерная задача распространения нейтральной примеси в фильтрационном потоке при неполном насыщении грунта. Для решения задачи фильтрации используется неявная конечно-разностная схема и метод переменных направлений. Для интегрирования уравнения гидродинамической дисперсии выбран метод Кранка-Николсона.

Пшеничкиным А. П. [111] рассматривается деформирование во времени двухфазного грунта, который включает в себя два процесса, протекающих одновременно. Это - процесс формоизменения и объёмного изменения во времени скелета грунта, происходящий в результате деформирования вязких связей между частицами грунта. Принимается, что сначала происходит выдавливание из пор воды (первичная консолидация), а затем деформирование во времени идет за счёт ползучести скелета грунта (вторичная консолидация). По методу эквивалентного слоя грунта Цытовича Н. А. по теории фильтрационной консолидации, получено решение задачи уплотнения грунтов водонасыщенного основания.

В работе [25] Бойко И. П., Сахарова В. А. приведены результаты решения двумерных и трёхмерных линейных и нелинейных задач взаимодействия фундаментов соседних зданий с применением численных методов на базе системы «VESNA». Используется теория пластического течения, неассоциированный закон деформирования грунтов основания и модифицированный критерий Мизеса-Губера-Боткина, учитывается конструктивная нелинейность системы «основание-фундамент-конструкции». Дано сравнение результатов решения задач моделей с коэффициентом жёсткости основания и модели нелинейно-деформируемого слоистого грунтового массива.

Глаговский В. Б., Нуллер Б. М. [41] рассматривают плоскую смешанную краевую задачу линейной теории безынерционной двухфазной консолидации. Полоса, лежащая на гладком, недеформируемом, непроницаемом для жидкости основании, находится под давлением полубесконечного проницаемого штампа. Материал твёрдой фазы и жидкость сжимаемы. При помощи преобразований Лапласа по времени и пространственной координате задача сводится к уравнению Винера-Хопфа. Исследуются общие закономерности распределения корней характеристических уравнений, соответствующих различным однородным условиям на гранях полосы. На основе полученных результатов строится эффективное решение в кратных интегралах, имеющих экспоненциальную сходимость по всем переменным. Исследуются временные процессы осадки штампа и выдавливания жидкости.

В работе [152] получено точное решение пространственной задачи теории фильтрационной консолидации при осевой симметрии, которое отличается от известных приближённых решений учётом в расчётных формулах коэффициента Пуассона грунтового скелета. Это позволяет более достоверно прогнозировать развитие во времени деформаций и напряжений водонасыщенных оснований.

БЬетви К., Аоуата Б. [197] обсуждают методы расчётов скорости фильтрационной консолидации земляных плотин, сооружаемых из частично насыщенных грунтов. Использовано обобщение теории фильтрационной консолидации Био М. А. для сред с упругопластическим поведением. Результаты расчётов сопоставлены с данными натурных исследований. Показано, что амплитуда осадки плотин в случае частичного насыщения грунта значительно больше, чем в случае полной насыщенности.

Флориной О. И. [148] в вероятностной постановке рассмотрена плоская задача консолидации слоя грунта конечной толщины, нижнее основание которого водопроницаемо. Использован известный метод решения соответствующей детерминистической задачи. Приведён пример вычисления вероятности того, что величина осадки не превысит допустимого значения для случая равномерно распределённой нагрузки. Считается, что случайный параметр распределён по нормальному закону.

В работе [13] Безволева С. Г. проведены компрессионно-фильтрационные испытания глинистого грунта ненарушенной структуры, включающие процедуру анизотропной реконсолидации образцов. Разработана методика определения коэффициента фильтрации грунта по графикам; изменения во времени осадки образца и избыточного порового давления. Методика даёт результаты очень близкие к данным обычных фильтрационных испытаний (гораздо более продолжительных и трудоёмких).

Кятов Н. X. [76] рассмотрел задачу об определении характера влияния промежуточной подготовки на распределение порового давления в водонасыщенных грунтах основания под подошвой ленточного фундамента.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Прогресс в развитии фундаментостроения и подземного строительства в значительной мере определяется достигнутыми к настоящему времени результатами в области математического моделирования различных процессов или физических явлений, в частности, процессов деформирования и разрушения элементов конструкций и сооружений. Существует определённый разрыв между потребностями практики и существующими СниПами, регламентирующими деятельность проектировщиков и строительную практику, и возможностями уточнённых расчётов элементов конструкций и сооружений исходя из современных возможностей более точной постановки практических задач и их реализации на ЭВМ на основе использования численных методов.

Основным направлением задач, стоящих перед механикой грунтов, является теоретический прогноз поведения грунтовых толщ (их деформируемости, прочности, устойчивости и пр.) под влиянием внешних и внутренних воздействий: разнообразных нагрузок от сооружений, изменений (под действием природных факторов и деятельности человека) условий равновесия, например, при размывах, колебаниях уровня грунтовых вод, разгрузке глубоких слоёв грунта при копке строительных котлованов и др.

Задача исследования напряжённо-деформированного состояния грунтов под действием внешних сил и собственного веса грунта является главнейшей в механике грунтов, и разрешение её для различных случаев загружения имеет непосредственное приложение в практике строительства. Для практики строительства весьма важно знать, как распределяются напряжения в грунте при загрузке части его поверхности, как напряжённое состояние меняется с течением времени, при каких условиях наступает предельное напряжённое состояние, после чего возникают недопустимые деформации и нарушения сплошности грунтового массива и т.п. Особо существенное значение имеют вопросы определения деформаций грунтов, а именно: общей величины деформаций и отдельных её видов (упругих, остаточных), протекания деформаций во времени и разности деформаций (осадок) под отдельными частями сооружений. Взаимосвязанные процессы деформирования и фильтрации в насыщенных пористых средах составляют сущность многих явлений в природе и служат основой разнообразных технологических воздействий в химической промышленности, строительстве и добыче полезных ископаемых. Важную роль в её развитии играет математическое моделирование, позволяющее прогнозировать и оптимизировать технологические воздействия, интерпретировать и обрабатывать опытные данные. Развитие этой теории отражено в работах ряда исследователей: Бойко И. П., Био М. А., Герсеванова Н. М., Зарецкого Ю. К.,

Костерина А. В., Маслова Н. Н., Николаевского В. Н., Фадеева А. Б., Флорина В. А., Цытовича Н. А. и др.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ. Создать методики расчёта напряжённо-деформированного и предельного состояний сухих и водонасыщенных грунтовых массивов, взаимодействующих с деформируемыми конструкциями, на основе метода конечных элементов. Исследовать статическое взаимодействие подземных промышленных сооружений с грунтом.

СТРУКТУРА И ОБЪЁМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованной литературы. Изложена на 175 страницах машинописного текста, содержит 36 таблиц, 54 рисунка. Список литературы насчитывает 205 наименований.

ВЫВОДЫ

1. Для задачи деформирования обделки тоннелей метрополитена, представленной в виде блочного кольца с учётом контактного взаимодействия между блоками, находящейся под действием веса грунтовых массивов с учётом уровня грунтовых вод определены границы области химического закрепления грунта вокруг тоннелей, позволяющие снизить уровень окружных напряжений в бетонных блоках на 25%.

2. Расчёт для сплошного и разрезного колец обделки качественно сопоставим, т.е. максимальные окружные напряжения в обделке одинаково зависят от формы и механических характеристик грунта зоны закрепления. При этом уровень напряжений в блочном кольце будет ниже уровня напряжений в сплошном кольце примерно на треть.

3. Для определения формы области химического закрепления грунта первоначально необходимо определить ось, относительно которой происходит «сплющивание» кольца обделки. Чаще всего эта ось расположена горизонтально, но может и иначе, как в случае с левым тоннелем метрополитена для среза грунтов.

4. Наиболее оптимальной формой зоны химического закрепления грунта является прямоугольная, вытянутая вдоль оси «сплющивания».

5. Границы области химического закрепления, параллельные оси «сплющивания», должны практически касаться кольца обделки. При их удалении от кольца или их пересечении с кольцом уровень напряжений в обделке растёт.

6. При удалении границ области химического закрепления, перпендикулярных оси «сплющивания», от кольца обделки уровень напряжений в обделке падает, причём неравномерно. Наиболее оптимальным представляется расположение этих границ на расстоянии радиуса обделки от самой поверхности обделки.

7. Увеличение модуля Юнга грунта области химического закрепления снижает уровень окружных напряжений в обделке.

8. Увеличение коэффициента Пуассона грунта области химического закрепления снижает уровень окружных напряжений в обделке.

9. При формировании массива грунта области химического закрепления для двух рядом расположенных тоннелей необходимо заполнять укреплённым грунтом пространство между тоннелями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дана двумерная и трёхмерная постановка задачи упругого и упругопластического деформирования сухих и водонасыщенных грунтов.

Реализована методика расчёта напряжённо-деформированного и предельного состояний сухих и водонасыщенных грунтовых массивов, взаимодействующих с деформируемыми конструкциями, на основе метода конечных элементов.

Разработан и апробирован пакет программ, реализующий предложенную методику определения напряжённо-деформированного и предельного состояния на основе метода конечных элементов.

Получены новые числовые результаты расчёта подземных транспортных сооружений, взаимодействующих с грунтами, в том числе и с водонасыщенными, в двумерной и трёхмерной постановках.

1. Алейников С. М. Расчёт контактного взаимодействия фундаментных конструкций с пористо-упругим основанием / С. М. Алейников // Соврем, методы стат. и динам, расчёта сооруж. и конструкций. -1994. -№3. С. 171-181.

2. Алишаев М. Г. К учёту явлений запаздывания в теории фильтрации / М. Г. Алишаев, А. X. Мирзаджанзаде // Изв. ВУЗов. Нефть и газ. -1975.-№6. -С. 71-74.

3. Аравин В. И. Теория движения жидкостей и газов в не деформируемой пористой среде / В. И. Аравин, С. Н. Нумеров. -М.: Гостехиздат, 1953. 616 с.

4. Баженов В. Г. Анализ нелинейных эффектов проникания цилиндрического ударника в песчаный грунт / В. Г. Баженов, В. JI. Котов, С. В. Крылов, А. М. Врагов, В. В. Баландин, Е. В. Цветкова // Пробл. прочн. 2003. - №5. - С. 104-112, 155.

5. Байокки К. Вариационные и квазивариационные неравенства / К. Байокки, А. Капело. М.: Наука, 1988. - 448 с.

6. Баренблатт Г. И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г. И. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. М.: Недра, 1984. - 211 с.

7. Баркан Д. Д. Виброметод в строительстве / Д. Д. Баркан. 1959.

8. Барсегян А. Р. Вычисление осадки деформируемого водонасыщенного грунта при осесимметричной фильтрации без учёта структурной прочности среды / А. Р. Барсегян, Р. М. Барсегян // Вестн. Новгор. гос. ун-та 13, 1999. С. 61-65.

9. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. -М.: Стройиздат, 1982. 447 с.

10. Безволев С. Г. Оптимальная методика определения коэффициентов фильтрации и консолидации глинистых грунтов / С. Г. Безволев // Инж. геол. -1991.-№4. -С. 113-122.

11. Бережной Д. В. Статический расчёт трёхмерных конструкций методом конечных элементов: дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Д. В. Бережной. Казань, 1992. - 160 с.

12. Бережной Д. В. Исследование напряжённо-деформированного состояния грунтов / Д. В. Бережной, Ю. Г. Коноплёв, Л. Р. Секаева // т Сб. материалов XV Всерос. межвуз. науч.-техн. конф. (Казань, 20-22мая, 2003 г.). Казань: КГУ, 2003. - Ч. 1. - С. 366-368.

13. Бернардинер М. Г. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей / М. Г. Бернардинер, В. М. Ентов. М.: Наука, 1975. - 199 с.

14. Био М. А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде / М. А. Био // В кн.: Механика. -М., 1963.-№6.-С. 103-134.

15. Био М. А. Вариационные принципы в теории теплообмена / М. А. Био М.: Энергия, 1975. - 208 с.

16. Бондаренко Н. Ф. Физика движения подземных вод / Н. Ф. Бондаренко. -Л.: Гидрометеоиздат, 1973. 216 с.

17. Вайнберг Д. В. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Д. В. Вайнберг, А. С. Городецкий, В. В. Киричевский, А. С. Сахаров // Прикладная механика. 1972. - Т. 8.• №8.-С. 3-28.

18. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 с.

19. Ведерников В. В. Расчёт фильтрации через земляные плотины / В. В. Ведерников // Гидротехн. стр-во. 1947. - №1. - С. 12-15.

20. Ведерников В. В. Фильтрация через земляные плотины на проницаемом основании / В. В. Ведерников // Докл. АН СССР.1945.-Т. 50.-С. 107-110.

21. Веригин Н. Н. Консолидация грунта под гибким фундаментом / Н. Н. Веригин // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1961. -№5.

22. Веригин Н. Н. Об уплотнении грунтов под нагрузкой / Н. Н. Веригин // Прикл. матем. и техн. физ. 1961. - №1.

23. Власюк А. П. Численные решения одного класса задач, встречающиеся в теории фильтрационной консолидации / А. П. Власюк, П. М. Мартинюк // Доп. Нац. АН Украши. 2000. - № 12. -С. 65-72.

24. Галеева Д. Р. Задачи фильтрационной консолидации с неизвестными границами: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / Д. Р. Галеева. -Казань, 1999. 125 с.

25. Галин А. В. Теория фильтрации как раздел механики сплошных сред / А. В. Галин, В. Н. Николаевский // В кн.: Теория и практика добычи нефти. Ежегодник. М.: Недра, 1968. - С. 3-7.

26. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л. А. Галин. М.: Наука, 1980. - 304 с.

27. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. / Р. Галлагер. М.: Мир, 1984. - 428 с.

28. Герсеванов Н. М. Собрание сочинений / Н. М. Герсеванов. М.: Стройвоенмориздат. - 1948. - Т.1; Т.П.

29. Герсеванов Н. М. Теоретические основы механики грунтов и их практические применения / Н. М. Герсеванов, Д. Е. Польшин. -Стройиздат, 1948. 248 с.

30. Гитин Д. Н. Пространственная задача для абсолютно жёсткого штампа на водонасыщенном основании / Д. Н. Гитин // Основания, фундам. и мех. грунтов. 1994. - №1. - С. 2-5.

31. Глаговский В. Б. Контактная задача теории консолидации для полосы / В. Б. Глаговский, Б. М. Нуллер // ПММ. 1999. - Т. 63. -№1. - С. 138-148.

32. Голованов А. И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твёрдых тел / А. И. Голованов, Д. В. Бережной. -Казань: Изд-во «ДАС», 2001.-301 с.

33. Гольдштейн М. Н. Механические свойства грунтов / М. Н. Гольдштейн. -М.: Госстройиздат, 1952.

34. Горячева И. Г. Контактная задача качения вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала / И. Г. Горячева // ПММ. 1973. - Т. 37. - Вып. 5. - С. 925-933.

35. Далматов Б. И. Практический метод расчёта фундаментов по деформациям / Б. И. Далматов // Сб. «Доклады XXI научной конференции ЛИСИ», 1963.

36. Деклу Ж. Метод конечных элементов / Ж. Деклу. М.: Мир, 1976. -94 с.

37. Денисов Н. Я. О природе деформаций глинистых пород / Н. Я. Денисов. М.: Изд-во Мин. реч. флота СССР, 1951.

38. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. -М.: Мир, 1989.-510 с.

39. Дроботенко М. И. Исследование фильтрационной консолидации путём сведения к задаче Коши для смещений скелета / М. И. Дроботенко, А. В. Костерин // КГУ. НИИММ. 1991. - №1. - С. 133.

40. Дроботенко М. И. Обобщённое решение задачи фильтрационной консолидации / М. И. Дроботенко, А. В. Костерин // Докл. АН России. 1996. - Т. 350. - №5. - С. 619-621.

41. Егоров А. Г. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах / А. Г. Егоров, А. В. Костерин, Э. В. Скворцов. -Казань: Изд-во КГУ, 1990. 102 с.

42. ЕгоровА. Г. Фильтрационные эффекты в задачах тепло-массопереноса и деформирования насыщенных пористых сред: дисс. . докт. физ.-мат. наук: 01.02.05 / А. Г. Егоров. Казань, 1999. -232 с.

43. Еремеев В. А. Моделирование пористых сред при больших деформациях / В. А. Еремеев // Междунар. науч.-практ. конф. «Стр-во-98». Ростов-на-Дону, 1998. - 88 с.

44. Жуковский Н. Е. Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод / Н. Е. Жуковский // Собр. соч. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - Т. 2. - 395 с.

45. Зарецкий Ю. К. Теория консолидации грунтов / Ю. К. Зарецкий. -М.: Наука, 1967.-270 с.

46. Зарецкий Ю. К. Вязко-пластичность грунтов и расчёты сооружений / Ю. К. Зарецкий. М.: Стройиздат, 1988. - 352 с.

47. Зарецкий Ю. К. Лекции по современной механике грунтов / Ю. К. Зарецкий. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1989. - 607 с.

48. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975.-543 с.

49. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1984. - 428 с.

50. Исрафилов Р. М. Динамическое деформирование пористой, насыщенной жидкостью среды под воздействием гармонического импульса / Р. М. Исрафилов, С. И. Цурпал // Ин-т мех. HAH Украины. Киев, 1995. - 19 с.

51. Калинин Н. Н. Уравнения транспорта волокнистого консолидируемого материала и эффект пристенного слоя / Н. Н. Калинин, Б. М. Нуллер // ПММ. 1987. - Т. 51. - №3. - С. 522-525.

52. Керчман В. И. Контактная задача консолидации водонасыщенной среды / В. И. Керчман // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. - №3. - С. 102109.

53. Керчман В. И. Задачи консолидации и связанной термоупругости для деформируемого полупространства / В. И. Керчман // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - № 1. - С. 45-56.

54. Кибец А. И. Конечно-элементное решение трёхмерных задач нестационарной динамики грунтовых сред / А. И. Кибец // Вестн. Нижегор. гос. ун-та 1, 1999. С. 91-97.

55. Коваленко Е. В. О расчёте тонких пористых покрытий / Е. В. Коваленко // ПММ. 1990. - Т. 54. - №3. - С. 469-473.

56. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы / Р. Коллинз. М. Мир, 1964. - 350 с.

57. Коннор Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости / Дж. Коннор, К. Бреббиа. JL: Судостроение, 1979. - 204 с.

58. Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости / А. Н. Коновалов. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1972. - 128 с.

59. Коровкин В. С. Использование теории пластического течения в двухфазных несвязных грунтовых средах / В. С. Коровкин // Водные пути и гидротехнические сооружения. 2000. - С. 88-92.

60. Короткин В. Г. Задача уплотнения при приложении к поверхности грунта сосредоточенной силы / В. Г. Короткин // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1951. - №2.

61. Коссиков В. М. Фильтрация жидкости в многофазной пористой консолидированной среде под действием импульсной нагрузки / В. М. Коссиков // Динам, сплош. среды. 1995. - №10. - С. 117-121.

62. Косте Ж. Механика грунтов / Ж. Косте, Г. Санглера. М.: Стройиздат, 1981. - 456 с.

63. Костерин А. В. Основные уравнения и вариационные методы изотермической фильтрации: дисс. . докт. физ.-мат. наук: 01.02.05 / А. В. Костерин. Казань, 1986. - 153 с.

64. Костерин А. В. Насыщенно-ненасыщенные состояния деформируемых пористых сред / А. В. Костерин, Д. А. Березинский // Докл. РАН. 1998. - Т. 358. - №3. - С. 343-345.

65. Костерин А. В. Численное исследование фильтрационной консолидации / А. В. Костерин, М. Ф. Павлова, Е. В. Шемуранова // Математическое моделирование. 2001. - Т. 13. - №9. - С. 63-70.

66. Кятов Н. X. Влияние промежуточной подготовки на распределение порового давления в водонасыщенных грунтах основания ленточных фундаментов / Н. X. Кятов // Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций. 2003. - С. 56-60.

67. Литвинов И. М. Термическое укрепление просадочных лёссовых и других грунтов / И. М. Литвинов // Известия ЮжНИИ. 1955.

68. Ляшко И. И. Вопросы автоматизации решения задач фильтрации на ЭВМ / И. И. Ляшко, И. Б. Сергиенко, Г. Е. Мистецкий, В. В. Скопецкий. Киев: Наукова думка, 1977. - 287 с.

69. Мазуров П. А. К одномерной теории нелинейной консолидации / П. А. Мазуров // Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. Казань: Казанский физико-технический ин-т КФАН СССР, 1985.-Ч. 1.-С. 94-105.

70. Мазуров П. А. Расчёт одномерной нелинейной консолидации / П. А. Мазуров // Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. Казань: Казанский физико-технический ин-т КФАН СССР, 1987.-С. 55-62.

71. Мазуров П. А. Вариационные принципы фильтрации несжимаемой жидкости в средах с двойной пористостью / П. А. Мазуров // ПММ. -М., 1993.-№1.-С. 65-70.

72. Малов О. В. Оптимальное решение задач нелинейной анизотропной фильтрации / О. В. Малов, Е. Г. Шешуков // Докл. АН УССР. 1984. -№6. - С. 46-48.

73. Малышев М. В. Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений / М. В. Малышев. М.: Стройиздат, 1980. - 134 с.

74. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде / М. Маскет. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 628 с.

75. Маслов Н. Н. Прикладная механика грунтов / Н. Н. Маслов // Машстройиздат, 1949.

76. Маслов Н. Н. Основы механики грунтов и инженерной геологии / Н. Н. Маслов // Автотрансиздат, 1961.

77. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. М.: Наука, 1970. - 512 с.

78. Михова Л. Приложение на метода на крайните елементи при ососиметричната задача за консолидация на почва / Л. Михова // Год. Висш. инст. архит. и стр-во. София, 1991. - №4. - С. 57-66.

79. Моссаковский В. И. Основная смешанная задача теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий / В. И. Моссаковский // ПММ. 1954. - Т. 18. - Вып. 3. - С. 418-428.

80. Муриджанян С. Ш. Влияние начального градиента напора на процесс консолидации / С. Ш. Муриджанян, Э. А. Хачатрян // Изв. АН Армянской ССР. 1983. - №5. - С. 22-25.

81. Невзоров А. Л. Структурная модель грунта / А. Л. Невзоров // Опыт строительства и реконструкции зданий и сооружений на слабых грунтах. 2003. - С. 99-104.

82. Нигматуллин Р. И. Динамика многофазных сред / Р. И. Нигматуллин. М.: Наука, 1987. - Ч. 1. - 464 с.

83. Николаев А. Н. Фильтрационный расчёт грунтовых плотин с учётом зоны аэрации: дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / А. Н. Николаев. Казань, 1990. - 157 с.

84. Николаевский В. Н. К динамике насыщенных жидкостью уплотняемых пористых сред / В. Н. Николаевский. // Инж. журнал. -1962. Вып. 3.

85. Николаевский В. Н. Линейное приближение в механике уплотняемых пористых сред / В. Н. Николаевский // Изв. АН СССР, ОТН. 1962. - №5.

86. Николаевский В. Н. Механика насыщенных пористых сред / В. Н. Николаевский, К. С. Басниев, А. Т. Горбунов, Г. Л. Зотов. М.:• Недра, 1970.-335 с.

87. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред / В. Н. Николаевский. М.: Недра, 1984. - 232 с.

88. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. -М.: Мир, 1981.-304 с.

89. Нужин М. Т. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений (Обратные краевые задачи теорииф фильтрации) / М. Т. Нужин, Н. Б. Ильинский. Казань: Изд-во КГУ,1963. -138 с.

90. Нуриджанян С. Ш. Напряжённо-деформированное состояние грунтов пря откачке подземных вод из многослойной водоносной толщи / С. Ш. Нуриджанян, В. С. Саркисян, Г. Т. Хачатурян // Вод. ресурсы. 1990. - № 2. - С. 59-65.

91. Образцов И. Ф. Метод конечных элементов в задачах строительноймеханики летательных аппаратов / И. Ф. Образцов, Л. Н. Савельев, X. С. Хазанов. М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.

92. Оден Дж. Определение конечных деформаций упругих тел на основе метода конечных элементов / Дж. Оден, Дж. Кей. Л.: Судостроение, 1974. - Т. 1. - С. 52-80.

93. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

94. Одишария М. Г. Метод конечных элементов в задачах нелинейной теории фильтрации / М. Г. Одишария // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. -№3.-С. 173-174.

95. Олейник А. Я. Расчёт нестационарной фильтрации к откосу несовершенного канала с учётом инфильтрации на свободной поверхности / А. Я. Олейник, Е. С. Волокшина // Докл. АН УССР, 1985. Сер. А. - №5. - С. 44-47.

96. Ольшанский Н. Я. Оценка дополнительной осадки грунтов при водопонижении / Н. Я. Ольшанский // Вестник Астраханского гос. техн. ун-та.-2000.-С. 115-121.

97. Орехов В. В. Комплекс вычислительных программ «Земля-89» / В. В. Орехов // Исслед. и разраб. по компьютер, проектир. фундам. и оснований. Новочеркасск, 1990.-С. 14-20.

98. Полубаринова Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод / П. Я. Полубаринова - Кочина. - М.: Наука, 1977. - 664 с.

99. Постнов В. А. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. Л.: Судостроение, 1974.-342 с.

100. Постнов В. А. Численные методы расчёта судовых конструкций / В. А. Постнов. Л.: Судостроение, 1977. - 279 с.

101. Пшеничкин А. П. Консолидация и ползучесть организованно увлажняемых лёссовых оснований / А. П. Пшеничкин // «Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций», 2003. С. 4-10.

102. Работнов Ю. Н. Давление упругой среды с последействием / Ю. Н. Работнов // ПММ. 1948. - Т. XII. - Вып. 1.

103. Ржаницын Б. А. Силикатизация песчаных грунтов / Б. А. Ржаницын.- 1949.

104. Роза С. А. Разбухание слоя глинистого грунта / С. А. Роза // Сб. Гидроэнергопроекта. ОНТИ. 1937. -№2.

105. Роза С. А. Осадки гидротехнических сооружений на глинах с малой влажностью / С. А. Роза // Гидротехническое строительство. 1950. -№9.

106. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам / Л. А. Розин. М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

107. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. М.: Мир, 1980. -616 с.

108. Рунг Е. В. Разностные методы решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.07: защищена 25.11.04 / Е. В. Рунг. Казань, 2004. -117 с.

109. Сахаров А. С. Метод конечных элементов в пространственной задаче теории упругости / А. С. Сахаров, В. В. Киричевский, Г. Г. Завьялов.- Ворошиловград, 1982. 99 с.

110. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. М.: Мир, 1979. - 392 с.

111. Секаева Л. Р. Исследование напряжённо-деформированного состояния водонасыщенных грунтов / Л. Р. Секаева // Городская науч.-практ. конф. «Студенты Зеленодольску»: сб. докладов (Зеленодольск, 12 апреля, 2003 г.). Зеленодольск, 2003.